Operátorfélcsoportok és alkalmazásaik. Szakdolgozat. Szemenyei Flóra Orsolya. Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány

Operátorfélcsoportok és alkalmazásaik Szakdolgozat Szemenyei Flóra Orsolya Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Csomós Petra Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 217

Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretném megköszönni témavezet mnek, Csomós Petrának a segítségét, aki felhívta a gyelmem a témára, és aki egész id alatt gyelemmel kísérte a munkámat, segített a szakirodalom kiválasztásában, valamint hasznos tanácsokkal látott el a LA- TEX használatában. Továbbá szeretném megköszönni családom támogatását, biztatását, amivel hozzájárultak szakdolgozatom elkészítéséhez.

Tartalomjegyzék Bevezetés 4 Motiváció 5 1. Mátrixok esete 7 2. Korlátos operátorok esete 7 3. Nemkorlátos operátorok esete 1 4. Félcsoportok generátora, rezolvense 12 5. Generátorok jellemzése 2 6. Félcsoportok approximációja 24 7. Térbeli diszkretizációs módszerek 3 8. Id beli diszkretizációs módszerek 35 9. Alkalmazás 39 Összefoglalás 43 Irodalomjegyzék 44 Függelék 45 3

Bevezetés Szakdolgozatomban az absztrakt kezdetiérték-problémával foglalkozunk, ehhez az operátorfélcsoportokat tanulmányozzuk. A motivációban megmutatjuk, hogy a h vezetési parciális dierenciálegyenlet hogyan írható át absztrakt kezdetiérték-problémává, vagyis absztrakt Cauchy-problémává az operátorfélcsoportok segítségével. Továbbá megnézzük a kezdetiérték-problémát valós számok esetére, majd az els fejezetben a mátrixok, a második fejezetben a korlátos lineáris operátorok esetére. A harmadik fejezetben a nemkorlátos operátokkal foglalkozunk, deniáljuk az er s folytonosság fogalmát, ezekre példákat is nézünk. A negyedik fejezetben deniáljuk a félcsoportok generátorát, rezolvensét és vizsgáljuk ezek tulajdonságait. Az ötödik fejezetben a generátorokat jellemezzük, megadunk rá karakterizációkat, és megnézzük, hogy az absztrakt Cauchyproblémával milyen összefüggésben vannak. Az elméleti háttér után a hatodik, hetedik és nyolcadik fejezetben numerikus szempontból vizsgáljuk meg a félcsoportokat: a térbeli és id beli diszkretizációjukkal foglalkozunk. A kilencedik fejezetben megnézünk egy konkrét számítógépes alkalmazást, saját programot írva a MATLAB segítségével. 4

Motiváció Szakdolgozatomban az operátorfélcsoportokról lesz szó. Kezdetben áttekintjük az operátorfélcsoportok elméleti hátterét, majd megnézzük, hogy numerikusan mire lehet használni ket, milyen numerikus analízisbeli hasonló állítások fogalmazhatók meg az operátorfélcsoportokról. Motivációként tekintsük az alábbi kezdetiérték-problémát az X Banach-téren. Ennek megoldásához, megoldhatóságához deniáljuk majd az operátorfélcsoportokat, és nézzük meg a tulajdonságaikat. d u(t) = Au(t), t, dt u() = u. Nézzünk meg négy esetet aszerint, hogy X és u mit jelöl. Els esetben nézzük meg, mi a megoldás, ha X a valós számok halmaza: Ekkor A, u R, u : R R, és a megoldás u(t) = e ta u. Számokra ismert, hogy fennállnak az alábbi egyenl ségek: e (t+s)a = e ta e sa, t, s, e A = 1, Ae ta = e ta A, t. Második esetként nézzük meg (1)-et a valós mátrixokra. Legyen X = R d d. Ekkor A R d d, d N, u R d. Ekkor a megoldás szintén u(t) = e ta u alakban áll el, ahol e ta = Ebben az esetben is teljesül,hogy ahol I R d d egységmátrix. e (t+s)a = e ta e sa, t, s, e A = I, Ae ta = e ta A, t, (ta) k. k! Az els belátásához felhasználjuk az e ta denícióját, és azt, hogy a sora abszolút konvergens, mivel ha m > n, m, n N, akkor minden t esetén teljesül, hogy m t k A k n t k A k m k! k! = t k A k m k! t k A k. k! k= k= k=n+1 k=n+1 A kifejezés pedig tart -hoz, ha n, m. Mivel t k A k k! t k A k teljesül, igaz az alábbi összefüggés: e ta e t A, k! k= k= minden t esetén. 5 k= (1)

Vagyis Cauchy-sorozatot alkot a sor, és abszolút konvergens R n -ben. Ezek alapján teljesül az alábbi: e ta e sa (ta) k (sa) k n t n k A n k s k A k = = = k! k! (n k)! k! k= k= n= k= (t + s) n A n = = e (t+s)a t, s. n! n= Jelölje L(X) az X-en értelmezett korlátos lineáris operátorok terét, ellátva a. szuprémumnormával. Harmadik esetként azt vizsgáljuk, mi a megoldás, ha A egy Banach-téren értelmezett korlátos lineáris leképezés, azaz A L(X) olyan lineáris operátor, melyre M > : Af M f f X. Legyen X Banach-tér, A L(X), u : R X, u X. Mivel A M, így minden ugyanúgy teljesül, mint a mátrixoknál. Negyedik esetként nézzük meg, hogy mi igaz, ha A nemkorlátos operátor. Ekkor (1) megoldására legyen u(t) = T (t)u valamely T (t) operátor esetén. Azt reméljük, hogy T () = Id és T (t + s) = T (t)t (s) is teljesül az els három esethez hasonlóan. A kés bbiekben kiderül, hogy ezek az egyenl ségek fennállnak. Az (1) feladat azért motivált minket, mert a parciális dierenciálegyenleteket átírhatjuk ilyen alakká, és ennek segítségével közelíteni tudjuk a megoldásukat. Nézzük például a h vezetési egyenletet egy dimenzióban, a (, 1) intervallumon, a homogén Dirichlet-peremfeltétellel. Keressük w C 1,2 (R +, [, 1]) függvényt, melyre teljesülnek az alábbiak: t w(t, x) = xx w(t, x), t >, x (, 1) w(, x) = w (x), x (, 1) w(t, ) = w(t, 1) =, t >. Az egyenletet átírhatjuk d u(t) = Au(t), t > alakba, ahol dt (2) (Af)(x) := f (x) = d2 dx 2 f(x), f D(A), D(A) = {f L 2 (, 1) : f C 1 [, 1], f, f L 2 (, 1), f (x) f () = x f (y)dy, x [, 1], f() = f(1) = } Vagyis átírtuk a feladatot (1) alakúra. A következ fejezetekben az utóbbi három esetet vizsgáljuk meg részletesebben. 6

1. Mátrixok esete A következ fejezetek Sikolya E. [6] egyetemi jegyzetének és K. Engel, R. Nagel [4] könyvének felhasználásával készültek. A fejezetben megnézzük részletesebben a motivációban már szerepelt mátrixok esetét. Legyen T (t) R d d t. Tekintsük az alábbi függvényegyenletet: T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = I. (FE) Keressük az (FE) összes megoldását. Tekintsük ismét az e ta operátort, ahol A egy n n -es mátrix. Bármely mátrixra a denícióbeli sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, vagyis konvergens a sor, ahogy az el z részben már beláttuk. 1.1. Állítás. Ha A egy n n -es mátrix, akkor a t e ta, t leképezés folytonos és teljesül, hogy e (t+s)a = e ta e sa minden t, s esetén, és e A = Id. Bizonyítás: Az egyenl ségeket már beláttuk, csak a folytonosság maradt. Megmutatjuk, hogy t -ra e (t+h)a e ta, ha h. Az el bbi egyenl ség miatt e (t+h)a e ta = e ta (e ha Id). Ezért elég belátni, hogy lim h e ha = Id: e ha Id = h k A k k! h k A k = e h A 1. k! k=1 Ez a kifejezés pedig tart -ba, ha h. k=1 Az el bbiek miatt deniálhatunk bizonyos mátrixcsaládokat. 1.2. Deníció. Az (e ta ) t mátrixcsaládot az A R n n -es mátrix által generált egyparaméteres félcsoportnak nevezzük. 2. Korlátos operátorok esete Megnézzük az el z részbeli tulajdonságokat mátrixok helyett a folytonos lineáris operátorokra. Legyen X Banach-tér, jelölje továbbá L(X) az X-en értelmezett folytonos (korlátos) lineáris operátorok terét, ellátva a megfelel operátornormával. Továbbra is keressük 7

az alábbi egyenleteket kielégít T függvényeket, de most T : R + L(X): T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = Id. (FE) Ahol Id az identitásoperátor X-en. A mátrixokhoz hasonlóan deniálhatjuk az operátorok bizonyos családjait. 2.1. Deníció. A korlátos lineáris operátorokból álló (T (t)) t családot az X Banachtéren vett operátorfélcsoportnak nevezzük, ha a T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = Id egyenl ségek fennállnak. A mátrixok mintájára deniálhatjuk az e ta t k A k := kifejezést, ahol A L(X), k! k= hiszen itt is igaz, hogy t k A k k! t k A k, és e ta e t A, minden t k! k= k= esetén, ahol A < +. És szintén fennáll, hogy a t e ta leképezés folytonos, és teljesülnek ezek az egyenl ségek: e (t+s)a = e ta e sa, t, s, e A = Id. Ezek a mátrixok esetéhez hasonlóan bizonyíthatók. 2.2. Állítás. Ha T (t) := e ta, A L(X), akkor a T : R + L(X) dierenciálható, és a kezdetiérték-problémát kielégíti,azaz d T (t) = AT (t), t, dt T () = Id. Bizonyítás: A t pontbeli dierenciálhatósághoz elég, hogy minden h > esetén az (FE) miatt T (t + h) T (t) h = T (h) Id T (t). h Így elég belátni, hogy -ban dierenciálható, és hogy A = d T (), így (3) is teljesül. A dt T (t) = e ta deníciója szerint (3) 8

Így az állítás teljesül. T (h) Id A h h k 1 A k = k! k=2 = e h A 1 h A, h. Vezessünk be egy folytonosságot deniáló fogalmat az operátorfélcsoportokra. 2.3. Deníció. A (T (t)) t operátorfélcsoportot egyenletesen folytonosnak nevezzük, ha t T (t) L(X), t > folytonos az L(X)-beli operátornormát véve. Belátható, hogy ha (T (t)) t félcsoport egyenletesen folytonos az X Banach-téren, akkor T (t) = e ta alakú valamilyen A L(X) operátorra. Megmutatjuk, hogy létezik nem egyenletesen folytonos félcsoport is. Deniáljuk az alábbi operátorfélcsoportokat. 2.4. Deníció. Legyen f : R C folytonos függvény, t, (T l (t)f)(s) := f(s + t), s R és (T r (t)f)(s) := f(s t), s R. Ekkor a (T l (t)) t, (T r (t)) t operátorokat bal- ill. jobbeltolás-félcsoportnak nevezzük. Belátjuk, hogy ezek valóban félcsoportok, ugyanis kielégítik (FE)-t: (T l (t)t l (s)f)(r) = (T l (t)f)(r + s) = f(r + s + t) = f(r + (t + s)) = (T l (t + s)f)(r), (T l ()f)(r) = f(r + ) = f(r), t, s, r R. Vagyis T l (t)t l (s) = T l (t + s) és T l () = Id. Hasonlóan a jobbeltolásra: (T r (t)t r (s)f)(r) = (T r (t)f)(r s) = f(r s t) = f(r (t + s)) = (T r (t + s)f)(r), (T r ()f)(r) = f(r ) = f(r), t, s, r R. Vagyis T r (t)t r (s) = T r (t + s) és T r () = Id. Megmutatjuk, hogy a (T l (t)) t eltolás-félcsoport nem egyenletesen folytonos. T l (t + h)f T l (t)f = sup f(t + s + h) f(t + s) s R = sup f(s + h) f(s) s R Ez pedig h mellett csak abban az esetben tart -hoz, ha f korlátos és egyenletesen folytonos. Tehát, ha f nemkorlátos vagy nem egyenletesen folytonos, akkor (T l (t)) t nem egyenletesen folytonos operátorfélcsoport. 9

3. Nemkorlátos operátorok esete Mivel az egyenletes folytonosság sok esetben nem teljesül, mint például az el bbi baleltolás-félcsoportnál, vezessünk be egy másik folytonosságot, ami több félcsoportra teljesül. 3.1. Deníció. Legyen X Banach-tér. Az X-en értelmezett korlátos lineáris operátorokból álló (T (t)) t operátorcsaládot er sen folytonos operátorfélcsoportnak nevezzük, ha teljesül, hogy T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = Id, és a ξ f : t ξ f (t) := T (t)f leképezés folytonos R + -on minden f X esetén. Az alábbi lemma szerint egy függvényre az er s folytonosság helyett elég egy s r részhalmazon belátni a folytonosságot, ha a függvény egyenletesen korlátos. 3.2. Lemma. Legyen X Banach-tér, F : Y L(X) függvény, ahol Y R kompakt halmaz. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. (i) F er sen folytonos, azaz minden f X esetén az Y t F (t)f X leképezés folytonos; (ii) F egyenletesen korlátos Y -on, és a Y t F (t)f X leképezés folytonos minden f D esetén, ahol D X s r halmaz. Nézzük meg az er sen folytonos operátorfélcsoportok tulajdonságait. Igazolható, hogy az er s folytonosság ekvivalens a következ kkel: (i) (T (t)) t er sen folytonos. (ii) lim t T (t)f = f minden f X esetén. (iii) Létezik δ, M 1, és D X s r részhalmaz, hogy T (t) M minden t [, δ] és lim t T (t)f = f minden f D-re. Ezek segítségével gyakran igazolhatjuk egy félcsoport er s folytonosságát. Belátható, hogy ha (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport az X Banachtéren, akkor minden [a, b] R + esetén a {T (t) : t [a, b]} L(X) halmaz egyenletesen korlátos az L(X)-beli operátornormára. 3.3. Állítás. Legyen (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport. Ekkor létezik ω R és M 1, hogy T (t) Me ωt. 1

Bizonyítás: Legyen M := sup T (s). Legyen t. Írjuk fel t-t t = n + s alakban, s [,1] ahol n N, s [, 1). Ekkor a félcsoport tulajdonság miatt: T (t) = T (n + s) T (s) T (n) T (s) T (1) n Me n ln T (1) Me n ln M Me tω. Vagyis ω-t ln M-nek választottuk, és n-et felülr l becsültük t-vel. 3.4. Deníció. Legyen (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport. Az ω = ω (T ) := inf{ω R : M ω 1, hogy T (t) M ω e ωt, t } < számot a (T (t)) t növekedési korlátjának nevezzük. És ha ω nullának válaszható, az operátorfélcsoportot korlátosnak hívjuk. Ha teljesül, hogy T (t) Me ωt, t, akkor T -t (M, ω)-típusúnak nevezzük. A félcsoport kontraktív, ha ω =, M = 1 választható. Nézzünk egy-két példát az er sen folytonos félcsoportokra: Ha A R n n vagy A L(X) és T (t) = e ta, akkor T (1, A ) típusú, ugyanis e ta e t A. Az alábbiakban legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. Ekkor a következ k is er sen folytonos félcsoportok. Hasonló félcsoport: Legyen Y Banach-tér, V : Y X izomorzmus. Az S(t) := V 1 T (t)v, t a (T (t)) t -hez hasonló, er sen folytonos félcsoport Y -on. S() = V 1 T ()V = V 1 IdV = Id S(t + s) = V 1 (T (t + s))v = V 1 T (t)t (s)v = = V 1 T (t)v V 1 T (s)v = S(t)S(s) és ha t T (t)f folytonos minden f X-re, akkor t V 1 T (t)v f is az. Átskálázott félcsoport: Legyen µ C, α >. Ekkor az átskálázott félcsoport: S(t) := e µt T (αt), t. S() = e T () = Id S(t + s) = e µ(t+s) T (α(t + s)) = e µt T (αt)e µs T (αs) = S(t)S(s) és ha t T (t)f folytonos minden f X-re, akkor t e µt T (αt)f is az. 11

Szorzatfélcsoport: Legyen (S(t)) t is egy félcsoport, mely (T (t)) t -vel kommutál: T (t)s(t) = S(t)T (t), t. Ekkor a szorzatfélcsoport: U(t) := T (t)s(t), t. U() = T ()S() = IdId = Id U(t + s) = T (t + s)s(t + s) = T (t)t (s)s(t)s(s) = = T (t)s(t)t (s)s(s) = U(t)U(s) és ha t T (t)f, t S(t)f is folytonos minden f X-re, akkor t T (t)s(t)f is az. 4. Félcsoportok generátora, rezolvense Vizsgáljuk meg az er sen folytonos operátorfélcsoportok dierenciálhatóságát, ugyanis a mátrixoknál is fontos volt, várhatóan itt is az lesz. A mátrixoknál teljesült, hogy d dt eta = Ae ta t ; ( d eta) dt t= = A. Azt reméljük, hogy a félcsoportok esetén is teljesülni fog ez a tulajdonság. Tekintsük ehhez el ször a következ lemmát. 4.1. Lemma. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport, f X. Ekkor a ξ f : t ξ f (t) := T (t)f leképezésre ekvivalens: (i) ξ f dierenciálható R + -on; (ii) ξ f jobbról dierenciálható t=-ban. Bizonyítás: (i) = (ii) triviális. (ii) = (i): Legyen adott t>. Ekkor a félcsoport-tulajdonságok és a korlátosság miatt lim 1 h h (T (t + h)f T (t)f) = T (t) lim h vagyis jobbról dierenciálható R + -on. Nézzük a balról dierenciálhatóságot: Rögzítsük t < -t és t h < -t. Ekkor 1 (T (h)f f) = T (t) d ξ h dt f(), 1 (T (t + h)f T (t)f) T (t) d ξ h dt f() = = T (t + h)( 1 (f T ( h)f) d ξ h dt f()) + (T (t + h) d ξ dt f() T (t) d ξ dt f()). Ha h-val tartunk balról a -ba, akkor a baloldali tag -hoz tart, mivel T (t + h) korlátos. A jobboldali tag pedig az er s folytonosság miatt tart -hoz. Tehát ξ balról is dierenciálható. És d ξ dt f(t) = T (t) d ξ dt f(), t. 12

Ezzel az állítást beláttuk. A lemma alapján deniálhatjuk az operátor nullában vett deriváltját, ami egyértelm en meghatározza a félcsoportot, ahogy kés bb látni fogjuk. 4.2. Deníció. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. A (T (t)) t generátora az A : D(A) X X operátor, melyre Af := d dt ξ f() = lim h T (h)f f h f D(A), ahol D(A) = {f X : ξ f dierenciálható}. Néha (A,D(A))-val jelöljük az A operátort és értelmezési tartományát. Az alábbiakban megvizsgáljuk a most bevezetett generátor tulajdonságait. 4.3. Lemma. Legyen (A,D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos félcsoport generátora. Ekkor a következ k teljesülnek. (a) A : D(A) X X lineáris operátor. (b) Ha f D(A), akkor T (t)f D(A) és (c) Minden t, f X esetén d T (t)f = T (t)af = AT (t)f, t. dt (d) Minden t esetén T (s)fds D(A). T (t)f f = A = T (s)fds, ha f X, T (s)afds, ha f D(A). Bizonyítás: (a): Az A operátor lineáris operátorok összegének határértéke, így lineáris. (b): Legyen f D(A), t. A folytonosságból és a félcsoport tulajdonságból kapjuk, hogy = lim h T (h)t (t)f T (t)f h T (t)af = T (t) lim h T (h)f f h = = lim h T (h + t)f T (t)f h = AT (t)f. 13

(c) és (d): Legyen f X, t. Ekkor az alábbiak fennállnak. A 1 ( T (s)fds = lim T (h) T (s)fds h h 1 t = lim T (s + h)fds lim h h 1 = lim h h 1 = lim h h +h h +h Vagyis f X-re az állítást beláttuk. Ha f D(A), akkor az t 1 T (s)fds lim h h 1 T (s)fds lim h h 1 t h h ) T (s)fds h = T (s)fds = T (s)fds = T (s)fds = T (t)f f, s T (s) T (h)f f h leképezések [, t 1 ] intervallumon egyenletesen tartanak s T (s)af-hez, ha h, mivel a T(s) operátorok egyenletesen korlátosak [, t]-n. Így f D(A) esetén lim (T (h) Id) h h 1 Vagyis igazak az állítások. T (s)fds = lim = h T (s) 1 (T (h) Id)fds = h T (s)afds. Vezessük be az operátor zártságának fogalmát, ami a következ tétel szerint az er sen folytonos félcsoportok generátorára is igaz. 4.4. Deníció. Legyen A : D(A) X X lineáris operátor. Az A operátort zártnak nevezzük, ha a következ ekvivalens feltételek teljesülnek rá: (i) Ha egy (f n ) n N D(A) sorozatra lim f n = f X és lim Af n = y X léteznek, n n akkor f D(A) és Af = y; (ii) a G(A) := {(f, Af) : f D(A)} X X gráf zárt halmaz; (iii) az X := (D(A), A ) Banach-tér, ahol az úgynevezett gráfnorma. f A := f + Af, f D(A) 4.5. Tétel. Egy er sen folytonos félcsoport generátora zárt és s r n deniált lineáris operátor, amely egyértelm en meghatározza a félcsoportot. Bizonyítás: Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. Az (A, D(A)) generátor lineáris, elég a zártságot igazolnunk. Legyen (f n ) n N D(A) sorozat, melyre f n f, Af n y. A 4.3. Lemma miatt 14

T (t)f n f n = T (s)af n ds teljesül minden t > -ra. Legyen u n (s) := T (s)af n és u(s) = T (s)y. Ekkor u n u egyenletesen [, t]-n, vagyis T lokálisan korlátos, és így T (t)f f = T (s)yds. Ebb l következik, hogy u(t) = T (t)f dierenciálható -ban, és u () = y. Vagyis f D(A) és Af = y. Tehát A zárt operátor. A s r n deniáltság igazolásához legyen f X tetsz leges és legyen f(t) := 1 t T (s)fds. A 4.3. Lemma (c) pontja miatt f(t) D(A). Ekkor s T (s)f leképezés folytonos és f(t) T ()f = f, ha t. Így D(A) s r X-ben. Végül belátjuk az egyértelm séget: Legyen T 1 is egy félcsoport, melynek generátora szintén A. Legyen f D(A) és t > rögzített. Legyen f : [, t] X, f(s) := T (t s)t 1 (s)f. Ekkor f dierenciálható és d f(s) = ( d T (t s))t ds ds 1(s)f + T (t s) d (T ds 1(s)f) = = AT (t s)t 1 (s)f + T (t s)at 1 (s)f. Felhasználva a 4.3. Lemma szerint, hogy a félcsoport és a generátora kommutálnak D(A)-n, kapjuk, hogy a jobboldal, így f konstans. Ebb l következik, hogy T 1 (t)f = f(t) = f() = T (t)f, vagyis a T 1 (t) és a T (t) operátorok azonosak D(A) s r alteren, így egyenl ek mindenhol. A következ tétel az operátor zártságának egy jellemzését adja meg, melyet általában könnyebben tudunk igazolni, mint magát a zártságot. 4.6. Tétel. Legyen A : D(A) X X zárt operátor. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) korlátos operátor; (ii) D(A) zárt X-ben. Bizonyítás: Csak az egyik irányt bizonyítjuk, a másik bonyolult. (i)= (ii): Legyen (f n ) D(A), f n f sorozat. Az (f n ) Cauchy-sorozat D(A)-ban, 15

és a korlátosság miatt Af n Af m A f n f m, n, m Kaptuk, hogy (Af n ) is Cauchy-sorozat, így konvergens is. Legyen y = lim Af n. Mivel A zárt, így f D(A) és y = Af. Vagyis n D(A) zárt. A tételt alkalmazhatjuk a félcsoportok generátoraira is, mivel azok zárt operátorok. Tekintsük ehhez az alábbi következményt. 4.7. Következmény. Ha (A, D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport generátora, akkor az alábbi állítások ekvivalensek: (i) A korlátos; (ii) D(A) = X; (iii) D(A) zárt X-ben; (iv) a (T (t)) t félcsoport egyenletesen folytonos. Továbbá, ha a feltételek teljesülnek, akkor T (t) = e ta t k A k =, t. k! k= Bizonyítás: Az (i) (ii) (iii) az el z két tételb l adódik. Az (i) (iv) és az el állítás pedig abból, hogy az egyenletesen folytonos félcsoport T (t) = e ta alakú, ahol A L(X) operátor. A D(A) halmaz azokat az f elemeket tartalmazza, melyekre T (t)f dierenciálható. Ez alapján vezessünk be a többször dierenciálhatóságra is egy jelölést, melynek segítségével felírhatjuk az operátorfélcsoportokra vonatkozó Taylor-formulát. Legyen D(A ) = X és A = Id. Legyen minden n N esetén D(A n ) : = {f D(A n 1 ) : A n 1 f D(A)}, ahol A n f = AA n 1 f, f D(A n ). Vagyis D(A n ) azokból az f X vektorokból áll, melyre a t T (t)f leképezés n-szer folytonosan dierenciálható, és dn dt n T (t)f = T (t)a n f. 4.8. Deníció. Legyen A : D(A) X X lineáris operátor. A D D(A) altér az A lényeges része, ha s r D(A)-ban a A normára nézve. Igazolható, hogy D(A n ) az A lényeges része minden n N-re. A következ állításban az operátorfélcsoportokra vonatkozó Taylor-formulát adjuk meg, ami segítségével felírhatjuk az operátort összegalakban. 16

4.9. Állítás. (Taylor-formula). Legyen (T (t)) t operátorfélcsoport, melynek generátora A. Ekkor minden n N, t esetén T (t)f = = n j= n j= (ta) j f j! (ta) j f j! + A n! + 1 n! (t s) n T (s)a n fds, f D(A n ) (t s) n T (s)a n+1 fds, f D(A n+1 ). Bizonyítás: Ha f D(A n+1 ), a t T (t)f leképezés n+1-szer dierenciálható. Ekkor a második tag egy Taylor-formulabeli maradéktag. Az els egyenletet lássuk be indukcióval. Az n = eset adódik a 4.3. Lemma (d) pontjából. Tegyük fel, hogy n N esetén igaz az állítás. Tudjuk, hogy T (s)a n f = A n f + A Így s T (r)a n fdr. T (t)f = = = n j= n j= n+1 j= (ta) j f j! (ta) j f j! (ta) j f j! + A n! + A n! + A (n + 1)! (t s) n T (s)a n fds = (t s) n (A n f + A s (t r) n+1 T (r)a n+1 fdr. T (r)a n fdr)ds = A második egyenl ség pedig ugyanígy kapható, ha f D(A n+2 ). A következ kben az operátorok rezolvensével fogunk foglalkozni, melynek fontos szerepe lesz a numerikus közelítésekben, mivel a rezolvensoperátor korlátos operátor. Ez pedig sok numerikus eljárás feltétele. Vezessünk be a rezolvenshez néhány fogalmat. A továbbiakban legtöbbször a λ Id operátort λ-val jelöljük. 4.1. Deníció. Legyen (A, D(A)) zárt operátor. Ekkor A rezolvenshalmaza ρ(a) := {λ C : λ A bijektív}. És A spektruma σ(a) := C \ ρ(a) = {λ C : λ A nem bijektív}. Az A rezolvense a λ ρ(a) pontban R(λ, A) := (λ A) 1. 17

Ha (A, D(A)) zárt operátor, akkor ρ(a) nyílt halmaz C-ben, σ(a) pedig zárt. A következ állításnak nagy jelent sége van a numerikus eljárásokban, miszerint a zárt operátor rezolvense korlátos. Így a rezolvensoperátor numerikus közelítésekre alkalmas. 4.11. Állítás. Legyen (A, D(A)) zárt operátor. Ekkor R(λ, A) korlátos operátor minden λ ρ(a) esetén. Bizonyítás: A feltételek miatt λ A is zárt, és zárt operátor inverze is zárt. Mivel λ ρ(a) esetén λ A szürjektív, így R(λ, A) az egész X-en van értelmezve, tehát korlátos is a 4.6. Tétel szerint. A következ egyenl séget a harmadik fejezetben látott átskálázásból kapjuk. 4.12. Állítás. Legyen (A, D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos félcsoport generátora. Legyen λ C, t> tetsz leges. Ekkor e λt T (t)f f = (A λ) = Bizonyítás: Legyen e λs T (s)fds, ha f X, e λs T (s)(a λ)fds, ha f D(A). S(t) := e λt T (t), t átskálázott félcsoport. Ennek generátora B = A λ, D(B) = D(A). Alkalmazzuk S-re a 4.3. Lemma (d) pontját. A következ állításban a rezolvens egy jellemzését adjuk meg. 4.13. Állítás. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. Továbbá legyenek ω R, M 1, hogy T (t) Me ωt, t. Ekkor a félcsoport (A,D(A)) generátorára teljesülnek az alábbiak: (a) Ha λ C, melyre R(λ)f := λ ρ(a) és R(λ) = R(λ, A). (b) Ha Re λ > ω, akkor λ ρ(a). (c) Minden Re λ > ω esetén e λs T (s)fds létezik minden f X esetén, akkor R(λ, A) 18 M Re λ ω.

4.14. Következmény. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banachtéren. Továbbá legyenek ω R, M 1, hogy T (t) Me ωt, t. Legyen n N és λ C, melyre Re λ > ω. Ekkor a félcsoport generátorának rezolvensére teljesül, hogy R(λ, A) n f = ( 1)n 1 (n 1)! dn 1 R(λ, A)f = dλn 1 1 = s n 1 e λs T (s)fds (n 1)! minden f X esetén. És R(λ, A) n M (Re λ ω) n. Átskálázott félcsoport Nézzük meg az átskálázott félcsoportok rezolvensét. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport, melynek generátora A. Legyen µ C, α >, S(t) := e µt T (αt), t. Ekkor S generátora: Ekkor σ(b) = ασ(a) + µ és = 1 α Eltolásfélcsoport B = αa + µid, D(B) = D(A). R(λ, B) = 1 α R( λ µ α, A), λ ρ(b), mivel R(λ, B) = (λ B) 1 = (λ αa µ) 1 = ( λ µ ) 1 α A 1 ( λ µ ) = α R α, A ( ( λ µ )) 1 α α A = Vizsgáljuk meg a korábban megismert eltolásfélcsoport generátorát. (T l (t)f)(s) := f(s + t), s, t R. 4.15. Állítás. Legyen C ub (R) az R-en korlátos, egyenletesen folytonos függvények tere. A (T l (t)) t baleltolás-félcsoport generátora az X = C ub (R) Banach-téren az melyre Af := f, 19

Az állítás adódik abból, hogy Diúzió-félcsoport Legyen X = L p (R n ) és legyen D(A) = {f C ub (R) : f dierenciálható, f C ub (R)}. Af = f := lim t f(s + t) f(s) t n d 2 ds 2 k=1 k = f (s). f(s 1,..., s n ), f S(R n ), ahol S(R n ) a végtelen sokszor dierenciálható, gyorsan lecseng függvények tere. Ekkor igazolható, hogy A generátora a (T (t)) t h vezetési vagy Gauss-félcsoportnak, ahol T () = Id; s r 2 1 (T (t)f)(s) = e 4t f(r)dr, t >, s R n, f X. (4πt) n/2 R n 5. Generátorok jellemzése Felmerül a kérdés, hogyan lehet eldönteni egy operátorról, hogy generátor-e. Így a következ fejezetben azzal fogunk foglalkozni, hogy hogyan tudjuk karakterizálni az er sen folytonos operátorfélcsoportok generátorait. Tekintsük el ször az alábbi lemmát, aminek segítségével bebizonyítható a fejezet f tétele, és annak következménye. 5.1. Lemma. Legyen (A, D(A)) zárt, s r n deniált operátor az X Banach-téren. Tegyük fel, hogy létezik ω R, M >, hogy [ω, ) ρ(a) és λr(λ, A) M minden λ ω. Ekkor λ esetén (a) λr(λ, A)f f f X, (b) λar(λ, A)f = λr(λ, A)Af Af f D(A). Bizonyítás: Legyen w D(A). Ekkor teljesül, hogy λr(λ, A)w = R(λ, A)(λ A)w + R(λ, A)Aw = w + R(λ, A)Aw. A feltételb l adódik, hogy R(λ, A)Aw M λ Aw. Ez pedig tart -hoz, ha λ. Így λr(λ, A)w kifejezés tart w-hez, ha λ. Mivel D(A) s r, és A korlátos, így a konvergencia teljesül minden w X esetén. A (b) állítás pedig adódik az (a) állításból w = Av helyettesítéssel. A HilleYosida tétel a kontrakció-félcsoportok generátorának karakterizációját adja meg. Ennek következményeként az (1, ω) típusú félcsoportok generátorára is tudunk adni egy karakterizációt. 2

5.2. Tétel. (HilleYosida). Legyen (A, D(A)) lineáris operátor az X Banach-téren. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) egy er sen folytonos kontrakció-félcsoportot generál; (ii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ > esetén λ ρ(a) és λr(λ, A) 1; (iii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ C, Re λ > esetén λ ρ(a) és R(λ, A) 1 Re λ. Bizonyítás: A 4.5. Tétel szerint a generátor zárt és s r n deniált. Továbbá, ha az A által generált T félcsoport kontrakció-félcsoport (azaz T (t) 1 = Me ωt, ahol M = 1, ω = ), akkor a 4.13. Állítás szerint R(λ, A) 1 Re λ. Így elég belátni, hogy (ii) = (i). A bizonyításban használjuk a Yosida-approximációt: A n := nar(n, A) = n( n n+a) = n( n 1) = n A n A n2 R(n, A) nid, n N. Az operátorok korlátosak és kommutálnak. Az általuk generált félcsoportok egyenletesen folytonosak: T n (t) := e tan, t. Az 5.1. Lemma (b) pontjába λ = n-et helyettesítve kapjuk, hogy A n A pontonként D(A)-n. Így igazolható, hogy (a) Létezik a T (t)f = lim n T n (t)f minden f X esetén. (b) (T (t)) t er sen folytonos kontrakció-félcsoport. (c) (T (t)) t generátora (A, D(A)). (a) Minden (T n (t)) t kontrakció-félcsoport, ugyanis T n (t) = e t(n2 R(n,A) nid) e nt e n2 R(n,A) t e nt e nt = 1, t. Vagyis a (T n (t)) t operátorsorozat egyenletesen korlátos, így a BanachSteinhaus-tétel miatt elég a konvergenciát D(A)-n igazolni. Tekintsük az alábbiakat. Innen kapjuk, hogy T n (t)f T m (t)f = T m (t t)t n (t)f T m (t )T n ()f = = = T n (t)f T m (t)f A n f A m f d (T ds m(t s)t n (s)f)ds = T m (t s)t n (s)(a n f A m f)ds. 21 T m (t s)t n (s)ds t A n f A m f.

Az 5.1.Lemma (b) pontja miatt (A n f) n N Cauchy-sorozat minden f D(A) esetén, így (T n (t)f) n N egyenletesen konvergens a [, t 1 ] intervallumokon. (b) A kontrakció-félcsoportságot már beláttuk, elég az er s folytonosságot belátni. Minden f D(A) esetén a ξ : t T (t)f, t t 1 egyenletes limesze folytonos függvényeknek, így folytonos. Így (T (t)) t er sen folytonos az er s folytonosság tulajdonságai alapján. (c) Legyen (T (t)) t generátora (B, D(B)), és f D(A). A ξ n : t T n (t)f pályák a [, t 1 ] intervallumokon egyenletesen tartanak ξ-hez, és a deriváltfüggvények egyenletesen tartanak d ξ dt n : t T n (t)a n f η : t T (t)af függvényhez. Így ξ dierenciálható, és d ξ() = η(). Tehát D(A) D(B) és Af = Bf, dt f D(A). Legyen λ >, λ ρ(a). Ekkor λ A : D(A) X bijekció. És (B, D(B)) kontrakciófélcsoport generátora, így λ ρ(b) és λ B : D(B) X is bijekció. Mivel λ A megegyezik λ B-vel D(A)-n, így D(A) = D(B) és A = B. Átskálázással megnézzük, mi van akkor, hogy ha A nem egy kontrakció-félcsoport generátora. Ha valamely ω R esetén fennáll, hogy T (t) e ωt, t, vagyis akkor az T (t) Me ωt, M = 1, t, S(t) := e ωt T (t), t átskálázott félcsoport már kontrakció-félcsoport. Így tekinthetjük a HilleYosida-tétel egy következményét. 5.3. Következmény. Legyen ω R. Egy (A, D(A)) lineáris operátorra az X Banachtéren ekvivalensek az alábbiak. (i) (A, D(A)) egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre T (t) e ωt, t ; 22

(ii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ > ω esetén λ ρ(a) és (λ ω)r(λ, A) 1; (iii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ C, Re λ > ω esetén λ ρ(a) és R(λ, A) 1 Re λ ω. A következ tétel tetsz leges er sen folytonos félcsoport generátorának karakterizációját adja meg, vagyis most tetsz leges M 1, (M, ω)-típusú félcsoport generátorára nézzük meg az el bbi karakterizációt. 5.4. Tétel. (Feller, Miyadera, Phillips). Legyen (A, D(A)) lineáris operátor az X Banachtéren, ω R, M 1. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre T (t) Me ωt, t ; (ii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ > ω esetén λ ρ(a) és [(λ ω)r(λ, A)] n M, n N; (iii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ C, Reλ > ω esetén λ ρ(a) és R(λ, A) n M (Reλ ω) n, n N. Tekintsük újra az eredeti (1) feladatunkat általánosabban. Szeretnénk megnézni, hogy ennek megoldhatósága milyen kapcsolatban áll a félcsoportok generátorával. 5.5. Deníció. Legyen X Banach-tér, (A, D(A)) lineáris operátor X-en, u X. Ekkor az alábbiakat absztrakt Cauchy-problémának (ACP) hívjuk. d u(t) = Au(t), t ; dt u() = u X (ACP) Azt mondjuk, hogy u: R + X klasszikus megoldás, ha u megoldása az (ACP)-nek és folytonosan dierenciálható t szerint R + -on és u(t) D(A), t. 5.6. Állítás. Legyen (A, D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos félcsoport generátora. Ekkor minden u D(A) esetén az u : t u(t) := T (t)u leképezés az (ACP) egyetlen klasszikus megoldása. Bizonyítás: A 4.3. Lemma szerint u D(A) esetén T (t)u D(A) és 23

d T (t)u dt = AT (t)u, tehát u klasszikus megoldás. És egyértelm is: legyen t >, s (, t). Ekkor Így d (T (t s)u(s)) = T (t s) d u(s) T (t s)au(s) =. ds ds u(t) = T (t)u. Tehát a megoldás egyértelm. Tekintsük az (ACP) feladatok egy csoportját, melyek megoldhatósága egy újabb karakterizációt ad a generátorokra. Jelölje u( ; u ) az u kezdeti feltételhez tartozó megoldást. 5.7. Deníció. Az (ACP) feladatot korrekt kit zés nek nevezzük, ha (a) D(A) s r ; (b) minden u D(A) esetén létezik egyetlen u( ; u ) klasszikus megoldása az (ACP)- nek; (c) minden (f n ) D(A), lim f n = esetén lim u(t; f n ) =, ahol a konvergencia n n [, t 1 ]-en egyenletes. A fejezetet egy nagyon fontos tétellel zárjuk, mely kapcsolatot teremt a korrekt kit zés (ACP)-ben szerepl operátor és az (ACP)-feladat megoldhatósága között. 5.8. Tétel. Legyen A : D(A) X X zárt operátor. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) egy er sen folytonos félcsoport generátora; (ii) Az (A, D(A)) operátorhoz tartozó (ACP) korrekt kit zés. Tehát az, hogy megoldjuk az (ACP)-t, ekvivalens azzal, hogy megadjuk a félcsoportot. Ezt pedig közelítéssel tehetjük meg. A következ fejezetekben ezzel fogun foglalkozni. 6. Félcsoportok approximációja Szeretnénk numerikusan közelíteni térben és id ben is a félcsoportokat, ehhez el ször a fejezetben megvizsgáljuk, hogy a rezolvens, generátor és a félcsoport konvergenciája hogy függ össze. Továbbá azzal fogunk foglalkozni, hogy ha A n generátorok sorozata konvergál A generátorhoz, akkor vajon a generált félcsoportok sorozata konvergál-e a határérték által generált félcsoporthoz. Deniáljuk, hogy mit is értünk a generátorok konvergenciája alatt. Azt mondjuk, hogy az A n generátorsorozat er sen konvergál az A generátorhoz, ha 24

lim A mf Af =, f D(A) D(A k ), k N. m A fejezetben megvizsgáljuk,hogy ekkor a generált félcsoportok milyen módon konvergálnak az A által generált félcsoporthoz. El ször vezessünk be egy fogalmat, melynek technikai szerepe lesz a kés bbi bizonyítások során. 6.1. Deníció. Legyen Λ C, R(λ) L(X), λ Λ operátorcsalád. Azt mondjuk, hogy az operátorcsalád pszeudorezolvens, ha R(λ) R(µ) = (µ λ)r(λ)r(µ), λ, µ Λ A következ állítások egy kés bbi tétel bizonyításában szerepelni fognak. 6.2. Állítás. Legyenek az A n, n N operátorok kontrakció-félcsoportok generátorai X-en, és legyen λ > esetén létezik minden f X elemre. Ekkor pszeudorezolvenst deniál, ahol Re λ >. lim R(λ, A n )f n R(λ)f := lim n R(λ, A n )f, f X 6.3. Állítás. Legyen {R(λ) : λ Λ} pszeudorezolvens X-en, és legyen (λ n ) n N Λ nemkorlátos sorozat. Ha lim λ nr(λ n )f = f, minden f X-re, n akkor {R(λ) : λ Λ} egy zárt, s r n deniált operátor rezolvensoperátoraiból áll. A technikai lépések után vizsgáljuk meg a félcsoportok, rezolvensek konvergenciáját és a köztük lev kapcsolatot. El ször nézzük meg azt az esetet, ha el re tudjuk, hogy a generátorok limesze is generátor. Ekkor az alábbi tétel érvényes. 6.4. Tétel. (Els TrotterKato-approximációs tétel). Legyenek (T (t)) t és (T n (t)) t, n N, er sen folytonos félcsoportok, generátoraik A és A n, n N. Tegyük fel, hogy létezik M 1, ω R, hogy T (t), T n (t) Me ωt, t, n N. Továbbá legyen D az A lényeges része. Tekintsük a következ állításokat. (a) D D(A n ) minden n N esetén, és A n f Af, f D; (b) Minden f D estén létezik f n D(A n ), n N sorozat, hogy 25

f n f, és A n f n Af. (c) R(λ, A n )f R(λ, A)f, n, minden f X és λ > ω esetén. (d) T n (t)f T (t)f, n minden f X esetén, és kompakt intervallumokon t-ben egyenletesen. Ekkor (a) = (b) (c) (d) teljesül. Vagyis a félcsoportok és a hozzájuk tartozó rezolvensek konvergenciája ekvivalens ebben az esetben. A tételben feltettük A-ról, hogy generátor, viszont általában nem tudni, hogy az-e. Azt reméljük, hogy az A n sorozat által generált T n operátorfélcsoportok határértékének lesz A a generátora. Ezt vizsgáljuk meg a második TrotterKato-tételben. 6.5. Tétel. (Második TrotterKato-approximációs tétel). Legyenek (T n (t)) t, n N, er sen folytonos félcsoportok X-en, generátoraik A n, n N. Tegyük fel, hogy létezik M 1, ω R, hogy T n (t) Me ωt, t, n N. Legyen λ > ω és tekintsük a következ állításokat. (a) Létezik egy (A, D(A)) s r n deniált operátor, hogy A n f n Af minden f D esetén, ahol D az A lényeges része. Valamint (λ A)D s r X-ben. (b) Az R(λ, A n ), n N operátorok pontonként tartanak egy R L(X) operátorhoz, melyre ran R s r X-ben. (c) A (T n (t)) t, n N félcsoportok pontonként konvergálnak egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoporthoz, melynek generátora B, és R = R(λ, B). Ekkor (a) = (b) (c) És ha (a) teljesül, akkor B = A, ahol A a legsz kebb kiterjesztése A-nak, melyre D(A) zárt. Bizonyítás: Feltehet átskálázással, hogy T n (t) M, t, n N. (a) = (b): Elég a konvergenciát (R(λ, A n )y) n N sorozatokra bizonyítani, ahol y = (λ A)f, f D, mert (λ A)D s r X-ben. R(λ, A n )y = R(λ, A n )[(λ A n )f (λ A n )f + (λ A)f] = = f + R(λ, A n )(A n f Af) f = Ry, ha n. (b) = (c) A 6.2. Állítás miatt az 26

R(λ)f := lim n R(λ, A n )f, f X operátorok léteznek, és pszeudorezolvensek. És a HilleYosida-tétel miatt λr(λ, A n ) M, λ >, így λr(λ) M, λ >. És R(λ) k := lim n R(λ, A n ) k minden k N számra, így λ k R(λ) k M, λ >, k N. A feltétel alapján ran R(λ) = ran R(λ ) = ran R, így ran R(λ) s r X-ben. Így a 6.3.Állítás miatt létezik egy (B, D(B)) zárt, s r n deniált operátor, amelyre R(λ) = R(λ, B), λ >, és λ k R(λ, B) k M, λ >, k N teljesül, így B egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál X-en. Így alkalmazható az els TrotterKato (c) = (d) pontja. Vagyis (T n (t)) t pontonként tart (T (t)) t - hoz. A (c) = (b) irány adódik az els TrotterKato-tételb l. A tételnek nagy jelent sége van a numerikus alkalmazásokban. Segítségével fontos tételeket bizonyíthatunk, például a Cherno-tételt, mely segítségével megadunk egy explicit formulát az approximált félcsoportra. Ehhez el ször tekintsük a következ lemmát. 6.6. Lemma. Legyen S L(X), melyre S m M teljesül, valamilyen M 1 és minden m N esetén. Ekkor e n(s Id) f S m f nm Sf f, f X, n N. 6.7. Tétel. (Cherno-tétel). Legyen F : R + L(X) olyan függvény, melyre F () = Id, és amelyhez létezik M 1, hogy F (t) k M minden t, k N esetén. És tegyük fel, hogy az Af := lim h F (h)f f h limesz létezik minden f D X esetén, ahol D és (λ A)D s r alterek X-ben valamely λ > esetén. Ekkor A egy (T (t)) t melyre 27 er sen folytonos félcsoportot generál,

és a limesz [, t 1 ]-en egyenletes a t-ben. T (t)f = lim n [F (t/n)] n f, f X, Bizonyítás: Deniáljuk az alábbi operátort minden s > számra. A s := F (s) Id s L(X). Ekkor A s f Af minden f D esetén, ha s. Valamint az (e tas ) t félcsoportokra teljesül, hogy e tas e t/s e tf (s)/s e t/s k= t k F (s) k s k k! M, t. (4) Így ha áttérünk s helyett diszkrét n N paraméterre, akkor teljesülnek a második TrotterKato-tétel feltételei. Így A egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre teljesül, hogy T (t)f e tas f, f X, ha s [, t 1 ]-en egyenletesen. Így T (t)f e ta t/n f, f X, ha n (5) [, t 1 ]-en egyenletesen. Továbbá a 6.6. Lemma szerint e ta t/n f F (t/n) n f = e n(f (t/n) Id) f F (t/n) n f nm F (t/n)f f = tm n A t/n f, n, (6) ha f D, (, t 1 ]-en egyenletesen. Mivel D s r és a (6) becslés és a feltétel szerint e ta t/n F (t/n) n 2M, így a 3.2. Lemma szerint a (6) konvergencia minden f X esetén teljesül. Így ha (5), (6)-ra határátmenetet veszünk, akkor teljesül, hogy T (t)f F (t/n) n f T (t)f e ta t/n f + e ta t/nf F (t/n) n f, n, ha f X, [, t 1 ]-en egyenletesen. Vagyis T (t)f = lim n [F (t/n)] n f, f X. A Cherno-tételt alkalmazhatjuk nemkorlátos esetekre is átskálázással, az alábbi következmény ezt mutatja meg. 6.8. Következmény. Legyen F : R + L(X) 28

olyan függvény, melyre F () = Id, és amelyhez létezik M 1, és ω R hogy És tegyük fel, hogy az [F (t)] k Me kωt, t, k N. Af := lim h F (h)f f h limesz létezik minden f D X esetén, ahol D és (λ A)D s r alterek X-ben valamely λ > ω esetén. Ekkor A egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre és a limesz [, t 1 ]-en egyenletes. És T (t)f = lim n [F (t/n)] n f, f X, T (t) Me ωt, t. Bizonyítás: Skálázzuk át F (t)-t az alábbi módon. Erre teljesül, hogy F 2 (t) := e ωt F (t). F 2 (t) k = (e ωt F (t)) k e ωt k F (t) k e ωtk Me kωt = M, t, k N. Ennek pedig a -beli deriváltja A ω, így az állítás következik a Cherno-tételb l. A következményt alkalmazva megkapjuk a PostWidder-inverziós formulát, melynek segítségével a félcsoportot kifejezhetjük a rezolvenssel. Valamint látni fogjuk, hogy a formula numerikus szemszögb l éppen az implicit Euler-formulát adja meg. 6.9. Következmény. (PostWidder-inverziós formula). Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport X-en, melynek generátora (A, D(A)). Ekkor T (t)f = lim n ( n t R( n t, A)) n f = lim n ( Id t n A) n f, f X és a limesz [, t 1 ]-en egyenletes t-ben. 29

7. Térbeli diszkretizációs módszerek A továbbiakban a (T (t)) t jelölés helyett T -vel jelöljük a félcsoportokat. Eddig absztrakt módon vizsgáltuk a félcsoportokat, most szeretnénk az elméleti hátteret numerikus módszerekben felhasználni. Szeretnénk közelíteni az (ACP) feladat megoldását numerikusan, a gyakorlatban számítógépes program segítségével. Feltesszük, hogy A egy er sen folytonos T félcsoport generátora X-en, továbbá, hogy az A m generátorsorozat konvergál A-hoz valamilyen módon, és az A m -ek T m er sen folytonos félcsoport generátorai. Vizsgáljuk meg, hogy ekkor T m sorozat konvergál-e T -hez. De- niáljuk ehhez a félcsoportok konvergenciájának egy fogalmát. 7.1. Deníció. A T m félcsoportsorozat er sen konvergál a T félcsoporthoz, ha teljesül, hogy lim T m(t)f T (t)f = f X esetén, (7) m és ha a konvergencia egyenletesen minden [, t 1 ] intervallumon. A továbbiakban a T m (t)f T (t)f jelölést használjuk. Deniáljuk az alábbi feltételeket a J m, P m operátorokra, melyek segítségével másik térbe térhetünk át, majd vissza az eredetibe. 7.2. Feltétel. Legyenek X m, X Banach-terek, P m : X X m, J m : X m X korlátos lineáris operátorok a következ tulajdonságokkal: Létezik K >, hogy P m, J m K minden m N esetén, P m J m = Id m, ahol Id m az identitásoperátor X m téren, J m P m f f, ha m, minden f X esetén. Azaz J m P m er sen konvergál az identitásoperátorhoz. A gyakorlatban X = C[a, b], X m = R m, és a P m, J m operátorokra azért van szükség, mert az operátor, amit alkalmazni szeretnénk, nem alkalmazható folytonos függvényekre, ezért el bb egy P m projekciót alkalmazunk, hogy diszkrét pontokat kapjunk, majd ezekre alkalmazzuk a numerikus megoldást kiszámító operátort, és az így kapott pontokat a J m operátorral valamilyen interpolációs eljárással újra folytonossá tesszük. Nézzünk egy példát a térbeli approximációra, melyben szeretnénk közelíteni folytonos függvényeket az el bbi feltételek alapján, rácspontok segítségével. 7.3. Példa. (Végesdierencia-módszer). Legyen X := {f C([, 1]) : f(1) = } és X n := C n, 3

mindkett a megfelel maximumnormával. Legyen minden f X esetén vagyis a rácspontbeli értékek, és legyen (P m f) k := f( k ), k =,..., m 1, m J m (η,..., η m 1 ) := ahol x [, 1] és k {,..., m 1} esetén Ekkor P m J m = Id C m feltételek. m 1 k= η k B m,k, ( m x k 1 ) [ k 1 ha x m m, k ), m ( B m,k (x) = k + 1 ) [ k m m x ha x m, k + 1 ), m különben. és m esetén J m P m f f. Vagyis teljesülnek a 7.2.-beli Tekintsünk újabb feltételeket, melyek segítségével deniálhatjuk a félcsoportok p-ed rend konvergenciáját. 7.4. Feltétel. Legyenek az A m, A operátorok T m, T er sen folytonos félcsoportok generátorai az X m, X Banach-tereken, és tegyük fel, hogy létezik M, ω R, melyre teljesül, hogy T (t), T m (t) Me ωt minden m N, t esetén. (8) Továbbá tegyük fel, hogy létezik Y D(A) s r altér, melyre minden f Y -hoz létezik w m D(A m ) sorozat, hogy w m P m f Xm és A m w m P m Af Xm, ha m. (9) Ekkor a 7.2. Feltétel mellett a második konvergencia ekvivalens azzal, hogy J m A m w m Af, ha m minden f Y esetén. 7.5. Állítás. Tegyük fel, hogy a 7.2., 7.4. Feltételek fennállnak, P m Y D(A m ) minden m-re, és Y -ra teljesül, hogy T (t) Y Me ωt. Ekkor ha létezik C > és p N, melyekre minden f Y esetén 31

A m P m f P m Af Xm C f Y m p, akkor minden t > esetén létezik C >, hogy T m (t)p m f P m T (t)f Xm C f Y m p. S t, a [, t ] intervallumokon egyenletes a konvergencia. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia p-ed rend. Bizonyítás: El ször az X m = X, J m = P m = Id m esetet nézzük. Ekkor minden f Y esetén Af = A m f + (A A m )f. Alkalmazzuk a konstans variációs formulát az s T m (t s)t (s)f folytonosan dierenciálható függvényre, ahol s [, t], t tetsz leges, rögzített szám. T (t)f = T m (t)f + Ekkor tetsz leges rögzített t-re teljesül, hogy T (t)f T m (t)f T m (t s)(a A m )T (s)fds Me ω(t s) (A A m )T (s)f ds Me ω(t s) Me ωs C m p f Y ds M 2 e ωt t C m p f Y. Ekkor C = CM 2 e ωt t választható, vagyis az állítás teljesül. Az általános esethez az s T m (t s)p m T (s)f, s [, t] függvényre alkalmazzuk a konstans variációs formulát. P m T (t)f = T m (t)p m f + Innent l a fentiek alkalmazhatók. P m T (t)f T m (t)p m f T m (t s)(p m A A m P m )T (s)fds. Me ω(t s) (P m A A m P m )T (s)f ds Me ω(t s) Me ωs C m p f Y ds M 2 e ωt t C m p f Y. Ekkor C = CM 2 e ωt t választható megint, vagyis az állítás teljesül. Ezek után nézzük tovább a végesdierencia-módszert, milyen rend konvergencia teljesül rá. 7.6. Példa. (Végesdierencia-módszer, folytatás) Legyenek J m, P m operátorok olyanok, mint a 7.3. Példában, és legyen A generátor, melyre Af := f, és D(A) := {f C 1 ([, 1]) : f(1) = f (1) = }. 32

Legyen η = (η,..., η m 1 ) X m esetén (A m η) k := m(η k+1 η k ) ha k :=,..., m 2, és (A m η) m 1 := mη m 1. (1) Ekkor, ha η = P m f, igaz, hogy ( ( k + 1 ) (A m P m f) k := m f m Ekkor teljesül, hogy ahol J m A m P m f Af = m 1 k= m 1 ( f ( k f m)) ) k+1 f m 1 m ( k m ) = f (ξ k )B m,k f k= m 1 f f ( k )B m m,k + k= k= k :=,..., m 1 esetén. B m,k f max k=,...,m 1 f ( k ) f (ξ m k ) m 1 f f ( k )B m m,k + ω ( f, m) 1, ha m, ω ( f, 1 m) :=sup{ f (x 1 ) f (x 2 ) : x 1 x 2 1 m }. Vagyis f C 1 ([, 1]) esetén A m A, így teljesül a konvergencia. Ha f C 2 ([, 1]), akkor még az is fennáll, hogy (A m P m f P m Af) k = f(k+1) f( k ) m m 1 f ( k ) = f (ξ m k ) 1, 2m m mivel felírható rá a Taylor-sor az alábbi módon. És így teljesül, hogy f( k + 1 ) = f( k ) + f ( k ) 1 + f (ξ) 1 1, ahol ξ [ k, k + 1 ]. m m m m m m 2 m m m A m P m f P m Af f 2m. Vagyis fennáll els rend konvergencia, ha f C 2 ([, 1]). Az alábbi tételben megvizsgáljuk, hogy a generátorok konvergenciája hogy függ össze a határértékbeli generátor által generált félcsoporttal. 7.7. Tétel. Legyen T egy (M, ω)-típusú félcsoport (azaz T (t) Me ωt, t ), melynek generátora A az X Banach-téren. Tegyük fel, hogy az A m L(X) operátorsorozatra teljesülnek az alábbiak. (1) Az A m operátorok kommutálnak a T félcsoporttal, vagyis 33

A m T (t) = T (t)a m minden m N, t esetén; (2) Az A m által generált félcsoportok egyenletesen korlátosak, vagyis létezik M 1, ω R, hogy e tam Me ωt ; (3) Az A m operátor approximálja A-t, vagyis létezik D D(A) halmaz, hogy lim m A mf = Af minden f D esetén. Ekkor T (t)f = lim m etam f minden f X esetén. Továbbá, a konvergencia egyenletes a [, t ] intervallumokon. Bizonyítás: Legyen f D, és tekintsük az s e (t s)am T (s)f, s [, t] függvényt, mely folytonosan dierenciálható. Ekkor teljesül, hogy e tam f T (t)f = e (t s)am (A m A)T (s)fds = e (t s)am T (s)(a m A)fds tm 2 e ωt (A m A)f, ha m. vagyis teljesül a konvergencia minden f D-re. Mivel D s r és az operátorok korlátosak, mégpedig azonos korláttal, így minden f X esetén is igaz a konvergencia a BanachSteinhaus-tétel szerint. Vagyis azt kaptuk, hogy a generátorok határértéke által generált félcsoport éppen a generátorsorozat által generált félcsoportok határértéke. Így a tétellel megkaptuk a félcsoportok térbeli approximációját. A következ approximációs formula következik a tételb l. 7.8. Következmény. Legyen T egy (M, )-típusú félcsoport, és legyen Ekkor B τ := 1 (T (τ) Id). τ T (t)f = lim τ e tbτ f. Bizonyítás: Mivel T egy (M, )-típusú félcsoport, így teljesül, hogy e tbτ = e t τ (Id T (τ)) = e t t τ e τ T (τ) = e t t τ e τ T (τ) = = e t T (τ) n t n τ t e T (τ) n t n n! τ n τ = n! τ n n= = e t τ n= T (τn) n! t n n= τ n Me 34 t t τ e τ = M,

ami teljesíti a 7.7. Tétel (2)-es pontját. Az (1), (3) feltétel pedig adódik a denícióból, ahonnan következik az állítás. 8. Id beli diszkretizációs módszerek A következ fejezetek Bátkai A. és munkatársai [2] jegyzetének és K. Ito, F. Kappel [5] könyvének felhasználásával készültek. Az el z fejezetben megnéztük a félcsoportok térbeli approximációját, és kaptuk, hogy T (t)f = lim f. Ekkor az m etam e tam mátrixa egy m m-es mátrix, ami nagyon nagy, ha m nagy, így ez a gyakorlatban kiszámíthatatlan. Ezért szeretnénk ezt is közelíteni, vagyis a félcsoportot id ben diszkretizálni. Válasszunk egy τ lépésközt. Szeretnénk az u(nτ) értéket közelíteni u n -nel úgy, hogy u n u(nτ) teljesüljön, ha τ. Ehhez tekintsük a következ deníciót. 8.1. Deníció. Legyen T félcsoport, melynek generátora A. És tekintsük az (ACP)- t az X Banach-téren. Legyen F : [, ) L(X) er sen folytonos függvény, melyre F () = Id. a) Legyen D D(A) s r altér X-en, melyre F (τ)t (t)f T (t + τ)f lim τ τ minden f D esetén lokálisan egyenletesen t-ben. Ekkor azt mondjuk, hogy F az = (ACP)-hez tartozó konzisztens id diszkretizáció a D altéren. b) Egy konzisztens id diszkretizációt stabilnak nevezünk, ha létezik t 1 >, M 1, hogy minden τ, n N esetén, ha τn t 1. F (τ) n M c) Egy konzisztens id diszkretizációt konvergensnek nevezünk, ha minden t 1, τ k, n k esetén, melyekre n k τ k [, t 1 ] és n k τ k t, teljesül, hogy minden f X esetén. T (t)f = lim k F (τ k ) n k f Ekkor τ-t az id diszkretizáció lépésközének nevezzük. 8.2. Példa. Természetesen F (τ) = T (τ) a legjobb approximáció, hiszen minden fenti tulajdonságot teljesít, de mivel T -t nem ismerjük általában, éppen ezt szeretnénk kiszámítani közelítéssel, így a gyakorlatban nem használható. 35

Azt mondjuk, hogy az id diszkretizációs formulánk lokálisan jó approximáció, ha a lokális hiba, F (τ)f T (τ)f kicsi. Mivel a gyakorlatban nem ismerjük T -t, ezért tekintsünk egy másik konzisztenciafeltételt, F -beli deriváltjára. 8.3. Állítás. Legyen Y D(A) Banach-tér, mely s r X-ben és legyen folytonosan beágyazott altér a D(A) Banach-téren. Tegyük fel, hogy Y invariáns T -re és a megszorítása T -nek Y -ra er sen folytonos félcsoport. Ekkor ha F id diszkretizáció, pontosan akkor konzisztens az (ACP)-re Y -on, ha minden f Y esetén. Af = lim τ F (τ)f f τ =: F ()f (11) A következ id diszkretizáció-példa nagyon fontos, az implicit Euler-formulát adja meg. Megmutatjuk az állítás segítségével, hogy konzisztens. 8.4. Példa. Legyen ω >, melyre minden λ ω esetén λ ρ(a). Ekkor legyen τ (, 1 ω ] esetén F (τ) = 1 τ R( 1 τ, A) = (Id τa) 1 és F () = Id. Mint az alkalmazásnál látni fogjuk, ez a képlet az implicit Euler-módszernek felel meg. Nézzük meg, hogy a konzisztencia valóban teljesül rá. Tekintsük az alábbiakat. R(λ, A) = (λ A) 1 R(λ, A)(λ A) = Id λr(λ, A) Id = AR(λ, A) Így λ = 1-t helyettesítve kapjuk, hogy 1R( 1, A) Id = AR( 1, A). Így minden f τ τ τ τ D(A) esetén F (τ)f f τ = 1 τ R(1 τ, A)Af = 1 τ( 1 A)Af = 1 Af. (12) Id τa τ Ez pedig tart Af-hez, ha τ tart jobbról -hoz. Vagyis F ()f = Af. Így a 8.3. Állítás szerint F konzisztens. Nézzünk egy másik példát a konzisztens id diszkretizációra. 8.5. Példa. (CrankNicolson-formula). Deniáljuk a CrankNicolson-formulát a következ képpen. Legyen F (τ) = (Id + τ A)(Id τ 2 2 A) 1 minden τ (, 1 ] és F () = Id. ω Megmutatható, hogy a formula másodrendben konzisztens. 36

Szeretnénk a térbeli p-ed rend konvergenciához hasonlóan id ben is deniálni a magasabb rend konzisztenciát, konvergenciát, mely segítségével megadhatjuk, hogy egy operátorfélcsoportot alkalmazó numerikus módszer mennyire ad jó közelítést. 8.6. Deníció. Legyen A a T félcsoport generátora az X Banach-téren és legyen F id diszkretizáció. Tegyük fel, hogy létezik egy s r, folytonosan beágyazott Y X altér, mely T -re invariáns, és legyen p >. a) Ekkor azt mondjuk, hogy F az Y -on p-ed rendben konzisztens, ha létezik C >, hogy minden f Y esetén F (τ)f T (τ)f Cτ p+1 f Y. (13) b) Azt mondjuk, hogy F Y -on p-ed rendben konvergens, ha minden t 1 > -ra létezik K >, hogy minden f Y esetén F (τ) n f T (nτ)f Kt 1 τ p f Y. (14) minden n N, τ esetén, ha nτ [, t 1 ]. Vagyis a konzisztencia, a numerikus analízishez hasonlóan a lokális hibát adja meg, a konvergencia pedig a globálisat. Nézzük meg az id diszkretizációkra, hogy a konzisztencia és a konvergencia hogy függ össze. 8.7. Állítás. Tegyük fel, hogy létezik egy s r és folytonosan beágyazott Y D(A) altér, mely a T félcsoportra invariáns, és melyre T (t) Y Me ωt. Ha létezik p >, melyre F stabil, p-ed rendben konzisztens id diszkretizáció Y -on, akkor F p-ed rendben konvergens is Y -on. Bizonyítás: Az alábbiakban felhasználjuk a következ teleszkóp-összeget. n 1 a n b n = a n 1 j (a b)b j (15) j= Legyen ω, és legyen t 1 > rögzített. Ha f Y, n N és τ, melyekre 37