2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév
Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák
Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B.
Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f.
Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y.
Definíció 1. Definíció Az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A, y B esetén, ha (x, y) f és (x, z) f, akkor y = z. Ekkor a függvényt a következőképp jelöljük: f : A B. Lazábban fogalmazva az f A B relációt függvénynek nevezzük, ha bármely x A esetén egyértelműen létezik olyan y B, hogy (x, y) f. Függvények esetén azt, hogy (x, y) f úgy szokás jelölni, hogy f(x) = y. FONTOS! Amíg kérdéses, hogy az adott reláció függvény-e avagy sem, szigorúan a (x, y) f vagy az x f y jelölés használandó
Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y
Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? Nem függvény. f N N, x f y x < y
Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y
Példafeladat 1. Példa Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x < y Nem függvény. Mert bármely rögzített x N esetén végtelen sok y N van, amelyre x < y és ezáltal x f y Már az is elég a cáfolathoz, ha egyetlen rögzített x N elemmel több y N áll relációban: Nem függvény, mert 3 f 4 és 3 f 5 is teljesül.
Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y
Önálló feladat 1. Feladat Függvény-e az alábbi reláció? Miért? f N N, x f y x = y Igen, az. Mert a reláció megadása alapján ha x, y N és (x, y) f illetve (x, z) f, akkor y = x = z. Ezzel f teljesíti a függvény definíciójában megadott feltételeket.
Házi feladatok Feladatok Függvény-e az alábbi reláció? Miért? A = {1, 2, 4}, B = {3, 6, 12}, f A B, x f y xy = 12 f N N, x f y x y Legyen P a prímszámok halmaza és f P P, x f y x y
Definíció 2. Definíció Legyen X A és f : A B, ekkor f(x) = {b B van olyan a X, hogy f(a) = b}
Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y)
Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)).
Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b.
Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y).
Példafeladat 2. Példa Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x Y) f(x) f(y) Tegyük fel, hogy b f(x Y). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b (f(x) f(y)). Mivel b f(x Y), van legalább egy a (X Y), amelyre f(a) = b. Nyílván a X és a Y és ezért f(a) = b f(x) illetve f(a) = b f(y). Tehát b (f(x) f(y)) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.
Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y)
Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y).
Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y).
Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ).
Önálló feladat 2. Feladat Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(x)\f(y) f(x\y) Tegyük fel, hogy b (f(x)\f(y)). Az a feladatunk, hogy belássuk, hogy ekkor b f(x\y). Mivel b (f(x)\f(y)), b f(x), de b f(y). Ezért van legalább egy a X, amelyre f(a) = b, de nincs olyan c Y, amelyre f(c) = b (tehát a Y ). Ezek alapján nyílván a (X\Y). Tehát b f(x\y) és éppen ezt akartuk bebizonyítani.
Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b)
Házi feladatok Feladatok Adott egy f : A B függvény. X, Y A, bizonyítsa be, hogy Tipp f(a B) f(a) f(b) f(a) f(b) f(a B) f(a B) = f(a) f(b) Az első két feladatból következik a harmadik. (A halmazok egyenlőségét a kölcsönös tartalmazással is definiálhatjuk)
A teljes indukció elve 1. Tétel Ha M N olyan, hogy 1 M továbbá m+1 M minden m M esetén, akkor M = N.
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M.
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+...+m = m(m+1) 2.
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+...+m = m(m+1) 2. Nyílván 1+2+...+m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2.
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+...+m = m(m+1) 2. Nyílván 1+2+...+m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy 1+2+...+m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik.
Példafeladat 3. Példa Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+...+n = n(n+1) 2 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor n(n+1) 2 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+...+m = m(m+1) 2. Nyílván 1+2+...+m+(m+1) = m(m+1) 2 +(m+1) = 2(m+1)+m(m+1) 2. Ha kiemelünk (m+1)-et, akkor azt kapjuk, hogy 1+2+...+m+(m+1) = (m+2)(m+1) 2, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+2 2 +...+2 n 1 = 2 n 1
Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+2 2 +...+2 n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül.
Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+2 2 +...+2 n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M.
Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+2 2 +...+2 n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+2 2...+2 m 1 = 2 m 1.
Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+2 2 +...+2 n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+2 2...+2 m 1 = 2 m 1. Nyílván 1+2+2 2...+2 n 1 + 2 m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik.
Önálló feladat 3. Feladat Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+2+2 2 +...+2 n 1 = 2 n 1 Legyen M azon egészek halmaza, amelyre az állítás teljesül. Ha n = 1, akkor 2 n 1 = 1, tehát 1 M. Tegyük fel, hogy m M, ekkor 1+2+2 2...+2 m 1 = 2 m 1. Nyílván 1+2+2 2...+2 n 1 + 2 m = 2 m 1+2 m = 2 m+1 1, tehát m+1 M következik. Az 1. tétel alapján M = N és ezzel az állítást bebizonyítottuk.
Házi feladatok Feladatok Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n N-re: 1+3+5+...+(2n 1) = n 2 1 1 2 + 1 2 3...+ 1 n(n+1) = n 1 3 + 2 3 +...+n 3 = n+1 ) 2 ( n(n+1) 2
A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form
A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza
A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza
A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con =
A klasszikus nulladrendű nyelv 3. Definíció Klasszikus nulladrendű nyelv en az rendezett hármast értjük, ahol L (0) = LC, Con, Form LC = {,,,,,(,)} a nyelv logikai konstansainak a halmaza Con a nyelv nemlogikai konstansainak a legfeljebb megszámlálhatóan végtelen halmaza LC Con = Form a nyelv formuláinak a halmaza.
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg:
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák)
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form
A formula definíciója 3. Definíció (folytatás) A nyelv formuláinak a halmazát a következő induktív definíció adja meg: Con Form (atomi formulák) Ha A Form, akkor A Form Ha A, B Form, akkor (A B) Form (A B) Form (A B) Form (A B) Form
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát!
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)
Példafeladat 4. Példa Adja meg annak a f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nemlogikai konstansok (Con) számát! f(a) = 1, ha A Con f( A) = f(a), ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b) f((a B)) = f(a)+f(b)
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát!
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1
Önálló feladat 4. Feladat Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő valódi logikai konstansok (LC r = LC\(,)) számát! f(a) = 0, ha A Con f( A) = f(a)+1, ha A Form Ha A, B Form, akkor f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1 f((a B)) = f(a)+f(b)+1
Házi feladatok Feladatok Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő nyitó zárójelek számát! Tipp Adja meg annak az f : Form N függvénynek az induktív definícióját, mely minden formula esetén megadja a formulában szereplő záró zárójelek számát! Bizonyítsa be, hogy a nulladrendű nyelv minden egyes formulájában a nyitó és a záró zárójelek száma megegyezik Az első két feladatból következik a harmadik.