A 2010/2011. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

Átírás

1 A 2010/2011. tanévi FIZIKA Országs Középisklai Tanulányi Verseny ásdik frdulójának feladatai és egldásai fizikából I. kategória A dlgzatk elkészítéséhez inden segédeszköz használható. Megldandó az első két feladat és a 3/A és 3/B srszáú feladatk közül egy szabadn választtt. Ha valaki ind a 3/A és 3/B feladat egldja, akkr csak a több pntt elérő egldást vesszük figyelebe. Minden feladat teljes egldása 20 pntt ér. 1. Az ábrán látható elrendezésben az töegű test és a vízszintes sínpár közti tapadási és csúszási súrlódás együtthatója egyaránt µ. A testhez egy D rugóállandójú rugót erősítettek, ely a vízszintessel lefele α = 30 szöget zár be. A rugót ásik végénél fgva nagyn lassan, egyenletesen nyújtani kezdjük. Ha a test elindul, az erőt tvább ne növeljük, az erő nagysága és iránya is állandó arad. a.) Mekkra unkával lehet a rugót z-vel egnyújtani? b.) Miniálisan ekkra unka árán lehet a testet a talajn s-sel arrább juttatni? c.) Mekkra unka árán lehet a testet a talajn s-sel arrább juttatni, ha az α szöget 30 - ról 70 -ra váltztatjuk? Adatk: D = 150 N/, = 4 kg, µ = 0,4, z = 5 c, s = 5 c, g = 10 /s 2. Megldás: a) Nézzük eg, ekkra egnyúlás esetén arad ég helyben a test. A rá ható erőket vízszintes és függőleges összetevőkre bntva az egyensúly feltétele és S µ K Dx cs a = S Dx sin α + g = K, ahl x a rugó egnyúlása és K az ábra szerinti kényszererő. K helyébe S -t írva adódik: µ S Dx cs a = S Dxsin α + g =, µ 2010/ OKTV 2. frduló

2 aelyet x-re egldva a következőt kapjuk: µ g 0, 4 4 kg x = = 0,16. D( csα µ sinα) N 150 ( cs30 0,4sin 30 ) Mivel a egadtt adatknál z kisebb x ax -nál, a test helyben arad. Így a unka a rugó egnyújtására frdítódtt (a rugó energiáját növelte), tehát W 1 1 N = Dz = 150 0,05 = 0,1875 J 0,19 J. b) Ebben az esetben el kell érni a egnyúlásnak az előbbi x ax értéket. Az ehhez szükséges unka N 2 2 ax 150 0,16 1,92 J. 2 Dx = 2 = A tvábbiakban a rugó tvább ne nyúlik és a test egyenletesen zg. A unka ebben a tartányban N S s= Dxax csα s= 150 0,16 cs30 0,05 = 1,04J. Tehát az összes unka 1,92 J + 1,04 J = 2,96 J c) Ebben az esetben a egnyúlás kifejezésének nevezőjében szereplő csα µsinα = - 0,034, tehát negatív, az előző gndlatenet ne vezet eredényre, vagyis nincs lyan x ax, aely esetén a test elzdul. Érdekes egvizsgálni, hgy ekkra α szög esetén ne zdul eg a test, bárekkra is a rugó x egnyúlása. A rugóerőt R-rel jelölve egyensúly esetén: ( sin ) Rcsα µ g+ R α inden R-re. Elegendően nagy R esetén g elhanyaglható R ellett, így Rcsα µ Rsin α R µ Rtg α, tehát tg α a egadtt adatkkal α = arctg = arctg = 68,2 µ µ 0, 4 0 Esettünkben: α > 68.2, tehát bárekkra unkát is végzünk (a rugó nyújtásával), a test helyben arad, vagyis seekkra unka árán ne lehet arrébb zgatni. 2010/ OKTV 2. frduló

3 2. Egy sík-dbrú üveglencse körlapjának átérője 10 c, göbfelületének sugara szintén 10 c. Az ptikai tengely entén egy vékny fénysugárral világítjuk eg a lencse sík ldalát. A lencse túlsó ldalán egkeressük a fókuszt, és tt az ptikai tengelyre erőlegesen elhelyezünk egy ernyőt. Ezután a vékny fénysugarat kiszélesítjük, íg végül 10 c átérőjű hengeres fénynyalábbal világítjuk eg a lencsét úgy, hgy a nyaláb tengelye egybeessen az ptikai tengellyel. A lencse anyagának törésutatója 1,5. a) Milyen essze van az ernyő a lencse dbrú felületétől? b) Mekkra átérőjű fltt látunk az ernyőn? Megldás: a) Mivel a igen vékny fénysugár esetén a lencse kihasznált része vékny lencsének felel eg, ezért alkalazhatjuk a diptriát eghatárzó, vékny lencsékre vnatkzó összefüggést: 1 1 R 0,1 ( n 1 ) f f = R = n 1 = 1,5 1 = 0, 2 = 20 c. A lencse fókusztávlsága 20 c tehát a lencse felületétől az ernyő 20 c-re van. b) A széles fénynyaláb esettén ez a lencse ár egyáltalán ne a vékny lencsék törvénye szerint űködik, vagyis ne az előbb kiszáíttt fókuszpntban egyesülnek a szélső sugarak. Ezért csak a fénytörés általáns törvényeit alkalazhatjuk. Az ernyőn keletkező fényflt átérőjének eghatárzásáhz a fénynyaláb legszélső sugarainak enetét kell egvizsgálnunk. A legszélső sugár(is) a lencse síklapján át törés nélkül halad a göbfelületig, ahl a lencse legszélét éppen 30 -s beesési szöggel éri el. A kilépési szög Snellius-Descartes törvénye alapján: sinα 1 β arcsin ( n sinα) arcsin ( 1,5 sin 30 ) 48,59. sin β = n = = = Az ptikai tengellyel párhuzas irányhz képest tehát 48,59 30 = 18,59 -s szögben halad a felső sugár az ernyő felé, ait az ptikai tengely alatt ér el. A lencse sík lapjának az ernyőtől való L távlsága a göbsüveg agasságának és a fókusztávlságnak az összege. A göbsüveg agassága a göbsugár és Rcsα különbsége, ahl a speciális adatk iatt α = 30. Így a keresett agasság 10 c.cs30 = 8,66 c. Tehát a lencse sík lapja L = 21,34 c-re van az ernyőtől. Ezt felhasználva eghatárzhatjuk, hgy 2010/ OKTV 2. frduló

4 az ptikai tengelytől ilyen távl éri az ernyőt a szélső sugár. Az ábra szerint ui. a szélső sugár eredeti irányától a becsapódás helye L.tg18,59 = 7,2 c-re van, aiből az r = 5 c-t levnva eghatárzzuk az ernyőhöz érkező szélső sugárnak a fókuszpnttól ért távlságát, aire 7,2 c 5 c = 2,2 c-t kapunk. Eszerint a fényflt az ernyőn 4,4 c átérőjű lesz. 3/A Légpárnás asztaln úgy helyezünk el hat darab, r sugarú krngt, hgy középpntjaik egy szabálys a ldalú hatszöget alkssanak. Az egyik krngt v 0 sebességgel indítjuk úgy, hgy a sebességvektr ϕ szöget zárjn be a szszéds ldallal. A rugalas ütközések srán indegyik krng zgásba jön. Az érintkező felületek közötti súrlódás elhanyaglható. a) Határzzunk eg egy lehetséges ϕ szöget! b) Mennyi idő telik el az első és az ötödik ütközés között? Adatk: a = 10 c, r = 2 c, v 0 = 4s. Megldás: a) Az egyik lehetséges egldás az, ha inden ütközés után az aktuális a ldalhz visznyítva azns ϕ szöggel indul a következő krng. Az első ütközés következtében elinduló ásdik krng sebességvektra akkr fg szintén ϕ szöget bezárni a következő ldaléllel, ha az ütközés után a sebessége és az érkező krng sebessége 60 -s szöget zár be egyással. Ez az ábra szerinti hárszög esetén teljesül. A szinusz-tétel alapján: sinϕ = sinϕ = sin120 = 0,3464 ϕ = 20,27 sin120 a a b) Vizsgáljuk tvábbra is az első ütközést! Legyen az ütközés után az első krng sebességvektra u r r, a ásdik krngé v! A rugalas ütközésre igaz a lendület-, és energia-egaradás törvénye: r r r v = u+ v v = u + v Az egyszerűsítések után: r r r v = u + v (1) v = + v (2) u 2010/ OKTV 2. frduló

5 Az (1) egyenlet azt jelenti, hgy a hár sebességvektr egy hárszöget alkt, a (2) egyenlet visznt azt, hgy ez a hárszög derékszögű. Azt ár krábban beláttuk, hgy az u-val szeközti szög 60. Így könnyen egkapjuk, hgy a 2. krng v = v/2 sebességgel indul. Hasnlóan kapjuk, hgy a haradik krng sebessége v = v /2 = v/4 lesz, és így tvább: v = v/8, v = v/16. Két szszéds ütközés között egy krng által egtett a útra igaz: ( ϕ) a ( ϕ) sin 60 sin 60 a sinϕ sinϕ Az első és az ötödik ütközés között eltelt idő: ' = = 7,38 c. a a a a a a t = = ( ) = 30 0,55 s.. v v v v v v 3/B. A Vénusz légkörét nagyrészt széndixid és nitrgén alktja, de található benne többek között egy kevés kéndixid is, ai a Vénusz atszférájának legnehezebb alktóelee. Képzeljük el, hgy a Vénusz légkörében lévő összes kéndixidt összegyűjtjük, és egyenletesen elterítjük a felszínen úgy, hgy ne váltztatjuk eg a jelenlegi nyást és hőérsékletet. Milyen vastagn brítaná így a Vénusz felszínét tiszta kéndixid? (A egldáshz csak a következő adatkat használhatjuk fel: a kéndixid láris töege: 64 g/l, a kéndixid töegszázaléks aránya a Vénuszn: 0,015 %, a gravitációs gyrsulás a Vénusz felszínén: 8,2 /s 2, a felszíni hőérséklet: 800 K, a gázállandó: 8,31 J/l K.) Megldás: A Vénusz felszínén legyen a nyás p, a felszín területe A, a gravitációs gyrsulás g. Így a Vénusz légkörének töegét a következőképpen fejezhetjük ki igen jó közelítéssel: g = pa. Ha a kéndixidt a felszínen egyenletesen elterítenénk, akkr annak nyása indenütt ugyanakkra lenne, int a fenti összefüggésben szereplő nyás, ert a Vénuszn kevés a kéndixid. Írjuk fel az ideális gáz állaptegyenletét a kéndixidra: pv = nrt = M g A SO SO 1,5 10 M ( Ah) = RT, aiből a kéndixid h vastagsága eghatárzható: h 1, SO RT / OKTV 2. frduló

6 Pntzási útutató Minden feladat teljes egldása 20 pntt ér. Részletes, egységes pntzási útutató ne adható eg a feladatk terészetéből következően, ugyanis egy-egy helyes egldáshz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. A feladat nuerikus végeredényével egközelítően azns eredényt kihzó egldó erre a részfeladatra 0 pntt kap, aennyiben elvileg helytelen útn jut el. Fizikailag érteles gndlatenet estén a kis nuerikus hiba elkövetése ellenére (a részfeladat terjedelétől függően) 2 3 pnt vnható le. Ha a egldó csak paraéteresen adja eg a helyes gndlatenettel kaptt eredényt, 2 pntt veszít. Az 1. feladat pntzása a) A test helyben aradásának általáns feltétele 5 pnt A unka kiszáítása 3 pnt b) Az elindulásig végzett unka kiszáítása 2 pnt A teljes unka kiszáítása 3 pnt c) Ne zdul el a test 7 pnt Összesen 20 pnt A 2. feladat pntzása a) A lencse fókusztávlságnak eghatárzása 5 pnt b) Annak feliserése, hgy a legszélső nyaláb törését kell vizsgálni 5 pnt A sugárenet helyes kiszáítása 5 pnt Az ernyőn létrejövő fényflt éretének helyes eghatárzása 5 pnt Összesen 20 pnt A 3/A feladat pntzása a) Annak feliserése, hgy ha v és v 60 -t zár be egyással, akkr indegyik eglökött krng ϕ szöget zár be a szszéds ldallal 4 pnt A szinusz-tétel segítségével a ϕ szög eghatárzása 2 pnt b) Annak feliserése, hgy a rugalas ütközésre igaz a lendület-, és energia-egaradás törvénye, valaint azk helyes felírása 1+1 pnt A egaradási törvényekből arra következtetni, hgy ' v, v, és u egy hárszöget, ill. egy derékszögű hárszöget alkt 2+2 pnt Az ütközések utáni sebességek eghatárzása pnt A krng a útjának eghatárzása a szinusz-tétel segítségével 1 pnt A keresett időtarta helyes felírása és kiszáítása. 1+1 pnt Összesen: 20 pnt A 3/B feladat pntzása A légkör súlyának közelítő kifejezése a felszíni nyással 8 pnt Az ideális gázk állaptegyenletének felírása a kéndixidra 4 pnt A kéndixid rétegvastagságának kifejezése az előző két egyenletből 2010/ OKTV 2. frduló 8 pnt Összesen: 20 pnt