A továbbiakban kétdimenziós, irányított euklideszi (affin) síkon dolgozunk. Az alábbi középiskolából ismert eredményeket bizonyítás nélkül közöljük.

Átírás

1 HÁROMSZÖGGEOMETRIA A továbbiakban kétdimenziós, irányított euklideszi (affin) síkon dolgozunk. Ismertnek tételezzük fel a következı fogalmakat: háromszög, háromszög oldalai, súsai, szögei; háromszög szögfelezıi, középvonalai; oldalak felezımerılegesei. Nevezetes pontok, egyenesek és körök Az alábbi középiskolából ismert eredményeket bizonyítás nélkül közöljük. Tétel és definíió: Egy és sak egy olyan kör van, amelyre egy háromszög mindhárom súsa illeszkedik, ezt a háromszög körülírt körének nevezzük. Definíió és tétel: Egy háromszög egyik súspontjából a szemközti oldalegyenesre bosátott merıleges szakaszt a háromszög egyik magasságának nevezzük. Egy háromszög három magasságának egyenese egy ponton halad át, ezt a pontot a háromszög magasságpontjának hívjuk. Megjegyzés: Ha egy háromszög nem derékszögő, akkor súsai a magasságponttal együtt ún. ortoentrikus pontnégyest alkotnak. Ez azt jelenti, hogy közülük bármely három olyan háromszöget határoz meg, amelynek a negyedik a magasságpontja. Tétel és definíió: Egy háromszög egy súsát a szemközti oldal felezıpontjával összekötı szakaszt a háromszög egyik súlyvonalának nevezzük. A háromszög súlyvonalai egy ponton haladnak át. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont mindegyik súlyvonalnak (a sústól távolabbi) harmadolópontja. Tétel és definíió: Egy és sak egy olyan kör létezik, amely egy háromszög mindhárom oldalát érinti, ezt a háromszög beírt körének hívjuk. A háromszög szögfelezıi egymást a beírt kör középpontjában metszik. Definíió és tétel: Egy olyan kört, amely a háromszög egyik oldalát és másik két oldalának meghosszabbítását érinti, a háromszög egyik hozzáírt körének nevezzük. A háromszög minden oldalához egyetlen hozzáírt kör tartozik, amelynek középpontja egy belsı és két külsı szög felezıjének közös pontja.

2 Tétel és definíió: Ha egy háromszög nem szabályos, akkor körülírt körének középpontja (K), súlypontja (S) és magasságpontja (M) egy egyenesre illeszkedik. Ez az egyenes az ún. Euleregyenes. Továbbá teljesül, hogy S az MK szakasz K-hoz közelebb esı harmadolópontja. Megjegyzés: Szabályos háromszög esetén a fent említett három pont egybeesik. Bizonyítás: Origónak választva a körülírt kör középpontját, legyen az A, B, C súspontok és az S súlypont helyzetvektora rendre a, b, és s. Ekkor a b = s = a + b +. 3 =, s ismert, hogy ( ) Legyen m : = 3s = a + b +. Megmutatjuk, hogy m a magasságpont helyzetvektora. ( m a) ( b ) Azt kell ellenırizni, hogy ( ) ( ) m b a. ( m ) ( a b) Például: ( m a) ( b ) m a, b = 0 m a = a + b + a = b + m a, b = b +, b = b +, b b, = b = 0 Így az m helyzetvektorú pont mindhárom magasságvonalra illeszkedik, ezért m az M magasságpont helyzetvektora. Tehát K, S és M egy egyenesen van, továbbá m választásából adódóan S valóban harmadolópontja az MK szakasznak.. következmény: A magasságpont kétszer akkora távolságra van a háromszög súsától, mint a körülírt kör középpontja a súsal szemközti oldaltól.

3 . következmény: A magasságpontnak az oldalakra vonatkozó tükörképei a háromszög körülírt körén vannak. Tétel és definíió: Egy háromszög oldalfelezı pontjai, a magasságainak talppontjai és a magasságpontot a súsokkal összekötı szakaszok felezıpontjai rajta vannak egy olyan körön, amelynek középpontja a magasságpontot a körülírt kör középpontjával összekötı szakasz felezıpontja, sugara pedig fele a körülír kör sugarának. Ezt a kört a Feuerbah-körnek (vagy a kilenpontos körnek) nevezzük. Bizonyítás: Válasszuk origónak a körülírt kör K középpontját. Jelentse r a körülírt kör sugarát, M a magasságpontot, F az MK szakasz felezıpontját; A, B és C az oldalak felezıpontjait; A, B és C a megfelelı magasságok talppontjait; A 3, B 3 és C 3 a magasságpontot a súspontokkal összekötı szakaszok felezıpontjait. A vektorokat a végpontjaiknak megfelelıen jelöljük. Tekintsük a C súspontot, a másik két súsra az okoskodás analóg. FC = f = ( a + b) m = ( a + b a b ) = f = r ; FC3 = 3 f = ( m + ) m = 3 f = r (C, F és C 3 egy egyenesen van, ugyanis: f = és 3 f = ). 3

4 FC = f = r, mivel C illeszkedik az F középpontú C C3 átmérıjő Thalész-körre. Ha mindhárom súsra megkaptuk a fenti egyenlıségeket, akkor az alábbiakat állapíthatjuk meg: - F felezi a KM szakaszt. - Az F középpontú kör sugara r. - Erre a körre illeszkedik a korábban meghatározott 9 pont. Következmény: (Feuerbah-tétel) Egy háromszög Feuerbah-köre érinti a háromszög oldalegyeneseit érintı köröket; a beírt kört tartalmazza, a hozzáírt köröket pedig kívülrıl érinti. Alapvetı tételek háromszögekre (A középiskolai tanulmányokból ismert tételeket ismét bizonyítás nélkül írtuk le.) Tétel: (szögfelezı-tétel) Egy háromszög bármely szögének belsı szögfelezıje a szöggel szemközti oldalt a szöget bezáró oldalak arányában osztja ketté (az ábra a y jelöléseivel) =. b x Tétel: (magasságtétel) Egy derékszögő háromszögben m = p q, ahol m az átfogóhoz tartozó magasság hossza, p és q az átfogóból a magasság által kimetszett szakaszok hosszai. Tétel: (befogótétel) Egy derékszögő háromszögben: a = p és b = q. Tétel: (Pithagorasz) Derékszögő háromszögben: a = + b. Megjegyzés: A fent említett tételek mindegyikének a megfordítása is igaz. a b Tétel: (szinusztétel) = = ( = r) sinα sin β sinγ a sinα = =.... sinγ vagy Tétel: (koszinusztétel) a b = b = a = a b b osα a os β. ab osγ 4

5 Tétel: (általánosított Pithagorasz-tétel) Hegyesszögő háromszögben (az ábra jelöléseivel): = a + b ax. (Tompaszög esetén: = a + b + ax.) Bizonyítás: a koszinusztétel segítségével. A háromszögek területképletei (Ezek a képletek nem supán terület kiszámítására használhatóak, hanem átjárhatóságot biztosítanak a háromszög bizonyos adatai között.) Mi ismert? egy oldal és a magassága kerület/félkerület és a beírt kör sugara oldalak és a körülírt kör sugara Területképlet a ma b mb m T = = = K ρ T = ρ s = a b T = 4 r s s a s b s oldalak T = ( ) ( ) ( ) egy oldal és a hozzáírt kör sugara T = R ( s a) = R ( s b) = R ( s ) (Heron-képlet) két oldal és az általuk közbezárt szög sinusa/ a b sinγ a sin β sinγ egy oldal és a rajta fekvı két szög sinusa T = = =... sinα a b Egyenlıtlenségek, Fermat-feladat, Fagnano-feladat Tétel: (Háromszög-egyenlıtlenség) Három szakasz akkor és sak akkor lehet egy háromszög három oldala, ha bármelyikük hossza kisebb, mint a másik kettı hosszának összege. Bizonyítás: Legyenek a szakaszok hosszai a, b,. A koszinusztételbıl következik, hogy a kívánt α 0,π, hogy háromszög pontosan akkor létezik, ha van olyan ] [ b + a b + a osα = < < b b b < a < b +. 5

6 Tétel: (sugáregyenlıtlenség) Bármely háromszög esetén: kör sugara, r pedig a háromszög köré írt kör sugara. ρ r, ahol ρ a háromszögbe írható Tétel: (Erdıs-Mordell egyenlıtlenség) Ha egy háromszög belsı P pontjának a súsoktól mért távolságösszege rendre u, v, w; az oldalegyenesektıl mért távolságai pedig x, y, z, akkor u + v + w ( x + y + z) Egyenlıség pontosan akkor áll fenn, ha P egy szabályos háromszög középpontja. Bizonyítás: Lemma: Ha egy ABCD négyszög két átlója e és f, az átlók szöge ε, akkor következésképpen T ef. sinε T = ef, Legyen P a P pont tükörképe az A súsnál lévı szög szögfelezıjére. Ennél a tükrözésnél az AB oldalegyenese a AC oldalegyenesbe megy át, y és z hosszúságú szakaszok (az illeszkedés- és szögtartás miatt) a tükrözés után szintén merılegesek lesznek a megfelelı oldalakra ( AC -re illetve AB -re) és P -re illeszkednek. Így a lemma miatt: T T ABP' C ABP' C AP' BC = ua = y bz ( ) T + T = + = y + bz ABP' AP' C y + bz au. 6

7 Hasonlóan: az + x bv és ay + bx w. Így azt kapjuk, hogy: y + bz az + x ay + bx b a a b u + v + w + + = y + z + z + x + y + x = a b a a b b b a a b = + x + + y + + z ( x + y + z) b a b a ugyanis bármely k pozitív valós szám esetén: k + teljesül, s itt egyenlıség sakis k= k esetén érvényes. Ha P egy szabályos háromszög középpontja, akkor az egyenlıtlenség egyenlıséggé válik. a b a b Megfordítva, ha egyenlıség áll fenn, akkor + = + = + =, amibıl b a a b a b a b = = = = = =, tehát a=b= következik. b a a b Ily módon a háromszög szabályos, és a P pont automatikusan a szabályos háromszög középpontja lesz. Fermat-feladat: Egy hegyesszögő háromszögben határozzuk meg azt a pontot, amelynek a súsoktól mért távolságösszege minimális! A megoldásként adódó pont a háromszög izogonális pontjának vagy Fermat-pontjának nevezzük. Legyen P egy tetszıleges pont (az ábrán már a megoldás szerepel). Forgassuk B pont körül 60 fokos szöggel az ABP háromszöget, így kapjuk az A B P háromszöget. Ekkor BP=B P=BP és A P =AP. A 60 o -os forgatás miatt a P BP háromszög szabályos lesz, ezért PB=P B =PP. A feladat az AP+BP+CP összeg minimumának meghatározása, de AP+BP+CP= =A P +P P+PC miatt ez ekvivalens az A P PC töröttvonal minimumának meghatározásával, ez utóbbi pedig akkor minimális, ha a pontok kollineárisak. Ennek alapján a Fermat-pont/izogonális pont a következıképpen szerkeszthetı: Két tetszıleges oldalra kifelé szerkesztünk egy-egy szabályos háromszöget (a rajzon pontozott vonallal jeleztük). Egy-egy ilyen háromszög súsát összekötjük a vele szemközti súsponttal. A metszéspont éppen a keresett pont lesz. A szerkesztés helyességét az elızetes meggondolás bizonyítja. 7

8 Fagnano-feladat: Adott hegyesszögő háromszögbe írt háromszögek közül keresendı a legkisebb kerülető. A megoldás az ún. talpponti háromszög: az a háromszög, amelynek súsai a háromszög három magasságának talppontjai. Bizonyítás (Fejér Lipót): Vegyünk fel egy tetszıleges A B C háromszöget és rögzítsük le a C pontot. Tükrözzük C -et az AC, majd a BC oldalegyenesre, így kapjuk a D és E pontokat. Ekkor: B C = B D A C K = A E = DB + B A + A E A BC Keressük meg rögzített C mellett a minimális kerületet. Ez akkor teljesül, ha D, B, A, E pontok kollineárisak. o o o o Válasszuk meg A és B pontokat úgy, hogy D, B, A, E kollineáris legyen. Tehát rögzített C esetén a minimális kerületet az a C kerülete a DE szakasz hossza. o B o A háromszög adja, amelynek a A CED háromszög egyenlıszárú. (Bármilyen C választása mellett ez a háromszög egyenlıszárú és szárszöge mindig állandó tükrözések miatt! Így minden ilyen háromszög egymáshoz hasonló.) A DE szakasz akkor minimális, ha a CED háromszög a szárai a lehetı legkisebbek. Szintén a tükrözések tulajdonságaiból adódóan: CD=CC =CE. A feladat tehát a CC szakasznak kell a minimumának megkeresése. Ez a minimum köztudottan a C súsból húzott magasság! A fenti okoskodást elvégezve az A és B súsokra is, azt kapjuk, hogy a minimális kerülető beírható háromszög súsai valóban a magasságok talppontjai. (A talpponti háromszöget az ábrán pontozott vonallal jelöltük.) 8

9 KÖRGEOMETRIA ISMÉTLÉS A továbbiakban kétdimenziós, irányított euklideszi affin síkon dolgozunk. Ismertnek tételezzük fel a következı fogalmakat: kör, kör középpontja és sugara, kör húrjai és átmérıi; kör belsı pontja, külsı pontja; kör külsı pontból húzott érintıi; körív. Az alábbi középiskolában már tanult tételeket bizonyítás nélkül közöljük. Megjegyzések: A síkban egy egyenesnek és egy körnek 0, vagy közös pontja van aszerint, amint a középpontnak az egyenestıl való távolsága a kör sugaránál nagyobb, egyenlı vagy annál kisebb. A kör egy átmérıjének két végpontját átellenes pontoknak nevezzük. A kör bármely pontjában egyetlenegy érintı húzható a körhöz, s ez merıleges a ponthoz vezetı sugárra. Egy kör tetszıleges átmérıje minden rá merıleges húr felezıpontját tartalmazza. Két körnek legfeljebb két közös pontja lehet. A körvonal és a körlemez különbözı fogalmak; az utóbbin a körvonal és a kör belsı pontjai halmazának unióját értjük. Definíió: Érintınégyszögnek nevezzük azt a négyszöget, amelynek minden oldala ugyanazon kör érintıje. Lemma: Egy körhöz külsı pontból két érintıegyenes húzható és az érintıszakaszok hossza egyenlı. Tétel: Egy négyszög akkor és sak akkor érintınégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlı. Definíió: Egy négyszög húrnégyszög, ha súsai egy körre illeszkednek. Tétel: Egy négyszög pontosan akkor húrnégyszög, ha a szemközti súsokhoz tartozó szögek összege egyenlı; illetve ekvivalens módon, ha a szemközti szögei kiegészítı szögek. Tétel: (Ptolemaiosz tétele) Egy konvex négyszög akkor és sak akkor húrnégyszög, ha átlóinak szorzata egyenlı a szemközti oldalak szorzatának összegével. (Biz.: szorgalmi) Definíió: Középponti szögnek mondunk egy olyan szöget, amelynek súsa egy kör középpontja. A kör két közös végpontú húrja által meghatározott konvex szöget kerületi szögnek nevezzük. Kerületi szögnek hívjuk az olyan konvex szöget is, amelyet egy húr és ennek egyik végpontjából induló, a kört érintı félegyenes határoz meg. Tétel: Ha egy kör (vagy két egybevágó kör) két húrját tekintjük, akkor a) vagy egyenlıek a húrok, a hozzájuk tartozó középponti szögek és a kör középpontjától való távolságaik; b) vagy pedig az egyik húr nagyobb, ehhez nagyobb középponti szög tartozik és ez a húr van közelebb a kör középpontjához. Megjegyzés: A tételben, s hasonló kontextusban késıbb is, az egyenlıség a hosszak, illetve a szögmértékek egyenlıségét jelenti.

10 Tétel: (A kerületi és középponti szögek tétele) Bármely kerületi szög kétszerese egyenlı az ugyanazon az íven nyugvó középponti szöggel. Következmény: Egy kör egybevágó körívein egyenlı kerületi szögek nyugszanak. Definíió: Ha a P pont az AB szakasznak nem végpontja, akkor a konvex APB szögrıl azt mondjuk, hogy az AB szakasz a P pontból ekkora szögben látható. Ezt a szöget látószögnek hívjuk. Tétel: (Látószög-tétel) A sík azon pontjainak halmaza, amelyekbıl egy szakasz megadott (0 és 80 közötti) szögben látható, a szakasz végpontjait összekötı, a szakaszra vonatkozólag szimmetrikusan elhelyezkedı két körív belseje. Bizonyítás: Legyen AB egy szakasz, α pedig egy (a tételben elıírt) szög. Az AB egyenes két félsíkra osztja a síkunkat, jelölje ezeket Σ és Σ. A Σ félsíkban határozzuk meg azon ponthalmazt, amelynek pontjaiból az adott szakasz adott szögben látható. A szimmetria miatt az eljárás a másik félsíkban lévı körívre analóg. A Σ félsíkban felveszünk egy A kezdıpontú és egy B kezdıpontú félegyenest, amelyeknek az AB -vel bezárt szöge α. Merılegest állítunk A-ból, illetve B-bıl a félegyenesekre. Mivel 0 <α<80, ezeknek egyetlen metszéspontja az O pont. A szimmetria miatt az O rajta van az AB szakasz felezımerılegesén. Az O középpontú, OA (vagy OB ) sugarú körnek az AB szakasz egy húrja. Tekintsük ezen kör Σ félsíkba esı részét. Itt a körív minden pontjából (ábránkon a C pontból) az AB szakasz α szögben látszik, mivel az ACB, az A és a B (=α) szögek ugyanazon az íven nyugvó kerületi szögek. Be kell még látni, hogy a körív pontjain kívül nins más ilyen tulajdonságú pont a Σ-ban. Az AB egyenesen nyilvánvalóan nem lehet ilyen tulajdonságú pont, hiszen ott a látószög 0 vagy 80 lenne. Legyen P a kör olyan belsı pontja, amely Σ-ban van és D az AB szakasz egy belsı pontja. A DP félegyenes a körívet egy C pontban metszi. Ekkor az ABC tartalmazza az ABP háromszöget, és emiatt egyszerően átgondolható módon (α=)acb <APB. Hasonlóan tárgyalható az az eset, amikor P kívül esik a körön. Következmény: (Thalész-tétel) A sík azon pontjainak halmaza, amelyekbıl egy megadott szakasz derékszögben látható, a szakaszhoz mint átmérıhöz tartozó kör, elhagyva belıle a szakasz végpontjait.