Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés egatív összefüggés va Előfodulhat, hogy X és Y között va kapcsolat, de em koelációs jellegű, ha például X övekedése kis x-eke Y övekedésével, agyobb x-eke pedig Y csökkeésével já együtt, mit a második ábá. Több változó eseté a statisztikai pogamok egy észe képes az ábákat az alábbi táblázatos módo megjeleítei: teljes súly teljes hossz otól tözs hossza pocak kököös méet hátsó láb hossza kö Peaso-féle koelációs együttható A koelációs kapcsolat eősségét itevallum skála eseté számszeűe a Peasoféle koelációs együtthatóval szokták méi, amit R(X,Y)-al jelölük. R ( X, Y) köüli éték gyege, --hez vagy -hez közeli éték eős egatív, illetve pozitív koelációs kapcsolatot jelez. A koelációs együttható éháy tulajdosága: Ha a változók függetleek, akko R(X,Y), de abból, hogy R(X,Y), em következik a változók függetlesége. R(X,Y) potosa akko áll fe, amiko a változók között lieáis a kapcsolat, azaz YaX+b, ekko R(X,Y) előjele megegyezik a előjelével. A koelációs együttható szimmetikus, a két változó felcseélhető. Nem szabad észátlagoka haszáli, met a kiejtett bizoytalaságok miatt a valóságosál eősebb összefüggést mutathat. Hogya lehet a koeláltságot a miták alapjá vizsgáli? ( x, y ),( x, y ),...,( x, y ). mitaelemek eseté xy i ( x x) ( y y) i ( ) x i s s ahol x, y a változók mitaátlaga, s x, s y pedig a becsült szóások. y,
Mivel a koelációs együttható a mitából számított becslés, ezét hibával tehelt. Akko sem kapuk potosa ullát, ha a két változó között ics koeláció, ezét el kell végezük az alábbi hipotézisvizsgálatot: Nullhipotézis: : R( X, Y) H, azaz H : µ Póbastatisztika: t s Szabadsági fok: - µ A agkoelációs együttható: Ha adataikat em itevallum skálá méjük, haem odiáliso, akko a Speama féle agkoelációs együtthatót haszálhatjuk: s 6 d, 3 ahol a mitaelemek száma, d a agok közti külöbségek. Ha az itevallum, vagy aáyskálá mét étékeket a agszámaikkal helyettesítjük vagy ha az odiális skálájú változókat az,, 3, kódokkal kódoljuk akko az ebből számolt Peaso-féle és a Speama féle együtthatók megegyezek. Így lehet kiszámítai a Speama féle együtthatót, ha a pogam csak Peaso-féle koelációs együtthatót tud számoli. A egessziószámítás célja Regesszió-aalízis A egessziószámítást akko haszáljuk, amiko függvéyszeű kapcsolatot keesük egy vagy több magyaázó változó (vagy függetle változó) és egy függő változó között. Szokásosa a magyaázó változókat X-ekkel, a függő változót pedig Y-al jelöljük. Feltételezzük, hogy az X-ek és az Y közötti összefüggés kifejezhető függvéy fomájába, azaz Y f(x) vagy Yf(X,X,,X ) Ahhoz, hogy egesszió számítást végezhessük, mid a magyaázó, mid a függő változót ismeük kell ugyaazoko a megfigyelési egységeke, azaz a kiiduló adatok egy magyaázó változó eseté (x,y ), (x,y ), (x 3,y 3 )... (x,y ) étékpáok, több magyaázó változó eseté pedig (x, x, x 3,, y ), (x, x, x 3,, y ), (x 3, x 3, x 33,, y 3 )... (x, x, x 3,, y ) vektook. Ez az úgyevezett adatmátix. A egessziószámítás szokásos kédésfeltevései Va-e bizoyos változók között összefüggés? Függ-e a bojak 3 apos testtömege a születési súlyuktól? Milye függvéyel (lieáis, expoeciális, stb.) íható le az összefüggés? Alkalmas-e eek az összefüggések a leíásáa a lieáis függvéy? Mi a függő változó váható étéke a magyaázó változó egy bizoyos étékéhez? Mekkoa 3 apos testtömeget váhatuk, ha a születési súly 45 kg? Mi a magyaázó változó feltételezhető étéke a függő változó egy bizoyos étékéhez? Mekkoa születési súly küszöb feletti állatokat szelektáljuk, ha az a cél, hogy 3 apos koba az állatok (legalábbis átlagba) eléjék az 55 kg-ot? A cél lehet oksági kapcsolat megállapítása X és Y között, gyaka azoba csak következteti szeeték az egyik változó étékéből a másika, a közöttük tapasztalt összefüggés alapjá.
Feltétel: a magyaázó és a függő változó egyaát itevallum skálá méhető. Példa: A születési súly és a 3 apos testtömeg összefüggése 3 bojú adatai alapjá (Bajcsy Á. Csaba és mukatásai, Szülészeti Taszék). 7 65 6 55 5 45 4 3 apos testtömeg (kg) Születési súly (kg) 35 3 35 4 45 5 55 Melyik legye a magyaázó és melyik a függő változó? Ez midig attól függjö, hogy milye iáyú oksági kapcsolatot, illetve milye véletle hatásokat tételezük fel a változók között, és NE attól, hogy melyik változót szeeték a másik alapjá előejelezi. Előfodulhat, hogy az ismeetle X-et szeeték meghatáozi a megfigyelt Y-ból, bá a egessziós modell Yf(X)+ε. Ez az úgyevezett ivez egesszió. Bá egyételmű a pozitív összefüggés a két adat között, a szóódás túlságosa agy ahhoz, hogy a születési súly alapjá jó előejelzést adhaták a 3 apos testtömege. Véletleség a magyaázó és a függő változóba A függő változó midig valószíűségi változó, a magyaázó változók azoba em biztos. Általába úgy godoljuk, hogy Y két függetle, additív kompoese botható: az egyik az X-ektől függ, a másik pedig egy, az X-ektől függetle véletle fakto, azaz Yf(X)+ε. magyaázó változó(k) hatása A magyaázó változóba háomféle véletleséget szoktak megkülöbözteti: X em véletle változó, a kísélet vezetője állítja be X étékét a temészet állítja be, de az potosa ismet A mét X em azoos az Y-t befolyásoló változóval (méési potatlaság miatt, vagy met X elvot, em méhető, pl. ha X itelligecia IQ). Ezt az esetet itt em tágyaljuk. függő változó véletle kompoes (mide egyéb hatás) Fel szokás tei, hogy a véletle kompoes váható étéke, azaz E(ε) és hogy eloszlása szimmetikus, a statisztikai tesztek kedvéét pedig még azt is, hogy omális eloszlású.
Koeláció- vagy egessziószámítás? A legfotosabb külöbségek a két módsze között: A koelációszámítás szimmetikus kapcsolatot tételez fel az X és Y között, míg a egesszió számítás egy bizoyos iáyú (X Y) kapcsolatot, Míg a koelációszámításba midkét változó valószíűségi változó, a egesszió számításba X em feltétleül az (em feltétleül függ a véletletől). A koelációszámításak ics ételme akko, ha az X étékeit a kíséletező állítja be (pl. egy gyógysze dózisát). Gyaka midkét módsze alkalmazható, ha megfelelőe átfogalmazzuk a kédéseket. Midig godoljuk meg azoba, melyik fogalmazás tüközi jobba, hogy valójába mi is édekel! NE haszáljuk egessziószámítást ha két méési módsze közötti egyezést vizsgáluk, és em pedig azt, hogy hogya fejezhető ki egyik méési eedméy a másikkal. Ilyeko a koelációelemzések sics ételme, hisze az eős koeláció sem feltétleül jelet jó egyezést eős koelációt kaphatuk agy szisztematikus hiba (tozítás) eseté is (ha X X +, a koelációs együttható ). Ha a méési eedméyek egyezése édekel, legjobb, ha a külöbséggel (abszolút vagy elatív) számoluk. Végezhetük azoba egesszió- (em koeláció!) számítást, ha az egyik méési módszet potosak tekitjük, és aa vagyuk kívácsiak, hogya lehet a másikat koigáli. ha em tudjuk eldötei, melyik változót tekitsük magyaázó és melyiket függő változóak (ez em csupá techikai kédés, haem a véleméyüket tüközi aól, hogy mi mitől függ, illetve, hogy mit tételezük fel a véletle faktookól). ha tudjuk, hogy a magyaázó változó a függő változóval azoos agyságedű véletle hibával tehelt. Lieáis egesszió egy magyaázó változóval (simple liea egessio) A lieáis modell egy magyaázó változóval: ( X) β + β + ε f X Y Az együtthatókat az adatokból a legkisebb égyzetek módszeével becsüljük (least squaes), azaz úgy választjuk a paaméteeket, hogy a ( yi f( x i )) miimális legye. Ezt az alábbi becsléssel éjük el: i égyzetösszeg Az előző miatt hipotézisvizsgálata va szükség, hogy valóba függ-e az Y az X-től. Eek meete kétféle lehet: t-póba: Nullhipotézis: H β, azaz Y em függ X-től a modellbe : b Póba-statisztika: t (lásd később a képletet) SE b ( ) Szabadsági fokok száma: - ( xi x)( yi y) b, y b x i ( xi x) i b Vigyázat! Ez a képlet akko is ad eedméyt, ha valójába ics kapcsolat! Y estimated lie Yb +b X obseved data tue lie Yβ +β X X
F-póba: Csak több magyaázó változó eseté külöbözik Teljes eltéés égyzetösszeg: SSQt ( yi y) i Reziduumok égyzetösszege: SSQ ( yi f( xi) ) i, szabadsági fok -, szabadsági fok - (b i becsült) A számított és a valódi étékek külöbségéek égyzetösszege, ezt em magyaázza a modell Magyaázott égyzetösszeg: SSQ SSQ t Az Y igadozásáak az a észe, amelyet X változása magyaáz SSQt SSQ Póbastatisztika: F, szabadsági fokok, - SSQ Feltételek: Ahhoz, hogy a modellt alkalmazi lehesse, a következőkek teljesüli kell: E ( ε) ε szóása mide megfigyelt étéke ugyaakkoa ε étékei függetleek egymástól és X-től ε omális eloszlású Az illeszkedés jóságáak méése: Detemiációs együttható, R SSQt SSQ SSQ t (a koelációs együttható égyzete) Azt mutatja meg, hogy X változása meyie magyaázza Y változását Étéke és kötött lehet. A paaméteek szóásáak becslése ei i ε, ahol ei yi f( xi) s s b sε, s s x b? s x Ezeket felhaszálva az - szabadsági fokú t-eloszlásból a két paamétee lehet kofideciaitevallumot adi. Eek megfelelőe fel lehet ajzoli két kofideciatatomáyt, az elsőt a egessziós egyeese, a bővebbet pedig X adott étéke eseté Y-a. Az ábá (a bojak adatai), a lila voalak jelölik a egessziós egyeese voatkozó, a zöld voalak pedig az egyes potoka voatkozó 95%-os kofidecia-sávot. Az X tatomáy szélei felé haladva a becslések egye bizoytalaabbak. (A legkisebb a bizoytalaság az X étékek átlagáál.) 7 65 6 55 5 45 3-day body weight (kg) 4 Bith weight (kg) 35 3 35 4 45 5
A változók taszfomálása A taszfomációk olyako segíthetek, amiko a megfigyelt adatoka a lieáis egesszió közvetleül em alkalmazható. Néha elméleti megfotolásokból következik, hogy a változók közötti kapcsolat em lieáis: Testhossz testtömeg ( gömb / ellipszoid téfogata hatváyfüggvéy) Gyógysze dózis hatás göbéje (logisztikus göbe vagy hasoló S-alakú göbe) Másko a megfigyelt adatok ugya egyételműe aa utalak, hogy az X és az Y között va összefüggés, de ha a potoka egyeest illesztük, az illeszkedés agyo ossz. Az első esetbe az elméleti megfotolások aa voatkozóa is útmutatást adak, hogy milye függvéytípust válasszuk, a másodikba pedig az adatok gafikus ábázolása segíthet: A kétváltozós szóásdiagamok a modell-választáshoz yújtaak segítséget, A hisztogam, boxplot, stb. az adatok eloszlásáak vizsgálatába (eziduálisok omalitása, függetleségük X-től!). Azokba az esetekbe, amiko az X és Y közötti összefüggés em lieáis, lieáis összefüggés állhat fe valamely X és Y taszfomált változók között. Ha elméleti megfotolásokból em következik, hogy milye taszfomációval édemes póbálkozi, akko szóásdiagamok segítségével választhatjuk ki a legmegfelelőbbet. Mivel a legtöbb számítógépes pogamba egy gombyomással kéhető, a logaitmustaszfomációt póbáljuk ki utiszeűe! Midig godoljuk végig, hogy egy ilye taszfomáció itepetálható-e, meg tudjuke magyaázi, mi az ételme. expoeciális göbe log. skála az y tegelye egyees hatváyfüggvéy log. skála midkét tegelye egyees 8 6 4 5 5 3 5 logaitmus-göbe log. skála az x tegelye egyees 3 3 5 A taszfomációk éithetik mid a egessziós függvéyt, mid a véletleséget a modellbe (utóbbit akko, ha a függő változót taszfomáljuk). Példák: Ha a egesszió lieáissá válik az Y log-taszfomálásával: log Y β + β X + ε, akko a függvéy expoeciális, multiplikatív hibával: Y e β e β X e ε Multiplikatív hiba: a véletle fakto em hozzáadódik a függvéyétékhez, haem összeszozódik vele. Ekko agyobb függvéyétékhez agyobb Y szóás tatozik.
Ha a egesszió lieáissá válik X és Y log-taszfomálásával: logyβ +β log X +ε, akko a függvéy hatváyfüggvéy, multiplikatív hibával: Y e β x β e ε Ha a egesszió lieáissá válik az X log-taszfomálásával: Y β +β log X +ε, akko a függvéy logaitmus-függvéy, multiplikatív hibával. Ugyailye eltejedt a hatváy- és a gyök-taszfomáció. A gyökök (elatíve) összehúzzák a agy étékek tatomáyát, az (egyél agyobb) hatváyok pedig a kis étékekét. Ha a mét étékek helyett agokkal dolgozuk, a változót teljese skála-függetleé tehetjük. Megjegyzések: A fet említettek mid mooto taszfomációk. Ha a változó étéktatomáya szűk, a agok kivételével az összes többi kb. egyeétékű. Gyakoisági adatoka az acsi taszfomációt szokták alkalmazi. A taszfomációk statisztikai modell hiáyába is haszosak lehetek. Segíthetek az adatok jobb megismeésébe és ábázolásába, szebb gafikook készítésébe, stb. Példa a taszfomációs lehetőségeke az összefüggés lieaizálásába: 5 4 eedeti összefüggés égyzetgyök Y Megjegyzések: A taszfomációkat emcsak az összefüggés lieaizálásáa, haem szóáskiegyelítése és az eloszlások szimmetizálásáa is szokták haszáli. (Pesze előfodulhat, hogy az a taszfomáció, amely lieaizálja az összefüggést, elotja a szóások egyelőségét, stb.) A taszfomáció megválasztásáál fotos szempot az itepetálhatóság. A taszfomáció útjá tötéő lieaizálás em az egyetle lehetőség a emlieáis össze-függések kezelésée. Létezek eljáások lieáissá em taszfomálható ( itisically oliea ) modellek illesztésée is. - -4 egyedik gyök Y logaitmus Y
Ami idé kimaadt: Lieáisa visszavezethető egessziók Többszöös (multiple) egesszió Többszöös és paciális koeláció Poliomiális egesszió