Matematikai statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus alapszak, A szakiráy 8/9 tavaszi félév Megoldások, végeredméyek. A. évi épszámlálás alapjá a -4 év közötti épesség emek szeriti megoszlása Forrás: http://www.ksh.hu/epszamlalas/tablak_demografia: Nem Népesség száma f Fér 37 39 N 3 96 Összese 68 35 a. Add meg a táblázat adataiból számítható viszoyszámokat! b. A 6-os Mikroezus szerit Magyarország épessége 9 83 837 f. Számítsd ki a éps r séget! Ez milye viszoyszám?. Az euró eladási árfolyamáak alakulása az K&H Bakál a következ volt: Id pot Árfolyam Ft/euró 8. február 8. 38,33 9. február 8. 37,8 Adj meg és értelmezz a táblázat adataiból számítható diamikus viszoyszámot! 3. Egy termel vállalatál a zikai mukát végz k összese 8 db alkatrészt állítottak el, amib l a k teljesítméye 85 db volt. A vállalatak 95 fér zikai dolgozója va. A kél a termelékeység, azaz az egy f re jutó termelt meyiség 7 db/f. a. Milye viszoyszám található a feladat szövegébe és hogya számoljuk? b. Szerkessz statisztikai táblát az adatokból és töltsd ki a hiáyzó rubrikákat! 4. Néháy iformáió az ELTE matematika alapszakjára 6-ba jeletkez kr l: az állami aszírozásos képzésre 348-a jeletkeztek, 36,494%-uk els helye jeletkezett, végül -et vettek fel. A költségtérítéses képzési formára jeletkez k,7%-át, 9 f t vették fel. Összese 4 ember jelölte be az ELTE matematika szakát els helye. a. Milye viszoyszámok találhatók a feladat szövegébe? b. Szerkessz statisztikai táblát az adatokból és töltsd ki a hiáyzó rubrikákat! 5. Egy vállalat égy részleggel redelkezik, az ott dolgozók bruttó zetésér l az alábbi adatok állak redelkezésükre: Részleg Átlagkereset e Ft/f Dolgozók létszáma f Raktár Összeszerel 5 6 Tampóm hely 5 8 Irodaház 3 Összese...... a. Milye viszoyszám található a táblázatba és hogya számoljuk? b. Számítsd ki a hiáyzó potozott értékeket! 6. Egy szálloda 6-os vedégforgalmáról az alábbiakat ismerjük: Származási Vedégéjszakák Egy vedégéjszakára Egy vedégre jutó ország szerit száma jutó szállás díja vedégéjszakák száma a vedég éj Ft/éj éj/f Belföldi 5 6 4 Külföldi 4 Összese 9...... Határozd meg a teljes hotelre voatkozóa az egy vedégéjszakára jutó szállás díjat és az egy vedégre jutó vedégéjszakák számát! 7. Magyarország épességér l az alábbiakat ismerjük: Település jellege Népesség megoszlása Népesség változása -be % 99-r l -re % Budapest 7,4-4,4 Többi város 5,9 -,4 Községek 3,7 -,8 Összese,... a. 99 és között évete átlagosa meyivel változott a budapesti lakosság? b. Háy százalékkal változott a épesség száma 99-r l -re?. Melyik települése él k részaráya sökket? 8. Egy szabályos dobókokával 4-szer dobtuk és a következ ket kaptuk:, 3, 6,. a. Számold ki a mitaátlagot, tapasztalati szórást és korrigált tapasztalati szórást, a szórási együtthatót a korrigált szórást haszálva, valamit a második tapasztalati mometumot! b. Számítsd ki és rajzold fel a tapasztalati eloszlásfüggvéyt! Meyi a tapasztalati eloszlásfüggvéy értéke a, 3, 4 helyeke?. Mi a kokadobás elméleti eloszlásfüggvéye? Ábrázold ezt a függvéyt! d. A floorruif, mi, max 7 utasítással geerálj kokadobást és ábrázold a tapasztalati eloszlásfüggvéyét! Mit tapasztalsz? e. Tekitsük a kokadobás értékek -zal való eltolását:, 3, 6,. Meyi lesz most a mitaátlag és a tapasztalati szórás? f. Az a.-potbeli adatokat szorozzuk meg 3-mal: 3; 9; ; 3. Hogya változik ekkor a mitaátlag és a tapasztalati szórás? 9. Egy soportba a hallgatók magassága m: 8 63 5 57 65 65 74 9 7 65-68 86 a. Nézzük át agy voalakba az adatokat, reálisak-e! Próbáljuk javítai az esetleges adathibákat! b. Határozd meg a redezett mitát!
. Rajzold fel a tapasztalati eloszlásfüggvéyt! Meyi a tapasztalati eloszlásfüggvéy értéke a 8 helye? Értelmezd szövegese! d. Elemezd a hallgatók testmagasságát alapstatisztikák: átlag, korrigált tapasztalati szórás, szórási együttható, kvartilisek, terjedelem, iterkvartilis terjedelem, tapasztalati ferdeség, tapasztalati súsosság segítségével! Értelmezd szövegese az eredméyeket! e. Készíts boxplot ábrát! f. Készíts alkalmas osztályközös gyakorisági sort, majd abból hisztogramot!. Elemezd az alábbi adatokat az el z feladat elemzési szempotjai alapjá: a. A holapomo található Nyarhom.Rdata ev fájl a 4. yári api maximum-h mérsékleteket tartalmazza egy települése C b. Mita futási id kb l: mérd meg alkalommal, hogy az R milye gyorsa geerál és redez egy 4 elem stadard ormális mitát! Javasolt a mirobehmark pakage haszálata a futási id mérésére. A mitából készíts hisztogramokat külöböz sávszélesség eseté! Melyiket tartod a "legjobbak"?. Legye adat,,,,8,3,5,7,8,,3,5,,7,8,3,5,3,,8. Mit számol az alábbi R program? a. sumadat<3 b. amestableadat[tableadatmaxtableadat]. sdadat sqrtsumadat-meaadat /legthadat TRUE vagy FALSE? Ameyibe hamis az állítás, hogya lehet igazzá tei? d. reprep"a","b",, df bidas.data.frameadat,as.data.framerep libraryggplot ggplotdf, aesx rep, y adat + geom_boxplotfill "gold" + sale_x_disreteame "A és B soport". Határozzuk meg a mitateret a következ esetekbe: a. Egy dobókoka háromszori feldobása. b. Egy diák felkelési id potjait jegyzik fel apo keresztül.. Három pézérmét -szer dobuk fel. 3. Legye X,..., X függetle, azoos, abszolút folytoos eloszlású mita, a mitaelemek eloszlásfüggvéyét jelölje F x, a s r ségfüggvéyét pedig fx. Mutasd meg, hogy a miimum és a maximum s r ségfüggvéye a következ : f X x fx F x és f X x fx F x. El ször ézzük a miimumot F x P mix X,..., X < x P mix,..., X > x P X > x,..., X > x P X > x... P X > x [P X > x] [ P X < x] [ F x] Ezt deriválva, megkapjuk a miimum s r ségfüggvéyét: f X x fx[ F x] Most ézzük a maximumot: F X x P maxx,..., X < x P X < x,..., X < x P X < x... P X < x [P X < x] [F x] Ezt deriválva, megkapjuk a maximum s r ségfüggvéyét: x fx[f x] f X 4. Adjuk torzítatla beslést at E, eloszlás ismeretle > paraméterére T X X T X X T 3 X X statisztikák segítségével. Hasolítsuk ket össze hatásosság szempotjából! E, eloszlás- és s r ségfüggvéye: ha x { x F x ha < x f x ha < x < külöbe ha < x Kezdjük a mitaátlaggal: ET X EX EX T X : X torzítatla beslése -ak D T X 4D X 4D X 4 Következ ek ézzük a maximumot: EX xfxf x dx [ x dx x 3. x dx ] x + + dx + + + T X : + X torzítatla beslése -ak Szükség va a második mometumra is, hogy ki tudjuk számítai a szóráségyzetet. EX x fxf x dx x x dx [ ] x + dx x + + dx + + + D X + + + + + + ++ + + + + Így D T X + D X + + + kisebb, mit T szóráségyzete, ezért T hatásosabb T -él. Végül számoljuk ki a miimum várható értékét: EX xfx F x dx x x dx +. Ez mide -re Érdemes az y x helyettesítést elvégezi, ekkor x y, dx dy és így
EX y y dy yy dy + +, tehát T 3 X + X torzítatla beslése a paraméterek. Most is szükség va a második mometumra a szóráségyzet kiszámolásához. EX x x dx y y dy y y dy + + + ++ Így D T 3 X + D X + ++ + +, ami mide -re agyobb, mit a másik két torzítatlaá tett statisztika szóráségyzete, így azok hatásosabbak T 3 -ál. Összefoglalva, hatásosság szempotjából a sorred: T >> T >> T 3. 5. Próbáljuk R-be meghatározi az el z feladat besléseit! Geeráljuk - szer 6 elem [, 3] itervallumo egyeletes eloszlású mitát! Hasolítsuk össze a besléseket! 6. Legye X,..., X i.i.d. Expλ, λ > eloszlásból, >. Torzítatla beslése az ismeretle λ paraméterek a T X X... X statisztika? Ha em, tegyük azzá! Útmutatás: az itegrál kiszámolásához haszáljuk az Euler-féle gamma-függvéyt: Γz x z e x dx Számoljuk ki a statisztika várható értékét: E λ T X E λ E λ X... X... X X [ ] E λ... E λ X E λ X X x λe λx dx λe λx dx x Az itegrál kiszámolása a Gamma-függvéy segítségével fog mei, de el tte végezzük egy helyettesítést az itegrálba: y : λx x λ y és dx λ dy. [ E λ T X λ y λe y λ dy λ y e y dy λ Γ ] Tehát a T statisztika em besüli torzítatlaul a λ paramétert, de torzítatlaá tudjuk tei, jelölje ezt a T statisztika: T X [Γ ] X... X 7. -szer választuk egy gép gyártmáyai közül. Midegyik gyártmáyról megállapítjuk, hogy selejtes vagy sem. Miket a gépr l kikerül gyártmáyok selejtaráya érdekel, amit em ismerük. Modellezzük a problémát a következ képp: legye X,..., X i.i.d. mita idikátor eloszlásból, ami azt mutatja meg, hogy az egyes gyártmáyok selejtesek-e vagy em. Az X azt az eseméyt jeletse, hogy az. gyártmáy selejtes, eek ismeretle valószí ségét pedig jelölje p. a. Határozd meg a mitateret és a paraméterteret! b. A T X X +... + X statisztika torzítatlaul besüli a p paramétert?. Keressük elégséges statisztikát! a. A paramétertér: Θ {p : p, } A mitatér: X {; } b. E p T X E p X +... + X E px +... + E p X E p X p, tehát a statisztika torzítatlaul besüli a p paramétert.. Idikátoreloszlás eseté P X p és P X p, amit tömörebbe a következ képp lehet felíri: P X x p x p x, ahol x,. Ezzel a likelihood függvéy: Lp, x P p X x i P p p i xi p i xi Most már tudjuk alkalmazi a Neyma-féle faktorizáiós tételt: T x, g p y p y p y, hx, tehát a mitaelemek összege elégséges statisztika. 8. Torzítatla-e a tapasztalati közép reiproka az expoeiális eloszlás paraméterére? Ha em, hogya lehet torzítatlaá tei? Bevezet valószí ségszámítás órá szerepelt, hogy ha X,..., X függetle azoos λ paraméter expoeiálisok, akkor X + +X eloszlása Gamma, reddel és λ paraméterrel, azaz {! f X+ +X t λ t e λt ha t >, külöbe és > -re E λ X + + X λ t! λ t e λt dt! λ t e λt dt λ, amib l a mitaátlag reiprokáak várható értékére E λ X + +X λ adódik, Azaz λ torzítatla beslését kaphatjuk > eseté a ˆλ /X + i 3
+ X formulával. -re /X végtele várható érték, azt em tudjuk torzítatlaá tei. 9. Keressük elégséges statisztikát a következ eloszlássaládokból vett elem mita eseté, és ahol tudjuk, írjuk fel a kapott elégséges statisztika eloszlását is. a. Bir, p, r egész ismert, < p < paraméter, b. Geop, < p < paraméter,. diszkrét egyeletes az {,,..., N} halmazo, N egész paraméter, d. E,, > paraméter, e. E,, > paraméter. Az összes részfeladatál felírjuk a likelihood-függvéyt és addig alakítjuk, hogy látszódjo egy megfelel "szereposztás" a Neyma-féle faktorizáiós tételt alkalmazásához. a. Lp; x P p r i p p r xi [ i r i i ] p i i p r i T x egy lehetséges elégséges statisztika, g p y p y p r y, hx r i b. Lp; x P p p p xi p p i i i i i T x egy elégséges statisztika, g p y p p y, hx i. Itt a folytoos egyeleteshez hasolóa vigyázi kell, mert a valószí ségi változó által felvett érték is függ a paramétert l. LN; x P N N I N, Z i i N I x,..., x N, Z N I x,..., x N, x i Z I x Z N IN x Z T x x egy elégséges statisztika, g Ny N IN y, hx I x d. L; x f I i i I x,..., x I x, x I x, x I max x, x T x max x, x egy elégséges statisztika, g y I y, hx e. L; x f I I x,..., x i i I x, x x I x T x x, x egy elégséges statisztika, g y, y I y y, hx. Legye X,..., X i.i.d. mita Poiλ, λ > eloszlásból. a. Adjuk hatásos beslést a gλ e λ meyiségre! b. Milye más besléseket alkalmazál még?. Szimuláljuk külöböz elemszámú és paraméter Poisso-mitákat, majd vizsgáljuk meg az egyes beslések viselkedését! d. Alkalmazd ezt a hatásos beslést a vízi halálos balesetek számára, forrás: http: //www.ksh.hu/dos/hu/xstadat/xstadat_eves/i_ods.html a. A Blakwell-Rao tételt fogjuk alkalmazi, aak 3 lépésé kell végigmei. El ször keressük egy elégséges statisztikát amir l em fogjuk beláti, hogy teljes is egybe, de feltesszük, hogy az. A Neyma-féle faktorizáiós tételt fogjuk haszáli a kereséshez. Lλ; x P λ λ λi e λ, mely i alakból leolvasható, hogy Sx g λ y λ y e λ, hx. i!! e λ i i i! egy lehetséges elégséges statisztika, A második lépés egy torzítatla beslés keresése a besüled e λ -ra. Vegyük észre, hogy ez a Poisso eloszlás ulladik tagja, így egy egyszer torzítatla beslés például kizárólag az. mitaelemet haszálva T X IX, mivel E λ T X E λ IX P λ X e λ. A harmadik lépésbe ki kell számoli az ET X SX feltételes várható értéket, ez lesz a hatásos beslés. Mivel az eloszlásuk diszkrét, ezért ezt a feltételes várható értéket úgy számoljuk ki, hogy a feltételbe lév valószí ségi változó értékét lerögzítjük, majd a végé visszaírjuk. ET X SXE IX E IX k i i k i A további számolások sorá fel fogjuk haszáli, hogy a mita i.i.d. Poisso eloszlású és bevezet valszámból tudjuk, hogy ekkor X +... + X Poisso eloszlású λ paraméterrel. E IX k P X P i X, k i P k i k P λ e λ k! e λ k λ k k! e λ ET X SX k i X, k P X P λ k i i P k P k i i i. b. Természetes választásak t ik például T X mitaelemek relatív gyakorisága. k k, ezáltal a hatásos beslés: I, ami a érték i 4
. d.. Legye X,..., X i.i.d. Expλ, λ > eloszlásból. a. Adjuk blakwellizálással jó mi ség torzítatla beslést a gλ e λ meyiségre > kostas! b. Geeráljuk R-be paraméter elem expoeiális mitákat és próbáljuk megbesüli a feti meyiségeket.5; ; ; 3; 4-re. Mekkorák leszek a hibák? Legye X,..., X i.i.d. Expλ, λ > eloszlásból. a. Most is a blakwellizálás 3 lépésé kell végigmei. El ször keressük elégséges statisztikát: Lλ; x i f λ i λe λxi I alakból leolvasható, hogy Sx g λ y λ e λy, hx Ix >. i > λ e λ i Ix >, mely egy lehetséges elégséges statisztika, Második lépésbe keresük egy torzítatla beslést e λ -ra. Vegyük észre, hogy az expoeiális eloszlás eloszlásfüggvéye alapjá P λ X > e λ, így T X IX > jó lesz torzítatla beslések. A harmadik lépésbe ki kell számoli az ET X SX feltételes várható értéket, ez lesz a hatásos beslés. E IX > Ix > f x y dx X f X i i x y y i dx i fx, x,y i f y i dx y i y i Ki kell tehát számítauk az itegráljel mögött a számlálóba lév együttes s r ségfüggvéyt. Úgy foguk eljári, hogy az együttes eloszlásfüggvéyt továbbalakítjuk a teljes valószí ség tételével folytoos eset, majd x és y szerit lederiválva, megkapjuk az együttes s r ségfüggvéyt. F X, x f X, x, y P λ X < x, < y i i P λ X < x, X + < y X u f X u du i P λ u + x < y f X u du F y uf X u du i i x, y y x F X, i x, y i y x x F i y uf X u du y F i y xf X x f y xf X x i Eek ismeretébe folytathatjuk a hatásos beslés kiszámolását. Bevezet valószí ségszámításból ismeretes, hogy darab függetle Expλ eloszlású valószí ségi változó összege Γ, λ eloszlású. fx, x,y f X x f y x i i f y dx f y dx i i λe λx Ix> Γ λ e λy x y x Iy x> dx Γ λ e λy y Iy> y [ ] y x dx y x x y y y xy y Tehát a hatásos beslés E IX > b.. Tekitsük egy elem i.i.d. Poisso eloszlású mitát. i i y a. Adjuk maximum likelihood beslést az ismeretle paraméterre! b. Tegyük fel, hogy a http://www.ksh.hu/dos/hu/xstadat/xstadat_eves/ i_ods.html like található közúti baleseti halálesetek száma Poissoeloszlást követ. Adjuk beslést az eloszlás paraméterére!. Megfelel ek tartod ezt az eljárást? Tegyük fel, hogy az i-edik év Poisso paramétere µρ i 99 tehát a mitaelemek em azoos eloszlásúak. Besüld meg µ-t és ρ-t maximum likelihood módszerrel! d. Próbálkozz más modellekkel is! a. Lλ; x P λ i i lλ; x log + i i! i λ! e λ i log λ λ! λ i e λ λ lλ; x λ λ ML X Megmutatható, hogy ez a lehetséges széls értékhely maximum. b.. Az adatok az 99, 99,..., 7 évekre adottak, ezért a mitát jelöljük X 99,..., X 7 -tel. A feladat szövege alapjá most is midegyik függetleek tételezhet fel a többit l, de em azoos eloszlásúak. Jelölje az i idex mitaelem paraméterét λ i µρ 99 i. Ekkor a likelihood függvéy: Lµ, ρ; x 7 j99 λ x j j x j! e λj x e 7 λ j 7 j99 j99 Így a loglikelihood függvéy a paraméterekt l függetle kostastól eltekitve λ xj j. 5
lµ, ρ; x 7 µ 7 j99 j99 λ j + 7 ρ j 99 + 7 j99 j99 x j logλ j µ 7 ρ i + 7 x 99+i log µ + i log ρ i µ ρ8 ρ i 7 + log µ i x j log µ + j 99 log ρ x 99+i + log ρ 7 ix 99+i i A maximum likelihood besléshez eek a függvéyek a maximumhelyét kell megtaláli, µ és ρ paraméterek szerit kell maximalizáli. A meggyelésekb l két értekre va szükségük: a mitaösszegre és 7 i ix 99+i-re. d. 3. Tekitsük egy elem i.i.d. geometriai eloszlású mitát. a. Adjuk maximum likelihood beslést az ismeretle paraméterre! b. Geerálj R-be. paraméter elem geometriai eloszlású mitákat! Mit lehet modai a feti beslés viselkedésér l? a. Lp; x p p xi p p i xi i lp; x logp + log p i p lp; x p i p p i p Lehetséges széls értékhely ott va, ahol a derivált zérus:, azaz i p p p x i Megmutatható, hogy ez maximumhely, így p ML X. b. 4. Legyeek X,..., X, Y,..., Y m függetle, em egyforma paraméter ormális eloszlású miták. A mitákat em tudjuk meggyeli, sak az ɛ ij I < Y j, i,...,, j,..., m idikátor változókat. Hogya lehete az eredeti X, Y változók paramétereit besüli? 5. A http://reliawiki.om/idex.php/logormal_example_5_data# Logormal_Distributio_Examples íme meghibásodási id ket talál. Ezeket gyakra logormális eloszlással közelítik. a. Adjuk a paraméterekre maximum likelihood beslést! b. Besüljük a paramétereket mometum módszerrel is!. Adjuk beslést aak a valószí ségére, hogy az els 7 órába em törtéik meghibásodás! a. A loglikelihood függvéy éháy átalakítás utá: lm, σ, x Cx log σ σ i log m Deriváli kell a két paraméter szerit: m lm, σ, x σ i log m i log m m i log xi m i log xi σ lm, σ, x σ σ i log x 3 i m σ b. A logormális eloszlás -edik mometuma: EX e m+ σ /, amit itegrálással megkaphatuk aak felhaszálásával, hogy X e Y, ahol Y Nm, σ : EX Ee Y e y πσ e y m σ dy Alakítsuk át az expoesbe lév meyiséget! y y m σ y ym σ y+m σ y m+σ m+σ +m σ y m+σ mσ σ 4 σ y m+σ σ + m + σ / Folytatva a számolást, EX πσ e m+ σ / e y m+σ σ dy e m+ σ / Két ismeretle paraméterük va, ezért az els két mometumegyeletet kell felíri. log m µ + σ / log m µ + σ Megoldva az egyeletredszert, a mometumbeslésre a következ adódik: µ log m log m és σ log m log m. 6. A http://amiklos.web.elte.hu/oktatas/9_if_stat/felkar.rdata le-ba a Setteked Sáskák Biztosító 83 db felel sségbiztosítási kárát láthatjuk millió foritba. A biztosító az ilye típusú károkat Pareto-eloszlással modellezi. αβ A Pareto-eloszlás s r ségfüggvéye α β+x Ix >. α+ a. Adjuk maximum likelihood beslést az α paraméterre, ha β, 5! b. Adjuk meg α mometum módszeres beslését is! Meyire tér el ez az el z beslést l?. Határozzuk meg az el z besléseket, ha egyik paraméter sem ismert! α a. lα; x log β α Ix > i β+xiα+ log α + α log β α + log i β + α lα; x α + log β log i β +, így az ML-beslés: α ML log i,5+xi log,5 β α, így a mo- b. Itegrálással megmutatható, hogy az eloszlás várható értéke metum beslés: α MM,5 + X. 7. A http://amiklos.web.elte.hu/oktatas/9_if_stat/postagalamb. RData íme 9 postagalamb visszaérkezési id potját apba számolva találjuk 6
meg. Tegyük fel, hogy a visszaérkezési id potok expoeiális eloszlást követek. a. Határozzuk meg a paraméter maximum likelihood beslését! Mivel kellee ezt szorozi, hogy torzítatla beslést kapjuk? b. Bizoyítsuk be, hogy az így kapott beslés hatásos!. Határozzuk meg a Fisher-féle iformáiómeyiséget! d. Határozzuk meg az iformáiós határt, ha a paramétert besüljük! e. Határozzuk meg az iformáiós határt, ha a paraméter reiprokát besüljük! f. Geeráljuk -szer paraméter 9 elem mitát. Hasolítsuk össze a kapott égyzetes hibákat az iformáiós határokkal! a. λ lλ; x λ log λ e λ i Ix > λ log λ λ Ix > λ i i Ezt -val egyel vé téve és megoldva, az ML-beslésre λ ML i adódik. Le lehet elle rizi, hogy ez valóba maximumhely. A 8. feladat alapjá ez a beslés em torzítatla beslése λ-ak, de T X már az. i b. Be lehet láti, hogy SX teljes elégséges statisztika, így a Blakwelli Rao tétel értelmébe a hatásos beslés: E. Tehát a i torzítatlaá tett ML-beslés hatásos.. E λ λ lλ; X E λ λ λ E λx, azaz teljesül az. regularitási feltétel. I λ I λ Dλ λlλ, X Dλ λ X λ d. Dλ E λ Eλ. i i i i A. várható érték λ, mert a statisztika torzítatla beslése λ-ak, az. várható értéket pedig ki kell számoli itegrálással. Az itegrált valszámosa fogjuk kiszámoli az itegradust addig alakítjuk, míg az ott lév kifejezés egy eloszlás s r ségfüggvéye em lesz, amit itegrálva, -et kapuk. E λ x! λ e λx x dx i i i λ Dλ i 3! λ e λx x 3 dx λ }{{} Γ 3,λ eloszlás s r ségfv.-e λ λ gλ λ, így az iformáiós határ: λ λ, tehát a statisztika szóráségyzete agyobb az iformáiós határál, em éri el. Így a Cramér-Rao egyel tleség alapjá em tudjuk, hogy a vizsgált torzítatlaá tett ML-beslés hatásos-e. A b. feladatrészbe blakwellizálással viszot beláttuk, hogy az. e. Ameyibe a paraméter besüled függvéye gλ λ, akkor eek evides torzítatla beslése a T X X mitaátlag. A Cramér-Rao egyel tleség: D X D X λ λ λ ezáltal a mitaátlag hatásos beslése λ -ak. f. 8. Legye X..., X i.i.d. mita E, eloszlásból. λ, azaz elérjük az iformáiós határt, a. Határozd meg a paraméter maximum likelihood beslését! Mivel kellee ezt szorozi, hogy torzítatla beslést kapjuk? b. Határozd meg a Fisher-féle iformáiómeyiséget!. Határozd meg az iformáiós határt, ha a paramétert besüljük! d. Határozd meg az iformáiós határt, ha a paraméter égyzetét besüljük! e. -szer geerálj paraméter elem mitát. Hasolítsd össze a kapott égyzetes hibákat az iformáiós határokkal! a. L; x Ix Ix Ezt kell maximalizáli szerit. Az idikátoros részbe bee va az ismeretle paraméter, ezért vigyázi kell a maximumkeresés sorá, em lehet ész élkül logaritmust vei és deriváli. A likelihood függvéy x eseté szigorúa mooto sökke, < x eseté pedig, így a maximumát x -ba veszi fel, tehát ML X. A 4. feladat alapjá tudjuk, hogy em torzítatla, de T X X már az. b. Köye be lehet mutati, hogy most em teljesül az. regularitási feltétel, ezért a Fisher-iformáiót közvetleül a deíióból fogjuk számoli. I E l; X E I X,..., X f X x dx,. A 4. feladatba már kiszámoltuk a T X + X statisztika szóráségyzetét. Mivel em teljesülek a Cramér-Rao egyel tleség feltételei, ezért az egyel tleségek se kell igazak leie. Látjuk, hogy valóba ez a helyzet a szóráségyzet az iformáiós határ alatt va: 7
D T X + < x l d. Ameyibe a paraméter besüled függvéye g, akkor érdemes megpróbálkozi az elégséges statisztika X valamilye hatváyfüggvéyével. Számoljuk ki tetsz leges pozitív egész l eseté az l-edik mometumot, majd a szóráségyzetet: E X l x [ ] dx x l+ dx x +l +l +l l e. D X l E X l E X l +l l +l l l l +l+l Ha l, akkor kostasszorosa a várható érték, így T X + X torzítatla beslése -ek. A torzítatla statisztika szóráségyzete most is az iformáiós határ alatt va: D T X 4 4 +4 < 4 4. 8