Mezei Elemér Veres Valér TÁRSADALOMSTATISZTIKA

Átírás

1 Meze Eleér Veres Vlér TÁRSADALOMSTATISZTIKA

2 Készült z Apácz Közlpítváy és RODOSZ táogtásávl Lektorált: Mgyr Tvdr Meze Eleér, Veres Vlér Edtt de Pres Uverstră Clueă, 00 Kolozsvár Egyete Kdó, 00 ISB /Meze Eleér Veres Vlér: Sttstcă Soclă. Curs uverstr/ Tprul eecutt l GEWALT Clu

3 BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁYEGYETEM Meze Eleér Veres Vlér TÁRSADALOMSTATISZTIKA Egyete egyzet Egyete Kdó Kolozsvár 00

4

5 Trtloegyzék I.rész. A TÁRSADALOMSTATISZTIKA ALAPJAI. A TÁRSADALOMSTATISZTIKA, MIT TUDOMÁY...9. STATISZTIKAI ISMÉRVEK (VÁLTOZÓK) MÉRÉSI PROBLÉMÁK A TÁRSADALOMTUDOMÁYOKBA (VV) ALAPFOGALMAK (VV) ADATBÁZIS LÉTREHOZÁSA (ME)....4 A VÁLTOZÓK TÍPUSAI (VV) A érés skálák típus A változók típus ADATOK ELOSZLÁSA, GRAFIKUS MEGJELEÍTÉSE (VV) A VÁLTOZÓK ÉRTÉKEIEK ELOSZLÁSA Dszkrét dtok eloszlás Folytoos dtok eloszlás KÉT VÁLTOZÓ EGYÜTTES ELOSZLÁSA, KOTIGECIA-TÁBLÁK GRAFIKUS ÁBRÁZOLÁSI MÓDOZATOK AZ ADATOK ÖSSZEGZÉSÉRE HASZÁLT STATISZTIKAI MUTATÓK A CETRÁLIS TEDECIA MÉRŐSZÁMAI A (szát) átlg (ME) A edá (VV) A pozcoáls értékek (VV) A ódusz (VV) A SZÓRÓDÁS MUTATÓI A rge (VV) A kvrtls devácó (VV) Az átlgos eltérés (VV) A szórás és szóráségyzet (vrc) (ME) A szórás tuldoság. Két változó kovrcá (ME) Az átlg és szórás kszáítás részeredéyek lpá (ME) VALÓSZÍŰSÉGSZÁMÍTÁS ALAPFOKO (ME) KÉT VÁLTOZÓ KÖZÖTTI KAPCSOLAT MÉRÉSE MIŐSÉGI VÁLTOZÓK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK (VV) A χ -prób A χ próbár épülő érőszáok MIŐSÉGI ÉS MEYISÉGI VÁLTOZÓ KAPCSOLATA (ME) Átlgértékek összehsolítás Átlgértékek összehsolítás AOVA-teszttel (F prób) MEYISÉGI VÁLTOZÓK KÖZÖTTI KAPCSOLATOK. A KORRELÁCIÓS EGYÜTTHATÓ (ME) MITAVÉTEL (ME) A MITAVÉTEL MATEMATIKAI ALAPJAI A MITAVÉTEL TÍPUSAI A TÁRSADALOMTUDOMÁYOKBA Egyszerű véletle kválsztás Rétegzett kválsztás Lépcsőzetes kválsztás

6 II.rész. MAGASSZITŰ STATISZTIKAI ELEMZÉSEK. REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS (ME) EGYVÁLTOZÓS REGRESSZIÓK Leárs regresszó Leárs regresszór vsszvezethető eset eleárs regresszók..... TÖBBVÁLTOZÓS REGRESSZIÓK FAKTORAALÍZIS (ME) PÉLDA ARRA, HOGYA HELYETTESÍTHETŐ 4 VÁLTOZÓ 4 FAKTORRAL A FAKTOROK SZÁMÁAK CSÖKKETÉSE A FAKTORAALÍZIS ALAPEGYELETE SAJÁT ÉRTÉKEK, SAJÁT VEKTOROK Értelezések Tuldoságok: KOMMUALITÁSOK (KUMULÁSOK) A SAJÁTÉRTÉKEK ÉS SAJÁTVEKTOROK MEGHATÁROZÁSÁAK HOTELLIG-MÓDSZERE A ódszer leírás A ódszer lklzás TURBOPASCAL PROGRAM A HOTELLIG-MÓDSZER ALKALMAZÁSÁRA A FAKTOROK FORGATÁSA ÉSZREVÉTELEK A FAKTORAALÍZIS KAPCSÁ ALKALMAZÁS AZ SPSS PROGRAM SEGÍTSÉGÉVEL KLASZTERAALÍZIS (ME) A KLASSZIKUS KLASZTERAALÍZIS MÓDSZERÉEK RÖVID LEÍRÁSA A BEMUTATÁSHOZ HASZÁLT ADATÁLLOMÁY A TÍPUSBA SOROLÁS A KÜLÖBÖZŐSÉG MÉRTÉKE: A TÁVOLSÁG A KLASZTEREK KÖZTI TÁVOLSÁG AZ ALGORITMUS ALKALMAZÁS AZ SPSS PROGRAM SEGÍTSÉGÉVEL AZ L-KÖZÉP MÓDSZER (K-MEAS CLUSTER VAGY QUICK CLUSTER) CSOPORTOSÍTÁS A SŰRŰSÉG-MÓDSZERÉVEL Az lgortus részletesebb leírás Az lgortus prétere A ódszer lklzás A ódszer beuttás kokrét péld segítségével III.rész. MELLÉKLETEK. AZ F-ELOSZLÁS (F-PRÓBA) KRITIKUS ÉRTÉKEI P0.05-ÖS SZIGIFIKACIASZITE A T-ELOSZLÁS (AZ T-PRÓBA) KRITIKUS ÉRTÉKEI P0.05, P0.0 ÉS P0.00-ES SZIGIFIKACIASZITEKE) χ -ELOSZLÁS (AZ χ -PRÓBA) KRITIKUS ÉRTÉKEI P0.05, P0.0 ÉS P0.00-ES SZIGIFIKACIASZITEKE)... 9 IRODALOM

7 I. rész A TÁRSADALOMSTATISZTIKA ALAPJAI 7

8 8

9 . A TÁRSADALOMSTATISZTIKA, MIT TUDOMÁY A társdlosttsztk, t eve s utt, z áltláos sttsztk egy sátos változt. Azért e odák zt, hogy egy ágzt, ert sttsztk tetkák egy területe, társdlosttsztkát pedg társdlotudoáyok közé soroluk. Iseretes, hogy z áltláos sttsztkáb, vlószíűségszáításr és gy száok törvéyére lpozv egbízhtó becsléseket lehet végez, felerülő pottlságok száítások részét képezk, hbák áls értéke (stdrd hb) külöböző egbízhtóság sztekhez egdhtó. A társdlosttsztk tudoáyos géyessége s z áltláos (tetk) sttsztká lpul, á z sérvek, változók, uttók és elárások társdl vszoyok sátos érés ódához vk gzítv, így egyes száítások ellege, tetk értelebe vett potosság gyráztr szorul, dőkét kívávlót hgy g utá. A érés szt eghtározás, érés hbák befolyás sátos elleggel bír társdlotudoáyokb. Megtörték, hogy egy ódszert oly dtokr s lklzk, elyek cseek kellő potossággl érve. A társdlosttsztk ezekkel probléákkl s eg kell brkózzo. Bár külö tudoáyág társdlosttsztk, külö eze tére Roááb e képezek szkebereket egyetle egyetee se, vszot ttárgykét oktták külöböző szkoko. A g sátos eébe külöböző társdlotudoáyok, t szocológ, pszchológ, pedgóg, gyógypedgóg, poltológ és közgzdságt segédtudoáyák tekthetük, ely élkül ezeke területeke e, vgy csk korlátozott értékbe végezhetők kuttások. E tudoáyágk eységek evezett ódszert közvetleül társdlosttsztkár épül, zzl összefoódk. A felsorolt tudoáyágk között közgzdságt sátos helyet fogll el, ugys közvetleebbül foódk össze sttsztkávl, tt őség típusú kuttás súly eleyésző. A közgzdságtb áltláb potosbb érés sztekkel v dolguk, d több dszcplíáb, így sok zt godolák, hogy közgzdság elezések e társdlotudoáyok, he terészettudoáyok területére trtozk. A vlóság z, t hogy Morgester (960) egegyz, ttól, hogy vszoylg potosbb érhetők gzdság ellegű dtok, ettől közgzdságt e válk egzkt tudoáyá, és eek egfelelőe ódszertlg ugycsk társdlosttsztkár épülek z elezése. 9

10 . STATISZTIKAI ISMÉRVEK (VÁLTOZÓK).. Mérés probléák társdlotudoáyokb (VV) Ahhoz, hogy egy társdlotudoáy kuttás keretébe sttsztk elezést végezzük oly dtokr v szükségük, elyekkel száol tuduk, eység ellegű összesítéseket végezhetük. A társdlokuttás áltláos ódszert segítségével egtuluk zt, hogy foglzzuk eg egy érdekes kérdést úgy, hogy z kuttás problé legye, továbbá probléár hogy foglzhtuk eg hpotézseket. A hpotézseket koceptulzál kell, ezt követőe kpott dezókt pedg opercolzáluk. A kuttás problé se e több, se e kevesebb, t z bzoyos kérdés vgy kérdéscsoport, elyre kuttásk kell válszt d (owk, 98, 9 p.). Példképp egelíthetük egy pkb gykr előtérbe kerülő társdl probléát: ro lkosság belleszkedése z őket befogdó társdlkb. Erre votkozó külöböző hpotézseket sorolhták fel: () tellektuáls képesség tektetébe cs külöbség roák és több etku tg közt; () ez belleszkedés dőbe és térbe külöbözőképpe zlott le és zlk pkb s; (3) khgsúlyozott eletkező eltérések zért ekkor gyok, ert leglább eyre eltérőek társdl körüléyek; stb. A hpotézs koceptulzálás ltt z értedő, hogy hszált foglkk lye érhető dezót kell egér. Tsztáz kell zt, hogy például z dő szó peródust fed (ásodk vlágháború előtt, , , 990 utá), tér földrz távolságot elet-e vgy csk országhtárt, t kell érte z tellektuáls képesség és társdl körüléyek szvk ltt. Az opercolzálás fázs z, ely eghtározz, hogy rögzíthetük z dtfelvétel sorá vzsgált problé külöböző ellezőt, ttrbútut. E folyt eredéyekét kpuk eg z úgyevezett operácós foglkt. A gykorltb áltláb kérdőíves feléréssel gyűtük dtkt. Ilyekor kérdőív kérdéseek egfoglzás képez z opercolzálás folytát. A kérdésekkel, z operácós foglk segítségével próbáluk egrgd, ér társdl probléák egyes spektust. Egy társdl ttrbútuot zob többféleképpe s opercolzálhtuk, ezért érés eredéye éképp eltérő lehet. Az első problé tehát bból dódk, hogy társdlotudoáy érések z llető ttrbútu egy dott részét tudák egrgd, szerecsés esetbe eletős részét, eellett vszot érés ód sátosságából dódó egrgduk vlt, t e s krtuk ér. Ezt evezzük érés hbák. Ez hb utt eleség és érés ód egfelelése között eltérést. Azt oduk, hogy egy tuldoság vgy foglo érése kkor érvéyes, h érés eredéye tükröz k vlód ellegét, értelét. Egy ásk ehézsége érésekek bból dódk, hogy érés skálák, ellyel rögzíte kruk tuldoságokt, ellezőket e redelkezek y fokozttl, értékkel, t ey foráb e tuldoság egelek vlóságb. Aeybe tuldoságok több árylttl redelkezek, t skál értéke, yb érés egy Prokuszterész ágyhoz hsolíthtó. A vlóságb egy felérés dott célll törték, hol kuttók száol kell tudoáyág és z dtfelvétel korlátvl, ezért z áryltok leérése élkül s eg lehet rgd egy tuldoság előfordulásák léyeges ódoztt. Egy tuldoság érésekor rr s kell törekedük, hogy külöböző szeélyek esetébe (lletve egy ás felérés lklávl s) érőeszközük ugyzt tuldoságot ére és ugyzo szepotból. A érőeszköz zo sátosságát, hogy külöböző helyzetekbe ugyzo tuldoság zoos spektusát rgd eg, egbízhtóságk evezzük 0

11 Arr kell törekedük, hogy z opercolzálás eredéyekét kpott foglk és ek egfeleltetett érőeszközök z összes egkérdezett szeély esetébe ugyúgy éreek, e zt elet, hogy ugyzt z eredéyt kpuk, vel ás-ás értéket, forát, teztást uttht tuldoság több szeélyél. A léyeg z, hogy h két szeély véleéye egegyezk, kkor érőeszköz ezt eg tud állpít egbízhtó ódo. Rövde csk eyt érés probletkááról, erről bővebbet tlál z olvsó külöböző szkágk kuttás ódszertáról szóló írásokb... Alpfoglk (VV) A sttsztk elezések sorá eg kell elölük zt hlzt, elyre votkozk vzsgáltuk. A társdlotudoáy vzsgáltokb ez redszert egy szeélyekből álló közösség, de lehet tézéyek, szervezetek, közgzgtás egységek sokság s. Azo egységek összességét, elyre egy vzsgált ktered, lpsokságk evezzük. Modhtuk ég sokságk vgy populácók s. Például, h válsztó gtrtást szereték vzsgál Roááb, kkor z lpsokságuk például folyó év uár elseé regsztrált, válsztó korú épesség lesz, 000-be ez szeélyből állt. H vzsgáltuk hvtlos sttsztkák, lletve válsztás eredéyek felhszálásá lpul, kkor sttsztk elezés tárgy z egész sokság. A vlóságb vszot száos társdl eleségre e állk redelkezésükre teles körű dtfelvételek, he tát veszük z lpsokságból vllye elárássl, és továbbkb tá végezzük sttsztk elezéseket. A tvétel fogláról és elárásról később szóluk. A kválsztott t eleeről begyűtük szükséges forácókt z elkészített érőeszközök segítségével (elyek redszert egy kérdőívbe vk belefogllv), z összegyűtött dtokt kódoluk és redszerezzük. Így egkpuk sttsztk elezések tárgyát, z dtbázst (ás evé dtátr). Az dtbázsb t (sokság) egységet esetekek evezzük. Mde eset egy sort fogll le z dtátrból. A t (vgy sokság) egysége tuldoságokkl elleezhetők, elyeket vzsgál (ér, d feldolgoz) kíváuk. Az dtbázsb tuldoságok t sérvek, sérv-változtok eleek eg. A tuldoságokk egfelelő sérveket z dtbázsb változókk evezzük. Mde változó egy oszlopot fogll le z dtátrból. A változók előfordulás ódoztt értékekek evezzük. A változók lehetséges értékeek egyást kölcsööse kzárók és teles körűek kell leük.. ábr Egy dtbázs (dtátr) szerkezete változók Sorsz. Q Q Q3 Q4 Q5 Q6 Q esetek t (sokság) eleszá értékek

12 Setkus tehát zt odhták, hogy z opercolzálás sorá yert foglk, tuldoságok érés eredéyekét egfelelő leszek sttsztk dtbázst lkotó változókk. Ez egfelelés zob e teles. Vk oly tuldoságok, elyekél egfeleltetett kérdésből e egy, he több változó s készül. Egy kuttás előkészítése, z dtgyűtés és z dtbázs elkészítése között összefüggésredszert z lább sé fogll össze: érték Kuttás hpotézsek, operácós kérdezés, változók, érték problé koceptulzálás tézsek opercolzálás foglk kódolás sérvek (kérdések) érték.3. Adtbázs létrehozás (ME) Adtbázst több progrb s készíthetük. A legegyszerűbbe z Ecel-be készíthetük el, ert ez progr legelérhetőbb. A progr dítás utá z dtszerkesztő üres táblázt elek eg képeryő, ebbe tábláztb zol írhtuk dtkt. Az első sorb íruk be változók evét, z első oszlop legye dg kérdőív (szeély, egység, stb.) zoosító (év, kódszá, sorszá), több rekeszekbe pedg íruk be egfelelő kérdőívből változók egfelelő értéket. Adtkezelés z SPSS for Wdows-b A tárgylás lp 7.5-ös verzó, de helyekét utlás törték DOS ltt futó SPSS/pc változtokr s. A Wdows ltt verzók degykébe, de DOS ltt változtokb s, prcskötegek közvetleül eüből állíthtók össze, tehát cs szükség szts seretekre. A eüből vló utsításszerkesztés úgy törték, hogy eülstáról egyásb yló dlógusblkot és prcsdobozokt ytuk eg, elyekbe folyttáshoz szükséges lpbeállításokt, prcsprétereket (kpcsolókt) állíthtuk be, és végül dlógusblkbel OK gobr ktttv prcsköteg végrehtódk. Ugykkor lehetőség v rr s, hogy egszerkesztett prcsköteg beíródo egy szövegblkb ( Syt-blkb, h Pste gobr ktttuk), ho futtt lehet, de át s szekeszthetük tt futttás előtt. A Syt-blkb öálló s egírhtuk z utsításokt, eü felhszálás élkül, és vk oly utsítások, elyek csk Syt-blkból futtthtók. A DOS ltt változtok de eüből szerkesztett és kdott prcsköteget z utsításszerkesztő blkb egeleíteek és eek trtlát redszerese és utotkus erevleezre etk. A Wdows ltt változtok csk kkor etk k Syt-blk trtlát, h ezt felhszáló s kr. A korább egírt lye trtlo betölthető és utsítás tetszés szert futtthtók. A Wdows ltt változtok lpvető tuldoság, hogy eldításuk utá z dtszerkesztő (Dt Edtor) blk yílk eg és egyszerre ebből csk egy lehet betöltve (például z Ecelbe egydőbe több dtfált s be lehet tölte, elyek közül egyszerre csk egy ktív). A progr lpbeállítás Már z eleé áltos éháy lpbeállítást eszközöl progrb, ezt z Edt főeüpot Optos dlógusblkáb lehet egte. A dlógus blk több lpo ál külöböző beállításokt, ezeket áltláb fogduk el, de éháyt érdees testre szb, zz sátos értelez. A Geerl evű lpo Dsply Order for Vrble Lsts ezőbe állítsuk be Fle rádógobot (erre utotkus z Alphbetcl kkpcsolódk, t rádó hulláváltó gob, elyből egydőbe csk egy lehet bekpcsolv). Eek z lesz következéye, hogy változók lstá dg z dtálloáyb levő sorredet követ; z ábéce dt sorred zvró lehet, h például változók szá százál s több. Ugyeze Geerl evű lpo áluk z Ope Syt wdow t Strt-up ezőbe Yes bekpcsolását, így Syt-blk s egyílk utotkus progr betöltésekor. Mdkét eddg sertetett beállítás csk progr bezárás és úrdítás utá lesz érvéyes. A következő lp vgtor, eze beállíthtó többek közt z eredéyeket közlő szövegek cíebe betűtípus és éret (Ttle Fot), szöveg tördeléséhez szükséges dtok (Tet Output

13 Pge Sze és Tet Output Fot). Ez utóbb két szövegezőbe Wdth: Wde (3 chrcters) és Legth: Ifte beállítást áluk, lletve zok száár, kk képeryő z pró betűk tt z eredéyeket eheze bögészk, betűéret gyobbítását s. Fotosbb beállítást trtlz z Output Lbels lp, tt z Outle Lbelg ező Vrbles te lbels show s eüblkáb válsszuk k es d Lbels opcót, Vrble vlues te lbels show s ált közül Vlues d Lbels-t. Továbbá, Pvot Tble Lbelg ezőbe dkét eüblkb válsszuk hsoló z előbbhez z áltokt. A több lpo levő beállításoko e ódosítsuk, he dlógusblk OK gobár ktttsuk, d záruk be progrot és dítsuk úr el. Adtálloáy létrehozás Akor progr betöltődött, z dtszerkesztő egy üres tábláztot utt, oszlop degykéek eve vr. A szürke betükkel elölt oszlopok és szürke száokkl elölt sorok ltes (várkozó) állpotb várák z ktvzálást. Ez z életrekeltés többféle képpe törtéhet: legegyszerűbbe úgy, hogy fekete keretes rekeszbe blletyűzetről uérkus értékeket vszük be ( rekesz közvetleül krkterek gépelése ltt üres rd, de táblázt felett szövegsorb láthtó teles teredelébe, ég kkor s, h rekesz szélessége ezt e egedé eg), ekkor z Eter vgy kurzorozgtó blletyűk hszált utá feketére változk változó eve (vr0000, stb.) és sorszá. A változó típus F8. vgy 8., dkettő ugyzt elet: fpotos uérkus változótípus, tárolásár 8 krkter fog szolgál, elyből tzedesegy (gától értedő, hogy egy krkter tzedespot, és szükség eseté egy z előel, tehát z egész rész száár 4-5 krkter rd fö. A változót létrehozhtuk dlógus blkból s, Dt eüpot Defe Vrble áltár ktttv vgy egyszerűe duplát ktttv z oszlopfőre. Az ekkor egeleő dlógus blk (Defe Vrble) első szövegezőébe (Vrble e) olvshtó z érvéyes változóév, t, h vr0000 (vr0000, stb), változtssuk eg. A változóév hossz áls 8 krkter (lehetőleg 3-4 krkterből lkossuk eg), kötelezőe betűvel kezdődk (de kerülük el z o vgy l betüket, elyek száegyekre gyo hsolítk), több krkter betű, száegy vgy z láhúzás ele (lehet ég pot s, de eek hszáltát egyáltlá e álo). Aálo k0, k0,, q0, stb. változóeveket oly esetekbe, kor kérdőív válszokt rögzítük, p999, p000,,p59, stb. elöléseket épességszáot trtlzó változókr, r59, százlékos ráyt trtlzó változók esetébe. A progrb létrehozott ú változók esetébe álo rég változók (elyből szárzk) evéek öröklését, kegészítve egy betűvel rég év elé, például h 5 9 éves épesség százlékos ráyát progr segítségével száoltto k, kkor z ú változók evét áltos p59 rég változóév lpá rp59-re válszt. Be kell állít ég Defe Vrble dlógus blkb változó típusát (Type ), eg lehet d változó év ckéét és változó értékeek eletését hordozó ckéket (Lbels ), z érvéytele válszokt (Mssg Vlues ) és z dtszerkesztőbe képeryő z dt egeleítésére szát oszlopszélességet és sorgzítást (Colu Fort ). A változókk elég sokféle típus válszthtó Type dobozb, ezek közül kettőt elegedő hszál z dtálloáyok létrehozáskor vgy bővítésekor. Ezek közül s gykrbb uérkus (uerc) típust hszáluk, ég őség sérvek ktegórák elölésére s; ásk típus szöveges változó (Strg). Mdkét esetbe eg kell d változó rögzítésére szükséges krkterszáot s. A cke és z érvéytele válsz SPSS sátosság. A prcskötegekbe változó evéek kell szerepele, vszot kor eredéyekről olvsuk (z Output-blkb), változó eve ellett egelehet k leírás s. Ugycsk ó dolog változó értéke ellett olvs zok eletését s. A ckék hossz elég gy lehet, progr külöböző változtb ás-ás áls krkterszá. Gykorlt tpsztlt odt velük zt, hogy 5-30 krkter elég szokott le és hosszbbr e s áltos yút leírást. Hszáluk rövdítéseket, ég h kevese s értk zt eg teles értékbe, és léyeget sűrítsük be z első krkterekbe. Például, h változó korább ár elített p59, kkor cke e épesség szá z 99-es 3

14 épszáláláskor, 5 9 évesek legye, he A 5 9 evesek, 99-es epsz. Tácsuk továbbá z s, hogy cke kezdődö gybetűvel, tovább csk ksbetűk szerepeleek (h e kell tuldoév tt gybetűt hszál) és csk z gol ábéce betűt hszáluk, ert z ékezetes betűk szövegszerkesztőbe átvtt tábláztb ás elkét díszeleghetek. Az érvéytele válszok rr vlók, hogy ezekkel progr e végezze száításokt. H egy szeély e tud válszol egy kérdésre, ert e tud vgy e kr, kkor ezt kódolhtuk 99-el vgy -el, ez kéz száításál kellőe feltűő kód és k tuduk hgy száítás sorá, de progr száár cs feltűő kód, ezt ek be kell táplál. A DOS ltt változtok csk egy Mssg Vlue-t egedtek eg, Wdows ltt SPSS ár többszörös érvéytele válszt s egeged. Jó tud zt s, hogy létezk ugy z bztoságos elárás (és sokszor hszáluk s), hogy z érvéytele válszok eseté z llető rekeszt ürese hgyuk (átugoruk), de ez Syste Mssg (syss) változt e tesz lehetővé például zt, hogy köye egállpítsuk, lye eloszlásúk eválszolók (háy férf és háy ő e válszol egy dott kérdésre, stb.). Aeybe több hsoló típusú, ckéű és forátuú változók v, úgy egyet értelezzük Defe Vrble blkb, zutá ktttsuk z oszlopfőre, egelölve zt, készítsük egy ásoltot erről (Edt/Copy vgy CtrlC), ezutá ktttsuk egyet z értelezedő változó evére és ásoluk be regsztrált változót (Edt/Pste vgy CtrlV). Ezáltl változóéve kívül de ás préter beásolódk, csk változó evéek egváltozttás rd hátr. Vgyázzuk rr, hogy eybe egy rég változót kruk átkeresztel így, változó értéke s egsesülek, ecsk rég eve, cké. Elítést kell teük ég egy dtálloáy létrehozás ódról, éh előyös (h változók szá százál s több), vgy oly esetbe hszálhtó, kor csk rtká férük hozzá SPSS-sel redelkező géphez, de dolgozhtuk gykr olyo, elye csk szövegszerkesztő v. Egy szövegálloáyt kell létrehoz és.sps kteresztéssel, Tet Oly típuskét elete, ely szöveg prcskötegeket fog trtlz, tehát egírásár kcst vgyáz kell. A prcsköteg dg prcsszóvl kezdődk (ebből elég 4-5, de gykr csk z első 3 betűét beír), utá következek leírások, felsorolások, opcók, ezeket egyástól / el válszt el, d legvégé kötelezőe potk kell lee. Egy prcsköteg több képeryősort s elfogllht, sőt tácsos s tördel szövegét, beuttott példák lpá bárk ötletet szerezhet erre votkozó. A továbbkb tt köyvbe prcskötegek szövege Arl betűtípussl fog egele, keretbe fogllv. Péld egy dtálloáy szerkezetéek közlésére Syt-blkból vló végrehtás érdekébe: dt lst /ev -0() k - k - k3-7(3) k4 - k5 - k6 -. A prcsszó dt lst, változók ev, k, k,, k6. Az utsítás léyegébe Syt-blk tovább sorból vló dtbeolvsást elet, változó eve utá száok rr utlk, hogy egy szöveges dtsor háydk krkterétől háydk krkterég tered z llető változó (tehát ezáltl változó éretét, hosszát s közlölük), h ezeket e követ záróel, kkor z llető változó uérkus és egész szá, h záróel követ és záróelbe szá tlálhtó, kkor ez utóbb uérkus változóbel tzedesegyek száát d eg, és végül h záróelbe betű tlálhtó, kkor z z lfuérkus (strg, chrcter) típusr utl. A szöveg egírás közbe hszálhtó szövegszerkesztő dt lehetőség: Copy, Pste, Replce, stb, ás szövegszerkesztőbe egírt és egelölt szövegrész átvhető Syt-blkb. A Syt-blkb vló végrehtás érdekébe rr vgyázzuk, hogy kurzor prcsköteg sorb legye, d ktttsuk z eszköztár Ru evű yoógobár, vgy egyszerűbbe CtrlR blletyű kobácóvl futtthtuk z utsítást. Szükség lesz ég egy prcskötegre, ugys prog vár z dt beolvsást, ddg e ethető el z dtálloáy. Eek e kell feltétleül kooly dtokt trtlz (külöbe szerkezetközlésbe egdott krkterhelyek lpá z első két krktere egy dtsork degyk változób részt vesz), de egy e üres dtsor feltétleül kell létezze, ég kkor s, 4

15 h csk egy szóközt trtlz (hogy láthtó legye, egy száegyet teszük kezdő és záró prcsszvk közé). beg dt ed dt. Utá z dtszerkesztőbe ez z dtsor törölhető, úrírhtó, z dtálloáy fálb ethető. Ugycsk fálb ethető Syt-blk trtl s. A etésekhez hszáluk Fle eüpot Sve vgy Sve As prcst, z ezzel áró előyök tt: kéyeles leezegység és köyvtár válsztás, fál típus kválsztás. A Sve zol etést végez ár leeze egtlálhtó fálb, így terészetese z első etéskor e űködhet csk Sve As ódb. Ugytt Syt-blkb egdhtuk ckéket s vlt z érvéytele válszokt: vr lb ev A szeely eve /k ee /k Eletkor /k3 Utolso hv ovedele /k4 Elegedettseg ukkoruleyekkel /k5 Elegedettseg fzetessel /k6 Elegedettseg fookkel vl lb k Ferf o /k4,k5,k6 gyo elegedett Kcst elegedett 3 Ige s eg e s 4 Ksse elegedetle 5 gyo elegedetle. s vl k,k,k4,k5,k6 (99). dd vl lb k,k,k4,k5,k6 99 cs vlsz. s vl k3 (-). dd vl lb k3 - cs vlsz. A fet ks szöveg kellőe érzékeltet külöböző prcskötegek sztsát, z dd vl[ue] lb[els] ylvá e törl ár egdott ckéket, he hozzáuk d z ebbe szereplőket (h egy prcs leírásáb szögletes záróel s v, kkor ez zt elet, hogy ebbe záróelbe levő szöveg elhgyhtó, eek háyáb s végrehtódk z llető utsítás). Az dd szócsk élkül korább közölt ckék elvesztek vol, persze ez veszteség csekély, ert kor észrevesszük háyt, kyíthtuk Syt-blkot, kvíthtuk hbás utsítást és úr futtthtuk zt s, elyk előbb közl z érvéyes válszok kódt, d kvított utsítást futttuk, hogy hozzátolduk z érvéytele válszok ckét s. H érvéyesíte kell korább érvéyteleített kódokt, kkor s[sg] vl[ue] <változóév vgy változóév-lst> ( ). utsítást duk k, tehát e egy ásk prcsszóvl duló utsítássl tesszük ezt, he ugyzzl, ellyel érvéyteleítük, csk záróelbe e teszük set ( < és > elek közt szöveg leírás k, dtálloáytól függő, például változóevek lstá). Megegyezzük ég zt s, hogy változólst tgt szóközzel s elválszthtuk, beszúrhtuk őket szerkesztedő utsításb változókt beuttó blkból s. Adtálloáy átlkítás A következőkbe oly utsításokt uttuk be, elyekkel ú változókt hozhtuk létre. Ezek z ú változók vgy száítássl, vgy úrkódolássl, vgy dkét ódo keletkezhetek. Szeléltetésképpe vegyük egy Hrgt egye község flvból álló sokságot, változókkét csupá hárt hszáluk tt, z összlkosság száát 977-be (ptot77) és 99-be (ptot9), vlt ftlok száát 99-es épszáláláskor (0-4 évesek szá, p004). Az dtokt trtlzó táblázt egyk rekeszébe tlálhtó, t terészetese úgy értelezük, hogy oly szeély egy scs, száítógépes dtálloáyb pedg kötelezőe 0 -t kell ír (ellekező esetbe érvéytele dtkét elek eg). 5

16 . táblázt. Hooródszetárto község éháy épesség dt Flu épesség épesség 99-be 977-be Összes 0 4 éves flu ptot77 ptot9 p004 Abásflv Bágy Gyepes Keéyflv Kéos Lókod 93 3 Recseyéd Reete Szetárto Szetpál Szetpéter Városflv Hozzuk létre egy oly változót, ely zt trtlzz kódolv, hogy települése ftlok ráy 99-be gyo kcs (-es kód), kcs (-es kód), gs (3-s kód) és gyo gs (4-es kód), ylvá község vszoyltb csupá. Először egy változób létrehozzuk ftlok százlékos eloszlását: cop rp004p004/ptot9*00. Az ú változó eve rp004 lesz, ckékkel e redelkezk (eybe lye evű változó ég cs z álloáyb), típus pedg 8. (h ú változóról v szó), zz 8 krkter hosszúság, elyből tzedesegy. Meglepetésükre rekeszek üresek, potosbb csk egy-egy potot látuk beük z dtszerkesztőbe. Egyelőre vlób kszáíttlok ég z ú változó értéke, tetk űveletek elvégzésére csk kkor kerül sor, h oly utsítást duk k, elyk z dtálloáy értékevel száol, vgy h végrehtást eplcte kérük egy utsítássl (eecute.). ee. Itt fotos egegyez zt, hogy előfordulht z s, hogy z ú változób több tzedeseggyel kell regsztrál száított értékeket, látszólg ehezebbe vlósíthtó eg, h progr z ú változókk 8. típust d. A progr író úgy oldották eg ezt probléát, hogy z ú változót lehető legtöbb szgfkás száeggyel száíttták k és regsztráltták progro belül, két tzedesegyű lk csupá egeleítés szté érvéyes, tehát bárkor átlkíthtuk egy tzedesegyűre, egészre, vgy kár 8 tzedesegyűre változó típusát, zz egeleítés foráát. Ez z előy éh hátráy s lehet, főleg kkor, h e veszük tudoást erről látsztegeleítésről, ugys tovább elezések sok tzedeseggyel tárolt eységekkel törtéek és e z dtszerkesztőbe láthtó csok lkokkl. A következő lépésbe elleőrzzük le, hogy e követtük-e el prcsszerkesztés hbát (tehát vlób százlékos összetételt kptuk-e eg). gyo fotos ez lépés, z ee. utsítást s végrehtó olyl próbálkozhtuk, elyk eredéyét felhszálv vllye ódo eg tuduk állpít zt, hogy krtukk egfelelőe htódott-e végre z ú változó létrehozás. Például, z ee. utá egézhetük, hogy Abásflv esetébe 00 ftl szte 400 lkosból vlvel többet d-e t 5%? A szerkesztés hbák áltláb olyok, hogy ezek eredéyekét túl kcs vgy túl gy értékek dódk, ezeket vszot egy gykorság-tábláztból ól észrevehetük (részletesebbe ezt z utsítást lásd később): fre rp004. 6

17 Az eredéy következő táblázt: RP00X4 Vld Totl Totl Frequecy Percet Vld Percet Cuultve Percet Elleőrzés végett egvzsgáluk zt, hogy lehetséges-e 0% ftl lkos (ge, Lókod esete), vlt leggyobb érték s redbe v-e. A község szte vszoylgos kevés vgy sok ftl ősítést s e szerezhetük be: gyo kevés ftl eletse 0% ltt ráyt, kevés 0-5%-ost, sok ftl 5-0%-os ráyt, végül gyo sok 0% fölöttt. Az úrkódolást egy ú változób végezzük el dg (sát tpsztltuk lpá áluk ezt), ugys z úrkódolássl gykrbb tévedük és h rég változó ég sértetleül egv, úr és úr próbálkozhtuk kódolásokkl, ddg íg zt érük el, szádékukb volt. Erről esokár eg s győződhetük. cop kp004rp004. recode kp004 (0 thru 0) ( thru 5) (6 thru 03) ( thru 64). ee. A copute szóból be kell ír z első égy betűt leglább, recode szóból vszot ötöt kell u beír, de ekkor ár beírhtó htodk s. e ks eglepetésükre zt látuk, hogy Bágy fluál kódoltl rd 0.94%, hsoló ég két flu esetébe: Gyepes (5.34%) és Recseyéd (5.5%). A gyrázt z, hogy recode prcsb csk egész száokt elöltük eg htárkét, így z úrkódolásból krekedtek 0% és % között esetek, 5% és 6% közöttek, hsoló e kpák ú kódot 0% és % közé eső értékek. Eze foíthtuk, h potosbb kódolás htárokt duk eg, de teles bztoságot e yút ég két tzedesegyű htár se (tt ó eredéyre vezet, de több száz vgy ezer esetet trtlzó álloáyb ár gykorbbk kbúvó értékek). Set se változtt helyzete, h ódosítuk változó forátuát egészre, ez csk felszíe törtéő változttás, tárolt értékek lehető leggyobb potosságúk (3-4 tzedesegy s lehet). Jobb eredéyt yút kódoldó változó kerekített vgy csokított foráb vló létrehozás. Jele esetbe csokított forát válsztuk, kerekítés függvéyszv rd). cop kp004truc(rp004). recode kp004 (0 thru 9) (0 thru 4) (5 thru 93) (0 thru 64). fort kp004 (.0). vr lb kp004 Ftlok ry telepulese. vl lb kp004 gyo keves (<0%) Keves (0-4%) 3 Sok (5-9%) 4 gyo sok (>0%). for kp004. Aáluk továbbá zt s t fet példáb s tettük, hogy z ú változók egeleítés forátuát cserélük k egészre (tzedesegy élkül lkr), változót és változó értéket ckézzük eg, és elleőrzzük le fet űveleteket egy gykorságot kérő utsítássl. Jele 7

18 esetbe z lább csos tábláztot kpuk, rról győz eg, hogy utsításkt krtuk szert htttuk végre progrl ( ősítések htárvol vtthtók, h pokkl később úgy godoluk, hogy zoko változtt kellee, kkor ezt köye egtehetük, ehhez Sytblkb be kell tölte korább egírt és ketett prcsfált, változtt kell egfelelő helyeke és úr lehet futtt z utsításokt): KP00X4 Ftlok ry telepulese Vld Totl gyo keves (<0%) Keves (0-4%) 3 Sok (5-9%) 4 gyo sok (>0%) Totl Frequecy Percet Vld Percet Cuultve Percet A következő utsítássl egy sokkl boyolultbb tetk űveletet foguk progrl elvégeztet, például zt száítttuk k településekét, hogy ekkor z átlgos év övekedés üte (léyegébe csökkeésről v szó, de szkterológ övekedés üte) z es peródusb. Eek kszáításár következő képlet szolgál: P ν p 00%, P0 hol ν z év övekedés rát %-b, p peródus évekbe, P 0 és P épesség szá peródus eleé és végé. cop 77900*((ptot9/ptot77)**(/5)-). fort 779 (F4.). Az eredéyekről tt ost beszáoluk egy összetett táblázt forááb: 3. táblázt. Hooródszetárto község épességsttsztká (977 9) Flu épesség 977-be épesség 99-be 0 4 éves Összese szeély % épességövekedés (év %) flu ptot77 ptot9 p004 rp Abásflv Bágy Gyepes Keéyflv Kéos Lókod Recseyéd Reete Szetárto Szetpál Szetpéter Városflv

19 Külöböző típusú dtálloáyok betöltése és etése külöböző típusb A legegyszerűbb betölte zt z dtálloáyt, elykkel erég dolgoztuk és k s etettük. Attól függőe, hogy z Edt // Optos dlógusblkáb Geerl evű lpo Recetly Used Fles Lst ezőébe z Etres háysr v beállítv (0-tól és 9-g), progr főeüéek Fle eüpotáál leyíló blkb y legutóbb hszált és ketett fál eve olvshtó (úttl együtt, ey ebből elfér z blky sorokb), ezek vlelykére egyet ktttv z egérrel z fál betöltődk (kvéve z oly eseteket, kor progro kívül törték vl z llető dtálloáyl: letöröltük, ás köyvtárb vttük, floppyr ásoltuk és leezegységbe cs leez vgy ás leez v). Gykr főleg száítógépes lborokb e tláluk eg Fle blkáb z dtálloáyukt (ás géphez ülük, ások vgy ár y ketést végeztük, hogy kérdéses álloáy ár lekerült lstáról. Ekkor ktttsuk z Ope -re ( Fle blkáb), vgy z eszköztárb z Ope yoógobr (kyíló pp z ábrá). A blletyűzetről s eldíthtó z Ope dlógusblk CtrlO blletyű kobácóvl. A dlógusblk eve Ope Fle, tehát fálevet kell egd, de zt s, hogy hol (elyk leezeegysége és elyk köyvtárb) v z llető fál. Előbb Look szövegblkár ktttsuk és kyíló lstából válsszuk k leezegységet. Eek leezegységek trtl dlógusblk középső részébe kerül, egy ge gy blkb. Itt egkeressük zt köyvtárevet, ely leezegységhez közvetleül kpcsolódk és kettőt ktttuk z egérrel rá. A gy blkb ost ár kválsztott köyvtár trtl lesz olvshtó. Folyttuk ddg köyvtárk kelölését, íg el e utuk hhoz, elykbe tárolv tlálhtó betöltedő fál és eg s elek eve z blkb. Ekkor fálévre ktttv ez bekerül Fle e utá ks blkb, hov ez év blletyűzetről s beírhtó (ebbe z blkb v szövegkurzor s), de bztoságosbb lstáról vló válogtás. H e tláluk gy blkb betöldedő fál evét, kkor ézzük eg, hogy leglsó lstás blkb (Fles of type) lye fáltípus v beállítv. Ez leggykrbb SPSS (*.sv), progr dítás utá első betöltés eseté dg ez, de h ás típusú fált töltük be, utá ár zt típus evet tláluk ebbe z blkb. Az SPSS for Wdows progr 7.5-ös verzó következő fotosbb típusú fálokt képes beolvs: sát típust, Fles of type-bel utlás erre: SPSS (*.sv); DOS ltt változt típusát: SPSS/PC (*.sys); Ecel dtfált: Ecel (*.ls); Lotus dtfált: Lotus (*.w*); dbse de változák dtfált: dbase (*.dbf); szövegfált, elybe de sorb változók értéke tbulátorellel vk elválsztv: Tb-delted (*.dt); sztfált: Syt (*.sps); eredéyfált: vgtor docuet (*.spo). Létezk ég éháy típus (ezeket rtká hszáluk) és v ég egy sor z utolsó lstáb, éspedg All fles (*.*). Ezt e úgy kell értelez, hogy de típust képes progr betölte, he zt, hogy de fál eve eg fog ele középső gy blkb. éh előfordulht, hogy ég z All fles se utt eg zt álloáyt, elyről bztos tuduk, hogy ott v z llető köyvtárb, leeze. Ez Wdows beállítás tt fordulht elő, ugys bzoyos típusú fálokt redszer retett fálkét kezel (például DOS ltt változtok dtfálk.sys kteresztése tt ezek s retett fálok lehetek). Ilyekor köyvtár kválsztás utá Fle e blkáb blletyűzetről bevezethetük fál evét kteresztéssel együtt. Akor de kválsztás egtörtét, z Ope gobr ktttuk, és z álloáy be fog töltőd z dtszerkesztőbe (dtfálok, ebből csk egy lehet betöltve), Syt-blkb vgy z Output-blkb (ezekből több s lehet betöltve). 9

20 gyo fotos tt egelíteük egy dtbetöltés ódot, kor sí szövegből kruk z dtálloáyt átve, tehát e égegyszer blletyűzetről krkterekét bev. Ilye szövegálloáyt kphtuk késze hvtloktól, tézéyektől. Például z Aurul Sttstc l Roâe, 998 (Cos ţolă petru Sttstcă) leezes (floppy) változtából de táblás yg vgy kyotthtó vgy szövegfálb kethető. Egy lye rövdebb tábláztot szövegfálb etettük (C:\_.sel) és tt beuttuk eek SPSS dtfálb vló átlkítását. ORGAIZAREA ADMIISTRATIVA A TERITORIULUI ROMAIEI (l 3 decebre 997) ADMIISTRATIVE ORGAISATIO OF ROMAIA TERRITORY (o Deceber 3, 997) urul Cod Suprft orselor s d cre: urul Regue Regue totl ucplor ucp couelor Rego Rego Totl re uber of whch: uber of Code (k) of tows d ucpltes coues ucpltes Totl ord - Est orth - Est. Sud - Est South - Est 3. Sud South 4. Sud - Vest South - West 5. Vest West 6. ord - Vest orth - West 7. Cetru Ceter 8. Bucurest 8 38 Buchrest A szövegbe ge sok sor e hordoz léyeges forácót (z dtálloáy szepotából, hol 8 sory dt lesz végül csupá, 8 trtoáyk egfelelőe), ezeket kvághtuk szövegszerkesztőbe s és kszűrhetük z dtálloáyb s. Ez utóbb esetbe z Outputblkb száos fgyeleztető szöveget olvshtuk rról, hogy egyes sorokból ért e lehetett z átlkítást elvégez. Válsszuk ezt ásodk utt, tektettel rr, hogy egy ásk progrb kellee ég űveleteket végez, gz, hogy Syt-blkb s beszúrhták ezt éháy soros szöveget beg dt és ed dt közé, és ott eg lehete te kvágásokt s, betöltő utsítás kdás előtt. K kell olvs sorokból léyeges dtok helyét (zokt, elyeket be kruk olvs). Jele esetbe oduk fotosk tehát átvételre kerülőek régó evét roául és golul (ezt csupá k szeléltetésére, hogy egy dtfálbel sort több szövegsorból s eglkothtuk), városok és községek száát ( területet khgyuk k szeléltetésére, hogy csk részeket s vehetük át egy szövegbe ágyzott forácótegerből). Egy lpr egyezzük föl változók evet (ost lkotuk eg) és zt, hogy z llető sorb háydk krktertől háydk krkterg tered (ezeket htárokt leghosszbb dt lpá htározzuk eg, de áltos egy-két krkterrel ég ezt s egtold: szöveges típusú változók esetébe obb oldl htárt, uérkus változókál pedg bl oldl htárt). 0

21 Jele esetbe ezek így ézhetek k: roev bztoságból: 5 ukev 3 bztoságból: 5 és ásodk sorb v vros bztoságból: kozseg 7 74 bztoságból: A Syt-blkb következő utsítást íruk be: dt lst fles c:\_.sel record / roev -5() vros kozseg / ukev -5(). ee. Az így létreött dtálloáy következő képet utt: roev vros kozseg ukev A.. TIVE ORGAISATI ADMIISTRATIV S 4 Regue.. Rego To Totl 7 ord - Est orth - Est 8 Sud - Est South - Est 9 Sud South 0 Sud - Vest South - West Vest West ord - Vest orth - West 3 Cetru Ceter 4 Bucurest 38 Buchrest Ebből egyszerűe kváguk z első ht sor (rákttuk sorszár és egelölük z első ht sort d Delete blletyűre ütük). Megegyzedő, hogy h csk egy szövegsorból vesszük át egy dtsor trtlát, kkor z utsítás gyo leegyszerűsödk: dt lst fles c:\_.sel /roev -5() vros kozseg ee. A végrehtás tektetébe z ee-t ddg hlogssuk, íg eg e eleek z dtszerkesztőbe változók eve, ez bztosíték rr, hogy z utsítás hbátl szts szepotából és szövegfál s egtlálhtó egdott helye. Az eecute utsítás utá elleőrzzük le, hogy ók-e egdott htárok. H egy ezőbe se e került végg le, kkor leggykrbb eek z z ok, hogy e ók egdott htárok, e ók egdott típusok (például elfeletük záróelbe te szöveges változó esetébe z betűt, vgy tzedes száegyet trtlzó uérkus változó esetébe e duk eg htárok utá záróelbe tzedesegy száot, vgy és elég gykor eset tpsztltk szert tzedesvessző és tzedespot közt koptbltás lép fel). Ugyezt z eredéyt d Fle/Red ASCII Dt/Fed Colus dlógusblkáb egszerkeszthető utsítás s, tt de egyes részdt z álloáyról szövegblkokb eleíthető eg. Az dtálloáyok etése vlvel egyszerűbb eset. A Fle főeüpot blkáb kétféle etés szokott érvéyes le: Sve és Sve As. Az első (blletyűzetről s ktvzálhtó, CtrlS kobácóvl) egy évvel ár ellátott dtfált (de betöltött fál lye, de lye egy

22 frsse létrehozott és ketett fál s) ket z ő eve ltt (tehát z előző változt felülíródk rákérdezés élkül). A DOS ltt változtok érdekes (és hszos) ódo egy betöltött fált e egedtek eg kete ugyzo év ltt, védve így z ősváltoztot. Eek z s lehet gyrázt, hogy DOS ltt változtokb z dtszerkesztő egy utsításr elek eg, de. ( Dt Etry) és ekkor seft elezés e futtthtó, z elezések, ú változók létrehozás, úrkódolások csk z dtszerkesztő bezárás utá vlósíthtók eg, és gykr ethetük oly hbát, elyekről csk gyo késő veszük tudoást, vszot de utsítás szerkesztő blkb kerül ég z dtbeolvsás utsítás s, ezek ódosíthtók, úrfuttthtók, de csk kkor, h betöltött dtfál eredet foráb őrződk. A Sve As egy dlógusblkot yt eg ( háro pot deütt lye blk eldításár utl), elybe z dtfál betöltéséhez hsoló kválszthtuk leezegységet, köyvtárt, kár egy létező fálevet (de ettől óvkoduk, ert rég változt felülíródk). A ketedő fál típus s kválszthtó, betöltésél létező áltok ellett egelek Fed ASCII (*.dt) sí szövegbe etés (kor z oszlopok gzítás egfelelő száú szóköz beszúrásávl törték), vlt részletesebb z ált Lotus és dbase típusú fálokr. Tud kell zt, hogy ás típusb etés gykr forácó vesztéssel ár, például ckék e vhetők át Ecel vgy dbase típusú fálokb, de Wdows ltt futó változtok többértékű érvéytele válszok se vhetők át DOS ltt fáltípusb. Aáltuk főleg lborb dolgozó dákok száár z, hogy dtálloáyukt (és sztst trtlzó szövegeket) hlékoy ágesleeze tárolák (fotosbb esetekbe két leeze s). Akor lborb dolgozk, következő képpe árk el: z SPSS dítás utá töltsék be floppyról z dtálloáyt; közvetleül ezutá etsék k (Sve As ) száítógép (vgy szerver) erevleezére egy rövdebb év ltt (például okt.sv, hol okt és z zp dátu, z z első ketett változtr utló betű); de léyegesebb dtódosítás utá (vítások, sorok vgy oszlopok hozzádás, ú változók létrehozás, úrkódolások) etsék k (Sve As ) ú év ltt, de ugybb köyvtárb (h z előző fált tektük, kkor oktb, oktc, fálév ltt); h vlelyk változt fotosság egő (közbe ráöek, hogy tévese dtk k űveleteket), kkor ezt változtot betölthetk, és vele dolgozhtk tovább; progr bezárás előtt ég egegyzk, hogy elyk z változt, elyk egőrzésre éltó, és ezt (vgy ezeket) progrból végül hlékoy leezre etk, ost ár redesebb fálevet dv eek (ezekek); progr bezárás utá erevleezről ó letöröl z zp létrehozott változtokt..4 A változók típus (VV) A változókt több szepot szert osztályozhtuk. De deek előtt hhoz, hogy osztályoz tuduk változókt társdl eleségek, tuldoságok érés ódoztt kell egvzsgál. A érés ltt társdlotudoáyokb zt értük, hogy egy állpot, tuldoság egylváulás ódoztt hozzáredelük egy érés skálához. A társdlob egfgyelt állpot, tuldoság ellegétől függ, hogy lye skálához tuduk zt hozzáredel..3.. A érés skálák típus Skálákkl dehol tlálkozuk. A szocológáb skál egy oly érőeszköz, ellyel egkülöböztethetük egy eleség, tuldoság külöböző állpott, bzoyos potosság szte. A legegyszerűbb érés oáls skál segítségével törték. A oáls skál értéke között cseek eység külöbségek. A skál külöböző értékehez száokt t cíkéket redelük hozzá. Ez zt elet, hogy száokt bárlye sorredbe eg lehet feleltet skál értékeek, csupá rr kell vgyáz, hogy egy értékek egy és csks egy száot feleltessük eg. Például

23 oáls skálávl érük szeélyek eét, skál értéke férf és ő, ezekek egfeleltetük z -t, lletve -t, de tehetük ezt fordítv s. Egy ásk péld cslád állpot evű változó. A lehetséges válszok (og szepotból): őtle, házs, elvált, özvegy, de téyleges helyzetek egfelelőe skál (eleleg) külö él és együtt él értékekből áll. Eze egevezések száokkl (szákódokkl) vló ellátásáál seképpe e lehetük tektettel száok eység eletésére, h házs ktegór -t kp és z özvegy 4-t, kkor eze kódok e hordozk eység forácót, tehát z özvegy állpot e kétszer kkor, t házs. Ezek kódok egy tuldoság külöböző őséget feezk k ( őség szók se szbd tt oly eletést d, hogy ó, kbrhttl, stb., he egyszerűe rról v szó, hogy e eység z llető sérv). A tudoáyos érések sorá gykr rr törekedük, hogy lehetőségek szert eység külöbségeket s tuduk te egy skál értéke között. Az ordáls skál értéke között bzoyos eység külöbségek vk. Ez ltt zt értük, hogy egy tuldoság érésekor külöböző egylváulás forák között vllye teztásbel külöbséget tuduk ér, és ezt külöbséget tükrözk egfeleltetett száértékek (sorszáok). Más szóvl skál értéket redez tuduk övekvő vgy csökkeő sorredbe, ég h redezés gyege s, zz előfordulk egyássl egyelő értékek s. A érések potosság á e csupá z értékek között eység külöbségek eglététől függ, he z értékek között külöbségek gyságától s, tetklg kfeezve: z értékek között távolságtól s. Abb z esetbe, h skál értéket redez tuduk, és eellett z értékek között külöbségek gyságák egy részéről s vk forácók, tehát össze tuduk hsolít őket, kkor redezett etrkus skáláról beszélük. Ez zt elet, hogy például skál első két értéke között távolságról tuduk, hogy ksebb, t vlelyk két ásk érték között távolság, de e degyk külöbséggel tuduk összehsolít, kkor redezett etrkus skálávl v dolguk. Mtetklg kfeezve: legyeek skál értéke, b, c,,,,, k, l,,.p. Ezekről tuduk, hogy >b>c> >>> >k>l> >p, és z értékek között távolságok, zz b, bc,, kl, éelykéről s gz, z, hogy > kl vgy fordítv. Például, egy tézéybe úgy állpítuk eg, hogy külöböző pozícókt betöltőkek ekkor htluk v, hogy egszáoluk, háy beosztottuk v. A beosztottk száát legtöbb esetbe serük, ezeket z eseteket összegezzük, és z így kpott értékeket összehsolíthtuk, kkor láthtó, hogy egy osztályvezetőek, vgy csoportvezetőek v-e több beosztott. De vk oly pozícók s, t proekt-vezetők vgy tácsdók, hol beosztottk szá e állpíthtó eg lye egyértelűe, vel vk oly beosztottk, kk csk egy bzoyos proekt keretébe és korlátolt deg és eghtározott értelebe vk láredelve egy proektvezetőek. Ezért beosztottk szá e htározhtó eg potos de pozícó esetébe, így kpott érőeszközük redezett etrkus skál. Az tervllu-skál esetébe z értékeket szgorú redez tuduk, és z értékek között külöbségek egyelők. A skál értékeek kezdőpot vszoylgos, zz tetszőlegese v egválsztv. Az tervllu-skál klsszkus példá hőérséklet-érő Celsus-skál, bár ez e társdlotudoáy érés eredéye. A skál tervllu értékegységet feezek k, egy fokk egfelelőek, egyelő hosszúságúk. Vszot kdulás 0 pot ökéyes, vel, t seretes, víz fgypotához v vszoyítv. Egy ásk kuttó, Kelv ugyoly hosszúságú tervlluokkl lkott eg z ő hőérséklet érő skáláát, á ull pot egyébhez kötődk, így víz fgyás 73 foko törték Kelv féle skálá. Att, hogy vszoyítás pot reltív, z tervllu skálák értéke között külöbségeket e feezhetük k ráyokb, például e odhtuk zt, hogy 0 C fok kétszer oly eleget elet, t 0 C fok. 3

24 A társdlotudoáyok területé z tervllu-skálát példázhtuk fogllkozás státus érésére szolgáló presztízspotszáok skáláávl. A P. M. Blu és O. D. Duc kuttásáb fogllkozásokt egy 00 értékű skálá kellett elhelyez. Az eredéyek lpá fogllkozásokt csoportosították és öt pot hosszúságú skáláb voták össze (Blu-Duc, 967). E skál esetébe e bzoyíthtó, hogy z lcsoy potszáú fogllkozások között külöbségek és gsbb potszáú fogllkozások között potszá-külöbségek vlód presztízskülöbségek potos értékét tükrözk, vszot vel z eredet skál százfokú volt, feltételezhető, hogy z összevot öt pot hosszúságú értékek ár egyelő hosszúságúk tekthetők. Hbár zok fogllkozások, kkek leglcsoybb presztízsük 0 pottl redelkezek, égse tekthetük rögzítettek kdulás potot, vel leglcsoybb presztízzsel redelkezőkek dhták ás, 0 potos kduló értéket s. A kduló pot tehát ökéyes. Az tervlluok hosszúságák egyelősége ás, tervlluskálkét kezelt érés skálák esetébe s problékét elek eg. Például szocológáb hszáltos Lckert-skálák esetébe, kor öt vgy hétértékű skáláko kell véleéyüket elhelyezzék válszolók, ugycsk e bzoyíthtó, hogy ugyz véleéy egyk válszoló esetébe e kp-e 3-st egy hétértékű skálá, egy ásk válszoló pedg 4-essel elöl ugyzt z áryltú véleéyt. Ezzel együtt feltételezzük, hogy véleéyegfeleltetések torzítás skál dkét ráyáb htk, így kegyelítk egyást. Az ráyskál oly tervllu skál, elybe vszoyítás pot rögzített. Az ráy-skálák legpotosbb érés skálák. Az ráyskálákk z tuldoság, hogy értékevel száítások végezhetők bb z értelebe, hogy z értékek ráyíthtók egyáshoz, beszorozhtók egy álldóvl élkül, hogy skál áltl kfeezett értékek változák. E skálák klsszkus példáák tekthető terészetes száok hlzár épülő érés skálák, hol z értékek ullához képest rögzítettek. Így például éter és eek z egysége. A társdlotudoáyokb z egyéek életkor, gsság, vgy z utolsó hv ettó övedele gyság ráyskálákkl érhetők. Egyes kuttók szert zob, hbár eze változók elélet skálá ráyskálák, z áltluk ért változók értéke társdlotudoáyokb ellező érés pottlságok következtébe csupá tervlluskálák felelek eg..3.. A változók típus Mt láttuk, társdlotudoáyokb érés úgy törték, hogy egy eleség állpott hozzáredelük egy érés skálához, és zokt egy változó értékekét rögzítük. A érés eredéyekét kpott változókt több szepotból s osztályozhtuk. Mérés potosság lpá változókt két fő csoportr bothtuk: Mőség (kvlttív) változók (sérvek) zok, elyeket oáls vgy sorred skálá érük. Eze változók értéke e feezek k potos szászerű értéket, és száok z értékekhez t cíkék vk hozzáredelve. A őség változó egy tuldoság külöböző állpott rgd eg, zz e feezhető k eységleg potos száértékkel k tuldoságk egylváulás ód. Például őség változó z eberek ee, cslád állpot, skolázottság sztekét rögzítve, települések típus, z eberek kedvec lpszíet összefoglló változó stb. Meység (kvtttív) változók (sérvek) zok, elyeket tervllu- vgy ráyskálá érük. A eység változók oly érések eredéye, hol z értékek között téylegese érhető külöbségek vk és ezeket vlób ér s tuduk. Ugys zo eleségek állpot között s lehetek téyleges eység külöbségek, elyeket őség sérvekkel ellezük, á redszert ezeket e áll ódukb ál potosbb ér. Meység változók például csládok sokságá z együttélők szá, szeélyek esetébe testvérek szá, z egy főre eső GDP érték egyékre vgy országokr votkozttv. 4

25 Egyes kuttók (Huyd-Mudruczó-Vt, ) egkülöböztetek ég terület és dőbel sérveket s. A terület és dőbel sérvek z egységek térbel (földrz) vgy dőbel elhelyezkedésére és k külöböző változásr votkozk. 5

26 Az értékek eloszlásák ellege szert egkülöböztetük dszkrét és folytoos eység változókt. Dszkrét változó z, ely eleség vgy tuldoság érésekor e vehet fel bárlye értéket. Például gyerekek száát érő változó dszkrét, ert egy őek lehet 0,,, 3,,7 száú gyereke, de e lehet,5 vgy,77 száú. Folytoos változó értéke vlós száok, elyek eleség érésekor eléletleg bárlye vlós (tört, rcoáls) értéket felvehetek egy tervlluo belül. Gykorltlg ez kkor telesül, h érések elég potosk. Tehát oly változók ezek, elyek gyo sokféle értéket felvehetek, vszot gyo léyeges érés potosság, ugys eek háyáb z elvleg folytoos dt dszkrétté válk. Például egy épességbe csládok egy főre eső hv ettó övedele folytoos változókét rögzíthető, vel z átlgolás tt potos és sokféle, tzedes egyekkel kfeezhető vlós száértékeket kpuk leglcsoybb és leggsbb hv egy főre eső cslád övedele értékek között. Egy ásk péld szert z eberek életkorát lehet gyo s potos ér, egkérdezve születés dátuot, órát, percet, t hogy szülészete rögzítk és így egy folytoos sérvhez uthuk. H vszot egy felérés sorá csupá születés évet kérdezk, kkor z így létreött változó dszkrét értékű lesz. Ezt zért teszk eg, ert e tudk eg többet lkosságról kkor se, h potosbb érk z életkort, hsze éháy hópos vgy pos korkülöbségek redszert e htározk eg vlféle tttűdbel külöbséget. Megtörték z, hogy dőkét egyes őség változókt, elyeket redezett etrkus skálávl értük, eységek tektk és egyes sttsztk száításokk vetk lá. Ilyekor z eredéyek értelezésekor hgsúlyos sze előtt kell trt, hogy lye dtokból dultuk k. Bár foráls ez szbálysértés hbák száít, éh oly eredéyekhez vezet sokváltozós sttsztk elezések áltl, hogy e hbát egér elkövet. Ugyígy éh kétértékű de kár többértékű oáls skálá ért változókt s eységvé lkíták, úgyevezett dchotó (ltertív, duy) változókt képezek belőlük. Például egkérdezettek ee változóból létrehozott ú változó értékét férfk kpák, ők pedg értéket, és így e hovtrtozás htását vzsgálhták egyes ás, eység változóvl ért eleségekre. Más esetekbe pedg egy eység változó értéket csoportosíták úgy, hogy z értékek között távolságok e leszek egyelőek, így őség változóvá válk. Az ú változó lklsbb lehet szeléltetésre, tábláztbel egeleítésre, t z eredet. Például övedelektegórákt lehet úgy csoportosít, hogy felvétel dőpotáb társdllg relevás küszöbértékek szert htároluk el. Így zob e leszek egyelő hosszúságúk z tervlluk, de tábláztb töörítve ól átláthtó lesz, és eellett lehet vzsgál kereszttáblák Kh-égyzet (χ -) prób segítségével településtípussl, gyobb fogllkozás csoportokkl vló összefüggését s, bár változók átlkítás élkül, eység foráb lklsbb összefüggés-vzsgáltokr. 6

27 3. ADATOK ELOSZLÁSA, GRAFIKUS MEGJELEÍTÉSE (VV) A változókb töörített forácók egseréséek legegyszerűbb ód, hogy egézzük, z egyes értékekből háy fordul elő. Mvel változók sokfélék lehetek, z értékek előfordulását többféleképpe vzsgálhtuk eg. Ezeket lehetőségeket sertetük következő lfeezetekbe. 3.. A változók értékeek eloszlás A változó értékeek eloszlásá zt értük, hogy egy változó külöböző értékere háy eset ut, potosbb háy esetbe fordul elő változó külöböző értéke, háy válszolák ezt vgy zt. Ahhoz, hogy dtkt elleez tuduk, eg kell vzsgál z eloszlásukt. Aeybe változó eloszlását külö-külö, egyástól függetleül vzsgáluk, egydezós eloszlássl v dolguk. Egy változó egyes értékere utó esetek száát gykorságk evezzük. A válszok téyleges száát, elyet szálálássl kpuk eg, bszolút gykorságk evezzük. H gykorságokt vszoyítuk, reltív gykorságokt kpuk. A továbbkb külö tárgyluk dszkrét és folytoos dtok eloszlását, ert ezek sátosság külöbözek egyástól Dszkrét dtok eloszlás Dszkrét eloszlású változók lehetséges értékeek szá áltláb kcs és ezekre gyobb száú eset ut. A társdlotudoáyokb legtöbb őség változót lpszte létező értékek bszolút gykorságávl elleezhetük. Á obb átláthtó z eloszlás, h százlékos s kfeezzük gykorságokt, például kor két külöböző tá össze kell hsolít, hogy egy értékválsz elykbe fordul elő gykrbb, kkor elkerülhetetle százlékb kfeezett reltív gykorságok hszált. Dszkrét eloszlású z összes őség változó, és eységek közül dszkrét értékekkel redelkezők. Kszáíthtó változók értékeek kuultív gykorság s, d z bszolút, d pedg reltív gykorság értékekből. A kuultív gykorságokt úgy kpuk eg, hogy egyekét hozzáduk gykorság értékekhez sorredbe előttük levő értékek gykorságát (kuuláluk gykorságokt). A foglk szeléltetésére lássuk következő séát. Az X változók legyeek következő értéke:,, 3, 4. Az bszolút gykorságokt -vel, reltív gykorságokt p -vel, kuultív gykorságokt pedg c -vel elölük: X értéke 4. táblázt. Egy eloszlástáblázt szerkezete Abszolút gykorságok 7 Reltív %-os gykorságok Kuulált reltív %- os gykorságok p c p p c c p 3 3 p 3 c 3 c p p 4 c 4 c 3 p 4 00 Összese 00% Láthtó, hogy z bszolút gykorságok összege éppe sokság (t) eleszáávl (vgy z érvéyes válszok száávl) egyelő: 3 4. Terészetszerűe eek lpá z s gz, hogy 3 4

28 Az / téyezőket háydokk evezzük, eletésük: h sokságot egységkét feezzük k, kkor egutták, hogy háyd részét teszk k z egyes értékek gykorság vzsgált sokságból. A p reltív %-os gykorságok összege dg 00 kell legye. éh egtörték, hogy kerekítések tt éháy tzeddel több vgy kevesebb ö k. p p p 3 p 4 00 A reltív %-os gykorság kszáítás z lább ódo törték: p 00,..4. Egy felérés eredéyeek eletős részét (főleg z előzetes eredéyekét) reltív gykorságok, százlékos eloszlások segítségével közlk. A klkult gykorlt szert z eredéytábláztokb egytzedes potossággl dák eg százlékos értékeket, ezzel egyértelűvé válk, hogy ezek e szeélyeket, egyedeket eleteek. Abb z esetbe, h z elezett sokság (t) eleszá 50-él ksebb, kkor áltos elkerül százlékos értékek hszáltát, ert félrevezető lehet. 5-0 százlékos eltérések függhetek csupá egy-két esety külöbségtől, árpedg tuduk, hogy külöbségek lehetek véletle gdozások eredéye s, vgy fordítv, összefüggés eseté s dódhtk ks eltérések. Egy ásk szbály reltív gykorságok közlésére votkozk, rr, hogy egy változó értékeek eloszláskor, lehetőségek szert reltív gykorság értékek ellett tütessük fel sokság vgy t teles esetszáát, z -et. Esetekét z bszolút gykorságok s odírhtók záróelbe. A (reltív) kuultív gykorság esetébe, t láttuk, degyk sorb egfelelő reltív gykorsághoz hozzáduk z előző értékhez trtozó kuultív gykorságot, így z utolsó érték kuultív gykorság 00-l lesz egyelő. Gykorlt tácsuk z, hogy h egy eloszlás tábláztát ktöltő vszoyszáok kszáítás utá ég előkerül (vgy kkttásr szorul) egy-két eset, de reltív gykorságot száoluk úr és e többleteket vouk le (vgy háyzó tzedeket duk hozzá) ár kszáított értékekből (értékekhez). A köyebbek tűő spekulálás tudoáytl ódszer. Példák. Egy épességből vett 097 fős t lpá vzsgáltuk z skolázottság sztet (elölük ezt X-el). A következő eloszlást kptuk: 5. táblázt. A t eloszlás skolázottság szt szert Iskolázottság Szeélyszá % 8 Kuulált %-os gykorság 8 osztály vgy kevesebb 36 8,8 8,8 Szkskol 7 5,6 44,4 Középskol ,0 89,4 Felsőfokú 6 0,6 00 Összese Láthtó, hogy h összeduk z bszolút gykorság oszlopb tlálhtó értékeket, kkor egkpuk t eleszáát, z 097-t. A reltív gykorságok segítségével elleezhetük legszeléletesebbe változót, bár helyekét z bszolút gykorság értékek s feltütethetők. A táblázt értelezésekor százlékos értékeket áltos háydokb kfeez, t: z dtok fele, hároegyede, kevesebb, t egyhrd stb, vel így közérthetőbb, vszot potos százlékos értékeket duk eg záróelbe. A fet táblázt értelezése következő: A vzsgáltb z skolázottságr votozó 097 érvéyes dtot kptuk. A legtöbbe középskol végzettséggel redelkezek, ezek szte t felét teszk k (45,0%). Őket

29 követk 8 osztállyl vgy kevesebbel redelkezők szte 30 százlékkl (8,8%), szkskolát végzettek pedg kb. egyhtod ráyl (5,6%), végül csupá egytzedéek (0,6%) v felsőfokú végzettsége. A kuultív gykorság lkls rr, hogy összefogllv egállpíthssuk: z esetek (válszolók) de klectzede (89,4%) e redelkezk felsőfokú végzettséggel és 44,4 százlékák ég középskolá scs.. Jelleezzük Mlye gykr éz TV űsort? kérdésre kpott válszokt z lább táblázt lpá. Az érvéyes válszok ellett volt 4 eválsz s. 6. táblázt. A tévéézés gykorság A tévéézés gykorság Szeély % Egyáltlá e éz 90 0,6 gyo rtká 38, Rtká 76 4,3 Hetete 98 6,6 pot 90 66,4 Összese 79 00,0 Értelezés: A felérésbe 79 érvéyes válszt kptuk, 4 szeély e válszolt (0,%). Legtöbbe pot ézk tévét (66,4%). Jeletősebb ráyb vk képvselve zok, kk hetete tévézek (6,6%). Kevesebbe vk válszolók tegy tzede kk egyáltlá e ézek tévét (0,6%). A válszolók ge ks része rtká (4,3%), lletve gyo rtká (,%) éz tévét. Megegyzés: Aeybe egyás utá több változó leírását szövegesítük, első odtuk sokság (t) gyságár votkozzo, továbbkb ezt e sételük eg de változó esetébe. Fgyelük rr, hogy odtk gördülékeyek legyeek, hllgtó (olvsó) száár hosszú szöveg kelleese összecsegő, érdekes legye. 3. Készítsük el z SPPS progr segítségével egy, Erdély épességére reprezettív tá egkérdezettek cslád állpot változó értékeek eloszlását: Az dttábláb változó eve Q3. A űveletet Sttstcs eü Surse leü Frequeces utsításávl végezhetük, hol kelölt ezőbe elhelyezzük kválsztott változót, d ráktttuk z OK gobr. Vld Mssg Totl õtle. hdo házs 3 élttárssl él 4 elvált 5 özvegy Totl Syste Q3 Cslád állpot Vld Cuultve Frequecy Percet Percet Percet 495 8,3 8,9 8, ,5 55,7 84,6 9 38,, 86,8 69 3,9 4,0 90,8 57 9,0 9, 00, ,9 00,0 37, 75 00,0 Ugyezt z eredéyt érhetük el Syt-blkból kdhtó egyszerű utsítássl s: fre Q3.

30 A prcsszó utá változók sor s következhet, vesszővel vgy szóközzel elválsztv. Megfgyelhető, hogy z SPSS progr eredéyfáláb (Output blk) elhelyezett eloszlástáblázt szerkezete és z előző oldlo beuttott táblázt között sok hsolóság. A külöbség z, hogy reltív gykorságr két oszlop v, z egykbe z összes esetek ( progr száár érvéyes és érvéytele együtt) reltív gykorság olvshtó ásk oszlopb z érvéyes reltív gykorság (Vld percet). Ez utóbbb 00%-r vett sokság z erre kérdésre (Q3), érvéyes válsszl redelkezők szá. Észrevehető ég, hogy 37 érvéytele válsz syss (Syste ssg) érték, zz rekeszek ürese rdtk, válszháyt e kódolták. A kuultív gykorságot s z érvéyes százlékos eloszlás segítségével száít k progr Folytoos dtok eloszlás A folytoos változókt, vgy elyeket folytooskét kezelük társdlotudoáyokb, e kézefekvő eloszlás-táblázt segítségével eleez, vel gyo sokféle értéket felvehetek. Ezzel szebe egtehető, hogy grfkus ábrázoluk, hsztogr és/vgy eloszlásgörbe segítségével z értékek eloszlását. Például, z előbb elített erdély felérésbe z egyé övedele gyságát lebe kfeező változó eloszlását z SPSS progrcsog következőképpe s egdht:. ábr. A t eloszlás szeélyek övedele szert 300 Egyé övedele Frequecy 0 Std. Dev 936,5 Me , 35,00 Egyé övedele , , , , , , , , , , , ,0 0,0 Folytoos változók eloszlását tehát úgy eleíthetük eg, hogy csoportosítuk z értékeket és z tervlluokr utó esetek száát duk eg. A csoportosítás dg forácó veszteséggel ár, vszot változó közérthető ellezésére elkerülhetetle csoportosított dtközlés. Léyegébe egy tervllu- vgy ráyskálá ért eység változóból redezett skáláú őség sérvet hozuk létre bból célból, hogy őség változót kellőe (közérthetőe) elleez tuduk. Péld Egy felérés sorá, elybe 95 szeélyt kérdeztek eg, dtokt gyűtöttek szeélyek hv ettó övedeléről, lebe kfeezve. A övedeleket egylló lees hosszúságú csoportokb sorolták, úgy, hogy csoporthtárok z lsó htárhoz trtozk. Íe ktegórák gykorságák eloszlás: 30

31 7. táblázt. A t eloszlás skolázottság szt szert ettó hv övedele Szeély [ ) 5 [ ) 358 [ ) 450 [ ) 35 [ ) 75 [ ) 5 Összese 95 A folytoos változók eloszlásához tetk sttsztkáb hszálák z eloszlásfüggvéyt. Továbbá csoportosítás esetébe z tervlluok szélességéek és száák eghtározásához s képleteket, lgortusokt dolgoztk k. Mvel ezek társdlotudoáyok legtöbb területé rtká hszáltosk, e térük k részletes sertetésükre. 3.. Két változó együttes eloszlás, kotgec-táblák Dszkrét eloszlású változók esetébe két változó együttes eloszlásák elezésére gyo ó eszköz táblázt. Megtudhtuk belőle, hogy z egyk változó értékeek eloszlás hogy befolyásol ásk változó értékeek eloszlását. Két változó együttes eloszlásár hszált táblázt eve kotgec-táblázt (ás éve csoportosító tábl, kereszttábl). A kereszttáblák úgy készülek el, hogy sokságot (tát) felbotuk lsokságokr (ltákr) z egyk változó ktegórá szert, d degyk esetbe eloszlástábláztot készítük ásk változór ézve. ylvávló e több táblázt forááb, he egyetle összetett tábl lkáb. A kereszttábl lpváltozt z bszolút gykorságok lpá készül, és ezt bővíthetük k sorok, lletve oszlopok szert reltív (százlékos) eloszlásokkl. Ahhoz, hogy szeléletes legye kereszttábl, feltétleül k kell száít reltív gykorságokt s, vszot tuláyb egeleő tábláztuk e trtlzzo túl sok szászerű dtot. Muktábláztk készítsük (készíttessük) részletes, sok dtot felvoulttó tábláztot, tuláyb y részdtot vgyük be, eyt gyrázuk, eyre szükség v szöveg egértésére ( tuláy függelékébe ztá egelehet táblázt teles egészébe s). X értéke 8.táblázt. Egy lpkereszttábl szerkezete Y értéke y y y yc f f f f f f r fr fr r f f f f f fr f c f c f c f rc c y f f f f r f f c 3

32 Itt, lletve y vel elöltük változók értéket, z f (sorössszeg) lletve f (oszlopösszeg) pedg z X, lletve z Y változók bszolút gykorságt dák bból z lsokságból, elybe z esetek dkét változór ézve érvéyes válsszl redelkezek. Az f bszolút gykorságok zo esetek száát eletk, elyek z X változór z -edk, z Y változór -edk értékkel redelkezek (úgyevezett feltételes gykorságok). A feltételes bszolút gykorságok z egyk változó egyk értéke áltl behtárolt lsokságb ásk változó értékeek bszolút gykorság. Tehát z f, f,, f,, f c értékek (z -edk sorb) z értékek egfelelő lsokságb z Y változó feltételes bszolút gykorság. Az f, f,, f c és f, f,, f r gykorságokt széleloszlásokk (vgy pereeloszlásokk) evezzük. A reltív feltételes gykorságok száíthtók sorok, lletve oszlopok szert s ( 8. tábláztb e szerepelek lyeek). Az egyk esetbe z eredet képlethez képest sorok végé levő, z X változó pereeloszlást tesszük evezőbe (pl. p f *00/ f ). Az oszlop szert reltív gykorságokál z Y változó egfelelő pereeloszlást hszáluk evezőbe (pl. p f *00/ f ). A kereszttábl külöböző kockát, elyek feltételes gykorságokt trtlzzák, cellákk (rekeszekek) evezzük. H két vzsgált változó értékeek gykorság e befolyásolák egyást, zt oduk, hogy változók függetleek egyástól. A függetleség eprkus úgy eleíthető eg, hogy kereszttábl sork egfelelő reltív feltételes gykorság egegyezek egyássl (és ylvá z oszlopösszegek reltív gykorságvl s). Tehát százlékos gykorságok ugyzok de csoporto belül. Eléletleg feltételes gykorságok helyett feltételes vlószíűség hszáltos és egy tábláztbel soreltérések e feltétleül függőségek tudhtók be, bzoyos vlószíűséggel függetle változók esetébe s dódhtk eltérések éréspottlság vgy véletlehtás következtébe. Péld Vzsgáluk eg z előző lfeezetbe, dszkrét változók eloszlásáál beuttott skolázottság változó együttes eloszlását egkérdezettek eére votkozó változóvl. SPSS-be ezt Sttstcs eü Surze leű Crosstbs utsításávl végezhetük el. A Crosstbs blk egytáskor be kell ír, elyk változó lesz sor szert, elyk z oszlop szert elhelyezve. Eellett Cells dobozb eg kell d, hogy kíváuk-e sorok, oszlopok vgy z összes eset szert reltív (százlékos) eloszlást. A Sttstcs dobozb pedg két változóvl elvégezhető összefüggés-vzsgált elárások lekérését lehet egd, de erre ég vssztérük. ISKOLAZ * Q4EM Crosstbulto ISKOLAZ Totl 0 oszt. vgy kevesebb szkskol 3 középskol 4 egyete Cout % wth ISKOLAZ % wth Q4EM Cout % wth ISKOLAZ % wth Q4EM Cout % wth ISKOLAZ % wth Q4EM Cout % wth ISKOLAZ % wth Q4EM Cout % wth ISKOLAZ % wth Q4EM Q4EM férf õ Totl ,9% 56,% 00,0% 6,% 3,% 8,7% ,3% 39,7% 00,0% 7,3% 0,7% 3,9% ,0% 57,0% 00,0% 39,7% 49,0% 44,5% ,8% 37,% 00,0% 6,8% 9,3%,9% ,% 5,8% 00,0% 00,0% 00,0% 00,0% 3

33 A táblázt értelezése cellák feltételes reltív gykorságk széleloszlások százlékos értékekkel vló összehsolításávl törték. Észrevehetük, hogy férfk több t 6 százlék egyeteel redelkezk, íg őkek lg 9 százlék, közbe teles t de 3 százlékák v egyetee. A 0 osztállyl vgy kevesebbel redelkezők körébe vszot ők vk ráylg többe. Az körvolzódk, hogy gsbb skol végzettség kább férfk ráyáb utt, tehát összefüggés lehet e és z skolázottság között. Á z összefüggés egállpítását sttsztk próbákkl kell végez, elyre következő feezetekbe tárgyluk, külööse A őség változók között kpcsoltok lfeezetbe Grfkus ábrázolás ódoztok A változók értékeek eloszlásár külöböző grfkus ábrázolás ódoztok hszálhtók. A külöböző grfkook elkészíthetők Mcrosoft Word progr Dgr beszúrás utsítássl, elkészíthetők Mcrosoft Ecel-be vgy SPSS-be, vgy ás progrok segítségével, és portálhtó Word szöveg egfelelő helyére. El kell oduk vszot zt s, hogy eybe egy dott szövegszerkesztő progrot hszáluk tuláy egírásár és kyottásár, úgy elsősorb eze progr dt grfko készítés lehetőségeket hszáluk k, ert ezeket tuduk legobb utólg kezel (például éretváltozttás lp éretéek vgy tükréek ódosulás tt, vgy elírások kvítás). A grfkookt el kell lát cíel, lletve értékcíkével vgy gyrázttl (Leged), dott esetbe z dtok forrását s eg kell d. Az lább beuttott grfkook leggykrbb hszáltosk, bár ás ltípusk s vk z áltluk sertetett forához képest. A folytoos dtok esetébe z előző oldlko beutttuk hsztogr-ot, lletve z eloszlás görbét, z egyé övedele eloszlás változó segítségével. Dszkrét, külööse őség dtok egeleítésére hszált egyk sert grfko-típus körckkdgr (tortszelet, pe-chrt). Például cslád állpot változó eloszlásák reltív gykorság értéket z lább körckkdgr szelélet:. ábr. A t eloszlás cslád állpot szert (75) ôtle, hdo házs özvegy egyéb 54.5 Egy ásk grfko-típus z oszlopdgr (Colu). Hszálhtó d z bszolút, d pedg reltív gykorság értékek egeleítésére sőt két változó együttes eloszlásák szeléltetésére s. Vgyázzuk rr, hogy grfkus ábrák gyo kevés dt lpá készüleek el, h pedg elkerülhetetle sok dt felhszálás (például dősorok esetée), kkor voldgrát hszáluk. Továbbá vgyázzuk rr s, hogy z ábrák kellő gyságúk legyeek, egeletetett száértékek és szöveggyráztok ól olvshtók legyeek. Például vegyük z előbb lfeezetbe sertetett skolázottság eek szert eloszlását, z bszolút gykorság értékek lpá: 33

34 3. ábr. Az skolázottság szt eek szert (75) Férf o 0 Áltláos Szkskol Líceu Egyete A (vízsztes) sávdgr (rúddgr, Br) hsoló fethez, csupá z oszlopok helyett vízsztes sávok helyezkedek el: 4. ábr. Az skolázottság szt eek szert (75) Egyete Líceu Férf Szkskol o Áltláos A hlozott terület-grfko ól szeléltet bzoyos ráyváltozásokt dő-perspektíváb. Például ól beutthtó egy város épességéek etk összetétele dő-perspektíváb: 5. ábr. A épesség etk összetételéek változás 90 és 99 között X városb (000 fő, fktív dtok) éetek Mgyrok Roáok Az dtok ábrázolásár ég száos ás grfko típus létezk. Ezek tuláyozhtók felsorolt progrok grfkoszerkesztő eübe. 34

35 4. AZ ADATOK ÖSSZEGZÉSÉRE HASZÁLT STATISZTIKAI MUTATÓK Az dtk tuláyozás e dg kelégítő, áskor pedg e lehetséges változók értékeek eloszlás áltl. Ezért oly uttók hszáltár v szükség, ely változókról sűrítettebb ódo dk forácót. Alpvetőe kétféle ódo yerhetük sűrített forácót változókról: közpot, vgy tpkus értékekkel, elyek cetráls tedecát elzk, és szóródás értékszávl, elyek z értékek reltív változtosságák (szóródottságák) értékét feezk k. 4.. A cetráls tedec érőszá A sttsztk vzsgáltok sorá egyedeket vzsgáluk eg zzl távlt célll, hogy sokságot elleezzük, sokságr votkozó (és e lkotó egyedere) vouk le következtetéseket. Ilye űveleteket guk s végzük, kor rr kérdésre, hogy lye volt krádulás? zt oduk rövde, hogy ó vgy zt, hogy elég ó. Egy lye keletés egyféle átlgolás készülődés, csogolás, egyvásárlás, utzás és több eseéy fölött értékelésekek. Igz ugy, hogy vk szeélyek, kket ár egyvásárlás körüléye úgy kboríthtk, hogy z egész krádulás ég elkezdése előtt pocsék elzőt kp tőle, ugykkor egy ásk szeélyt egyáltlá e zvrk ugyzok körüléyek; depkb gykr esük szubektív érzetek htás lá. A tudoáyosság zt s elet, hogy következtetések lpát precíz száítások képezk, elyeket bárk h elvégez ugyzokkl beeő dtokkl ugyrr következtetésre ut. A cetráls tedecá eység változók értékeek tpkusságát próbáluk egrgd úgy, hogy vlféle átlgot keresük. Ilyeek edá (középső érték) és szát átlg (középérték) A (szát) átlg (ME) A legegyszerűbb és legsertebb középérték szát középráyos, elyet egyszerűe átlgk szoktuk evez. Az átlgot csupá eység változókr száítuk k és főleg értelezzük (z SPSS progr e godolkozk, bárlye uérkus típusk defált változó eseté kszáít z átlgértéket, ég kkor s, h változó uérkus eysége sorszáot trtlzk vgy etkuok, felekezetek, eek kódt). Egy eység változó átlg értelezés szert felvett összes érvéyes értékek szát középráyos. Hszáltos ég éd kfeezés s z átlgr, vlószíűség változó eseté pedg várhtó érték egevezés. H változó X és eek értéke redre (e feltétleül övekvő sorredbe),.. ( sokságbel érvéyes esetek szá), kkor z átlgérték értelezés szert: M... ( X ) Az átlgértéket szokták ég egyszerűe -el s elöl. H változó értéke között sok hsoló, kkor ylvávló ezek összegzése helyett gykorsággl vló szorzást foguk hszál. Például, h egy dákcsoportb 7-e 9 évesek, 8-0 évesek, 4-e évesek és egy 4 éves, kkor z életkorok összegét egyszerűe így száítuk k:

36 Ilye esetbe z átlg képletét szokás ég így s egd: f f Vlószíűség változók esetébe z... f 36 k k k f f... fk k f f k f f. reltív gykorság helyett p vlószíűség hszáldó. A szát átlgr klsszkus péld z skol tuláy átlg, de tud kell zt, hogy z skol szbályzt z átlgértékeket két tzedeseggyel kér és kerekítés élkül (két tzedesegyre vló csokítássl), vszot tudoáyos lklzásokb kerekítést kell hszál. Áltláb egy tzedeseggyel többre kell kerekíte, t háy tzedesegy hszáltos változób. H z életkorokt évekbe feeztük k, z átlgéletkort egy tzedesegy potossággl duk eg ( ár elített dákcsoport esetébe 40/00. év), de h z esetszá több száz vgy ezerél s több, z átlgértékeket ár kettővel több tzedeseggyel szokták egd. Péld Egy felért táb egkérdezett szeélyek lkásák szobszá következő eloszlást utt: szob szeély szob szeély 3 szob szeély 4 szob szeély 5 szob szeély 6 szob szeély 7 szob... szeély 8 szob... szeély 9 szob... szeély Akkor z átlgos szobszá: Tehát z 68 válszoló szeély átlgos.94 szobás lkásb él. Az átlg tuldoság Bzoyítás élkül elodhtuk zt hszos tuldoságot, hogy z átlgérték változó legksebb és leggyobb értéke közé esk. H egy dákcsoport átlgéletkorák 43 év körül értéket d z SPSS progr, kkor bztos z dtháyt 99-el vgy 999-el kódoltuk és progrb e érvéyteleítettük, így elég hr ráöhetük ulsztásukr (ezért áltos z dtháyt vgy ás érvéytele válszt krívó eltérő értékkel kódol). A több tuldoság keletése és bzoyítás érdekébe legyeek X, Y eység változók egy sokságo,, b vlós száok.. M(X)M(X) Bzoyítás: M ( X ) ( ) M ( X ) M ( X ). M(bX)bM(X) Bzoyítás: M ( bx ) ( b ) b bm ( X ) 3. M(bX)bM(X) Bzoyítás: z előző két tuldoság lpá zol.

37 4. M(XY)M(X)M(Y) Bzoyítás: M ( X Y ) ( y ) y M ( X ) M ( Y ) Az első tuldoságot gyo ól lklzhtuk kéz száítások esetébe és kor változó értéke d gyok. Ilyekor ó egy közel becslést tlál z átlgértékre, d ezt kvo de egyes eset értékéből. Ilye becslés lehet például edá, de h e redelkezük eek értékével, z se b, csk oly száot tláluk, t köyű kvo változó értékeből és külöbségek látváyos ksebbek, t z eredet értékek. A következő tábláztb beuttuk z átlgérték kéz kszáítását, párhuzos, z értelezés lpá és z. tuldoság felhszálásávl (z X változó egy dákcsoport egye társdlosttsztkából, BBTE, gyógypedgóg szk, 000/00-es tév). 9. táblázt. Az átlg kéz kszáítás z. tuldoság segítségével z Összes 03 Átlg Ie M(X) M(Z8) M(Z) Megelíthető továbbá z átlgértékek éháy ás tuldoság s: 5. ( ) 0 (ásképp írv: M(X M(X))0). (ásszóvl: z eltérés-égyzetösszegek z átlg esetébe álsk). 6. ( ) R ( ) Az SPSS progr segítségével száíttthtuk átlgértékeket, de z ezt kváltó utsítás egyéb ellező kszáítását s trtlzz, ezért eek beuttását szórás utá tesszük eg. Átlg kszáítás folytoos, de csoportosított dtokból A folytoos ellegű változók sokféle, egyástól eltérő értéket vehetek fel. Aeybe z dtokt potos értékükkel rögzítettük száítógépes progr áltl, lehetőség v z átlgot potos értékéek kszáítttásár progrutsítássl. éh előfordul, hogy dtkt csoportosított foráb rögzítettük (kódok áltl), vgy ások áltl gyűtött dtoko dolgozuk, hol z llető folytoos dtok csoportosított foráb eleek eg. Ebbe z esetbe z átlgértéket potos 37,

38 e száíthtuk k, de gyo ó becslést dhtuk rá, és becslés ál obb, él rövdebbek, szűkebbek csoportok (tervlluok) és ezeke belül él kább egyeletes z dteloszlás. Alpvetőe fotos, hogy dtk oly ódo legyeek csoportosítv, hogy változó leglább tervlluskál legye, tehát létrehozott csoportok egyelő hosszúságúk legyeek. A csoportosítás eletőse leegyszerűsít z átlgszáítás elárást, á hátráyokkl s ár. A csoportosítás eredéyekét forácót veszítük, hsze csk zt tuduk, hogy egy ktegóráb, csoportb háy eset ut, de zt e, hogy csoporto belül z lsó vgy felső htárhoz állk közelebb z esetek vgy egyeletese oszlk el. Például, h z egyéek hv ettó övedeléek átlgár vgyuk kívácsk és feltett kérdés utá külöböző övedeleértékek közé kell elhelyezzék sátukt, kkor csupá zt tuduk például, hogy z és lló le között övedelek szá 358, de zt e tuduk, hogy ezek,5 llóhoz vgy éppe llóhoz állk közelebb, vgys hogy oszlk eg z tervllu belseébe. A száítás logká z, hogy feltételezzük z értékekről, hogy z tervlluoko belül egyeletese oszlk eg, így csoport felezőpot képvselhet eek ktegórák z átlgát. A teles átlg becsléséek eete következő: z tervlluok középpotát szorozzuk csoporthoz trtozó esetek száávl, ezeket d összeduk és elosztuk t eleszáávl. Képletbe kfeezve: k f, hol k ktegórák szá, z tervlluközép. Az így kszáított becslést súlyozott átlgk s evezk. Péld Egy felérés sorá 95 szeélyt kérdeztek eg, többek között hv ettó övedelükről, lebe kfeezve. A övedeleket egylló lees hosszúságú csoportokb sorolták, úgy, hogy csoporthtárok z lsó htárhoz trtozk. Íe ktegórák gykorságák eloszlás: 0. táblázt. Átlgérték becslése csoportosított dtokból A szeély hv övedele Szeélyszá f Csoportközép [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) Összese () 95 Az átlg kszáításához behelyettesítük képletbe fet értékeket: k f ( ) Tehát végeredéyek zt kptuk, hogy vzsgált épesség hv átlgos ettó övedele (000-be) le. 38

39 4... A edá (VV) A edá középe elhelyezkedő érték egy redezett értéksorb. Értelezés szert edá z z érték, elyél ugyy gyobb, t ksebb értékű eset v. A edát, kárcsk z átlgot, eység változókr száíthtuk k. A edá utt z értéksor középe elhelyezkedő, középső pozícót felvevő értékét, ezért z u. pozcoáls értékek legfotosbbk (erről lásd ég hátrább). Dszkrét dtok esetébe egyszerűe úgy htározzuk eg edát, hogy kválsztuk középső értéket szert, hogy sokságuk (ták) páros vgy pártl száú. H pártl, kkor edá értéke közvetleül középső érték lesz, elyek sorszá z összes érték övekvő sorb redezése esetébe ()/ lesz. H páros, kkor cs egy potos bezoosíthtó középső eset. Ilyekor kovecó szert edá értéke két középső érték szát átlg lesz. Jelölük -vel z értéksor eleet, hol... Akkor Me lesz. Az olvsób felerülhet z kérdés, hogy h ár száítuk átlgot, elyek értéke elz cetráls tedecát z értéksorukb, kkor ek kell edát s száol. Azért, ert edá ás tuldoságokkl redelkezk t z átlg, értékét e befolyásolák szélső változóértékek gyság, szóródás. Az átlg ezzel szebe szászerűe gáb fogll de értéket, tehát terészetszerűe gyo kugró szélső (redkívül gy, vgy ks) értékek érzékelhetőe befolyásolák z áltgot. Egyes esetekbe fotos z, hogy oly középértékük legye, elyet e befolyásolk szélső értékek. Például egy épesség edá övedeleértéke ól utt zt, hogy épesség gyobb része lye összegből kell egéle. Az átlgérték tt, hogy vszoylg ksszáú gyo gs övedeleket s gáb fogll, gykr e tud ezt yr potos egutt. Példák. Legyeek következő értékek egy líceu osztály évhrd vég tetk egye: 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 0, 0, 0. Az osztályb tehát dák kpott osztályztot tetkából. Pártl száú esetük v, edá -edk eset, eek értéke: Me 7.. A következő értékek pedg egy líceu osztály flozóf évhrd vég egye: 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0. Az osztályb tehát 0 dák kpott osztályztot flozófából. Páros száú esetük v, tt edá 0-dk és -dk eset átlg: Me (78)/ 7, H z dtk dszkrét csoportosított foráb vk egdv, kkor z elárás egyszerűsége érdekébe áltos kszáít z egyes értékek előfordulásák kuulált gykorságát. Md ezutá ól láthtó z, hogy elyk érték száít edák. Medá kszáítás csoportosított (folytoos) dtokból Abb z esetbe, h folytoos ellegű dtokból egyelő hosszúságú tervlluokt hozuk létre, kkor száíthtuk edát, h z eseteket úgy tektük, th z dott tervlluo belül egyeletese oszlk eg. Az elárás eete következő: Kszáítuk kuulált gykorság értékeket, Kelölük középső esetet trtlzó tervlluot, Meghtározzuk edá vlószíű helyét z tervlluo belül. Térük vssz z átlgál hszált példár, ely hv ettó övedeleket csoportosított: 39

40 . táblázt. Medá száítás csoportosított dtokból A szeély hv övedele Szeélyszá f Kuulált gykorság [ ) 5 5 [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) 5 95 Összese () 95 / 597,5, zt elet, hogy edá hrdk tervllub v. A edá vlószíű helyét egy képlettel száíthtuk k, ely középső pozícó értéke (/) lpá száítódk, rr lpozv, hogy z értékek egyelő távolságr vk z tervlluo belül. (lásd ég Bllock, ) F Me l f hol: F - z lsó tervlluhtárk egfelelő kuultív gykorság f - edát trtlzó tervllur utó esetek szá l - edát trtlzó tervllu lsó htár edát trtlzó tervllu szélessége. A esetükbe z tervllu szélessége A edát trtlzó tervllu lsó htár le. Behelyettesítve száértékeket, egkpuk edá értékét: Me * A pozcoáls értékek (VV) Az előbb edá tárgylásáál elítettük, hogy z pozcoáls érték bb z értelebe, hogy z értéksort két egyelő részre bot. Vk ás pozcoáls értékek s, elyet összefoglló kvtlsekek evezzük. Kvtlseket csupá folytoos eység változókr száoluk. A kvtlsek oly értékek, elyek potos z esetek dott (eghtározott) háydáál gyobbk. A legfotosbb kvtls értékek következők: kvrtlsek: z értéksort égy egyelő részre boták. declsek: 0 egyelő részre boták z értékek sorát. cetlsek: 00 egyelő gyságú részre oszták fel z értéksort. Megfgyelhető, hogy degyk kvtls érték eve lt yelvből szárzk, és utt, hogy háy részre oszt z értéksort (pl. decls 0-es értékre utl). Mdegyk kvtls esetébe eggyel kevesebb kvtls érték v, t ey részre oszták z értéksort. Így például v első, ásodk és hrdk kvrtls, elyek égy egyelő részre boták z értékeket. F 40

41 A kvtlsek kszáítás hsoló edáéhoz. Dszkrét dtok esetébe vszoylg köyedé bezoosíthtók kvtls értékek kuultív eloszlás felhszálásávl. Folytoos csoportosított dtok eseté először s eghtározzuk z llető pozcoáls értéket trtlzó tervlluot kuultív gykorság értékek segítségével. Az tervlluo belül pedg egkeressük z llető kvtls érték (/4, /4, 3/4, /0 és így tovább) pozcók egfelelő értéket. A kvtls értékeket társdl rétegződés és gzdságszocológ kuttásokb hszálák elsősorb, hol eghtározhtó például z első (lsó) decls hv ettó övedeleérték, él épesség egytzede kevesebbet keres. Ezek legszegéyebbek zo épessége belül A ódusz (VV) A változók értékeek eloszlását vzsgálv dg kell rr fgyelük, hogy lye ráyb fordulk elő külöböző értékek. Az értéksorból keelkedk z z érték, elyek leggyobb gykorság. Egy változó leggykrbb előforduló értékét óduszk evezzük. Folytoos dtok esetébe e dg v ódusz, vel több értékek s lehet ugyy gykorság, de h változó értékeek eloszlását ábrázoló gykorság görbéek v uhelye, kkor zt óduszk evezzük. A ódusz kfeezés dege eredetű, foglt frc ode szóból szárztták, ek eletése: dvt, tehát z, legkább elteredt, legkább előfordul. A ódusz gykorság e feltétleül hld eg z esetek felét, tehát e z ú. bszolút többséget töörít (bár ez s egtörtéhet), de leglább reltív többségét töörít z esetekek (Mueller Schuessler, 96, 4-7). A óduszt evezhetük odáls értékek s. H értékek ktegórákb vk töörítve, kkor beszélhetük odáls ktegóráról. A ódusz értelezhető d őség, d pedg eység változókr. H z eloszlásukb egyértelűe eghtározhtó ódusz értéke, kkor uodáls eloszlásról beszélük. H két értékek ugyy gykorság, kkor bodáls eloszlásról beszélük. Hsoló lehet ultodáls eloszlást s tlál, hol több érték gykorság egegyezk. Mtetk értelebe, h e egy ódusz-értékük v, kkor zt oduk, hogy cs ódusz. Társdlotudoáy elezésekbe terészetese egelölhetük ultodáls eloszlás csúcsértéket. Péld Htározzuk eg k változók óduszát, ely egy felérésbe egkérdezett csládok gyerekeek száát töörít, z lább eloszlásb:. táblázt. A csládok eloszlás gyerekszá szert Gyerekszá Csládok szá cs 50 gyerek 4 gyerek 30 3 gyerek 3 4 gyerek 7 5 gyerek vgy több Összese 798 A leggykrbb előforduló érték gyerekes cslád, tehát ódusz értéke. 4

42 A ódusz kszáítás csoportosított (folytoos) dtokból A ódusz folytoos (ellegű) dtok esetébe e dg htározhtó eg. Megtörték, hogy cs két ugyoly érték, h gyo potos érük. Redszert zob egyes értékek gykrbb fordulk elő többekél. H folytoos dtok csoportosított foráb vk egdv, kkor köyűszerrel eghtározhtó odáls tervllu, de g odáls érték e yr egyszerűe htározhtó eg. Itt tervlluskáláb csoportosított dtokr v szükségük hhoz hogy egy képlettel eghtározhtó legye ódusz értéke. Itt s zt feltételezzük, hogy z tervlluoko belül egyeletese oszlk el z értékek, vszot e tévesztük sze elől zt, hogy z osztályhtárok többé-kevésbé ökéyese voltk kelölve. Ezért ódusz értékéek kszáításkor e csupá odáls tervllu, he szoszédos tervlluok gykorságát s fgyelebe vesz. Eszert óduszt következő képlettel száítuk k: D Mo l D D hol: l odáls tervllu lsó osztályhtár D odáls tervllu és z előtte levő tervllu gykorságk külöbsége D odáls tervllu és z utá következő tervllu gykorságk külöbsége z tervllu szélessége Péld Száítsuk k z előző lfeezetbe hszált (0. táblázt), z átlgövedelekre votkozó péld értékere óduszt! 3. táblázt. A ódusz kszáítás csoportosított dtokból Szeélyszá A szeély hv övedele [ ) 5 [ ) 358 [ ) 450 [ ) 35 [ ) 75 [ ) 5 Összese () 95 Láthtó, hogy odáls tervllu és 3 lló között övedeleket trtlzó ktegór. Eek egfelelőe: l D f Mo f Mo D f Mo f Mo D Mo l /35* D D f 4

43 4.. A szóródás uttó A szóródás áltláos zt próbál egrgd, hogy eyre heterogéek z dtk. Értele kssé elvotbb, t z átlgé, vszot sttsztk száításokb gyo gykor hszált. A szóródást többféleképpe érhetük, külöböző potossággl és elvotság szte. Fotos egegyez, hogy szóródás értékszáokt csupá eység változókr száolhtuk. Az lábbkb szóródás értékszát sertetük. 4.. A rge (VV) A rge gyo egyszerű értékszá. A rge-et (ás evé: pltudó) leggyobb és legksebb érték külöbsége d (áls változás). Képlettel kfeezve: Rge M M. Csoportosított dtok eseté rge két szélső ktegór felezőpotk külöbségéből száíthtó k. A rge kfeez zt, hogy lye széles értékskálá ozogk z dtok. Hátráy z, hogy z értékskál közbeeső értékeről set se tuduk eg, e beszélve rról, hogy éháy kvételese kugró értékű eset ellett rge gyo félrevezethet kuttót. Előye, vel gyo egyszerűe előállíthtó és köye egérthető, hogy lkusokk beutssuk z dtk szóródását. Például. h egy vállltál legksebb övedele le, leggyobb pedg le, kkor Rge le A kvrtls devácó (VV) Ezt értékszáot olykor hszálák pszchológáb és eveléstudoáyokb. A rge-hez hsoló logká lpul, de e szélső értékekből, he z első és hrdk kvrtls értékek külöbségéek felével egyelő: Q 3 Q Q A rge-él egbízhtóbb, ert e függ z esetleg gyo kugró szélső értékektől. Vszot hátráy z, hogy e tükröz z összes érték szerepét z értéksorb Az átlgos eltérés (VV) Az átlgérték egyk eletése z s lehet, hogy egd zt z értéket, ellyel egy telese hoogé sokság degyk tgák redelkeze kellee hhoz, hogy egészébe ugyzt képet utss két sokság. A telese hoogé helyzethez képest reáls sokság sokféleségével tér el, és eek z eltérések értékét terészetese z egyes értékekek z átlgtól vló eltérésével elleezhetük. Az lgebr külöbségekkét ezek átlg 0 (köye bzoyíthtó összefüggés, e térük k erre). Ahhoz, hogy poztív és egtív előelű külöbségek e selegesítsék egyást, ezekek bszolút értéket (z eltéréseket) összegezzük. A sttsztkáb z eltéréseket áltláosbb egy rögzített értékhez s vszoyíthtuk:. A legellezőbb eltérés z átlgtól vló eltérés (roául: btere de l ede):. Meghtározás szert z átlgtól vló átlgos eltérés (t hogy eve s utt) z egyes értékek átlgtól vló eltéréséek szát közepe. Eek egfelelőe képlete következő: Az átlgos eltérések, bár köyebbe értelezhető t továbbkb tárgyldó uttók, hátráy z, hogy z bszolút értékek (oduluszok) tt eheze kezelhető lgebrlg, átlkítások szte telese kzártk, kéz száítás képletek e vezethetők le (Bllock, ). Igz, ár progrozhtó száítógép ugyoly gyors kszáít ezt s, t egyéb szóródás uttót, de hát z dők sorá kevés szerepet kpott. 43

44 4..4. A szórás és szóráségyzet (vrc) (ME) Az átlgos eltérés háyosságát ( oduluszos kfeezéseket) úgy küszöbölhetük k, hogy z értékek átlgtól vló eltérését égyzetese átlgoluk (zz égyzetre eelük, átlgoluk és végül gyökvoássl vsszhozzuk z eredet értékegységre). Képlete: D ( X ) σ ( ) Ezt σ-t evezzük szórásk, gyök ltt eységet szóráségyzetek (dege eredetű szóvl vrcák). ylvávló, hogy ez z értelezés kevés, de gyobb gykorságú értékekkel redelkező k ( ) f változók esetébe σ lkot s felvehet. k f A tetk átlkítások sorá szóráségyzetből duluk k, ugys égyzetgyökös eységek s csk korlátolt értékbe lkíthtók át. Egy lye űvelet zol elvezet egy oly lkhoz, elyet kéz száítások sorá gykr lklztk. A levezetést s és z lklzást s beuttuk következőkbe, k elleére, hogy száítógépes progrok e géylk eze egyszerűsítő képlet seretét. σ ( ) ( ). Rövde tehát: σ, zz szóráségyzet szászert egyelő égyzetek átlgák és z átlg égyzetéek külöbségével. Kéz száítások esetébe zért előyös eek képletek z lklzás, ert z -et potosbb kszáíthtuk, t z ( ) -t, tektettel rr, hogy z átlgérték áltláb sok tzedeseggyel írhtó fel kellő potossággl. A -es tábláztb beuttuk szóráségyzet kéz kszáítását, párhuzos, z értelezés lpá és száítás képlet segítségével (z X változó egy dákcsoport egye társdlosttsztkából, BBTE, gyógypedgóg szk, 000/00-es tév). A szóráségyzet z értelezés lpá.536, száítás képlet szert pedg Az eltérés kétféleképpe kszáított szóráségyzet esetébe száottevő, és egyk se potos érték. A potosbb érték kszáításár σ kfeezésbel két átlgértéket kell potosbb felír, d közös evezőre hoztl és osztás utá kellő potosságú szóráségyzet áll redelkezésükre: σ A szórást gyökvoás útá kpuk eg: σ.59. Elképzelhető, háy eltérést kellee potosbb felír és égyzetreeel, h eg kellee győződ ról, hogy z értelezés lpá kszáított szóráségyzet kellő potosságú. A száítás képlet előye z s, hogy kkor s lklzhtó, kor ég e s redelkezük z összes dttl, vgy h több szeély segítségét kérük, degykük redelkezvé z dtok egy részével, végül csk részösszegeket kell szuáz z átlgértékek kszáítás érdekébe. 44

45 4. táblázt. A szóráségyzet kszáítás 7. 9 ( ) Összes Átlg A fet értelezés vgy száítás képlet lpá száított szórásról áltláb elodhtó, hogy egyféle átlgos eltérés sokság átlgától, de elég gykork z oly esetek, kor ez e gz.h egy eset krívó gy vgy kcs értékkel redelkezk vzsgált változó esetébe, kkor z ehhez trtozó eltéréségyzet ellett többek eltörpülek, hgsúlyozott doál ez z eset szóráségyzetbe. Példkét vegyük egy tíztgú dákcsoportot, ezek közül 5-ek testvére v, több 5-ek. Így átlgb dákokk.5 testvérük v, ettől átlgos 0.5-tel térek el változóértékek, szórásk s 0.5-öt kpuk. De h csoport kbővül egy ú dákkl, kek éppe 8 testvére v, testvérek szá átlgos 3.0 lesz, z ettől vló eltérések:,,,,,,,,,,5, eltéréségyzetek pedg: 4,4,4,4,4,,,,,,5. A -re bővült csoportb z átlgtól vló eltérések összege 30, eek felét z ú dák szolgáltt, z eltéréségyzetek összege 50, ből ár 90% szárzk z ú dákr száított értékből. Láthtó, hogy szórás értelezéséek vk előye, de vk hátráy s. Hátráy z s, hogy áltláb egy gyobb sokságb előfordulk krívó esetek, vszot z e vett táb ezek ksebb vlószíűséggel veszek részt, ezáltl táb száított szórás e ó becslése sokság szórásák. H tbel szórás lpá kruk becslést d sokság szórásár, kkor ódosít kell tszórás képletét olyód, hogy vlvel gyobb érték dódo, t z eddg értelezés szert. A tetklg s levezethető összefüggés következő: s ( ). Az így kpott szórást evezk tehát tszórásk, de hszálák egyes szerzők korrgált szórás vgy stdrdzált szórás kfeezést s. Sttsztk űveleteket s tudó zsebszáológépeke dkét szórásérték behozhtó, hszált elölések z tt s egelet s és σ, esetleg σ - és σ. Az SPSS progrcsog sos csk tszórást (és szóráségyzetet) eleít eg eredéykét. Eek gyrázt z lehet, hogy kezdetbe pszhológ elezések segítőprogr volt z SPSS, z lye elezések pedg tá, ksérlet csoportoko vett dtokkl törtéek, z egész sokság (korrgáltl) szórásár vló becslés tbel korrgált szórást követelte eg. A progrb cs külö-külö utsítás eység változó külöböző ellezőek kszáításár, ezeket egyetle prcskötegbe d kdhtuk. H z utsítást eüből kruk kd, kkor ktttsuk Sttstcs főeüpotr, ztá leyíló eüoszlopb Surze

46 áltr, eze belül pedg Descrptves... dlógusblkr. Ez z blk roppt egyszerű, bl oldl lstából átvsszük változókt Vrbles evű ezőbe és z OK gobr ktttuk. Az eredéy egy táblázt: Descrptve Sttstcs X Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto elybe leggykrbb hszált ellezők értéket tláluk: esetszá (), legksebb érvéyes érték (Mu), leggyobb lye érték (Mu), z átlg (Me) lletve tszórás (Std.Devto). Ugyezt Syt-blkból következőképpe érhetük el: des. A 4. táblázt oszlopt ( 3 esetet) SPSS dtfálból vettük át, változók eve,, és, z összegek és átlgok kszáításár des,,, /st su e. utsítást hszáltuk. Aeybe változók egyéb ellező s érdekelek, kkor dlógusblkból yssuk eg z Optos evű prcsdobozt, elybe ár beelölve tláluk zokt, elyek stdrd beállítás prétere. Az tt egeleő kpcsolók következők: Me (átlg), Su (összeg) dobozlpb, Dsperso ezőbe Std.devto (tszórás), Vrce (t-szóráségyzet), Rge (pltudó), Mu (legksebb érték), Mu (leggyobb érték), S.E.e (stdrd hb, léyegébe sokságból képezhető összes eleű t tátlgák sokság átlg körül szórásár dhtó becslés, t átlgák z elélet várhtó értéktől vló várhtó eltérése), Dstrbuto evű ezőbe Kurtoss (lpultság, h poztív, kkor csúcsos, h egtív, kkor lpos z eloszlás), Skewess (ferdeség, h egtív, z eloszlás blr ferdül, h poztív, kkor obbr), és végül Dsply Order evű ezőbe beállíthtuk zt, hogy több változó eseté változók sorrede tábláztb t kövesse: Vrble lst ( felsorolás sorrede), Alphbetc ( változóevek ábéce szert rede), Ascedg es és Descedg es (z átlgérétkek övekvő vgy csökkeő sorrede szert). A Syt-blkb fetek ellett kérhetük változók tábláztbel sorredét ár előbb felsorolt ellezők bárelyke szert ( Dsperso, Dstrbuto ezőkbe levő ellezők), de ezek e yr fotos beállítások, sorrede változtthtuk tetszés szert kkor, kor szövegszerkesztőbe dolgozv hozzuk létre tábláztkt A szórás tuldoság. Két változó kovrcá (ME) A szórás (és szóráségyzet) esetébe z értelezés lpá köye levezethető éháy oly tuldoság, elyek lklzásávl leegyszerűsíthetők kéz száítások, vgy elleőrzhetők ások eredéye. A továbbkb legyeek X, Y eység változók egy sokságo,, b vlós száok. Tuldoságok:. D(X)D(X) Bzoyítás: D ho zol következk keletett tuldoság. ( X ) ( ) ( X ) ( ) ( ) D ( X ), 46

47 . D( b X ) b D( X ) Bzoyítás: D b b b D X ( b X ) ( b ) ( bx ) ( b b) [ b( ) ] ( ) ( ) ( ) ho zol következk keletett tuldoság. 3. D( b X ) b D( X ) Bzoyítás: z előző két tuldoság lpá zol következk. Az első tuldoságot gyo ól lklzhtuk kéz száítások esetébe és kor változó értéke d gyok, szórás vszot kcs. Ilyekor ó egy közel becslést tlál z átlgértékre, d ezt kvo de egyes eset értékéből (lye becslés lehet például edá vgy egy oly szá, t köyű kvo változó értékeből és külöbségek látváyos ksebbek, t z eredet értékek). Szeléltető példák (bár e gzá ó erre) vegyük korább ár hszált esetet, 3 tgú dákcsoport egyet társdlosttsztkából. 5. táblázt. A szóráségyzet kéz kszáítás z. tuldoság segítségével 8 z Összes 33 Átlg z ( ) Ie D ( X ) D ( Z ) M ( Z ) M ( Z ).5385 ( 0.077). 536 A ásodk tuldoság oly esetbe tesz ó szolgáltot, h értékegységet kell cserélük változób. Például, h egy csoportb testgsságot c-be dták eg, átlg és szórásértékkel együtt (68.6 c, σ4.8 c) és ekük éterbe kell száol, kkor ár kszáított ellezőket egyszerűe elosszuk 00-zl, értékegység cserééek szorzótéyezőével (.686, σ0.48 c). Áltláb e bzoyíthtó z átlgérték 4. tuldoságához hsoló összefüggés, vgys D X Y D X D Y. ( ) ( ) ( ), 47

48 Az értelezés lpá: ho: D ( X Y ) ( y ) ( X Y ) ( y y) [ ( ) ( y y) ] [ ( ) ( )( y y) ( y y) ] ( ) ( )( ) y y ( y y) D X D Y y ( ) ( ) ( )( y), ( X Y ) D ( X ) D ( Y ) ( )( y y) D. Vszot tuldoság helyett egy ú foglo bevezetését tesz lehetővé fet eredéy, éspedg kovrcáét: cov( X, Y ) ( )( y y) y y szorzt poztív értéke rr utl, hogy A kovrc együttes változást ér, z ( )( ) egydőbe átlgo felül vgy egydőbe átlgo lul dkét változó értéke, így kkor, kor gykor z lye eset ( változók összefüggek egyássl), kovrc értéke poztív és gy. Akor fordított összefüggés gykor, zz sok egyed esetébe z egyk változó átlgo lul és ásk átlgo felül értékkel redelkezk, kkor kovrc egtív értékű lesz és bszolút értékbe gy. Aeybe z együttes változás véletleszerű, vgys gyából egyforá gykork z oly egyedek, kk esetébe változók értéke átlgo lulk s eg átlgo felülek s, összefüggés élkül, kkor kovrc értéke kcs. Ez kcs eléggé vszoylgos, ert kovrc értéke értékegység-függő, de reltvzál lehet ezt, hogy egy később prgrfusb lát s foguk. Addg s érük be egy ú elélet foglo bevezetésével. Két eység változót függetleek evezük, h kovrcáuk zéró (0). Eek foglok felhszálásávl kelethetük egy úbb tuldoságot, t ár e kell bzoyít, ert függetleséget úgy érteleztük, hogy e tuldoság éppe feállo: 4. Függetle X,Y eység változók eseté D( X Y ) D ( X ) D ( Y ) Az átlg és szórás kszáítás részeredéyek lpá (ME) Előfordulht oly helyzet s, hogy részsokságokét seretesek z átlgértékek és szórások, és ezekből kell eghtároz teles sokságb érhető átlgot és szórást. A következőkbe levezetések kssé boyolult elöléseket géyelek. Tételezzük fel, hogy egy eleű sokságo értelezett egy eység sérv (X). H sokságot több (k száú) lsokságból hozzuk össze, kkor léyegébe v egy őség sérv s (Y), elyek ktegórát elölük -től k-g teredő száokkl. A külöböző egyedek eze őség sérvre votkozó zt sorszáot kpák, háydk csoportból szárzk. A eység sérv értéket egyrészt elölük -vel (..), ásrészt egy ú elölésbe vegyük be zt s, hogy elyk Y-bel ktegórához trtozó ele értékéről v szó:, hol..k,.. és -edk ktegóráb trtozó esetek szá. Legye z egész sokságr száított átlgértéke z X változók, σ pedg szórás és legyeek és σ ugyeek változók z átlgértéke és szórás z Y szert -edk ktegóráb (..k). 48

49 49 Ekkor ylvávló gzk z lább összefüggések: k, k k k, ( ) σ,..k. A következő levezetés ár boyolultbb, de követhető ez s és végeredéy egér fárdtságot: ( ) ( ) k σ ( ) k ( ) ( )( ) ( ) [ ] k ( ) ( ) ( ) k k k ( ) k k k σ ( ) ( ) k k k σ ( ) k k σ. Az utóbb összegbe szokták z első tgot csoportoko belül égyzetösszegek (Q w, wthbelül) evez, ásodk tgot pedg csoportok között égyzetösszegek (Q b, betweeközött). Aeybe dkét oldlt elosztuk z összesetek száávl, kkor z lább összefüggéshez uthtuk: ( ) b w k k k k σ σ σ σ, hol w σ evezhető csoportoko belül szóráségyzetek (potosbb csoportoko belül szóráségyzetek súlyzott középráyos), b σ pedg csoportok között szóráségyzet (léyegébe z teles szóráségyzet, kkor dód, h degyk csoportb egfgyelt értékeket helyettesíteők z llető csoport átlgávl). Alklzás szepotából ez utóbb képlet egyszerűbbe egegyezhető, h például k esetre íruk fel: ( ) ( ) σ σ σ, ehhez ég hozzá szokták ve z átlgérték egfelelő képletét:.

50 Kokrét lklzáskét tektsük egy 998-s felérésből száított dtokt: 6. táblázt. Átlgéletkor és szórás csoportoko belül A hely orvos ellátássl vló elégedettség szt Átlgéletkor Esetszá Szórás Szóráségyzet gyo elégedett Kssé elégedett Kssé elégedetle gyo elégedetle Összese???? Legköyebbe z összesetszá száolhtó k: Ezutá következk 94 szeély átlgéletkorák kszáítás: A legtöbb űveletet szóráségyzet kszáítás géyl: σ σ 3σ 3 4σ 4 ( ) ( ) 3( 3 ) 4( 4 ) σ ( ) 6( ) 86( ) 3( ) , és σ 5.39 Meg kell egyez tt zt s, hogy eybe részeredéyek tszórást trtlzk, úgy ódosul szóráségyzetet dó képlet s. Például z előbb feldtb szereplő esetekre z SPSS következő tszórásokt és -szóráségyzeteket d: 7. táblázt. Átlgéletkor és tszórás csoportoko belül A hely orvos ellátássl vló Mtszóráségyzet Átlgéletkor Esetszá Mtszórás elégedettség szt gyo elégedett Kssé elégedett Kssé elégedetle gyo elégedetle Az átlgértéket ugyúgy száítuk k ( 55.36), de ( ) s ( ) s ( 3 ) s3 ( 4 ) s4 s ( ) ( ) 3( 3 ) 4( 4 ) ( ) 6( ) 86( ) 3( ) , és s 5.4 Ez utóbb két végeredéyt kpuk, h z SPSS progrl dolgozuk (ezredy eltérések dódhtk kerekítések tt). 50

51 5. VALÓSZÍŰSÉGSZÁMÍTÁS ALAPFOKO (ME) A vlószíűségszáítás elélete ár egyk ág tetkák, kezdetbe evezték ég véletle tetkáák s, gát vlószíűséget bzoyosság fokk. A oder elélete vlószíűségszáításk e ellőzhet z proprus tegrálokt, többszörös tegrálokt, tehát eek z eléletek egserése, tételeek levezetése és lklzás essze túlhld középskol tetk sztét, ebbe z sertetőbe csupá éháy tudoáyos foglo evét, eletését és elölését foguk beutt, lletve éháy eredéyt foguk rövde sertet. A XVI-XVII. százd terészettudoáyok egyft bztos tudássl rgtták el z eberséget és eze tlo őtte k gát z z elélet, ely dolgok bzoyosság fokát tuláyozt. Kezdetbe szerecseátékok körül probléák (de Méré lovg feldt, Blse Pscl és Perre Fert levelezése) egoldásávl vetődött fel z szelélet, hogy részleges tudás s tudás, véletle eleségek bekövetkezéséek bzoyosság fok szászerűsíthető és ezekre tetk törvéyszerűségek érvéyesek. Mt de eléletbe, vlószíűségszáításb s vk lpfoglk, elyeket e értelezük, csupá szeléltetük, körülíruk. Ilye lpfoglo véletle eleség, elvotkozttott forá z oly terészetbe, társdlob egfgyelhető eleségekek, elyek de zoos (eléletbe telese zoos) körüléyek között egsétlődek (z eléletbe kárháyszor egsételhetők), de elyekek keetelét teles bzoyossággl e tuduk előre egod. Fotos z, hogy eg tuduk evez lehetséges keetelek degykét (vgy ezek hlzát). Egy lye eleség egfgyelését, leírását vzsgáltk evezzük, eleség lefolyásák körüléyet kísérletek, egyszer egsétlődését pedg próbák. A kísérlet (prób) lehetséges keetelet ele eseéyekek, ezek hlzát eseéytérk evezzük. A kísérlet keetelével kpcsoltos bárely keletést egyszerűe eseéyek evezük. Ezek közt v oly keletés s, elyk bárely prób sorá bekövetkezk (bztos eseéy) és oly, elyk sohse (lehetetle eseéy). Például, legye egy kísérlet átékkock dobás egy sztllpo (vízsztes síko). A kísérlet leírásához trtozk ég egfgyelt véletle eleség leírás: felső lpo levő pöttyök szá. Egy prób előtt e tuduk bztos, hogy háyst foguk dob, de bb bztosk lehetük, hogy felső lpo (kézbe vesszük kockát és véggforgtuk),, 3, 4, 5 vgy 6 pötty lesz. Az ele eseéyek ekkor: kock felső lpá pötty v, kock felső lpá pötty v,, kock felső lpá 6 pötty v. Az ele eseéyeket él egyszerűbbe szokták elöl, ebbe z esetbe erre leglklsbb pöttyök száát dó száegy:,,, 6. Az eseéytér ekkor z E {,, 3, 4, 5, 6}. Bztos eseéy lehet lyekor z keletés, hogy 0-él kevesebb pötty v kock felső lpá, lehetetle eseéy pedg kock felső lpá 7 pötty v. Az eléletbe z eseéyeket gy betűvel szoktuk elöl (A, B, ) és z E részhlzk tektük őket. Két eseéyt egyást kzárók evezük, h kísérlet bárely próbá sorá közülük legfelebb csk egyk következk be, egydőbe soh e következhetek be (A B ). H dobókock szbályos (t geoetr for), yg pedg hoogé, kkor ég bb s bztosk lehetük, hogy d ht ele eseéy bzoyosság fokát ugyzzl szál dhtuk eg (egyforá vlószíű ele eseéyek). De h kock e szbályos (például egyk srk letört) vgy yg e hoogé (egyk lpához közel belseébe egy ólodrb v, így súlypot ehhez lphoz közelebb esk), kkor s feltételezhető, hogy degyk ele eseéy bzoyosság fok létezk, vlós szál kfeezhető. Mde ás eseéyről hsoló elodhtuk, hogy létezk bzoyosság fokát ellező szá. ylvávló, hogy bztos eseéy bzoyosság fok leggyobb, lehetetle eseéyé legksebb, több eseéyé pedg e két szélsőérték közé esk. A legterészetesebb dolog, hogy legksebb bzoyosság ( lehetetle eseéyét) fokot 0-r állítsuk, leggyobbt ( bztos eseéyét) -re, 0-re vgy például 00-r. H bztos eseéy bzoyosság fokát -ek vesszük, 5

52 kkor z eseéyek bzoyosság fokát z eseéy vlószíűségéek evezzük. Mg vlószíűség egy függvéy (ele P), elyek értelezés trtoáy z összes eseéyek hlz (esetleg eek egy részhlz, ely részhlz eseéylgebrát lkot), értékkészlete [0, ] tervllu. E függvéyek redelkeze kell egy ge fotos tuldosággl, ely lehetővé tesz száítások elvégzését. Ezt tuldoságot evezk ég ddtívtásk, ugys zt követel eg, hogy z egyást kzáró A és B eseéyek (A B ) esetébe z A B vlószíűsége legye egyelő két eseéy vlószíűségeek összegével. Ezekkel feltételekkel gyszáú elélet kísérlet esetébe kszáíthtuk kísérlet bárely eseéyéek vlószíűségét. H z előbb elített kockdobást vesszük példák, kkor z,,,6 ele eseéyek párokét egyást kzárák, együtt bztos eseéyt dák és eléletleg egyforá vlószíűek, így degykük vlószíűsége /6 (tt ég egyszer felhívuk z olvsó fgyelét rr, hogy z egyforá vlószíű elzőt kísérlet léyegéből szetrából szárzttuk, és e o, hogy ezekek vlószíűsége ugyz szá, őség összefüggésekek következéye eység relácó). Áltláb egy kísérletet, hozzá redelt eseéytérrel és vlószíűséggel együtt vlószíűség ezőek evezük. H egy kísérlet ele eseéye egyforá vlószíűek, kkor vlószíűség ezőt klsszkusk evezzük. Egy klsszkus vlószíűség ezőbe bárely eseéy vlószíűségét következő képlet szert száíthtuk k: k P ( A), hol z ele eseéyek szá (összes esetek szá), k pedg z A eseéy bekövetkezését elődéző ele eseéyek szá (kedvező esetek szá). Azok kísérletek, elyekek sttsztk lklzás s vk, klsszkus vlószíűség ezőkét ge gyszáú ele eseéyel redelkezek. Ezek közé trtozk elsősorb tvétel kísérlete. Legye egy kísérlet például egy 5 eleű hlzból (elsőéves szocológus hllgtók csoportából) 6 ele véletleszerű kválsztás (6 dák ksorsolás). A lehetséges keetelek (egyforá vlószíű ele eseéyek) szá ge gy: 6 5! C5 7700, 6!9! lehetséges eseéyek szá pedg csllgászt értékekre rúg: ( E) ( ) 04 > ( 0 ) 0 P. Érdeklődésre száot trtó eseéy csk éháy v: ht dák közt cs fú, ht dák közt egy fú v,, ht dák d fú, vgy lyeek, t: ht dák közt legtöbb háro fú v, stb. Ezek z eseéyek e egyforá vlószíűek, kszáításukr úgyevezett vlószíűség odellek dk egyszerű képletet. A vlószíőség odellek közül csk kettőt elítük tt eg. Az első odell tvétel tetk odelle s, eve hpergeoetrkus odell. Mvel ásft eseéyek szerepelek bee, t z egyforá vlószíű ele eseéyek, hlzt, elyből z eleeket kválsztuk, urák evezk, z uráb golyók vk, elyek telese egyforák, csupá szíűk lpá lehet egkülöböztet őket. Az uráb legye A száú fehér golyó (tt e eseéyt, he drbszáot elöl gy betű) és B száú e fehér, összese AB. A khúzott golyók szá (részhlz z urák, golyó khúzás utá e kerül vssz z uráb) legye. Azt z eseéyt, hogy khúzott golyó között potos száú fehér golyó v rövde (;)-vl foguk elöl, eek vlószíűségét pedg P(;)-vl. Akkor odell dt száítás képlet következő: C A C A P( ; ). C Az előzőleg elített példáb z uráb 5 golyó v (dák), ezek közül legye 0 fehér (fú). Akkor: 5

53 0 6 C C P ( 6;0) C 7700., 5 5 C C P ( 6; ) C , C C5 0 P ( 6;6) C Akkor, kor tvétel gyszáú (több száz) ele kválsztását elet egy ge gy sokságból (szocológ felérések leggykorbb esete), kkor hpergeoetrkus odell képlete eheze lklzhtó több száztéyezős szorztok tt, lyekor odellbe egy egyszerűsítést htuk végre. H gy volueű sokság, egy egyed kválsztás lg változtt eg sokság összetételét, következő egyed kválsztásáál száolhtuk ugyzzl z összetétellel. Ez odellbe úgy vlósul eg, hogy golyót khúzás utá vssztesszük z uráb, z így előálló urodellt boáls (Beroull) odellek evezk. Ebbe odellbe száítás képlet következő: k k k P( ; ) C p q, hol p fehér golyók ráyát elet, q p e fehér golyókét. H dákok kválsztását ebbe odellbe helyezzük, kkor p0/5/50.4: P 6;0 C , ( ) 6 ( ) ( )... 5 ( 6; ) C ( 0.4) ( 0.6) P 6., P 6;6 C , ( ) ( ) ( )... 6 Az eltérések tt ég gyok, ugys egy 5 eleű sokságból -3 egyed kválsztás utá eléggé érzékeye ódosul z összetétel, vszot gyszáú sokság esetébe hpergeoetrkus odell képlete lpá ehézkese száíthtó vlószíűség lg tér el boáls odell képlete dt eredéytől: 6 4 C C P h ( 0;6) C ( 0 ;6 ) C ( 0.4 ) ( 0.6 ) P b. 0 H ábrázoluk két odellbe száolt (0;k) lkú eseéyek vlószíűséget, ezek gykorltlg egybeesek: ábr. A vlószíűségek eloszlás két odellbe Beroull H,

54 A fet ábr lpá zt következtetést s levohtuk, hogy h oly sokságból válsztuk k 0 szeélyt véletleszerűe, elybe 0.4 ráyb (40%-b) vk egy bzoyos tuldoságúk, kkor táb legvlószíűbb, hogy 8 szeély redelkezk ezzel tuldosággl, hsoló gy vlószíűséggel lehetek 7-e vgy 9-e, több esetekek egyre ksebb vlószíűsége. H összegezzük 8-s szeélyszá körül eseéyek vlószíűséget (z, hogy z dott tuldoságú szeélyek 7-e vk táb kzár zt z eseéyt, hogy 8- vk, stb.), ráylg kevés eset együttes vlószíűsége közel kerül -hez, bztos eseéy vlószíűségéhez: P( 0 ;4 k ) P( 0 ;3 k 3) P( 0 ; k 4) Elodhtó, hogy sokkl bzoyosbb z, hogy véletle válsztás eseté 0 szeély közt leglább 4 és legtöbb szeély legye egdott tuldoságú, t z, hogy legfelebb 3 vgy leglább 3. Áltláb egy lsó és felső htár dt tervlluot kofdec-tervlluk (vgy egbízhtóság tervlluk) evezek, z eek egfelelő eseéy vlószíűségét (százlékb kfeezve) egbízhtóság sztek. Gykr hszált elölés: P( ; k b) p. A fet lkb szereplő p eve szgfkcszt. A példákb [4, ] tervllu egbízhtóság szte (háro tzedesegyűre szokás kerekíte), szgfkcszte pedg p A táb előforduló, dott tuldoságú egyedek százlékos ráyát s egdhtuk: 4 szeélyek 4/0 000% felel eg, -ek pedg 60%. A egbízhtóság szt eletése ekkor z, hogy vlószíűsége k, hogy véletleszerűe válsztott 0-s táb z dott tuldoságú szeélyek ráy sokságbel 40%-tól legfelebb 0%-kl tére el, szgfkcszt eletése pedg z, hogy vlószíűsége k, hogy egy ugylye táb z dott tuldoságú egyedek ráy több t 0%-kl tére el sokságbel 40%-tól. A sttsztkáb lklzott ge sok odell esetébe vlószíűségek eloszlás z. ábrbel hrggörbéhez hsoló. Eek z eloszlásk eve oráls eloszlás, típus folytoos, de R szához érték redelődk ( fet ábráb - pot volt csk odellekét, de ábrázolás sorá ezeket össze szokták köt szggtott volll, vgy sí görbével). Eek z elélet függvéyek z ltkus lk: ( ) σ :, ( ) f R R f e. σ π Ez függvéy hszálhtó boáls odellbel vlószíűségek közelítő értékéek eghtározásár s, például kkor, kor gy t. Ilyekor függvéybel préterek következők: p (várhtó érték, legvlószíűbb érték), σ p q (q p) (szórás). Legye egy sokság összetétele ugyz, t előző példákb (40% dott tuldoságú), de t 00-s. Ekkor például: P b 00;68 C ( ) ( ) ( ) , σ f ( ) 6.98 e π ( 6880)

55 Az eltérés csekély, lg , gyrázz z elélet, folytoos oráls eloszlás gykor lklzását kokrét, dszkrét odellek esetébe. Azob e szbd elfelete zt, hogy két odell eltérése egyre gyobbk, hogy z elélet odell dszkrét esete (pl. t gyság) ksebbek. A száítások ég z elélet odellbe s ehézkesek lehetek, ezért tovább egyszerűsítéseket szoktk lklz. A egbízhtóság tervlluot legvlószíűbb érték (várhtó érték) körül szetrkus tervlluk veszk, lyekor z lk szokásos elölésekkel (, ), gykr középpottól vló eltérést szórás többszörösekét írák fel, tehát z tervllu lk ( tσ, tσ). A oráls eloszlás eseté így hozzáredelhető de t vlós szához egy egbízhtóság szt, lletve egy szgfkcszt. A egbízhtóság sztek (és szgfkcsztek) esetébe háro szt keelkedő szerepet kpott (klsszkus küszöbértékek), de ár, száítógépek eteredése tt, szerepük hoályosodott, ellebe egy sttsztkávl serkedő egyé száár llő dolog ezekek serete. Az (,σ) préterű oráls eloszlást követő odell esetébe: P (.96σ,.96σ ) , P (.58σ,.58σ ) , P ( 3.9σ, 3.9σ ) Mdeddg z volt feltétel, hogy sokságb sert z összetétel, és t összetételére votkozó száítottuk vlószíűségeket, bzoyosság fokokt. A gykorltb leglább lye fotos fordított szerepű feldt egoldás. Ez feltételez vlószíűség eléletbe tovább foglk (feltételes vlószíűség, eseéyek függetlesége) és összefüggések (teles vlószíűség tétele, Byes-forul) levezetését. Itt ezektől telese eltektük, csupá z eredéyek felsorolásávl törődük. H egy véletleszerűe válsztott eleű táb egy dott tuldoságú egyéek szá k, pq és h p-vel elölük ezek ráyát (pk/), σ -vl z ráy körül szórást, lletve P(,b)-vl k vlószíűségét, hogy sokságb z dott tuldoságú szeélyek ráy és b közé esse, kkor: P (.96σ,.96σ ) 0. 95, P (.58σ,.58σ ) 0. 99, P ( 3.9σ, 3.9σ ) A becslés potosság ál obb, él gyobb t eleszá. Ugykkor gy eleszá zt s eredéyez, hogy σ ksebb, vgys egbízhtóság tervllu (kofdectervllu) ksebb. Például h egy 50-es véletleszerű táb 38%- z egyéekek elégedett város tsztságávl, kkor z keletés, szert z egész város lkosságák 35-4%- elégedett tsztsággl 95%-os bzoyosságú, vgy 0.05-ös szgfkcsztű. gyo fotos z, hogy véletleszerű t, csk eze feltétel ellett lehet egte száításokt ( véletleszerű t gykorltlg zt elet, hogy sokság de egyes egyedéek ugykkor z esélye, hogy táb kerülö). Gykr előforduló eset z, kor oráls eloszlású változókt duk össze vgy vouk k egyásból. Bzoyítás élkül eletük k következő tuldoságot: h z X változók párokét függetleek és oráls eloszlásúk ((,σ ),..k), kkor z X X... k X k s oráls eloszlást követ, elyek várhtó értéke... k k, szórás pedg σ... k Tovább lklzásokr egfelelő helye kerül sor. σ k σ. 55

56 6. KÉT VÁLTOZÓ KÖZÖTTI KAPCSOLAT MÉRÉSE A társdlotudoáy dtelezések egyk lpvető cél, hogy külöböző tuldoságokt tükröző változók között egállpítsuk kpcsolt eglétét vgy háyát. Például zt vzsgáluk, hogy z egyéek skolázottság és poltk pártpreferecá között egfgyelhető-e vllye összefüggés. Alpvetőe zt kell egézzük, hogy e változók értéke között egfgyelhető-e vlféle együtt árás vgy se, z egyk változó értékeek eloszlás htássl v-e ásk változó értékeek eloszlásár. Más szóvl, h egy kereszttábláb töörítük két változó együttes eloszlását, kkor zt vzsgáluk, hogy feltételes eloszlások külöbözek-e és eyre széleloszlástól. A társdlosttsztkáb háro lpvető kpcsolttípust külöíthetük el: Függetleség: Két változó kkor függetle egyástól, h z egyk változó értékeek eloszlás e befolyásol ásk változó értékeek eloszlását, tehát z egyk változó értéke szert képezett csoportoko belül ugyúgy oszlk eg ásk változó értéke, t teles vzsgált sokságo belül. Stochsztkus kpcsolt: kor z egyk változó htássl v áskr, de e htározz eg k értéket egyértelűe. A társdlotudoáy érésekbe, külööse szocológáb és pszchológáb legtöbb kpcsolt lye ellegű. Függvéyszerű kpcsolt: kor két változó értéke úgy árk együtt, hogy z egyk értéke lpá potos kfeezhetők ásk változó értéke. Az lye kpcsoltok közgzdságtudoáy és terészettudoáy érések sorá fordulk elő gykrbb. Kople értelebe változók között kpcsoltokt egy kotuuo képzelük el, elyek egyk szélé függetleség, ásko függvéyszerű kpcsolt v, és kettő között helyezkedek el szochsztkus kpcsoltok. Mél kább közelebb v egy ért kpcsolt függetleséghez, ál gyegébb, él közelebb v függvéyszerűséghez, ál erősebb kpcsolt. Feltevődk kérdés, hogy érhető kpcsoltok egléte, lletve zok erőssége. Alpvetőe kpcsoltok egállpítás és érése változók típusától függ. Eszert egkülöböztethetők:. A őség változók között kpcsoltok (sszocácó). Egy őség és egy eység változó között kpcsolt (átlgértékek összehsolítás) 3. Meység változók között kpcsoltok (korrelácó) 6. Mőség változók között kpcsoltok (VV) A őség változók értéke között, t tuduk, cseek egyértelű eység külöbségek. így kpcsoltvzsgált zt elet, hogy összehsolítsuk feltételes eloszlásokt, és ebből egállpítsuk, hogy v-e eltérés és z lye ellegű. Ezt típusú kpcsoltot sszocácók evezzük. Meghtározás szert két változó között kkor v sszocácó, h z egyk értékeek eloszlás szert változk, hogy ásk változó külöböző értékeket vesz fel (Wess, 968, 58.) H cs sszocácó, kkor zt oduk, hogy változók függetleek egyástól. Az sszocácós kpcsoltok tuláyozásához két változó értékeek együttes eloszlásávl készített kereszttáblából (kotgec-tábl) duluk k. A kotgec-tábl sork reltív gykorság segítségével vzsgálhtuk, hogy v-e sszocácó két változó között. Á z eltérések értékét, k szgfkás ellegét e tuduk egállpít csupá szádtok összehsolításávl. evezk ég sttsztkus kpcsoltk s. 56

57 6... A χ -prób Bár z elárás közpot részét egy képlet képez, prób e egyszerűsíthető le egy képlet behelyettesítésére, he több lépésből áll. Meghtározás szert χ -prób zt vzsgál, hogy egy tá két ért változó egfgyelt értékeek feltételes gykorság eyre térek el függetleség eseté várhtó elélet gykorságoktól, zz ekkor vlószíűséggel fordulk elő ekkor eltérések. Képletbe kfeezve egfgyelt és z elélet gykorságok stdrdzált égyzetes átlgkét htározhtó eg: 57 ( f f ) e χ f e hol z összegezést de egyes (belső) cell szert el kell végez. gyo fotos észrevétel z, hogy χ értékét kzárólg bszolút gykorságok lpá száítuk k, képletbe se szerep e ut százlékos eloszlásokk. Az s leolvshtó, hogy eybe két tábláztb ugyolyok százlékos eloszlások, kkor hhoz táblázthoz redelt χ érték gyobb, hol gyobb z esetek szá (h például z esetek száát de celláb egtízszerezzük, χ s tízszeresére ő. Szeléltetésül egy -es kereszttábl séáából duluk k. Legye X és Y két őség változó, elyekek z eloszlás-értéket z lább kereszttábl töörít: 8. táblázt. Eprkus (f) és elélet (fe) gykorságok χ -próbához Y y X y Összese f f f ( fe ) f f f ( fe ) ( fe ( fe f f f ) f f Összese f f χ f f ) f ( f fe ) ( f fe ) ( f fe ) ( f fe ) fe fe A továbbkb ézzük eg χ -prób lépéset. Melőtt zob ekláták száításokk, eg kell vzsgál, hogy kereszttábl de cellááb v-e egfelelő száú eset. Lehetőleg de celláb (esetleg egy kvételével) legye leglább 5 eset, egyébkét csoportosítsuk z dtkt vgy esetleg oduk le egyes sorokról vgy oszlopokról. H cs egfelelő száú eset cellákb, kkor χ -prób eredéye e lesz relevás. I. Feltevések ). Mérés szt: egállpítuk változók típusát, z X, Y két oáls skálá ért őség változó kell legye. (Tuldoképpe χ -próbát eység változó bevoásávl s végezhetük, de redszert eek cs értele, vel rr ás, potosbb érőszáok hszálhtók.) b). ullhpotézs: Feltételezzük, hogy X és Y változók függetleek egyástól. (Az elárás tehát dg z, hogy feltételezzük függetleséget, és eybe ez egcáfolódk, yb két változó között sszocácós kpcsolt áll fe.) II. A szbdságfokok száák egválsztás A χ értéke egy összegből szárzk, elybe tgok szá táblázt sork és oszlopk száától függ, ezért eek értékeléséhez szükségük v egy oly eységre, fe fe

58 ely utl táblázt éretére (szbdságfokok szá). Erre zért v szükség, ert külöböző szgfkcsztekek egfelelő χ -értékek függek táblázt éretétől. Jelölük r-el (belső) sorok, c-vel pedg (belső) oszlopok száát. Ebbe z esetbe szbdságfokok szá df (r-) (c-) A -es táblázt esetébe df (-)*(-). III. A szgfkcszt egválsztás A vlószíűségszáításból tuduk, hogy stochsztkus összefüggésekre votkozó keletések csk bzoyos vlószíűséggel gzk és e oly egyértelű detersztkus tételek, t lyeeket z lgebráb vgy értb tláluk. Kéz száítások esetébe válsztuk k egy vgy több szgfkcsztet és ehhez keressük egfelelő keletés(eke)t. Áltláb p0.05-öt (vgy eél ksebb sztet, p0.0, p0.00, stb.) szoktk válszt. Legye p0.05 szgfkcszt. IV. A χ értékéek kszáítás A χ értékéek kszáításához először z elélet (fe) gykorságokt kell kszáít. Kéz száítás esetébe redszert ezeket egy-két tzedesegy potossággl száítuk k. Most ár felírhtó χ képlete és behelyettesíthető. A -es esetbe égy külöbséget kell száol. A száítás redszerezéséhez áltos egy tábláztot készíte, hová elhelyezhetők részeredéyek. Ez külööse fotos többértékű változók esetébe. H e készítük tábláztot, kkor z elélet gykorságok redre beírhtók z eredet kereszttábl celláb, záróelbe téve. 9. táblázt. A χ értékéek kéz kszáítás Cell f fe f fe (f fe) (f fe) /fe, f fe f fe (f fe ) (f fe ) /fe, f fe f fe (f fe ) (f fe ) /fe, f fe f fe (f fe ) (f fe ) /fe, f fe f fe (f fe ) (f fe ) /fe Összese χ Σ(f fe) /fe Ezzel z elárássl kszáíthtó e csupá -es, he eél óvl több értékkel redelkező változók esetébe s χ értéke. Ay sort kell felvezet száítás tábláztb, háy belső cellák v két változó eloszlásák kereszttáblááb. V. Dötéshozás és értelezés A dötéshozáshoz ellékletbe tlálhtó χ -eloszlás tábláztát hszáluk fel. Ebből tábláztból egy szgfkcsztek és egy szbdságfokk egyetle χ érték olvshtó le. Ezt z értéket küszöbszák tektük (elölük k-vl) és ezzel hsoítuk össze z áltluk száított értéket. H χ < k, kkor e vetük el ullhpotézst, és zt odhtuk, hogy elég gy z esély rr, hogy két változó függetle egyástól. Más szóvl, X és Y között cs szgfkás kpcsolt válsztott szgfkcszte. Vgyázzuk rr, hogy e oduk ekkor zt, hogy változók függetleek, z elég gy esély függetleségre csupá zt elet, hogy ez vlószíűség gyobb 0.05-él például. H χ k, kkor elvetük ullhpotézst, és zt oduk, hogy 00 p*00%-os vlószíűséggel állíthtó, hogy z X és Y változók között sszocácós kpcsolt v, zz szgfkás eltérek z lsokságokb ásk változó eloszlás. 58

59 A χ próbávl vzsgált összefüggés erősségét csk vszoylgos tuduk egállpít. Mél gyobb χ értéke ek egfelelő tábláztbel értékél, ál erősebb kpcsolt. Á χ értéke eléletleg övekedhet felfelé, u érték pedg z dtoktól függőe eltérő. A χ száítás képlete A χ -prób száításkor z eredet képletet átlkíthtuk úgy, hogy e szükséges de egyes cell esetébe f fe kvoásokt elvégez. A száítás képlet következőképpe vezethető le: χ ( f fe) f f fe fe f f fe fe fe fe Mvel Σf és Σfe s -el egyelő, egfelelő behelyettesítésekkel egkpuk végső, egyszerűsített száítás képletet: χ f fe Péld Egy városb felérés segítségével egvzsgálták, hogy függ össze vllásosság poltk tttűdökkel. A tt két egyszerűsített változóvl vzsgáluk z összefüggés eglétét. A dtok fktívek. A t 58 esetet trtlz. A változók következők: X: poltk pártállás, értéke: - koráypárt - ellezék 3- seleges Y: vllás hovtrtozás: - ortodo - ktolkus és ás Az dtok eloszlását z lább kereszttábl fogll össze: 0. táblázt. Poltk pártállás vllás hovtrtozás szert Pártállás Ortodo Felekezet Ktolkus és ás Összese Koráypárt Ellezék Seleges Összese Most pedg végezzük el fetebb sertetett lépések lpá χ -próbát. I. Feltevések:. Két őség változók v: X - poltk pártállás, Y - vllás hovtrtozás. Ez utóbbál ás felekezethez trtozókt ktolkusokkl összevotuk, ert túl kevés esetet trtlztk vol votkozó cellák. b. ullhpotézs: vllásfelekezetekhez trtozás e függ össze poltk pártállássl. II. A szbdságfok: df (r-)(c-) (3-)(-). III. A szgfkc szt egválsztás: ebbe z esetbe válsszuk z elfogdhtó leggyobb szgfkcsztet, p0.05-t, kor ég z elfogdhtó legksebb potosság ellett tesztelük z összefüggés eglétét. 59

60 IV. A χ értékéek kszáítás: száításhoz feebb levezetett száítás képletet foguk hszál: χ f fe. A részeredéyeket z lább uktábláztb foglluk össze ( táblázt első soráb sorszáok kereszttábl egfelelő cellát elölk):. táblázt. A χ kszáítás 0.tábláztból Cell f fe f f /fe, , , , , , Összese Megfgyelhető, hogy íg z elélet gykorságokt egytzedes, f /fe háydosokt hárotzedes potossággl száoluk, és ezt z összegezéskor s egtrtuk. Behelyettesítve száítás képletet, egkpuk χ értékét: χ V. Dötéshozás: A χ -eloszlás tábláztáb df szbdságfok száák egfelelőe ásodk sorb kkeressük zt z oszlopot, ely 0.05-ös vlószíűség ellett értékeket trtlzz. A tábláztbel érték z Ezt összehsolítuk χ értékükkel és láthtuk, hogy óvl gyobb tábláztbel értékél: > Eek egfelelőe elvetük ullhpotézst és egállpítuk, hogy két változó között összefüggés fgyelhető eg. Az eredéyt odtszerűe áltos egfoglz: több t 95%-os vlószíűséggel állíthtó, hogy szgfkás összefüggés v poltk pártállás és felekezet hovtrtozás között. Ezutá vssztérhetük kereszttáblához és zt értelezve elodhtuk, hogy függ össze két változó, lye értékek árk kább együtt (ehhez százlékos eloszlásokt hszáluk). Az SPSS progrb χ -próbát kereszttábl készítésével egybekötve lehet elvégez. Mt láttuk előbb, Sttstcs/Surse/Crosstbs eü-útvolo keresztül lehet elut belső Sttstcs dobozhoz, elybe beelölhető (kppálv) Ch-squre opcó. Ezt követőe z Outputblkb kereszttábl utá egtláluk χ értékét és z eek egfelelő szgfkcsztet (Perso Ch-Squre). Arról s forál progr, hogy háy celláb kevesebb z bszolút gykorság 5-él. Példkét ézzük eg, hogy kereszttábláál vett SPSS példáb lye összefüggés fgyelhető eg egkérdezettek ee és égyértékű skolázottság szt-változó között. Az eredéy-fálb z lább értékeket kpuk: Perso Ch-Squre Lkelhood Rto Ler-by-Ler Assocto of Vld Cses Ch-Squre Tests Asyp. Sg. Vlue df (-sded) 44,76 3,000 44,97 3,000 4,66, cells (,0%) hve epected cout less th 5. The u epected cout s 07,55. 60

61 Az első sor, Perso Ch-Squre trtlzz z de votkozó eredéyeket. A Vlue oszlopb v χ értéke, ely l egyelő. A szbdságfokok szá (df) 3. A szgfkc sztet z utolsó oszlop, z Asyp. Sg. (-sded) cíű trtlzz. H p-ek tábláztból dódk, kkor ezt e 0 vlós száot elet, he zt, hogy szgfkcszt ksebb, t ( potosbb értéket s leolvshtuk, h duplát ktttuk tábláztr, d egfelelő rekeszre). Az értelezés következőképpe törték: h ez szgfkcszt ksebb vgy egyelő, t 0.05, kkor állíthtuk, hogy két változó között szgfkás összefüggés v. H z érték gyobb, t 0.05, kkor e vetük el ullhpotézst. A fet péld esetébe következő keletést tehetük: Az skolázottság és eek között erős összefüggés fgyelhető eg (p0.000). A gs skolázottság szttel több férf redelkezk, t ő, középskolát vszot léyegesebbe több ő végzett, t férf. (Lásd kereszttáblát 3. lfeezetbe) A χ próbár épülő érőszáok Mvel χ értéke z eleszál, lletve cellák száávl övekedhet, kpcsolt erőssége értékéek potosbb egállpításához tovább képleteket dolgoztk k, χ értékéből kdulv. A φ érték φ χ / képlettel száíthtó k, és z léyege, hogy -es táblákál φ értéke 0 és között változht. H változók függetleek, kkor φ értéke 0, h pedg -el egyelő, kkor gyo erős, odht áls kpcsolt v, tehát zt elet, hogy z egyk változó egyk értéke telese ásk változó egy dott értékével ár együtt. Például, h eek és vllásosság dchotó (kétértékű) skálá ért forá között vzsgáluk kpcsoltot, kkor φ esetbe oduk de ő vllásos és de férf zt állít, hogy e vllásos (fktív péld). A Csuprov-féle T A Csuprov féle érőszá s χ értékére épül. Mt láttuk, φ értéke változók értékeek száától s függ. Ezért φ értékét osztuk szbdságfokok száávl: T ϕ ( r )( c ) ( r )( c ) A Csuprov féle T ugycsk 0 és között ozog, de h sorok és oszlopok szá eltérő, kkor áls összefüggés eseté se ér el z egységet. A Crer-féle V A Crer áltl bevezetett, V-vel elölt érőszák képlete következő: V ϕ χ ( r, c ) ( r, c ) Tehát evezőbe sorok, lletve oszlopok száák ksebbk értéke kerül, egyel csökketve. Bár e túl hszáltos, u bárlye éretű változók eseté elérhet z -et. Perso-féle C kotgec együtthtó Képlete χ C χ A C u, függetleség esetébe 0, u egyébkét változó, de eghtározhtó. -es kereszttáblár C értéke felvehet z /() értéket, elyből gyököt vov C u lehet. A u érték változó ellege tt C-t s ehézkes értelez. A χ -re épülő érőszáokt régebb gykrbb hszálták. Már száítógépes progrok dt gyors szgfkcszt száítás hszáltukt egyre obb vsszszorított. 6 χ

62 6.. Mőség és eység változó kpcsolt (ME) 6... Átlgértékek összehsolítás A t-teszt lpául szolgáló eléletből ó ser éháy dolgot, ég h tt bzoyítások élkül s tesszük ezeket közre. Tektsük egy célsokságot és egy eység sérvet (X), elyek átlgát ( X ) és szórását (D(X)) sertek tételezzük fel. H képezék z összes eleű tát és de egyes táb kszáíták vzsgált sérv átlgát (tátlg), érdekes eredéyt tlálák: tátlgok elég gy -re (0-30, h teles sokságb >00) oráls eloszlást követek, átlguk potos D és tátlg szórás ( X ) (eléletleg bzoyíthtó összefüggések). Ebből dódk z egytás t-teszt, kor tpsztlt tátlgot hsolítuk össze egy elélet átlggl. Ilye helyzetbe kerülhetük kkor, kor véletleszerű tát egy ól sert sokságból vesszük, például egy város, egye vgy ország lkosságából, serve z eberek életkorák átlgát és szórását. Ekkor zt htározzuk eg, hogy tákb tpsztlt átlg eyre térhet el z összátlgtól. Külöböző szgfkcsztekhez trtozó egbízhtóság tervlluok következők, elég gy eleszáú ták eseté (>30): D( X ) D( X ) p0.05-re X.96, X. 96, D( X ) D( X ) p0.0-re X.58, X. 58, D( X ) D( X ) p0.00-re X 3.9, X Ugylye egbízhtóság tervlluokt írhtuk fel rr z esetre, kor csk z átlgérték seretes teles sokságb, szórás e. Ekkor teles sokság szórásár t lpá duk becslést, éspedg tszórássl (s). A tuldoképpe kpcsoltvzsgált kkor kezdődk el, kor seretle sokságbel eloszlás és rr kérdésre próbáluk válszt d, hogy két táb (ltáb) z átlgok között tpsztlhtó eltérés k tudhtó-e be, hogy z lsokságokb s egv külöbözőség vgy csk véletle űve. ylvá, dkét téyező okoz bzoyos értékbe eltérést, t-teszttel rr kpuk válszt, hogy tvétel sorá fellépő véletle téyező ekkor vlószíűséggel okoz külöbözőségeket. Első lépéskét rr keressük válszt, hogy két ltáb szórások közt külöbség eyre véletle űve és eyre k tudhtó be, hogy külöbözk két lsokságb s. A válsz egtlálásához egfoglzzuk zt ullhpotézst, szert két lsokságbel szórások egyelőek. Akkor z ltákból z egyk szóráségyzetet (s ) elosztv áskkl (s ) egy (, ) es szbdságfokú F-eloszlást kpuk. Az F-eloszlás táblázt redszert több oldly teredelű és csk z -él gyobb értékeket trtlzz, ezért kokrét esetbe dg gyobbk szóráségyzetet osszuk el ksebbkkel. E köyv ellékletébe csupá p0.05-ös szgfkcsztek egfelelő F-eloszlás tábláztát uttuk be, így kéz száítás útá csk zt tuduk egállpít, hogy szórások egyezéséek szgfkcszte gyobb vgy ksebb él (ás yg felhszálásávl több szt közé be tuduk ékel, például Huyd Mudruczó Vt, 996). Md eek eredéyekét dötük z átlgértékek összehsolításák odelléről. Altákt de táb tláluk, h egy őség sérv két ktegóráát külöválsszuk. Gykr dottk z lták: férf ő, város flu, doháyzk e doháyzk, stb (dhotó vgy ltertív sérvek), de oly helyzetek s lehetek, kor egy véleéykérdésre dott htározott válsz szert válsszuk k z ltákt (telese elégedett egyáltlá e elégedett, stb.). 6

63 Például, egy kuttásból következő tábláztb szedett dtokkl redelkezük:. táblázt. Átlgos szeélyszá (öregeber, gyerek, összese) gzdságokb Isérv (X) Ktegórák (Y) Átlg () Mtszórás (S) Esetszá () Öregeber Községközpotb lkk gzdságb Más flub lkk Gyerekszá Községközpotb lkk gzdságb Más flub lkk Szeelyszá gzdságb gyo elégedett község Elégedett polgár Elégedetle esteré- vel gyo elégedetle Első vzsgálódásuk z öregeberek átlgos gzdságokét száák összehsolítás legye. Ekkor: s F s Az F-áblázt (eloszlás) devágó sorb ( evező szbdságfok 35) és devágó oszlopb ( száláló szbdságfok 65) z lább értékeket tláluk (p0.05): A evező A száláló szbdságfok szbdságfok Egy kssé probléás beékelés, ert htárokhoz közel F-érték dódott száításból. Iterpolálássl 35-ek egfelelő sorb.37 és.3 kerüle ( külöbségeket ráyos leosztv), tehát száított F-érték ksebb t tábláztbel. Így z következtetésük, hogy e vethető el p0.05-ös szte z z állítás, szert szórások eltérek két lsokságb, vgys z lsokságbel szórásokt egyelőek tekthetük. Ez utá rr kérdésre keresük válszt, hogy községközpotb vlób ftlbbk-e gzdságok? Előbb foglzzuk eg egy ullhpotézst: gzdságokét öregeberek szá ugyoly eloszlást követ községközpot gzdságb, t község több flvb (H 0 ), tehát z átlgértékek teles sokságb ugyzok, eletkező külöbség táb véletle űve (e s kell od, hogy eyre fotos tt s véletleszerű tvétel egvlósítás). A (H 0 ) ullhpotézs ellett z tátlgok külöbsége oráls eloszlást követ 0 várhtó értékkel és s s szórássl (h és elég gy, leglább 30, vgy h szórások szgfkás eltérek egyástól), tehát t s s sttsztk stdrd oráls eloszlású. Mvel z lták sorrede tetszőleges, képletbe helyettesítéskor gyobb átlgértékű ltát vesszük elsőek, áskt ásodkk. 63

64 t s s Az esetek szá kellő gy, így kpott t értéket elhelyezzük klsszkus küszöbszáok közé:.96 < t.3 <.58, tehát 0.05 > p > 0.0 Elodhtó végül, hogy szgfkás külöbség v (p<0.05) községközpot és község ás flv között bb tektetbe, hogy ey gzdságokét z öregeberek szá, éspedg községközpotb kevesebb z öregeber gzdságokb, t község több fluáb. H tbel esetek szá kcs vgy szórások e térek el szgfkás, kkor következő sttsztkávl szoktuk dolgoz: t, ( ) s ( ) s ely eloszlás szbdságfokú Studet-eloszlás (rövde t-eloszlás). Ezzel képlettel s száolhtuk tt: t ( ) s ( ) s A következtetés végül ugyz, t z előző száítás utá. A gyerekszá esetébe zt kpuk, hogy F.68, tehát z lsokságokb szgfkás külöbözek szórások. A t-teszt ekkor t3.473-t d, és így szgfkás külöbség v (p<0.00) községközpot és község ás flv között bb tektetbe, hogy ey gzdságokét gyerekek szá, éspedg községközpotb óvl több gyerek gzdságokb, t község több fluáb. Az utolsó eset boyolultbb, ugys gyo elégedetleek szá csupá, így z egyszerűbb képlettel száoló t-prób e lklzhtó. Ilyekor két változt között válszthtuk: összevouk z elégedetle és gyo elégedetle ktegórákt, így együtt ár 60 szeély lkot ezt z ú ltát, vgy ksszáú lták esetére kdolgozott képletet lklzzuk. 64

65 Az első változtb: 48 60, s ( ) s ( ) s ( ) ( ) 65 ( ) ( ) , ( 0.97) A kpott eredéyeket tábláztb helyezzük gyo elégedettek dt ellé: 3. táblázt. Átlgos öregeber- és gyerekszá gzdságokb Isérv (X) Ktegórák (Y) Átlg () Mtszórás (S) Esetszá () Szeelyszá gzdságb gyo elégedett község polgár- Elégedetle vgy esteré- vel gyo elégedetle A gyökvoást e kell elvégez, ugys továbbkb szóráségyzetre lesz szükségük. Ie tovább ár z sert utt folyttuk: t s s e szgfkás így z átlgértékek külöbsége, pedg végletekbe gy z eltérés, de z összevoás áltl lecsökket z elégedetleek esetébe z átlgos szeélyszá. Próbálkozzuk zzl változttl, kor csk végleteket hsolítuk össze, de ekkor ks eleszáú tár lklzhtó képletet kell hszáluk (és terészetese t-eloszlás tábláztot): t ( ) s ( ) s A ele esetbe: t ( ) s ( ) s

66 A t-táblázt devágó soráb z lább küszöbértékeket tláluk ( szbdságfok 50): Szgfkcszt Szbdságfok p0.05 p0.0 p Tehát essze lulrd száított t-érték legksebb tábláztbel értékhez képest s, így se elethető k kellő bztosággl z, hogy polgáresterrel elégedetle csládfők gzdság gyobb, t z elégetteké ( gyobb átlgérték-eltérés elleére se, kevés esetszá tt). A következőkbe z SPSS progr segítségével foguk elvégeztet fet űveleteket. A eüből prcsköteg egszerkesztését Sttstcs főeüpot Copre Mes leüéek Idepedet Sples T Test dlógus blkáb tehetük eg. A eység változó(k)t átvsszük Test Vrble(s) evű blkb (oreg és gyerek), z leüt szolgálttó őség sérvet (flu) pedg Groupg Vrble blkb. Ez utóbb esetébe eg kell evez két ktegórát (csoportot), ég kkor s, h bztos e fordul elő z dtálloáyb eél változóál kettőél több érték. Ráktttv Defe Groups gobr egyílk egy doboz, elybe válszthtuk csoportkód egevezése ( Use specfed vlues) vgy egy válsztópot egdás ( Cut pot) ellett. M tt ktegórákt foguk egevez, éspedg Group blkáb beíruk z -t ( községközpot kódát), Group-höz pedg -t. A továbbeetelhez Cotue gobr ktttuk, becsukv ezt beállító blkot, d prcsszerkesztő blkb z OK gobr. Az Output-blkb két tábláztb tláluk beszáolót z eredéyről: Az elsőbe eység változók leíró sttsztkáát tláluk ltákr lebotv: OREG Oregeber gzdsgb GYEREK Gyereksz gzdsgb FALU Kozsegkozpot Ms flu Kozsegkozpot Ms flu Group Sttstcs A következő táblázt z összehsolítás eredéyéről száol be: Levee's Test for Equlty of Vrces Me Std. Devto Std. Error Me E-0 Idepedet Sples Test E E E-0 t-test for Equlty of Mes 95% Cofdece Sg. Me Std. Error Itervl of the Me F Sg. t df (-tled) Dfferece Dfferece Lower Upper OREG Equl vrces ssu E E-0 Oregeber Equl vrces ot gzdsgb ssued E E-0 GYEREK Equl vrces ssu Gyereksz Equl vrces ot gzdsgb ssued Az első részbe szórások összehsolításák eredéyéről olvshtuk: z öregeberek gzdságokét szá esetébe z lsokságokbel egyelő szórás vlószíűsége 0.5, elég gy, tehát e vetük el z szórások egyelőségéek hpotézsét, vszot elvetük gyerekek szá

67 esetébe. A tovább eredéyeket sötét lpú ezőkből szerezzük be: z öregeberek gzdságokét száák átlg csk 0.03 vlószíűséggel egyelőek két lsokságb, tehát szgfkás ások községközpotb és község több flvb, ugyígy gyerekek szá s. A tábláztbel p0.00 vlóáb kerekített érték, h z Output-blkb duplát ktttuk erre tábláztr, d duplát rekeszre, zt olvshtuk, hogy szgfkcszt potos , tehát ksebb t 0.00, hogy zt kéz száításál kptuk. A fet utsítást kdhtuk Syt-blkból s, éspedg következőképpe: t-test groupsflu(,) /vr oreg gyerek. A polgáresterrel vló elégedettség szert vzsgáltot Syt-blkból példázzuk: t-test groupsq48_7(,4) /vr szsz. Az eredéyt be kell uttuk sátos helyzet tt (kevés esetszá z ltáb) SZSZ Szeelysz gzdsgb Equl vrces ssued Equl vrces ot ssued Levee's Test for Equlty of Vrces F Sg. Idepedet Sples Test t df Sg. (-tled) t-test for Equlty of Mes Me Dfferece 95% Cofdece Std. Error Itervl of the Me Dfferece Lower Upper e de esetbe egyezek z áltluk kézzel száolt értékek. Az eltérések ok lehet kéz száítások esetébe hszált kevesebb tzedesegyű potosság, de ok lehet z s, hogy száítógépes progrb oly tesztképletek vk leírv, elyek kéz száítássl ge ehézkese leéek lklzhtók, így sttsztkköyvek e szokták ezeket beutt. A következtetések vszot gykr ugyzok, t fet esetbe s: kéz száítássl t.04 dódott ( tábláztbel érték csk előelbe külöbözk, ugys progrb képletbe echkus helyettesítődek be z értékek, így t-ek egtív érték s dódht), eek egfelelő szgfkcszt 0.36, külöböző szórások esetébe lklzott képlettel progr t kp t-ek és t szgfkcsztek. Mkét szgfkcszt egyforá zt eredéyez, hogy e vethető el z ullhpotézs, hogy gzdságokb szeélyszá e külöbözk szert, hogy csládfő gyo elégedett vgy gyo elégedetle község polgáresterével Átlgértékek összehsolítás AOVA-teszttel (F prób) Az AOVA rövdítése szóráselezés gol elevezéséek (Alyzs Of VArce). A szóráségyzetél gzoltuk zt z összefüggést, ely szert k ( ) σ σ, t írhtuk így s: Q Q w Q b Az utóbb összegbe bl oldlo teles égyzetösszeg áll, obb oldlo pedg z első tg csoportoko belül égyzetösszeg (Q w ), ásodk tg csoportok között égyzetösszeg (Q b ). A teles égyzetösszeg e függ őség változótól (Y), kzárólg eység változó értéke lpá értelezett (X), vszot ásk két égyzetösszeg Y-tól függ és h egyk tg gyobb, áskk ksebbek kell lee. A csoportoko belül égyzetösszeg kkor legksebb, h csoportoko belül szóráségyzetek álsk (de csoport hoogé), ugyekkor ásodk tg áls, zz csoportátlgok gyo eltérek sokság átlgától, zt elet, hogy z Y változó ktegóráb vló trtozás áls összefügg z X változó szert értékekkel. Például h egy skoláb obb képességvzsg eredéyel (X változó) redelkező gyerekek egy osztályb (YIX.A), gyegébbek egy ásk osztályb (YIX.B) kerülek, kkor ez k

68 zzl z eredéyel ár, hogy z osztályok hoogébbk leszek, de átlgos egyástól (és gától étődőe, két osztály átlgától) gyo külöböz fogk. H z osztályok klkításáál sorshúzássl árk el, kkor várhtó dkét osztályb kerül úgy obb, t gyegébb gyerek, ezáltl z osztályoko belül képességvzsg eredéy szórás gyobb (heterogéebbek z osztályok), z osztályok átlg egyáshoz közelebb, ez pedg úgy eletkezk égyzetösszegek egyáshoz vszoyított értékebe, hogy egő csoportoko belül égyzetösszeg és lecsökke csoportok között. Áltláb, h csoportok eléggé száosk, kkor z Qb F k Qw k kfeezés dt eység (k-,-k) szbdságfokú F-eloszlást követ. H redelkezük egy oly táblázttl (vlóáb sok lpot géybe vevő tábláztokról v szó), kkor egodhtuk kokrét esetekbe, ekkor egbízhtóság szte z oly keletésekek, t: cs összefüggés eység és őség változók együttes eloszlás között, vgy áskét egfoglzv: külöböző ktegórák átlgértéke között eltérések csupá véletle űve. A tábláztok boyolultság tt lye becslésekre e duk példát, ellebe z SPSS progr yútott lehetőséget következőkbe egy egyszerű esete részletesebbe beuttuk ( kluszterlízst beuttó feezetbe vlós helyzetekbe s lklzv lesz). A feldtot szerkeszük következőképpe: pros és fehér dobókockávl dobuk többször. Jegyezzük le egy X evű változób dobott száokt kockákét ( kock szíe lesz z Y változó): 4. táblázt. Pros és fehér kockávl dobott véletle száok (6 dobáspár) A kock A dobott száok dobások sorredébe szíe Pros Fehér Mutá létrehozzuk z dtszerkesztőbe z álloáyt (663 esettel), kduk z átlgok összehsolítását végző utsítást, szóráslízst s kérve: e X by Y /st ov. Az érvéyes és érvéytele esetek sttsztkáát beuttó táblázt utá z X változó átlgértéket, szórását tláluk tábláztb szedve, z Y változó ktegórár és z egész sokságr száítv, z esetszáokkl együtt: X A dobott sz Pros Feher Totl Report Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto A következő táblázt (csk /st ov opcó cslogt elő) trtlzz szóráslízs de részeredéyét (Su of Squreségyzetösszegek, dfszbdságfok, Me Squre szbdságfokkl átlgolt eltéréségyzetek), d z F értékét olvshtuk, ellette z utolsó oszlopb szgfkcszt tlálhtó. Ezt z utolsó száot kell csupá értelez, ebbe z esetbe következőképpe: h feltételezzük, hogy külöbségek csupá véletle űve

69 (ullhpotézs, H 0 ), kkor k vlószíűsége, hogy ele esetbe előálló eltérés vgy eél gyobb dódo del egyelő. Másszóvl, gyo vlószíű, hogy véletle okozt egfgyelhető eltéréseket (k elleére, hogy dobások telese véletleszerűek voltk, égse dódk szgfkcsztek bztos eseéy vlószíűsége, t. összefüggés eseté s dódhtk lye csekély eltérések). AOVA Tble X A dobott sz * Y A kock sze Betwee GWth Groups Totl (Cobed) Su of Me Squres df Squre F Sg A következő példát szerkeszük úgy, hogy dobott száot összefüggésbe hozzuk kock szíével. Egy-egy szá leegyzését következőképpe csáluk: dkét kockávl dobuk kettőtkettőt, pros kock esetébe két dobott szá közül gyobbkt egyezzük le, fehér kock esetébe ksebbket. 5. táblázt. Pros és fehér kockávl dobott, e telese véletle száok (6 dobáspár) A kock A dobott száok dobások sorredébe szíe Pros Fehér Ebbe z esetbe ylvá z átlgok gecsk eltérek egyástól: X A dobott sz Pros Me Feher Totl Std. Devto Me Std. Devto Me Report Std. Devto A bevtkozás eglétét elég érzékeye regál le z F-teszt, ost ár csk 0.00 vlószíűsége k, hogy véletle ekkor és eél gyobb eltéréseket okozzo, így egy lye esetbe elvetük ull-hpotézst. X A dobott sz * Y A kock sze Betwee GWth Groups Totl (Cobed) AOVA Tble Su of Me Squres df Squre F Sg Mdkét fet példáb előre tudtuk, hogy ullhpotézs gz vgy hs, z F-teszt égs eléggé bzoytl eredéyt dott, oly értelebe, hogy e odt eg egyértelűe, hogy ullhpotézs gz vgy hs. Bárlye ás esetbe ez előáll, vgys egyértelűe e állíthtuk, hogy egy ullhpotézs gz vgy hs, z előfordulht ugy, hogy szgfkcszt blkáb áll, de h duplát ktttuk z Output-blkb tábláztr, d t trtlzó rekeszre, leolvshtuk potosbb értéket, ez esetleg lye lkú: , vgys szgfkcszt értéke

70 Meység változók között kpcsoltok. A korrelácós együtthtó (ME) Meység változókr votkozó tláltuk ár egyft együttes változást ellező érőszáot, éspedg kovrcát. Elítettük kkor eek hbáát s, zt hogy értékegységtől függő. Ebbe részbe eleezzük eek uttók tuldoságt, ezek lpá értelezük egy reltív uttót, korrelácós együtthtót. Elékeztetőül, két változó kovrcáák z értelezése: ( ) ( )( ) y y Y X, cov. A kovrc tuldoság:. ( ) Y X Y X Y X, cov (száítás képlet, főleg kéz száítások esetébe tesz ó szolgáltot) Bzoyítás: ( ) ( )( ) ( ) y y y y y y Y X, cov y y y y y y. ( ) ( ) X D X X, cov Bzoyítás: ( ) ( )( ) ( ) ( ) X D X X, cov 3. ( ) ( ) X Y Y X, cov, cov Bzoyítás: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Y X y y y y X Y, cov, cov 4. ( ) ( ) Y X Y X, cov, cov Bzoyítás: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Y X y y y y Y X, cov, cov 5. ( ) ( ) Y X b Y bx, cov, cov Bzoyítás: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Y X b y y b y y b b Y bx, cov, cov 6. ( ) ( ) Y X bd c dy bx, cov, cov Bzoyítás: ( ) ( ) ( ) ( ) X c dy b c dy X b c dy bx c dy bx, cov, cov, cov, cov ( ) ( ) ( ) Y X bd X Y bd X dy b, cov, cov, cov, ebbe bzoyításb z előző tuldoságokt lklztuk. 7. ( ) ( ) ( ) Z Y Z X Z Y X, cov, cov, cov Bzoyítás: ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]( ) z z y y z z y y Z Y X, cov ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Z Y Z X z z y y z z, cov, cov

71 A következő tuldoság fotosbb z eddgekél, vszot bzoyítás boyolultbb, hvtkoz szoktk egy evezetes egyelőtleségre (Cuchy-Buykovszk-Schwrz), de egy ks átlkítássl és fet tuldoságok lklzásávl bárk száár egérthető lesz levezetés. 7. D( X ) D( Y ) cov( X, Y ) D( X ) D( Y ) Bzoyítás: Legye t egy tetszőleges vlós szá. Akkor ( tx Y ) cov( tx Y tx Y ) cov ( tx, tx Y ) cov ( Y, tx Y ) D, cov ( X, tx Y ) cov( tx Y ) t cov( tx Y, X ) cov( tx Y, Y ) t [ cov( tx, X ) cov( Y, X )] [ cov( tx, Y ) cov( Y, Y )] t, Y ( X, X ) t cov( Y, X ) t cov( X, Y ) cov( Y ) t cov, Y ( X ) t cov( X, Y ) D ( ) t D Y A t B t C Egy oly ásodfokú kfeezést kpuk t-be, elyk soh e lehet egtív: t R, A t B t C D ( tx Y ) 0, így eek dszkrás egtív vgy zéró lehet csk: B AC cov ( X, Y ) D ( X ) D ( Y ) 0. Ebből ost ár zol, hogy cov ( X, Y ) D( X ) D( Y ), t léyegébe bzoyít kellett. Ez utóbb tuldoság lehetőséget kíál értékegységtől függő kovrc reltvzálásár. Két e kosts változó (X és Y) korrelácós együtthtó értelezés szert z cov( X, Y ) r XY D( X ) D( Y ) vlós szá (evezk ég Perso-féle korrelácós együtthtók s). A korrelácós együtthtó kfeezése tovább lkokt s ölthet: ( )( ) ( ) y y cov X, Y y y rxy σ σ y y y y y de tlálkozhtuk olyl s, t: ( y) ( )( y) r y. y y A korrelácós együtthtó tuldoság:. [,] r y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Bzoyítás kovrc 7. tuldoság és korrelácós együtthtó értelezése lpá zol.. r y ry Bzoyítás: cov( Y, X ) cov( X, Y ) r y r D Y D X D X D Y ( ) ( ) ( ) ( ) y, 7

72 3. r Bzoyítás: 4. r, y r, y Bzoyítás: r, y cov D r ( X, Y ) ( X ) D( Y ) cov D ( X, X ) ( X ) D( Y ) D 7 D D cov( X, Y ) ( X ) D( Y ) ( X ) ( X ) 5. H r y ±, kkor létezek, b R úgy, hogy YbX. Bzoyítás: D ( Y ) Legye b és y b. cov( X, Y ) Akkor egyrészt bcov X, Y D Y és ásrészt 4 ( Y ) ( X, Y ) cov D ( ) ( ) D ( ) ( ) ( X ) D ( Y ) X D Y cov ( X, Y ) ( X, Y ) ry ( X ) D( Y ) D b D ( X ) D D cov r ( Y ) D ( Y ) ( y b ) ( y b y b) [( y y) b( ) ] ( y y) b ( y y)( ) b ( ) ( Y ) b cov( X, Y ) b D ( ) D ( Y ) D ( Y ) D ( Y ) 0 D X. Ez utóbb zt elet, hogy de.. eseté y b 0, zz y b. Ez utóbb tööre írv: YbX, t bzoyít kellett. Ilye helyzet dódht kkor, kor egyék sokságá városlkó épesség ráy (X) és flus lkosság ráy (Y) közt korrelácós együtthtót száítttuk k egy progr áltl (r ), ugys ylvávló Y 00 X. Ez utóbb tuldoság lpá zt odhtuk el, hogy korrelácós együtthtó leárs kpcsoltr utló uttó. A két végletbe, és z -es érték esetébe, függvéyszerű kpcsolt áll fe két változó között, éspedg elsőfokú (leárs) függvéyel elleezhető kpcsolt; h pedg z értéke 0, kkor z lyeft kpcsolt vlószíűsége s 0, zz változók leárs függetleek. A leárs függetleség e zár k z egyéb ft függvéykpcsoltot. Erre péld lehet z y,, 0 és eset (3), kor s r y 0 ásodfokú függvéykpcsolt elleére. A leárs kpcsolt eglétére vgy háyár áltláb e kpuk egyértelű válszt, sőt kor korrelácós együtthtó értéke potos ±, kkor kább hb csúszott z elezésbe, progr prcskötegébe oly változókt vettük be, elyeket hoztuk létre leárs kfeezés felhszálásávl vgy lye kpcsoltr vezető kfeezésekkel (például településekét férfk és ők százlékos ráyát trtlzó két változó korrelácós együtthtó potos ). A vlós helyzetekbe korrelácós együtthtó bszolút értéke 0 és közé esk, tehát csk bzoyos vlószíűséggel utl kpcsolt szorosságár. A tpsztlt (tbel) korrelácós együtthtó segítségével tesztel tuduk zt, hogy ekkor vlószíűséggel fogdhtó el függetleség feltétele z egész sokságb, vgys z, hogy y,

73 sokság egészébe z elélet korrelácós együtthtó 0. Itt el kell oduk zt, hogy egy teles sokság elélet korrelácós együtthtó ltt e kovrcávl értelezett képlet áltl kszáíthtó együtthtór kell godol, he rr, hogy lehetséges összes táb száíthtó tpsztlt korrelácós együtthtó (ez ár kovrcás képlet dt érték) átlg (várhtó értéke, elölük ezt R-el) egyelő zéróvl. H ullhpotézsük z, hogy teles sokságb z X és Y változók függetleek (R0), kkor z eleű összes lehetséges ták sokságá t ry ry vlószíűség változó préterű t-eloszlás (Studet-eloszlás), elég gy eseté (00-ál s több) (0,) préterű oráls eloszlás. Így, h z esetek szá gy, p0.05, p0.0 és p0.00 szgfkcsztekek egfelelő t-érték.96,.58 és 3.9. H vszot z esetek szá kevesebb 00-ál, szükségük lehet egy t-eloszlás tábláztr (lásd ellékletet). Elegedhetetle feltétel de esetbe z, hogy vzsgáltb vett esetek véletleszerűe legyeek kválsztv. Péld Egy vzsgáltb résztvevő 7 dák évvég tetk és fzk áltláosák korrelácós együtthtó r Állíthtó-e, hogy szgfkás összefüggek két ttárgy egye? 5 5 t ry r y A t-eloszlás tábláztából z devágó sor következő: Szbdságfok p0.05 p0.0 p Mvel.797 < t3.67 < 3.745, szgfkcszt 0.00 és 0.0 közé esk, tehát kelethető következő állítás: Az évvég tetk és fzk áltláos egye között szgfkás összefüggés v (p<0.0), éspedg tetkából obb eredéyt elérő dákok fzkából s obbk, tetkáb gyegébbek fzkából s gyegébbek. Az SPSS progr etesít deféle ehézkes száítástól, szgfkcszt keresésétől, csupá rr kell fgyelük, hogy progr érvéyes válsz vlób érvéyes válszok legyeek, e rdk k z érvéyteleítés folytából oly értékek, elyek terészetükél fogv krívó értékűek s, korrelácós együtthtót pedg egy-egy lye érték gyo el tud változtt. Legye sokság egy községből véletleszerűe válsztott 47 gzdság, válszoló csládfővel együtt. Meység változók legyeek gzdságb együttlkó szeélyek szá (k0), csládfő életkor (k0), vlt gzdság ekkor földterülettel redelkezk (k08). A változókról előbb kérük egy egyszerű leíró sttsztkát: des k0,k0,k08. Descrptve Sttstcs K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe K08 Foldterulet h-b Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto Észrevehető, hogy földterület tektetébe v egy -es kód, ek eletése vlóáb z, hogy cs földe z llető gzdságb lkókk. Aeybe gzdálkodó porták eletk 73

74 sokságot, kkor -es kódot tt érvéyteleíte kell, egyébkét 0-r kell átkódol és érvéyesek tekte, de ebbe -es foráb se esetre se vhető be száításokb. A telesség kedvéért beuttuk dkét változtot.. változt. A földdel redelkező gzdságok esete s vl k08 (-). cor k0,k0,k08. Correltos Perso Correlto Sg. (-tled) K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe K08 Foldterulet h-b K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe K08 Foldterulet h-b K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe K08 Foldterulet h-b K0 K0 K08 Szeelysz Eletkor Foldterulet gzdsgb evekbe h-b Észrevehető, hogy földdel e redelkező gzdságok csk k08-s változóvl száítdó együtthtók esetébe rdk k. H z összes korrelácós együtthtó kszáításából k kruk hgy, kkor hszál kell /s lst opcót: cor k0,k0,k08 /s lst. Perso Correlto Sg. (-tled) Correltos K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe K08 Foldterulet h-b K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe K08 Foldterulet h-b **. Correlto s sgfct t the 0.0 level (-tled). *. Correlto s sgfct t the 0.05 level (-tled).. Lstwse 4 K0 K0 K08 Szeelysz Eletkor Foldterulet gzdsgb evekbe h-b **.80* -.500** * A tábláztok első részéből korrelácós együtthtók olvshtók k, következő részből pedg egfelelő szgfkcsztek. Így z utóbb táblázt eredéye odtokb ötve így ézhetek k: Község szte földdel redelkező gzdságok esetébe legszorosbb összefüggés csládfő életkor és szeélyszá között v (r 0.500, p0.000), éspedg él dősebb csládfő, ál kevesebb szeély tlálhtó gzdságb. Szgfkás összefüggés v továbbá szeélyszá és földterület között (r0.80, p0.033) oly értelebe, hogy épesebb gzdságok többyre több földdel redelkezek. Vszot cs szgfkás összefüggés csládfő életkor és földterület között (p0.695), k elleére, hogy korrelácó poztív (r0.033). 74

75 . változt. Az összes gzdságok esete s vl k08 (). cop tk08k08. recode tk08 (-0). cor k0,k0,tk08. Correltos Perso Correlto Sg. (-tled) K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe TK08 K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe TK08 K0 Szeelysz gzdsgb K0 Eletkor evekbe TK08 K0 Szeelysz K0 Eletkor gzdsgb evekbe TK Észrevehtő, hogy ckézés elrdt, így táblázt se trtlzz tk08-s változó leírását, eletését. Továbbá fgyelük eg zt, hogy szükséges volt előbb k08-b érvéyesíte -es kódót (z összest léyegébe), d ezutá egy ú változót hoztuk létre, bb kódoltuk át -et. Kssé ódosulk korrelácós együtthtók, de vk oly esetek s, kor változás egváltoztt következtetések léyegét s. Rgok korrelácó e egy ásképp értelezett korrelácós együtthtóról v szó, he rról, hogy bzoyos esetekbe korrelácós együtthtó kszáítás leegyszerűsíthető, kéz száítások esetébe e elhygolhtó szepot. Ilye eset z, h két eység változó értéke sorredeket trtlzk. Tegyük fel, két borszkértőt felkérek rr, hogy 9 plck bort rgsorolk egyástól függetleül és eek eredéyekét z lább táblázt állíthtó össze: 6. táblázt. Klec borft rgsor két szkértő szert Megevezés Első szkértő rgsor 75 Másodk szkértő rgsor. plck 5... plck plck plck plck plck plck plck plck Aeybe rgsorolók ó borszkértők, zz ugyoly obektív szepotok szert értékelk borokt, kkor sorredek kevés eltérést uttk, h pedg szubektív okok s közreátszk vgy e gzá ó szkértő leglább egyk közülük, kkor rgsorok gy

76 76 eltérést fogk utt. H zt ullhpotézst foglzzuk eg, hogy telese függetle (véletleszerű) sorredek felállítás, kkor korrelácós együtthtó szgfkcsztéből következtethetük eek feltevések vlószíűségéről. Az SPSS progrb egyszerű korrelácós együtthtót kérük, t például következő Syt-blkbel utsítássl: cor wth y X Egyk szkerto X Egyk szkerto X Egyk szkerto Perso Correlto Sg. (-tled) Y Msk szkerto Correltos H ezt értelez kée, kkor zt odhták el, hogy elég gy k vlószíűsége, hogy e d két szkértő vlób borszkértő (p0.54). De ost e ez fotos, he z, hogy kéz száítássl hogy utuk el ugyerre z eredéyre. Mvel változók ugyzokt z értékeket veszk fel és ezek -től 9-g z egész száok és degyk egyszer fordul elő, változók átlg és szórás s ugyz és köye kszáíthtó. Az áltláos esetbe ezt eg s tesszük: ( ) y ( )( ) ( ) 4 6 σ σ y ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ), cov( y y y y y ( ) ( ) 4 4 d d y ( )( ) ( ) 4 6 d ( )( ) ( ) 4 6 d ( )( ) ( ) d d 4 6 Bevezettük egy elölést: d y és lklztuk éháy eléggé sert eredéyt: z első poztív egész szá összegéek és égyzetösszegéek képletét, vlt z utolsó sorb egy vlvel előbb átlkítás ( szóráségyzetél) eredéyét.

77 Végül korrelácós együtthtó értelezésébe behelyettesítve kpuk rgok korrelácóák képletét: 6 cov(, ) d d y ry d. σ σ y ( ) d ( ) 6 Az tt levezetett ry képlettel száíthtó eységet evezk ég Sperféle rgkorrelácós együtthtók s. Kéz száítássl így köye egkphtuk z előbb példából korrelácós együtthtót. A külöbségek redre 3,,,, 3, 4,, és, ezek égyzete 9, 4, 4, 4, 9, 6, 4, 4 és 4, égyzetösszeg pedg 58. Akkor r y ( 9 ) 70 Mégegyszer rr hívuk fel fgyelet, hogy e egy úft értelezésű együtthtót elet rgok korrelácó, he egyszerű lkr hozott képletet, t gyo sátos helyzetbe lklzhtuk csk. Előfordulht, hogy egyk vgy ásk szkértő két vgy több eset s ugyrr helyre rgsorol, lyekor e spekuláluk úgy, hogy z egész száú rgsorokt átlgoluk és Sper-féle képletet lklzzuk. Például, h két eset s együtt z első helyre v rgsorolv, kkor szokták.5-re ve dkettő rgsorát z és helyett, ezáltl z átlgérték e változk eg, de szórás ár ódosul. e b z, hogy rgsort dó száot.5-re vesszük, b kkor áll elő, h Sper-féle korrelácós képletet lklzzuk (h csk egy lye esetük v rgsorolásb, ég e okoz gy eltérést e képlet, de több zoos rgsorolás eseté ár eletős hb csúszht be). A száítógépes progr e tltkozk z értelezés képlete eletette több száítás tt, sőt Sper-féle képlet be scs táplálv, tehát z SPSS-be deképpe klsszkus korrelácós együtthtót kell száoltt. 77

78 7. MITAVÉTEL (ME) 7.. A tvétel tetk lp A sokság egserése és leírás elsősorb sokság ellezőek szászerű eghtározását elet. Ez ltt zt kell érte, hogy sokság de egyes egyedéek egérése utá értékszáokból vszoyszáokt htározuk eg, elyek sokság egészét ellezk, és e z egyedeket. A sokság de egyedéek egvzsgálás vszot gykr egvlósíttl probléát elet: túl sok egyed lkot zt (egye, ország teles lkosság), vgy célsokság e külöül el egyértelűe több egyedtől épességbe. Például: válsztó gtrtások vzsgált Kolozsváro több t eber lkott sokságr tered k, országos szte csládok (vgy gzdságok) lkott sokság több t 7 lló tgot szálál, egy dott úság olvsótábor (vgy egy rádódó hllgtók, egy TV dó ézőek tábor) vszot e sert egyedekét. A kuttás sorá éréseket rövd dő ltt kell végreht hhoz, hogy társdlo vzsgált rétegéek keresztetszetét kpuk, és ge fotos szepot z s, hogy érésbe részt vevő szeélyzet vszoylg kevés száú legye, bztosítv így közös kképzést és z összehgolt ukát (z opertőrök uká sorá bekövetkező hbák álsk lehetek). És végül gzdság szepot ( kuttás költsége) szte dg rr késztetk kuttót, hogy vzsgáltb csupá egy tát vegye be. A sttsztkáb ták evezzük célsokság bárely részhlzát. A táb vett egyedek száától függőe áltláb beszélhetük ks tvételről (legtöbb 30 eset) és gy tvételről (30-ál több eset), de h szocológ kuttásokr szortkozuk, kkor gy tvétel 00 0-ál több egyed kválsztását elet. Tehát t egyk fotos ellezőe érete, táb vett egyedek szá (elölük ezt -el, sokság egyedeek szá pedg h sert legye továbbkb ). Fotos tuldoság továbbá tvételek z, hogy véletleszerű vgy e véletleszerű. Véletleszerű tvételről kkor beszélük, h sokság egyedeek degyke ugykkor eséllyel (vlószíűséggel) kerülhet kválsztásr, ekkor vzsgált ellezők táb (egyedekét, de z átlg, szórás s) vlószíűség változók. A továbbkb csk véletleszerű tákkl fogllkozuk és egyetle változót rgduk k vzsgáltb vettek közül (X), ez előbb legye egy őség, sőt dhotó (ltertív, kétértékű) változó. Tehát célsokság egyede vgy redelkezek egy dott tuldosággl (XA) vgy e. Az dott tuldosággl redelkező egyedek ráy sokságb legye p. Aeybe célsokság elég gy és táb vett egyedek szá s gy (gy tvétel), z eleű tákb z dott tuldoságú egyedek szá közel oráls eloszlású vlószíűség változó, elyek várhtó értéke p és szórás pq, hol q p. H vszot táb z dott tuldoságú egyedek ráyát száoluk, kkor ez s egy vlószíőség változó, ely oráls eloszlást követ (ks ták eseté z u. Studet vgy áséve t-eloszlást), p p várhtó pq pq értékkel és szórássl, de h százlékb száoluk, kkor 00p% várhtó értékkel 00 pq és % szórássl. Ez utóbb szórást orálhtuk felhszálv zt közsert összefüggést, hogy ért középráyos e gyobb szátál: p q 00 pq

79 Akkor 95%-os kofdectervllu sugr (középpottól, 00p-től vló leggyobb eltérés):.96 (százlékb száított ráyokr). Ez utóbb értéket, %- ot evezk tvétel hbszázlékák. Tehát egy 00 eleű véletleszerű t hbszázlék 0%, 400 eleűé 5%. Ezt úgy kell értelez, hogy több t 95% z esély rr, hogy például egy 00 szeélyes véletleszerű táb tpsztlt százlékos ráy legfelebb 0%-kl tére el sokságbel ráytól, vgy ugyez áskét elodv: kevesebb t 5% vlószíűsége k, hogy tbel ráy több t 0%-kl tére el sokságbel ráytól. Részletesebbe t eleszá és hbszázlék közt kpcsoltot következő táblázt utt be: 7. táblázt. A t gyságák és hbszázlékák kpcsolt A t eleszá A tvétel hbszázlék 00 0% 56 8% 78 6% 400 5% 65 4% 3% 600.5% 500 % % 0000 % % % % Elteredt külöböző kuttásokb egy tgyság (vgy hbszázlék): országos, egye vgy gyváros szte z szeélyes t, ely.5 3%-os hbszázlékot bztosít ( t gyságát egy kssé gyobbr kell éretez, t hogy tábláztb szerepel, ugys száol kell lehetséges eválszokkl s). H zt olvssuk tehát egy kuttás sertetőébe (ódszert beszáolóáb), hogy t gyság 86 szeély (8 éves és dősebb) és hbszázlék.4%, kkor ez ltt zt kell érte, hogy (%), és ez áls.35% s csk z 50 50%-os eloszlásokr érvéyes, egyébkét eél ksebb p0.05-ös szgfkcszte grtált eltérés. Tehát, h egy sokságb egy egevezett pártr szvzók ráy például 3%, kkor z 86 szeélyes véletle táb 95%-os eséllyel (0.95 vlószíűséggel) z llető pártr szvzók ráy csk pq százlékkl

80 tér el 3%-tól, tehát 5% közé esk gy vlószíűséggel. Igz fordított következtetés s: h véletle táb tláluk 3%-y oly egyét, k egy dott pártr szvz, kkor teles sokságb z erre pártr szvzók ráy 5% közé esk 95%-os eséllyel. H vzsgált változó eység, kkor elsősorb zt keressük, hogy ekkor lehet z átlgértéke eek változók sokságb, ekkor szórás (vgy szóráségyzete), lye eloszlás v változók vgy ekkor vlószíűséggel fogdhtó el sokságbel oráls -el sokságbel várhtóértéket (átlgértéket), D( X )-el szórást, egy eleű táb tpsztlt,,..., értékek átlgát pedg -el, szórását σ-vl. H tvétel véletleszerű, kkor eléletleg de egyes érték sokság bárely elee lehet és ugykkor vlószíűséggel, tehát levezetésekbe tbel értékek eloszlás feltétele, stb. Jelölük X-el változót, M ( X ), és degyk lye vlószíűség változó eloszlás ugyz, t teles sokságbel eloszlás, tehát ugykkor várhtó értéke ( M ( X ) M ( X )) és szórás s ( D( X ) D( X )). Ugykkor véletleszerűség bztosít zt s, hogy z X vlószíűség változók párokét függetleek. Továbbá vlószíűség változó z vlószíűség változókkét kezelhetők ( X ) ( ) ( ) ( ) X X... X X X X X... X X X és X X s. Eze feltételek és elölések ellett következő eredéyeket kphtuk (felhszálv várhtó érték és szóráségyzet devágó tuldoságt):. X X... X M ( ) ( X) M ( X )... M ( X ) M X M M ( X ) M ( X )... M ( X ) M ( X ) M ( X ).. X X... X D ( ) ( X) D ( X )... D ( X ) D X D 3. M ( X ) D ( X )... D ( X ) D ( X ) D ( X ) D. ( ) X X... X X X... X M X X M X X... X X X... X M M M ( X ) M ( X )... M ( X ) M X X... [ ] ( ) A folyttáshoz z ( X X X ) 80 X... -t kell átlkít (fgyelebe vesszük függetle változók szorztár érvéyes összefüggést: szorzt várhtó értéke egyelő várhtó értékek szorztávl): ( X X... X ) ( X X X X... X X X X X X ) M ( X X... X ) M ( X ) M ( X )... M ( X ) [ M ( XX )... M ( X X )] M.

81 ( X ) M ( X )... M ( X ) M ( X) M ( X )... M ( X ) M ( X ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) X M X M X... M X M X M X M M ( X ) ( ) M ( X ). [ ] M M ( X ) Végül: M ( ) ( X ) M [ M ( X ) ( ) M ( X )] M ( X ) M ( X ) M ( X ) M ( X ) M ( X ) [ M ( X ) M ( X )] D ( X ) Megegyzés: A fet levezetések bb z esetbe érvéyesek, kor tvétel vssztevéses ( kválsztott egyé vsszkerül sokságb és úr kválszthtó), vgys degyk egyed kválsztáskor sokságbel ráyok változtlok. Eleéletleg ez lehet vssztevés élkül tvétel s, h zt oduk, hogy sokság végtele. Aeybe sokság véges és tvétel vssztevés élkül, kkor -ős és 3-s összefüggések z lább lkot veszk fel (bzoyítás élkül tesszük közzé ezeket):. D ( ) ( X ) D ( X ) D ( X ) D X 3. M ( ) D ( X )) Aeybe z százezres gyságredű,, tehát gykorltlg 3-s egyelőséggel száolhtuk. H t és sokság volueéek ráy kcs ( sokság %-áál s ksebb t), kkor, tehát száolhtuk -es összefüggéssel. Az első két összefüggés ( X ) M ( X ) D( X ) 8 ( X ) D M és zt feez k, hogy véletle tvétel sorá tátlg sokságbel átlg körül értéket vesz fel ál ksebb szórássl, él gyobb t voluee. A hrdk relácó M ( ) D ( X ) zt árul el, hogy tvrc várhtó sokságbel vrc (szóráségyzet) értékéél ksebb, tehát h tából kruk becslést d sokság szóráségyzetére, kkor S tvrcát kell hszál. Ezetúl egy t esetébe tvrc és tszórás z ( ) ( )... ( ) s értékét, lletve eek égyzetgyökét fog elete (z SPSS progr csk ezt vrcát és szórást száít k és hszál). Összefogllv végül eység változó esetébe kpott eredéyeket elodhtuk, hogy: h sert sokságbel átlgérték ( M ( X )) és szórás ( D ( X )), kkor z eleű táb.96 D 95%-os eséllyel z átlgérték z M ( X ) ( X ) -től legfelebb -el tér el;

82 h e sert sokságbel átlg és szórás, kkor tszórás (s) értékét hszáluk sokságbel szórás becslésére és kelethetük zt, hogy sokságbel átlgérték tátlgtól.96 s 95%-os eséllyel csupá -el tér el. A fet eltérések kfeezhetők z átlgérték százlékáb s, de ezt rtkább hszálák, 00 ugys eze százlékos eltérések külöbözek hbszázléktól és összetéveszthetők leéek ezzel. Hszáluk kább értékegységgel redelkező áls eltérés értékét ( egfelelő szgfkcszthez) vgy egbzhtóság (kofdec) tervlluokt. A egbzhtóság tervlluot z SPSS progr egyszerű utsításr eg s d, például h korább (z F-tesztél) hszált telese véletleszerű kockdobásokt úgy fogák fel, t egy 663 eleű tát, kkor egfelelő dtálloáyt betöltve z dtszerkesztőbe következő utsítást duk k (Sttstcs/Surze/Eplore...): e /st des. A kpott eredéy fő táblázt következő: Descrptves X A dobott sz Me 95% Cofdece Itervl for Me 5% Tred Me Med Vrce Std. Devto Mu Mu Rge Iterqurtle Rge Skewess Kurtoss Lower Boud Upper Boud Sttstc Std. Error A 3 dobás átlg 3.97, k sokságk z átlg, elyből fet 3 érték egy véletle t, 95%-os eséllyel (3.36, 4.57) tervllub v. A táblázt Me soráb tlálhtó s.67 Std. Error eletése 0. 95, z.67 érték tábláztb Std. Devto 3 (tszórás). 7.. A tvétel típus társdlotudoáyokb A gykorltb foglk egy kssé ásképp hszáltosk, de fotos téyező, hogy z elélet defcó lehető legobb legye egközelítve. H egy eber sokságból, egy dott területe élő épességből szereték tát ve, kkor oly probléákkl s tlálkozuk, elyek tvétel elélet lpál e vetődtek fel: z eberek e golyók vgy hlzeleek, cseek dg egy helybe, e egyeletese helyezkedek egy települése, egy vdéke vgy egy országb. H külöböző évlstákt (pl. válsztó évegyzék) próbáluk beszerez tvétel célából, kkor felerülhet z, hogy e de települése férhetük hozzá lstákhoz, ásrészt, h hozzáférhetők s lsták, gykr ezek háyosk vgy e potosk, egyes szeélyek lkhelye egváltozott közbe, stb. Továbbá előfordul, hogy egyes szeélyek e kívák válszol, ylvá tárgyk kválsztás esetébe e törtéhet eg. 8

83 A t eleeek kválsztásár több ódszer létezk. Hogy elyket hszáluk, z ttól függ, hogy lye z lpsokság összetétele, teredele, terület eloszlás, és e utolsósorb, hogy lye kuttások állk redelkezésükre z lpsokságról. A külöböző ódszerekek v egy közös lpelve, hogy kválsztást z ökéyesség és z egyé szepotok kzárásávl, elfogultlul kell végreht. Itt e foguk oly ódszerekkel fogllkoz, elyek e véletle kválsztáso lpulk. A véletle kválsztáso lpuló ódszerek háro fő típusb sorolhtók: egyszerű véletle kválsztás; rétegzett kválsztás; lépcsőzetes kválsztás Egyszerű véletle kválsztás Eek ódszerek léyege z, hogy tbel egyedeket sokságból egyszerre és véletleszerűe válsztuk k, ügyelve rr, hogy sokság de elee száár egyelő esélyt bztosítsuk táb kerülésre. A véletle kválsztás zért bzoyos szbályszerűséget követhet, e feltétleül kell vko, tlálor kválszt z eseteket. Az elárás feltétele, hogy redelkezzük sokság egyedeek vllye krtéru szert elredezésével (ely lpá sorszáozhtók szeélyek -től -g például) és ely lpá zoosíthtók szeélyek (z opertőrök felkereshetk). Erre ó eszközök év és lkhely szert lstrook (például válsztások évsor), z okttás tézéyekbe dákok osztályokét évsor, egyete hllgtók évsor csoportokét, szkokét, krokét és tézéyek szert, és például flus köryezetbe gzdságok sokságár kellőe egfelel lkott házk házszák lstá s. Az egyk kválsztás techk sorsolásos (tlálor törtéő válsztás) ódszer. Gykr lklzott egoldás, hogy z egyedeket sorszál látuk el és száok közül húzuk sorsot. H egy oly száítógépes típusos dtálloáyl redelkezük, elybe de eset egy sokságbel szeélyek (egyedek, tézéyek, települések) felel eg, z SPSS progrb betöltés utá egy egyszerű utsítássl véletleszerű tát kpuk (z dtálloáy csk t esetet fog trtlz, ezeket kyottuk, d így hszosítuk): s 640 fro 396. ee. Itt 396 sokság voluee ( betöltött fle sork szá), 640 t eleeek szá és egybe z utsítás végrehtás utá z dtszerkesztőbe egrdt sorok szá. Egy ásk ódszer véletleszá-táblázt hszáltár épül. Az lye tábláztok véletle elárássl geerált száokt trtlzk, oszlopokb szedve, -től például g. A kválsztás tehkák egy ks ügyességet követelek eg, t. sokság egyedeek szá e kerek A véletle száokt trtlzó tábláztok s külöféle ódszerrel készülek és szerkezetük s ás és ás, száítógépes ylvátrtások elteredése szte telese háttérbe helyezte e ódszert. A tudoáyos zsebszáológépek redelkezek egy véletleszá geerálás utsítássl, geerált száok 0 és közöttek, háro tzedesegyy potossággl, tehát ezekek lklzás eléggé beszűkít lehetőségeket. H 000-él ksebb lstá levő szeélyek szá, kkor ezt száot rögzítük zsebszáológép eórááb, véletleszáokt sorr előhívuk és egszorozzuk tárolt eységgel és egészre kerekítük. Az úr elődódó sorszáokt terészetese khgyuk. H lstroo levő szeélyek szá több t 000, kkor két egyásutá geerált véletleszából készítük egy úbb, célk egfelelő gyságredű száot (például tzedesegyeket egyásutá íruk, így 6 tzedesegyű száot kpuk). A hrdk egyszerű véletle kválsztás techk echkus kválsztás. Eek léyege z, hogy redezett lpsokságo belül egyástól bzoyos távolságr levő egyedek kerülek táb. A echkus kválsztást többféleképpe s végre lehet ht: lstás ódszerrel, térkép, dőközök lpá stb. A lstás ódszer eseté eghtározuk egy lépésszáot ( sokság és t volueéek ráy, egészre kerekítve, áltláb lefelé kerkeítük) és egy kdulás száot, ez utóbbt 83

84 ksorsoluk z,,,lépésszá száok közül. Például, h egy flu 784 felőtt (8 éve felül) lkosságából 00 szeélyt kel kválsztuk tákhoz, lépésszá 784/008.9, tehát de yolcdk szeélyt foguk kválszt flu felőtt lkosságák évsorát trtlzó válsztás lsták lpá. Az első szelély kelöléséhez z,, 3,, 8 száok közül ksorsoluk egyet, h ez például 3, kkor következő sorszáú szeélyeket válsztuk k: 3,, 9, 7,, 77, 779. Az így kpott 3 szeély közt kd oly s, k trtós távol trtózkodk (például külföldö), k e kr válszol vgy k e tud válszol, így reélhetük, hogy be tuduk gyűte 00 ktöltött kérdőívet vgy ás dtlpot. Térkép lpá földrz távolságokt vesszük lpul, például h települések közül kruk tát ve, kkor térképre egy oly égyzetes hálót helyezük, elybe etszéspotok szá t eleszáávl egyelő. A etszéspotokhoz legközelebb eső települések kerülek bele táb. Időközök lpá oly eseéyek kválsztását végezhetük el, elyek dőbe egyeletese következek be. Például őség elleőrzés célából egy gépsoro előállított terékek közül dott dőközökét elkészített terékeket veszük táb. Itt vgyáz kell rr, hogy z dőköz e legye többszöröse vgy háydos külöböző perodkus eletkező ukfolytok üteéek (például gépsor beállításák peródus, váltások 8 vgy 6 órás peródus, yersyg utápótlásák dőköze). Ugylye dőközös (eg echkus s) tválsztás, kor válsztások deé egy dott válsztókörzetbe de 0-k eletkező szeélyt válszt k kkérdezés célából z opertőr. Vló gz, hogy szte egyeletes dőközökét törtéek kválsztások, de tévedés vol ór és perchez köt kválsztást, ert z urákhoz áruló szeélyek pártpreferecá gy változtosságot uttk: ásk korá válsztók opcó t például z utolsó óráb eletkezőké. Ebbe z esetbe z dőhöz kötöttség vlóáb csk ásodlgos, kzárólgos téyező válsztótereből vló klépés sorrede Rétegzett kválsztás H sokság vlely őség sérv szert ól rétegződk zz vzsgált eység sérv szert hoogé csoportokb helyezkedek el z egyedek, csoportok pedg egyástól ól elkülöülek kkor rétegzett tvétel áltl becslés óság eletőse egövekedhet. Képzelük el egy lye helyzetet: 8. táblázt. Péld rétegzett tvétel szeléltetéséhez Csoportok Esetszá Átlgérték Szóráségyzet M D Összese A teles sokságbel átlgérték és szóráségyzet ár sert ódo száítódott k: M M 3M 3 M.75 D D D 3D ( M M ) ( M M ) ( M M ) D w D b

85 85 Jól elz péld csoportok egyástól vló elkülöülését (z átlgértékek külöbözősége) és csoportoko belül hoogetást ( szóráségyzetek csoportoko belül 3-4-szer s ksebbek teles sokságbelhez képest). H egy egyszerű véletle kválsztásos 400 szeélyes tát veék sokságból, kkor tátlg és sokság átlg közt eltérés p0.05-ös szgfkcszte legtöbb D lehet. A rétegzett tvétel sorá külöböző rétegekből (csoportokból) ráyos válsztuk k tbel eleeket, de egyes csoportból egyszerű véletleszerű kválsztássl. Az 400 szeély csoportokr ráyos leosztv 00, 30 és 3 70-et elet, tehát háro egyszerű tvétel képletevel kell száol és z ltátlgok oly oráls eloszlású vlószíűség változók, elyek várhtó értéke M és szóráségyzete D. Akkor z tátlg s oráls eloszlású vlószíűség változó, elyek várhtó értéke M M M M M M M és szóráségyzete D D D D D D D D D D w D D D D D D. Tehát z így vett táb tátlg várhtó értéke ugycsk.75, tátlg és sokságbel átlg eltérése p0.05-ös szgfkcszte pedg kevesebb t D w Ebbe z esetbe rétegzett tvétel szte kétszer obb becslést szolgáltt, t z egyszerű véletle kválsztásos ódszer. Ugyezt becslést egyszerű véletle tvétellel csk ge gy volueű távl tudák elér: D D, zz körülbelül 550 szeélyes távl. A fet péld látváyos eredéyébe gy szerepe volt k, hogy csoportoko belül vrcák kcsk voltk, csoportátlgok pedg gyo eltértek egyástól. H e telesülek ezek feltételek, becslés óság e vul fel száottevőe. Rétegzett tvételt hszáluk oly esetbe s, h kuttás cél oly lsokságok összehsolítás, elyek közül egyesek ge gyegé reprezetáltk teles sokságb (például drogfogysztók, e erőszkot szevedett egyéek, stb.). Ilyekor ez(eke)t ktegórá(k)t túlreprezetáluk táb, d szükség eseté egfelelő súlyzásokkl korrgálhtuk z egyes eredéyeket Lépcsőzetes kválsztás Ebbe z esetbe t kválsztás több fokoztb törték, egyes fokoztok sorá vzsgált sérvekre közöbös krtéruokt (például közgzgtás htárokt, kulturáls vgy törtéel régókt) s fgyelebe veszük, de végső fázsáb z egyszerű véletle kválsztás vlely eddg sertetett ódszerét lklzzuk. Végrehthtó gyo egyszerűe, például h egy egye áltláos skolás tuló lkoták sokságot, kkor kválszthtuk -3 várost és 8-0 községet, városokból és flvkból z összességébe ráyos eghtározott száú dákot leosztuk

86 településekre, kválsztdó osztályok száát eghtározzuk, d kelölük városokb z skolákt, z osztályokt végül véletleszerűe vgy helyzetek egfelelőe vesszük be táb (eglehet, hogy egyes flvkb tuló háy tt csk bzoyos osztályok űködek). Ilye tvételt lklzhtuk kkor s, kor város lkóról cs seféle előzetes dtuk. Kelölük 0-5 kdulás potot (utc, házszá, lkrész), ho kérdezőbztosok elkezdk echkus kválsztás útá egfelelő száú szeély kkérdezését. Ez ódszer rot becslés őségé, tehát áltláb gyobb eltérésre száíthtuk, t z egyszerű véletle tvétel esetébe. De gykr lklzuk kell, ert például egy 600 szeélyes egyszerű véletle tvétel egy egye lkosságából szte de településről bevo egyéeket, ezek kkérdezése sok dőbe és kdásb kerüle. Aeybe beszerzük oly dtokt, elyekek ellege vzsgált őség és eység változókr befolyássl vk például településekét épességösszetétel, tézéyekre lebotott külöböző kuttások, kkor eze dtok szert előbb kluszterlízs ódszerével hoogé és ól elkülöülő csoportokb (kluszterekbe) soroluk településeket vgy tézéyeket, külöböző csoportokr eghtározzuk tából ráuk eső kótákt, d kválsztuk éháy települést (lletve tézéyt) de csoportból és ezekből véletleszerűe szeélyeket. A települések kválsztásáál oly krtéruokt s fgyelebe szoktk ve, t: városhoz közel helység s legye eg távol s, főút, vsút eté fekvőt s eg ezektől távolbb levőt s vegyük be, sík vdéke fekvőt s eg gsbb levő települést s. Eze sertetett ódszereke kívül létezek ég z úgyevezett felettebb tvétel ódok: leggyobb vlószíűség (u lkelhood) elve lpá törtéő elárás, becslés tvétel ódszere, szekvecáls tvétel és ások. Főleg gzdság életbe lklzott ódszerekről v tt szó (őségelleőrzés), kor elég sok dt áll redelkezésükre sokságról ég tvétel előtt. 86

87 II. rész MAGASSZITŰ STATISZTIKAI ELEMZÉSEK 87

88 88

89 . REGRESSZIÓSZÁMÍTÁS (ME) A korrelácós együtthtó egyke klsszkus függőség érőszáokk, de csk egyféle kpcsolt szorosságár utl, éspedg leárs kpcsoltr. Eek léyegét tööre így foglzhtuk eg: h korrelácós együtthtó értéke gy (közel z -hez), kkor többyre ksebb értékekhez ksebb, gyobb értékekhez gyobb értékek trtozk (h pedg -hez v közeebbl, kkor többyre ksebb értékekhez ásk változó gyobb értéke, gyokhoz pedg ksebb értéke trtozk). Példkét tektsük z lább táblztb szereplő dtokt (fktív dtok; száított eységeket z elélet beuttásb ge sok tzedesegyű potossággl duk eg): Sorszá. táblázt. A sokság leírás Meysszoy (M) Vőlegéy (V) életkor házságkötéskor Átlg Szórás Szóráségyzet A két életkor közt korrelácós együtthtó értéke r , ge közel v z -hez, és gz z s, hogy ftlbb eysszoy vőlegéye ftlbb (7 8, 9 9, 9 9) és z dősebb eysszoyok vőlegéye dősebb (3 38, 8 36, 7 3). H grfkus ábrázoluk egy derékszögű koordátredszerbe zt 5 potot, elyek egyk koordátá eysszoy életkor, ásk pedg vőlegéy életkor, kkor z lább ábrát kpuk (csk külöböző pot látszk, ugys.,. és 4. egybeesk, és egybeesek ég 5. és. potok s): 89

90 . ábr. A sokság ábrázolás koordátredszerbe (potok) 40 Vôlegéy életkor Meysszoy életkor Az ábr szert párokk egfelelő potok eléggé egy egyees eté helyezkedek el. Tektettel kell leük rr s ég, hogy tetk (potos, függvéyszerű) kpcsoltot e tételezhetük fel oly eységek között, elyeket elég pottlul egyzük le, tudllk házsságkötéskor regsztrált hvtlos életkor (de ás esetbe s) egész szá ( betöltött évek szá), potos életkor pedg vlós szá (esetleg lye foráb, hogy év, hóp, p). Így z ábráb házsuldó felekek egfelelő potok léyegébe égyzetek kellee hogy legyeek, de ezzel e szoktuk probléát boyolít.. ábr. A sokság ábrázolás koordátredszerbe (égyzetek) Vőlegéy Meysszoy 90

91 Ezzel z ábrázolásóddl felvetődő probléát (vgys z értékek helyett tervlluok hszáltát) tt e foguk tárgyl teles boyolultságáb, de részbe vssz foguk tér rá (hvtkoz foguk erre). A ért értékeket elölő értékszáokt potos értékekek foguk tekte ezetúl, ezzel leegyszerűsítve feldtot. A változók közt sttsztk kpcsolt függvéyszerű lkák eghtározását regresszószáításk evezzük. A regresszó dege szók eletése csökkeés, hytlás, hátrfelé ozgás, hátrálás, ráyváltozttás, vsszesés, vsszfelődés, vsszfordulás, vsszhúzódás, vsszredezés, vssztérés, látszólg se kpcsolt cs szó közp és sttsztk eletése között. A kpcsolt kulcs Glto, k sttsztk kpcsolt függvéyszerű lkávl bzoyított zt vsszredezést, ely tpsztlhtó fk és z pák testgsság között (t. ugyoly gsságú pák fúgyereke külöböző testgsságot érek el, vszot gyszáú pár és fkr votkozó testgsságok eloszlás ugyoly u, u, átlg, szórás). Áltláb regresszószáítás lp z, hogy egyes változók közt, dolgok léyege vlt korrelácós együtthtó értéke vgy z ábrázolás áltl, ok okozt és sttsztk összefüggés s feltételezhető, lletve következtethető. Az ok okozt kpcsolt leírás érdekébe változók közt függvéyszerű kpcsoltot keresük, éspedg z okoztot függő (depedet) változók tektük, több befolyásoló változót függetle (depedet) változók. H elsőfokú függvéyt keresük kpcsolt ellezésére, kkor leárs regresszóról beszélük, egyéb függvéy eseté pedg eleárs regresszóról A függetle változók szá szert beszélhetük egyváltozós vgy többváltozós regresszószáításról. A eleárs regresszó lehet logrtkus, epoecáls, poloáls, hperbolkus, stb. ( ) ( ) ( k ) Áltláb, keresett függvéy y ˆ f (,, K, ) lkúk tektedő, hol ŷ függő (okozt vgy főleg okozt) változó, z ( ) (, ), K, ( k ), k pedg függetle (ok, vgy főleg ok) változók. Megoldásk áltláb z E ( y yˆ ) kfeezést záló függvéyt tektk ( legksebb égyzetek ódszere, legksebb égyzetes középhb)... Egyváltozós regresszók... Leárs regresszó Térük vssz z. táblázt dt dtátrr (5 sor és oszlop). Alpos okuk v zt feltételez, hogy bzoyos eysszoy-életkorokhoz gy vlószíűséggel kevés száú vőlegéy-életkor felel eg, de ezt egfeleltetést ég e tuduk ásképpe leír. Aeybe feltételezzük, hogy kpcsolttot leíró függvéy leárs, kkor elég egyszerű ódo eluthtuk kpcsolt szászerű (uérkus) leírásár. Legye vőlegéy életkor függetle változó (), bból (vtthtó) eggodolásból, hogy (áltláb) vőlegéy kér eg eysszoy kezét, eysszoy életkorát pedg elölük középskoláb szokásos y-l. Egy teredelesebb dtátrb z oszlopok (változók) szá ge gy, változók eve áltláb több krkteres zoosítóból állk, így kokrét lklzásokb e tlálkozuk többet z -szel eg y-l (egy betűvel elölt változóvl), de z elélet levezetés, re ost válllkozuk, géyl z egyszerű elöléseket. Áltláosítsuk (vezessük elélet síkr) feldtot záltl, hogy z esetek száát s pretrzáluk (), így dottk tektük z (,y ), (,y ),, (,y ) szápárokt. Legye f:r R egy leárs függvéy, ltkus lk szert f()b, R. Külöböző és b értékek ás-ás függvéyt értelezek. A következő táblázt szeléltet kökrét eseteket, vlt z elélet helyzetet. 9

92 . táblázt. Péld leárs függvéyértékekre Sorszá életkor életkor Vőlegéy Meysszoy f() 5 f()9/ f()b y z w ŷ b. 5 35,5 5b b ,5 b b ,5 9b b b b b b. 5 35,5 5b ,5 3b ,5 5b ,5 3b Egy felületes plltás s táblázt z és w értékeek oszlopár zt sugll, hogy w értéke obbk z-él, zz kevesebbel térek el y-tól. E két esetbe ylvávló obb ősítés, de elképzelhető oly helyzet, kor gy hsolóság kétféle ltkus képlet dt száok között. Szükség v tehát egy potos (precíz, szbtos) defcór. Az értelezés egdás előtt elítést kell teük egy oly fogloról, elyk ge gykr szerepel ezutá. Értelezés: Legye (,y ),.. egy dtátr, f:r R egy függvéy. Az e y f( ) összefüggés dt (e ),.. változót rdékváltozók evezzük (dege eredetű kfeezéssel rezduáls változók, vgy rövde rezduuk). A rdékváltozó értéke ért (y ) és száított érték ( ŷ f( )) közt külöbség, ez lehet egtív s. égyzetre eeléssel külöbségek eegtívvá válk, kfeezések pedg átlkíthtóvá (ez utóbbk szükségességét esokár lát foguk), összegezés utá pedg z úgyevezett rezduáls égyzetösszeg dódk. A 3. táblázt rezduáls égyzetösszegek kszáítását példázz. Láthtó tt ár szászerűe s, hogy ecsk obb, he sokkl obb egközelítk w értéke z y értéket, t z száított eységek. Ikább gz z keletés, hogy eysszoy életkor vőlegéy életkorák fele és ég 9 év t z, hogy eysszoy életkor egyelő vőlegéy életkorák duplá usz 5 év. Az S (ugyúgy z S /5) -b s és b-be s ásodfokú kfeezés, eghtározhtó u lletve uát dó és b, így elodhtó, hogy v oly elsőfokú (leárs) függvéy, elyek száított értéke legksebb rezduáls égyzetösszegeket dák, zz eghtározhtó z leárs függvéy, elyk legobb leír vlós változók közt sttsztk kpcsoltot. 9

93 3. táblázt. A rezduáls égyzetösszegek kszáítás zf() 5 wf()9/ ŷ f()b y z y z e w y w e ŷ y ŷ e ,0,0,00 8b 7 8b (7 8b) ,5 0,5 0,5 5b 5b ( 5b) ,0,0,00 36b 8 36b (8 36b) ,5 0,5 0,5 b 9 b (9 b) ,0 0,0 0,00 b 0 b (0 b) ,5 0,5 0,5 9b 9 9b (9 9b) ,0,0 4,00 4b 3 4b (3 4b) ,0,0 4,00 3b 7 3b (7 3b) ,0 4,0 6,00 38b 3 38b (3 38b) ,0 3,0 9,0 6b 5 6b (5 6b) ,0 0,0 0,00 b 0 b (0 b) ,5 0,5 0,5 5b 5b ( 5b) ,5 0,5 0,5 3b 0 3b (0 3b) ,5 0,5 0,5 5b 5b ( 5b) ,5 0,5 0,5 3b 3b ( 3b) Összeg ,75 S b 758b b7795 Átlg 6,4,45 S /5 e kell de esetbe felír z S kfeezését z és b seretle eységekkel, d eghtároz kpott kfeezés uát, ez feldt egoldhtó z áltláos esetbe, egoldás pedg yr egyszerű lkot ölt, hogy egegyez s és lklz s ezt gyo köye lehet. Itt következőkbe beuttuk z áltláos eset egoldását, példázv zt s, hogy foráls írásód le tud egyszerűsíte látszólg elég boyolult feldt egoldását. Legye (,y ),.. egy dtátr két oszlop (változó), f:r R egy leárs függvéy, f()b,,b R. Akkor rezduáls égyzetösszeg: ( y b ) S e ( ) y b y b y b y b y b y b y b y b y b y ( b y) y b b y ( b y) ( b y) ( b y) y b b ( b y) b b y y y b b y 93

94 94 ( ) y y b y y b y b ( ) ( ) [ ], cov y b y b y b σ σ ( ) ( ), cov y b y b y b σ σ σ σ ( ) ( ), cov y y y b y b y b σ σ σ σ σ σ σ ( ) y y y b r b y b σ σ σ σ σ ( ) y y y y y r r b y b σ σ σ σ σ σ σ ( ) ( ) y y y y r r b y b σ σ σ σ ( ) ( ) y y y y r r b y b σ σ σ σ Ez utóbb lk zt bzoyít, hogy bárlye és b vlós szár: ( ) y r y S σ, tehát rezduáls égyzetösszegek u leglább ( ) y r y σ, uot pedg z leárs függvéy szolgáltt, elyek z ltkus lkáb szereplő és b zál z ( ) y b és y r y b σ σ kfeezéseket. Ilye és b létezk, éspedg z 0 0 y b r b y y σ σ egyeletredszer egoldás, ely egoldást kívetkező lkb szokták felír: b y r b y y σ σ. Meglepő tlá, hogy egoldások lkáb szerepel vlós változók átlg, szórás, korrelácós együtthtó. Megegyzés: A fet levezetésél s egyszerűbb z egoldás, elyk többváltozós függvéyek prcáls derváltát hszál, áltláb szerzők ezt egoldást szokták beutt. E egoldás léyege z, hogy z S egy eegtív, derválhtó, kétváltozós függvéy, és egy lye függvéyek szélsőértéke (tehát upot s) prcáls derváltk zérushelye közt keresedők. Mvel középskoláb prcáls dervált fogl e szerepel tygb, yt tt el kell oduk, hogy polfüggvéyekek létezek prcáls dervált és ezeket úgy száítuk k, hogy z llető változót seretleek tektük, többt pedg kosts préterek, és így derváluk z sert ódo. A elölések pedg: w F vgy w F ( többváltozós függvéyt ó gy betűvel elöl, tt egyk változót w-vel elöltük).

95 H egfgyelük záldó kfeezést, kkor ez egy kétváltozós függvéy -b és b- be: ( y b ) F( b) S,. Eek prcáls derváltt egyelővé téve 0-vl z lább egyeletredszert kpuk: F ( y b )( y b ) ( y b ) 0. Fb ( )( ) ( ) y b y b b y b 0 Az első egyelet zol elvezet z y b serős lkhoz, ezt behelyettesítve ásk σ y egyeletbe, d éháy átlkítás utá egkpuk b r y összefüggést s. σ Külöböző szerzők szokták regresszós egyees lkát z lább foráb s egd: σ y yˆ ry ( ) y. σ Ugyez z lk száítás képletek lklzásávl így éz k: y y yˆ y. Ez utóbb képlet kkor hszos, h z átlgok, szórások és korrelácós együtthtó seretle és e vgyuk progrozhtó száítógép közelébe. Ilyekor célszerű tábláztb sűríte száításokt és csk oszlopösszegeket száít (4. táblázt), szeléltetésre vegyük eysszoy-vőlegéy esetet ( vszoyszáok ár beuttott értéket elleőrzésre foguk tt hszál). 4. táblázt. A regresszós egyees eghtározás kéz száítássl y y

96 Ezekkel regresszós egyelet lk: y y yˆ y , ( 379) y ˆ ( ) , 7004 y ˆ , és végül yˆ Aeybe redelkezük ár z átlgértékekkel, szóráségyzetekkel és korrelácós együtthtóvl, kkor regresszós egyees egyeletéek eghtározás leegyszerűsödk: σ y yˆ ry ( ) y σ ( ) , y ˆ ( ) , stb. Végül pedg beuttuk feldt egoldását z SPSS progrcsog segítségével. Az dtok bevezetése és elleőrzése utá z lább utsítást duk k (Syt-blkb, de eüből s kdhtó): reg /dep Y /et et X. Az Output-blkb többek között egtlálhtó z lább táblázt s: Model (Costt) X. Depedet Vrble: Y Ustdrdzed Coeffcets Coeffcets B Std. Error Bet t Sg Stdrdzed Coeffcets Látszólg kcs potosság, de tábláztr duplát ktttv d szbdtgr, lletve együtthtóár duplát ktttv egkphtuk ezekek z ge potos értékét: lletve Ilye potosságr cs s szükség, tehát e kell progr felhszálóák degyre ktttgt külöböző tábláztrekeszekre. A következő kérdés z, hogy két értelezzük kpott eredéyt. ylvávló, hogy egfgyelt (ért) dtok potosság csekély (szte egy egész év s lehet z eltérés vlós életkor és leegyzett kor között), ezért regresszós függvéyt s elég (tt) két tzedesegy potossággl felír: yˆ Szvkb következőképpe lehet ezt elod: eysszoy életkor házsságkötéskor egyelő vőlegéy életkorák kéthrdávl plusz ég 5-6 év. Aeybe változók között ól elkülöülő ok-okozt kpcsolt s v, kkor kpcsolt leírásához hszáluk z ok (függetle változó) egységy változás áltl bekövetkező okozt

97 (függő változó) változás egevezését s. Például, h külöböző búztábláko hektárokét hszált űtrágy eysége (kg-b), y pedg hektárokét búzhoz (ázsáb) és regresszós egyees egyelete y ˆ , kkor elodhtuk zt s, hogy kg-l több űtrágy 0. ázsávl övel búzhozot, vgy kább zt, hogy 0 kg-l több űtrágy hszált ázsávl egövel búz hozát. Az áltláosbb esetbe ( leárs regresszóál) z lye következtetés lpául szolgáló relácó bzoyítás következő: () ( ) ( ) ( ) yˆ b, yˆ b, ( ) ( ) ( ) ( ) 97 ( ) yˆ yˆ b, ˆ y b. Tehát z elsőfokú tg együtthtó kulcs z lye értelezésbe: függetle változó egységy övekedése függő változób b egységy övekedést (h b<0, kkor csökkeést) déz elő. Itt e kerülhető el z déz elő vgy eredéyez hszált, tehát csk z ok-okozt kpcsolt leírásár hszáluk fet foglzást. Európ országb (997-be) teles terékeység ráyszá (TTR) és tltás (AT) közt leárs kpcsolt lk: TTR 0,87 0,7 AT. A teles terékeység ráyszá tltáshoz hsoló száítás eredéye, de fgyelebe vesz ő épesség korösszetételét, így terészetese v ok-okozt kpcsolt változók között, így elodhtuk, hogy tltás - kel vló övekedése teles terékeység ráyszáot 0,7-del övel. Vlvel szebbe hgzk z változt, elykbe dkét eységet egészre övelük, persze e 000-rel vló szorzássl, he vlvel ksebb szorzókt keresve: tltás 9 -kel vló övekedése teles terékeység ráyszáot egységgel övel. Hsoló szászerűsíthető egy bevtkozás htékoyság regresszószáítássl: például egy kísérlet csoportb egyféle bevtkozás előtt felérk gyerekek tudását, d egy hosszbb deg elyúló egyed fogllkozás utá egvzsgálák, ekkor változás áll be csoport egyedeek tudássztébe. H bevtkozás (fogllkozás) dőtrtát függetle változók, gyerekek tudássztébe beállt változást függő változók, kkor regresszószáítás utá egfoglzhtuk egy oly keletést, hogy dőegységy (ór, hét) bevtkozás ekkor seretövekedést vált k. De h egy vdék flus települése z élveszületettek száát y -vel elölük, gólyfészkek száát pedg -vel, kkor várhtó egy leárs kpcsolt két változó közt, ert gyobb flvkb áltláb gyobb z élveszületések szá s és több ház és vllyoszlop tt gólyfészkek szá s. A regresszós egyees lk legye, oduk: yˆ , t helytele lee így értelez: gólyfészkek száák -vel vló övekedése z élveszületettek száát 3-l övel. A kpcsolt két változó között csupá sttsztk, és e s bztos, hogy kellő erősségű. Térük vssz regresszós egyees együtthtók eghtározásához és fgyelük eg rdékváltozó tuldoságt. A következő levezetésekbe léyeges szerephez ut regresszós egyees együtthtók eghtározás sorá feltárt y b összefüggés. Először s rezduuok értelezése: e y yˆ,... Ebből z értelezésből dódk egy ks száítássl z átlgértéke: ( ˆ ) e e y y ( y b ) y b 0.

98 Másrészt, rezduáls égyzetösszeg u, egy korább bzoyítás lpá: S e ( ) 98 r y σ y, vgys σ e ( e e ) e ( ry ) σ y. Ez szóráségyzet 0 és σ között v, etré esetekbe egybeesk ezek vlelykével. H y rezduu szóráségyzete 0, kkor zéróvl egyelő z összes rdékérték, tehát ért és száított értékek potos egybeesek, gykorltb ge rtká fordul elő, és, kkor s csk oly esetbe, kor két változó értékegységbe külöbözk egyástól (z egyk bszolút értékű, ásk eg reltív, vgy z egyk földterületet árb, ásk változó pedg ugyezt ktsztráls holdb d eg) vgy egyást kegészítő százlékos eységek (férf-ő ráy, flu-város vszoy, stb.). A rezduu szóráségyzete h egközelít függő változó (y) szóráségyzetét, kkor korrelácós együtthtó 0 körül, tehát leárs korreláltlok változók, így cs s ért leárs kpcsoltot leíró függvéyt keres. ézzük ost regresszóvl becsült (száított) változó átlgát és szóráségyzetét: yˆ yˆ ( b ) b y, ( yˆ yˆ ) ( b b ) b ( ) b σ σ yˆ σ y ry σ ryσ y. σ Tehát száított változó szóráségyzete ugycsk 0 ésσ között v, de ost ár olyforá, hogy h erőse korreláltk vlós változók ( korrelácós együtthtó közel v ±- hez), kkor regresszóvl becsült változó kd egfgyelt (ért) változó szóráségyzetéek gy háydát. Hogy száított változó háydát vlósít eg egfgyelt változó szóráségyzetéek, zt potos z y r d eg. Így ég előtt regresszószáításb kezdeék eg tuduk od, hogy d száítdó, regresszóvl becsült változó eyre reprodukál ért változó változását (szóráségyzetét). A fet két szóráségyzetet összegezve zt kpuk, hogy: σ yˆ σ e ryσ y ( ry ) σ y σ y. Másrészt, száított érték ( ŷ ) és rdékérték (e ) összege egfgyelt érték (y ): y ˆ e y,.., így szóráségyzet egyk tuldoság lpá: σ σ cov yˆ σ σ e. y yˆ e yˆ e (, ) Összevetve két egyelőséget z derül k, hogy cov ( y ˆ, e) 0, zz száított értékek és rezduuok korreláltlok, vgys z eltérések kcs, közepes és gy száított értékek esetébe véletleszerűek, vegyese kcsk és gyok, persze, h v kellő száú eset vzsgált sokságb. A fet összefüggéseket vzsgáluk eg, elleőrzzük le z SPSS progrcsog segítségével, bevezetőbe (. táblázt) beuttott fktív sokság eseté. A változókt elölük következőképpe: vőlegéyéletkort V-vel, eysszoyét M-el, regresszóvl becsült változót MM-vel, rezduuot pedg E-vel. A regresszós egyees lkát kezdetbe íruk fel gypotossággl: y

99 MM V, d továbbkb kerekített préterekkel. Az utsítások íruk ost s Syt-blkb: cop MM *V. cop EM-MM. des M,MM,E /st e, vr. Az eredéyt z Output-blkból olvshtuk k: Descrptve Sttstcs M MM E Vld (lstwse) Me Vrce E Ez lklol tábláztbel értékeket gypotossággl s k foguk szedeget, következő táblázt ezeket z értékeket trtlzz. 5. táblázt. Az átlgértékek és szóráségyzetek gy potossággl Változó Esetszá Átlg Szóráségyzet M MM E Azol láthtó, hogy egfgyelt és száított változó átlg ugyz, rdék változó átlgértéke pedg gykorltlg 0 ( progr száítás potosság kb. 3 száegy). Aeybe egfgyelt változó szóráségyzetét ( ) egszorozzuk egfgyelt változók korrelácós együtthtóák ( ) égyzetével ( ), z eredéy , potos száított változó szóráségyzete ( száítás potosságo belül). Köye beláthtó z s, hogy száított és rdék változó szóráségyzeteek összege egyelő ért (egfgyelt) változó szóráségyzetével. A korrelácós együtthtók kszáításár s íruk egy utsítássort: corr MM wth E. A kpott eredéy gy potossággl: , száítás potosság fgyelebevételével (3-4 szgfkás száegy) 0-t elet, zz száított (MM) és rdék (E) változók korrelácós együtthtó gykorltlg s 0. Itt felvetődk z kérdés, hogy lye változást eredéyez z téy, hogy regresszószáítás eredéyét e szoktuk 0-3 száegyű potossággl (ből legtöbb tzedesegy) ve z összefüggés (kpcsolt) szászerűsített leírásáb. A következő utsítások z SPSS progrcsogb legyeek ugyzok, t z előbb felsoroltk, de regresszószáításból szárzó szbdtg és együtthtó legye kéttzedes potosságú, d egy úbb változtb ég obb kerekített ( korább szvkkl leírt kpcsoltk egfelelőe: eysszoy életkor házsságkötéskor egyelő vőlegéy életkorák kéthrdávl plusz ég 5-6 év). cop MM *V. cop EM-MM. des M,MM,E /st e, vr. corr MM wth E. 99

100 Beláthtó ost, hogy kerekítésekből szárzó hb száottevőe egő: Descrptve Sttstcs M MM E Vld (lstwse) Me Vrce E A száított és rdékváltozó korrelácós együtthtó ár e 0: Correltos Perso Correlto Sg. (-tled) MM MM MM E cop MM5.5/3*V. cop EM-MM. des M,MM,E /st e, vr. corr MM wth E. Descrptve Sttstcs M MM E Vld (lstwse) Me Vrce Correltos Perso Correlto Sg. (-tled) MM MM MM E Észrevehető, hogy gyo potos préterekkel felírt összefüggések gykorltlg z elélet esetbe trtozk (tehát uát eredéyezk rezduuok égyzetösszegéek, rezduuok pedg korreláltlok száított értékkel csupá véletlehbák vk), vszot ezek eheze közölhetők, ehézkese foglzhtók eg keletésekkét (például csk így: eysszoy életkor egyelő vőlegéy életkorák szoros plusz ég év). Aeybe köyebbe egfoglzhtó lk ellett dötük ( vőlegéy életkor egyelő eysszoy életkorák kéthrd plusz 5-6 év), úgy ezzel bevszük egy szsztetkus hbát redszerbe, ely hb vszot érhető (például, z így száított és rdék változók korrelácós együtthtó 0.037, gykorltlg korreláltlságot elet szgfkc szt 0.895). Meg kell egyez zt s, hogy beeő dtok s hordozk gukb egy elég száottevő hbát (életkor regsztrácó), tehát seképpe se kell rgszkod potos (soktzedesegyű) együtthtóhoz és szbdtghoz, de gyekezzük úgy kerekíte ezeket, hogy él ksebb eltérést hozzuk be ezáltl. Aáltos tehát következő egoldás: száítógépes progr dt szbdtgot és együtthtót kelzett 3 tzedesegyű potossággl leegyezzük, d külöböző kerekített értékekkel több elsőfokú kfeezéseket hozuk létre. Vegyük példkét z eddg hszált esetet. 00

101 reg /dep M /eth et V. Az eredéyekről több Output-bel táblázt száol be. Egykből egtudhtuk, hogy elyek hszált változók, hogy ekkor korrelácós együtthtó és k égyzete: Model. Predctors: (Costt), V Model Sury R R Squre Adusted R Squre Std. Error of the Estte (ebből z olvshtó k, hogy z elélet leárs regresszós függvéyel száolt változó 94,5%- b gyrázz egfgyelt változó szóráségyzetét). Egy ásk tábláztból kolvshtuk, hogy ekkor regresszós függvéyel becsült változók z átlgától vló eltérések égyzetösszege (Regresso Su of Squres), rdékváltozó égyzetösszege (Resdul Su of Squres), egfgyelt (ért, tpsztlt) változó átlgától vló eltéréségyzetek összege (Totl Su of Squres). H ezeket elosszuk z esetszál (5-tel) kkor z llető változók szóráségyzetét kphtuk eg, lletve, h z egyel ksebbített esetszál (4-gyel) ossztuk, kkor z SPSS progr hszált stdrdzált (t) szóráségyzetet kphtuk eg redre változókr. Model Regresso Resdul Totl. Predctors: (Costt), V b. Depedet Vrble: M AOVA b Su of Squres df Me Squre F Sg A fet tábláztbel F-teszt és z ehhez trtozó szgfkc-szt szóráségyzet felbotásából szárzó két tgr épül ( σ y σ yˆ σ e ), hol ásodk tg véletle hbából szárzó szóráségyzet, és eek kcsy volt rról győz eg beüket, hogy regresszós függvéy ge gy bzoyossággl (p0.000) ellez leárs sttsztk kpcsoltát két változók. Végül z utolsó tábláztb egtláluk leárs függvéy szbdtgát és együtthtóát: Model (Costt) V. Depedet Vrble: M Ustdrdzed Coeffcets Coeffcets B Std. Error Bet t Sg Stdrdzed Coeffcets Ebből felíruk kpcsoltot leíró leárs függvéyt: M V. Aáltuk tehát z, hogy ezek utá íruk fel (él) több kerekített préterű összefüggést: M V M 5.5 /3 V M V M V M V M V M V Ezek degykét hozzuk létre z SPSS progrb, d hozzuk létre degykhez z ő rdék változóát (zz ezek égyzetét), végül kérük rezduuok égyzetéek összegét:

102 cop M 5 0.7*V. cop M 5.5 /3*V. cop M *V. cop M *V. cop M *V. cop M *V. cop M *V. cop E(M-M)**. cop E(M-M)**. cop E3(M-M3)**. cop E4(M-M4)**. cop E5(M-M5)**. cop E6(M-M6)**. cop E7(M-M7)**. des E,E,E3,E4,E5,E6,E7 /st su. Megtörtéhet, hogy sok változt között v két egyfor s (tt például z M3 és z M5), ez egyáltlá e hb, csupá több dőt töltük el velük (de e száottevő többlet). Az eredéyt dó tábláztból kválszthtuk zt z esetet, elyk legksebb rdék égyzetösszeget eredéyez, és összehsolíthtuk z elélet áls rdék égyzetösszeggel. E E E3 E4 E5 E6 E7 Vld (lstwse) Descrptve Sttstcs 0 Su A legksebb ásodk esetbe (.64) és lg több, t z eléletleg áls (.397, lásd egy korább eredéy-tábláztb), tehát z életkorok közt összefüggést legegyszerűbbe és gy potossággl így foglzhtuk eg: eysszoy életkor egyelő vőlegéy életkorák kéthrdávl plusz 5 és fél év (5-6 év). Meg kell elíteük egy fotos összetevőét regresszós függvéyek. A eghtározott leárs függvéy (lk yf()b) értelezés trtoáy eléletleg z egész száegyees (R), vlóságb zob cs de száértékek egfelelőe. Ezzel zt kruk od, hogy gz lehet egy lye összefüggés: M5.5/3 V, de csk vlóságb előforduló értékekre kell korlátoz eletését, tehát érteletle dolog kszáít, hogy egy 50 éves vőlegéy eysszoy kb. háy éves, vgy például zt, hogy egy 6 éves vőlegéy eysszoy ey dős lehet ( egtív száokt, t életkorokt eg se elítettük ég). Más esetekbe s hsoló helyzet: h 0 kg-l több űtrágyát szóruk k, hoz ázsávl övekszk egállpítás e korlátl érvéyű, ert például egy hektár búzávl bevetett szátór k lehet szór 0000 kg-l s több űtrágyát, hoz bztos e fog 000 ázsávl (00 toávl) egöveked, sőt, h kelletéél több űtrágyát szórák k, terés csökkeése áll be. Ak eghtározás, hogy egállpított szászerű kpcsolt ely tervlluo belül érvéyes, e egyszerű feldt és e elélet feldt, teles értékbe gykorlt. A tehkáb ód v rr s (sőt, kötelezőe eg s kell te), hogy egy szbály érvéyesség tervlluát

103 eghtározzák. Például ó őségű trzsztor s csk bzoyos ár- és feszültségkorlátok között tud ó őséget produkál. Érdees tt egy ábr ereég egálluk. 3. ábr. Egy trzsztor erősítése (álldó etter-kollektor feszültség ellett) Kollektorár (A) Bázsár (A) A lbortóru kísérlet sorá például egy ks telesítéyű (00W-os) trzsztor bázsetter árát külöböző (bázs-etter) feszültségértékek áltl éháy tzed A-es értékről 3-4 A-g övelk, és közbe leolvssák redre egfelelő etter-kollektor ár erősségét (álldó etter-kollektor feszültség ellett). Az értékpárok egelölése utá (egy derékszögű koordátredszerbe) egy folytoos görbével szokták z összefüggést ábrázol (lásd 3. ábrát). A leárs regresszót csk zokr z értékpárokr végzk el, elyek eseté z ábrá s láthtó lertás: bázsár (ylvávló ok szerepbe) A között. Az így eghtározott regresszós egyees lk például K 53 B 07 (K kollektorár, B bázsár, dkettő A-be). A 53-es együtthtó trzsztor erősítés téyezőe (ezt kerekítve 50-ek tütetk fel). H kég egy trzsztor ház erősítőkből és ez gyár típus ár e kphtó kereskedelebe, e elég ugyoly erősítés téyezőű trzsztort keres, ert előfordulht, hogy k leárs szksz (hol hgerősítés torzíttl) ás bázsár értékek közé esk (ez pót trzsztor A között egyáltlá e leárs erősíthet z etter-kollektor árot). A fet példát csk szeléltetésül utttuk be, utlv rr s, hogy tehkáb végletekg lehet ksérletez ( trzsztor bázsár több száz A-es árot s rá lehet v, legfölebb egy ks sstergés hlltszk, d vehetük elő z úbb trzsztort). A társdlo eleségeek vzsgáltáb e vlósíthtók eg (vgy h ge, kkor túl gy kockázttl) szélsőséges helyzetek, tehát egy-egy regresszószáítás áltl szászerűsített összefüggés érvéyesség tervlluát egfgyelt okváltozó legksebb és leggyob értéke közé kell helyez, áltláb csekély értékbe ezeke htároko túl lehet lép. Például vőlegéy-eysszoy életkorák kpcsoltáb (lásd z. ábrát) z érvéyesség tervllu 8 38 év ( vőlegéy életkorár votkozvá), ez ktereszthető pár évvel fölfelé (oduk úgy 45 évg), lefelé törvéy szb htárt (törvéyese házsságkötéskor 8 év férf életkorák z lsó htár). De h ól belegodoluk, ebbe z esetbe telese fölösleges felső htár kteresztése, sőt szűkítése lee áltos, t. házsságkötések ge gy háydáb felek 0-30 éves korúk, z dősebb korb házsságr lépők között gy korkülöbség s elő állht, és ez gyo befolyásolht szbály egfoglzását. És kkor ég e s szóltuk rról, hogy z dősebb korb törtéő házsságok áltláb ás ellegűek, t terészetes korb törtéő frgyek. Azt kruk tt od, hogy egy-egy kvételes, furcs esetet kább hgyuk k z elezésből, bölcse hllgtv rr ép odásr, hogy kvétel erősít szbályt. A fet egegyzést lá s foguk tászt egy példávl. Tegyük fel, hogy 5 pár ellett v egy 6-k s, egy gyo furcs pár: vőlegéy 9 éves, eysszoy 48. Hogy lkul eze 6 esetes hlzo regresszószáítás eredéye? Reprodukáluk z Output-blk devágó tábláztt: 03

104 Model. Predctors: (Costt), V Model Sury Adusted Std. Error of the R R Squre R Squre Estte Model Regresso Resdul Totl. Predctors: (Costt), V b. Depedet Vrble: M AOVA b Su of Me Squres df Squre F Sg Coeffcets Model (Costt) V. Depedet Vrble: M Ustdrdzed Coeffcets Stdrdzed Coeffcets B Std. Error Bet t Sg H de tovább élkül zt oduk, hogy eysszoy életkor egyelő vőlegéy életkorák egyhrd plusz 6 év (M6/3 V) ge gy tévedésbe esük, ert ez z összefüggés csupá 6.4%-b gyrázz egfgyelt életkorok szóráségyzetét (r 0.064), rezduáls égyzetösszeg ott, hol z eredet változó szóráségyzete , tehát ez z egy krívó eset vzsgáltb vétele hszálhttl eredéyre vezet. Aáltos regresszószáítás elkezdése előtt, ég korrelácós együtthtó kszáítttás előtt s, ábrázol vzsgáltb kerülő potpárokt (ábrázolást kér progrtól). H ezt egtetük vol z előbb esetbe, úgy következő ábrát kptuk vol: 4. ábr. A 6 elees sokság ábrázolás koordátredszerbe Vôlegéy életkor Meysszoy életkor Szeel s ól érzékelhető, hogy egy pot gecsk essze esk szbályos esetektől, tehát szbály ez z eset élkül kphtó eg. 04

105 ... Leárs regresszór vsszvezethető eset Tektsük ost sokságk vlág országt (z dtálloáy eve: world97.sv, z dtok forrás BOUCHER, Mrguerte, Tous les pys du ode (997) Populto et Socétés, Jullet Août, 997, uero 36), változók z egy főre eső ezet övedelet (995-be, változóév: GDP95) és csecseőhldóságot (996-b, éves kor előtt elhlálozottk szá ezer úszölettre vszoyítv, változóév: MIF). Egy egyszerű sttsztk zt utt, hogy 60 ország redelkezk dkét változó esetébe érvéyes értékekkel, z egy főre eső ezet övedele USD között váltkozk, átlgb tegy 5500 USD, csecseőhldóság 3,9 95 között gdozk, átlgb 45. A változó eve Egy főre eső ezet övedele (GDP95) 6. táblázt. A két változó leíró sttsztká Mértékegység Esetszá Mu Mu Jellező értékek Átlg Stdrdzált szórás USD/fő , ,3 Csecseőhldóság (MIF) 60 3,9 95,0 45,54 38,784 A ezet övedele gyság befolyásol többek közt z egészségügyre szát költségvetés összegeket (de ugykkor z egyéek életszvolát s), így csecseőhldóság értékéek országokét külöbözőségéek s részbe kváltó ok. A korrelácós együtthtó értéke r 0,59 (60, p0,000), ögáb zt elet, hogy szoros leárs (és fordított ráyú) kpcsolt v két vzsgált voltozó között, éspedg: ks ezet övedeleel redelkező országokb gs csecseőhldóság, gy ezet övedelű országokb vszot lcsoy ez z érték. Koordátredszerbe ábrázolv fet leírt kpcsolt vlágos tükröződk, de zt s észre lehet ve, hogy ez kpcsoltot e legobb egyetle leárs függvéy lkáb keres. 5. ábr. 60 országból álló sokság leírás Csecseôhldóság Egy fôre esô ezet övedele (USD) 05

106 A száítógépes progr végreht de utsítást, felhszáló döt el, hogy értelez-e (felhszál-e) vgy se z eredéyt. Erre z esetre (d 60 országr) regresszószáítást z lább SPSS-utsítássl dhtuk k: reg /dep MIF /eth et GDP95. Model (Costt) GDP95. Depedet Vrble: MIF Ie regresszós egyees lk: Ustdrdzed Coeffcets Coeffcets B Std. Error Bet t Sg E Stdrdzed Coeffcets csecseőhldóság( ) ezet övedele(usd/fő) () Model Regresso Resdul Totl. Predctors: (Costt), GDP95 b. Depedet Vrble: MIF AOVA b Su of Squres df Me Squre F Sg A fet szbály szert száított értékekek egfgyelt értékektől vló eltéréségyzeteek összege , átlg 09,804, gyo gy, tudllk zt elet, hogy átlgb ezek z eltérések et teszek k ( ) : H fgyelebe vesszük zt édákb sokt hgozttott állítást, hogy vlág gyo polrzált, z országok egy ksebb háyd gzdg (z egy főre eső ezet övedele több t USD), több szegéy (éháy száz dolláros GDP-vel), kkor ezet övedele és csecseőhldóság közt kpcsoltot áltos lee leárs függvéy lkb keres külö szegéy országok sokságáb és külö gzdg országokéb. Ezt úgy vlósíthtuk eg, hogy egy ú változób defáluk gzdg és szegéy országokt: copute orszggdp95. vr lb ORSZAG 'Az egy fôre esô ezet övedele - ktegór'. recode ORSZAG (80 thru 4999) (5000 thru 40). fort ORSZAG (F.0). vl lb ORSZAG ' USD/fô' ' USD/fô'. fre ORSZAG. Az ú változó értékeek gykorság: Vld Totl USD/fô USD/fô Totl ORSZAG Az egy fôre esô ezet övedele - ktegór Vld Cuultve Frequecy Percet Percet Percet ( gzdg országok sokság 38 állból áll, szegéyeké pedg -ből). Külö-külö dkét sokságot egelölük, d ár előbb beuttott regresszó-utsítást végrehttuk:

107 use ll. select f (ORSZAG). eecute. reg /dep MIF /eth et GDP95 /sve resd. Itt regresszószáítást kdó utsításb /sve resd opcó predktált (száított) és rezduáls változók leíró sttsztkáák beuttását elet egy Resdul Sttstcs evű tábláztb. A két változó közt korrelácós együtthtó szegéyebb országr r 0.68 (p0,000), regresszós egyees prétere: Model (Costt) GDP95. Depedet Vrble: MIF Ustdrdzed Coeffcets Coeffcets Stdrdzed Coeffcets B Std. Error Bet t Sg E csecseőhldóság( ) ezet övedele(usd/fő) () száított és rezduáls értékek sttsztká pedg: Predcted Vlue Resdul Std. Predcted Vlue Std. Resdul. Depedet Vrble: MIF Resduls Sttstcs Mu Mu Me Std. Devto E Ebbe z esetbe s gyok z eltérések ért és száított értékek között (vgys erre szegéyebb országr), re legobb gyrázt grfkus ábrázolás egy derékszögű koordátredszerbe: 6. ábr. A szegéyebb országok esete Csecseôhldóság Egy fôre esô ezet övedele (USD) 07

108 ylvá e legobb tt regresszós egyeesről beszél, k elleére, hogy korrelácós együtthtó égyzete 0,38, zz 38,%-yt gyráz csecseőhldóság szóráségyzetéből z ()-es képlet. ézzük gzdg országok esetét. Úr betöltük z dtálloáyt és gzdg országokt szelektáluk k: use ll. select f (ORSZAG). eecute. reg /dep MIF /eth et GDP95 /sve resd. Előbb korrelácós együtthtót eleezzük: Model Model Sury b Adusted Std. Error of the R R Squre R Squre Estte Predctors: (Costt), GDP95 b. Depedet Vrble: MIF Tehát r 0.659, r 0.434, zz 43.4%-os gyrázó erővel bír száított változó. Azért 38 gzdgbb ország esetébe se gy korrelácós együtthtó (bszolút értékbe), grfkus ábrázolás ellebe eggyőz rról, hogy ebbe z esetbe tlá lklzhtó regresszószáítás: 7. ábr. A gzdgbb országok esete 30 Csecseôhldóság Egy fôre esô ezet övedele (USD) Model (Costt) GDP95. Depedet Vrble: MIF Ustdrdzed Coeffcets Coeffcets Stdrdzed Coeffcets B Std. Error Bet t Sg E

109 Az összefüggés potos lk következő: csecseőhldóság( ) *ezet övedele(usd/fő) (3) Az értelezés érdekébe következő forát rgduk eg: csecseőhldóság( ) *ezet övedele(000 USD/fő) (4) Leolvshtó, hogy z egy főre eső ezet övedele ezer USD-rl vló eelkedése csecseőhldóság 0,45 -kel vló csökkeését déz elő (bzoyos keretek között, ugys USD fölött GDP ár egtív csecseőhldóságot eletee hlvszületetteket s életre keltk?). A rezduáls értékek sttsztká zt utt, hogy z eltérések átlgb ost ár óvl ksebbek, de ksebbek függőek tektett változó értéke s eze országok esetébe ( csecseőhldóság 3,9 4 között változk). Predcted Vlue Resdul Std. Predcted Vlue Std. Resdul. Depedet Vrble: MIF Resduls Sttstcs Std. Mu Mu Me Devto E Az eltérések ráyr korrelácós együtthtó égyzete d becslést: z r 0.434, tehát csecseőhldóság országokét ás-ás értékét regresszós egyees egyelete lpá száított vgys (3)-es, de kább (4)-s képlet dt kpcsolt szert értékek 43.4%-b gyrázzák, z ezektől száított értékektől vló eltérést egyéb eleségekkel vló kpcsolttl gyrázhtuk, vgy ásféle függvéykpcsolttl (lásd eleárs regresszót). ylvávló, hogy ez fet összefüggés csk bzoyos országokr érvéyes (38-r). Érdekes lee eze országok lstáát véggéz (7. táblázt). A táblázt sort ézve szükségét érezzük k, hogy törpeállokt hgyuk k z elezésből. Eek egvlósítását z olvsór bzzuk. Áltláb, h z eredet sokságból kkttuk gyo elütő eseteket, d ezt több lsokságr botuk fel függetle változó értéke szert, kkor keresett regresszós függvéy végeredéybe lye lkú: b, h ( α, α ) b, h [ α, α 3 ) y f ( ) k bk, h [ α k, α k ) 09

110 7. táblázt. A 38 gzdg ország dt Ország Kotes Terület épesség Csecseőhldóság Egy főre eső ezet övedele Mértékegység k fő USD/fő SEYCHELLES szgetek Afrk KAADA EGYESÜLT ÁLLAMOK ARGETIA URUGUAY Aerk BAHAMAS BARBADOS ST. KITTS-ÉS-EVIS SZAUD ARÁBIA BAHREI EGYESÜLT ARAB EMIRÁTUS IZRAEL Ázs KUWEIT QATAR SIGAPOUR DÉL-KOREA JAPÁ DÁIA FIORSZÁG ÍRORSZÁG IZLAD ORVÉGIA EGYESÜLT KIRÁLYSÁG SVÉDORSZÁG ÉMETORSZÁG AUSZTRIA BELGIUM Európ FRACIAORSZÁG LUXEMBURG HOLLADIA SVÁJC SPAYOLORSZÁG GÖRÖGORSZÁG ITÁLIA PORTUGÁLIA SZLOVÉIA AUSZTRÁLIA Ausztrál ÚJ ZÉLAD

111 ..3. eleárs regresszók A gykorltb kább hszált eleárs regresszók éelyke vsszvezethető leárs regresszószáításr, de függvéy lkáb szereplő préterek eghtározhtók ufeldtból s. A léársr vsszvezethető regresszók: b epoecáls függvéykpcsolt: y e ; logrtkus függvéykpcsolt: y bl ; b htváyfüggvéykpcsolt: y. Tovább hszált eleárs regresszók: ásodfokú függvéykpcsolt: y b c ; hperbolus függvéykpcsolt: y. b Áltláb egy eleárs regresszót egy yf() lkb keresük, ely foráb több seretle préter szerepel (,b,c, ). Eze prétereket úgy htározzuk eg, hogy rezduáls égyzetösszegek álsk legyeek: S [ y f ( )]. A lzáldó kfeezésbe seretlekét szerepelek z,b,c, préterek, ezek eghtározás eléletleg z S S S 0, 0, 0,... b c egyeletredszer egoldását követel eg ( fet kfeezésekbe z llető kfeezés derváltát elet úgy, hogy csk z tektedő seretleek, több betűvel elölt eység d kostskét kezeledő). Az áltláos esettel tovább e fogllkozuk ebbe köyvbe, ellebe leársr vsszvezethető eseteket részletesebbe tárgyluk (ezek fordulk elő leggykrbb lklzásokb). Aeybe e redelkezük oly száítógéppel és progrl, ely deféle regresszószáításr lkls utsítássl redelkezk (lye z SPSS), kkor létrehozzuk vzsgáltb vett változók értéket logrtálv z úgyevezett logrtusváltozókt. Ezek létrehozását ugycsk z SPSS progrcsog felhszálásávl uttuk be, ugys z utsítások szöveg forááb s egszerkeszthetők, így egy írott űbe ól sertethetők. Az dtálloáy legye z 5. ábráb ár leírt sokság (tt 8. ábr): 60 ország, változók z egy főre eső bruttó ezet övedele 995-be (GDP95) és csecseőhldóság 996-b (MIF). Az ábrából seretekre lpozv htváyfüggvéyes regresszór godoluk. Melőtt létrehozák logrtkus változókt, győződük eg rról, hogy cseek egtív értéke z eredet változókk: des GDP95, MIF. Descrptve Sttstcs GDP95 MIF Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto cop lgdp95l(gdp95). cop lfl(mif).

112 8. ábr. Az országok eloszlás ezet övedele (995) és csecseőhldóság (996) szert Csecseôhldóság Egy fôre esô ezet övedele (USD) A következő lépés gyo fotos: z ú változókkl száított korrelácós együtthtók vzsgált: cor GDP95, LGDP95 wth MIF, LMIF. Correltos Perso Correlto Sg. (-tled) GDP95 LGDP95 GDP95 LGDP95 GDP95 LGDP95 MIF LMIF A leggyobb korrelácós együtthtó (bszolút értékbe) két logrtusfüggvéy között, így ezekre végzük leárs regresszószáítást. Eek érdekébe átlgot és szórást száítttuk z ú változók esetébe: des LGDP95, LMIF. Descrptve Sttstcs LGDP95 LMIF Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto A potosbb száítás elvégzése érdekébe korrelácós együtthtót, z átlgokt és szórásokt gyobb potossággl keressük eg: LGDP95 (, függetle változó) átlg: , szórás: ; LMIF (y, függő változó) átlg: , szórás: ;

113 változók korrelácós egyótthtó: ; változók leárs regresszós függvéye: σ y yˆ ry ( ) y σ ( ) ( ) Most ár behelyettesíthetük logrtált változókt ebbe regresszós egyeesbe: l MIF lgdp95, l GDP95 MIF e, e MIF l GDP 95 e l GDP95 ( e ) ( GDP95) A fet lk ugy eheze öthető szvkb, de egyelőre zt elleőrzzük le, hogy obb-e sí leárs regresszós függvéyél (MIF GDP95). Ez utóbbál rezduáls égyzetösszegek et teszek k (lásd z. száú képletél), de bztoság kedvéért kérük dkét esetre ezek kszáítását: cop df(mif *gdp95)**. cop df(mif /gdp95** )**. des DMIF,DMIF /st su. Descrptve Sttstcs DMIF DMIF Vld (lstwse) Su Meggyóződhetük rról, hogy htváyfüggvéyes regresszóvl becsült csecseőhldóság obb egközelít egfgyelt értékeket, problé csupá szászerűsített kpcsolt szvkb ötése körül erül fel. A GDP95-ek es htváyktevőét 0.5-re kellee kerekíte, így égyzetgyök eletést kp. Ezzel evezőt csökketettük, szálálób s csökketést kell végrehtuk. Többféle értékkel próbálkozhtuk: MIF (); MIF (); MIF (3); MIF (4). GDP95 GDP95 GDP95 GDP95 Ezek degykére száítttuk rdék égyzetösszeget: cop df(mif-000/gdp95**0.5)**. cop df(mif-600/gdp95**0.5)**. cop df3(mif-400/gdp95**0.5)**. cop df4(mif-00/gdp95**0.5)**. des DMIF,DMIF,DMIF3,DMIF4 /st su. Descrptve Sttstcs DMIF DMIF DMIF3 DMIF4 Vld (lstwse) Su

114 A tábláztból kderül, hogy vlhol (3)-s összefüggésbel 400-s szálálóérték körül kell keresgél: cop df(mif-500/gdp95**0.5)**. cop df(mif-450/gdp95**0.5)**. cop df3(mif-400/gdp95**0.5)**. cop df4(mif-300/gdp95**0.5)**. des DMIF,DMIF,DMIF3,DMIF4 /st su. Descrptve Sttstcs DMIF DMIF DMIF3 DMIF4 Vld (lstwse) Su Most ár egállpodhtuk végleg (3)-s összefüggésbe, tehát szbályszerűség így öthető szvkb: csecseőhldóság gyából egyelő 400-k és GDP égyzetgyökéek háydosávl. Persze ás egfoglzások s lehetségesek, t például z, hogy GDP égyszeresére övekedésével csecseőhldóság felére csökke. Most vegyük szeügyre z SPSS progr yútott lehetőséget. Egyetle utsításb kérhetük külöböző eleárs regresszószáításokt. A eüből kdhtó utsítás Sttstcs/Regresso/Curve Estto dlógusblkb tlálhtó. Az tt felsorolv tlálhtó és beállíthtó (kérhető) regresszós függvéyek következők: Ler: y b Logrthc: y b l Iverse: y b/ Qudrtc: y b c Cubc: y b c d 3 Power: y b Copoud: y b S: y e b/ Logstc: y, hol u egy kosts szá, t eg kell d z Upper boud utá b u szövegblkb. Ez z érték gyobb kell legye, t függő változó u. Growth: y e b Epoetl: y e b Az előző száítást s elleőrzedő kérük egy htváyfüggvéyes regresszót (z utsítást Syt-blkb írv): curveft /vr MIF wth GDP95 /odel power /plot ft. Az eredéy előbb egy pár soros szövegbe tlálhtó: 4

115 MODEL: MOD_5. Idepedet: GDP95 Depedet Mth Rsq d.f. F Sgf b0 b MIF POW A b0 elet tt szbdtgot, b pedg htváyktevőt, tehát regresszós htváyfüggvéy: MIF ( GDP95), gykorltlg ugyz, t t korább, lépésről-lépésre beuttv kptuk. Az utsításbel /plot ft opcó egy ge ó grfkus ábrázolássl ádékoz eg, ezért e feledük el kér ezt s: 00 MIF 00 0 Observed Power GDP95 H ár kerítettük z összes tt álott függvéyt, próbálkozhtuk Sttstcs/Regresso/oler dlógusblkb beállíthtó szátl függvéytípussl, de társdlotudoáyok teré telese kelégítő egoldásokt kpuk fetebb sertetettekkel s. Elítést kell teük tt ég egy gykr hszált fogloról, korrelácós deről. Ez foglo korrelácós együtthtó áltláosítás leárs regresszóál levezetett összefüggés lpá. Ez z összefüggés: yˆ σ yˆ ryσ y, ho r y σ y yˆ y e σ y 5 σ. Másrészt gzoltuk ugyott zt s, hogy σ yˆ σ e σ y. Ezekből következk z lább, áltláosításr lkls képlet: σ y σ e σ e r y. σ y σ y A eleárs regresszókr s érvéyes σ yˆ σ e σ y lpá σ σ 0, σ tehát értelezhető egy vszoyszá (értékegység élkül uttó), elyet elölük I-vel és evezzük korrelácós deek:

116 σ yˆ σ I. σ σ y A korrelácós de leárs regresszó eseté korrelácós együtthtó bszolút értéke. A korrelácós de zt ér z áltláos esetbe, t korrelácós együtthtó leárs regresszóál: él közelebb vk regresszós függvéy áltl becsült értékek tpsztlt eységekhez, ál közelebb v z I -hez, és h z I zéróhoz közel értéket vesz fel, kkor lz feltételezett típusú kpcsolt két vzsgáltb vett változó között. Aért egy bzoyos típusú függvéy eseté korrelácós de 0-hoz közel értéket vesz fel, ég e elet zt, hogy selye függvéyszerű sttsztk kpcsolt cs két változó között. A korrelácós de tehát függvéytípushoz kötött, dott két változó eseté y lye de száíthtó, háy függvéytípust veszük száításb. H több lye függvéytípussl próbálkozuk, kkor zt z eredéyt válsszuk k elfogdhtók, elykél korrelácós de leggyobb (és e elhygolhtó szepot, hogy elyk esetbe szászerűsített kpcsolt szövegesíthető s). Egy fetebb próbálkozás sorá rdék égyzetösszegeket hsolítottuk össze, ylvávló korrelácós de ott leggyobb, hol rezduáls égyzetösszegek legksebbek, tehát e feltétleül kell végg v száításokt ddg, íg korrelácós deet e kpuk. Vszot egy tuláyb rövdebbe utlhtuk rr, hogy ért válsztottuk zt regresszós függvéyt, ellyel tovább dolgozuk, h korrelácós de értékét duk eg. e y.. Többváltozós regresszók A többváltozós regresszók eseté zt kell érte, hogy z egyetle függő változó egfgyelt értékere több függetle változó egfgyelt értékeből próbáluk becslést d. Az SPSS progrcsogb z előző prgrfusb sertetett ódo kell kd z utsításokt, y változássl csupá, hogy leárs regresszó utsításáb függetle változók szá több s lehet, vszot curveft utsítás esetébe e. A eleárs többváltozós regresszók esete vlvel több seretet követel eg, legegyszerűbb esetbe több oly egyváltozós eleárs függvéy összegekét íruk fel keresett függvéyt, elyekbe tgok ás-ás változótól függek. A többváltozós leárs regresszó esetébe v egy oly problé, t feltétleül eg kell elíteük, ebbe részbe léyegébe csk ezzel foguk fogllkoz. A sokság legye z eddg s vzsgált országok hlz, függő változó csecseőhldóság 996-b (MIF), függetle változók z egy főre eső bruttó ezet övedele 995-be (GDP95) és z egy főre eső hz bruttó terék 996-b (PIB96). Előbb külö-külö egyváltozós leárs regresszószáítást kérük zo országok esetébe, elyek z dtálloáyb redelkezek d háro változór érvéyes dtokkl (50 lye ország tlálhtó). A regresszós egyeesek következők: MIF GDP95; MIF PIB96. Egésze rövde így elleezhetük változók közt kpcsoltot: úgy GDP95, t PIB96 övekedése csecseőhldóság csökkeését déz elő, gyából dkét függetle változó 000 USD/fő övekedése -3 -es csökkeést déz elő csecseőhldóságb. Kérük ost kétváltozós leárs regresszószáítást z lább utsítássl: reg /dep MIF /eth et GDP95, PIB96. A kpott eredéy gyo eglepő, főleg kor értelez próbáluk: MIF GDP PIB96. Az összefüggés lpá ezet övedele övekedése csecseőhldóság övekedését déz elő!! A fet eredéy e hszálhtó összefüggések gyrázásár, ég kevésbé kpcsoltok szászerűsítésére. A hszálhttl eredéy k következéye, hogy két 6

117 függetle változó egyássl szoros korrelált (r0.930), tehát közöttük szoros leárs sttsztk kpcsolt v (úgy s odhtuk, hogy redudás forácót hordozk). Ez kpcsolt szászerűsíthető z lább regresszószáítás utsítássl: reg /dep GDP95 /eth et PIB96. A regresszós egyees egyelete: GDP PIB96, és sokkl obb közelítés ráy tt, t z előző regresszószáítások esetébe. A többváltozós leárs regresszószáítás eredéye kkor hszosíthtó ól, h függetle változók párokét korreláltlok. Eek elérése érdekébe egfgyelt függetle változók redszerét fktorokkl cserélük fel, oly elélet, párokét korreláltl változókkl, elyek segítségével de egfgyelt függetle változó leárs leírhtó. Ezeket z úgyevezett fktorokt következő feezetbe beuttásr kerülő elezés fog szolgáltt (fktorlízs). 7

118 . FAKTORAALÍZIS (ME) Az eprkus kuttások sorá vzsgált eleségek ge változtos tárulk fel, gyo gykr e érhető közvetleül g eleség, he eek külöböző dezót foguk át egy változó-redszer áltl. Eleve e tudhtuk, hogy változók közt lye kpcsoltok vk, ugys ezek térbe és dőbe áskét eletkezek, ezért gykor z z eset (és ez kívátos), hogy lehető legtöbb oldlról vzsgáluk (érük) vlóságot, d változók lkott elvot térbe sttsztk összefüggéseket próbáluk felfedez. A érésből szárzó változók áltláb egyástól e függetleek (korreláltlok), de elképzelhető, hogy dyáuk ögött bzoyos száú, párokét korreláltl elélet sérv áll, ezekkel gyrázhtuk vlós változók változtosságát, esetekét ás-ás értéket. A fktorlízs leárs függetleséggel (korreláltlsággl) száol, vlós változókt leárs összefüggésekkel értelez korreláltl változók (fktorok) segítségével. A fktorlízs első lklzás társdlotudoáy teré száz éves últr tekt vssz, K. Perso (90) és C. Sper (904) ukásság révé voul be pszchológáb. Hosszú deg cs látváyos felődés e tére, progrozhtó száítógépek elteredése utá, 60-s évekbe, közgzdászok kedvelt ódszere lesz, d egyre többe lklzzák szocológáb, deográfáb, poltk tudoáyokb, bológáb és ég ás területe. Ebbe feezetbe beuttásr kerül ódszer, lépésről-lépésre: külöböző foglk értelezése és szeléltetése, feldt egfoglzás és egoldásák léyege, fktorok értelezése és végül ódszer lklzás kokrét esetbe. A beuttás z SPSS for Wdows 7.5-ös sttsztk progrr lpozk, kdott utsítások egy Syt-blkb íródtk és e lettek végrehtv, így z olvsó egy száítógép és progr segítségével köye követhet ezeket. Az együtthtókt gykr ge gy potossággl vettük át z Output-blkból, duplát ktttv egfelelő tábláztr d egfelelő rovtr. A feezet sorá hszált tábláztok száozottk és cíel ellátottk, z Output-blkból obektukét átvett tábláztok cí és sorszá élkülek... Péld rr, hogy helyettesíthető 4 változó 4 fktorrl Egy álloáyb 39 európ ország. tábláztbel dt tlálhtók, éspedg: z ország eve, születés ráyszá tltás ezrelékbe (AT), hlálozás ráyszá hldóság, ortltás ezrelékbe (MOR), csecseőhldóság egy éves kor előtt elhlálozottk szá vszoyítv z úszülöttek száához, ezrelékbe (MI), teles terékeység ráyszá (FER), és ég éháy értékegység élkül változó (F, F, F3 és F4, vlt FF és FF). A eység változók uát, uát, átlgát és stdrdzált szórását Sytblkból következő utsítássl kphtuk eg: des AT MOR MI FER F F F3 F4 FF FF. Az Output-blkból gypotossággl átvett értékek. tábláztb tlálhtók. A teles terékeység ráyszá értelezés szert (egy dott évbe) korspecfkus terékeység ráyszáok összege. Jeletése: z gyerekszá, háyt egy ő élete sorá szüle, h külöböző életévebe oly gykorsággl hozá vlágr gyereket, lyeek z dott évbe külöböző korú ők szűlés gykorság. 8

119 Ország. táblázt. A fkt.sv evű álloáy trtl Vlós változók 9 Elélet változók AT MOR MI FER F F F3 F4 FF FF Dá Észtország Fország Írország Izld Lettország Ltvá orvég gybrt Svédország éetország Ausztr Belgu Frcország Lechteste Lueburg Holld Svác Fehéroroszország Bulgár Mgyrország Moldáv Legyelország Csehország Roá Szlovák Ukr Albá Bosz-Hercegov Horvátország Spyolország Görögország Itál Mkedó Mált Portugál S Mro Szlové Jugoszláv Forrás: vlós változókr: BOUCHER, Mrguerte, Tous les pys du ode (997), Populto et Socétés, Jullet Août, 997, uero 36. Az elélet változók sát lkotások.

120 . táblázt. A eység változók sttsztká Változó Esetszá Mu Mu Átlg Stdrdzált szórás AT MOR MI FER F e F e F e F e FF e FF e Megegyzés: Az SPSS progr ge gy potossággl száol és tárol száeységeket (leglább 4 tzedesegy, potosbb szgfkás száegy potossággl). H száított, lletve tárolt eység bszolút értékbe gyo kcs, kkor z Output-blkb ez eység tudoáyos (lebegőpotos) lkb elek eg, például z 5.8e 007 foráb, ek eletése: (e ). Az utolsó ht változók átlg gykorltlg 0 (zéró), stdrdzált szórás pedg (stdrdzált változók). Ezeket evezzük el elélet változókk, szárzásukt egyelőre e gyrázzuk. Az első égy változó, AT, MOR, MI és FER evűek párokét e korreláltlok, sőt gecsk korreláltk (például AT és FER). Ezt égy változót evezzük el vlós változókk. A korrelácós együtthtókt sorr z lább utsításokkl kphtuk eg: cor AT MOR MI FER. cor F F F3 F4. cor F F F3 F4 wth AT MOR MI FER. 3. táblázt. A égy vlós változó korrelácós együtthtóák átr AT MOR MI FER AT MOR MI FER Itt fölösleges lee több tzedeseggyel krgd eységeket (korrelácós együtthtókt), így s ól láthtó, hogy vlós változók eléggé vgy ól korreláltk, tehát együtt redudás forácót hordozk. A égy elélet változó fet helyzethez képest erőbe ás képet yút: párokét korreláltlok. 0

121 4. táblázt. A égy elélet változó korrelácós együtthtóák átr F F F3 F4 F F F F Az {F, F, F3, F4} redszert, elyek változó párokét korreláltlok (zérós korrelácós együtthtóvl) fktorokk evezzük. 5. táblázt. A égy fktor és égy vlós változó korrelácós együtthtó AT MOR MI FER F F F F A fet táblázt dt lpá yt odhtuk el csupá, hogy: AT változó csk z F fktorrl ól korrelált; MOR evű változó csk z F-vel; FER csk z F-gyel; MI evű változó egyk fktorrl se ól korrelált, de z első háro fktorrl s szte ugyúgy gyegé korrelált. Vszot fktorok szeszögéből z vehető észre, hogy: z F két vlós változóvl s ól korrelált (AT, FER); z F MOR evű változóvl ól korrelált; z F3 és z F4 egyk vlós változóvl se ól korrelált, sőt z F4 ég gyegé se. A ele esetbel vlós és elélet (fktor) változók között zob ge ó kpcsolt létezk, erre leárs regresszó utt rá. Model reg /dep AT /eth et F F F3 F4. Vrbles Etered/Reoved b Vrbles Etered Vrbles Reoved Method F4 4. fktor, F3 3. fktor, F. fktor, F. fktor. Eter. All requested vrbles etered. b. Depedet Vrble: AT tlts Model Model Sury R R Squre Adusted R Squre Std. Error of the Estte E-06. Predctors: (Costt), F4 4. fktor, F3 3. fktor, F. fktor, F. fktor

122 Model Regresso Resdul Totl AOVA b Su of Squres df Me Squre F Sg E E Predctors: (Costt), F4 4. fktor, F3 3. fktor, F. fktor, F. fktor b. Depedet Vrble: AT tlts Model (Costt) F. fktor F. fktor F3 3. fktor F4 4. fktor Ustdrdzed CoeffcetsStdrdzed Coeffcets. Depedet Vrble: AT tlts Coeffcets B Std. Error Bet t Sg A száított és vlós értékek eltéréségyzeteek összege (rezduáls égyzetösszeg) ge kcs:.04e rr utl, hogy ge potosk száított értékek. Sőt, h száított értékeket egészre kerekítük, ezek eg fogk egyez ért értékekkel. Erről eggyőz z lább utsítássorozt (z együtthtók ez utóbb Output-tábláztból szárzk, de gyobb potossággl): copute ftrd( *f *f0.608*f *f4). copute dtat-fat. fre DAT. Az eredéy e eglepő, d 39 sorb egyezk ért AT-érték z egészre kerekített száítottl: DAT Vld Totl.00 Totl Frequecy Percet Vld Percet Cuultve Percet A ásk háro vlós változó s ugylye szoros (többváltozós) leárs relácób v fktorokkl, rezduáls égyzetösszegek gykorltlg zérók: Model reg /dep MOR MI FER /eth et F F F3 F4. Regresso Resdul Totl AOVA b Su of Squres df Me Squre F Sg E E Predctors: (Costt), F4 4. fktor, F3 3. fktor, F. fktor, F. fktor b. Depedet Vrble: MOR Mortlts

123 Model Regresso Resdul Totl AOVA b Su of Squres df Me Squre F Sg E E Predctors: (Costt), F4 4. fktor, F3 3. fktor, F. fktor, F. fktor b. Depedet Vrble: MI Csecseôhldosg Model Regresso Resdul Totl AOVA b Su of Squres df Me Squre F Sg E E Predctors: (Costt), F4 4. fktor, F3 3. fktor, F. fktor, F. fktor b. Depedet Vrble: FER Teles terekeyseg rysz Ezek szert h értelezzük leárs kpcsoltok lpá száított változókt, ezek éréshtáro belül telese egegyezek egfelelő vlós változóértékekkel. Ehhez több tzedeseggyel olvssuk le szbdtgokt és együtthtókt z Output-blkból. Ú változó 6. táblázt. A regresszós együtthtók 5 tzedes potossággl Szbdtg F F F3 F4 együtthtó FAT FMOR FMI FFER cop ft *f *f0.608*f *f4. cop for *f.660*f0.5408*f *f4. cop f *f0.6796*f6.7797*f *f4. cop ffer *f *f0.0553*f *f4. cop dtfat-at. cop dorfmor-mor. cop dfmi-mi. cop dferffer-fer. des DAT DMOR DMI DFER. Az eredéy gától beszél, külöbségek esetébe s láthtó ár (z dtálloáyb) z zoosság fktorokkl értelezett és ért változók között. 3

124 7. táblázt. A száított és ért értékek közt eltérések (rezduáls változók) sttsztká A külöbség változó Mu Mu Átlg Stdrdzált szórás DAT.0638e e e e 006 DMOR.370e e e e 006 DMI 3.468e e e e 005 DFER 7.640e e e e 006 A leggyobb eltérés , s így e csod, hogy z átlgok és szórások s 0 5 gyságredűek. Így dódk z kedvező helyzet, hogy bzoyos sttsztk odellekbe beeő vlós (és egyássl többé-kevésbbé korrelált) változókt helyettesíthetük gykorltlg korreláltl változókkl (fktorokkl), sőt vk oly odellek (többváltozós leárs regresszószáítás, klszterlízs), elyek géylk beeő változók korreláltlságát. Összegezve, példákb szereplő F, F, F3 és F4 változók stdrdzált és korreláltl változók ( fktorok) redszerét lkoták: M(F )0, D(F ), h r F, F, 0, h és velük 6. tábláztb szereplő szbdtgok és együtthtók segítségével gykorltlg teles potossággl értelezhetők vlós AT, MOR, MI és FER evű változók... A fktorok száák csökketése Próbáluk eg ost z ú, értelezett változókt kevesebb fktor segítségével defál. H fetebb hszált értelezésekből degykéből elhgyuk vlós változókkl lg korreláló F4-es fktort trtlzó tgot, kkor következő helyzet dódk: cop ft *f *f0.608*f3. cop for *f.660*f0.5408*f3. cop f *f0.6796*f6.7797*f3. cop ffer *f *f0.0553*f3. cop dtfat-at. cop dorfmor-mor. cop dfmi-mi. cop dferffer-fer. des DAT DMOR DMI DFER. Descrptve Sttstcs DAT DMOR DMI DFER Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto E E-06.79E E E E E-0 39 Észrevehető, hogy külöbségek ár e száítás hbá belülek, de átlgb gykorltlg ugyúgy zérót dk, t előbb (égy fktor felhszálásávl), vszot szórások éháy százdtzed gyságredűek. 4

125 Folytssuk fktorok csökketését, vzsgáluk eg, eyt dk k két fktorrl értelezett ú változók. cop ft *f *f. cop for *f.660*f. cop f *f0.6796*f. cop ffer *f *f. cop dtfat-at. cop dorfmor-mor. cop dfmi-mi. cop dferffer-fer. des DAT DMOR DMI DFER. Descrptve Sttstcs DAT DMOR DMI DFER Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto E E E E E-0 39 Az úo elhgyott fktorrl gyege korrelácób v MI evű vlós változó, eg s síyl ezt, ert csk z első két fktor ge rosszul értelez őt (leárs). Felvetődk kérdés, hogy fet értelezések helyett e kellee-e úbb regresszószáítást kér. H ezt egtesszük például z első két fktorrl, t függetle változóvl, és vlós változókt redre függő változók tektve, z eredéy következő lesz: reg /dep AT MOR MI FER /eth et F F. 8. táblázt. A regresszós együtthtók csk két függetle változóvl Ú változó Szbdtg F együtthtó FAT FMOR FMI FFER Ugyzok szbdtgok és z együtthtók, t t égy függetle változós regresszó esetébe kpuk. Érdees egvzsgál, lye korrelácób vk száított változók z eredet vlós és rezduáls változókkl ( száított és ért értékek külöbségével): cor FAT wth AT DAT. cor FMOR wth MOR DMOR. cor FMI wth MI DMI. cor FFER wth FER DFER. F 5

126 9. táblázt. A száított változók korrelácó ért és rezduáls változókkl Száított változó ért (vlós) változóvl Korrelácós együtthtó rezduáls változóvl FAT e-006 FMOR e-006 FMI e-007 FFER e-005 Észrevehető, hogy száított és rezduáls változók gykorltlg telese korreláltlok, így <rezduáls változó> <száított változó> <vlós változó> értelezésből dódó <vlós változó> <száított változó> <rezduáls változó> összefüggés lpá, szóráségyzet tuldoságát felhszálv, írhtó: D (vlós változó) D (száított változó) D (rezduáls változó) A fet képlet lpá egállpíthtó, hogy száított változó szóráségyzete e lehet gyobb predktált vlós változó szóráségyzetéél, vgys leárs relácó áltl felhszált fktorok csupá egy bzoyos háydát gyrázzák vlós változók országokét eltérő értékeek (változtosságák). Ezt z ráyt százlékb kfeezeve eg szokták d, és ez egy ge fotos uttó regresszós összefüggés gyrázó ereéek. des AT FAT DAT /st vr. des MOR FMOR DMOR /st vr. des MI FMI DMI /st vr. des FER FFER DFER /st vr. 0. táblázt. A vlós, száított és rezduáls változók szóráségyzete A változó Szóráségyzet A száított változó esete vlós változó száított változó rezduáls változó szóráségyzete %-b AT % MOR % MI % FER % Báreyre s gyus MI változó esetébe csupá 5.5%-os gyrázt több ge gs ráyhoz képest, z eredéy e hbás. Hbás legfölebb z z elképzelés, hogy fktorok egyszerű elhgyásávl legobb gyrázó kevesebb fktorhoz utuk. Az eddg ég fgyelebe e vett két fktor, z FF és z FF, zt fog példáz, hogy velük értelezve száított változókt, sokkl obb eredéyt érük el. reg /dep AT MOR MI FER /eth et FF FF. 6

127 . táblázt. A regresszós együtthtók csk két függetle változóvl Ú változó Szbdtg FF együtthtó FF FAT FMOR FMI FFER Az előző esethez hsoló értelezzük száított és rezduáls változókt, leíró sttsztkát kérük rezduáls változókról, vlt szóráségyzeteket z összes változó esetébe: cop ft *ff0.8057*ff. cop for *ff.07389*ff. cop f *ff *ff. cop ffer *ff0.066*ff. cop dtfat-at. cop dorfmor-mor. cop dfmi-mi. cop dferffer-fer. des DAT DMOR DMI DFER. des AT FAT DAT /st vr. des MOR FMOR DMOR /st vr. des MI FMI DMI /st vr. des FER FFER DFER /st vr. Az lább tábláztokb fogllt eredéyek guktól beszélek: Descrptve Sttstcs DAT DMOR DMI DFER Vld (lstwse) Mu Mu Me Std. Devto E E E E táblázt. A vlós, száított és rezduáls változók szóráségyzete A változó Szóráségyzet A száított változó esete vlós változó száított változó rezduáls változó szóráségyzete %-b AT % MOR % MI % FER % 7

128 A fet példák tulság z, hogy: vlós változók egy redszere ge ól értelezhető leárs ugyoly száú fktorrl; változók szááál kevesebb fktor s kellő potossággl tud értelez őket, de ezek e egyszerűe fktorok elhgyásávl dódk. Az eddg potokb zt próbáltuk beutt, hogy k s fktorok és hogy lye ódo értelezk ezek vlós változókt. Az tt beuttásr kerülő fktorlízstől elváruk, hogy kellő dtot szolgáltsso hhoz, hogy eldöthessük, ey z optáls fktorszá, egdott fktorszá eseté pedg szolgáltss z optáls fktorváltozókt. A következő potb beuttuk fktorokk zo tuldoságt, elyek lpá egfoglzhtuk fktorlízs lpegyeletét, fktorodellt..3. A fktorlízs lpegyelete Azt z ágát tetkák, ely fktorok tuldoságt tuláyozz és elyk egold fktorváltozók eghtározásák probléáát fktorlízsek evezzük. Eléletleg feldt egoldás ár rég redelkezésre áll, csupá gykorlt lklzásr került ge rtká sor, vel kokrét száítások gyszáú űveletet főleg átrokkl, és többyre ezekkel szorzást kellett vol elvégez, ezért gzából csk progrozhtó száítógépek elteredésével yílt eg z út gykorlt lklzások előtt. M ár z utsítás kdás e okoz külöösebb godot egy oly egyé száár, k lpfoko ser z SPSS progrot, sőt z eredéyek gyráztár s válllkozht egy ks tpsztlt utá. Eek elleére úgy godoluk, hogy egy vázltosbb betektés z elélet részbe élkülözhetetle hhoz, hogy ódszert lklzó értelez tud z Output-blkb egeleő tábláztok sokságát, és hogy érezze, ekkor eységű száítás-lvát dít el z utsítás kdásávl, következésképpe száításb vett változók ge gy potosságú regsztrálást géyelek. Az. tábláztbel vlós változók értéke lye szepotból elég pottlok, ert például Roá esetébe (996-be) tltás értéke 0, ortltásé 3, tehát egészre kerekített eységek. Aeybe lehetőségük v, szerezük be potos érték kszáításához szükséges dtokt, d ezek tárolás utá z SPSS progrb defáluk tltás, ortltás eletésű változókt ( tltás és ortltás értelezése lpá vló kszáításhoz szükséges z évközep épességszá, z élveszületettek szá és z dott évbe törtét elhlálozások szá). Roá esetébe 996-b z évközep épességszá , z élveszülettettek szá 3.348, z elhlálozottké (Aurul Sttstc l Roâe, 997), tltás kkor 3348 / * 000 0, , ortltás pedg 8658 / * 000, Ebbe potb beuttásr kerül fktorok éháy tuldoság, de e egy kokrét esetbe, he telese áltláos. Ehhez szükség lesz éháy gykr hszált elölés sertetésére. A változókt oszlopvektorokk tektük, elölésükre többyre kövér dölt ksbetűket hszáluk (de például fktorokt F-fel elölük), ott hol léyeges z oszlop-lk, vektor betűele fölé ^-ot teszük, h vektor sor-lkb tektedő, kkor erre ^T-vel utluk. Legyeek,,, k vlós változók, z, z,, z k ezekek stdrdzált változt ( z, σ,,), F, F,, F k fktorváltozók. A egevezett dtálloáyuk következő foráú: z z z F F F k z z z F F F k z z z F F F k z z z F F F k 8

129 Tételezzük fel, hogy stdrdzált változókt és fktorokt z lább leárs összefüggések kötk össze: z F F k F k, (,,,). z z... z F F... Fk A z z... z Z, F F... F k F és A z z... z F F... Fk bevezetésével fet összefüggés z lább töör lkb írhtó: T Z F A () Ezt z összefüggést evezk fktorodellek. A korrelácós együtthtó értelezése lpá: ( p )( p ) p p p r zp z p (,,,,), σ σ p σ σ p ho: r zp z p F p F p... k Fkp F p F p... k Fkp p p ( F pf p F pf p... k F pfkp... k k FkpFkp ) Az r r R... r ( )( ) p F p F pf p... k k F p F F F F... kp p p... k k rf k Fk r r... r r r k k k... k k elölések (,,,,). r r elölést s hszálv fet eredéyt z lább lkb s írhtuk:... r T R A A () Ezt z összefüggést evezk fktorlízs lpegyeletéek. A fet átlkítások s érzékeltetk, hogy tt leárs lgebr yelvezetéek hszált gyo előyös. Az ()-es összefüggésből gyo köye levezethető ()-es például így: T T T T T T T T T T R Z Z ( FA ) ( FA ) ( AF ) ( FA ) A F F A A I A A A A fktorlízs elsődleges cél: ()-es egyeletből z A eghtározás; z ()-es egyeletből z F eghtározás. Eze feldtok egoldásához szükséges éháy specáls foglo értelezése, ezek tuldoságk sertetésére. 9

130 .4. Sát értékek, sát vektorok.4.. Értelezések b b... b Legye b b... b B egy égyzetes átr b b... b ) A B átr yoá főátló levő eleek lgebr összegét értük és tr(b)-vel elölük, tehát: tr B) b b... ( b. ) A λ vlós vgy kople száot B átr sátértékéek evezzük, h b λ b... b b b λ... b det( B λ I ) b b... b λ Ez z egyelet egy -edfokú poloegyelet, így egy -edredű égyzetes átrk potos sátértéke v, ezek e feltétleül külöbözőek. 3) Az u ( u u,..., ), u, u 0 vektort B átr λ sátértékéhez trtozó sátvektorák T T evezzük, h B u λ u (h sátvektort oszlopvektork vesszük, kkor e kell trszpoáltt ír z értelezésbe). H u sátvektor, kkor de t u lkú vektor s z, hol t tetszőleges zérótól külöböző kople vgy vlós szá..4.. Tuldoságok: ) H vlós B átr szetrkus, kkor de λ sátérték vlós szá, sátvektorok kopoese d vlósk, vlt külöböző sátértékekhez trtozó sátvektorok ortogoálsk (zz korreláltlok: h λ λ kkor r 0 ). ) H λ, λ,..., λ sátértéke B átrk, kkor B k k k k átr sátértéke: λ, λ,..., λ u u. 3) H λ, λ,..., λ sátértéke B átrk, kkor λ λ... λ tr(b). A fet értelezések és tuldoságok segítségével yoo követhető fktorlízs lpegyeletéek egoldás. Legyeek â (,,...,k) z A átr oszlopvektor. Akkor:... k... T... k... R A A k k k... k k k k k k k k... k k k k k k k 30

131 k k... k... k k k k k k... k [ ] [ ] k [.. ] k k... k k k... k k k k T ˆ T T T [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k ˆ k ˆ ˆ ˆ k.... T ˆ k Ez utóbb lkból következk, hogy h â leggyobb fktorsúlyokt trtlzz, â következő leggyobb fktorsúlyokt, és így tovább, kkor z: T T T T T T ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ... ˆ k ˆ k szorztok lletve szorztösszegek egyre obb egközelítk korrelácós átrot. Előfordulht, hogy léyegébe ár -3 fktor fktorsúlyból kellő potossággl dódk z R átr, így válszt dhtuk rr kérdésre s, hogy háy fktor áll léyegébe z dtok ögött. Legye â egy oszlopvektor. Akkor: r... r T R ˆ ˆ r... r [... ] r r... r r... r r r r.... T H zt feltételt tesszük â -re, hogy z R-t lehető legobb közelítse eg z ˆ ˆ szorzt, kkor eek feltételek legköyebbe száolhtó lk ( legksebb égyzetek elve lpá): (,,..., ) ( r ). 3

132 Ak szükséges feltétele, hogy fet szu áls legye (és tt elégséges s) z, hogy: (,,..., ) (,,..., )... (,,..., ) 0 0 ( prcáls derváltk zérók). 0 Ez z egyeletredszer átlkításokkl (elyektől tt eltektük) z: T R ( ˆ ˆ ) ˆ 0ˆ ˆ egyszerű lkot vesz fel, vgy ég áskét, zz R ˆ ˆ λ, hol egy poztív gyöke det ( I ) 0 T λ ˆ ˆ ˆ... R λ egyeletek (egy poztív sátértéke z R átrk), tehát â λ sátértékhez trtozó egy sátvektor. A egoldáshoz trtozó áls érték, tr ( R ) λ, tehát λ-ek bszolútértékbe leggyobb sátértékek kell lee. T Ezutá kszáítuk z első rezduáls (rdék) átrot: R R ˆ ˆ. A következő T lépésbe keressük zt z â vektort, elyk lzál z R ˆ ˆ külöbséget. Az előbb elárás sétlése egy úbb sátértékhez ( λ ), lletve egy sátvektorhoz ( â, cu ˆ T ˆ ˆ λ ) vezet. És ez folytthtó dddg, íg z utolsó rezduáls átr u s előállítódk. Itt ost e keressük z oly kérdések egválszolását, t: kötelezőe 0 z utolsó rezduáls átr, stb. Tehát h λ, λ,..., λ sátértéke z R korrelácós átrk, és hogyh ˆ, ˆ,..., ˆ egfelelő sátvektorok (elyekre λ ), kkor: ˆ T ˆ T T A A [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ... R.... T ˆ A fktorokt, t változókt, ezutá z ()-es egyeletből htározzuk eg. Eek feldtk z elélet egoldását telese ellőzzük tt, száítógépes progr kérésre plltok ltt létrehozz fktorváltozókt..5. Koultások (kuulások) Tektsük eghtározottk z drb sátértéket, z ezekhez trtozó sátvektorokt és z száú fktort. Az â sátvektor -edk kopoesét (,,,, ) -edk fktor -edk változó szert fktorsúlyák evezzük. Ez fktorsúly léyegébe egy korrelácós együtthtó, t következő bzoyítás s gzol: rf rf z Fp zp Fp ( F p F p Fp )... p p 3

133 ( F pfp F pfp... FpFp ) p F p F p F p F p... F p p F F rf F r F F r... Itt felhszáltuk következő tuldoságát fktorváltozókk: 0, h rf F ( F F F F... FF ),, h Felhszálv tovább stdrdzált változók szóráségyzetéek képletét: σ z z p p éháy átlkítássl következő léyeges összefüggés dódk: σ z zp zp q Fqp s Fsp p p q s qsfqpfsp qsfqpfsp qs p q q p q p s q s q s srf F... q p 33 p p F p s H fgyelebe vesszük, hogy reltvzált változók szórás, kkor: σ z... σ z σ z... H fktorok száát -él ksebbre válsszuk, kkor szórások helyett c k... k ck... k... ck... k dódk. Ezek s szóráségyzetek, de csupá k fktorból előállított változók szóráségyzete. Ezeket evezzük változók koultásk (kuulásk). H ezek közel állk z -hez, kkor odhtuk, hogy kellő száú fktort válsztottuk k, vlós változókt ez k száú fktor s elég potos értelez. Értelezhető továbbá fktorokk résztvétele változókk szóráségyzete összegébe: σ σ... σ (... ) (... )... (... ) λ λ, λ... tehát egy fktork szóráségyzetekbe vló hozzáárulás ráyos fktorhoz trtozó λ λ sátértékkel, vgys z F hozzáárulás %-b: 00% 00%. Ez zob λ λ... λ e kell zt eletse, hogy h egy fktor hozzáárulás csupá 0%, kkor ez eleyésző és ez. F qp F sp

134 fktor elhygolhtó. Helyese rr következtethetük csupá, hogy k fktorrl előállíthtuk z λ λ... λk eredet (gz, reltvzált) változókt C k 00% 00% -b, z egyes változókt λ λ... λ pedg c k 00% -b. Észrevehető ég z, hogy globálsc k koultás szát középráyos z egyed c k koultásokk. Így egállpíthtó, hogy ttól ert C k 0.9-es gyságredű (globáls 90%-b vsszdák fktorok változók szóráségyzetét), ég létezhet oly változó, hogy őt ugyzok fktorok csk csekély értékbe értelezk (csupá 30-40%-b)..6. A sátértékek és sátvektorok eghtározásák Hotellg-ódszere A fetekből következk, hogy fktorok előállításák lgortus fktorokt fotosságuk, ezekek hozzáárulásák értéke ( λ ) sorredébe kell előállít. Tegyük fel, hogy egy B átrk sátértéke külöbözőek és hogy λ > λ >...> λ. Legye û egy, λ (,,...,) sátértékhez trtozó sátvektor. A külöböző sátértékek egyk következéye z, hogy z { uˆ uˆ,..., uˆ, } redszer egy bázs z kopoesű vektorok teréek, tehát tetszőleges vˆ vektor felírhtó ezekek leárs kobácókét: Akkor, fgyelebe véve, hogy s B vˆ B B Buˆ λ uˆ : vˆ t uˆ. s s s s B vˆ B B tuˆ B tbuˆ B tλu ˆ s s s s B tλuˆ B tλbuˆ B tλ uˆ... tλuˆ s λ l s λ A feltétel szert 0 de,3,..., -re, következk, hogy elég gy s-re: s s s s s s s B vˆ t uˆ λ t uˆ t uˆ λ λ t uˆ t uˆ B vˆ λ λ λ λ, λ szert B s vˆ ş B s vˆ vektorokk z u bázsvektor szert kopoeseek ráy elég ól egközelít λ sátértéket. E fet eredéyre lpozz gát Hotellg-ódszer..6.. A ódszer leírás T () ) Válsztuk egy v vektort, áltláb vˆ (,,...,) és eghtározzuk vˆ Rvˆ vektort. ) Redre kszáítuk ( s ) ( s v ˆ Rvˆ ) oszlopvektorokt és két utolsó száított lye vektor ( s) vˆ és v ˆ ( s) egfelelő kopoeseek ráyát. Eze ráyok sátérték közelítő értéke, és h ár e változk száítás potosság htárá belül, kkor keresett ( s) sátértéket dák. Ekkor vˆ vektort (kár sorvektor, kár oszlopvektorkét) egkpott sátértékhez trtozó sátvektor. Ebből sátvektorból kpuk ftorksúlyokt oly ódo, hogy egszorozzuk sátvektort egy ól egválsztott vlós szál. 34

135 .6.. A ódszer lklzás A ódszer beuttásár vegyük zt korrelácós együtthtók átrát, elyet feezet eleé szerkesztett feldt d: Lépés. Legye v (,,, ) T T R Z Z 39 ˆ , / 3, 77 () v ˆ Rvˆ és $ ( ) 3, 55/ 3, 55 λ , 795/ 3, , / 3, 48. Lépés ( ) ( ) v ˆ Rvˆ és / ˆ( ).343/ λ 3.37 / / Lépés ( 3) ( ) v ˆ Rvˆ és / ( ) ( ) ˆ 4.940/ λ 3 6./ Lépés. 9.89/ ( 4) ( 3) v ˆ Rvˆ és / ( ) ( ) ˆ 3.76/ λ / /

136 Még éháy száítás utá z lább helyzet áll elő:. Lépés ( ) ( ) v ˆ Rvˆ és / ( ) ( ) ˆ / λ / / A következő lépés utá ugyzokt kopoeseket kpuk ˆλ -be, t korább, tehát első sátértékek elfogduk λ. 44 -et, ehhez trtozó egy sátvektork pedg z u vˆ ( )T (93.687, , , ) vektort. A fktorsúlyokt trtlzó sátvektor t u lkú és telesít λ feltételt. A t szorzótéyezőt z t u és λ összefüggésekből htározzuk eg: λ λ t ± ±. u u u... u Tehát kellő potossággl eghtározott sátérték ( λ ) és egy ehhez trtozó sátvektor ( u ) szolgáltt z első fktor, elyek fktorsúly z λ T ˆ ± u u u... u vektor kopoese ( íusz el kkor lklzdó, h túl sok egtív kopoes). A esetükbe: u , T.44 ˆ (93.687, , , ) (0.98; 0.63; 0.439, 0,945). Ez zt elet, hogy létezk egy oly fktorváltozó (elölük F -gyel, ég cs kszáítv és áltláb csk legvégé kerül kszáításr), ely segítségével leárs értelezhető égy változó, és ezek változók bzoyos ráyb egközelítk vlós változók stdrdzált lkát. Az értelezések következők: A z F ; z F ; z F ; z F z változó átlg 0, szórás fktorsúly bszolút értékével egyelő: ( M z ) 0.98 M ( F ) ; D ( z ) 0.98 D ( F ) 0.98 ; stb. Tehát ez z első fktor stdrdzált változók átlgát ól kd, szóráségyzeteket vszot csk bzoyos ráyb, például z első változó esetébe ráyb, z 96,4%-b, ásodkál ez z ráy , zz 37,6%, hrdkál , tehát csupá 9,3%, és végül z utolsóál , zz 89,3%. A égy változó egészére ez z ráy ( )/4.46/ ( λ /4), zz 60,7%. Úgy tűk, hogy egy doás fktorr kdtuk, egy fktor gyrázá változók változtosságák szte kéthrdát. Á feldt egoldását ég e feeztük be. 36 ;

137 Kszáítuk z első rezduáls átrot z R $ $ T összefüggés lpá: R ˆ ˆ [ ] T R Észrevehető, hogy rezduáls átr kopoese elég kcsk. Az R re z első fázsb lklzott lgortust egsételük z R rezduáls átrr. T v$,,,.. Lépés. Legye ( ) () vˆ R vˆ Megegyzés: H rezduáls átr kopoese kcsk, kooly probléát elethet z, hogy szorzás utá kpott vektor kopoese s egyre ksebbek leszek, ég száítás potosságál s ksebbek. A szgfkás száegyek száák csökkeése elkerülhető, h kezdőértékek például vˆ ( 000,000,000, 000) T -t veszük, de e tudv zt, hogy háy lépésre lesz szükségük, e bztos, hogy ezzel elkerülük de kelleetleséget. Vszot egtehetük, hogy de száítás utá például 000-el szorozzuk z részeredéy-vektor kopoeset. A ódszert beuttó köyvek egyféle orázást álk, zz de lépés utá eloszt leggyobb kopoessel részeredéyt, így leggyobb vektorkopoes dg (ég kezdővektorb s).. Lépés ( ) ( ) v ˆ R ˆ v és ˆ λ ( ) 0.039/ / / /

138 3. Lépés ( 3) ( ) v ˆ R ˆ v és / ˆ( ).365/ λ / / A. lépés utá odhtuk el, hogy sátérték stblzálódk:. Lépés ( ) ( 0) v ˆ R ˆ v és / ˆ( ) 3.599/ λ. 4.43/ / A ásodk sátértékek elfogduk λ. 3 értéket, sátvektork pedg z u $v ( 3 ) T (0.04; 3.599; 4.43; 0.3) kopoesű vektort, és végül ásodk fktor fktorsúly következők leszek: ˆ T λ λ u u u u u... u.3 (0.04; 3.599; 4.43; 0.3) (0.008; 0,67; 0,85; 0.043) Ehhez ásodk fktorhoz s trtozk egy fktorváltozó (F ). H csk ezzel z egy fktorrl és fktorsúlyvl értelezék száított változókt, kkor ezek egészébe elég keveset dk k vlós változók szóráségyzeteből: ( λ /4) 00% 8,3%-ot. Eek fktork koultás: z első változór (0,0%), ásodkr (45,0%), hrdkr (68,%), és végül egyedkre (0,%). H z első két sátértéket összeduk, kkor λ λ dódk, zt elet, hogy ásk két sátérték összege 0.444, de zt s, hogy két fktor áltl becsült változók szóráségyzete 3.556/ ráyb (88,9%-b) kd egfgyelt változók szóráségyzetét ( égy változó átlágáb). Kéz száítás esetébe e ér eg száítások gy voluee tovább fktorok keresését, ert két utolsó előállíthtó fktor gyrázó eree együtt kb. 0%. 38

139 Megfelelő száítógépes progr hszáltkor kérük k z összes fktor előállítását, d ezutá dötsük el fktorok száát és folytssuk z elezés elvégzését. H folytt krák égs száításokt, kkor k kell száít ásodk rezduáls átrot: T R R ˆ ˆ [ ] A 4 lépés utá ár redelkez foguk sátértékkel (λ ) vlt egy sátvektorrl: (0.004, 0.04, 0.0, 0.00), ből korább ár sertetett ódo kpuk fktorsúlyokt: ˆ (0., 0.46, 0.365, 0.304) T 3 A egyedk fktor egkereséséhez s hozzáfoghtuk, de tt ost ettől telese eltektük. Az eddg száítások s eggyőzek rról fotos dologról, hogy fktorlízs egy gyo boyolult száítást géylő ódszer, eybe lklz kíváuk, úgy gyo fgyelese válogssuk k és gyűtsük be vzsgáltb veedő változókt, sőt, h ezek vszoyszáokkét értelezettek, kkor vszoyszáot dó bszolút értékeket rögzítsük dtálloáyukb, d progrb száíttssuk k kívát eységeket. Az eddg kpott eredéyeket tábláztb fogllhtuk: 3. táblázt. A sátértékek sttsztká Fktor Sátérték Hozzáárulás szóráségyzethez %.3 8.3% % Összese % 4. táblázt. A fktorok sttsztká Változó. Fktor. Fktor 3. Fktor Koultás AT MOR MI FER

140 A koultások oszlopáb egeleő bztos hbás érték (-él gyobb koultás) rról győz eg, hogy fktorlízs száítás gy potosságot géyelek. A végeredéyt elég 3 tzedesegy potossággl egd, de közbeeső száításokt gyobb potossággl kell végez. Az tt beuttott példáb csk 4 változó szerepelt, de fktorlízst géylő esetekbe változók szá 0-él s több (gykr 0-30). Ilye esetekbe részszáítások szorztok ellett ge soktgú összegzéseket s eleteek, kerekítésekből szárzó hbák felhlozódhtk, rotvá végeredéyt. Így vlós esetekbe e elégedhetük eg hárotzedesegyű potossággl, szükség v 8-0 tzedesegy hszáltár s. Ilye körüléyek közt csk progrozhtó száítógép z egyetle eszköz, segíthet feldt egoldásáb. A következő lpotb egy TurboPscl progrot uttuk be, ely Hotellg-ódszer űveletet végz ge gy potossággl, 9-0 szgfkás száeggyel száolv és ugyey potossággl tárolv rész- és végeredéyeket. Ehhez terészetese szükség v korrelácós együtthtó él potosbb értékére (eek kszáítás s progrb ültethető, de tt e ez fotos, korrelácós együtthtókt z SPSS progr Output-blkából vesszük át. 5. táblázt. A korrelácós együtthtók átr (gy potossággl) Változó AT MOR MI FER AT MOR MI FER táblázt. gy potossággl száított sátértékek Fktor Lépések szá Sátérték % vrcából Kuulált % Összese táblázt. gy potossággl száított fktorsúlyok Változó. Fktor. Fktor 3. Fktor 4. Fktor Koultás AT MOR MI FER e elégedük eg zzl, hogy száításkt sok tzedesegy potossággl végezzük, fktor-odell beeő dták s kellő potosságúk kell lee, korrelácós együtthtót él potosbb száítsuk k, de z dtokt s előbb gy potossággl rögzítsük. Ebbe szeléltető feldtb éppe ellekezőleg, elég pottlul regsztrált dtokt hszáltuk: tltást és ortltást egészre (ezrelékre) kerekítve, csecseőhldóságot és terékeység ráyszáot egy tzedesegyre kerekített foráb. Az elélet beuttásár ez egfelelt, de h egy fotos tuláy részét eleteé z ugyezekkel változókkl végzett fktorlízs, kkor következő dtokt vsolo beszerez: épesség évközep száát, élveszületettek száát, z elhlálozottk száát, éves koruk előtt elhlálozottk száát, korspecfkus (vgy korcsoportos) terékeység ráyszáokt. Összehsolítás képpe vegyük Mgyrország és Roá esetét. 40

141 Ország 8. táblázt. Külöböző képpe szerzett dtok összehsolítás Évközep épességszá (996) Mgyrország Roá Élveszületettek szá (995-96) Elhlálozottk szá (996) éves kor előtt elhlálozott (995) Korspecfkus terékeység ráyszáok (, összegezve korcsoportokét, 995) λ λ3... λ Gykorltlg h 00% elég gy és fktorok szá s egfelelő, z lgortus tovább sétlése leállíthtó ( száítógépes progr kszáít z összes sátértéket és sátvektort) Erre z lgortusr épül következő TurboPscl progr. 4 < > Csecseőhldóság ráyszá Terékeység Ország Adttípus tltás Mortltás Száított Átvett Mgyrország bsz Eltérés % 6,5% 0,3% 0,6%,7% Száított Átvett Roá bsz Eltérés %,% 3,8% 0,% 0,% A tábláztbel összehsolítások kellőe sugllák zt, hogy gyo szükséges z dtok él potosbb regsztrálás kkor, kor beeődtkét szerepelek egy sttsztk odellbe. Végül foglluk össze rövde Hottelg-ódszert egy táblázt forááb, hol lépésekét sátvektort egyféleképpe orázzuk, éspedg úgy, hogy leggyobb kopoese (bszolút értékbe) legye: Fázs Operdusok Eredéy változók (száuk ) Előkészítő ε ( száítás potosság) 0; sétel :;... 0;. lépés $v, ( ) λ, Rrez R rez R sétel :; v$ (,,, ) dddg íg 0 ; $ $ ( v R v ) vˆ rez T ( ) λ , ( ) λ { s, }, ( ) ( ) v s,..., vˆ { v s,,..., } s λ λ <ε ( ) λ ( ) λ λ, $v, R rez dddg íg., $ R : R $ $ T rez rez λ v v... v v$,

142 .7. TurboPscl progr Hotellg-ódszer lklzásár Az tt beuttásr kerülő progr 6-7. tábláztok eredéyet szolgáltt, de lklzhtó ás esetekre s, átírv korrelácós együtthtók átrát ( progrb r), lletve szükség eseté átr éretét s (). A száításokt progr lehető leggyobb potossággl végz (9-0 szgfkás száegy felhszálásávl), lépéseket pedg ddg, íg száított sátérték potosság 0 5. Az eredéyekről egy szövegfálb száol be, eek trtl s beuttásr kerül. progr HotellgModszer; {$} cost 4; r:rry[..,..] of eteded( (, , , ), ( ,, , ), ( , ,, ), ( , , , )); potossg:eteded ; vr t:tet;,,k,s,lepes:teger; rrez:rry[..,..] of eteded; :rry[..,..] of eteded; lbd:rry[..] of eteded; vreg,vu:rry[..] of eteded; lbdreg,lbdu,koefces,koults:eteded; cstobbfktor:boole; Beg ssg(t,'hotell.tt');rewrte(t); wrtel(t,'a korrelácós együtthtók átr:');wrtel(t); for : to do beg for : to do wrte(t,r[,]:0:5);wrtel(t); ed; wrtel(t); for : to do for : to do rrez[,]:r[,]; k:0; repet k:k;wrtel(t);wrtel(t,k,'. Fktor eghtározás'); for : to do vreg[]:;lbdu:0;lepes:0; repet lepes:lepes;wrtel(t,lepes,'. Lépés '); lbdreg:lbdu; for : to do beg vu[]:0;for : to do vu[]:vu[]rrez[,]*vreg[]; ed; lbdu:vu[]; wrte(t,' vú('); for : to do wrte(t,vu[]:9:5,',');wrtel(t,')'); for : to do f vu[]>lbdu the lbdu:vu[]; wrte(t,'vrég('); for : to do wrte(t,vreg[]:9:5,',');wrtel(t,')'); wrte(t,'lbd('); for : to do wrte(t,vu[]/vreg[]:9:5,',');wrtel(t,')'); for : to do vreg[]:vu[]/lbdu; utl (bs(lbdu-lbdreg)<potossg) or (lepes>50); 4

143 lbd[k]:lbdu; wrtel(t);wrtel(t,'a tlált sátérték: '); wrtel(t,'lbd ',lbd[k]:0:5); koefces:0;for : to do koefces:koefcessqr(vu[]); koefces:sqrt(lbdu/koefces); for : to do [k,]:koefces*vu[]; wrtel(t,'a tlált fktorsúlyok:'); wrte(t,'(');for : to do wrte(t,[k,]:9:5,',');wrtel(t); for : to do for : to do rrez[,]:rrez[,]-[k,]*[k,]; wrtel(t);wrtel(t,'a rezduáls átr:'); for : to do beg for : to do wrte(t,rrez[,]:0:5);wrtel(t); ed; wrtel(t); cstobbfktor:true; for : to do for : to do f bs(rrez[,])/potossg> the cstobbfktor:flse; f k the cstobbfktor:true utl cstobbfktor; wrtel(t);wrtel(t,'fktor Sát érték % '); for : to k do wrtel(t,:5,lbd[]:3:5,lbd[]/*00:8:); wrtel(t); wrte(t,'változó ');for : to k do wrte(t,'fktor ',,'':); wrtel(t,'koultás'); for : to do beg wrte(t,:5,'':5);koults:0; for : to k do beg wrte(t,[,]:0:5);koults:koultssqr([,]); ed; wrtel(t,koults:0:5); ed; close(t); Ed. A létrehozott tetfle (hotell.tt) trtl (részletek): A korrelácós együtthtók átr: Fktor eghtározás. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,). Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 3. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,)... 43

144 39. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 40. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 4. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 4. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) A tlált sátérték: Lbd A tlált fktorsúlyok: ( , , , , A rezduáls átr: Fktor eghtározás. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,). Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 3. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 34. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 35. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) A tlált sátérték: Lbd A tlált fktorsúlyok: ( , , , , A rezduáls átr:

145 3. Fktor eghtározás. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,). Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 5. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) A tlált sátérték: Lbd A tlált fktorsúlyok: ( , , , , A rezduáls átr: Fktor eghtározás. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,). Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 3. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) 4. Lépés vú( , , , ,) vrég( , , , ,) lbd( , , , ,) A tlált sátérték: Lbd A tlált fktorsúlyok: ( , , , , A rezduáls átr: Fktor Sát érték % Változó Fktor Fktor Fktor 3 Fktor 4 Koultás

146 .8. A fktorok forgtás A sátértékek és fktorsúlyok előállításávl ég e feeződött be problé egoldás, vgys kevés száú, de gyrázó ereű és korreláltl fktor előállítás. Az eddgek sorá beuttásr került egy ódszer fktorlízs lpegyeletéek egoldásár ( Hotellgódszer). Más ódszerek s létezek, sőt ezekkel ás-ás egoldást kpuk. A gyrázt erre z, hogy fktorlízs lpegyeletéek végtele sok egoldás v. Ugys, h egy típusú T T átr oly, hogy T T I (I egységátr), kkor de AT egoldás z T T T T T lpegyeletek. Vlób, ( AT ) ( AT ) A T T A A I A A A R. Egy lye típusú T átrszl vló szorzást (trszforácót) tetkáb forgtásk evezek; ez z elevezés o ered, hogy h csk kétdezós esetet vesszük, T átr lk cosϕ sϕ T, sϕ cosϕ z ezzel vló szorzás eredéye pedg z, th koordáttegelyek ϕ szöggel elfordulák z orgó körül. Szeléltetéskét vegyük korább előállított fktorok közül csk z első kettőt (. tábláztból, kerekített értékek). 9. táblázt. Az első két fktor fktorsúly Változó F F Koultás AT MOR MI FER A koultások eletése z ábrázolás szepotából z, hogy ekkor változót ábrázoló potk távolságégyzete z orgótól.. ábr. A változók ábrázolás fktorok dt koordátredszerbe F F MOR MI FER AT F F A forgtás léyege z, hogy változók él közelebb kerüleek vlely fktortegelyhez. Az e érhető el, hogy degyk, vgy többsége rt legye egy-egy tegelye. A 46

147 legegfelelőbbek trtott helyzetbe leérük forgtás szögét, ele esetbe úgy 5 0 között értékről v szó. Legye ϕ 7,5. Akkor: cos7.5 s7.5 A T s7.5 cos táblázt. A fktorsúlyok forgtás utá Változó F F Koultás AT MOR MI FER A ódosúlt fktorok együtt ugyoly gyrázóereűek de változó esetébe ( koultások egrdk), változk vszot z egyes fktorok részesedése z összes változó vrcááb (szóráségyzetébe). Így z első fktor esetébe: , tehát egyg.304/ %-os gyrázóerővel bír korább 60,6%-hoz képest, külöbséget ásodk fktor yer forgtás következtébe: ,.5/ % (8,3%-hoz képest). Előfordulht oly helyzet s, kor változások léyegesebbek, egy eredetleg csupá 5-6%- os gyrázóerővel bíró fktor forgtás utá 5-0%-yt s bír gyráz, sőt úgy s lehet ráyít forgtást, hogy ez fktor kár 60%-yt do változók szóráségyzetéből, persze többek róvásár. H fktorok szá több t 3, kéz száítássl gyo ehéz egfelelő forgtás egtlálás ( változók ábrázolás fktorok dt térbe lehetetle, tehát szerevételezéssel forgtás szöget egod e lehet), ekkor ár egy egfelelő száítógépes progrr hárul ez űvelet. A progrb áltláb cs lehetőségük forgtás ráyításár, de válogthtuk több ódszer közül, elyek ás-ás végeredéyt szolgálttk..9. Észrevételek fktorlízs kpcsá Az előző potokb elég részletese utttuk be fktorlízs eléletét és lklzását, részletesebbe t eyt teles értékbe egérthetek társdlo eleségeek kuttásávl fogllkozó, többyre huá beállítottságú kuttók, dákok. Egyrészt zt szereték elér, hogy ódszert lklzó e pottlul gyűtött dtálloáyo dolgozzo, érezze, hogy tt gy potosságot géylő elárásról v szó. Másrészt, z SPSS progr ge egyszerű, felhszálóbrát eszközt yút, elélet seretekre cs s gyo gy szükség z utsítás kdásához, de tud kell, hogy progr ú. bolodbztos beállításokt s trtlz, zzl célll, hogy h véletleül dták k z utsítást, e száolo perceke át fölöslegese. Eze beállításokt ylvá k kell ktt lklzás eseté, de ég z 47

148 lklzás sorá s elő állhtk bukttók. Ilyekor lehet, hogy fktorlízs ges lklzhtó, csk például hszált terácószá kevés vgy egy ásk ódszer vezete eredéyre. Ilye bukttót elet z, h λ λ λ3... λ, vgys két leggyobb sátérték egyelő egyássl. Ekkor Hotellg-ódszer e kovergál. Ilye eset ge rtk, z zob ár e, kor λ λ. Ekkor ódszer kovergál ugy, de ge lss ( egoldott példákb z első sátérték 5 tzedesegy potossággl csk 4-k terácó utá dódott, pedg két leggyobb sátérték eléggé külöbözk egyástól (.44 és.3). Ilyekor z terácók száát kell egövel. λ, de kduló ˆ (,,..., ) Megtörtéhet z s, hogy telesül λ > λ >...> v -re vˆ t uˆ k összefüggés telesül, zz t t... t k 0 ( k ). A Hotellg-ódszer e fog kovergál ebbe z esetbe, de egy ás kezdet vektorr, például vˆ ( 0,,,...,) -re ár ge. Az SPSS progrb cs ódukb kezdő vektort egválszt, de válszthtuk ás ódszert. De legfőképpe rr ügyelük fktorlízs lklzásáál, hogy előbb győződük eg rról, hogy z dtok összefüggek, redudás forácót hordozk gukb. Ez ltt zt értük, hogy változók korreláltk, v helye kevesebb száú fktor kereséséek. Erről táékoztt z ú. Kser-Meyer-Olk érték (KMO), ely korrelácós átrhoz redel egy 0 és közé eső száot. Eek uttók kéz kszáításár e válllkozzuk, ugys túl sok űveletet géyel, korrelácóátr ráézéssel s elárul, hogy változók korreláltk-e vgy e. Vszot száítógépes progr gyors kszáít (potos, e szerevételezéssel becsülhető) KMOértéket, e feletsük el tehát kér ezt. A képlete eek értékek így éz k: KMO r, ρ r,, R hol ρ, R pedg korrelácóátr r eleéhez trtozó dugált ldeterás. R R A fktorlízsre lklsság szepotából KMO érték leglább 0.5 kell legye, h 0.5 ltt v, célszerű változók elhgyásávl próbálkoz. Hsoló célt szolgál Brtlett-féle göbprób s, változók között függetleség vlószíűségét ér. H ez vlószíűség leglább 0.00, célszerű változókból elhgy zt, elyk legkább korreláltl többvel..0. Alklzás z SPSS progr segítségével Ugyzo z dtálloáyo dolgozuk, t z előző potokb, cél ost z SPSS progr yútott köryezet sertetése. Az utsításokt Syt-blkból duk k. fc /vr AT MOR MI FER /cr fc(4) /rot vr. A /cr fc(4) opcób eghtározdó fktorok száát ugyyr állítuk be, t változók szá. A /rot vr opcó áltl fktorok rotácóát kérük Vr ódszerrel (z terácók száát e ódosítuk, ezek progr lpbeállítás szert áltláb 5 körülek). Eredéyül z Output-blkb éháy tábláztot kpuk., 48

149 Az első táblázt hszált változókt sorol fel, egdv degykél z összes fktorrl dódó értéket (Itl, ez dg kell legye), kért száú fktorrl dódó koultásokt (Etrcto, tt ost ezek s terészetese d -gyel egyelőek). AT tlts MOR Mortlts MI Csecseôhldosg Coultes FER Teles terekeyseg rysz Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Itl Etrcto A következő táblázt sátértékekről yút beszáolót: táblázt első hrdáb (Itl Egevlues) z összes sátértéket egtláluk, z ezekek egfelelő vrc-gyráztot %- b külö-külö és kuulálv; ásodk részbe (Etrcto Sus of Squred Lodgs) ugyezt sttsztkát tláluk, de y sátértékre, ey fktort kértük (tt ost két részbe beuttott dtok egegyezek). A hrdk rész (Rotto Sus of Squred Lodgs) csk kkor elek eg, h forgtást s kértük, és zt helyzetet d eg, ely forgtás utá dódk. Cop oet 3 4 Itl Egevlues Totl Vrce Epled Etrcto Sus of Squred Lodgs Rotto Sus of Squred Lodgs % of Cuult % of Cuult % of Cuult Totl Vrce ve % Totl Vrce ve % Totl Vrce ve % E E E Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Észrevehető, hogy fktorok forgtás utá z első két fktor veszít szóráségyzetet gyrázó ráyából, íg hrdk lye szepotból két és félszeresére ő. Ebből tábláztból zt olvshtuk le, hogy háro fktor kválsztás vol legobb. A következő táblázt fktorsúlyokt trtlzz, úgy hogy főkopoes-ódszerrel (Hotellg) dódk: AT tlts MOR Mortlts MI Csecseôhldosg FER Teles terekeyseg rysz Copoet Mtr Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss.. 4 copoets etrcted. Copoet E E E E Zvró egy kcst tudoáyos írásód hszált százdy-ezredy gyságredű együtthtók esetébe, á lehetőség v rr s, hogy egy bzoyos küszöb ltt fktorsúlyok e eleeek eg tábláztb, segítve egértést, gyrázást. 49

150 A következő táblázt forgtás utá fktorsúlyokt trtlzz: AT tlts MOR Mortlts MI Csecseôhldosg FER Teles terekeyseg rysz Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Rotto Method: Vr wth Kser orlzto.. Rotto coverged 5 tertos. Rotted Copoet Mtr Copoet E E E A legutolsó tábláztb forgtást dó trszforácós átr kopoese tlálhtók: Copoet 3 4 Copoet Trsforto Mtr Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Rotto Method: Vr wth Kser orlzto. A legléyegesebb forácót egtudtuk: 3 fktor eghtásozás legcélszerűbb, így úr kduk fktorlízs utsítását, beállítv keresedő fktorok száát 3-r: fc /vr AT MOR MI FER /cr fc(3) /rot vr. Leolvshtó z eredéyeket dó tábláztok közül legelsőről, hogy lye ráyb gyrázódk változók szóráségyzete háro fktor segítségével, háro fktor együttese eyt gyráz változók szóráségyzetéből: AT tlts MOR Mortlts MI Csecseôhldosg Coultes FER Teles terekeyseg rysz Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Itl Etrcto A következő eletős forácó z, hogy forgtás utá z egyes fktorok eyt gyrázk z összes változók vrcáából: z első fktor 46,8%-ot, ásodk 6,4%-ot, hrdk pedg 5,9%-ot. Láthtó, hogy fktorok gyából hsoló erősségűek, léyeg z, hogy cs köztük eletéktele (gyrázóereű) fktor. Cop oet 3 4 Itl Egevlues % of Cuult % of Cuult % of Cuult Totl Vrce ve % Totl Vrce ve % Totl Vrce ve % E Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Totl Vrce Epled Etrcto Sus of Squred Lodgs Rotto Sus of Squred Lodgs 50

151 A forgtás utá fktorsúlyok fktorok ellezésére dk útuttást: AT tlts MOR Mortlts MI Csecseôhldosg Rotted Copoet Mtr FER Teles terekeyseg rysz Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Rotto Method: Vr wth Kser orlzto.. Rotto coverged 5 tertos. Copoet E A forgtás utá első fktor gyo ól korrelált tltás evű változóvl és teles terékeység ráyszál, ásodk fktor ortltás evű változóvl, hrdk pedg csecseőhldősággl. El s evezhetük őket tltás, ortltás és csecseőhldóság fktorák. Aeybe véglegesek trtuk z elezést, úgy ég egyszer kduk z utsítást, kérve fktorváltozók ketését z dtálloáyb (fc_, fc_, fc3_). fc /vr AT MOR MI FER /cr fc(3) /rot vr /sve reg (ll). Befeezésül következze egy sokváltozós lklzás, ely sorá beuttuk eü dt lehetőséget s. Adtálloáykét vegyük world95.sv evűt, ely z SPSS progr telepítőébe egtlálhtó és oráls körüléyek között Progr Fles \ SPSS evű köyvtárból tölthető be. Ebbe z dtálloáyb vzsgáltb vehető eység változók következők: popult: z ország lkosság (ezer fő); desty: épsűrűség (fő/égyzetkloéter); urb: városlkó épesség ráy; lfeepf: ők várhtó élettrt (év); lfeep: férfk várhtó élettrt (év); ltercy: z ír-olvs tudók ráy (%); pop_cr: épesség év övekedés ütee (%); bbyort: csecseőhldóság ( ); gdp_cp: z egy főre eső bruttó hz terék (USD/fő); clores: p klór fogysztás; brth_rt: tltás (élveszületettek szá 000 lkosr száítv); deth_rt: ortltás (elhlálozottk szá 000 lkosr száítv); fertlty: teles terékeység ráyszá (gyerek/ő); Mutá betöltöttük progrot és z dtálloáyt, ráktttuk Sttstcs főeüpot Dt Reducto leü Fctor áltár. A kyíló dlógusblkb deféle beállítást végezhetük: elölük be változókt és vgyük át Vrbles blkb (összese 3 eység változót); Descrptves doboz Sttstcs ezőébe rdht beállítv z Itl soluto, vszot Correlto Mtr-b kérük KMO d Brtlett s test of sphercty opcót; z Etrcto dobozb rdo beállítv Method Prcpl copoets, és e feletsük el z Etrct ezőbe uber of fctors-r kttt és ezt 3-r kválsztott változószár állít (ellekező esetbe csupá z -él gyobb sátértékekek egfelelő fktorokkl száol, gz ugy, hogy egdhtuk ás sátérték-küszöböt s); 5

152 Rotto dobozb Method legye Vr, Dsply ezőbe pedg rdo beállítv Rotted soluto; érdees ég egyt z Optos dobozt, hol Coeffcet Dsply Fort ezőbe beállíthtuk Supress bsolute vlues less th-t például 0.50-re (ezáltl e kerülek kírásr z eél ksebb fktorsúlyok); Scores prcsdoboz lpbeállítás rdk (egyelőre e etük k seféle fktorváltozót, erre vgyázzuk, ert éháyszor utsítás-kdás utá z álloáyuk egtelk változókkl, elyekről lg tuduk vlt). Az eredéyekről, rövde: KMO d Brtlett's Test Kser-Meyer-Olk Mesure of Splg Adequcy..87 Brtlett's Test of Sphercty Appro. Ch-Squre df Sg A KMO érték 0.87, ge ó fktorlízs szepotából, Brtlett-teszt s 0 vlószíűséget d változók függetleségére votkozó (e s lehet áskét, h fgyelebe vesszük változók terészetét). Ezutá e feletsük el kktt ezt z opcót Descrptves prcsdobozb. A sátértékek szttsztká zt utt, hogy kár hét fktort s előállíttthtuk, de ezek közül kettőek gyrázóeree eghld 5%-ot, több öté szte egyforá 7-8%. De k kell próbál 6, 5, 4 fktoros eseteket s, vgy ás forgtás elárássl kell próbálkoz. Más forgtás ódszer (Qurt, Equ) egy gyo doás fktort állít elő ( középső tábláztrészbe tlálhtóhoz hsolót). Cop oet Etrcto Sus of Squred Rotto Sus of Squred Itl Egevlues Lodgs Lodgs % of Cuult % of Cuult % of Cuult Totl Vrce ve % Totl Vrce ve % Totl Vrce ve % E E E E E E E E E E E E E-03 4.E E-03 4.E E-03 6.E Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Totl Vrce Epled 5

153 A külöböző száú fktorok kérése eseté forgtás utá következő gyrázóerővel bíró fktorok dódk (z áltluk következő tábláztb sűrített dtok szerepe z optáls fktorszá eghtározásák szeléltetése):. táblázt. A fktorok gyrázóeree Fktorszá F F F3 F4 F5 F6 F7 7 fktor 3,9% 6,6% 8,6% 8,% 7,8% 7,% 6,4% 6 fktor 30,7% 6,0% 7,% 8,% 7,9% 6,% 5 fktor 30,6% 7,0% 0,% 8,% 7,9% 4 fktor 4,4% 30,3% 8,9% 7,9% 3 fktor 38,0% 35,% 8,9% Tlá z 5 fktoros változt legobb. Azért fktorszá végleges kválsztásához vzsgáluk eg fktorsúlyokt s. Itt ost e eletetük eg 5 lye tábláztot, rövde csk yt oduk el, hogy 7-8%-os részvétel változók szóráségyzetébe z llető fktor esetébe csupá egy változóvl vló szoros korreláltságot eged eg (00%/37.7%), tehát e eglepő, h z 5 fktoros elezés ellett dötük: Rotted Copoet Mtr POPULAT Populto thousds DESITY uber of people / sq. kloeter URBA People lvg ctes (%) LIFEEXPF Averge fele lfe epectcy LIFEEXPM Averge le lfe epectcy LITERACY People who red (%) POP_ICR Populto crese (% per yer)) BABYMORT Ift ortlty (deths per 000 lve brth GDP_CAP Gross doestc product / cpt CALORIES Dly clore tke BIRTH_RT Brth rte per 000 people DEATH_RT Deth rte per 000 people FERTILTY Fertlty: verge uber of kds Etrcto Method: Prcpl Copoet Alyss. Rotto Method: Vr wth Kser orlzto.. Rotto coverged 6 tertos. Copoet Az első fktor legszorosbb kpcsoltb (korrelácób) épesség év övekedés üteével v (0.933), d teles terékeység ráyszá (0.8) és z élveszületettek ráy következk (0.86). Elítésre éltó z, hogy ezzel fktorrl z ír-olvs tudók ráy elég gs, de egtív előelű korrelácób v ( 0.74). Másszóvl: eek fktork (uttók) z értéke kkor gy, h gy z ország épességéek övekedés ütee (r0.933), teles terékeység ráyszá (r0.8), z élveszületettek ráy (r0.86), de kcs z ír-olvs tudók szá (r 0.74), kcs továbbá várhtó élettrt, z egy főre eső ezet övedele, csecseőhldóság gy. Ezek utá ezt fktort elevezhetük tltás fktorák, de lehete felettség fktork s evez. A fktorok végleges elevezéset z összes fktor elezése utá duk eg. 53

154 A ásodk fktor gyo szoros korrelácób v z elhlálozottk ráyávl ( 0.976) és száottevő kpcsolt várhtó élettrtokkl (férfk: 0.744, ők: 0.70), ezért hldóság fktor evet s vselheté, csk z előelét kell felcserél ehhez ( F -t ve). A hrdk fktor cvlzácós fktor (vgy kább ólét fktor) evet s kphtá, vel változók közül legszorosbb korrelácób bruttó hz terékkel v (0.787), d klórfogysztássl (0.775) és városlkó épesség ráyávl (0.638). Az utolsó két fktor egyváltozós fktor, épesség gyságák fktor (0.990-es korrelácó épesség száávl) és épsűrűség fktor (0.995-ös korrelácó épsűrűséggel). Most ár véglegesíthetük fktorok zoosítását: F tltás, F ortltás, F 3 ólét, F 4 épességszá és F 5 épsűrűség fktor. Ezek utá úr eldítuk fktorlízs utsítását z előző beállításokkl, de ost ár kyítuk Scores dobozt és kérük Sve s vrbles opcót. A következő lépés z, hogy z dtszerkesztőbe fc_,,fc5_ evű fktorváltozókt átkeresztelük és egfelelőe ckézzük. Utá ezekkel változókkl, t függetle változókkl regresszószáítást, csoportosítást végezhetük (típusb sorolhtuk z állokt), de egyszerűe rgsorolhtuk egyk-ásk fktor szert. H például ólét fktort vesszük fgyelebe, rgsorolás utá z első és utolsó helyeke következő z országok sor (z ország eve ellett ólét fktor értéke tlálhtó): USA.3505 Lby.9470 Derk.7057 Cd.5878 Swtzerld.5364 Kuwt.494 Gery Frce.373 Peru -.39 El Slvdor Bgldesh Doc R Bolv Phlppes Vet Thld Megegyzedő, hogy elég sok ország dtsor háyos, így krdt z elezésből. Eze országok sor elég gy, és éh bossztó, hogy egy-egy dtháy tt sok dtsor érvéytele esetté válk. V lehetőség eek áthdlásár, éspedg h z Opto dobozb Mssg Vlues ezőbe beállítuk Replce wth e opcót. Ekkor ár degyk dtsor érvéyessé válk, ert száítás sorá ott, hol háyzó dt v, progr zt helyettesít változó átlgávl (z érvéyes dtokr száított átlggl). Ezzel beállítássl z országok rgsor következő lesz: USA Swtzerld.53 Derk.4547 Cd.9898 Frce.8474 Gery.87 Lby.680 Itly.679 Ethop -.0 Doc R Peru Bgldesh Phlppes Bolv Vet Thld

155 3. KLASZTERAALÍZIS (ME) Az gol cluster szó eletése főévkét yláb, rkás, csoó, gekét pedg csoportb gyűt, csoportosul. A klszterlízs (cluster lyzs) így dtok csoportosítását elet, potosbb egy vzsgált sokság egyedeek csoportokb vló sorolását, fgyelebe véve z egyes egyedekek egy bzoyos sérv-redszerbe felvett értéket. Egyk legklsszkusbb lye ellegű csoportosítást Crl vo Lé ( ) svéd terészettudós végezte 735-be, de ég e beszélhetük klszterlízs ódszeréek lklzásáról. Mt ódszert 70 évvel ezelőtt, előbb pszchológáb (Tryo 93, Zub 938), d z tropológáb lklzták (Drver, Kroeber, 93), később bológusok vették brtokb (Sorese 948, Sokl, Seth 963). pkr ár eléggé elteredt ódszerek z lklzás társdlotudoáyok teré s. A klsszkus klszterlízstől eltérő csoportosítás ódszerek s elképzelhetők, egy lye ódszert, elyet e sorok szerzőe dolgozott k, feezet végé részletese sertetük. 3.. A klsszkus klszterlízs ódszeréek rövd leírás Az lgortus g gyo egyszerű: de egyes sétlés sorá két ddg külöálló klszter egyesül, ezzel -gyel csökketve klszterek száát. Az lgortus lklzásák legeleé de egyes egyed egy külöálló klsztert lkot, kor pedg klszterek szá kettőre csökke, ezek egyesülésével lezárul z lgortus g és következk z elezés. Az elezések elsődleges cél egállpít zt, hogy ey z optáls száú klszter (csoport), d szétoszt klszterekbe sokság egyedet (z optáls száú klsztereket ár áltos típusokk evez) és ú változókét regsztrál típuskódot. Az elezés de egyes lépésébe egy dötéshoztlr kerül sor: elyk két klszter kválsztott z egyesülésre? Eek eldötése potos leírt száítás lpá törték, ehhez két dolog szükséges: z egyedek, lletve klszterek közt külöbözőség (vgy hsoltosság) szászerűsítése. Az egyedek közt szászerű külöbözőség eve távolság (dstce golul, dstţă roául), klszterek közt eltérés értelezése pedg ódszer evet kpt (ethod, lletve etodă). Úgy távolságr, t ódszerre több értelezés áll redelkezésre, így egyzo sokság elee ugyzo változók fgyelebe vételével ge sokféleképpe csoportosíthtók, szükség v tehát külöböző csoportosítások összehsolító elezésére bból célból, hogy külöböző csoportosítások közül kválsszuk legoptálsbbt. 3.. A beuttáshoz hszált dtálloáy A ódszer sertetéséhez hszáluk ugyzt z dtálloáy ( vlós változókt llet), elyet fktorlízsél ár sertettük: Európ 39 ország lkot sokságot, felhszált sérvek pedg AT (tltás, ezrelékbe, egészre kerekítve), MOR (ortltás, ezrelékbe, egészre kerekítve), MI (csecseőhldóság, ezrelékbe, egy tzedesegyre kerekítve) és FER (teles terékeység ráyszá, gyerek/ő átlgb, egy tzedesegyre kerekítve). Az. táblázt trtlzz ég eze változók stdrdzált lkát s. Eze kívül z álloáyb tlálhtó ég két változó, egyk eve F és földrz elhelyezkedésre utl (Észk, yugt, Dél, Kelet lletve Közép Európ), áské T, és egyelőre e fotos, hogy ho szárzk ez változó, típus egészszá, -től 7-g vesz fel értéket. Egyelőre zt se gyrázzuk, hogy Albá ért e redelkezk F és T változóál értékekkel. 57

156 . táblázt. Európ országk éháy deográf dt Ország F T Eredet változók Stdrdzált változók AT MOR MI FER ZAT ZMOR ZMI ZFER ALBÁIA AUSZTRIA K BELGIUM y BOSZIA-HERCEGOVIA D BULGÁRIA Ke CSEHORSZÁG Kö DÁIA É ÉSZTORSZÁG É FEHÉROROSZORSZÁG Ke FIORSZÁG É FRACIAORSZÁG y GÖRÖGORSZÁG D HOLLADIA y HORVÁTORSZÁG D ÍRORSZÁG y ITÁLIA D IZLAD É JUGOSZLÁVIA D LEGYELORSZÁG Ke LETTORSZÁG É LIECHTESTEI y LITVÁIA É LUXEMBURG y MAGYARORSZÁG Ke MAKEDÓIA D MÁLTA D MOLDÁVIA Ke AGYBRITAIA y ÉMETORSZÁG y ORVÉGIA É PORTUGÁLIA y ROMÁIA Ke SA MARIO D SPAYOLORSZÁG y SVÁJC Kö SVÉDORSZÁG É SZLOVÁKIA Kö SZLOVÉIA D UKRAJA Ke

157 A. tábláztb változók leíró szttsztkáát tláluk, ezt következő utsítássl kphuk eg: Változó des AT MOR MI FER ZAT ZMOR ZMI ZFER.. táblázt. A eység változók sttsztká Esetszá Mu Szélsőértékek Mu 59 Átlgérték Stdrdzált szórás AT MOR MI FER ZAT e ZMOR e ZMI e ZFER e A típusb sorolás Vegyük fgyelebe ost őség sérveket s, éspedg vlós eység változók átlgt száítsuk k őség sérvek ktegórá szert és vzsgáluk eg z eltérések szgfkcsztét (AOVA vgy F-teszt). e AT MOR MI FER by F /st ov. 3. táblázt. A vlós változók átlg és szórás z országok földrz fekvése szert Földrz fekvés Az A vlós változók átlg és stdrdzált szórás országok AT MOR MI FER szá Átlg Szórás Átlg Szórás Átlg Szórás Átlg Szórás Észk-Európ yugt-európ Dél-Európ Kelet-Európ Közép-Európ Összese Hsoló összeállíthtó egy táblázt T változó ktegórá szert átlgértékekről és zórásokról: e AT MOR MI FER by T /st ov. 4. táblázt. A vlós változók átlg és szórás T evű változó ktegórá szert Ktegórák Az A vlós változók átlg és stdrdzált szórás országok AT MOR MI FER szá Átlg Szórás Átlg Szórás Átlg Szórás Átlg Szórás Összese

158 A két tábláztból szórások összehsolítás rr következtet, hogy z utóbbb óvl ksebbek szórások, tehát T változó ktegórá hoogébbk, t földrz fekvés szert ktegórák. Az F-teszt (AOVA) ezt gyo ól tükröz, következő táblázt z F értékek és szgfkc-sztek összehsolításárát tesz lehetővé. 5. táblázt. Az F-teszt táblázt z F és T változókr ézve Meység változó Az F változó esete 60 A T változó esete F érték Szgfkc-szt F érték Szgfkc-szt AT tltás MOR Mortltás MI Csecseőhldóság FER Teles terékeység rát Az F-értékek z első esetbe ksebbek, erre z gyrázt, hogy tt földrz fekvés csoportosított z országokt és z F-teszt tt zt ér, hogy eyre vlószíű z, hogy z ország helye Európáb cs se befolyássl z llető ország tltásák, ortltásák, csecseőhldóságák és teles terékeység ráyszáák szászerű értékére. Azt láthtuk, hogy tltás és terékeység ráyszá tektetébe e szgfkásk z eltérések Európ külöböző térsége közt (Észk, yugt, Dél, Kelet és Közép-Európ), vszot ortltás és csecseőhldóság tektetébe ge eletős eltérések uttkozk, külöbözőségek 3. tábláztból ól leolvshtók. A T ktegórá esetébe degyk vlós változó átlgértéke gyo szgfkás eltéréseket uttk, lye külöbségek csk kkor érhetők el, h tudtos és csk változók értékeek fgyelebe vételével hozzuk létre T ktegórát. Ilyekor zt oduk, hogy Európ országt 5 típusb soroltuk, típusok egevezésére 4. táblázt hszálhtó: z első típusb sorolhtuk kssé gs tltású, kssé lcsoy hldóságú, gyo lcsoy csecseőhldóságú és kssé gs terékeység ráyszáú országokt: Dá, Fország, Frcország, Holld, Írország, Lueburg, gy Brt, orvég és Svác (9 ország); 6 országot s gáb fogll következő típus, d égy változóál kssé lcsoy értéket uttó, közel átlgos országok: Ausztr, Belgu, Csehország, Görögország, Horvátország, Itál, Legyelország, Lechteste, Ltvá, Mgyrország, éetország, Portugál, Spyolország, Svédország és Szlové; hrdk típus országb lcsoy tltás és terékeység ráyszá, gs ortltás és csecseőhldóság: Bulgár, Észtország, Fehéroroszország, Lettország, Roá és Ukr (6 ország); háro ország trtozk egyedk csoportb, elyekbe átlgos ortltás, gs tltás és terékeység ráyszá és gyo gs csecseőhldóság: Bosz- Hercegov, Jugoszláv és Moldáv; végül Izld, Mkedó, Mált és S Mró lkot egy oly csoportot (és e típust), elyek túl egyedek, e hsolítk d égy változór ézve egydőbe egyk fetebb típushoz se. Például Izldo tltás és terékeység ráyszá essze z európ átlg fölött (6, lletve. gyerek/ő), ortltás és csecseőhldóság óvl átlgo lul (7, lletve 6, ), Mkedóáb pedg essze z európ átlg fölött v tltás (6 ), csecseőhldóság (,7 ), terékeység ráyszá (.0), ortltáspedg lcsoy (8 ), és így tovább, ásk két törpeállb s. H z F-tesztet csk ól elkülöülő égy típus fgyelebe vételével végezzük el (khgyv e tpkus égy országot, Albá esetébe telese szebetüő volt z eltérés, ezért ár z eleé krdt), z eredéy ég kább elz, hogy típusb sorolás ge ó.

159 6. táblázt. Az F-teszt táblázt T változór, 5, lletve 4 ktegórár száolv Meység változó 5 ktegórávl 4 ktegórávl F érték Szgfkc-szt F érték Szgfkc-szt AT MOR MI FER Elodhtuk tehát, hogy eybe egy csoportosítás utá F-teszt ge gs értéket d, szgfkc-szt pedg 0 5 gyságredű, kkor elfogdhtó és típusb sorolásk evezhető z llető csoportosítás A külöbözőség értéke: távolság Az országok összehsolítását végezzük el égy vlós változó értéke szert. Az. tábláztból rgduk k z első égy országot és részletesebb összehsolítás érdekébe készítsük egy tábláztot. 7. táblázt. égy európ ország összehsolítás e stdrdzált változók lpá Országok Változó értékek AT MOR MI FER ALBÁIA AUSZTRIA BELGIUM BOSZIA-HERCEGOVIA Országpárok Változó értékek eltérése ALBÁIA AUSZTRIA 4 8,,4 ALBÁIA BELGIUM 4 7,,3 ALBÁIA BOSZIA-HERCEGOVIA 0 7,9, AUSZTRIA BELGIUM 0 0, 0, AUSZTRIA BOSZIA-HERCEGOVIA 3 0,3 0, BELGIUM BOSZIA-HERCEGOVIA 3 9, 0, Az összehsolítás csupá változók értékere törtét eg fet tábláztb, ezeket országpárokét összesíte kellee vllye foráb, de lye eredet, külöböző értékegységű lkb cs értele rtetklg összed. A reltív, értékegység élkül értékek elérésére két elárás kíálkozk, dkét esetbe osztássl érhetük el ezeket, z elsőbe z llető változó pltudóávl osztuk, ásodkb szórássl. Az osztás elvégezhető ég külöbségek kszáítás előtt z első tábláztbel stdrdzált változók lyeek (y egegyzéssel, hogy z osztásál z SPSS progr stdrdzált szórást hszál), de elvégezhető külöbségek képzése utá s. 6

160 8. táblázt. A égy európ ország összehsolítás stdrdzált értékek lpá Országpárok 6 Stdrdzált szórások AT MOR MI FER Változó értékek eltérése reltvzálv Az eltérések összege ALBÁIA AUSZTRIA ALBÁIA BELGIUM ALBÁIA BOSZIA-HERCEGOVIA AUSZTRIA BELGIUM AUSZTRIA BOSZIA-HERCEGOVIA BELGIUM BOSZIA-HERCEGOVIA A fet száítás lpá kelethető, hogy égy változó értéke szert Ausztr és Belgu eltérése 0-szor ksebb t Albá és Bosz-Hercegov (0,79/0,480,35 ), Bosz- Hercegovától 3-szor obb eltér Albá t Belgu (0,79/3,76,85 ), és így tovább. Az eltérések összegéek foráls kfeezésére elölük z -dk (stdrdzált) változót -vel, -dk esetek erre változór votkozó értékét -vel. Akkor fet tábláztb s hszált távolság kfeezése: D( k), k. A tetk egyk feezetéből, etrkus terek eléletéből, seretes ez z értelezés. Ugyo tovább ás kfeezések s seretesek, sőt e árt feldéz zt, hogy t ért tetk távolság foglá. H z lpsokságot S-sel elölük, kkor de oly D függvéyt, elyek értelezés trtoáy z S-bel elepárok hlz (SS), értékkészlete eegtív vlós száok hlz, és elyk telesít háro tuldoságot, távolságk evezük. Ez háro tuldoság következő:. z zoos potokból álló pár távolság 0 és csk ezeké 0: D(A,B)0 ΑB;. szetr: D(A,B) D(B,A); 3. hároszög-egyelőtleség: D(A,B) D(A,C) D(C,B). Több klsszkus távolságfüggvéy seretes z -dezós vlós kopoesű vektorok hlzá, ezek közül vló z áltluk előbb hszált kfeezéssel értelezhető függvéy s. A geoetrából legsertebb z eukldesz távolság, elyek képlete D( k) ( k ),. A tovább sertebb távolság-képletek s z eltérések lpá értelezk ezt, ezek szeléltetése érdekébe tábláztb foglltuk két ország, Albá és Ausztr esetébe z. tábláztb s szereplő stdrdzált értékeket és z ezekből száíthtó eltéréseket. 9. táblázt. Két ország esetébe változó értékek és ezek eltérése Országok Változó értékek ( ) AT () MOR () MI (3) FER (4) ALBÁIA () AUSZTRIA(k) Eltérések

161 Az SPSS progr hároféle esetet külöböztet eg, ezek egyást e zárák k telese, de vk helyzetek, kor kzárólg csk egyk változt vlely távolságképletét lklzhtuk. Az első távolságtípus eység sérvek (tervllu- vgy ráyskálá ért változók) eseté hszálhtó képletek, elyek ár elített -dezós vektorterek eléletéből szárzk: z eukldesz távolság égyzete (Squred Eucld dstce): D (, k) ( ) k z eukldesz távolság (Eucld dstce): D (, k) ( ) k z eltérés-összegek dt távolság (Block, Mhtt): (, k) D k leggyobb eltérés dt távolság (Chebychev): D, k 4.585,.684, ( ) { 4.368, 4.339} k Mkowsk-féle távolság ( száítás sorá préter legye p3): ( k) ( ) p p, D k p és r préterű htváy-távolság (Power, tt ost legye p3 és r) : (, k) ( ) r p D k Ugycsk z első típusb trtozk két oly távolság, ely léyegébe e tetk távolság eletésű, he úgyevezett hsolóság uttó. Itt képletek szoktlság tt részletesebbe s beuttuk ezeket: Perso-féle korrelácós együtthtó esetekre száolv (csk stdrdzált változókr álott z lklzás): D ( k) ( )( ) k k,, hol σ σ k z. táblázt -dk sorából száolt átlgérték. A obb egértés érdekébe vegyük háro oly ország (Albá, Ausztr és Belgu) dtt, elyek tektetébe egyk pár (Albá és Ausztr) ge eltérő, egy ásk pár (Ausztr és Belgu) ge hsoló dtokkl redelkezk (lásd 0. tábláztot) A távolság Albá és Ausztr között ekkor: D (, ) , Ausztr és Belgu között pedg D (,3) Az így kpott értékek értelezése korrelácós együtthtó eletése lpá kell hogy törtée: Albá és Ausztr dtsor eltér egyástól (korrelácós együtthtó 0,57), Ausztr és Belgu esetébe vszot gyfokú hsolóság (korrelácós együtthtó 0,870). Távolságkét ekkor z D(,) kfeezést kell ve. 63

162 0. táblázt. A Perso-féle korrelácós együtthtó-távolság háro ország esetére Országok Változó értékek ( ) AT () MOR () MI (3) FER (4) Összese Átlg Szórás ALBÁIA () ,97,48,495 AUSZTRIA () ,68 0,40 0,56 BELGIUM (3) ,0 0,300 0,0 ALBÁIA (),838 4,96,077,380 AUSZTRIA () 0,55 0,90 0,389 0,057 BELGIUM (3) 0,035 0,70 0,339 0,33 ( )( ) ( )( 3 3 ) 0,005 0,049 0,3 0,008 0,79 0,045 z dtsorok sklárs szorzt (ugycsk stdrdzált változókr álott z lklzás), z SPSS progrb COSIE eve: k D(, k). k Az előbb eset dtt hszálv ezt távolságszáítást s beuttuk.. táblázt. A COSIE evű távolság háro ország esetére Országok Változó értékek ( ) AT () MOR () MI (3) FER (4) ALBÁIA () AUSZTRIA() BELGIUM (3) σ Összese ALBÁIA () AUSZTRIA() BELGIUM (3) A fet értelezés lpá távolság Albá és Ausztr között: D (, ) , Ausztr és Belgu között pedg: D(,3)

163 Az tt kpott értékek értelezése s hsoló törték, t korrelácószáítás dt távolság eseté: gy eltérést uttó dtsorokból -hez közel távolságérték szárzk (lásd Albá és Ausztr esetét), h pedg z dtsorok gyo hsolók, távolságérték -hez közelít. A ásodk fő típus távolságképlete gykorságot trtlzó változók esetébe száíthtó Kh-égyzet értékére lpulk. A képletek értelezéséhez legye sokság Roá város, változókk tektsük z ktív lkosság száát főbb ezetgzdság ágztok szert. A következő táblázt részlet z dtálloáyból.. táblázt. Az ktív épesség szá főbb ezetgzdság ágztok szert, két városb Város Aktív épesség szá Ipr Mezőgzdság Építőpr Főbb ezetgzdság ágztok Keres- Szol- Szállítákedelegálttás Egészségügy, kultúr Közgzgtás Egyéb Dés Tord Forrás: Recesăâtul populţe ş locuţelor d 7 ure 99. Vol. II. A fet tábláztból összeállítuk Perso-féle Kh-égyzet érték kszáításához szükséges eységeket trtlzó tábláztot: Esetek Összese ( ) 3. táblázt. A Kh-égyzet kszáítás Változóértékek ( ) I Összese (0) Elélet értékek ( e ) A változó értéke és z elélet értékek közt eltérések ( e ) Az előkészületek utá értelezhetük z úbb távolságképleteket és k s száíthtuk Dés és Tord városok esetébe köztük lévő távolságot eze képletek lpá (persze e k-be). Perso-féle Kh-égyzet gyöke: ( ) e ( k ek ) Chsq(, k). e e k 65

164 A két városr: Chsq (, k) ho Chsq(, k) Kh-égyzet lpá száíthtó Φ-távolság: Chsq(, k) Φ(, k) A hrdk távolságtípusb kétértékű (bárs, dchotó, ltertív) változók eseté sátos értelezhető eltérésképletek trtozk. Megt csk egy kokrét példávl tesszük szeléletessé ezt helyzetet. A sokság egyede legyeek gzdságok (47 gzdság Torockó községből, 998-b végzett felérés dtból), változók pedg ezek felszereltségét tükröző sérvek. 4. táblázt. A gzdságok trtós háztrtás ckkekkel vló felszereltsége (háro gzdság, Torockó, 998) Gzdság Szíes TV () Trtós háztrtás ckkek (, 0 cs, V) Fehér-fekete TV () Rádó (3) 66 Butélás tűzhely (4) Hűtőszekréy (5) Mosógép (6) Porszívó (7). száú () száú () 0 3. száú (3) 0 0 Két eset dtsorák összehsolításához készítsük egy kereszttábláztot: 5. táblázt. Két gzdság helyzete felszereltség tektetébe Az. száú gzdságb A. száú gzdságb V 0 cs Vdeo (8) Összese ckk z. száú gzdságb V b 0 b 0 cs c 5 d cd 6 Összese ckk. száú gzdságb c 7 bd bcd 8 A tábláztbel elölésekkel külöböző távolságtípusok, elyeket z SPSS száít, progrb hszált zoosítókkl következők: BSEUCLID c b (Squred Euclde dstce); BEUCLID b c 0 5 5,36 (Euclde dstce); SIZE ( b c) ( b c d ) ( ) (Sze dfferece);

165 bc PATTER ( ) VARIACE b c d 4 b c ( b c d ) d bc DISPER ( ) b c d BSHAPE ( b c d )( b c ) ( b c ) ( b c d ) (Shpe); d SM b c d PHI LAMBDA D (Lbd); t (Ptter dfferece); (Vrce); (Dsperso); ( 0 5) ( 0 5) (Sple tchg); 8 8 d bc ( b)( c)( b d )( c d ) t t t ( b c d ) (Ph 4-pot correlto); , hol t (,0) ( 5, ) (,5) ( 0,) t ( 7,) (,6) LAMBDA t t ( b c d ) t (, b) ( c, d ) (, c) ( b, d ) ( c, b d ) ( b, c d ) 5 5 3, (Aderberg s D), t és t ugyzok, t előbb; D DICE (Dce); b c HAMA ( d ) ( b c ) ( ) ( 0 5 ) b c d JACCARD (Jccrd); b c K (Kulczysk ); b c K b c (Kulczysk ); 8 8 (H); b c BLWM (Lce d Wlls); b c OCHIAI b c (Och); 67

166 d 3 RT (Rogers d Toto); d ( b c) (0 5) 3 RR SS b c d ( d ) ( d ) b c (Russel d Ro); 8 ( ) ( ) (Sokl d Seth ); SS (Sokl d Seth ); ( b c) (0 5) SS3 SS4 SS5 Y d b c d b c b d 4 d d c d ( b)( c)( b d )( c d ) d d bc bc (Sokl d Seth 3); (Sokl d Seth 4); (Sokl d Seth 5); (Yule s Y); 0 5 d bc 0 5 Q (Yule s Q). d bc 0 5 Ige hosszú ez lst, sát véleéye z, hogy lye helyzetbe (bárs változók) bátr lklzhtó z első típusál leírt legegyszerűbb távolság, z eltérések összegéből szárzó (Block), külöbe ugyzt távolságot értelez fet lstáb BSEUCLID A klszterek közt távolság A klsszkus klszterlízs ásk léyeges távolságfogl klszterek közt távolság. Ezt ár elfogdott egyedek közt távolság segítségével értelezzük. Az SPSS progr többféle változtot s ál, ezeket uttuk be részletese. Legye Φ és Ψ két klszter, zz két dszukt (közös ele élkül) részhlz z lpsokságból, képletek felírás érdekébe tektsük úgy, hogy Φ és Ψ klsztereket lkotó egyedek sorszából álló hlzok. Előbb felsoroluk külöböző klszter-távolságok értelezését és ezekek progrb hszált evet: z egyk klszter elee és ásk klszter elee közt lévő legksebb távolság (Sgle lkge or erest eghbor): SIGLE Φ, Ψ D, k ; ( ) ( ) Φ, k Ψ z egyk klszter elee és ásk klszter elee közt lévő leggyobb távolság (Coplete lkge or furthest eghbor): COMPLETE Φ, Ψ D, k ; ( ) ( ) Φ, k Ψ 68

167 z egyk klszter elee és ásk klszter elee közt lévő távolságok átlg (Averge lkge betwee groups, UPGMA): BAVERAGE ( Φ, Ψ) D( k), ; Φ Ψ Φ k Ψ két klszter elee közt lévő távolságok átlg (Averge lkge wth groups), tt úgy kell tekte, hogy két klszter eleet egy hlzb vesszük (potétkus klszter), és ezutá de lehetséges elepár távolságát kszáítuk és átlgoluk ezeket: WAVERAGE, D. ( Φ Ψ) ( )( ) Φ Ψ Φ Ψ, k Φ Ψ k (, k) A következő háro klszter-távolság esetébe hszál kell egy elélet, úgyevezett átlgos klszterele foglát. Ez egy oly vrtuáls egyed, elyek fgyelebe vett változókr votkozó z értéke klsztert lkotó vlós egyedek egfelelő változóértékeek z átlg. Eek fgyelebe vételével távolságok következők: két klszter átlgos elee közt távolság (Cetrod clusterg, UPGMC); z egyk klszter átlgos elee és ásk klszter összes vlós elee közt távolságok (dkét ráyb véve) átlg (Med clusterg, WPGMC); WARD távolság (Wrd's ethod) két klszter átlgos eleével száol, klszterek egyedeek száávl súlyozv és szóráségyzeteket s fgyelebe vesz. Ez utóbb háro távolság (ódszer) boyolultbb többél, ezért száítógépes progr kevesebb száítást géylő eukldesz távolság égyzetéek lklzását kér lyekor z egyedek közt távolságkét Az lgortus Az lgortus g gyo egyszerű: z első lépés előtt de sokságbel egyed külö-külö lkot egy klsztert (trváls klszterek), de egyes lépés sorá egyesül z két klszter, elyek közt távolság legksebb. H z esetek szá, kkor z -dk lépés előtt ár kettőre csökket klszterek szá, így ebbe lépésbe kötelező ódo egyesül ez két klszter és z lgortus lklzás véget ér. Ie tovább következk z eredéy elezése Alklzás z SPSS progr segítségével Az európ országokkl AT, MOR, MI és FER változók fgyelebevételével végezzük el egy klszterlízst. Előbb változókt stdrdzáluk és etsük k z dtálloáyb: des AT MOR MI FER /sve. Ezt stdrdzálást álo egte kkor s, h klszterlízs utsításszerkesztő blkáb beállíthtó változók stdrdzált foráák fgyelebevétele, de tpsztlto z, hogy prcsdobozb vló lye beállítás z utsítás végrehtás sorá deglees (teporry) fálokt hoz létre z SPSS progr ktlógusáb (köyvtátáb) és bzoy éh ezt űveletet tlt redszerprogr, ezáltl e htódk végre klszterlízs, ás esetbe pedg szgorúbb korlátokt elet z esetek száák gyságár vgy fgyelebe vett változók száosságár votkozó. H tervezett típusú változókt z dtálloáyb hozzuk létre, kkor csupá rr kell vgyázzuk, hogy kellő hely legye fál hordozóá (például floppy leezé, h e olvstuk be z dtálloáyt). 69

168 A klszterlízst kváltó utsítás legegyszerűbb forá Syt-blkb következő: clu ZAT ZMOR ZMI ZFER. Tehát se távolságot, se ódszert e kötelező közöl, ezekek predefált változt, ellyel progr száol: távolságr z eukldesz táv égyzete (Squred Euclde dstce, SEUCLID), ódszerre pedg klszterek közt átlgos távolság (Betwee groups lkge, BAVERAGE). Az eredéyről éháy táblázt száol be, ezek közül z elsőből tudoást vehetük hszált távolságról és ódszerről, z érvéyes kódokkl redelkező esetek szááról:. Cse Processg Sury Cses Vld Mssg Totl Percet Percet Percet Squred Euclde Dstce used b. Averge Lkge (Betwee Groups) A következő táblázt zt od eg, hogy lépésekét: elyk két klszter egyesül, ekkor áls távolság, z egyesült klszterek elyk előző lépésbe öttek létre és hogy z ú klszter háydk lépésbe fog úr egyesül. Aggloerto Schedule,b Stge Cluster Cobed Cluster Cluster Stge Cluster Frst Appers Coeffcets Cluster Cluster et Stge E E E E

169 A következő táblázt z előzőre épül, zt próbál grfkus szeléltet. Sát véleéye, hogy ábrázolásód ehézkes, eél sokkl obb dedogr, de ezt külö kér kell klszterutsításb ( dedogr egelölés egszütet z előző, úgyevezett VICICLE ábrázolást): clu ZAT ZMOR ZMI ZFER /plot de. Mg dedogr beszédes, de elsőre e bztos, hogy lát s lehet bee csoportokt, típusokt. Az tt előálló eset oly, kor e válszthtók k ól típusok: * * * * * * * * * * * * * HIERARCHICAL CLUSTER AALYSIS * * * * * * * * * * * Dedrogr usg Averge Lkge (Betwee Groups) Rescled Dstce Cluster Cobe C A S E Lbel u I - I 9 - I 37 - I 4 - I - I 5 - I 30 - I - I I I 7 - I I 8 - I I 36 - I I 4 -- I 6 - I - -- I I 33 - I I 5 - I I 8 - I I 9 - I I I I 0 - I I 3 - I I I I I I I I A következő utsításb kérük ás ódszert és zt s, hogy z esetek e sorszál, he évvel legyeek zoosítv. clu ZAT ZMOR ZMI ZFER /ethod wv /d ORSZAG /plot de. 7

170 * * * * * * * * * * * * * HIERARCHICAL CLUSTER AALYSIS * * * * * * * * * * * Dedrogr usg Averge Lkge (Wth Group) Rescled Dstce Cluster Cobe C A S E Lbel u ITALIA 6 -- SPAYOLORSZAG EMETORSZAG 9 - I I SZLOVEIA I CSEHORSZAG 6 - I HOLLADIA SVAJC 35 - I I I AUSZTRIA - I I I BELGIUM 3 - I I I PORTUGALIA I --- GOROGORSZAG - I - I I SVEDORSZAG I I LIECHTESTEI I I I SA MARIO I I BOSZIA-HERCEGOVIA I LEGYELORSZAG SZLOVAKIA 37 - I I I HORVATORSZAG I I LITVAIA I I JUGOSZLAVIA I MOLDAVIA I DAIA AGYBRITAIA I I IRORSZAG 5 -- I I I I ORVEGIA I I I FRACIAORSZAG - I --- I I LUXEMBURG 3 -- I I I I FIORSZAG 0 - I I I MALTA I IZLAD I I I MAKEDOIA I I BULGARIA 5 - I I ESZTORSZAG 8 -- I I FEHEROROSZORSZAG I I UKRAJA I I MAGYARORSZAG I I ROMAIA I LETTORSZAG I ALBAIA Ebből dedogrból leolvshtó z, hogy egy 7 országból álló típus gyo ól elkülöül többtől, d zoosíthtó ég háro csoport, ely lehet típus s: Bulgár, Észtország, Fehéroroszország, Ukr, Mgyrország, Roá és Lettország dt egyáshoz gyo ól hsolítk, több országéhoz képest vszot gyo eltérőek; Dá, gy Brt, Írország, orvég, Frcország, Lueburg, Fország, Mált, Izld egy úbb típust lkotht; egy szeréyebb csoportot lkot Legyelország, Szlovák, Horvátország, Ltvá, Jugoszláv és Moldov; leggyobb száosságú csoportot Itál, Spyolország, éetország, Szlovák, Csehország, Holld, Svác, Ausztr, Belgu, Portugál, Görögország, Svédország, Lechteste és S Mro lkot; Albá, Mkedó és Bosz-Hercegov eléggé elkülöül több országtól vzsgáltb vett dtok tükrébe és gyo vlószíű, hogy ás ódszerrel vgy távolsággl se érhető el, hogy típusb sorolódk. 7

171 Eze utóbb egegyzés felogosít rr, hogy úrkezdük z elezést khgyv fet háro országot (például egy ú változó létrehoztlávl, elyek értéke tpzálhtó országok esetébe, rebellsekébe pedg 0, d szelektáluk sorokt z ú változók z -es értéke lpá). e feledük el reltvzált (ZSCORE) változókt úr létrehoz, vel krívó esetek elhgyásávl száottevőe lecsökkeek szórások, egváltozttv léyegese ezáltl reltvzált változóértékeket. A prétereket változtlul hgyv z lább dedogrot kpuk: * * * * * * * * * * * * * HIERARCHICAL CLUSTER AALYSIS * * * * * * * * * * * Dedrogr usg Averge Lkge (Wth Group) Rescled Dstce Cluster Cobe C A S E Lbel u ITALIA SPAYOLORSZAG EMETORSZAG 9 -- I I SZLOVEIA CSEHORSZAG I I SA MARIO I HOLLADIA I SVAJC 35 - I AUSZTRIA - I I I BELGIUM 3 -- I I I PORTUGALIA I I GOROGORSZAG --- I I SVEDORSZAG I I LIECHTESTEI LEGYELORSZAG 9 -- I I SZLOVAKIA I I HORVATORSZAG I I LITVAIA I I MAGYARORSZAG I I JUGOSZLAVIA I MOLDAVIA IRORSZAG I I ORVEGIA I I DAIA I I I I AGYBRITAIA I I I FRACIAORSZAG -- I I I LUXEMBURG I I I I FIORSZAG I I MALTA I I IZLAD I BULGARIA 5 -- I ESZTORSZAG I FEHEROROSZORSZAG I UKRAJA I LETTORSZAG ROMAIA Láthtó, hogy égy klszter ól elkülöül egyástól, csoportok kevés kvételtől eltektve ugyzok, t z előző esetbe (csupá Mgyrország cserél csoportot). Ezutá kérük 4 klszteres állpot változób vló ketését, ezáltl egelek egy ú változó, de ország soráb beíródk k klszterek sorszá, elykbe z llető ország trtozk. clu ZAT ZMOR ZMI ZFER /ethod wv /d ORSZAG /plot de /sve clu(4). Az ú változó eve CLU4_ ( progr z ú változókk CLU kezdetű evet d, következő el z klszterszá, elyet z utsításb duk eg, d z láhúzás ele utá következk egy sorszá. Ez sorszá legelső klszterváltozó etést kérő utsítás esetébe, d -gyel ő de oly lklol, kor úr klszterváltozó etését kérük). 73

172 Ezek utá egvzsgáluk, hogy klszterek szert z eredet változók átlgértékeek eltérése ekkor szgfkc-szteket eredéyezek. e AT MOR MI FER by CLU4_ /st ov. Az átlgértékek és szórások rról győzek eg, hogy ól elkülöülek klszterek: Report CLU4_ Averge Lkge 3 4 Totl Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto MI FER Teles AT MOR Csecseô terekeyseg tlts Mortlts hldosg rysz E Legérdekesebb táblázt ost z F-teszt táblázt: AT tlts * CLU Betwee (Cobed) Averge Lkge (Wt GWth Groups Group) Totl MOR Mortlts * CL Betwee (Cobed) Averge Lkge (Wt GWth Groups Group) Totl MI Csecseôhldos Betwee (Cobed) GWth Groups AOVA Tble Su of Me Squres df Squre F Sg CLU4_ Averge L Totl (Wth Group) FER Teles Betwee (Cobed) terekeyseg ry GWth Groups * CLU4_ Averge Totl.9 35 Lkge (Wth Grou Már z F értéke s zt suglák, hogy szgfkc-sztek gyo lcsoyk, ezeket gy potossággl előállítv z Output-blkb tábláztból (dupl klkk tábláztr, d dupl klkk rekeszre), gyságredű értékeket olvshtuk. Ezzel z elezéssel el s fogdhtuk z utóbb klszterlízs eredéyét ( CLU4_ őség változót), ost ár típusokk evezhető klsztereket értelezhetük (z ú változót ckékkel látv el), d ezeket típusokt tovább elezésekbe hszálhtuk. Megegyzedő, hogy h Mgyrországot áthelyezzük bb klszterbe, elybe kkor trtozott, kor ég d 39 ország részt vett klszterelezésbe, gyo hsoló F értékeket 74

173 kpuk: 9-től 8-g teredek. Feltevődhet z kérdés, hogy tovább távolságértékek és ódszerek e vezetek-e el, égh csk kcsvel s, de z eddgekél obb eredéyre. Tpsztltuk szert es esetszáú sokságb 0 7 gyságredű szgfkc-szteket dó klszterek típuskét elfogdhtók, ás ódszer se tud csodákt űvel ott, hol z dtok változtosk (vlósk), tehát hsolóság ellett eléggé gyfokú külöbözőséggel s redelkezek vzsgáltb vett egyedek Az L-közép ódszer (K-es cluster vgy Quck Cluster) Az L-közép ódszert szokták ég dkus ódszerek s evez, szebe z eddg sertetett ódszerrel, elyre herrchkus elzőt dták. Mdkét ódszer be v építve z SPSS progrcsogb. A következő potokb beuttásr kerülő ódszert e sorok szerzőe dolgozt k, globáls klszterezések evezte el, és terészetese cs ég beépítve z SPSS-be. Eek ódszerek lpvető ellezőe z, hogy egy L drb feltételezett klsztercetruból dul k. Azutá sorr vesz sokság esetet, defált etrk szert degykre kszáít cetruoktól ért távolságot, és bb klszterbe sorol be őket, elykek cetruához legközelebb vk. Egy egyed besorolás utá fgyelebe lehet ve zt, hogy áltl z llető cetrupot elozdul és úrszáolhtó eek koordátá vgy továbbr s rég cetrukoordátákkl száoluk. H de ele besorolásr került és cetrupotok koordátá úrszáítódtk, előlről lehet kezde besorolásokt z ú klsztercetruokt véve fgyelebe. Előfordulht, hogy egyes esetek egyk klszterből áskb vádorolk, z ú helyzetek egfelelőe. Aeybe z összes eset besorolás utá cetrupotok helyükö rdk (koordáták ugyzok, t besorolás eleé), z elárás leáll, kluszterkoordáták változób rögzíthetők. E ódszer lklzás kkor előyös, h z esetek szá ge gy (százál s több), hátráy vszot z, hogy előre közölük kell klszterek száát. Az SPSS progrcsog felhszálásávl ddg kísérletezhetük klszterek száák egválsztásávl, íg klszterek de szepotból egfelelek (kellőe reprezetáltk, hoogéek és egyástól ól elkülöülek). A következő példáb szeléltetük eek z elárásk z lklzását z SPSS progrcsog felhszálásávl. Adtálloáykét vegyük ár korább s hszált World95.sv evűt és ebből csupá 3 változót: csecseőhldóságot (BABYMORT), tltást (BIRTH_RT) és ortltást (DEATH_RT). A 09 ország közül csupá egy esetbe v dtháy (Tw esetébe háyzk hldóság értéke), ezt z esetet kkttuk z elezésből. e feletsük el, ost ár feltétleül szükséges előzetese reltvzál ukváltozókt, például következő utsítássl: des BABYMORT BIRTH_RT DEATH_RT /sve. Md csk ezutá következhet klszterlízs utsítás: quck clu ZBABYMOR ZBIRTH_R ZDEATH_R /crclu(5) (00) /sve clu /prt ov. Több dolgot kell tt ost sertetük z eredéyek beuttás előtt. A ZSCORE változókt z SPSS progr úgy lát el évvel, hogy z ősváltozó eve elé tesz egy z betűt, de h így változó eve több t 8 betű lee, kkor z utolsót elhgy (h lye változóév ár v, kkor yolvdk betűt száegyre cserél sőt dht lye ú evet, t ZSC00, stb.). Ezért odtuk ég köyv eleé változóév leírásáál, hogy próbáluk 3-4 betűs változóevekkel, hogy belőlük szárzttott ú változók eve ögáb utlo z ősre (és ezért hszáltuk eddg s hárobetűs változóeveket, t MI, MOR, AT stb.). Az opcók gyrázt: /crclu(5) öt klszter eghtározását elet (dg kell szerepele), ugytt (00) z terácók száát (sételt szétosztások száát) u 75

174 00-r állít (áltláb óvl kevesebb terácó utá ár leáll z lgortus, el s hgyhtó z utsításból, ekkor ez szá 0), /sve clu klszterváltozó ketését kér (z ú változó eve QCL_, vgy h ár v lye, kkor QCL_, stb.) és végül /prt ov tt, t hogy eve s utt, z Output-blkb szóráségyzet-elezés (F-teszt) eredéyét s lát foguk. Az eredéyek sorát z táblázt yt, ely z sétlések sttsztkáát d eg: Iterto Iterto Hstory Chge Cluster Ceters E E E-0 7.3E-0.4.0E E E E Covergece cheved due to o or sll dstce chge. The u dstce by whch y ceter hs chged s.000. The curret terto s 6. The u dstce betwee tl ceters s.03. Láthtó, hogy 7-k terácó utá klsztercetruok stbllá váltk. A következő tábláztból leolvshtuk rögtö eze végső klszterközepek koordátát (zz vzsgáltb vett reltvzált változók értékeek átlgát klszterekét): poztív eységek eletése terészetese z, hogy teles sokság átlg fölött klszterátlg, egtív eységek pedg átlgál ksebbet eleteek. Fl Cluster Ceters Cluster ZBABYMOR Zscore: Ift ortlty (deths p ZBIRTH_R Zscore: Brth rte per 000 people ZDEATH_R Zscore: Deth rte per 000 peop Az F-teszt tábláztából leolvshtó, hogy kluszterlízs eredéyekét ge ól tpusokr bukktuk, szgfkcsztek ge lcsoyk, tábláztb csk t olvshtuk, de duplát ktttv tábláztr és egfelelő rekeszekre es gyságredű értékek válk olvshtóvá: ZBABYMOR Zscore: Ift ortlty (deths per 0 ZBIRTH_R Zscore: Brth rte per 000 people ZDEATH_R Zscore: Deth rte per 000 people AOVA Cluster Me Squre Error Me Squre df The F tests should be used oly for descrptve purposes becuse the clusters hve bee chose to ze the dffereces og cses dfferet clusters. The observed sgfcce levels re ot corrected for ths d thus cot be terpreted s tests of the hypothess tht the cluster es re equ F Sg. 76

175 Végül rról forálódhtuk, hogy klszterekét ey z eleszá: uber of Cses ech Cluster Cluster Vld Mssg Csoportosítás sűrűség-ódszerével Eek ódszerek z z előye, hogy legobb sokelees populácókr lklzhtó, e kell előre rögzíte klszterek száát, lklzás sorá szbályozhtuk csoport hoogetását és eleszáát. Egy-egy lépésbe egy csoportot teles egészébe kválsztuk, következő lépésbe k e válsztott eleek kerülek elezésre. Tovább előy ég z s, hogy klsztercetru (csoportközéppot) e egy fktív pot, he egy eset csoportból, éspedg z, elyk legközelebb v z elélet középpothoz. A ódszer tehát léyegese eltér z eddg sertetett klszter csoportosítás ódszerektől, és külöbözőségek d-d előyösek felhszáló szepotából: cs szükség klszterek között távolság foglár (egyetle távolság-tábláztr v szükség, z egyedek között eltérések tábláztár); egy lépésbe egy egész klszter kválsztásr kerül (sőt legsűrűbb csoport), következő lépésbe ár csk egrdt eleeket kell vzsgáltb ve, így ge gyors csoportosítás űvelet végére ut felhszáló; köye kezelhető, lklzás sorá ód v préterek optáls egválsztásár (vel de lépésbe léyegese ás képet yút csoportosítdó eleek hlz, távolságok eloszlás szepotából, ódosított préterekkel lehet folytt z elárást); utá kválsztottuk legtpkusbb egyedeket, eggyőződhetük rról, hogy egrdt esetek közt cs ár hoogéebb csoport, ezeket eglévő csoportokb sorolhtuk vgy külö típuskét kezelhetük (tpkus, krívó esetek csoport). A cluster-ódszerek de lépésbe két legközelebb álló klsztert egyesíteek, lletve egy eleről döteek hovtrtozás szepotából, íg z lább ódszer egy lépésbe z egész sokságból krgd legdoásbb csoportot, ezért globáls csoportosítás ódszerek s evezhető (ekkor cluster-ódszerek típus: lokáls csoportosítás) Az lgortus részletesebb leírás Kduluk egy do >0 vlós szából (lpsugár) és egy k terészetes szából (sztszá, áltláb k3..0). Mde egyes (,,...,) elehez ég e csoportosított egyedek hlzából (A) eghtározzuk p (,,...,k) száokt, elyekek eletése: p zo eleek szá z A-{} hlzból, elyek távolság z -től ksebb t do. ylvávló, hogy p p... pk. Eze száok áltl eghtározuk egy úgyevezett körül sűrűséguttót: k s p. 77

176 Egyszerű kvoássl ég száolhtó de sztre eleszá (két változó eseté ezek sztek körgyűrűk), ezek elezése válszt d rr, hogy ekkor egy klszter átérőe. Megfelelő lpsugár és sztszá eseté zokról z eleekről, elyekek z s sűrűséguttó leggyobb, állíthtó, hogy hozzáuk hsolít legtöbb egyed ég e csoportosítottk közül. Ezek közül kválsztuk egyket csoportrközéppotk, csoport több tgát zo A-{}-bel eleek fogák lkot, elyekek eltérése z -től e gyobb t k do. A középpot kválsztásár fgyelebe vehetük külöböző szteke tlálhtó eleszáokt. A csoport átérőe (és egybe hoogetás uttó s) k do eység, h do z egész sokság átérőéek százd-ezrede, kkor gyors becslést dhtuk leedő csoport hoogetásár Az lgortus prétere Áltláb csoportok eleszá csökke, sőt gyors csökke. Az első 3-4 csoport trtlzht -t s z lpsokságk, tlá ez egy optáls ráy. Fgyelüket tehát ezekre z első 3 csoportokr kell összpotosít. Egy lye csoport éretét (z eleek száát) do és k következőképpe befolyásol: rögzített k -r gyobb do épesebb csoportot eredéyez; rögzített do-r gyobb k épesebb csoportot eredéyez; rögzítve egy do-t, z oly k és do, elyre k do dc, körülbelül zoos éretű csoportokt eredéyez A ódszer lklzás A ódszer prétereek optáls értéket következőképpe htározhtuk eg (eprkus): csoportosíttl esetek sokságár eghtározzuk d és d áls, lletve áls eltérésértéket; egy elég kcs do értéket válsztv (áltláb ksebbet t d) elkészítük p értékeket és sűrűséguttót trtlzó tábláztot, d gy sűrűséguttóú egyedek sorát obb szeűgyre vesszük. Ezek esetébe p értékek elég gyors övekedek, d övekedés ütee csökke. H szükséges, kkor változttuk do értéké. Kválsztuk k-k zt z értékét, elyk pk utá ezek övekedése lssúbb ( következő sztek e hozk úbb egyedeket, vgy csk keveset); csoportközépek kválsztuk z llető esetet, klszterbe pedg besoroluk dzokt z eseteket, elyek eltérése középpottól kevesebb t k do; csoport eleeek kválsztás utá egrdt egyedek hlzá egsételük fet űveletet; h z első 3-4 csoport trtlzz z eredet lpsokság egyedeek 80-90%-át, kkor problé terészetétől függőe egrdt egyedeket tekthetük ecsoportosíthtó eleek csoportkét, vgy egyekét elhelyezzük eglévő csoportokb például bb, elykek csoportközéppotától legközelebb v. Az eddgekből s ktűhet, hogy ódszer kkor lklzhtó gzá ól, h csoportosítdó egyedek szá gy több t száz, és ekkor ár gy segítséget elet egy progrozhtó száítógép. H z egyedek szá kcs, kkor sűrűség szó s értelét veszt, tehát e vsolt ódszer lklzás lyekor. 78

177 A ódszer beuttás kokrét péld segítségével Az összehsolíthtóság végett vegyük z L-közép ódszer sertetéséél hszált esetet, vszot z SPSS tt ost e lklzhtó, ódszer cs progrb leírv. Az dtálloáyt ketük egy Fed ASCII (*.dt) típusú fálb (w95.dt), és leegyezzük változók típusát és krkterhosszát, dezt z forácót w95.vr evű tetfálb bevezetük, elyek trtl következő (vgyáz kell szóközökkel vló tgolásr): A VILAG DEMOGRAFIAI ADATAI, 995 Sorsz. Rovd ev Lers Fortu ORSZAG Az orszg eve C6. MI Csecseôhldosg, ezrelekbe AT tlts, ezrelekbe MOR Mortlts, ezrelekbe 6.0 E két szöveges álloáyt hszál fel w95.ps (és koplált forá, w95.ee) DOSprogr, ely futtthtó Wdows ltt s. A forrásprogr (e sorok író szerző) közel 00 soros, ezért e tesszük közzé tt, de futttás sorá képeryőre kerülő forácót részletese beuttuk. A progr felhszálóbrát és bolodbztos s, ezt elsősorb eükkel ér el, dg z áltokból kell válszt. Előbb változókt válsszuk k ( progr elég sok változó hszáltát egeged, et s): Jellezôk Adttpus Távolság Csoportosít Metés Vége Pg. / Rövd év Leírás [X] MI Csecseôhldosg, ezrelekbe [X] AT tlts, ezrelekbe [X] MOR Mortlts, ezrelekbe Blletyûk: Fel,Le,<-,->,PgUp,PgD, IsVálsztás, Eter,Esc,F0 A következő két részlet változók típusák és távolságtípusk kválsztását szeléltet: Jellezôk Adttpus Távolság Csoportosít Metés Vége Pg. / [ ] Adtok eredet foráb [ ] [0,]-b reltvzált dtok [X] ZSCORE-változób reltvzálv Jellezôk Adttpus Távolság Csoportosít Metés Vége Pg. / [X] Eukldesz táv [ ] Eltérés-összeg [ ] Máls eltérés Következhet ost ár csoportosítás. Előbb z lpsugrt kell kválszt, erre yút segítséget progr kírv csoportosíttl (tehát teles sokság) egyedek közt legksebb és leggyobb távolságértékeket. A álott lpsugár-értékek dszkrétek, eüből kell kválszt lehet próbálgtássl s legegfelelőbbet ( d o /0 z egész sokság befedését s lehetővé tesz, legoptálsbb áltláb d o /50, d o /80 vgy d o /0 ált). 79

178 Jellezôk Adttpus Távolság Csoportosít Metés Vége A eghtározdó csoport sorszá: Csoportosíttl összese: Alpsugár r d d d /0 /0 /30 /50 /80 /0 /00 /300 /500 /000 /000 / A kválsztás utá rövdese egelek képeryő z országok rgsor k4-es sztek egfelelőe Ország S.ut Austr UK Belgu orwy Portugl Fld Czech Rep Gery Crot Frce etherlds Itly Ireld MI AT MOR Összes Atlg: Szórás: Csop.. Atl.: Szórás: Blletyûk: F,F3, Fel,Le,<-,->..9, Eter,Esc, F0 A képeryő forácó szert Ausztr középpottól kevesebb t do távolságr 3 ország v, do távolságr ár 6, és így tovább, 4 do 0.39-é s ksebb távolságr 3 ás ország v. Így h eél z lpsugárál rdák és 4-es sztszáál, kkor Ausztr csoportközéppel együtt ezt csoportot 4 ország lkotá, és ebbe z potétkus csoportb átlgos 7.6 lee csecseőhldóság,. tltás és ortltás, vlt eze változók szórás csoporto belül.70,.06 lletve 0.7 leéek, teles sokság szórásához képest gyo lcsoy értékek ezek ( szórásokt és z átlgokt dg z eredet változókr látuk kírv, függetleül ttól, hogy lye típusú dtokt hszáluk száításokb). Döteük kell és ez z egyk legfotosbb előye eek ódszerek, hogy felhszáló hoz eg de dötést, progr csk végreht ezt rról, hogy elfogduk-e ezt csoportot, vgy tovább ksérletezük. Vzsgálhtuk ás csoportközéppotokt s, például orvég körül 4-es sztg tovább 9 ország v, ellebe ásodk sztg csupá, íg Ausztr esetébe ugyeze ásodk szte belül 6 ország s v, ezért gyobb sűrűséguttó Ausztr esetébe. Jó szolgáltot tesz z előbb táblázt kssé átlkított trtlol, éspedg h külöböző sztekre zt írtuk k, hogy z llető szt eyvel övel eg vrtuáls csoport eleszáát, tudllk h ez övekedés látváyos lecsökke, kkor zt s bztosbb egodhtuk, hogy z llető típus háy esetet elet és hogy ekkor sztszáot kell ve típus de egyes egyedéek bevoás érdekébe. A következő tábláztb tehát zt sztuácót tláluk, hogy degyk szt háy úbb esettel gzdgít képzeletbel csoportot: 80

179 Ország S.ut Austr UK Belgu orwy Portugl Fld Czech Rep Gery Crot Frce etherlds Itly Ireld Mvel gzából e rzolódk k egy típus se, próbálkozzuk kssé gyobb lpsugárrl és sztszál (túl vékoyk gz gyo hoogéok z így krzolódó csoportok): A eghtározdó csoport sorszá: Csoportosíttl összese: Alpsugár r d d d /0 /0 /30 /50 /80 /0 /00 /300 /500 /000 /000 / Ország S.ut Portugl orwy Pold Fld Czech Rep UK Austr Belgu Frce etherlds Itly Lthu Crot MI AT MOR Összes Atlg: Szórás: Csop.. Atl.: Szórás: Az ú sztuácób ár gyobb leedő csoport eleszá (33), gyobbk szórások (de ég dg lcsoyk z egész soksághoz képest) és telesül z s, hogy z 5-k szt utá ár kevesebb esetszá övelé csk csoportot, tehát ez csoport eléggé elszgetelt több esettől. Dötésük legye z elfogdás eek helyzetek, tehát Portugál cetrul tovább 3 ország egy csoportot fog lkot, kár le s egyezhetük ár csoport ellezőt: lcsoy csecseőhldóság, lcsoy tltás és átlgos ortltás. 8

180 A tovább lépéseket telese hsoló htuk végre, dg csoportosíttl esetek hlzá dolgozv (ez egyre ksebb lesz, íg végül z egyástól gy eltéréseket uttó országok rdk) Ország S.ut Ecudor Lebo Turkey Colob Kore Veezuel Phlppes MI AT MOR Összes Atlg: Szórás: Csop.. Atl.: Szórás: A egyedk csoport kválsztásáál érdekes helyzet rzolódk k: Ország S.ut Seegl Ceroo crgu ger Key South Afrc Hodurs O Jord Egypt Ir Lby MI AT MOR Összes Atlg: Szórás: Csop. 4. Atl.: Szórás: Ezt helyzetet feltétleül gyrázuk kell: Szeegál közelébe, ásodk szttel bezárólg tlálhtó 3 ország, ztá következő 4 szt egy esettel se gzdgít ezt ks csoportot, vgys lehető legobb elszgetelődk e égyes több 4 országtól, de persze előfordulht z s, hogy z előző csoportról szkdt le e 4 ország és ezért oly elszgetelt ost, ezt később potosbb egtudhtuk, kor csoportok elezésébe foguk. Egyelőre úgy tűk, hogy z előbb csoporthoz Ecudor középpel elég közel esk, félre s tehetük és közpot utá ézve, de ebbe szeléltető példáb fogduk el csoportk és folytssuk z elezést. yolc csoport kelölése utá tíz ország rd csoportosíttl, ezek ár gyo sokb eltérek egyástól, erre utl szórássttsztkáuk s: MI AT MOR Összes Atlg: Szórás:

181 Ekkor lpsugárk és sztszák válsszuk leggyobbt, egy utolsó (klecedk) csoportb sorolv be őket: Ország S.ut Arget Cost Rc U.Arb E Hugry Ukre Gbo Lby Kuwt Ugd Afghst A csoportosítás végeztével progrb ód v rr, hogy csoportkódok z álloáyb íródk (h e vgyuk egelégedve csoportosítássl, úr próbálkozhtuk és csk ók tlálttott csoportosításokt etük k 0 lye csoportosítás eredéyét s elethetük). A etésél válsszuk zt változtot, kor z utolsó csoport ( klecedk) egyedet több yolc csoportb soroluk, középpotoktól ért legksebb távolság szert: Jellezôk Adttpus Távolság Csoportosít Metés Vége Metés külö csoportb z utolsot Metes z utolsó csoport szetosztás utá Mégse etés (vssz) Ezutá következhet progrból vló klépés. Az eredéyeket egy w95.rez evű szövegfál trtlzz, eek trtlát köye átvhetük z SPSS progrb (tegyük fel, hogy ez szöveg erevleez gyökérköyvtáráb tlálhtó): dt lst fles'c:\w95.rez' /orsz -6() 7-() t 3-7() or 8-33 cs A következő lépés h z dtátvtel skerese lezlott csoportosítás dt ktegórák eltérőségéek vzsgált F-teszttel (AOVA), elyet z lább egyszerű utsítássl érhetük el: e MI AT MOR by cs /st ov. AOVA Tble MI * CS AT * CS MOR * CS Betwee GWth Groups Totl Betwee GWth Groups Totl Betwee GWth Groups Totl (Cobed) (Cobed) (Cobed) Su of Me Squres df Squre F Sg Láthtó, hogy z F-értékek ge gyok, tehát ó típusokr tláltuk ( szgfkcsztek gyságredűek). Még egvzsgálhtuk z átlgértékek és szórások tábláztát 83

182 csoportokét, erre szükség v dg, kor csoportok értelezését (ellezését) s eg kruk d. CS Totl Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Me Std. Devto Report MI AT MOR H zt kruk egvzsgál, hogy egyes csoportok e egyszerű leszkdás tt külöültek-e el (például 4. csoport, szeegál cetrul), kább segít ebbe egy oly táblázt, ely csk z átlgértékeket trtlzz: e MI AT MOR by cs /cel e. Report Me CS Totl MI AT MOR

183 Úgy tűk, hogy ásodk csoport összevohtó z ötödkkel, egyedk hetedkkel, htodk yolcdkkl. Az összevoásokt úrkódolássl htuk végre d úr F-tesztet (vrcelezést) kérük: recode cs () (,5) (33) (4,74) (6,85). e MI AT MOR by cs /st ov. ylvávló, hogy csoportok összevoásávl lerolk z F-értékek, de h egyes csoportok eléggé hsolítk z összevoás előtt és ezeket egyesítük, kkor ég dg szgfkás rd ktegórák külöbözősége. AOVA Tble MI * CS AT * CS MOR * CS Betwee GWth Groups Totl Betwee GWth Groups Totl Betwee GWth Groups Totl (Cobed) (Cobed) (Cobed) Su of Me Squres df Squre F Sg Terészetese, sűrűség ódszeréek egfelelőbb lklzásávl s klkíthtók kevesebb száú típusok, ezt z utt csk zért válsztottuk, hogy többféle elárást szeléltethessük, vlt ezek összefoódását (együttes lklzását s) példázzuk. Beuttuk utolsó példkét, hogy sűrűség ódszerével kpott csoportközepekkel, t beeő dtokkl, z L-közép ódszer lye eredéyt kp (beeő klszterközéppotok élkül 3.8. potb, ugyezekkel z országdtokkl, végeztük ár egy klszterelezést). des MI AT MOR /sve. gg /out'c:\gg.sv' /brekcs /z e(zmi) /zt e(zat) /zor e(zmor). A következő lépés ukfál ketése, d z ggregálás áltl létreött gg.sv evű fál betöltése és ebbe CS evű változó evéek egváltozttás CLUSTER_-r, típusák pedg 3.0-r, d így k kell ete ugycsk z gg.sv év ltt. Ez fál következő lkú kell legye: cluster_ z zt zor vr Ez utá be kell tölte úr ukfált, d következő utsítást végrehtt: quck clu ZMI ZAT ZMOR /crclu(5) (00) /sve clu /prt ov /fle'c:\gg.sv'. 85

184 Az eredéytáblákból csk egyet uttuk be, z AOVA tábláztát: ZMI Zscore(MI) ZAT Zscore(AT) ZMOR Zscore(MOR) Cluster AOVA Error Me Squre df Me Squre df F Sg The F tests should be used oly for descrptve purposes becuse the clusters hve bee chose to ze the dffereces og cses dfferet clusters. The observed sgfcce levels re ot corrected for ths d thus cot be terpreted s tests of the hypothess tht the cluster es re equl. Az érdekesebb összevetést egy kereszttáblázt d eg: CS * QCL_ Cluster uber of Cse Crosstbulto Cout CS Totl QCL_ Cluster uber of Cse Totl A klszterek száosbbk leszek (3-3 országból állk), t csoportok (9-38), és száosbbk, t zok klszeterek, elyeket kkor kptuk, kor z dtokkl beeő cetruok élkül végeztük elezést (kkor 0-4 volt teredele). Ez obb reprezetálás ge hszos olykor, h z elezés cél ktegórák létrehozás véletleszerű rétegzett tvétel érdekébe. 86

185 III. rész MELLÉKLETEK 87

186 . Az F-eloszlás (F-prób) krtkus értéke p0.05-ös szgfkcszte A evező A s z á l á l ó s z b d s á g f o k szbdságfok

187 Az F-eloszlás (z F-prób) krtkus értéke p0.05-ös szgfkcszte) (folyttás z előző oldlról) A evező A s z á l á l ó s z b d s á g f o k szbdságfok

188 . A t-eloszlás (z t-prób) krtkus értéke p0.05, p0.0 és p0.00-es szgfkcszteke) Szbdságfok Szgfkcszt p0.05 p0.0 p

189 3. χ -eloszlás (z χ -prób) krtkus értéke p0.05, p0.0 és p0.00- es szgfkcszteke) Szbdságfok Szgfkcszt p0.05 p0.0 p

190 Irodlo Bbbe, E. (995). A társdlotudoáy kuttás gykorlt. Blss Kdó, Budpest. Bllock, H. M. (960). Socl Sttstcs. McGrw-Hll, ew York. Blu, P. M. Duc, O. D. (967). The Aerc Occuptol Structure. I (gyrul): Róbert P. (szerk, 998): A társdl obltás, Ú Mdátu, Budpest. Coobs, C. H. (954). Theory d Method of Socl Mesureet. I: Festger, L. Ktz, D.: Reserch Methods the Behvorl Sceces. Stples press, Lodo, 954. Huyd, L. Mudruczó, Gy. Vt, L. (996). Sttsztk képletgyűteéy és tábláztok. Aul Kdó, Budpest. Huyd, L. Mudruczó, Gy. Vt, L. (000). Sttsztk. Aul Kdó, Budpest. Lukács, O. (996). Mtetk sttsztk. Műszk Köyvkdó, Budpest. Mărgeu,. (938). Alz fctorlor pshc. Ed.Istt.de Pshologe l Uv. d Clu. Morgester, O. (989). Egzkt tudoáy-e közgzdságt? I: Cseh-Szobthy, L. Léderer, P. Az eprkus szocológ kuttás sttsztk lp. Tköyvkdó, Budpest. Mueller, J. H. Schuessler, K. F.(96). Sttstcl Resog Socology. Houghto-Muffl, Bosto, 96. owk, S. (98). A szocológ kuttás ódszert. Közgzdság és Jog Köyvkdó, Budpest. Rotru, T. (coord) Bădescu, G. Culc, I. Meze E. Mureş, C. (999). Metode sttstce plcte î ştţele socle. Ed. Polro, Iş. Wess, F. S. (968): Sttstcs Socl Reserch. Joh Wley, ew York. 9