átrixok Összeállított: dr. Leitold Adrie egyetemi doces 28.9.8.
átrix átrix: tégllp lkú számtáblázt 2 2 22 2 Am = O m m2 Jelölés: A, A mx, ( ij ) mx átrix típus (redje): m x m: sorok szám : oszlopok szám m átrix (i, j)-edik eleme: ij i: soridex i =,,m j: oszlopidex j =,, átrixok /2
Egyelő mátrixok, mátrix trszpoáltj Két mátrix egyelő, h típusuk megegyezik és megfelelő elemeik redre megegyezek. átrix trszpoáltj: Az A m x -es mátrix trszpoáltjá zt z x m es mátrixot értjük, melyet z A mátrixból sorok és oszlopok felcserélésével kpuk. A m 2 2 22 2 T = A O m m2 m m = 2 2 22 2 O m m2 m átrixok /3
Speciális mátrixok Sorvektor: ( x )-es mátrix, Jel.: = (,, ) Oszlopvektor: ( x )-es mátrix, Jel.: = Négyzetes mátrix: ( x )-es mátrix A x = 2 2 22 2 O 2 főátló:, 22,, átrixok /4
Speciális mátrixok (folyt.) Digoális mátrix: oly égyzetes mátrix, melyek főátló kívüli elemei mid ullák. A = 22 O Szimmetrikus mátrix: oly A=( ij ) x égyzetes mátrix, melybe ij = ji i,j =,,. egjegyzés: A szimmetrikus A = A T átrixok /5
átrixok /6 Speciális mátrixok (folyt.) Egységmátrix: oly digoális mátrix, melyek főátlójáb egyesek állk. Nullmátrix: oly mátrix, melyek mide eleme ull. = E O = m O
átrixműveletek átrixok összedás: Legye A = ( ij ) mx és B = (b ij ) mx két zoos méretű mátrix. Ekkor A és B összege: A + B = ( ij + b ij ) mx átrix sklárrl vló szorzás: Legye A = ( ij ) mx és λ R. Ekkor z A mátrix λ- szoros: λ A = (λ ij ) mx Két mátrix külöbsége: szármzttott művelet A - B = A +(-) B = ( ij - b ij ) mx átrixok /7
Az összedás és sklárrl vló szorzás tuljdosági A mátrixösszedás és sklárrl vló szorzás tuljdosági: (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A + = A (λ+µ) A = λ A + µ A λ (A + B) = λ A + λ B egjegyzés: (-) A mátrixot z A mátrix elletettjéek evezzük és A vl jelöljük. Ekkor: A + ( A) = átrixok /8
átrixműveletek (folyt.) átrixok szorzás: Legyeek A = ( ij ) mx és B = (b jk ) xp mátrixok. Ekkor z A és B mátrixok szorzt z C mxp-s mátrix, melyek (i,k)-dik eleme: c ik = i b k + i2 b 2k + + i b k Figyelem! Két mátrix összeszorozhtóságák feltétele, hogy z első mátrix oszlopik szám megegyezze második mátrix sorik számávl. átrix htváy: H A égyzetes mátrix, kkor A = A A A ( -szer szorozzuk A-t ömgávl, hol pozitív egész) átrixok /9
A mátrixszorzás tuljdosági A mátrixszorzás tuljdosági: Áltláb: A B B A (em kommuttív) Asszocitív, zz h z A (B C) szorzt létezik, kkor z (A B) C szorzt is létezik és A (B C) = (A B) C A (B + C) = A B + A C (blról disztributív) (A + B) C = A C+ B C (jobbról disztributív) Zérusosztós művelet, zz két mátrix szorzt úgy is lehet ullmátrix, hogy két mátrix egyike sem ullmátrix. A mx xp = mxp, illetve mx A xp = mxp A mx E x = A mx, illetve E mxm A mx = A mx átrixok /
átrixok / átrix oszlopvektori Tekitsük egy mátrixot! Oszlopvektorok: A = [ ] drb m dimeziós oszlopvektor = m m m m A 2 2 22 2 2 O = = m m 2 2,,
átrixok /2 átrix sorvektori Tekitsük egy mátrixot! Sorvektorok: = (,, ),, m = ( m,, m ) m drb dimeziós sorvektor = m m m m A 2 2 22 2 2 O = m m A
átrix rgj átrix oszloprgj: Egy mátrix oszloprgjá z oszlopvektoriból álló vektorhlmz rgját értjük, zz h A mx = [ ], kkor r o (A) = r({,, }). átrix sorrgj: Egy mátrix sorrgjá sorvektoriból álló vektorhlmz rgját értjük, zz h A mx = m, kkor r s (A) = r({,, m }). Igzolhtó, hogy bármely mátrix eseté sor- és oszloprg megegyezik. Ezt közös értéket rövide mátrix rgják evezzük: r(a) = r s (A) = r o (A) átrixok /3
A trszpoálásr votkozó szbályok A trszpoálásr votkozó szbályok: (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (λ A) T = λ A T (A B) T = B T A T r(a) = r(a T ) átrixok /4
Négyzetes mátrix iverze Ivertálhtóság, iverzmátrix: Legye A egy x-es égyzetes mátrix. A-t ivertálhtók evezzük, h v oly X x-es mátrix, melyre A X = X A = E x. Ekkor X-t z A mátrix iverzéek hívjuk és A - -gyel jelöljük. Az ivertálhtóság feltétele: Az A x-es mátrix ivertálhtó r(a) =. átrixok /5
átrixok /6 átrix ivertálás bázistrszformációvl Legye A x = [ ] egy égyzetes mátrix. Ekkor z A - iverzmátrix z e,, e koikus bázisvektorokk z,, vektorokr, mit bázisr votkozó koordiátáiból épül fel. e e e e K K A E e e K A -
Az ivertálás szbályi Az ivertálás szbályi: Legyeek A és B ivertálhtó x-es mátrixok. Ekkor: A - ivertálhtó és (A - ) - = A. A B ivertálhtó és (A B) - = B - A -. A T ivertálhtó és (A T ) - =(A -)T. λ A ivertálhtó és (λ A) - =/λ A -, hol λ ullától külöböző vlós szám. átrixok /7
Négyzetes mátrix determiás Részmátrix: Legye A = ( ij ) x-es mátrix. Az A mátrix ij elemhez trtozó részmátrixá zt z (-)x(-)-es mátrixot értjük, melyet z A mátrixból k i-edik sorát és j-edik oszlopát elhgyv kpuk. Jel.: A ij. Négyzetes mátrix determiás: (rekurzív defiíció). Legye A = [ ] x-es mátrix. Ekkor A determiás: det (A) =. 2. Legye A = ( ij ) x-es mátrix, hol 2. Ekkor A determiás: (első sor szeriti kifejtés) det( A ) = j= ( ) + j j det( A j ) átrixok /8
Négyzetes mátrix determiás (folyt.) A defiícióból dódó észrevételek: 2x2-es mátrix determiás: det (A) = 22-2 2 ( főátlóbeli elemek szorzt míusz mellékátlóbeli elemek szorzt ) A determiás meghtározásák számolási igéye rohmos övekszik mátrix méretével. Digoális mátrix determiás egyelő főátlóbeli elemek szorztávl. átrixok /9
Sorok és oszlopok szeriti kifejtés Igzolhtó, hogy egy égyzetes mátrix determiás bármelyik sor ill. oszlop szerit kifejtve megkphtó. Az i-edik sor szeriti kifejtés képlete: det( A ) = ( ) det( A j-edik oszlop szeriti kifejtés képlete: det( A ) = Következméy: det (A) = det (A T ). j= i= ( ) i+ j i+ j ij ij det( A ij A ij ) ) átrixok /2
A determiás tuljdosági A determiás tuljdosági egyrát igzk sorokr és oszlopokr megfoglmzv.. H mátrix vlmely oszlopáb csup ull áll, kkor determiás értéke. 2. H mátrix két tetszőleges oszlopát felcseréljük, determiás --szeresére változik. 3. H mátrixb v két zoos oszlop, kkor determiás értéke. 4. Legye A x = [ j ], hol j = j + j. Ekkor: det(a) = det([ j ]) + det([ j ]). átrixok /2
A determiás tuljdosági (folyt.) 5. Legye A x = [ j ], hol j = λ j. Ekkor: det(a) = λ det([ j ]). 6. Legye A x-es mátrix és λ R. Ekkor: det(λ A) = λ det(a) 7. H mátrix vlmely oszlopához hozzádjuk egy másik oszlop sklárszorosát (zz ú. elemi oszlopátlkítást hjtuk végre), kkor determiás értéke em változik. 8. Szorzás-tétel: Legyeek A és B x-es mátrixok. Ekkor: det(a B) = det(a) det(b). 9. Legye A ivertálhtó mátrix. Ekkor: det(a - ) = / det(a). átrixok /22
Négyzetes mátrixok osztályozás Nemsziguláris mátrixok Sziguláris mátrixok oszlopvektorok lieáris függetleek r(a x ) = ( mátrix teljes oszlopvektorok lieáris összefüggőek r(a x ) < ( mátrix em ivertálhtó det(a) rgú) em ivertálhtó det(a) = teljes rgú) átrixok /23
Négyzetes mátrix djugáltj és z iverzmátrix Négyzetes mátrix djugáltj: Legye A = ( ij ) x egy égyzetes mátrix. Ekkor z A mátrix djugáltj z z x-es mátrix, melyek (i,j)-edik eleme: (-) i+j det(a ji ). Jel.: dj(a) egjegyzés: A feti defiíció lpjá levezethető, hogy egy 2x2-es mátrix djugáltját megkphtjuk úgy, hogy főátlób lévő elemeket megcseréljük, mellékátlób lévő elemeket pedig szorozzuk --gyel. Az djugált és z iverzmátix kpcsolt: Legye z A égyzetes mátrix ivertálhtó. Ekkor: A - = ( / det(a)) dj(a). átrixok /24