II. Gyakorlat: Hajlított vasbeton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek hajlítási teherbírása III. feszültségi állapotban) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin -1-
A számításokban feltételezzük [Kollár, 47. olal], hogy: - a vasbeton keresztmetszet sík mara az alakváltozás után is - a beton és az aél súszásmentes együttolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a beton III. feszültségi állapotban van és nyomott szélső szálában elérte a határösszenyomóását, azaz = u [Kollár, 67. olal], - ez a feltevés biztos, hogy nem teljesül, ha a vasbeton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az aél elszaka, mielőtt a beton szélső szálában létrejönne a határösszenyomóás - a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az aél megfolyt és a betonban létrejön a törési összenyomóás - a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a betonban létrejön a törési összenyomóásés az aél rugalmas állapotban van - A felaat megolások során a beton esetén a következő anyagjellemzőket használjuk : - anyag moellje: merev-képékeny anyagmoell -f k -αf σk ασ [%0] 1=-0,7 u=-3,5 1. ábra:a beton σ() iagramja Az EC-ben javasolt beton s(e) iagramok közül a legegyszerűbb - az ábra kitöltöttsége: := 0.8 Természetesen lehetőség van, ennél pontosabb σ( )-iagram használatára is, e mivel a megkívánt számítási pontosságnak ez is megfelel, és a biztonság javára tér el a többi σ ( )-iagramtól, ezért az egyszerűség kevéért a továbbiakban ezt használjuk. (Az EC2-ben javasolt többi iagramot lás a Kollár könyv 62. olalán.) - beton biztonsági tényezője: γ := 1.5 - műköési tényező (kevezőtlen hatásokat figyelembe vevő tényező): α := 1 - beton határösszenyomoása: u := 3.5 - A felaat megolások során az aél esetén a következő anyagjellemzőket használjuk : s f yk σyk f y σy s' f y su=2,5 s[%] ' σy ' σyk Es -f' y -f' yk σs ' 2. ábra:az aél σ() iagramja - aél biztonsági tényezője: γ s := 1.15 - aél határnyúlása: su := 2.5 % N - aél rugalmassági moulusa: E s := 200000-2-
Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk 560 használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal bír, álljon itt a ξ 0 = f y + 700 képletének levezetése:. u { αf x.x=x b s σs σ 3. ábra: A vasbeton keresztmetszet, σ ábrája Az x és az viszonya az 1. és a 3. ábra alapján belátható: x = 3.5 0.7 3.5 = 0.8x = x vagy x = 1.25 = x Az aélban keletkező nyúlás (aránypárból a 3. ábra alapján): s = u x f y Az aél folyik, ha s > E s s = u 1 ( ) > f y E s átrenezve u E s < ahol ξ f = és y + ( E u ) E s s ( ) u E s ξ 0 = f y E s + ( u ) E s N behelyettesítve su := 2.5 % ; E s := 200000 ; := 0.8 megkapjuk 560 ξ < ξ 0 = f y + 700 és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott aélbetétel megfolynak -3-
... Vasbetonszerkezetek I. 2.1.péla: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megaott pozitív hajlítónyomatékra: M E =105 knm 500 450 Anyagok : 4φ20 300 Beton: C16/20 Betonaél: S500B Felaat efiniálása: u { αf x x F=x*b*α*f h z b s σs σ Fs=*f y Belső erők 4. ábra: A vasbeton keresztmetszet, σ ábrája és belső erői Geometria jellemzők efiniálása: h := 500mm b := 300mm := 450mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 arab φ := 20mm Anyagjellemzõk efiniálása: A s n φ2 π := A 4 s = 1256.6 beton: C16/20 N - a beton nyomószilárságának karakterisztikus értéke: f k := 16 f k - a beton nyomószilárságának tervezési értéke: f := f = 10.7 N γ aél: S500B N - az aél folyási határának karakterisztikus értéke: f yk := 500 f yk - az aél folyási határának tervezési értéke: f y := γ f s y = 434.8 N 560 - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete ξ 0 := ξ a húzott aélbetétekhez: f y + 700 0 = 0.5 - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete a nyomott aélbetétekhez: 560 ξ 0 := 700 f ξ 0 = 2.111 y 0 := ξ 0 0 = 222.1mm -4-
Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott aélbetétek folynak A vetületi egyenlet: b α f = A s f y α = 1.0 f = 10.7 N A s = 1256.6 f y = 434.8 N = 170.7mm Feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ()-iagram kitöltöttsége: := 0.8 Az aélban keletkezõ nyúlás: s = átrenezve u x s ( u ) := x s = 0.388% f y rugalmássági határ: E := E E = 0.217% s s = 0.388% > E = 0.217% ezért az aélbetétek tényleg megfolynak A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) : ξ := ξ = 0.379 < ξ 0 = 0.493 A felt. helyes volt, az aélbetétek folyási állapotban vannak ( a keresztmetszet normálisan vasalt) vagy = 170.7mm < 0 = 222.1mm Az aélbetétek megnyúlása: s = 0.388% < su = 2.5% aélbetétek nem szakanak el A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: M R := bx α f M 2 R = 199.2kN m = 170.7mm α = 1.0 f = 10.7 N = 450mm M R = 199.2kN m > M E = 105kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel -5-
... Vasbetonszerkezetek I. 2.2. péla: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megaott pozitív hajlítónyomatékra: M E := 210 kn m 500 437 Anyagok : 6φ20 300 Beton: C16/20 Betonaél: S500B Felaat efiniálása: u { αf x x F=x*b*α*f h z s σs Fs=*f y b σ Belső erők 5. ábra: A vasbeton keresztmetszet, σ ábrája és belső erői Geometria jellemzők efiniálása: h := 500mm b := 300mm := 437mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 6 arab φ := 20mm A s n φ2 π := A 4 s = 1885 Anyagjellemzők: lás 3.1. péla Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott aélbetétek folynak A vetületi egyenlet: b α f = A s f y α = 1.0 f = 10.7 N A s = 1885 f y = 434.8 N = 256.1mm A A feltevés ellenőrzése : ξ := ξ = 0.586 > ξ 0 = 0.493 A feltételezés nem volt helyes, az aélbetétek rugalmas állapotban vannak ( keresztmeteszet túlvasalt) vagy = 256.1mm > 0 = 222.1mm A feltételezés nem volt helyes, az aélbetétek rugalmas állapotban vannak -6-
0 A feltevés móosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: 560 b α f = A s 700 (az egyenlet megolása másofokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a felaat megolása során) f = 10.7 N A s = 1885 Aél rugalmasságának ellenőrzése: = 225.9mm ξ := ξ = 0.517 > ξ 0 = 0.493 az aélbetétek rugalmas állapotban vagy = 225.9mm< 0 = 222.1mm 560 Az aélban keletkező feszültség: σ s := 700 σ s = 383.5 N < f y = 434.8 N A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: M R := bx α f M 2 R = 234.2kN m = 225.9mm f = 10.7 N = 437mm M R = 234.2kN m > M E = 210kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel -7-
Megjegyzés: A 2.1. és a 2.2. pélában a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságúk, voltak, a 2.1 pélában a húzott vasalás 4φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =199,2kNm a 2.2 pélában a húzott vasalás 6φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =234,2kNm. Másfélszeres vasmennyiség nem növelte, a nyomatéki teherbírást ennyivel nagyobbra (peig I. feszültségi állapotban így lett volna.) A vasmennyiség növelesével az nyomott betonzóna magassága is nőt, hiszen több beton kell bevoni a nyomott zónába ahhoz, hogy egyensúlyban legyenek a keresztmetszet belső erői, lás 6. ábra C16/20 σ[mpa] f =10,7-0,7 u=-3,5 x0 x0 500 2.1. péla: 2.2. péla: 4φ20 6φ20 300 2.1. péla σs[mpa] S500B f y=434,8 2.2. péla s' su=-25 fy Es =-2,17 su=-25 s[%0] f y=434,8 σs' 6. ábra: A betonaél határhelyzetének ellenőrzése -8-
... Vasbetonszerkezetek I. 2.3 péla: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megaott pozitív hajlítónyomatékra: M E := 105 kn m 2φ10 500 300 455 Anyagok : Beton: C16/20 Betonaél: S500B Megolás: u { αf x x F=x*b*α*f h z b s σs σ Fs=*f y Belső erők 7. ábra: A vasbeton keresztmetszet, σ ábrája és belső erői Geometria jellemzők efiniálása: h := 500mm b := 300mm := 455mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 2 arab φ := 10mm Anyagjellemzõk: lás a 3.1. pélában Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott aélbetétek folynak A vetületi egyenlet: b α f = A s f y α = 1.0 A s n φ2 π := A 4 s = 157.1 f = 10.7 N A s = 157.1 f y = 434.8 N = 21.3mm -9-
A feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ()-iagram kitöltöttsége: := 0.8 Az aélban keletkezõ nyúlás: s = átrenezve u x s ( u ) := x s = 5.619% f y rugalmássági határ: E := E E = 0.217% s s = 5.619% > E = 0.217% ezért az aél tényleg folyik A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete alapján) : ξ := ξ = 0 < ξ 0 = 0.5 A felt. helyes volt, az aélbetétek folyási állapotban vannak DE!!!!! s = 5.619% > su = 2.5% aélbetétek elszakanak!!!! keresztmetszet gyengén vasalt A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: M R = 234.2kN m M R := bx α f 2 = 21.3mm α = 1.0 f = 10.7 N = 455mm M R = 30.3kN m < M E = 105kN m a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!! -10-
2.4. péla: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megaott pozitív hajlítónyomatékra: 2φ20 M E := 200 kn m 500 Anyagok : 6φ20 Felaat efiniálása: 300 Beton: C16/20 Betonaél: S500B u { σ αf Belső erők A's 's.x σ's.x F's=A's*f y F=x*b*α*f h. b s σs Fs=*f y 10. ábra:a vasbeton keresztmetszet, σ ábrája és a belső erők Geometria jellemzők efiniálása: h := 500mm b := 300mm kengyel: φ k := 10mm betonfeés: bf := 20mm a vasak kevezõtlen elmozulása miatt: δ := 10mm alkalmazott húzott vasalás: n := 6 arab φ := 20mm A s n φ2 π := 4 A s = 1885 Megjegyzés: Ha a keresztmetszetben az aélbetétek két vagy több sorban helyezkenek el, akkor számításban a súlypontjukban egyetlen aélkeresztmetszettel helyettesített aélbetétek hasznos magasságát a következőképpen számítjuk: ζ 11. ábra:vasbetétek súlyvonala vasak közötti minimális távolság: ζ := max φ 20mm ζ = 20mm alsó sorban levő vasak száma: n alsó := 4 felső sorban levő vasak száma: n felsõ := 2 φ n felsõ hasznos magasság: := h bf φ k 2 n felsõ + n alsó alkalmazott nyomott vasalás: n := 2 arab φ := 20mm φ φ + ζ + 2 2 φ 2 π A s := n 4 A s = 628.3 φ hasznos magasság: := bf + φ k + + δ = 50mm 2 Anyagjellemzők: lás a 3.1. pélában δ = 436.7mm -11-
Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott aélbetétek is és a nyomott aélbetétek is folynak A vetületi egyenlet: b α f + A s f y A s f y = 0 α = 1.0 f = 10.7 N A s = 628.3 = 170.7mm A s = 1885 f y = 434.8 N A feltevés ellenőrzése : ξ := ξ = 0.391 < ξ 0 = 0.493 A felt. helyes volt, a húzott aélbetétek folyási állapotban vannak ξ := ξ = 3.415 > ξ 0 = 2.111 A felt. helyes volt, a nyomott aélbetétek folyási állapotban vannak A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: M R := bx α f + 2 A s f y ( ) M R = 297.6kN m = 170.7mm f = 10.7 N = 436.7mm A s = 628.3 f y = 434.8 N = 50mm M R = 297.6kN m > M E = 200kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel -12-
Megjegyzés: (A megelőző pélákban a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságú voltak) A 2.2. pélában a 6φ20 vasalás húzottként alkalmaztuk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =234,2kNm a 2.6. pélában a húzott vasalásként 6φ20 és t nyomott vasalásként 2φ20-as alkalmaztunk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =297,6kNm-re nőtt, amiből látható, hogy egy túlvasalt keresztmetszetbe nyomott vasalást rakunk, akkor min a nyomott és húzott aélbetétek is megfolynak, és jelentősen növeli a keresztmetszet nyomatéki teherbírását. Az alakulása megfigyelhető a következő ábrán: σ[mpa] C16/20 f =10,7-0,7 u=-3,5 2.6. péla: 2φ20 A's x0 x0 500 2.6. péla: 2.2. péla: 6φ20 6φ20 300 σs[mpa] S500B f y=434,8 2.6. péla 2.6. péla 2.2. péla s' su=-25 f y Es =-2,17 su=-25 s[%0] f y=434,8 σs' 12. ábra: A betonaél határhelyzetének ellenőrzése -13-
2.5. péla: Ellenőrizze az alábbi keresztmetszetet a megaott pozitív hajlítónyomatékra: 2φ20 M E := 200 kn m 500 Anyagok : 4φ20 300 Beton: C16/20 Betonaél: S500B Felaat efiniálása: u { σ αf Belső erők A's 's.x σ's.x F's=A's*f y F=x*b*α*f h b s σs Fs=*f y 8. ábra:a vasbeton keresztmetszet, σ ábrája és a belső erők Geometria jellemzők efiniálása: h := 500mm b := 300mm kengyel: φ k := 10mm betonfeés: bf := 20mm a vasak kevezõtlen elmozulása miatt: δ := 10mm alkalmazott húzott vasalás: n := 4 arab φ := 20mm A s n φ2 π := A 4 s = 1256.6 φ hasznos magasság: := h bf φ k δ = 450mm 2 alkalmazott nyomott vasalás: n := 2 arab φ := 20mm φ 2 π A s := n 4 A s = 628.3 φ hasznos magasság: := bf + φ k + + δ = 50mm 2 Anyagjellemzők: lás a 3.1. pélában Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott aélbetétek is és a nyomott aélbetétek is folynak A vetületi egyenlet: b α f + A s f y A s f y = 0 = 85.4mm α = 1.0 f = 10.7 N A s = 628.3 f y = 434.8 N A s = 1256.6-14-
A feltevés ellenőrzése : s ξ := ξ = 0.19 < ξ 0 = 0.493 A felt. helyes volt, a húzott aélbetétek folyási állapotban vannak ξ := ξ = 1.707 < ξ 0 = 2.111 A felt.nem volt helyes, a nyomott aélbetétek rugalmas állapotúak A feltevés móosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása: (húzott aélbetétek folynak, nyomottak rugalmasak) 560 b α f + A s 700 A x s f y = 0 (az egyenlet megolása másofokú egyenletre vezet, melyből a fizikai tartalommal bíró gyökét használjuk fel a felaat megolása során) = 92.6mm Feltétel ellenőrzése: ξ := ξ = 0.206 < ξ 0 = 0.493 a húzott aél képlékeny ξ := ξ = 1.853 < ξ 0 = 2.111 a nyomott aél rugalmas 560 σ s := 700 nyomott aélban keletkező feszültség: σ s = 397.75 N (< f y = 434.8 N ) A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: M R := bx α f + 2 A s σ s ( ) M R = 219.6kN m = 92.6mm f = 10.7 N = 450mm = 50mm A s = 628.3 M R = 219.6kN m > M E = 200kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel -15-
Megjegyzés: (A megelőző pélákban a vasbeton keresztmetszetben beton méretei egyforma nagyságú voltak.) A 2.1 pélában a húzott vasalás 4φ20 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =199,2kNm a 2.2. pélában a 6φ20 vasalás húzottként alkalmaztuk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =234,2kNm a 2.4. pélában a vasalás 6φ20, e úgy hogy ebből 2φ20-ast nyomott vasalásként alkalmaztunk és így a keresztmetszet nyomatéki teherbírása M R =219,6kNm-re sökkent, hisz két vas nyomott olalra áthelyezésével túlvasalt lett a keresztmetszet, mintha "sak ezért" raktuk volna be nyomott vasalást, hogy az rugalmasan viselkejen, azaz nyomóerőt átvállaljon a betontól. De a gyakorlatban túlvasalt keresztmetszetet kerülni kell! Az alakulását lás a következő ábrán: 2.4. péla: 2φ20 A's C16/20 [MPa] f =10,7-0,7 u=-3,5 x0 x0 500 2.4. péla: 2.1. péla: 2.2. péla: 4φ20 4φ20 6φ20 300 2.1. péla 2.2. péla f y=434,8 σs[mpa] S500B 2.4. péla 2.4. péla s' su=-25 f y Es f y Es =-2,17 su=-25 s[%0] σs' 9. ábra: A betonaél határhelyzetének ellenőrzése -16-
2.6. péla: Ellenőrizze az alábbi T keresztmetszetet a megaott pozitív hajlítónyomatékra: 400 M E := 220 kn m 120 4φ25 460 240 380 500 Anyagok : Beton: C16/20 Betonaél: S400B Felaat efiniálása: b h t bw 13.. ábra:a T-keresztmetszet jelölései Geometria jellemzők efiniálása: h := 500mm b := 400mm := 460mm t := 120mm (a fejlemez vastasága) b w := 240mm (bora szélessége) - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 arab φ := 25mm Anyagjellemzők efiniálása: beton: C16/20 A s n φ2 π := A 4 s = 1963.5 N - a beton nyomószilárságának karakterisztikus értéke: f k := 16 f k - a beton nyomószilárságának tervezési értéke: f := f = 10.7 N γ aél: S400B N - az aél folyási határának karakterisztikus értéke: f yk := 400 f yk - az aél folyási határának tervezési értéke: f y := f y = 347.8 N γ s 560 - relatív nyomott betonzónamagasság határhelyzete: ξ 0 := ξ f y + 700 0 = 0.5-17-
. Vasbetonszerkezetek I. Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott aélbetétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezben van αf x. x F σ Fs belső erők 14. ábra:a T-keresztmetszet, σ ábrája és a belső erők A vetületi egyenlet: b α f = A s f y ahol b = 400mm α = 1.0 f = 10.7 N A s = 1963.5 f y = 347.8 N = 160.1mm A feltevés ellenőrzése : ξ := ξ = 0.348 < ξ 0 = 0.534 a feltevés helyes, az aélbetétek folyási állapotban vannak = 160.1mm > t = 120mm a feltevés helytelen, a nyomott zóna a borába nyúlik A feltevés móosítása miatt a vetületi egyenlet újbóli felírása αf x x F σ Fs belső erők 15. ábra:a T-keresztmetszet, σ ábrája és a belső erők ( ) t b b w α + b w f = A s f y ahol b = 400mm b w = 240mm t = 120mm α = 1.0 f = 10.7 N A s = 1963.5 f y = 347.8 N = 186.8mm -18-
A feltevés ellenőrzése : ξ := ξ = 0.406 < ξ 0 = 0.534 A felt. helyes volt, az aélbetétek folyási állapotban vannak A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: M R t ( b b t w ) := + x 2 b w 2 α f ahol b = 400mm b w = 240mm t = 120mm f = 10.7 N = 460mm = 186.8mm M R = 257.2kN m M R = 257.2kN m > M E = 220kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel -19-