PÉLDATÁR a Vasbetonszerkezetek I. című tantárgyhoz

Átírás

1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR HIDAK ÉS SZERKEZETEK TANSZÉKE PÉLDATÁR a Vasetonszerkezetek I. című tantárgyhoz Budapest, 007

2 Szerzők: Friedman Noémi Huszár Zsolt Kiss Rita Klinka Katalin Kovács Tamás Völgyi István Kézirat lezárva: 007. március 5. ISBN Kiadja: BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke

3 Tartalomjegyzék Oldalszám Gyakorlatok anyaga 1. Repedésmentes és erepedt vasetontartók 1. Hajlított vaseton keresztmetszet ellenőrzése Hajlított vaseton keresztmetszet tervezése 7 4. Külpontosan nyomott vaseton keresztmetszet Vaseton gerendák nyírásvizsgálata Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő 60 számítása 7. Használhatósági határállapotok 80 Felkészülést segítő példák 1. Repedésmentes és erepedt vasetontartók 91. Hajlított vaseton keresztmetszet ellenőrzése Hajlított vaseton keresztmetszet tervezése Külpontosan nyomott vasetonkeresztmetszet Gerendák komplex vizsgálata, határnyomaték és határnyíróerő 130 számítása 7. Használhatósági határállapotok 14 Segédlet a tervezési feladat elkészítéséhez 156

4 I. GYAKORLAT Repedésmentes és erepedt vaseton tartók Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István 1 I. gyakorlat Némi elméleti összefoglaló: A számításokan feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a eton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Az I. feszültségi állapotot a erepedetlen vaseton keresztmetszetre értelmezzük, a eton és a etonacél viselkedését rugalmasnak feltételezzük, az I. feszültség állapot határát a eton megrepedése jelenti. A II. feszültségi állapotot a erepedt vaseton keresztmetszetre értelmezzük, a eton és a etonacélok viselkedését rugalmasnak feltételezzük, a II. feszültség állapot határát vagy eton képlékeny állapota kerülése vagy akár csak egy etonacél megfolyása jelenti. A III. feszültségi állapot szerinti vizsgálat feltevése az, hogy - vagy a vaseton keresztmetszet nyomott szélső száláan a legnagyo keresztmetszeti összenyomódás elérte a eton törési összenyomódásának a határértékét (ε cu -t) - vagy (akár csak egy) húzott acéletét nyúlása elérte az acél szakadónyúlásának értékét (ε su -t). Megjegyzés: Mivel majdnem mindig az első szokott ekövetkezni, ezért a III. feszültségi állapot szerinti hajlítás vizsgálatot (lásd a következő gyakorlatok anyagáan) azzal a feltételezéssel indítjuk, hogy a eton nyomott szélső száláan a törési összenyomódás értéke lép fel. - A feladatok megoldása során a eton esetén a következő egyszerűsített anyagmodelleket használjuk : - Az I. feszültségi állapotan lévő eton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c εc.t f c.t εc.c εc[%0] - Az II. feszültségi állapotan lévő eton anyagmodellje: lineárisan rugalmas anyagmodell σc f c.c εc.c.εc εc[%0] - Az III. feszültségi állapotan lévő eton anyagmodellje: lineárisan rugalmas, tökéletesen képlékeny anyagmodell: téglap alakú σ(ε)-diagram: (még tová egyszerűsített modell) c σc f c.c εc.c.εc εcu εc[%0] f c.c εc1=0,7 εcu=3,5 εc[%0] - A feladat megoldások során a etonacél esetén a következő anyagmodelleket használjuk : - a etonacél rugalmassági modulusa: E s := 00 kn s εs' f y.es f y εsu=5 εs[%0] Az acél σ(ε) diagramja az origóra szimmetrikus. Es -f' y

5 I. gyakorlat A következő példákan a etonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált eton, illetve etonacél szilárdsági jellemzői azonosak: A A-A metszet M M z A hajlítónyomaték alul okoz húzást A 300 4φ0 A repedésmentes eton A erepedt eton σ(ε) diagramja: σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: c[mpa] c[mpa] σs[mpa] 10,7 10,7 0,104 εc[% ] 0,585 3,5 1,9 E c = 18.3 kn Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm 0,585 3,5 d εc[% ] εs' ,17 σs', εs[%0] 5 E s = 00 kn As - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 d φ := 0mm A s n φ π := 4 A s = Anyagjellemzők definiálása: A eton anyagjellemzői: A eton nyomószilárdsága: N f c.c := 10.7 N A eton húzószilárdsága: f c.t := 1.9 f c.c A nyomott szélsőszál rugalmas határához tartozó nyúlás: ε 1 := E c ε 1 = ε c.e := ε 1 ε c.e = f c.t A húzott szélsőszál határnyúlása: ε := ε E = c ε cu := 3.5 N A etonacél anyagjellemzői: A etonacél folyáshatára: f y := 434 f y A etonacél folyási határához tartozó nyúlás: ε s.e := ε E s.e =.17 s Az acél határnyúlása: ε su := 5 E s A etonacél és a eton rugalmassági modulusának aránya: α E := α E E = c

6 . Vasetonszerkezetek I. 3 I. gyakorlat I. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ (REPEDÉSMENTES) VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.1.példa: Határozza meg az alái repedesmentes vaseton keresztmetszet repesztőnyomatékát! d h = 500mm = 300mm A s = A s d = 450mm A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: c[mpa] 10,7 0,104 0,585 3,5 1,9 E c = 18.3 kn εc[% ] ε 1 = ε c.e = f c.c = 10.7 N f c.t = 1.9 N ε = εs' ,17 σs[mpa], σs' 5 εs[%0] f y = 434 N ε s.e =.17 E s = 00 kn Megjegyzés: eton és etonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a etonacél a II. feszültségi állapotan nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. A feladat megoldása: M M A A-A metszet z A h As x y d ε ε1=κ*x { εs κ x { ε=κ*(h-x) σs Εc σ ε1*ec {.. 3 x { ε*ec Belső erők 3 (h-x) Fc.c= *κ*x*ec**x 1 Fc.t= 1 *κ*(h-x)*ec**(h-x)-κ*(d-x)*ec*as Fs=κ*(d-x)*Es*As A vetületi egyenletől megkapjuk a repedesmentes vaseton keresztmetszet súlypontjának helyét:: ( ) F c.c F c.t Nxκ, = F s = 0 1 κ x 1 I E c x I κ ( h x I) E c ( h x I ) κ ( d x I ) E c A s κ ( d x I ) E s A s = 0 mivel κ 0 ezért végigoszthatunk vele 1 x 1 I E c x I ( h x I) E c ( h x I ) ( d x I ) E c A s ( d x I )E s A s = 0 x I = 65mm

7 4 I. gyakorlat A repesztőnyomatékhoz tartozó κ görület számítása: ε A húzott eton szélsőszál határnyúlásához tartozó görület: κ κ cr cr := = h x I Megjegyzés: A repedésmentes állapot végét a húzott eton szélsőszál megrepedése okozza, az ehhez tartozó görület lesz a legkise, tehát a mértékadó. Elvileg az is elképzelhető lehet, az is hogy a húzott acél megfolyik mielőtt a eton megreped, ezért számoljuk ki lehetséges κ görületeket: 1 mm A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görület: ε 1 κ 1 := x I κ = mm A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásáól kapott görület: Az II. feszültségi állapot határát jelentő görület értéke: (húzott szélső szál megrepedéséhez tartozó görület) κ 1 κ I := min κ cr κ s := κ s ε s.e d x I κ s = mm κ I = mm Nyomatéki egyenlet I. feszültségi állapotan a semleges tengelyre felírva: M 1 κ x I E c x I 3 x 1 I κ h x = + ( I) E c ( h x I ) 3 ( h x I ) κ d x I + κ ( d x I ) E s A s ( d x I) E s vezessük e a α = -t, így az egyenlet a következő alakra egyszerűsödik E E c A nyomatéki egyenleten a húzott eton szélsőszálnak határnyúlásához tartozó görület van, így a repesztőnyomaték: M cr = κ I E c x I + ( 3 3 h x I) 3 + A s ( α E 1) ( d x I) ahol 3 x I I I := 3 h x I + + A 3 s ( d x I ) α E 1 ( ) 3 ( ) ( ) I I = cm 4 E c A s d x I ( )... M cr = 9.04kN m

8 5 I. gyakorlat A feladat alternatív megoldása az ideális keresztmetszeti jellemzők felhasználásával: A nyomott etonzóna magasságának számítása az ideális keresztmetszeti jellemzőkkel: Az acél keresztmetszetét a eton keresztmetszetére redukáljuk: - Az ideális keresztmetszet területe: A i := h + A s α E A s vagyis A i := h + α E 1 - Az ideális keresztmetszet statikai nyomatéka a felső szélső szálra: h S x := h + A s ( α E 1) d - A nyomott etonzóna magassága: S x x I := A i ( ) A s A i = 164.8cm S x = 43115cm 3 x I = 65mm - Ideális keresztmetszet inerciája a semleges tengelyre felírva: 3 x I I I := 3 - Ideális km. inerciája a semleges tengelyre felírva az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolásával: 3 x I I I := 3 h x I + 3 ( ) 3 h x I + + A 3 s ( d x I ) α E 1 ( ) 3 ( φ) 4 π + A 4 s ( d x I) + α E 1 ( ) ( ) Megjegyzés: mivel az acélok saját súlyponti tengelyre felírt inerciájának elhanyagolása az eredmény pontosságát nem csorítja, ezért a következőken ezt mindig elhanyagoljuk I I = cm 4 I I = cm 4 A eton megrepedéséhez tartozó nyomaték: f c.t = M cr h x I I I ( ) M cr = 9.04kN m

9 . Vasetonszerkezetek I. 6 I. gyakorlat II. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1..példa: Határozza meg az alái erepedt v. km. II. feszültségi állapot végét jelentő görületét és a hozzá tartozó nyomatékot! A s d h = 500mm = 300mm d = 450mm A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: 10,7 c[mpa] 0,585 3,5 εc[% ] A s = A etonacél σ(ε) diagramja: σs[mpa] = f y = 434 N ε c.e f c.c = 10.7 N E c = 18.3 kn εs' ,17, εs[%0] ε s.e =.17 E s = 00 kn Megjegyzés: eton és etonacél σ(ε) diagramjánál is elegendő lenne lineárisan rugalmas szakaszt megadni, hisz a etonacél a II. feszültségi állapotan nem éri el a diagram képlékeny szakaszát. ε σ Belső erők ε1=κ*x ε1*ec 1 κ x II E c x II κ ( d x II ) E s A s = 0 mivel κ 0 ezért végig oszthatunk vele 1 x II E c x II ( d x II ) E s A s = 0 x II = 16.3mm A II. feszültségi állapot határát adó κ II görület számítása: ε 1 A nyomott szélsőszál rugalmassági határához tartozó nyúlásához a görület: κ 1 := κ x = II mm ε s.e A húzott acél rugalmassági határához tartozó nyúlásáól kapott görület: κ s := κ d x s = II mm κ A II. feszültségi állapot határát adó κ II görület: κ II min 1 := (a nyomott szélsőszál eléri a rugalmassági határát) κ s κ II = mm A húzott acéletét megfolyását okozó nyomaték nagysága: M II = κ II E c ahol M A M A h A feladat megoldása: z 3 1 x II 3 A-A metszet y As x d { κ + A s α E d x II x { ( ) εs ε=κ*(h-x) { Fc.c= 1 *κ*x*ec**x 3 1 I II := x II + A 3 s α E ( d x II) I II = 15648cm 4. 3 x σs Εc Fs=κ*(d-x)*Es*As A vetületi egyenletől megkapjuk a repedesmentes vaseton keresztmetszet súlypontjának helyét:: ( ) F c.c + F s Nxκ, = = 0 σs' M II = kN m

10 7 I. gyakorlat 1.3.példa: Határozza meg az alái vaseton keresztmetszet felső-szélső szálának összenyomódását aan az eseten, ha a keresztmetszetre M=100 knm nagyságú hajlítónyomaték hat! A etonkeresztmetszet geometriai méretei és a felhasznált eton, illetve etonacél szilárdsági jellemzői, mint az előző példákan. A feladat megoldása: Tegyük fel, hogy a eton és acél rugalmas állapotan vannak! A vetületi egyenletől megkapjuk a repedesmentes vaseton keresztmetszet súlypontjának helyét:: x II = 16.3mm A nyomatéki egyenlet: M = 1 κ x II E c x II ( ) d x II x 3 II + κ d x II E s A s ( ) eől a görületet megkapjuk κ = mm Feltevés ellenőzése: ε s := κ d x II ( ) ε s = < ε s.e =.170 jó volt a feltevés, az acél rugalmas Felső szélső szál összenyomódása: ε c := κ x II ε c = < ε 1 = jó volt a feltevés, a eton rugalmas

11 x. Vasetonszerkezetek I. 8 I. gyakorlat AZ II. ÉS III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT KÖZÖTTI INTERMEDIER ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.4.példa: Határozza meg az azt a görületet és hozzátartozó nyomatékot, amikor a etonacélok épp a rugalmas és képlékeny állapot határán van! = 300mm A As s = d = 450mm A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: 10,7 c[mpa] d 0,585 3,5 E c = 18.3 kn εc[% ] h = 500mm ε c.e = f c.c = 10.7 N εs' 434 σs[mpa] εs[%0] = -5 -,17,17 5 ε su = 5 ε cu 3.5 A feladat megoldása: T.f.h. a eton képlékeny állapotan van σs' -434 f y = 434 N ε s.e =.17 E s = 00 kn M M A A-A metszet z A h A semleges tengely helye a vetületi egyenletől meghatározható: 1 ( x a) f c.c + a f c.c A s f y = 0 x y d ε εc.e a. κ As εs.e f c σ { Belső erők Fc.c,1 Fc.c, σs Fs ε c.e ε s.e a = eől a = d x ε c.e ( d x) ε s.e x ε c.e ( d x) ε s.e 1 ε c.e f c.c + ( d x) f ε s.e c.c A s f y = 0 x = 03.mm ε s.e Az acéletétek megfolyásához tartozó görület értéke: κ εs.e := κ d x εs.e = mm Felső szélső szál összenyomódása: ε c := κ x ε c = 0.71 > ε c.e = a eton valóan képlékeny ε c.e a := ( d x) a = 66.5mm ε s.e M ( x a) f x a c.c d 1 := + a f c.c d x + 3 a M = 198.5kN m

12 . x. Vasetonszerkezetek I. 9 I. gyakorlat III. FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOTBAN LEVŐ VB. KM. SZÁMÍTÁSA 1.5.példa: Határozza meg a v. km.-nek azt a görületét és a hozzátartozó nyomatékot, amikor a nyomott, felső szélső szálan az összenyomódás eléri a eton határösszenyomódásának értékét! h = 500mm As d = 300mm d = 450mm A s = A repedésmentes eton σ(ε) diagramja: A etonacél σ(ε) diagramja: 10,7 c[mpa] 0,585 3,5 E c = 18.3 kn εc[% ] ε c.e = f c.c = 10.7 N 434 σs[mpa] εs[%0] = -5 -,17,17 5 ε su = 5 ε cu 3.5 εs' σs' -434 f y = 434 N ε s.e =.17 E s = 00 kn Megjegyzés: A példánkan szereplő a v. keresztmetszet úgy kerül a III. feszültség állapota, hogy nyomott szélső szálan az összenyomódás eléri a eton határösszenyomódásának értékét (ε c,felső =ε c,u =3,5%o). A feladat megoldása: ε σ Belső erők A A-A metszet εcu { f c { M M z A h x y As d εc.e κ a f y Fc.c,1 Fc.c, Fs A semleges tengely helye a vetületi egyenletől meghatározható: 1 ( x III a) f c.c + a f c.c A s f y = 0 ε c.e ε cu a = eől a = x III ε c.e x III ε cu ε c.e x III x III ε cu 1 ε c.e f c.c + x III f ε cu c.c A s f y = 0 x III = 185.4mm ε cu A görület értéke III. feszültségi állapotan: κ III := κ x III = III mm Az acéletétek megnyúlása: ε s := κ d x III ε s = 0.94 > ε c.e = az acéletétek valóan képlékenyek ( ) ε c.e a := x III a = 31mm ε cu ( ) M III := x III a f c.c d x III a + 1 a f c.c d x III + 3 a M III = 199kN m

13 10 I. gyakorlat A VB. KM. NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉSE Árázoljuk a példákan szereplő v. keresztmetszet a nyomatékainak alakulását a görületváltozásának függvényéan, ha azt monoton növekvő nyomaték terheli, (és csak az első terhelést veszük figyeleme, a visszaterheléssel, a reverzíilitással, a maradó alakváltozásokkal és az újra terhelés esetével nem foglalkozunk)! (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz c. részen) M [knm] MIII=198,96 198,488 intermedierállapotiii. fesz. áll. MII=103,13 (első képlékeny jelenség) Mcr=9,04 II. fesz. áll. I. fesz. áll. κiii=1,888 0,8791 κii=0,3603 κcr=0,043 κ [ mm] A vizsgált, monoton növekvő nyomatékkal terhelt v. keresztmetszet M(κ) göréjének I. fesz. állapothoz tartozó szakasza egy adott meredekségű egyenessel jellemzhető, amelynek a határát a repesztőnyomaték értéke adja. Ekkor a v. keresztmetszet ereped, így az inerciája lecsökken ( I II < I I ), mivel κ= M, ezért nyomaték állandó nagysága mellett κ EI szükségszerűen növekedni fog. A II. feszültségi állapot is egy egyenessel jellemezhető, a meredeksége nyilvánvalóan kise lesz, mint az I. feszültségi állapoté, hisz a erepedt km. inerciája is kise. A II. fesz. állapotot egy nemlineáris intermedier állapot követ, een az intermedier állapotan először vagy a eton, vagy a etonacél/ok kezdenek el képlékenyen viselkedni, majd nyomaték növekedésével mind a eton és a etonacélok is képlékeny állapota kerülnek. Az M(κ) görének a végpontja - és valóan csak egyetlen pontja - a III. feszültségi állapot.

14 11 II. gyakorlat II. GYAKORLAT Hajlított vaseton keresztmetszet ellenőrzése (Négyszög és T-alakú keresztmetszetek nyomatéki teherírása III. feszültségi állapotan) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István A számításokan feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a eton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik Ezeken túl még azt is feltételezzük, hogy a eton III. feszültségi állapotan van és nyomott szélső száláan elérte a határösszenyomódását, azaz ε c =ε cu, - ez a feltevés iztos, hogy nem teljesül, ha a vaseton keresztmetszet gyengén vasalt, mert az acél elszakad, mielőtt a eton szélső száláan létrejönne a határösszenyomódás - a feltevés teljesül normálisan vasalt keresztmetszet esetén, azaz az acél megfolyt és a etonan létrejön a törési összenyomódás - a feltevés teljesül túlvasalt keresztmetszet esetén is, azaz a etonan létrejön a törési összenyomódás, de az acél rugalmas állapotan van - A feladat megoldások során a eton esetén a következő anyagmodellt használjuk : - anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell σc f ck αf cd εc1=0,7 σck ασcd εc[%0] εcu=3,5 Az EC-en javasolt eton σ(ε) diagramok közül a legegyszerű - az ára kitöltöttsége: ε cu ε c c = = = 0.8 ε cu ára:a eton σ(ε) diagramja Természetesen lehetőség van, ennél pontosa σ(ε)-diagram használatára is, de mivel a megkívánt számítási pontosságnak ez is megfelel, és a iztonság javára tér el a töi σ(ε)-diagramtól, ezért az egyszerűség kedvéért a továiakan ezt használjuk. (Az EC-en javasolt töi diagramot lásd a Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 163 old.) - eton iztonsági tényezője: - működési tényező (kedvezőtlen hatásokat figyeleme vevő tényező): - eton határösszenyomodása: - A feladat megoldások során az acél esetén a következő anyagmodellt használjuk : σs ε cu := 3.5 γ c := 1.5 α := 1 (Magyarországon) -f yk -f yd σyk σyd εs' ' σyd ' σyk εsu=-5. ára:az acél σ(ε) diagramja - acél iztonsági tényezője: - acél határnyúlása: - acél rugalmassági modulusa: σs f yd Es f yd' f yk' ' εs[%o] γ s := 1.15 ε su := 5 N E s := (általáan)

15 II. gyakorlat Annak szemléltetésére, hogy a relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzetének képletének kényelmes, általunk 560 használt végleges formája, nem mértékegység konzekvens, mégis fizikai tartalommal ír, álljon itt a ξ c0 = f yd képletének levezetése: d. 1 cu { αf cd x.xc=cx As ε εs σs σ 3. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája Az x és az x c viszonya az 1. és a 3. ára alapján elátható (hasonló háromszögek): x c x = x c = 0.8x = cx vagy x c x = 1.5x c = c d x Az acélan keletkező nyúlás (aránypáról a 3. ára alapján): ε s = ε cu x c x c = 0.8 x f yd Az acél folyik, ha ε s > E s cd ε s = ε cu 1 x c x c d ( ) ( ) E s f yd > E átrendezve s c ε cu E s x c < = ξ c0 ahol ξ c = f yd + ε cu d és ξ c0 = c ε cu E s f yd + ε cu E s N ehelyettesítve ε su := 5 ; E s := ; c := 0.8 megkapjuk ξ c < ξ c0 = 560 f yd és ha ez az egyenlőtlenség teljesül, akkor a húzott acéletétek megfolynak Megjegyzés: a képleten az f yd N/ -en van, de dimenzió nélkül kell eírni A teljesség kedvéért álljon itt: relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete a húzott acéletétekhez: ξ c0 = f yd relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete a nyomott acéletétekhez: ξ c0 = 700 f yd a rugalmas, húzott acéletétek esetén a redukált feszültség képlete: σ s = x c 700 d - a rugalmas, nyomott acéletéteken esetén a redukált feszültség képlete: σ s = x c d

16 13 II. gyakorlat EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA NORMÁLISAN VASALT VB. KERESZTMETSZET.1.példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed =190 knm Anyagok : 4φ0 Feladat definiálása: 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = Anyagjellemzők definiálása: eton: C16/0 N - a eton nyomószilárdságának karakterisztikus értéke: f ck := 16 f ck - a eton nyomószilárdságának tervezési értéke: f cd := f cd = 10.7 N γ c - a eton húzószilárdságának várható értéke: acél: S500B f ctm := 1.9 N N - az acél folyási határának karakterisztikus értéke: f yk := 500 f yk - az acél folyási határának tervezési értéke: f yd := γ f s yd = N relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete ξ c0 := ξ a húzott acéletétekhez: f yd c0 = relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete a nyomott acéletétekhez: 560 ξ c0 := 700 f ξ c0 =.111 yd x c0 := d ξ c0 x c0 =.1mm

17 ... Vasetonszerkezetek I. 14 c0 c0 c0 II. gyakorlat Számítás: ε εcu { σ αf cd Belső erők h d x xc zc Fc=xc**α*f cd 4. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői As εs f yd Fs=As*f yd Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd x c = 170.7mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = f yd = N Feltevés ellenőrzése (hasonló háromszögek): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c = 0.8 Az acélan keletkező nyúlás: x c x c ε d d s c c = átrendezve ε ε cu x s := ε cu ε c x s = 3.88 c c f yd rugalmássági határ: ε s.e := ε E s.e =.174 s c ε s = 3.88 > ε s.e =.174 ezért az acéletétek tényleg megfolynak A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott etonzóna magasság határhelyzete alapján) : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, az acéletétek folyási állapotan vannak vagy x c = 170.7mm < x c0 =.1mm Továá az acéletétek megnyúlása: ε s = 3.88 < ε su = 5 acéletétek nem szakadnak el A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d M Rd = 199.kN m ahol = 300mm x c = 170.7mm α = 1.0 f cd = 10.7 N d = 450mm M Rd = 199.kN m > M Ed = 190kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel

18 ... Vasetonszerkezetek I. Rd Ed 15 II. gyakorlat TÚLVASALT VB. KERESZTMETSZET.. példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 30 kn m Anyagok : 6φ0 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Feladat definiálása: ε εcu { σ αf cd Belső erők 5. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői x xc Fc=xc**α*f cd h d zc As εs σs Fs=As*σs Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm - az alkalmazott húzott vasalás: n := 6 dara φ := 0mm Anyagjellemzők: lásd.1. példa Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd A s n φ π := A 4 s = 1885 x c = 56.1mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 1885 f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c ξ c = > ξ c0 = A feltételezés nem volt helyes, az acéletétek rugalmas állapotan vannak ξ c := d ( keresztmeteszet túlvasalt) vagy x c = 56.1mm > x c0 =.1mm A feltételezés nem volt helyes, az acéletétek rugalmas állapotan vannak A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újóli felírása: 560 x c α f cd = A s 700 (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a x c fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) d ahol = 300mm f cd = 10.7 N A s = 1885 x c = 30.8mm

19 16 II. gyakorlat Acél rugalmasságának ellenőrzése: x c ξ c := ξ d c = > ξ c0 = az acéletétek rugalmas állapotan vannak vagy x c = 30.8mm > x c0 =.1mm 560 Az acélan keletkező feszültség: σ s := A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d ahol = 300mm x c d x c = 30.8mm 700 f cd = 10.7 N M Rd = 47.1kN m > M Ed = 30kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel Megjegyzés: A.1. és a.. példáan a vaseton keresztmetszeten eton méretei egyforma nagyságúk voltak, a.1 példáan a húzott vasalás 4φ0 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherírása M Rd =199,kNm a. példáan a húzott vasalás 6φ0 volt és így a keresztmetszet nyomatéki teherírása M Rd =34,kNm. A vasmennyiség növelesével az x c nyomott etonzóna magassága is nőtt, hiszen tö eton kell evonni a nyomott zónáa ahhoz, hogy egyensúlyan legyenek a keresztmetszet első erői (lásd 6. ára) A gyakorlatan a túlvasalt keresztmetszetet kerülni kell! σc[mpa] f cd=10,7 0,7 εcu=3,5 σ s = N < f yd = N d= 450mm C16/0 εc[%0] M Rd = 47.1kN m xc0 x0 xc xc 500 d 4φ0 6φ0 As 300 ε σs[mpa] ' f yd=434,8 S500B εs εsu=-5 f yd Es f yd Es =,17 εsu=5 ' εs[%0] 6. ára: A etonacél határhelyzetének ellenőrzése σs

20 ... Vasetonszerkezetek I. 17 II. gyakorlat GYENGÉN VASALT VB. KERESZTMETSZET.3 példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 105 kn m Anyagok : φ1 Megoldás: 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B ε σ Belső erők h d εcu { x αf cd xc zc Fc=xc**α*f cd Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm d := 450mm As εs f yd Fs=As*f yd 7. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői - az alkalmazott húzott vasalás: n := dara φ := 1mm A s n φ π := A 4 s = 6. Anyagjellemzők: lásd a.1. példáan Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak (T.f.h a km normálisan vasalt) A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd x c = 30.7mm ahol = 300mm α = 1.0 f A s = 6. f yd = N cd = 10.7 N A feltevés ellenőrzése (aránypárral): σ(ε)-diagram kitöltöttsége: c := 0.8 Az acélan keletkező nyúlás: x c x c ε d d s c c = átrendezve ε ε cu x s := ε cu ε c x s = c c c f yd rugalmássági határ: ε E := ε E E =.174 s ε s = > ε E =.174 ezért az acél tényleg folyik A feltevés ellenőrzése (relatív nyomott etonzónamagasság határhelyzete alapján) : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, az acéletétek folyási állapotan vannak DE!!!!! ε s = > ε su = 5 acéletétek elszakadnak!!!! keresztmetszet gyengén vasalt

21 18 II. gyakorlat A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d M Rd = 4.7kN m ahol M Rd = = 300mm 4.7kN m x c = 30.7mm < M Ed = α = kN m A feltevés helytelen, ezért elvileg előről kell kezdeni a feladatot, de könnyen elátható, hogy a vetületi és a nyomatéki egyenleten számszerűen semmi nem változik. f cd = 10.7 N d= 450mm a keresztmetszet hajlításra nem felel meg!!!! Megjegyzés: az acéletétek elszakadnak mielőtt a eton szélső száláan kialakulna határösszenyomódás (ε cu =3,5 ) c αf cd ασcd ε c < 0.8 0,7 c 3,5 εc[%0] 8. ára: A eton σ(ε) diagramjának kitöltöttsége Az ára kitöltöttsége: A gyengén vasalt km. határnyomatéka tehát a normálisan vasalt km.-tel azonos összefüggésekkel számítható, csak a tönkremenetel jellege és x c illetve x egymáshoz viszonyított aránya változik. c x c = 0.8 x

22 19 II. gyakorlat EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HAJLíTÓNYOMATÉKKAL SZEMBENI VISELKEDÉSÉNEK ELEMZÉSE NYOMATÉK-GÖRBÜLET ÖSSZEFÜGGÉS A.1. példáan szereplő normálisan vasalt,.. példáan szereplő túlvasalt és.3. példáan szereplő gyengén vasalt v. keresztmetszetek M(κ) göréi a következő diagramon láthatóak: (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az I. gyakorlathoz c. részen) Megjegyzés: a vizsgálat során a eton ilineáris anyagmodelljét használtuk. M [knm] 63,63 6φ0 túlvasalt 198,96 4φ0 normálisan vasalt 117,53 103,13 4,66 31,663 φ0 gyengén vasalt 0,309 0,584 0,879 1,60 1,888 6,03 κ [ mm] 9. ára: A példák keresztmetszeteinek M(κ) göréi A diagramon követhető, hogy a repesztőnyomaték nagysága alig függ a vasmennyiségtől. Az is megfigyelhető, hogy ha kevés a etonacél a v. keresztmetszeten (I I >>I II ) az I. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredekségéhez képest jelentősen lecsökken a II. feszültségi állapothoz tartozó egyenes meredeksége, míg sok vas esetén ez alig csökken. A gyengén vasalt keresztmetszetnél a felvehető M Rd hajlítónyomaték értéke nem sokkal nagyo, mint a repesztőnyomaték, és már egy igen alacsony nyomatékértéknél nagy alakváltozások játszódnak le. A túlvasalt keresztmetszetnél pedig az látható, hogy a III. feszültségi állapot elérése előtt csak korlátozottan képes alakváltozásokra. A normálisan vasalt v. keresztmetszetek viselkedése mindezekkel szemen kedvező, hisz megfelelően nagy nyomatékot képes felvenni a repesztőnyomaték felett és a keresztmetszet tönkremenetele előtt jelentősen nagy képlékeny alakváltozásokra képes. A "megfelelően" nagy nyomatéki teherírás és a "jelentősen nagy" képlékeny alakváltozások tisztázására álljon itt egy másik vizsgálat eredménye:

23 0 II. gyakorlat NYOMATÉK - VASMENNYISÉG ÉS GÖRBÜLET- VASMENNYISÉG ÖSSZEFÜGGÉSEK Az elemzés során az alái vaseton keresztmetszet viselkedését - hajlítónyomatékainak és göröletváltozásának alakulását - kísérjük végig egyre növekvő húzott vasmennyiségek mellett: A vizsgálat során a v. keresztmetszetek III. feszültségi állaptan vannak, és eton merev-képlékeny anyagmodelljét használtuk. (A vizsgálatot részletesen lásd a Kiegészítő anyag az II. gyakorlathoz c. részen) MRd [knm] 8,68 40,876 60,536 az As növelése k. lineárisan növeli az MRd-t MRd= As*f yd*0,8*d az As növelése alig növeli az MRd-t GYENGÉN VASALT 35, , NORMÁLISAN TÚLVASALT VASALT 10. ára:a határnyomaték függése a vasmennyiségtől As[ ] A 10. árán levő M Rd (A s ) diagramon látható, hogy amíg a keresztmetszet normálisan vasalt vasmennyiség növekedése jelentős mértéken növeli a vaseton keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállását, addig a túlvasalt keresztmetszetnél a vasmennyiség növelése alig növeli meg a határnyomaték értékét. Jól látszik az is, hogy ha nem túlvasalt a km. akkor az M Rd k. lineárisan függ a A s vasmennyiségtől, ezért kielégítően pontos közelítést ad (lásd a kék egyenest a 10. diagramon), ha a határnyomatékot a következő egyszerű képlettel ecsüljük: --- M Rd = A s f yd 0.8 d Tanulságként levontató, hogy nem érdemes a vaseton keresztmetszeten vasmennyiséget úgy növelni, hogy a túlvasalt keresztmetszetet kapjunk, mert az gazdaságtalan lenne Rd[ 10 mm] 6,333 A 11. árán levő κ Rd (A s ) diagramon látható, hogy a vasmennyiség növekedésével egyre kise alakváltozásra lesz képes a tartó. Túlvasalt eseten pedig egészen kis alakváltozásra képes, aminek az a következménye, hogy a képlékeny nyomatékátrendeződés nem tud lejátszódni. 1,61 0,968 35, , As[ ] GYENGÉN VASALT NORMÁLISAN VASALT TÚLVASALT 11. ára:a görület függése a vasmennyiségtől

24 II. gyakorlat KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖGKERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA.4. példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: M Ed := 90 kn m φ0 300 felső soran levő vasak száma: n felsõ := φ hasznos magasság: d := h f φ k n felsõ n felsõ + n alsó φ φ + ζ + δ d = 436.7mm φ π alkalmazott nyomott vasalás: n := dara φ := 0mm A s := n 4 A s = 68.3 φ hasznos magasság: d := f + φ k + + δ d = 50mm Anyagjellemzők: lásd a.1. példáan Számítás: A's ε's ε εcu {.x σ's σ αf cd.xc Belső erők F's=A's*σ's Fc=xc**α*f cd 13. ára:a vaseton keresztmetszet ε, σ árája és a első erők h d Anyagok : 6φ0 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm kengyel: φ k := 10mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm alkalmazott húzott vasalás: n := 6 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = 1885 Megjegyzés: Ha a keresztmetszeten az acéletétek két vagy tö soran helyezkednek el, akkor számításan a súlypontjukan egyetlen acélkeresztmetszettel helyettesített acéletétek hasznos magasságát a következőképpen számítjuk: ζ 1. ára:acéletétek súlyvonala vasak közötti minimális távolság: ζ := max φ 0mm ζ = 0mm alsó soran levő vasak száma: n alsó := 4 As εs σs Fs=As*σs Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s f yd A s f yd = 0 x c = 170.7mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 68.3 A s = 1885 f yd = N

25 II. gyakorlat A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, a húzott acéletétek folyási állapotan vannak x c ξ c := d ξ c = > ξ c0 =.111 A felt. helyes volt, a nyomott acéletétek folyási állapotan vannak A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d + A s f yd ( d d ) ahol = 300mm x c = 170.7mm f cd = 10.7 N A s = 68.3 M Rd = 97.6kN m d = 436.7mm f yd = N d = 50mm M Rd = 97.6kN m > M Ed = 90kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel Megjegyzés: (A megelőző példákan a vaseton keresztmetszeten eton méretei egyforma nagyságúak voltak) Az eredményeket összevetve tehát jól követhető, hogyan változik a nyomott zóna magassága és a keresztmetszet hajlítónyomatéki ellenállása a vasalás változtatásával. σc[mpa] C16/0 f cd=10,7 εc[%0] 0,7 εcu=3,5 φ0 A's xc0 x0 xc 500 d 6φ0 As 300 ε σs[mpa] ' f yd=434,8 S500B εs εsu=-5 f yd Es f yd Es =,17 εsu=5 εs[%0] ' f yd=-434,8 s 14. ára: A etonacél nyúlásának ellenőrzése

26 3 II. gyakorlat.5. példa: Ellenőrizze az alái keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: φ0 M Ed := 00 kn m 500 Anyagok : 4φ0 300 Beton: C16/0 Betonacél: S500B Geometria jellemzők definiálása: kengyel: φ k := 10mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm alkalmazott húzott vasalás: hasznos magasság: alkalmazott nyomott vasalás: hasznos magasság: Anyagjellemzők: lásd a.1. példáan Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s f yd A s f yd = 0 x c = 85.4mm ahol = 300mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = 68.3 f yd = N A s = A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = 0.19 < ξ c0 = A felt. helyes volt, a húzott acéletétek folyási állapotan vannak x c ξ c := d ξ c = 0. A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újóli felírása: (húzott acéletétek folynak, nyomottak rugalmasak) 560 x c α f cd + A s 700 A x s f yd = 0 c < d Megjegyzés: használatos még a redukált feszültség alái alakja is: Ez a forma az elő alkalmazott képlet ellentettjét adja és egyéként 560 σ s := 700 formailag egyezik a húzott oldali rugalmas acéletét feszültségét számító x c képlettel. Tekinthetjük ezt egy általánosan használható képletnek, ami mechanikai értelemen ad előjelhelyes eredményt, tehát húzott etonacél d esetén pozitív, nyomott esetén pedig negatív eredményt ad. Mindkét formula használható, de a zárójel előtti előjel úgy választandó, hogy a kifejezés előjele nyomott etonacél esetén a nyomott eton által képviselt erővel azonos (általáan pozitív) előjelet adjon. A nyomatéki egyenleten azonos megoldást kell választanunk. mivel ez az elői alakkal ellentétes előjelű, ezért a vetületi egyenlet a alakja a következő: 560 x c α f cd + A s 700 A x s f yd = 0 c n := 4 n := ξ c0 =.111 d dara φ d := h f φ k dara φ d := f + φ k + + δ A felt.nem volt helyes, a nyomott acéletétek rugalmas állapotúak δ φ := 0mm φ := 0mm A s n φ π := 4 d = 450mm φ π A s := n 4 d = 50mm A s = A s = 68.3 (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x c = 9.6mm

27 4 II. gyakorlat Feltétel ellenőrzése: x c ξ c := ξ d c = 0.06 < ξ c0 = a húzott acél képlékeny x c ξ c := d ξ c = < ξ c0 =.111 a nyomott acél rugalmas 560 σ s := 700 N nyomott acélan keletkező feszültség: x c σ s = d A nyomatéki egyenlet húzott vasak súlyvonalára: x c M Rd := x c α f cd d + A s ( σ s ) ( d d ) M Rd = 19.6kN m σ s = N (< f yd = N ahol = 300mm x c = 9.6mm f cd = 10.7 N d = 450mm d = 50mm A s = 68.3 M Rd = 19.6kN m > M Ed = 00kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel ) φ0 A's σc[mpa] f cd=10,7 0,7 εc[%0] εcu=3,5 xc xc0 x0 C16/0 500 d 4φ0 As 300 ε f yd=434,8 σs[mpa] S500B εs' εsu=-5 f yd Es f yd Es =-,17 εsu=-5 εs[%0] σs' 15. ára: A etonacél nyúlásának ellenőrzése

28 . Vasetonszerkezetek I. 5 II. gyakorlat.6. példa: Ellenőrizze az alái T keresztmetszetet a megadott pozitív hajlítónyomatékra: 400 M Ed := 50 kn m Anyagok : 4φ5 40 Beton: C16/0 Betonacél: S400B Feladat definiálása: As t h 16. ára: A T-keresztmetszet jelölései Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 400mm d := 460mm t := 10mm (a fejlemez vastasága) w := 40mm (orda szélessége) w - az alkalmazott húzott vasalás: n := 4 dara φ := 5mm A s n φ π := A s = Anyagjellemzők definiálása: eton: C16/0 N f ck f ck := 16 f cd := f cd = 10.7 N γ c acél: S400B N f yk := 400 f yk f yd := f yd = N γ s 560 ξ c0 := ξ f yd c0 = 0.5 Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek folynak és Tegyük fel, hogy a nyomott zóna a fejlemezen van αf cd 4 x xc Fc 17. ára: A T-keresztmetszet ε, σ árája és a első erők As ε σ Fs első erők A vetületi egyenlet: x c α f cd = A s f yd x c = 160.1mm ahol = 400mm α = 1.0 f cd = 10.7 N A s = f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = a feltevés helyes, az acéletétek folyási állapotan vannak x c = 160.1mm > t = 10mm a feltevés helytelen, a nyomott zóna a ordáa nyúlik Megjegyzés: ha x c <t, akkor a T-keresztmetszet négyszög keresztmetszetként számolható, hisz az egyenletek felírásakor irreleváns, mi van nyomott zóna alatt

29 . Vasetonszerkezetek I. 6 II. gyakorlat A feltevés módosítása miatt a vetületi egyenlet újóli felírása αf cd x xc Fc 18. ára: T-keresztmetszet ε, σ árája és a első erők As ε σ Fs első erők ( ) t w α + x c w f cd = A s f yd x c = 186.8mm > t = 10mm ahol = 400mm w = 40mm t = 10mm f cd = 10.7 N A s = f yd = N A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. helyes volt, az acéletétek folyási állapotan vannak A nyomatéki egyenlet a húzott vasak súlyvonalára: M Rd t ( t w ) d x c := + x c w d α f cd M Rd = 57.kN m ahol = 400mm w = 40mm t = 10mm f cd = 10.7 N d = 460mm x c = 186.8mm M Rd = 57.kN m > M Ed = 50kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel

30 7 III. gyakorlat III. GYAKORLAT Hajlított vaseton keresztmetszet tervezése (Négyszög alakú keresztmetszetek kötött és szaad tervezése) Készítették: Dr. Kiss Rita és Klinka Katalin A számításokan feltételezzük, hogy: - a rúd tengelyére merőleges keresztmetszetek a deformációk után síkok és rúd tengelyére merőlegesek maradnak és - a eton és az acél csúszásmentesen együttdolgozik A tervezés lehet: - Kötött tervezés: amikor a keresztmetszet eton kontúrja adott (azaz van egy adott méret, amekkora helyre egy gerendát meg kell tervezni), és vasalást kell megtervezni - Szaad tervezés:amikor a keresztmetszet, szélessége vagy magassága adott és a másikat kell számolni, vagy semmilyen kötöttség sincs a eton keresztmetszettel szemen (azaz a szélesség és magasság is ismeretlen és ekkor, úgy tehető a feladat matematikailag határozottá, ha ezek arányát megadjuk) és a vasalás is megtervezendő Tervezési irányelvei: - A vaseton keresztmetszetet úgy célszerű megtervezni, hogy az acéletétek folyási állapotan legyenek (tehát normálisan vasalt legyen) - A vaseton keresztetszeten csak akkor alkalmazzunk nyomott vasalást, ha másképp nem kerülhető el, hogy a húzott acéletét rugalmas állapotan legyen. 3.1.példa: Tervezze meg az alái keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra: MEd A KÖTÖTT TERVEZÉS M Ed := 80kN m A nyomaték alul okoz húzást. Anyagok : Beton: C0/5 Betonacél: S500B Anyagjellemzők: eton: C0/5 -eton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell σc f ck αf cd εc1=0,7 acél: S500B εs' ' ' σyd σyk σck ασcd εc[%0] εcu=3,5 -f yk -f yd σs σs f yd Es f yd' f yk' ' N f ck := 0 A eton húzószilárdságának várható értéke 8 napos koran: 1. ára: A eton σ(ε) diagramja σyk σyd εsu=-5 εs[%o]. ára:az acél σ(ε) diagramja f ck f cd := γ c N f yk := ξ c0 := f yd ξ c0 := 700 f yd f cd = 13.3 N f yk f yd := γ s ξ c0 = ξ c0 =.111 N f ctm :=. f yd = N

31 ... Vasetonszerkezetek I. 8 III. gyakorlat A feladat megoldása: Geometria jellemzők definiálása: h := 360mm := 50mm kengyel: φ k := 10mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm 1. lépés: az acéletétek feltételezett átmérője : φ := 0mm és feltételezzük egy soran elfér a vasalás φ feltélezett hasznos magasság: d := h f φ k. lépés: az M 0 meghatározása M Ed δ d = 310mm M 0 az a maximális nyomaték, amit keresztmetszet nyomott vasalás nélkül el tud viselni úgy, hogy a húzott acéletétek folynak: - ha M 0 >M Ed, akkor nem kell nyomott vasalás (A s =0) - ha M 0 <M Ed, akkor nyomott vasalást is alkalmazunk (A s 0, ekkor a számítás feltevése: x c =x c0 ) x c0 := ξ c0 d x c0 = 153mm húzott acélok megfolynak x c0 M 0 := x c0 α f cd d M 0 = 119.1kN m > = 80kN m nem kell nyomott vasalás εcu { αf cd x xc Fc=xc**α*f cd h d zc As ε εs σs σ Fs=As*f yd Belső erők 3. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői 3. lépés: a nyomatéki egyenletől meghatározzuk az x c -t x c M Ed = x c α f cd d ahol M Ed = 80kN m = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N d = 310mm 4. lépés: Az acéletétek állapotának ellenőrzése (elvileg ez felesleges, mert M 0 >M Ed -ől ez nyilvánvaló): x c ξ c := ξ d c = 0.93 < ξ c0 = az acélok megfolytak x c = 90.7mm 5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletől: x c α f cd A s f yd = 0 A s = 695. ahol x c = 90.7mm = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N f yd = N

32 9 III. gyakorlat 6. lépés: a szerkeztési szaályok a hosszvasalás mennyiségére [Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 08 old.]: - minimális vasmennyiség: A s.min := f ctm max 0.6 f yk d 1.3 d A s.min = ahol f ctm 0.6 d = 88.7 f yk 1.3 d= maximális vasmennyiség: A s.max := 4% d A s.max = 3100 A s.min = < A s = 695. < A s.max = 3100 megfelelő 7. lépés: az alkalmazott vasalás legyen A leggyakraan használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 4 d φ16mm acéletétek esetén A s =804, 3d φ0mm acéletétek esetén A s =94,5 d φ5mm acéletétek esetén A s =981,7 n := 4 d 8. lépés: a vasak elhelyezése: req := f + φ k + + ( n 1) ζ + f + φ k req = 184mm < = 50mm elfér egy soran 9. lépés: A vaseton keresztmetszet ellenőrzése: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φ a hasznos magasság: d alk := h f φ k δ d alk = 31mm Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd = φ := 16mm vasak közötti minimális távolság: ( ) n φ A s.alk f yd A s.alk n φ π := 4 φ ζ := max 0mm ( ) A s.alk = 804. > ζ = 0mm A s = 695. x c = 104.9mm ahol = 50mm α = 1.0 Feltevés ellenőrzése : x c ξ c = 0.93 ξ c := d < f cd = 13.3 N ξ c0 = A s.alk = 804. f yd = N A felt. jó volt, az acél folyási állapotan van A nyomatéki egyenlet: x c M Rd := x c α f cd d alk ahol M Rd = 90.8kN m = 50mm x c = 104.9mm α = 1.0 f cd = 13.3 N d alk = 31mm M Rd = 90.8kN m > M Ed = 80kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel

33 30 III. gyakorlat 3..példa: Tervezze meg az alái keresztmetszet hajlítási vasalását a megadott nyomatékra: M Ed := 150 kn m 360 MEd Anyagok : Beton: C0/5 Betonacél: S500B 50 A feladat megoldása: Anyagjellemzők: lásd 3.1. példa Geometria jellemzők definiálása: lásd 3.1. példa 1. lépés: az acéletétek feltételezett átmérője: φ := 0mm és feltételezzük, hogy egy soran elfér a φ := 0mm vasalás φ hasznos magasságok: d := h f φ k δ d = 310mm φ d := f + φ k + + δ d = 50mm. lépés: az M 0 meghatározása (előzővel azonos) x c0 := ξ c0 d x c0 = 153mm x c0 M 0 := x c0 α f cd d M 0 = 119.1kN m < M Ed = 150kN m kell nyomott vasalás h A's d ε's ε εcu {.x σ's σ αf cd.xc Belső erők F's=A's*f yd Fc=xc**α*f cd 4. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és a első erők As εs σs Fs=As*f yd Ha nyomott acéletét kell a keresztmetszete, akkor: x c := x c0 x c = 153mm 3. lépés: A nyomott acéletétek állapotának ellenőrzése: ξ c := x c d ξ c = 3.06 > ξ c0 =.111 a nyomott acélok megfolynak 4. lépés: a nyomatéki egyenletől meghatározzuk az A s-t M Ed = M 0 + A s f yd ( d d ) A s = 73.6 ahol M Ed = 150kN m M 0 = kN m f yd = N d = 310mm d = 50mm 5. lépés: a húzott acélok szükséges keresztmetszeti területe a vetületi egyenletől: x c α f cd + A s f yd A s f yd = 0 ahol x c A s = = 153mm = 50mm α = 1.0 f cd = 13.3 N A s = 73.6 f yd = N 6. lépés: a szerkeztési szaályok a hosszvaslás mennyiségére (lásd 3.1. példa) A s.min = < A s + A s = 170 < A s.max = 3100 megfelelő

34 31 III. gyakorlat 7. lépés: az alkalmazott vasalás A leggyakraan használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: 7 d φ16mm acéletétek esetén A s = d φ0mm acéletétek esetén A s = d φ5mm acéletétek esetén A s = n := 5 dara φ := 0mm A s.alk n φ π := 4 A s.alk = > A s = Megjegyzés: az alkalmazott acéletéteknél hasonló vasalakok esetén egy átmérő maradjon ki, hogy a vasszerelésnél a kivitelezők nehogy összekeverjék őket n := dara φ := 16mm φ π A s.alk := n 4 A s.alk = 40.1 > A s = lépés: a vasak elhelyezése: vasak közötti minimális távolság: Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s.alk f yd A s.alk f yd = 0 ahol ( ) n φ rec := f + φ k + + ( n 1) ζ + f + φ k rec = 40mm < = 50mm elfér egy soran a húzott vasalás nyomott vasakat a keresztmetszet két sarkáan helyezzük el 9. lépés: A vaseton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φ hasznos magasság: d alk := h f φ k δ d alk = 310mm = 50mm A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ c = d alk f cd = 13.3 N < φ d alk := f + φ k + + δ A s.alk = ξ c0 = φ ζ := max 0mm ( ) ζ = 0mm d alk = 48mm x c = 15.4mm A s.alk = 40.1 f yd = N A felt. jó volt, a húzott acél folyási állapotan van ξ c := x c d alk ξ c = > ξ c0 =.111 A felt. jó volt, a nyomott acél folyási állapotan van A nyomatéki egyenlet: x c M Rd := x c α f cd d alk ahol = 50mm x c = 15.4mm + A s.alk f yd d alk d alk f cd = 13.3 N ( ) A s.alk 40.1 = f yd = N M Rd = 164.6kN m d alk = 310mm d alk = 48mm M Rd = 164.6kN m > M Ed = 150kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel

35 ... Vasetonszerkezetek I. 3 III. gyakorlat A SZABAD TERVEZÉS 3.3.példa: Tervezze meg a vaseton keresztmetszetet a megadott nyomatékra: M Ed := 1000 kn m h MEd A nyomaték alul okoz húzást. Anyagok : Beton: C5/30 Betonacél: S500B As Anyagjellemzők: eton: C5/30 N f ck := 5 acél: S500B f cd := f ck γ c f cd = 16.7 N N f yk := ξ c0 := f yd f yk f yd := γ s ξ c0 = f yd = N 560 ξ c0 := 700 f yd ξ c0 =.111 A feladat kitűzése: Ismeretlenek:, d, A s, ( A s), x c Egyenletek: vetületi egyenlet és nyomatéki egyenlet Mivel négy (ill. 5) ismeretlent egyenletől nem lehet meghatározni, továi feltételeket kell állítanunk: 1. Nem alkalmazunk nyomott vasalást: A s=0. x c -t úgy érdemes felvenni, hogy a etonacél folyási állapotan legyen például legyen a feladat megoldása során: ξ c =0.4 < ξ c0 =0.493 (S500B esetén), de ne legyen ξ c < < ξ c0 3. Felvehetjük szaadon - a keresztmetszet szélességét és számolhatjuk a magasságát vagy - a keresztmetsze magasságát (d hasznos magasságát) és számolhatjuk szélességét, vagy d - a kettő arányát, például legyen ez az arány a feladat megoldása során: η = = 1.5 Ezekkel a feltevéssekkel a feladat egyértelműen megoldható! A feladat megoldása: εcu { αf cd x xc Fc=xc**α*f cd h d zc As ε εs σs σ Fs=As*f yd Belső erők 5. ára: A vaseton keresztmetszet ε, σ árája és első erői

36 33 III. gyakorlat 1. lépés: a nyomatéki egyenlet felírása x c M Ed = x c α f cd d d 3 ξ c M Ed = η α f cd ξ c 1 - maximális vasmennyiség: A s.max := 4% d a feltevéseket ehelyettesítve: ahol η = 1.5 α = 1 f cd = 16.7 N ξ c = 0.4 M Ed = 1000kN m eől d-t kifejezve: 3 η M Ed d := ξ c α f cd ξ c 1. lépés: a keresztmetszet szélességének meghatározása: d := 1.5 d = 655.mm = 436.8mm 3. lépés: a húzott acélok keresztmetszeti területe a vetületi egyenletõl: x c := ξ c d x c = 6.1mm x c α f cd A s f yd = 0 ahol = mm α = 1.0 f cd = 16.7 N f yd = N A s = lépés: a szerkeztési szaályok a vasmennyiségre [., Farkas-Huszár-Kovács-Szalai: 08 old.]: f ctm - minimális vasmennyiség: A s.min max 0.6 d := f yk 1.3 d f ctm ahol 0.6 d = 37.4 f yk 1.3 d= 37 A s.min = 37 A s.min 37 = < A s = < A s.max = megfelelő A s.max = lépés: az alkalmazott vasalás kengyel: φ k := 1mm etonfedés: f := 0mm a vasak kedvezőtlen elmozdulása miatt: δ := 10mm A leggyakraan használt vasátmérőkkel a következő lehetősegeink vannak: d φ16mm acéletétek esetén A s = d φ0mm acéletétek esetén A s = d φ5mm acéletétek esetén A s = n := 14 dara φ := 0mm A s.alk n φ π := A 4 s.alk = > A s =

37 .. Vasetonszerkezetek I. 6. lépés: a vasak elhelyezése: 34 III. gyakorlat ζ 6. ára: A vasak közötti minimális távolság ζ A vasak közötti minimális távolság: φ ζ := max 0mm ζ = 0mm felső soran levő vasak száma: n f := 5 alsó soran levő vasak száma: n a := n n f n a = 9 ( ) n a φ ( ) ζ ( ) req := f + φ k + + n a 1 + f + φ k req = 404mm < = 436.8mm tehát így elférnek két soran, ezért alk := 440mm 7. lépés: a tartó magassága φ n f φ φ h rec := f + δ + φ k ζ + + d n f + n a h rec = 71.5mm h alk := 70mm 8. lépés: A vaseton keresztmetszet ellenőrzés: a feltételezett helyett az alkalmazott méretekkel! φk=1 φ1 =440 14φ0 7. ára: A keresztmetszet vasalása hasznos magasság: d alk := h alk f δ φ k φ n f n f + n a φ + ζ + φ d alk = 653.7mm Tegyük fel, hogy a húzott acélok folynak A vetületi egyenlet: x c alk α f cd = A s.alk f yd x c = 60.8mm x c := ahol alk = 440mm α = 1.0 f cd = 16.7 N A s.alk = f yd = N Feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ d c = < ξ c0 = A felt. jó volt, az acél folyási állapotan van alk A nyomatéki egyenlet: x c M Rd := alk x c α f cd d alk M Rd = kN m ahol alk = 440mm x c = 60.8mm α = 1.0 f cd = 16.7 N d alk = mm Find( x c ) M Rd = kN m > M Ed = 1000kN m a keresztmetszet hajlításra megfelel

38 d Vasetonszerkezetek I. 35 IV. GYAKORLAT Külpontosan nyomott vaseton keresztmetszet (Négyszög keresztmetszet teherírási vonala) Készítették: Dr. Kiss Rita, Klinka Katalin és Völgyi István IV. gyakorlat NYOMOTT-HAJLÍTOTT KM. ELLENŐRZÉSE "PONTOS" MÓDSZERREL 4.1. példa: Határozza meg a keresztmetszet határkülpontosságát a geometriai középponttól, ha a normálerő tervezési értéke: N Ed =800 kn! 300 Beton: C0/5 Betonacél: S400B 3φ16 5φ0 Anyagjellemzők: eton: C0/5 -eton anyag modellje: merev-képékeny anyagmodell f ck αf cd σc σck ασcd N f ck f ck := 0 f cd := f cd 13.3 N N = f ctm :=. γ c εc1=0,7 acél: S400B εs' ' ' σyd σyk εc[%0] εcu=3,5 -f yk -f yd σs σs f yd Es f yd' f yk' ' 1. ára:a eton σ(ε) diagramja σyk σyd εsu=-5 εs[%o]. ára:az acél σ(ε) diagramja N f yk f yk := 400 f yd := f yd = N γ s 560 ξ c0 := ξ f yd c0 = ξ c0 := 700 f ξ c0 = 1.59 yd Geometria jellemzők definiálása: h := 500mm := 300mm A keresztmetszet úgy van külpontos nyomással igényevéve, hogy az egyik oldali acéletétek nyomottak,míg a másik oldalon pedig húzottak lesznek. d' d - az alkalmazott húzott vasalás: n := 5 dara φ := 0mm A s n φ π := A 4 s = NEd A's As d := 450mm alkalmazott nyomott vasalás: n := 3 dara φ := 16mm NEd erd φ π A s := n 4 A s = 603. d := 50mm

39 36 IV. gyakorlat Számítás: Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is húzásra ill. nyomásra folynak A vetületi egyenlet: x c α f cd + A s f yd A s f yd = N Ed x c = 34.1mm A feltevés ellenőrzése : x c ξ c := ξ c = 0.5 d x c ξ c := d A határkülpontosság: 4.. példa: Határozza meg a km. határerejét, ha a mértékadó külpontosság a geomtriai középponttól mérve: e Ed =700mm! (az ára és az adatok u.a. mint 4.1.feladatnál!) Számítás: Tegyük fel, hogy a vaseton keresztmetszet úgy megy tönkre, hogy a nyomott szélső száláan eléri törési összenyomódás értékét! Tegyük fel, hogy a húzott acéletétek is és a nyomott acéletétek is húzásra ill. nyomásra folynak 1. lehetőség: a nyometéki egyenlete ehelyettesítjük a vetületi egyenletől kifejezett határerőt ( egyenlet, ismeretlen) N Rd := α x c f cd + A s f yd A s f yd N Rd e Ed = x c α f cd (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x. lehetőség: a nyometéki egyenletet a határerő helyére írjuk fel c = 179.mm h 0 = x c α f cd e Ed + M Rd e Rd := N Ed h x c x c h A s f yd d h + + A s f yd d e Rd = 459.6mm (az erő támadáspontja keresztmetszeten kívül esik) h h + A s f yd e Ed + d A s f yd e Ed (az egyenlet megoldása másodfokú egyenletre vezet, melyől a fizikai tartalommal író gyökét használjuk fel a feladat megoldása során) x Feltevés ellenőrzése: c = 179.mm x c ξ c := ξ c = < ξ a feltevés helyes, húzott acéletétek megfolynak d c0 = x c ξ c := d Így vetületi egyenletől az e Ed -hez tartozó határerő értékét megkapjuk: N Rd := ahol ahol = 300mm h = 500mm α ξ c = x c f cd + A s f yd A s f yd = 300mm ahol < > ξ c = α = 1.0 = 300mm ξ c0 = ξ c0 = 1.59 x c = 34.1mm > ξ c0 = 1.59 α = 1.0 f cd = 13.3 N f cd = 13.3 N A nyomatéki egyenlet a geometriai középpontra: h x c h M Rd x c α f cd + A s f yd d h := + A s f yd d A felt. helyes volt, a húzott acéletétek folyási állapotan vannak f cd = 13.3 N A s = A s = 603. A s = 603. A s = 603. A s = d = 450mm d = 50mm + d a feltevés helyes,nyomott acéletétek megfolynak N Rd = 380.3kN A s = f yd = N A felt. helyes volt, a nyomott acéletétek folyási állapotan vannak M Rd = 75.7kN m f yd = N f yd = N