M3/I. A 005/006. tanévi Országos Középisoai Tanuányi Verseny eső (isoai) forduójána javítási-értéeési útutatója Fizia I. ategóriában
A 005/006. tanévi Országos Középisoai Tanuányi Verseny eső forduójána feadatai és egodásai f i z i á b ó A dogozato eészítéséhez inden segédeszöz hasznáható. Megodandó az eső háro feadat és a /A és /B sorszáú feadato özü egy szabadon váasztott. Csa egodásra adható pont. Ha vaai 5 egodást üd be, a /A és /B feadat özü a több pontot érő egodást vesszü figyeebe. I. ategória. feadat. Ideáis gázza 3, J hőt özün. A gáz áandó,, 0 Pa nyoáson tágu 0,3 iter térfogatró 0,8 iter térfogatúra. a) Mennyi unát végzett a gáz? b) Meora a gáz beső energiájána egvátozása? c) Lehet-e a gáz neesgáz? d) Meora az áandó nyoáshoz tartozó oáris hőapacitás? Megodás. Adato: Q = 3, J; p =, 0 Pa = á.; V = 3. 0 3 ; V = 8. 0 3. a) A gáz áta végzett una: W = p V = p gáz b) A beső energia egvátozása: = Q + W 3 ( V V ) =, 0 Pa ( 8-3) 0 = 7 J. = Q W gáz = 3, J - 7 J =, J. c) E e dönteni, hogy a részecsé szabadsági foa 3, vagy ettő üönböző. Iseretes, hogy a gáz energiavátozása i. izobár áapotvátozás esetén az átaa fevett hő a foszáa a övetező apcsoatban van: f f + E = nr T i. Q = nr T. A fevett hő és energiavátozás aránya ár csa a foszátó függ: Q f + Q Q = azaz f = f + f =, f ahonnan e gáz részecséine szabadsági foa: f = = = 6,97, Q 3,, tehát ez a gáz ne ehet neesgáz (vaaiyen soa bonyoutabb összetéteű anyag ehet). d) A oáris hőapacitás (óhő) áandó nyoáson p = Q f + C = = n T R 8,97 J 8,3 o K J = 37,3. o K
. feadat. Egyenes páyán ét, egyenetesen gyorsuó pontszerű test indu ugyanarró a heyrő ugyanabba az rányba, de a nagyobb gyorsuású test 6 s-a ésőbb. Az eső test induása után 8 s-a ár egegyezi a sebességü. Mior éri uto a ésőbb induó a ásiat? I. Megodás. Jeöjü a 8-i ásodpercben fevett özös sebességet v -va, az eső test gyorsuását a -gye, a ásodiét a -ve! Mive azonos pontbó induta a teste, taáozásuig azonos nagyságú utat tette eg: s = s. A ét test áta egtett út gyorsuásaia és a egfeeő időszaaszoa ifejezve az ábra szerint: t a t = a ( t ). Itt t és t a ét test induási időpontját, t pedig a özös sebesség eéréséne időpontját jeenti. A ét isereten gyorsuás a (szintén isereten) özös sebességge és a fevéteéig etet időve ifejezhető: v v a =, a =. t t t Ezeet beírva a -ve egyszerűsített eső egyenetünbe: v t t t t = v t t ( ). Az isereten nagyságú özös sebesség iesi, a nevező etüntetése után a övetezőt apju: A űveeteet evégezve: ( t t ) t = t ( t t ). t t t t = t t t t t + t A ét odaró a t t -et ehagyva, a egaradt tagoban a t özös tényezőve egyszerűsítve és nuára reduáva ásodfoú egyenetet apun: Enne egodása: t t tt + tt t ± t tt = = t ± t t = 0. It =0 It =6 It It(s) t ( t ) = 8 s ± 8 s ( 8 s 6 s), =. s. s Mive a özös sebesség eéréséig 8 ásodpercne e e tenie, a s os egodás ne fogadható e fiziai szepontbó, vagyis a heyes egodás, a ét test újbói taáozása az eső test induásána időpontjátó érve t = s úva övetezi be. II. Megodás. A grafion szerint a ét test aor tesz eg egyenő nagy utat, ha a ét satírozott, hároszög aaú terüet egegyezi. A hároszöge terüete (aap x agasság)/ ve száítható: tv a( t t ) at = ( t t ) Innen részben nueriusan foytatva a egodást, a gyorsuásoat sebességvátozás és etet idő hányadosaént feírva az ábra aapján: iv Iv It =8 Ia ( t - t ) Ia t
v v 6 = ugyanis a ét gyorsuás fénueriusan így írható: v 8 v v a = i. a =. 8 ( t 6) t ( t 8), A özös sebesség iesi, ½-de egyszerűsíthetün, így a övetezőt apju: t t 6 = 3 ( t 8). 8 A ét odat 8-ca szorozva és összevonva: ( )( ). 8 = 3t t 8 Rendezés után vegyes ásodfoú egyenetün: t 6t + 8 = 0. Enne egodása: 6 ± 6 8 t = =, int az eső egodásban. 3. feadat. Egy áraörben tönreent egy 50 Ω; 0 W feiratú eenáás. A hiányt egy 00 Ω; 5 W és egy 600 Ω; 5 W jeezőjű eenáás párhuzaos apcsoásáva pótoju. a) Miyen szepontbó egyenértéű ez a apcsoás az eredeti apcsoássa és iyen szepontbó ne? b) Adjun eg - oyan eenááspárt, aey párhuzaos i. soros apcsoásná inden szepontbó heyettesíti az eredeti apcsoást! Megodás. a) A 00 Ω-os és 600 Ω-os eenááso párhuzaos apcsoása az eredetive egyező eredő eenáást és tejesítényfevétet eredényez: RR 00Ω 600Ω R e = = = 50 Ω, R + R 800Ω A heyettesítés a fenti érté szepontjábó egfee az eredeti apcsoásna, azonban, ive a párhuzaos apcsoásná a tejesítény fordítottan arányos az eenáássa ( P = ), a 00 Ω-os U R eenáást túterhejü. b) Párhuzaos apcsoásná aaazhatju p. a 00 Ω; 7,5 W és 600 Ω;,5 W feiratú eenáásoat. Ebben az esetben egyi eenáás sincs tú-, vagy auterheve. Az eredeti (tönreent) eenáás adataibó ugyanis itűni, hogy az U = PR = 0 W 50 Ω = 38,73 V feszütségre vot apcsova, a heyettesítő eenááso párhuzaos apcsoásáná U 500 V U 500 V P = = = 7,5 W, i. P = = =,5 W. R 00 Ω R 600 Ω Soros apcsoásná a tejesítény egyenesen arányos az eenáássa. Így egodás pédáu a 30 Ω; W és 0 Ω; 8 W egfee a öveteényene. Az eredő eenáás soros 3
apcsoásná R e = R + R = 30 Ω + 0 Ω = 50 Ω, a iaauó ára erőssége a ét eenááson azonos, I = = = 0,58 A, i. I = = = 0,58 A. Az een- P W P 8 W R 30 Ω R 0 Ω áásora eső feszütsége összege iadja az eredeti feszütséget: U = PR = W 30 Ω = 7,76 V, i. U = P R = 8 W 0 Ω = 30,98 V, eze összege vaóban 38,73 V, aeora eredetieg a iégett eenáásra esett. Ebben az esetben sincs egyi eenáás tú-, vagy auterheve../a feadat. Egy rugós játépusa feszíteten rugója a cső nyíásáig ér. A rugót = c-re összenyoju, ajd a rugó végére a egszoottná egy nagyobb, = 50 g töegű goyót heyezün. A rugó ezt a goyót a taajtó száított y = agasbó, vízszintes irányban övi i. A övés távoságána vízszintes vetüete a cső végétő száítva x = 86 c hosszú. a) Meora a rugóáandó? b)függőeges iövésné a cső nyíásátó érve iyen agasra épes őni ezt a goyót a pusa? c) Mennyi a függőeges iövésné a goyó egnagyobb sebessége? (A rugó töegét és a súródást ehanyagohatju. g = 9,8 /s ) Megodás. a) A vízszintes hajítás adataibó öveteztethetün a rugóáandóra. Az esés ideje: y t = = = 0,5 s, g 9,8 s x 0,86 a iövés sebessége a ozgás vízszintes vetüte aapján: v = = =,9. t 0,5 s s A rugóáandót az energiaegaradás törvényébő aphatju: D ( ) = v, ahonnan a rugóáandó:,9 v N D = = 5 0 g s =,67. ( ) 0, b) Függőeges iövésné p. a unatéte aapján: ( ) 0, gh ö + D = aho h ö az összenyoott rugótó ért agasságot jeöi. N ( ),67 0, D h ö = = = 0,86 = 8,6 c, g 5 0 g 9,8 s tehát a pusacső nyíásátó ért eeedés: h = h 0 = 8,6 c c = 6,6 c. c) A rugón evő goyó a rugóva vaó érintezés aatt haronius rezgőozgást végez, aeyne örfrevenciája:
N,67 D ω = = = 5,9. 5 0 g s A axiáis sebességet aor éri e a goyó, aior a rá ható erő eredője zérussá vái (addig nő a sebessége, ezután csöen). A ozgásegyenet erre a pianatra aaazva: D 0 g = 0. Innen a rugó egnyúása a axiáis sebesség eéréséig: 5 0 g 9,8 g s 0 = = = 0,0387 = 3,87 c. D N,67 Ez a feszíteten heyzettő az egyensúyi heyzetig vett távoság. A rezgés apitúdója pedig: A = 0 = c 3,87 c = 8,3 c = 0,083. A axiáis sebesség a haronius rezgőozgás összefüggéseibő: v ax = Aω = 0,083 5,9 =,9,3. s s s./b feadat. Egy ejtő feüetén súródásentesen csúszva egy test örozgást végez az egyi végén a ejtőhöz rögzített foná ási végén. A páya egasó pontján a fonáerő nyivánvaóan nagyobb, int a páya egfeső pontján. Az átaun vizsgát ozgásná a ét fonáerő üönbsége hároszorosa a testre ható nehézségi erőne. Határozzu eg a ejtő hajásszögét! Megodás. Írju fe a ozgásegyenetet a örpáya feső és az asó pontjára! Mive e ét heyen nincs a testne érintőeges gyorsuása (sebessége iniáis i. axiáis a feső i. asó pontban), a ozgásegyenete így írható: vf vf KF + g sinα = KF = g sinα fent A v v KA g sinα = KA = + g sinα au. A fonáerő üönbsége: ( va vf ) K A KF = + g sinα () Az energia-egaradás aapján: v sin F + g α = va. Innen g sinα = va vf. () () és () aapján g sinα K A KF = + g sinα = 6g sinα. A fetéte szerint K A K F = 3g, vagyis 6gsinα = 3g. Innen sinα = 0,5, vagyis a ejtő hajásszöge: α = arcsin 0, 5 = 30. A Ια 5
Értéeési javasat Mindegyi feadat tejes egodásáért 0 pont jár. A tanár javítsa i a dogozatoat és áapítsa eg a pontszáot! Terészetesen a özöttő etérő gondoatenetet is e e fogadni, ha heyes. Hiányosságo iatt tört pontszáot e evonni. Abban az esetben, ha a gondoatenet jó, durva nuerius hibáért axiáisan 5 pont vonható e. A tanár a dogozatra írja rá, hogy indegyi feadat egodását hány pontra értéei. A dogozat pontszáa a négy feadatra adott pontszáo összege, axiáisan 80 pont. Ugyanazon feadat ásodi, vagy haradi ódon történt egodásáért ne adható üön pont. Beüdendő indazo a dogozato, aeye összpontszáa 0 vagy több. Csa feadat pontértée száíthat be az összpontszába! JAVASOLT RÉSZPONTSZÁMOK. feadat. a) Heyes egodásért 3 pont. b) Heyes egodásért 3 pont. c) Heyes egodásért 0 pont. d) Heyes egodásért pont.. feadat. A jeenség heyes érteezése pont. A gyorsuáso heyes feírása a özös sebesség fehasznáásáva 5 pont. Egyenet heyes feírása a eresett és a részidőre 5 pont. A ásodfoú egyenet egodása 5 pont. A apott eredény heyes érteezése 3 pont. (A váasz aor is heyes, aár az eső test induásátó, aár a ásodi test induásátó adja eg heyesen az etet időt!) Ai a ásodi egodás szerint próbáozott, anna a terüetere heyesen feírt egyenetért 0 pont jár. Az isereten özös sebesség iejtéséért pont, a ásodfoú egyenet egodásáért 3 pont, a apott eredénye heyes érteezéséért 3 pont adható. 3. feadat. a) Anna eenőrzése, hogy eredő eenáás szepontjábó egfeene a egadott eenááso 3 pont. Anna feiserése, hogy túterheés szepontjábó ne feene eg 3 pont. b) Párhuzaos apcsoáshoz taát egfeeő eenááspár egadása indooássa 5 pont. Soros apcsoásra adott heyes értépár egadása pont. A heyes indooás egadása 5 pont../a feadat. a) A rugóáandó heyes eghatározása 5 pont. b) Az eeedés heyes eghatározása 5 pont. A axiáis sebesség eghatározása 0 pont../b feadat. A ozgásegyenete heyes feírása 5 pont. A fonáerő üönbségét egadó egyenet feírása 3 pont. Az energia-egaradás téteéne heyes feírása 5 pont. A hajásszög fonáerőüönbségge vaó heyes ifejezése pont. A hajásszög szinuszána ifejezése pont. A hajásszög heyes értééne egadása pont.