5. FEJEET silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás 5.1. Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása 5.1.1. Beveető megjegések.tista hajlításról besélünk, ha a rúd eg adott sakasa csak hajlításra van igénbe véve. Másként fogalmava, ha a adott sakason belül a rúd minden eges kerestmetsetének egetlen, a kerestmetset síkjában fekvő hajlítónomaték a igénbevétele. jelen 5.1. sakas célja tista egenes hajlításnak 1 kitett primatikus rúd alakváltoási és fesültségi állapotának a tistáása. kedetben feltételeük, hog a rúdnak van simmetriasíkja, amel egbeesik a KR síkjával. Magát a KR-t a megsokott módon vesünk fel, aa a vísintes tengel a rúd hosstengele, a tengel pedig felfelé mutat. tista hajlítás feladatával össefüggésben só esik a kerestmetsetek másodrendű nomatékairól is. 5.1.. Tista egenes hajlításra igénbevett rúd silárdságtani állapota. 5.1. ábra eg téglalapkerestmetsetű rudat, a rúd terhelését, valamint a rúd T níróerő ésm h nomatéki ábráját semlélteti. Leolvasható a igénbevételi ábrákról, hog a rúd két támas köötti sakasának tista hajlítás a igénbevétele. Tegük fel, hog a rúd és B kerestmetsetei F B F l a F L F a T F F M h =M h af af 5.1. ábra. 1 egenes jelő jelentését a (5.16) képletet követő második bekedésben v.ö.: 130. o. tistáuk. 15
P P P l P P M -M M =M h e Φ l O 5.. ábra. elegendő távolságra vannak a támasoktól ahho, hog ne legen hatással a két támas össhangban a aint Venant elvvel a B rúdsakas silárdságtani állapotára. továbbiakban a B rúdsakas a visgálatok tárga. visgálatok megkönnítése érdekében a, és koordinátasíkokkal párhuamos síksorok segítségével elemi kockákra bontjuk fel gondolatban a B rúdsakast. 5.. ábra a rúdsakas jobboldalára néve semlélteti a ténleges visonokat érékeltető erős nagításban a felostást mind a alakváltoás előtti, mind pedig a alakváltoás utáni állapotra néve. alakváltoási visonokat illetően a alábbiakat figelhetjük meg: 1. terhelés előtt tengellel párhuamos anagi vonalak (egenesek) körívekké görbülnek. terhelés előtt aonos koordinátájú anagi vonalaknak aonos a görbületi sugara a alakváltoás után. felső anagi vonalak megnúlnak, a alulsó anagi vonalak megrövidülnek, a alakváltoás előtt =0koordinátájú anagi vonalak hossa aonban váltoatlan marad.. terhelés előtt tengellel párhuamos anagi vonalak (egenesek) is körívekké görbülnek. Figeljük meg baloldali ábraréslet, hog a terhelés előtt aonos koordinátájú anagi vonalaknak is aonos a görbületi sugara a alakváltoás után. felső anagi vonalak megrövidülnek, a alulsó anagi vonalak megnúlnak, a alakváltoás előtt =0 16
koordinátájú anagi vonalak hossa pedig váltoatlan marad. tengellel párhuamos anagi vonalak egenesek maradnak a alakváltoás során, de elfordulnak. és tengelekkel párhuamos anagi vonalak által alkotott háló ortogonális marad. 3. síkkal párhuamos síkok olan síkok maradnak, meleknek a O ponton átmenő és a tengellel párhuamos egenes a köös tartóegenese. ábra a véglapok és a P pont esetén feltünteti eeket a élben látsó síkokat. Jól látsik a ábrán, hog a kerestmetsetek úg fordulnak el a irán körül, hog a körívekké görbült iránú sálakra minden pontban merőlegesek maradnak. 4. eredetileg kockákból felépülő hálóból, össhangban a fentebb mondottakkal, új ortogonális háló jön létre. alakváltoási visonok tekintetében abból a körülménből, hog a háló ortogonális marad aonnal követkeik, hog érus értékűek a sögtorulások: γ = γ = γ =0. (5.1) mi a fajlagos núlásokat illeti a mérési megfigelések serint a tengelre merőleges (kerestiránú), ε k = ε = ε fajlagos núlások és a tengellel párhuamos (hossiránú) ε fajlagos núlás köött a első alapkísérlet kapcsán már sereplő v.ö.: (3.6) össefüggés áll fenn: ε k = ε = ε = νε (5.) fentiek serint, ellentétben a első alapkísérlet során visgált húás (nomás) esetével, nem homogén a alakváltoási állapot, hanem függ a heltől a alakváltoási tenor, hisen pl. poitív esetén poitív a ε, negatív esetén pedig negat1v a ε. További megfigelés, hog a adott koordinátájú a terhelés előtt a -vel párhuamos hossiránú sál minden eges pontjában aonos a ε fajlagos núlás. visonok tistáása érdekében sámítsuk ki et a értéket. alakváltoás után, amint a jól leolvasható a ábráról, (ρ + ) Φ l a =0koordinátájú hossiránú sál mérete, ahol ρ a =0sál görbületi sugara a alakváltoás előtti méret pedig l = ρφ l (5.3) hisen nincs hossváltoás, ha a =0. Követkeésképp P e e e ahonnan ε = (ρ + ) Φ l l l = (ρ + ) Φ l ρφ l ρφ l, ε = ρ. (5.4) (5.1), (5.) és (5.4) képletek alapján = ε 0 0 0 ε 0, 0 0 ε (5.5a) ε = ε = νε = ν ρ, ε = (5.5b) ρ a alakváltoási tenor mátria. teljesség kedvéért diadikus alakban is felírjuk a alakváltoási tenort: 5.3. ábra. = ε e e + ε e e + ε e e. (5.5c) Mivel valamenni sögtorulás érus a rúd minden eges pontjában párhuamosak a alakváltoási tenor főtengelei a válastott KR, és koordináta tengeleivel. Vegük at is ésre, hog a fajlagos núlások a koordináta lineáris függvénei. Ebből a függvénkapcsolatból követkeik, hog =0 esetén, aa a un. semleges rétegben, érus a alakváltoási tenor. alakváltoási tenort aal a feltevéssel semlélteti fentiek alapján a 5.3. ábra a elemi triéderen, hog poitív a koordináta, aa poitív a ε is. 17
Nilvánvaló, hog a fajlagos núlások képleteiben sereplő ρ görbületi sugár a M h nomaték függvéne, hisen a nagobb nomaték jobban meggörbíti a B rúdsakast. függvénkapcsolat jellegét a fesültségek ismeretében tistáuk majd. mi a fesültségek sámítását illeti abból kell kiindulni, hog a (3.18) egenlet serint fennáll a = 1+ν E T νε E össefüggés, ahonnan T = E 1+ν + νe 1+ν ε E. utóbbi egenletből, a (5.5a,b) képletek helettesítésével, a T = E ν ρ 0 0 0 ν ρ 0 + 1+ν 0 0 ρ vag ami ugana, a T = νe 1+ν ρ 0 0 0 0 0 0 0 0 σ eredmén követkeik. kalár alakban írva 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = 0 0 0 0 0 0 0 0 E ρ E 1+ν 1 0 0 0 1 0 0 0 (1+ν) ρ, (5.6) σ = Eε = E ρ (5.7a) és σ = σ = τ = τ = τ =0 (5.7b) a fesültségek értéke. Diádokkal írva T = ρ e = σ e {} e (5.8) ρ a fesültségi tenor. Nilvánvaló fentiek alapján, hog a rúd bármel pontjában a fesültségi tenor eg főiránhármasát adják a, és koordináta-tengelekkel párhuamos egenesek. Maga a fesültségi állapot egtengelű. tetsőleges P pont kerestmetsetét igénbevételével egütt a 5.4.(a) ábra, a σ (, ) = σ () lineáris fesültség eloslást pedig a 5.4.(b) ábra semlélteti. ábra feltünteti emellett a P pont fesültségi állapotát semléltető elemi kockát, valamint a Mohr-féle résleges fesültségi kördiagramot is. a b c d mn e=b/ e=b/ P a M h Y n 5.4. ábra. Össhangban a fentiekkel a rúd bármel poitív, aa e normálisú kerestmetsetén ρ = σ e = E ρ e (5.9) 18
R d 5.5. ábra. F = a fesültségvektor. kerestmetset aon egenesét, ahol érus értékű a fesültségvektor (e a σ (, ) felület és a kerestmetset síkjának metsésvonala) semleges tengelnek, vag érusvonalnak neveük. jelen esetben e a tengellel esik egbe. 5.5. ábra a rúd eg kerestmetsetén megosló ρ belső erőrendsert és a érusvonalat aonometrikus képen semlélteti. Mivel a kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser kerestmetset súlpontjába redukált [F, M ] redukált vektorkettőse egetlen M h e erőpárral kell, hog legen egenértékű fenn kell állnia a 5.5. ábra alapján írható ρ d =0, M = R ρ d = M h e (5.10) egenleteknek. (5.9) képlet helettesítésével a (5.10) 1 egenletben álló integrálra, a eredőre, valóban a kívánt F = ρ d = E d e =0 (5.11) ρ eredmén adódik, hisen a megjelölt képletrés a kerestmetset súlponti tengelére vett statikai nomatéka és a aonosan érus. F eredő érus volta a magaráata annak, hog a kerestmetsetek geometriai köéppontjait (súlpontjait) össekötő köépvonal (a súlponti sál) nem váltotatja meg a hossát a hajlítás során. (5.9) képlet és a helvektort adó R = e + e össefüggés helettesítésével a (5.10) egenletben álló integrál, a eredő nomaték, a alábbiak serint alakítható tovább: M = R ρ d = E (e + e ) e d = E de de (5.1) ρ ρ I I fenti egenletben megjelölt első képletrés a kerestmetset súlponti tengelre sámított (vett) másodrendű nomatékátértelmei: I = d>0. (5.13a) Mivel a integrandus mindig poitív a tengelre sámított másodrendű nomatékiscsak poitív menniség lehet. (5.1) egenlet második megjelölt képletrése a kerestmetset súlponti tengelpárra sámított (vett) másodrendű nomatékát más elneveés serint a veges másodrendű nomatékot értelmei: I = d. (5.13b) E a menniség poitív, nulla és negatív egaránt lehet. Vegük ésre, hog a fentiekben definiált másodrendű nomatékok csak a kerestmetset geometriai jellemőitől annak alakjától és méreteitől függenek. jelen esetben, amint at a 5.4. Mintafeladatban is megmutatjuk majd lásd a 144. o., érus a veges másodrendű nomaték, mivel a tengel simmetriatengel. Ennek figelembevételével vetve egbe a (5.10) és a (5.1) képleteket kapjuk, hog κ = 1 ρ = M h I E. (5.14) utóbbi egenlet a keresett kapcsolat a κ görbület, a ρ görbületi sugár és a M h hajlítónomaték köött. kapott eredmén (5.4) és (5.7a) képletekbe történő helettesítésével a ε 19
fajlagos núlás és a σ normálfesültség a M h hajlítónomatékkal fejehető ki: ε = M h I E, σ = M h I. (5.15) most felírt össefüggéseknek a a jelentősége, hog numerikus össefüggéseket adnak a rudat terhelő M h hajlítónomaték, a rúd anagára jellemő E rugalmassági modulus, a rúd kerestmetsetének geometriai adataitól függő I,aρ görbületi sugár, a ε fajlagos núlás, valamint a σ fesültség köött. Bár nem mutatjuk meg formálisan, de a eddigi gondolatmenet és a vonatkoó képletek akkor is érvénesek maradnak, ha negatív a M h hajlítónomaték. Továbbmenve a kapott képletek a primatikus rudakra néve akkor is igaak maradnak, ha ha a rúd nem téglalap kerestmetsetű, érus értékű a veges másodrendű nomaték, aa fennáll a I =0egenlet (pl. a vag tengel simmetriatengel) M = M h e a rúd igénbevétele (tista hajlítás esete forog fenn). későbbiekben igaoljuk, hog nem simmetrikus kerestmetsetek esetén is mindig található olan súlpontho kötött egmásra kölcsönösen merőleges, tengelpár melre néve I =0. Eeket a tengeleket tehetetlenségi főtengeleknek fogjuk neveni. 5.6. ábra olan kerestmetseteket semléltet, melekre néve főtengelek a, súlponti tengelek. M h M h M h 5.6. ábra. kerestmetseten megosló belső erőrendser kerestmetset súlpontjára sámított M = M h e + M h e + M c e (5.16) M h nomatékának a kerestmetset síkjába eső és a fenti képletben külön is megjelölt M h rése a hajlítónomaték-vektor. Egenes hajlításról besélünk akkor, ha a hajlítónomaték vektor párhuamos a kerestmetset egik súlponti tehetetlenségi főtengelével. Ha nem párhuamos a hajlítónomaték vektor a kerestmetset valamelik súlponti tehetetlenségi főtengelével, akkor a hajlítást ferde hajlításnak neveük. Nilvánvaló a eddigiek alapján, hog tista hajlítás esetén érvénesek és hasnálhatók a (5.4), (5.5a,b), (5.6), (5.7a,b) (5.14) és (5.15) képletek, feltéve hog a hajlítónomaték M h = M h e alakú, a tengel tehetetlenségi főtengel a rúd pedig primatikus. (5.15) képlet serint poitív M h esetén a felső sélső sálban ébred a legnagobb poitív normálfesültség (húófesültség) és a alsó sélső sálban kapjuk a legnagobb absolút értékű negatív normálfesültséget (a legnagobb nomófesültséget). Negatív M h esetén a visonok fordítottak, a felső sélső sálban negatív, a alsó sélső sálbanpedigpoitívσ ébred. 130
Ha megsorouk a görbületet adó (5.14) képletet a rúd l hossával és figelembe vessük a (5.3) össefüggést, akkor a B rúdsakas véglapjainak (sélső kerestmetseteinek) egmásho visonított Φ l = l ρ = M hl (5.17) I E sögelfordulását kapjuk. tista hajlításra igénbe vett B rúdsakas alakváltoási energiáját a (3.5) alapján felírt u = 1 σ E fajlagos alakváltoási energia rúdsakas V térfogatán vett integrálja adja, ha helettesítjük a σ -t adó (5.15) össefüggést: U = u dv = 1 V l I (5.13a) alatti értelmeését is helettesítve U = 1 σ E d d = 1 M h l IE d d. l M h I E d (5.18) a eredmén. Tovább egserűsödik a fenti képlet, ha figelembe vessük, hog állandó a M h hajlítónomaték: U = 1 Mh l I E. (5.19) fenti össefüggés egúttal, össhangban a (.96) és (5.17) képletekkel, a B rúdsakasra működő M h hajlítónomaték W K munkája a hajlítónomaték hatására bekövetkeő Φ l sögelfordulás során: U = W K = 1 M hφ l. 5.1.3. Ellenőrés, méreteés. alábbiak a tista hajlításra igénbevett rúd fesültségcsúcsra történő ellenőrésének és méreteésének kérdéseit tekintik át. σ ma fesültséget a σ ma =ma σ (5.0) módon értelmeük a kerestmetseten. Ha a anag egformán viselkedik húásra és nomásra, akkor at fogjuk megkövetelni, hog e a érték előírt korlát alatt maradjon. Ha a anag nem viselkedik egformán a húásra és nomásra, akkor a húófesültségek és a nomófesültségek maimumai külön-külön előírt korlátok alatt kell, hog legenek. jelen esetben e a követelmén a úgneveett fesültségcsúcsra történő ellenőrés illetve méreteés alapja. Ha egforma a sélső sálak távolsága a tengeltől a húott illetve nomott oldalakon, et a esetet a 5.7. ábra a 5.6. ábrán is megrajolt tengelre simmetrikus I selvénnel semlélteti, akkor σ e ma = M h e = M h I I e = M h, (5.1) K M h ahol K = I (5.) e e a tengelre vonatkoó kerestmetseti téneő. Hanemegformaasélső sálak távolsága a tengeltől a húott illetve nomott oldalakon, et 5.7. ábra. a esetet a 5.8. ábra a 5.6. ábrán is megrajolt T selvénnel semlélteti, akkor két kerestmetseti té- 131
a b M h e 1 M h e 1 e e 5.8. ábra. neőt érdemes beveetni. Jelölje, össhangban a ábrával, e 1 és e a sélső sálak tengeltől mért távolságát. (5.) képlet alapján a két kerestmetseti téneőt a K 1 = I, valamint a K = I e 1 e 1 képletek értelmeik. fenti adatokkal a K = K min =min(k 1,K ). (5.3) képlet értelmei K -et. Tegük fel egelőre, hog egformán viselkedik a anag a húásra és nomásra. Felhasnálva a kerestmetseti téneő fogalmát ha aonos a sélső sálak tengeltől mért távolsága, akkor a (5.), ha nem aonos, akkor pedig a (5.3) képlettel kell dolgoni írhatjuk, hog σ ma = M h. (5.4) K Követkeőleg ellenőrés esetén hivatkova ehelütt a 3..7. sakasra a σ jell fesültség és a n előírt bitonsági téneő fogalmát illetően a σ ma = M h K σ meg = σ jell n (5.5) relációnak kell fennállnia. Legen K s = M h (5.6) σ meg a sükséges kerestmetseti téneő. Követkeőleg méreteés esetén a (5.5) és a (5.6) össefüggések egbevetése alsó korlátot ad a kerestmetseti téneőre: K K s = M h (5.7) σ meg Érdemes hangsúloni, hog e a sükséges (minimális) kerestmetseti téneő csakakkorha- tároa meg egértelműen a kerestmetset alakját, ha a válastott alak csak eg geometriai paraméter (méret) függvéne (pl. körkerestmetset). Ha a válastott alak több geometriai paraméter (méret) függvéne, akkor további sempontok is figelembe vehetők a kerestmetset méreteinek megválastása során. Tegük fel a továbbiakban, hog nem viselkedik egformán a anag a húásra és nomásra. Legen σ meg húás és σ meg nomás rendre a húó-, illetve nomófesültségre vonatkoó megengedett fesültség. Megjegeük, hog a rideg anagok ilen pl. a öntöttvas, vagpedig a beton nomásra lénegesen nagobb fesültséget képesek maradó károsodás nélkül elviselni. Ebből adódóan een anagok esetén fennáll a σ meg húás σ meg nomás reláció. Legen továbbá σ ma húás és σ ma nomás rendre a maimális húó-, illetve nomófesültség. 13
Ha aonos a sélső sálak tengeltől mért távolsága, akkor megegeik egmással e a két érték, aa fennáll a σ ma húás = σ ma nomás = σ ma reláció. Ha nem aonos a két sélső sál tengeltől mért távolsága, akkor a nomaték előjelét is figelembe véve e dönti uganis el melik a húott és melik a nomott oldal kell sámítani a σ ma húás és σ ma nomás fesültségek értékét. Íg például ha poitív a M h, aa a 5.8.(a) ábrán váolt esetben σ ma húás = M h I Eel semben a 5.8.(b) ábrán váolt esetben σ ma nomás = M h I e 1 = M h és σ ma nomás = M h e = M h. (5.8a) K 1 I K e 1 = M h és σ ma húás = M h e = M h. (5.8b) K 1 I K fentiek alapján ellenőrés esetén egidejűleg kell teljesülnie a σ ma húás σ meg húás és a σ ma nomás σ meg nomás. (5.8c) relációknak. Legen K s húás = M h és K s nomás = M h (5.9) σ meg húás σ meg nomás a maimális húó, illetve nomófesültséghe tartoó sükséges kerestmetseti téneő. Nilvánvaló a eddigiek alapján, hog méreteés esetén a fenti két kerestmetseti téneő birtokában lehet csak helesen megválastani a kerestmetset alakját és méreteit. ellenőrés és méreteés megismert össefüggései akkor is alkalmahatók, ha váltoik a hajlítónomaték a rúd hossa mentén, de elhanagolható a hajlítónomatékkal társuló níróerő, pontosabban a níróerő okota nírófesültségek hatása. mint at a össetett igénbevételek kapcsán látni fogjuk akkor hanagolhatók el a nírófesültségek, ha sokkal nagobb a rúd hossa mint a kerestmetset maimális mérete. Ilenkor a ellenőrést, illetve a méreteést arra a kerestmetsetre kell elvégeni, ahol a legnagobb a hajlítónomaték absolút értéke. Et a kerestmetsetet veséles kerestmetsetnek sokás neveni. 5.. íkidomok (kerestmetsetek) másodrendű nomatékai 5..1. Beveető megjegések. 5.1.. alsakas (5.13a,b) képletei olan menniségeket, másodrendű nomatékokat értelmetek, melek csak a tekintett rúdkerestmetset geometriájának függvénei és mint ilenek függetlenek a rúd anagától illetve terhelésétől. jelen 5.. sakasban további másodrendű nomatékokat értelmeünk és résletesen is megvisgáljuk eek tulajdonságait. 5... Másodrendű nomatékok értelmeése. 5.9. ábra a tetsőleges alakú síkidomot semlélteti. koordináta-rendser kedőpontját (origóját) O jelöli. E a pont a sík eg tetsőleges végesben fekvő pontja, aa nem sükséges feltétel, hog a origó a síkidom eg belső pontja legen. d felületelem köéppontjának R = e + e a helvektora. O R d 5.9. ábra. síkidom tengelre sámított I, illetve a tengelre sámított I másodrendű nomatékát, megismételve I tekintetében a (5.13a) képletet, a I = d>0 és a I = d>0 (5.30a) 133
integrálok értelmeik. veges másodrendű nomatéknak pedig, megismételve a (5.13b) képletet, a I = d (5.30b) integrál a értelmeése. Értelmeésükből követkeően a tengelre sámított I és I másodrendű nomatékokpoitív menniségek. I veges másodrendű nomaték poitív, érus és negatív egaránt lehet. okás a fenti másodrendű nomatékok mellett poláris másodrendű nomatékrólbesélni. Etamenniségeta I p = I O = R d = + d (5.31) integrál értelmei. indeben álló p a poláris só első betűje. okás helette a vonatkotatási pontot aonosító betűt, a jelen esetben e O, is hasnálni. is kiolvasható a fenti képletből, tekintettel a (5.30a) 1, képletekre, hog a O pontra sámított poláris másodrendű nomaték a O ponton áthaladó és tengelekre sámított másodrendű nomatékok össege: I p = I O = I + I (5.3) Határouk meg példaként, a későbbi alkalmaásokat is sem előtt tartva téglalap alakú, illetve kör és körgűrű kerestmetset esetén a másodrendű nomatékokat, valamint a kerestmetseti téneőket. 5.10. ábrán váolt téglalapalakú kerestmetset esetén a (5.30a) 1 képlet és a ábra alapján írható, hog b d d I = aa, hog d = b/ b/ ad {} d = a 3 3 b/ b/ I = ab3 1. (5.33a) Értelemserű betűcserékkel kapjuk innen, hog a I = a3 b 1. (5.33b) 5.10. ábra. fenti két képlet és a poláris másodrendű nomaték (5.3) alatti felbontása alapján I p = I = I + I = ab a + b. (5.34) 1 Végeetül a (5.) és (5.33a,b) képletek felhasnálásával sámíthatók a és tengelekre vonatkoó K és K kerestmetseti téneők: K = I b/ = ab 6, K = I a/ = a b 6. (5.35) Körkerestmetset esetén nilvánvaló simmetria okok miatt I = I. Vissaidéve, hog a poláris másodrendű nomatékot erre a kerestmetsetre a (4.48) képlet adja, továbbá felhasnálva, a poláris másodrendű nomaték és a tengelre sámított I és I. nomatékok köötti (5.3) össefüggést írhatjuk, hog I + I =I =I = I p = d4 π 3, 134,
aa, hog I = I = I p = d4 π 64. (5.36) Ismét felhasnálva a (5.) képletet kapjuk a vonatkoó kerestmetseti téneőket: K = K = I d/ = d3 π 3. (5.37) Körgűrű alakúkerestmetset esetén a I p -t adó (4.49) össefüggés, a I p felbontását adó (5.3) képlet, valamint a simmetriát tükröő I = I egenlet figelembe vételével írhatjuk, hog D 4 d 4 π I + I =I =I = I p =. 3 Követkeőleg D 4 d 4 π I = I = 64 és K = K = I D 4 D/ = d 4 π 3D. (5.38) Mivel a és súlponti tengelek mindhárom esetben simmetriatengelek érus értékű a veges másodrendű nomaték: I =0. 5..3. koordinátarendser eltolásának hatása. teiner tétele. 5.11. ábrán váolt síkidom (kerestmetset) esetén két egmással párhuamos tengelpár által alkotott KR-ekben tekintjük a másodrendű nomatékokat. Elsőként a B kedőpontú görögbetűs ξη KR- d BO O r BO B BO 5.11. ábra. ben tekintjük át a visonokat. Felhasnálva a másodrendű nomatékok (5.30a,b) alatti értelmeését a I ξ = η d, I η = ξ d, (5.39a) valamint a I ξη = ξη d (5.39b) képleteket kapjuk, ahol I ξ és I η a ξ és η tengelekre sámított másodrendű nomaték, I ξη pedig a ξ és η tengelpárra sámított másodrendű nomaték. további átalakítások célja a I ξ, I η és I ξη,valamintao kedőpontú KR-ben sámított I, I és I másodrendű nomatékok köötti kapcsolat tistáása. Ennek érdekében helettesítsük a ábráról leolvasható ξ = ξ BO +, η= η BO + 135
geometriai össefüggéseket a (5.39a,b) képletekbe. első esetben elemi átalakításokkal kapjuk, hog I ξ = (η BO + ) d = d +η BO d + ηbo d. (5.40a) I második és harmadik esetben uganilen módon kell eljárni: I η = (ξ BO + ) d = d +ξ BO d d, (5.40b) I I ξη = (ξ BO + )(η BO + ) d = = d + ξ BO d + η BO I + ξ BO d + ξ BO η BO d. (5.40c) fenti képletek megjelölt rései rendre a síkidom és tengelekre, valamint a - tengelpárra sámított I, I és I másodrendű nomatékait, a síkidom és tengelekre sámított és statikai nomatékait, illetve a síkidom területét adják. Követkeőleg írható, hog I ξ = I +η BO + ηbo, I η = I +ξ BO + ξbo, I ξη = I + ξ BO + η BO + ξ BO η BO. (5.41) E a eredmén teiner tétel néven ismeretes. tételt savakban a követkeő módon fogalmahatjuk meg: Ha ismeretesek eg síkidom adott pontjáho kötött (a jelen esetben a O pontho kötött) KR-ben a I, I és I másodrendű nomatékok, illetve a és statikai B B = B B = O = B 5.1. ábra. B nomatékok, akkor integrálás nélkül sámíthatók a síkidom eg másik pontjáho kötött (a jelen esetben a B pontho kötött) ξη KR-ben, ha egébként rendre párhuamosak a ξ, η és, koordinátatengelek. Tovább egserűsödnek a teiner tételt alkotó (5.41) képletek, ha egbeesik a O origó a síkidom (kerestmetset) geometriai köéppontjával (súlpontjával). E esetben uganis érus értékűek a síkidom és tengelekre sámított statikai nomatékai: = =0. Ha emellett at is figelembe vessük, hog e esetben ξ B = B és η B = B a teiner tétel a I ξ = I + B, I η = I + B, I ξη = I + B B (5.4) alakot ölti. Kiolvasható a (5.4) 1 képletből, hog adott súlponti tengelre (mondjuk a tengelre) sámított másodrendű nomaték ismeretében úg sámítható eg vele párhuamos (mondjuk Jakob teiner (1796-1863). vájci sületésű német geométer, a Berlini Tudomános Társaság tagja. Heidelbergben tanul. 1835-től élete végéig a berlini egetem professora. akterülete a projektív geometria és a ioperimetrikus geometriai problémák volt. 136
a ξ tengelre) sámított másodrendű nomaték hog hoáadjuk a adott súlponti tengelre vonatkoó másodrendű nomatékho a síkidom területének és a két tengel köötti távolság négetének soratát. is követkeik a utóbbi mondatból, hog a egmással párhuamos tengelekre sámított másodrendű nomatékok köül a súlponti tengelre sámított másodrendű nomaték a legkisebb. Megjegeük, hog a I I = I I, I I I B = ξ I ξη, (5.43a) I ηξ I η valamint a I B = B B B η B B = B ξ B η B B η B ξ B ηb, (5.43b) mátri jelölések beveetésével a I ξ I ξη I = I + B B B I ηξ I η I I B B, (5.44a) B vag ami ugana a I B = I + I B (5.44b) alakban írhatók fel a teiner tétel (5.4) alatti skaláregenletei. Megmutatjuk majd a 5.3.. sakasban lásd a (5.58) képletre veető gondolatmenetet, hog a I mátri a kerestmetset súlpontjáho tartoó I tehetetlenségi tenor mátria a KR-ben. Uganilen módon adódik majd a is, hog a I B mátri a kerestmetset B pontjáho tartoó I B tehetetlenségi tenor mátria a B kedőpontú ξη KR-ben. 5.3. Primatikus rúd tista ferde hajlítása. Tehetetlenségi tenor. 5.3.1. Általánosítás. továbbiakban at a kérdést visgáljuk meg hogan váltonak a visonok, ha a M hajlítónomaték vektor nem esik a kerestmetset súlponti tehetetlenségi főtengelére, aa ferde hajlítás esete áll fenn. Legen a eddigieknek megfelelően a tengel a rúd súlponti hosstengele, továbbá vegük a 5.13. ábrán semléltetetett módon a, valamint a ξη KR-t. vonatkoó egségvektorokat e ξ és e η, illetve e és e jelöli. n irán e e R d e =O e = n =n 5.13. ábra. 137
essék egbe a ξ iránnal, aa n = e ξ. gondolatmenet aon alapul, hog a primatikus rúd tista ferde hajlítása esetén is fennállnak a alábbi, a egenes hajlítás kapcsán rögített megfigelések: 1. Van olan ξη KR a 5.13. ábra semlélteti et a KR-t, amelben = ξη ε ξ 0 0 0 ε η 0 0 0 ε, és ε ξ = ε η = νε = ν η ρ, ε = η ρ (5.45) a alakváltoási tenor mátria, illetve annak elemei. Megjegeük, hog a utóbbi képletekben ρ a alakváltoást senvedett súlpontvonal görbületi sugara a η síkban.. Érvénes a egserű Hook törvén, aa σ = Eε = E η ρ. Nilvánvaló, hog a η =0egenes, aa a ξ tengel a semleges tengel. Leolvasható a 5.13. ábráról, hog a R = ξe ξ + ηe η helvektor a d felületelemhe mutat. is nilvánvaló, hog n R = n (ξe ξ + ηe η )=e ξ (ξe ξ + ηe η )=ηe. utóbbi két sorköi képlet egbevetése alapján ρ = σ e = E ρ η e = E ρ n R (5.46) a fesültségvektor értéke. Mivel tista hajlításról van só érus kell legen a kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser F eredője. E a eredmén egserű sámítással adódik, ha felhasnáljuk ρ (5.46) alatti előállítását és figelembe vessük, hog érus értékűa kerestmetset = O súlpontra vett O statikai nomatéka: E F = ρ d = ρ n R d = E ρ n R d =0. (5.47) O =0 kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser kerestmetset súlpontjára vett M nomatékát adó M = R ρ d (5.48) képlet is hasonló gondolatmenettel, aa a ρ fesültségvektor a (5.46) alatti képletének, valamint a R felbontásának helettesítésével alakítható tovább: M = (ξe ξ + ηe η ) E ρ η e d = E η d e ξ ηξ d e η (5.49a) ρ I ξ I ηξ aa M = E Iξ e ξ I ηξ e η. (5.49b) ρ fenti képletben álló I ξ = η d, I ηξ = ηξ d integrálok, valamint a I η = ξ d (5.50) integrál rendre a kerestmetset ξ tengelre, ηξ tengelpárra, valamint a η tengelre sámított másodrendű nomatékait adják. (5.49b) képlet rését alkotó I ξ = I n = I ξ e ξ I ηξ e η (5.51) vektor a ξ tengelhe, illetve a e ξ iránho (vag ami ugane a n tengelhe, illetve a n iránho) tartoó tehetetlenségi vektor. 138
Mivel általában I ηξ 6=0a követkeik a (5.49b) képletből, hog a M nomatékvektor általában nem párhuamos a ξ semleges tengellel. Másként fogalmava, ha a I ηξ 6=0,akkor valóban ferde hajlítás áll fenn. Tovább alakítható céljainknak megfelelően a M (5.48) alatti képlete, ha ρ értékét a (5.46) jobboldalának utolsó rése alapján helettesítjük és at is figelembe vessük a (5.49b) és a (5.51) egbevetése alapján, hog a E ρ -nak I n a egütthatója: M = E R (n R) d = E ρ ρ I n (5.5) utóbbi képlet alapján a tehetetlenségi vektor értéke. I n = R (n R) d (5.53) 5.3.. kerestmetset tehetetlenségi tenorai. (5.53) össefüggés serint homogén lineáris függvéne a I n tehetetlenségi vektor a n vektornak. Vissaidéve a másodrendű tenorok geometriai értelmeésével kapcsolatos és a 1.3. sakasban résleteett ismereteket at mondhatjuk, hog a (5.53) össefüggés a I n -reképeilean vektort. Kihasnálva, hog a kifejtési tétel serint a (b c) =(a c) b (a b) c, aholmosta és c-nek R, b-nek pedig n felel meg, a (5.53) alatti össefüggésből a I n = [(R R)n R(R n)] d (5.54) eredmén követkeik. további átalakítások célja a n vektor kiemelése. Vegük figelembe, hog n = E n itte a egségtenor és hog R(R n) =R R n. utóbbi képletek kihasnálásával kapjuk, hog I n = [(R R)E R R] d n = I n. (5.55) I fenti egenlet megjelölt rése a kerestmetset I súlponti tehetetlenségi tenorát értelmei: I = [(R R)E R R] d (5.56) Érdemes megjegeni, hog a (5.56) képlet a súlponti tehetetlenségi tenor koordinátarendsertől független alakja. (5.56) képlet alatti értelmeése serint simmetrikus a súlponti tehetetlenségi tenor, hisen mind a E egségtenor, mind pedig a R R diadikus sorat simmetrikus tenorok. koordinátarendserben R = e + e,míge = e e + e e.követkeőleg I = ( + )(e e + e e ) (e + e ) (e + e ) d = = ( e e ) e +( e + e ) e d = = de de e + de + de e, aa vagis I I I I I =(I e I e ) e +( I e + I e ) e, (5.57a) I I I = I e + I e, 139 (5.57b)
ahol a I és I tehetetlenségi vektorok rendre a egmástól lineárisan független e és e egségvektorok képei a I tenorho tartoó leképeésben. I és I tehetetlenségi vektorok ismeretében h i I I = I = I I = I (5.58) (,) I I a súlponti tehetetlenségi tenor mátria a KR-ben. Mivel a tenor simmetrikus a KR-ben felírt mátria is simmetrikus. Vissaidéve, hog a súlponti ξη koordinátarendserben R = ξe ξ + ηe η a helvektor és E = e ξ e ξ + e η e η a egségtenor, majd sóserint megismételve a előő bekedés lépéseit felhasnálva eköben a (5.50) alatti képleteket at kapjuk, hog I =(I ξ e ξ I ξ e η ) e ξ +( I ξηe ξ + I η e η ) e η (5.59a) I ξ I η a tehetetlenségi tenor a súlponti ξη KR-ben, ahol I ξ és I η a vonatkoó tehetetlenségi vektorok (a e ξ és e η egségvektorokho tartoó képvektorok). Követkeőleg I = I ξ e ξ + I η e η, (5.59b) a tenor diadikus alakja és h I = I = (ξ,η) i I ξ Iη = I ξ I ξη I ηξ I η (5.60) a I tenor mátria a súlponti ξη KR-ben. Vegük ésre, hog a (5.55) képlet serint Követkeőleg I n = I e n n =, és I ν = I e ν ν = ξ,η (5.61) I n = e n I e n (,) (ξ,η) (ξ,η) (ξ,η) n =, és I ν = e ν I e ν (ξ,η) (,) (,) (,) ν = ξ,η (5.6a) továbbá I mn = e m I e n (,) (ξ,η) (ξ,η) (ξ,η) m, n =, és I µν = e µ I e ν. µ,ν = ξ,η (5.6b) (ξ,η) (,) (,) (,) utóbbi eredmén savakban a követkeőképp fogalmaható meg: Ha ismeretes a I tehetetlenségi tenor és a [e, e ]{e ξ, e η } egségvektorok [a ξη] {a } KR-ben, akkor [a (5.6a,b) 1 ] {a (5.6a,b) } képletekkel sámíthatók a tehetetlenségi tenor mátriának [I,I és I ]{I ξ,i η és I ξη }elemei[a] {aξη} KR-ben. Megjegeük, hog e a eredmén a tenorok transformációjával kapcsolatos (1.83) képletek értelemserű, aa síkbeli visonokra vonatkoó alkalmaásával is felírható: a W helére I -t kell gondolni, el kell hagni a és ζ indeeket, illetve figelembe kell, venni a nem diagonális elemekre vonatkoó előjelbeni eltérést. Megjegeük végeetül, vissaidéve a 5.11. ábra jelöléseit és a (5.56) alatti definíciót, hog a I B = [(ρ ρ)e ρ ρ] d (5.63) össefüggés értelmei a kerestmetset tetsőleges B pontjáho tartoó I B tehetetlenségi tenort. 140
5.3.3. I tenor főtngelproblémája. 5.14. ábrán váolt kerestmetset (síkidom) súlpontjáho két KR-t a nm =, valamint a nm = KR-eket kötjük. második KR a első KR óramutató járásával ellentétes iránba történő 90 o -os elforgatásával kapható meg. Követkeőleg d = d. E a eredmén at fejei ki, hog a nm = KR 90 o - R os elforgatásával a I nm veges másodrendű nomaték = absolút értéke váltoatlan marad, de a előjele megváltoik. Mivel a KR forgatása köben csak foltonosan vál- O * e n tohat a I nm értéke adódik a követketetés, hog bármel kerestmetsetnek (síkidomnak) van legalább két olan egmásra kölcsönösen merőleges súlponti nm tengele, hog a általuk meghatároott KR-ben 5.14. ábra. I nm =0. ilen tengeleket súlponti tehetetlenségi főtengeleknek, a vonatkoó iránokat főiránoknak, afőtengelek által kifesített KR-t a főtengelek KR-ének, a tengelek egségvektorait pedig a I tehetetlenségi tenor sajátvektorainak neveük. főtengeleket a n =1és m =indeek aonosítják. főtengelekre sámított másodrendű nomatékokat rendre I 1 és I jelöli. sámoást úg válastjuk meg, hog teljesüljön a I 1 I egenlőtlenség. Mivel érus a I 1 veges másodrendű nomaték, párhuamosak a főiránokho tartoó tehetetlenségi vektorok a főiránokkal, aa fennáll a I i = I e i = I i e i i =1, (5.64) egenlet. Legen a egelőre ismeretlen n = n e + n e n = * e m = * d q n + n =1 (5.65) vektor a keresett főirán iránvektora. hoá tartoó ugancsak ismeretlen főmásodrendű nomatékot I n jelöli. Nilvánvaló a (5.64) össefüggések alapján, hog a n vektor és a I n másodrendű nomaték eleget kell, hog tegen a I n = I n n, vag ami ugana a (I I n E) n = 0 (5.66) egenletnek. Mátrios alakra térve át a ½ ¾ I I 1 0 n 0 I I I n =, 0 1 n 0 illetve a I I n I n 0 = (5.67) I I I n n 0 homogén lineáris egenletrendsert kapjuk a n és n sámítására. Triviálistól különböő megoldás csak akkor léteik, ha eltűnik a (5.66) egenletrendser determinánsa: ahol I I n I I I I n = I n (I + I ) I I I n + I I I =0, (5.68a) I II I I = I + I és I II = I I I (5.68b) 141
a I tenor úgneveett első és második skalárinvariánsa. (5.68a) karakteristikus egenlet s I n = I 1, = I µi s + I + I ± I I + I = I µi + I I ± + I (5.69) gökei valós sámok, mivel poitív a gökjel alatt álló kifejeés (a másodfokú egenlet diskriminánsa). O R d h n n Nem nehé belátni a 5.15. ábra, a ábráról leolvasható n R = l, R l = h össefüggések és a (5.56) képlet alapján, hog I n = n I n = n [(R R)n R(R n)] d = = R n (R n) d = R l d = = h d>0. (5.70) l kapott eredmén serint (a) I n valóban a n tengelre sámított másodrendű nomaték 5.15. ábra. (b) és mint ilen sigorúan poitív. Követkeőleg a I 1, gökök nemcsak valósak, hanem poitív menniségek is. I 1, gökök ismeretében a (5.68a) egenletrendser és a n =1feltétel figelembevételével adódóan vag a n 1 (I I 1 ) I n 1 =0, n 1 + n 1 =1 (5.71a) egenletek, vagpedig a n 1 I +(I I 1 )n 1 =0, n 1 + n 1 =1 (5.71b) egenletek megoldása (5.71a) 1 és (5.71b) 1 nem független egmástól adja a 1 jelű főirán n 1 iránvektorának n 1 és n 1 koordinátáit. Ha már ismert a n 1 a jelű főirán n iránvektora a n = e n 1 (5.7) képletből sámítható. Vegük ésre, hog a n 1, n és e jobbsodratú vektorhármast alkot. Mivel érus a veges másodrendű nomaték a főtehetetlenségi tengelek által kifesített KRben, uganitt diagonális a tehetetlenségi tenor mátria: I1 0 0 I. I = (1,) 14
5.4. Mintafeladatok 5.1. 5.16. ábrán váolt téglalapkerestmetsetű acélrudat a M B nomaték terheli. (a) Határoa meg a M B értékét, ha a maimális normálfesültség eléri a σ F = 40 MPa foláshatárt. (b) ámítsa ki a fesültségi és alakváltoási tenorok mátriait a K kerestmetset P pontjában, ha M B =3.84 knm (E acél 00 GPa, ν 1/3). (c) Mekkora e esetben a K kerestmetset felső oldalélének a méretváltoása. P K M B b =60mm M h =M B a = 40mm B 5.16. ábra. sámításokho sükség les a téglalap kerestmetset tengelre sámított I másodrendű nomatékára. (5.33a) képlet serint I = ab3 1 = 40 mm (60 mm)3 1 =7. 10 5 mm 4. Mivel a rúdnak tista hajlítás a igénbevétele a (5.1) képlet alapján írhatjuk, hog és végül σ ma = σ F = M B I b ahonnan M B = σ F I b M B = 40MPa 7. 105 mm 4 =5. 76 10 6 Nmm =5.76 knm. 60 mm (b) kérdésben terhelésként megadott nomaték ennek a nomatéknak a két harmada. P pont afelső oldalélen van, ahol maimális a normálfesültség. Követkeik tehát, hog ennek értéke a σ F = 40 MPa foláshatár két harmada: σ (P ) = 160 MPa. Mivel érvénes a egserű Hook törvén a (5.7a), (5.) és (5.1) képletek serint ε = σ E = 160 Mpa 10 5 Mpa =8 10 4 ε = ε = νε = 3 10 4 és γ = γ = γ =0. Eekkel a eredménekkel T P = 0 0 0 0 0 0 0 0 40 MPa és P =.666 0 0 0.666 0 0 0 8 10 4 a fesültségi és alakváltoási tenor mátria. 5.17. ábra a K kerestmetsetet és annak igénbevételét, a tengel menti fesültségeloslást, valamint a P pontbeli fesültségi állapotot semlélteti. P 160 MPa 30 mm M h= 5.76 knm 30 mm 40 mm (P) = 160 MPa 5.17. ábra. 143
Mivel állandó a kerestiránú fajlagos núlás a K kerestmetset felső oldalélementéna a méretváltoás, értelemserűen alkalmava a (3.1) képletet, a alábbiak serint sámítható: µ a = ε k a = + 10 4 40 mm = 1.066 7 10 mm. 3 5.. 5.18. ábra tista hajlításnak kitett aluminium rúd kerestmetsetét semlélteti (E al =70GPa, ν al 0.3). Határoa meg, felhasnálva a ábra adatait, (a) a alakváltoási tenor mátriát a kerestmetset P pontjában, és (b) uganitt a normálfe- P M sültség értékét. h (5.4) és (5.) képletek alapján 9mm 1.5 mm ε (P )=ε = P ρ = 4.5 mm 3.5 10 3 mm =1.857 10 3, 5.18. ábra. Követkeésképp =3.5 m és ε = ε = ν al ε = = 0.3 1.857 10 3 = 3.8571 10 4 γ = γ = γ =0. P = ε 0 0 0 ε 0 = 3.8571 0 0 0 3.8571 0 10 4 0 0 ε 0 0 1.857 a alakváltoási tenor mátria. mi pedig a (b) kérdést illeti a (5.7a) egserű Hook törvénből a keresett normálfesültség. 9mm P B 5.19. ábra. σ (P )=E al ε =70.0 10 3 MPa 1.857 10 3 90 MPa M h P B 5.3. 5.19. ábrán váolt félkörkerestmetsetű rúdnak tista hajlítás a igénbevétele. kerestmetset P pontjában ε P = 1.0361 10 3 anúlásmérő béleggel mért fajlagos núlás a iránban. Mekkora a rúd görbületi sugara? (η B =4r/3π) P pont P = r η B = r 4r 4 9 mm =9mm = 5.1803 mm 3π 3π helkoordinátájával, kihasnálva a (5.4) képletet, kapjuk a ρ = P 5.180 3 mm = 5000 mm ε P 1.0361 10 3 görbületi sugarat. 5.4. Mutassa meg, hog érus a kerestmetset súlponti tengelpárra sámított másodrendű nomatéka, ha simmetria tengel a tengel. d d 5.0. ábra. 5.0. ábrán váolt kerestmetsetnek a tengel a simmetriatengele. simmetria miatt maga a kerestmetset olan simmetrikusan elhelekedő d és d 0 felületelemekre bontható eg ilen felületelempárt a ábra is feltüntet, ameleknek aonos a koordinátája, de a koordinátájuk előjele különböő: 0 =. Ha tehát páronként össegeünk d + 0 d 0 =0. E egben at is jelenti, hog I = d =0. fenti eredmén serint valóban érus a kerestmetset súlponti tengelpárra vett vett másodrendű nomatéka, ha simmetria tengel a tengel. 144
5.5. Határoa meg a 5.1. ábrán váolt deréksögű háromsög esetén a oldalélek által alkotott KR-ben a I, I és I másodrendű nomatékokat. b O d =a d a 5.1. ábra. a b d Felhasnálva a ábra jelöléseit a definíciót adó (5.30a) 1 képlet alapján írható, hog " b # =a a/b I = d = d d = b 0 0 h = a 1 i 3 d = a 0 b 3 4 b 4b = ab3 0 1. (5.73a) Uganilen módon kapjuk a (5.30b) képlet alapján, hog " b # =a a/b I = d = d d = = b 0 0 0 1 h1 a i d = a b 3 3b + 4 4b b 0 = a b 1. (5.73b) Nilvánvaló a I -et adó képlet alapján, hog I = a 3 b/1. 5.6. Határoa meg a a alapú és m magasságú általános háromsög másodrendű nomatékát a alapjára (aa a ξ tengelre), valamint a alappal párhuamos súlponti tengelre (aa a tengelre). d d O v m m 3 O v B a B a 5.. ábra. Vegük ésre, hog a ξ tengelen nugvó alappal semköti csúcs a alappal párhuamos és a csúcson áthaladó egenesen történő eltolása nem váltotatja meg a ξ tengelre sámított másodrendű nomatékot. E at eredménei, hog aonos a általános háromsög, és a tőle jobbra fekvő deréksögű háromsög ξ tengelre sámított másodrendű nomatéka. Követkeőleg alkalmaható a (5.73a) össefüggés, amivel I ξ = am3 1. (5.74) súlponti tengelre sámított másodrendű nomaték eek után a ábra adataival és a (5.4) 1 teiner tétel felhasnálásával adódik: I = I ξ B = am3 1 m am 9 = am3 36. (5.75) 5.7. Tegük fel, hog alumíniumból késült a 5.3. Mintafeladat félkörselvéne. Határoa meg e esetben (a) P és B pontokban a σ normálfesültség értékét, valamint (b) a hajlítónomaték értékét (E al =70GPa). Figelembe véve, hog érvénes a egserű Hook törvén a (5.7a) képlet serint a normálfesültség a P pontban. Mivel σ = E al ε P =70.0 10 3 MPa 1.0361 10 3 7.5 MPa η B = 4r 3π = 4 9 mm =3.819 7 mm, 3π 145
a pont η koordinátája és homogén lineáris függvéne a σ normálfesültség a koordinátának a σ (P ) σ (B) = P B aránpárból σ (B) = η B P 3.819 7 mm σ (P )= 7.5 MPa 53.5 MPa. 5.180 3 mm hajlítónomaték sámításáho sükség les a félkörkerestmetset tengelre vett I másodrendű nomatékára. kerestmetset = 1 r π = 1 (9 mm) π = 17.3 mm területének, illetve ξ tengelre sámított I ξ = 1 d 4 π 64 = (18 mm)4 π = 576.5 mm 4 18 másodrendű nomatékának ismeretében a (5.4) 1 teiner tételből I = I ξ B = 576.5 mm4 (3.8197 mm) 17.3 mm = 70. mm 4. fenti adatokkal illetve a görbületi sugár sámított értékével a (5.14) képletből M h = I E ρ a keresett hajlítónomaték. = 70. mm4 70.0 10 3 MPa 5000mm 4 10.0 Nm. 5.8. Határoa meg a 5.3. ábrán váolt néget átlói által kifesített ξη KR-ben a néget súlponti tehetetlenségi tenorának mátriát. Tekintettel a téglalap másodrendű nomatékaival kapcsolatos (5.33a,b) képletekre, valamint arra a körülménre, e e 1 hog mind a, mind pedig a tengel simmetriatengel e 1 utalunk ehelütt a 5.4. Mintafeladatra is at kapjuk, hog d I O = 1 a4 0 = a (,) 1 0 a 4 a v a súlponti tehetetlenségi tenor mátria a KR-ben. e Leolvasható a is a ábráról, hog e ξ = (e + e ) a és e η = ( e + e ). 5.3. ábra. fentiek birtokában már alkalmahatók a (5.6a) és a (5.6b) képletek. sámítások során mátri jelölésekre érdemes áttérni a sámítások megkönnítése érdekében. Íg a a4 0 1 0 a 4 = a4 1 1 = I (5.76a) és a I ξ = e ξ I e ξ = e T ξ I e ξ = 1 1 1 (ξ,η) (,) (,) (,) 1 I η = e η I e η = e T η I e η = (ξ,η) (,) (,) (,) I ξη = e ξ I e η = e T ξ I e η = (ξ,η) (,) (,) (,) 1 a4 0 1 1 1 1 0 a 4 1 1 a4 0 1 1 1 1 0 a 4 1 = a4 1 = I (5.76b) =0 (5.76c) eredméneket kapjuk. Követkeőleg I = 1 a4 0 (ξ,η) 1 0 a 4 = I. (,) Ugane a eredmén más módon is megkapható. Mivel simmetriatengel a ξ és η tengel I ξη =0. Mivel a pont körüli 90 o -os elforgatás önmagába visi át a négetet I ξ = I η. Végeetül vegük ésre, hog a néget nég olan egbevágó egenlősárú deréksögű háromsögre bontható fel, melek egik 146
oldala a ξ és a eel egenlő másik oldala pedig a η tengelen nugsik. Követkeőleg alkalmaható a (5.73a) össefüggés: a ³ a 3 I ξ =4 = a4 1 1 5.9. 5.4. ábra a ártselvénű B acélrudat semlélteti (E acél = 00 GPa). rúdnak 6 mm a falvastagsága. Legen σ meg = 10 MPa a megengedett fesültség. Ellenőrie a rudat és sámítsa ki a deformálódott köépvonal görbületi sugarát. 1.6 m B 6 mm 100 mm 4.1 knm 60 mm 5.4. ábra. épen semlélteti a 5.5. ábra hog a rúd kerestmetsete a 1 és jelű téglalapok különbsége. Jelölje rendre I 1 és I a 1 és jelű téglalapok tengelre sámított másodrendű nomatékát. (5.33a) képlet értelemserű felhasnálásával adódik, hog I = I 1 I = 60 1003 1 48 883 1 =.74 1 10 6 mm 4 a rúd kerestmetsetének tengelre sámított másodrendű nomatéka. 1 = 100 mm 88 mm 60 mm 48mm 5.5. ábra. Mivel a rúd anaga húásra és nomásra egformán viselkedik a (5.1) képlet felhasnálásával a σ ma = M h e = 4.1 106 Nmm I.74 1 10 6 mm 4 50mm 90 MPa <σ meg = 10 MPa eredmént kapjuk. rúd tehát megfelel. (5.14) képlet alapján ρ = I E =.741 106 mm 4 00 10 3 MPa M h 4.1 10 6 1.109 10 m Nmm a köépvonal görbületi sugara. 5.10. 5.6. ábrán váolt T selvénű rúd alumíniumból késült (E al =70GPa). rúdnak tista hajlítás a igénbevétele. Határoa meg a selvénben ébredő legnagobb húó-, és nomófesültséget, (b) a rúd görbületi sugarát, valamint (c) a rúdban felhalmoódott rugalmas energiát. 147
10 mm 30 mm B 5 knm 90 mm 30 mm 1.8 m 1 1 1 1 P K K P 1 =45mm 1 a b 1 1 e 1 e =105 mm 5.6. ábra. Első lépésben meghatárouk a kerestmetset súlpontjának η koordinátáját valamint a súlponti tengelre sámított I másodrendű nomatékot. sámítások során, célserűségi okokból két résre, eeket rendre 1 és jelöli, bontjuk fel a kerestmetsetet. hossegség mm. 5.7.(a) ábra és a i i mm η i mm η i i mm 3 1 3600 105 378000 700 45 11500 = P i = 6300 ξ = P i η i = 499500 tábláat adataival ( ξ a kerestmetset ξ tengelre vett statikai nomatéka) írható, hog η = P ξ = i η P i = 499500 =79.86 mm. i 6300 1 és jelű rések súlpontjainak 1 = η 1 η = 105 79.86 = 5.714 mm és = η η =45 79.86 = 34.86 mm koordinátáival 5.7.(b) ábra alkalmahatóvá válik a 1 jelű réseseténa 1 pontok köött, a jelűréseseténpediga pontok köött a (5.4) 1 teiner tétel: I = X h i I ξi +( i ) i = 10 303 = +(5.714) 3600+ 5.7. ábra. 1 30 903 + +( 34.86) 700 = 1 =7.646 8 10 6 mm 4. Mivel negatív a hajlítónomaték a nomófesültség a P pontot tartalmaó felső oldalélen, a húófesültség a K pontot tartalmaó alsó oldalélen maimális. e 1 = +15=5.714 + 15 = 40.714 mm, e = η =79.86 mm értékekkel és a (5.8b) képletekkel kapjuk, hog σ ma nomás = σ P = M h e 1 = 5 106 Nmm I 7.646 8 10 6 40.714 mm 7 MPa mm4 és σ ma húás = σ K = M h e = 5 106 Nmm I 7.646 8 10 6 79.86 mm 5 MPa. mm4 148
(5.14), valamint a (5.19) képletek alapján a görbületi sugár és ρ = I E al M h = 7.646 8 106 mm 4 70 10 3 MPa 5 10 6 Nmm 107 m U = 1 Mh l = 1 5 10 6 Nmm 1.8 10 3 mm I E al 7.646 8 10 6 mm 4 70 10 3 4.034 Nm MPa a alakváltoási energia. 5.11. ámítsa ki a 5.9. Mintafeladatban visgált rúd B kerestmetsetében a súlpontvonal (a rúd) ϕ B = ϕ B sögelfordulását és uganitt súlpont (a rúd) függőleges v B elmodulását. 5.8. ábra a sokott betűket hasnálva jelleghelesen semlélteti a B rúd nomatéki ábráját, illetve a körívvé görbült köépvonalat. Mivel merőleges sárúak a ϕ B = ϕ B és Φ L sögek és mivel nem váltoik meg a rúd köépvonalának hossa írható, hog M M B L h ϕ B = ϕ B = Φ L = L ρ ahonnan, tekintettel a görbületet adó (5.14) össefüggésre és a M h = M B egenlőségre, kapjuk hog L L/ ϕ B = M BL I E. (5.77) E a képlet előjelhelesen adja a keresett sögelfordulást. Helettesítve a feladat adatait L B ϕ B = 4.1 106 Nmm 1.6 10 3 mm.74 1 10 6 mm 4 00 10 3 MPa = v =1.443 10 rad =0.8638 o ρ B a eredmén. E a sögelfordulás igen kicsin, ellentétben a ábrával, amelen a visonok érékeltetésére B véges sögelfordulást tüntettünk fel. kapott érték at a mindennapi tapastalatot tükröi, hog a valós serkeeteken általában kicsinek a terhelésből adódó sögelfordulások és elmodulások. ρcosφ L Φ L v B elmodulás ugancsak a ábra alapján írható fel: v B = ρ(1 cos Φ L ). Mivel kicsi a ϕ B = ϕ B = Φ L sög elegendő a cos =1 1 + 1 4 4 + O 6 5.8. ábra. sorfejtés első két tagját megőrini. Ha elvégeük a ρ görbületi sugár és a ϕ B = ϕ B = Φ L forgás tekintetében is a sükséges helettesítéseket, akkor a µ v B = ρ 1 1 1 Φ L = 1 M B L (5.78) I E képletet kapjuk. feladat adataival v B = 1 4.1 10 6 Nmm 1.6 10 3 mm.74 1 10 6 mm 4 00 10 3 = 11.539 mm MPa a keresett elmodulás. továbbiak a (5.77) és (5.77) képletek lehetséges interpretációit adják. (a) Vissaidéve, hog a jelen esetben U = 1 MB L I E 149 M B
a teljes rugalmas energia, at kapjuk, hog ϕ B = U = M BL M B I E. E a képlet a (3.4) és (4.5) össefüggések eg analogonja. (b) Írjuk át a (5.77) és (5.78) képleteket a I Eϕ B = M B L és I Ev B = 1 M BL alakba. Ha most a B rúdon működő fiktív terhelésnek tekintjük a M h nomatéki ábrát lásd a 5.8. ábra felső rését,akkoraϕ B sögelfordulás I E-serese ebből a fiktív terhelésből adódó níróerő a rúd végén, a B kerestmetsetben hisen a níróerő am B L fiktív eredővel egeik meg. (c) Uganíg kapjuk, hog a v B elmodulás I E-serese a fiktív terhelésnek vett M h nomatéki ábrából adódó hajlítónomaték a B kerestmetsetben. 5.1. dott valamel kerestmetset súlpontho kötött tehetetlenségi tenorának mátria a súlponti KR-ben: 531 475 I = cm 475 7601 4 ámítsa ki a főtehetetlenségi nomatékokat, a főiránok iránvektorait majd írja fel a tehetetlenségi tenor mátriát a főiránok koordinátarendserében. I I = I + I = 531 + 7601 = 19 cm 4 és I II = I I I = 531 7601 475 = 401996.0 cm 8 invariánsok és a (5.68a) képlet alapján felírható karakteristikus egenlet I n I I I n + I II = I n 19 I n + 401996 = 0 I 1, = 19 ± 19 4 401996 = ½ 7696 56 gökei adják a keresett főtehetetlenségi nomatékokat. Eek birtokában a (5.71a) 1 képlet alapján kapott egenletből a n 1 (I I 1 ) I n 1 = 375n 1 + 475n 1 =0 cm 4 eredmén követkeik, amivel a (5.71a) -ből n 1 =5n 1 n 1 + n 1 = n 1 (1 + 5) = 1 aa Végeredménben n 1 = 1 6 és n 1 =5n 1 = 5 6. n 1 = 1 6 (e +5e ) a első főirán iránvektora. Ennek ismeretében a (5.7) képletből n = e n 1 = 1 (5e e ) 6 amásodikfőirán iránvektora. főtengelek 1=ξ, =η koordinátarendserében I1 0 7696 0 I = = cm (ξ,η) 0 I 0 56 4 a tehetetlenségi tenor mátria. 150
Gakorlatok 5.1. 5.9. ábrán váolt aluminium rudakat két erő terheli. ábra feltünteti a BC sakas eg K kerestmetsetét is. Határoa meg σ ma értékét a BC sakason belül és írja fel a fesültségi tenor mátriát a O pontban. Mekkora a BC sakas görbületi sugara és a C kerestmetset sögelfordulása? (E al =70GPa.) 80 kn B a 80kN C D 50kN B b C 50kN D 0.4 m 1.6 m 0.4 m 0.6 m 1. m 0.6 m 0 mm 160 mm 0 mm 00 mm O 160mm 0 mm 60 mm 10 mm 360 mm O 60mm 5.9. ábra. 151
Irodalomjegék [1] Mutnánsk Ádám: ilárdságtan, Műsaki Könvkiadó, Budapest, 1981. [] Kurutné Kovács Márta: Tartók statikája. Műegetemi kiadó, 003. [3] tephen Thimoshenko: trength of Materials. New York, Van Nostrand, 1953. [4] Ferdinand P. Beer, E. Russel Johnston, JR.: Mechanics of Materials (i Mertric Edition). McGraw- Hill, 1987. (IBN 0-07-100143-3) 153
. FÜGGELÉK Kulcsok a gakorlatokho 5. Fejeet 5.1. (a) η = 115 mm; I =5.67 10 7 mm 4 ; σ ma 4.3 MPa T O = 0 0 0 0 0 0 MPa 0 0 4.3 ρ 14.08 m; ϕ C =6.448 10 3 rad (b) η = 100 mm; I =3.64 10 7 mm 4 ; σ ma 9 MPa T O = 0 0 0 0 0 0 MPa 0 0 9 ρ 76.16 m; ϕ C =7.878 10 3 rad 155