Numerikus módszerek 6. Parciális differenciálegyenletek numerikus megoldása

Hasonló dokumentumok
2. Potenciálos áramlások. Potenciálos áramlások. Alkalmazási példák Dr. Kristóf Gergely Department of Fluid Mechanics, BME 2015.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

A CSOPORT 4 PONTOS: 1. A

7. Kétváltozós függvények

Kettős és többes integrálok

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

Függvények hatványsorba fejtése, Maclaurin-sor, konvergenciatartomány

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

a.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

Zh-k összpontszáma Vizsga Zh+vizsga Jegy

Kalkulus II., harmadik házi feladat

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

Numerikus módszerek 5. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Proporcionális hmérsékletszabályozás

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.

Speciális függvénysorok: Taylor-sorok

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

3. előadás Reaktorfizika szakmérnököknek TARTALOMJEGYZÉK. Az a bomlás:

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Galjorkin módszerek Spektrális módszer

( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + +

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010

PHD DISSZERTÁCIÓ. Az akusztooptikai kölcsönhatás komplex, 3D modellje és kísérleti vizsgálata. Mihajlik Gábor

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

Tizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

Neurális hálózatok. Nem ellenőrzött tanulás. Pataki Béla. BME I.E. 414,

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

Y speciális feltételeket kielégítő függvények. Keressük azon y x peremeket kielégítő függvényt, melyre Φ y(x) = extrémális (minimális)

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.

9. évfolyam Javítóvizsga felkészülést segítő feladatok

Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája

2D grafikai algoritmusok

Analízis I. jegyzet. László István november 3.

A Poisson-egyenletre alkalmazott multigrid mo dszer

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Szervomotor pozíciószabályozása

Mechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31

A feladatok megoldása

Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

1. El szó. Kecskemét, február 23. K házi-kis Ambrus

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Ezt kell tudni a 2. ZH-n

következô alakúra: ax () = 4 2 P 1 . L $ $ + $ $ 1 1 2$ elsô két tagra a számtani és mértani közép közötti egyenlôtlenséget, kapjuk hogy + cos x

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

9. évfolyam feladatai

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

Másodfokú függvények

10. OPTIMÁLÁSI LEHETŐSÉGEK A MŰVELET-ELEMEK TERVEZÉSEKOR

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Matematika szintfelmérő szeptember

Többváltozós, valós értékű függvények

AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )

6. HMÉRSÉKLETMÉRÉS. A mérés célja: ismerkedés a villamos elven mköd kontakthmérkkel; exponenciális folyamat idállandójának meghatározása.

A hidegzömítés alapesetei és geometriai viszonyai a 4.6. ábrán láthatók ábra A hidegzömítés alapesetei, zömítés (l/d) viszonyai

5 3 0,8 0,2. Számolja ki a 3

7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, május hó

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Analízis IV. gyakorlat, megoldások

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Halmazok Egész számok

Átírás:

Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere

Vetoranalízis, összefoglaló. Differenciáloperátoro Legen : R n R differenciálató salárfüggvén, vetorfüggvén. n n E : R R differenciálató Az függvén gradiense: grad :,,..., vetorfüggvén n E E Az E : E, E,..., En függvén divergenciáa: div E :... E n salárfüggvén n E Az E : E, E, E3 függvén rotációa: 3 E E E 3 E E rot E :,, vetor 3 3 A Laplace-operátor: :... salárfüggvén rot grad 0 div rot E 0 div grad div E div E E grad n

Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Gass-féle divergenciatétel: div E d Követezméne: d E n d d n 3

Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Gass-féle divergenciatétel: div E d Követezméne: d E n d n d d div grad d grad n d d n 4

Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green. tétele: vd grad grad v d vd n 5

Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green. tétele: vd grad grad v d vd n Legen E : grad v, aor div E divgrad v div grad v grad grad v v grad grad v. A Gass-tételt alalmazva: v d grad grad v d divgrad v d grad grad v d grad v n d grad grad v d v d n 6

Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele v Green. tétele: vd v d vd d n n 7

Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele v Green. tétele: vd v d vd d n n Az. Green formla szerint: vd grad grad v d vd n és v szerepcseréével: v v d grad v grad d d n Kivonva ezt az előző egenlőségből, az állítás adódi. 8

9 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green 3. tétele D-ben: d d n d n log log Megegzés: a log : V függvén esetén mindenütt armonis, azaz 0 V.

Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 0

Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Elliptis egenlete: f Poisson-egenlet; a f = 0, aor Laplace-egenlet Általánosabb elliptis egenlet: div grad f Stacionáris ővezetés; eletromos árameloszlás; szivárgás; széleltette áramlás seél tavaban Konveció-diffúzió-reacióegenlet: v grad div grad d f Stacionáris transzportfolamato; szennezőanagteredés foladéoban, gázoban

Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Parabolis egenlete: t D f diffúziós egenlet Általánosabb parabolis egenlet: t div grad f Konveciós-diffúziós egenlet: t v grad div grad f Transzportfolamato; szennezőanagteredés foladéoban, gázoban

Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Hiperbolis egenlete: c t f llámegenlet Hllámteredés 3

Melléfeltétele elliptis egenletere: peremfeltétele előírása a tartomán peremén. vag Diriclet-féle peremfeltétel előírása a tartomán peremén. vag Nemann-féle peremfeltétel n és eg lineáris ombinációána előírása a tartomán peremén 3. vag Robin-féle n peremfeltétel A perem eges darabain aár ülönböző típsú peremfeltétel is teető evert peremfeltétel. Szabad felszín probléma 4

Melléfeltétele parabolis és iperbolis egenletere: ezdeti- és peremfeltétele Térváltozó szerint: peremfeltétele időfüggő is leet Idő szerint: ezdeti feltétel parabolis egenlete esetén: előírása eg t t 0 időpillanatban iperbolis egenlete esetén: és előírása eg 0 t t t időpillanatban A melléfeltételeel ellátott parciális differenciálegenletne általában egértelmű megoldás létezi. 5

Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 6

Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre Modellfeladat: f a 0, a 0, b R téglalapon, : 0 a peremen..lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a obboldali f függvént: f, c sin sin a b A Forier-egüttató: c 4 ab a b 0 0 f, sin sin a b dd 7

Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre.lépés: A fenti Forier-egüttatóal észítsü el az alábbi szinszos Forier-sort:, c a b sin sin a b Az íg nert függvén megoldása a modellfeladatna. 8

9 Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre.lépés: A fenti Forier-egüttatóal észítsü el az alábbi szinszos Forier-sort: sin sin, b a b a c Az íg nert függvén megoldása a modellfeladatna. b a b a a b b a b a sin sin sin sin sin sin sin sin ezért, sin sin sin sin, f b a c b a c b a b a A téglalap peremén pedig 0, mert itt 0 sin sin b a.

Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre Megegzése: A Forier-sorfetés és Forier-sor-iértéelés realizálása FFT-vel történet. sa téglalaptartomán esetén asználató asonló módszer vezetető le még más nagon speciális tartománora pl. örre. sa Poisson-egenlet esetén asználató asonló módszer vezetető le még más nagon speciális differenciálegenletre. 0

Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, előírt a peremen. Alapötlet: Boríts le a tartománt derészögű egenözű ráccsal, és a rácspontoban a deriváltaat özelítsü véges differencia sémáal. A Laplace-operátor özelítése ötpontos centrális sémával: 4 ~ E S W N S N W E Íg a rácspontra felírt diszrét egenlet: E S W N f 4 mel érvénes minden, a tartomán belseében fevő rácspontra. A tartomán peremére eső rácspontoban előírt peremfeltétel.

Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere A v n Nemann-peremfeltétel diszretizálása: Naiv megoldás a özelítés csa elsőrendű: n W ~, innen a perempontra: W v Javított másodrendű özelítés: S N W v f 4

3 Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere 3 O W, és f, innen 3 O f W -t centrális sémával özelítve: O S N : 3 O f S N W aonnan: O f S N W

Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere Nmeris ellemző: A rendszer nagméretű, de mátria rita mátri. Diret módszere: nagon műveletigénese. Egszerű iterációs módszere: általában lassúa. A perem özelítése drva. A megoldandó fő probléma: az egenletrendszer gors megoldása. 4

5 Módszere elliptis egenletere. Véges térfogat módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, előírt a peremen Alapötlet: Boríts le a tartománt eg cellarendszerrel, és integrál az egenletet minden eges cellán: d n d Ezetán már csa a normális iránú deriváltna az eges cellaoldala mentén vett integrálait a flsoat ell özelíteni pl. cella-özépponti differenciasémáal: E S W N E S W N d n f d f d 4 ~ ~ Íg a cellára felírt diszrét egenlet: E S W N f 4, mel érvénes minden, a tartomán belseében fevő cellára. A tartomán peremére illeszedő cellában előírt peremfeltétel.

6 Módszere elliptis egenletere. Véges térfogat módszere A módszer nagméretű, rita mátriú egenletrendszert ad. Enne gors megoldása problematis. De: Nem feltétlen szüséges téglalapcelláat alalmazni, íg obban leet a peremre illeszedni. sa elsőrendű deriváltaat flsoat ell özelíteni, másodrendűeet nem. A Nemann-peremfeltétel diszretizálása soal egszerűbb. Ha pl. a cella eleti oldala a peremre illeszedi, és ott E v n előírt, aor a eleti cellaoldalra vett fls számítató. v v d n E S W N E S W N 3 ~ A cellára felírt diszrét egenlet: v f E S W N 3

Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Modellfeladat lineáris: A = f Evivalens iterációra alalmas formában: = B + g Általában ez eg egszerű Jacobi- vag Seidel-iterációt értelmez. Alapötlete: többszintű diszretizálás simítás Jacobi- vag Seidel-iterációval avítás a maradéegenlet alapán: 7

Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Modellfeladat lineáris: A = f Evivalens iterációra alalmas formában: = B + g Általában ez eg egszerű Jacobi- vag Seidel-iterációt értelmez. Alapötlete: többszintű diszretizálás simítás Jacobi- vag Seidel-iterációval avítás a maradéegenlet alapán: Legen ~ eg özelítő megoldása az A = f egenletne. Aor a pontos megoldás előáll ~ w alaban, aol w avító tag megoldása a maradéegenletne: Aw f A~ Ha w megatározása nem pontos, aor íg a megoldás eg úabb özelítését ap. 8

Módszere elliptis egenletere. Kétálós módszer Legen X H eg H lépésözű drva áló, X pedig eg lépésözű finom áló. Diszretizált feladato: asonlóan: A f ill. AH H fh B g ill. H BHH gh. Az eges áló özti átvitele: A étálós algoritms lépései: R : X X H leszűítés a drva álóra, P : X H X iteresztés a finom álóra Elősimítás: ~ : B~ g végreatása néánszor Drvaálós orreció: ~ : ~ PwH, aol A ~ H wh R f A Utósimítás: ~ : B ~ g végreatása néánszor 9

Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. 30

Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. Kaszád módszer: Lemegün a legdrvább szintre, és ott pontosan megold a feladatot: : ~ A f A finomabb szinteen csa az előző szintről átozott megoldásoat avít: ~ : ~ P átozatal ~ : B ~ g simítás, néánszor =,3,,L 3

Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. Mltigrid cils MG: iteratív avítás Teles mltigrid algoritms FMG: nem iteratív 3

Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Mltigrid cils rerzív definícióa: A legdrvább szinten pontosan megold a feladatot: ~ : MG, ~, f A f : A finomabb szinteen: átozatal az előző szintről: ~ : ~ P elősimítás: ~ : B g végreatása néánszor maradé iszámítása: r : f A ~ mltigrid cils végreatása csa -szer vag étszer V-cils ill. W-cils a maradéegenletre az eggel drvább álón: w : MG, w, R r. A ezdeti özelítés leet 0. drvaálós orreció: ~ : ~ P w tósimítás: MG, ~, f : B ~ g 33

Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Teles mltigrid algoritms rerzív definícióa: A legdrvább szinten pontosan megold a feladatot: A finomabb szinteen: ~ : P FMG, f FMG, f : MG, ~, f ~ A f : FMG, f : 34

Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Megegzése: A simítás feladata: a iba nagfrevenciás omponenseine erőteles csöentése nem a gors onvergencia. A iba alacsonfrevenciás omponenseit a drvaálós orreció csöenti. Műveletigén: az ismeretlene számána első atvánával arános Általánosítató nemlineáris feladatora is Fll Approimation Sceme 35

Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, 0 a peremen. Legene,,..., N adott bázisfüggvéne, és,,..., N adott tesztfüggvéne., mele szintén eltűnne a peremen. Keressü a megoldást : alaban. Mindét oldalt -val szorozva és integrálva: N N grad grad d f d,,..., N Másodrendű deriválta nem fordlna elő! 36

Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere Nmeris ellemző: A rendszer nagméretű, de mátria rita mátri a bázis- és a tesztfüggvéneet alalmasan megválasztva Diret módszere: nagon műveletigénese. A perem özelítése ellően finom leet. Az elemstrtúra létreozása azonban ülön probléma. 37

Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere 38

Módszere elliptis egenletere. A perem-integrálegenlet módszer Modellfeladat: U f eg Kevert peremfeltétel: U előírt a perem eg részén; a perem fennmaradó részén a R tartománon U / n normális iránú derivált adott 3.Green-formla: elöle U : U, v : n, aor minden belső -beli z pontban: U z z n z d log z v d log z f d A obb oldal tagai: ettősréteg potenciál, egszerű réteg potenciál, logaritmis potenciál. Alapötlet: Legen eg perempont; z mellett iszámít mindét oldal limeszét, íg eg integrálegenletet apn, melben az ismeretlen függvéne és v csa a peremen értelmezette. 39

A perem-integrálegenlet módszer A logaritmis és az egszerű réteg potenciál foltonosa z szerint. lim z z z Ha foltonos, aor a ettősréteg potenciál limesze: n d n d aol a perem belső törésszöge az perempontban. 40

A perem-integrálegenlet módszer Az és v peremfüggvéne ielégíti az alábbi perem-integrálegenletet: K Rv Lf aol Rv : log n K : v d, Lf d :, log f d 4

4 A perem-integrálegenlet módszer Az és v peremfüggvéne ielégíti az alábbi perem-integrálegenletet: Lf Rv K aol d f Lf d v Rv d n K log :, log :, : Elvégezve i. a z atárátmenetet: d f d v d n log log és innen a perem-integrálegenlet már adódi.

A perem-integrálegenlet nmeris megoldása olloációs módszerrel Legene,,..., N adott peremfüggvéne,,,... N adott peremponto olloációs ponto. Legegszerűbb választás: a peremet rácspontoal N részre bont, és legen az a függvén, mel a -adi szaaszon azonosan, mástt zérs. Keressü -t és v-t ezen függvéne lineáris ombinációaént: N N ~, v ~ v Ezeet a perem-integrálegenletbe elettesítve, és az egenlőséget az,,... N perempontoban megövetelve, az ismeretlen egüttatóra lineáris egenletrendszert nerün: N K N R v Lf K : K, R : R,,..., N Ez N db egenlet. A peremfeltétele további N egenletet adna. 43

A perem-integrálegenlet módszer Nmeris ellemző A perem-integrálegenlet özelítő megoldása csa peremen elelezett rácspontoat igénel. A tartomán diszretizálása nem szüséges. Diszretizálás tán a apott egenletrendszer mérete soal isebb, mint véges differencia módszer alalmazása esetén, de a rendszer mátria telesen itöltött mátri és általában nem szimmetris. A mltigrid tecnia itt is alalmazató, és ez tovább csöenti a műveletigént. 44

Módszere elliptis egenletere. Az alapmegoldáso módszere Modellfeladat: U 0 eg Kevert peremfeltétel: U előírt a perem eg részén; a perem fennmaradó részén a R tartománon U / n normális iránú derivált adott ~ ~,..., ~, N adott ülső ponto forrásponto,,..., M, M, M,..., N adott peremponto olloációs ponto. : log alapmegoldás, aor 0 N U : ~ Az ismeretlen egüttató a peremfeltételeből számítató: 45

46 Módszere elliptis egenletere. Az alapmegoldáso módszere ~ : N U Az ismeretlen egüttató a peremfeltételeből számítató:,...,, ~,,..., ~ N M M n U n M U N N

Az alapmegoldáso módszere Nmeris ellemző A módszer csa peremen elelezett olloációs pontoat és ülső forráspontoat igénel. A tartomán diszretizálása nem szüséges. Rendívül egszerűen programozató. Az egenletrendszer mátria telesen itöltött mátri és általában nem szimmetris. Az egenletrendszer mátria általában nagon rosszl ondícionált: minél távolabb vanna a forrásponto a peremtől, annál rosszabbl ondícionált a mátri. 47

Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 48

Módszere időfüggő egenletere. A Forier-módszer Modellfeladat: D f a 0, a 0, b R téglalapon t Peremfeltétel: := 0 a peremen minden t 0 esetén. Kezdeti feltétel: 0,, 0,..lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a obboldali f függvént minden t 0 esetén: f t,, c tsin sin a.lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a ezdeti feltételt is: 0, a sin sin a 3.lépés: Keressü a megoldást is szinszos Forier-sor alaban, egelőre ismeretlen Forieregüttatóal: t,, tsin sin a b b b 49

Módszere időfüggő egenletere. A Forier-módszer Beelettesítve a feltételezett megoldást a differenciálegenletbe: t D t D a b t sin sin a Az egenlet megoldását nerü, a az Forier-egüttatófüggvéne ielégíti az alábbi özönséges differenciálegenletet és ezdeti feltételt: b t D 0 a a b t c t Speciálisan, a a c függvéne onstanso a obboldali f függvén nem függ az időtől: c t D a c D e Dt D f Poisson- Ez esetben a ezdeti feltétel atása gorsan lecseng, és a megoldás tart a egenlet megoldásáoz. : a b 50