M13/III. javítási-értékelési útmutatója. Fizika III. kategóriában. A 2006/2007. tanévi. Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny

Átírás

1 M/III A 006/007 tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első (iskolai) fordulójának javítási-értékelési útutatója Fizika III kategóriában

2 A 006/007 tanévi Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának feladatai és egoldásai f i z i k á b ó l A dolgozatok elkészítéséhez inden segédeszköz használható Megoldandó az első háro feladat és a 4/A és 4/B sorszáú feladatok közül egy szabadon választott Csak 4 feladat egoldására adható pont Ha valaki feladat egoldását küld be, a 4/A és 4/B feladat közül a több pontot elérő egoldást vesszük figyelebe III kategória feladat Hány óra hosszú lenne egy nap a Földével egegyező átlagsűrűségű, göb alakúnak tekinthető bolygón, aelynek az egyenlítőjén a testek súlya 0 %-kal lenne kisebb, int a sarkokon? I Megoldás Írjuk fel a bolygó sarkain valaint az egyenlítőjén a talajra helyezett test ozgásegyenletét! A testre hat a gravitációs erő (F grav ) és a talaj kényszerereje (G) Ezzel: F grav G = a, ahol a bolygó sarkain a test ne gyorsul, tehát F grav = G, () és a forgó bolygón a testnek centripetális gyorsulása lévén: F 0, G = Rω grav 9 Felhasználva ()-et, és beírva a gravitációs erőtörvényt: M γ M 0, 9 γ = Rω, R R azaz (beírva a szögsebességnek a periódusidővel való kifejezését):, M 4π 0γ = R R T A test töegével egyszerűsítve, és a bolygó töegét sűrűségével és térfogatával kifejezve: 4R π ρ 4π 0,γρ 0γ = R = R T π T ahonnan a bolygó egy napjának a hossza (forgási periódusideje):,, T = π 0, γρ A függvénytáblázatból kivett sűrűségadattal: T = 0, 6, 67 0 π N kg kg = 6006, 6s = 66,78 in = 4,446 h = 4 h 6 in 46,6 s II (rövid) egoldás A nehézségi gyorsulás az északi sarkon (g s ) egegyezik a gravitációs gyorsulással, az egyenlítőn (g e ) pedig ennek a kilenctizede: ρ4r π ge = 0, 9gs = 0, 9γ, R

3 és a nehézségi gyorsulás az egyenlítőn: g e ρ 4R π 4π = γ R R T A jobb oldalak egyenlőségéből (a sugarak és 4π kiejtés és átrendezés után):, ρ ρ π 0 9γ = γ T Innen a periódusidő: Ez az előző eredénnyel azonos T = π 0, γρ feladat V = 0 d térfogatú zárt tartályban hidrogén és héliu keveréke van t = 0 o C hőérsékleten, és p = 900 kpa nyoáson A két gáz együttes töege = 60 g a) Hány gra hidrogén és hány gra héliu van a tartályban? b) Mekkora nyoása van a héliunak? Megoldás a) Legyen a hidrogén töege, a héliué, és a keverék töege + = A keverék állapotegyenlete felhasználva Dalton a parciális nyoásokra vonatkozó törvényét : ( p p ) V + = + RT, M M ahol p a hidrogén és p a héliu parciális nyoása, M és M a egfelelő oláris töegek Az állapotegyenletből: ( p + p ) + V 9 0 Pa 0 = = = 8, 47 ol M J M RT 8, 4 9 K ol K Felhasználva az össztöeg és összetevői közötti összefüggést, =, azaz szorozva M M -vel: M + M = ( p + p ) RT V, ( p + p ) M M + M = MM RT V Innen a héliu töege: MM ( p + p ) M = V M M RT M M Száadatainkkal: 4 g 9 0 Pa 4 = 0 60 g = 46,08 g, 4 ol J 8,4 9 K 4 ol K és a hidrogén töege: = = 60 g 46,08 g =,89 g

4 b) A héliu nyoását a töegének iseretében a rá vonatkozó állapotegyenletből kapjuk: p J 8, 4 9 K RT 4608, g = ol K = 6,6 kpa g ol = M V (Ellenőrzés: a hidrogén parciális nyoása: J 8, 4 9 K RT,89 g p = = ol K = 8,4 kpa g - M V 0 ol A parciális nyoások összege valóban a teljes nyoás: 6,6 kpa + 8,4 kpa = 900 kpa) feladat Vízszintes talaj felett 000 agasságban vízszintes, egyenes pályán a hangsebesség kétszeresével, egyenletes ozgással halad el felettünk egy szuperszonikus repülőgép (Ilyenkor a Mach-szá M = v/c =, ahol v a repülőgép sebessége, c = 40 /s pedig a hangsebesség) A repülőgép hangját egy adott pillanatban kezdjük észlelni a) Milyen távolságban volt tőlünk a repülőgép, aikor kiadta az általunk először észlelt hangot? b) Milyen távolságban volt a repülőgép, aikor eghallottuk a hangját? Megoldás A folyaat geoetriáját az ábra utatja: Szuperszonikus repülésnél a repülőgép orránál ún fejhullá alakul ki, aely kúpjának fél nyílásszögére érvényes: c sin α = v Ez könnyen belátható Egy adott helyről figyelve egy állandó nyílásszögű, táguló kúpfelületet észlelnénk, ait integy agával visz a repülőgép Ez úgy jön létre, hogy a gép előtt változatlan a légtér, előre ne terjed a hang, hiszen a gép egelőzné a saját hangját A levegőt szelve ennek a hangja c < v sebességgel hagyja el a gép testét göbfelületet alkotó fázisfelületekkel, így az ábra szerint világos, hogy a kibocsátott hulláfelület terjedési irányára érvényes a fenti összefüggés Aíg a repülőgép egtesz vt utat a pálya entén, addig az út elejéről indított hanghullá hulláfrontja csak ct távolságra jut el a forrástól c Esetünkben a kúp fél nyílásszögére arcsin = arcsin = 0 -ot kapunk Vagyis a egfigyelő v akkor fogja a hangot hallani, ha a repülőgéppel együtt haladó α = 0 o félnyílásszögű ún Mach-kúpba kerül

5 a) Legyen a egfigyelő a talaj C pontjában! A hang beérkezésének pillanatában a gép a B pontban van, de azt a hangot, aely elsőnek érkezik a egfigyelő fülébe, a gép az A pontban bocsátotta ki Első feladatunk az x =AC távolság eghatározása Jelöljük t-vel azt az időt, aely alatt a gép A-ból B-be, a hang pedig A-ból C-be jutott Mivel M = v =, az AB távolság x Tekintve, hogy α = 0 o, az ABC hároszög C-nél levő c szöge 90 o Így az ACD hároszög C-nél levő szöge szintén 90 o (ACD egy egyenlő oldalú hároszög h fele) Ezért CD = = cos 0, ahonnan x h 000 x = = = 77, cos 0 0, 866 A repülőgép akkor, aikor a fülünkbe elsőnek érkező hangot kiadta, tőlünk x = 77, -re, kb,77 k-re volt b) Aikor ez a hang a fülünkhöz ért, a repülőgép ár a B pontban tartózkodott, aely tőlünk CA = x = x = 77, = 0000 = 0 k távolságra volt, 000 agasságban 4/A feladat Két azonos, V térfogatú tartály elhanyagolható térfogatú összekötő csövében zárt szelep található A jobb oldali tartályban vákuu van, a bal oldaliban T hőérsékletű héliu gáz, aelyet dugattyú zár le A szelepet kissé kinyitjuk, így a gáz kezd lassan átáralani a jobb oldali tartályba A gáz átáralása közben a dugattyút úgy ozgatjuk, hogy a gáz nyoása indvégig állandó aradjon A kezdeti hőérséklet hányszorosára növekszik a gáz T vég hőérséklete az átáralás végén, ha a tartályok hőkapacitása elhanyagolható, a dugattyú hőszigetelő, a gáz és környezete között nincs hőcsere, azonban a két tartály tökéletes hőérsékleti kontaktusban van egyással, ai azt jelenti, hogy a két tartályban indig azonos a hőérséklet? T, V He V vákuu I Megoldás A gáz áralása akkor fejeződik be, aikor a jobb oldali tartályban is ugyanakkora nyoás jön létre, int a bal oldali állandó p nyoás A dugattyút nyilván lefelé kell ozgatni, hogy fenntarthassuk a kezdeti nyoás állandóságát A dugattyú ozgatásakor unkát végzünk a gázon, aelynek nagysága az állandó nyoás iatt W = p V Ez a unka teljes egészében a gáz belső energiáját növeli, ert a rendszerrel hőcsere ne történt: f f f p V = Nk T = nna k T = nr T Jelöljük q-val azt a száot (0 < q < ), ai egutatja, hogy p, V ennyire csökken le a bal oldali tartály térfogata: V vég = q V p, q V

6 Írjuk fel a héliura a gázegyenletet a szelep kinyitása előtt, valaint az átáralás végén, továbbá alkalazzuk az összenyoás folyaatára a terodinaika I főtételét: pv = nrt, ( q + ) V nrtvég p = ( q) V = nr( T T ) p vég, ert a héliura f = Az első és ásodik egyenletből kifejezzük a q száot A haradik egyenletbe beírjuk az első két egyenletből kapott nrt értékeket: p ( q) V = ( nrtvég nrt ) = [ p ( q + ) V pv ] = q pv Végül p ( q) V = q pv pv qpv = q pv q = q q =, vagyis a bal oldali tartály térfogata a kezdeti érték 40 % -ára csökken A fenti két állapotegyenletből q segítségével kifejezhetjük a véghőérsékletet: ( q ) V = ( q + ) nrt nrtvég p + = Innen 7 Tvég = ( q + ) T = T Tehát a héliu hőérséklete a kezdeti nyoás és térfogat értékétől függetlenül a kezdőhőérséklet 7 szörösére növekszik II Megoldás Egyszerűség kedvéért jelöljük a folyaat végén a bal oldali tartályban levő gáz térfogatát V -gyel, és hőérsékletét T -gyel! A kezdő- és végállapotban az energia és az állapotegyenlet a ólhővel elírva: E = ncv T ill pv = nrt és = nc T ill p V + V = nrt () ( ), E v ahol tehát az -s indexű ennyiségek a végértékeket jelentik Az első főtétel szerint Itt az utolsó tag a gázon végzett unka A pv értékét ()-ből kifejezve és ()-be írva: v v ( V ) nc T = nc T + p V () ( nrt pv ) = nc T + pv nrt = nc T + nrt nrt ncvt = ncvt + pv v v A ólhő beírásával: n RT = n RT + nrt nrt nr rel egyszerűsítve, ajd átrendezve a hőérsékletek aránya adódik: 7 T T = T + T T T = T = T 7

7 4/B feladat Egy akkuulátor sorosan kapcsolt N cellából áll, indegyik cella elektrootoros ereje Ε Az akkuulátorról egy ellenálláson keresztül C kapacitású kondenzátort töltünk fel kétféleképpen Először a sorosan kapcsolt ellenállást és kondenzátort egyszerűen az akkuulátor kivezetéseihez kapcsoljuk A ásodik esetben a soros kondenzátor-ellenállás rendszert először az akkuulátor első cellájához kötjük, ajd az első két cellához, ezt követően az első háro cellához, és így tovább, íg végül az összes cellához Melyik esetben fejlődik több hő az ellenálláson, és ekkora a két esetben a keletkező hők aránya? Megoldás A kondenzátor végső energiája indkét esetben: CU = C( NΕ ) Az első esetben az akkuulátor által végzett elektroos unka: W = QU = ( CU ) U = CU = C( NΕ ), ainek a fele a kondenzátor energiáját növeli, ásik fele pedig az ellenálláson felszabaduló Joule-hő: C( NΕ ) A ásodik ódon történő töltésnél a k-adik lépésben (k =,,,,N) az akkuulátor által végzett unka: Q C N Ε Wk = Q U k = ( k Ε ) = ( k Ε ) = C k Ε N N Ha ind az N lépést elvégezzük, akkor az akkuulátor által végzett teljes unkát a következő összegezéssel száíthatjuk ki: N N N ( N + ) W = C k Ε = C Ε k = C Ε = C( NΕ ) + CNΕ k = k = Az összeg első tagja egadja a kondenzátor energia-növekedését, a ásodik tag pedig az ellenálláson felszabaduló Joule-hővel egyezik eg Látatjuk, hogy a Joule-hő az első esethez képest N-ed részére csökkent A feladatot grafikusan is egoldhatjuk, ha ábrázoljuk a kondenzátor és az akkuulátor feszültségét a kondenzátoron egjelenő töltés függvényében: U U Q Q A besatírozott területek felelnek eg az ellenálláson felszabaduló Joule-hőnek A ásodik esetben inden kis hároszög terülte N -ed része a bal oldali grafikonon látható hároszögnek A kis hároszögekből összesen N darab van, tehát összesen /N-szerese a nagy hároszög területének Összefoglalva tehát egállapítható, hogy az ellenálláson az első esetben keletkezik több Joule-hő, égpedig N-szer annyi, int aennyi a ásodik esetben szabadul fel

8 A 006/007 tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulányi Verseny első fordulójának pontozási útutatója a III kategória száára A dolgozatok elkészítéséhez inden segédeszköz használható Megoldandó az első háro feladat és a 4/A és 4/B sorszáú feladatok közül egy szabadon választott Csak 4 feladat egoldására adható pont Ha valaki feladat egoldását küld be, a 4/A és 4/B feladat közül a több pontot elérő egoldást vesszük figyelebe Minden feladat teljes egoldása 0 pontot ér Részletes, egységes pontozás ne adható eg a feladatok terészetéből következően, ugyanis egy-egy helyes egoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet A feladat nuerikus végeredényével egközelítően azonos eredényt kihozó egoldó erre a részfeladatra 0 pontot kap, aennyiben elvileg helytelen úton jut el Fizikailag érteles gondolatenet estén a kis nuerikus hiba elkövetése ellenére (a részfeladat terjedelétől függően) pont vonható le A III kategória feladategoldásainak pontozása feladat Annak feliserése, hogy a bolygó forgásidejének ilyen kapcsolata van a test Súlykülönbözetével A bolygó egyenlítőjére helyezett test ozgásegyenletének helyes felírása A testre ható erőknek a gravitációs erőtörvénnyel való helyes felírása A bolygó töegének a sűrűséggel és térfogattal való behelyettesítése A bolygó periódusidejének kifejezése A periódusidő helyes nuerikus egadása 4 pont 4 pont pont pont 4 pont pont feladat a) A keverék állapotegyenletének helyes felírása Az edényben levő keverék ennyisége ólban kifejezett értékének kifejezése pont A héliu töegének helyes kiszáítása 4 pont A hidrogén töegének egadása pont b) A héliu parciális nyoásának kifejezése 4 pont A héliu parciális nyoásának nuerikus egadása pont feladat b) A hang hulláfrontja haladásának helyes feliserése A geoetriai adatok helyes feliserése Az általunk először hallott hang kiadásának pillanatában tartózkodó repülőgép távolságának eghatározása

9 A hang eghallásának pillanatában a gép tartózkodási helyének egadása 4/A feladat Annak feliserése, hogy a folyaat csak addig tart, íg a két tartályban azonossá válik a nyoás A gáz kezdő- és végállapotára állapotegyenlet helyes felírása A terodinaika I főtételének folyaatra vonatkozó helyes alakja A bal oldali edény térfogatcsökkenésének kifejezése A gáz hőérsékletnövekedésének eghatározása pont pont 4/B feladat A kondenzátor végső elektrosztatikus energiájának felírása Az akkuulátor által végzett elektroos unka kifejezése az első ódszerrel való töltésnél A joule-hő eghatározása az első esetben A ásodik ódon történő unkavégzés felírása szátani sorozattal A kapott összeg értelezés A hőveszteségek arányának eghatározása pont 4 pont pont pont pont