Török Anikó. Dinamikai rendszerek periodikus megoldásai

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Török Anikó Dinamikai rendszerek periodikus megoldásai BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 216

1

Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni témavezet mnek, Dr. Kovács Sándornak a rengeteg segítséget, amellyel támogatta a szakdolgazatom elkészülését. Köszönettel tartozom továbbá szüleimnek és barátaimnak, hogy végig mellettem álltak, bíztattak és támogattak. Budapest, 216. május 27. Török Anikó 2

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Alapvet ismeretek 5 2.1. Általános fogalmak, jelölések......................... 5 2.2. Periodikus pontok............................... 5 3. Elemi periodikus megoldások 8 4. Floquet elmélet 12 4.1. Lineáris rendszerek konstans együtthatókkal................ 12 4.2. Homogén lineáris rendszerek periodikus együtthatókkal.......... 13 5. Gerjesztett lineáris rezgések 23 6. A Floquet elméletr l más megközelítésben 27 7. Stabilitás 3 8. Példák és alkalmazások 32 8.1. Hill egyenlet.................................. 32 8.2. Mathieu egyenlet............................... 37 8.3. Egy további példa............................... 4 9. Fixponttételek 42 1.Dierenciaegyenletek 45 3

1. Bevezetés A természeti jelenségek között számos periodikus mozgás gyelhet meg, például a Föld keringése a Nap körül, az órainga mozgása vagy egy motor m ködése. Periodikusság fedezhet fel továbbá biológiai folyamatokban is, mint ahogy a légzésben, keringésben és a szívverésben. Ezen vizsgált mozgások jelent s része az id függvényében periodikus. Ha a jelenség leírható paraméterekkel, úgynevezett fázis-koordinátákkal, akkor a jelenség periodikussága leírható egy fázistérbeli zárt görbével, mivel a pálya egy meghatározott id múlva visszatér a kezd pontjába, és ezt követve halad tovább. A periodikus mozgást általában valamely természeti (mechanikai, zikai vagy biológiai) törvény írja le, amely a legtöbbször dierenciálegyenletek formájában írható fel. A dierenciálegyenletek periodikus megoldásaval foglalkozó témakör a Floquetelmélet, amely a 2. és 3. fejezetben taglalt általános eredmények után a 4., 5. és 6. fejezetben kerül kifejtésre. A 7. fejezetben leírt általános stabilitási fogalmak és tételek után, ezeket felhasználva a 8. fejezetben szó esik néhány lényegi alkalmazásról. A 9. fejezetben kitérünk a xponttételek alkalmazására a periodikus megoldások témakörében, majd végül, a 1. fejezetben a diszkrét halmazon értelmezett dierenciaegyenletekre. 4

2. Alapvet ismeretek 2.1. Általános fogalmak, jelölések Legyen Ω R 1+n nyílt és összefügg, f : Ω R n, folytonos. Tekintsünk a következ közönséges dierenciálegyenletet: y = f (id, y). (2.1) Ennek az egyenletnek az y(τ) = ξ kezdeti feltételt kielégít teljes megoldását jelölje ϕ( ; τ, ξ), a megoldás értelmezési tartományát pedig I(τ, ξ). Ha τ =, azaz a kezdeti feltétel ϕ() = ξ, akkor jelöljük ezeket ϕ( ; ξ)-vel és I(ξ)-vel. 2.2. Periodikus pontok Tekintsük most a következ autonóm dierenciálegyenlet. y = f y, (2.2) ahol Ω R n nyílt, f : Ω R n folytonos, és a kezdeti feltétel legyen y() = ξ. A következ deníció és állítások erre a rendszerre vonatkoznak. 2.1. Deníció. Egy x Ω pontot egyensúlyi pontnak nevezünk, ha ϕ(t; x ) = x minden t I(x )-ra. 2.2. Deníció. Egy x 1 Ω pontot periodikus pontnak hívunk, ha létezik T >, úgy hogy ϕ(t + T ; x 1 ) = ϕ(t; x 1 ) minden t I(x 1 )-re. A T számot x 1 pont periódusának nevezzük. Nyilvánvalóan látszik, hogy minden egyensúlyi pont egyben periodikus pont is, hiszen ekkor ϕ(t; x ) = x minden t I(x )-ra, azaz ϕ(t+t ; x ) = x, tehát x periodikus pont is. Ezen deníciókat felhasználva belátható az alábbi tétel (vö. [2]). 5

2.1. Tétel. 1. Ha x 1 Ω periodikus, akkor [, ) I(x 1 ). 2. x 1 Ω pontosan akkor periodikus, ha létezik T >, úgy hogy ϕ(t ; x 1 ) = x 1. Bizonyítás. 1. Ha x 1 Ω periodikus, akkor valamely T > -ra, akkor ϕ(t ; x 1 ) = ϕ(; x 1 ), tehát T I(x 1 ). Ezáltal kt is I(x 1 )-ben van minden k N-re. Azaz [, kt ) I(x 1 ) minden k N-re, tehát [, ) I(x 1 ). 2. Ha x 1 Ω periodikus, akkor ϕ(t ; x 1 ) = ϕ(; x 1 ) = x 1. Legyen most t I(x 1 ). Tudjuk, hogy ϕ(t + T ; x 1 ) = ϕ(t; x(t ; x 1 )). Ebbe behelyettesítve az el z t ϕ(t + T ; x 1 ) = x 1 adódik, tehát x 1 T -periodikus pont. 2.2. Tétel. Legyen x 1 Ω periodikus pont. Ekkor egyenérték ek az alábbi állítások. 1. x 1 egyensúlyi pont. 2. inf{t > ϕ(t + T ; x 1 ) = x 1 t I(x 1 )} =. Bizonyítás. 1. 2. Ekkor ϕ(t; x 1 ) = x 1 minden t R-re, azaz inf{t > ϕ(t + T ; x 1 ) = x 1 t I(x 1 )} =. 2. 1. Ha 2.-t igaznak tekintjük, és x 1 periodikus pont, akkor létezik egy (T n ) sorozat, melyre lim(t n ) = és T n >, ϕ(t + T n, x 1 ) = ϕ(t, x 1 ) (n N) 6

minden t I(x 1 )-re, és minden n N-re. Most az ϕ(t) : ϕ(t, x 1 ) jelölést használva látható hogy azaz Ebb l pedig ϕ(t + T n ) ϕ(t) lim =, T n T n ϕ (t) =. f(x 1 ) = f(ϕ(t)) = ϕ (t) = következik minden t [, )-re, tehát x 1 egyensúlyi pont. Továbbá látható, hogy egy x 1 Ω periodikus pont pontosan akkor nem egyensúlyi pont, ha létezik T, melyre T = inf{t > ϕ(t + T ; x 1 ) = ϕ(t), t [, )} >. Az el z ek tirivális következménye a 2.3. Tétel. Legyen x 1 Ω. Ekkor az alábbi állítások közül pontosan az egyik igaz. 1. x 1 egyensúlyi pont. 2. x 1 periodikus pont, ahol a minimális periódus pozitív. 3. ϕ(t; x 1 ) x 1 minden t I(x 1 )-re. Bizonyítás. Nyilvánvalóan 3. pontosan akkor nem igaz, ha 1. vagy 2. igen. Az el z tétel pedig pont azt mondja ki, hogy 1. és 2. nem teljesülhet egyszerre. 7

3. Elemi periodikus megoldások 3.4. Tétel. Ha f : R R folytonos, periodikus függvény, továbbá k R, akkor az y + ky = f (3.3) els rend dierenciálegyenletnek van periodikus megoldása. Bizonyítás. Mivel a (3.3) egyenlet lineáris, ezért bármely c R esetén a ϕ(t) := e kt f(s)e ks ds + c (t R) (3.4) függvény megoldása az (3.3) egyenletnek. Ha az f függvény T -periodikus, azaz alkalmas T > esetén f(t + T ) = f(t) (t R), akkor érdemes el ször megvizsgálni, hogy van-e olyan c R, amely esetén a (3.4)-beli megoldás is T -periodikus. 1. lépés. Megmutatjuk, hogy a (3.4)-beli megoldás T -periodikus volta csak a e kt c := e kt 1 T f(s)e ks ds esetben állhat fenn. Valóban, ha (3.4)-beli megoldás T -periodikus, azaz t+t f(s)e ks ds + c = e kt f(s)e ks ds + c (t R), e k(t+t ) akkor e kt t+t f(s)e ks ds + c = f(s)e ks ds + c (t R), ill. c(e kt 1) = f(s)e ks ds e kt t+t f(s)e ks ds = = f(s)e ks ds e kt 8 T f(s)e ks ds + T +t T f(s)e ks ds.

Felhasználva, hogy az f függvény T -periodikus, a τ := t T helyettesítéssel azt kapjuk, hogy f(s)e ks = f(τ + T )e k(τ+t ) = f(τ)e kτ e kt (s [T, T + t]), azaz T +t f(s)e ks ds = e kt f(τ)e kτ dτ. T Ennélfogva c(e kt 1) = T f(s)e ks ds e kt f(s)e ks ds f(s)e ks ds = T = e kt f(s)e ks ds, ami azzal egyenérték, hogy e kt c = e kt 1 T f(s)e ks ds. 2. lépés. Megmutatjuk, hogy az iménti c esetén a (3.4)-beli megoldás, azaz a T ϕ(t) := e kt f(s)e ks ds e kt f(s)e ks ds (t R) e kt 1 függvény T -periodikus. Valóban, bármely t R esetén t+t T ϕ(t + T ) = e k(t+t ) f(s)e ks ds e kt f(s)e ks ds = e kt 1 = e kt e kt T f(s)e ks ds + t+t f(s)e ks ds T 9

T = e kt e kt 1 +e kt = e kt e kt = e kt e kt = e kt f(s)e ks ds = e kt e kt f(τ)e kτ dτ e kt e kt f(τ)e kτ dτ T e kt e kt 1 f(τ)e kτ dτ + f(τ)e kτ dτ T e kt e kt 1 T f(t)e kt dt+ f(s)e ks ds = } T {1 e kt e kt 1 1 T e kt 1 f(s)e ks ds = f(s)e ks ds = f(s)e ks ds = = ϕ(t). 3.5. Tétel. Ha a, f : R R folytonos, T -periodikus függvény, akkor az y + ay = f (3.5) els rend dierenciálegyenlet minden olyan ϕ megoldása T -periodikus, amelyre ϕ() = ϕ(t ) teljesül. Bizonyítás. Az egyértelm ség következtében, ha ϕ és ψ az (3.5) egyenlet olyan megoldása, amelyre ϕ() = ψ(), akkor ϕ = ψ. Mivel ϕ megoldása az (3.5) egyenletnek, ezért ϕ (t + T ) + a(t + T )ϕ(t + T ) = f(t + T ), ahonnan az a, ill. az f függvény T -periodikussága miatt ϕ (t + T ) + a(t)ϕ(t + T ) = f(t) (t R) 1

következik. Ha most akkor ψ(t) := ϕ(t + T ) ψ (t) + a(t)ψ(t) = f(t) (t R), (t R). Ha Ezért ϕ(t ) = ϕ(), akkor ψ() = ϕ(). ψ(t) = ϕ(t) (t R), azaz ϕ(t + T ) = ϕ(t) (t R). 11

4. Floquet elmélet Ebben a fejezetben lineáris rendszerek periodikus megoldásaira fogunk kitérni. Lineáris rendszerekkel lehet modellezni számos zikai és mechanikai problémát, például a rugalmasság, h terjedés, hullámterjedés vagy az elektromágneses jelenségek kérdésében (vö. [4]). 4.1. Lineáris rendszerek konstans együtthatókkal Tekintsük a következ egyenletet, A konstans együtthatómátrixszal, és egy b úgynevezett periodikus gerjesztéssel: y = Ay + b, (4.6) ahol A egy n n-es konstans mátrix, b C (R, R n ) pedig egy T -periodikus függvény, azaz b(t + T ) = b(t), ahol t R. Ekkor megmutatható, hogy bármely megoldás ϕ(t) = exp(at)ϕ + exp(a(t s))b(s)ds alakú, ahol ϕ = ϕ(). Az (3.5.) tételb l következik, hogy ϕ periodikus megoldása (4.6)-nak, akkor és csak akkor ha ϕ(t ) = ϕ(). Tehát ϕ periodikusságához szükséges és elégséges feltétel: T ϕ(t ) = exp(at )ϕ + exp(a(t s))b(s)ds = ϕ. (4.7) Könnyen bizonyítható az alábbi tétel. 4.6. Tétel. Ha a (4.6)-hoz tartozó homogén rendszernek nincs periodikus megoldása a triviális (azonosan ) megoldástól eltekintve, akkor (4.6)-nak pontosan egy megoldása van. Bizonyítás. Vegyük a (4.7) periodikussági feltételt. Ezt beszorozva exp( AT )-vel, majd átrendezve, a következ t kapjuk. T (exp( AT ) I)ϕ = exp( As)b(s)ds. (4.8) 12

(4.7)-nek pontosan egy ϕ megoldása van, ha det(exp( AT ) I). Az együtthatómátrixot exp(at )-vel beszorozva, és a determinánsok szorzástételét alkalmazva adódik, hogy det(i exp(at )). Tudjuk, hogy det(i exp(at )) = pontosan akkor, ha exp(at ) mátrixnak az 1 szám egy sajátértéke. Felhasználva a tételt, hogy ha egy adott M mátrix sajátértékei λ 1,..., λ n, és ezek f értelmezési tartományában vannak, akkor f(m) sajátértékei f(λ 1 ),..., f(λ n ), könnyen adódik, hogy ez csak akkor eshet meg, ha 2kπi T sajátértéke A-nak, valamely k =, 1, 2,...- ra. Belátható, hogy a homogén rendszernek pontosan akkor van a triviálistól eltér T - periodikus megoldása, ha 2kπi T sajátértéke A-nak. Tehát ha a homogén rendszernek nincsen ilyen megoldása, (4.8) egyértelm en megoldható, azaz (4.6)-nak pontosan egy T -periodikus megoldása van. 4.2. Homogén lineáris rendszerek periodikus együtthatókkal Vegyük az alábbi általános alakban felírt egyenletet. x = f (id, x), (4.9) ahol f, f C (R + Ω, R n ), Ω egy nyílt, összefügg részhalmaza R n -nek és f periodikus az els változójában T > peridódussal, azaz f(t + T, x) = f(t, x), t R +, x Ω. Erre vonatkozóan könnyen belátható a következ tétel. 4.7. Tétel. Az (4.9) egyenlet egy ϕ : R + Ω megoldása pontosan akkor T-periodikus, ha létezik egy t R +, melyre ϕ(t + T ) = ϕ(t ). 13

Bizonyítás. A szükségesség nyilvánvalóan látszik, az elégségességhez pedig elég látni, hogy Φ(t) : ϕ(t + t ) is megoldása (4.9)-nek: Φ (t) ϕ (t + T ) = f(t + T, ϕ(t + T )) = f(t, Φ(t)), mivel f periodikus T -ben. Továbbá, mivel Φ(t ) = ϕ(t + T ) = ϕ(t ), a megoldások egyértelm gése miatt Φ(t) = ϕ(t), azaz ϕ(t + T ) = ϕ(t), t R +. Most tekintsük (4.9) egyenlet egy speciális (lineáris) esetét: y = Ay, (4.1) ahol A C (R +, R n n ), és periodikus T > periódussal, azaz A(t + T ) = A(t), ahol t R +. Feltételezzük, hogy T a legkisebb pozitív periódus. Legyen Φ ennek a rendszernek egy alapmátrixa. Az el z bizonyításhoz hasonlóan ebb l következik, hogy Φ( + T ) is alapmátrixa a feladatnak. Emiatt tehát létezik egy C konstans mátrix, melyre Φ( + T )C = Φ, (4.11) vagyis C = Φ 1 Φ( + T ) = Φ 1 ()Φ(T ). Ha feltesszük, hogy Φ az az alapmátrix, amely t = -ban az egységmátrix, melyet ezentúl I-vel jelölünk, akkor ezáltal Φ 1 () = I. Ebb l pedig az következik, hogy C = Φ(T ). Ezt visszahelyettesítve (4.11)-be, megkapjuk hogy Φ( + T ) = ΦΦ(T ). Vegyük észre, hogy C mátrix függ az alapmátrix választásától, tehát ha az alapmátrixunk Φ, akkor a C-t deniáló egyenlet Φ( + T ) = ΦC. Mivel tudjuk, hogy létezik egy reguláris U mátrix, melyre Φ = ΦU, ezért ezt behelyettesítve C = Φ 1 () Φ(T ) = U 1 Φ 1 ()Φ(T )U = U 1 CU. Tehát C hasonló C-hoz, azaz C mátrix csak hasonlóság erejéig függ az alapmátrix megválasztásától. C sajátértékeit nevezzük az (4.1) rendszer karakterisztikus multiplikátorainak, míg C-t principális mátrixnak. Mivel Φ reguláris mátrix, a nem lehet karakterisztikus multiplikátor. 14

4.8. Tétel. Ha λ (4.1) egy karakterisztikus multiplikátora, akkor létezik egy nemtriviális ϕ megoldás, melyre ϕ( + T ) = λϕ, visszafele pedig, ha (4.1) egy ϕ nemtriviális megoldására ϕ(t ) = λϕ(), akkor λ egy karakterisztikus multiplikátor, melyhez tartozó sajátvektor ϕ(). Bizonyítás. Legyen λ a karakterisztikus multiplikátor, és s a hozzá tartozó sajátvektor. Vegyük (4.1) azon ϕ megoldását, melyre ϕ() = s. Tehát ϕ = Φs, és mivel Φ( + T ) = ΦΦ(T ) = ΦC, ezért ϕ( + T ) = Φ( + T )s = ΦCs = Φλs = λϕ. A másik irányhoz pedig felhasználjuk, hogy ϕ(t ) = Φ(T )ϕ(). Tehát a feltétel szerint Φ(T )ϕ() = λϕ(), azaz Cϕ() = λϕ(), ami azt jelenti, hogy λ karakterisztikus multiplikátor és a hozzá tartozó sajátvektor ϕ(). 4.9. Tétel. A (4.1) rendszernek létezik nemtriviális T -periodikus megoldása pontosan akkor, ha az 1 szám karakterisztikus multiplikátora. Továbbá, (4.1) rendszernek létezik nemtriviális 2T -periodikus megoldása pontosan akkor, ha a 1 szám karakterisztikus multiplikátora. Bizonyítás. A tétel els részéhez segítséget nyújt a korábban belátott (4.8.)-es tétel, mely szerint ha λ = 1, akkor létezik egy nemtriviális ϕ megoldás, melyre ϕ( + T ) = ϕ. Visszafele, ha ϕ 1 egy nemtriviális T -periodikus megoldás, akkor nyilván ϕ 1 (T ) = ϕ(), tehát szintén (4.8.) miatt λ = 1. Most nézzük a tétel második részét. Ha λ = 1 karakterisztikus multiplikátor, akkor ϕ(( + T ) + T ) = ϕ( + T ) = ϕ, tehát ϕ 2T -periodikus. Visszafele, ha ϕ 2 egy nemtriviális 2T -periodikus megoldás (de nem T -periodikus), akkor a korábbi megállapítások szerint ϕ 2 (2T ) = Cϕ(T ) = C 2 ϕ 2 () = ϕ 2 (). Ezáltal C 2 sajátértéke 1, és a hozzátartozó sajátvektor ϕ 2 (). Emiatt 1 és 1 közül legalább az egyik karakterisztikus multiplikátor. 15

Látszik, hogy (C 2 I)ϕ 2 () = (C + I)(C I)ϕ 2 () =. Ha 1 nem lenne karakterisztikus multiplikátor, akkor C + I reguláris lenne, tehát a fenti egyenl ség ekvivalens lenne (C I)ϕ 2 () = -val, ám ekkor ϕ 2 (T ) = Cϕ 2 () = ϕ 2 (), ami azt jelentené, hogy ϕ 2 T -periodikus, ami ellentétben áll a feltevésünkkel, tehát λ = 1. Nézzük most a Floquet elmélet f tételét. 4.1. Tétel. (Floquet) A (4.1) rendszer Φ alapmátrixa felírható Φ = P exp(b ) alakban, ahol P C 1 (R +, C n n ) egy reguláris, T -periodikus mátrix, azaz minden t R + - ra P (t + T ) = P (t), P () = I, és B C n n konstans mátrix. Ha az (4.1)-beli A valós, és (4.1) egy 2T -periodikus rendszer, akkor Φ = P 1 exp(b 1 ), ahol P 1 C 1 (R +, R n n ) reguláris 2T -periodikus mátrix, azaz minden t R + -ra P 1 (t + 2T ) = P 1 (t), P 1 () = I, és B R n n konstans mátrix. Bizonyítás. Legyen B az a mátrix, melyre exp(bt ) = C = Φ(T ) (bizonyítható, hogy ilyen létezik). Nyilvánvalóan Φ = Φ exp( B ) exp(b ). Legyen ekkor P = Φ exp( B ). Ekkor adódik, hogy P ( + T ) = Φ( + T ) exp( B( + T )) = ΦΦ(T ) exp( B ) exp( BT ) = Φ exp(bt ) exp( B ) exp( BT ) = Φ exp( B ) = P. Könnyen látszik, hogy az így megadott P teljesíti a tételbeli feltételeket. 16

Továbbá, ha A valós, akkor bizonyíthatóan létezik B 1 valós mátrix, melyre exp(b 1 2T ) = C 2 = Φ(T, )Φ(T, ) = Φ(2T, ). Legyen P 1 = Φ exp( B 1 ). Ekkor az el z höz hasonló átalakítást végezve (mindössze P helyett P 1 -et, B helyett B 1 -et, valamint T helyett 2T -t írva) és gyelembe véve, hogy Φ valós mátrix, könnyen látható, hogy P 1 teljesíti a tétel feltételeit. A fent deniált B mátrix sajátértékeit az y = Ay rendszer karakterisztikus kitev inek nevezzük. Könnyen látható, hogy ha ν karakterisztikus kitev, akkor λ = exp(νt ) karakterisztikus multiplikátor, és visszafele is. De a karakterisztikus kitev k nincsenek egyértelm en meghatározva, hiszen maga B mátrix sincs. Ha λ karakterisztikus multiplikátor, akkor a hozzá tartozó karakterisztikus kitev k alakja a következ képpen néz ki: ν k = 1 T lnλ = ln λ T i(argλ + 2kπ) + T (k =, ±1, ±2...), ahol felhasználtuk a komplex számok logaritmusának tulajdonságát. A fenti bizonyításban deniált B 1 sajátértekei szintén ilyen alakban állnak el, ha λ befutja a karakterisztikus multiplikátorok halmazát. Ha ν 1 B 1 sajátértéke, akkor létezik egy λ karakterisztikus multiplikátor, melyre exp(ν 1 2T ) = λ 2. Ezért valamely k =, ±1, ±2...-re. ν 1 = 1 2T lnλ2 = 1 ln λ lnλ = T T + i(argλ + 2kπ) T = ν k A megadott képlet alapján meggondolható, hogy az, hogy egy karakterisztikus kitev valós része negatív, ekvivalens azzal, hogy a hozzá tartozó karakterisztikus multiplikátor ebszolútértéke kisebb, mint 1. Belátható, hogy Floquet tétele alapján minden ν karakterisztikus kitev höz tartozik egy ϕ, a homogén rendszerhez tartozó megoldás, melyre ϕ = exp(ν )p 17

ahol p T -periodikus függvény. Ugyanis B mátrix egy ν-höz tartozó sajátvektorát jelöljük s-sel. Tehát Bs = νs, és vegyük azt a ϕ megoldást, melyre ϕ() = s. Ekkor ϕ = P exp(b )ϕ() = P exp(b )s = P e ν s = e ν p ahol p = P s láthatóan T -periodikus. 4.2.1. Egyszer bb alakra transzformálás A következ kben nézzünk néhány tételt a reducibilitásra vonatkozóan, azaz hogy minden homogén, periodikus együtthatós, lineáris rendszer áttranszformálható lineárisan egy lineáris rendszerré, konstans együtthatókkal. 4.11. Tétel. (Ljapunov I.) Ha A valós mátrix, akkor létezik egy reguláris, T - periodikus P C 1 (R +, C n n ) mátrix, melyre P () = I, úgy hogy az y = P z transzformáció átviszi (4.1)-t egy homogén, lineáris rendszerbe konstans együtthatókkal. Továbbá, ha A valós mátrix, akkor létezik egy reguláris 2T -periodikus P C 1 (R +, R n n ) mátrix, melyre P () = I, úgy hogy az y = P z transzformáció átviszi (4.1)-t egy homogén, lineáris rendszerbe valós konstans együtthatókkal. Bizonyítás. A tételben szerepl feltételeknek eleget tesz a P = Φ exp( B ) mátrix, ahol B az a mátrix melyre exp(bt ) = C = Φ(T ). Helyettesítsünk be y = P z-t (4.1)-be. Ekkor az alábbi egyenletet kapjuk z-re. P z + P z = AP z, azaz, átrendezve z = P 1 (AP P )z. 18

A rendszer együtthatómátrixáról elemi átalakításokkal a következ ket kapjuk: P 1 (AP P ) = = exp(b )Φ 1 (AΦ exp( B ) Φ exp( B ) + ΦB exp( B )) = exp(b )Φ 1 (Φ exp( B ) Φ exp( B ) + ΦB exp( B )) = exp(b )Φ 1 ΦB exp( B ) = B. Tehát z megoldása a z = Bz homogén, lineáris, konstans együtthatós rendszernek. A tétel második fele hasonlóan bizonyítható, P helyett P 1, B helyett B 1 -t írva, a korábban deniáltak alapján. 4.12. Tétel. (Ljapunov II.) Legyen S C 1 (R +, C n n ) reguláris és T -periodikus. Ekkor az y = Sz transzformáció átviszi (4.1)-t egy homogén lineáris rendszerbe, T - periodikus együtthatómátrixszal, melynek karakterisztikus multiplikátorai megegyeznek (4.1) karakterisztikus multiplikátoraival. Bizonyítás. Az y = Sz transzformációt (4.1)-be helyettesítve a következ t kapjuk. S z + Sz = ASz, (4.12) tehát z megoldása a z = S 1 (AS S )z rendszernek. Az S 1 (AS S ) együtthatómátrix folytonos és T -periodikus. Legyen Φ a (4.1) rendszer azon alapmátrixa, melyre Φ() = I. Ekkor (4.12) alapmátrixa Ψ = S 1 Φ. Ekkor (4.12) karakterisztikus multiplikátorai a Ψ 1 ()Ψ(T ) mátrix sajátértékei. Látszik azonban, hogy Ψ 1 ()Ψ(T ) = Φ 1 (, )S()S 1 (T )Φ(T, ) = IS()S 1 C = C, mivel S 1 is T -periodikus. Tehát a karakterisztikus multiplikátorok megegyeznek. 19

4.2.2. Approximáció a karakterisztikus multiplikátorokra Beláttuk tehát, hogy a karakterisztikus multiplikátorok az imént deniált dierenciálegyenleteknél invariáns halmazt alkotnak. Ennek a halmaznak a tulajdonságai meghatározzák a megoldások viselkedését, a periodikus megoldás létezését, és a stabilitást is. Ám ahhoz, hogy a karakterisztikus multiplikátorokat meghatározzuk, ismernünk kell az alapmátrixot, melyhez kell az összes, lineárisan független megoldás. Ezt elkerülvén készíteni fogunk egy algoritmust, mely egy közelítést ad a karakterisztikus multiplikátorokra. Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy A valós mátrix. Osszuk fel a [, T ] intervallumot N darab egyenl részre: = t < t 1 <... < t N = T. Ekkor egy rész hossza h = t k+1 t k = T/N, k =, 1,..., N 1. Most pedig az Y = AY (4.13) dierenciálegyenlet együtthatómátrixát módosítsuk a következ szakaszonként konstans A h (t) mátrixra: A h (t) = A hk, t [t k, t k+1 ), (k =, 1,..., N 1), ahol A hk egy konstans mátrix, melyre min A(t) A hk max A(t), t [t k, t k+1 ]. (4.14) Természetesen min A(t) azt a mátrixot jelöli, melynek minden eleme A(t) megfelel elemének a minimuma, max A(t) hasonlóan. Azt, hogy A mátrix kisebb mint egy B deniáljuk úgy, hogy a dimenziójuk megegyezik, és A minden eleme kisebb, mint a neki megfelel B-beli elem. Látható A hk lehet például A(t k ). Most legyen Y h : [, T ] R n n egy folytonos mátrix, amelyre teljesül A h folytonossági pontjaiban, azaz t Y h = A h Y h (4.15) 2 k=,...,n 1 (t k, t k+1 ), és Y h () = I.

Ekkor Ebb l látszik, hogy Y h (t) = exp((t t k )A hk ) exp(ha h,k 1 )... exp(ha h ), (4.16) t [t k, t k + 1], (k =,... N 1). Y h (T ) = exp(ha h,n 1 ) exp(ha h,n 1 )... exp(ha h ). (4.17) Jelöljük (4.13) megoldásait, melyet teljesítik Y () = I-t Y -nal. Emiatt, a korábbiak alapján Y (T ) az (4.1) egyenlet alapmátrixa. Tehát sajátértékei a rendszer karakterisztikus multiplikátorai. Most meg fogjuk mutatni, hogy Y h (T ) Y (T ), ha h. Integrálva (4.13)-t, és (4.15)-t, a következ ket kapjuk. Y (t) = I + A(τ)Y (τ)dτ (t [, T )) Y h (t) = I + A h (τ)y h (τ)dτ (t [, T )) Tehát, t [, T )-re, A(τ)Y h (τ)-t kivonva és hozzáadva: Y h (t) Y (t) = (A h (τ) A(τ))Y h (τ)dτ + A(τ)(Y h (τ) Y (τ))dτ. Bármilyen szokásos mátrixnormával felírható a következ becslés, t [, T )-re: Y h (t) Y (t) A h (τ) A(τ) Y h (τ) dτ + A(τ) Y h (τ) Y (τ) dτ. (4.18) Legyen A(t) M, ha t [, T ]. Ekkor (4.14) miatt A hk M(k =, 1,..., N 1), és (4.16) miatt Y h (t) exp(h A hk ) exp(h A h,k )... exp(h A h, ) exp(hnm) = exp(t M), 21

ahol t [, T ]. Továbbá, A egyenletes folyotonossága miatt a [, T ] intervallumon, minden ε > - hoz létezik δ(ε) >, úgy hogy minden τ 1, τ 2 [, T ]-re, ha τ 1 τ 2 < δ(ε), akkor A(τ 1 ) A(τ 2 ) ε. Tehát (4.14) miatt következik, hogy A h (τ) A(τ) ε minden τ [, T ]-re, ha h < δ(ɛ). Emiatt (4.18) becslést így folytathatjuk, ha h < δ(ɛ), és t [, T ): Y h (t) Y (t) ε exp(t M)T + Most szükségünk lesz a Grönwall lemmára, amely így szól. M Y h (t) Y (t) dτ. 4.13. Tétel. (Grönwall-lemma) Ha u, f C ([t, t 1 ]), u(t), f(t), k >, t [t, t 1 ], és u(t) k + f(τ)u(τ)dτ, t akkor u(t) k exp f(τ)u(τ)dτ. t Alkalmazva ezt Y h (t) Y (t) ε exp(t M) exp( M)dτ = ε exp(t M + Mt) (t [, T ]). Azaz, Y h (t) Y (t) εt exp(2t M) (t [, T ]) melyb l következik, hogy Y (T ) = lim h Y h (T ). Mivel a mátrix sajátértékei folytonosan függnek a bemenett l, Y h (T ) sajátértékei az (4.1) rendszer karakterisztikus multiplikátoraihoz tartanak. Az Y h (T ) mátrixot numerikusan meghatározhatjuk bármely pozitív h esetén az (4.16) egyenletet alkalmazva. 22

5. Gerjesztett lineáris rezgések Ebben a fejezetben inhomogén lineáris periodikus rendszerekkel fogunk foglalkozni, azaz nézzük az alábbi egyenletet. y = Ay + b, (5.19) ahol az A együtthatómátrix, és a b úgynevezett gerjeszt tag folytonos, és T -periodikus függvények, azaz A C (R +, R n n ), b C (R +, R n ), és A(t + T ) = A(t), b(t + T ) = b(t), valamely T > -ra, minden t R + -ra. A korábbi tételeket fogjuk kiterjeszteni az ilyen alakú rendszerekre. 5.14. Tétel. Ha az (5.19)-hoz tartozó homogén rendszernek nincs a triviálistól periodikus megoldása T periódussal, akkor (5.19)-nek pontosan egy T -periodikus megoldása van. Bizonyítás. Ljapunov els tétele szerint létezik egy T -periodikus mátrixfüggvény, P, mely (5.19)-hez tartozó homogén rendszert az y = P z transzformációval a z = Bz (5.2) rendszerbe viszi, ahol B egy konstans mátrix. Ugyanez a transzformáció (5.19)-et átviszi z = Bz + P 1 b (5.21) rendszerbe. Ha a homogén rendszernek nincs periodikus megoldása, akkor nyilván (5.2)-nak sem. Emiatt, az (4.6.) tételt alkalmazva (5.21)-nek van T -periodikus megoldása, tehát (5.19)-nek is. A megoldások egyértelm sége pedig abból látszik, hogy ha (5.19)-nak két különböz periodikus megoldása lenne, akkor a különbségük egy nemtriviális T -periodikus megoldása lenne a homogén rendszernek, amely ellentmond a feltevésünknek. Az alábbi következmény pedig látszik az el z tételekb l. 5.15. Tétel. Ha az 1 szám nem karakterisztikus multiplikátora a homogén rendszernek, akkor (5.19)-nek pontosan egy T -periodikus megoldása van. 23

A következ tételt Massera fogalmazta meg 195-ben. 5.16. Tétel. (Massera) Ha az (5.19) rendszernek van korlátos megoldása [, ]-en, akkor van T -periodikus megoldása is. Bizonyítás. Jelöljük ezt a korlátos megoldást ϕ-vel, és Φ-vel a homogén rendszer alapmátrixát, melyre Φ() = I. Ekkor a megoldás felírható az alábbi alakban: ahol ϕ = ϕ(), t R +. ϕ(t) = Φ(t)ϕ + Φ(t)Φ 1 (s)ds, azaz Ekkor nyilván T ϕ(t ) = Φ(T )ϕ + Φ(T )Φ 1 (s)ds, ϕ(t ) = Φ(T )ϕ + c. (5.22) Mivel ϕ( + T ) szintén megoldás, mely a -ban ϕ(t )-t vesz fel, ezért Ebb l látszik, hogy ϕ(t + T ) = Φ(t)ϕ(T ) + Φ(t)Φ 1 (s)ds. (t R + ) T ϕ(2t ) = Φ(T )ϕ(t ) + Φ(T )Φ 1 (s)ds = Φ(T )ϕ(t ) + c. Ide (5.22)- t behelyettesítve adódik, hogy ϕ(2t ) = Φ 2 (T )ϕ + (Φ(T ) + I)c. Ezt bármely m = 1, 2...-ra felírva ϕ(mt ) = Φ m (T )ϕ + m 1 k= Φ k (T )c. Most indirekt módon feltételezzük, hogy (5.19)-nek nincs T -periodikus megoldása. 24

Mivel ϕ(t ) = Φ(T )ϕ + c, ha ϕ (5.19) egy megoldása, az indirekt feltevés azt jelenti, hogy a Φ(T )ϕ + c = ϕ periodikussági feltételnek nincs megoldása. Átrendezve (I Φ(T ))ϕ = c adódik. Megjegyezzük, hogy a Bx = c egyenletrendszernek létezik x megoldása, akkor és csak akkor, ha nem létezik egy v, melyre v B =, v c, ahol v -vel v transzponáltját jelöljük. Ez nyilván igaz, hiszen ha létezne ilyen v, az azt jelentené, hogy B oszlopai által generált alterére mer leges, ám c-re nem. De ez pont ellentmond annak, hogy c benne van B oszlopterében, azaz létezik x melyre Bx = c. A másik irány hasonlóképp, ha létezik x, úgy hogy Bx = c, akkor c benne van B oszlopterében, tehát nem létezhet v, amely mer leges B oszlopterére, de c-re nem. Alkalmazva ezt a mi tételünkre, az, hogy (I Φ(T ))y = c egyenletrendszernek nincs megoldása, azzal ekvivalens, hogy létezik egy v vektor, melyre v (I Φ(T )) =, v c. Transzponálva ezt, megkapjuk, hogy (I Φ (T ))v =, c v, ahol -gal az adjungáltat jelöljük. Az els egyenletrendszerb l az látszik, hogy Φ (T )v = v, azaz Φ -gal balról szorozva Φ k (T )v = v, ahol k =, 1,.... 25

Most vegyük ϕ(mt ) skaláris szorzatát v-vel, ahol -vel a transzponáltat jelöljük. Az eddig belátottak alapján ϕ (mt ) v = ϕ Φ m (T ) v + m 1 = ϕ Φ m (T )v + m 1 = ϕ v + m 1 k= k= k= c Φ k (T )v c Φ k (T ) v c v = ϕ v + mc v. Ha m végtelenhez tart, akkor a jobboldal is, hiszen ott egy m-es szorzó. Tehát a bal oldalon ϕ (mt ) v is végtelenhez tart, azaz ϕ (mt ), ha m. Ez pedig ellentmond annak, hogy ϕ korlátos. Tehát ha ϕ korlátos, akkor létezik periodikus megoldás, tehát a tételt beláttuk. Továbbá érdemes megjegyezni azt is, hogy ha egy megoldás T -periodikus, akkor szükségképpen korlátos is, hiszen ϕ(t) max{ ϕ(ϑ) ϑ [, T ]} < minden t R + -ra. A most belátottakból könnyen következik az alábbi tétel. 5.17. Tétel. Ha az (5.19) rendszernek nincs periodikus megoldása, akkor egy megoldás sem korlátos t R + -on. 26

6. A Floquet elméletr l más megközelítésben A korábban deniált principális mátrixot és karakterisztikus multiplikátorokat bevezethetjük másképp is (vö. [7]). Nézzük az x = Ax (6.23) dierenciálegyenletet, ahol A C (R +, R n n ) folytonos, és T -periodikus, azaz A(t+T ) = A(t), ahol t R +. Jelölje u = ϕ( ; τ, ξ) azt a megoldását (6.23)-nak, melyre u(τ) = ξ. Ekkor ϕ( ; τ, ξ) = ϕ( + T ; τ + T, ξ), hiszen ha u megoldás, akkor u( + T ) is. Most deniáljuk az F (τ; ) úgynevezett T -leképezést: F (τ; ξ) := ϕ(τ + T ; τ, ξ). F egy diszkrét dinamikai rendszer, amely jellemzi (6.23) viselkedését. 6.18. Tétel. A (6.23) egyenletnek létezik T -periodikus u(t) megoldása pontosan akkor, ha ξ := u(τ) xpontja az F (τ;.) T -leképezésnek, azaz F (τ; ξ ) = ξ. Bizonyítás. Ez nyilván igaz, hiszen ha u T -periodikus, akkor u(τ) = u(τ + T ), azaz ϕ(τ; τ, ξ ) = ϕ(τ + T ; τ + T, ξ ). Ezáltal ξ = u(τ) = F (τ; ξ ). Legyen τ =, és F := F (; ). Valamint legyen most F (ξ ) = ξ, és u(t) az ehhez tartozó T -periodikus megoldás, továbbá Az így kapott egyenlet DF (ξ ) := ϕ x (T ;, ξ ) Y = AY, Y () = I. 27

Itt DF (ξ ) = Y (T ). A DF (ξ ) mátrix sajátértékei a karakterisztikus multiplikátorok, melyek az u T - periodikus megoldáshoz tartoznak. A következ kben autonóm rendszerekhez fogjuk deniálni a Poincaré-leképezést. Legyen x = f x, u egy T -periodikus megoldás, és γ az ehhez tartozó periodikus pálya. A Poincaré-leképezés minden xpontja megfelel egy periodikus pályának. El nye a T -leképezéssel szemben, hogy az ismeretlen T -periódust megkapjuk a xpont úgynevezett visszatérési idejeként. Legyen H az az n 1 dimenziós hipersík, amely irányvektora a pálya f(z) érint vektora z γ pontban. A z + H hipersíkot transzverzálisnak hívjuk z γ-ban, ha R n = f(z) H, ahol f(z) az f(z) vektor által kifeszített egydimenziós altér. 6.19. Tétel. Legyen H = {w R n : w, x = }, valamely w -ra Ekkor z + H transzverzális z γ-ban pontosak akkor, ha w, f(z). Továbbá, U z + H lokális transzverzális metszete a γ pályának z pontban, pontosan akkor ha w, f(x), minden x U-ra. 6.2. Tétel. Legyen γ egy T -periodikus pályája x = f x autonóm egyenletnek, és legyen z + H egy transzverzális hipersík z γ-ban. Ekkor létezik egy U lokális transzverzális metszete a γ pályának z pontban, és egy ϑ : U R, melyre ϑ(z) = T 28

γ ϑ(x) (x) z + H mindenx Ura ϑ folytonosan dierenciálható. A ϑ függvényt visszatérési id nek hívjuk. A függvény egyértelm abban az értelemben, hogy az U környezet választható úgy, hogy létezik egy pozitív ε, melyre ha x U, γ t (x) z + H, t + T < ε teljesül, akkor t = ϑ(x). A Π : U z + H, x γ ϑ(x) (x) Poincaré leképezés folytonosan dierenciálható és létezik z xpontja. Bizonyítás.[vázlat] A tétel belátható, ha alkalmazzuk az inverzfüggvény tételt g(t, x) = - ra, ahol g(t, x) := w, (γ t (x) z), g : R n R R, felhasználva, hogy g(t, z) =. 29

7. Stabilitás Most essen néhány szó a stabilitásról. Tekintsük a következ, általános alakban megadott rendszert. x = f (id, x), (7.24) ahol f, f C (R + Ω, R n ), ha Ω R n egy összefügg, nyílt tartomány. 7.3. Deníció. Egy ψ : R + Ω megoldását (7.24)-nek Ljapunov értelemben stabilnak nevezünk, ha ε > -hoz és τ -hoz létezik egy ε-tól és τ-tól függ δ >, úgy hogy ha ξ ψ < δ, akkor bármely ϕ(t; τ, ξ) [τ, + )-n értelmezett megoldásra, minden t > τ-ra ϕ(t; τ, ξ) ψ(t) < ε, ahol ψ = ψ(τ), valamely τ > -ra 7.4. Deníció. Egy ψ : R + Ω megoldását (7.24)-nek attraktornak nevezünk, ha minden τ -hoz létezik egy τ-tól függ η, úgy hogy, ha x ψ < η, akkor lim ϕ(t; τ, ξ) ψ(t) = t 7.5. Deníció. Egy ψ : R + X megoldását (7.24)-nek aszimptotikusan stabilisnak nevezünk, ha stabilis és attraktor. A továbblépéshez, vegyük a következ rendszert y = Ay, (7.25) ahol A C (R +, R n n ), A(t + T ) = A(t) valamely T > -ra és minden t R + -ra. Bebizonyítható az alábbi tétel (vö. [4]): 3

7.21. Tétel. (a) A (7.25) rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha minden karakterisztikus multiplikátorának abszolútértéke kisebb, mint 1. (b) A rendszer akkor és csak akkor Ljapunov értelemben stabil, ha minden karakterisztikus multiplikátorának abszolútértéke kisebb vagy egyenl 1-gyel, és amelyeknek abszolútértéke 1, azok a minimálpolinomban egyszeres multiplicitással rendelkeznek. (c) A renszer instabil, ha van egy karakterisztikus multiplikátora, melynek abszolútértéke nagyobb, mint egy, vagy pontosan egy és multiplicitása a minimálpolinomban nagyobb mint egy. 31

8. Példák és alkalmazások 8.1. Hill egyenlet A korábbi eredményeink alkalmazásaképp írjuk fel Hill egyenletét: y + py =, (8.26) ahol p C (R +, R), p(t + T ) = p(t) valamely T > -ra, ahol t R +. Különösen fontos foglalkoznunk ezzel az egyenlettel, hiszen belátható, hogy bármely másodrend lineáris dierenciálegyenlet periodikus és folytonosan dierenciálható együtthatókkal, visszavezethet (8.26)-ra. Tehát számos probléma megoldását könnyítik meg ezek az általános eredmények. A visszavezetéshez tehát legyen a 1 C 1 (R +, R), a C (R +, R), a 1 (t + T ) = a 1 (t), és a (t + T ) = a (t) valamely T > -ra, ahol t R +. Vegyük a z + a 1 z + a z = (8.27) rendszert. Bevezetve egy új y ismeretlen függvényt a z(t) = y(t) exp 1 2 a 1 (s)ds (t R + ) (8.28) transzformációval, azt kapjuk, hogy z kielégíti a (8.27)-et pontosan akkor, ha y kielégíti (8.26)-t, ahol p = a a 2 1/4 a 1/2. Mindez könnyen látszik, ha az így megadott z-t behelyettesítjük (8.27)-be, majd a deriválásokat elvégezve valóban (8.26)-t kapjuk. Visszatérve (8.26)-hez, most Ljapunov módszerét ismertetjük, mely meghatározza az általános megoldást, és a stabilitási feltételeket. Az (8.26) rendszer egy ekvivalens felírása y 1 = y 2, y 2 = py 1. (8.29) 32

El ször (8.29) Φ(t) alapmátrixát fogjuk meghatározni, melyre Φ() = I. Ezt végtelen sor formájában tesszük meg. Most (8.26) helyett egy általánosabb alakú dierenciálegyenletet nézünk: y = µpy, (8.3) ahol µ R. Itt µ helyébe 1-et helyettesítve megkapjuk Hill egyenletét. Az (8.3) rendszer y() = 1, y () = kezdeti feltételeket kielégít megoldását nevezzük ϕ µ -nek. Nyilván (8.26) ϕ megoldására ϕ = ϕ 1. Tegyük fel, hogy a ϕ µ megoldások felírhatóak konvergens hatványsor alakban az alábbi módon: ϕ µ = ϕ k µ k. (8.31) k= Ezt visszahelyettesítve (8.3)-ba, adódik, hogy k= ϕ kµ k = pϕ k µ k+1 Ahhoz, hogy µ azonos hatványaihoz tartozó együtthatók megegyezzenek, kell: k= ϕ =, ϕ k = pϕ k 1 (k = 1, 2...). Ahhoz, hogy a kezdeti feltételek teljesüljenek, legyen ϕ() = 1, ϕ () =, ϕ k () = ϕ k() =, hak 1, Ezeket felhasználva, kiintegrálva az el z feltételeket, megkapjuk, hogy ϕ (t) = 1, ϕ k (t) = 1 p(t 2 )ϕ k 1 (t 2 )dt 2 dt 1. (t R + ) A második integrálból adódik, hogy ϕ k (t) = p(t 2 )ϕ k 1 (t 2 )dt 1 dt 2 = t 2 (t τ)p(τ)ϕ k 1 (τ)dτ (t R + ), ahol felhasználtuk a Fubini-tételt, illetve, hogy a bels integrál nem függ t 1 -t l. 33

Indukcióval látható, hogy ha a periodikus p függvénynek M fels korlátja, akkor ϕ k (t) M k t 2k (2k)! t R +, k = 1, 2... és ϕ k C 2 (R). Tehát tetsz leges µ > -ra és t > -ra a k= µ k M k t 2k (2k)! = ch(t (µ M) 1/2 ) konvergens sorozat felülr l becsli (8.31)-et, ha t < t és µ < µ tehát (8.31) abszolút konvergens, és összege valóban (8.3) megoldása. Azaz beláttuk, hogy (8.26) megoldása, mely teljesíti a megadott kezdeti feltételeket ϕ = ϕ 1 = ( 1) k ϕ k. k= Hasonlóképp belátható, hogy (8.26) megoldása, melyre y() =, y () = 1 a következ képp néz ki: ahol ψ (t) = t, és ψ(t) = t + ( 1) k ψ k (t) t R +, k=1 ψ k (t) = (t τ)p(τ)ψ k 1 (τ)dτ, t R +, k = 1, 2.... Ekkor a Φ alapmátrixa (8.26)-nek, amely teljesíti a Φ() = I feltételt ϕ ψ. ϕ ψ A karakterisztikus multiplikátorok a C λi = egyenlet megoldásai, ahol C = Φ(T ). A folytatáshoz írjuk fel a következ lemmát, mely Lioville nevéhez köthet. 8.1. Lemma. Legyen Y az Y = AY megoldása, és legyen t (α, β). Ekkor minden t (α, β)-ra det(y (T )) = det(y (t )) exp T ra(s)ds, ahol T ra(s) az A(s) mátrix nyoma. t 34

Ezt felhasználva T det(φ(t )) = exp T r 1 dt = exp() = 1. p(t) Visszatérve a Φ(T ) λi = egyenlethez, behelyettesítve Φ(T )-t ϕ(t ) λ ψ(t ) ϕ (T ) ψ (T ) λ = adódik. Ez a determináns (ϕ(t ) λ)(ψ (T ) λ) ψ(t )ϕ (T ) = λ 2 aλ + 1, ahol a = ϕ(t ) + ψ (T ) = T rφ(t ), melyet Ljapunov konstansnak nevezünk. 8.22. Tétel. Ha a Ljapunov konstans abszolútértéke nagyobb 2-nél, akkor (8.29) rendszer instabil, ha pedig kisebb 2-nél, akkor pedig Ljapunov értelemben stabil. Bizonyítás. A λ 2 aλ + 1 = egyenlet gyökei λ 1,2 = a ± a 2 4. 2 A (7.21.) tételt alkalmazva, a gyökök értékét gyelembe véve a tételt beláttuk. 8.23. Tétel. Ha a Ljapunov konstans 2, akkor a (8.29) rendszer Ljapunov értelemben stabil pontosan akkor, ha minden megoldása T -periodikus. Továbbá, ha a Ljapunov konstans 2, akkor a (8.29) rendszer Ljapunov értelemben stabil pontosan akkor, ha minden megoldása 2T -periodikus. Bizonyítás. Ha a = 2, akkor a rendszer karakterisztikus polinomja p(λ) = (λ 1) 2. Felhasználva a (4.9.) tételt, ekkor létezik egy nemtriviális T -periodikus megoldás. A (7.21.) tétel szerint a rendszer pontosan akkor Ljapunov értelemben stabil, ha a minimálpolinomja q(λ) = λ 1, mert így az 1 karakterisztikus multiplikátor multiplicitása egyszeres. 35

Továbbá, q(λ) = λ 1 minimálpolinom pontosan akkor, ha C I =, ahol ϕ(t ) ψ(t ) C = Φ(T ) =. ϕ (T ) ψ (T ) Ezt elemenként felírva, ϕ(t ) = 1 = ϕ(), ϕ (T ) = = ϕ (), ψ(t ) = = ψ(), és ψ (T ) = 1 = ψ (). Tehát ez a két független megoldás, általuk az összes megoldás T -periodikus. Ha a = 2, akkor a rendszer karakterisztikus polinomja p(λ) = (λ + 1) 2. Tehát létezik egy nemtriviális 2T -periodikus megoldás. A rendszer Ljapunov értelemben stabil, ha a minimálpolinom q(λ) = λ + 1. Emiatt C + I =. Elemenként, ϕ(t ) = 1 = ϕ(), ϕ (T ) = = ϕ (), ψ(t ) = = ψ(), ésψ (T ) = 1 = ψ (). Tehát Ezáltal és [ϕ(t ), ϕ (T )] = [ϕ(), ϕ ()], és [ψ(t ), ψ (T )] = [ψ(), ψ ()]. [ϕ(2t ), ϕ (2T )] = [ϕ(t ), ϕ (T )] = [ϕ(), ϕ ()], [ψ(2t ), ψ (2T )] = [ψ(t ), ψ (T )] = [ψ(), ψ ()], azaz minden megoldás 2T -periodikus. Összefoglalva 1. Ha a > 2, akkor a rendszernek van egy valós karakterisztikus multiplikátora, melynek abszolútértéke nagyobb, mint 1, és egy másik valós, melynek kisebb, mint 1. Ebb l belátható, hogy a Hill egyenlet néhány megoldása exponenciálisan végtelenbe tartó amplitúdókkal oszcillálhat, és néhány a -ba tart, ha t. 2. Ha a < 2, akkor a rendszernek van kett (komplex konjugált) karakterisztikus multiplikátora, melyek abszolútértéke 1. Ez azt jelenti, hogy a Hill egyenlet minden megoldása korlátos, oszcillál, de a triviálisokon kívül egyik sem T -, vagy 2T - periodikus. 36

3. Ha a = 2 (illetve a = 2), akkor vagy minden megoldás T -periodikus (illetve 2T - periodikus), vagy van egy nemtriviális T -periodikus (illetve 2T -periodikus) megoldás, és minden más megoldás független ett l, és végtelenbe tartó amplitúdóval oszcillál. 8.2. Mathieu egyenlet Az alábbi fejezetben alkalmazásokkal, és egy a Hill egyenlet egy speciális esetével, a Mathieu egyenlettel fogunk foglalkozni. Egy lényeges alkalmazás bemutatásaképp beszéljünk a hullámokról. Ez egy olyan probléma, amely az élet számos területén el fordul, például ha megpendítünk egy gitárhúrt, ráütünk egy dobra, vagy beledobunk egy követ a vízbe. Beszélhetünk rugalmas, elektromágneses, vagy számos egyéb hullámról. Most kétdimenziós hullámokkal fogunk foglalkozni. A terjedésüket a kétdimenziós hullámegyenlet írja le: U = c 2 U, ahol -vel a t szerinti deriválást jelöljük, c > konstans, U pedig a hullám amplitúdója, U(t, x, y) jelöli az (x, y) koordinátájú pont függ leges kitérését a t id pillanatban, ahol t R +, (x, y) R 2. Itt a jelölés pedig a Laplace operátor, tehát f = div(grad f) = 2 f x 2 f R 2 R kétszer deriválható függvény. + 2 f y 2, ha Tegyük fel, hogy a rezgés harmonikus, és alkalmazzuk a változók szétválasztásának módszerét. Ekkor belátható, hogy U(t, x, y) = exp(iωt)u(x, y) (t R +, (x, y) R 2, ω R). Ezt visszahelyettesítve a hullámegyenletbe ( ) exp(iωt)u(x, y)ω 2 = c 2 exp(iωt) 2 u(x, y) + exp(iωt) 2 u(x, y), x 2 y 2 azaz egyszer sítve és átrendezve az egyenletet u + k 2 u = (8.32) 37

adódik, ahol k = ω/c. Tegyük fel, valós problémákra alaphozva, hogy a peremfeltételek egy ellipszis mentén vannak megadva. Ehhez vezessük be (vö. [3]) a ξ és η ortogonális elliptikus koordinátákat az alábbi transzformációval x = h 1 ch ξ cos η, y = h 1 sh ξ sin η, ahol h 1 > konstans, ξ, η R Alkalmazva a Laplace operátort ezekre a görbe vonalú ortogonális koordinátarendszerbeli koordinátákra, (8.32) egyenletb l 2 u(ξ, η) + 2 u(ξ, η) + k2 h 1 (ch 2ξ cos 2η)u(ξ, η) = ξ 2 η 2 (8.33) 2 lesz, ahol a most szerepl u függvény ξ-t l és η-tól függ. Újból a változók szétválasztásának módszerét alkalmazva legyen u(ξ, η) = A(ξ)B(η). Ezt visszahelyettesítve (8.33)-be, AB-vel leosztva A (ξ)/a(ξ) + 2h 2 ch 2ξ = B (η)/b(η) + 2h 2 cos 2η = r adódik, ahol h = kh 1 /2 és r tetsz leges szám, és -vel a saját változó szerinti deriválást jelöljük. Ezáltal a következ két dierenciálegyenletet kapjuk A (ξ)(r 2h 2 ch 2ξ)A(ξ) =, B (η)(r 2h 2 cos 2η)B(η) =. Egy komplex tanszformációval a két egyenlet könnyen átvihet egymásba, tehát most vizsgáljuk a 2 y(t) t 2 + (r 2q cos 2t)y(t) = (t R) (8.34) egyenletet. Ezt a másodrend dierenciálegyenletet nevezik Mathieu egyenletnek. Számos olyan zikai probléma során el kerül, melyben valamiféle elliptikus szimmetria szerepel, például a h vezetés, elekromágnesesség, rugalmas jelenségek, vagy a már tárgyalt hullámterjedés. Látható, hogy Mathieu egyenlete Hill egyenletének speciális esete, ahol minden t R- re p(t) = r 2q cos 2t, amely t-ben π-periodikus. 38

A zikai problémák megoldásához sok esetben csak a π-, vagy 2π-periodikus megoldásokra van szükségünk. Mint ahogy a példának okáért hullámterjedésnél is, hiszen η periodikus pont, azaz a megoldások ugyanazt az értéket veszik fel t-ben és t + 2π-ben minden t R-re. Továbbá, (8.34)-at tekintve q értékét több tényez is befolyásolja, mint például a feladathoz tartozó zikai és geometriai adatok, a dierenciálegyenlet paraméterei, és az ellipszis alakja, mely körül a peremfeltételek vannak megadva. Ha q R rögzített, akkor r azon értékei, melyre (8.34)-nak létezik π-, vagy 2πperiodikus megoldása, diszkrét halmazt alkotnak. Ezek pontosan azok az értékek, melyre a = 2, ahol a a korábban deniált Ljapunov konstans. Karakterisztikus értékeknek nevezzük azon r(q) értékeket, melyre (8.3)-nak létezik nemtriviális π-, vagy 2π-periodikus megoldása. Ezen megoldásokat elliptikus henger -, vagy els fajú Mathieu függvényeknek nevezzük. Bizonyítható, hogy minden m pozitív egész számhoz tartozik két karakterisztikus érték, ρ m és σ m. Ezeket r helyébe visszahelyettesítve a Mathieu egyenletbe, az egyenletnek van nemtriviális π, illetve 2π-periodikus páros, illetve páratlan megoldása, melynek pontosan m darab zérushelye van [, π)-n. Ezeket a Mathieu függvényeket ce m (t, q)- val és se m (t, q)-val jelöljük, ahol t R. Ha m páros akkor 2π-, ha m páratlan, akkor π-periodikusak. Most tekintsük a q = esetet. Ekkor Mathieu egyenlete az y + ry = (8.35) alakot veszi fel. Ez az egyenlet pontosan akkor rendelkezik π-, illetve 2π-periodikus megoldással, ha r = m 2, ahol m pozitív egész szám. Tehát ekkor ce m (t, ) = cos mt, se m (t, ) = sin mt, ρ m () = σ m () = m 2 (t R ). Ezen függvényeknek valóban m darab zérushelyük van [, π)-n. Ezenfelül, ha q 1, akkor ρ m () σ m (), és ha (8.34)-nak van nemtriviális π-, illetve 2π-periodikus megoldása, akkor egyik másik lineárisan független megoldás sem lehet π-, illetve 2π-periodikus. Emiatt (8.23.)-ben nem teljesülhet a stabilitás feltétele, ha a = 2. 39

Ezen eredményeken felül feltehet, hogy (8.34) karakterisztikus értékei, és a hozzájuk tartozó Mathieu függvények harványsorba fejthet k q paraméter körül: ρ m (q) = m 2 + α k q k, ce m (t, q) = cos mt + q k c k (t), k=1 k=1 m =, 1,... σ m (q) = m 2 + β k q k, se m (t, q) = sin mt + q k s k (t), k=1 k=1 m = 1, 2,..., t R. Az α k, β k együtthatók, és c k, s k függvények meghatározhatók az (8.34) egyenletbe való behelyettesítéssel. 8.3. Egy további példa Végül nézzünk egy gyakran el foduló matematikai problémát, amely szintén a Mathieu egyenletre vezethet vissza. Ez a matematikai inga oszcilláló felfüggesztési ponttal. Egy m tömeg anyagi pont fel van függesztve egy súly nélküli l hosszú rúdra, amely O felfüggesztési pont körül forog. Tegyük fel, hogy a rúd mozgása vízszintes harmonikus rezgés A > amplitúdóval és ω > körkörös frekvenciával. A súrlódásnak csillapító hatása van, b > együtthatóval, mely arányos a szögsebességhez. A mozgásegyenlet ekkor a következ képp néz ki: lmθ (t) = mg sin θ(t) + maω 2 cos(ωt) sin θ(t) bθ (t) (t R + ). Tegyük fel, hogy a θ szögeltérés kicsi, és sin θ-t helyettesítsük θ-val. Ekkor átrendezés után a egyenletet kapjuk. θ (t) + b ( ) g lm θ (t) + l + Aω2 cos(ωt) θ(t) (t R + ) l Ezáltal, alkalmazva a fejezet elején bemutatott (8.28) transzformációt: Ezt behelyettesítve megkapjuk az új ψ (t) + θ(t) = ψ(t) exp( bt 2lm ) (t R +). [ g l Aω2 cos(ωt) l ( )] b ψ(t) = (t R + ) 2lm 4

egyenletet. Most pedig vezessük be a τ = ωt 2 jelöléseket. r = 4g ( b ω 2 l 2lm Ezáltal megkapjuk Mathieu egyenletét: változót, és a ), q = 2A l. 2 ψ(τ) τ 2 + (r 2q cos 2τ)ψ(τ) = (τ R + ) 41

9. Fixponttételek A periodikus megoldások elméletében fontos szerepet játszanak a xponttételek. Érdemes megemlíteni az alábbi tételeket. 9.24. Tétel. (Brouwer-féle xponttétel) Az (R,, ) euklideszi tér esetén minden folytonos ϕ : B 1 () B 1 () leképezésnek van xpontja. 9.25. Tétel. (Schauder-féle xponttétel) Legyen (X, ) Banach-tér, K X konvex, korlátos és zárt halmaz, ϕ : K K folytonos operátor. Ekkor létezik u K, hogy ϕ(u) = u, azaz ϕ-nek van xpontja. A Brouwer-féle xponttétel felhasználásával bizonyítható a következ tétel (vö. [5]). 9.26. Tétel. Az (R d,, ) Euklideszi tér esetén legyen adott a :=, norma, ξ R d vektor és T > szám. Tegyük fel, hogy Az f : R R n R d függvény T -periodikus az els változójában, tehát f(x+t, y) = f(x, y), ahol (x, y) R n. Az f függvény folytonos, és alkalmasan választott L > -ra f(x, y) f(x, z) L y z, ahol (x, y), (x, z) R R d, tehát második változójában Lipschitz-folytonos. Minden y B 1 ()-ra f(x, y), y <, ahol x R. Ezen feltételek mellett az y = f (id, y), y() = ξ (9.36) kezdetiérték-feladatnak létezik a ϕ() = ϕ(t ) feltételt teljesít megoldása. 42

Bizonyítás. A második feltétel miatt a feladatnak pontosan egy lokális megoldása létezik, mely a ϕ : I(ξ) R d megoldássá folytatható. A harmadik feltételt felhasználva látszik, hogy B 1 () invariáns halmaz, tehát minden ξ B 1 ()-ra a fázistér ezen pontjából induló pályák B 1 ()-ban maradnak. Ugyanis, ha bármely τ I(ξ)-re ϕ(τ) = 1 (tehát valóban az egységgömb határán van), akkor a φ(x) := 1 2 ϕ(x) 2 függvényre, ahol x I(ξ) φ (τ) = ϕ (τ), ϕ(τ) = f(τ, ϕ(τ)), ϕ(τ) <. Azaz, alkalmasan választott ε > -ra a φ [τ,τ+ε) függvény monoton csökken, azaz minden x [τ, τ + ε)-ra ϕ(x) B 1 (). Legyen most ξ 1, ξ 2 B 1 (). Ezen kezdeti értékekhez tartozó ψ 1, ψ 2 maximális megoldásokra (ψ 1 ψ 2 )(x) = ξ 1 ξ 2 + x (f (t, ψ 1 (t) f(t, ψ 2 (t))) dt, ahol x [, ). Ezt becsülve, az els feltételt felhasználva (ψ 1 ψ 2 )(x) ξ 1 ξ 2 + L (ψ 1 ψ 2 )(t) dt adódik. Erre alkalmazva a Grönwall-lemmát, x (ψ 1 ψ 2 )(x) ξ 1 ξ 2 exp(lx). Emiatt a P : B 1 () B 1 (), P (ξ) := φ(t ) Poincaré-leképezés folytonos, emiatt a Brouwer-féle xponttételt alkalmazva P -nek van xpontja, mégpedig ϕ(). Tehát ϕ(t ) = P (ϕ()) = ϕ(). Alkalmazva az els feltételt, látható, hogy ϕ és ϕ( + T ) is megoldása a (9.36)-nak, továbbá ezek az egyértelm ség miatt egyenl ek. Így beláttuk, hogy (9.36) ϕ megoldása T -periodikus. 43

A Schauder-féle xponttételt alkalmazva bebizonyítható az alábbi tétel (vö. [6]). 9.27. Tétel. Legyen e : R + R folytonos, T -periodikus függvény, azaz e(t + T ) = e(t) (t R + ). Továbbá legyen Ha g : R R függvény folytonos és T e(s)ds =. g(x)/x, ha x, és létezik egy b szám melyre xg(x), ha x b, akkor bármely c R számra a x + cx + g(x) = e dierenciálegyenletnek létezik legalább egy T -periodikus megoldása. 44

1. Dierenciaegyenletek A dierenciaegyenletek a dierenciálegyenletekkel ellentétben diszkrét halmazon vannak értelmezve. A matematikai alkalmazásaiban számos területen el fordulnak, legyen szó valószín ségszámításról, biológiai populáció kérdésekr l, vagy programozásról. Gyakorlatilag bárhol, ahol rekurzív sorozatokkal találkozhatunk (vö. [1]). Az el z ekhez hasonlóan itt is fontos szerepet kapnak a periodikus megoldások. Ebben a fejezetben erre nézünk néhány deníciót és tételt. Legyen n N, és f : N R m R m. Ekkor az y(n + 1) = f(n, y(n)) n N, (1.37) dierenciaegyenlettel fogunk foglalkozni. A (1.37) megoldása egy olyan ϕ : N R m sorozat, melyre ϕ(n + 1) = f(n, ϕ(n)) n N, teljesül. A (1.37) dierenciaegyenlet felírható két ekvivalens formában: y(n + 1) = d(n)y(n) + b(n), n N, (1.38) vagy y(n) = a(n)y(n) + b(n), n N, (1.39) ahol a korábbiakkal ellentétben pedig a dierenciaoperátort jelöli, azaz y(n) = y(n+ 1) y(n). A második egyenletb l az els t egy egyszer a(n) = d(n) 1 behelyettesítéssel kapjuk. 1.6. Deníció. A ϕ : N R sorozatot p-periodikusnak nevezzük, ha ϕ(n + p) = ϕ(n) minden n N -re, és p pozitív egész. Az p-t alapperiódusnak nevezzük, ha nem létezik másik p 1 periódus, melyre p 1 < p. Ha a = b, akkor (1.39) megoldásai a konstans függvények, melyek 1- periodikusak. 45

Ha a, akkor a megoldás n 1 ϕ(n) = c + b(l), n N l= alakú, ahol c tetsz leges konstans. Ez az (1.39)-be való behelyettesítéssel ellen rizhet. Az ϕ(n + p) = ϕ(n) egyenletbe való behelyettesítéssel pedig az adódik, hogy az p- periodikussághoz szükséges és elégséges feltétel és b függvény pedig legyen p-periodikus. p 1 b(l) =, Szintén ellen rizhet, hogy a b esetben a megoldás alakú, ahol c tetsz leges konstans. l= n 1 ϕ(n) = c (1 + a(l)), n N (1.4) l= Tehát ha a(j) = 1 valamely j N -ra, akkor y(n) =, ha n > j, tehát létezik 1-periodikus triviális megoldás megfelel en nagy n-re. Ha ez nem teljesül, akkor a szükséges és elégséges feltétele a nemtriviális periodikus megoldás létezésének az, hogy a p-periodikus és p 1 (1 + a(l)) = 1. l= Ha a, b, akkor a megoldás n 1 ϕ(n) = c (1 + a(l)) + l= n 1 l= ( n 1 j=l+1 (1 + a(j)) alakú, amely szintén ellen rizhet behelyettesítéssel. ) b(l), n N (1.41) El ször nézzük azt az esetet mikor a és b függvények p-periodikusak. 1.28. Tétel. Legyenek a, b : N R függvények p-periodikusak. Ha p 1 (1 + a(l)) 1, l= akkor (1.39)-nek létezik egy egyértelm p-periodikus megoldása az [ p 1 ( p 1 ) ] [ ] p 1 y() = (1 + a(j)) b(l) 1 (1 + a(j)) l= j=l+1 j= 46

kezdeti értékkel. Ha p 1 (1 + a(l)) = 1, l= akkor minden megoldás p-periodikus. Ha p 1 (1 + a(l)) = 1, l= akkor nincs p-periodikus megoldás. ( p 1 p 1 l= l= j=l+1 ( p 1 p 1 j=l+1 (1 + a(j)) (1 + a(j)) ) ) b(l) =, b(l), Bizonyítás. Az (1.41) általános megoldás alakjából, ϕ(p) = ϕ() periodikussági feltételt felírva a tétel átalakításokkal adódik. Az eddig belátott feltételekb l látszik, hogy (1.39)-nek pontosan akkor van egyértelm p-periodikus megoldása, ha a x(n) = a(n)x(n), n N (1.42) homogén egyenletnek nincsen nemtriviális p-periodikus megoldása. A továbbiakban ne tegyük fel a és b periodicitását. 1.29. Tétel. Ha az a függvény nem p-periodikus semmilyen p N-re, akkor (1.39)- nek legfeljebb egy p-periodikus megoldása lehet. Bizonyítás. Indirekt módon, tegyük fel, hogy u és v két különböz p-periodikus megoldása (1.39)-nek. Ha valamely j N -ra u(j) = v(j), tehát (1.39) y(n + 1) = (1 + a(n))y(n) + b(n) alakjából következik, hogy u(n) = v(n) minden n > j-re. Ezáltal, u és v periodikussága miatt u(n) = v(n), minden n N -ra. Emiatt semelyik két különböz u és v megoldás nem veheti fel ugyanazt az értéket sehol. Emiatt u(n) v(n) egy soha el nem t n p- periodikus megoldása a (1.42) homogén egyenletnek. De ekkor a már belátott feltételek miatt a függvénynek muszáj periodikusnak lennie, tehát ellentmondásra jutottunk. Tudjuk, hogy minden periodikus megoldás korlátos. Tehát a korlátosság szükséges feltétele a periodicitás szükséges feltétele is egyben. Például, ha a(l) abszolút konvergens, akkor a periodikus megoldás létezésének szükséges feltétele a ( n 47 l= l= b(l) ) n= sorozat