A 2004/2005 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai f i z i k á b ó l III.

Átírás

1 A 004/005 tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első forulójának felaatai és egolásai f i z i k á b ó l III kategória A olgozatok elkészítéséhez inen segéeszköz használható Megolanó az első háro felaat és a 4/A és 4/B sorszáú felaatok közül egy szabaon választott Csak 4 egolásra aható pont Ha valaki 5 egolást kül be a több pontot érő egolást vesszük figyelebe felaat Két egyfora kicsiny fégolyó elyek érete a távolságukhoz képest elhanyagolható egyástól 0 -re van A golyóknak különböző töltést ava azok N erővel vonzzák egyást Ha hagyjuk hogy összeérjenek akkor az érintkezés után szétrepülnek és azt tapasztaljuk hogy aikor távolságuk isét 0 a köztük levő taszítóerő éppen akkora int a kezeti vonzóerő volt Mekkora töltést kaptak a golyók kezetben? Megolás Jelöljük a két kis golyó ereeti töltését értékét -gyel és -vel! (A felaat szövegéből következik hogy az egyik töltés pozitív a ásik peig negatív) Írjuk fel összeérintés előtt és szétrepülés után pl azt az erőt aelyet az -es test fejt kis a -esre! Összeérés előtt a vonzóerő: F k () (Itt valójában az ábra szerinti erővektor koorinátáját írtuk fel) F I I I Ix Összeérintés után a golyók töltése egyenlő lesz: + () Szétlökőés után ugyanolyan távolságban az -es golyó által a -esre kifejtett erő koorinátája: F F F I k Felhasználva az () és () összefüggéseket: I I k Ix ( + ) k k 4 Innen: ( + ) 4 Négyzetre eelés után: A ásofokú egyenlet -re való egolásával egkapjuk hogy ekkora a két töltés aránya enezés után: Az egyenlet egolása: ±

2 kieelése és renezés után: ( ± 8 3) 6 ± 3 6 ± ± 8 (3) értékeit ()-be helyettesítve a két töltésre (szietrikusan) négy-négy értéket kapunk attól függően hogy a két négyzetgyök előtti előjeleket hogyan párosítjuk össze: F N 004 ( 8 3) N ( ) ± ± k ± ± 8 3 C ui a kezetben ható F erő koorinátája negatív! Ezzel -re a következő négy lehetőséget kapjuk: C és C a nevezőben pozitív négyzetgyökkel száolva ill C és C a nevezőben negatív négyzetgyökkel száolva A ásik töltés peig (3) alapján: ( 3) ill ( 8 3) C C és C és ( 8 3) ill ( 8 3) C C és C C ( ) C felaat Egy kg töegű acélgolyót ráejtünk egy M töegű acéltöbre aely egy D 435 N/ irekciós erejű alátáasztott csavarrugón nyugszik A csavarrugó tengelye invégig függőleges a) Milyen agasról ejtsük az acélgolyót hogy az acéltöbbel kétszer ugyanott ütközzön? b) Maxiálisan ilyen élyre süllye az acéltöb? (A rugó töege elhanyagolható az ütközés abszolút rugalas és pillanatszerű) M D h Megolás a) Vegyük fel a koorinátarenszer tengelyét függőlegesen felfelé Ekkor a leérkezés sebessége: v gh A golyó visszapattanás utáni kezősebessége: v M M M u c v v v gh gh + M + M + M + M Figyelebe véve a töegarányokat: u gh 3 A létrejövő függőleges hajítás ieje: u h T haj g 3 g Ennek eg kell egyeznie az M töegű test fél rezgésiejével: ( )

3 M T/ π D h M π 3 g D Minkét olal négyzetre eelése után: 4 h M π 9 g D Innen a keresett ejtési agasság: 9 M 9 kg h gπ 98 π 8 D 8 s N 435 (Ha g 0 /s akkor h 05 ) 0500 b) Kineatikai egolás Meghatározzuk a rugón fekvő test axiális (kezeti) sebességét (A koorinátarenszer tengelyét itt célszerű függőlegesen lefelé irányítani) gh + 0 u c v 0 gh s s A sebesség-aplitúóban szereplő kitérés-aplitúó a keresett süllyeési élység: u vax Aω ahonnan vax vax kg A vax c ω D D s N 435 Energetikai egolás Felírjuk a rugón nyugvó testre a unkatételt: W neh + W rug E { Dl0 + D( l0 + A) } ga A 0 u (Az előfeszített rugó által végzett unkát az ozgás elején és végén felvett erők szátani közepével száíthatjuk) g Itt az egyensúlyi helyzetig történő eforáció nagysága l 0 ahol M a rugóra D helyezett test töege Ezt beírva kapjuk: g D + DA ga D A u enezés után: DA u ahol a u a töegű test közvetlen ütközés utáni kezősebessége Ez az ütközés képletéből kapható: gh + 0 u ( k + ) c kv 0 gh 3 3 A keresett aplitúó: kg gh 4 A u s gh 04 D 3 D 3 D 3 N 435 kin

4 3 felaat Két függőleges fal távolsága 5 Az egyik fal teljesen sia a ásik éres Egy hoogén ruat betáasztunk a falak közé A rú és az éres fal közti tapaási súrlóási együttható 098 Mekkora az a leghosszabb rú ai a falak közé beszorul és ne csúszik le? Megolás Belátható hogy a rú felső pontját a súrlóásentes falhoz kell táasztani ellenkező esetben a rú azonnal leesik Az egyensúly feltétele F 0 és M 0 Az erők egyensúlyát vízszintes és függőleges koponensekre (azok koorinátáira) írjuk fel: F x F F 0 Iα x G F x y 0 Itt F a sia fal által kifejtett F az éres fal által kifejtett teljes erő Az éres fal síkjában ható erő axiális értéke µf x lehet vagyis F µ F y x A forgatónyoatékok egyensúlyát a rú töegközéppontjára felírva: L L F xlsinα F y cosα µ F x cosα (A bal olalon a vízszintes erők alkotta erőpár forgatónyoatéka szerepel) Miután F x F x azzal és a rúhosszal egyszerűsítve: sin α tgα µ cosα µ 098 α arctg arctg 6 A beszoruló rú axiális hossza tehát: 5 Lax 67 cosα cos 6 4/A felaat Egyszer télen aikor a hőérséklet élyen a fagypont alatt volt Taás két azonos típusú és éretű ételobozba egyenlő töegű vízből és egyenlő töegű jégből készített jég-víz keveréket tett aelyeket egy-egy azonos fűtőszállal elegíteni kezett Megérte hogy ha egy 8 V-os akkuulátorral fűtötte az ellenálláshuzalt akkor 5 perc alatt olvat eg a jég e eglepetéssel tapasztalta hogy 9 V-os akkuulátor használata esetén 30 percre volt szükség ugyanannyi jég egolvasztásához Most ár igazán kíváncsi lett hogy 45 V-os tápfeszültség esetén i fog történni Aja eg a választ Taás helyett! (Az akkuulátorok belső ellenállása elhanyagolható) Megolás Iseretes hogy az elektroos ára teljesíténye /-rel arányos A erülőforraló használata iatt feltételezhetjük hogy ez a teljesítény teljes egészében a jég víz keveréknek aóik át Így 8 V valaint 9 V esetén a feltételezés iatt azt várjuk hogy ivel a feszültségek aránya a teljesítények aránya 4 ezért 9 V esetén négyszer hosszabb iőre lenne szükség a jég egolvasztásához Ez viszont perc alatt azért ne sikerült ert inkét tartályból energia-isszipáció is történt Jelöljük a környezetnek iőegység alatt leaott energiáját P veszteség gel! Az olvaékával érintkező jég és az igen alacsony hőérsékletű környezet közötti hőérsékletkülönbség inen pillanatban azonos így ez az érték állanó független a egolvat jég ennyiségétől A fűtőszál által leaott és a G I F x F y

5 környezetbe szétszóróott energia együttesen felelős a jég egolvasztásáért Mivel Taás ugyanakkora töegű jeget használt inkét esetben felírható hogy P veszteség t Pveszteség t ahol t és t a jég egolvasztásához szükséges iőtartaot jelöli Fejezzük ki a teljesítényveszteséget! t t Pveszteségt Pveszteségt Innen: t t Pveszteség( t t ) A teljesítényveszteség: t t 8V 0 in 34 V 5 in 34 V P veszteség ( t t ) ( 30 in 5 in) Ereényünk azt utatja hogy a jég csak akkor olvahat eg ha a fűtőfeszültségként olyat használunk aelynek négyzete 34 V nél nagyobb ahonnan a fűtőfeszültség f f 34 V 3 4 V 57 V Mivel a 45 V-os telep feszültsége ennél kisebb használatakor több a hieg környezetnek leaott energia int aennyit a fűtőszál szolgáltat a keveréknek ezért a jég ne olva eg hane a víz előbb utóbb kifagy aj a tiszta jég lehűl 4/B felaat Ha egy félvezető ióára feszültség esik akkor a ióán átfolyó ára erőssége a feszültség függvényében az alábbi táblázat szerinti értékeket veszi fel: (V) I (A) Az előzőekben jellezett ióát árakörbe kapcsoljuk a ellékelt ábra szerint 00 Ω Határozzuk eg a körben folyó ára erősségét ha a telep feszültsége a) o 8 V; b) o 4 V; c) 0 07 V (A egolás során grafikus ill nuerikus ószerek alkalazhatók) 0 Megolás A körben folyó ára erőssége Kirchhoff huroktörvénye szerint az 0 I 0 egyenletből határozható eg: I 0 Ez egy lineáris függvény aely könnyen ábrázolható I 0

6 Másrészt van egy I() függvényünk táblázatosan egava A kör áraának erőssége azonos a ióán átfolyó ára erősségével tehát a kétféle képen egaott függvény közös értékei aják a keresett áraerőséget ill a hozzá tartozó feszültséget A ellékelt ábra a háro egaott 0 tápfeszültség esetén utatja a ióára eső feszültség áraerősség függvényt és ugyanakkor a ióán átfolyó ára erősségét a rá eső feszültség függvényében I(A) V V V (V) A etszéspontok a körben folyó ára erősségét illetve a ióára eső feszültséget aják a) 0 8 V esetén I 73 A és 068 V b) 0 4 V esetén I 33 A és 066 V c) 0 07 V esetén I A és 056 V

7 Értékelési javaslat Minegyik felaat teljes egolásáért 0 pont jár A tanár javítsa ki a olgozatokat és állapítsa eg a pontszáot Terészetesen a közölttől eltérő gonolatenetet is el kell fogani ha helyes Hiányosságok iatt tört pontszáot kell levonni Abban az esetben ha a gonolatenet jó urva nuerikus hibáért axiálisan 5 pont vonható le A tanár a olgozatra írja rá hogy inegyik felaat egolását hány pontra értékeli A olgozat pontszáa a négy felaatra aott pontszáok összege axiálisan 80 pont gyanazon felaat ásoik vagy haraik óon történt egolásáért ne aható külön pont Bekülenők inazok a olgozatok aelyek összpontszáa 40 vagy több Csak 4 felaat pontértéke száíthat be az összpontszába! JAVASOLT ÉSZPONTSZÁMOK III kategória felaat A Coulob-törvény felírása pont A golyók összeérintés utáni töltésének helyes felírása 4 pont Az erők nagyságának egyenlőségét felhasználva a ásofokú egyenlet helyes felírása 5 pont Az ereeti töltések arányának eghatározása 3 pont Az egyik töltés általános kifejezése az ereeti aatokkal: 3 pont A négy lehetséges töltéspár kiszáítása 4 pont felaat a) A leeső golyó visszapattanási sebességének eghatározása 5 pont Annak feliserése hogy akkor ütköznek ásoszor ugyanott ha az így keletkező függőleges hajítás teljes ieje az acéltöb rezgésiejének felével egyenlő 3 pont A hajítási iőt és rezgésiőt összehasonlító egyenlet felírása pont Az ejtés agasságának eghatározása 3 pont b) A hasáb kező- (axiális) sebességének eghatározása 4 pont A rezgés aplitúójának eghatározása 4 pont 3 felaat A rúra ható erők helyes felrajzolása 4 pont Az erők egyensúlyának helyes felírása 3 pont A forgatónyoatékok egyensúlyának helyes felírása 4 pont A rú vízszintessel (függőlegessel) bezárt szögének kifejezése a súrlóási együtthatóval 4 pont A szög nuerikus eghatározása 3 pont A rú axiális hosszának kifejezése és nuerikus eghatározása pont 4/A Taás eglepetésének értelezése 4 pont Az energiaveszteség szerepének feliserése 4 pont A jég két esetben való felolvasztásához szükséges befektetett energiák egyenlőségének helyes felírása a teljesítényveszteséggel 4 pont A teljesítényveszteség helyes kifejezése a feszültségekkel és az iőkkel 4 pont Annak feliserése hogy annál nagyobb fűtőfeszültségre van szükség int aekkorával a erülőforraló csak a teljesítényveszteséget feezi pont A iniális fűtőfeszültség kiszáítása pont Annak egválaszolása hogy i fog történni (a víz-jég keverék kifagy és lehűl) pont 4/B A huroktörvény helyes felírása 3 pont Az áraerősség kifejezése pont A táblázatban aott összefüggés helyes ábrázolása 5 pont Az áraerősség feszültség lineáris függvényeinek ábrázolása a hároféle forrásfeszültség esetén 4 pont A etszéspontok helyes leolvasása és értelezése 6 pont