Egy szubszonikus áramlási feladat numerikus megoldása

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Egy szubszonikus áramlási feladat numerikus megoldása MSc szakdolgozat Írta: Egyed Boglárka Alkalmazott matematikus MSc, Alkalmazott analízis szakirány Témavezet k: Karátson János, egyetemi docens Horváth Tamás, tudományos segédmunkatárs Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. A vizsgált áramlási feladat 3 2.1. Fizikai háttér............................... 3 2.2. Megoldhatóság.............................. 7 3. Alkalmazott módszerek 11 3.1. A Ritz-Galjorkin-módszer........................ 11 3.1.1. A módszer alkalmazása a vizsgált feladatra........... 13 3.2. A csillapított Newton-iteráció...................... 14 3.2.1. A módszer alkalmazása a vizsgált feladatra........... 16 3.3. A végeselem-módszer........................... 18 4. Megvalósítás 21 4.1. A segédfeladat végeselemes diszkretizációja............... 21 4.1.1. An lineáris leképezés...................... 23 4.1.2. A globális mátrix felépítése................... 25 4.1.3. Az egyenletrendszer jobb oldala................. 27 4.2. Az iteráció megvalósítása......................... 28 4.3. A paraméterértékek megválasztása................... 32 5. Eredmények 34 5.1. Futtatás szubszonikus feltételek mellett................. 35 5.2. Futtatás a ṽ paraméterérték növelésével................ 38 Irodalomjegyzék 44 i

1. fejezet Bevezetés A gyakorlati életben természetes módon adódik az igény konkrét zikai, mérnöki feladatok és modellproblémák matematikai módszerekkel történ megoldására. Ha az analitikus megoldás nem ismert, a megoldást numerikus módon próbáljuk közelíteni. Jelen dolgozatban az O. Axelsson és J. Maubach Updating and assembly of the Hessian matrix in FEM [1] cím cikkében ismertetett konkrét repül mérnöki modellt tekintjük, amely egy, a repül gépszárnyak felett kialakuló szélcsatornában írja le az áramlási folyamatokat szubszonikus, azaz hangsebesség alatti repülési sebesség esetén. Célom az volt, hogy a feladat megértését l és zikai hátterének feldolgozásától kezd d en bemutassam, hogyan építhet fel a megoldási folyamat egy konkrét gyakorlati problémára. A f bb lépések közé tartozik a megoldhatóság vizsgálata, a megfelel megoldó módszerek kiválasztása és alkalmazása, ezek megvalósítása - például egy számítógépes program keretében -, végül a kapott eredmények kiértékelése és ellen rzése. Ennek mintájára els ként az áramlási feladat vizsgálata során felmerül zikai fogalmakat ismertetem, majd kitérek az áramlást leíró parciális dierenciálegyenlet megoldhatóságának kérdésére. A kövektez fejezetben a megoldás során felhasznált módszereket mutatom be, illetve alkalmazom a vizsgált feladatra. Els ként a Ritz-Galjorkin-módszerr l ejtek szót, amellyel a megoldhatósági vizsgálat során nyert operátoregyenlet diszkretizá- 1

2 ciója végezhet el, ezt azonban csak elméletben hajtjuk végre, a megvalósítás során erre ténylegesen nem kerül sor. A következ módszer az úgynevezett csillapított Newton-iteráció, amelyet a vizsgált egyenlet nemlinearitása végett kell alkalmaznunk. Látni fogjuk, hogy az iterációs módszer alkalmazásával a feladat visszavezethet egy lineáris segédfeladat iterációnkénti megoldására, amelynek diszkretizációját és megoldását a közismert végeselem-módszer segítségével hajtjuk végre, a fejezet utolsó szakaszában ennek algoritmusát ismertetem. A negyedik fejezetben a módszerek megvalósításának menetét vázolom a diszkretizációtól kezd d en az egyenletben szerepl paraméterek értékének megválasztásáig. Az el feldolgozást, azaz a tartomány rácshálóval való borítását a HyperMesh szoftver segítségével hajtottam végre, az alkalmazott módszereket pedig MATLAB programnyelven valósítottam meg, amelynek eredményeképpen létrejött egy komplex, több alprogramot is magában foglaló alkalmazás, amely a vizsgált feladatot tetsz leges peremfeltételek esetén megoldja. Végül, az utolsó fejezetben néhány konkrét példa kiragadásával szemléltetem a különböz futtatási feltételek mellett kapott eredményeket, amelyek alapján elmondható, hogy a megírt program jól m ködik, a valóságban tapasztalt meggyelésekhez közeli eredményeket képes produkálni.

2. fejezet A vizsgált áramlási feladat 2.1. Fizikai háttér Tekintsük a következ nemlineáris parciális dierenciálegyenletet, amely egy szubszonikus áramlási folyamatot modellez adott R 2 tartományon [1], és ahol Γ jelöli a tartomány peremét, Γ i (i = 1,..., 4) pedig annak egyes részeit: (ρ( u 2 ) u) = 0 ρ( u 2 ) u n = 0 ρ( u 2 ) u n = ṽ u = v x az tartományon a Γ 1,3 peremen a Γ 2 peremen a Γ 4 peremen, (2.1) ahol ρ( u 2 ) := ρ ( 1 1 5 ( u 2 M 2 ) ) 5/2, (2.2) továbbá Γ N := 3 i=1γ i, illetve Γ := Γ 4 a perem Neumann-, valamint irichletfeltétellel ellátott részei. Itt az x := (x, y) jelöléssel u = u(x, y) a sebességi potenciál, u = u x u y a sebességvektor, u 2 pedig a sebesség nagyságának négyzete. Az R 2 tartomány, amelyen az egyenletet tekintjük, egy, a repül gépek szárnya felett kialakuló szélcsatorna kétdimenziós modellje. 3

2.1. FIZIKAI HÁTTÉR 4 2.1. ábra. A repül gépszárny felett kialakuló szélcsatorna modellje A szélcsatorna geometriáját a következ ábra szemlélteti, a tengelyek beosztása mm-ben adott, ezt gyelembe kell majd vennünk a számítások végzése során is: 2.2. ábra. A szélcsatorna geometriája A potenciál az a skaláris függvény, amelynek gradienseként az áramlási sebesség el áll. Potenciálos áramlásról akkor beszélünk, ha rot(u) = 0, azaz az áramlás örvénymentes [6], ez esetben ugyanis létezik sebességi potenciál. Az egyenletekben ρ jelöli az áramló közeg s r ségét, az alsó indexbeli " " pedig a zavartalan, tehát például a beérkez áramlás jellemz ivel számított értékre utal. Mivel most repül gépszárny feletti áramlásról lesz szó, az áramló közeg a leveg, ennek s r sége: ρ = 1, 225 kg m 3.

2.1. FIZIKAI HÁTTÉR 5 Egy, az egyenletekben szerepl másik fontos paraméter az M, amely a Machszámot jelöli, szintén zavartalan körülmények között. A Mach-szám egy arányszám [11], amely egy objektum sebessége vagy egy áramlási sebesség és a helyi hangsebesség hányadosaként kapható meg, azaz ahol c jelöli a hangsebességet. M = v objektum, c A Mach-számot alkalmazzák egyrészt valamilyen közegben haladó nagy sebesség objektumok jellemzésére, másrészt nagy sebesség közegeknek csatornákban, fúvókákban történ áramlása során. Mivel két sebesség hányadosaként diniáljuk, a Mach-szám dimenzió nélküli mennyiség. A Mach-szám képletében szerepl fontos tényez a hangsebesség [11], amelyr l külön szót kell ejtenünk. A hangsebesség fontos jellemz je, hogy függ a közegt l, amelyben a hanghullámok terjednek, mi a feladat jellegéb l adódóan a leveg beli sebességet fogjuk tekinteni. A hangsebesség értéke függ a légköri tényez kt l, legnagyobb mértékben a h mérséklett l, kisebb százalékban a páratartalomtól, valamint a légnyomástól is. Nagyobb tengerszint feletti magasságban a hang lassabban terjed, els sorban a h mérséklet változása miatt. A hangsebesség értéke az alábbi képlettel számolható: c = κrt, (2.3) ahol κ az adiabatikus kitev [11], vagyis az állandó nyomáson és az állandó térfogaton mért fajh hányadosa, egy mértékegység nélküli mennyiség, értéke 1,4, R az egyetemes gázállandó [11], értéke 287 J, kg K T a leveg abszolút h mérséklete [11], amely a Celsius-skálán mért t h mérsékletb l a T = t + 273, 16K összefüggés alapján számítható ki. A (2.3) képlet alapján számított hangsebesség mértékegysége J kg K K = kg m2 s 2 kg = m s

2.1. FIZIKAI HÁTTÉR 6 lesz. Az M paraméter értéke tehát könnyen kiszámolható a közegben haladó objektum - esetünkben a repül gép - sebességének és a c zavartalan hangsebességnek a hányadosaként. A Mach-szám fontos tényez az (2.1) feladat tekintetében, mert nagyban befolyásolja az abban szerepl egyenlet típusát. Azt mondjuk, hogy az áramlás a Mach-szám függvényében szubszonikus, ha M < 1; szonikus, ha M = 1; transzszonikus, ha 0, 8 < M < 1, 2; szuperszonikus, ha 1, 2 < M < 5; hiperszonikus, ha 5 < M. Itt az intervallumok tekintetében léteznek átfedések, amely annak köszönhet, hogy egy áramlási folyamat során a Mach-szám értéke lokálisan változhat. Transzszonikus sebességeknél egy objektum körüli áramlás tartalmazhat szub- és szuperszonikus területeket is, maga a transzszonikus áramlás már akkor elkezd dik, amikor az els M > 1 zóna kialakul az objektum körül. Fennáll, hogy a sebességi potenciál egyenletei hangsebesség alatt, azaz szubszonikus áramlás esetén elliptikusak, pont a hangsebességnél, azaz szonikus áramlás esetén parabolikusak és hangsebesség felett, azaz szuperszonikus áramlás esetén pedig hiperbolikusak. A továbbiakban csak a szubszonikus esetet fogjuk tekinteni, azaz csak elliptikus egyenletekkel foglalkozunk. Végül, a v paraméter a Γ 4 peremen belép leveg sebességének potenciálját, ṽ pedig a Γ 2 peremen kilép sebességet jelöli. Az alsó indexbeli " " továbbra is a zavartalan körülmények esetén számított értékekre utal.

2.2. MEGOLHATÓSÁG 7 2.2. Megoldhatóság A (2.1) feladat megoldhatóságának vizsgálatához a feladatot gyenge alakba fogjuk átírni, amelyhez deniáljuk a következ Szoboljev-teret a [2] szerint: H() 1 := {u H 1 () : u Γ = 0}, (2.4) továbbá az így kapott téren értelmezzük az alábbi skalárszorzatot: u, v H 1 := u v ( u, v H 1 ()). (2.5) A (2.2) monoton csökken függvénynek tekintsük az alábbi módosítását: ρ(r), ha r R 0, ρ(r) := ε, ha r > R 0, ahol R 0 < sup r és ε := ρ(r 0 ), (2.6) r>0,ρ(r)>0 az R 0 értéke pedig kés bb határozandó meg az elliptikusság meg rzéséhez. Ezzel a módosítással biztosítjuk azt, hogy a ρ függvény nem veszi fel a 0 értéket, továbbá létezik alsó és fels korlátja is, amely a kés bbi megoldhatósági tételek szempontjából fontos tulajdonság lesz. Ez a módosítás a megoldhatóság vizsgálatát tekintve nem okoz gondot, mivel az eredeti feladat szubszonikus megoldásai megegyeznek a módosított feladat azon megoldásaival, amelyekre u R 0 az egész tartományon valamely alkalmas R 0 mellett. A továbbiakban a ρ := ρ jelöléssel élünk. Ahhoz, hogy gyenge alakot kapjunk, szorozzuk az egyenletet egy v H 1 () tesztfüggvénnyel, majd integráljuk az tartományon. Tekintsük az így kapott egyenlet bal oldalát: ρ( u 2 ) u v. 2.2.1. Tétel. Egyértelm en létezik olyan F : H 1 () H1 () dierenciáloperátor, hogy minden u H 1 () és v H1 () esetén F (u), v H 1 = ρ( u 2 ) u v.

2.2. MEGOLHATÓSÁG 8 A tétel a Riesz-féle reprezentációs tétel segítségével egyszer en belátható [4]. A kapott egyenlet jobb oldala hasonlóan felírható gyenge alakban, ehhez tekintsük a v Γ N ṽ v leképezést a H 1 () téren, amely folytonos lineáris funkcionálja lesz v-nek, ugyanis ṽ v ṽ L 2 (Γ N ) v L 2 () const v H 1 (). Γ N Ekkor pedig a Riesz-féle reprezentációs tétel szerint egyértelm en létezik b H 1 (), hogy b, v H 1 = ṽ vdσ. Γ N A (2.1) feladat gyenge alakja tehát a következ képpen írható fel: F (u), v H 1 = b, v H 1 (v H 1 ()), (2.7) vagyis a feladat ekvivalens az alábbi operátoregyenlettel: F (u) = b. (2.8) Tekintsük az alábbi, [4] szerinti feltételt adott f függvényre: 2.2.1. Feltétel. Tegyük fel, hogy (i) f C 1 ( R 2, R 2 ), (ii) a f(x,η) η deriváltmátrixok szimmetrikusak (ha x, η R 2 ), (iii) léteznek olyan M m > 0 állandók, hogy m ξ 2 f(x, η) ξ ξ M ξ 2. η 2.2.2. Tétel. Ha az f(x, η) := ρ( η 2 )η választás mellett teljesül a 2.2.1. feltétel mindhárom pontja, akkor a (2.1) peremértékfeladatnak egyértelm en létezik u H 1 () gyenge megoldása. A fenti választással tehát az f : R 2 R 2 függvény a következ : ( ρ ρ( η 2 1 1 5 ) = ( η 2 M ) ) 2 5/2, ha r R0, ε, ha r > R 0. (2.9)

2.2. MEGOLHATÓSÁG 9 Ekkor a 2.2.1. feltétel és a 2.2.2. tétel segítéségével a (2.1) feladat megoldhatóságát visszavezethetjük a (2.8) operátoregyenlet megoldhatóságára a [4]-ben leírtak alapján. A tétel alkalmazhatóságához szükséges, hogy a 2.2.1. feltétel mindhárom pontja teljesüljön az el z ekben deiniált f függvényre. Az (i) feltétel majdnem mindenütt igaz, mert ρ egy pontban nem dierenciálható, a (ii) feltételhez számítsuk ki az f függvényhez tartozó Jacobi-mátrixot. Koordinátánként felírva f-et: f i (x, η) = ρ( η 2 )η i, a parciális deriváltak ekkor: vagyis végeredményben: f i (x, η) η k = ρ( η 2 )δ ik + ρ ( η 2 )2η k η i, f(x, η) η = ρ( η 2 )I + 2ρ ( η 2 )(ηη T ), ahonnan már könnyen leolvasható, hogy a f(x,η) η R 2 2 szimmetrikus mátrix. A (iii) feltétel vizsgálatához feltesszük, hogy a módosított ρ függvényre léteznek M m > 0 állandók úgy, hogy: 0 < m ρ(r 2 ) (ρ(r 2 )) M (r 0). (2.10) Ez a feltétel részletesebben azt jelenti, hogy r 0 esetén m ρ(r 2 ), 0 ρ (r 2 ), ρ(r 2 ) + 2ρ (r 2 )r 2 M. Ekkor a 2.2.1. feltétel (iii) pontja teljesülni fog, ugyanis a f(x, η) ξ ξ η = ρ( η 2 ) ξ 2 + 2ρ ( η 2 )(ηη T )ξ ξ = ρ( η 2 ) ξ 2 + 2ρ ( η 2 )(η ξ) 2, kvadratikus alakot tekintve a Cauchy-Schwartz-egyenl tlenség alapján az alsó határ: m ξ 2 ρ( η 2 ) ξ 2 f(x, η) ξ ξ, η és ugyanígy a fels határ: f(x, η) ξ ξ ( ρ( η 2 ) + 2ρ ( η 2 ) η 2) ξ 2 M ξ 2, η

2.2. MEGOLHATÓSÁG 10 vagyis a 2.2.2. megoldhatósági tétel alkalmazható a vizsgált feladatra. Mindez a módosított ρ függvényt tekintve azt fogja jelenteni, hogy az r 0 értékekre elvárjuk az 0 < ρ(r 2 ) és 0 < r(ρ(r 2 )) egyenl tlenségek teljesülését, mivel ekkor a lokális elliptikusságnak is szükségszer en teljesülnie kell. Ez a (2.1) feladatban szerepl paraméterekkel kifejezve a következ feltételeket fogja adni az r 2 változóra: r 2 < M 2 + 5 és r 2 < ( 1 5 ) 5 2 (M 2 + 5) ( 1 5 ) 5 2 + ( 1 5 ) 3 2 (r 0), azaz összességében: r 2 < ( 1 5 ) 5 2 (M 2 + 5) ( 1 5 ) 5 2 + ( 1 5 ) 3 2 (r 0). Ezzel megkaptuk a (2.6) szerint értelmezett lehetséges R 2 0 értékek supremumát, amit jelöljön R 2 1. A (2.1) feladat elliptikusságának elvesztését végeredményben tehát nem a korábban bevezetett univerzális M = v objektum c hányados segítségével tudjuk majd nyomon követni, hanem az M := r ( 1) 5 2 (M 2 5 + 5) ( 1 5 ) 5 2 + ( 1 5 ) 3 2 (2.11) arányszámmal, ahol r := u, amely pontonként más-más értéket fog felvenni, tehát végeredményben M egy lokális jellemz je lesz az áramlásnak. Az operátoregyenlet u gyenge megoldását a csillapított Newton-iteráció módszerével fogjuk közelíteni, ehhez azonban el bb diszkretizálnunk kell a feladatot, amit pedig a Ritz-Galjorkin-módszer alkalmazásával hajtunk végre.

3. fejezet Alkalmazott módszerek 3.1. A Ritz-Galjorkin-módszer A Ritz-Galjorkin-módszer általában a végtelen dimenziós térben felírt operátoregyenletek közelít megoldásának megkeresésére ad eljárást. Alapgondolata, hogy az alapteret egy véges dimenziós alterével helyettesítjük, majd az eredeti egyenletet levetítjük erre az altérre, így a kapott véges dimenziós feladat - amely egy algebrai egyenletrendszer lesz - már könnyedén megoldható a témában közismert módszerekkel. A módszert a [4] alapján vezetjük be. Tekintsük most csak a nemlineáris operátoregyenletek esetét, legyen H valós Hilbert-tér és A : H H adott nemlineáris operátor. 3.1.1. Feltétel. Tegyük fel, hogy (1) A Lipschitz-folytonos, azaz létezik Q > 0, hogy A(u) A(v) Q u v ( u, v H), (2) A egyenletesen monoton, azaz létezik q > 0, hogy A(u) A(v), u v q u v ( u, v H). Tekintsük az A(u) = b (b H) egyenletet, amelynek megoldhatóságát a következ tétel garantálja: 11

3.1. A RITZ-GALJORKIN-MÓSZER 12 3.1.1. Tétel. Legyen A : H H adott operátor, amelyre teljesül a 3.1.1. feltétel. Ekkor minden b H esetén az A(u) = b egyenletnek egyértelm en létezik u H megoldása. Az egyenlet átírható gyenge alakba: A(u), v = b, v ( v H). (3.1) Legyenek H n := span{φ (n) 1, φ (n) 2..., φ (n) n } H alterek (n N + ), ahol φ (n) 1, φ (n) 2..., φ (n) n lineárisan független elemek és bármely u H esetén dist(u, H n ) := min{ u v n : v n H n } 0, ha n. (3.2) Az û n H n közelítés konstrukciója ekkor a következ képpen történik: û n = n i=1 ω (n) i φ (n) i, tehát a feladat az ω (n) i együtthatók meghatározására redukálódik. Ez alapján a (3.1) feladat az alábbi módon írható a v := φ (n) k A ( n i=1 ω (n) i φ (n) i ) (k = 1,..., n) választás mellett:, φ (n) k = b, φ (n) k. Vezessük be az ω (n) := (ω (n) 1, ω (n) 2,..., ω n (n) ) jelölést, majd legyen és α k (ω (n) ) := A ( n i=1 ω (n) i φ (n) i ), φ (n) k, (3.3) β k (ω (n) ) := b, φ (n) k. (3.4) Az ezekb l összerakott α : R n R n függvény és β R n vektor mellett tehát az α(ω (n) ) = β nemlineáris egyenletrendszert kapjuk, amelynek megoldása megadja az û n közelítés keresett együtthatóit. Igazolható továbbá - lásd [4] -, hogy teljesül a hiba ortogonalitása is, azaz minden v n H n esetén, az u gyenge megoldásra és bármely û n közelítésre: A(u ) A(û n ), v n = 0,

3.1. A RITZ-GALJORKIN-MÓSZER 13 valamint érvényes az úgynevezett Céa-lemma nemlineáris megfelel je is alkalmas Ĉ állandóval: u û n Ĉ min{ u v n : v n H n }. Mindezek következményeképpen u û n 0, amennyiben teljesül a (3.2) feltétel. 3.1.1. A módszer alkalmazása a vizsgált feladatra Tekintsük a második fejezetben felírt (2.8) operátoregyenletet, ahol az operátor F : H 1 () H1 (), továbbá u, b H1 (): F (u) = b. A 3.1.1. tétel alapján a fenti operátoregyenletnek egyértelm en létezik u H 1 () megoldása, amit az eljárás során egy V altérbeli megoldással közelítünk. Az operátoregyenlet gyenge alakját már korábban felírtuk a (2.7) egyenlettel: F (u), v H 1 = b, v H 1 ( v H 1 ). Az el z ekkel analóg módon legyenek V n alterek (n N + ), ahol φ (n) 1, φ (n) 2..., φ (n) n u H 1 () esetén := span{φ (n) 1, φ (n) 2..., φ n (n) } H 1 () lineárisan független elemek és bármely dist(u, V n ) := min{ u v n : v n V n } 0, ha n. Az û n V n közelítés konstrukciója ekkor: azaz a (2.7) gyenge alak a v := φ (n) k formába: Bevezetve az F ( n i=1 û n = ω (n) i n i=1 ω i φ (n) i, (k = 1,..., n) választás mellett áírható az alábbi φ (n) i ), φ (n) k = b, φ (n) k. ω (n) := (ω (n) 1, ω (n) 2,..., ω (n) n ), illetve α k (ω (n) ) := F ( n i=1 ω (n) i φ (n) i ), φ (n) k,

3.2. A CSILLAPÍTOTT NEWTON-ITERÁCIÓ 14 és β k (ω (n) ) := b, φ (n) k jelöléseket, az ezekb l összerakott α : R n R n függvény és β R n vektor mellett tehát az α(ω (n) ) = β nemlineáris egyenletrendszert kapjuk, amelynek megoldása megadja a û n közelítés keresett együtthatóit. Mivel az egyenletrendszer nemlineáris, megoldását iterációs módszerrel, esetünkben csillapított Newton-iterációval végezzük el. 3.2. A csillapított Newton-iteráció A (2.1) feladat nemlinearitása miatt a megoldás közelítésére csillapított Newtoniterációt kell alkalmaznunk, amelynek algoritmusát el ször egy általános alakú peremértékfeladaton szemléltetjük [2] alapján. Tekintsük a következ parciális dierenciálegyenletet: f(x, u) = g az tartományon u = 0 a Γ peremen (3.5) f(x, u) n = γ a Γ N peremen, ahol Γ a peremnek a irichlet-, Γ N pedig a Neumann-feltétellel ellátott része. A H 1 () Szoboljev-teret és a.,. H 1 skalárszorzatot ugyanúgy értelmezzük, mint az el z fejezetben a (2.4) és (2.5) képletekkel. Az általános alakú peremértékfeladatot a következ feltételek mellett tekintjük: 3.2.1. Feltétel. Tegyük fel, hogy (i) R N korlátos tartomány, szakaszonként sima, Γ, Γ N mérhet, Γ Γ N =, Γ Γ N = és Γ, (ii) g L 2 () és γ L 2 (Γ N ), (iii) f : R N R N mérhet függvény, x változóra nézve korlátos, η R N változóra nézve pedig C 1 -beli,

3.2. A CSILLAPÍTOTT NEWTON-ITERÁCIÓ 15 (iv) minden (x, η) R N esetén f(x,η) η R N szimmetrikus mátrix, továbbá λ sajátértékek kielégítik a 0 < µ 1 λ µ 2 < egyenl tlenséget, ahol µ 2 µ 1 > 0 (x, η)-tól független konstansok, (v) az alábbi F (u), v H 1 := f(x, u) v képlettel deniált általánosított F : H 1 () H1 () dierenciáloperátor deriváltja Lipschitz-folytonos. Legyen b H 1 () olyan, hogy b, v H 1 = gv + γvdσ ( v H()), 1 Γ N továbbá jelölje u H 1 () a (3.5) gyenge megoldását, azaz felírható: Legyen u 0 F (u ), v H 1 = b, v H 1. H 1 () tetsz leges, az (u n) sorozatot pedig deniáljuk a következ iterációval: ha az n. lépésben az u n közelít függvényt kaptuk, akkor az (n + 1). lépésbeli közelítés: u n+1 := u n + τ n p n (n N), ahol p n H 1 () a következ lineáris segédfeladat megoldása: vagy f η (x, u n) p n v = továbbá F (u n )p n, v H 1 = F (u n ) b, v H 1 ( v H 1 ()) τ n = min ( ) f(x, u n ) v gv + γvdσ ( v H()), 1 Γ N { µ 1 1, L p n H 1 } (0, 1], ahol L jelöli az F operátorhoz tartozó Lipschitz-konstanst az (v) feltételnek megfelel en. 3.2.1. Tétel. Tegyük fel, hogy teljesül a 3.2.1. feltétel minden pontja. Ekkor az el z ek alapján konstruált (u n ) sorozatra u n u H 1 µ 1 1 F (u n ) b H 1 0 monoton módon,

3.2. A CSILLAPÍTOTT NEWTON-ITERÁCIÓ 16 továbbá a konvergencia lokálisan kvadratikus, azaz F (u n+1 ) b H 1 c 1 F (u n ) b 2 H 1 (n n 0 ) valamely n 0 N index és c 1 > 0 konstans mellett, amely egyben konvergenciabecslést ad a gyenge kvadratikus rendre is: F (u n ) b H 1 d 1 q 2n (n n 0 ), megfelel 0 < q < 1 és d 1 > 0 konstans értékekkel. 3.2.1. A módszer alkalmazása a vizsgált feladatra Mindezeket alkalmazzuk a vizsgált (2.1) feladatra, ahol az f függvényt a (2.9) képlettel deniáltuk. Az 3.2.1. feltételben (i) pont nyilvánvaló módon teljesül, hiszen a vizsgált R 2 tartomány korlátos, határa szakaszonként sima, továbbá Γ N Γ peremek mérhet ek, valamint Γ Γ N =, Γ Γ N = és Γ is fent áll. A (ii) feltétel szintén teljesül, hiszen most g 0, azaz g L 2 (), illetve γ konstans, tehát γ L 2 (Γ N ) szintén. A (iii) (iv) feltételekr l az el z fejezetben már ejtettünk szót a 2.2.1. feltétel tárgyalásakor. Végül, az (v) feltételt csak véges dimenziós altér felett tudjuk garantálni. Legyen V H 1 () egy, a Ritz-Galjorkin-féle diszkretizáció során nyert véges dimenziós altér ugyanazon skalárszorzattal és legyen F : V V az a dierenciáloperátor, amelyre F (u), v H 1 = ρ( u 2 ) u v ( v V ), a b H 1 () pedig deniálja azt az elemet, amelyre b, v H 1 = ṽ vdσ ( v V ). Γ N Jelölje most is u H 1 () a gyenge megoldást, azaz F (u ), v H 1 = b, v H 1 ( v V ). El ször [4] alapján megmutatjuk, hogy az F operátor Gateaux-deriválható. Legyen u V tetsz leges elem, ekkor rögzített h, v V elemek esetén 1 lim t 0 t F (u + th) F (u), v H 1 = lim 1 (f(x, u + t h) f(x, u)) v. t 0 t és

3.2. A CSILLAPÍTOTT NEWTON-ITERÁCIÓ 17 Az f C 1 feltétel miatt a fenti integrandus majdnem mindenütt pontonként konvergál, limesze: lim t t 0 1 f (f(x, u + t h) f(x, u)) v = (x, u) h v, η a Lebesgue-tétel és a (iv) feltétel miatt ekkor maga az integrál is tartani fog a fenti határérték integráljához. A limesz létezését a Riesz-tétel garantálja, ugyanis a fenti integrál folytonos lineáris funkcionálja v-nek, továbbá a h F (u)h korlátos és lineáris operátor. Így tehát F Gateaux-deriválható és bármely u, v, h V esetén F f (u)h, v H 1 = (x, u) h v. η Mivel V véges dimenziós altér, az F operátor örökli f η Lipschitz-folytonosságát, vagyis, ha L jelöli az F operátorhoz tartozó Lipschitz-konsanst, az f η Lipschitzkonstansából megbecsülhet, ugyanis [2] szerint, ha létezik L f > 0 konstans, hogy f η (x, η 1) f η (x, η 2) L f η 1 η 2, ahol (x, η) R 2, akkor (F (u) F (v))z, z H 1 = L f ( f η ) f (x, u) (x, v) η u v z 2 L f u v L () z 2 H 1 z z) a.,. H 1 skalárszorzatot felhasználva. Ennélfogva: F (u) F (v) H 1 = sup (F (u) F (v))z, z H 1 Lf u v L (). z V, z H 1 =1 Ekkor bevezetve a jelölést, azt kapjuk, hogy z L K(V ) := sup () z V \0 z L 2 () F (u) F (v) H 1 L f K(V ) u v H 1, ahol K(V ) véges, hiszen V véges dimenziós altere H 1 ()-nak. Tehát az F operátorhoz tartozó L Lipschitz-konstansra a következ becslés adható: L L f K(V ).

3.3. A VÉGESELEM-MÓSZER 18 Mindezek alapján a (2.1) feladat megoldása a következ iterációs eljárással történik. Legyen u 0 V tetsz leges, az (u n ) sorozatot pedig deniáljuk a következ iterációval: ha az n. lépésben az u n közelít függvényt kaptuk, akkor az (n + 1). lépésbeli közelítés: u n+1 := u n + τ n p n (n N). Itt p n V a következ lineáris segédfeladat megoldása: A n p n v = ρ( u n 2 ) u n v + ṽ vdσ ( v V ), Γ 2 (3.6) ahol Továbbá A n := ρ( u n 2 )I + 2ρ ( u n 2 ) ( u n ( u n ) ) T. { } µ 1 τ n = min 1, (0, 1], (3.7) L p n H 1 ahol L továbbra is az F operátorhoz tartozó Lipschitz-konstanst jelöli. A kapott (3.6) segédfeladatot a végeselem-módszer segítségével oldjuk meg, ami minden egyes iterációs lépésben egy egyenletrendszer megoldását fogja jelenteni. 3.3. A végeselem-módszer A végeselem-módszer a Ritz-Galjorkin-módszer alkalmazásának tekinthet, a- melyet els sorban a dierenciálegyenletek peremértékfeladatainak megoldására alkalmazunk. Ebben a szakaszban a [3] szerinti gondolatmenet alapján bemutatjuk a végeselem-módszer általános felépítését lineáris feladat esetén. Legyen p p 0 > 0, p L (), illetve k 0, k L () és tekintsük a következ parciális dierenicálegyenletet egy R 2 tartományon: (p u) + ku = f az tartományon u = 0 a Γ peremen p u n = ψ a Γ N peremen

3.3. A VÉGESELEM-MÓSZER 19 Írjuk át az egyenletet gyenge alakba, azaz szorozzuk meg egy kell en sima v tesztfüggvénnyel, amelyre v Γ = 0, majd integráljuk az tartományon: (p u)v + kuv = fv. Ez a Green-formula alapján a következ alakba írható át: p u v + kuv = fv + ψv. Γ }{{}}{{ N } a(u,v) ϕ(v) Értelmezzük a H 1 () Szoboljev-teret a második fejezetbeli (2.4) képlet alapján. Ekkor a : H 1 () H1 () R folytonos, bilineáris, koercitív és szimmetrikus forma, amely a téren vett skalárszorzatként tekinthet, míg ϕ : H 1 () R folytonos lineáris funkcionál. Azaz a fenti egyenletet átírtuk az alábbi alakba: a(u, v) = ϕ(v) ( v H 1 ()), amelynek u H 1 () megoldását keressük. 3.3.1. Tétel. (Lax-Milgram-lemma, [4]) Tegyük fel, hogy ϕ : H 1 () R folytonos lineáris funkcionál, valamint a : H 1 () H1 () R folytonos, bilineáris, koercitív és szimmetrikus forma. Ekkor az a(u, v) = ϕ(v) ( v H 1 0()) feladatnak létezik egyértelm u H 1 () gyenge megoldása. A végeselem-módszer lényege, hogy a feladatot egy V h H 1 () véges dimenziós altér felett tekintjük, továbbá azt az u h V h elemet keressük, amelyre: a(u h, v h ) = ϕ(v h ) ( v h V h ). (3.8) Itt V h az úgynevezett végeselem altér, egy Hilbert-tér, így alkalmazható a Riesz-tétel, tehát V h altéren is igaz lesz az 3.3.1. tétel, automatikusan átörökl dik minden, ami a H 1 () téren igaz volt. Minden v h V h esetén fennáll továbbá a Ritz-Galjorkinmódszernél már említett Galjorkin-ortogonalitás: a(u u h, v h ) = 0

3.3. A VÉGESELEM-MÓSZER 20 és ebb l igazolható, hogy a véges dimenziós altéren kapott u h diszkrét megoldás kvázioptimális, azaz a hiba arányos a lehet legkisebbel. Ezt a tulajdonságot ismét a Céa-lemma fogalmazza meg, nevezetesen ahol C > 0 megfelel konstans érték. u u h H 1 () C inf v h V h u v h H 1 (), Ilyen V h H 1 () véges dimenziós alteret az tartomány diszkretizációjával kaphatunk, két dimenzióban -át feloszthatjuk például háromszög vagy négyszög elemekre, a kapott véges elemeken pedig elemenként legfeljebb k-adfokú polinomokat vehetünk. Jelölje például N a V h altér dimenzióját, {φ i } N i=1 pedig egy bázisát, ekkor minden v h V h elem felírható v h = N ω i φ i i=1 alakban, ahol ω i -k jelölik a megfelel együtthatók értékét. Ez alapján a (3.8) véges feladat a következ képpen fog kinézni: N j=1 ω j a(φ j, φ i ) }{{} a ij } {{ } (Aω) i = ϕ(φ i ) }{{} b i (1 i N). Ezzel tehát egy lineáris egyenletrendszert kaptunk, amelynek mátrixa reguláris lesz a feladat tulajdonságai miatt, következésképpen létezik egyértelm megoldás, amely a közelítés együtthatóit fogja megadni nekünk, és amely a közismert matematikai módszerek segítségével kiszámolható.

4. fejezet Megvalósítás 4.1. A segédfeladat végeselemes diszkretizációja A feladat megoldását MATLAB programnyelven valósítottam meg, ehhez el zetesen szükség volt a tartomány rácshálóval való borítására, hiszen az alkalmazott módszerekkel végzett számításokat a rácspontokban hajtjuk végre. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy az tartomány 2.2. ábrán ismertetett geometriáját az úgynevezett HyperMesh el feldolgozó szoftver segítségével véges e- lemekre bontottam, majd a MATLAB számára olvasható formátumba írtam át. A HyperMesh szoftver használatának el nye, hogy tetsz leges tartományt tetsz leges s r ség és tulajdonságú rácshálóval boríthatunk, mindezt gyorsan és könnyedén. Az alábbi ábra egy, az említett szoftver segítségével készített rácshálót szemléltet: 4.1. ábra. HyperMesh segítségével készített háromszögháló 21

4.1. A SEGÉFELAAT VÉGESELEMES ISZKRETIZÁCIÓJA 22 Ebben a dolgozatban Courant-, azaz úgynevezett nem elfajult háromszög e- lemekkel dolgozunk, amelyeket a [10] szerinti gondolatmenet alapján deniálunk. Jelölje az i. elemet E i (i = 1,..., M), amely Lipschitz-folytonos résztartománya az tartománynak, továbbá igaz az, hogy = M i=1 E i, E i E j = (i j), E i és E j E i E j = E i és E j közös pontja, vagy közös oldala, vagy. Az tartomány ilyen, a fenti tulajdonságokat teljesít {E i } M i=1 felosztását konform triangulációnak nevezzük. Egy E i háromszög elem csúcspontjait jelölje (x i 1, y i 1), (x i 2, y i 2) és (x i 3, y i 3), amelyeket nem csak lokálisan, de globálisan is megszámozunk, amivel az egész rácsháló { (x l, y l ) } N l=1 rácsponthalmazát kapjuk meg. Minden (xl, y l ) rácsponthoz hozzárendelünk egy φ l függvényt úgy, hogy φ l lesz kítése E i -re egy p i,l - lel jelölt polinom, továbbá minden egyes E i -n a {p i,l } polinomok a P(E i ) halmazt alkotják. Ha φ l (x m, y m ) = δ ml, akkor az így konstruált V h végeselem altér bázisa éppen {φ l } N l=1, ahol a h paraméter a trianguláció nomságát jelöli. Legyen most P(E i ) = P 1 (E i ) az E i háromszög felett deniált, legfeljebb els fokú, azaz a i + b i x + c i y alakú függvények tere, ennek egy bázisát pedig jelölje {φ i } N i=1. Tekintsük ezek után a 3. fejezetben ismertetett csillapított Newton-iteráció e- lemeit és a felírt (3.6) segédfeladatot. Az iteráció n. lépésében az aktuális közelítés így írható fel: míg a (3.6) segédfeladat megoldása: u n = N c n i φ i, i=1 p n = N d n i φ i. i=1 Ekkor a segédfeladat a G n := ρ( u n 2 ) u n

4.1. A SEGÉFELAAT VÉGESELEMES ISZKRETIZÁCIÓJA 23 jelölés mellett a következ alakú lesz: A n d n i φ i φ j = G n φ j + ṽ φ j Γ 2 (1 j N), amellyel az alábbi lineáris egyenletrendszer adódik: A n φ 1 φ 1 A n φ 2 φ 1... d A n 1 G n φ 1 + Γ 2 ṽ φ 1 n φ 1 φ 2 A n φ 2 φ 2... d n 2 = G n φ 2 + Γ 2 ṽ φ 2........ }{{}}{{} S n w n (4.1) A fenti egyenletrendszer S n mátrixát globális mátrixnak nevezzük, ezt és a jobb oldal w n vektorát elemenként építjük fel, amely eljárást elemenkénti összef zésnek hívjuk, angolul element-by-element assembling. 4.1.1. An lineáris leképezés Tekintsük azt a háromszöget, amelynek három csúcspontja (0, 0), (1, 0) és (0, 1). Ezt a háromszöget referenciaelemnek nevezzük, funkciója pedig, hogy a globális mátrix, valamint a jobb oldal összef zése során az elemeket a számítások megkönnyítése végett an lineáris módon leképezzük ebbe a háromszögbe. Jelölje a referenciaelemet 0, egy tetsz leges elemet pedig most E i E, amelynek csúcspontjai rendre (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) és (x 3, y 3 ). 4.2. ábra. An lineáris leképezés

4.1. A SEGÉFELAAT VÉGESELEMES ISZKRETIZÁCIÓJA 24 Legyen az 0 -ról E-re ható an lineáris leképezés: A E x y + b E, míg az E-r l 0 -ra ható: C E x y + d E. Legyenek v 1 és v 2 kétdimenziós vektorok olyanok, hogy v 1 = A E v 2 + b E, ekkor v 1 b E = A E v 2, ahol legyen C E := A 1 E és d E := A 1 E b E. Az A E mátrix a következ módon állítható el az általunk vett E elem és a referenciaelem között: valamint tehát Továbbá azaz A E A E A E y 1 0 + b E = x 1, azaz b E = x 1, 0 a 21 1 + b E = a 11 + x 1 = x 2, 0 a 11 a 21 = a 22 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1 y 1. 0 + b E = a 12 + x 1 = x 3, 1 a 11 a 21 = x 3 x 1 y 3 y 1 Az elemen vett integrálok kiszámításához szükségünk lesz a háromszögek területére is, amely az alábbi egyenlet átrendezésével kapható meg: 1 0 = 1dϑdν = 0 E deta E dxdy = 1 deta E E,. y 1 y 2 y 3

4.1. A SEGÉFELAAT VÉGESELEMES ISZKRETIZÁCIÓJA 25 ugyanakkor a MATLAB beépített det parancsának segítségével ennek az egyenletnek a kiszámítása is egyszer en kiküszöbölhet vé válik. 4.1.2. A globális mátrix felépítése Térjünk vissza az (4.1) egyenletrendszerhez és vizsgáljuk meg, hogyan számítható ki az S n globális mátrix j. sorának i. eleme. Egy ilyen elem a következ képpen néz ki: A n φ i φ j = A n φ i φ j + E m1 A n φ i φ j +..., E m2 (4.2) ahol m 1, m 2,... azoknak az elemeknek az indexei, amelyek részei φ i és φ j közös tartójának. Tekintsük a (4.2)-beli összeg egy tagját: A n φ i φ j = A n xφ i xφ j E mk E mk y φ i y φ j Jelölje φ 0 i = A 11 x φ i + A 12 y φ i A 21 x φ i + A 22 y φ i xφ j y φ j. (4.3) a referenicaelemhez tartozó i. bázisfüggvényt - úgynevezett referencia bázisfüggvényt -, ezek rendre: φ 0 1 φ 0 (0,0) = 1 x y, φ 0 2 φ 0 (1,0) = x, φ 0 3 φ 0 (0,1) = y. A referencia bázisfüggvények segítségével az E elemhez tartozó i. bázisfüggvény: φ i (x, y) = φ 0 i (C E x y + d E ) = φ 0 i (c 11 x + c 12 y + d }{{ E1, c } 21 x + c 22 y + d E2 ), }{{} α β az els, illetve második változó szerinti deriváltja pedig: x φ i (x, y) = x φ 0 i (α, β)c 11 + y φ 0 i (α, β)c 21 = φ 0 i (α, β) c 11 c 21, illetve y φ i (x, y) = x φ 0 i (α, β)c 12 + y φ 0 i (α, β)c 22 = φ 0 i (α, β) c 12. c 22

4.1. A SEGÉFELAAT VÉGESELEMES ISZKRETIZÁCIÓJA 26 Ez alapján a (4.3) skalárszorzat els tagja: A 11 x φ i x φ j = A 11 φ 0 i (α, β) c 11 φ 0 i (α, β) c 12 E mk E mk c 21 c 22 ( ) = A 11 x φ 0 i (α, β) x φ 0 j (α, β)c 2 11 +... E mk 1 ( ) = x φ 0 i (α, β) x φ 0 j (α, β)c 2 11 +..., detc Emk 0 A 11 a többi tag pedig analóg módon megkapható. Számítsuk ki azokat a mátrixokat, amelyek (i, j). eleme a következ : (M xx ) ij := x φ 0 i x φ 0 j, 0 (M yy ) ij := y φ 0 i y φ 0 j, 0 (M xy ) ij := x φ 0 i y φ 0 j, 0 (M yx ) ij := y φ 0 i x φ 0 j. 0 Ekkor M xx, M yy, M xy és M yx az úgynevezett referencia mátrixok, amelyek pontos alakja: 1 1 0 0 0 0 2 2 M xx = 1 1 0 2 2, M yy = 1 0 1 2 2, 0 0 0 0 1 1 2 2 0 1 1 0 0 0 2 2 M xy = 1 0 1 2 2, M yx = 1 1 0 2 2. 1 0 0 0 1 0 2 2 Ezeket felhasználva az S n elemenként a mátrixhoz f znünk: globális mátrix felépítése során az alábbi tagokat kell E mk A n φ i φ j = 2 2 p=1 q=1 ami a referencia mátrixok segítségével felírva: 1 detc Emk 2 p=1 q=1 E mk (A n ) pq q φ i p φ j, 2 (A n ) pq (M xx c 1q c 1p + M xy c 1q c 2p + M yx c 2q c 1p + M yy c 2q c 2p ).

4.1. A SEGÉFELAAT VÉGESELEMES ISZKRETIZÁCIÓJA 27 4.1.3. Az egyenletrendszer jobb oldala Vizsgáljuk most meg a (4.1) egyenletrendszer w n vektorát. Ennek a vektornak minden eleme egy kéttagú összegb l áll, amelynek egyik tagja egy, az tartományon, másik tagja pedig egy, a Γ 2 peremen vett integrál. A jobb oldal vektorának felépítése a globális mátrix esetéhez hasonlóan elemenkénti összef zéssel történik. Tekintsük el ször a vektor i. elemében szerepl összeg els tagját: G n φ i = = ρ( u n 2 ) u n φ i ρ( u n 2 ) u n φ i ρ( u n 2 ) u n φ i.... E m1 E m2 Ennek a kifejezésnek egy tagja: ρ( u n 2 ) u n φ i = ρ( u E mk }{{} n 2 )κ n 1dxdy = ρ( u n 2 )κ n E mk, E mk κ n ahol, ha a mk és b mk az E mk elem két oldalát meghatározó vektorok, akkor E mk = a m k b mk. 2 A κ n konstans u n és φ i skalárszorzatából adódik, amelyeket síkillesztéses módszerrel tudunk egyszer en kiszámolni. Tekintsünk ismét egy általános E elemet, amelynek csúcspontjai (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) és (x 3, y 3 ). Tegyük fel továbbá, hogy az n. iterációs lépésbeli u n közelít függvény ezen csúcsokhoz tartozó elemeinek globális indexe rendre r, s és t. Oldjuk meg a következ lineáris egyenletrendszert: 1 x 1 y 1 g 1 u n (x r, y r ) 1 x 2 y 2 g 2 = u n (x s, y s ). (4.4) 1 x 3 y 3 u n (x t, y t ) Ekkor g 3 g 3 u n = g 2, a φ i pedig analóg módon kiszámítható, s t, a jobb oldal leegyszer södik, mivel adott csúcsponthoz tartozó bázisfüggvény az adott csúcspontban 1, a többi pontban pedig 0 értéket vesz fel, tehát a jobb oldal vektora egy elem kivételével csupa 0 elemb l fog állni.

4.2. AZ ITERÁCIÓ MEGVALÓSÍTÁSA 28 A w n vektor i. elembeli összegének második tagja: ṽ φ i = ṽ φ i, Γ 2 Γ 2 ahol φ i legfeljebb els fokú polinom. Az integrál kiszámítása ismét elemenként fog történni egy alappontú Gauss-kvadratúraformula [11] alkalmazásával. Az egyetlen alappont az integrációs tartomány, azaz az éppen aktuális E mk elem Γ 2 peremre es oldalának felez pontja lesz, ahol az adott oldal végpontjaihoz tartozó bázisfüggvények 1 2 1 2 értéket vesznek fel. A kvadratúraformulában szerepl súly értéke 2, az integrációs tartomány hossza pedig l mk, amelynek értéke egyszer algebrai számolással megkapható. Mindezek segítségével az integrál egy E mk alakban írható fel: ṽ E mk φ i = ṽ 2 1 2 l mk 2 = ṽ l mk 2. elemen az alábbi Az S n és w n által meghatározott lineáris egyenletrendszer megoldása során azzal az egyszer sítéssel élünk, hogy a irichlet-peremre nézve homogenizált segédfeladatot tekintünk. Ezzel nem veszítünk információt, ugyanakkor csökkentjük a futásid t, az egész eljárás végén pedig az adott peremfeltételnek megfelel konstans értéket hozzáadjuk a kapott megoldásvektor megfelel index elemeihez. 4.2. Az iteráció megvalósítása Az el z szakaszban láttuk, miként diszkretizálható a (3.6) segédfeladat a végeselem-módszer segítségével, valamint hogyan épül fel az azzal ekvivalens véges dimenziós lineáris algebrai egyenletrendszer. Ha mindezek az elemek megvannak és az egyenletrendszert megoldottuk, alkalmazhatjuk a csillapított Newton-iteráció algoritmusát, amely a következ képpen nézett ki: ha az n. lépésben az u n közelít függvényt kaptuk, akkor az (n + 1). lépésbeli közelítés: u n+1 := u n + τ n p n (n N). Itt p n V h az el z szakaszban felépített lineáris egyenletrendszer megoldása, τ n értéke pedig: { } µ 1 τ n = min 1, (0, 1], L p n H 1

4.2. AZ ITERÁCIÓ MEGVALÓSÍTÁSA 29 ahol µ 1 és L a 3.2.1. feltétel (iii) és (v) pontja alapján értelmezett konstans értékek. Az iteráció megvalósítása során ismét egyszer sítéssel élünk, amely a számítást hivatott megkönnyíteni, és amellyel a τ n pontos értékének kiszámítását küszöböljük ki. Ahelyett ugyanis, hogy kiszámolnánk a képletben szerepl konstans paraméterek értékeit, majd pedig ezek segítségével magát τ n -et, adaptívvá tesszük a módszert és leállási kritériumot építünk be minden egyes iterációs lépésben. Tekintsük a (2.1) feladat gyenge alakját azon véges V h altér felett, amelyet az el z szakaszban konstruáltunk a végeselem-módszer segítségével, ez az alak már többször szerepelt a korábbiakban: F (u h ), v h H 1 = b, v h H 1 ( u h, v h V h ). eniáljuk az n. iterációs lépésbeli úgynevezett reziduális függvényt az r n := F (u n ) b képlettel. Ekkor az adaptív módszer legyen a következ : minden iterációs lépés elején deniáljuk τ n értékét 1-nek, és az (n + 1). lépésben kiszámított u n+1 := u n + τ n p n közelít függvényt akkor fogadjuk el, ha a megfelel reziduális függvényekre fennáll: r n H 1 > r n+1 H 1. (4.5) Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor csökkentsük τ n értékét, legyen például τ n := 0.7τ n addig, amíg az új τ n értékkel számolt u n+1 és r n+1 függvényekkel nem teljesül a (4.5) feltétel. Ennek a módszernek az alkalmazásához minden egyes lépésben ki kell számítanunk az r n H 1 és r n+1 H 1 értékeket, amihez tehát ismernünk kell az r n és r n+1 reziduális függvényeket. Ehhez egy másik, egyszer bb segédfeladatot kell megoldanunk, ugyanis tetsz leges v H 1 () esetén fennáll: r n, v H 1 = F (u n ), v H 1 b, v H 1,

4.2. AZ ITERÁCIÓ MEGVALÓSÍTÁSA 30 azaz r n v = ρ( u n 2 ) u n v ṽ v, Γ 2 vagyis a Green-formula alapján az alábbi segédfeladat megoldásaként kaphatjuk meg az r n reziduális függvényt: r n = (ρ( u n 2 ) u n ) az tartományon r n n = ρ( u n 2 ) u n r n n = ρ( u n 2 ) u n ṽ r n = 0 a Γ 1,3 peremen a Γ 2 peremen a Γ 4 peremen, (4.6) ahol ρ( u 2 ) := ρ ( 1 1 5 ( u 2 M 2 ) ) 5/2. A reziduális segédfeladatot ugyanazon az elven oldjuk meg, mint az eredeti segédfeladatot: végeselem-módszer segítségével diszkretizáljuk, majd a kapott lineáris egyenletrendszert a MATLAB beépített \ parancsával - amely LU-felbontást alkalmaz - megoldjuk, a megoldás pedig a diszkrét r n reziduális vektor lesz. Az r n H 1 értéket ezután már egyszer en ki tudjuk számítani a kapott vektorra, ugyanis deníció szerint r n H 1 := r n L 2 = r n 2, amit a már jól ismert elemenkénti összef zés módszerével számolunk ki, az E mk elemen például: r n 2 = ( x r n ) 2 + ( y r n ) 2 = E mk ( ( x r n ) 2 + ( y r n ) 2). E mk E mk Mindez tehát azt jelenti, hogy a kezdeti r 0 vektor kiszámítása után minden egyes iterációs lépésben meg kell oldanunk még egy, a reziduális függvényre felírt segédfeladatot is. Itt a globális mátrix ugyanúgy épül fel, mint a (4.6) segédfeladat esetében, csupán az abban szerepl A n súlymátrix nem szerepel. Igaz továbbá az is, hogy a globális mátrix minden itereációs lépésben ugyanaz lesz, mivel nem függ az aktuálisan kiszámolt u n közelítés értékét l. Jelöljük ezért a reziduális segédfeladathoz tartozó súlyozatlan globális mátrixot Z-vel.

4.2. AZ ITERÁCIÓ MEGVALÓSÍTÁSA 31 Hasonlóan meggondolható, hogy az egyenletrendszer jobb oldala a (4.6) jobb oldalának negáltja lesz, azaz w n. Felmerül a kérdés, milyen többletköltséggel jár számunkra a reziduális függvényre felírt segédfeladat megoldása? A következ m - veletek átlagos futásidejét vizsgáltam ezzel kapcsolatban: az eredeti (3.6) lineáris segédfeladat végeselemes diszkretizációjával adódó S n globális mátrix felépítése, a (4.6) reziduális segédfeladat végeselemes diszkretizációjával adódó Z globális mátrix felépítése, az S n p n = w n egyenletrendszer megoldása, a Zr n = w n egyenletrendszer megoldása. Az eredményeket egy konkrét példán szemléltetem, amelynek során a irichletperemfeltételt homogénnek vettem, a Neumann-peremfeltételt pedig adott értékeken futtatam, el idézve ezzel az egyenlet elliptikusságának bizonyos pontokbeli lokális elvesztését. Mindez azért szemléletes számunkra, mert a ṽ érték növelésével a módszer nehezedik, azaz az egyes m veletek futásideje növekedhet. 4.1. táblázat. A részfolyamatok átlagos futásideje (sec) Lineáris segédfeladat Reziduális segédfeladat S n felépítése S n \w n Z felépítése Z\ w n ṽ,1 0.0228 0.0004 0.0227 0.0002 ṽ,2 0.0229 0.0005 0.0226 0.0002 ṽ,3 0.0232 0.0005 0.0229 0.0002 ṽ,4 0.0232 0.0006 0.0228 0.0003 ṽ,5 0.0233 0.0006 0.0231 0.0003 ṽ,6 0.0238 0.0006 0.0233 0.0003 ṽ,7 0.0243 0.0006 0.0237 0.0003 A fenti táblázatból leolvasható, hogy a Z globális mátrix felépítésének m veletigénye közel azonos az S n felépítéséhez szükséges m veleti igénnyel, valamivel kisebb annál. A program szempontjából ez azt jelenti, hogy a 0. iterációs lépésben ennek a

4.3. A PARAMÉTERÉRTÉKEK MEGVÁLASZTÁSA 32 részfolyamatnak a futásidejét megkétszerezzük, a további lépések során azonban Z-t már nem kell kiszámítanunk újból, tehát ez a m veleti költség ott már nem fog jelentkezni. Mivel az eredeti lineáris, valamint a reziduális segédfeladatra a jobb oldal vektora azonos, ezért ezt elegend iterációnként egyszer kiszámítani, itt tehát egyáltalán nem jelentkezik többletköltség. A végeselemes diszkretizációval nyert egyenletrendszer megoldásának futásideje elhanyagolhatónak mondható, a reziduális segédfeladat esetében ráadásul felez dik, tehát ez sem fogja megnövelni az egész program futásidejét. Végeredményben azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a (4.6) reziduális függvényre felírt egyenlet megoldásával felmerül többletköltség elhanyagolható, azaz az iteráció adaptívan történ megvalósításával nem nehezítettük a programot. Végül a leállási kritérium a következ lesz: a program egy bemen paramétereként megadhatjuk az elvárt maximális iterációszámot, a program pedig addig fut, amíg el nem éri ezt az iterációszámot, vagy pedig az aktuális közelítéshez tartozó reziduális függvény normája egy el re megadott érték alá nem esik. A program futtatásai során tapasztalt eremények alapján az általam választott korlát a következ : r n H 1 10 10. 4.3. A paraméterértékek megválasztása Az el z szakaszok alapján megírt program futtatásához meg kell határoznunk a (2.1) egyenletben szerepl M, ρ, valamint a v és ṽ paraméterek értékét. Ezek közül a ρ értékét már korábban, a 2. fejezetben megadtuk, ez a paraméter jelölte a leveg s r ségét zavartalan körülmények között, amely tehát: Az M Mach-szám meghatározásához az ρ = 1, 225 kg m 3. M = (v objektum) c (4.7) egyenletre van szükségünk, ahol els ként a c hangsebességet határozzuk meg. Ennek értéke a (2.3) képlet alapján, felhasználva, hogy a gázturbinás repül gépek szokásos magassága tengerszint felett 10 000 m [11], ilyen magasságban pedig a leveg

4.3. A PARAMÉTERÉRTÉKEK MEGVÁLASZTÁSA 33 h mérséklete körülbelül -57 C: c = 1, 4 287 ( 57 + 273, 16) 295 m s. Az adott magasságban a repül k megközelít leg 800 km sebességgel közlekednek, h ami körülbelül 222,2222 m -nak felel meg. Ezek alapján a (2.2) képlettel megadott s ρ : R + R + függvényben az M = 222, 2222 295 0, 7533 értékkel fogunk számolni. A v és ṽ paraméterek értékét pedig a futtatások során önkényesen fogjuk változtatni.

5. fejezet Eredmények E dolgozat célja volt egyrészt a (2.1) alapegyenlet numerikus megoldása matematikai módszerek segítségével, másrészt a munka alapjául szolgáló [1, 7, 8, 9] cikkek által közölt meggyelésekhez hasonló eredmények elérése. Mit is jelent ez pontosan? Egyrészt, azt szerettük volna elérni, hogy egy mérnöki vagy zikai modellproblémát pusztán matematikai módszerek segítségével közelít leg megoldjunk. Ennek fényében az alapegyenletet szuszbszonikus áramlási feltételek mellett tekintettük, biztosítva ezzel, hogy az egyenlet végig elliptikus maradjon, azaz a felhasznált módszerek és eljárások alkalmazhatóak legyenek. Kijelenthetjük, hogy ez a vizsgálat sikeres volt, a módszerek jól m ködtek, tehát a megoldáshoz szükséges feltételeink teljesültek. Másrészt, meggyelhet, hogy amint a szubszonikus áramlási sebességek elkezdenek átlépni transzszonikusba, a vizsgált szélcsatornában elkezdenek kialakulni az M > 1 zónák, ezek is tipikusan a repül gépszárny felett. A [1, 7, 8, 9] cikkek leírják, hogy ekkor a repül gépszárnyak felett úgynevezett transzszonikus lökéshullámok jönnek létre, amelyek egy bizonyos sebesség felett már szabad szemmel is láthatóak. Ilyen transzszonikus lökéshullámok keletkezését láthatjuk például az 5.1. ábrán, amely az úgynevezett Schlieren fotográai eljárással [13] készült. A Schlieren eljárás el nye, hogy segítségével lefényképezhet változó s r ség folyadékok áramlási képe, éppen ezért széleskör en használják a repül mérnöki vizsgálatokban a repül gépek körüli áramlások, lökéshullámok vizsgálatára is. 34

5.1. FUTTATÁS SZUBSZONIKUS FELTÉTELEK MELLETT 35 5.1. ábra. Transzszonikus lökéshullámok Schlieren képe a szélcsatornában, [7] Másik célunk volt tehát ezeknek a transzszonikus lökéshullámoknak valamilyen fokú szimulálása, amely törekvésünk szintén sikeresnek mondható, a kés bbiekben ábrákon szemléltetjük az eredményeket. A program bemen paramétereinek megválasztását az el z fejezet utolsó szakaszában tárgyaltuk, a ρ és M értékeket pontosan megadtuk, illetve kiszámítottuk. A másik két paraméter, v és ṽ értékét a futtatások során változtattam, ezzel befolyásolva az egyenlet elliptikusságát. Minél nagyobbra vettem a bemen értékeket, annál közelebb került a rendszer az M = 1-es határhoz, amellyel egyid ben a numerikus megoldás is elkezdett elfajulni. 5.1. Futtatás szubszonikus feltételek mellett Lássunk el ször egy példát, amelyet szubszonikus áramlási feltételek mellett futtattam. Az egyszer ség kedvéért homogén irichlet-peremfeltételt választottam, azaz a Γ 4 peremen a v x skalárszorzat értéket 0-nak vettem, ami a megoldások ábrázolásának szempontjából nem okoz redukciót, mivel azok az eredmények mondhatók szemléletesnek, amelyek esetén a u vektort vagy a u 2 -t l függ értékeket ábrázoljuk, és ezek esetében a konstans érték v x skalárszorzat nem jut szerephez. A Γ 2 peremrészen az inhomogén Neumann-peremfeltételt ṽ = 0.888-nak választottam, mivel ez egy olyan értéke a paraméternek, amely mellett az elliptikusság még nem romlik el. A maximális iterációszámot 50-nek vettem azzal az elvárással, hogy ennyi lépés alatt a csillapított Newton-módszernek várhatóan el kell érnie a lehet

5.1. FUTTATÁS SZUBSZONIKUS FELTÉTELEK MELLETT 36 legjobb megoldást. A futtatást elvégeztem 40 és 20 mm nomságú rácshálón is, azaz a hálót felépít háromszög elemek oldala egyenként megközelít leg 40, a másik háló esetében 20 mm nagyságú volt. Végül, a csillapított Newton-iteráció u 0 kezd vektorának a csupa nulla vektort választottam, azaz a programot az u 0 = zeros(m, 1) paranccsal inicializtáltam, ahol m a rácspontok számát jelöli. 5.2. ábra. A potenciál az egyes elemeken (40 és 20 mm nomságú hálón) Újra ki kell hangsúlyoznunk, hogy az általunk lokális Mach-számnak nevezett hányados most a (2.11) képlet alapján értelmezett M := r ( 1) 5 2 (M 2 5 + 5) ( 1) 5 2 + ( 1) 3 2 5 5 érték, ahol r := u. Ez a hányados egyrészt csak egy közelít érték, mivel a nevez t minden pontban ugyanakkorának tekintjük, ami pedig a valóságban nem igaz. Valójában az áramló közeg sebessége minden pontban különböz, mivel más és más az egyes pontokbeli tengerszint feletti magasság mértéke, és így a h mérséklet is, ami pedig a sebességet leginkább befolyásoló tényez. Ezzel szemben az általunk deniált M hányados nevez je az M paramétert l függ, ami viszont egy univerzális érték. Ez a közelítés azonban elfogadható, mivel a szélcsatorna vertikális kiterjedése nem mondható túlságosan jelent snek.

5.1. FUTTATÁS SZUBSZONIKUS FELTÉTELEK MELLETT 37 5.3. ábra. A lokális Mach-szám szintvonalai (40 és 20 mm nomságú hálón) Másrészt szót kell ejtenünk a lokális Mach-szám szintvonalainak ábrázolásának kérdésér l is. A MATLAB beépített contour parancsa ugyanis csak téglalap alakú rácson alkalmazható, ami gondot okozott egyrészt abból az okból kifolyólag, hogy az általunk használt geometria egy konkáv sokszög, másrészt azért, mert az r 2 = u n 2 értékeket elemenként számoltuk a mátrixösszef zések során, nem pedig pontonként. El ször tehát létrehoztam egy szabályos téglalap rácsot, majd pedig ennek csomópontjain interpoláltam az elemenként ismert u n 2 értékeket a MAT- LAB beépített griddata parancsával, amely lineáris interpolációt valósít meg. Az így kapott rácshálón, a rácspontokban kapott értékek felhasználásával ábározoltam az M lokális Mach-szám szintvonalait, lásd 5.3. ábra. 5.1. táblázat. A reziduális hiba csökkenésének mértéke r n / r 0 n = 1 n = 2 n = 3 n 4 40 mm 0.1006 0.0090 0.0028 0 20 mm 0.1006 0.0089 0.0021 0 A u n sebességvektor értékét szintén elemenként számoltuk a mátrixösszef zések során, ezért azt elemenként, a háromszög elemek súlypontjába helyezett nyilak segítségével ábárzoltam, ahol a nyilak mérete és iránya arányos a vektorok méretével és irányával, lásd 5.4. ábra. E kiragadott példa eredményei alapján is kijelenthet, hogy a program jól m ködött, általában véve szubszonikus áramlási feltételek esetén ehhez hasonló szép ered-

5.2. FUTTATÁS A Ṽ PARAMÉTERÉRTÉK NÖVELÉSÉVEL 38 ményeket kaptam. Az 5.1. táblázatból leolvasható, hogy a példabeli input paraméterek mellett a csillapított Newton-módszer már 4 iterációs lépés elvégzése után jó közelítését adta a vizgsált feladatnak, az egyes iterációs lépésekben ráadásul nem volt szükség a közelítés javítására sem. 5.4. ábra. A sebességvektor az egyes elemeken (40 és 20 mm nomságú hálón) Elmondható továbbá, hogy ezek mellett a bemen paraméterek mellett már az 40 mm nomságú rácshálón is kell en jó közelít megoldást kaphatunk, ezt mind a kapott ábrák, mind a 5.1. táblázat jól mutatja. Általánosságban az mondható, hogy szubszonikus áramlási feltételek esetén, amíg az egyenlet minden pontban meg rzi a lokális elliptikusságot, a program az elvárásoknak megfele en m ködött, a pontosság szempontjából jó eredményeket adott már kis iterációszám esetén is, a futásid szempontjából pedig a rácsháló nomsága volt a legnagyobb befolyásoló tényez. 5.2. Futtatás a ṽ paraméterérték növelésével Nézzük most azokat az eredményeket, amelyek a ṽ paraméter mozgatásával adódtak. Célunk volt, hogy amint az áramlás szubszonikusból elkezd transzszonikusba átváltani, olyan eredményeket produkáljunk, amelyek az [1, 7, 8, 9] cikkekben leírtakhoz hasonlatosak. Ebben az esetben ugyanis az egyenlet ellipikussága elromlik és a csillapított Newton-módszer sokkal nehezebben bírkózik meg a bemen adatokkal. Mindez a kirajzolt ábrákon jól látható, mivel a folyamat a gyakorlatban a