Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Egy enzimkinetikai nemlineáris parciális di erenciálegyenlet megoldása BSc szakdolgozat Bekényi Balázs Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Karátson János egyetemi docens Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012.
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek Karátson Jánosnak, hogy mindig szakított id t arra, hogy a felmerül problémák megoldásához értékes útmutatást adjon, valamint a dolgozat stiláris, formai és fogalmi hibáit kijavítsa. Köszönöm Szüleimnek, hogy nemsz n türelemmel támogatnak tanulmányaim során. 1
Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A feladat ismertetése 3 2.1. A MichaelisMenten-elmélet....................... 3 2.2. A vizsgált peremérték-feladat...................... 4 3. A feladat megoldása 5 3.1. El készítés................................. 5 3.2. A peremérték-feladat gyenge alakja................... 6 3.3. Operátoregyenlet bevezetése....................... 7 3.4. Az operátoregyenlet megoldhatósága.................. 10 3.5. Az operátoregyenlet közelít megoldása................. 14 3.5.1. Végeselem-módszer........................ 14 3.5.2. Newton-módszer......................... 16 3.5.3. Összefoglalás........................... 19 4. Numerikus realizáció 20 4.1. A vizsgált eset............................... 20 4.2. A használt program m ködése...................... 21 4.3. A használt program eredményei..................... 23 4.3.1. A tesztfeladat........................... 23 4.3.2. Teszteredmények......................... 24 4.3.3. A feladat eredménye....................... 27 4.3.4. Összefoglalás........................... 28 2
1. Bevezetés A dolgozat célja, hogy a címben szerepl parciális dierenciálegyenlet megoldásán keresztül bemutassa a funkcionálanalízis néhány idevágó eredményének alkalmazását. A funkcionálanalízis az analízisb l n tt ki 20. század els negyedében. A tudományág megalapozói közül kiemelked Maurice Fréchet és Riesz Frigyes hatása. Rajtuk kívül jelent s Stefan Banach és David Hilbert úttör munkássága. Neumann János a kvantummechanikával kapcsolatos kutatásaival érte el e terület egyik legjelent sebb eredményét. Ezek során egyrészt sikerült belátnia a kvantummechanika kétfajta leírásának, a Heisenberg-féle mátrixmechanika és Schrödinger hullámmechanikájának ekvivalenciáját, másrészt megadta a kvantummechanika szilárd matematikai alapjait. Napjainkban a funkcionálanalízis természettudományokban betöltött szerepe szintén jelent s. Ennek oka, hogy természeti jelenségek széles osztályának modellezésére alkalmas közönséges és parciális dierenciálegyenletek vizsgálata nagyban hagyatkozik a funkcionálanalízis eszközeire. Ezentúl az a felismerés, hogy ezek az eszközök ilyen feladatokat megoldó algoritmusok kidolgozására ugyanúgy alkalmasak, mint analízisére, tette lehet vé, hogy módszerei beépüljenek a numerikus módszerek elméletébe is, ezáltal jelen dolgozat alapját képezve. A dolgozat három részre tagolódik. A dolgozat els szakaszában leírjuk a megoldandó egyenletet és emellett röviden ismertetjük, hogy ez a feladat milyen területen, a biológia mely részében játszik fontos szerepet. A második szakaszban vizsgáljuk a feladat megoldásának elméleti aspektusait. Ehhez el ször bevezetjük a feladat gyenge megoldásának fogalmát, majd megmutatjuk, hogy a konkrét feladatnak létezik gyenge megoldása. Ennek megkeresését két módszer kombinált alkalmazásával végezzük. Els ként a végeselem-módszer kerül bemutatásra, mely napjaink egyik legnépszer bb, parciális dierenciálegyenletek közelít megoldására szolgáló numerikus módszere. Ennek lényege, hogy a kit zött végtelen dimenziós egyenlet megoldását egy véges dimenziós egyenlet megoldásával közelíti oly módon, hogy az egyenlet értelmezési tartományát véges sok kisebb részre, elemre osztja fel. Az így nyert már véges dimenziós, de nemlineáris egyenlet megoldására pedig a Newtonmódszer általánosított változatát alkalmazzuk, melyet Kantorovics dolgozott ki ld. [5]. Ezek után a dolgozat harmadik szakaszában megvizsgáljuk a feladat megoldásának gyakorlati oldalát. Ennek alapja egy MATLAB-ban írt program, mely a tárgyalt módszereket alkalmazza egy speciális esetben. Ez a rész tartalmazza egyrészt a megoldási módszerek jellemzését, paraméterekt l való függését, melyet egy tesztfeladat megoldása során nyertünk. Másrészt itt található a kit zött feladatra a program által adott megoldás. 2. A feladat ismertetése 2.1. A MichaelisMenten-elmélet Az él lények elég sz k h mérséklet- és nyomástartományban életképesek. Ilyen körülmények között az élet fenntartásához szükséges különböz folyamatok, kémiai 3
reakciók maguktól nem, vagy csak nagyon lassan játszódnának le természetes környezetben. Az, hogy az él lényekben ezek a folyamatok mégis lejátszódnak, annak köszönhet, hogy ún. katalizátorok segítik, ill. gyorsítják fel a reakciókat. Az él lényekben a reakciókat segít, legtöbbször fehérjemolekulákból felépül biokatalizátorokat nevezzük enzimeknek. Azt az anyagot, amire egy adott reakcióban az enzim ill. általában a katalizátor hat, szubsztrátnak hívjuk. A legegyszer bb enzim-szubsztrát reakció mechanizmusát és kinetikáját leíró modellt Leonor Michaelis és Maud Menten alkották meg 1913-ban. Az általuk vizsgált reakció a következ egyenlettel írható le: E + S ES E + P. Eszerint a reakció két lépésben játszódik le, el ször az enzim E és a szubsztrát S ún. komplexet képez ES, majd ebb l kapjuk meg a keletkez új a terméket P, valamint az enzimet. Az elmélet ennek a reakciónak a sebességét leíró részét eredetileg két feltételezés mellett igazolták: 1. Az enzim és a szubsztrát között nagyon gyorsan kialakul a az ES komplex, és nagyon gyorsan lejátszódik a visszafelé zajló disszociáció is; 2. Az ES komplex a kialakulási sebességéhez képest lassan bomlik tovább szabad enzimre és a termékre. Csak valamivel kés bb 1925-ben sikerült igazolni George Briggsnek és John B. S. Haldane-nek, hogy a következ részben ismertetésre kerül modell, amennyiben a reakció az eredeti sémát követi, valamivel általánosabb körülmények között is helytálló, nevezetesen, nem szükséges, hogy az ES komplex kialakulásához képest nagyságrendileg lassabban bomoljon szét a termékre és a szabad enzimre. 2.2. A vizsgált peremérték-feladat Áttérve a matematikában bevett jelölésekre, jelöljük u 0 függvénnyel a szubsztrátum egy olyan sejten belüli koncentrációját, amely az R 3 korlátos térrészt tölti ki. Ekkor a szubsztrátum sejten belüli koncentrációjának változását a következ parciális dierenciálegyenlet írja le: divdx u = fx, u x, 1 az alábbi peremfeltétellel együtt: d u ν = hu e u. 2 Itt a dx > 0 függvénnyel a molekuláris diúziós együtthatót jelöljük, f az enzimszubsztrát reakció, azaz a termékképz dés sebessége, továbbá u a normális irányú ν derivált -n, hx > 0 jelöli a membránpermeabilitást, u e x 0 pedig a szubsztrát sejten kívüli koncentrációját. A d, h és u e függvényekr l feltesszük, hogy folytonosak, azaz d C, valamint h, u e C. A MichaelisMenten-elmélet alapján a reakció sebessége nem függ a helyt l, értékét pedig a következ függvény írja le: fx, u := fu = 4 u εu + k. 3
Ebben a képletben k > 0 jelöli a Michaelis-konstanst. Ez jellemz az enzimszubsztrát párra és értéke az a szubsztrátkoncentráció, ami a maximális sebesség felének eléréséhez szükséges. Az ε > 0 konstans a reakció által elérhet maximális sebesség reciproka fk = 1/2ε. Mivel a koncentráció értéke csak nemnegatív lehet, ezért a fenti f függvény is csak nemnegatív u értékekre van értelmezve, ezzel együtt a megoldások közül is csak nemnegatívakat keresünk, ezért a feladat megoldásakor kiterjeszthetjük az f függvényt az u < 0 esetben tetsz leges módon, célszer úgy, hogy a függvény továbbra is dierenciálható maradjon: { fu ha u 0, fu = u 4 ha u < 0. εk 3. A feladat megoldása 3.1. El készítés A kés bbiek során az ismertetett parciális dierenciálegyenlet általánosított megoldását a H 1 Szoboljev-térben fogjuk keresni. Vizsgálatainkhoz szükségünk lesz a következ lemmákra. Az els lemma állítása szerint, amennyiben egy H 1 -beli függvényhez hozzárendeljük annak nyomát az L 2 térben, akkor folytonos leképezést deniálunk, pontosabban: 1. Lemma. [3] Legyen f H 1. Ekkor létezik olyan c > 0 konstans, melyre f L 2 c f H 1. A következ lemma két skalárszorzat ekvivalenciáját fogalmazza meg: 2. Lemma. [4] Legyen d C, h C, dx d 0 > 0, továbbá h 0, de h 0. Ekkor a H 1 téren deniált f, g 1 = d f g + hfgdσ skalárszorzat ekvivalens a skalárszorzattal. f, g H 1 = f g + f g Ezenkívül még szükségünk lesz L p terek H 1 térbe történ beágyazására is, melyet a következ lemma szerint végezhetünk el. 3. Lemma. [1] Legyen R N és p R, melyre teljesül, hogy 2 p ha N = 2 vagy 2 p 2N N 2 ha N > 2. Ekkor H1 L p és K p, > 0: u L p K p, u H 1 u H 1 5
3.2. A peremérték-feladat gyenge alakja A feladat gyenge alakjának el állításához szorozzuk meg az 1 egyenletet egy tetsz leges v H 1 függvénnyel és vegyük a kapott egyenl ség integrálját -n: f uv = divd uv. 5 Itt a jobb oldal a következ módon alakítható, felhasználva a Gauss-Osztrogradszkij tételt és a 2-ben adott peremfeltételt: divd uv = divvd u d u v = vd u ν dσ d u v = vhu e udσ d u v, így kapjuk a feladat gyenge alakját: d u v + f uv + huvdσ = hu e vdσ v H 1. 6 A 6 egy H 1 -beli megoldását nevezzük a feladat gyenge, vagy általánosított megoldásának. A peremérték-feladat klasszikus megoldásának és gyenge megoldásának kapcsolatát a következ állításban jellemezzük: 1. Állítás. Legyen u C 2 C 1 az 1-2 peremérték-feladat klasszikus megoldása. Ekkor u H 1 és u gyenge megoldása a 6-beli gyenge alaknak. Fordítva, ha az u H 1 függvény a 6 megoldása és teljesül az is, hogy u C 2 C 1, akkor u az 1-2 peremérték-feladat megoldása is. Bizonyítás: Ha u klasszikus megoldása az 1-2-nak, akkor a fenti levezetés mutatja, hogy u megoldása lesz a 6-beli gyenge alaknak is. A második rész bizonyításához tegyük fel, hogy az u gyenge megoldásra teljesül, hogy u C 2 C 1. Ehhez, kihasználva, hogy u C 2, alkalmazzuk a következ ismert deriválási azonosságot: divvd u = d u v + divd uv. i El ször belátjuk, hogy u-ra teljesül az 1 egyenlet. Ehhez a 6 kifejezésben válasszunk egy tetsz leges v C0 1 függvényt C0 1 H 1. Mivel v a peremen nulla, ezért a peremen vett integrálok értéke is nulla lesz és az a 6 egyenletb l a következ adódik: d u v + f uv = 0 v C0 1. 7 6
Ilyen v függvények mellett felhasználva a Gauss-Osztrogradszkij tételt a következ átalakítások végezhet k el: d u v = divvd u divd uv = vd u ν dσ divd uv = divd uv A kapott eredményt visszahelyettesítve a 7 kifejezésbe, adódik, hogy: f u divd uv = 0 v C0 1. Ebb l mivel C 1 0 s r H 1 térben, azt kapjuk, hogy f u divd u = 0, ami ekvivalens az 1 egyenlettel. ii Másodszor megmutatjuk, hogy u-ra teljesül a 2 egyenlet is. Ehhez válasszunk egy tetsz leges v C 1 beli függvényt. Felhasználva az el z pont ereményét az alábbi számítás végezhet el: d u v + f uv = d u v + divd uv = divvd u = vd u ν dσ. Ezt felhasználva a 6 egyenletb l azt kapjuk, hogy d u v + f uv + huvdσ = hu e vdσ v C 1. vd u ν dσ + huvdσ = hu e vdσ v C 1. v d u ν hu e u dσ = 0 v C 1. Itt pedig az utolsó sorból adódik, C 1 s r volta miatt, hogy d u ν = hu e u -n, azaz a bizonyítandó állítás. A bevezetett gyenge megoldás fogalmának az az el nye, hogy bizonyos esetekben nem tudjuk biztosítani, hogy egy feladatnak legyen klasszikus megoldása, de ennek ellenére gyenge megoldás létezése még garantálható lehet. 3.3. Operátoregyenlet bevezetése A cél az, hogy a keresett u függvényre felírjunk egy F u = b alakú operátoregyenletet. Ez el tt a kés bbi számítások megkönnyítése érdekében bevezethet az alábbi 7
skalárszorzat a H 1 téren, mely a 2. lemma értelmében ekvivalens az eredeti skalárszorzattal: u, v 1 := d u v + huvdσ Az operátoregyenlet bevezetéséhez els ként belátjuk a következ állítást: 2. Állítás. A 6 egyenl ség mindkét oldala v-ben lineáris és korlátos funkcionál a H 1 téren. Bizonyítás: Linearitás: Triviálisan adódik a függvények közötti szorzás és az integráloperátor linearitásából. Korlátosság: jobb oldal: Φv := hu evdσ jelöléssel azt kell megmutatni, hogy létezik olyan M > 0 szám, melyre Φv M v 1 Ez a következ becsléssel igazolható, felhasználva a Cauchy-Schwarz egyenl tlenséget valamint az 1. lemmát: hu e vdσ max h u e v dσ max h u e v dσ h u e L 2 v L 2 max h c 2 1 u e 1 v 1 Így az M := c 2 1 max h 8 konstans megfelel választás, ugyanis h folytonos függvény, valamint zárt és korlátos tartomány, ezért a Weierstrass-tétel értelmében M <. bal oldal: i huvdσ max h u 1 v 1 ugyanúgy, mint a jobb oldalon, a 8-beli M megfelel. ii Felhasználva f denícióját és a Cauchy-Schwarz egyenl tlenséget a következ becslés adható: f uv f u v u {u 0} εu + k v + u {u<0} εk v u εu + k v + u εk v 1 1 v + 1 u v ε εk 1 λ v L ε 2 + 1 εk u L 2 v L 2 c 1 λ v 1 + c 1 ε εk u L 2 v 1. 8
Ezért az konstans megfelel. M := c 1 c 1 λ + ε εk u L 2 iii A harmadik tagra pedig az alábbi becslés igazolható: d u v d u v max d u v max d u v + u v max d c2 1 u 1 v 1. Itt pedig lesz jó. M := max d c2 1 u 1 Az állítás következményeként alkalmazható a Riesz-féle reprezentációs tétel. Egyrészt a tétel értelmében létezik olyan b H 1 reprezentáló vektor, melyre hu e vdσ = b, v 1 v H 1, másrészt tetsz leges u H 1 esetén létezik olyan ũ reprezentáló vektor, melyre d u v + f uv + huvdσ = ũ, v 1 v H 1. Ha tekintjük azt az F : H 1 H 1 operátort, melyre F u := ũ, azaz amit a következ egyenl ség deniál: F u, v 1 = d u v + f uv + huvdσ v H 1, 9 akkor a peremérték-feladat 6-beli gyenge alakján a következ átalakítások végezhet k: d u v + f uv + huvdσ = hu e vdσ v H 1 F u, v 1 = b, v 1 v H 1 10 F u = b, ezáltal pedig a feladat gyenge megoldására egy operátoregyenletet nyerünk. 9
3.4. Az operátoregyenlet megoldhatósága Az operátoregyenlet megoldhatóságának vizsgálata el tt be kell vezetni operátorok deriválhatóságát. El ször idézzük fel a normált terek közötti leképezések szokásos deriválhatóság fogalmát, mely Fréchet nevéhez f z dik. 1. Deníció Fréchet-deriválhatóság. Legyenek X, Y normált terek és F : X Y operátor. Ekkor F Fréchet-deriválható egy u X pontban, ha van olyan A BX, Y, hogy F u + h F u Ah lim = 0. h 0 h Megjegyezzük, hogy amennyiben létezik a Fréchet-derivált, akkor egyértelm. Kés bbi vizsgálataink során viszont nem ezt a fogalmat szeretnénk alkalmazni, hanem ennek egyfajta gyengített változatát, mely az iránymenti deriválhatóságot általánosítja: 2. Deníció Gâteaux-deriválhatóság. Legyenek X, Y normált terek és F : X Y operátor. Ekkor F Gâteaux-deriválható egy u X pontban, ha F u+tp F u i p X : p F u := lim t 0, t ii p p F u folytonos, lineáris hozzárendelés. Ekkor az F up := p F u jelöléssel F u BX, Y. Továbbá azt mondjuk, hogy F Gâteaux-deriválható, ha tetsz leges u X esetén F Gâteaux-deriválható u-ban. Könnyen látható, hogy F Fréchet-deriválhatóságából következik Gâteaux-deriválhatósága, és ebben az esetben a denícióban szerepl A = F u. Viszont ez fordítva nem igaz, könny olyan leképezést mutatni, mely Gâteaux-deriválható, de nem Fréchetderiválható. Ezek után elkezdhetjük az el z részben kapott operátoregyenlet vizsgálatát. El ször is az operátoregyenlet megoldhatóságát szeretnénk bebizonyítani. Ennek igazolásához a következ tételt használjuk fel: 1. Tétel. [1] Legyen H valós Hilbert-tér, és F : H H operátor a következ tulajdonságokkal: 1. F Gâteaux-deriválható, 2. F bihemifolytonos, 3. u H esetén F u önadjungált, 4. u H esetén F u egyenletesen pozitív. Ekkor tetsz leges b H esetén az F u = b egyenletnek egyértelm en létezik u H megoldása. 10
3. Állítás. Az F : H 1 H 1 operátor, melyet az F u, v 1 = d u v + f uv + huvdσ v H 1 egyenl ség deniál, teljesíti az 1. tétel feltételeit. Bizonyítás: 1. Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy F Gâteaux-deriválható tetsz leges u H 1 pontban, két tulajdonság meglétét kell igazolni: i p H 1 : p F u := lim t 0 F u+tp F u t, ii p p F u folytonos, lineáris hozzárendelés. Ehhez el ször tekintsük a következ határértéket: lim t F u + tp F u, v 1 = 1 lim d u + tp v + f u + tpv t 0 t d u v + f uv + hu + tpvdσ f u + tp f u d p v + lim v + hpvdσ t t 0 1 t 0 } {{ } f u p huvdσ = Ebb l még nem következik, hogy F Gâteaux-deriválható, viszont, ha F Gâteaux-deriválható, akkor Gâteaux-deriváltjára teljesül, hogy: p F u, v 1 = d p v + f u pv + hpvdσ. A d p v+f u pv + hpvdσ kifejezés v-ben lineáris és korlátos. biz: lineáris: Függvények szorzásának, valamint az integráloperátor linearitásának következménye. korlátos: { 1 f k ha u 0 ε u+k u = 2 1 ha u < 0 εk ezért a következ becslés végezhet el: f uv 2 1 v 2 εk εk {u 0} 1 ε k u + k v + 2 λ v L 2 2c 1 εk 11 {u<0} λ v 1. 1 εk v
A másik két tag szintén korlátos a 2. állítás bizonyításában igazolthoz hasonlóan. A Riesz-féle reprezentációs tétel miatt értelmes a következ deníció. Tekintsük azt a Dp, u operátort, melyre Dp, u, v 1 = d p v + f upv + hpvdσ v H 1. Megmutatjuk, hogy Dp, u = p F u. biz: Az állítás igazolásához egyrészt azt kell megmutatni, hogy Valóban, F u + tp F u lim Dp, u 1 = 0. t 0 t F u + tp F u lim t 0 t lim sup t 0 v H 1 v =1 lim sup t 0 v H 1 v =1 lim sup t 0 v H 1 v =1 F u + tp F u t Dp, u 1 f u + tp f u t Dp, u, v 1 f u p v = f u + θtp p f u p v lim t 0 f u + θtp p f u p L 2, ahol a Lagrange-tétel szerint 0 θ 1. A kapott kifejezés pedig 0-hoz tart, mivel a normában szerepl integrandus f folytonossága miatt tart 0- hoz, ugyanakkor f felülr l becsülhet az 1 állandóval, melynek négyzete εk korlátossága lévén eleme L 1 -nak, ezért a Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel értelmében a normabeli konvergencia is teljesül. Másrészt azt kell igazolni, hogy az p Dp, u leképezés p-ban folytonos és lineáris. Ez könnyen igazolható, hiszen láttuk, hogy Dp, u, v v- ben korlátos és lineáris, ugyanakkor ebben a kifejezésben p és v szerepe szimmetrikus. 2. F bihemifolytonosságához azt kell megmutatni, hogy u, v, w, z H 1 esetén s, t F u + sv + twz folytonos leképezést deniál. Ehhez tekintsünk egy tetsz leges s n, t n s, t sorozatot. Erre megmutatjuk, hogy 12
F u + s n v + t n wz F u + sv + twz, a következ becslés segítségével: lim F u + sv + twz F u + s n v + t n wz 1 n lim sup F u + sv + twz F u + s n v + t n wz, k 1 = n k H 1 k =1 lim sup n k H 1 k =1 f u + sv + tw f u + s n v + t n w zk lim n f u + sv + tw f u + s n v + t n w L 2 z L 2 A kapott becslésre pedig teljesül a 0-hoz tartás, az el z pontban látottakhoz hasonlóan. 3. Ahhoz, hogy tetsz leges u H 1 esetén F u önadjungált voltát megmutassuk, az alábbi egyenl ségnek kell fennállni: v, w H 1 : F uv, w 1 = v, F uw 1 Ez pedig, mivel a szóban forgó Hilbert-tér valós, teljesül is: F uv, w 1 = d v w + f uvw + hvwdσ = F uw, v 1 = v, F uw 1. 4. Ahhoz, hogy bebizonyítsuk, hogy F u egyenletesen pozitív tetsz leges u H 1 pontban, azt kell megmutatni, hogy m > 0 : F uv, v H m v 2 1 u, v H 1 Induljunk ki az alábbi skalárszorzatból: F uv, v 1 = d v v + f uv 2 + hv 2 dσ }{{} 0 d v 2 + hv 2 dσ = v 2 1. Eszerint m = 1 választással teljesül az állítás. A levezetés következménye az F u Gâteaux-deriváltra vonatkozó alábbi összefüggés: F up, v 1 = d p v + f upv + hpvdσ v H 1 11 13
3.5. Az operátoregyenlet közelít megoldása 3.5.1. Végeselem-módszer A végeselem-módszer nite element method els sorban a parciális dierenciálegyenletek egyik elterjedt megoldási módszere. Alapötlete, hogy végtelen dimenziós terekben keresett megoldást egy véges dimenziós altérbeli függvénnyel közelíti. Ez a közelítés pedig a következ módon történik. Tekintsük a feladat gyenge alakját: F u, v 1 = b, v 1 v H 1. 12 A végeselem-módszer alkalmazásakor ezt az egyenletet vetítjük H 1 egy véges dimenziós alterére. Ezt az alteret jellemz en úgy nyerjük, hogy azt a térrészt, ahol a feladat megoldása értelmezett, felosztjuk apróbb tartományokra, és az altérben olyan függvények szerepelnek, melyek lesz kítései ezen tartományokra polinomok. A tartományok maximális átmér jét nevezzük rácsparaméternek, amit a h > 0-val, a kapott alteret pedig V h -val jelöljük. Vetítés alatt pedig azt értjük, hogy a 12- ben felírt egyenlet megoldását nem a H 1 térben, hanem a V h térben keressük, ezzel együtt nem követeljük meg minden v H 1 esetére, hanem csak az altérbeli függvényekre, azaz a következ feladatot oldjuk meg: F u, v 1 = b, v 1 v Vh 13 El ször is belátjuk, hogy ennek a feladatnak is létezik megoldása: 4. Állítás. Legyen V h H 1 egy véges dimenziós altere. Legyen F : H 1 H 1, melyet a 9 egyenl ség deniál. Ekkor a 13-beli feladatnak egyértelm en létezik megoldása a V h térben. Bizonyítás: F denicióját felhasználva a 13 ekvivalens azzal, hogy: d u v + f uv + huvdσ = hu e vdσ v V h. Mivel V h zárt altere H 1, ezért egyrészt a 2. állítás következtében a fenti kifejezés alapján bevezethet az az F h : V h V h leképezés, melyre fennáll: F h u, v 1 = d u v + f uv + huvdσ v V h, valamint egy b h V h konstans, melyre: b h, v 1 = hu e vdσ v V h. Ezekre teljesül az, hogy d u v + f uv + huvdσ = hu e vdσ v V h. F h u, v 1 = b h, v 1 v Vh F h u = b h 14
Másrészt F h deníciójából adódóan a 3. állítás szerint az 1. tétel alkalmazható, így F h u = b h egyenletnek egyértelm en létezik megoldása, amib l következik az állítás. Ezek után jelölje u a 12 megoldását és u h a 13 megoldását. A kett kapcsolatáról szól a Céa-lemma, mely a végeselem-módszer kvázioptimalitását fogalmazza meg: 2. Tétel. Céa-lemma[2] Legyen F : H H Lipschitz-folytonos M konstanssal és egyenletesen monoton m konstanssal, V h pedig H egy altere. n N esetén u u h M m min { u v h : v h V h }. Ekkor tetsz leges Ennek egyszer következményeként, ha a V h alterek egy sorozatára teljesül az, hogy akkor u H : distu, V h := min { u v h : v h V h } 0, ha h 0 14 u h u, ha h 0 azaz ebben az esetben a végeselem-módszer által adott megoldás valóban közelíti az eredeti megoldást. A Céa-lemma alkalmazásához pedig a következ állítást kell belátni: 5. Állítás. A 10-ben meghatározott F : H 1 H 1 operátor Lipschitzfolytonos és egyenletesen monoton. Bizonyítás: 1. F Lipschitz-folytonosságához azt kell megmutatni, hogy létezik olyan M > 0, melyre F u F v 1 M u v 1 u, v H 1. Ehhez tekintsük a következ becslést: F u F v 1 sup F u F v, k 1 k H 1 k =1 d u k + f u k + d v k + f v k hukdσ hvkdσ = d u v k + f u f v k + h u v kdσ Itt pedig az egyes tagokat a 2. állítás bizonyításához hasonlóan, a következ módokon becsülhetjük, el ször felhasználva az 1. lemmát: h u v kdσ sup h c 2 u v 1 k 1 = sup h c 2 u v 1, 15
majd kihasználva f Lipschitz folytonosságát: f u f v k L u v k L u v L 2 k L 2 Lc 2 1 u v 1 k 1 = Lc 2 1 u v 1 Végül pedig: Ezért jó választás. d u v k u v 1 k 1 = u v 1 M := sup h c 2 + Lc 2 1 2. F egyenletesen monoton voltát igazolandó azt kell megmutatni, hogy létezik olyan m > 0, melyre F u F v, u v 1 m u v 2 1 u, v H 1 Ez pedig ekvivalens azzal, hogy F uh, h 1 m h 2 1 u, h H 1 ezt pedig már igazoltuk a 3. állítás bizonyításakor. Az állítás következménye, hogy a feladat megoldására alkalmas a végeselemmódszer. 3.5.2. Newton-módszer Eredetileg a Newton-módszert egyenlet gyökének a meghatározására alkalmazzák. Pontosabban egy adott f DR függvényre az fx = 0 egyenlet megoldását keressük, és ehhez a következ iterációt használjuk: x k+1 = x k fx k f x k k N + ahol x 0 R tetsz leges. Ismert, hogy ennek az iterációnak a konvergenciája bizonyos feltételek mellett és elég jó kezdeti érték esetén másodrend. Ennek a módszernek az általánosítását Kantorovics vezette be Banach tereken értelmezett operátoregyenletek esetére. Ebben az esetben egy adott F : X Y operátor esetén az F u = 0 egyenlet megoldása megfelel feltételek között az alábbi iteráció határértéke: u k+1 = u k F u k 1 F u k k N + 16
ahol u 0 X továbbra is tetsz leges. Az alkalmazások szempontjából fontos az iteráció egy másik alakja is. Bevezetve egy új változót az iteráció természetes módon megadható az alábbi formában is: u k+1 = u k + p k, ahol F u k p k = F u k. 15 Az itt szerepl 15 egyenletet a feladathoz tartozó lineáris segédegyenletnek nevezzük. Az iterációnak ez az alakja azért fontos, mert a gyakorlatban valójában nem számítjuk ki az F u k operátor inverzét, hanem helyette a segédegyenletet oldjuk meg. Kantorovics bebizonyította [5], hogy az el bbiekkel analóg módon, megfelel feltételek esetén ebben az esetben is teljesül, hogy az iteráció lokálisan másodrendben konvergál. Gyakorlati alkalmazások szempontjából ennek a módszernek gyenge pontja, hogy a konvergenciát csak lokálisan garantálja. Ennek javítását célozza meg az ún. csillapított Newton-módszer. Ez globális konvergenciát biztosít, amit a következ tétel fogalmaz meg: 3. Tétel. [2] Legyenek X, Y Banach-terek és F : X Y Gâteaux-deriválható. Tegyük fel, teljesül, hogy F u : X Y bijekció és F uh m h, valamint F Lipschitz-folytonos L konstanssal. Legyen u X az F u = 0 egyenlet megoldása, valamint legyen u 0 X tetsz leges. Ekkor az alábbi sorozatra: u k+1 = u k + τ k p k k N, ahol F u k p k = F u k és 1 τ k = min{1, }, 16 L F u k teljesül, hogy u k u 1 m F u k 0 17 monoton csökken en és lokálisan másodrendben, azaz alkalmas k 0 N index után F u k+1 c 1 F u k 2 k k 0 18 és u k u 1 m F u k d 1 q 2k k k 0 19 ahol 0 < q < 1 és c 1, d 1 > 0. A következ állítás pedig a csillapított Newton-módszer alkalmazhatóságát biztosítja az adott feladatra. 6. Állítás. A 10-ben meghatározott F : H 1 H 1 operátorra teljesülnek a 3. tétel feltételei. 17
Bizonyítás: F Gâteaux-deriválhatóságát már láttuk a 3. állítás bizonyításakor. Az F u : X Y bijekció és F uh m h feltétel következik abból, hogy m > 0 : F uv, v 1 m v 2 1 u, v H 1. Ennek teljesülését szintén az el bb említett állításban igazoltuk. F Lipschitz folytonos L konstanssal. Azt kell belátni, hogy létezik olyan L konstans, melyre F u F v op u v 1. Ismert, hogy amennyiben egy A : H H Hilbert-téren értelmezett folytonos, lineáris operátor önadjungált, úgy normája a következ módon számítható: A op = sup{ Ak, k : k H = 1}. Mivel a 3. állításban már láttuk, hogy F u önadjungált u H 1, így alkalmazható az el bbi összefüggés. Ehhez megjegyezzük, hogy f -re teljesül, hogy f x f y < L 1 x y x, y R, ugyanis szakaszonként folytonosan dierenciálható és a deriváltak korlátosak. Vegyünk egy k H 1 függvényt, melyre k 1 = 1. Ekkor F u F vk, k 1 = d k k + f u k 2 + d k k + f v k 2 + hk 2 dσ = f u f v k 2 f u f v k 2 hk 2 dσ L 1 u v k 2 L 1 u v L 2 k 2 L 4 L 1c 1 u v 1 K 4, k 1 2 = K 2 4,L 1 u v 1. Itt felhasználtuk az általánosított Hölder-egyenl tlenséget 1 2 + 1 4 + 1 4 = 1 választással, valamint a 3. lemmát. Azaz, azt kaptuk, hogy F u F vk, k 1 K 2 4,L 1 c 1 u v 1 k H 1 ha k = 1. A bal oldalon supremumot véve adódik, hogy F Lipschitz-folytonossága konstanssal teljesül. L = K 2 4,L 1 c 1 20 18
A feladat megoldásához szükséges számításoknál, ahogy már említettük, fontos szerepet játszik a feladathoz tartozó segédegyenlet megoldása. Ezért a következ állításban megvizsgáljuk a segédegyenletet: 7. Állítás. Az 1-2 által meghatározott feladathoz tartozó segédegyenlet gyenge alakja a következ : d pk v + f u k p k v + d u k v + f u k v + hp k vdσ = hu k vdσ + hu e vdσ v H 1 Bizonyítás: A feladat által meghatározott operátoregyenlet az 0-ra rendezett alakja F u b = 0 alapján a segédegyenlet a következ : F u k p k = F u k b. Ezt megszorozva egy tetsz leges v H 1 függvénnyel kapjuk gyenge alakját: F u k p k, v 1 = F u k b, v 1 = F u k, v 1 + b, v 1 v H 1. amelybe behelyettesítve a 10 és a 11 eredményeket, adódik az állítás. 3.5.3. Összefoglalás A feladat megoldásához az el bb ismertetett módszerek kombinációját használjuk, a Newton-féle végeselem-módszert. Ehhez el ször a végeselem-módszer szerint választunk egy megfelel véges dimenziós alteret. Ezután az egyenlet adott altérbe vetített alakjának megoldását a Newton-módszer által deniált iterációval határozzuk meg. Ez részletesebben kifejtve, a következ módon történik. Legyen H 1 V h := span{φ 1,..., φ n } ahol a φ i i = 1,..., n vektorok lineárisan függetlenek, azaz V h egy bázisát alkotják. Ekkor az F u, v 1 = b, v 1 v H 1 egyenletet levetítve V h altérre kapjuk kapjuk a következ t: F u, v 1 = b, v 1 v Vh ami a skalárszorzat linearitása miatt ekvivalens azzal, ha csak a tér bázisára követeljük meg, azaz F u, φ i 1 = b, φ i 1 i = 1,... n 21 Az ux = n j=1 u jφ j x alakra bevezethet ek az alábbi F i : R n R függvények: F i u = F n u j φ j, φ i 1, u = u 1,..., u n. j=1 19
és a következ konstansok: β i = b, φ i i = 1,..., n Így a 21 feladat a következ alakba írható: Fu = β 22 ahol F : R n R n, F = F 1,..., F n és β = β 1,..., β n R n. Ennek megoldására pedig alkalmazzuk a csillapított Newton-módszert: u k+1 = u k + τ k p k k N +, ahol F u k p k = q k := Fu k + β 23 ahol F u k R n n és a 7. állítás alapján elemei a következ k: [F u k ] i,j = j F i u k = F u k φ j, φ i 1 = d φi φ j + f u k φ i φ j + hφ i φ j dσ i, j = 1,..., n, 24 a jobboldali q k vektor komponensei pedig az alábbiak szerint számolandók: [q k ] i = [ Fu k + β] i = F u k + b, φ i = d u k φ i + f u k φ i + hu k φ i dσ + 4. Numerikus realizáció 4.1. A vizsgált eset hu e φ i dσ i = 1,..., n. Az egyszer ség kedvéért a feladat numerikus megoldását 1 dimenziós esetben végeztem. Ekkor az = [a, b] R a, b R intervallumon az 1 egyenlet a következ alakot ölti: du = fu x [a, b], 26 a 2 peremfeltétel pedig így írható: { dau a = hau e a ua dbu b = hbu e b ub. A végeselem-módszer alkalmazásához deniálni kell alterek egy sorozatát, melyekre teljesül a 14. feltétel, melyhez a [6] könyvben található megoldást használjuk. Ehhez osszuk fel az [a, b] intervallumot N részre: a = x 0 < x 1 < < x n < x n+1 = b, N = n + 1 20 25 27
ekvidisztáns módon: x i = a + ih h = b a N. Ezen osztópontok segítségével deniálunk olyan bázisfüggvényeket, melyek csak kevés részintervallumon különböznek a nullától és teljesítik a következ feltételt: φ i x j = δ ij 0 i, j N, különben pedig lineárisak: 1 x x i φ i x = h, x [x i 1, x i+1 ] 0, x / [x i 1, x i+1 ] i = 1,..., n 28 A peremeken pedig ehhez hasonlóan: 1 x x 0, x [x 0, x 1 ] φ 0 x = h 0, x / [x 0, x 1 ] illetve 1 x x N, x [x N 1, x N ] φ N x = h 0, x / [x N 1, x N ] Az így konstruált bázisok megfelel ek, a következ állítás értelmében. 29 30 8. Állítás. A 28-30 kifejezésekkel deniált függvények esetén a V h = span{φ 0,..., φ N } altérre teljesül a 14. feltétel. Bizonyítás: Vegyük észre, hogy a deniált φ i, i = 0,..., N függvények az els fokú spline bázisfüggvényei. Ismert pl. [6] könyvb l, hogy ezek interpolálják a C 2 [a, b] függvényeket és mivel C 2 [a, b] s r részhalmaza H 1 [a, b]-nak ezért teljesül az állítás. Ezen túlmen en ez a bázisválasztás a számítások szempontjából is rendkivül el nyös. Vegyük észre, hogy suppφ i suppφ j =, ha i j > 1. Ennek az a következménye, hogy a 23-ben deniált segédfeladat mátrixa tridiagonális lesz, mivel elemei a 24 szerint a bázisfüggvénypárok szorzatától függ. Ez pedig lényeges csökkenti a segédfeladat megoldásának költségeit. 4.2. A használt program m ködése A programban a csillapított Newton-módszer egy variációját implementáltam, az adaptív Newton-módszert. A módszer adaptivitása abban rejlik, hogy a 16 kifejezéssel deniált τ k együttható nagyságát minden lépésben megpróbálja maximalizálni azáltal, hogy ellen rzi a lehetséges lépéssel bekövetkez hiba nagyságát. El ször vizsgáljuk meg a hiba nagyságának meghatározását. 21
9. Állítás. Legyen u k V h. Legyen Φ a V h bázisa által alkotott Gram mátrix, azaz [Φ] i,j = φ i, φ j 1. Legyen ξ a Φξ = q k egyenlet megoldása, ahol q k a 25 által deniált vektor. Ekkor F u k b 1 = ξ T Φξ. Bizonyítás: Legyen ξ = ξ 1,..., ξ n T olyan, hogy F u k b = n ξ i φ i i=1 Ekkor véve mindkét oldal skalárszorzatát egy φ j bázisfüggvénnyel, tetsz leges j-re, azt kapjuk, hogy: F u k b, φ j 1 = n ξ i φ i, φ j 1. i=1 j = 1,..., n Itt jelöljük Φ-vel a bázisfüggvények alkotta Gram mátrixot, azaz [Φ] i,j = φ i, φ j. Ezentúl vegyük észre, hogy bal oldalon pont a 25 kifejezés által deniált vektor i-dik komponensének 1-szerese található, ezért ezt úgy is írhatjuk, hogy q T k = ξt Φ ebb l felhasználva, hogy Φ szimmetrikus, F u k b normája könnyen számítható: F u k b 2 1 = F u k b, F u k b 1 = n i=1 n ξ i φ i, i=1 n ξ i ξ j φ i, φ j 1 = ξ T Φξ, ahol Φξ = q k. j=1 n ξ j φ j 1 = j=1 Ennek az állításnak a segítségével lényegében meg tudjuk határozni egy u elem hibáját, amit a következ állítás fogalmaz meg. 10. Állítás. Legyen u k V h tetsz leges, és legyen u V h az F u = b egyenlet megoldása. Ekkor léteznek olyan M > 0, m > 0 konstansok, melyekre teljesül, hogy: m F u k b 1 u k u 1 M F u k b 1 31 Bizonyítás: Az állítás az 5. állítás egyszer következménye. Ott láttuk, hogy létezik, olyan M konstans, melyre F u F v 1 M u v 1. Felhasználva, hogy F u = b, látható, hogy az m := 1/M jó választás. Ezentúl, az említett állítás második részéb l kiindulva, a Cauchy-Schwarz egyenl tlenség alkalmazásával kapjuk, hogy: m u v 2 1 F u F v, u v 1 F u F v 1 u v 1, amit u = u k, v = u szereposztással alkalmazva az M := 1/m adódik. 22
Ennek ismeretében nézzük meg az alkalmazott algoritmus leírását. Adaptív Newton-módszer 1: u k u 0 2: τ 1 3: it 0 4: while hibau k > hibahatar it < iter max τ > τ min do 5: τ 1 6: M Mu k 7: q qu k 8: p k M 1 q 9: u k+1 u k + τp k 10: while hibau k+1 > hibau k do 11: τ τ/2 12: u k+1 u k + τp k 13: end while 14: u k u k+1 15: it it + 1 16: end while Az algoritmus el ször a változók inicializálását végzi el 1-3. sor. Ezután elkezdi az iterációt. Az 5. sorban elvégzi a τ együttható normalizálását, ezután pedig megoldja a 23 által deniált segédfeladatot a 24-25 által megadott módon számított mennyiségekb l 6-8. sor. A 9-13-ig terjed sorokban kap helyet a τ értékének meghatározása a következ lépés hibájának vizsgálatával. Eszerint, amennyiben a τ értéke túl nagynak bizonyul, azaz az avval súlyozott lépés hibája nagyobb, mint a jelenlegi állapot eltérése a pontos megoldástól, úgy τ értékét felezi. A tényleges lépés megtétele a 14. sorban történik, ezután pedig az végrehajtott iterációk számát jegyz változó értékét növeli eggyel. Az iteráció 3 módon érhet véget, melynek feltételét a 4. sor rögzíti. Egyrészt a kiszámított megoldás elérheti a kívánt pontosságot. Másrészt az iterációk száma érheti el egy el re meghatározott maximumot, illetve a megtett lépés nagysága érhet el egy el re megadott minimális szintet. 4.3. A használt program eredményei 4.3.1. A tesztfeladat Ahhoz, hogy megfelel en ki tudjuk értékelni a módszer teljesítményét, ismernünk kell a feladat megoldását. Mivel ez az eredetileg kit zött feladatra nem teljesül, ezért kerestünk egy olyan, hasonló alakú parciális dierenciálegyenletet, melynek megoldása az ux = x 2 függvény. Feltéve, hogy a d függvény konstans, ezt a 23
peremérték-feladatot kapjuk: du = f x [a, b] du b = hbu e b ub du a = hau e a ua Ebbe behelyettesítve a kívánt megoldást, a következ egyenleteket kapjuk: 2d = f x [a, b] 2db = hbu e b b 2 2da = hau e a a 2 Ebb l egy lehetséges megoldás a szerepl függvényekre: fx = 2d u e b = 2bd hb + b2 u e a = 2ad ha + a2 ha = hb = h > 0 A program futtatása során ilyen alakú a függvénnyekkel teszteltük az algoritmust. Könny látni, hogy ezekre a függvényekkel is teljesül a Newton-féle végeselemmódszer alkalmazhatósága. 4.3.2. Teszteredmények A közölt eredményeket úgy kaptam, hogy az egyes vizsgálatoknál a feladat, illetve a módszer paramétereinek az alább felsorolt alapértelmezett értékeket adtam, és mindig ezek mellett változtattam a vizsgált paramétert. A paraméter hatását a kapott megoldás H 1 -normában mért pontosságára, a szükséges iterációk számára, valamint a számításhoz szükséges id re vizsgáltam. A paraméter jele A paraméter értéke Felosztás nomsága N 10 Intervallum [a, b] [0, 1] d függvény értéke 1 h függvény értéke 1 Iterációk maximuma iter max 50 Elvárt pontosság hibahatar 10 4 Minimális lépés τ min 2 50 A felosztás nomsága. Ennél a résznél N értékét 5 és 100 között változattam ötösével. Az 1. ábrán látható, hogy a módszer megoldásának hibája csökken a felosztás nomításával. A pontos eredményeket az 1. táblázat tartalmazza. A 24
1. ábra. N függvényében a kapott megoldás távolsága a valódi megoldástól N értéke Hiba értéke 5 1.338e-2 10 3.340e-3 15 1.429e-3 20 8.478e-4 25 4.458e-4 30 5.969e-4 35 1.561e-4 40 2.471e-4 45 1.469e-4 50 1.467e-4 N értéke Hiba értéke 55 1.115e-4 60 1.442e-4 65 6.807e-5 70 1.407e-4 75 6.136e-5 80 8.175e-5 85 5.175e-5 90 6.769e-5 95 3.252e-5 100 6.620e-5 1. táblázat. N függvényében a kapott hibák felosztás nomításával a pontosság növekedése a spline interpoláció hibájára vonatkozó tétel értelmében ld. [6] hiperbolikus, amely látszódik az ábrán is. A 2. ábrán a számításhoz szükséges id látható. Egy tipikus futtatás során ennek az id nek 40%-át teszi ki a sorozat aktuális eleméhez tartozó segédfeladat mátrixának a feltöltése; 35% a következ elem meghatározásához szükséges ellen rzés végrehajtása, 19% a segédfeladat jobboldalának meghatározása. A 3. ábrán a módszer által megtett iterációk száma látható, amir l leolvasható, hogy kvázi konstans iteráció szükséges a kívánt pontosság eléréséhez. A d függvény nagyságrendje. Ezekben a vizsgálatokban a d konstans értékét 10 4 és 10 5 között változtattam. A 4. ábrán látható eredmény szerint a módszer a nagyobb d értékekre érzékeny. A h függvény nagyságrendje. Ezekben a vizsgálatokban h értékét 10 4 és 10 5 25
2. ábra. N függvényében a számításhoz szükséges id 3. ábra. N függvényében az adaptív Newton-módszer által megtett iterációk száma között változtattam. Az 5. ábrán az látható, hogy a módszer érzékeny h függvény kis értékére. Összevetve az el z bekezdéssel megállípítható, hogy az u e függvény nagy értéke esetén teljesít rosszabbul a módszer. Az intervallum hossza. Az intervallum hosszát úgy változtattam, hogy annak bal végpontját rögzítettem, a = 0-ban, jobb végpontját pedig 1 és 50 között növeltem egyesével. A várakozásoknak megfelel en az intervallum hosszának növelésével a többi paramétert változatlanul hagyva a kapott megoldás távolsága is n az eredetit l, amint az a 6. ábrán látszik. 26
4. ábra. d függvényében a kapott megoldás távolsága a valódi megoldástól 5. ábra. h függvényében a kapott megoldás távolsága a valódi megoldástól 4.3.3. A feladat eredménye A feladatban kit z tt parciális dierenciálegyenlet megoldását az alábbi függvények mellett végeztem, ezek nagyságrendje tükrözi az alkalmazásra jellemz értékeket. dx 10 5 hx 1/2 u e x 10 3 A k konstans értékét 1-nek választottam. A szerepl kis értékek miatt az elvárt pontosságot 10 15 -re, a rácsnomságot N = 20-ra állítottam be. Megvizsgáltam az ε értékének a megoldás pontosságára vonatkozó hatását. A kapott eredmény a 7. 27
6. ábra. b függvényében a kapott megoldás távolsága a valódi megoldástól ábrán látható. Megállapítható, hogy magas ε érték esetén drasztikusan csökken a megoldás pontossága. Az ε = 10 2 esetben ábrázoltam a feladat megoldását, amely a 8. ábrán látható. 4.3.4. Összefoglalás A bemutatott eredmények tükrében elmondható, hogy az implementált Newtonféle végeselem módszer konvergál a peremérték-feladat megoldásához. Hatékony megoldási módszer, valamint érdemes kiemelni, hogy a vizsgálatok szerint nagy értéktartományon belül is, az egyenlet paramétereinek több a jobboldalának akár 10 nagyságrenddel történ változtatása esetén is képes konvergenciát nyújtani. 28
7. ábra. A megoldás pontossága ε függvényében 8. ábra. A feladat egy megoldása 29
Hivatkozások [1] Faragó I., Karátson J.: Numerical Solution of Nonlinear Elliptic Problems Via Preconditioning Operators, Advances in Computation: Theory and Practice, Nova Science Publishers, New York, 2002. [2] Karátson J.: Numerikus funkcionálanalízis, www.cs.elte.hu/ karatson/nfa.pdf, 2010. [3] Simon L., Baderko E. A.: Másodrend lineáris parciális dierenciálegyenletek, Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. [4] Vladimirov V.S.: Parciális dierenciálegyenletek: feladatgy jtemény, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1980. [5] Kantorovich L.V., Akilov G.P.: Functional Analysis, Pergamon Press, Oxford, 1982 [6] Stoyan G., Takó G.: Numerikus módszerek 1-2., Typotex Kiadó, Budapest, 1993, 1995. [7] Biokémia gyakorlat, egyetemi jegyzet, Debreceni Egyetem, 2008 [8] Enzimek, egyetemi jegyzet, Nyíregyházi F iskola, 2004 30