Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36

Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint a, b S. Ekkor dist(a, B) = inf b B (a, b). Legyen: Megjegyzés D 1 (A, B) = max{sup a A dist(a, B), sup dist(b, A)} b B Egy pontból álló halmazra nem igaz, hogy D 1 ({a}, B) = dist(a, B) Bizonyítás D 1 ({e}, C) = max{ sup dist(a, C), sup dist(c, {e})} a {e} c C = max{dist(e, c)), sup ρ(c, e)} c C A Hausdorff távolság 2 of 36

Halmazok távolsága MÁSODIK MEGKÖZELÍTÉS Legyen N ε (A) = {y S : x A, hogy ρ(x, y) < ε}. (Azon pontok halmaza, melyek ε-nál közelebb vannak A valamely pontjához.) Nyilvánvaló, hogy Legyen most N ε = x A B ε (x). D 2 (A, B) = inf{ε > 0 : N ε (A) B N ε (B) A}, vagyis azon legkisebb ε, melyre a két halmaz ε-környezete kölcsönösen elnyeli egymást. A Hausdorff távolság 3 of 36

Halmazok távolsága D 1 = D 2 Állítás Az előzőekben definiált két mennyiség azonosak Bizonyítás A második definícióból kiindulva, nyilvánvaló, hogy D 2 (A, B) = max{inf{ε > 0 : N ε(a) B}, inf{ε > 0 : N ε(b) A}}. Ha most A N ε(b), akkor A b B {x : ρ(x, b) < ε}, azaz minden a A-hoz van olyan b B, hogy ρ(a, b) < ε. Ugyanez B-re is igaz, így max{inf{ε > 0 : ( a A) inf ρ(a, b) < ε}, inf{ε > 0 : ( b B) inf ρ(a, b) < ε}} b B a A = max{sup a A inf b B ρ(a, b), sup b B ami pont a D 2 definíciója. inf ρ(a, b)}, a A A Hausdorff távolság 4 of 36

Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 5 of 36

Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 6 of 36

Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. 1 A {0} egyelemű halmaz és a [0, ) intervallum távolsága lesz. Ezért csak korlátos halmazokat engedünk meg. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 7 of 36

Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. 1 A {0} egyelemű halmaz és a [0, ) intervallum távolsága lesz. Ezért csak korlátos halmazokat engedünk meg. 2 D (, {0}) szintén végtelen, ezért csak nem üres halmazt engedünk meg. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 8 of 36

Halmazok távolsága A HAUSDORFF TÁVOLSÁG Definíció Az előzőekben definiált D = D 1 D 2 a halmazok Hausdorff távolsága. Megjegyzés A Hausdorff távolság még nem metrika, erre hozunk példákat, illetve elmondjuk az alkalmazandó további feltételeket, amivel metrikát kapunk. Mindegyik példánk R-re vonatkozik a szokásos távolsággal. 1 A {0} egyelemű halmaz és a [0, ) intervallum távolsága lesz. Ezért csak korlátos halmazokat engedünk meg. 2 D (, {0}) szintén végtelen, ezért csak nem üres halmazt engedünk meg. 3 D ((0, 1), [0, 1]) = 0, pedig a két halmaz nem azonos; csak zárt halmazokat tekintünk. A fenti három feltétel már elegendő, mi azonban egy kicsit többet követelünk, nem üres kompakt halmazokon fogjuk a távolságot vizsgálni.(r n -ben ez ugyanaz.) A Hausdorff távolság 9 of 36

A definíció A HIPERTÉR Definíció A H(S) = {K S : K K kompakt } halmaz az S metrikus tér hipertere. A Hausdorff metrika 10 of 36

A definíció A HIPERTÉR Definíció A H(S) = {K S : K K kompakt } halmaz az S metrikus tér hipertere. Tétel (H(S), D metrikus tér. A Hausdorff metrika 11 of 36

A Hausdorff metrika 12 of 36 A definíció A HIPERTÉR Bizonyítás. 1 A korlátosság miatt D biztosan véges nemnegatív valós értékű függvény.

A Hausdorff metrika 13 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA

A Hausdorff metrika 17 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA 2 Ha most A, B, C H(S) és ε > 0, akkor minden x A-hoz van olyan y B, hogy ρ(x, y) < D(A, B) + ε és ehhez az y-hoz van olyan z C, hogy ρ(y, z) < D(A, B) + ε. A kettőt összeadva a háromszög egyenlőtlenség miatt ρ(x, y) < D(A, C) + 2ε. Ez azt jelenti, hogy A része C ezen környezetének. Hasonlóan belátható C-ről, hogy A ilyen környezetében van.

A Hausdorff metrika 18 of 36 A definíció...a BIZONYÍTÁS FOLYTATÁSA 2 Ha A = B, akkor minden ε > 0 esetén A N ε (A), ezért D(A, A) = 0. Fordítva, ha D(A, B) = 0, A, B H(S), akkor x A esetén minden ε > 0-ra x N ε (B), ezért dist(x, B) = 0. Mivel B kompakt, x B, azaz A B. A második irányú tartalmazást ugyanígy láthatjuk be. 3 Ha most A, B, C H(S) és ε > 0, akkor minden x A-hoz van olyan y B, hogy ρ(x, y) < D(A, B) + ε és ehhez az y-hoz van olyan z C, hogy ρ(y, z) < D(A, B) + ε. A kettőt összeadva a háromszög egyenlőtlenség miatt ρ(x, y) < D(A, C) + 2ε. Ez azt jelenti, hogy A része C ezen környezetének. Hasonlóan belátható C-ről, hogy A ilyen környezetében van.

A definíció EGY EGYSZERŰ TULAJDONSÁG Állítás D(A B, C D) max{d(a, C), A(B, D)} Bizonyítás Ha ε olyan, hogy A N ε (C) és B N ε (D), akkor A B N ε (C) N ε (D) = N ε (D). A Hausdorff metrika 19 of 36

A Hausdorff metrika 20 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa

A Hausdorff metrika 21 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa 1 Legyen A, B R 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 1} és B = {(x, y) : 0 < x 3, 0 y 4}

A Hausdorff metrika 22 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa 1 Legyen A, B R 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 1} és B = {(x, y) : 0 < x 3, 0 y 4} 2 A = {(x, y) : 0 < x 1, 0 y 1} és B = {(x, y) : 0 < x 5, 0 y 4}

A Hausdorff metrika 23 of 36 A definíció PÉLDÁK Példa 1 Legyen A, B R 2, A = {(x, y) : x 2 + y 2 1} és B = {(x, y) : 0 < x 3, 0 y 4} 2 A = {(x, y) : 0 < x 1, 0 y 1} és B = {(x, y) : 0 < x 5, 0 y 4} 3 S = (R, d 0 ) (itt d 0 a diszkrét metrika)

Konvergencia, teljesség KONVERGENCIA Tétel Ha (A n ) egy sorozat H(S)-ben és A H(S)-hez konvergál, akkor A = {x : van olyan (x n ) sorozat, hogy x n A n és x n x} Bizonyítás Legyen B = {x : van olyan (x n) sorozat, hogy x n A n és x n x}. Belátjuk a kétoldali tartalmazást. A Hausdorff metrika 24 of 36

Konvergencia, teljesség KONVERGENCIA Tétel Ha (A n ) egy sorozat H(S)-ben és A H(S)-hez konvergál, akkor A = {x : van olyan (x n ) sorozat, hogy x n A n és x n x} Bizonyítás Legyen B = {x : van olyan (x n) sorozat, hogy x n A n és x n x}. Belátjuk a kétoldali tartalmazást. 1 Ha x A, akkor A n-ből választható olyan x n, hogy ρ(x, x n) < D(A, A n) + 1. Ekkor xn x, így x B, azaz A B. n A Hausdorff metrika 25 of 36

Konvergencia, teljesség KONVERGENCIA Tétel Ha (A n ) egy sorozat H(S)-ben és A H(S)-hez konvergál, akkor A = {x : van olyan (x n ) sorozat, hogy x n A n és x n x} Bizonyítás Legyen B = {x : van olyan (x n) sorozat, hogy x n A n és x n x}. Belátjuk a kétoldali tartalmazást. 1 Ha x A, akkor A n-ből választható olyan x n, hogy ρ(x, x n) < D(A, A n) + 1. Ekkor xn x, így x B, azaz A B. n 2 A B halmaz minden eleme elegendő nagy n-re az A n elemeitől legfeljebb ε távolságra van, ezek az elemek azonban legfeljebb ε távolságra vannak A-tól. De A zárt, ezért x A, mivel 0 távolságra van tőle. A Hausdorff metrika 26 of 36

Konvergencia, teljesség TELJESSÉG Tétel Ha (S, ρ) teljes metrikus tér, akkor (H(S), D) is az. A Hausdorff metrika 27 of 36

A Hausdorff metrika 28 of 36 Kapcsolat a fraktálokkal MONOTON HALMAZSOROZATOK Tétel Ha (A n) nem üres kompakt halmazok monoton csökkenő sorozata, azaz A 1 A 2 A 3..., akkor (A n) a H(S) térben a k=1a k halmazhoz konvergál. Bizonyítás Legyen ε > 0. Mivel A A n minden n-re, így A N ε(a n). Másrészt N ε(a) nyílt halmaz. Ha most x A 1, akkor vagy x A és akkor x N ε(a), vagy x / A, ekkor pedig x S \ k=1a k = k=1(s \ A k ). De ez egy nyílt lefedése A 1 -nek és A 1 kompakt, kiválasztható véges részlefedés. Az S \ A k halmazsorozat monoton növő, így van olyan N N, hogy n N esetén (S \ A k ) N ε(a) A 1, így A n N ε(a). Vagyis D(A, A n) < ε, tehát A n A.

Kapcsolat a fraktálokkal EGYENLETES KONVERGENS FÜGGVÉNYSOROZATOK Tétel Legyen S kompakt metrikus tér, T metrikus tér, (f n ), f : S T folytonos függvények, az (f n ) sorozat egyenletesen konvergál f -hez. Ekkor f n (S) f (S) a (H(T), D)-ben. Bizonyítás D(f (S), f n (S)) ρ u (f, f n ). A Hausdorff metrika 29 of 36

A Hausdorff metrika 30 of 36 Következmények KÖVETKEZMÉNYEK Következmény Legyen A 1 A 2 A 3... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metrikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Bizonyítás Feladat. Bizonyítás Feladat.

A Hausdorff metrika 31 of 36 Következmények KÖVETKEZMÉNYEK Következmény Legyen A 1 A 2 A 3... fogyó kompakt halmasorozat. Ekkor A n a Hausdorff-metrikában az A = n N A n halmazhoz konvergál. Bizonyítás Feladat. Következmény Ha f n, f S T, S kompakt és f n f egyenletesen, akkor f n f (S) a Hausdorff-metrika szerint H(S)-ben. Bizonyítás Feladat.

MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Mégegyszer a sztringtérről 32 of 36

MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás Mégegyszer a sztringtérről 33 of 36

MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás 1 (E ω, ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. Mégegyszer a sztringtérről 34 of 36

MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás 1 (E ω, ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω, ρ r ) homeomorf. Mégegyszer a sztringtérről 35 of 36

MÉGEGYSZER A SZTRINGTÉRRŐL Definíció Legyen 0 < r < 1, és σ, τ E ω. Ha σ = ασ, τ = ατ, k = α, akkor ρ r (σ, τ) = k r. Állítás 1 (E ω, ρ r ) kompakt szeparábilis metrikus tér. 2 Az összes (E ω, ρ r ) homeomorf. 3 Ha h : E ω R a Cantor-halmazt címző függvény, azaz h(0σ) = h(σ) h(σ)+2 3, h(1σ) = 3. akkor h lipeomorfizmus ρ 1 -ra, 3 azaz 1 3 ρ 1 (σ, τ) h(σ) h(τ) ρ 1 (σ, τ) 3 3 Mégegyszer a sztringtérről 36 of 36