PÉNZÜGYI ELEMZÉSEK I.

BUDAPESTI ŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOÁNYI EGYETE Gzdság- és Tásdlomtudomáy K Üzlet Tudomáyok Itézet D. Ado Gyögy PÉNZÜGYI ELEZÉSEK I. okttás segédyg Budpest, 0.

Ttlomegyzék I. VÁLLALAT, RÉSZVÉNYES ÉS PROFITAXIALIZÁLÁS... I.. VAGYON HASZNOSSÁGA ÉS KOCKÁZATKERÜLÉS... I.. RELATÍV KOCKÁZATKERÜLÉSI EGYÜTTHATÓ ÉRÉSE... I.3. PÉNZ HASZNOSSÁGA ÉS KOCKÁZATKERÜLÉS...6 I.4. TŐKEKÖLTSÉG... II. TŐKEPIACI ÁRFOLYAOK ODELLJE... 33 II.. HATÉKONY PORTFÓLIÓK TARTÁSA...33 II.. PIACI PORTFÓLIÓ TARTÁSA...4 II.3. BÉTA KOCKÁZATI PARAÉTER...46 II.4. TŐKEPIACI VÁRHATÓ HOZAOK ÉS A BÉTA...53 II.5. BÉTÁK STABILITÁSA...58 II.6. CAP TESZTJEI, VERSENYTÁRSAI...59 ELLÉKLET: KOCKÁZATKERÜLÉSI EGYÜTTHATÓ FELÉRÉSI KÉRDŐÍVE TÁRGYUTATÓ ÁBRAJEGYZÉK IRODALI HIVATKOZÁSOK, UTALÁSOK Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

I. Válllt, észvéyes és poftmxmlzálás I.. Vgyo hszosság és kockáztkeülés Témák szempotából lpvető fotosságú dolgozt látott pvlágot 738-b Szetpéteváo. Szezőe z kko 38 éves Del Beoull volt, k művébe kockáztos helyzetekbe hozott embe dötéseket vzsgált. Beoull, bá meghgy z egyes kmeetelek vlószíűségéek és étékéek szoztösszegée votkozó modellt, úgy vélte, hogy dötéshozó z egyes kmeeteleket em pl. pézbel mtemtk étékük szet, hem hszosságuk szet súlyozv mősít. A dötések mgyáztáál tehát váhtó hszosság elek meg váhtó étékkel szembe. A váhtó hszosság hsoló módo számíthtó, mt váhtó éték, csupá vlószíűségekkel tt z állpotok hszosságát kell megszooz. A két megközelítés dt külöbséget mutt z lább két összefüggés: E W E p w mx. [ U W ] p U mx. w hol W vgyo welth mt vlószíűség változó, melyek w állpot következhetek be p vlószíűségekkel. E. váhtó éték ele z expected gol szó utlv, míg U hszosságot elöl. Beoull tovább s vtte e godoltot, és vgyo hszosságá votkozó következő koszklkotó tételt foglmzt meg: A vgyo övekméyéek hszosság fodított áyb lesz má koább btokolt vk meységével. d megegyz: Fgyelembe véve z embe temészetet, úgy vélem, hogy fet hpotézs sokk látszk évéyesek. Ige, má említett csökkeő htáhszosság elvéek vgyo vló ételmezésével tlálkozuk tt. Elmélete szet ugy mdek sát étékedszeel bí vgyo votkozó s, és eek megfelelőe döt, de eze eltéő egyé étékedszeekek v vlmféle egységességük: vgyo övekedéséhez csökkeő métékbe övekvő hszosságot, zz csökkeő htáhszosságot edelek z embeek. Beoull művéek középpotáb k tézsek cáfoltát állított, mellyel kpcsoltos áltláos egyetétés volt kobel kockázttl fogllkozó godolkodók köébe. E támdott tézs z embeek dötéseek mkétét z lábbk szet ít le: A váhtó éték, mely szet dötéseket hozzuk, úgy számíthtó k, hogy mde lehetséges eedméy zo módok számávl szozdó be, mt z dódht, md pedg ezek összegét el kell oszt z öszszes lehetséges eedméy teles számávl. Beoull yból tektette hbásk e feltevést, hogy z em vesz fgyelembe z egyes kmeetelek dötéshozó szempotából eletkező következméyet, hszosságt. egegyz, hogy em elegedő csk pézösszegeket összeszoozuk zok vlószíűségevel, met bá téyek mdek számá zoosk, de ezek hszosság becslést végző személy külöleges köülméyetől függ. Ebből következk, hogy mg kockáztos helyzet étékelése s egyéleg eltéő. Foás: déz: Beste. P.: Szembeszáll z steekkel. Pem Wley, Budpest, 998. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

3 Beoull egyébkét híes szetpétevá pdoxo feloldásávl kpcsoltos foglmzt meg e tövéyszeűséget. A pdoxo léyege bb áll, hogy z embeek vo mét em veszek észt edkívül gy összegekkel következő átékb: egy émét ddg dobáluk fel, míg például feet em kpuk, yeeméy összege pedg zo htváy, háydk skeült feet dobuk. Köye beláthtó, hogy egy lye áték váhtó étéke váhtó yeeméye végtele 3 gy, zz coálsk látszk htlms vgyookt áldoz egy lye átékb vló észvétel ogáét. Az embeek vszot em hldók ee. Beoull ebből következtetett, hogy egyszeű mtemtk vlószíűség lpo em mgyázhtók z embeek kockáztos helyzetbe hozott dötése. Így keült felszíe ál hszosság foglm. 4 Beoull tehát vlm lyesm vgyo votkozó hszosságfüggvéyt képzelt el: UW UW W. áb: Vgyo hszosság és csökkeő htáhszosság. Az ábáb UW-vel vgyo hszosságát, UW-vel vgyo htáhszosságát elöltük. Jól láthtó, hogy szembe koább vázolt áltláos hszosság függvéyel, vgyo votkozóál em ételmezük telítettség potot gyobb vgyo mdg obb, vszot ételmezhetük egtív vgyot dósságot s. A vgyo hszosságfüggvéyét mtemtk megfoglmzásb mooto övekvőek evezzük, 5 lletve kokávk, zz hszosságövekedés egye csökkeő métékű gz á csökkeő htáhszosság tövéye. Fotos megegyezük továbbá, hogy mvel hszosságétékek gyság ömgukb ételmezhetetleek áltláb s, emcsk vgyo votkozó, így hszosságfüggvéyek csk egyéeke votkozhtk, és esetükbe s csk külöböző állpotok tt vgyogyságok eltív összevetésée lklmsk. debből fkdó hszosságétékeket kedvük szet klbálhtuk, hozzádhtuk vgy levohtuk belőlük, lletve vgyo gysá- p, x 3 p x... 4 má csk tká hszálák váhtó éték helyett mtemtk vákozás kfeezést, pedg kockáztos dötésekkel kpcsoltos ez ge szemléletesek tűk. 5 Első devált mdvégg poztív, zz mde tovább összeg hszosság poztív. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

4 gából kosts étékeket zz függőlegese és vízsztese eltolhtuk, 6 továbbá kostssl megszoozhtuk vgy el s oszthtuk kpott hszosságétékeket vgy vgyogyságokt zz függőlegese és vízsztese zsugoíthtuk, yúthtuk. 7 8 dezek mtt ételmetle vszot külöböző embeek hszosságétéket összevetük, összeduk, kvouk, átlgoluk stb., és moduk cslád, válllt vgy tásdlm szte ételmez z így kpott eedméyeket. ost kpcsoluk be kockáztot s! Kockázt ltt k lehetőségét étük tt, hogy később téylegese elét állpot tt vgyogyság eltéhet dötés plltáb váhtótól. Azz szeecse függvéyébe többféle lehetséges állpotot s eléhetük, hogy végül melyket, zt dötés plltáb bzoyossággl em tuduk. Külö kemelük, hogy kockázt foglmához emcsk egtív tötééseket kötük, hem ugyúgy poztívokt s. Ayt állítuk tehát, hogy téyleges vgyo vgyo váhtó étékéél ugyúgy mgsbb és lcsoybb s lehet. 9 Vegyük észe, hogy vgyo csökkeő htáhszosságát muttó hszosságfüggvéy egyúttl kockáztkeülő máskét: kockáztelutsító mgttást s tüköz! 0 Tektsük fet hszosságfüggvéyű embeüket úgy, hogy W 0 duló vgyo v, és 50-50%-kl W 0 -tól zoos távolság eső W és W vgyo helyzetekbe keülhet, zz ugyyt és ugykko eséllyel yehet, mt veszthet: UW UW UW UW UW 0 UW W W 0 W W. áb: Kockáztos dötés helyzet. Jól láthtó, hogy bá ugykko összeg yeéséől-vesztéséől v szó, ezek hszosságváltozttás eltéő métékű: yeésé szeéyebb, mt vesztésé. Az ábá elöltük W 0 duló vgyohoz ttozó UW 0 duló hszosságot s. Láthtó, hogy ez gyobb, mt W és W átlgkét dódó UW UW /, zz egyéük el fog keül e kockáztos helyzetet, 6 Az ábá szádékos em s z ogó áthldó göbét ábázoltuk. 7 Ettől pesze függvéy egyes tuldoság változhtk, pefeecák obb-osszbb vszoyok vszot megmdk. 8 E tszfomácós lehetőségek léyegébe zt eletk, hogy pl. fetebb ábázolt hszosságfüggvéy tegelyet tetszőlegese skálázhtuk, lletve göbét szbdo tologthtuk, yúthtuk-zsugoíthtuk. Temészete egy-egy embe kokét hszosságfüggvéyéél csk függőleges hszosság tegely skálázás szbd, függvéy egyéb ellemző má kötöttek leszek. 9 Nylvá, mvel h például csk lcsoybb lehete, kko váhtó éték em gz sttsztk ételembe vett váhtó éték lee. 0 Édekes, hogy kockáztkeülést mmokál s kmuttták, esetükbe koogok lmá cseéléséek külöböző változtál vló vselkedésüket vzsgálv. Foás: okey busess-sese. Ecoomst, 005. úus 3. Keth Che et. l.. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

5 hsze duló hszosság mgsbb, mt kockáztos helyzet váhtó hszosság. Holott W és W 50-50% kockáztos lehetőség mtemtklg f kockáztos lehetőség, hsze váhtó étékük éppe kduló helyzetet W 0 -t d. H má dóztuk Del Beoull emlékéek, büszké tehetük ezt meg Neum Jáos és Osc ogeste esetébe s, kk több mt kétszáz évvel később eletőse továbbfelesztették kockáztos dötéshoztl elméletét. Hszosságelméletük léyegét tektve em volt ugy ú bá átékelmélettel fogllkozó lpművükek em s ez volt z elsődleges cél, 944-be íott mukáukb sokkl letsztultbb, stuktuáltbb elek meg vgyo váhtó hszosságá építő dötés modell, 3 és kdolgozták e dötéshoztl coáls 4 5 fomáák xómedszeét s. Az xómák következők: A dötéshozó képes hszosságuk szet gsool z egyes lehetséges kmeeteleket. Redezhetőség vgy összehsolíthtóság xómá. Ameybe dötéshozó A-t előybe észesít B-vel szembe, vlmt B-t C-vel szembe, kko A-t s előybe fog észesíte C-vel szembe. Tztvtás xómá. 3 A fet A, B és C lehetőségeket tektve mdg létezk legobb A-k és legoszszbb C-ek egy oly vlószíűségekkel súlyozott változt, 6 mely mellett dötéshozó közömbös lee e változt és B kmeet válsztás között. éhetőség vgy folytoosság xómá. 4 Ameybe dötéshozó A-t előybe észesít B-vel szembe, kko előybe fog észesíte z A p vlószíűséggel és B p vlószíűséggel kombácót z A p és B p kombácóvl szembe, h p > p. oototás xómá. 5 Az egyes lehetséges kmeetelek hszosság és bekövetkezésük vlószíűsége egymástól függetleek kell, hogy legyeek. Függetleség xómá. Ameybe e fet xómák telesülek, kko dötéshozó kockáztos helyzetekbe hozott dötése vszoylg egyszeűe modellezhetők. A fetekből ugys z s következk, hogy egy kockáztos helyzetet dötéshozó következetese z egyes kmeetek hszosságk és vlószíűségeek szoztösszegekét étékel, zz így edel kockáztos lehetőségek- Neum Jáos Budpeste született 903-b és Wshgtob hlt meg 957-be mgy számzású mtemtkus, polhszto. Osk ogeste 90 977 émet uszt születésű közgzdász. 3 Ez z ok, hogy vgyol kpcsoltos hszosságfüggvéyek elölésée gykot z ő evüket hszálák, zz Neum ogeste-féle hszosságfüggvéyekől beszélek. 4 Az xómákk többféle tepetácó s lehetséges és smet. 5 á most meg kell említeük, hogy ge sok gyege potát muttták k zót eek megközelítések, befektető dötéshoztl lye modellezéséek. Az ezt megközelítést legkább tágyló áyt pézügy vselkedéstk evezzük, és pézügy tulmáyk vége felé ú vssztéük md témá. Addg előebocsátuk, hogy kétségtele túl egyszeűség elleée ez megközelítés pézügy odlom mdmág ulkodó ézetéek tekthető. 6 Pl. 30% 70%, zz 0,3 és 0,7. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

6 hez váhtó hszosságokt. 7 Tegyük fel, hogy X kockáztos lehetőség A, B és C kmeeteket p A, p B és p C vlószíűségekkel ígé p A p B p C, ekko [ X ] p U A p U B p U U X E U C 3. A B Ilye esetekbe külö elölhetük s, hogy X kockáztos váhtó hszosságáól v szó, de ezt el s hgyhtuk, hsze tváls, hogy egy kockáztos helyzetek csk váhtó hszosság lehet. Egyébkét áltláos ószágok megszezése eseté s legtöbbszö csk váhtó hszosság 8 9 ételmezhető. C 7 temtk sttsztk ételembe vlószíűség egy gy számb smétlődő eseméy eltív gykoságák htáétéke, z z éték, mely köül eltív gykoság gdozk. A közgzdságtb és pézügyekbe vszot ez így legtöbbszö em ételmezhető, hsze gy számb smétlődő eseméyekől em gyo beszélhetük. vlószíűsége k, hogy egy kockávl 4-est dobuk? vlószíűsége k, hogy egy dott beuházás hozm 8 és 0 százlék között lesz? Éezhető, hogy egésze más sztuácókól v szó. íg kockáál potos smeük mde lehetséges kmeetelt és zok vlószíűséget, ddg beuházásál em. Lehet ugy, hogy eletős tpsztltokkl edelkezük múltb előfoduló lye beuházások hozmól, de lehet, hogy csk hsoló múltbel eseméyek tpsztltvl edelkezük, és z s lehet, hogy kockáztos folymt em stbl, zz övő em múlt szbályk megfelelőe vselkedk md. Az lye eseméyek tehát em lleszthetők be z smétlődő póbálkozások szbályk keetebe, hsze e dötések mdem mdg oly köülméyek között születek, melyek sohsem fogk úból előáll. Lplce-k, gy htású fc mtemtkusk meggyőződése volt, hogy véletle em s létező dolog: A ele eseméyet megelőzőkkel oly kötelék fűz össze, mely zo ylvávló elve lpul, hogy semm sem tötéhet elődéző ok élkül. Lplce feltételezte, hogy elegedő dt, számításokhoz szükséges dő és képesség btokáb éppoly vlágos láták övőt, mt elet. Am tudtl számá véletle, z tudós számá em z. A véletle csupá tudtlságuk météke mod Lplce. má ugy em ttuk helyesek z lye sztű tudás lehetőségéek feltételezését, godolt támpotk vszot ól hszálhtó. A lplce- godoltból kdulv ugys következtetése uthtuk, hogy véletleézékelésük tudásháyt tüköz, és övő potos smeete helyett, k több állpotát s elképzelhetőek ttuk. Legtöbbszö zt sem tuduk, hogy mlye állpotok lehetségesek, lletve zok mlye vlószíűségekkel következhetek be. Az lye sztuácók moduk zt, hogy bzoytlság, megkülöböztetve kockáztosság foglmától. A kockáztosság yból elet más helyzetet bzoytlsághoz képest, hogy bá tt sem tuduk, hogy mlye állpot következk md be, de leglább lehetséges állpotokkl és zok bekövetkezéséek vlószíűségevel tsztáb vgyuk. Közgzdság, pézügy helyzetekél áltláb még kockáztos helyzetől sem beszélhetük, hsze övőől lkotott képük edszet ge háyos, szegéyes. Ikább bzoytl helyzetekkel v tehát dolguk. Vázolt váhtó hszosság modellük zob képtele ezt kezel, ez csk kockáztos sztuácók ételmezhető. Áthdló megoldáskét, h fomácók olyy kevesek egy dolog lkulásáól, hogy z má bzoytlság fomáát ölt, tutív okoskodás kell szoítkozuk, és meg kell póbáluk megsete lehetséges kmeeteleket és zok vlószíűséget s. Itt zob má egésze más dologól v szó, mt mtemtk vlószíűségől. Az lye eseteke tlá Keyestől eedő megközelítés legszemléletesebb: A vlószíűség defálás em lehetséges, hcsk em éük be coáls ht foká votkozó vlószíűség elácó métékéek defálásávl. H ez ht eltív gykoságo sttsztk dtoko lpul, kko obektív vlószíűségek szokás evez, h pedg szubektív becslése lpul, kko szubektív vlószíűségek. Foás: déz: Beste P. L.: Szembeszáll z steekkel. Pem Wley, Budpest, 998. 8 Alls-pdoxo: A váhtó hszosság ésszeű elemzés keetek tűt, de mt mde modell, ez s vlóság leegyszeűsítése áá tesz zt elemezhetővé. Vo meye életszeűek Neum és ogeste kduló feltevése tpkus dötéshozó mgttásák leíásá? Ezzel kpcsoltb 953-b uce Alls édekes kísélet eedméyeke utott A Outle of y Cotbutos to Ecoomc Scece. The Amec Ecoomc Revew, 997. Az Alls áltl megkédezettekek két-két fogdás közül kellett kválsztuk zt z egy-egy fogdást, melykbe legszívesebbe észt veéek. A lehetőségek így éztek k: A. fogdás: mlló dollá yeeség 00%-os vlószíűséggel; B. fogdás: 5 mlló dollá yeeség 0%-os vlószíűséggel, mlló dollá yeeség 89%-os vlószíűséggel, 0 dollá yeeség %-os vlószíűséggel. A válszdás utá megkédezett úbb fogdáspából válszthtott: C. fogdás: mlló dollá yeeség %-os vlószíűséggel, 0 dollá yeeség 89%-os vlószíűséggel; D. fogdás: 5 mlló dollá yeeség 0%-os vlószíűséggel, 0 dollá yeeség 90%-os vlószíűséggel. A megkédezettek túlyomó többsége A.-t pefeált B.-vel szembe, míg D.-t pefeált C.-vel szembe. A tpkus válsztássl egyetle pó poblém v: h vlk z első esetbe z mlló dollá váhtó étékű A. fogdást válszt z,39 mlló dollá váhtó étékű B. fogdássl szembe, kko másodk lklomml C.-t kellee válszt D. helyett. Számolk utá! Foás: Czchesz, G. Hocs, I.: gyoszág megtkítók kockáztválllás hldóságák vzsgált. Hteltézet Szemle, VI. évf.. szám, 007. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

7 A következőkbe eze összefüggés segítségével vgyo votkozó hszosságfüggvéy empkus előállítását vázoluk. Ezzel hgsúlyozott em z céluk, hogy bámféle gykolt lklmzhtóságot suglluk, csupá hszossággöbék és Neum ogeste-féle coáls kockáztos dötések mélyebb megétését, összekpcsolását célozzuk. vel hszosságfüggvéy hszosságétékeek bszolút ételembe cs eletése, így skálázást tetszőlegese lkíthtuk k. Legye dötéshozók duló vgyoák hszosság éppe 0. oduk továbbá zt, hogy 000 $ veszteséggel 00 hszosság szte keüle. dezek utá póbáluk megválszol zt kédést, hogy mlye p vlószíűség mellett mee bele dötéshozók éppe egy oly helyzetbe, hol 000 $-t yehet p vlószíűséggel és 000 $-t veszthet p vlószíűséggel. Dötéshozók vgyoát, vgyováltozását tehát most $-b méük. dez mtemtklg felív: U W 0 pu W0 000 p U W0 0 000 Tegyük fel, hogy ez p vlószíűség 0,6. Ekko edezve fet egyeletet UW 0 000- e, md megoldv következőt kpuk: U p U W 000 p 000 0,6 00 0,6 0 W0 Úbb étéket yetük tehát: UW 0 000 66,7. Ehhez hsoló lépéseket smételgetve állíthtuk össze kívát hszosságfüggvéyüket. Ezt mutt következő áb: 66,7 9 A váhtó hszosság elméletéek elletmodó másk klsszkus elesége Del Ellsbeg fgyelt fel Rsk, mbguty, d the svge xoms, The Qutely Joul of Ecoomcs, Novembe, 96. Ellsbeg kíséletébe észtvevők elé két uát helyeztek. Az első u száz db pos és fekete golyót ttlmzott, pos-fekete áy zob em volt smet. A másodk u szté pos és fekete golyókt ttlmzott, de fele-fele áyb. A észtvevőkek k kellett válsztuk egy uát, melyből húzk, vlmt egy szít, melyet k szeetéek húz. H ezek utá téyleg z előe kválsztott szíű golyót húzták kválsztott uából, 00 dollát kptk, h em, kko em kptk semmt. Ellsbeg következő lehetőségeke kolátozt válsztást: A. Pos golyót húz z első uából, vgy feketét szté z első uából. B. Pos golyót húz másodk uából, vgy feketét szté másodk uából. C. Pos golyót húz z első uából, vgy szté post másodk uából. D. Fekete golyót húz z első uából, vgy feketét másodk uából. Az A. és B. esetbe megkédezettek em tudtk döte szíek dolgáb, mdkét esetbe dffeesek voltk pos vgy fekete golyókkl szembe. A C. és D. esetbe vszot észtvevők dötő többsége z első uát válsztott. Noh C. esetbe z első uát válsztókál D. esetbe másodk u lee coáls válsztás és megfodítv, mégsem ez tötét. A Neum ogeste váhtó hszosság elméletéek yelvée lefodítv, sem z összehsolíthtóság, sem moototás xóm em telesül. Foás: Czchesz, G. Hocs, I.: gyoszág megtkítók kockáztválllás hldóságák vzsgált. Hteltézet Szemle, VI. évf.. szám, 007. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

8 UW 66,7 W 0 000 W 0 000 W 00 3. áb: Empkus hszosságfüggvéy. Vezessük be két úbb foglmt! Az első bztos egyeétékes cetty equvlet, mt CE-vel elölük. 0 Egy kockáztos lehetőség bztos egyeétékese z poztív vgy egtív összeg vgyováltozás, mely ugyzt hszosságváltozást eedméyez bztos, mt mt kockáztos lehetőség ígé váhtó: U W X U W E 0 0 CE 4. hol W 0 dötéshozó duló vgyo, X kockáztos lehetőséget ellemző vlószíűség változó. Láthtó, hogy egy-egy kockáztos lehetőség bztos egyeétékese csk személyhez kötötte, sőt, csk dott duló vgyot tektve ételmezedő. Az előző példát tektve 0,6 vlószíűséggel 000 és 0,4 vlószíűséggel 000 kockáztos lehetőség bztos egyeétékese éppe ull. A másk kpcsolódó foglmuk kockázt pémum elölése: RP, sk pemum, m kockáztos lehetőség mtemtk váhtó étékéek és bztos egyeétékesek CE külöbsége, zz E RP E X CE 5. U W X U W E X 0 0 RP 6. A kockázt pémum zt feez k, hogy dötéshozó mekko pézbe kfeezett kompezácót vá el kockáztos helyzet válllásáét. A bztos egyeétékes ugys zt d meg, hogy z dott változt mekko összegű bztos változtk felel meg, így felette eletkező váhtó összeg éppe kockáztválllást kompezál. A kockázt pémum bztos egyeétékeshez hsoló szté csk egyée és duló vgyo szbott ételmezhető. Az előző példáb kockázt pémum 00, hsze 0,6 vlószíűséggel 000 és 0,4 vlószíűséggel 000 kockáztos lehetőség váhtó étéke 0,6 000 0,4 000 00, míg bztos egyeétékes ull volt. dez zt elet, hogy egyéük dott vgyo helyzetébe 00 pémumét hldó elválll ezt kockáztot. 0 A bztos egyeétékesek több, émleg eltéő defícó s smeetes. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

9 A fetek lpá tutív módo s beláthtuk, hogy z egyé kockáztkeüléséek eőssége vgyo votkozó hszosságfüggvéyéek z duló vgyo köül göbültségéből fkd: mél eőtelesebb csökkeő htáhszosság elesége zz göbülés, ál eőtelesebb lesz kockáztkeülés. Azzl kpcsoltos, hogy ez göbülés mlye tuldoságokkl edelkezk z egyéek teles vgyo ttomáyáb, többféle feltételezéssel élhetük. A kédés megvzsgálásához vezessük be előszö z bszolút kockáztkeülés bsolute sk veso foglmát. Az bszolút kockáztkeülés legköyebbe kockázt pémumo keesztül gdhtó meg. Lehetséges ugys oly vgyo votkozó hszosságfüggvéyt s zol, melykél egy zoos kockáztos helyzet kockázt pémum z duló vgyo függvéyébe változk, de olyt s, melyél kockázt pémum em függ z egyé vgyo helyzetétől. Az lább ábá két hszosságfüggvéyt ábázoltuk. dkettőél zoos duló vgyohelyzetekből W 0 és W 0 dítottuk ugyzt kockáztos változtot: 50-50%-kl egy-egy kpcsos záóely vgyo yeését vgy vesztését. Láthtuk, hogy míg felsőél kockázt pémum em változk, ddg z lsóál ge vgyo övekedésével csökke. A kockázt pémumokt z ábá külö kemelve ábázoltuk. A felső hszosságfüggvéy kosts bszolút kockáztkeülést mutt, hsze tt kockázt pémum z duló vgyotól függetleül álldó. UW RP W W 0 W 0 4. áb: Hszosságfüggvéyek kosts és változó csökkeő bszolút kockáztkeüléssel. A kosts bszolút kockáztkeüléshez mtemtklg lleszkedő hszosságfüggvéye egtív expoecáls lkú lye z áb felső függvéye s: 3 4 hol z bszolút kockáztkeülés együtthtó, >0. U W W e 7. Ez ém egyszeűsítés, egésze potos hszosságfüggvéy göbületéek métékét ellemző muttó, mely hszosságfüggvéy másodk és z első deválták háydos, pktkusság okból hogy poztív éték legye míusz eggyel szoozv. Bevezetőüke tektettel Aow Ptt-muttószámk s szokás evez. Ilye esetekbe kockázt pémumot gfkus úgy kpuk meg, hogy két zoos eséllyel bekövetkező állpotb yeésko és vesztésko fellépő hszosságokt összekötük, md kpott egyees felezés potáál zz váhtó hszosság sztéél vízsztest húzv megkeessük hszosság függvéy lye hszosságot dó potát. Az ehhez ttozó vgyogyság hszossággöbe dott potától függőlegese lefelé d zt vgyot, melyek hszosság megegyezk kockáztos változt dt váhtó hszossággl. Az eedet vgyoszt zz W 0 és W 0 és z így kpott vgyoszt között külöbség d kockázt pémumot RP. 3 Temészetese ezt z lpfomulát tovább kostsokkl tovább lkíthtuk. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

0 Temészetese z bszolút kockáztkeülés em feltétleül álldó, z embe kockáztkeülése változht vgyo függvéyébe, zz megkülöböztethetük övekvő, kosts vgy csökkeő bszolút kockáztkeülés kktesztkákt. Ptt mukásság lpá úgy vélük, hogy z embeek gy észée csökkeő bszolút kockáztkeülés ellemző, zz vgyo övekedésével egye ksebb összegek kompezálk ugyzo kockáztos helyzet válllásáét, kockázt pémum z duló vgyo övekedésével csökke. Ilyet mutt z előző áb lsó hszosságfüggvéye. Ehhez vezetük be eltív kockáztkeülést eltve sk veso, melyél kockáztkeülést kockázt pémum és z duló vgyo szoztkét gduk meg. Kosts eltív kockáztkeülésől kko beszélük, mko egy dott kockáztos helyzetet és pesze egy dott embet tektve kockázt pémum és z duló vgyo szozt álldó, zz kockázt pémum z duló vgyo ecpokávl változk tehát folymtos csökke. 5 Úgy s modhtuk, hogy kosts eltív kockáztkeülésél z bszolút kockáztkeülés együtthtó változk csökke z duló vgyo métékébe k ecpok szet A/W. 6 Itt s tláluk oly mtemtk függvéyt, melyk kosts eltív kockáztkeülést d, ez hszosságfüggvéy-lk htváyktevős ellegű: A W U W, h A A U W lg W, h A 8. hol A eltív kockáztkeülés együtthtó, lg. pedg tízes lpú logtmust elöl. 7 A fet áb lsó, csökkeő kockázt pémumokt zz csökkeő bszolút kockáztkeülésű együtthtót ábázoló függvéye egyébkét lye ktevős ellegű. Fotos, hogy egy dott embee ellemző kosts eltív kockáztkeülés együtthtó A, eltektve szélsőségesebb gdozású esetektől, külöböző szmmetkus kockáztos helyzetek vszoylg stbl megmd. 8 vel kosts eltív kockáztkeülés együtthtóú hszosságfüggvéyekek mtemtklg két változt v kosts z A specáls eset mtt, így vlóáb háom lpváltoztól beszélük, melyek közül kettőe gz z álldó A feltételezés. 9 Ezek egy-egy kokét pméteekkel megdott függvéyéek összevetését szolgál z lább áb: 4 egegyezzük, hogy ksebb ±x szóódású kockáztos esetekél kockázt pémum közelítőe x. 5 A eltív kockáztkeülés együtthtó vlóáb z bszolút kockáztkeülés együtthtó és z duló vgyo szozt. vel ksebb szóásokál kockázt pémum és z bszolút kockáztkeülés együtthtó egymássl áyos lásd előző lábegyzet, így kosts eltív kockáztkeülésél, mko z bszolút kockáztkeülés együtthtó z duló vgyo ecpokávl változk, kockázt pémum z duló vgyo ecpokávl áyos változk. 6 Az expoecáls hszosságfüggvéyél s, hol z bszolút kockáztkeülés álldó, eltív kockáztkeülés vgyo függvéye lesz: AW. 7 Temészetese függvéy külöböző kostsok bekttásávl tovább lkíthtó. 8 egegyezzük, hogy ksebb ±xw szóódású kockáztos esetekél x W, zz x A étékkel áyos kpuk kockázt pémumot. 9 egegyezzük, hogy egy tovább léyegesebb vgyo votkozó hszosságfüggvéy fomát, égyzetes változtot külö em tágyluk. Eek lpképlete: UW W bw. Eél z bszolút kockáztkeülés együtthtó /W, míg eltív. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

UW,50,00 0,50-3 4 5-0,50 -,00 -,50 U W e W A W U W, A 4 A U W lg W W 5. áb: Háom tpkus vgyo votkozó hszosságfüggvéy összevetése. 30 Áttektve két főbb megközelítés, zz kosts bszolút és eltív kockáztkeülést, vouk le éháy fotosbb áltláos következtetést. Kezdük zzl, hogy meybe egy dott embe kockáztkeülés tuldoságát csk egyetle pméteel kíváuk ellemez, ekko célszeű kosts eltív kockáztkeülés együtthtó A építeük, hsze ez függetle szób fogó személy vgyoától, ádásul téyleges embe kockáztos dötésekek vszoylg ó közelítésű leíó s. E feltételezések ylvá gy előye, hogy mde embehez csk egyetle kockáztkeülés pmétet kell edel z A-t, mek így méése sem tűk eméyteleek lásd lább. Az bszolút kockáztkeülés álldóság feltételezéséek s lehetek zob előye. Ekko ugys egy kockáztos lehetőséghez vgyouk pllty állásától függetleül mdg ugykko kockázt pémumot edelek z embeek, zz kockázt pémumok vgyofüggetleek leéek. Ekko tehát kockáztétékelésél vgyo htásokt fgyelme kívül lehet hgy, meybe egy kockáztos helyzet válllásáét x kockázt pémumot kompezácót vá el vlk, kko eze z x pémumelvááso kko sem változtt, h dötése előtt vgyo megváltozk. 3 Jobb megvzsgálv kosts bszolút és eltív kockáztkeülés mtemtk feltételet, észevehetük, hogy mdezek pllty vgyohoz képest em szélsőséges kockáztok, zz vgyo em szélsőséges gdozás lehetősége eseté, közelítőe mdkét hszosságfüggvéy-lpesete z expoecáls és htváyktevőse s elfogdhtó közelítések. A egtív expoecálsál, melyél z bszolút kockáztkeülés együtthtó álldó, eltív kockáztkeülés együtthtó W, zz W vgyo szeéyebb gdozás mellett közel álldók tekthető. A htváyktevős hszosság függvéyél, melyél pedg eltív kockáztkeülés együtthtó A álldó, z bszolút kockáztkeülés együtthtó A/W, m vgyo szűkebb ttomáyáb szté álldók tekthető. Azzl megkötéssel tehát, hogy dötéshozók vgyo szélsőségese em gdozht kockázt eedméyeképpe, közelítőe elfogdhtuk kockáztkeülés áltláos egyé méőszámák z A bszolút kockáztkeülés 30 E függvéyek veze következők ezeke kko v szükségük, mko hszosságétékekből vgyoétékeket kíváuk számít, pl. bztos egyeétékesekhez: Wl U; [ ] A U W U A ; W 0. 3 Amúgy vgyo htások md kockáztos helyzetek étékelésee s gzk tűek, lletve számos ószág eseté s ellegzetesek. koökoómáb z ú. feo ószágok lyesmk, ezekél övedelem övekedésével csökke fogysztott meység, lletve hsoló eleséget tláluk Gffe-vk eseté s. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

együtthtót, de egybe zt s, hogy z embeek egy-egy kockáztos helyzettel kpcsoltos étékese zz kockázt pémum megdás függetle vgyo htásoktól. I.. Reltív kockáztkeülés együtthtó méése Az egyéek kosts eltív kockáztkeülés együtthtó vszoylg ól méhető. Áltláb befektetés megfotolásokkl kpcsoltos felméések és hpotetkus helyzeteket ttlmzó kédőívek, vlmt téyleges befektető mgttás kétékelése lpá póbálák mé ezeket. v A kédőíves megoldás két, tlá leggykbb hvtkozott változtot muttuk be. Az elsőt Bsky és szezőtás 997-be dolgozták k. v A következő kédése kell felelük: Tegyük fel, hogy Ö z egyedül keeső csládb, és egy oly ó állássl edelkezk, mely mk megfelelő fzetést gtál élete végég. Lehetősége dódk zob egy hsoló ó ú állás, mely 50-50% eséllyel megduplázz éves fzetését vgy z x%-á csökket. Elfogdá z ú állást? Ezutá zt vzsgálák, hogy válszdó fzetéscsökkeés mekko x%-ág vló csökkeésél válsztá z ú állást. Ezutá következő egyelőségből lehet kdul C válszoló eleleg fzetését mutt: 0,5U C 0,5U xc U C 9. Levezethető, hogy ezutá kpcsolt x és A eltív kockáztkeülés együtthtó között z lább: x A A, h A 0. Az lább táblázt közel eze 5 és 6 év között mek lkos válszk összegzését mutt. A szemléletesség kedvéét 50 eze $ eleleg fzetéssel klkulálv, lletve z eek megfelelő kockáztos étékekkel: x% A Csökketett fzetés Váhtó éték Válszdók Kockáztkeülés ktegóák 0,0% 0,0 0 50.000 3% Külööse lcsoy 50,0%,0 5.000 6.500 % Ngyo lcsoy 66,7%,0 33.350 66.675 75,6% 3,0 37.800 68.900 % Alcsoy 80,0% 3,8 40.000 70.000 84,0% 4,8 4.000 7.000 86,8% 5,8 43.400 7.700 Közepes 88,8% 6,8 44.400 7.00 90,0% 7,5 45.000 7.500 90,6% 8,0 45.300 7.650 64% gs 9,0% 9,3 46.000 73.000 93,5%,3 46.750 73.375 Ngyo mgs 94,5% 3,3 47.50 73.65 95,0% 4,5 47.500 73.750 Külööse mgs Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

3 A másk kédőíves változtot H és Ldmood dolgozt k 004-be. v Itt kédőív yugdíkostukcók között válsztásból állpít meg A étékét. Az lpkédés következő: Tegyük fel, hogy Ö éppe most készül yugdíb voul, és yugdíát lletőe z lább két lehetőség közül válsztht: Az A lehetőség yugdízás előtt éves övedelmével megegyező éves övedelmet kíál. A B lehetőség 50% eséllyel z eddg éves övedelméek dupláát kíál, zob ugyekko vlószíűsége k s, hogy Ö ezetúl eddg övedelméél csk x %-kl ksebb éves összeghez ut. Ö semmlye egyéb övedelemmel em edelkezk md yugdís éve ltt. de övedelem dózás utá étedő. E kédést z x% helyée beít 50%, 33%, 0%, 0%, 8% és 5% változtok mellett teszk fel, válszdást ábávl s segítve. A B~5% B~8% B~0% B~0% B~33% B~50% Temészetese téyleges kédőív mellékelve yból boyolultbb, hogy kédésől kédése ugálv mdg két változt közül kell válszt úgy, hogy végül válszdó z egyk éték elfogdás mellett, md gyobb, md ksebb étéket ttlmzó válszt elutsíts. Temészetese z ábák s külö-külö ttlmzzák z dott B változtot. A kpott eedméy lpá kockáztkeülés mősítések és étékek következők: x% ősítés A 50%-ál több külööse lcsoy 0,5 0 33 50% gyo lcsoy,5 0 33% lcsoy,9 3,8 0 0% közepes 5,7 3,8 7,5 8 0% mgs 8,4 7,5 9,3 5 8% gyo mgs,9 9,3 4,5 5%-ál kevesebb külööse mgs 6 4,5 Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

4 Összességébe zt modhtuk, hogy kédőíves felméések gyából 7 köül átlgos 3 33 34 35 eltív kockáztkeülés együtthtót métek. Az lább ábá felméések egy ellegzetes eedméyét muttuk be, emek szet botásb tt z átlgéték 4 köül. 3 egegyezzük, hogy Holt és Luy tulmáyáb Rsk Aveso d Icetve Effects. Amec Ecoomc Revew, Decembe, 00 hpotetkus tétek mellett vlód tétekkel s szembesítette megkédezetteket. Felméésükbe 75 egyesült állmokbel egyetem hllgtót votk be háom egyetemől. Legfotosbb megállpításuk, hogy tétek övelése em változttt meg megkédezettek mgttását egésze ddg, míg hpotetkus tétekől volt szó. Amt zob kuttók vlód téteke tétek át, kíséletbe észt vevők koábbál óvl kozevtívbb dötéseket hoztk. Holt és Luy felsmeése szet fktív tétekkel végzett kíséletekből csk óvtos következtetések vohtók le megkédezettek téyleges mgttásá vlós dötés helyzetekbe. Foás: Czchesz, G. Hocs, I.: gyoszág megtkítók kockáztválllás hldóságák vzsgált. Hteltézet Szemle, VI. évf.. szám, 007. 33 Post, Bltusse és V de Assem tulmáyáb Del o No Del? Decso mkg ude sk lge-pyoff gme show. Juá, 006 éppe ee meglátás lpozv ével mellett, hogy eletős gyságú vlód téteket felvoulttó tv-show-k elemzése kváló lehetőség észtvevők vlós kockáztválllás hldóságák becslésée. A szezők má gyoszágo s sugázott Áll z lku? című műso 53 holld és usztál dásák elemzésével utk, hogy 0 50 000 euó kezdő vgyoú észtvevők eltív kockáztkeülés muttó bá eletős külöbségeket muttott gyából és között mozgott. A külöbségek észbe mgyázhtók voltk áték meete soá elszevedett veszteségekkel. A áték ko szkszáb bekövetkezett veszteségek kockáztkeülést övelték, míg gy yeeségek gyobb kockáztválllás skllták átékosokt. Foás: Czchesz, G. Hocs, I.: gyoszág megtkítók kockáztválllás hldóságák vzsgált. Hteltézet Szemle, VI. évf.. szám, 007. 34 A mkosztű, ggegált dtok hszált szté k z géyek póbál megfelel, hogy e hpotetkus téteket és elképzelt helyzeteket, hem házttások téyleges pézügy dötéset lehesse elemez. A befektető mgttások kétékelésée többek között fogysztás dtokból, észvéypc hozmokból és házttások eszközllokácós dötéseből póbálták becsül lkosság kockáztkeülés együtthtóát. A külöböző becslések eedméye felhszált dtok és becslés módszeek függvéyébe eltéő eedméyeket hoztk, de z Egyesült Állmok és számos yugt-euóp oszág fogysztás dtt felhszáló elemzések többsége eltív kockáztkeülés együtthtó métékét és 6 közé tette H, Gutte és F: A mesue of sk tolece bsed o ecoomc theoy. Fcl Couselg d Plg,, 00. Foás: Czchesz, G. Hocs, I.: gyoszág megtkítók kockáztválllás hldóságák vzsgált. Hteltézet Szemle, VI. évf.. szám, 007. 35 ásészől vszot észvéypc kockázt pémumok lkulását elemző modellek eltív kockáztkeülés muttó gyságát 30 40 közé teszk. Az együtthtó lye météke eáls mgsk modhtó. A 30-s éték például zt eleteé, hogy vlk egy oly áték elkeüléséét, melyek kmeetele 50%-os eséllyel meglévő vgyo megduplázódás, 50%-os eséllyel megfeleződése, vgyoák 49%-át hldó lee kfzet. A megfgyelt kockázt pémumból dódó kockáztkeülés együtthtó eáls mgs métékét, vgy másképp foglmzv, észvéypc kockázt pémumák közgzdság modellekkel eheze dokolhtó gyságát hívák szkodlomb equty pemum puzzle-k. Foás: Czchesz, G. Hocs, I.: gyoszág megtkítók kockáztválllás hldóságák vzsgált. Hteltézet Szemle, VI. évf.. szám, 007. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

5 40% 30% Féfk Nők 0% 0% 0,5,5,9 5,7 8,4,9 6,0 Külööse lcsoy Ngyo lcsoy Alcsoy Közepes gs Ngyo mgs Külööse mgs A 6. áb: Reltív kockáztkeülés együtthtó eloszlás emek szet. v Végül tektsük meg következő ábá bemuttott, külöböző A kosts eltív kockáztkeülés együtthtóú hszosságfüggvéyeket! Ezzel kpcsoltos említük meg, hogy legkább csk kockáztkeülő embeek tpkus vgyo votkozó hszosságfüggvéyet tektettük, most ábázoltuk kockáztközömbös A 0 és kockáztkedvelő A hszosságfüggvéyt s. 36 UW 8 7 6 5 4 3 0 - - -3-4 -5 A A A4 A8 A- 3 A0 W 7. áb: Külöböző kosts eltív kockáztkeülés együtthtóú vgyo votkozó hszosságfüggvéyek. 36 Ayt zét mdeképpe szögezzük le, hogy bá függvéygöbék ellege léyegese elté, htáhszosság mdegyk esetbe övekszk vgyo függvéyébe. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

6 I.3. Péz hszosság és kockáztkeülés Szkítsuk kssé kéyelmetle vgyo W dmezóvl, és téük át óvl pktkusbb péz elölése: F dmezó. A péz foglmát má koább bevezettük, ekko elvot hszossággl uháztuk fel, mely hszosság z áltl vásáolhtó vk hszosságából fkd. A pézt egyft áltláos, báme beválthtó temékek s tekthetük így telítődés tt s éte lmezhetetle. Bá vgyo métékekét s ó közelítéssel hszálhták pézt holott ez fet, vgyo votkozó áltláos tövéyszeűségekhez em szükséges feltétel, számuk most y elfogdás s elegedő, hogy pézük övekedésével vgyouk s övekszk. Ameybe elfogduk vgyo hszosságfüggvéyeél, lletve kockáztkeülésél tett zo kolátozásukt s, mszet elemzés keetek között eltektük vgyo eltíve dsztkus megváltozásák lehetőségetől, és így eltektük vgyo htásoktól, péz hszosságfüggvéye potos oly tuldoságúk leszek, mt vgyo hszosságfüggvéye. Ameybe z duló vgyotól vló függetleség feltételezhető, kko elég csk vgyo megváltozásá, zz egy dott ügylet mtt F pézlkulás kocetáluk. Vzsgáluk meg kédést két oly embe esetée, kkek vgyo votkozó hszosságfüggvéye: U W e W A W U W, h A A hol z bszolút kockáztkeülés együtthtó, A pedg eltív kockáztkeülés együtthtó. Iduló vgyouk legye zoos W 0. Kockáztkeülésük duló vgyouk szűkebb köyezetébe szté legye zoos: 4 és A 4. Oly kockáztos F összegek elé állítsuk mdkettőt, melyek p vlószíűséggel 0 összeget dk és p vlószíűséggel X összeget. F váhtó étéke és szóáségyzete tehát következők szet dódk: E F p 0 p X p X 0 E F p X E F p E F p X E F F p A váhtó hszosságk következők: E 4 4 X [ W F ] p e p e E U 0 4 X [ U W F ] p p 0 4 4 dezek utá vzsgáluk meg mdkettőél, hogy mkét lkulk 0,, 0, és 0,3 váhtó hszosság sztekhez bztos egyeétékesekhez ttozó EF F étékpák. A kpott eedméyeket z lább ábáb foglltuk össze. Az ábá pöttyözött volll z expoecáls, míg szggtott volll htváyktevős hszosság függvéyhez ttozó étékeket ábázoltuk. A sm vol 0,5 meedekségű közelítést mutt. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

7 EF 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0,5 F U 3 U U 0,0 0,04 0,06 F 8. áb: Kockáztos összeg váhtó étékée és szóáségyzetée votkozó közömbösség tékép péld lpá. 37 A fet példá keesztül szekesztett hszosságálldó göbék egy dott kockáztos öszszege votkozó váhtó éték szóáségyzet közömbösség téképet lkotk. Egy-egy közömbösség göbe egymássl közömbös vszoyb álló zoos váhtó hszosságokt yútó változtokt ószágokt epezetáló potok hlmzából áll. A közömbösség göbék koább Neum ogeste-xómákból s következő fotos ellemzőekét említük meg, hogy em metszhetk egymást, zz egy poto csk egy göbe mehet át. A göbék egyéek váhtó éték és szóáségyzet között váltását mutták. Ameybe szóáségyzet övekszk F-fel, hhoz, hogy hszosság szt e változzo, EF-fel övekede kell váhtó étékek s. Ezt cseeáyt ellemezzük z ú. helyettesítés átávl, képlet szet EF/ F háydossl, geometlg pedg csee köyezetébe lévő göbemeedekség- 37 A göbék éháy potá votkozó eedméyeket tábláztb s összefoglltuk: U Expoecáls U Htváyktevős p 0,000 0,40 0,58 0,586 p 0,000 0,40 0,544 0,609 X 0,00 0,00 0,300 0,400 X 0,00 0,00 0,300 0,400 EF 0,00 0,0 0,4 0,65 EF 0,00 0,8 0,37 0,57 F 0,000 0,00 0,0 0,039 EF 0,000 0,00 0,0 0,038 közelítés 0,00 0,0 0,097 0,088 közelítés 0,00 0,099 0,09 0,080 U Expoecáls U Htváyktevős p 0,000 0, 0,30 0,363 p 0,000 0,7 0,337 0,40 X 0,00 0,300 0,400 0,500 X 0,00 0,300 0,400 0,500 EF 0,00 0,36 0,76 0,39 EF 0,00 0,3 0,65 0,300 F 0,000 0,05 0,034 0,058 EF 0,000 0,06 0,036 0,060 közelítés 0,00 0,06 0,08 0,03 közelítés 0,00 0,00 0,94 0,79 U 3 Expoecáls U 3 Htváyktevős p 0,000 0,5 0,9 0,3 p 0,000 0,43 0,6 0,79 X 0,300 0,400 0,500 0,600 X 0,300 0,400 0,500 0,600 EF 0,300 0,350 0,404 0,46 EF 0,300 0,343 0,387 0,433 F 0,000 0,07 0,039 0,064 EF 0,000 0,00 0,044 0,07 közelítés 0,300 0,35 0,37 0,333 közelítés 0,300 0,304 0,300 0,88 Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

8 gel. A helyettesítés átát egyetle pot ételmezve geometlg z dott potb húzott étő meedekségée godolv z ú. helyettesítés htáátát kpuk meg. A helyettesítés htáát megegyezk htáhszosságok áyávl. Azt s modhtuk, hogy helyettesítés át dott esetükbe F EF-be kfeezett hszosságát mé elletétes előellel. 38 A fetebb s ábázolt közelítés szet em szélsőséges kockáztok eseté tekthetük helyettesítés htáátát álldók zz göbét fede egyeessel közelíthetük, és e közelítések ge egyszeű képlete s dódk: 39 U W 0 F U W CE U W U CE E F 0,5 F U F E F 0,5 F 0 0 U CE U W 0 E F 0,5 F. 38 koökoómáb közömbösség göbéket edszet két áltláos temék között szoktuk ételmez. Tektsük A potot, és csökketsük Q b meységét Q b -vel. Ahhoz, hogy fogysztók hszosság szte e változzo, ószág meységéek Q -vl vló övelése szükséges B pot. Léyegébe tehát Q b -t feláldoztuk elcseéltük Q -vl. Itt ez helyettesítés át, képlet szet Q b / Q háydos, geometlg ez két potot A és B összekötő egyees meedeksége. Poztív számkét ételmezzük, így vlóáb egtív meedekség bszolút étékét tektük helyettesítés áták. Az lább ábá egy ellegzetes, ól vselkedő közömbösség göbét láthtuk. Jellegzetességét egtív meedeksége és ogó vló kovextás d. A helyettesítés átát egyetle pot ételmezve geometlg z dott potb húzott étő dq b /dq meedekségée godolv tt s helyettesítés htáátát kpuk meg. Az ábából ól láthtó, hogy helyettesítés htáát közömbösség göbe meté obb hldv folymtos csökke z étő egye lposbb lesz, zz fogysztó csk egye gyobb dq meységek elfogysztásáét hldó lemod dq b -ől. Az eddgekbe csk egyetle közömbösség göbét vzsgáltuk. Temészetese egy közömbösség tékép számtl közömbösség göbéből áll, melyek közül kebb lévők mgsbb hszosság szteket elölek. E sztek zob csupá hszosság szet soedet feezk k, hszosság bszolút gyságáól semmt sem modk. Q b Q b Q b Q b0 Q b Q b A B Q b0 A Q U -dq b /dq Q 0 Q Q Q 0 Vegyük észe, hogy szokásos mkoökoóm ábázolásál két poztív hszossággl edelkező temékől v szó, míg esetükbe kockázt szóás egtív hszosságú, ezét tt göbék áy poztív em helyettesít, hem kompezál. Emellett esetükbe közelíthetük álldó helyettesítés htáátávl s. 39 A közelítés mtemtk levezetéséél előbb vgyo votkozó hszosságfüggvéyt kell Tylo-sob fete, így közelíte, md váhtó étéke votkozó függvéyedezéseket elvégez: E U W F U W RP U W RP U ' W [ ] 0 [ W F ] E U W F E F U ' W F E F E U 0 vel E 0 0 F E F 0, és E F E F 0 F, így U W0 RP U ' W U W0 F U" W RP U ' W F U" W U" W RP F 0,5A F U ' W Láthtó, hogy 0,5-es szozó deválás mtt megeleő mtemtk következméy. Q U" W Q Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

9 Azt s láthtuk, hogy helyettesítés htáát cseeáy éppe 0,5A. Jobb belegodolv, tt helyettesítés htáát éppe kockázt pémum és szóás áyát d: RP CE E F 0,5 F RP 0,5 F. Bá külöböző W 0 duló vgyoszteke em készítettük külö számszeű elemzést, yt láthttuk, hogy F kockáztmetes egyeétékesée és kockázt pémumá votkozó közelítő összefüggések má em ttlmzzák W 0 -t, zz ettől függetleek lettek. Közelítéskét tehát elfogdhtuk, hogy egy kockáztos F összeg hszosság függetle vgyo htásoktól. 40 A koább vgyo votkozó dötés modellt, bztos egyeétékest, kockázt pémumot, lletve kosts bszolút kockáztkeülés együtthtót egyszeűe hszálhtuk tehát egyetle kockáztos kmeetelű pézügy művelet, tőkepc csee elemzésée s. Ilyeko bztos egyeétékes z dott kockáztos pézmozgás zoos hszosságot dó bztos pá, míg kockázt pémum kockáztos pézösszeg és bztos egyeétékes között külöbség. Léyegébe koább má bemuttott vgyo votkozó hszosságfüggvéyeket hszálhtuk F W elölés cseékkel, továbbá eltekthetük kezdet vgyogyságtól s. UF F 9. áb: Péz hszosságfüggvéye. Eddg csk dszkét eloszlású kockáztos változtok pl. két kmeet p és p vlószíűségekkel bemuttott étékelésüket teesszük k folytoos eseteke s! temtk smeetek lpá tudhtuk, hogy sok függetle vlószíűség változó összegéek eloszlás szmptotkus omáls eloszlású, tektet élkül változók eloszlásá. Ez z ú. közpot htáeloszlás tételéek léyege. Ameybe tehát elfogduk zt z állítást, hogy egy kockáztos öszszeg lkulás egymástól függetle téyezők htásák összegződésekét dódk, kko egybe kockáztos pézösszeg ellegzetese omáls eloszlását s elfogduk. A kockáztos péz- 40 Itt számos, gecsk boyolult mtemtk levezetést és ézékeységvzsgáltot mellőztük. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

0 összegekől feltételezzük tehát, hogy omáls eloszlású: EF váhtó étékkel és F szóássl. 4 A omáls eloszláshoz kpcsolódó váhtó hszosságétékek potos megdás má gecsk boyolult mtemtk fomulákhoz vezet, így kább csk gfkus megétése töekszük. Az lább ábá egy kockáztos pézösszeget ábázoltuk, melyek lkulás omáls eloszlású vlószíűség változók tekthető, EF váhtó étékkel és F szóássl. Bá egy lye folytoos kockáztos összeg váhtó hszosságát em köyű kokét megd, 4 y köye elképzelhető, hogy váhtó hszosság ksebb lesz, mt váhtó étékéek hszosság. Az ok ylvá ugyz, mt kétkmeetelű dszkét esetekbe. Ugylye okok mtt ylvá bztos egyeétékese s ksebb lesz, mt váhtó étéke. Az ábá elöltük z RP kockázt pémumot s. UF F U[EF] E[UF] RP EF CE F 0. áb: Nomáls eloszlású pézösszeg és kockázt pémum. A koábbk lpá em kell má sokt mgyáz, hogy ylvá kockáztosbb zz gyobb szóású változtokhoz ksebb bztos egyeétékesek, így gyobb kockázt hozmpémumok ttozk md: 4 A omáls eloszlás szóásák ézékeltetésée kválók z ú. szgm-szbályok., 4 és 6 szgm-szbályt szokás említe, utlv, hogy váhtó éték köül háy szóásy ttomáyb helyezkedek el z dtok. A omáls eloszlás ellegéből eloszlásfüggvéy étékeből dódó váhtó éték ± szóásy köyezetébe z dtok 68,7%-, ± szóásy köyezetébe z dtok 95,45%-, ±3 szóásy köyezetébe z dtok 99,73%- tlálhtó. Gyko z gyvolúság s, hogy egyszeűe gyából 95%-ól beszélük ± szóásy köyezete votkozó. 4 A potos képlet F W E F U F e hszosságfüggvéy eseté következő: F F E[ U F ] e e df π F Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

UF E[UF] RP RP RP CE F. áb: Nomáls eloszlású pézösszegek övekvő szóássl és kockázt pémumml. Szeecsée koább dszkét kockázt bemuttott közelítő fomul omáls eloszlások eseté megtt közelítő eeét, sőt, közelítése sokkl potosbb, 43 mt dszkét esetek legtöbbéél, így omáls eloszlás kockáztos összegekél kváló hszálhtó: U F E F 0,5 F 3. I.4. Tőkeköltség Ebbe z lfeezetbe k z ltetívköltségét póbáluk meggd, mko pézt, tőkét fodítuk vlmlye övőbel szté pézbe elzált hszosságét cseébe, zz befektetük, beuházuk vlmbe. vel e költség meggdás eseté s z áldoztot, zz z elvesztett legobb ltetív kíált hszosságot keessük, ezét z ltetív befektetés lehetőségeke kocetáluk. Ehhez kpcsolódv előbb tőkepcot, z tte cseelehetőségeket vzsgáluk meg, egyúttl belátv md, hogy tőkeköltséget keesve logkus egy ugyoly tőkepc ltetív elvesztésée építeük. A pézek, mt eőfoásk specáls tuldoságát tételezzük fel: végtele meységbe edelkezése állók tektük, leglábbs z embe, lletve szokásos üzlet tevékeységek gyságedehez méte. Temészetese em egy-egy embe számá áll ez végteleül edelkezése, hem vlágb, tőkepco. A tőkepco léyegébe pézt, tőkét cseélek péze. Pesze, külöbözek z elcseélt pézek h em külöbözéek semmbe, em sok ételme lee cseéek, mégpedg két dologb: dőtávkb és kockáztosságukb. Fomáls ól v szó, hogy befektetők elebel pézeket más embeek, vállltok vgy eset- 43 A koább lábegyzetbe elzett Tylo-sob fetéses közelítésél vlóáb vlószíűség változó egye övekvő mometumk összegekét közelítük hszosságfüggvéyt. Az első mometum z EF váhtó éték, md másodk F szóáségyzet. A páos számú tovább mometumok szélsőséges étékek előfodulásák esélyét eletk, míg pátl soszámúk z szmmet métékét feezk k. A mgsbb számú mometumokt tektve vszot omáls eloszlás m telese szmmetkus ge kedvező, így csk z első két mometum támszkodó közelítés esetébe gecsk potos. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

leg z állm edelkezésée bocsáták vlmlye később dőpotok szóló pézövedelem ígéetéét cseébe pl. észvéyét vgy kötvéyét e cseék szíhelye tőkepc. Úgy tektük tehát, hogy végtele tőkepc bámko, bámey pézt kölcsööz kész, pesze em gye; koább hszáltáét, esetleg kockázttásáét fzete kell tuldoosk, de múgy bámko, bámey edelkezésüke áll. vel végteleek tektük, kölcsövételeko, hszáltko em számoluk övekvő htáköltségekkel, hsze másho elvoásk ebbe felfogásb végtele meységél cseek emelkedő egységköltsége. A tőkepcot tektve még tovább feltételezéssel s élük: tőkepc tökéletességét s feltételezzük, zz tökéletes tőkepcot tektük. A tőkepc tökéletességéek feltételezéséből két, számuk kemeledő észlet következk. Az egyk, hogy tzkcós költségektől metes tőkepcól v szó. A tzkcós költségek tőkepco vlóságb s ge lcsoyk. Feltételezzük másészől, hogy htékoy tőkepc ázássl v dolguk. A tőkepc ázás htékoyság vlób leyűgöző. 44 d két feltételezés levezethető egyébkét szte végtele sok és ól fomált eldó és vevő vesegéséből. Ez szoít le tzkcók leboyolításák költséget, ez okozz továbbá z ázás htékoyságát s, m gyából yt elet, hogy mde, mdg éppe yb keül, mey z embeség pllty teles tudás lpá zét eáls, omáls. A tőkepc végteleségéből és tökéletességéből szbott, egységes pc ák s következek. Ez yt elet, hogy ugyk dologk meységétől függetleül hsze végteleül áll edelkezésüke, mdg, 45 mdehol zoos kell legye z egységá. vel tőkepc műveleteket dőttmuk és kockáztosságuk lpá külöböztetük meg, így z ugyzt ugyoly dőtávú és kockáztú pézügy temékek dák. Esetükbe z egységes szbott pc á ylvá vlmlye egységes hszokt s elet md: z ugyoly tőkepc befektetés lehetőségek ugyoly hszokt s kell kíálk. V zob még egy léyeges következméye mdeek: tőke ltetívköltségét mdg tőkepc ugyoly lehetőségeek ezek z egységes hsz dák. ét? Egyészt zét, met tökéletes tőkepccl szbd belépés lehetőség s tásul, zz eek lehetősége mdyuk előtt ytv állk, ezek mdg, mdekek ltetívát eleteek. Ameybe tőkepc vlmlye befektetését vlmlye egységes, dott sztű hszot kíál, kko z ugylye más befektetésekek s leglább ezt sztet meg kell ütük, külöbe gyegébbek leéek leglább egy ltetíváukál. A tőke ltetív költsége tőkepc kíált ugyoly befektetés lehetőség hszál lcsoybb tehát em lehet. ásészt, h tőke végtele meységbe áll edelkezése tőkepc szbott á mellett, kko z ebből fkdó hszosztél mgsbb sem lehet tőkeköltség. A tőkepc lehetőségekél obbkt tlálhtuk ugy, de ezek megvlósításához cs szükségük más, szté tőkepc lehetőségekél obbkól vló lemodás, hsze z lcsoybb tőkepc szte végtele foás áll edelkezése. A tőkepcál obbk egymássl em veseyezek tehát, ezeke md v tőkepc szte foás. Ebből fkdó tőkeköltség tőkepco kíált ugyoly befektetés lehetőség hszál mgsbb sem lehet. Összefogllv: tőke ltetív költségét, zz tőkeköltséget, végtele és tökéletes tőkepc eseté z ugyoly ugyoly dőtávú és kockáztú tőkepc lehetőségek kíált egységes hszok dák. Ez z ok k, hogy tőkeköltség megdásához tőkepc ázást, tőkepco klkuló hszok mbelétét vzsgáluk. Az ugyoly ugyoly dőtávú és kockáztú befektetés lehetőség foglmák köyebb meggdhtóságáét, z dőtáv ész egyszeűsítéséhez z egységy dőtáv vló 44 Ezzel kédéssel Befektetések tágyb észletese fogllkozuk. 45 á meybe fogysztó pefeecák dőbe álldók, mt most feltételezük s. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.

3 áttééshez gyos be s vezetük kmt, lletve hozm foglmát. 46 Ezek ltt áltláosságb következőt étük: 47 F F0 F 4. F F 0 hol kmt vgy hozm, F 0 kölcsödott befektetett összeg kdás és F vsszkpott összeg bevétel. A kfeezésbe 0 dex ele dőplltot szmbolzál, míg z dex egy később pllt edszet egy évvel későbbe utl. Az összefüggés oldlt 00- zl szoozv %-os fomát kpuk. A kmtos kmtozódás s eze elv szet működk : 0 F F0 5. hol z eltelt dőegységek pl. évek szám. Kmtos kmtozásál s zt tételezzük fel tehát, hogy kmtozó lpösszeg mdg csk dszkét dőpotokb, z egyes dőszkok végé övekszk. Szkszeűe úgy moduk, hogy csk z egyes dőszkok végé tőkésítük. Dszkét dőpotb tötéő hozmövekedést tételezük fel tehát, léyegébe zt, hogy z dőplltb pl. z év végé F 0 hozmgyság hozzádódk kezdet F 0 összeghez. Például legtöbb bkbetét kmtozás ezt z elvet követ. 48 Gyos tsztázzuk zt s, hogy megkülöböztetük omáls kmtot és eálkmtot hozmot s. A omál szó eedet eletése szet áít kmt, lletve hozm mgáb fogll z flácót s, míg eál z ttól megtsztított, vlóságos övekedést mutt. A kettő összefüggése következő: 49 6. oml eál flácó A szozást elvégezve, md z összefüggést átedezve z áltláos hszált közelítő eedméy dódk: 46 Ezt egyébkét smét egy feltételezett tőkepc tuldoság építük, végtele lkvdtás, zz, hogy bámt bámko vehetük és el s dhtuk. Ebből fkdó z dőtáv má telese uglmssá, kovetálhtóvá válk, célszeű egységye ve, így vzsgál. 47 vel hozm kfeezés má gykoltlg összemosódott kmt, lletve kmtláb foglmávl, így tlá obb elkeül ezek megkülöböztetését s. Koább mgy szkodlmk szte mdegykébe megtlálhtuk e foglmk émleg elkülöítő defícóát. Lásd pl.: Szező mukközösség: Pézügyt. Sldo, Budpest, 99. 48 A hozm foglmák ez z ételmezése z áltláos esetek csk egy leegyszeűsített változt. Áltláos ételmezve ugys folymtos övekedést, folymtos tőkésítést képzelük el. Ee megközelítése később tulmáyk soá még észletesebbe vssztéük. A két kmtfoglom összefüggése következő: eff lm m m m e hol m z dőegység ltt tőkésítések szám, eff pedg z effektív, vlós hozm. eff -et szokás kmtteztásk s evez, bá m keülük eek z elevezések hszáltát. Alógkét szokták megemlíte z edők fmeységéek övekedését. Itt s folymtos övekedést észlelhetük, hsze mde úbb htás ögtö öveked s kezd, pot úgy, hogy folymtos kmtozás esetébe. egegyezzük, hogy két hozmszámítás dt étékek hétközp kmtgyságok eseté léyegese em téek el, így közp hszált legtöbbszö em okoz eletős hbát. Pl.: 0% hozm effektív pá l. 0,953, zz 9,53%. A két összefüggés közvetle kpcsoltából z s következk, hogy külöböző modellek ételmezését em befolyásol z egyk vgy másk megközelítés válsztás, k elleée, hogy z utóbb z effektív helyesebb. 49 Ez z ú. Fsche-képlet, Ivg Fsche mek közgzdász yomá. Ado Gyögy ~ Pézügy elemzések I., Budpest űszk és Gzdságtudomáy Egyetem, Pézügyek Tszék, Budpest, 0.