BME Közlekedéautomatikai Tanzék Feladatgy jtemény az Irányítátechnika II. c. tárgyhoz Özeállította: Dr. Bokor Józef egyetemi tanár Dr. Gápár Péter egyetemi tanár Bauer Péter tudományo munkatár Lupay Tamá tudományo munkatár Németh Baláz PhD hallgató Tettamanti Tamá tanáregéd 2
Tartalomjegyzék. Dinamiku rendzerek é irányítáuk: klaziku módzerek 3.. Egy ki matematika....................................... 3... Laplace- é inverz Laplace-tranzformáció....................... 3..2. Polinomoztá....................................... 5.2. Rendzerek vizgálata id - é operátortartományban..................... 7.3. Rendzerek vizgálata frekvenciatartományban........................ 23.4. Soro kompenzálá........................................ 35.5. Robuztu tabilitá....................................... 47 2. Bevezeté az állapottér-elméletbe 55 2.. Állapottér-reprezentációk tulajdonágai, kapcolata...................... 55 2.2. Póluallokáció........................................... 67
El zó A feladatgy jtemény a BME Közlekedémérnöki Karán oktatott Irányítátechnika II. tantárgy oktatái egédleteként a gyakorlati példák megoldáát é megértéét hivatott zolgálni. A gy jteményben található 63 darab feladat az elmúlt év zárthelyi dolgozatainak é vizgáinak zemelvénye. A példák végigkövetik a tantárgy elméleti tananyagát jó gyakorlái é ellen rzéi lehet éget biztoítva a különböz feladattípuokhoz. Megjegyzend ugyanakkor, hogy a kidolgozott feladatok megértééhez zükége a tananyag elméleti rézének megfelel imerete i. Külön közönet illeti meg Polgár Jáno MSc hallgatót a egédlet özeállítáában való rézvételéért, illetve Bauer Péter tudományo munkatárat a feladatgy jtemény lektorálááért. 2
. fejezet Dinamiku rendzerek é irányítáuk: klaziku módzerek.. Egy ki matematika Ebben a fejezetben a feladatgy jteményben található feladatok megoldáához zükége matematikai apparátu gyakorláára találunk feladatokat. A feladatok az egyoldala Laplace-tranzormáció (a továbbiakban jelz nélkül), az inverz Laplace-tranzformáció é a polinomoztá területére terjednek ki. Az el bbi két témakör rézleteebb kifejtée megtalálható [ A. függelékében. A mátrixzámítá néhány területére az említett m C. függeléke tér ki.... Laplace- é inverz Laplace-tranzformáció Adjuk meg a következ függvények Laplace-tranzformáltját (L-tranzformáltját)! A L-tranzformáció olyan integráltranzformáció, mely az id tartományi f(t) függvényhez az operátortartománybeli F () függvényt rendeli a következ képpen: F () f(t)e t dt, C.. f(t) e αt F () L{e αt } lim t [ e t(α+) (α + ) [ e t(α+) e t(α+) dt (α + ) (α + ) (α + ) α + t e αt e t dt e t(α+)..2 f(t) e αt F () L{ e αt ( } e αt ) ( e t dt e t e t(α+)) dt [ [ e t e t(α+) e t dt e t(α+) dt (α + ) [ ( ) [ ( ) e t lim e t e t(α+) lim e t(α+) t t (α + ) (α + ) [ t t [ (α + ) α + 3
..3 f(t) e iωt F () L{e iωt } lim t [ e t( iω) ( iω) [ e t( iω) e t( iω) dt ( iω) ( iω) ( iω) iω t e iωt e t dt e t( iω) Határozzuk meg a következ függvények inverz Laplace-tranzformáltját(L -tranzformáltját)! Megjegyzé: F () b() alakú függvények eetén az inverz Laplace-tranzformált a Reiduum-tétel a() egítégével i kizámítható: [ n f(t) lim ( p i ) b() p i a() et, ahol a p i -k az a() polinom gyökei (azaz az a() egyenlet megoldáai)...4 F () 2 5 + i F (), 4 + 5 f(t) lim 5 + 5 p 5 ( + ), 4 5 + e t 5 lim 2 5 et 2 5 e 5 t 5..5 F () 2 (5 + ) F (), 4 ( + 5 ) ( + 5 ) p, p 2 5 ( f(t) lim, 4 ( + ) e t + lim + ), 4 ( 5 5 + ) e t 5 5 2 2 e 5 t 2 ( e t) 5 4
..6 F () ( 2 + 3 + 2) + lim 2 ( 2 + 3 + 2) p, p 2, p 3 2 [ [ ( + )( + 2) et + lim ( + ) ( + )( + 2) et f(t) lim [ ( + 2) ( + )( + 2) et 2 + ( + 2) e t + + 2 ( 2 + ) e 2t 2 e t + 2 e 2t..2. Polinomoztá A következ feladatok a polinomoztá témakörébe tartoznak. A polinomoztá menete a következ : kizámítjuk az oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjainak hányadoát. Ezzel az értékkel vizazorozzuk az oztót. Az így kapott eredményt kivonjuk az oztandóból. Ezután a kivoná utáni értéket tekintjük oztandónak, é ezen alkalmazzuk az el bb leírt lépéeket. Az oztá addig tart, amíg az oztandó legnagyobb kitev j tagjának fokzáma nagyobb vagy egyenl, mint az oztó legnagyobb kitev j hatványának fokzáma...7 (x 5 + x 4 x 3 2x ) : (x 2 + ). lépé: Az oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: x 3 (x 5 + x 4 x 3 2x ) : (x 2 + ) x 3 (x 5 + x 3 ) x 4 2x 3 2x (ez lez az új oztandó) 2. lépé: Az új oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: x 2 (x 4 2x 3 2x ) : (x 2 + ) x 2 (x 4 + x 2 ) 2x 3 x 2 2x (ez lez az új oztandó) 3. lépé: Az új oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: 2x ( 2x 3 x 2 2x ) : (x 2 + ) 2x ( 2x 3 2x) x 2 (ez lez az új oztandó) 4. lépé: Az új oztandó é az oztó legnagyobb kitev j tagjának hányadoa: 5
( x 2 ) : (x 2 + ) ( x 2 ) A eredmény: x 3 + x 2 2x..8 (x 3 ) : (x ) (x 3 ) : (x ) x 2 + x + (x 3 x 2 ) x 2 (x 2 x) x (x ) Az eredmény: x 2 + x +..9 (x 4 2x 3 + 4x 2 6x + 8) : (x ) (x 4 2x 3 + 4x 2 6x + 8) : (x ) x 3 x 2 + 3x 3 (x 4 x 3 ) x 3 + 4x 2 6x + 8 ( x 3 + x 2 ) 3x 2 6x + 8 (3x 2 3x) 3x + 8 ( 3x + 3) 5 Az oztában maradék képz dött.az eredmény: x 3 x 2 + 3x 3 + 5 x.. (x 5 2x 4 + x 3 + 7x 2 2x + ) : (x 2 2x + 2) (x 5 2x 4 + x 3 + 7x 2 2x + ) : (x 2 2x + 2) x 3 x + 5 (x 5 2x 4 + 2x 3 ) x 3 + 7x 2 2x + ( x 3 + 2x 2 2x) 5x 2 x + (5x 2 x + ) Az eredmény: x 3 x + 5 6
.. (2x 4 x 3 + 4x 2 + 3x + 2) : (x 2 + x + ) (2x 4 x 3 + 4x 2 + 3x + 2) : (x 2 + x + ) 2x 2 3x + 5 (2x 4 + 2x 3 + 2x 2 ) 3x 3 + 2x 2 + 3x + 2 ( 3x 3 3x 2 3x) 5x 2 + 6x + 2 (5x 2 + 5x + 5) x 3 Az oztában maradék képz dött.az eredmény: 2x 2 3x + 5 + x 3 x 2 + x +.2. Rendzerek vizgálata id - é operátortartományban A következ feladatokban adott egy átviteli függvény. Adjuk meg a hozzá tartozó úly- ( w(t)) é átmeneti (v(t)) függvényt! A megoldát ábrázoljuk a jellegzete értékek felt ntetéével! A feladatokban az Y () G() U() özefüggét haználjuk! (A bemen jelek L-tranzformáltjai megtalálhatók [ 26. oldalán.).2. G() + G() + W () G() + p ( w(t) L {G() } L + lim + ) e t ( + ) e t Az eredményként kapott függvény A e t T alakú. V () G() ( + ) p, p 2 { v(t) L G() } L ( + ) lim ( + ) e t + 7
+ lim ( + ) ( + Az eredményként kapott függvény A ( e t T ) alakú. ) e t + e t e t. Súlyfüggvény Átmeneti függvény.9.9.8.8.7.7.6.6 w(t).5 v(t).5.4.4.3.3.2.2.. T 2 3 4 5 6 T 2 3 4 5 6 t t.2.2. G() 5 5 + G() + 5 W () G() + 5 p 5 w(t) L {G() } L ( + lim + ) ( 5 5 + ) e t e 5 5 ( ) V () G() + p, p 2 5 5 { v(t) L G() } L + L ( 5 + ) 5 5 t 8
lim ( + ) e t + 5 lim 5 ( + ) ( 5 + ) e t 5 5 e 5 5 ( e t) 5 5 t Súlyfüggvény 5 Átmeneti függvény.9.8.7.6 w(t).5 v(t).4.3 5.2. T5 2 3 4 5 6 7 8 9 T5 2 3 4 5 6 7 8 9 t t.2.3 G() 5 + 3, 5 2 + 2, 7 + Megjegyzé: a máodfokú nevez polinom máodfokú tagjának együtthatóját célzer -re válaztani, ugyani a máodfokú kifejezé gyöktényez alakjában ekkor -el kell zorozni az ( p i ) tagokat. Így + 6 G() 2 + 5, 4 + 2 alakú. W () G() ( 2 + 5, 4 + 2) p, 4, p 2 5 { } [ + 6 w(t) L {G() } L + 6 2 lim ( +, 4) + 5, 4 + 2,4 ( +, 4)( + 5) et + [ + 6 + lim ( + 5) 5 ( +, 4)( + 5), 4 + 6 et e,4t + 5 + 6, 4 + 5 5 +, 4 e 5t v(t) L {, 435 e,4t + 9, 565 e 5t V () G() ( 2 + 5, 4 + 2) p, p 2, 4, p 3 5 G() } L { + 6 ( 2 + 5, 4 + 2) } lim [ + 6 ( +, 4)( + 5) et + 9
+ lim,4 3 + [ ( +, 4) [ + 6 ( +, 4)( + 5) + 6 et + lim ( + 5) 5 ( +, 4)( + 5) et (, 4) + 6, 4 (, 4 + 5) ( 5) + 6 e,4t + 5 ( 5 +, 4) e 5t 3, 8 e,4t, 92 e 5t Súlyfüggvény 3 Átmeneti függvény 9 8 2.5 7 6 2 w(t) 5 v(t).5 4 3 2.5 2 3 4 5 6 7 8 t 2 4 6 8 2 4 6 t.2.4 G() 5 + 3 2 + 6 + 5 + lim 5 W () G() 2 + 6 + 5 p, p 2 5 { } [ 5 + 3 w(t) L {G() } L 2 lim ( + ) + 6 + 5 [ 5 + 3 ( + 5) ( + )( + 5) et 5 + 3 + 5 5 + 3 ( + )( + 5) et e t + 5 5 + 3 e 5t, 5 e t + 5, 5 e 5t 5 + + 5 Súlyfüggvény 4 3 w(t) 2.5.5 2 2.5 3 t
v(t) L { + lim V () G() ( 2 + 6 + 5) p, p 2, p 3 5 [ G() ( + ) } { } L 5 + 3 ( 2 + 6 + 5) [ 5 + 3 ( + )( + 5) et + lim 5 lim [ ( + 5) 5 + 3 ( + )( + 5) et 5 + 3 ( + )( + 5) et 3 5 + 5 + 3 4 e t + 22 5 ( 4) e 5t 3 5 + 2 e t, e 5t +.9 Átmeneti függvény.8.7.6.5 v(t).4.3.2. 2 3 4 5 6 7 t A továbbiakban az.2 é.3 fejezetben analóg villamo áramköröket é mechanikai özeállítáokat vizgálunk. A következ kben néhány általáno érvény megállapítát tezünk a fejezetek feladataira vonatkozóan. Analóg villamo áramkörök vizgálata eetén az átviteli függvénybe az operátoro impedanciákat kell behelyetteíteni: R helyére R kerül, C helyére C kerül, L helyére pedig L kerül. A példákban pazív é aktív négypóluok vielkedéét vizgáljuk. A pazív négypóluokban cak pazív elemek (ellenállá, kondenzátor, induktivitá) találhatók, míg az aktívakban m veleti er ít i zerepel. Pazív négypóluok eetén az átviteli függvényt a következ képpen lehet felírni: G() Z ki Z be, ahol Z ki a kimeneti impedancia (az az impedancia, amit a négypólu kimeneti oldaláról betekintve látunk), Z be pedig a bemeneti impedancia (az az impedancia, amit a négypólu bemeneti oldaláról betekintve látunk). Az elmondottakat ábra i zemlélteti. Aktív négypóluok eetén az átviteli függvényt a következ képpen kell felírni: G() Z v Z be, ahol Z v a vizacatolái impedancia (az az impedancia, ami a vizacatoló ágban van), Z be
pedig a bemeneti impedancia (az az impedancia, ami a négypólu bemenetén van). Az elmondottakat ábra i zemlélteti. Mechanikai rendzerekre vonatkozó megjegyzéek:. Ha az átviteli függvény nevez je máodfokú, akkor hozzuk a függvényt olyan alakra, hogy ezen máodfokú tag együtthatója legyen. 2. A feladatokban vázolt rendzerekben található cillapítókamrák vielkedéére a Rayleigh-féle dizipáció igaz. Így az egyenletekben zinte ugyanazt kell felírni, mint a rugók eetében, de a cillapítá nem a távolágtól, hanem annak id zerinti deriváltjától, a ebeégt l függ. 3. A feladatokban er egyenúlyi egyenleteket írunk fel. Mindenütt adott egy y elmozdulá kimenet, erre a kimenetre írjuk fel az er egyenúlyt Newton II. axiómája zerint (F m a m ÿ, ahol m a tömeget, a, ill. ÿ a gyorulát jelöli). 4. Megállapodá zerint az id tartományi változókat kibet vel, az operátortartománybelieket pedig nagybet vel jelöljük. 5. [2 é a mérnöki gyakorlat zerint a rugóban ébred er F y, ahol a rugómerevég, y pedig a rugó hozváltozáa. A mértékegyég: [ N m. A rugómerevég reciproka a rugóállandó, melyet c-vel jelölünk; [c m N. Mindezek ellenére a következ feladatokban a rugómerevég c-vel van jelölve, mivel C a Laplace-operátor..2.5 Adott az alábbi négypólu. Határozzuk meg a rendzer úly- é átmeneti függvényét! R kω, R 2 5kΩ, C 2µF, w(t)?, v(t)? G() Z ki Z be R 2 R 2 + R C R 2 + R 2 R C R C + C R R 2 C + R 2 R R 2 C + R + R 2 R 2 + R 2 R R C + 5(, 2 + ) 6(, 67 + ) R 2 R R 2 C + R + R 2 R C + A L -tranzformációt cak akkor lehet elvégezni, ha a zámláló fokzáma kiebb, mint a nevez é. Az ilyen alakú függvény el állítáa például polinomoztáal történhet. 2
5 G() 5 6 6 5 5 3 3 + W () G() + 6 + 6 p 6 { w(t) L {G() } L } { } L {} L + 6 + 6 [ δ(t) lim ( + 6) 6 + 6 et δ(t) e 6t V () G() ( + 6) p, p 2 6 { v(t) L G() } { } { } L L ( + 6) (t) + lim 6 [ { lim [ ( + 6) 5 6 + 6 e 3 ( + 6) et ( + 6) et 5 3 t + } Súlyfüggvény Átmeneti függvény.98 2.96 3.94 4.92 w(t) 5 v(t).9 6 7.88 8.86 9.84..2.3.4.5.6.7.8.9.,7 t.82..2.3.4.5.6.7.8.9 T,7 t x 3 3
.2.6 Adjuk meg a rendzer átviteli függvényét! mÿ c(u y) + k( u ẏ) mÿ + cy + kẏ cu + k u Térjünk át operátortartományba. m 2 Y + ky + cy ku + cu (m 2 + k + c)y (k + c)u G Y () U() k + c m 2 + k + c.2.7 Adjuk meg a rendzer átviteli függvényét! c 3 N m, c 2 2 N m,, k N m A rendzer vielkedée egy egyenlettel nem írható le, ezért bevezetjük a z imeretlent az ábrán látható módon. kż c 2 (y z) c (u y) c 2 (y z) kz c 2 Y c 2 Z c U c Y c 2 Y c 2 Z Z c 2Y k + c 2 c2 2Y c U c Y c 2 Y k + c 2 (kc + c c 2 )U (kc + c c 2 + kc 2 + c 2 2 c 2 2)Y G() Y () U() kc + c c 2 3 + 6 k(c + c 2 ) + c c 2 5 + 6 4
.2.8. Számítuk ki é ábrázoljuk a rendzer úly- é átmeneti függvényét! k 5 N m, c 2 N m, c 2 3 N m c 2 y c (u y) + k( u ẏ) c 2 Y c U c Y + ku ky (c + c 2 + k)y (c + k)u G() Y () U() c + k c + c 2 + k 5 + 2 5 + 5 3 5 + 5 W () G() + p 3 w(t) L {G() } L {} L 5 + δ(t) lim ( + ) ( 3 5 + 3 5 + ) e t δ(t) 3 5 e t delta(t) Súlyfüggvény..2.3.4 w(t).5.6.7.8.9. T 2 3 4 5 6 t 5
(t) ( + ) ( + ) ( V () G() p, p 2 { v(t) L G() } { } 3 L L ( 5 + ) 3 3 lim 5 ) e t ( 5 + 2 5 + 3 5 e t + lim + ) e t Átmeneti függvény.9.8 v(t).7.6.5.4 T 2 3 4 5 6 t.2.9 Határozzuk meg az alábbi rendzer átviteli, úly- é átmeneti függvényét! c 4 N m, k N m, k 2 2 N m Bevezetjük a z egédváltozót. 6
G() Y () U() cz k (ẏ ż) k (ẏ ż) k 2 ( u ẏ) cz k Y k Z k Y k Z k 2 U k 2 Y Z k Y c + k k Y k Y k k + c k 2U k 2 Y ( ) Y k + k 2 k2 2 k 2 U k + c k 2 k + k 2 (k ) 2 c + k k k 2 + ck 2 k k 2 + c(k + k 2 ) + 4 + 6 2 + 6 W () G() k k 2 2 + ck 2 k 2 2 + ck + k k 2 2 + ck 2 k 2 2 + 6 p 6 { w(t) L {G() } L 2 } { } 2 L {} L + 6 + 6 [ 2 δ(t) lim ( + 6) 6 + 6 et δ(t) 2 e 6t Súlyfüggvény delta(t).2.4.6.8 w(t).2.4.6.8 2. T,67.2.3.4.5.6.7.8.9 t 7
(t) V () G() ( + 6) p, p 2 6 v(t) L { { lim [ G() 2 ( + 6) et } { } { } 2 L L ( + 6) [ } 2 + lim ( + 6) 6 ( + 6) et 2 3 + 3 e 6t Átmeneti függvény.95.9.85 v(t).8.75.7.65..2.3.4.5.6.7.8.9 T,67 t.2. Az alábbi adatok imeretében határozzuk meg c értékét, é írjuk fel a rendzer átviteli, úly- é átmeneti függvényét! c 2 3 N m, k 35N, v(t ), 6 m c 2 y c (u y) + k( u ẏ) c 2 Y c U c Y + ku ky G() Y () U() k + c k + c + c 2 A feladat megoldáához az egyik határértéktételt haználjuk. Lád [ 258. oldal Általánoan: A feladatra vonatkoztatva: lim y(t) lim Y () t ( lim v(t) lim t G() ) 8
35 + c lim v(t) lim G() lim t 35 + c + 3 c c + 3, 6 adott c 4, 5 N m 35 + 4, 5 G() 35 + 7, 5 3, 86 35 + 7, 5 +, 24 W () G() +, 24 p, 24 { } { } w(t) L {G() } L, 86, 86 L {} L +, 24 +, 24 [, 86 δ(t) lim ( +, 24),24 ( +, 24) et δ(t), 86 e,24t Súlyfüggvény delta(t)..2.3.4 w(t).5.6.7.8.9 T4,6735 5 2 25 3 t V () G() ( +, 24) p, p 2, 24 { v(t) L G() } { } { } { } L, 86, 86 L L ( +, 24) ( +, 24) (t) { lim [, 86 ( +, 24) et + lim,24 [ ( +, 24), 86 ( +, 24) et (t) (, 4, 4 e,24t ), 599 +, 4 e,24t } 9
Átmeneti függvény.95.9.85 v(t).8.75.7.65 T4,673 5 5 2 25 3 t.2. Mekkora k értéke, ha ξ, 2? Határozzuk meg a rendzer úly- é átmeneti függvényét! c 2 N m, c 2 3 N m, m 2kg mÿ c (u y) + k( u ẏ) c 2 y m 2 Y c U c Y + ku ky c 2 Y G() Y () U() k + c m 2 + k + c + c 2 k + c c + c 2 c + c 2 m c + c 2 2 + A nevez T 2 2 + 2T ξ + alakú. T 2 m T 2 c + c 2 2T ξ k k 24 N c + c 2 m, 2 +, G() 2 +, 2 +, 25 W () G() k c + c 2 + 2 +, 2 +, 25, 27, 2, 93 { } w(t) L {G() } L, 2 +, ( +, 27)( +, 93) [, 2 +, lim ( +, 27),27 ( +, 27)( +, 93) et + [, 2 +, + lim ( +, 93),93 ( +, 27)( +, 93) et, 34 e,27t +, 54 e,93t 2
.2 Súlyfüggvény.8.6 w(t).4.2.2 5 5 2 25 t v(t) L { + lim,27 [ V () G() ( 2 +, 2 +, 25) p, p 2, 27, p 3, 93 G() ( +, 27) } { } L, 2 +, ( 2 +, 2 +, 25), 2 +, ( +, 27)( +, 93) et + lim,93 lim [ [ ( +, 93), 2 +, ( +, 27)( +, 93) et +, 2 +, ( +, 27)( +, 93) et,, 27, 93 +, 27, 2 +,, 27 (, 27 +, 93), 93, 2 +, e,27t +, 93 (, 93 +, 27) e,93t, 4 +, 256 e,27t, 656 e,93t.9 Átmeneti függvény.8.7.6 v(t).5.4.3.2. 5 5 2 25 3 t 2
.2.2 Határozzuk meg k értékét, ha az y é y 2 pontok egyégugrá bemenet eetén 2 múlva kerülnek egymá mellé! c 2 N m, c 2 3 N m, c 2 3 N m, c 22 2 N m G G G 2 v(t) L { ( A bal oldalra: c 2 y c (u y ) + k( u ẏ ) c 2 Y c U c Y + ku ky G () Y () U() k + c k + c + c 2 A jobb oldalra: c 22 y 2 c 2 (u y 2 ) c 22 Y 2 c 2 U c 2 Y 2 G 2 () Y 2() U() c 2 c 2 + c 22 A rendzer kimenete: y y y 2 k + c k + c + c 2 ) V () G() c 2 2k 5 c 2 + c 22 5k + 25 2 5 k + 5 k + 5, 2 5 k k 2 L 5 2 ( k + 5 ) lim 5 k ( k + 5 ) e t + k ( + 5 ) 2 5 k ( k + 5 ) e t 5 + 3 5 e 5 k t k G() } + lim 5 k v(t) y(t) 5 + 3 5 e 5 k 2 Mivel a kiírá zerint egymá mellé kerülnek, így a két pont elmozduláának különbége. k 9, N m 22
.3. Rendzerek vizgálata frekvenciatartományban A további feladatok megoldáa el tt célzer áttanulmányozni a [3 dokumentumot az alaptagok tulajdonágairól. Jelen feladatgy jteményben az ábrákon a(z) (alap)tagok ponto Bodediagramjai zerepelnek. A feladatok megoldáa orán elegend a töréponto közelítét felrajzolni. Ehhez adnak támpontot az ábrákon bejelölt meredekég- é törépontértékek. Megjegyzé: - Bode-diagram felrajzoláához az átviteli függvényt alaptagok zorzatára bontjuk fel. - Nyquit-diagram felrajzoláához az átviteli függvényt alaptagok özegére bontjuk fel..3. Határozzuk meg az alábbi négypólu átviteli függvényét! Rajzoljuk fel a Nyquit- é Bode-diagramot! G() Z ki Z be R 4MΩ, C, 5µF C RC + C A kapott átviteli függvény egy TP-tag átviteli függvénye. RC + 2 + Nyquit diagram ω ω.5..5.2 Im.25.3.35.4.45 ω.5..2.3.4.5.6.7.8.9 Re 23
Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 2 25 3 35 4 2 db/dek 45 5,5 Phae (deg) 45 45 fok/dek 9 3 2 2 Frequency (rad/ec).3.2 Adjuk meg az alábbi négypólu átviteli függvényét, Nyquit- é Bode-diagramját! R Ω, R 2, Ω, C F, L H Megjegyzé: A diagramok felrajzoláa el tt az átviteli függvény alaptagjait mindig id állandó alakra kell hozni. G() Z ki Z be R 2 C R 2 + C R 2 C R 2 + + R L R + L C R 2 R 2 C + R 2 R 2 C + + R L R + L, +, + + +,, + + 24
Nyquit diagram ω ω.5..5.2 Im.25.3.35.4.45 ω.5..2.3.4.5.6.7.8.9 Re Bode Diagram 2 Magnitude (db) 3 4 2 db/dek 5 6 7, Phae (deg) 45 45 fok/dek 9 3 2 2 Frequency (rad/ec) 25
.3.3 Rajzoljuk fel az alábbi négypólu Nyquit- é Bode-diagramját! R 7kΩ, R 2 3kΩ, C µf G() Z ki Z be R 2 R 2 + R C R 2 R R 2 + R 2 + C R C + C R R 2 C + R 2 R R 2 C + R + R 2 R 2 R R C + 2 + 3 2 + R 2 R R 2 C + R + R 2 R C + G(iω) 2iω + 3 2iω +, 2iω, 2iω + +, 3, 2iω + Az átviteli függvényb l egy TD é egy TP-tag átviteli függvényének özegét kaptuk. felrajzoláához ki kell zámítani az ω arok-körfrekvenciához tartozó értéket i. A diagram TD: TP: G(iω ) A d 2T + i Ad, 5 +, 5i 2T G(iω ) A 2 i A, 5, 5i 2.5.4 Nyquit diagram ω TP+TD TD TP ω.3.2 Im. ω ω ω ω ω ω. ω.2..2.3.4.5.6.7.8.9 Re 26
2 + 3 G() 2 +, 3 (, 7 + ), 2 + TP PD TP Bode Diagram 2 4 Magnitude (db) 6 8 2 lg,3 +2 db/dek 2 4 42,86 476,9 3 Phae (deg) 2 fok/dek +45 fok/dek 45 fok/dek 2 3 4 Frequency (rad/ec).3.4 Határozzuk meg R é R 2 értékét az alábbi kapcolában! Határozzuk meg a rendzer tatiku körer ítéét (t) bemen jelre é a rendzer G(iω) frekvenciafüggvényét! Ábrázoljuk a tag Nyquit- é Bode-diagramját! R 2 R 2, L 4H, T 2 27
G() Z v Z be R R 2 R + R 2 L + R R 2 R + R 2 L R + T L R R L T 2Ω, R 2 2 R 4Ω lim G() lim G() R 2 R + R 2 R 2 A 2 R + R 2 3 2 G(iω) 3 2iω + Nyquit diagram ω ω.5..5 Im.2.25.3 ω.35..2.3.4.5.6.7 Re 28
Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 2 25 3 35 4 2 db/dek 45 5,5 Phae (deg) 45 45 fok/dek 9 3 2 2 Frequency (rad/ec).3.5 Határozzuk meg az alábbi négypólu átviteli függvényét! Mekkora C értéke, ha a kapcolá id állandója? Ábrázoljuk a rendzer Nyquit- é Bode-diagramját! 75 R 5kΩ, R 2 kω G() Z R v 2 C Z be R R 2 C R 2 + C R R 2 C R 2 C + C R R 2 R R 2 C + R 2 4 C + A rendzer egy TP taggal modellezhet, melynek átviteli függvénye: G() G() T 4 C 75 C, 3µF 2, 3 2 + A T + 29
ω Nyquit diagram ω..2.3.4 Im.5.6.7.8.9 ω.2.4.6.8.2.4.6.8 2 Re Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 5 2 25 3 2 db/dek 35 4 75 Phae (deg) 45 45 fok/dek 9 2 3 4 5 Frequency (rad/ec).3.6 Határozzuk meg R 2, C, C 2 értékét, ha v(t ) 5, v(t ) 2 é T 3! Írjuk fel a négypólu átviteli függvényét, frekvenciafüggvényét! Rajzoljuk fel a Nyquit- é Bode-diagramokat! R MΩ 3
G() Z R 2 v C 2 Z be R C R 2 C 2 R 2 + C 2 R C R + C v(t) L { R 2 R 2 C 2 + R R 2 C + R 2 R 2 (R C + ) R R R 2 C 2 + R R R C + TP PD TP G() V () G() } { L R2 R } R C + (R 2 C 2 + ) R (R 2 C 2 + ) p, p 2 R 2 C [ 2 v(t) lim R2 R C + R (R 2 C 2 + ) et + + lim R 2 C 2 ( + R 2 C 2 ) R2 R C + ( R R 2 C 2 + R ( 2 C + R ) 2 e R 2 C t 2 R C 2 R v(t ) C C 2 5 v(t ) R 2 R 2 R 2 2 R 2MΩ T R 2 C 2 3 C 2, 5µF C 5 C 2 7, 5µF R 2 C 2 ) e t 7, 5 + G() 2 3 + 7, 5iω + G(iω) 2 3iω + G() 5 3 + + 2 3 + G() 2 (7, 5 + ) 3 + Megjegyzé: a feladat a határértéktétellel i megoldható: lim v(t) lim V () lim G() C 5 t C 2 lim v(t) lim G() R 2 2 t R R 2 2MΩ R 2 C 2 3 C 2, 5µF C 7, 5µF R 2 C 2 + 3
2.5 2 Nyquit diagram ω TD+TP TD TP.5 ω Im.5 ω ω ω ω ω ω.5 ω.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Re Bode Diagram 4 3 Magnitude (db) 2 9 +2 db/dek 8 2 lg 2 7 6 3,33,33 25 Phae (deg) 2 5 fok/dek +45 fok/dek 45 fok/dek 5 3 2 2 Frequency (rad/ec) 32
.3.7 Rajzoljuk fel a rendzer Bode-diagramját! m 2kg, k 2 N m, c 6 N m, c 2 4 N m mÿ c 2 (u y) kẏ c y m 2 Y c 2 U c 2 Y ky c Y G() Y () U() c 2 2 m 2 + k + c + c 2 2 + 6 + 5 2 ( + )( + 5) 2 + ( ) 2 5 5 + 5 + TP TP 5 + TP Bode Diagram 2 lg,4 2 2 db/dek Magnitude (db) 4 6 8 4 db/dek 2 5 Phae (deg) 45 9 45 fok/dek 9fok/dek 35 45 fok/dek 8 2 2 3 Frequency (rad/ec).3.8 Adott az alábbi mechanikai elrendezé. Határozzuk meg a G() átviteli függvényt! Mekkora k cillapítá eetén lez a rendzer az aperiodiku határhelyzetben? Növeljük meg az aperiodiku határhelyzethez tartozó cillapító értékét,5-zereére! Rajzoljuk fel a tag Bode-diagramját az új cillapítáal! c 5 N m, c 2 N m, m 4kg A rendzer aperiodiku határhelyzetben van, ha ξ. 33
mÿ c 2 (u y) kẏ c y m 2 Y c 2 (U Y ) ky c Y G() Y () U() c 2 m 2 + k + c + c 2 T 2 m c + c 2 2 + A nevez T 2 2 + 2ξT + alakú. c 2 c + c 2 m c + c 2, 27 T, 52 k 2ξT c + c 2 k 2ξT (c + c 2 ) 2, 52 5 5, 6 N m G() 4 2 + 5, 6 + 5 k, 5 k, 5 5, 6 23, 5 N m G () 4 2 + 23, 4 + 5 k c + c 2 + 4 2 + 23, 4 + 5 p 5, 72, p 2, 7328 G (), 667, 957 +, 364 + TP TP TP Bode Diagram 2 lg,66 2 2 db/dek Magnitude (db) 4 6 8 4 db/dek 2,73 5,2 Phae (deg) 45 9 45 fok/dek 9 fok/dek 35 45 fok/dek 8 2 Frequency (rad/ec) 2 3 34
.4. Soro kompenzálá Fonto megjegyzé: Jelen feladatgy jteményben a diagramokon az alaptagok ponto Bode-diagramja zerepel. A feladatok papíron történ megoldáakor cak az azimptotákat kell felrajzolni.emiatt az eltolá nagyága nagy valózín éggel el fog térni az itt közöltekt l. A legfontoabb a feladatok megoldáában a helye elv alkalmazáa. (Nagy eltéré akkor keletkezik, ha az adott fázitartalékhoz tartozó amplitudó diagrammetzék a törépont közelében van.).4. Alakítuk át az alábbi átviteli függvényt alaptagok zorzatára, majd ábrázoljuk a Bode-diagramot! G() 5, 25 3 +, 55 2 + 5 2 + 2 + TI TP TP Bode Diagram 5 2 db/dek Magnitude (db) 5 4 db/dek 5 2 2 6 db/dek telje TI TP TP 45 9 Phae (deg) 35 8 45 fok/dek 225 9 fok/dek 45 fok/dek 27 2 2 3 Frequency (rad/ec) 35
.4.2 Tervezzünk oro arányo kompenzátort lin-log papíron a következ rendzerre! r e u y 5 - A 3 +3 2 +2 G() 5 G() 3 + 3 2 ϕ t 3 + 2 A eetén G H () G() 5 3 + 3 2 + 2 2, 5 + 2 + TI TP TP 5 Bode Diagram 2 db/dek 4 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek 5 2 9 2 35 5 fok 45 fok/dek Phae (deg) 8 9 fok/dek 225 45 fok/dek 27 2 2 3 Frequency (rad/ec) X 7, 5 (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 7, 5 A, 42 36
A oro arányo kompenzátor er ítée,42..4.3 Tervezzünk jelkövetét é 3 -o fázitartalékot biztoító oro kompenzátort a következ rendzerre! r e u y AI - 2 +3+2 5 G() 5 2 + 3 + 2 A jelköveté cak akkor valóul meg, ha a felnyitott hurok integráló tulajdonágú, vagy a nem integráló típuú rendzert integráló tulajdonágú zabályozóval látjuk el. A példában adott rendzer nem integráló. El zör bizonyítjuk, hogy arányo kompenzátort alkalmazva nem teljeül a jelköveté. Y () G() C() + G() C() R() A eetén G() G H () A A eetén: 5 2 + 3 + 2 A R() 5 + 2 + 3 + 2 A Határértéktétel: 5 2 + 3 + 2 lim y(t) lim G() t u(t) (t) eetén U(), Y () G() lim 5A 2 + 3 + 2 + 5A R() G z() R() 5A 2 + 5A R() G z() lim 5A 2 + 5A A R, A Így ebben az eetben nem teljeülhet a jelköveté. Integráló tulajdonágú kontrollert alkalmazva: Y () G() C() + G() C() R() C A I eetén: 5 2 + 3 + 2 AI 5A I 5 + 2 + 3 + 2 AI 3 + 3 2 + 2 + 5A I 37
lim G H () G() C() 5A I 3 + 3 2 + 2 + 5A I R() R() Ebben az eetben teljeül a jelköveté. A fázitartalék biztoítáa: 5 2 + 3 + 2 AI 5 ( 2 + 3 + 2) A I A eetre a feladat megoldáa az.4.2-eel egyezik meg. Megjegyzé: integráló kompenzátor alkalmazáa eetén a C() nevez jében lév -et hozzáírjuk a felnyitott hurok átviteli függvényéhez, é ezt tekintjük a továbbiakban G()-nek, így a feladatot vizavezettük oro arányo kompenzátor kereéére. G() A I eetén G H () G() 5 3 + 3 2 + 2 2, 5 + 2 + TI TP TP 5 Bode Diagram 2 db/dek 4 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek 5 2 9 2 35 5 fok 45 fok/dek Phae (deg) 8 9 fok/dek 225 45 fok/dek 27 2 2 3 Frequency (rad/ec) X 7, 5 (lefelé kell tolni) 2 lg A I X 2 lg A I 7, 5 A I, 42 38
A oro arányo kompenzátor er ítée,42..4.4 Minimum 3 -o fázitartalék biztoítáához melyik kompenzátort kell haználni az alább megadott rendzerre? r e u, y - A 2 +,2+, (+) G() G(), ( + )( 2 +, 2 +, ) A feladatot általánoan oldjuk meg. A kompenzátort alkalmazva:, ( + )( 2 +, 2 +, ) A, A 2, + + + TI TP TP TP Bode Diagram Magnitude (db) 5 5 2 db/dek 6 db/dek 8 db/dek 5 2 9 / 5 fok Phae (deg) 8 27 9 fok/dek 35 fok/dek 45 fok/dek 36 3 2 2 Frequency (rad/ec) 39
X 44 (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 44 A, 63 Az A 2 kompenzátort kell haználni, cak ezzel biztoítható az adott fázitartalék..4.5 Tervezzünk 3 -o fázitartalékot biztoító oro integráló kompenzátort az ábrán látható rendzerre! r e u 2 y A - I,2+,,+ G H (), 2A I A I eetben: G H (), 2 G H (), 2, 2 +, +, 2 +, 2 +, + TI TP TP, + X 28, 6 (felfelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 28, 6 A 26, 92 4
Bode Diagram 5 4 db/dek 2 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek 5 2 9 5 35 45 fok/dek Phae (deg) 8 225 9 fok/dek 45 fok/dek 27 2 Frequency (rad/ec) 2 3.4.6 Tervezzünk oro integráló kompenzátort, amely biztoítja a ϕ t 3 -o fázitartalékot! Mekkora a T z zabályozái id? Határozzuk meg y( ) értékét, ha r 2! Mekkora állandóult állapotban az e zabályozái eltéré? r e A I u 6,25 y - 2 2 + 2 +,2,+ G H () A I 2 2 + 2 + p, 5, p 2, 6, 25 2( +, 5)( +, ) G H (), 25, 2, +, 25A I (2 + )( + )(, + ) A I eetben: 2 + +, + TI TP TP TP 4
Bode Diagram 5 Magnitude (db) 5 5 2dB/dek 4dB/dek 6dB/dek 2 25 9 / /2 5 fok 45 fok/dek Phae (deg) 8 27 9 fok/dek 45 fok/dek 36 2 2 3 Frequency (rad/ec) X 7, 4 (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 7, 4 A, 35 A vágái körfrekvencia: ω c, Ebb l a zabályozái id : π T z 3π ω c ω c 28, 56 T z 85, 68 A zabályozott rendzer integráló tulajdonágú, így a jelköveté biztoított, azaz e Tudjuk, hogy ha t, akkor é r 2. lim, 2, +, 2, így e r, 2y A kimenet az állandóult állapotban: y 42
.4.7 Tervezzünk oro integráló kompenzátort, amely biztoítja a ϕ t 3 -o fázitartalékot! Mekkora a T z zabályozái id? Határozzuk meg y( ) értékét, ha r 2! Mekkora állandóult állapotban az e zabályozái eltéré? r e A u y I,5+2-2+5 3+4 2 G H () A I 2 5 ( +, 25), 4 + 4, 75 + 2 A I eetben: G H (), 2 ( +, 25), 4 +, 75 + TI PD TP TP 5 Bode Diagram 4 db/dek 6 db/dek Magnitude (db) 5 2 db/dek 4 db/dek 9,3 2,5 4 Phae (deg) 35 8 45 fok/dek 9 fok/dek 45 fok/dek fok/dek +45 fok/dek 225 3 2 2 Frequency (rad/ec) 43
X 29, 5 (felfelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A 29, 5 A 29, 85 A vágái körfrekvencia: ω c 2, 5 Ebb l a zabályozái id : π ω c T z 3π ω c, 26 < T z < 3, 77 Ez a rendzer i integráló tulajdonágú, így e. e r 2y Felhaználva, hogy r 2, y.4.8 Tervezzünk oro arányo kompenzátort a megadott rendzerre, amely ϕ t 45 -o fázitartalékot biztoít! Határozzuk meg az állandóult állapotbeli hibát (e ), ha r 2! r e u 5,84 y - A, 362 2 +, 362 + 2,362+ G H () A G H () 3, 6228 5, 84, 362 2 +, 362 + 2, 362 + A eetben, 362 + +, 362 + TP TP TP TP 44
Bode Diagram 5 2 db/dek Magnitude (db) 5 4 db/dek 6 db/dek 5 3,63 3,626 45 45 fok/dek Phae (deg) 9 35 8 225 35 fok 9 fok/dek 35 fok/dek 9 fok/dek 45 fok/dek 27 2 Frequency (rad/ec) 2 3 X, (lefelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A, A, 28 Az állandóult állapotot mutatja a következ ábra: y, 28 5, 84 e 4, 427e e r 2y r 8, 854e 9, 854e 2 e, 23 45
.4.9 Tervezzünk olyan oro integráló kompenzátort az alábbi rendzerhez, mely biztoítja a 45 -o fázitartalékot! Határozzuk meg a T z zabályozái id t é y értékét, ha r8! r e A u 5 y - I + - 2 2 A bel ki kör átviteli függvénye: Ḡ() G H () A I 5 + A I eetén: G H () + 5 + 2 5 5 + + 2 + TI TP TP Bode Diagram 5 2 db/dek 4 db/dek Magnitude (db) 5 6 db/dek 5 2 9 35 35 fok 45 fok/dek Phae (deg) 8 225 9 fok/dek 45 fok/dek 27 2 Frequency (rad/ec) 2 3 46
X (felfelé kell tolni) 2 lg A X 2 lg A A, 2 ω c, 3 π T z 3π ω c ω c 2, 42 T z 7, 25 A rendzer integráló tulajdonágú, így e e r 2y y 4.5. Robuztu tabilitá.5. Adjuk meg az additív é multiplikatív hibafüggvényeket, ábrázoljuk i ket! G() A T 2 2 + 2T +, G N () A T +, A, T A () G() G N () additív hiba: G() G N () + A () ( + ) 2 + + + TD TP TP M () G() G N () G N () multiplikatív hiba: G() G N () ( + M ()) ( + ) 2 + + TD + TP 47
Bode Diagram db/dek delta A delta M 2 2 db/dek Magnitude (db) 3 4 +2 db/dek 5 6 7 3 2 Frequency (rad/ec) 2 Megjegyzé: a A d tag amplitudó diagramja ugyanúgy -nél metzi a db-e tengelyt +2 db A d dek meredekéggel, mint az A d -é, de fáziforgatáa +27 minden frekvencián..5.2 Állapítuk meg, hogy a C arányo oro kompenzátor robuztuan tabilizál-e! C mely értékeire lez a zabályozó robuztuan 9 tabil? T N (), ( + ) G N 9 + d M A multiplikatív robuztuági tezt:, 362( + ), + d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω), + d M (), 362( + ), 362 (, + ) + G HN() + G HN () C()G N() + C()G N () TP PD TP, ( + ) 9 9 + + 9, ( + ) 9 + ( + ) 5 + TP PD TP 48
Bode Diagram /dm TN 5 2dB/dek Magnitude (db) 5 5 +2dB/dek A d M (ω) > robuztuan. 5 2 Frequency (rad/ec) 2 G HN (iω) + G HN (iω) egyenl tlenég nem teljeül, így a C 9 kompenzátor nem tabilizál A C értékének meghatározáához az d M () é a T N() függvények határértékeit kell megvizgálnunk. A határértéket vagy a -ban, vagy -ben vizgáljuk. Ahhoz, hogy a zabályozó robuztuan tabilizáljon, az d M () > T N() feltételnek teljeülnie kell. A feltétel teljeül, ha az függvény abzolut d M () minimuma nagyobb, mint a T N () függvény abzolut maximuma. A határértékét azerint kell -ban illetve -ben vizgálnunk, hogy merre van az d M () minimuma ill. T N() maximuma. Ugyanez az elv az additív robuztuági tezt eetén i. lim d M () lim, +, 362( + ) lim, 362, + ( + ), 363, ( + ) C lim T N () lim 9 +, ( + ) + C 9 + C, 363 > 9 + C C <, 54 C 9 C + A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint multiplikatív hiba eetén. 49
.5.3 Állapítuk meg, hogy robuztuan tabilizál-e a C 2, 5 oro arányo kompenzátor? Mekkora legyen C értéke, hogy robuztu tabilitái tezt teljeüljön? G N () 2 d A () 3 +, + Az additív robuztuági tezt: d A (ω) > C(iω) + G HN (iω), + (, + ) d A () PD TI C() + G HN () C() + C()G N () 2, 5 + 5 3 + 2, 5 6 (3 + ) 2 + TP PD TP Bode Diagram 25 /da C/(+GHN) 2 5 Magnitude (db) 5 5 +2 db/dek 2 db/dek 5 Az d A (ω) > robuztuan. /3 2 2 Frequency (rad/ec) 2 C(iω) feltétel nem teljeül, így a C 2, 5 oro kompenzátor nem tabilizál + G HN (iω) lim lim d A () lim, +, C() + G HN () lim, > C C + C 2 3 + C A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint additív hiba eetén. 5
.5.4 M, eetén robuztuan tabil-e az alábbi rendzer? M mely értékeire lez robuztuan tabil? G N () 8 M (, 2 + ) C 2 d M () + 4, 2 + A multiplikatív robuztuági tezt: d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω) Az M, értéket felhaználva:, 2 + d M (), (, 2 + ) (, 2 + ), 2 + TP PD TP T N () C()G N ( + C()G N () 2 + 2 8 + 4 8 + 4 4 5 2 + Bode Diagram 2 2 db/dek /dm TN Magnitude (db) 2 3 2 db/dek 4 5 Az d M (ω) > tabilizál. 2 5 5 6 2 Frequency (rad/ec) 3 4 G HN (iω) feltétel teljeül, így M, eetén a C 2 oro kompenzátor robuztuan + G HN (iω) lim lim T 6 N () lim + 2 6 2 d M () lim, 2 + M (, 2 + ), M, M > 6 2 M <, 25 A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint multiplikatív hiba eetén. 5
.5.5 Mely C értékekre lez robuztuan tabil a rendzer? G N () 3 d M () d A () +, +, + Multiplikatív hibára: A multiplikatív robuztuági tezt: d M (ω) >, + (, + ) d M () PD G HN (iω) + G HN (iω) TI T N () C()G N ( + C()G N () 3C + + 3C + 3C + + 3C 3C + + 3C A feladatban a ponto Bode amplitudó diagramok nem imertek, azonban az alakjuk meghatározható, é a határértékek kizámítáához ennyi i elég. TP TP lim T N () lim lim d M () lim 3C + + 3C, + 3C + 3C,, > 3C + 3C 27 > C A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint multiplikatív hibára. C() + C()G N () C Additív hibára: Az additív robuztuági tezt: + 3C + d A (ω) >, + (, + ) d A () C + C + + 3C PD C(iω) + G HN (iω) TI C ( ) + 3C + + 3C + TP PD TP 52
lim lim d A () lim, +, C() + C()G N () lim, > C C + C + + 3C C A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá a konzervatív feltétel zerint additív hibára..5.6 Adott egy névlege rendzer G N, valamint imert a multiplikatív hiba nagyága:, 2 +, 25 2 +, 5 M, 5 2 Írjuk fel a G() való rendzer átviteli függvényét! Vizgáljuk meg, hogy +, 5 + a C 2 oro arányo kompenzátor robuztuan tabilizálja-e a zárt kört! Adjuk meg azon kompenzátorok halmazát, melyek robuztuan tabilizálnak! G() G N ()( + M ()) (, 2 + +, ) 252 +, 5, 5 2 +, 5 +, 2 +, 52 +, 5 + +, 25 2 +, 5, 5 2 +, 5 +, 2 +, 3 2 +, 55 +, 5 2 +, 5 +, 3 2 +, 55 +, 3 +, 2 2 +, 2 +, 5 2 +, 5 +, 3 2 +, 55 +, 3 +, 26 2 +, 25 + A multiplikatív robuztuági tezt: d M (ω) > G HN (iω) + G HN (iω) d M (), 52 +, 5 +, 25 2 ( + ) (, 5 + ) +, 5, 5, 5 + PD PD TI TP G HN () + G HN () C()G 2 N() + C()G N (), 2 + + 2, 2 + 2, 2 + 3 2 3 2 3 + TP 53
Bode Diagram 3 /dm TN 2 2 db/dek db/dek 2 db/dek Magnitude (db) 2 3 4 2 db/dek 2 5 2 5 Frequency (rad/ec) 2 3 Az d M (ω) > robuztuan. G HN (iω) + G HN (iω) feltétel nem teljeül, így a C 2 oro kompenzátor nem tabilizál lim C()G N () + C()G N () C, 2 + + C C()G N () + C()G N () lim lim C, 2 + + C C + C d M () lim, 5 2 +, 5 +, 25 2, 2 +, 5 C + C <, 2 C <, 25 A fenti eetben teljeül a robuztu tabilitá. 54
2. fejezet Bevezeté az állapottér-elméletbe 2.. Állapottér-reprezentációk tulajdonágai, kapcolata A fejezetben zerepl feladatok megoldáa el tt célzer áttanulmányozni [ 4. é 5. fejezetét, melyben példákat i találunk az állapotváltozók megválaztáára. 2.. Állapítuk meg, hogy egy 2 dimenzió diagonáli állapottér-reprezentációval adott rendzer mikor irányítható, é mikor meggyelhet! [ λ ẋ x + λ 2 y [ x + u [ r r 2 a) Az irányíthatóág vizgálata C 2 [ b d A d b d [ [ [ λ r λ r A d b d λ 2 r 2 λ 2 r 2 [ r λ C 2 r r 2 λ 2 r 2 rangc 2 2, ha detc 2, azaz a mátrix nem zingulári detc 2 r λ r r 2 r 2 λ 2 (λ 2 λ )r r 2 rangc 2 2 ha r r 2 λ λ 2 b) A meggyelhet ég vizgálata [ c T O 2 c T A c T A [ [ λ [ λ λ λ 2 2 [ O 2 λ λ 2 rango 2 2, ha deto 2, azaz ha a mátrix nem zingulári deto 2 λ λ 2 λ 2 λ A rendzer akkor é cak akkor meggyelhet, ha λ λ 2 55
2..2 Adott egy rendzer az alábbi állapottér-reprezentációval. A b c T [ 2 4 a) Állapítuk meg, hogy a rendzer minimál reprezentáció-e? A rendzer minimál reprezentáció, ha egyzerre irányítható é meggyelhet. Az irányíthatóági mátrix 3-dimenzió mátrixokra: C 3 [ b Ab A 2 b Ab 2 4 4 A 2 b 4 2 4 4 8 C 3 4 4 8 4 telje rangú 4 8 A meggyelhet égi mátrix 3-dimenzió mátrixokra: O 3 c T A c T A 2 c T A [ [ 2 4 c T A 2 [ [ 2 4 O 3 telje rangú c T Az állapottér-reprezentáció irányítható é meggyelhet, ezért minimál reprezentáció. b) Írjuk fel a rendzer átviteli függvényét! G() c T (I A) b 2 + 4 2 + 4 (I A) + 5 2 + 4 2 2 2 2 + 4 3 + 4 2 3 5 G() 3 + 4 2 3 5 [ 2 + 4 2 + 4 + 5 2 + 4 2 2 2 3 + 4 2 3 5 56
c) Állítuk el az irányíthatóági alakot, é ábrázoljuk a blokkdiagramját! A tranzformáció mátrix: T c [C 3 (A, b) τ(a) A C 3 mátrixot már meghatároztuk az a) pontban. 4 3 τ(a) 4 4 3 T c 4 4 4 8 4 3 5 A c T c ATc 2 4 b c T c b c T c c T Tc [ [ Megjegyzé: a blokkémát könnyebb felrajzolni, ha a mátrixo formából el állítjuk az egyenleteket. 4 3 5 x ẋ x 2 + u x 3 y [ ẋ 4x + 3x 2 + 5x 3 + u ẋ 2 x ẋ 3 x 2 y x 3 x x 2 x 3 d) Állítuk el a diagonáli alakot, é ábrázoljuk a blokkdiagramját! 57
A tranzformáció mátrix: T d [C 3 (A, b) τ(a) P 3 A tranzformáció mátrix el két elemét már meghatároztuk az el z pontokban. λ 2 λ 2 2 λ 2 3, 29 2 (, 87) 2 ( 4, 42) 2, 66, 76 9, 54 P 3 λ λ 2 λ 3, 29, 87 4, 42, 29, 87 4, 42 4 3, 66, 76 9, 54 T d 4 4, 29, 87 4, 42, 29, 87 4, 42 4 8, 66, 24 8, 54, 39, 43, 8, 6, 4, 3, 2, 5, 29 A d T d AT d, 87 4, 42, 8 b d T d b, 3, 5 c T d c T T d [ Megjegyzé: a c T d vektor tartalmazhat --eket i, mert az a fonto, hogy r i b i c i legyen, ahol b i a b vektor, c i a c vektor i-edik eleme, r i pedig a p i póluhoz tartozó reziduum. 2..3 Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. [ A 2 3 [ b c T [ a) Állítuk el az irányíthatóági alakot! 58
A tranzformáció mátrix: T c [C 2 (A, b) τ(a) C 2 [ b Ab [ [ [ Ab 2 3 3 [ C 2 3 det(i A) 2 + 3 2 + 3 + 2 a 2, a 3, a 2 [ 3 τ(a) ([ [ ) [ 3 T c 3 [ [ [ [ A c T c ATc 3 2 2 3 [ [ [ b c T c b c T c c T Tc [ [ [ b) Állítuk el a diagonáli alakot! T d [C 2 (A, b) τ(a) P 2 Figyeljük meg, hogy az áttéré mátrixában az el két tag az irányíthatóági alak áttéréi mátrixa! Felhaználjuk az a) feladatban kizámolt mátrixot. λ,2 3 ± 9 4 2 λ, λ 2 2 2 [ 2 P ([ [ ) [ 2 T d 2 [ [ [ [ A d T d AT 2 d 2 2 3 2 [ [ [ b d T d b 2 c T d [ [ [ 2 2..4 Adjuk meg az alábbi átviteli függvénnyel adott rendzer irányíthatóági é meggyelhet égi állapottérreprezentációit! 4 G() 2 6 Az irányíthatóági állapottér-reprezentáció 2 dimenzió eetben: [ [ [ [ẋ a a x + u ẋ 2 x 2 59
y [ [ x b b x 2 a 2, a, a 6 [ [ 6 A c b c c T c [ 4 [ [ A o A T c b 6 o (c T c ) T c T 4 o b T c [ 2..5 Határozzuk meg az alábbi átviteli függvénnyel adott rendzer irányíthatóági állapottér-reprezentációját az x ξ, x 2 ξ egédváltozók felhaználáával! A feladat megoldáa el tt tanulmányozzuk [ 27. oldalán kezd d levezetét! 8 + 4 G() 2 + 6 + 5 G() b() a() Y () U() Y () b() U() : ξ() a() U() a() ξ() 2 ξ() + 6ξ() + 5ξ() Y () b() ξ() 8ξ() + 4ξ() Áttérünk id tartományba: u(t) ξ(t) + 6 ξ(t) + 5ξ(t) y(t) 8 ξ(t) + 4ξ(t) A feladatkiírában zerepelt, hogy az állapotáltozókat hogyan válazuk meg. [ẋ ẋ 2 x ξ, x 2 ξ u(t) ẋ + 6x + 5x 2 y(t) 8x + 4x 2 ẋ 6x 5x 2 + u ẋ 2 x y 8x + 4x 2 Mátrixo formába írva: [ [ 6 5 x + x 2 y [ 8 4 [ x x 2 [ u 2..6 Tranzformáljuk az alábbi állapottér-reprezentációt irányíthatóági alakba! A [ 4 5 [ b 2 T c [C 2 (A, b) τ(a) C 2 [ A Ab c T [ 3 2, 5 6
[ 4 Ab 5 [ 2 [ 4 9 [ 4 C 2 2 9 det(i A) 4 5 2 9 + 2 A c T c AT c c T c a 2, a 9, a 2 [ 9 τ ([ [ ) [ 4 9 9 5 T c 2 9 2 [ [ [ 9 5 4 5 2 5 2 9 [ [ [ 9 5 b c T c b 2 2 c T Tc [ 3 2, 5 [ 5 [ 8 37, 5 2 9 [ 9 2 2..7 Adott az alábbi állapottér-reprezentációval jellemzett rendzer. Tranzformáljuk diagonáli alakba! Írjuk fel a tranzformáció mátrixát é a reprezentáció mátrixát! A [ 6 b [ c T [ 2 2 Megjegyzé: ugye ézrevettük, hogy a rendzer irányíthatóági alakban adott? Irányíthatóági alakban adott rendzernél C 2 (A, b) τ(a) I 2 é emiatt T d P2 det(i A) 6 2 6 2 6 λ 3 λ 2 2 [ 3 2 P 2 T d P2 [ 2 5 3 [ [ [ 2 6 3 2 3 b d T d b [ [ 2 5 [ 3 5 c T d c T T d [ 2 2 [ 3 2 [ 8 2 A d T d AT d 5 [ 3 2 Termézeteen a megzokott lépéekkel i el lehet álltani a tranzformáció mátrixát, de úgy hozabb. T d [C 2 (A, b) τ(a) P 2 det(i A) 6 2 6 a 2, a a 6 6
Megjegyzé: a é a értéke az A c mátrixból közvetlenül i leolvaható. 2 6 λ 3 λ 2 2 C 2 [ b Ab [ [ τ(a) [ 3 2 P 2 ([ [ [ ) 3 2 T d [ 2 5 3 2..8 Adott az alábbi villamo elrendezé. Határozzuk meg a rendzer átviteli függvényét! Írjuk fel a rendzer irányítható állapottér-reprezentációját, ha ẋ 2 x! Rajzoljuk fel az irányíthatóági állapottérhez tartozó blokkémát! R 3Ω, C 2µF, L 2H R + G() C RC + 5 + 25 L + R + LC 2 + RC + 2 + 5 + 25 C b + b Az átviteli függvény 2 alakú. + a + a [ [ [ [ẋ 5 25 x + u ẋ 2 x 2 y [ 5 25 62
2..9 Határozzuk meg az alábbi mechanikai rendzer átviteli függvényét! Írjuk fel a rendzer diagonáli állapottér-reprezentációját, ábrázoljuk a hozzá tartozó blokkémát! c 2 N m, c 2 8 N m, k N m, m kg mÿ c y + c 2 (u y) + k( u ẏ) m 2 Y c Y + c 2 (U Y ) + k(u Y ) k + c 2 m 2 + k + c + c 2 k m + c 2 m + 8 2 + + G() 2 + k m + c + c 2 m 2 + + λ, λ 2 Az átviteli függvény felírható a reziduumok egítégével, lád [ 29. oldal: G() r + r 2, ahol λ λ 2 b() r i lim ( λ i ) λ i ( λ i ) r lim ( + ) + 8 ( + )( + ) 3 r 2 lim ( + ) + 8 ( + )( + ) 34 3 G() 34 3 + + 3 + Y () U() 34 Y (S) 3 + U() + 3 + U() X () + X 2 () [ [ [ẋ x + ẋ 2 x 3 u 2 y [ [ x x 2 i 34 3 63
2.. Írjuk fel a blokkémával reprezentált állapottér mátrixait! Írjuk fel a T haonlóági tranzformáció mátrixát, mely el állítja a diagonáli állapottér-reprezentációt, majd végezzük el a tranzformációt! ẋ 5x 6x 2 + u ẋ 2 2 3 x y 2x + 5x 2 A 5 6 [ 2 b c T [ 2 5 3 T d [C 2 (A, b) τ(a) P 2 C 2 [ b Ab Ab 5 6 [ 2 5 2 3 3 C 2 5 2 3 det(i A) 2 + 5 + 4 [ 5 τ(a) [ 4 P 2 64
T d 5 2 3 [ 5 [ 4 4 2 3 [ A d T d AT 4 d b d T d b 3 2 3 3 3 2 2 [ 3 c T d c T T d 4 3 4 3 2.. Adott egy rendzer dierenciálegyenlet-rendzere, valamint a meggyeléi egyenlet. Határozzuk meg az átviteli függvényt! Írjuk fel a rendzer állapottér-reprezentációját, vizgáljuk meg, hogy irányítható-e? ẋ 2x + 3x 2 x 3 ẋ 2 x + x 3 ẋ 3 2x + 3x 2 + x 3 + u y 2x 2 3 A b c T [ 2 2 3 G() c T (I A) b (I A) adj(i A) det(i A) + 2 3 3 + 2 6 6 adj 2 3 T ( ) 3 ( ) + 2 2 + 3 3 + 2 6 6 (3 3) 3 ( + 2)( ) + 2 3 + 6 + 6 3 ( + 2) ( + 2) 3 G() [ 2 adj(i A) det(i A) 2 + 6 + 2 6 6 C 3 [ b Ab A 2 b 2 3 Ab 2 3 2 3 4 A 2 b 2 3 2 4 C 3 2 det C 3 4 ( ) 4 irányítható 65
2..2 Adott az alábbi blokkéma. Írjuk fel a rendzer diagonáli állapottét-reprezentáció alakját! Minimáli-e az állapottér reprezentáció? Stabil-e az állapottér-reprezentáció? Határozzuk meg a G() átviteli függvényt! 5 2 A d 4 b d 2 c T d [ Ab 5 2 C 3 [ b A 2 b Ab 4 2 8 5 5 A 2 b 4 8 32 2 5 C 3 2 8 32 det C 3 32 + 4 72 rang C 3 3 Irányítható O 3 c T A c T A 2 c T A [ 5 4 [ 5 4 c T A 2 [ 5 4 5 4 [ 25 6 c T 66
G() i O 3 5 4 25 6 rang O 3 3 Meggyelhet Minimáli, mert rang C 3 rang O 3 Ezzel ekvivalen, hogy: deto 3 8 p 5, p 2 4, p 3 Intabil, mert Re p 2 > r i 2 λ i + 5 2 4 + 2 7 2 3 + 2 2 2.2. Póluallokáció [ 6-63. oldalán i találunk két póluallokáció példát. 2.2. Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. Állapítuk meg, hogy minimáli-e! Tervezzük meg az állapot-vizacatolá mátrixát, mely a rendzer póluait a [ 2 3 5 pontokba helyezi! 2 A 3 b, 5 c T [ 5 2 Mivel diagonáli állapottér-alakról van zó, é a c T vektor -kat tartalmaz, ezért nem minimáli. Bizonyítá a hagyományo módon: C 3 [ b Ab A 2 b 2 2 Ab 3, 5, 5 5 2 2 2 4 A 2 b 3, 5 4, 5 5 5 2 4 C 3, 5, 5 4, 5 2 5 2 4 detc 3, 5, 5 4, 5 7 Irányítható. 2 5 O 3 c T A c T A 2 c T A [ 2 3 [ 2 5 c T A 2 [ 2 2 3 [ 4 5 c T 67
O 3 2 4 det O 3 2 Nem meggyelhet. 4 A rendzer nem meggyelhet, így nem minimáli. Vizont irányítható, így állapot-vizacatolá tervezhet rá. Az eredeti rendzer karakteriztiku polinomja + 2 det(i A) 3 5 3 6 2 + 3 a 3 a 2 6 a a 3 α() ( + 2)( + 3)( + 5) 3 + 2 + 3 + 3 A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α 3 α 2 α 3 α 3 a() Az irányíthatóági alak tranzormáció mátrixa 2 4 6,, 8, 89 T c (C 3 (A, b) τ(a)), 5, 5 4, 5 6, 6, 6, 8 2 5, 3, 2, 4 Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α 2 a 2 α a α a [ 6 32 Az állapot-vizacatolá az eredeti állapottérben k T kc T T c [ 6 32,, 8, 89, 6, 6, 8 [, 6 48 2, 3, 2, 4 2.2.2 Tervezzünk állapot-vizacatolát az alábbi rendzerre [ 2 3 el írt póluokkal! A [ 4 2 [ b 2. Az irányíthatóág ellen rzée C 2 [ b Ab [ 9 2 det C 2 9 2 8 irányítható 2. Az eredeti rendzer karakteriztiku polinomja det(i A) 4 2 + 2 9 a 2 a a 9 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + 2)( + 3) 2 + 5 + 6 α 2 α 5 α 6 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa ([ [ ) T c (C 2 (A, b) τ(a)) 9 [ 9 2 8 2 68
5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α a α a [ 5 5 6. Az állapot-vizacatolá az eredeti állapottérben k T kc T T c [ 5 5 [ [ 9 5 8 5 2 3 3 2.2.3 Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. Tervezzünk olyan k T állapot-vizacatolát, mely a p [ 2 3 helyekre allokálja a rendzer póluait! Határozzuk meg azt a T tranzformációt, mely az (A, b, c T )-ból el állítja az (A c, b c, c T c ) irányíthatóági állapottér-reprezentációt! 2 A 3 2 b c T [ 2. Az irányíthatóág ellen rzée C 3 [ b Ab A 2 b 2 3 2 det C 3 3 A rendzer irányítható 2. Az eredeti rendzer karakterzitiku polinomja det(i A) [( + 3)( ) 2 + (2)( + ) 3 + 2 2 7 + a 3, a 2 2, a 7, a 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + )( + 2)( + 3) 3 + 6 2 + + 6 α 3, α 2 6, α, α 6 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa T c (C 3 (A, b) τ(a)) 2 3 2 7 2 2 5 2 3 5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α 2 a 2 α a α a [ 4 8 5 6. Az állapot-vizacatolá az eredeti állapottérben k T kc T T c [ 4 8 5 2 3 [ 4 35 2.2.4 Adott az alábbi állapottér-reprezentáció. Tervezzünk olyan k T állapot-vizacatolát, mely a p [ 3 4 helyekre allokálja a póluokat! Rajzoljuk fel a zárt rendzer irányíthatóági állapottérreprezentációját! Vezeük le a zárt rendzer karakteriztiku polinomját a zárt rendzer állapotmátrixának egítégével! Megjegyzé: a rendzer irányíthatóági alakban adott. 2 5 A b c T [ 69
. Az irányíthatóág ellen rzée Az irányíthatóági állapottér-alak önmagában garantálja, hogy a rendzer irányítható, így az irányíthatóágot nem kell ellen rizni. 2. Az eredeti rendzer karakterzitiku polinomja 2 5 det(i A) 3 2 2 5 + a 3, a 2 2, a 5, a 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + )( + 3)( + 4) 3 + 8 2 + 9 + 2 α 3, α 2 8, α 9, α 2 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa T c I 5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági állapottérben k T c [ α 2 a 2 α a α a [ 24 A zárt rendzer karakteriztiku polinomja: + 8 9 2 det(i A + bk T ) 3 + 8 2 + 9 + 2 2.2.5 Vezeük le egédváltozóval az inverz inga irányíthatóági állapottér-reprezentációját (x ẋ 2 ), ha imerjük az átviteli függvényét: G() 2 2 4. Tervezzünk olyan kt állapot-vizacatolát, mely a p [ 2 helyekre allokálja a rendzer póluait. Rajzoljuk fel a zárt vizacatolt rendzer blokkémáját! Határozzuk meg a zárt vizacatolt rendzer átviteli függvényét! 7
G() b() a() Y () U() ξ() U() a() Y () b() Y () b() ξ() 2ξ() U() a() ξ() ( 2 4)ξ() y(t) 2ξ(t) u(t) ξ(t) 4ξ(t) x ξ(t), x 2 ξ(t) ẋ 4x 2 + u A c [ 4 ẋ 2 x y 2x 2 [ b c c T [ 2. Az irányíthatóág ellen rzée Az irányíthatóági állapottér-alak önmagában garantálja, hogy a rendzer irányítható, így az irányíthatóágot nem kell ellen rizni. 2. Az eredeti rendzer karakteriztiku polinomja det(i A) a() 2 4 a 2, a, a 4 3. A vizacatolt rendzer karakteriztiku polinomja α() ( + )( + 2) 2 + 3 + 2 α 2, α 3, α 2 4. Az irányíthatóági alak tranzformáció mátrixa T c I 5. Az állapot-vizacatolá irányíthatóági álapottérben k T c [ α a α a [ 3 6 Ḡ() 2 ( + )( + 2) 7
72
Irodalomjegyzék [ Gápár Péter Bokor Józef. Irányítátechnika járm dinamikai alkalmazáokkal. Typotex Elektroniku Kiadó Kft, 28. [2 Zobory Itván Horváth Károly, Simonyi Alfréd. Mérnöki zika. M egyetemi Kiadó, 25. [3 Bauer Péter Lupay Tamá. Alaptagok Nyquit- é Bode-diagramjai. 2. 73