Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere
Vetoranalízis, összefoglaló. Differenciáloperátoro Legen : R n R differenciálató salárfüggvén, vetorfüggvén. n n E : R R differenciálató Az függvén gradiense: grad :,,..., vetorfüggvén n E E Az E : E, E,..., En függvén divergenciáa: div E :... E n salárfüggvén n E Az E : E, E, E3 függvén rotációa: 3 E E E 3 E E rot E :,, vetor 3 3 A Laplace-operátor: :... salárfüggvén rot grad 0 div rot E 0 div grad div E div E E grad n
Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Gass-féle divergenciatétel: div E d Követezméne: d E n d d n 3
Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Gass-féle divergenciatétel: div E d Követezméne: d E n d n d d div grad d grad n d d n 4
Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green. tétele: vd grad grad v d vd n 5
Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green. tétele: vd grad grad v d vd n Legen E : grad v, aor div E divgrad v div grad v grad grad v v grad grad v. A Gass-tételt alalmazva: v d grad grad v d divgrad v d grad grad v d grad v n d grad grad v d v d n 6
Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele v Green. tétele: vd v d vd d n n 7
Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele v Green. tétele: vd v d vd d n n Az. Green formla szerint: vd grad grad v d vd n és v szerepcseréével: v v d grad v grad d d n Kivonva ezt az előző egenlőségből, az állítás adódi. 8
9 Vetoranalízis, összefoglaló. Integrálátalaítási tétele Green 3. tétele D-ben: d d n d n log log Megegzés: a log : V függvén esetén mindenütt armonis, azaz 0 V.
Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 0
Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Elliptis egenlete: f Poisson-egenlet; a f = 0, aor Laplace-egenlet Általánosabb elliptis egenlet: div grad f Stacionáris ővezetés; eletromos árameloszlás; szivárgás; széleltette áramlás seél tavaban Konveció-diffúzió-reacióegenlet: v grad div grad d f Stacionáris transzportfolamato; szennezőanagteredés foladéoban, gázoban
Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Parabolis egenlete: t D f diffúziós egenlet Általánosabb parabolis egenlet: t div grad f Konveciós-diffúziós egenlet: t v grad div grad f Transzportfolamato; szennezőanagteredés foladéoban, gázoban
Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Hiperbolis egenlete: c t f llámegenlet Hllámteredés 3
Melléfeltétele elliptis egenletere: peremfeltétele előírása a tartomán peremén. vag Diriclet-féle peremfeltétel előírása a tartomán peremén. vag Nemann-féle peremfeltétel n és eg lineáris ombinációána előírása a tartomán peremén 3. vag Robin-féle n peremfeltétel A perem eges darabain aár ülönböző típsú peremfeltétel is teető evert peremfeltétel. Szabad felszín probléma 4
Melléfeltétele parabolis és iperbolis egenletere: ezdeti- és peremfeltétele Térváltozó szerint: peremfeltétele időfüggő is leet Idő szerint: ezdeti feltétel parabolis egenlete esetén: előírása eg t t 0 időpillanatban iperbolis egenlete esetén: és előírása eg 0 t t t időpillanatban A melléfeltételeel ellátott parciális differenciálegenletne általában egértelmű megoldás létezi. 5
Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 6
Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre Modellfeladat: f a 0, a 0, b R téglalapon, : 0 a peremen..lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a obboldali f függvént: f, c sin sin a b A Forier-egüttató: c 4 ab a b 0 0 f, sin sin a b dd 7
Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre.lépés: A fenti Forier-egüttatóal észítsü el az alábbi szinszos Forier-sort:, c a b sin sin a b Az íg nert függvén megoldása a modellfeladatna. 8
9 Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre.lépés: A fenti Forier-egüttatóal észítsü el az alábbi szinszos Forier-sort: sin sin, b a b a c Az íg nert függvén megoldása a modellfeladatna. b a b a a b b a b a sin sin sin sin sin sin sin sin ezért, sin sin sin sin, f b a c b a c b a b a A téglalap peremén pedig 0, mert itt 0 sin sin b a.
Módszere elliptis egenletere. A Forier-módszer a Poisson-egenletre Megegzése: A Forier-sorfetés és Forier-sor-iértéelés realizálása FFT-vel történet. sa téglalaptartomán esetén asználató asonló módszer vezetető le még más nagon speciális tartománora pl. örre. sa Poisson-egenlet esetén asználató asonló módszer vezetető le még más nagon speciális differenciálegenletre. 0
Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, előírt a peremen. Alapötlet: Boríts le a tartománt derészögű egenözű ráccsal, és a rácspontoban a deriváltaat özelítsü véges differencia sémáal. A Laplace-operátor özelítése ötpontos centrális sémával: 4 ~ E S W N S N W E Íg a rácspontra felírt diszrét egenlet: E S W N f 4 mel érvénes minden, a tartomán belseében fevő rácspontra. A tartomán peremére eső rácspontoban előírt peremfeltétel.
Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere A v n Nemann-peremfeltétel diszretizálása: Naiv megoldás a özelítés csa elsőrendű: n W ~, innen a perempontra: W v Javított másodrendű özelítés: S N W v f 4
3 Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere 3 O W, és f, innen 3 O f W -t centrális sémával özelítve: O S N : 3 O f S N W aonnan: O f S N W
Módszere elliptis egenletere. Véges differencia módszere Nmeris ellemző: A rendszer nagméretű, de mátria rita mátri. Diret módszere: nagon műveletigénese. Egszerű iterációs módszere: általában lassúa. A perem özelítése drva. A megoldandó fő probléma: az egenletrendszer gors megoldása. 4
5 Módszere elliptis egenletere. Véges térfogat módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, előírt a peremen Alapötlet: Boríts le a tartománt eg cellarendszerrel, és integrál az egenletet minden eges cellán: d n d Ezetán már csa a normális iránú deriváltna az eges cellaoldala mentén vett integrálait a flsoat ell özelíteni pl. cella-özépponti differenciasémáal: E S W N E S W N d n f d f d 4 ~ ~ Íg a cellára felírt diszrét egenlet: E S W N f 4, mel érvénes minden, a tartomán belseében fevő cellára. A tartomán peremére illeszedő cellában előírt peremfeltétel.
6 Módszere elliptis egenletere. Véges térfogat módszere A módszer nagméretű, rita mátriú egenletrendszert ad. Enne gors megoldása problematis. De: Nem feltétlen szüséges téglalapcelláat alalmazni, íg obban leet a peremre illeszedni. sa elsőrendű deriváltaat flsoat ell özelíteni, másodrendűeet nem. A Nemann-peremfeltétel diszretizálása soal egszerűbb. Ha pl. a cella eleti oldala a peremre illeszedi, és ott E v n előírt, aor a eleti cellaoldalra vett fls számítató. v v d n E S W N E S W N 3 ~ A cellára felírt diszrét egenlet: v f E S W N 3
Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Modellfeladat lineáris: A = f Evivalens iterációra alalmas formában: = B + g Általában ez eg egszerű Jacobi- vag Seidel-iterációt értelmez. Alapötlete: többszintű diszretizálás simítás Jacobi- vag Seidel-iterációval avítás a maradéegenlet alapán: 7
Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Modellfeladat lineáris: A = f Evivalens iterációra alalmas formában: = B + g Általában ez eg egszerű Jacobi- vag Seidel-iterációt értelmez. Alapötlete: többszintű diszretizálás simítás Jacobi- vag Seidel-iterációval avítás a maradéegenlet alapán: Legen ~ eg özelítő megoldása az A = f egenletne. Aor a pontos megoldás előáll ~ w alaban, aol w avító tag megoldása a maradéegenletne: Aw f A~ Ha w megatározása nem pontos, aor íg a megoldás eg úabb özelítését ap. 8
Módszere elliptis egenletere. Kétálós módszer Legen X H eg H lépésözű drva áló, X pedig eg lépésözű finom áló. Diszretizált feladato: asonlóan: A f ill. AH H fh B g ill. H BHH gh. Az eges áló özti átvitele: A étálós algoritms lépései: R : X X H leszűítés a drva álóra, P : X H X iteresztés a finom álóra Elősimítás: ~ : B~ g végreatása néánszor Drvaálós orreció: ~ : ~ PwH, aol A ~ H wh R f A Utósimítás: ~ : B ~ g végreatása néánszor 9
Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. 30
Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. Kaszád módszer: Lemegün a legdrvább szintre, és ott pontosan megold a feladatot: : ~ A f A finomabb szinteen csa az előző szintről átozott megoldásoat avít: ~ : ~ P átozatal ~ : B ~ g simítás, néánszor =,3,,L 3
Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Legene X X... X L egmásba ágazott áló X a legdrvább. X L a legfinomabb. Diszretizált feladato: asonlóan: A f B g =,,,L Az eges áló özötti átvitele: R : X X leszűítése P : X X iteresztése. Mltigrid cils MG: iteratív avítás Teles mltigrid algoritms FMG: nem iteratív 3
Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Mltigrid cils rerzív definícióa: A legdrvább szinten pontosan megold a feladatot: ~ : MG, ~, f A f : A finomabb szinteen: átozatal az előző szintről: ~ : ~ P elősimítás: ~ : B g végreatása néánszor maradé iszámítása: r : f A ~ mltigrid cils végreatása csa -szer vag étszer V-cils ill. W-cils a maradéegenletre az eggel drvább álón: w : MG, w, R r. A ezdeti özelítés leet 0. drvaálós orreció: ~ : ~ P w tósimítás: MG, ~, f : B ~ g 33
Módszere elliptis egenletere. Többálós módszere Teles mltigrid algoritms rerzív definícióa: A legdrvább szinten pontosan megold a feladatot: A finomabb szinteen: ~ : P FMG, f FMG, f : MG, ~, f ~ A f : FMG, f : 34
Módszere elliptis egenletere. Mltigrid módszere Megegzése: A simítás feladata: a iba nagfrevenciás omponenseine erőteles csöentése nem a gors onvergencia. A iba alacsonfrevenciás omponenseit a drvaálós orreció csöenti. Műveletigén: az ismeretlene számána első atvánával arános Általánosítató nemlineáris feladatora is Fll Approimation Sceme 35
Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere Modellfeladat: f eg R tartománon, 0 a peremen. Legene,,..., N adott bázisfüggvéne, és,,..., N adott tesztfüggvéne., mele szintén eltűnne a peremen. Keressü a megoldást : alaban. Mindét oldalt -val szorozva és integrálva: N N grad grad d f d,,..., N Másodrendű deriválta nem fordlna elő! 36
Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere Nmeris ellemző: A rendszer nagméretű, de mátria rita mátri a bázis- és a tesztfüggvéneet alalmasan megválasztva Diret módszere: nagon műveletigénese. A perem özelítése ellően finom leet. Az elemstrtúra létreozása azonban ülön probléma. 37
Módszere elliptis egenletere. Variációs módszere, véges elem módszere 38
Módszere elliptis egenletere. A perem-integrálegenlet módszer Modellfeladat: U f eg Kevert peremfeltétel: U előírt a perem eg részén; a perem fennmaradó részén a R tartománon U / n normális iránú derivált adott 3.Green-formla: elöle U : U, v : n, aor minden belső -beli z pontban: U z z n z d log z v d log z f d A obb oldal tagai: ettősréteg potenciál, egszerű réteg potenciál, logaritmis potenciál. Alapötlet: Legen eg perempont; z mellett iszámít mindét oldal limeszét, íg eg integrálegenletet apn, melben az ismeretlen függvéne és v csa a peremen értelmezette. 39
A perem-integrálegenlet módszer A logaritmis és az egszerű réteg potenciál foltonosa z szerint. lim z z z Ha foltonos, aor a ettősréteg potenciál limesze: n d n d aol a perem belső törésszöge az perempontban. 40
A perem-integrálegenlet módszer Az és v peremfüggvéne ielégíti az alábbi perem-integrálegenletet: K Rv Lf aol Rv : log n K : v d, Lf d :, log f d 4
4 A perem-integrálegenlet módszer Az és v peremfüggvéne ielégíti az alábbi perem-integrálegenletet: Lf Rv K aol d f Lf d v Rv d n K log :, log :, : Elvégezve i. a z atárátmenetet: d f d v d n log log és innen a perem-integrálegenlet már adódi.
A perem-integrálegenlet nmeris megoldása olloációs módszerrel Legene,,..., N adott peremfüggvéne,,,... N adott peremponto olloációs ponto. Legegszerűbb választás: a peremet rácspontoal N részre bont, és legen az a függvén, mel a -adi szaaszon azonosan, mástt zérs. Keressü -t és v-t ezen függvéne lineáris ombinációaént: N N ~, v ~ v Ezeet a perem-integrálegenletbe elettesítve, és az egenlőséget az,,... N perempontoban megövetelve, az ismeretlen egüttatóra lineáris egenletrendszert nerün: N K N R v Lf K : K, R : R,,..., N Ez N db egenlet. A peremfeltétele további N egenletet adna. 43
A perem-integrálegenlet módszer Nmeris ellemző A perem-integrálegenlet özelítő megoldása csa peremen elelezett rácspontoat igénel. A tartomán diszretizálása nem szüséges. Diszretizálás tán a apott egenletrendszer mérete soal isebb, mint véges differencia módszer alalmazása esetén, de a rendszer mátria telesen itöltött mátri és általában nem szimmetris. A mltigrid tecnia itt is alalmazató, és ez tovább csöenti a műveletigént. 44
Módszere elliptis egenletere. Az alapmegoldáso módszere Modellfeladat: U 0 eg Kevert peremfeltétel: U előírt a perem eg részén; a perem fennmaradó részén a R tartománon U / n normális iránú derivált adott ~ ~,..., ~, N adott ülső ponto forrásponto,,..., M, M, M,..., N adott peremponto olloációs ponto. : log alapmegoldás, aor 0 N U : ~ Az ismeretlen egüttató a peremfeltételeből számítató: 45
46 Módszere elliptis egenletere. Az alapmegoldáso módszere ~ : N U Az ismeretlen egüttató a peremfeltételeből számítató:,...,, ~,,..., ~ N M M n U n M U N N
Az alapmegoldáso módszere Nmeris ellemző A módszer csa peremen elelezett olloációs pontoat és ülső forráspontoat igénel. A tartomán diszretizálása nem szüséges. Rendívül egszerűen programozató. Az egenletrendszer mátria telesen itöltött mátri és általában nem szimmetris. Az egenletrendszer mátria általában nagon rosszl ondícionált: minél távolabb vanna a forrásponto a peremtől, annál rosszabbl ondícionált a mátri. 47
Nmeris módszere 6. Parciális differenciálegenlete nmeris megoldása Vetoranalízis, összefoglaló Parciális differenciálegenlete és melléfeltétele Módszere elliptis egenletere Módszere időfüggő egenletere 48
Módszere időfüggő egenletere. A Forier-módszer Modellfeladat: D f a 0, a 0, b R téglalapon t Peremfeltétel: := 0 a peremen minden t 0 esetén. Kezdeti feltétel: 0,, 0,..lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a obboldali f függvént minden t 0 esetén: f t,, c tsin sin a.lépés: Fetsü szinszos Forier-sorba a ezdeti feltételt is: 0, a sin sin a 3.lépés: Keressü a megoldást is szinszos Forier-sor alaban, egelőre ismeretlen Forieregüttatóal: t,, tsin sin a b b b 49
Módszere időfüggő egenletere. A Forier-módszer Beelettesítve a feltételezett megoldást a differenciálegenletbe: t D t D a b t sin sin a Az egenlet megoldását nerü, a az Forier-egüttatófüggvéne ielégíti az alábbi özönséges differenciálegenletet és ezdeti feltételt: b t D 0 a a b t c t Speciálisan, a a c függvéne onstanso a obboldali f függvén nem függ az időtől: c t D a c D e Dt D f Poisson- Ez esetben a ezdeti feltétel atása gorsan lecseng, és a megoldás tart a egenlet megoldásáoz. : a b 50