Heterogén anyagú lapos görbe rudak stabilitásvizsgálata

Átírás

1 MISKOLCI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT Heterogén anyagú lapos göre rudak stailitásvizsgálata Kiss László II. éves MSc gépészmérnök hallgató Konzulens: Szeidl György egyetemi tanár Mechanikai Tanszék Miskolc, 0

2 TARTALOMJEGYZÉK. Bevezetés. Feltevések, alapvető összefüggések.. Egyszerűsítő feltevések.. Az alkalmazott koordináta-renzer.3. Az elmozdulásvektor 3.4. Az alakváltozási viszonyok 4.5. Rúderő, hajlítónyomaték 4 3. A virtuális munka elv Egyenletek a stailitásvesztés előtti állapotra Egyenletek követő terhelésre Linearizált egyenletek 0 4. A stailitásvizsgálat egyenletei merev terhelésre 4.. Bevezető megjegyzések 4.. Egyenletek a stailitásvesztés előtt folyamatra 4.3. Stailitásvesztés a középvonal hosszváltozása nélkül 4.4. Stailitásvesztés a középvonal hosszváltozásával 3 5. Stailitásvizsgálat vegyes peremfeltételek esetén Megoldás a stailitásvesztés előtti állapotra Lineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m = 0 feltevés mellett Lineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m 0 feltevés mellett Nemlineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m = 0 feltevés mellett 5.5. Egy nemlineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m 0 feltevés mellett 5.6. Differenciálegyenletek dinamikus stailitásvesztés esetére 3 6. Következtetések, eredmények 4 A. függelék Integrálátalakítások 6 A.. A aloldalán álló integrál átalakítása 6 A.. A 9 egyenlet átalakítása 6 A.3. A 60 képlet levezetése röviden 8 A.4. A 79 alatti integrál számításának vázlata 9 Hivatkozások 30

3 . BEVEZETÉS A dolgozat témája keresztmetszeti inhomogenitású lapos, állandó görületi sugarú síkeli rudak röviden lapos ívek stailitásának vizsgálata. Keresztmetszeti inhomogenitás alatt azt értjük, hogy a rúd anyagjellemzői csak a keresztmetszeti koordinátáktól függenek. Laposnak pedig akkor tekinthető egy rúd, ha a támasztávolság negyedénél nem nagyo a rúd magassága. A műszaki mechanika szakirodalmának csak egy kise része fordítja figyelmét a síkgöre rudak stailitási kérdéseire, holott a gyakorlati életen egyre inká szükség van hasonló vizsgálatokra. Gondoljunk itt például az ívelt kialakítású hízerkezetekre, ahol a teherhordó rudakat saját súlyuk és emellett az úttest súlya is terheli. Ausztráliáan az utói évtizeden Y.-L. Pi, M. A. Bradford és munkatársaik tö cikken vizsgálták lapos ívek stailitási kérdéseit, ha a rúd szimmetriatengelye mentén működő koncentrált, illetve sugárirányú megoszló erőrenzer a rúd terhelése [,, 00], [3, 007], [4, 008]. Az idézett három tanulmány homogén izotrop anyagú rudat és szimmetrikus támaszelrendezést tételez fel. Az eredmények azt mutatják, hogy a lapos rudak viselkedésének leírásához ajánlott nemlineáris modellt alkalmazni és a stailitásvesztés előtti deformációk figyelemevétele is célszerű. A klasszikus rúdelmélet lásd [5, 96], [6, 976] viszont nem számol ezekkel és így pontatlana eredményt ad a megengedhető legnagyo terhelésre. M. A. Bradford és szerzőtársai [,, 00], [3, 007], [4, 008] nem foglalkoztak a vegyes peremfeltételek esetével. Ennek figyelemevételével az a dolgozat fő célkitűzése, hogy keresztmetszeti inhomogenitással rendelkező lapos ívek esetén a vegyes peremfeltételek a rúd egyik vége csuklóval van megtámasztva, a másik vége efogott feltételezése és a rúd középvonalán működő koncentrált erő, mint terhelés esetén formulát vezessen le a kritikus terhelésre mind a lineáris, mind pedig a nemlineáris elmélet alapján. Az elérni vélt eredmények két tekinteten is meghaladják M. A. Bradford és szerzőtársai eredményeit: a a rúd anyaga nem homogén és vegyesek a peremfeltételek. A fentiekkel összhangan a dolgozat írása során feltételeztük, hogy a rúd rugalmassági modulusa csak az η, ζ keresztmetszeti koordináták függvénye: E = Eη, ζ. Ez a függvény folytonos, vagy résztartományonként folytonos a keresztmetszet felett. A teljes szöveget hat szakasza szerveztük. A. FELTEVÉSEK, ALAPVETŐ ÖSSZE- FÜGGÉSEK című szakasz röviden ismerteti a kitűzött feladattal kapcsolatos alapvető összefüggéseket és a rúdelméleten szokásos egyszerűsítő feltevéseket. A 3. A VIR- TUÁLIS MUNKA ELV című szakasz az egyensúlyi egyenletek és dinamikai peremfeltételek levezetése a stailitásvesztés előtti és stailitásvesztés utáni állapotra mindkét végén rugalmasan spirálrugóval és csuklóval megtámasztott, továá koncentrált és megoszló erőkkel terhelt rúd esetén. A gondolatmenet a koncentrált erőt tekintve követő terhelés feltételezése mellett kerül emutatásra. A 4. STABILITÁSVIZSGÁLAT EGYENLETEI MEREV TERHELÉSRE című szakasz merev koncentrált erő esetén tekinti át a feladat megoldását adó egyenleteket. A STABILITÁSVIZSGÁLAT VEGYES PE- REMFELTÉTELEK ESETÉN című 5. szakasz meghatározza a kritikus terhelés értékét

4 lineáris zárt alakú a megoldás és nemlineáris modell felhasználásával is. A dolgozatot az eredményeket kiértékelő KÖVETKEZTETÉSEK, EREDMÉNYEK, a hossza átalakításokat tartalmazó FÜGGELÉK és végül a HIVATKOZÁSOK jegyzéke zárja.. FELTEVÉSEK, ALAPVETŐ ÖSSZEFÜGGÉSEK.. Egyszerűsítő feltevések A feladat megoldása során az alái lényegese egyszerűsítő megfontolásokkal élünk:. A vonatkozó egyenletek felírásakor kontinuummechanikai szóhasználattal élve az ún. Lagrange-féle leírásmódot alkalmazzuk az egyenleteket a kezdeti állapotra vonatkoztatva írjuk fel.. A kinematikai egyenletek felírásakor a rúdelméleten megszokott keretek között figyeleme vesszük a nemlineáris tagokat is. 3. A vonalelem és a keresztmetszeti felületelem számításakor elhagyjuk a nemlinearitást kifejező tagokat. 4. A rúd anyaga inhomogén, azaz a rugalmassági állandók a rúdkeresztmetszet helykoordinátáinak függvényei, de függetlenek a rúd középvonala mentén mért koordinátától keresztmetszeti inhomogenitás esete forog fenn. 5. A rúd úgynevezett E-vel súlyozott középvonalának síkja tartalmazza a rúzelvény egyik tehetetlenségi főtengelyét. 6. A rúd E-vel súlyozott középvonala az alakváltozás során saját síkjáan marad. 7. A középvonal irányú normálfeszültség eleget tesz a σ ξ σ η, σ ζ relációnak ez a feltevés általános rúzerű testek mechanikai vizsgálataian. 8. Az anyagegyenlet lineáris, a hőmérsékleti hatásoktól pedig eltekintünk. 9. A rúd állandó keresztmetszetű. 0. A rúd lapos, vagyis a támasztávolság negyedénél nem nagyo a rúd magassága... Az alkalmazott koordináta-renzer Az. ára a rúd középvonalához kötött és célszerűen választott koordináta-renzert szemlélteti. e e C S o e s. ára. Az alkalmazott görevonalú koordináta-renzer

5 Az árán: Az e ξ egységvektor a rúd E-vel súlyozott középvonalának érintője. Az e η egységvektor merőleges a rúd középvonalának síkjára és nyilvánvaló, hogy e ξ e η = e ζ. A rúd E-vel súlyozott középvonala a rúd szimmetriasíkjáan fekszik, helyét pedig az S eη = Eη, ζ ζ da = 0 A feltétel határozza meg a képleten S eη az E-vel súlyozott statikai nyomaték az η tengelyre. A sugár a rúd E-vel súlyozott középvonalának görületi sugara. Az s a rúd E-vel súlyozott középvonala mentén mért ívkoordináta. A C pont összhangan a fente mondottakkal a rúd kiragadott keresztmetszetének E-vel súlyozott középpontja itt döfi az s ívkoordináta a rúd kiragadott keresztmetszetét S a keresztmetszet, mint síkidom geometriai középpontját jelöli. Leolvasható az. áráról, hogy zérus az η és ζ koordináták értéke az rúd E-vel súlyozott középvonalán. Elemi átalakításokkal adódik, hogy de ξ = e ζ ; de ζ = e ξ. A operátor fenti vonatkoztatási renzeren érvényes, s késői számításokan előnyösnek izonyuló alakja: = s ζ e ξ η e η ζ e ζ. 3 A továiakan az E-vel súlyozott középvonal kifejezés helyett egyszerűen a középvonal kifejezést használjuk, de ezen mindig az E-vel súlyozott középvonalat értjük anélkül, hogy erre külön is felhívnánk a figyelmet..3. Az elmozdulásvektor A rúd egy tetszőleges pontjának elmozdulásvektora az u = u o ψ oη ζe ξ alakan írható fel, ahol u o = u o e ξ w o e ζ a középvonal elmozdulása, ψ oη pedig a középvonal elfordulása. A ψ ζ=0 = ψ oη e η = u ζ=0 egyenletől itt nem részletezett, de elemi átalakításokkal, valamint a lapos ívek esetére vonatkozó u o dw o feltevés kihasználásával kapjuk, hogy ψ oη = u o dw o dw o. 4 3

6 Vezessük e az.4. Az alakváltozási viszonyok ε oξ = du o w o és a κ o = dψ oη d w o 5 jelöléseket ε oξ a lineáris elméletől adódó fajlagos nyúlás a középvonalon, κ o pedig a középvonal görületváltozásának mértéke lapos ívek esetén csak w o -ól számítjuk. A ξ irányú fajlagos nyúlás számításánál vegyük emellett figyeleme, hogy igen jó közelítéssel fennállnak az és ε ξ ψ oη ψ oη egyenlőtlenségek, következésképp ε ξ ε ξ = e ξ u u e ξ e ξ ψ T ψ e ξ = = ζ ε oξ ζκ o ψ oη. 6 Vegyük észre, hogy a középvonalon ε m = ε oξ ψ oη 7 a fajlagos nyúlás értéke. Ez az összefüggés egy nemlineáris egyenlet..5. Rúderő, hajlítónyomaték Vezessük e az képletet is figyeleme véve az A er = Eη, ζda Eη, ζda = A e A ζ A I er = ζ Eη, ζζ da Eη, ζζ da = és az S er = A A A 8a 8 Eη, ζζda = ζ ζ ζ A ρ ζ 3 O x 3 Eη, ζda o ζeη, ζda ζ Eη, ζda = S eη = 8c A A }{{} =0 jelöléseket, ahol A er, S er és I er rendre az E-vel súlyozott redukált terület, redukált statikai nyomaték és redukált másodrendű nyomaték, míg A e, S eη és, összhangan az képlettel, az E-vel súlyozott terület, statikai nyomaték és másodrendű nyomaték. Mivel σ ξ σ η, σ ζ alkalmazható az egyszerű Hooke-törvény, azaz fennáll a A A σ ξ = Eη, ζε ξ egyenlet. Ennek felhasználásával adódik tekintettel a 7 és 8 képletekre az Eη, ζ ζeη, ζ N = σ ξ da = ζ daε oξ A ζ daκ o dwo Eη, ζda = A 4

7 = A }{{} er ε oξ S er κ }{{} o A eψoη A e ε oξ ψ oη A e }{{} ρo ε m κ o összefüggés a rúderőre. A hajlítónyomatékot ugyanilyen módon az M = ζσ ξ da összefüggésől számítjuk: M = A σ ξ ζda = A A A e ε }{{ m } nemlineáris elmélet κ o ε oξ ρ }{{ o } lineáris elmélet. 9 ζe η, ζ ζ E η, ζ ζ daε oξ ρ A o ζ daκ o dwo E η, ζ ζda = ρ A o = S er ψoη κ o ε oξ κ o. 0 }{{} ρo ε oξ I er }{{} κ o S eη }{{} =0 }{{} lineáris és nemlineáris elmélet Vegyük észre, hogy ez az összefüggés mindig lineáris, ellentéten a rúderőre vonatkozó összefüggéssel. 3. A VIRTUÁLIS MUNKA ELV 3.. Egyenletek a stailitásvesztés előtti állapotra Tekintsünk egy mindkét végén csuklóval rugalmasan megtámasztott lapos, göre rudat. A csukló helyén a szögelfordulást a k t = /γ rugóállandójú spirálrugó gátolja. Ez a rugó feltevés szerint lineáris karakterisztikájú. A rúd terhelése a középvonalon megoszló f = f n e ζ f t e ξ sűrűségű erőrenzeről, illetve a P = P oζ = P oζ ϕ = 0 nagyságú koncentrált erőől áll a viszonyokat a. ára szemlélteti. Megjegyezzük, hogy nem tüntettük fel az árán a középvonalon megoszló f terhelést. h D P e k 0 e k. ára. A vizsgálat tárgyát képező lapos göre rúd A virtuális munka elv a tekintett rúdra az σ ξ δε ξ dv = P oζ δw o ϕ=0 k t ψ oη δψ oη ϑ k t ψ oη δψ oη ϑ V L f n δw o f t δu o 5

8 alakan írható fel, ahol a δ-val jelölt mennyiségek virtuális mennyiségek. Nem nehéz ellenőrizni a 4, 5 és 6 összefüggéseket is felhasználva hogy dv = ζρo da a továá, hogy δε ξ = ζ dδuo δw o ζ dψ oη ψ oη δψ oη, δκ o = d δw o, δψ oη = dδw o. c A képleten a első erők virtuális munkájának továi átalakítása szükséges. A lépéseket a Függelék A.. szakasza ismerteti. Az eredményt adó 93 képlet felhasználásával dn d M δu o N Mρo ψ oη f n δw o L f t [ dm L ] N Mρo ψ oη δw o sϑ N d [ dm [ dm dm ] s0ε P oζ δw o s=0 s0ε N Mρo ψ oη ] δw sϑ M k t ψ oη sϑ δψ oη sϑ M k t ψ oη sϑ δψ oη sϑ = 0 a virtuális munka elv alakja. Ha élünk az N M feltevéssel, valamint úgy tekintjük, hogy f n = f t = 0, a virtuális változók tetszőlegességét kihasználva kapjuk egyrészt a dn = 0, d M N d N Mρo ψ oη d M N d Nψ oη = 0 3 egyensúlyi egyenleteket, másrészt pedig az N s±ϑ = 0, [ dm Nψ oη] s±ϑ = 0, M k t ψ oη s±ϑ = 0 4 dm dm s0ε P oζ = 0 5 s0ε dinamikai peremfeltételeket és illesztési feltételt. A dinamikai peremfeltételek sorrendjéen megadjuk a vagylagosan előírható kinematikai geometriai peremfeltételeket is: u o s±ϑ = 0, w o s±ϑ = 0, ψ oη s±ϑ =

9 3.. Egyenletek követő terhelésre A továi számítások során feltételezzük, hogy a P terhelés követő. Ezzel együtt a stailitásvesztés utáni mozgást dinamikai folyamatnak tekintjük. Vezessük e az alái felontásokat: u o = u o u o, w o = w o w o, ψ oη = ψ oη ψ oη ε ξ = ε ξ ε ξ, σ ξ = σ ξ σ ξ, N = N N, M = M M. 7 Itt a felső indexként megjelenő azt jelöli, hogy a vonatkozó mennyiség a stailitásvesztés után kialakuló helyzethez tartozik, a alsóindex pedig a stailitásvesztés előtti helyzethez viszonyított növekményt azonosítja. Ez azt jelenti, hogy az egyes mennyiségek stailitásvesztés utáni állapotan tekintett értéke egyenlő a stailitásvesztést megelőző egyes egyensúlyi állapoteli érték és a megváltozás növekmény összegével. Ezeken kívül igazak még a δu o = δu o, δw o = δw o, δψ oη = δψ oη δε ξ = δε ξ, δσ ξ = δσ ξ, δn = δn, δm = δm 8 egyenletek, mivel a stailitásvesztés előtti folyamatot kvázistatikusnak és ismertnek tekintjük. Ez utói oknál fogva nyilvánvalóan helytállók a δu o = δw o = δψ oη = δε ξ = δσ ξ = δn = δm = 0 és ẅ o = ü o = 0 9 képletek is. Az elői feltevések figyelemevételével átírható lesz majd a kezdeti állapotra vonatkoztatva felírt virtuális munka elv. Az egyszerűség kedvéért az első modellt úgy választjuk meg, hogy elhanyagoljuk az E-vel súlyozott középvonal menti tömegeloszlást és azt tételezzük fel, hogy a stailitásvesztés dinamikai volta úgy kísérhető figyelemmel, hogy a ϕ = 0 pontan m nagyságú tömeget helyezünk el a rúdon, amelyet emellett jóval nagyonak tekintünk, mint a rúd tömege. Ez eseten σξδε ξ dv = Poζ δwo ϕ=0 Poξ δu o ϕ=0 mẅoδw o ϕ=0 mü oδu o ϕ=0 V k t ψoηδψ oη ϑ k t ψoηδψ oη ϑ fnδw o ft δu o 0 a virtuális munka elv alakja, ahol a feltételezzük hogy a terhelés követő volta miatt jelenik meg a P oξ erő, a tehetetlenségi erők virtuális munkáját pedig a mẅoδw o ϕ=0 mü oδu o ϕ=0 összeg adja. A 0 egyenlet a 7, 8 és 9 összefüggések, valamint a Poζ = P oζ P oζ, Poξ = P oξ P oξ és ft = f t f t, fn = f n f n felontások részleges helyettesítése után az σ ξ σ ξ δε ξ dv = P oζ P oζ δw o ϕ=0 P oξ P oξ δu o ϕ=0 V mẅ o δw o ϕ=0 mü o δu o ϕ=0 k t ψ oη ψ oη δψ oη ϑ k t ψ oη ψ oη δψ oη ϑ [f n f n δw o f t f t δu o ] L L 7

10 ővített alakan fejezhető ki. A virtuális munka elv ezen alakjának továi átalakításához szükségünk lesz δψ oη és δε ξ kifejezéseire. Figyeleme véve, hogy a 4 és 7 feltevések szerint fennáll a ψoη = u o dw o dw o = d w o w o = d w o w o dϕ = w o w }{{} o }{{} ψ oη ψ oη összefüggés ahol d n... /dϕ n =... n, illetve w o / = w o nyilvánvaló, hogy δψoη = δψ oη = dδw o = δ w o. 3 Visszaidézve továá a 6 képletet írhatjuk, hogy ε ξ = ε ζ oξ ζκ o ψ oη, ahol κ o = d u o dw o d wo = d ψ oη ψ oη ε oξ = du o w o, 4 = ψ oη ψ oη = κ o κ o. Ily módon kapjuk meg a középvonal stailitásvesztés utáni helyzetéhez tartozó ξ irányú fajlagos nyúlást az ε ξ = ε ξ ε ξ = ζ [ε oξ ε oξ ζ κ o κ o ] ψ oη ψ oη = = ζ ε oξ ζκ o ψ oη ρ } o ζ ε oξ ζκ o ψ oη ψ oη ψ oη ρ {{}} o {{} ε ξ ε ξ alakan. Innen azonnal adódik a virtuális nyúlásnövekmény δε ξ = ζ δε oξ ζδκ o ψ oη δψ oη }{{} = ζ dδuo δε L ξ δw o ψ oη δψ }{{ oη } = δε N ξ ζ dδψ oη ψ oη δψ oη ψ oη δψ oη = 5 = ζ δũ o δ w o ζ δψ oη ψ oη δψ oη ψ oη δψ oη, 6 ρ } o {{} δε L ξ amely egy lineáris és egy nemlineáris részől áll. Utóit a } {{ } δε N ξ δε N ξ = ψ oη δψ oη = ψ oη dδw o 7 8

11 módon is írhatjuk. A 6 képlet helyettesítésével átírható a virtuális munka elv. Ennek során feltételezzük, hogy P oξ = 0 a stailitásvesztés előtt ugyanis sugárirányú a P erő, és hogy P oζ = 0 a sugárirányú erőösszetevő jó közelítéssel ugyanaz marad, mint stailitásvesztés előtt. A egyenlet fentiek figyelemevételével történő zérusra rendezésével kapjuk, hogy 0 = σ ξ δε L ξ dv P oζ δw o ϕ=0 k t ψ oη δψ oη ϑ k t ψ oη δψ oη ϑ V f n δw o f t δu o σ ξ δε N ξ dv σ ξ δε L ξ dv σ ξ δε N ξ dv L V P oξ δu o ϕ=0 mẅ o δw o ϕ=0 mü o δu o ϕ=0 k t ψ oη δψ oη ϑ k t ψ oη δψ oη ϑ f n δw o f t δu o 8 Vegyük észre, hogy az utói egyenlet első sora valójáan a virtuális munka elv stailitásvesztés előtti alakja lásd a összefüggést és így önmagáan is zérus. A megmaradó σ ξ δε N ξ dv σ ξ δε L ξ dv σ ξ δε N ξ dv P oξ δu o ϕ=0 mẅ o δw o ϕ=0 V V V mü o δu o ϕ=0 k t ψ oη δψ oη ϑ k t ψ oη δψ oη ϑ f n δw o f t δu o = 0 egyenlet átalakításával az A.. Függelék foglalkozik részletesen, itt csak az eredményeket közöljük. Eszerint a virtuális munka elv 95 alatti és véglegesnek tekinthető alakjáól a virtuális változók tetszőlegessége miatt következik, hogy fenn kell állnia a dinamikus egyensúlyt kifejező dn d M f t = 0 N d [ N N M M differenciálegyenleteknek, továá a [ dm N N M M [ dm N N M M illesztési és ψ oη V ψ oη N M L L ψ oη N M V 9 30a N M ] ψ oη f n = 0 30 ] ψ oη m s0ε d w o dt s=0 ] ψ oη = 0 3a s0ε N s0ε N s0ε P oξ m d u o dt = 0 s=0 N s±ϑ = 0 [ dm N N M M ψ oη N M ] ψ oη = 0 s±ϑ 3 3a 3 9

12 M k t ψ oη s±ϑ = 0 3c dinamikai peremfeltételeknek. Nyilvánvaló, hogy a fenti dinamikai peremfeltételek és az u o s±ϑ = 0, w o s±ϑ = 0, ψ oη s±ϑ = 0 33 kinematikai geometriai peremfeltételek vagylagosan írhatók elő. Vegyük észre, hogy ezek az eredmények mind elhanyagolásmentesek. Belátható továá a 9 és 0 összefüggések alapján, hogy N A e ε oξ ψ oη = A e ε m; ε m = ε oξ ψ oη illetve, hogy a stailitásvesztés utáni helyzeten a fajlagos nyúlás összhangan az eddigiekkel az ε m = ε oξ ψ oη ε oξ ψ oηψ oη }{{} ψ oη }{{} ε m módon ontható fel. Ezt visszahelyettesítve átírható a rúderő: N = A e ε oξ ψ oη A e ε oξ ψ oη ψ oη ψ oη. 34 }{{}}{{} N N Az M nyomaték a 5 képlet felhasználásával az ε m alakan adódik. M κ o d w o I d w o eη = M M Linearizált egyenletek Az előző szakaszan alkalmazott gondolatmenet eredményeként adódó 30a-30 differenciálegyenletek és a hozzájuk kapcsolódó 3-3c perem- és illesztési feltételek levezetése során nem éltünk elhanyagolásokkal, egyszerűsítésekkel. A stailitási prolémákat azonan első közelítésen mindenképen érdemes lineáris egyenletekkel leírni. Ennek érdekéen, figyeleme véve egyúttal a terhelés jellegét is, az alái feltevésekkel élünk: a Mivel koncentrált erővel terhelt rudakat vizsgálunk, elhanyagoljuk a megoszló terhelések növekményeit: f n = f t = 0. Elhanyagoljuk a kvadratikus tagokat azokat a tagokat amelyeken mindkét tényező a stailitásvesztés utáni állapothoz tartozik. c Kihasználjuk emellett a már a 3.. szakaszan is alkalmazott N M/ egyenlőtlenséget. A mondottak alapján egyszerűsödnek a 30 differenciálegyenletek: dn = 0 36a d M N d [Nψ oη N ψ oη ] = 0, 36 0

13 valamint a 3 illesztési feltételek: [ [ dm Nψ dm oη N ψ oη] s0ε Nψ oη N ψ oη] s0ε és végül a 3 peremfeltételek: N s0ε N s0ε P oξ m d u o dt = 0 s=0 m d w o dt = 0 s=0 37a 37 [ dm Nψ oη N ψ oη] = 0 s±ϑ 38 M k t ψ oη s±ϑ = 0. 38c N s±ϑ = 0 38a Megjegyezzük, hogy a 33 geometriai peremfeltételek változatlanok és vagylagosan írhatók elő. A rúderő növekményére a 34 képlet alapján az N = A e ε oξ ψ oη ψ oη ψ oη A e [ duo w o dw o ] dw o duo A e w o közelítő összefüggést kapjuk. Az M értékét változatlanul a 35 képlet alapján számítjuk, mivel az eleve lineáris összefüggés: 39 M = d w o. 40 A 36 differenciálegyenletek, 37 illesztési- és a vagylagosan előírható 38 dinamikai-, illetve 33 geometriai peremfeltételek a 39, 40 Hooke törvénnyel társulva a dinamikai stailitásvizsgálat linearizált egyenletrenzerét alkotják. 4. A STABILITÁSVIZSGÁLAT EGYENLETEI MEREV TERHELÉSRE 4.. Bevezető megjegyzések Feltételezzük egyelőre, hogy iránytartó merev a ϕ = 0 pontan működő P e ζ teher. Ismeretes, hogy merev terhelés esetére dead load az egyensúlyi mózer helyes eredményre vezet. Erre a körülményre való tekintettel mind a stailitásvesztés előtti, mind pedig a stailitásvesztési folyamatot kvázistatikusnak tételezzük fel azaz feltételezzük az utói eseten, hogy m = 0. A teljesség kedvéért áttekintjük erre a két esetre az E-vel súlyozott középvonal elmozduláskoordinátáit adó differenciálegyenleteket.

14 4.. Egyenletek a stailitásvesztés előtt folyamatra Figyeleme véve a 9 és 0 összefüggéseket fennáll, hogy N A e ε oξ ψ oη I eη κ o A e ε m és M κ o ε oξ, 4 ρ }{{} o ε m amivel a 3 egyensúlyi egyenletől a dn = A d e ε m = 0 összefüggés következik. Ez azt jelenti, hogy mind lineáris, mind pedig nemlineáris eseten állandó az E-vel súlyozott középvonalon a fajlagos nyúlás. A második, azaz a 3 egyensúlyi egyenletől pedig figyeleme véve, hogy N M = a d M vagyis az A e ρ o ε m = ρ o Ae ρ o d ρ µε m o ψ oη N = d M ε m = ρ µε m, µ = A eρ o A eρ o 4 o d ρ µε m o ψ oη A eε m = 0, d κ o A e dψ oη ε m A e ε m = 0 differenciálegyenlet következik. A 4 képlet helyettesítése után d κ o A eε m A e ε m dψ oη = 0 ennek az egyenletnek az alakja. Ha ezt a eszorozzuk /A e ε m -mel, evezetjük összhangan a 3 összefüggéssel a w o és µ jelöléseket és c áttérünk ϕ szerinti deriváltakra, akkor megkapjuk a végleges w 4 o µ w o =, w o = w o, d n... dϕ n =... n, µ = A e ε m 43 alakot. Vegyük észre, hogy a fenti egyenlet a mindig lineáris, mivel állandó az ε m és hogy a lineáris feladatokan ε m = ε oξ Stailitásvesztés a középvonal hosszváltozása nélkül Ha nem változik meg a stailitásvesztési folyamatan az E-vel súlyozott középvonal hossza, akkor fennáll az ε m = 0 egyenlet. Következésképp tekintettel a 34 anyagegyenletre, valamint a 36 egyensúlyi egyenletre adódik, hogy N = A e ε m = 0. Az utói eredmény felhasználásával a 36 differenciálegyenlet a d M d [Nψ oη ] = 0 44 alakra egyszerűsödik. Ha ide helyettesítjük a a 40 képletől az M hajlítónyomatékot, a 4 képletől az N ruderőt, és végül c a alapján ψ oη értékét, akkor

15 a dimenziómentes w o = w o / -ra a vagy ami ugyanaz a d 4 w o dϕ 4 ρ oa e ε m d w o dϕ = 0, d 4 w o dϕ 4 = µ }{{} d w o dϕ, µ = ρ oa e ε m 45 λ q differenciálegyenletet kapjuk. Nem nehéz elátni a lehetséges 33 geometriai peremfeltételek alapján, hogy a al oldali végén csuklóval megtámasztott és a jo oldali végén efogott rúd esetén fenn kell állnia a w o ϑ = 0, w = 0, w = 0 46 ϑ ϑ o egyenleteknek peremfeltételeknek. A 45 homogén differenciálegyenlet és a 46 homogén peremfeltételek által meghatározott peremértékfeladat egy sajátértékfeladat a sajátérték pedig µ. Legyen ûϕ legalá négyszer differenciálható és a 46 peremfeltételeket kielégítő függvény. Figyeleme véve, hogy a vonatkozó Rayleigh hányados ϑ ϑ R q û = û ϑ û4 dϕ ϑ ϑ û û dϕ = ϑ û û dϕ ϑ ϑ û û dϕ λ q = µ = ρ oa e ε m < 0, adódik a következtetés, hogy a sajátértékfeladat megoldásáól számított ε m mindig negatív Stailitásvesztés a középvonal hosszváltozásával Ha megváltozik az E-vel súlyozott középvonal hossza a stailitásvesztés során, akkor fennáll az ε m 0 egyenlőtlenség. A 36a egyensúlyi egyenlet alapján következik, hogy ez eseten dε m = d duo w o dw o o dw o d duo w o = Vegyük észre, hogy ez az egyenlet nemlineáris. Az első kerek zárójelen álló kvadratikus tag azonan elhagyható, ha relative kicsik az alakváltozások. Ez eseten lineáris a kapott összefüggés. Nem nehéz ellenőrizni a 39 és 40 összefüggést is felhasználva, hogy N M = A e ε m κ o. 48 Ha emellett figyeleme vesszük a 4 képleteket is, a 30 egyensúlyi egyenletől a növekményen kvadratikus tagokat elhagytuk kapjuk, hogy d M N d [N Mρo ψ oη N M ] ψ oη = 0 d M d [N Mρo ψ oη N M ] ψ oη A eε m = 3

16 d M d [A e ε m ψ oη A e ε m I ] eη A e ρ κ o ψ oη A eε m o d M d A e ε m ψ d oη A e ε m ψ oη A eε m = 0, ahonnan a Hooke törvényt jelentő 40 képlet helyettesítésével, valamint a egyenlet segítségével kapjuk, hogy d 4 w o ρ 4 odϕ 4 A eε m d w o dϕ = A eε m d w o dϕ. Eől az egyenletől a nyúlásmentes esetre vonatkozó 45 képletet adó utolsó átalakítás lépéseivel a w 4 o µ w o = oa e ρ ε m w o 49 összefüggés következik. Az egyenlet linearizálható: w 4 o µ w o = oa e ρ ε m STABILITÁSVIZSGÁLAT VEGYES PEREMFELTÉTELEK ESETÉN 5.. Megoldás a stailitásvesztés előtti állapotra A jelen szakaszan egy al oldalon merev csuklóval megtámasztott k t = 0, jo oldalon efalazott, középen azaz a ϕ = 0 helyen koncentrált, merev és állandó nagyságú P oζ = P erővel terhelt rúd stailitási kérdéseire fordítjuk a figyelmet. A viszonyokat a 3. ára szemlélteti. 0 P A B 3. ára. Koncentrált erővel terhelt lapos göre rúd vegyes peremfeltételek esetén Első lépésen a stailitásvesztés előtti w o vagy ami tulajdonképpen ugyanaz, a w o elmozdulás meghatározására fordítjuk a figyelmet. Nyilvánvaló az előzőek alapján, hogy ez eseten a 43 differenciálegyenletet kell megoldani. Mivel az erő a ϕ = 0 helyen működik szakadást idéz elő a nyíróerően, a w o megoldást külön keressük a ϕ [ϑ; 0] illetve a ϕ [0; ϑ] tartományokon. Jelölje ezeket a megoldásokat rendre w o,al illetve w o,jo. Nyilvánvaló a 43 egyenlet szerkezetéől, hogy cos µϕ sin µϕ w o,al = D µ D µ D 3 ϕ D 4 ϕ 5 4

17 és cos µϕ sin µϕ w o,jo = D 5 µ D 6 µ D 7 ϕ D 8 ϕ ahol D,... D 8 egyelőre határozatlan integrációs állandók. Az integrációs állandók a rúd két végére vonatkozó 5 w o,al ϕ=ϑ = 0, w o,jo ϕ=ϑ = 0 w = 0, w = 0 ϕ=ϑ ϕ=ϑ o,al o,jo 53 peremfeltételekől a rúd al oldali végén zérus az elmozdulás és a nyomaték, a rúd jo oldali végén pedig zérus az elmozdulás és a szögelfordulás lásd a 4, 6 és 35 képleteket, továá a ϕ = 0 helyre vonatkozó [ w 3 o,al w o,al ϕ=0 = w o,jo ϕ=0 w o,al = w o,jo ϕ=0 ϕ=0 w = w ϕ=0 ] o,al ϕ=0 P ρ o o,jo ϕ=0 [ w 3 o,jo ] ϕ=0 = 0 54 illesztési folytonossági és diszkontinuitási feltételekől folytonos az elmozdulás, szögelfordulás és a nyomaték, előírt szakadása van a nyíróerőnek lásd a 4, 5 és 35 képleteket számíthatók. Kellő renden deriválva az 5, 5 megoldásokat a peremfeltételeke történő helyettesítés után a w o,al ϕ = ϑ = D cos µϑ µ D sin µϑ µ D 3 ϑ D 4 ϑ = 0, w o,jo ϕ = ϑ = D 5 cos µϑ µ D 6 sin µϑ µ D 7 ϑ D 8 ϑ = 0, w o,al ϕ = ϑ = D cos µϑ D sin µϑ = 0, w o,jo ϕ = ϑ = D 5 sin µϑ D 6 cos µϑ D 7 µ µϑ = 0 egyenleteket, az illesztési feltételekől pedig az D µ D 4 = D 5 µ D 8 D D 3 µ = D 6 D 7 µ D = D D µ P ρ o D 6 µ = 0 összefüggéseket kapjuk. Nyilvánvaló az 56 képletek alapján, hogy D = D 5 és D 4 = D 8. 5

18 Mindent összevetve az alái hat egyenlet megoldása adja az ismeretlen integrációs állandókat: cos µϑ sin µϑ µ µ ϑ 0 0 ϑ cos µϑ µ 0 0 sin µϑ µ ϑ cos µϑ sin µϑ sin µϑ cos µϑ µ 0 µ 0 µ 0 µ 0 0 µ 0 A D i megoldások felírását megkönnyítendő vezessük e az U = µϑ cos µϑ sin µϑ D D D 3 D 4 D 6 D 7 = jelölést. A számítások részletezése nélkül D = D 5 = A P ρ µϑ sin µϑ µϑ cos µϑ o B = U D = C P ρ o D = P ρ o mϑ µϑ cos µϑ sin µϑ U P ρ o ϑ µϑ 0 P ρ o µϑ sin µϑ sin µϑ µϑ sin µϑ U µ µϑ cos µϑ 0.5 sin µϑ µϑ µϑ cos µϑ U µ D 3 = F P ρ o cos µϑ µϑ sin µϑ G = P ρ o sin µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ µu U µ D 4 = D 8 = H P ρ o L = 3 µ ϑ sin µϑ cos µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ ϑ 3 µ 3 cos µϑ µ U D 6 = C P ρ o E = P ρ o µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ U P ρ o D 7 = F P ρ o cos µϑ µϑ sin µϑ I = µu az integrációs állandók értéke, ahol ϑ sin µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ µ U µϑ cos µϑ 0.5 sin µϑ µϑ µϑ cos µϑ U µ P ρ o µϑ cos µϑ sin µϑ U µ 57a 57 57c 57d 57e sin µϑ µϑ cos µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ J =, K = U µ U µ. 58 Vegyük észre, hogy a megoldások mindegyike két részre van ontva. A felontásokan álló A..., I állandókat maguk a képletek értelmezik. A felontás elkülöníti a terheléssel arányos tagot a megoldásokan. Ezt a későieken ki fogjuk használni. 6

19 Vegyük azt is észre, hogy a kapott w o megoldás lineáris és nemlineáris esetre egyaránt vonatkozik. 5.. Lineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m = 0 feltevés mellett A jelen szakaszan feltételezzük, hogy a nem változik meg a rúd E-vel súlyozott középvonalának hossza a stailitásvesztés során és hogy alkalmazható a lineáris modell. Az E-vel súlyozott középvonal fajlagos nyúlását lineárisan közelítjük vagyis az 5 képlet alapján, azaz eltekintünk majd a szögelfordulás négyzetétől. A kritikus terhelés meghatározása három lépésen történik. Első lépésen meghatározzuk az ε m és a P terhelés közötti összefüggést az ε m = N A e = ϑ ϑ ϑ ε oξ ψ oη dϕ = ϑ }{{} ε m ϑ 0 ϑ ϑ ϑ w o,al dϕ ũ o w o ψ oη dϕ ϑ 0 w o,jo dϕ = ε oξ 59 egyenlet alapján. Második lépésen megoldjuk a 45, 46 sajátértékfeladatot, ami végeredményen megadja az ε m ε oξ kritikus értékét. A harmadik lépésen pedig kiszámítjuk a fenti egyenletől az ε m krit kritikus fajlagos nyúláshoz tartozó P krit erőt. Megjegyezzük, hogy a számítások áttekintett gondolatmenete a lineáris és nemlineáris modellre egyaránt vonatkozik. A lineáris estre vonatkozóan az A.3. függelék részletezi a számítás fő lépéseit. Az ott közölt átalakítások végeredménye a dimenziómentes kritikus terhelés értéke a P = 4 µϑ 3 3 µϑ 4 cos µϑ µϑ µϑ 3 µϑ µϑ cos µϑ alakan, ahol sin µϑ 3 3 µϑ sin µϑ 4 P = P ρ oϑ, λ = l Ieη I / 4 eη A e µϑ 3 µϑ4 λ µϑ cos µϑ sin µϑ µϑ sin µϑ 4 µϑ cos µϑ cos µϑ A fenti jelöléseket illetően megjegyezzük, hogy P az említett dimenziómentes kritikus terhelés, l a rúd hossza, λ pedig a rúd módosított karcsúsági tényezője. A továiakan tekintsük át a 45, 46 sajátértékfeladat megoldását. A 45 differenciálegyenletnek cos µϕ sin µϕ w o ϕ = G µ G µ G 3 ϕ G 4 6 a megoldása G i, i =,, 3, 4 integrációs állandók. A megoldás köteles eleget tenni a 46 peremfeltételeknek. Következésképp teljesülnie kell a cos µϑ sin µϑ w o ϑ = G µ G µ G 3 ϑ G 4 = 0 63a w o = G sin µϑ G cos µϑ G 3 µ = 0 63 ϑ µ 7

20 és a cos µϑ sin µϑ w o ϑ = G µ G µ G 3 ϑ G 4 = 0 64a = G cos µϑ G sin µϑ = 0 64 ϑ w o egyenleteknek. Mivel az utói négy lineáris egyenlet mindegyike homogén, akkor kapunk triviálistól különöző megoldást az integrációs állandókra, ha zérus az együtthatókól képzett determináns, vagyis ha fennáll a feltétel. Innen a vagy ami ugyanaz a cos µϑ µ sin µϑ µ ϑ cos µϑ µ sin µϑ µ ϑ cos µϑ sin µϑ 0 0 sin µϑ µ cos µϑ µ 0 = 0 cos µϑ sin µϑ ϑ µ cos µϑ ϑ µ sin µϑ = 0 µϑ cos µϑ = sin µϑ 65 nemlineáris egyenletet kapjuk a µϑ számítására. Ennek az egyenletnek µϑ n π ; n = a legkise pozitív gyöke. Amennyien ennek ismeretéen képezzük a 63a, 64a egyenletek összegét, majd különségét és átrendezzük a 64 képletet, a stailitásvesztéshez tartozó w o radiális elmozdulást kapjuk: w o ϕ, ϑ G ϑ 0.54 [ π cos n π ϑ ϕ 0.55 n π sin π ϑ ϕ 0.99 ϕ π ϑ 0.99 ] π A képleten álló G határozatlan állandó. A 4. ára G = és ϑ = 0. esetén grafikusan szemlélteti a megoldást.. 4. ára. A stailitásvesztés utáni radiális elmozdulás ε m = 0 esetén 8

21 Visszahelyettesítve a 65 és 66 eredményeket a kritikus erőt adó 60 formuláa vegyük észre hogy a visszahelyettesítés után a számlálóól és a nevezőől egyaránt esnek ki tagok adódik a dimenziómentes P kritikus terhelés numerikus értéke: P = P l krit = π. 67 Az utói eredmény és a 6 értelmezés felhasználásával pedig a kritikus erő. P l krit = n π ρ oϑ, n = Lineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m 0 feltevés mellett Ha feltételezzük, hogy megváltozik az E-vel súlyozott középvonal hossza a stailitásvesztés után és továra is a lineáris modell alapján számolunk, akkor ε oξ 0, és fenn kell állnia a 47 és 50 összefüggések alapján írható dε oξ dϕ = ũ o w o = 0, ε oξ = állandó 69 w 4 o µ w o = oa e ρ ε oξ = állandó = C µ differenciálegyenleteknek, ahol a C µ módon jelöltük az egyelőre ismeretlen állandót. Nem nehéz visszahelyettesítésekkel ellenőrizni, hogy a fenti differenciálegyenletrenzernek ũ o = 6 µ C C µ µϕ3 6C 3 µϕ 3C 4 µϕ 6C 5 sin µϕ 6C 6 cos µϕ 70a w o = C µ µϕ C 3 C 4 µϕ C 5 cos µϕ C 6 sin µϕ 70 a megoldása. A fenti képleteken C i, i =,..., 6 egyelőre határozatlan integrációs állandókat jelöl. A 70 differenciálegyenletekhez a al oldalon csuklóval megtámasztott és jooldalon efogott rúd esetén az ũ o ϑ = 0, ũ o ϑ = 0 w o ϑ = 0, w o ϑ = 0, w = 0, w = 0 ϑ ϑ o peremfeltételek társulnak. A megoldások 7 peremfeltételeke történő helyettesítése a o 7 6 µ ũ o ϑ = C C µ µϑ3 6C 3 µϑ 3C 4 µϑ 6C 5 sin µϑ 6C 6 cos µϑ = 0 w o ϑ = C µ µϑ C 3 C 4 µϑ C 5 cos µϑ C 6 sin µϑ = 0 µ w o = C ϑ µ C 5 cos µϑ C 6 sin µϑ = 0 7 9

22 illetve a 6 µ ũ o ϑ = C C µ µϑ3 6C 3 µϑ 3C 4 µϑ 6C 5 sin µϑ 6C 6 cos µϑ = 0 w o ϑ = C µ µϑ C 3 C 4 µϑ C 5 cos µϑ C 6 sin µϑ = 0 73 µ w o = C ϑ µ µϑ C 4 C 5 sin µϑ C 6 cos µϑ = 0 lineáris egyenletekre vezet. A fenti homogén lineáris egyenletrenzernek akkor van triviálistól különöző megoldása a C, C / µ,..., C 6 ismeretlenekre, ha zérus értékű a determinánsa: D 8 = 8 µϑ 3 6 µϑ 3 µϑ 6 sin µϑ 6 cos µϑ 0 µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ cos µϑ sin µϑ µϑ 3 6 µϑ 3 µϑ 6 sin µϑ 6 cos µϑ 0 µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ 0 µϑ 0 sin µϑ cos µϑ = = µϑ 4 cos µϑ 3 µϑ 3 sin µϑ µϑ 3 sin µϑ 3 µϑ sin µϑ = 0 Ez utói egyenletnek µϑ n 3 π ; n 3 = a legkise pozitív gyöke. A 7, 73 peremfeltételek alkalmas lineáris kominációit képezve felírható ε m 0 esetén az ũ o érintőirányú és a w o radiális elmozdulás. Utóit a w o ϕ, ϑ = 0.074C 6 [ ϕ π ϑ ϕ π ϑ n3 π cos π ϑ ϕ n3 π ] sin π ϑ ϕ 75 formáan lehet kifejezni. A ϑ = 0. és C 6 = 0 értékek választása esetén az 5. ára grafikusan szemlélteti a megoldást ϕ függvényéen. 5. ára. A stailitásvesztés utáni radiális elmozdulás ε m 0 esetén 0

23 Behelyettesítve a 74 megoldást a kritikus P értéket adó 60 képlete adódik a 6 jelölést is felhasználva, hogy P l krit = λ. 76 Innen pedig az következik, hogy a jelen modellnél n4 n 5 λ P l krit = πieη ρ, n 4 = , n 5 = oϑ a stailitásvesztést okozó terhelésre vonatkozó összefüggés Nemlineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m = 0 feltevés mellett Az alkalmazott gondolatmenet megegyezik az 5.3 szakaszan már látott gondolatmenettel. Annyi az eltérés, hogy a középvonal nyúlását most a nemlineáris tag figyelemevételével számítjuk: Véve a fajlagos nyúlás ε m = ϑ [ 0 ϑ ε m = ũ o w o ψ oη = ε oξ ψ oη. 78 ũ o,al w o,al w o,al dϕ ϑ 0 ũ o,jo w o,jo ] w o,jo dϕ matematikai középértékét, majd elvégezve az integrálást, viszonylag hosszadalmas és az A.4. függeléken tömören összefoglalt átalakításokat követően P -an másodfokú egyenlet adódik. Ennek együtthatói a µ és µϑ függvényei. Itt csak az egyenlet nullára rendezett 4 X P Y P Z = 0 80 alakját közöljük, ahol X = D B E cos µϑ sin µϑ 4 µ DG IE sin µϑ B µϑb J B K µ J cos µϑ cos µϑ µ ϑd 4BK ϑe µ 3 ϑ I G 8a Y = EC AB CD cos µϑ sin µϑ µ 3 ϑ I G E D B µϑd µϑe µdf µcg µci µef sin µϑ µ 3 ϑf I G D E 4 µϑb µka AJ cos µϑ cos µϑ A µϑb J µk µϑc D E µ µϑ 4 µ µϑ sin µϑ cos µϑ µϑ sin µϑ sin µϑ µϑ sin µϑ µϑ cos µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ 8 79 Z = 6 [3 C A cos µϑ sin µϑ A CF µ sin µϑ µϑa cos µϑ 3 µϑ A C µ 3 ϑ 3F ϑ ] ϑ µ 3 µϑ λ

24 µϑ 3 4 µϑ sin µϑ 4 µϑ µϑ µϑ4 3. 8c µϑ cos µϑ sin µϑ 3 µϑ A fenti képleteken álló A,..., K állandók értelmezését illetően visszautalunk az 57, 58 képletekre. Ha ehelyettesítjük a fenti 8a-8c összefüggéseke a nyúlásmentes esetre vonatkozó 65 és 66 megoldásokat a részletektől eltekintünk, akkor adódik hogy 4 X.0939, Y 3.34, Z Ezeket a konstansokat felhasználva a 80 másodfokú egyenlet megoldásáól a dimenziómentes kritikus terhelésre a P nl krit = P nl krit = kettős gyököt kapjuk zérus a másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Ez az eredmény pontosan megegyezik a lineáris modellel kapott eredménnyel v. ö. 67 és így változatlanul fennáll, hogy az ε m = 0 feltevés esetén a stailitásvesztést okozó erő. P nl krit, = n π ρ oϑ, n = Egy nemlineáris modell a kritikus terhelés meghatározására az ε m 0 feltevés mellett Feltételezzük, hogy a stailitásvesztés utáni változásokat továra is a 69 differenciálegyenletek írják le, azaz a elhanyagolható a 49 egyenlet jooldalán az egység mellett a w o derivált és a középvonal fajlagos nyúlásának növekménye lineáris függvénye az ũ o és w o elmozdulásnövekményeknek fennáll tehát a 69 egyenlet. Következésképp felhasználható az 5.3. szakaszan a fajlagos nyúlás változásának feltételezése mellett meghatározott µϑ érték a továi számításokan. Helyettesítsük ennek alapján µϑ szorzat 74 alatti értékét a kritikus terhelést adó 80 egyenlet 8a-8c együtthatóia. A számítások részletezése nélkül kapjuk, hogy 4 X =, Y , Z = λ. 85 Következésképp a 80 másodfokú egyenletnek P nl krit 3,4 = ± λ a megoldása P -re, amivel a kritikus terhelés a P nl krit 3,4 = n 6 ± n 7 n 8 πieη λ, n 6 = 9.768, n 7 =.047, n 8 = alakan írható fel. ϑρ o

25 5.6. Differenciálegyenletek dinamikus stailitásvesztés esetére A stailitásvesztést harmónikus dinamikai folyamatként kezelve mutatjuk meg itt a vonatkozó mozgásegyenleteket. A linearizált egyenletekől indulva ki, de nem élve az ε m = 0 feltevéssel az elmozdulásnövekményeket a w o = W ϕ sin αt, ũ o = Uϕ sin αt módon közelítjük, ahol U és W a mozgás amplitudói, α pedig a rezgés frekvenciája. Megjegyezzük, hogy a ψ oη szögelfordulásmezőnek Ψ oη = dw/dϕ az amplitúdója. Behelyettesítve ezeket az összefüggéseket a 36a, 36 képleteke és alkalmazva a 4.3. szakasz gondolatmenetét a d 4 W dϕ 4 d U dϕ dw dϕ = 0 µ d W dϕ = 0, µ = ρ oa e ε m 88 differenciálegyenleteket kapjuk az amplitudókra. Mivel M, ψ oη és N folytonos, továá mivel az s = 0 helyen fennáll, hogy N ψ oη dm, átírhatók a 37 diszkontinuitási feltételek a dm dm s0ε m d w o s0ε dt = 0 s=0 89 N s0ε N s0ε P ψ oη s=0 m d u o dt = 0 s=0 alakra, ahol kihasználtuk, hogy P oξ s=0 amplitúdókkal felírt P ψ oη s=0. A fenti feltételekhez az U s0ε = U s0ε, W s0ε = W s0ε dw dϕ = dw d W s0ε dϕ, s0ε dϕ = d W 90 s0ε dϕ s0ε folytonossági feltételek társulnak. A 39 és 40 képletek felhasználásával térve át az amplitúdókra és kihasználva ahol érdemes az elői folytonossági feltételeket, átírhatók a 89 diszkontinuitási feltételek az d 3 W d 3 W dϕ 3 s0ε dϕ 3 ρ omα W s=0 = 0 s0ε du A e du dϕ A e s0ε dϕ P dw s0ε dϕ mα U 9 s=0 = 0 s=0 alakra, ahol α a feltételezett harmonikus mozgás körfrekvenciája. Ezeken kívül elven dw U s±ϑ = 0, W s±ϑ = 0, d W dϕ = 0, s±ϑ dϕ = 0 9 s±ϑ alakúak lehetnek a geometriai peremfeltételek. Felhívjuk azonan ehelyütt arra a körülményre is a figyelmet, hogy hallgatólagos feltevés az, hogy a P erő megtartja az irányát a stailitásvesztésig. Következésképp szimmetrikus támaszelrendezés alapulvételével kell választani a fenti peremfeltételek közül. Ilyen pl. a két végén csuklóval megtámasztott, illetve a két végén efogott rúd. 3

26 6. KÖVETKEZTETÉSEK, EREDMÉNYEK Összhangan a Bevezetésen megfogalmazott célkitűzéssel, keresztmetszeti inhomogenitású heterogén anyagú és állandó görületű lapos síkeli rudak esetére meghatároztuk a kritikus terhelést, ha a rúd al oldali vége csuklóval van megtámasztva, a jo oldali vége pedig efogott. Ezt a feladatot ismereteink szerint homogén izotrop testre sem vizsgálta a lapos göre rudak stailitási kérdéseivel foglalkozó szakirodalom. 6. ára. Lineáris modell, ε m 0 7. ára. Lineáris és nemlineáris modell ε m = 0-ra, és egy nemlineáris modell, ε m 0-ra 4

27 A megoldás során a szükséges kinematikai összefüggések előállítása után leszármaztattuk a virtuális munka elv felhasználásával a vonatkozó egyensúlyi egyenleteket és a dinamikai peremfeltételeket és mindenütt utaltunk elhanyagolások esetén ezek jogosságára. Négy különöző modellel foglalkoztunk. Ezek közül kettő lineáris, kettő pedig nemlineáris modell volt. A 6-8. árák mind a négy modell esetére szemléltetik a stailitásvesztést okozó kritikus P értékeket a λ paraméter függvényéen ezek értelmezését illetően visszautalunk a 6 képletekre. Amikor feltételeztük, hogy nem változik meg az E-vel súlyozott középvonal hossza a stailitásvesztés után, akkor a lineáris és nemlineáris modell meglepő módon azonos eredményre vezetett lásd citromsárga görék. 8. ára. A négy modell együtt Amikor feltételeztük, hogy megváltozik az E-vel súlyozott középvonal hossza a stailitásvesztés után, akkor a lineáris modell piros göre a λ >.5 értéktől kezdődően kise kritikus erőt adott, mint az előző két modell. Ez azt jelenti, hogy nem hanyagolható el a stailitásvesztés utáni alakváltozások E-vel súlyozott középvonalra gyakorolt hatása. Meglepő módon ez eseten a nemlineáris modell kék görék nagyo terhelést enged meg. Ez azt jelenti, hogy een az eseten továi vizsgálatokra is szükség lehet, azaz feltehetően nem hanyagolható el a 49 egyenlet jooldalán az egység mellett a w o derivált. Ez a megoldás azonan a λ értékére a rúd geometriai jellemzőire vonatkozó megszorítást is jelent, mivel a dimenziómentes kritikus erőt adó másodfokú egyenletnek csak akkor van valós és pozitív gyöke, ha nem zérus a diszkrimináns, vagyis ezen képlet csak a λ > 4 értékek esetén alkalmazható. A virtuális munka elvől a fentiek mellett leszármaztattuk a stailitásvizsgálat egyenleteit követő terhelésre is. Ezek az egyenletek lehetőséget iztosítanak majd a dinamikus stailitásvizsgálat elvégzésére. Továi kérdésként vethető fel, hogy mi 5

28 történik, ha nem lapos a rúd. E két kérdéskör tekintetéen folyamatan vannak a vizsgálatok. FÜGGELÉK A. INTEGRÁLÁTALAKÍTÁSOK A.. A aloldalán álló integrál átalakítása Ez az integrál a első erők virtuális munkája. A képletek helyettesítésével kapjuk a -ől, hogy: σ ξ δε ξ dv = V L A ζ σ ξ δε ξ da = [ = ζρo d σ ξ L A ζ δu o δw o ζ dψ ] oη ψ oη δψ oη da = ρ o [ dδuo = σ ξ da L A δw o ζσ ξ da dδψ ] oη ζρo σ ξ daψ oη δψ oη = A A [ dδuo = N δw ] o M d δw o N Mρo dδw o ψ oη. L Innen parciális integrálások után adódik, hogy dn d σ ξ δε ξ dv = V L δu M o Nδu o sϑ Nδu o sϑ L N δw o Mδψ oη sϑ Mδψ oη sϑ dm δw o dm sϑ δw o sϑ [ dm dm ] [ ] d s0ε δw o s=0 N Mρo ψ oη δw o s0ε L N Mρo ψ oη δw o N sϑ Mρo ψ oη δw o. 93 sϑ A.. A 9 egyenlet átalakítása A hivatkozott képleten álló első három tag igényel továi módosításokat. Tekintsük az első integrált, amely a 7 képlet helyettesítése és alkalmas parciális integrálások elvégzését követően az V σ ξ δε N ξ dv = L [ d = L [ N M A ζρo σ ξ δε N ξ da = N Mρo ψ oη ] δw o L N Mρo N Mρo ψ oη δw o sϑ ] ψ oη N s0ε Mρo ψ oη δw o s=0 s0ε N Mρo ψ oη δw o sϑ ψ oη dδw o = 94a 6

29 alakan írható fel. A 9 képlet második tagjánál hasonlóan eljárva kapjuk, hogy V σ ξ δε L ξ dv = [ = ζρo d σ ξ L A ζ δu o δ w o ζ dψ ] oη ψ oη δψ oη da = ρ o [ = σ ξ da dδu o σ ξ da δw o ζσ ξ da dδψ oη L A A A ] ζρo σ ξ daψ oη δψ oη = A [ dδu o = N N δw o M da d δw o L N M ] dδw o ψ oη = dn ] = L δu o N δu o sϑ [N s0ε N s0ε δu o 0 N δu o sϑ N d M δw o L L δw o M δψ oη sϑ M δψ oη sϑ dm [ δw dm o sϑ dm ] s0ε δw o s=0 dm s0ε δw o sϑ ] ψ oη δw o N M ψ oη δw o N sϑ M [ d N M L [ N M ψ oη s0ε N M ψ oη s0ε ] ψ oη δw o sϑ δw o s=0. 94 A harmadik integrál pedig megegyezik az elsővel, ha σ ξ helyett σ ξ -t gondolunk. Eől kifolyólag könnyen képezhető az eredmény, ha a 94a képlet jo oldaláa N és M helyett N illetve M kerül eírásra. Következésképp: σ ξ δε N ξ dv = ζρo dδw o σ ξ ψ oη da = V L A [ d = N M ] ψ oη δw o N M ψ oη δw o L sϑ [ N M ψ oη N s0ε M ] ψ oη δw o s=0 s0ε N M ψ oη δw o. sϑ 94c A 94 képletek segítségével átírható a 9 alatti virtuális munka elv az alái véglegesnek tekinthető alaka: dn L f t d [ dm d M δu o L [ N N M M N N M M N ψ oη ψ oη N M N M ] ψ oη f n δw o ] ψ oη δw o sϑ 7

30 [ dm [ dm [ [dm N N M M N N M M [ N δu o sϑ N N M M ψ oη ψ oη N M ψ oη N M N M N s0ε N s0ε P oξ m d u dt ψ oη ] δw o sϑ ψ oη ] s0ε ] ] ψ oη m s0ε d w dt δw o s=0 s=0 ] δu o s=0 N δu o sϑ s=0 M k t ψ oη sϑ δψ oη sϑ M k t ψ oη sϑ δψ oη sϑ = A.3. A 60 képlet levezetése röviden Ha eírjuk az 5 és 5 képleteket az 59 egyenlet jo oldaláa, kapjuk egyrészt az 0 w o,al dϕ = 0 cos µϕ sin µϕ D ϑ ϑ ϑ ϑ µ D µ D 3 ϕ D 4 ϕ dϕ = = 6D sin µϑ 6D cos µϑ 3D 3 ϑ µ 3 6D 4 ϑ µ 3 ϑ µ 3 ϑ µ 3 tagot, másrészt pedig az ϑ ϑ 0 w o,jo dϕ = ϑ ϑ 0 cos µϕ sin µϕ D µ D 6 µ D 7 ϕ D 4 ϕ dϕ = = 6D sin µϑ 6D 4 ϑ µ 3 6D 6 cos µϑ 3D 7 ϑ µ 3 ϑ µ 3 ϑ µ 3 részeredményt. Visszaírva ezek összegét az 59-e átalakításokkal kapjuk, hogy [ ] ε oξ = ϑ µ 3 D sin µϑ [D D 6 ] cos µϑ D 7 D 3 ϑ µ 3 D 4 ϑ µ 3 ϑ µ3 3 ahonnan a 6 jelölés evezetése után a zérusra rendezett 0 = D sin µϑ [D D 6 ] cos µϑ D 7 D 3 ϑ µ 3 D 4 ϑ µ 3 ϑ µ3 µϑ5 3 λ 96 formula következik. A D i értékeket eírva 57 alapján megmutatható, hogy a fenti egyenletnek 0 = µϑ4 3 3 µϑ µϑ 4 µϑ sin µϑ 4 4 µϑ µϑ 4 µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ µϑ5 λ 8 P µϑ µϑ sin µϑ cos µϑ µϑ sin µϑ sin µϑ µϑ sin µϑ µϑ cos µϑ µϑ cos µϑ sin µϑ a végleges alakja, amelyől rendezés után máris adódik a 60 kifejezés., 8

31 A.4. A 79 alatti integrál számításának vázlata A hivatkozott egyenletet átrendezve kapjuk a [ 0 = 0 ϑ ũ o,al ϑ w o,al dϕ ϑ 0 [ 0 ϑ ϑ ] ũ o,jo w o,jo dϕ ϑε m ] ϑ w o,al dϕ w o,jo dϕ 0 alakot, ahol a jo oldali első szögletes zárójelen álló összeg megegyezik 96-tal. Így tehát csak a második szögletes zárójelen lévő tagokkal kell a továiakan foglalkozni nevezzük ezeket együttesen I nl -nek. Deriváljuk 5-et és az eredményt emeljük négyzetre. Rendezés után adódik, hogy 4ϑ w o,al ϕ = [ D ϑ µ D µ D µ sin µϕ D D µ cos µϕ D 3 ϕ µ cos µϕ D 3 ϕ cos µϕ D 3 D3 ϕ sin µϕ ] ϕ. Az 5 képlet esetén hasonló gondolatmenettel kapjuk az 4ϑ w o,jo ϕ = [ D ϑ µ D 6 µ D µ sin µϕ D 6 D6 µ cos µϕ D 7 ϕ µ cos µϕ D 7 ϕ cos µϕ D 7 D7 ϕ sin µϕ ] ϕ összefüggést. Visszaírva ezen eredményeket I nl -e, majd elvégezve az integrálást kapjuk, hogy I nl = 4ϑ µ 3 {3D [D cos µϑ sin µϑ µϑ 4 µϑ sin µϑ D 3 µ sin µϑ cos µϑ ] 6D [ D µϑ cos µϑ sin µϑ D 6 D sin µϑ µ D 7 D 3 cos µϑ 4 sin µϑ µϑ cos µϑ] 3D 6 [D 6 cos µϑ sin µϑ µϑ 4 D 7 µ sin µϑ cos µϑ µϑ sin µϑ] µ 3 ϑ [ 3D 7 D 7 ϑ 3D 3 D 3 ϑ ϑ ]}. Ha ehhez még hozzávesszük a lineáris közelítés 96 eredményeit, majd 57 alapján felontjuk a D i állandókat, akkor már felírható a P hatványai szerint rendezett 80, 8 alak. 9

32 HIVATKOZÁSOK. M. A. Bradford, B. Uy, and Y. L. Pi. In-plane staility of arches under a central concentrated load. J. Eng. Mech. ASCE, 87:70 79, 00.. M. A. Bradford Y.L. Pi and B. Uy. In-plane staility of arches. International Journal of Soli and Structures, 39:05 5, Y. L. Pi, M. A. Bradford, and F. Tin-Loi. Nonlinear analysis and uckling of elastically supported circular shallow arches. International Journal of Soli and Structures, 44:40 45, Mark Andrew Bradford Yong-Lin Pi and Francis Tin-Loi. Non-linear in-plane uckling of rotationally restrained shallow arches under a central concentrated load. International Journal of Non-Linear Mechanics, 43: 7, S.P. Timoshenko and J.M. Gere. Theory of elastic staility. New York, McGraw-Hill, G.J. Simitses. An introduction to the elastic staility of structures. New Jersey, Prentice-Hall,