Emelt szintő érettségi tételek. 3. tétel: Nevezetes ponthalmazok síkban és térben

Hasonló dokumentumok
7. tétel: Elsı- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldási módszerei

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -

V. Koordinátageometria

Gyakorló feladatsor 11. osztály

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

Bevezetés. Alapműveletek szakaszokkal geometriai úton

3. tétel Térelemek távolsága és szöge. Nevezetes ponthalmazok a síkon és a térben.

Függvények tanulmányozása 211

Bevezetés az elméleti zikába

Gyakorló feladatok a geometria témazáró dolgozathoz

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Az ABCD köré írható kör egyenlete: ( x- 3) + ( y- 5) = 85. ahol O az origó. OB(; 912). Legyen y = 0, egyenletrendszer gyökei adják.

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

4 x. Matematika 0 1. előadás. Végezzük el a műveleteket! Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 5. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket!

8. előadás. Kúpszeletek

A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

Differenciálgeometria feladatok

Geometria 1 összefoglalás o konvex szögek

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

MATEMATIKA II. (GEOMETRIA)

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

Fontos a pontosság. Miklós Ildikó Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok

Mátrixok és determinánsok

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

Tehetetlenségi nyomatékok

2018/2019-es iskolaév, júniusi vizsgaidőszak A VIZSGAKÉRDÉSEK LISTÁJA A VÁLASZTHATÓ TANTÁRGYBÓL

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

11. évfolyam feladatsorának megoldásai

A továbbiakban kétdimenziós, irányított euklideszi (affin) síkon dolgozunk. Az alábbi középiskolából ismert eredményeket bizonyítás nélkül közöljük.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

11.5. Ellipszis és ellipszisív

4. előadás: A vetületek általános elmélete

Az alapvetı tudnivalók jegyzéke matematikából 9. évf. Halmazok. Algebra és számelmélet

Néhány szó a mátrixokról

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Geometriai alapismeretek

2. A geometria alapfogalmai A geometria alapfogalmai: pont, vonal, egyenes, sík, tér.

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

KISLEXIKON : HALMAZOK, SZÁMHALMAZOK, PONTHALMAZOK. Tárgymutató: I.

0852. MODUL GEOMETRIAI ISMÉTLÉS. Geometriai szerkesztések ismétlése KÉSZÍTETTE: PUSZTAI JULIANNA

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. KÖZÉPSZINT I.

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Ptolemaios-tétele, Casey-tétel, feladatok

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Matematika emelt szintû érettségi témakörök Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Geometria. 1. feladat

f (ξ i ) (x i x i 1 )

Exponenciális és logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár RÁCSOS TARTÓK

Transzformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól

Bács-Kiskun Megyei Matematikaverseny 2012/2013 Az 1. forduló feladatainak megoldása

BEVEZETÉS. Térelemek kölcsönös helyzete. Pont-egyenes: Egy pont vagy illeszkedik egy egyenesre, vagy nem eleme az egyenesnek, azaz nem illeszkedő.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Differenciálszámítás. Lokális szélsőérték: Az f(x) függvénynek az x 0 helyen lokális szélsőértéke

ARITMETIKA ÉS ALGEBRA I. TERMÉSZETES SZÁMOK

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

II. A számtani és mértani közép közötti összefüggés

Függvények, 7 8. évfolyam

Középiskolai tanulmányok alapján átismétlend, illetve önállóan feldolgozandó anyag

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

Geometria 1, normálszint

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

JAVÍTÓKULCSOK I. Természetes számok

Matematika emelt szintû érettségi témakörök Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)

13. tétel: Derékszögő háromszög

A VI. FEKETE MIHÁLY EMLÉKVERSENY

I. Síkgeometria. Bevezetés a síkgeometriába. & b) AC + BD > AB miatt a pontok A; D; C; B sorrendben helyezkednek el. Szakaszok; sokszögek átlói

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

XX. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

Konfár László Kozmáné Jakab Ágnes Pintér Klára. sokszínû. munkafüzet. Harmadik, változatlan kiadás. Mozaik Kiadó Szeged, 2012

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

2. ELŐADÁS. Transzformációk Egyszerű alakzatok

Tehát a lejtő hossza 90 méter. Hegyesszögek szögfüggvényei. Feladat: Megoldás: α = 30 h = 45 m s =? s = 2h = 2 45m s = 90m

PROJEKTÍV GEOMETRIAI PÉLDATÁR

Gyakorló feladatsorok 9. évfolyam

Koordináta-geometria feladatgyűjtemény

Feladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

EÖTVÖS LORÁND SZAKKÖZÉP- ÉS SZAKISKOLA TANÍTÁST SEGÍTŐ OKTATÁSI ANYAGOK MÉRÉS TANTÁRGY

Az elégséges szint eléréséhez szükséges ismeretek matematikából a 9. évfolyamon

Matematika 7. osztály

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.

10. Tétel Háromszög. Elnevezések: Háromszög Kerülete: a + b + c Területe: (a * m a )/2; (b * m b )/2; (c * m c )/2

Lineáris egyenletrendszerek

1012/I. 1012/II

Alapszerkesztések 2. (Merőlegesek szerkesztése, nevezetes szögek, háromszög három oldalból) Merőleges szerkesztése egyeneshez külső pontból

MATEMATIKA FELADATLAP a 8. évfolyamosok számára

Gyakorló feladatsor 9. osztály

15. Koordinátageometria

Átírás:

. tétel: Nevezetes ponthlmzok síkn és téren Ponthlmzok: Sík vgy tér részhlmzi, áltlán utsításokkl djuk meg: A P x; y R x + y = B= R Nevezetes ponthlmzok: = { ( ) } vgy { PO= r, r>. Két pont szkszfelezı merılegese ( síkon) Olyn egyenes, mely merılegesen felezi két pontot összekötı szkszt. A szkszfelezı merıleges zon pontok hlmz síkon, melyek szksz két végpontjától egyenlı távolságr vnnk. Biz.: Ez két állítást jelent:. A szkszfelezı merıleges minden pontj rendelkezik ezzel tuljdonsággl. Legyen szkszfelezı merıleges tetszıleges pontj C. o Ekkor AF = BF (F felezıpont), AFC p = BFCp = 9 és CF közös oldl AFC -nek illetve BFC -nek, így két háromszög egyevágó. Tehát CA = CB.. Minden ilyen tuljd-ú pont szkszfelezı merılegesen vn. Legyen egy D pont olyn tuljdonságú síkon, hogy DA = DB. Kössük össze D pontot AB szksz F felezıpontjávl. Ekkor z AFD és BFD egyevágó, mert minden oldluk megegyezik. Így AFD p = BFDp és együtt egyenesszöget lkotnk, tehát mindkettı o 9 és így DF merıleges AB-re.. Szögfelezı(k) Olyn egyenes, melyek egy dott szög ngyságát felezi. Egy szögnek külsı és elsı szögfelezıje is vn. A külsı és elsı szögfelezık merılegesek egymásr. o α β o Biz: mivel α +β= 8, ezért + = 9. A szögfelezı egyenes(ek) zon pontok hlmz síkon, melyek szög két szárától egyenlı távolságr vnnk. Biz: egyevágósági lpesetekkel, mint szkszfelezı merılegesnél.. Kör Azon pontok hlmz síkon, melyek egy dott ponttól (középpont), dott egyenlı távolságr (sugár) vnnk. kör= R PO= zárt körlp = { R PO nyílt körlp= { R PO< r ; r>

4. Ellipszis Azon pontok hlmz síkon, melyeknek két dott ponttól (fókuszpontok) mért távolságösszege ( két fókuszpont távolságánál ngyo) állndó. ellipszis = R PF + PF = d ; d> F F Szerkeszteni csk pontjit lehet (rjzolni cérnávl és két rjzszöggel): fölvéve d-t, tetszıleges módon két részre ontv, és két résszel fókuszpontokól körívezve körívek metszéspontjiként z ellipszis pontjit kpjuk Az ellipszis középpontj (O) szimmetricentrum. Az ellipszis tengelyesen szimmetrikus lkzt, - egyik szimmetritengelye fókuszpontokon átmenı egyenes (ennek z ellipszise esı része z ellipszis ngytengelye, ez épp d szksz) - másik szimmetritengelye fókuszpontok felezımerılegese (ennek z ellipszise esı része z ellipszis kistengelye ) A fókuszpontok távolság lineáris excentricitás, ezt c-vel jelöljük. Ezen három szksz közt érvényes: c + = Az ellipszis egyenlete, h dott középpontj O (u;v), kis- () és ngytengelye () ( x u) ( y v) + = (és persze tengelyei párhuzmosk koordináttengelyekkel) 5. Hiperol Azon pontok hlmz síkon, melyeknek két dott ponttól (fókuszpontok) mért távolságkülönsége ( két fókuszpont távolságánál kise) állndó. hiperol = { R PF PF = d ; d< F F } Szerkeszteni csk pontjit lehet: fölvéve d-t és tetszıleges módon meghosszítv, és rámért, illetve teljes résszel körívezve fókuszpontokól körívek metszéspontjiként hiperol pontjit kpjuk. A hiperol tengelyesen szimmetrikus lkzt: - egyik szimmetritengelye fókuszpontokon átmenı egyenes (ennek hiperolá esı része hiperol vlós tengelye: ) - másik szimmetritengelye fókuszpontok felezımerılegese (ennek z árán jelölt része képzetes tengely: ) A fókuszpontok távolságát c-vel jelöljük.

A képzetes tengely felét, -t megkphtjuk z lái összefüggésıl: + = c A hiperol göréje egyenesekhez simul, ezek z szimptoták. A hiperol egyenlete, h dott kp-j O (u;v), vlós () és képzetes tengelye () ( x u) ( y v) =, z szimptoták meredeksége pedig (természetesen h hiperol vlós tengelye párhuzmos z x tengellyel) m = ± 6. A prol Azon pontok hlmz síkon, melyek egy dott egyenestıl (vezéregyenes) és egy dott, rjt nem lévı ponttól (fókuszpont) egyenlı távolságr vnnk. prol= { R d( P;F) = d( P;v) } Szerkeszteni csk pontjit lehet: tetszıleges távolságn vezéregyenessel húzott párhuzmos és fókuszpontól ugynekkor távolsággl húzott körív metszéspontjiként prol pontjit kpjuk. A fókuszpont és vezéregyenes távolság prol prmétere (p). A prol tengelyesen szimmetrikus lkzt, tengelye fókuszponton áthldó, vezéregyenesre merıleges egyenes. Ennek metszéspontj prolávl prol tengelypontj (T). A koordinátsíkon egy függıleges tengelyő, T(u;v) tengelypontú, p prméterő prol egyenlete: p p fókuszpont: F u;v+, vezéregyenes: v : y= v, prol: y v= ( x u) p 7. Kúpszeletek: Az elıi három síkgöre megkphtó forgáskúp megfelelı síkmetszeteiként is:

8. A kúpszeletek tengely(ek) körüli forgtásávl keletkezı testek: forgásproloid forgásellipszoid kétköpenyő forgáshiperoloid egyköpenyő forgáshiperoloid 9. Göm Azon pontok hlmz téren, melyek egy dott ponttól (középpont), dott egyenlı távolságr (sugár) vnnk. göm= R PO= zárt gömtest = { R PO nyílt gömtest= { R PO<. Henger Azon pontok hlmz téren, melyek egy dott szksztól dott egyenlı távolságr henger= R d(p;t) = vnnk. Tehát:. Szkszfelezı sík: Két dott ponttól egyenlı távolságr lévı pontok hlmz téren.. Szögfelezı sík(ok) Két dott, metszı síktól egyenlı távolságr lévı pontok hlmz téren.. Alklmzások: - proltükör, ntenn - hjítás pályáj prol - Kepler-törvények - mőhold és rkét pályák (ellipszis, hiperol) - hngronást tlj szintjén hiperol lkn lehet észlelni (kúpszelet) - forgó folydékfelszín lkj forgásproloid - sík- és térgeometrii feldtokn lklmzhtók - függvények árázolás (egy- és kétváltozós)

- hulláminterferenci erısítési és gyengítési pontji hiperolát lkotnk