Optika gyakorlat 9. Dirakció folytatás 1. példa: Dirakciós rés Egy rés transzmissziós függvényét adtuk meg. Számoljuk ki a távoltéri Fraunhofer-féle dirakciós intenzitás eloszlást, bejöv síkhullám E amplitúdó, λ hullámhossz és z erny távolság esetén! tri( x a x a ) = ha x < a a ha x > a 1. ábra. "Háztet " ablakfüggvény vs. négyszög ablakfüggvény Megoldás: Távoltéri Fraunhofer-féle dirakció esetén a kialakuló térer sség a következ Fourier-transzformációs integrál segítségével határozható meg: F = τ(x) e i 2π fxx dx Felhasználva, hogy jelen esetben a transzmissziós függvény τ(x) = tri(x/a): F = a F = a + x a a a a x a e i 2π fxx dx a e i 2π fxx a x dx + e i 2π fxx dx a A Fourier-transzformációs kifejezésben szerepl x e i 2π fxx dx típusú integrál eredménye parciális integrálás segítségével határozható meg: f(x) g (x)dx = [f(x) g(x)] f (x) g(x)dx x e i 2π fxx dx = [x e i 2π fxx i 2π f x x ] 1 e i 2π fxx i 2π f x x dx Elvégezve az integrálásokat, majd egyszer sítve a kifejezést a következ eredményre jutunk: a a x F = e i 2π fxx dx = a 2 sinc 2 (f x a) a a Másik megoldás: A háztet függvény el állítható, mint a négyszög függvény saját magával vett konvolúciója: tri( x a ) = rect(x a ) rect(x a ) 1
A Fourier-transzformáció tulajdonságának köszönhet en két függvény konvolúciójának Fouriertranszformáltja megegyezik a Fourier-transzformáltak szorzatával. Ezt felhasználva: F(tri( x a )) = F(rect(x a ) rect(x a )) = F(rect(x a )) F(rect(x a )) Korábban már láttuk, hogy a négyszög függvény Fourier-transzformáltja a sinc függvény: F(rect( x a )) = a sinc(f x a) Tehát a háztet függvény Fourier-transzformáltja: F = a 2 sinc 2 (f x a) A Fourier-transzformációs integrál ismeretében az intenzitás a következ képlet segítségével határozható meg: I = E2 λ 2 F(τ(x)) 2 z 2 I = E2 λ 2 z 2 a2 sinc 2 (f x a) 2 I = E2 λ 2 z 2 a4 sinc 4 (f x a) 2. példa: Optikai rács felbontóképessége Spektroszkópiában a prizmák helyett gyakran dirakciós rácsokat alkalmaznak, mert a rács a spektrumot szélesebb szögtartományra szórja szét, így ez a hullámhossznak pontosabb meghatározását teszi lehet vé. Határozzuk meg a dirakciós rács felbontóképességét! Megoldás: A diszperzió a rácsnak (vagy a prizmának) azt a tulajdonságát méri, hogy dλ hullámhossztartományt milyen dθ szögtartományra szórja szét: D = dθ dλ Minél nagyobb a diszperzió értéke annál nagyobb az egymástól adott távolságra lev színképvonalak szögkülönbsége. Dirakciós rács esetén a hullámhossz és az eltérülési szög közötti összefüggés: d sinθ = m λ ahol m a dirakciós rendet jelöli. Tehát minél magasabb rend a dirakció, annál nagyobb a diszperzió. Átrendezve az egyenletet: sinθ = m d λ λ szerint deriválva az összefüggést: Ebb l a dirakciós rács diszperziója: cosθ dθ dλ = m d dθ dλ = m dcosθ D = dθ dλ = m dcosθ Dirakciós rácsok esetén a diszperzió mellett a rácsok fontos tulajdonsága a felbontóképesség 2
is, mely azt határozza meg, hogy a rács egymáshoz mennyire közeli hullámhosszakat tud még megkülönböztetni egymástól: R = λ λ ahol λ a két színképvonal átlagos hullámhossza, λ pedig a hullámhosszkülönbség. A felbontóképesség Rayleigh-kritériuma szerint két egymáshoz közel es azonos intenzitású elhajlási képet akkor lehet felbontani (egymástól megkülönböztetni), ha az egyik dirakciós kép középs maximuma a másik els minimumával esik egybe. Az ilyen elrendezéshez tartozó szögtávolság a legkisebb felbontható szögtávolság: Θ R. 2. ábra. Felbontóképesség Rayleigh-kritériuma Megmutatható, hogy dirakciós rácsok esetén a f maximum élessége, azaz a maximumnak az els minimumtól mért szögtávolsága annál nagyobb, minél nagyobb a rések száma: Θ R = λ NdcosΘ Ugyanakkor dirakciós rács esetén a Θ R szög kicsi, ezért a diszperziós összefüggés segítségével közelíthet, miszerint: Θ R = Θ = D λ Θ R = m dcosθ λ Egyenl vé téve Θ R két kifejezését kapjuk: Ebb l kifejezvea felbontóképességet: m dcosθ λ = R = λ NdcosΘ λ λ = m N Tehát a dirakciós rács felbontóképessége annál nagyobb minél nagyobb a rések száma, illetve minél magasabb rend dirakciót vizsgálunk. 3. példa: Kör apertúra Határozzuk meg egy origó középpontú, R sugarú homogén módon megvilágított kör apertúra távoltéri dirakciós képét! Megoldás: A kör apertúra transzmissziójának leírására használjuk a polárkoordinátás alakban deniált circ(r) függvényt, melyre: { 1 ha r 1 circ(r) = ha r > 1 3
Jelen esetben tehát az R sugarú, origó középpontú kör apertúra transzmissziója τ(r, φ) = circ( r R ). Távoltéri dirakció esetén 2 dimenzióban a kialakuló térer sség a következ Fouriertranszformációs integrál segítségével határozható meg: F(f x, f y ) = τ(x, y) E e i 2π (fxx+fyy) dxdy Jelen esetben a τ(r, φ) = circ( r ) transzmissziós függvény következtében praktikus a Descatreskoordinátás alakról polárkoordinátás alakra áttérni a kett sintegrál elvégzéséhez. Ekkor a kö- R vetkez helyettesítéseket alkalmazhatjuk a résen: Az erny n pedig: x = r cosφ y = r sinφ x = r cosφ y = r sinφ Ezeket felhasználva a f x, f y térfrekvenciákra kapjuk: f x = x λ z = r cosφ λ z f y = y λ z = r sinφ λ z Visszahelyettesítve a 2 dimenziós polárkoordinátás alakban felírt Fourier-transzformációs integrál a következ képpen alakul: F(r, φ ) = 2π circ( r R ) E e i 2π r r λz (cosφcosφ +sinφsinφ ) rdrdφ ahol az r szorzó a koordináta-transzformációhoz tartozó Jacobi-determináns. Az addíciós tétel felhasználásával: F(r, φ ) = 2π F(r, φ ) = E circ( r R ) E e i 2π r r λz cos(φ φ ) rdφdr circ( r R ) r 2π e i 2π r r λz cos(φ φ ) dφdr A szög szerinti integrálás elvégzéséhez vezessünk be egy új változót: w = 2π r r λz Ezzel a szög szerinti integrál a következ alakba írható: 2π e i w cos(φ φ ) dφ Az ilyen típusú integrálok I. fajú Bessel függvényeket eredményeznek. Az I.fajú.rend Besselfüggvény integrális formában felírt deníciója: J (w) = 1 2π e i w cos(φ φ ) dφ 2π 4
Ezeket felhasználva a 2 dimenziós polárkoordinátás Fourier-transzformációs integrál szög szerinti integrálja elvégezhet : F(r, φ ) = E F(r, φ ) = E circ( r R ) r 2π e i 2π r r λz cos(φ φ ) dφdr circ( r R ) r 2π J (2π r r λz )dr Kihasználva a circ( r ) transzmissziós függvény tulajdonságait az integrál tovább egyszer síthe- R t : F(r, φ ) = E R 2π r J (2π r r λz )dr A sugár szerinti integrálás elvégzéséhez használjuk fel, hogy az I. fajú Bessel-függvények szomszédos rendjei a következ formula segítségével származtathatók egymásból: Ezt a.rend és 1.rend között felírva: Integrálva a kifejezést kapjuk: w dj n dw + n J n = w J n 1 w dj 1 dw + J 1 = w J d(w J 1 ) dw w J 1 (w) = w = w J w J (w )dw Ilyen alakra hozva a Fourier-transzformációs egyenelet sugár szerinti integrálását: F(r, φ ) = E ( λz r ) 2 1 2π r R 2π λz 2π r r λz J (2π r r λz )d(2π r r λz ) Elvégezve az integrálást kapjuk: Egyszer sítve a kifejezést: F(r, φ ) = E ( λz r ) 2 1 2π 2π r R λz J 1 (2π r R λz ) F(r, φ ) = E λz r R J 1 (2π r R λz ) Átrendezve az egyenletet: F(r, φ ) = E 2π R 2 J 1 (2π r R λz ) 2π r R λz Tehát az R sugarú kör apertúra távoltéri dirakciós képe a fenti kifejezéssel írható le polárkoordinátás alakban. A dirakciós folt középpontjában a kifejezés értéke a Bessel-függvény tulajdonságainak következtében: J 1 (w) lim w w = 1 2 5
Ezt felhasználva: lim r F(r, φ ) = E π R 2 2J 1 (2π r R F(r, φ ) = F() λz ) 2π r R λz 3. ábra. I.fajú 1.rend Bessel-függvény A Fourier transzformációs integrál segítségével kifejezve az intenzitást: 2J 1 (2π r R I(r, φ ) = I ( λz ) 2π r R λz A Bessel-függvény els zérushelyének kitüntetett szerepe van. A teljes intenzitás több, mint 8%- a az els zérushely által bezárt területre esik, melyet Airy-foltnak nevezünk. Az Airy-radiust a Bessel-függvény els zérushelye deniálja: J 1 (w ) = w = 3, 83171 = 2π rairyr λz A körapertúrára kapott J 1 Bessel-függvény viselkedése hasonló a téglalapapertúrára érvényes sinc(x) függvény menetéhez, de lecsengése és zérushelyei eltérnek eymástól. A két apertúra dirakciós képeit összevetve megállapíthatjuk, hogy a mellékmaximumok körapertúra esetén sokkal kisebbek, mint téglalapapertúra esetén. ) 2 4. ábra. I.fajú 1.rend Bessel-függvény és sinc függvény els zérushelyei 6
Ebb l az Airy-radius az apertúra sugarával kifejezve: r Airy =, 61λz R Gyakorlati szempontból praktikusabb az Airy-radius-t az apertúra sugara helyett a közvetlenül mérhet apertúra átmér segítségével kifejezni. Ez a következ összefüggést eredményezi: r Airy = 1, 22λz D 5. ábra. Airy-folt 4. példa: Dirakciós kép lencsével Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alkalmazható a dirakciós integrál a téreloszlás meghatározására abban az esetben ha a vizsgált P (x, y, ρ) pont egy ideális gömbhullám fókuszsíkjában helyezkedik el, ahol a hullám görbületi sugara ρ. Ahhoz, hogy a közeltéri Fresnelközelítés érvényes legyen teljesülnie kell a ρ > d paraxiális közelítésnek, ahol d az apertúra jellemz mérete. Ekkor a megvilágítás az apertúrán egy P felé tartó pontforrás: - +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ E(P ) = E e ik ρ 2 +x 2 +y 2 7
ahol E konstans téres sségamplitúdó az apertúrán. Az exponensben a közeltéri dirakciós közelítésnek megfelel en másodrend Taylor-sorfejtést alkalmazva kapjuk: E(P ) = E e ik(ρ+x2 2ρ + y2 2ρ ) Ezt a térer sséget behelyettesítve az általános Huygens-Fresnel deirakciós integrálba E(P ) = i E(P ) eikr λ R dxdy R = ρ helyettesítéssel kapjuk, hogy: k E(x, y, ρ) = i λ E ei 2ρ (x 2 +y 2 ) ρ e ik ρ (xx +yy ) dxdy Mivel a diraktáló nyaláb fázisát a P középpontú gömbhullám fázisához viszonyítottuk, ezért a geometriai optikailag meghatározható k z fázistolás kiesik a képletb l. Továbbá, annak ellenére, hogy a közeltéri Fresnel-közelítésb l indultunk ki a gömbhullám speciális téreloszlásának köszönhet en formailag egy olyan kifejezést kaptunk, amely megegyezik a távoltéri Fraunhofer-dirakció képletével. Ebben a speciális esetben viszont a tengelyirányú távolságot megadó z helyett a gömbhullám ρ sugara szerepel a képletben. Abban az esetben ha egy vékonylencsét helyezünk az apertúra mögé, akkor ρ = f eff távolságra, a lencse fókuszsíkjában jelenik meg a Fourier-transzformálttal leírható dirakciós kép. A Fraunhofer-dirakció elméletének megfelel en a fókuszsík pontjainak a következ térfrekvenciák feleltethet k meg: f x = x λ ρ f y = y λ ρ A Fourier-transzformáció eltolási tulajdonságának megfelel en ha a lencse apertúrájának síkjában a belép tér egy olyan síkhullám, amely Θ x és Θ y szöget zár be az optikai tengellyel, akkor a fókuszsíkban kapott téreloszlás egy olyan fókuszfolt lesz, melynek a középpontja x valamint y távolságra eltolódik a tengelyt l. Tehát a 2D Fourier-transzformált egy adott térfrekvenciájú komponensének zikailag egy meghatározott szög síkhullám felel meg. A belép síkhullám x, y-irányú hullámhosszaiból: Θ x x ρ = λ f x Θ y y ρ = λ f y 8
Általános esetben a hullámfront nem ideális, hanem aberrációkkal terhelt, ekkor a térer sség az apertúra síkjában továbbra is másodrend sorfejtéssel közelítve: E(P ) = E e ikop D(x,y) e ik(ρ+x2 2ρ + y2 2ρ ) ahol OP D(x, y) optikai úthossz különbség írja le a hullámfront ideális gömbt l való eltérését. A komplex téreloszlásból az intenzitáseloszlás abszolútérték négyzet segítségével fejezhet ki: I = E2 F(τ(x, y)) 2 (λρ) 2 6. ábra. A lencse a dirakciós képet el rehozza a fókuszsíkba, miközben le is kicsinyíti arányosan, így a dirakciós kép alakja nem torzul. Kör alakú apertúra (R rádiusszal) esetén a lencse Airy-radiuszát úgy kapjuk, hogy a z -t f eff -vel helyettesítjük:, 61λρ r Airy = R 5. példa: Kett s csillag képe Egy kett s csillag L=1 fényév távolságra helyezkedik el a Földt l. A csillagok egymástól való távolsága 1 8 km. Mekkora átmér j távcs re van szükség a kett s csillag képének felbontásához, abban az esetben, ha λ = 5 nm-es hullámhosszat tételezünk fel? A lencse fókusztávolsága f. Megoldás: Az egyszer ség kedvéért feltételezzük, hogy a távcs egy optikai leképezési hibáktól mente, f fókuszú vékonylencse, amelynek felbontóképességét egyedül a dirakció korlátozza. A távoli L távolságra lév csillagok laterális pozíciója az optikai tengely l mérve legyen x és x. Mivel L nagyon nagy, a pontszer csillagokból kiindulú gömbhullámfrontok a lencséhez érve már síkhullámnak tekinthet k, mivel csak egy nagyon kis térszögben veszünk mintát a hullámfrontokból. A síkhullámfrontra mer leges hullámszámvektor irányát felhasználva fénysugár utakat is felrajzolhatunk. A lencsét egymással párhuzamos fénysugarak érik el, amelyek az optikai tengellyel α szöget zárnak be. Geometriai optikából tudjuk, hogy a végtelenb l jöv párhuzamos fénysugarak a fókuszsíkba képz dnek le, azonban ez esetben nem az optikai tengelyena a fókuszpontba, hanem az arra mer leges laterális irányban, a tengelyt l mérve x távolságra fókuszálódnak a sugarak. Feladatunk, hogy meghatározzuk az x távolságot. Erre két megoldást is megmutatunk: 1 - Mátrix optika megközelítés Készítsük el a tárgysík - képsík leképezés transzformációs mátrixát: M = T R T 9
7. ábra. Kett s csillag képének leképezése egy erny re M = [ ] 1 f 1 1 1 1 f [ ] 1 L 1 Elvégezve a mátrixszorzást kapjuk a leképezés mátrixát, amely a fénysugér bemeneti pozíciójából és szögéb l maghatározza a kimeneti pozíciót és szöget: [ ] x α = f [ ] 1 1 L x α f f Ebb l kiolvasa az els sort kapjuk: Az α -t paraxiális közelítésben számolva: α = arctan Tehát a képsíkon a két fényfolt távolsága: x = f α ( x ) x L L 2x = 2f α = 2f x L 2 - Nevezetes fényutak megközelítés: A lencse közepén áthaladó fénysugarat vizsgálva megállapítjuk, hogy ez egy ún. nodális pontba mutató sugár, ami fénytörés nélkül halad át a rendszeren, tehát a leképezés el tti és utáni optikai tengellyel bezárt α szög nem változik: ( x ) ( ) x α = arctan = arctan L f x L = x f x = f α = f x L Miután megkaptuk az fényfoltok helyét az erny n, meg kell vizsgálnunk a felbonthatóság feltételét. Dirkació korlátolt leképezésben, kör alakú lencse dirakciós foltja az Airy-folt, amelynek sugara: ρ = 1.22λf, ahol D a lencse átmér je D Két Airy-foltot akkor tudunk megkülönböztetni, ha a középpontjaik távolsága megegyezik az Airy-folt sugarával, vagy annál nagyobb. Felhasználva a fényfoltok távolságára (= 2x ) korábban kapott összefüggést: 2x = ρ 1
8. ábra. Két Airy-folt felbonthatósága a távolság függvényében 2 f x L = 1.22λf D D =.61 λ L x =.61 5 9 1 3 1 8 36 24 365.5 1 8 = 577m 11