Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Irányítástechnika a Alapfogalmak, modellezési elvek. Irányítástechnika Budapest, 2009 2

Az előadás szerkezete a 1. 2. módszerei 3. 4. a 5. 6. 7. Irányítástechnika Budapest, 2009 3

A rendszer fogalma Rendszerjellemző: Linearitás Rendszerjellemző: Időinvariancia Rendszerjellemző: Kauzalitás Rendszerek működési jellemzői a Irányítástechnika Budapest, 2009 4

A rendszer fogalma A rendszer fogalma Rendszerjellemző: Linearitás Rendszerjellemző: Időinvariancia Rendszerjellemző: Kauzalitás Rendszerek működési jellemzői a Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őt érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. Másképpen: Egy rendszer külső, ún. bemenő jelek, mint gerjesztések hatására válaszjeleket, ún. kimenő jeleket generál. A rendszert egy blokkal szemléltetjük, a bemenőjel u, a rendszer által generált válasz y. u(t) G y(t) Irányítástechnika Budapest, 2009 5

Rendszerjellemző: Linearitás A rendszer fogalma Rendszerjellemző: Linearitás Rendszerjellemző: Időinvariancia Rendszerjellemző: Kauzalitás Rendszerek működési jellemzői a A bemenő és kimenő jelek közötti kapcsolatok szempontjából fontos rendszerjellemzők: Linearitás: A rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszerre u = α u 1 + β u 2 bemenőjelet adva a válaszfüggvény y = α y 1 + β y 2 Irányítástechnika Budapest, 2009 6

Rendszerjellemző: Időinvariancia A rendszer fogalma Rendszerjellemző: Linearitás Rendszerjellemző: Időinvariancia Rendszerjellemző: Kauzalitás Rendszerek működési jellemzői Időinvariancia: Egy bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. a u(t) y(t) t t u(t τ) rendszer y(t τ) τ. t τ. t Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válasz függvényt adja τ időbeli eltolással. Irányítástechnika Budapest, 2009 7

Rendszerjellemző: Kauzalitás A rendszer fogalma Rendszerjellemző: Linearitás Rendszerjellemző: Időinvariancia Rendszerjellemző: Kauzalitás Rendszerek működési jellemzői Kauzalitás: A generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Ha a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük. a Irányítástechnika Budapest, 2009 8

Rendszerek működési jellemzői A rendszer fogalma Rendszerjellemző: Linearitás Rendszerjellemző: Időinvariancia Rendszerjellemző: Kauzalitás Rendszerek működési jellemzői a Rendszereket a különböző bemenetekre adott válaszukkal, azaz működési módjukkal is jellemezhetjük: Stabilitás: Stabilis rendszerek véges nagyságú (ún. korlátos) bemenőjelekre véges nagyságú kimenőjellel válaszolnak. Az ilyen tulajdonsággal bíró rendszereket bemenet kimenet stabilisnak nevezzük (BIBO stabilisnak). Minőségi tulajdonságok: A rendszerek mind idő, mint frekvencia tartományban jellemezhetők. Időtartományi jellemzők: tranziens viselkedés, túllendülés mértéke, beállási idő, zavarással szembeni érzéketlenség, jelkövetés, stb. Frekvencia tartományi jellemzők: erősítés, sajátfrekvencia, erősítési tartalék, fázistartalék, sávszélesség, stb. Irányítástechnika Budapest, 2009 9

Irányításelméleti feladatok Az irányítás felépítése a Irányítástechnika Budapest, 2009 10

Irányításelméleti feladatok Irányításelméleti feladatok Az irányítás felépítése a Irányításelméleti feladatok: Értéktartó irányítás: Egy adott jel, vagy jellemző adott értéken tartása miközben a környezeti hatások változnak. (pl. hőmérséklet, vízszint, autó sebessége), Követő irányítás: Egy adott jel, vagy jellemző előírt módon való időbeli változtatása (pl. gépkocsi útkövetése, robotkar adott pályán való mozgatása). Zavarkompenzáció: A rendszer viselkedését kedvezőtlenül befolyásoló zavarás hatásának csökkentése. (pl. az útgerjesztés által okozott rezgések csökkentése az utastérben.) Irányítástechnika Budapest, 2009 11

Irányításelméleti feladatok Az irányítás felépítése C(s) G(s) a Feladatok az irányításban: szabályozni kívánt jellemző továbbá szabályozási cél meghatározása mérhető jelek meghatározása a visszacsatoláshoz alapjel beállítása, majd különbség képzés rendelkező jel átalakítása, azaz a beavatkozó jel generálása Irányítástechnika Budapest, 2009 12

Az irányítás felépítése Irányításelméleti feladatok Az irányítás felépítése a Az irányítástervezés eredményeként kapott szabályozó gyakorlati realizálása a következőképpen történik. A realizálás elemei a következők: Analóg/digitális (A/D) jelátalakító, az irányítási algoritmust realizáló számitógép, digitál/analóg (D/A) átalakító. D A D A Irányítástechnika Budapest, 2009 13

Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések a Irányítástechnika Budapest, 2009 14

Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések Newtoni mechanika alkalmazása A rendszer modelljét erő és nyomaték egyenletekkel fogalmazzuk meg Newton 2. törvénye alkalmazásával. A komponensek közötti kölcsönhatásokat Newton 3. törvénye alapján írjuk fel. a Irányítástechnika Budapest, 2009 15

Gépjármű felfüggesztési modellje Negyedjármű modell: Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések k s m s m u b s q 1 q 2 a k t w A modell egyenletek: m s q 1 = b s ( q 1 q 2 ) k s (q 1 q 2 ), m u q 2 = b s ( q 2 q 1 ) k s (q 2 q 1 ) k t (q 2 w). Irányítástechnika Budapest, 2009 16

Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések a Lagrange egyenleten alapuló módszer alkalmazása A rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség komponensekkel fogalmazzuk meg a Lagrange energiaegyenlet alkalmazásával: d dt T (q, q) q T (q, q) q + D( q) q + U(q) q = f, ahol T (q, q) kinetikai energia, U(q) potenciális energia, D( q) disszipációs energia, f külső erő. m i (i = 1, 2,..., m) tömegre felírva: d dt T (q, q) q i T (q, q) q i + D( q) q i + U(q) q i = f i. Irányítástechnika Budapest, 2009 17

Gépjármű felfüggesztési modellje Negyedjármű modell: m s q 1 Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések a T = 1 2 m s q 2 1 + 1 2 m u q 2 2, (q 1 q 2 ) 2 (q 2 w) 2 U = k s + k t 2 2 ( q 1 q 2 ) 2 D = b s. 2, k s k t m u b s q 2 w A számítási műveletek a következők: d T dt q 1 T q 1 D q 1 U q 1 = m s q 1, d dt = 0, T q 2 = 0, T q 2 = m u q 2, = b s ( q 1 q 2 ), D q 2 = b s ( q 1 q 2 ), = k s (q 1 q 2 ), U q 2 = k s (q 1 q 2 ) + k t (q 2 w) Irányítástechnika Budapest, 2009 18

Felfüggesztés modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések A felfüggesztés modellje a Lagrange egyenlet alapján : m s q 1 + b s ( q 1 q 2 ) + k s (q 1 q 2 ) = 0, m u q 2 + b s ( q 2 q 1 ) + k s (q 2 q 1 ) + k t (q 2 w) = 0. m s q 1 a k s b s m u q 2 k t w Irányítástechnika Budapest, 2009 19

Modellbizonytalanság Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések a A valódi rendszer modelljének pontos alakja a gyakorlati feladatokban nem ismert, s emiatt helyette annak közelítő, úgynevezett névleges (nominális) modelljét használjuk. Az eltérés oka egyrészt modellezési eljárás következménye (pl. a felharmonikusokat, illetve a magasabb fokszámú együtthatókat elhanyagoljuk), másrészt a rendszer működése során bekövetkező változások (pl. a normál üzem során a modell paraméterei változnak, az anyag kifáradás során változnak a rendszer paraméterei, sőt akár a struktúrája). Irányítástechnika Budapest, 2009 20

Bizonytalanság modellezése Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések a Példa: Gépjármű felfüggesztési modellje: rugózott tömeg változik az utasok tömegének módosulásával, a felfüggesztés rugó vagy csillapítás karakterisztikája módosul (pl. nemlineáris hatások vannak), kerékabroncs dinamikája változik. 4000 1500 3000 1000 2000 500 1000 Force [N] 0 Force [N] 0-1000 -500-2000 -1000-3000 Linear stiffness Non-linear stiffness -4000-0.1-0.05 0 0.05 z def [m] Linear damping Non-linear damping -1500-1 -0.5 0 0.5 1 z' def [m] Irányítástechnika Budapest, 2009 21

Modellezés mért jelek alapján Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések Rendszer identifikáció: A rendszer modelljének konstruálása a bemenőjelek és a kimenő jelek mért (mintavételezett) adatai alapján történik. Az eljárást modell identifikációnak nevezzük. y(t) = G(q)u(t) a u(t) G y(t) A módszer része a mért jelek elemzése, feldolgozása és transzformációja. Irányítástechnika Budapest, 2009 22

Identifikációs lépések Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Modellezés fizikai elvek alapján Gépjármű felfüggesztési modellje Felfüggesztés modellje Modellbizonytalanság Bizonytalanság modellezése Modellezés mért jelek alapján Identifikációs lépések a A rendszer identifikáció lépései: Modell struktúrájának becslése fizikai megfontolások alapján. Modell paramétereinek becslése. Modell ellenőrzése, tesztelése, validálása. u(t) y(t) G Irányítástechnika Budapest, 2009 23

a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Rugózott gerenda Egyszerűsített felfüggesztés a Irányítástechnika Budapest, 2009 24

Tömeg, rugó, csillapítás Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Rugózott gerenda Egyszerűsített felfüggesztés k. m y c. u A mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenlete a következő differenciálegyenlettel írható fel: mÿ + kẏ = c(u y) Irányítástechnika Budapest, 2009 25

Két rugó, csillapítás Írjuk fel a két rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Rugózott gerenda Egyszerűsített felfüggesztés. z. y k c 2 c 1. u A c 2 rugó hatása miatt a rugó előtti z elmozdulás nem azonos a rugó mögötti y elmozdulással. Emiatt a mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenletének felírásához egy z elmozdulást leíró segédváltozót vezetünk be a következőképpen: c 2 (y z) = kż c 1 (u y) = c 2 (y z) Irányítástechnika Budapest, 2009 26

Rugózott gerenda a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Rugózott gerenda Egyszerűsített felfüggesztés Az ábrán egy függőleges irányú mozgást végző gerenda látható. A gerenda középpontjában ható u elmozdulás hatására mindkét végponton lengések alakulnak ki, mégpedig az egyes oldalak középpontjain y 1 és y 2 elmozdulásokkal.... u y 1 k 11... k 12 b k 21 y 2... k 22 Írjuk fel a bal és jobb oldalra az erőegyensúly egyenleteit: k 11 (u y 1 ) + b 1 ( u ẏ 1 ) = k 12 y 1 k 21 (u y 2 ) = k 22 y 2 Irányítástechnika Budapest, 2009 27

Egyszerűsített felfüggesztés Tekintsük az ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt. Írjuk fel a rendszer modelljét. a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás [tbp] Rugózott gerenda Egyszerűsített felfüggesztés mÿ = b( u ẏ) + k(u y) m y k b u Irányítástechnika Budapest, 2009 28

a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Irányítástechnika Budapest, 2009 29

Definíció: Laplace transzformált a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Az f(t) függvény Laplace transzformáltja: F (s) = 0 f(t)e st dt Irányítástechnika Budapest, 2009 30

tulajdonságai Linearitás: L{c 1 f 1 (t) + c 2 f 2 (t)} = c 1 F 1 (s) + c 2 F 2 (s) a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Differenciálhányados Laplace transzformáltja: { } df(t) L = sf (s) f(0) dt Integrál Laplace transzformáltja: L t 0 f(τ)dτ = 1 s F (s) + 1 s f(t)dt 0 Irányítástechnika Budapest, 2009 31

Határérték tételek a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa lim f(t) = lim sf (s) t 0 s lim t f(t) = lim s 0 sf (s) Irányítástechnika Budapest, 2009 32

Inverz Laplace transzformált a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Az F (s) függvény inverz Laplace transzformáltja: f(t) = L 1 [F (s)] = 1 2πj c+jω c jω F (s)e st ds Irányítástechnika Budapest, 2009 33

Rezidum tétel a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Ha a rendszer átviteli függvénye: Y (s) = N(s) D(s) alakú, akkor inverz Laplace transzformáltja a rezidum tétel segítségével a következő: y(t) = m i=1 lim (s s i ) N(s) s s i D(s) est ahol s i a rendszer pólusa, azaz D(s i ) = 0. Irányítástechnika Budapest, 2009 34

Példák ra a 1. Példa L{e at } = 0 e at e st dt = [ ] e (a+s)t (a+s) 0 = 1 s + a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa 2. Példa L{1 e at } = = [ = 0 0 e st s (1 e at )e st dt e st dt ] [ 0 = 1 s 1 s + a = 0 e (a+s)t (a+s) e at e st dt ] 0 a s(s + a) Irányítástechnika Budapest, 2009 35

Példák inverz ra a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa 3. Példa Y (s) = 2 5s + 1 = 0.4 1 s + 0.2 Megoldás: Y (s) = N(s) D(s) y(t) = m i=1 lim s s i (s s i ) N(s) D(s) est N(s) = 2, D(s) = 5s + 1, s 1 = 0.2. y(t) = lim (s s 1 ) N(s) s s1 D(s) es 1t 2 = lim (s + 0.2) s s1 5(s + 0.2) e 0.2t = 2 5 e 0.2t Irányítástechnika Budapest, 2009 36

4. Példa a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Y (s) = 2 s(5s + 1) Megoldás: Y (s) = N(s) D(s) y(t) = m i=1 lim s s i (s s i ) N(s) D(s) est N(s) = 2, D(s) = 5s(s + 0.2), s 1 = 0, s 2 = 0.2. y(t) = lim (s s 1 ) N(s) s s1 D(s) es 1t + lim (s s 2 ) N(s) s s2 D(s) es 2t = lim s 0 2s 5s(s + 0.2) e0t + = 2(1 e 0.2t ) lim s 0.2 2(s + 0.2) 5s(s + 0.2) e 0.2t Irányítástechnika Budapest, 2009 37

5. Példa a Definíció: Laplace transzformált tulajdonságai Határérték tételek Inverz Laplace transzformált Rezidum tétel Példák Laplace transzformációra Példák inverz Laplace transzformációra 4. Példa 5. Példa Y (s) = 2s 1 + 3s Megoldás: Megemlítjük, hogy a kifejtési tételek akkor adnak helyes eredményt, ha a visszatranszformálandó racionális törtfüggvény nevezője magasabb fokú a számlálójánál. Azonos fokszám esetén az időfüggvény Dirac-deltát tartalmaz, ami a kifejtési tételből nem jön ki. Y (s) = 2 3 (1 + 3s) 2 3 1 + 3s = 2 3 2 3 1 1 + 3s = 2 3 2 9 1 1 + s 3 A második tag inverz Laplace transzformáltja: y 2 (t) = lim s 1 3(s + 1 3 )2 9 Megoldás: y(t) = 2 3 δ(t) 2 9 e 1 3 t 1 1 1 + 3 t = 2 1 3 se 9 e 3 t Irányítástechnika Budapest, 2009 38

a Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel ek csoportosítása Tárolós tagok Rendszerek pólusai és zérusai Irányítástechnika Budapest, 2009 39

Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel a Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel ek csoportosítása Tárolós tagok Rendszerek pólusai és zérusai Lineáris állandó együtthatós közönséges differenciál egyenletek: d n y(t) dt n +... +a 1 dy(t) dt + a 0 y(t) = b 0 u(t) + b 1 du(t) dt ahol a i, i = 1,..., n és b j, j = 1,..., m együtthatók konstansok, nem függnek az időtől. d m u(t) +... + b m, d m t Irányítástechnika Budapest, 2009 40

Vegyük a differenciálegyenlet L - transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: a Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel ek csoportosítása Tárolós tagok Rendszerek pólusai és zérusai (s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0 )Y (s) = (b m s m +... b 1 s + b 0 )U(s) A G(s) racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L - transzformáltjainak hányadosa. G(s) = Y (s) U(s) Általánosan a rendszer átviteli függvénye: G(s) = b m s m +... + b 1 s + b 0 s n + a n 1 s n 1 +... + a 1 s + a 0. Irányítástechnika Budapest, 2009 41

ek csoportosítása a Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel ek csoportosítása Tárolós tagok Rendszerek pólusai és zérusai Arányos tagok: Az egyenletből hiányoznak a bemenőjel és kimenőjel differenciálhányadosai. y = Au Y = AU G = A. Integráló tagok. Az egyenletben bemenőjel nulladik és a kimenőjel első differenciálhányadosa szerepel. T dy dt = u T sy = U G = 1 T s Differenciáló tagok: Az egyenletben kimenőjel nulladik és a bemenőjel első differenciálhányadosa szerepel. y = T du dt Y = T su G = T s Irányítástechnika Budapest, 2009 42

Tárolós tagok a Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel ek csoportosítása Tárolós tagok Rendszerek pólusai és zérusai Tárolós tagok: Az egyenletben a kimenőjelnek annyiad rendű differenciálhányadosa szerepel, ahány energiatárolót tartalmaz a tag. Példák: y + T dy dt = Au G = A y + T 1 dy dt + T 2 T 1 dy dt + T 2 y + T 1 dy dt = T 2 1 + T s d 2 y dt = Au G = A 2 1 + T 1 s + T 2 s 2 d 2 y dt = u G = 1 2 du dt T 1 s + T 2 s 2 G = T 2s 1 + T 1 s Holtidős tagok Irányítástechnika Budapest, 2009 43

Rendszerek pólusai és zérusai a Rendszer leírása közönséges differenciálegyenlettel ek csoportosítása Tárolós tagok Rendszerek pólusai és zérusai Az átviteli függvény alapján definiáljuk a lineáris időinvariáns dinamikus rendszerek zérusait és pólusait. A b(s) = 0 egyenlet z i, i = 1,..., m gyökeit a rendszer zérusainak, a(s) = 0 egyenlet p i, i = 1,..., n gyökeit pedig a rendszer pólusainak nevezzük. Az átviteli függvény ún. pólus - zérus alakja a következő: G(s) = k m i=1 (s z i) n i=1 (s p i). Irányítástechnika Budapest, 2009 44

a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye Irányítástechnika Budapest, 2009 45

Tömeg, rugó, csillapítás Írjuk fel a tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. Adatok: m = 1kg, k = 1 Ns m, c = 3 N m. a. y. u Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye k A mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenlete a következő differenciálegyenlettel írható fel: m c mÿ + kẏ = c(u y) t alkalmazva: ms 2 Y + ksy + cy = cu G = Y U = c ms 2 + ks + c = 3 s 2 + s + 3 Irányítástechnika Budapest, 2009 46

Két rugó, csillapítás Írjuk fel a két rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. Adatok: k = 10 Ns m, c 1 = 3 N m, c 2 = 2 N m. a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye. z. y k c 2 c 1 A c 2 rugó hatása miatt a rugó előtti z elmozdulás nem azonos a rugó mögötti y elmozdulással. c 2 (y z) = kż c 1 (u y) = c 2 (y z). u val: c 2 (Y Z) = ksz c 1 (U Y ) = c 2 (Y Z) Irányítástechnika Budapest, 2009 47

Két rugó, csillapítás (folyt.) a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye A kétismeretlenes egyenletrendszer mindegyikéből Z-t kifejezzük: Z = c 2Y ks + c 2 Z = (c 1 + c 2 )Y c 1 U c 2 U és Y közötti összefüggés: c 2 Y = (c 1 + c 2 )Y c 1 U ks + c 2 c 2 [ks(c 1 + c 2 ) + c 1 c 2 ] Y = (kc 1 s + c 1 c 2 )U : G = Y U = kc 1 s + c 1 c 2 ks(c 1 + c 2 ) + c 1 c 2 = 30s + 6 50s + 6 Irányítástechnika Budapest, 2009 48

Egyszerűsített felfüggesztés a Tekintsük az ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt. Írjuk fel a rendszer modelljét. mÿ = b( u ẏ) + k(u y) [tbp] Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye val: ms 2 Y = bsu bsy + ku ky k m b y G = bs + k ms 2 + bs + k u Irányítástechnika Budapest, 2009 49

RC (ellenállás-kondenzátor) kör a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye A villamos körök bemenőjele az u b bemenő feszültség, kimenőjele az u k kimenőfeszültség. Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. Az RC kör differenciálegyenletei: u b = Ri + 1 C u k = 1 C t 0 idt t 0 idt Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: U b = ( R + 1 sc ) u b I, U k = 1 sc I. i R C u k Az átviteli függvény (T = RC az időállandó): G = U k U b = 1 sc R + 1 sc = 1 1 + src = 1 1 + st Irányítástechnika Budapest, 2009 50

RL (ellenállás-tekercs) kör a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. Az RC kör differenciálegyenletei: u b = Ri + L di dt u k = L di dt Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: U b = (R + Ls) I, u b i U k = LsI. R L u k Az átviteli függvény: G = U k U b = Ls R + Ls = s L R 1 + s L R = st 1 + st ahol T = L R az időállandó. Irányítástechnika Budapest, 2009 51

RC kör átviteli függvénye Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. a Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye G = U k U b = R 2 R 2 + R k ahol R k = R 1 1+sR 1 C. Megjegyzés: 1 R k = 1 R 1 + 1 1 = 1 R sc 1 + sc u b Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: i R 1 C R 2 u k G = = R 2 R 2 + R 1 1+sR 1 C R 2 R 1 + R 2 = R 2 + sr 1 R 2 C R 1 + R 2 + sr 1 R 2 C 1 + sr 1 C 1 + s R 1R 2 R 1 +R 2 C = A1 + st 1 1 + st 2 ahol A = R 2 R 1 +R 2, T 1 = R 1 C, T 2 = R 1R 2 R 1 +R 2 C. Irányítástechnika Budapest, 2009 52

RC kör átviteli függvénye a Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. G = U k U b = R 2 + 1 sc 2 R 2 + 1 sc 2 + R k i R 1 C 1 C 2 Tömeg, rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás Két rugó, csillapítás (folyt.) Egyszerűsített felfüggesztés RC (ellenállás-kondenzátor) kör RL (ellenállás-tekercs) kör RC kör átviteli függvénye RC kör átviteli függvénye ahol R k = R 1 1+sR 1 C 1. R 2 Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét (T 1 = R 1 C 1, T 2 = R 2 C 2, T 12 = R 1 C 2 ): R 2 + 1 sc G = 2 R 2 + 1 sc 2 + R 1 1+sR 1 C 1 u b u k = = 1 + s (R 1 C 1 + R 2 C 2 ) + s 2 R 1 C 1 R 2 C 2 1 + s (R 1 C 1 + R 2 C 2 + R 1 C 2 ) + s 2 R 1 C 1 R 2 C 2 1 + s(t 1 + T 2 ) + s 2 T 1 T 2 1 + s(t 1 + T 2 + T 12 ) + s 2 T 1 T 2 Irányítástechnika Budapest, 2009 53