6. Előadás
A virtuális elmozdulás-rendszer fogalma A virtuális munka fogalma A virtuális elmozdulások tétele Alkalmazás statikailag határozott tartók vizsgálatára
1./ A virtuális elmozdulásrendszer fogalma Egy tetszőleges, geometriailag lehetséges elmozdulás-rendszernek változatlan geometriai feltételek mellett képzett differenciálisan kicsiny megváltozása ( variációja )
dv(z), növekmény : dz-vel megváltoztatva a vizsgált helyet, a függvényérték dv-vel megváltozik z z+dz v v+dv δv(z), variáció : az egész v(z) függvény megváltozása!!
A virtuális elmozdulás-rendszer teljesíti a geometriai egyenleteket teljesíti a geometriai peremfeltételeket differenciálisan kicsiny [a tényleges elmozdulás-rendszer: csak akkor tekinthető virtuálisnak, ha kicsiny!!]
2./ A virtuális munka fogalma - virtuális munka: δw a tényleges erőrendszernek valamely virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája - virtuális külső munka: δ = δ + δ + δ T T T Wk f e q u ds g u dv - virtuális belső munka: T δ Wb = σ δε ( V ) ( S) ( V) δ W = δ W +δw dv k b
3./ A virtuális elmozdulások tétele Bernoulli (1669-1748) A virtuális elmozdulások tétele kimondja, hogy egy statikailag lehetséges erőrendszernek bármely virtuális elmozdulás-rendszeren végzett munkája zérus. Egy (f,g,g,σ) rendszer akkor és csakis akkor nevezhető statikailag lehetséges erő- és feszültségrendszernek, ha bármely (δe,δu,δε) virtuális elmozdulás-rendszerre δw k + δw b = 0 - megfelel az egyensúlyi egyenleteknek - egy virtuális elmozdulás-rendszer vizsgálata csak szükséges feltételt ad - az egyensúly elégséges feltétele: bármely virtuális elmozdulásrendszerre teljesüljön δw = 0
4./ Alkalmazás statikailag határozott szerkezetek vizsgálatára SPEC. alkalmazás! Ha valamely reakciót vagy igénybevételt kívánunk meghatározni: - szerkezet átalakítása (geometriai (perem) feltétel módosul): a keresett erőnek megfelelő kényszert feloldjuk - virtuális elmozdulás-rendszer választása: merevtestszerű elmozdulásnak megfelelően ( δw b = 0) - végül számítás δw = 0 alapján
Reakciók meghatározása: a; Példa
Példa b; b F b A δ e + F δ e = 0 A = l 1 y y 1 y y l 1 1
Példa c; a a F δu B δ u= 0 B= F l 1 1 l 1 1
Példa d; l l Fa δ δ M δ = Fa + M l l 2 ϕ+μ ϕ ϕ=0 Μ 2 1 c c 1 1 1
Példa e; a F δe C δ e = 0 C = F 1 y y 1 l1 l1 a
Példa f; F δe A δ e = 0 A = F 2 x x x x 2
Virtuális erők tétele A virtuális erőrendszer fogalma A virtuális kiegészítő munka fogalma A virtuális erők tétele Alkalmazás statikailag határozott tartók vizsgálatára
Virtuális erők tétele 1./ A virtuális erőrendszer fogalma: Egy statikailag lehetséges erőrendszernek változatlan statikai peremfeltételek mellett képzett, differenciálisan kicsiny megváltozása ( variációja ) a virtuális erőrendszer egyensúlyi erőrendszer [külső és belső erők együttese] [a tényleges erőrendszer: virtuális!!]
Virtuális erők tétele 2./ A virtuális kiegészítő munka fogalma δ W - virtuális kiegészítő munka: a tényleges elmozdulás-rendszernek valamely virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája - virtuális külső kiegészítő munka: T T T δ W k = e δ f + u δq ds+ u δg dv ( S) ( V) - virtuális belső kiegészítő munka: T δ W b = ε δσ dv ( V ) rúdszerkezeteknél: δ W =δ W k+δw δ W b = κ δμ dl ε δν dl γ δt dl () l () l () l b
Virtuális erők tétele 3. A virtuális erők tétele Clapeyron (1799-1864) A virtuális erők tétele kimondja, hogy egy geometriailag lehetséges elmozdulás-rendszernek bármely virtuális erőrendszeren végzett kiegészítő munkája zérus. Egy (e, u, ε) rendszer akkor és csakis akkor nevezhető geometriailag lehetséges elmozdulás- és alakváltozásrendszernek, ha bármely (δf, δq,δg, δσ) virtuális erőrendszerre δ W k +δ Wb = 0 - megfelel a geometriai egyenleteknek - egy virtuális erőrendszer vizsgálata csak szükséges feltételt ad - a kompatibilitás elégséges feltétele: bármely virtuális erőrendszerre teljesül, hogy δ W = 0
Virtuális erők tétele 4./ Alkalmazás statikailag határozott szerkezetek vizsgálatára SPEC. alkalmazás! - a tartón valamely (abszolút vagy relatív) elmozdulást keresünk adott teherre - virtuális erőrendszer választása speciális módon: - a keresett elmozdulásnak megfelelő virtuális teher beiktatása - virtuális reakciók, majd virtuális belső erők meghatározása - a tényleges elmozdulás-rendszerben a deformációk (a tényleges igénybevételekből) meghatározhatók - végül számítás δ W k +δ Wb = 0 alapján
Virtuális erők tétele Számítási trükk: szorzatintegrál meghatározása: b I= f (z) f (z) dz =? a tetsz tetsz lin I= A leolv lin
Virtuális erők tétele δw k 2a δw = δm( z) κ( z) dz b M( z) κ( z) = EI x δw + δw = δw k = δq v 0 b K Példa v K 2a 1 = M() z M() z dz EI δ x 0 1 a a 2 a a 5 13 Fa vk = F a F a EI + = x 2 2 3 2 4 6 48 EI 3 x