Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kaotikus Differenciálegyenletek Szakdolgozat Chmelik Gábor Matematika B.Sc., Matematikai elemző szakirány Témavezető: Simon L. Péter, egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest 2010

Tartalomjegyzék Köszönetnyilvánítás 2 Bevezetés 3 1. Differenciálegyenletek 4 1.1. Az alapok................................. 4 1.2. Autonóm differenciálegyenletek..................... 5 1.2.1. Nemlineáris rendszerek lokális vizsgálata............ 6 1.2.2. Nemlineáris rendszerek globális vizsgálata........... 11 2. Dinamikai rendszerek 14 2.1. Dinamikai rendszerek elmélete...................... 14 2.2. Kaotikusság................................ 19 2.3. A bifurkációelmélet elemei........................ 22 3. A Lorenz-rendszer 27 3.1. Egyensúlyi pontok és stabilitásuk.................... 28 3.2. A rendszer globális viselkedése...................... 30 4. A Rössler-rendszer 34 4.1. Egyensúlyi pontok és stabilitásuk.................... 34 4.2. A rendszer globális viselkedése...................... 37 Összefoglalás 39 Irodalomjegyzék 40 Nyilatkozat 41 1

Köszönetnyilvánítás A szeretet soha meg nem szűnik. A prófétálások véget érnek, a nyelvek megszűnnek, a tudomány elenyészik. (1 Kor 13,8) Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Simon Péternek, aki figyelmembe ajánlotta e nagyszerű témát. Sok segítséget és hasznos tanácsot kaptam tőle, és dolgozatom lektorálásáért is hálás vagyok neki. Szeretném kifejezni köszönetemet továbbá a családomnak, akiknek mindig töretlen támogatását élveztem tanulmányaim során. Köszönet illeti barátaimat, akik mindig mellettem álltak. Bíztatásuk és lelki támogatásuk nélkül e dolgozat nem születhetett volna meg. Hálás vagyok minden mosolyért, minden jó szóért, a kritikákért és minden segítségért! 2

Bevezetés Naprendszerünk mozgása, Földünk időjárása, az emberi szív és agy elektromos tevékenysége, egyes folyadékáramlások, gazdasági folyamatok, populációk egyedszámának változása, és még hosszan sorolhatnánk, hosszú távon mind kaotikus viselkedést mutatnak. Ezeket a folyamatokat és jelenségeket differenciálegyenletek és dinamikai rendszerek segítségével modellezzük. Manapság már nagyon pontos méréseket tudunk végezni, kiváló modelljeink vannak, de ezeknek a rendszereknek a hosszú távú viselkedését mégsem tudjuk előre meghatározni. Mi lehet ennek az oka? Mit tudunk elmondani ezekről a rendszerekről? Mit jelent a káosz? Ebben a dolgozatban ezekre a kérdésekre keressük a választ. Az első fejezetben a modellek vizsgálatához szükséges differenciálegyenletekkel és dinamikai rendszerekkel kapcsolatos definíciókat és tételeket találjuk, amelyek nagyrészt Simon Péter és Buczolich Zoltán előadásain hangzottak el, valamint megtalálhatók a [2] illetve [3] könyvekben. A második és harmadik fejezetben bemutatott modellek, és az ezekkel kapcsolatos állítások forrása részben az [1] cikk, részben a [3] és [4] könyv. Ezekben a fejezetekben azonban találhatók olyan számítások és állítások, amelyek részletességük miatt nincsenek leírva az említett forrásokban. A dolgozatban felhasználásra kerültek továbbá a [6] portál oldalai, melyek a témában való tájékozódást segítették elő. Az [5] könyv nem a leírtak forrása, hiszen fizikusok számára íródott, hanem egy olyan mű, amely hasznos a fizikai szemléletmód kialakításában. Segítségével átfogó képet kaphatunk arról, hogy a bemutatott kaotikus modellek mit jelentenek a valóságban. 3

1. fejezet Differenciálegyenletek Ebben a fejezetben áttekintjük a differenciálegyenletekkel és dinamikai rendszerekkel kapcsolatos legfontosabb definíciókat és tételeket, amelyek ahhoz szükségesek, hogy megvizsgálhassuk a kaotikus modellek lokális és globális viselkedését. Az itt található állítások nagy részét nem bizonyítjuk, mert a dolgozat keretei ezt nem teszik lehetővé. A megadott forrásokban minden bizonyítás megtalálható. 1.1. Az alapok Tekintsük az ẋ(t) = f(t, x(t)) (1.1) differenciálegyenletet. Legyen t 0 I R, q 0 R n. Az (1.1) egyenlet egy x(t) megoldása teljesíti az x(t 0 ) = q 0 kezdeti feltételt, ha átmegy a (t 0, q 0 ) ponton. 1. Tétel. Adott t 0, q 0 esetén egyértelműen létezik az (1.1) egyenletnek olyan megoldása, amelyre az x(t 0 ) = q 0 kezdeti feltétel teljesül. Az (1.1) egyenlet megoldását globálisan egyértelműnek fogjuk nevezni, ha minden ponton keresztül csak egy megoldás halad. Lokálisan egyértelműnek akkor nevezzük a megoldást, ha az egy ponton áthaladó megoldások a pont egy környezetében egybeesnek. Jogosan merül fel a kérdés, hogy mikor lesz egy egyenlet megoldása globálisan vagy lokálisan egyértelmű? Ezt tudjuk meg az alábbi tételből. 4

1. Definíció (Lipschitz-feltétel). Egy f : R n R n függvény teljesíti a Lipschitzfeltételt, ha L > 0 : f(x) f(y) L x y x, y R n. Egy f : R n R n függvény lokálisan Lipschitz-tulajdonságú a q pontban, ha L > 0, δ > 0 : f(x) f(y) L x y x, y B(q, δ). 2. Tétel. Az (1.1) egyenlet megoldása globálisan egyértelmű, ha f rendelkezik a Lipschitz-tulajdonsággal. 1.2. Autonóm differenciálegyenletek Legyen M R n tartomány, f : M R n adott, lokálisan Lipschitz-tulajdonságú függvény. A továbbiakban az ẋ(t) = f(x(t)) (1.2) x(t 0 ) = q 0 differenciálegyenletet fogjuk vizsgálni. Ennek az egyenletnek t 0 R, q 0 M esetén létezik a kezdeti feltételt kielégítő x(t) = ϕ(t, t 0, q 0 ) megoldása az I(t 0, q 0 ) intervallumon. Ez a megoldás eltolás invariáns, azaz ha x(t) megoldása az egyenletnek, akkor τ R esetén y(t) = x(t + τ) is megoldás, ugyanis ẏ(t) = ẋ(t + τ) = f(x(t + τ)) = f(y(t)). Ezek után elég csak a t 0 = 0 időpontban a különböző q M pontokból induló megoldásokat ismerni, ugyanis a többi megoldás ezekből eltolással adódik. Ezért a továbbiakban legyen ϕ(t, q) = ϕ(t, 0, q), illetve I(q) = I(0, q). 1. Állítás. Az (1.2) differenciálegyenlet megoldására fennáll a csoport-tulajdonság, azaz ϕ(t + s, q) = ϕ(t, ϕ(s, q)), ahol q M, t, s R, melyre t, s, t + s I(q). Bizonyítás. Mindkét oldal megoldás ugyanarra a differenciálegyenletre (mint t függvénye). A t = 0 pontban az egyenlet jobb és bal oldala is ϕ(s, q)-val egyenlő, és a differenciálegyenletek megoldásainak egyértelműsége miatt ezek egyenlők. 5

2. Definíció. Tetszőleges q M pont esetén a {ϕ(t, q) : t I(q)} R n -beli görbét a q pont pályájának vagy trajektóriájának nevezzük. A pályát periodikusnak nevezzük, ha ϕ(0, q) = ϕ(t, q) valamely t I(q)-ra. Fontos megemlíteni, hogy az egzisztencia- és unicitás tétel miatt az autonóm rendszerek pályái nem metszik egymást, és lefedik az egész M halmazt. 3. Definíció. Egy p pont periodikus pont, ha ϕ(t, p) = p valamely 0 < t R-re. 4. Definíció. Egy x 0 pont egyensúlyi pont, ha ϕ(t, x 0 ) = x 0 t R. 1.2.1. Nemlineáris rendszerek lokális vizsgálata Ebben a részben a háromdimenziós rendszerek egyensúlyi pontjainak stabilitására vonatkozó definíciókat és tételeket mutatunk be. Egyensúlyi pontok vizsgálata linearizációval A következőkben megmutatjuk, hogy az (1.2) egyenlet lokális viselkedése az x 0 hiperbolikus egyensúlyi pontjai körül azonos az ẋ = Ax (1.3) lineáris rendszer viselkedésével, ahol az A Jacobi-mátrix a következő: A = f (x 0 ). Az Ax = f (x 0 )x lineáris függvényt az f x 0 körüli lineáris részének nevezzük. 5. Definíció. Egy x 0 egyensúlyi pontot hiperbolikusnak nevezünk, ha az f (x 0 ) mátrix egy sajátértékének valós része sem 0. Az (1.3) lineáris rendszert az (1.2) egyenlet linearizációjának nevezzük az x 0 pont körül. Ha az x 0 = 0 egyensúlyi pontja az (1.2) egyenletnek, akkor f(0) = 0, és Taylor tétele alapján f(x) = f (0)x + 1 2 f (0)(x, x) +.... Ebből következik, hogy az f (0)x lineáris függvény egy jó első közelítése a nemlineáris f(x) függvénynek az x = 0 pontban. Így jogosan várjuk, hogy a linearizáció viselkedése az x = 0 pont körül megközelíti az (1.2) nemlineáris egyenlet viselkedését. Megjegyezzük, hogy ha x 0 az (1.2) egyenlet egyensúlyi pontja, és ϕ t (q) = ϕ(t, q) a megoldása, akkor ϕ t (x 0 ) = x 0 t R. Ekkor x 0 -t a megoldás fixpontjának nevezzük. 6

6. Definíció. Két autonóm differenciálegyenlet topologikusan ekvivalens egymással (vagy ugyanolyan kvalitatív struktúrával rendelkezik) az origó egy környezetében, ha létezik egy olyan H : U V homeomorfizmus (U, V az origót tartalmazó nyílt halmazok), amely a pályákat az irányítás megtartásával egymásba képezi. Ha H az idő paraméterezését megtartja, akkor a két rendszer topologikusan konjugált egymással az origó egy környezetében. 3. Tétel (Hartman Grobman-tétel). Legyen E R n az origót tartalmazó nyílt halmaz, f C 1 (E), ϕ t (q) az (1.2) egyenlet megoldása. Tegyük fel, hogy f(0) = 0, és az A = f (0) mátrixnak nincs 0 valós részű sajátértéke. Ekkor az (1.2) rendszer az x 0 egyensúlyi pontban és az (1.3) rendszer az origóban lokálisan topologikusan konjugáltak egymással, azaz létezik az x 0 -nak olyan U R n környezete, az origónak olyan V R n környezete és olyan H : U V homeomorfizmus, melyre H ϕ t (x 0 ) = e At H(x 0 ), minden x 0 U és minden olyan t R esetén, melyre ϕ t (x 0 ) U. Ez azt jelenti, hogy a várakozásunknak megfelelően az eredeti autonóm egyenlet egyensúlyi pont körüli viselkedése megegyezik a linearizált rendszer origó körül tapasztalható viselkedésével. Tehát az egyensúlyi pont típusa és stabilitása megegyezik a linearizált rendszer origójának típusával és stabilitásával. A továbbiakban tehát az (1.3) egyenlet stabilitását vizsgálva következtetéseket vonhatunk le az (1.2) egyenlet stabilitására nézve. 7. Definíció. Az (1.2) egyenlet egy x 0 egyensúlyi pontját nyelőnek nevezzük, ha az A mátrix minden sajátértékének valós része negatív, forrásnak nevezzük, ha A minden sajátértékének valós része pozitív, és nyeregnek hívjuk, ha x 0 hiperbolikus egyensúlyi pont, és az A mátrix legalább egy sajátértékének valós része pozitív, és egy sajátértékének valós része negatív. 8. Definíció. Az x 0 egyensúlyi pont 1. stabil, ha ε > 0 δ > 0 q x 0 < δ = ϕ(t, q) x 0 < ε t 0. 2. aszimptotikusan stabil, ha stabil, és lim t ϕ(t, q) = x 0. 3. instabil, ha nem stabil. 7

Az egyensúlyi pont stabilitásának eldöntése általában nehéz feladat, csak igen kevés jól alkalmazható állítást tudunk ezzel kapcsolatban kimondani. Látni fogjuk, hogy a rendszer stabilitása az A mátrix sajátértékeivel függ össze. 1. Lemma. Ha az A mátrixnak van 1. nem negatív valós részű sajátértéke, akkor az (1.3) rendszer nem aszimptotikusan stabil. 2. pozitív valós részű sajátértéke, akkor az (1.3) rendszer instabil. 3. olyan 0 valós részű sajátértéke, ami a minimál polinomnak többszörös gyöke, akkor az (1.3) rendszer instabil. 4. Tétel. Az (1.3) rendszer pontosan akkor aszimptotikusan stabil, ha A minden λ sajátértékére Re(λ) < 0. 5. Tétel. Az (1.3) rendszer pontosan akkor stabil, ha A minden λ sajátértékére Re(λ) 0, és Re(λ) = 0 esetén λ multiplicitása a minimál polinomban 1. A gyakorlatban a sajátértékek kiszámítása nagy méretű mátrixok esetén igen nehéz feladat lehet, ráadásul értékük a stabilitásvizsgálat szempontjából indifferens, csupán a valós rész előjele számít. Annak eldöntésére, hogy az A mátrix sajátértékeinek valós része negatív, az alábbi tétel a sajátértékek kiszámítása nélkül, kizárólag a karakterisztikus polinom vizsgálatával, remek feltételt ad. 6. Tétel (Routh Hurwitz-kritérium). Legyen N N, a 0,..., a N 1 R, és tekintsük a k(x) = x N + a N 1 x N 1 + + a 1 x + a 0 valós együtthatós polinomot. A k polinom minden gyökének valós része pontosan akkor negatív, ha az a N 1 1 0 0 a N 3 a N 2 a N 1 1 0 0. 0 0.......................... 0........ a 0 a 1 a 2 0 0 0 a 0 N N-es mátrix i aldeterminánsai minden i-re pozitívak. 8

Egyensúlyi pontok vizsgálata a Ljapunov-függvény módszerrel Vannak esetek, amikor a linearizálás nem vezet eredményre, és az egyensúlyi pontok stabilitását nem tudjuk megállapítani. Ekkor hívjuk segítségül Ljapunov módszerét. Ehhez először szükségünk lesz egy megfelelő segédfüggvényre (V ), amelyre az igaz, hogy 1. a függvényérték változásából eldönthető legyen, hogy a ϕ(t, q) megoldás közeledik-e az egyensúlyi ponthoz, illetve 2. a függvény monotonitása a trajektóriák mentén eldönthető legyen a megoldások kiszámítása nélkül. Az elsőhöz elegendő azt tudni, hogy az egyensúlyi pont minimumhelye-e a V függvénynek. A második feltételhez több mindenre is szükségünk van: 9. Definíció. A V C 1 (M, R) Ljapunov függvény deriváltja az (1.2) rendszer szerint az alábbi függvény: L f V = V, f azaz (L f V )(q) = V (q), f(q), (q M). Ezt nevezik a V függvény f-szerinti Lie-deriváltjának. 2. Lemma. Legyen x az (1.2) egyenlet egy megoldása. Ekkor a V (t) = V x függvényre V (t) = (L f V )(x(t)) (t D(x)). Bizonyítás. A láncszabályt alkalmazva: V (t) = V (x(t)), ẋ(t) = V (x(t)), f(x(t)) = (L f V )(x(t)). Tehát azt, hogy a megoldások mentén a V függvény értéke növekszik, vagy csökken, az L f V függvény előjele fogja megmutatni. Egy speciális eset, amikor a V függvény értéke a megoldások mentén állandó. 10. Definíció. A V C 1 (M, R) függvényt az (1.2) rendszer első integráljának nevezzük, ha L f V 0. Az eddigiek segítségével már megfogalmazhatunk néhány tételt az egyensúlyi pontok stabilitására. 9

7. Tétel (Ljapunov stabilitási tétele). Ha megadható az x 0 M egyensúlyi pont valamely nyílt U M környezetében olyan V : U R folytonosan differenciálható függvény, melyre 1. V (x 0 ) < V (q) minden q U\{x 0 } pontban, és 2. (L f V )(q) 0 minden q U\{x 0 } pontban, akkor az x 0 egyensúlyi pont stabil. Ha (L f V )(q) < 0 minden q U\{x 0 } pontban, akkor az x 0 egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil. 8. Tétel (Ljapunov instabilitási tétele). Ha az x 0 egyensúlyi pont valamely nyílt U M környezetében megadható olyan V : U R folytonosan differenciálható függvény, melyre 1. x 0 nem lokális minimumhelye a V függvénynek, és 2. (L f V )(q) < 0 minden q U\{x 0 } pontban, akkor az x 0 egyensúlyi pont instabil. 9. Tétel (Barbasin Kraszovszkij-tétel). Ha megadható az x 0 M egyensúlyi pont valamely U M környezetében olyan V : U R folytonosan differenciálható függvény, melyre 1. V (x 0 ) < V (q) minden q U\{x 0 } pontban, 2. (L f V )(q) 0 minden q U\{x 0 } pontban, és 3. a ϕ(t, x 0 ) megoldáson kívül az U halmazban nem halad más olyan teljes megoldásgörbe, melynek mentén V értéke állandó, akkor az x 0 egyensúlyi pont aszimptotikusan stabil. Egy megfelelően választott V függvény segítségével tehát az egyensúlyi pont stabilitását könnyen meg tudjuk határozni. A módszerrel azonban az a baj, hogy általában igen nehéz Ljapunov-függvényt találni. 10

1.2.2. Nemlineáris rendszerek globális vizsgálata Az előző részben láttuk, hogy hogyan vizsgálhatjuk meg a legegyszerűbb struktúrával rendelkező pályákat, azaz az egyensúlyi pontokat. Emellett nagyon fontos megvizsgálnunk a nemlineáris rendszerek periodikus pályáit is. Mivel ezek globális objektumok, ezért megtalálásuk és vizsgálatuk is nehezebb, mint az egyensúlyi pontok esetében. Megmutatjuk, hogy a Poincaré-leképezés segítségével nemcsak megtalálhatjuk, hanem meg is vizsgálhatjuk a periodikus pályákat. A Poincaré-leképezés 2. Állítás. Legyen f : R n R n, ẋ(t) = f(x(t)), γ : [0, T ] R n periodikus megoldás, Γ = {γ(t) : t [0, T ]} a periodikus megoldás pályája, p Γ periodikus pont. Legyen továbbá L R n egy n 1 dimenziós hipersík p-n keresztül. Ekkor létezik p-nek olyan Σ L környezete, melyből a pályák visszatérnek L-be. 11. Definíció. Ha f(q), f(p) > 0 q Σ, akkor Σ-t transzverzális metszetnek nevezzük. Ez szemléletesen azt jelenti, hogy a transzverzális metszet egy olyan hipersík, amelyen minden pálya azonos irányban halad át. A Poincaré-leképezést egy megfelelően választott transzverzális metszeten fogjuk értelmezni úgy, hogy egy adott ponthoz Σ azon pontját rendeljük hozzá, amelybe a pont pályája először viszszatér. 12. Definíció. A θ : Σ R függvényt, melyre ϕ(θ(q), q) L q Σ, a q pont visszatérési idő függvényének nevezzük. 13. Definíció (A Poincaré-leképezés). Ha Σ transzverzális metszet, θ a visszatérési idő függvény, akkor a P : Σ L, P (q) = ϕ(θ(q), q) leképezést a Σ-hoz tartozó Poincaré-leképezésnek nevezzük. A Poincaré-leképezés segítségével megtalálhatjuk a periodikus pályákat. Ugyanis, ha a p pont a leképezés fixpontja, vagyis P (p) = p, akkor a p pontból induló megoldás T idő alatt visszatér a p pontba, azaz a p periodikus pont. Így fennáll az alábbi állítás. 11

3. Állítás. A p pont pontosan akkor periodikus, ha a Poincaré-leképezésnek fixpontja, vagyis P (p) = p. Mivel differenciálegyenletekről beszélünk, ezért azt kell mondanunk, hogy általában a ϕ függvényt, és ezzel a Poincaré-leképezést nem tudjuk képlettel megadni. A fixpontok, és ezzel együtt a periodikus pályák megtalálása tehát sokkal nehezebb feladat, mint az egyensúlyi pontok megtalálása. Ilyenkor csak a következőt mondhatjuk el a periodikus pályákról. 14. Definíció. Egy K M halmazt pozitívan invariánsnak nevezünk, ha t R-re, és q K-ra ϕ(t, q) K. 10. Tétel (Gyenge Poincaré Bendixson-tétel). Ha K M olyan pozitívan invariáns, korlátos és zárt halmaz, amelyben nincs egyensúlyi pont, akkor a K halmazban van periodikus pálya. Ha analitikus módon ezeket a periodikus pályákat nem tudjuk megtalálni, kénytelenek vagyunk a numerikus analízis eszköztárát bevetni az ügy érdekében, és számítógépes módszerekkel meghatározni azokat. A periodikus pályák stabilitása Periodikus pályák stabilitásvizsgálatánál nem használhatjuk ugyanazokat a stabilitási definíciókat, amiket az egyensúlyi pontok esetében alkalmaztunk. Itt nem a megoldás jellemzőit vizsgáljuk, hanem az adott pálya viselkedését. Vagyis azt, hogy a periodikus pályához közeli pontból indított pálya a periodikus pálya közelében marad-e. Erre vezették be az orbitális stabilitás fogalmát. 15. Definíció. Legyen p M periodikus pont T periódussal (ϕ(t, p) = p), és legyen γ(t) = ϕ(t, p), Γ = {γ(t) : t [0, T ]}. A q M pont Γ pályától vett távolsága legyen: d(q, Γ) = inf{ q γ(t) : t [0, T ]}. A Γ pálya orbitálisan 1. stabil, ha ε > 0 δ > 0 : d(q, Γ) < δ = d(ϕ(t, q), Γ) < ε, és t 0. 2. aszimptotikusan stabil, ha orbitálisan stabil és lim t d(ϕ(t, q), Γ) = 0. 3. instabil, ha nem orbitálisan stabil. 12

A kérdés már csak az, hogy ezen új fogalmak birtokában hogyan határozhatjuk meg egy periodikus pálya stabilitását? Ismét a Poincaré-leképezést fogjuk használni. Tekintsük most a P : Σ L leképezés iterációit. Ez egy diszkrét idejű dinamikai rendszert definiál a következőképpen: ψ : Z L L, ψ(n, q) = P n (q) = P (P (... P (q))... ), n Z, q L. }{{} n Erről nyilvánvaló, hogy ψ(0, q) = q, és ψ(n, ψ(m, q)) = ψ(n + m, q). Azt szeretnénk, hogy ha P n (q) n p, akkor Γ orbitálisan aszimptotikusan stabil, azaz stabil határciklus. 16. Definíció. A Poincaré-leképezés p fixpontját (P (p) = p) stabilnak nevezzük, ha ε > 0 δ > 0 : q p < δ és n N esetén P n (q) p < ε. A p fixpont aszimptotikusan stabil, ha stabil, és q p < δ esetén lim n P n (q) = p. A p pont instabil, ha nem stabil. 11. Tétel. Ha a P (p) mátrix minden sajátértéke 1-nél kisebb abszolút értékű, akkor a p fixpont aszimptotikusan stabil. Ezen felül a fixpont stabilitásának meghatározására a korábbiakban lineáris rendszerekre már láttunk módszereket, amik sok esetben itt is alkalmazhatók. A következő tétel kapcsolatot teremt a Poincaré-leképezés fixpontjai és a Γ pálya stabilitása között. 12. Tétel. Ha p instabil, stabil, illetve aszimptotikusan stabil fixpontja a P Poincaréleképezésnek, akkor Γ rendre orbitálisan instabil, stabil, illetve stabil határciklus. Megjegyezzük, hogy a periodikus pályák stabilitásának vizsgálata 2-nél magasabb dimenzióban analitikus módszerekkel vagy igen nehezen, vagy sehogyan sem kivitelezhető. Szükségszerű tehát, hogy a későbbiekben numerikus számításokra és becslésekre támaszkodjuk a kaotikus modellek vizsgálatánál. Mivel a nemlineáris differenciálegyenletek egyensúlyi pontjainak és pályáinak vizsgálata meglehetősen nehézkes, megpróbálunk könnyíteni rajta egy kicsit. Ehhez fogjuk segítségül hívni a dinamikai rendszerek elméletét. Ez a lépés abból nyeri létjogosultságát, hogy számunkra egy nemlineáris differenciálegyenlet és egy dinamikai rendszer a közük lévő már felvázolt összefüggések miatt azonosnak tekinthető. 13

2. fejezet Dinamikai rendszerek A dinamikai rendszerek valamilyen determinisztikus folyamat modelljei, amelyek a folyamat állapotainak meghatározott szabályok szerinti változásait írják le az állapottérben. Egy autonóm differenciálegyenlet megoldásai dinamikai rendszert határoznak meg, melynek pályái megegyeznek a differenciálegyenlet pályáival. 2.1. Dinamikai rendszerek elmélete 17. Definíció. Legyen M R n tartomány. A ϕ : R M M folytonos függvényt dinamikai rendszernek nevezzük az M fázistérben, ha rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 1. ϕ(0, q) = q minden q M esetén, 2. ϕ(t, ϕ(s, q)) = ϕ(t + s, q) minden q M és t, s R esetén. A ϕ(t, q) függvény azt jelenti, hogy a q pontból indítva a rendszer milyen állapotba kerül t idő elteltével. A dinamikai rendszerek tárgyalásához nyilvánvaló módon meg kell változtatnunk az autonóm differenciálegyenletekre érvényes definíciókat. 18. Definíció. Legyen q M tetszőleges pont. A {ϕ(t, q) : t R} görbét a q pont pályájának vagy trajektóriájának nevezzük. 19. Definíció. Az x 0 M pont egyensúlyi pont, ha ϕ(t, x 0 ) = x 0 minden t R esetén. A p M pontot periodikus pontnak nevezzük, ha létezik 0 < T R, hogy 14

minden t R esetén ϕ(t, p) = ϕ(t+t, p). Ekkor T -t, ha minimális, alapperiódusnak nevezzük. A periodikus pont pályáját periodikus pályának nevezzük. 4. Állítás. Periodikus pont pályájának minden pontja ugyanakkora alapperiódussal periodikus. 13. Tétel. Ha a p M pont pályája metszi önmagát, vagyis ϕ(t, p) = ϕ(t + T, p), akkor p vagy egyensúlyi pont, vagy periodikus pont. Szimbolikus dinamika A ϕ diszkrét dinamikai rendszer viselkedését szeretnénk valamilyen formában modellezni, illetőleg kódolni. Erre ad lehetőséget számunkra a szimbolikus dinamika. Lényegében az történik, hogy a ϕ(0, q) dinamikai rendszer korlátos pályáit egyenként lekódoljuk valamilyen S leképezéssel egy irányba végtelen 0-1 sorozatokká úgy, hogy az egymáshoz kezdetben közel levő pályák kódjai is kezdetben közel legyenek egymáshoz. Lássuk, hogy e ködös heurisztikát miképpen valósíthatjuk meg. 20. Definíció. Legyen M R n tartomány. A ϕ : Z M M leképezést diszkrét dinamikai rendszernek nevezzük, ha létezik egy olyan f diffeomorfizmus, azaz differenciálható bijektív leképezés, melyre ϕ(k, q) = f k (q), ahol f k (q) jelöli az f leképezés k-adik iteráltját a q pontban (k Z). 21. Definíció. Az f leképezés egy p pontját k-periodikusnak nevezzük, ha f k (p) = p. A legkisebb ilyen k-t alapperiódusnak nevezzük. 22. Definíció. Legyen Ω R 2 = {s = (s 0, s 1,... ) : s j {0, 1}} az egy irányba végtelen 0-1 sorozatok tere. Ω R 2 -en a metrikát, azaz s = (s 0, s 1,... ) és t = (t 0, t 1,... ) távolságát a következőképpen definiáljuk: 23. Definíció. Legyen d(s, t) = i=0 s i t i 2 i. Ekkor az igaz, hogy ha s i t i 1 = d(s, t) 1. 2 i i=0 14. Tétel. Ω R 2 -en a d távolságdefiníció metrikát alkot, azaz 15

1. s, t-re d(s, t) 0, és d(s, t) = 0 s = t. 2. s, t-re d(s, t) = d(t, s). 3. s, t-re d(s, t) d(s, v) + d(v, t). Ekkor, ha két pálya kezdetben közel van egymáshoz, akkor a pályák kódjai is közel vannak egymáshoz, és ez visszafelé ugyanígy igaz. Ezt a következő állításban fogalmazzuk meg. 5. Állítás. Legyen s, t Ω R 2. Ekkor, 1. ha s i = t i i = 0, 1,..., n-re = d(s, t) 1 2 n. 2. ha d(s, t) < 1 2 n = s i = t i i n-re. Ezzel létrehoztuk az Ω R 2 metrikus teret. Szükségünk lesz továbbá egy transzformációra, amely biztosítja számunkra a dinamikát. 24. Definíció. Legyen σ : Ω R 2 Ω R 2, σ(s 0, s 1,... ) = (s 1, s 2,... ) az egyoldalú eltolás, melyet nevezzünk shiftnek. 6. Állítás. A σ : Ω R 2 Ω R 2 transzformáció egy egyenletesen folytonos leképezés. Vizsgáljuk most meg egy kicsit jobban a σ leképezést! Tegyük fel, hogy s Ω R 2 a σ periodikus pontja, azaz σ n (s) = s. Ez azt jelenti, hogy σ n (s) = (s n, s n+1,..., s }{{ n+n 1, s } 2n,... ) = (s 0, s 1,..., s n 1, s }{{} n,... ) = s i+n = s i i. n db n db Ebből az következik, hogy s = (s 0, s 1,..., s n 1, s 0, s 1,..., s n 1, s 0,... ), ami azt jelenti, hogy σ n-szerint periodikus pontjainak száma, azaz P er n (σ) = 2 n. Ezek után kimondhatjuk azt a két állítást, ami majd a káosz vizsgálatában nagy segítséget nyújthat számunkra. 7. Állítás. σ periodikus pontjainak halmaza, P er(σ) = n=1 P er n (σ) sűrű Ω R 2 -ben. 8. Állítás. A σ leképezés topologikusan tranzitív, azaz van olyan pont, aminek a pályája sűrű Ω R 2 -ben. 16

Vizsgáljuk meg egy példán keresztül, hogy egy diszkrét dinamikai rendszer egy pontjának pályáját miképpen lehet lekódolni egy egy irányba végtelen{ 0-1 sorozattá. Tekintsük az 3x, ha x 1 2 f(x) = úgynevezett sátor leképezést. Ekkor az x 3x + 3, ha x 1 2 ( 1, 2 ) pontokra f(x) / [0, 1], és ezek 3 3 végleg elhagyják a [0, 1] [0, 1]-et, azaz minden k-ra f k (x) / [0, 1] [0, 1]. Felmerül bennünk az a kérdés, hogy mely pontok maradnak bent [0, 1] 2 -ben 2.1. ábra. A sátor leképezés az idők végezetéig? Ezek lesznek az úgynevezett triadikus Cantor-halmaz C 3 elemei. Nézzük, hogy melyek ezek. Legyen A 0 = {x [0, 1] : f(x) / [0, 1]}, vagyis az a halmaz, melynek pontjai a nulladik iteráció után (vagyis f-et alkalmazva) kirepülnek a [0, 1] intervallumból. Hasonlóan jelölje A 1 azon pontok halmazát, amelyek az első iteráció alkalmával (azaz f 2 (x) esetén) repülnek ki a [0, 1] intervallumból, vagyis A 1 = {x [0, 1]\A 0 : f(x) A 0 }. Egy általános jelölést használva: A n = {x [0, 1]\ n 1 A k : f n (x) A 0 }. A visszamaradó halmaz, amely nem repül k=1 ki a [0, 1] intervallumból, C 3 = 2.2. ábra. A definiált intervallumok [0, 1]\ k=0 A k, a triadikus Cantor-halmaz. Mivel csupán ezen pontok pályája korlátos, ezért csak ezek lesznek számunkra érdekesek a kaotikusság vizsgálata szempontjából, ezeknek a pontoknak a pályáját szeretnénk 0-1 sorozatokká konvertálni. A [0, 1]\A 0 halmaz két intervallumból áll. Legyenek ezek I 0 és I 1. A 0 index itt, és a továbbiakban is jelölje a bal oldali intervallumot, az 1 index pedig a jobb oldalit. Az I 0 \A 1 és az I 1 \A 1 intervallumok legyenek rendre I 00, I 01, I 10 és I 11. Általánosságban ezek 17

az I intervallumok a következőképpen fejezhetők ki: [0, 1]\ n 1 A k = k=0 α {0,1} ni α, ahol {0, 1} n egy n hosszú 0-1 sorozatot jelöl. Így n esetén α {0, 1}. Ekkor belátható, hogy I α, és hogy C 3 nem tartalmaz intervallumot, ami azt jelenti, hogy az I α halmaz minden α-ra egy elemű, vagyis C 3 minden pontját az alábbi módon megfeleltettük egy egy irányba végtelen 0-1 sorozatnak: S : C 3 Ω R 2, S(x) = {s 0, s 1, s 2,... }, ahol x C 3, és s j = { 0, ha f j (x) I 0 1, ha f j (x) I 1. Ha az Ω R 2 halmazt kiterjesztjük a két irányba végtelen 0-1 sorozatok terévé, akkor arról belátható, hogy az azon értelmezett, immár invertálható σ leképezés homeomorfizmus, periodikus pontjai szintén sűrűn helyezkednek el a térben, és a σ továbbra is topologikusan tranzitív marad. Mindezekből az látható, hogy ha a ϕ dinamikai rendszer pályái, és a 0-1 sorozatok között egy S leképezéssel kapcsolatot teremtünk, akkor a σ leképezés segítségével egy adott pont pályájáról meg tudjuk állapítani, hogy kaotikus viselkedést mutat-e. De vajon mit jelent a kaotikus viselkedés? Ezzel foglalkozunk a következő részben. 18

2.2. Kaotikusság A káoszelmélet az 1900-as évek elején vált jelentős kutatási területté. Első úttörői közé tartozott H. Poincaré, J. Hadamard, G.D. Birkhoff, A.N. Kolmogorov, M.L. Cartwright, J.E. Littlewood és S. Smale. Csaknem minden kutatót valamilyen fizikai jelenség vizsgálata indította arra, hogy a káosszal foglalkozzon. Jelentős áttörésre mégis csak később, 1963-ban került sor, amikor E.N. Lorenz publikálta [1] cikkét. A tudományterület hirtelen fejlődését nem csupán a cikk, és az azzal kapcsolatos tanulmányok megjelenése segítette elő. A számítógép megjelenése legalább annyira fontos volt, mivel a káosz vizsgálata leggyakrabban egyszerű matematikai kifejezések iterálását jelenti, aminek kézzel történő végrehajtása nagy mennyiségben lehetetlen lett volna. A kaotikusság vizsgálata napjainkban azért vált nehézkessé, mert ahány kutató, annyi féle káosz definíció létezik. A következőkben ezekből is bemutatunk néhányat. Ehhez azonban be kell vezetnünk néhány eddig nem használt fogalmat. A továbbiakban legyen J R n, illetve f : J J leképezés diffeomorfizmus. 25. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f leképezés érzékeny a kezdeti feltételekre, ha van olyan δ > 0, hogy minden x J minden U környezetére létezik y U és n 0, hogy f n (x) f n (y) > δ. Ez azt jelenti, hogy bármely két (bármilyen közeli) kezdőállapotból indítjuk is el az f leképezés iterálását, a két pont képe az idő múlásával messze kerül egymástól. 26. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f leképezés topologikusan keveredő, ha minden U, V J nyílt halmazra létezik egy N > 0 küszöbszám, hogy minden n > N-re f n (U) V. Ez azt jelenti, hogy bármely J -beli nyílt halmaz képe egy idő után belemetsz egy másik nyílt halmazba, bárhogyan is választottuk meg ezeket a halmazokat, azaz a két halmaz összekeveredik. Ezek után kimondhatjuk az első káosz definícióinkat. 27. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f leképezés kaotikus, ha 1. f érzékeny a kezdeti feltételekre, 2. f topologikusan keveredő, és 3. f periodikus pontjai sűrűn vannak J -ben. 19

R.L. Devaney definíciója a második olyan káosz definíció, amit széles körben használnak. Ez csupán annyiban különbözik az előzőtől, hogy a 2. pontban nem f topologikus keveredését, hanem f topologikus tranzitivitását szabja feltételül, azaz, hogy van olyan q J pont, hogy q pályája sűrű J -ben. A harmadik bemutatni kívánt káosz definíció a kezdeti feltételektől való érzékeny függést használja a káosz meghatározására. Az érzékeny függés mértékét az úgynevezett Ljapunov-számmal, és az ebből származtatott Ljapunov-exponenssel adja meg. Mivel a p pont körül a távolodás mértékét f (p) adja meg, ezért n = 1 dimenzióban a következőket mondjuk: 28. Definíció. Legyen f : R R diffeomorfizmus. Ekkor egy p R ponthoz tartozó Ljapunov-szám: L(p) = lim n ( f (p) f (f(p)) f (f n 1 (p)) ) 1 n. A p-hez tartozó Ljapunov-exponens l(p) = ln L(p), azaz: 1 l(p) = lim n n [ln f (p) + ln f (f(p)) + + ln f (f n 1 (p)) ]. 29. Definíció. Egy p J pont aszimptotikusan periodikus, ha létezik olyan q periodikus pont, melyre lim n ϕ(n, p) ϕ(n, q) = 0. 30. Definíció. Legyen f : R R diffeomorfizmus. Egy p R pont pályáját kaotikusnak nevezzük, ha 1. korlátos, 2. nem aszimptotikusan periodikus, és 3. l(p) > 0. Fontos megjegyezni, hogy ez utóbbi káosz definíció az első kettővel ellentétben nem az f leképezésről, hanem a p pont pályájáról fogalmaz meg kaotikusságot. Most nézzük meg, hogy a differenciálegyenletek körében mikor fedezhetünk fel káoszt. 31. Definíció. A q E R n pont a p E pont ω-határpontja, illetve α-határpontja, ha létezik olyan t n +, illetve t n sorozat, melyre lim ϕ(t n, p) = q, illetve lim ϕ(t n, p) = q. n + n 20

32. Definíció. A p pont összes ω-határpontjának, illetve összes α-határpontjának halmazát ω-határhalmaznak, illetve α-határhalmaznak nevezzük, és ω(p)-vel, illetve α(p)-vel jelöljük. Megjegyezzük, hogy egy Γ pálya minden pontjának ugyanaz az ω- illetve α- határhalmaza. 15. Tétel (Az általánosított Poincaré Bendixson-tétel). Legyen E R n tartomány, K E pozitívan invariáns kompakt halmaz, melyben véges sok egyensúlyi pont van. Ekkor egy p K pont ω-határhalmaza 1. vagy egyensúlyi pont, 2. vagy periodikus pálya, 3. vagy a p 1,..., p n egyensúlyi pontok és olyan Γ pályák uniója, melyekre ω(γ) = p i, és α(γ) = p j. Ebből arra a fontos következtetésre jutunk, hogy káosz csak legalább háromdimenziós differenciálegyenlet-rendszerek esetében állhat fenn. Ugyanis egy dimenzióban a korlátos pályák mindenképpen egy aszimptotikusan stabil egyensúlyi ponthoz tartanak. Két dimenzióban a korlátos pályák tarthatnak egy periodikus pályához is. Három, és annál magasabb dimenziók esetén előfordulhat azonban ennél sokkal bonyolultabb, azaz kaotikus aszimptotikus viselkedés is. Összességében tehát elmondható, hogy a káosz a szó hétköznapi jelentésével ellentétben nem valamiféle kusza átláthatatlanságot, hanem sokkal inkább egy jól meghatározott, leírható viselkedésformát jelent. 21

2.3. A bifurkációelmélet elemei A dinamikai rendszerek elméletében a bifurkációelmélet azt a jelenséget vizsgálja, amikor a paraméterek kismértékű változása az egyenlet megoldásában kvalitatív változásokat okoz. E vizsgálat során a strukturális stabilitás az egyik legfontosabb definíciónk lesz. Az elmélet alapjait J.V. Andropov és L.S. Pontryagin fektette le 1937-ben. Az ő munkájuk azonban csak kétdimenziós, síkbeli eredményeket hozott. Magasabb (n 3) dimenziókra azonban sajnos nincs sok elérhető befejezett eredmény. Ennek ellenére szükségét érezzük, hogy betekintést nyerjünk a bifurkációelmélet legfontosabb témaköreibe. Ebben a részben olyan rendszerekkel fogunk foglalkozni, ahol az f függvény nemcsak x-től, hanem egy µ valós paramétertől is függni fog, azaz 33. Definíció. Ha f C 1 (E), akkor f C 1 -normája f 1 = sup x E ẋ = f(x, µ). (2.1) f(x) + sup f (x), x E ahol jelöli az Euklideszi normát R n -en, és az f (x) mátrix szokásos maximumnormáját. 34. Definíció. Ha K kompakt részhalmaza E-nek, akkor a C 1 -norma K-n f 1 = max f(x) + max f (x) <. x K x K 35. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f függvény strukturálisan stabil, ha létezik olyan ε > 0, hogy minden olyan g C 1 (E)-re, amelyre f g 1 < ε, f és g topologikusan ekvivalensek egymással az E halmazon, azaz létezik egy olyan H : E E irányítástartó homeomorfizmus az origón keresztül, ami az ẋ = f(x) pályáit az pályáira képezi. ẋ = g(x) (2.2) Ha egy f C 1 (E) függvény nem strukturálisan stabil, akkor f-re azt mondjuk, hogy strukturálisan instabil. Ha K kompakt részhalmaza E-nek, f C 1 (E), és a K feletti C 1 -norma definícióját használjuk, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény strukturálisan stabil a K halmazon. 22

16. Tétel. Legyen f C 1 (E), ahol E tartalmazza az (1.2) egyenlet egy x 0 hiperbolikus egyensúlyi pontját. Ekkor minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, hogy minden olyan g C 1 (E)-re, melyre f g 1 < δ, létezik egy y 0 az x 0 ε sugarú környezetében, hogy y 0 hiperbolikus egyensúlyi pontja (2.2)-nek. Ez azt jelenti, hogy az f (x 0 ) és a g (y 0 ) mátrixnak ugyanannyi negatív (és pozitív) valós részű sajátértéke van. 36. Definíció. Legyen f C 1 (E), ahol E tartalmazza az (1.2) egyenlet egy Γ hiperbolikus periodikus pályáját. Ekkor minden ε > 0-hoz létezik egy δ > 0, hogy minden olyan g C 1 (E)-re, melyre f g 1 < δ, létezik egy hiperbolikus periodikus pályája (2.2)-nek Γ ε sugarú környezetében. Egy másik nagyon fontos eredmény n-dimenziós rendszerekre, hogy bármely ẋ = Ax lineáris rendszer, ahol az A mátrixnak nincs nulla valós részű sajátértéke, strukturálisan stabil R n -ben. 37. Definíció. Azt a µ 0 értéket, melyre az f(x, µ 0 ) függvény nem strukturálisan stabil (vagyis nincs stabil pályaszerkezete), bifurkációs értéknek nevezzük. Bifurkációk a nem hiperbolikus egyensúlyi pontoknál A (2.1) rendszer megoldásának kvalitatív viselkedése függ a µ R paramétertől. A µ paraméter bifurkációs értékénél az egyensúlyi pont nem hiperbolikus, vagyis x f(x 0, µ 0 ) = 0. Ez az x 0 egyensúlyi pont struktúrájának megváltozására utal. A továbbiakban feltesszük, hogy f C 1 (E I), ahol E az R n egy nyílt részhalmaza, I R pedig egy intervallum. A bifurkációk három legegyszerűbb típusa a (2.1) rendszer nem hiperbolikus egyensúlyi pontjainál fordul elő, amikor x, µ R. A nyereg-csomó bifurkáció. Tekintsük az ẋ = µ x 2 egydimenziós rendszert. Ennek µ > 0 esetén két egyensúlyi pontja van az x = ± µ-ben. Ekkor láthatjuk, hogy az x = µ egyensúlyi pont stabil, míg az x = µ instabil. Ha µ = 0, akkor a rendszernek csak az x = 0 pontban van egy nem hiperbolikus egyensúlyi pontja. Ekkor a rendszer strukturálisan instabil, és a µ = 0 bifurkációs érték. µ < 0 esetén a rendszerben nincs egyensúlyi pont. A fázisképeket µ különböző értékeire, és a bifurkációs diagramot az alábbi, (2.3)-as ábrán láthatjuk. 23

(a) µ < 0 (b) µ = 0 (c) µ > 0 (d) Nyereg-csomó bifurkáció 2.3. ábra. Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: nyereg-csomó bifurkáció A transzkritikus bifurkáció. Most az ẋ = µx x 2 egydimenziós rendszert vizsgáljuk. Ennek az x = 0 és az x = µ pontokban lesz egyensúlyi pontja, ugyanis µx x 2 = 0 x(µ x) = 0 = x = 0 vagy x = µ. Ha µ = 0, akkor a rendszernek csak egy egyensúlyi pontja van, és ez nem hiperbolikus. Ekkor a rendszer strukturálisan instabil, és a µ = 0 bifurkációs érték. A fázisképeket µ különböző értékeire, és a bifurkációs diagramot a (2.4)-es ábrán láthatjuk. A vasvilla bifurkáció. Ebben az esetben az ẋ = µx x 3 egyenletet vizsgáljuk. Ennek egyensúlyi pontjai µ > 0 esetén az x = 0, illetve az x = ± µ pontokban vannak. µ 0 esetén az egyetlen egyensúlyi pont az x = 0. Ekkor ez nem hiperbolikus, a rendszer strukturálisan instabil, a µ = 0 pedig bifurkációs érték. (2.5)-ös ábra. 24

(a) µ < 0 (b) µ = 0 (c) µ > 0 (d) Transzkritikus bifurkáció 2.4. ábra. Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: transzkritikus bifurkáció (a) µ 0 (b) µ > 0 (c) Vasvilla bifurkáció 2.5. ábra. Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: vasvilla bifurkáció 25

A Hopf bifurkáció Ebben a részben a bifurkációknak azzal az esetével ismerkedünk meg, amikor a x f(x 0, µ 0 ) mátrixnak egy tisztán képzetes sajátérték párja van (hiszen, ha a + bi sajátérték, akkor a bi is az), és nincs más 0 valós részű sajátértéke. Ebben az esetben az implicitfüggvény-tétel garantálja számunkra, hogy minden µ-re a µ 0 egy környezetéből egyértelműen létezik egy x µ egyensúlyi pont az x 0 egy környezetében. Ha a x f(x µ, µ) mátrix sajátértékei a µ = µ 0 értéknél keresztezik a képzetes tengelyt, akkor a (2.1) rendszer lokális fázisképe megváltozik, ahogy a µ paraméter átmegy a µ 0 bifurkációs értéken. Általában a Hopf bifurkáció ott jelenik meg, ahol egy periodikus pálya keletkezik, amikor az x µ egyensúlyi pont stabilitása megváltozik. Ezt a következő kétdimenziós rendszeren mutatjuk be: ẋ = y + x(µ x 2 y 2 ) (2.3) ẏ = x + y(µ x 2 y 2 ) A fáziskép szerkezeti változásai láthatóvá válnak, ha felírjuk az egyenleteket polárkoordinátás alakban: ṙ = r(µ r 2 ) (2.4) ϑ = 1 A rendszer egyetlen egyensúlyi pontja az origó. Láthatjuk, hogy µ 0-ra az origó stabil fókusz, µ > 0-ra pedig instabil fókusz, és létrejön egy stabil határciklus. (a) µ 0 (b) µ > 0 (c) A Hopf bifurkáció 2.6. ábra. Egyensúlyi pontok és a bifurkációs diagram: Hopf bifurkáció 26

3. fejezet A Lorenz-rendszer Ebben a fejezetben Edward N. Lorenz amerikai matematikus és meteorológus [1] cikkében publikált egyenleteivel fogunk foglalkozni. Lorenz eredetileg nem káoszelmélettel foglalkozott, hanem időjárás előrejelzéssel. Egy alkalommal egy korábbi számításának részeredményeit töltötte be számítógépébe három tizedes jegy pontossággal, a számítógép azonban a számokat hat tizedes jegy pontossággal ábrázolta. A tudós meglepődve tapasztalta, hogy az így kapott eredmények egyre nagyobb mértékben térnek el a korábban kiszámoltaktól. Világossá vált számára, hogy nem számítógépe hibájából, hanem a bevitelkor ejtett hibából adódtak az egyre nagyobb eltérések. Mivel az akkori szemléletmód szerint ilyen kisméretű hiba nem okozhatott volna ekkora eltérést, foglalkozni kezdett a problémával. Felfedezte, hogy egyenletei bizonyos paraméterértékek esetén érzékenyek a kezdeti feltételekre. Az általa használt időjárásmodell kaotikusságát csak jóval később, 1998-ban sikerült bebizonyítani. Most mi is megvizsgáljuk ezeket az egyenleteket, az egyensúlyi pontjait és azok stabilitását, majd a rendszer globális viselkedését. A vizsgálat során gyakran numerikus számításokra fogunk támaszkodni. Lorenz egyenletei, amiket a légkör modellezésére használt, és amelyekben a σ, ϱ és β számok pozitív állandók, a következők: ẋ = σx + σy (3.1a) ẏ = ϱx y xz (3.1b) ż = xy βz. (3.1c) 27

σx + σy Legyen f : R 3 R 3, u = [x, y, z], f(u) = ϱx y xz. xy βz Ezekkel a jelölésekkel a (3.1) egyenletrendszer felírható a következőképpen: u = f(u). 3.1. Egyensúlyi pontok és stabilitásuk A p R 3 pont egyensúlyi pontja f-nek, ha f(p) = 0. Ez azt jelenti, hogy teljesül az alábbi egyenletrendszer. σx + σy = 0 (3.2a) ϱx y xz = 0 (3.2b) xy βz = 0 (3.2c) Ekkor (3.2a)-ból következik, hogy x = y. Ezt figyelembe véve (3.2b)-ből következik, hogy vagy x = 0, vagy ϱ z 1 = 0. Az x = 0 azt jelenti, hogy y = 0. Ezekből, és (3.2c)-ből következik, hogy z = 0. Tehát biztosak lehetünk benne, hogy az egyik egyensúlyi pont az origó. Ha x 0, akkor ϱ z 1 = 0-ból következik, hogy z = ϱ 1, és (3.2c)-ből következik, hogy x = y = ± β(ϱ 1), azaz két új egyensúlyi pontot kapunk a [± β(ϱ 1), ± β(ϱ 1), ϱ 1] pontokban. Nevezzük ezeket C 1 -nek és C 2 -nek. Megjegyezzük, hogy ez utóbbi egyensúlyi pontok ϱ = 1 esetén az origót adják, ϱ < 1 esetén pedig ± β(ϱ 1) / R. Az egyensúlyi pontok stabilitását az adott pontban végrehajtott linearizálással vizsgálhatjuk meg. Fejtsük sorba f-et az egyensúlyi pont körül: u(t) = f(u(t)) = f(p) + f (p)(u(t) p) +.... Legyen y(t) = u(t) p. Ekkor ẏ(t) = u(t) = f(p) + f (p) y(t) +.... Mivel f(p) = 0, f (p) = A R 3 3, a magasabb rendű deriváltak pedig a Hartman Grobman-tétel következményeképpen elhanyagolhatók, ezért az egyensúlyi pontokban: ẏ = Ay. A linearizálással kapott mátrixok a következők: σ σ 0 f (p) = A = ϱ z 1 x y x β 28

σ σ 0 Az origóban: O = ϱ 1 0, 0 0 β empty line σ σ 0 a C 1 pontban: P = 1 1 β(ϱ 1), β(ϱ 1) β(ϱ 1) β empty line σ σ 0 a C 2 pontban: M = 1 1 β(ϱ 1) β(ϱ 1). β(ϱ 1) β empty line A sajátértékekre kapott karakterisztikus egyenletek az origóban illetve a C 1 és C 2 pontokban (ezek azonosak): k(λ 1 ) = λ 3 1 + λ 2 1(β + σ + 1) + λ 1 (σ(1 + β ϱ) + β) + βσ(1 ϱ) = 0, (3.3) k(λ 2 ) = λ 3 2 + λ 2 2(β + σ + 1) + λ 2 (β(σ + ϱ)) + 2σβ(ϱ 1) = 0. (3.4) Az egyensúlyi pontok stabilitásához tudnunk kell, hogy a k(λ) = 0 egyenletek minden megoldása negatív valós részű-e. Erre ad választ a Routh Hurwitz-feltétel leellenőrzése. Az origó stabilitása A Routh Hurwitz-feltétel ellenőrzéséhez el kell készítenünk a következő mátrixot, amely a (3.3) egyenlet együtthatóiból adódik: β + σ + 1 1 0 βσ(1 ϱ) σ(1 + β ϱ) + β β + σ + 1. 0 0 βσ(1 ϱ) A feltétel kimondja, hogy a k(λ 1 ) = 0 egyenlet minden gyökének valós része negatív, ha az előbbi mátrix minden i aldeterminánsa pozitív. 1 nyilvánvalóan pozitív, 2 = (β + σ + 1)(σ(1 + β ϱ) + β) βσ(1 ϱ), 3 = βσ(1 ϱ) 2. Ebből látszik, hogy a stabilitás 2 > 0 és ϱ < 1 esetén állhat fenn. Ha ϱ < 1, akkor mind 2, mind 3 pozitív előjelű lesz. Tehát a (3.1) egyenletrendszer ϱ < 1 esetén az origóban aszimptotikusan stabil, minden egyéb esetben instabil lesz. 29

A C 1 és C 2 pontok stabilitása Ebben az esetben a Routh Hurwitz-feltételből kapott mátrix a következő: β + σ + 1 1 0 2βσ(ϱ 1) β(σ + ϱ) β + σ + 1. 0 0 2βσ(ϱ 1) Ez a mátrix pontosan akkor pozitív definit, ha 1, 2, és 3 is pozitív. Láthatjuk, hogy 1 pozitív, 2 = β(β +σ+1)(σ+ϱ) 2βσ(ϱ 1), 3 = 2βσ(ϱ 1) 2. Látható, hogy a stabilitás csak 2 > 0 és ϱ > 1 esetén állhat fenn. Mivel az aszimptotikus stabilitással kapcsolatos állítás oda-vissza működik, tegyük fel, hogy 2 ϱ > 1. Ekkor azt kapjuk, hogy (β + σ + 1)(σ + ϱ) > 2σ(ϱ 1) σ(σ + β + 3) > ϱ(σ β 1) ϱ H = σ σ + β + 3 σ β 1 > ϱ, ha (σ β 1) > 0. > 0 és Ebből az következik, hogy ha 1 < ϱ < ϱ H, akkor a C 1 és C 2 pontok aszimptotikusan stabilak. Ha ϱ > ϱ H, akkor a 2 aldetermináns negatívvá válik. Ekkor a Jacobi-mátrixnak két pozitív valós részű sajátértéke van, ami azt jelenti, hogy az egyensúlyi pont instabil. 3.2. A rendszer globális viselkedése A globális viselkedés egyszerűen meghatározható a V 1 (p, q, r) = ϱp 2 + σq 2 + σr 2 Ljapunov-függvény segítségével a ϱ 1 paraméterértékre. Ugyanis L f V 1 (p, q, r) = V 1, f (p, q, r) = 2σ[(ϱp q) 2 +p 2 ϱ(1 ϱ)+βr 2 ], ami kisebb, mint 0 az origón kívül minden pontban, ha ϱ < 1. Ljapunov stabilitási tétele alapján tehát azt mondhatjuk, hogy az origó ϱ < 1 esetén aszimptotikusan stabil. Ha ϱ = 1, akkor a {(p, q, r) R 3 : p = q, r = 0} egyenes mentén L f V 1 (p, q, r) = 0, és ez az egyenes nem tartalmaz az origón kívül egyetlen pályát sem, ezért az aszimptotikus stabilitást Barbasin Kraszovszkij tétele alapján mondhatjuk ki. 30

Globális viselkedés a ϱ > 1 paraméterérték esetén Láthattuk, hogy a Lorenz-rendszer egyensúlyi pontjait, azok stabilitását, és a globális viselkedést is a ϱ paraméter tudja csak érdemben befolyásolni. Ezért a továbbiakban a σ paraméter értékét 10-ben, a β paraméter értékét 8/3-ban lerögzítjük. Ha ϱ > 1, akkor a rendszer állapotait numerikus módszerek segítségével vizsgáljuk. A ϱ < ϱ H paraméterérték. Mint azt már korábban láthattuk, ilyenkor a C 1 és C 2 egyensúlyi pontok stabilak, a rendszer pályái az egyensúlyi pontokhoz tartanak. A ϱ H érték σ = 10 és β = 8/3 esetén 470/19 24, 7368421052. (a) ϱ = 8 (b) ϱ = 16 3.1. ábra. A C 1 és C 2 egyensúlyi pontok és pályák ϱ különböző értékeire A ϱ > ϱ H paraméterérték. Szintén korábbról tudjuk, hogy ekkor a C 1 és a C 2 egyensúlyi pont is instabil. (a) ϱ = 25 (b) ϱ = 30 3.2. ábra. A C 1 és C 2 egyensúlyi pontok és pályák ϱ különböző értékeire 31

Káosz a klasszikus ϱ = 28 paraméterértékre. Az alábbi sorozatábrán láthatjuk, hogy egy az egyensúlyi pont közeléből indított pont pályája az időben hogyan építi fel a kaotikus halmazt. (a) t = 1 (b) t = 2 (c) t = 3 (d) t = 5 (e) t = 8 (f) t = 10 (g) t = 13 (h) t = 16 (i) t = 25 3.3. ábra. A káosz kialakulása: ϱ = 28 32

Periodikus pályák, a perióduskettőződés. A periodikus pályák különböző fajtájúak lehetnek. Létezik szimmetrikus és aszimmetrikus, és ezek csak ϱ igen magas, jellemzően 100 fölötti értékeire figyelhetők meg jól. 3.4. ábra. Egy szimmetrikus periodikus pálya 3.5. ábra. Aszimmetrikus periódus és kettőződése 33

4. fejezet A Rössler-rendszer A Rössler-rendszer az egyik legegyszerűbb nemlineáris differenciálegyenlet-rendszer, amely bizonyos paraméterértékekre kaotikus viselkedést mutat. Otto Rössler a róla elnevezett egyenletrendszert 1976-ban mesterséges módon tervezte meg, ám a későbbiekben kémiai reakciók modellezésében bizonyult hasznosnak. A modell nagyon sok hasonlóságot mutat a Lorenz-rendszerrel, ám attraktorának szerkezete és a rendszer elemzése is egyszerűbb. Rössler egyenletrendszere, amelyben az a, b és c paraméterek pozitív állandók, a következő: ẋ = y z (4.1a) ẏ = x + ay (4.1b) ż = z(x c) + b. (4.1c) y z Legyen f : R 3 R 3, u = [x, y, z], f(u) = x + ay. Így a (4.1) egyenletrendszer felírható u = f(u) z(x c) + b alakban. 4.1. Egyensúlyi pontok és stabilitásuk A p R 3 pont egyensúlyi pontja f-nek, ha f(p) = 0. Ez azt jelenti, hogy teljesül az alábbi egyenletrendszer. 34

y z = 0 (4.2a) x + ay = 0 (4.2b) z(x c) + b = 0. (4.2c) Ekkor (4.2a)-ból következik, hogy y = z, amit (4.2b)-be helyettesítve adódik, hogy x = az, amit (4.2c)-be helyettesítünk. Így adódik z-re, hogy z = c± c 2 4ab 2a. Ebből és a következtetésekből két egyensúlyi pont adódik: ( P c+ ) c 2 4ab 1, c+ c 2 4ab, c+ c 2 4ab 2 2a 2a ) ( P c c 2 4ab 2, c c 2 4ab 2 2a, c c 2 4ab 2a Az egyensúlyi pontok stabilitását az adott pontban végrehajtott linearizációval vizsgálhatjuk meg. Fejtsük sorba f-et az egyensúlyi pont körül. u(t) = f(u(t)) = f(p) + f (p)(u(t) p) +... Legyen y(t) = u(t) p. Mivel f(p) = 0, f (p) = A R 3 3, a magasabb rendű deriváltak pedig a Hartman Grobman-tétel miatt elhagyhatók, az egyensúlyi pontokban ẏ = Ay. Az A = f (u) mátrix az egyensúlyi pontban: 0 1 1 1 a 0. z 0 x c Ennek karakterisztikus polinomja: 0 λ 1 1 k(λ) = 1 a λ 0 = z 0 x c λ = λ 3 + λ 2 (c a x) + λ(ax ac + z + 1) + c 2x. Tudjuk, hogy az egyensúlyi pont stabil, ha a k(λ) = 0 egyenlet gyökeinek valós részei mind negatívak. Ennek eldöntésében van segítségünkre a Lorenz-rendszer vizsgálatához hasonlóan a Routh Hurwitz-kritérium, mely szerint, ha az alábbi mátrix minden i aldeterminánsa pozitív, akkor a k(λ) = 0 egyenlet gyökeinek valós részei mind negatívak, azaz az egyensúlyi pontok stabilak. 35

A kritériumban megfogalmazott mátrix a következő: c a x 1 0 c 2x ax ac + z + 1 c a x. 0 0 c 2x Ennek aldeterminánsai: 1 = c a x 2 = (c a x)(ax ac + z + 1) (c 2x) 3 = (c 2x) 2. Ezek pozitivitását leellenőrizni nem tudjuk, ezért az a és b paraméter értékét lerögzítjük 0, 2-ben (mivel az úgynevezett kontrollparaméter a c), és i -t c függvényében vizsgáljuk úgy, hogy az x = az következtetésből z-t x/a-val helyettesítjük, x-et pedig c± c 2 4ab 2 -vel. Így a vizsgálandó függvények a P 1 pont esetén: 1 (c) = 0, 5c 0, 2 0, 5 c 2 0, 16, 2 (c) = (0, 5c 0, 2 0, 5 c 2 0, 16)(2, 4c + 2, 6 c 2 0, 16 + 1) + c 2 0, 16, 3 (c) = ((0, 5c 0, 2 0, 5 c 2 0, 16)(2, 4c + 2, 6 c 2 0, 16 + 1) + + c 2 0, 16) c 2 0, 16. (a) 1 (c) (b) 2 (c) (c) 3 (c) 4.1. ábra. Aldeterminánsok a P 1 egyensúlyi pont esetén a c paraméter függvényében A függvénygrafikonokról jól látszik, hogy 1 és 3 értéke minden c-re negatív értéket vesz fel, ha a kifejezés értelmes, ugyanakkor 2 mindig pozitív az értelmezési tartományon. Ebből a stabilitási tételek értelmében az következik, hogy a P 1 pont mindig instabil. 36

A P 2 pont esetén az aldeterminánsokból származó függvények a következők: 1 (c) = 0, 5c 0, 2 + 0, 5 c 2 0, 16, 2 (c) = (0, 5c 0, 2 + 0, 5 c 2 0, 16)(2, 4c 2, 6 c 2 0, 16 + 1) c 2 0, 16, 3 (c) = ((0, 5c 0, 2 + 0, 5 c 2 0, 16)(2, 4c 2, 6 c 2 0, 16 + 1) c 2 0, 16) c 2 0, 16. (a) 1 (c) (b) 2 (c) (c) 3 (c) 4.2. ábra. Aldeterminánsok a P 2 egyensúlyi pont esetén a c paraméter függvényében A függvénygrafikonokból ebben az esetben az látható, hogy 1 értéke minden c- re pozitív lesz (ahol értelmes), míg 2 és 3 értéke mindig negatív. Ezért a stabilitási tételek értelmében a P 2 pont szintén instabil minden c értékre. A Rössler-rendszernek tehát csak instabil egyensúlyi pontjai vannak, ha a = b = 0, 2. 4.2. A rendszer globális viselkedése A Lorenz-rendszerrel ellentétben a Rössler-féle differenciálegyenletekhez nem tudunk Ljapunov-függvényt biztosítani. A globális viselkedés vizsgálata ezért ebben az esetben kizárólag numerikus módszerekkel történik. A rendszer egyensúlyi pontjainak vizsgálatakor Rössler eredeti ötletének és a szokásnak megfelelően már lerögzítettük az a és b paramétereket 0, 2-ben. Azt, hogy ennél a rendszernél is a harmadik (c) paraméter változtatása alakítja meghatározó módon a pályák viselkedését, csak a most következő vizsgálatok alkalmával fogjuk látni. Korábban már láttuk, hogy mindkét egyensúlyi pont instabil. Most megfigyelhetjük egy-egy az egyensúlyi pontok közeléből indított pont pályáját is, majd azt, hogy a c paraméter változtatásával felváltva kapunk periodikus és kaotikus pályarajzokat. 37

(a) P 1 (b) P 2 (c) c=4, periódus: 1 (d) c=6, periódus: 2 (e) c=8,5, periódus: 4 (f) c=8,7, periódus: 8 (g) c=9, káosz (h) c=12, periódus: 3 (i) c=12,6, periódus: 6 (j) c=13, káosz (k) c=18, káosz 4.3. ábra. A Rössler-rendszer egyensúlyi pontjai, periodikus pályái és a káosz 38