Páczelt István Szabó Tamás Baksa Attila. A végeselem-módszer alapjai

Átírás

1 Páczelt István Szabó Tamás Baksa Attila A végeselem-módszer alapjai

2 Készült a HEFOP P /1.0 pályázat támogatásával Szerzők: Lektor: Dr. Páczelt István Dr. Szabó Tamás Dr. Baksa Attila Dr. Nándori Frigyes c Prof. Dr. Páczelt István, 007

3 TARTALOMJEGYZÉK 3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A végeselem-módszer kialakulása A tantárgy célja Hivatkozások az 1. fejezethez Alapvető fogalmak Néhány alapvető matematikai fogalom Vektor-, tenzorszámítás alapjai Mátrixalgebra alapjai Kezdeti peremérték feladat Integrálátalakítási összefüggések Funkcionál Variálás Peremértékfeladat gyenge megoldásának felépítése. 9.. Rugalmasságtani összefoglaló Alapvető fogalmak [1,4,6,7] Variációs elvek Potenciális energia minimum elv Hivatkozások a. fejezethez A végeselem-módszer elemmodelljének felépítése Alapfogalmak Egyváltozós feladatok Síkbeli rúdszerkezetek Kompatibilis elmozdulási elemmodell Az elmozdulásmező közelítésének felépítése, csomóponti elmozdulás vektor Alakváltozás-, feszültségi vektor, terhelési vektorok Az elem potenciális energiája Elemek illesztése Kétváltozós feladatok Feladattípusok Síkbeli elemek Az elem mechanikai jellemzői Lemezelemek felépítése

4 TARTALOMJEGYZÉK Geometriai és feszültségi hipotézis Reissner-Mindlin féle lemezmodellnél Felületi feszültségek és feszültségpárok (élerők és élnyomatékok) Reissner-Mindlin-féle lemez teljes potenciális energiája Kirchhoff-féle hipotézis, technikai lemezelmélet Izoparametrikus elem Térbeli elemek Átmeneti elemek Hivatkozások a 3. fejezethez Hibaanalízis Hivatkozások az 4. fejezethez Modellezési kérdések Alszerkezettechnika Adott elmozdulások figyelembevétele Szakadás figyelembevétele Ferdehatásvonalú támasz figyelembevétele Periódikus szerkezet Hivatkozások az 5. fejezethez Rezgéstani feladatok vizsgálata Alapfogalmak Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása Végeselemes modellezés Kinematikai peremfeltétel figyelembevétele Rezgések osztályozása Csillapítások Csillapítóerők Hiszterézis Az anyag belső csillapításának figyelembevétele Csillapítás nélküli rezgések Sajátrezgések, rezgésképek Fő koordináták Sajátrezgések meghatározása Rayleigh- féle hányadosra alapozott iteráció Vektoriteráció Alsó (inverz) iteráció

5 TARTALOMJEGYZÉK Felső iteráció Alsó (inverz) iteráció eltolással Sajátérték probléma megoldása Jacobi-féle módszerrel Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek Harmonikusan gerjesztett rendszerek Nem harmonikusan gerjesztett rendszerek vizsgálata a sajátvektorok ismeretében Csillapított gerjesztett rendszerek vizsgálata Arányos csillapítás A mozgásegyenlet közvetlen integrálása Differencia módszer Newmark-féle módszer Az eljárások stabilitása Tömegmátrixok előállítása Síkbeli tartó esete Néhány síkbeli elem tömegmátrixa Intelligens szerkezetek Rezgőrendszer vezérlése visszacsatolással Modálanalízis felhasználása Piezoelektromos hatások figyelembevétele, az állapotegyenlet származtatása végeselem-módszer esetén Piezoelektromos hatások egyszerű esetekben Hivatkozások az 6. fejezethez I-DEAS program használata A szoftver elindítása Kapcsolattartás a szoftverrel Ablakok Egér gombok Ikon panel használata Új rajz készítése Rajzolás Rajzolást könnyítő funkciók Az ikongyűjtőkről Végeselemes analízis Peremértékfeladat megadása Végeselemes háló definiálása Feladat megoldása

6 TARTALOMJEGYZÉK Eredmények megjelenítése Egy egyszerű példa Modell előkészítése, a pre-processing fázis A végeselemes modell megoldása A számítási eredmények megtekintése Simulation alkalmazás A Simulation alkalmazáshoz tartozó programrészek VEM egyedi alkalmazásokban A modell megoldása Az eredmények értelmezése A súgó rendszerről

7 Bevezetés 7 1. Bevezetés A jegyzet a műszaki alapképzés keretén belül a műszaki mechanika szilárdságtani és dinamikai (rezgéstani) problémáinak közelítő megoldásával, annak számítógépes megvalósításával kíván foglakozni, építve a Statika, Szilárdságtan és Dinamika című tantárgyakban tanult ismeretekre. A megoldás az ún. végeselem-módszer alkalmazásával történik. A tananyag elsajátítása megköveteli a vektor és tenzorszámítás alapismereteit és a mátrix algebra biztos ismeretét. Ennek megfelelően a jegyzet rövid összefoglalóra építve áttekintést ad a módszer általános kérdéseiről, majd sorra veszi a mérnöki gyakorlatban leginkább elterjedt végeselemes eljárásokat, egyváltozós (rúd) feladatokat, kétváltozós (síkbeli, forgásszimmetrikus, illetve hajlított lemez) feladatokat és térbeli feladatokat. A módszer tárgyalása során külön hangsúlyt kapnak az izoparametrikus elemcsalád alkalmazása, illetve a modellezés speciális problémái (alszerkezettechnika, ferde görgő, elmozdulás-mezőbeli szakadás stb.). Dinamikai feladatoknál az alapegyenlet származtatása, a csillapítás nélküli és csillapítással rendelkező szabad és gerjesztett rendszerek vizsgálatát követően a szabadrezgések sajátfrekvenciáinak hatékony megoldásai, a tetszőleges időbeli terhelés, a számítás stabilitásának problémái szerepelnek a programban, továbbá betekintünk az intelligens szerkezetek kérdéseibe is. Végül bemutatjuk az I-DEAS programrendszer végeselemes alkalmazását néhány alapfeladat megoldásán keresztül. *** Az utóbbi évtizedek egyik leglátványosabban terjedő, nagy hatékonyságú számítástechnikai módszere az ún. végeselem-módszer. A mérnöki tervező munkában hatékonyságára való tekintettel kitüntetett szerepet vívott ki. Természetes tehát, hogy a mérnöki pályára való felkészítésében is kellő súllyal kell, hogy szerepeljen. A számítástechnikában beálló gyors fejlődés, a számítógépek kapacitásának, sebességének nagymértékű növekedése, a grafikai műveletek megszervezhetősége, az ember-gép kapcsolatának humanizálódása, a fizikai jelenségek korábbi években még nem látott bonyolultságú modellezésére, gyors kiszámításokra, az eredmények sokoldalú analizálására adnak módot. Ismeretes, hogy egy és ugyanazon valóságos szerkezethez elhanyagolva annak lényegtelen jegyeit különféle számítási modelleket rendelhetünk hozzá annak függvényében, hogy a valóságos szerkezetben lejátszódó 7

8 Bevezetés 8 folyamatok melyik oldala érdekes számunkra, azt milyen pontossággal szeretnénk elérni. Talán nem érdektelen hangsúlyozni, hogy ha egy adott valóságos szerkezethez többféle számítási modell is rendelhető, akkor megfordítva, egyazon számítási modellhez nemcsak egy valóságos szerkezet tartozhat. Vagyis bizonyos modelleket vizsgálva, a valóságos szerkezetek egész nagy osztályának megoldását kaphatjuk meg. Itt elegendő utalni a rúd-, síkbeli-, lemez-, héj-modellekre, amelyek számos gyakorlati kérdés kellő pontosságú megválaszolására adnak módot. A számítási modell megalkotását két, ellentétes kívánalom teljesítése befolyásolja: 1. a modell minél jobban helyettesítse a valóságos testet és annak körülményeit;. a mechanikai jellemzők lehetőleg kevés időráfordítással jó közelítéssel meghatározhatók legyenek. A modellezés során nagyon sok mindent kell mérlegelni: a környezeti hatásokat (a terhelés térbeli megoszlását, időbeli lefolyását, a hőhatást, az elektromágneses hatást), a testek kölcsönhatását (az érintkezést, a szilárdtest és folyadék által alkotott rendszerek együttes vizsgálatának lehetőségét), az anyag szerkezetét, (anyagegyenletet: rugalmas, nem-rugalmas, homogénitást, izotrópitást), a kialakuló alakváltozást, elmozdulást (kicsiny, nagy), a geometriai alakot, (helyettesíthető-e a térbeli test rúddal, lemezzel stb.), a megfogásokat stb. A vizsgálandó problémához a modellezés során mechanikai modellt rendelünk, ami matematikai formában kezdeti peremérték feladatként jelenik meg. Az eredeti probléma bonyolultságától függően előfordulhat, hogy a matematikai megformálás egyszerűsítésére kerül sor. Ekkor a valóság helyett egy idealizált - már hibákat hordozó modellt állítunk elő. A matematikai kezdeti-peremértékfeladat számítógépes megoldása, további, ún. számítási hibát okoz, amit röviden diszkretizálási hibának szokás nevezni. A számítógéppel segített mérnöki tevékenység (Computer Aided Engeneering: CAE) fejlődését figyelve a következő szakaszok különböztethetők meg. Amíg között a számítógépes géprajzi szerkesztés és a végeselem módszerre alapozott számítások különállóan folytak, illetve között a lineáris szerkezetanalízisre alkalmas végeselemprogrammal integrált tervező rendszerek jöttek létre, 8

9 A végeselem-módszer kialakulása 9 addig a legutóbbi évekre a nemlineáris végeselemmel integrált rendszerek létrehozása, a gyártási folyamatok szimulálása, prototípusok szimulációs tesztelése, különféle szakértői rendszerek létrehozása a jellemző. A vektor és a több processzoros számítógépek megjelenése pedig új fejezetet nyit a nemlineáris feladatok számítógépes vizsgálatában. A tervezés folyamatában a mechanika szerepe nem hanyagolható el. Általában a tervezendő objektummal szemben szilárdsági, élettartami, illetve üzemeltetési követelmények fogalmazódnak meg. A gépészeti modellt két fő oldalról vizsgálják. Egyik oldal a funkcionális vizsgálathoz kapcsolódó kinematikai és dinamikai analízis, a másik erőtani oldalról elemzi a testben kialakuló feszültségállapotot. A funkcionálás vizsgálatnál megjelenő üzemeltetési paraméterek nagymértékben befolyásolják a gép pontosságát, kopását, a hajtás veszteségeit, a rezgésekből keletkező káros zajokat. Nyilvánvalóan a feszültségállapot is befolyásolással bír az előbbiekre, ugyanakkor élettartami kritériumok alapján feleletet lehet adni a különféle kifáradási tartalékokra, illetve a szilárdsági kritériumok szerint a tönkremenetelre. Az elvégzett kísérletek, a korábbi üzemeltetési tapasztalatok, a működési hibák elemzése, a számítási-szimulációs-eredmények összevetése világossá teszik a számítási kritériumok és az egész modell megalapozottságát, illetve a pontosítások szükségességét. Ez utóbbi esetben újabb számításokkal élve juthatunk el a kívánt pontosságú modellhez. Mindebből következik, hogy hű modell felállítása csak sok-sok tapasztalat alapján lehetséges. A végeselem-módszer alapjai, mint tantárgy ismeretanyaga az előzőekben leírt sokrétű mérnöki modellezési folyamatban előállított kész mechanikai modell elmozdulási-, feszültségállapotának és dinamikai viselkedésének meghatározásával foglalkozik. Tehát csak kész, bizonyos feladatosztályokra alkalmas általános érvényű modellek vizsgálata szerepel a tananyagban, mellőzve a konkrét mérnöki szerkezetek, gépek és technológiai folyamatok teljes körű vizsgálatát A végeselem-módszer kialakulása A mérnöki gyakorlatban jelentkező szerkezetek nagy része rugalmas anyagból készül, s a terhelés bizonyos intervallumában lineárisan viselkedik. A klasszikus rugalmasságtan számos módszert dolgozott ki a homogén, izotróp anyagok viselkedésének számítására. A rugalmas kontinuum (a test térfogata folytonosan anyaggal kitöltött) viselkedését leíró parciális differenciál-egyenletrendszer megoldását a vizsgált testekhez tartozó peremfeltételek különbözősége nagymértékben megnehezíti. Nem sikerült 9

10 A végeselem-módszer kialakulása 10 és nem is sikerülhetett általános, bármilyen feladat megoldására alkalmas, pontos (egzakt) megoldást adó módszert kidolgozni. Sok esetben a mérnöki gyakorlat is megelégedett a közelítő megoldásokkal. A századunk elején kidolgozott variációs elvek (Rayleigh, Ritz, Timoshenko, Bubnov-Galjorkin), majd a későbbiekben kifejlesztett más (Kantorovics, Reissner stb.) elvek már lehetővé tették az olyan feladatok közelítő megoldását is - a mérnöki gyakorlatot kielégítő pontossággal amelyek korábban nem voltak elérhetők, megoldhatók. A digitális számítógépek megjelenése (1946 Los Alamos, Neumann János; 1949 JONIAC; 1951 IBM; 1960-as évek időosztásos gépei), majd az 1964-ben megszülető BASIC programozási nyelv, stb. gyökeresen megváltoztatták és kiszélesítették a feladatok megoldhatóságának körét. A módszer kialakulását a Courant [1] által a csavarási feladat közelítő megoldásánál használatos szakaszonkénti (háromszögletű tartományok feletti) csavarási feszültségfüggvény approximációja jelentette 1943-ban ban Turner és társai [] síkrugalmasságtani feladatot oldották meg az elmozdulásmező négyszögletű altartományok feletti közelítésével, a hagyományos Ritz-féle módszer lokális közelítő függvényeken keresztüli alkalmazásával. Clough 1960-ban ennek az eljárásnak a végeselem-módszer nevet adta. Az elmúlt ötven évben a módszer látványos fejlődésének vagyunk szemtanúi. A 60-as évekre a rugalmasságtani feladatainak megoldását szolgáló elemcsaládok kifejlesztése, sokoldalú modellezési lehetőséget nyújtó végeselem-programok (ASKA, NASTRAN, SAP) megjelenése a jellemző [3]. A 70-es években elkezdődik a számítási hibák analízisének kutatása Babuska cikkének megjelenésével. Elindul 1973-ben Szabó Barna javaslatára, az ún. p-verziójú számítás a hozzátartozó elemek kidolgozásával [4]. Sorra kerülnek a nemlineáris feladatok vizsgálatára alkalmas módszerek kidolgozása, számítógépi programok alkalmazásba vétele (NONSAP, ABAQUS, ADINA, ANSYS, COSMOS/M, FEAP, MARC, SYSTUS stb.). Megjelennek a p-verziójú elemeket hordozó programok, PROBE, StressCheck, RASNA. A CAD rendszerekkel összekapcsolt végeselemes rendszerek alakulnak ki az 1980-as években, amelyeknek a fejlődése mind a mai napig tart (CA- TIA, I-DEAS, MSC/NASTRAN, Patran, Pro/Engineer, SolidWorks, stb.). A kapcsolt feladatok (szilárdságtani, hőtani, áramlástani, villamosságtani stb.) megoldására szolgáló programok nyernek kidolgozást 1990-es évek óta (FLUENT, ProCast, SysWeld, DEFORM stb.). Számos könyv jelenik meg a végeselem-módszer elméleti és gyakorlati kérdéseinek vizsgálatával kapcsolatban, pl. [5-10]. 10

11 A végeselem-módszer kialakulása 11 A széleskörű kutatások eredményeképpen a végeselem-módszer már ma is hatékony eszközként áll a mérnökök rendelkezésére, amennyiben mechanikai ismereteire alapozva képesek az eredményeket helyesen értékelni. A közeljövőben pedig az adaptációs rendszerek kifejlesztésével olyan sokrétű rendszerek jönnek majd létre, amelyekkel a mechanikai modell megalkotása után, a számítógépi program felügyelete mellett, megbízhatónak tekinthető eredményeket lehet nyerni. Ilyen rendszerekkel már találkozhatunk a gyakorlati életben. Az 1.1. ábrán a fizikai jelenségből kiindulva a modellezésnél tett anyagra, terhelésre, alakra és megfogásra tett megfontolások alapján a külső hatásokból származó alakváltozások mértékén keresztül jutunk el a mechanikai modellhez, ami általában differenciálegyenlet-egyenlőtlenégi vagy integrálegyenlet-egyenlőtlenségi rendszer alakjában fogalmazható meg peremfeltételek, továbbá időben változó esetben, kezdeti feltételek mellett. Az anyagi és alakváltozási nemlineáris viselkedés esetén a feladat már nemlineáris, aminek megoldása jelentős mértékben megnehezül. A mechanikai-matematikai modell exakt (pontos) megoldása általában nem ismert. Ekkor közelítő úton kell megoldani. Ezen megoldások egy része közvetlenül a differenciálegyenlet (rendszer) felett munkálkodik (differencia módszer, kollokációs módszer...,) míg másik részük azt kikerülve energetikai módszerekre, variációs elvekre építi fel azt. Mindegyik esetben a keresendő mezőket, azok deriváltjait véges számú függvények lineáris kombinációjával, paramétereken, vagy az ismeretlen mezők diszkrét pontbeli értékein keresztül közelítjük. A diszkretizálás után statikai feladatoknál lineáris/nemlineáris algebrai egyenletrendszert nyerünk. Abban az esetben, ha a keresett mezőt (mezőket) végesszámú altartomány (végeselem) felett közelítjük általunk önkényesen választott approximációs függvények segítségével, továbbá a függvények együtthatóinak egy részét az elemek határoló felületén elhelyezkedő csomópontokbeli függvény vagy azok deriváltjai vagy a határoló felülethez kötött paraméterek révén fejezzük ki, és így az altartományok feletti mezők összeillesztésével állítjuk elő a teljes tartományra vonatkozó mezőt (mezőket), továbbá a mezőket leíró paramétereket (melyeknek egy része az elem csomópontjaihoz kötött) valamilyen hibaelvből, variációs elvből származó algebrai egyenlet vagy egyenlőtlenségi rendszer révén határozzuk meg végeselem-módszernek (VEM) nevezzük. Ilymódon az 1.1. ábrán vázolt valóságos szerkezethez, technológiához, fizikai jelenséghez rendelt mechanikai modell közelítő megoldásaihoz kapcsolódó módszerek közül a *-gal jelöltek lokális approximáció alkalmazása 11

12 A végeselem-módszer kialakulása 1 ËÞ Ö Þ Ø esetén különböző hibaelvekre alapozott végeselemes eljárásnak felelnek meg. Ø Ö Ð ÒÝ Ê Ù Ð Ý ØÑ Ö Øò ÒÝ Ò Ý Ø Å Ò ÑÓ ÐÐ Ð ØÖ Ö Ò ÈÓÒØÓ ÒØ Ö ÐØ Ý ÒÐ ØÖ Ò Þ Ö Ý ÒÐ ØÐ Ò Ã Þ Ð Ø ÃÓÐÐÓ Ö Ò Ñ Þ Ö Ñ Þ Ö Ò Ö Ø Ñ Þ Ö Ø º Ê ØÞ¹ Ð Ñ Þ Ö Ë ÐÝÓÞÓØØÑ Ö Ó Ñ Þ Ö Ê Ò Ö¹ Ð Ñ Þ Ö Ù ÒÓÚ¹ Ð ÖÓ ÒÑ Þ Ö À Ò ÝÞ ØÑ Þ Ö Ð Ñ Ó Ð Ú ÐØÓÞ 1.1. ábra. Szerkezet, mechanikai modell, közelítő megoldási eljárások A lokális közelítést választva lehetőség kínálkozik az elemek méretének, az elemenbelüli közelítő polinom p fokszámának, illetve mindkettőnek a megváltoztatására. Az elemek méretének lefixált p melletti megváltoztatása az ún. h -verziójú számítást eredményezi. Változatlan elemméretek mellett a p növelése, az ún. p -verziójú számításhoz vezet. Amikor mindkettőt változtatjuk (feszültségkoncentrációs helyeken kis elemek nagy p mellett), akkor a hp-verziójú számításról beszélünk. A fentiek alkalmazása különböző sebességű konvergenciájú megoldást eredményez. A megoldás konvergenciája alatt azt értjük, hogy a h csökkentésével, vagy a p növelésével illetve a kettő kombinációjával kapott eredmények valamilyen határértékhez tartoznak, és további háló és fokszám változtatással az eredmények gyakorlatilag már változatlanok 1

13 A tantárgy célja A tantárgy célja A végeselem-módszer oktatás célja a műszaki mechanika alaptantárgyaira és a numerikus módszerek ismeretére alapozva, illetve építve olyan ismeret elsajátítása, amely az érdeklődőt képessé teszi 1. a módszer mechanikai alapjainak elsajátítására,. különféle elemek előállítására, 3. a modellezési kérdések behatóbb elemzésére, 4. a nagyméretű rendszerek numerikus kezelésére, 5. a kapott eredmények szakszerű értékelése, 6. végeselem-programrendszerek használatára. A felsorolt valószínűleg nem is teljes célok, képességfejlesztések csak komoly, elmélyült tanulással, végeselem-programrendszerek használatával érhetők el. Szükségesek-e ezen ismeretek egy műszaki (gépész, mechatronikai, energetikai stb.) mérnök számára? A válasz egyértelműen igen. Tapasztalatok mondatják, hogy az emberiség mai kultúráját, életszínvonalát nem érhette volna el a mérnökök sokrétű alkotómunkája nélkül. Tevékenységükben a rutin munka automatizálódik, a gyakran ismétlődő számításokat, a nagy tömegű információ- és adatkezelést, a rutinszerű elemzéseket átveszik a számítógépek. Mindemellett, ugyanakkor erősödik a mérnöki munka, alkotó, kutató, fejlesztő jellege. Új, modern gépek, eszközök létrehozásához, a mechanika tudománya jelentősen hozzá tud járulni. A gyártási folyamatok szimulálása, optimális paraméterek megválasztása elképzelhetetlen a mechanika aktív művelése nélkül. Minthogy a végeselem-módszer ezideig soha nem látott bonyolultságú modellek számítástechnikai kezelésére ad módot, és az elérhető programok egyre kényelmesebben kezelhetők, a hallgatók valóságos méretű, bonyolultságú feladatok megoldásával is találkozhatnak a képzés folyamán a tervezői, technológiai jellegű tantárgyak ismeretanyagának elsajátításakor. A feladatok magas színtű megoldásánál alkalmuk lesz alkotó módon felhasználni az ezen tantárgy keretén belül tanultakat. A javasolt tananyag a Miskolci Egyetem Mechanikai Tanszékének több mint három évtizedes saját tapasztalatára, nemzetközi, kiemelkedő tudósok által írt könyvek ismeretanyagára épít. A végeselem-módszer fontosságát aláhúzzák azon nemzetközi konferenciák is, amelyek kijelölik az elméleti és gyakorlati problémák megoldására irányuló kutatásokat, továbbá tekintettel kell lenni azon szakemberek növekvő számára is, akik különféle 13

14 Hivatkozások az 1. fejezethez 14 vállalkozásokban végeselemes modellezést, számításokat, analízist végeznek ipari üzemek, vállalatok megbízásából, vagyis kialakult egy új szakma, a végeselemes számítások szakmája. A végeselem-módszer tantárgy ezen igény kielégítését is szolgálja. A szerzők a következő anyagrészeket állították össze: Páczelt I. (1.,., 3., 5. fejezetek), Páczelt I., Szabó T. (4., 6. fejezetek), Baksa A. (7. fejezet). Miskolc, 007. február A jegyzet tanulmányozásához sikeres, elmélyült munkát kívánnak a A szerzők 1.3. Hivatkozások az 1. fejezethez 1. Courant, R.: Variational methods for the solution of problem of equilibrium and vibrations, Bull. Am. Math. Soc., 49, 1943, p Turner, M. J. - Clough, R. J. - Martin, H. C. - Topp, L. J.: Stiffness and deflection analysis of complex structures, J. Aeronaut. Sci., 3, No 9, 1956, p Zienkievicz, O. C. - Cheung, Y. K.: The finite element method in structural and continuum mechanics, McGraw-Hill Book Company, London- New York, Szabó, B. - Babuska, I.: Finite element analysis, John Wiley & Sons, Inc., New York, Bathe, K. J.: Finite element procedures in engineering analysis, Prentice- Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 0763, Allaire, P. E.: Basics of the finite element method: Solid mechanics, Heat transfer and Fluid mechanics, Dubuque, Iowa: W. C. Brown, Hughes, T. J. R.: The finite element method: Linear static and dynamic finite element analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 0763, Zienkievicz, O. C. - Taylor, R. L.: The finite element method, Vol 1, Basic formulation and linear problems, McGraw-Hill Book Company, New York, 1989 Vol. Solid and fluid mechanics, Dynamics and non-linearity, McGraw-Hill Book Company, New York,

15 Hivatkozások az 1. fejezethez Reddy, J.N.: An introduction to the finite element method, McGraw- Hill, Inc. New York, London Páczelt, I.: Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó,

16 Alapvető fogalmak 16. Alapvető fogalmak A tantárgy anyagának könnyebb elsajátítása érdekében előjáróban összefoglaljuk a leglényegesebb vektor-, tenzorszámítási [1], mátrixalgebrai [] és peremérték feladatokkal [3] kapcsolatos ismereteket. Ezek az ismeretek bővebb kifejtését a korábbi tantárgyak anyagai tartalmazták, ill. számos könyvből azok elmélyíthetők. Érdemes itt is kiemelni, hogy a vektor és tenzor jellegű mennyiségek kétféle jelöléssel is előfordulnak. Ennek megfelelően jelöléskor a vektor vastagon szedett dőlt kisbetű (a, b), míg a tenzor vastagon szedett dőlt nagybetű (A, T ). Ezen mennyiségeknek megfelelő mátrixos jelölésben vastagon szedett álló kis, illetve nagy betű szerepel (a, b, A, T)..1. Néhány alapvető matematikai fogalom.1.1. Vektor-, tenzorszámítás alapjai Vektor Vektor alatt egy hosszal és irányítással rendelkező objektumot értünk. descartesi derékszögű koordinátarendszert választva, a kérdéses vektort a- val jelölve, a koordinátarendszer tengelyeinek irányát kijelölő jobbsodrású bázisvektorokat jelölje rendre e x, e y, e z. Ekkor a kérdéses vektor a = a x e x + a y e y + a z e z (.1) ahol a x, a y, a z - skalár koordináták (az x,y,z tengelyekre eső irányított vetületek). A vektor hossza egyszerű geometriai megfontolásból számolható, azaz a = a x + a y + a z (.) Egységvektor alatt egységnyi hosszúságú vektort értünk. Az a irányába mutató egységvektor e a = a a (.3) Két vektor között többfajta szorzás értelmezett. Egyik a skaláris szorzás s = a b = a b cos α (.4) ahol α a szóban forgó két vektor közötti szög. Ha képezzük a következő skaláris szorzatot, akkor cos α közvetlenül kiszámolható 16

17 Néhány alapvető matematikai fogalom 17 ahonnan s a = e a b = e a b cos α = b cos α cos α = s a / b (.5) Mivel a választott koordinátarendszerben a koordinátatengelyek egymásra merőlegesek, így áll: e x e x = 1, (x y z), e x e y = 0, (xy zy xz) (.6) Az előzőek révén a (.4) alatt definiált skaláris szorzás s = a b = (a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + b z e z ) = = a x b x + a y b y + a z b z (.7) A másik szorzás a vektoriális szorzás, ami a két vektor síkjára merőleges vektort szolgáltat, a kapott vektor hossza a két vektor által kijelölt paralelogramma területét adja: c = a b c = a b sin α (.8) iránya pedig olyan, hogy a, b és c jobbsodrású. A bázisvektorokra alkalmazva (jobbsodrású koordinátarendszerben vagyunk!) nyerjük, hogy e z = e x e y, e x = e y e z, e y = e z e x (.9) de a szorzás sorrendjét felcserélve az eredmény a fentiek negatívja, tehát e z = e y e x, e x = e z e y, e y = e x e z (.10) Három vektornál az ún. vegyes szorzat V = (a b) c = c (a b) = a (b c) = (c a) b (.11) a három vektor által kijelölt térrész térfogatát adja előjeltől eltekintve, míg a kétszeres vektoriális szorzásnál áll: d = (a b) c = (a c) c (b c) a (.1) 17

18 Néhány alapvető matematikai fogalom 18 Amennyiben egy vektor a helynek a függvénye értelmezzük a deriváltakat. Pl. az x szerinti derivált a x = a x x e x + a y x e y + a z x e z. Későbbiekben, számtalan esetben használjuk a Hamilton-féle differenciál operátort, amely descartesi koordinátarendszerben = x e x + y e y + z e z (.13) alakot nyeri, illetve a hozzátartozó Laplace-féle operátor Tenzor = = = x + y + z Tenzor alatt egy homogén vektor-vektor függvény kapcsolatban megjelenő objektumot értünk, nevezetesen a c vektorhoz a B jelű objektum, azaz a tenzor segítségével az a vektor van hozzárendelve a = B c (.14) A B tenzor (3 3)-as számsokasággal is jellemezhető, vagyis a tenzort mátrixosan megjelenítve B = b xx b xy b xz b yx b yy b yz b zx b zy b zz (.15) illetve ún. három diád révén állítható elő. Általában egy diád alatt a b (.16) jelű kifejezést értjük, amelyet a skaláris szorzásra vonatkozó tulajdonságaival értelmezünk. Skaláris szorzásnál d = (a b) c = a (b c), g = c (a b) = (c a) b (.17) eredményt kapjuk, ami azt jelenti, hogy a skalárisan azt a két vektort kell összeszorozni, amelyek közel állnak egymáshoz, azaz, amelyek között a skaláris szorzás jele és a zárójel van. 18

19 Néhány alapvető matematikai fogalom 19 A B tenzor diadikus előállítása a következő eredményt adja B = b xx b xy b xz b yx b yy b yz b zx b zy b zz = b x e x + b y e y + b z e z (.18) amiből b x = B e x = b xx e x +b yx e y +b zx e z stb. vagyis a tenzor oszlopaiban a bázisvektorokhoz tartozó vektorok találhatók. Legyen A és B az (x,y,z) koordinátarendszerben adott 3 sorú és 3 oszlopú, azaz (3,3)-as tenzor: A = a xx a xy a xz a yx a yy a yz a zx a zy a zz, B = b xx b xy b xz b yx b yy b yz b zx b zy b zz A két tenzor skaláris szorzása az alábbi módon értelmezett: A B = (a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + b z e z ) = ] [ axxb xx + a xyb yx + a xzb zx a xxb xy + a xyb yy + a xzb zy a xxb xz + a xyb yz + a xzb zz a yxb xx + a yyb yx + a yzb zx a yxb xy + a yyb yy + a yzb zy a yxb xz + a yyb yz + a yzb zz a zxb xx + a zyb yx + a zzb zx a zxb xy + a zyb yy + a zzb zy a zxb xz + a zyb yz + a zzb zz (.19) azaz az egyes elemek a megfelelő sorok és oszlopok szorzat összegeiből állnak elő. A kétszeres skaláris szorzás két diád között az alábbit adja és ily módon c = (a b) (g h) = (a g) (b h) (.0) A B = (a x e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + b z e z ) = a x b x + a y b y + a z b z = a xx b xx + a xy b xy a zz b zz (.1) A tenzor mátrixának főátlóra való tükrözése (oszlopok sorok cseréje) a transzponálást jelent, ezt T fogja jelölni. Ha A = A T akkor a tenzor szimmetrikus, ha pedig B = B T akkor a tenzor aszimmetrikus. Ha A = A T és B = c d, azaz a c és d vektorok általános (diadikus) szorzata, azaz c x d x c x d y c x d z B = c y d x.. c z d x.. akkor A B = A (c d) = c A d. 19

20 Néhány alapvető matematikai fogalom 0 Amennyiben A n = λn (.) akkor az n egységvektor által kijelölt irányt főiránynak és λ értékét sajátértéknek nevezzük. A (.) sajátérték problémát jelöl ki. Ilyennel találkoztunk szilárdságtanban a T feszültségi tenzor vonatkozásában a σ főfeszültségek meghatározásánál..1.. Mátrixalgebra alapjai Sorfolytonosan elrendezett számok (elemek) sokasága egy vektort jelöl ki, pl. a = a 1 a. a i. a n ahol n az elemek száma. A vektor transzponáltja fekvő alakban helyezkedik el Két vektor skaláris szorzata (.3) a T = [a 1 a... a i... a n ] (.4) míg az alábbi szorzás (diadikus) s = a T }{{} (1,n) b }{{} (n,1) (.5) C }{{} (n,m) = b }{{} (n,1) a T }{{} (1,m) (.6) egy (n,m) méretű (n sorral, m oszloppal rendelkező) mátrixot eredményez, azaz egy téglalap alakzatba rendezett elemek halmazát szolgáltatja. Két vektor normált, ha a T 1 a 1 = 1, a T a = 1 (.7) 0

21 Néhány alapvető matematikai fogalom 1 és ortonormáltnak mondjuk, ha Két mátrix (skaláris) szorzása C }{{} (m,p) a T 1 a = 0 (.8) = A }{{} (m,n) B }{{} (n,p) (.9) csak akkor végezhető el, ha a szorzásban részvevő első mátrix oszlopainak száma (n), megegyezik a második mátrix sorainak számával. A mátrix tetszőleges elemét szokás alsó sor, oszlop indexeinek feltűntetésével megadni ilymódon C ij az i-dik sor j-dik elemét jelöli. Ekkor a szorzás egyszerűen leírható: }{{} C = [C i j ] (m,p) (.30) (m,p) C i j = n A ik B kj (.31) k=1 A transzponálás a mátrix sorainak, oszlopainak felcserélésével a következőt adja C }{{} (m,p) = [C i j ] (m,p), }{{} C T = [C j i ] (p,m) (.3) (p,m) A kvadratikus mátrix sorainak és oszlopainak száma megegyezik (n = m). A mátrix szimmetrikus, ha az transzponáltjával megegyezik: B = B T. A diagonál mátrix csak a főátlóban rendelkezik zérustól különböző elemekkel. Az egyszerűbb jelölés érdekében B = B 11 B... B ii... B nn jelölést fogjuk a továbbiakban használni. Szorzat transzponálására vonatkozóan áll az alábbi egyenlőség C }{{} (m,p) = A }{{} (m,n) B }{{} (n,p), C T }{{} (p,m) = }{{} B T A T }{{} (p,n) (n,m) (.33) Csak azonos méretű mátrixokat lehet összeadni és kivonni. C }{{} (m,n) = A }{{} (m,n) ± }{{} B [C ij ] = [A ij ± B ij ] (.34) (m,n) 1

22 Néhány alapvető matematikai fogalom Egy skalár számmal történő szorzásnál a mátrix minden eleme szorzódik, C = αb [C ij ] = [αb ij ] (.35) Ortogonálisnak nevezzük az A mátrixot, ha fennáll A A T = A T A = E (.36) összefüggés, ahol E az egységmátrixot E = jelöli. Ebből következik, hogy a mátrix transzponáltja megegyezik inverzével: A 1 = A T Szorzat inverzére a mátrixok invertálhatósága esetén áll az alábbi egyenlőség }{{} C = (m,m) A }{{} (m,m) B }{{} (m,m) 1 = B 1 A 1 (.37) A mátrix rangja alatt a lineárisan független sorok (oszlopok) számát értjük. ρ (A) (.38) Lineárisan egymástól függetlennek nevezzük az oszlopokat, ha m > n esetén n c j a j = 0 (.39) j=1 egyenlőség csak c j = 0, j = 1,...,n esetén áll fenn. Ha pl. találunk két olyan oszlopot, amelyek lineáris kombinációja zérust ad, akkor a mátrix rangja eggyel csökken, azaz ρ (A) = n 1. Az (m,n) méretű mátrixnál Az m ρ (A) n (.40) A }{{} (n,n) x }{{} (n,1) = b }{{} (n,1) (.41) kifejezésben szereplő x vektort ismeretlennek tekintve, algebrai egyenletrendszer áll előttünk. Egyértelmű megoldásához az A együttható mátrix

23 Néhány alapvető matematikai fogalom 3 invertálható kell, hogy legyen, vagyis determinánsa zérustól különbözni köteles. A determinánst jelöli. Ekkor a (.41) megoldása det A (.4) x }{{} (n,1) = A 1 }{{} (n,n) b }{{} (n,1) (.43) ahol az együttható mátrix inverze A 1. Invertálhatóság esetén ρ (A) = n. Az algebrai egyenletrendszer megoldására számos eljárás ismert. Vannak egzakt megoldást adók (pl. A Gauss-féle eliminációval dolgozók), ill. iterációt felhasználók []. Itt is megfogalmazhatók sajátérték problémák. Nevezetesen A x = λx (.44) A rezgéstani feladatoknál a (.44) sajátérték-feladatnak kitüntetett szerepe lesz a mechanikai rendszer dinamikai válaszainak meghatározásánál. Kvadratikus mátrix jobbról, balról történő szorzása skalár számot ad. Ha x T A x 0 (.45) akkor ez esetben azt mondjuk, hogy a mátrix pozitív szemidefinit, ha a szorzás eredménye csak pozitív szám, akkor a mátrix pozitív definit. Ezzel a kérdéssel konkrétan az alakváltozási-, kinetikai energia számításánál fogunk találkozni. A szorzat zérus értékénél a mátrix rangja kevesebb mint az x vektor mérete Kezdeti peremérték feladat A modellhez kapcsolt differenciálegyenletben vagy rendszerben ismeretlen függvények szerepelnek, amelyeknek időben vizsgált feladatoknál a kezdeti, továbbá a vizsgált tartomány peremén jelentkező peremfeltételeket is ki kell elégíteni, vagyis vagy a függvénynek, vagy deriváltjának, vagy ezek lineáris kombinációjának adott értéket kell felvenniük. Peremnek nevezzük azt a pont-sokaságot, amelynek környezetében találhatók olyan pontok, amelyek a tartományhoz tartoznak, illetve olyanokat is, amelyek már nem. Tetszőleges tartományt Ω-val fogjuk jelölni, illetve peremét Γ-val. 3

24 Néhány alapvető matematikai fogalom 4 Egy többváltozós függvényt, amennyiben rendelkezik m-ed rendű folytonos deriváltakkal C m (Ω) osztályú függvénynek szokás nevezni. Így pl. f függvény C 0 (Ω) osztályú, ha f folytonos, de egyváltozós esetben a f/ x derivált már nem. A továbbiakban egyváltozós esetben legyen x a független változó. Az alábbiak a perem illetve kezdeti feladatokra mutatnak be néhány egyszerű példát. Peremérték feladat ( d a du ) + p = 0, 0 < x < 1 (.46) dx dx ( u(0) = u 0, a du ) = F 0 (.47) dx x=1 Kezdeti értékfeladat ρ d u dt + au = q, 0 < t < t 0 (.48) u(0) = 0 u, ( ) du dt t=0 Kezdetiperemérték feladat u függvényre vonatkozólag: = 0 v (.49) ρ u t ( a u ) = p(x,t), 0 < x < 1 (.50) x x 0 t t 0 u(x,0) = 0 u u(x), t (x,0) =0 v(x) (.51) ( u(0,t) = u 0 (t), a du ) = F 0 (t) (.5) dx (.47) és (.5)-t peremfeltételnek, (.49) és (.51)-t kezdeti feltételnek szokás nevezni. Amennyiben az u 0, F 0 illetve 0 u, 0 v zérustól különböznek, úgy a feltételeket inhomogénnak, ellenkező esetben homogén perem és kezdeti feltételnek nevezzük. A problémánál ρ, a, u 0, F 0, u, v mennyiségek adottak. A jobboldalon szereplő p(x,t) = 0 esetén a differenciálegyenlet homogén, zérustól eltérő esetben inhomogén. x=1 4

25 Néhány alapvető matematikai fogalom 5 Sajátérték problémánál keressük azt a λ sajátértéket, amelynél az alábbi differenciálegyenlet kielégül. d ( a du ) = λu, 0 < x < 1 (.53) dx dx ( u(0) = 0, a du ) = 0. (.54) dx x=1 Ezen osztályú feladatok rezgéstani, stabilitási kérdések megválaszolásakor merülnek fel a mechanikán belül.1.4. Integrálátalakítási összefüggések Egy zárt Ω tartományban értelmezett u(x) 1 függvényre ható Hamiltonféle differenciáloperátor esetén áll udω = nudγ (.55) illetve továbbá Ω Ω Ω Γ u dω = Γ u dω = Γ n udγ, (.56) n udγ, (.57) összefüggés, ahol n jelöli az Ω tartományból kifele mutató normális egységvektort,, a vektorok között értelmezett skaláris és vektoriális szorzást jelöli. Gyakran szükség van a szorzat integrálására is. Pl. L v dw 0 dx dx = L 0 d dx (v w) dx L 0 dv dx w dx = [v w]l 0 L v w dx (.58) 0 u vektort és T tenzort tartalmazó kifejezés esetén áll ( T u)dω = ( T ) udω + T.. udω (.59) Ω Ω 1 A szimbolikusan tárgyalt vektorokat és tenzorokat vastag ferde betűkkel fogjuk jelölni, eltérően a végeselemes tárgyalásmódban használatos álló vastagon szedett mátrixoktól és vektoroktól Ω 5

26 Néhány alapvető matematikai fogalom 6 ami (.56) szerint is kifejezhető n T udγ = Γ Ω ( T ) udω + Ω T.. udω (.60) A vektor és tenzor jellegű mechanikai jellemzők jelölésére egyaránt használjuk a szimbólikus és a mátrixos (általában (x,y,z) koordinátarendszerben kapott koordinátákból alkotott) jelölést. A vektor és tenzor jele vastagon szedett dőlt kis illetve nagybetű. Mátrixos jelölésnél pedig álló helyzetű kis- illetve nagybetű Funkcionál Funkcionál alatt az Ω értelmezési tartományon értelmezett függvénytől, annak különböző rendű deriváltjaitól függő skalár mennyiséget értünk, azaz ami egyváltozós esetben ( F = F x, u(x), F = F ( r, u, u,... ) (.61) ) du dx = F (x, u, u ) (.6) Itt r a helyvektort jelöli, u a megkívánt módon képzett elsőrendű deriváltat. Például vagy F (x,u) = F (r,u, u) = Ω 1 0 a ( ) du 1 dx updx (.63) dx 0 [a(u u) + b u] dω Γ u p dγ (.64) A fizikai feladathoz rendelten az F -ben szereplő u = u(r) függvény az ismeretlen, ennek meghatározása a cél. 6

27 Néhány alapvető matematikai fogalom Variálás A függvény variációja alatt, annak kismértékű megváltoztatását értjük. Általában a megváltoztatott függvénytől meg szokás követelni a folytonosságot és deriválhatóságot, illetve feladattól függően bizonyos peremfeltételek kielégítését is. A variálás jeleként δ t szokás használni. Így u variációja alatt δu -t értjük, ami a.1. ábrán a folytonos vonallal rajzolt függvénytől való eltérést jelenti. u δu x.1. ábra. Variáció értelmezése A funkcionál első variációját F = F (x,u,u ) esetén jelenti, míg az F teljes differenciálja Állnak az alábbi összefüggések δf = F u δ u + F u δ u (.65) df = F x d x + F u d u + F u d u (.66) δ (F 1 + F ) = δ F 1 + δ F δ (F 1 F ) = δ F 1 F + F 1 δ F δf n = n F n 1 δf 7

28 Néhány alapvető matematikai fogalom 8 δ ( F1 F ) = δ F 1 F F 1 δ F (F ) (.67) Az u függvény megváltoztatását egy α állandó és v(x) függvényen keresztül kifejezve δu = αv, ahol α paraméter, amely a különböző variációknál más és más, v(x) egy másik függvény. Az u függvény variációjának deriváltja d d dv (δ u) = (αv) = α dx dx dx = αv = δ u = δ ( ) du dx (.68) vagyis a deriválás és a variálás sorrendje felcserélhető. Integrálásnál áll δ u(x)dx = δu(x)dx (.69) Ω Ω A (.63) alatti funkcionál tartalmaz lineáris és nemlineáris részeket. Lineáris rész l(u) = u p dγ (.70) míg az ún. bilineáris rész B(u,u) = illetve Γ Γ B(w,u) = Az l(u) funkcionál lineáris, ha fennáll Ω a du du dx (.71) dx dx a dw du dx (.7) dx dx l(αu 1 + β u ) = αl(u 1 ) + β l(u ) (.73) míg B(w,u)-t bilineárisnak mondjuk, ha fennáll az alábbi linearitás B(αu 1 + β u, w) = αb(u 1,w) + β B(u,w) (.74) B(u 1,αw 1 + β w ) = αb(u 1,w 1 ) + β B(u 1,w ) (.75) A B(w,u) bilineáris részt szimmetrikusnak mondjuk, ha B(w,u) = B(u,w) (.76) 8

29 Néhány alapvető matematikai fogalom Peremértékfeladat gyenge megoldásának felépítése A peremértékfeladat közelítő megoldásához variációs módszert választva a differenciálegyenletet és a peremfeltételek egy részét integrál értelemben átlagolva kívánjuk kielégíteni, vagyis a megoldást gyengítjük a közelítésre használt függvényektől alacsonyabb rendűségi folytonossági feltételeket megkövetelve. A differenciálegyenlet és a peremfeltétel súlyozására különböző függvényeket vehetünk fel, megkövetelve a peremfeltételek egy részének a priori a számítás során annak tudatos pontos kielégítését. Ezen típusú peremfeltételt lényeges, alapvető peremfeltételnek szokás nevezni. A megmaradó peremfeltételek naturális, fő, természetes feltételeknek nevezzük. Vizsgáljuk az alábbi differenciálegyenletet [ d a(x) du ] + p(x) = 0 0 < x < L (.77) dx dx az alábbi peremfeltételekkel u(0) = u 0, ( a du ) dx x=l = Q L (.78) A közelítő megoldást u = u h = ϕ 0 (x) + N c i ϕ i (x) (.79) alakban fogjuk keresni, ahol ϕ i (x) lineárisan független közelítő mezőnek felel meg, c i ismeretlen paraméterek, ϕ 0 (x) a lényeges peremfeltételeket kielégítő függvény, ϕ i (x) ugyanezen a peremen homogén peremfeltételeket elégíti ki, azaz zérus értéket vesz fel. Vegyük a (.77) alatti kifejezést, szorozzuk meg a súlyfüggvénnyel és integráljuk az L tartomány felett, továbbá vegyük a (.78) alatti második peremfeltétel zérusra átrendezett alakját w-vel megszorozva. A (.78) alatti baloldali peremfeltételt az u (.79) alatti közelítésénél a priori kielégítjük, így w itt zérus kell legyen. L 0 i=1 [ ( d w a du ) [( + p ]dx w L a du ) ] Q L = 0 (.80) dx dx dx Figyelembe véve, hogy 9

30 Néhány alapvető matematikai fogalom 30 [ ( d w a du )] = dw dx dx dx adu dx + w d ( a du ) dx dx az integrálást a szorzatintegrálási szabály szerint képezve L 0 ( dw ) [ dx adu dx + wp dx + wa du ] L [( w L a du ) ] Q L = 0 (.81) dx 0 dx L Az integrált szemlélve észrevesszük, hogy a kapott integrálban az u függvény deriváltja eggyel alacsonyabb rendű, mint a megoldandó differenciálegyenletben volt, ami a ϕ i (x) megválasztását majdan megkönnyíti. A peremmel kapcsolatos az aw(du/dx) tag. A súlyfüggvény koefficiense az a(du/dx) mennyiség, aminek a vizsgált problémához tartozó fizikai jelentése is van, ami valójában a természetes peremfeltétellel kapcsolatos. Az összevonásokat elvégezve a kezdeti probléma megoldására szolgáló gyenge alak L 0 ( a dw ) du dx dx + wp dx + (wq) L = 0 (.8) A (.8) egyenletben szereplő tagokat bilineáris és lineáris részekre tudjuk szétszedni, így B(w,u) = L 0 a dw du dx (.83) dx dx vagyis L l(w) = wpdx + (wq) L (.84) 0 B(w,u) l(w) = 0 (.85) A w súlyfüggvényt w = u + δu (.86) 30

31 Rugalmasságtani összefoglaló 31 alakban képezve, a kapott variációs egyenlet egy másik formában is felírható. A későbbiekben elsősorban ezen jelölést használó egyenletet fogjuk használni. B(δ u,u) l(δ u) = 0 (.87) Minthogy a B szimmetrikus, úgy áll [ ] 1 δ B(u,u) δ [l(u)] = 0 azaz I(u) = 1 B(u,u) l(u) (.88) funkcionál bevezetésével δi(u) = 0 (.89) variációs egyenlethez jutunk. Rugalmasságtani feladatoknál a következő fejezetben látni fogjuk, hogy az I = I(u) funkcionál a teljes potenciális energiának fog megfelelni... Rugalmasságtani összefoglaló Szilárdságtani tanulmányokból elsősorban a rudak vizsgálata alapján ismert, hogy a mechanikai állapot leírására a test pontjainak elmozdulását, a pontok környezetének relatív mozgását, torzulását, azaz alakváltozását, ill. a testben kialakuló feszültségeket kell meghatározni. Az is látható volt, hogy a kérdés elemzésére a vektor-, tenzorszámítás kínálkozik hatékony eszközül. Az elmozdulást a pontról pontra változó u elmozdulás-vektor (elmozdulásmező) jellemzi, az alakváltozást az elmozdulásmező deriválásból nyert A alakváltozási tenzormező, míg a feszültségállapotot a T feszültségi tenzormező írja le. Az alábbiakban nagyon tömören összefoglaljuk az alapvető fogalmakat és összefüggéséket a végeselem-módszer megalapozása céljából...1. Alapvető fogalmak [1,4,6,7] Vizsgálatainkat egy tetszőleges terhelésű és megfogású test esetére végezzük el, azzal a feltételezéssel, hogy a vizsgált test a terhelés hatására rugalmasan fog viselkedni, azaz a terhelés fel és levétele után a test visszatér eredeti helyzetébe, és ha kezdeti állapot feszültségmentes volt, akkor a tehermentesítés után szintén feszültségmentes lesz. A mérnöki gyakorlatban 31

32 Rugalmasságtani összefoglaló 3 számos ilyen esettel találkozunk. Azt lehet mondani, a teherviselő szerkezetek, gépi berendezések, mechatronikai eszközök döntő része ezeket a feltételeket kielégíti. Ezek után a.. ábra szerinti terhelés és megfogás mellett fogjuk vizsgálni a testet, azaz keressük a testben kialakuló u elmozdulásmezőt, az A alakváltozási tenzormezőt, és a T feszültségi tenzormezőt. A ρ sűrűségű test V térfogatán a ρk térfogaton megoszló terhelés, A felületének A p részén p felületi terhelés, A u részén adott u o elmozdulás működik. Vizsgálatunkat az x,y,z viszonyítási descartesi derékszögű koordinátarendszerben végezzük el. A koordinátarendszer tengelyeinek irányába e x, e y, e z egységvektorok mutatnak. A tér tetszőleges P pontjának helykoordinátáját jelölje Az elmozdulásmező az alakváltozási tenzormező és a feszültségi tenzormező r = xe x + ye y + ze z. (.90) u = u(r) = ue x + ve y + we z (.91) A = A(r) = A T (r) (.9) T = T (r) = T T (r) (.93) a hely függvénye. Az alakváltozási tenzor és annak skalárkoordinátái az alábbiak szerint értelmezettek: 1 ε x γ xy 1 1 γ xz A (r) = γ 1 yx ε y 1 γ 1 zx γ zy ε z γ yz, ε x = u x,..., γ xy = u y + v x,... (.94) melyben az ε i, γ ij fajlagos nyúlások és szögtorzulások, dimenziótlan mennyiségek. A feszültségi tenzor: T (r) = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z (.95) 3

33 Rugalmasságtani összefoglaló 33 p A p ρk z r A u x y.. ábra. A test terhelése, megfogása ahol σ és τ a normál és a nyíró feszültségeket jelöli. A fenti (.91)-(.93) alattiak 3 és a szimmetria miatt 6-6 ismeretlen mezőt tartalmaznak. Vagyis összesen 15 mezőt kell meghatározni. Ezek meghatározására a szilárdságtani és rugalmasságtani ismereteinkre, annak linearizált elméletére (kis elmozdulás (az elmozdulás lényegesen kisebb mint a test mérete), illetve kis alakváltozás (az alakváltozás jellemzői lényegesen kisebbek mint 1)) alapozva az alábbi egyenletek szolgálnak: A = 1 (u + u) (.96) geometriai egyenlet, ahol a Hamilton féle differenciál operátor, a egyensúlyi egyenlet, a T + ρ k = 0 (.97) T = D A (.98) anyagegyenlet, a (Hooke-féle törvény) áll rendelkezésre. A u = u 0 r A u (.99) A kétszeres skaláris szorzás bemutatására vegyük a T=D A kifejezést. A tenzorszámítás szerint háromváltozós esetben egy másodrendű tenzor három diád összegeként állítható elő. Így T = T x e x + T y e y + T z e z = (σ xe x + τ yxe y + τ zxe z) e x +... Bevezetve x,y,z indexek helyett az 1,,3-at, továbbá legyen T x = T 11e 1 + T 1e + 33

34 Rugalmasságtani összefoglaló 34 geometriai (kinematikai) peremfeltétel (KPF), a T n = p r A p (.100) feszültségi (dinamikai) peremfeltétel (DPF) kielégítése mellett. A fentiekben a skaláris, a kétszeres skaláris szorzást, a diadikus szorzást jelöli, továbbá, D az anyagállandók negyedrendű tenzora, n a felületből kifelé mutató normális. Homogén, izotróp anyag esetén (.98) helyett a ( T = G A + ν ) 1 ν A II (.101) ismert általános Hook törvény írható fel, ahol G a csúsztató rugalmassági tényező, ν a Poisson féle tényező, A I az A tenzor első skalár invariánsa (a tenzor főátlóbeli elemeinek összege), I idemtenzor. A későbbi variációs elvek alkalmazásához igen lényeges szerepet töltenek be az alábbi feltételeket kielégítő mezők. Definíció 1. Kinematikailag lehetséges (megengedett) elmozdulásmezőnek nevezünk minden olyan u mezőt, amely folytonos, véges deriváltakkal rendelkezik és kielégíti a KPF-t, azaz u = u 0 r A u (.10) Definíció. A = 1 (u + u ) r V (.103) T 31e 3 T = stb. akkor a feszültségi tenzor 3 P i,j=1 T ij e i e j alakban is felírható. Ennek analógiájára a negyedrendű tenzor 3P D = D ijkl e i e j e k e l Vagyis i,j,k,l=1 T = D..A = 3P D ijkl A kl e i e j =! 3P D ijkl e i e j e k e l.. i,j,k,l=1 P 3 i,j=1 i,j=1 T ij e i e j 3P m,n=1 A mn e m e n! = 34

35 Rugalmasságtani összefoglaló 35 Statikailag lehetséges feszültségmezőnek nevezünk minden olyan T tenzormezőt, mely kielégíti az egyensúlyi egyenletet és a dinamikai peremfeltételt, azaz T + ρ k = 0 r V (.104) T n = p r A p (.105) A fenti definiciókból következik, hogy a kinematikailag lehetséges elmozdulásmező is kielégíti a A = 0 r V (.106) kompatibilitási egyenletet, de nem elégíti ki a (.97) egyensúlyi egyenletet: és a (.100) dinamikai peremfeltételt: T + ρ k 0 r V (.107) T n p r A p (.108) Fordítva a statikailag lehetséges feszültségmezőből származó Ā alakváltozási tenzormező T = D Ā Ā = D 1 T C T már nem elégíti ki a (.106) kompatibilitási egyenletet, azaz Ā( T ) = 0 (.109) és ilymódon a (.99) alatti kinematikai peremfeltételt sem, azaz u u 0 r A u (.110) A (.96) - (.100) alatti peremértékfeladat megoldásának egyik lehetséges módja, hogy a háromfajta u, A és T mezők helyett vagy csak az u elmozdulásmezőt, vagy csak a T feszültségi tenzormezőt tartjuk meg a megoldandó végső parciális differenciálegyenletrendszerben. Nem nehéz belátni, hogy homogén-izotróp anyag esetén az elmozdulásmezőre felírható alapegyenlet (A-nak (.98)-ba, majd T -nek (.97)-be helyettesítésével) u + 1 ρ k ( u) + 1 ν G = 0 (.111) 35

36 Rugalmasságtani összefoglaló 36 elmozdulásvektorra vonatkozó ún. Navier-féle alapegyenlet fogalmazható meg. Természetesen a (.100) alatti dinamikai peremfeltétel is az elmozdulásvektoron keresztül nyer kifejezést. A (.111) parciális differenciál egyenletre alapozott számításnál elmozdulásmódszerről beszélünk. Ekkor a primál (elsődleges) változók az elmozdulásmező skalár koordinátái, s ezekből deriválás után jutunk el az alakváltozáshoz, illetve a feszültséghez. Egy másik úton általában feszültségfüggvények bevezetésével a feszültségi mező szerepel alapváltozóként. Természetesen mindkét esetben a peremfeltételeket vagy az elmozdulásmezőn, vagy a feszültségmezőn keresztül kell kifejezni. Speciális terhelések, test geometriák esetére számos eljárás került kifejlesztésre, amelyekkel a rugalmasságtani könyvekben találkozhatunk [1, 4]. Elkövetkezőkben célunk lesz a rugalmasságtani peremértékfeladat megoldását közvetett úton nem differenciálegyenlet-rendszer megoldásán keresztül hanem közvetlen úton, energetikai elvekre alapozott variációs módszerek felhasználásával elérni. Látni fogjuk, ez az út a mérnöki szemlélethez is jól igazodik, s a számítógépek felhasználásával igen eredményesen, a gyakorlati igényeket messze kielégítő módon alkalmazható.... Variációs elvek Az általunk vizsgált mechanikai problémák variációs elvek segítségével történő vizsgálata a differenciálegyenlet-rendszer közvetlen megoldásával szemben az alábbi főbb előnyökkel rendelkezik. 1. A vizsgált variációs elvhez kapcsolódó funkcionál nagyon gyakran fizikai tartalommal bír.. A funkcionál alacsonyabb rendű deriváltakat tartalmaz, mint ami az eredeti feladat differenciál-egyenletrendszerében szerepel. 3. Variációs elvek révén bonyolult peremfeltételek, illesztési feltételek, mezőegyenletek vezethetők le, ill. igazolni lehet a megoldás létezését és egyértékűségét. 4. A számítás közelítésének jóságára a funkcionálban szereplő mezők a priori ki nem elégített perem és illesztési feltételeinek kielégülési mértékén keresztül kapunk szemléletes képet. A közelítés egyetlen skalárral, a funkcionál értékével minősíthető. 5. A variációs elvekre alapozva numerikusan stabil és konvergens eljárások származtathatók. 36

37 Rugalmasságtani összefoglaló A közelítő mezők alkalmas megválasztásával jól kondicionáltságú algebrai egyenletrendszer nyerhető, amelynek számítógépes megoldására jól ismert hatékony eljárások használhatók. A teljes potenciális energia minimum elve, a Lagrange-féle variációs elv Legyen az elmozdulásmező kinematikailag lehetséges. Ekkor az elmozdulás mező variációja (virtuális elmozdulás) alatt, a kinematikailag lehetséges és a tényleges (valódi) elmozdulásmezők közötti különbséget értjük, amelynek jele: δu δu = u u, (.11) ahol u az egzakt elmozdulás. Nyilvánvalóan teljesül: δu = 0, ha r A u. u δu u a.) u e adott u v adott 0 L x u δu u b.) u e adott u v adott 0 L x.3. ábra. Elmozdulásmező variációja Hasonlóan értelmezhető az alakváltozás variációja: 37

38 Rugalmasságtani összefoglaló 38 A = A (u ) = A (u + δu) = 1 [(u + δu) + (u + δu)] = azaz = 1 (u + u) + 1 (δu + δu) } {{ } } {{ } A δa A = A + δa (.113) Definiáljuk a teljes potenciális energiát rugalmas anyagú testre Π p = Π p (u) = 1 A D A dv u ρk dv u p da (.114) V V A p A Hooke-féle anyagegyenlet értelmében T = D A. A potenciális energia kifejezésében az első tag az alakváltozási energia 1 A D A dv = U alakv. míg a külső erők munkája W k = u p da + A p V u ρk dv (.115) Kérdésként merül fel, mennyi a δ Π p értéke kinematikailag lehetséges elmozdulásmező esetén? Behelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk arról, hogy 38

39 Rugalmasságtani összefoglaló 39 Π p (u + δu) = 1 ahol = 1 + V V V V (A + δa) D (A + δa) dv (u + δu) ρ k dv T { }} { A D AdV V A p (u + δu) p da = u ρ k dv A p u p da+ } {{ } Π p(u): egzakt értékhez tartozó T { }} { δa D A dv V δu ρ k dv A p δu p da+ } {{ } δπ p: a potenciális energia első variációja + 1 δt { }} { δa D δa dv } V {{ } δ Π p 0 Π p (u ) = Π p (u + δ u) = Π p (u) + δ Π p + δ Π p (.116) δ Π p = 1 V δa D δa dv 0 (.117) hisz ez utóbbi kifejezés alakváltozási energiát fejez ki. Az első variáció zérus értéke δπ p = 0 a potenciális energia stacionér pontját jelöli ki, amelyben a potenciális energia abszolút minimummal rendelkezik. A kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőnél a potenciális energia mindig nagyobb, mint a tényleges mezőhöz tartozóé. Π p (u ) Π p (u) (.118) A δ Π p = 0 feltétel a T (u) = D A, A = A(u) jelöléssel δπ p = V δa T (u) dv V δu ρ kdv A p δu p da = 0 (.119) 39

40 Rugalmasságtani összefoglaló 40 Az első integrál átalakításával V (δu ) T dv = V (u T ) dv V δu (T ) dv majd a Gauss-Osztrogradszkij tétel felhasználásával, a (.119) helyett δu [T (u) + ρ k] dv + δu [T (u) n p] da = 0 (.10) V A p írható, mivel δu = 0 az A u felületen. Mit is mond ez az egyenlet? Mivel a δu elmozdulásmező variációja a V térfogaton és az A p felületen tetszőleges, az integrálok csak akkor tűnnek el, akkor lesz értékük zérus, ha a δu melletti zárójeles kifejezések zérussal egyenlők. Ezek pedig rendre fizikailag az egyensúlyi egyenletet és a DPF-t fejezik ki. Tétel: A teljes potenciális energia minimumát meghatározó δ Π p = 0 stacionaritási feltétel által kijelölt pontban olyan elmozdulásmező alakul ki a testben, amely az eredetileg a priori előírt kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőre kirótt feltételeket betartva, kielégíti az előzetesen nem biztosított egyensúlyi egyenletet, mint mezőegyenletet és a dinamikai peremfeltételt, vagyis szolgáltatja a rugalmasságtani feladat egzakt megoldását. A tételből következik, hogy közelítő számítás felépítésekor miután u helyett u -ot használunk, az egyensúlyi egyenlet és a DPF már nem fog pontosan kielégülni. Annál kisebb lesz az eltérés, minél közelebb vagyunk a tényleges u megoldáshoz. Nagyon lényeges, hogy az elv csak igyekszik kielégíteni ezeket, és így a (.107), (.108)-ben szereplő hiba mértékéből a számítás pontosságára tudunk következtetni: például a DPF esetén a T n p ϑ (.11) p egyenlőtlenség (ahol ϑ előírt hibakorlát) adhat feleletet a megoldás pontosságára az A p tartomány különböző pontjaiban vett értékek kiszámítása révén. Vagyis fizikai oldalról tudjuk ellenőrizni számításunk pontosságát. Hőhatás, kezdeti feszültség figyelembevétele A testben kialakuló hőmérsékletmezőt ismertnek feltételezve, az α fajlagos hőtágulási tenzor révén kezdeti alakváltozások A 0 = αt (.1) 40

41 Rugalmasságtani összefoglaló 41 ahol T = T (r) a hőmérsékletmező változása. Homogén, izotróp anyag esetén α = αi, (.13) ahol I idemtenzor, α fajlagos hőtágulási együttható. A testben lévő (általában a gyártás során "bevitt" maradó feszültséget) kezdeti T 0 feszültségnek fogjuk nevezni. A terhelés, a maradó feszültség és a hőhatás során kialakult elmozdulásmező ismeretében a keletkező feszültség illetve Ekkor a teljes potenciális energia Π p = 1 V T = D (A (u) A 0 ) + T 0 (.14) A = C (T T 0 ) + A 0 (.15) (A A 0 ) D (A A 0 ) dv V A p u ρ k dv + u p da V A T 0 dv (.16) Természetesen a δ Π p = 0 stacionaritási feltételhez rendelt tételben foglaltak továbbra is érvényben vannak. Megjegyzendő, hogy konkrét számításnál a variálás szempontjából állandónak tekintett 1 A 0 D A 0 dv integrált szükségtelen meghatározni. V A Ritz-féle módszer A teljes potenciális energia minimum elv szerint a δ Π p = 0 variációs egyenletet kielégítő u elmozdulásmező a rugalmasságtani feladat egzakt megoldásához tartozik. A tényleges u elmozdulásmező helyett a kinematikailag lehetséges u elmozdulásmező szerepeltetése δ Π p = 0 egyenlet alapján közelítő megoldást fog eredményezni. A megoldás pontossága az általunk felvett u mező jóságától fog függni. Az minél pontosabban közelíti a tényleges mezőt, az eredmény annál pontosabb lesz. A tényleges mezőnél a potenciális energia abszolút minimummal rendelkezik. Ettől eltérő mezőnél a megközelített potenciális energia nagyobb értékkel fog 41

42 Rugalmasságtani összefoglaló 4 rendelkezni. Általában a közelítést speciális hatványfüggvények alkotta sorral képzik. Így az u mezőt az alábbi módon közelítjük: u = u 0 (r) + N (c i ϕ i (r)e x + c i+n ψ i (r)e y + c i+n χ i (r)e z ) (.17) i=1 ahol u 0 (r) kinetikai peremfeltételt kielégítő mező u 0 (r) = u 0(r) r A u, ϕ i (r), ψ i (r), χ i (r) általunk felvett közelítő függvények, amelyek eleget tesznek a ϕ i (r) = ψ i (r) = χ i (r) = 0 r A u homogén peremfeltételnek, folytonosak, deriválhatók, N a közelítő sorban felvett tagok száma, c i (i = 1,...,3N) ismeretlen állandók, paraméterek. Az u mező variációja δu = N (δ c i ϕ i (r)e x + δ c i+n ψ i (r)e y + δ c i+n χ i (r)e z ) (.18) i=1 u -nak (.16)-be helyettesítésével a potenciális energia az ismeretlen paraméterek függvényeként áll elő A Π p = Π p (c 1,...,c 3N ) (.19) Π p Π p Π p δ Π p = 0 = δ c δ c i δ c 3N (.130) c 1 c i c 3N stacionaritási (minimum) feltételből Π p c i = 0 i = 1,...,3N (.131) algebrai egyenletrendszert nyerjük a c i állandók meghatározására. Vagyis a feladatot véges dimenziójú feladatra sikerült visszavezetni, mégpedig algebrai egyenletrendszer megoldása révén. Ily módon az eredeti parciális differenciál-egyenletrendszer megoldását energetikai elv révén sikerült algebrai egyenletrendszer megoldásával megkapni. A bemutatott módszer igen hatékony, bonyolult gyakorlati feladatok megoldására kiválóan alkalmazható. 4

43 Rugalmasságtani összefoglaló 43 Az elmondottak illusztrálására vegyünk néhány egyszerű rúdra vonatkozó egydimenziós feladatot. Számos esetben a bemutatott feladatoknak egzakt megoldása ismeretes. A példák a közelítő módszer felépítésének útját, elvi hátterét kívánják elsősorban illusztrálni..1. feladat: A változó A = A(x) keresztmetszetű rúd hossztengelye mentén megoszló terhelés intenzitása legyen p. A rúd x = 0 helyen megfogott, míg az x = L végén F L koncentrált erő hat, továbbá c állandójú rugón keresztül csatlakozik a talajhoz. (.4. ábra) Megoldás: A teljes potenciális energia Z Z 1 Π p = σ x ε x dv u p dx u L F L + 1 c (u L) V L {z } {z } {z } rúgóenergia rúd belső alakváltozási energiája külső terhelés munkája (.1-a) z p A, E = Ðк p c N N + N F L x A rudaknál használt hipotézis szerint a keresztmetszetben σ x = Eε x = áll. feszültség keletkezik, ahol ε x = du dx u, E Young féle rugalmassági modulus. L x.4. ábra. Példa egyváltozós feladatra a) Rúd és terhelése, b) rúd elemi része Így Π p = 1 Z Z E(u ) dadx Π p = 1 Z Z AE(u ) dx pu dx F L u L + 1 cu L (.1-b) L A L L A variációszámítás szabálya szerint δu = u δu (.1-c) és így Z δπ p = L Z AEu δu dx L δu p dx δu L F L + cu L δu L = 0 Az első integrált a szorzatintegrálási szabály szerint átalakítva Z δπ p = AEu δu Lo [(AEu ) + p]δu dx δu L (F L cu L ) = 0 L 43

44 Rugalmasságtani összefoglaló 44 majd rendezve Z δ Π p = δ u L [AEu L F L + cu L ] L [(AEu ) + p] δ u dx = 0 (.1-d) variációs egyenlethez jutunk, mivel az x = 0 helyen lévő megfogás miatt δu = 0. Az első tag eltűnéséből a N L (AEu) L = F L cu L (.1-e) dinamikai peremfeltételt, míg az integrál eltűnéséből az (AEu ) = p, (N = p) (.1-f) egyensúlyi egyenletet nyertük. Ez utóbbit hagyományos úton is megkaphatjuk. Véve a rúd elemi részét, a reá ható tengelyirányú erők egyensúlyi feltételéből dn +p x = 0, illetve N = p következik, ami egybeesik a δπ p = 0 feltételnél kapottal. Legyen AE = áll. Közelítsük az u mezőt négyzetes hatvány függvényen keresztül. u = c 0 + c 1 x + c x (.1-g) Mivel x = 0-nál u = 0, c 0 = 0 következik. A (.1-g) alatti közelítéssel u = c 1 + c x, továbbá Z Π p = 1 L Z AE(c 1 + c x) dx p(c 1 x + c x ) dx F L (c 1 L + c L ) + 1 c(c 1L + c L ) illetve Z δ Π p = L Z AE(c 1 + c x)(δ c 1 + δ c x) dx Rendezve az egyenletet Z δ Π p = 0 = δ c 1 4 ami rövidebben Z AE(c 1 + c x) dx L L p(δ c 1 x + δ c x ) dx F L (δ c 1 L + δ c L ) + c(c 1 L + c L )(δ c 1 L + δ c L ) px dx F L L + c(c 1 L + c L )L5 + L L 3 Z Z + δ c 4 AE(c 1 + c x) xdx px dx F L L + c(c 1 L + c L )L 5 δ Π p = δ c 1 Π p c 1 L + δ c Π p c = 0 (.1-h) alakban is felírható. Mivel δc i, (i = 1,) tetszőleges, Π p/ c i = 0 egyenleteket nyerjük. Ezek jelen esetben 8 9 < Z =» Z AE[1 ; x] dx + [ cl ; cl 3 c1 ] px dx F : ; c L L = 0 L L 3 44

45 Rugalmasságtani összefoglaló < Z =» Z AE[x ; 4x ] dx + [ cl 3 ; cl 4 c1 ] : ; c L L p = áll. érték mellett a végső megoldandó egyenletrendszer» L L AE L 4 3 L3» L L + c 3 " c1 L 3 L 4 = c px dx F L L = 0 F L L + p L F L L + p L3 3 # (.1-i) Alesetek p = 0 c = 0 (húzott rúd esete) c 1 = F L AE, c = 0 p = p 0 = áll., F L = 0, c = 0 c 1 = p 0 AE L, c = p 0 AE p = p 0 = áll., F L = 0, c = 0 a megoldást az előző két eset szuperponálásából kapjuk c 1 = 1 AE (F L + p 0 L), c = p 0 4. p = 0, AE = 0, F L 0 c 1 = F L c, u L = F L c.. feladat: Vizsgáljuk az xz síkban elhelyezkedő hajlított-nyírt tartót. A tartó keresztmetszetének főtengelyei essenek egybe az xz síkra merőleges y tengellyel, ill. a z tengellyel. A keresztmetszetek súlypontjain áthaladó tengely ílymódon az x tengelynek felel meg (.5. ábra). A tartóra z tengely irányába p sűrűségű megoszlóterhelés, az x = L keresztmetszetben FL z nyíróerő és M L Y hajlítónyomaték működik. Ezen terhelések hatására a tartó az xz síkban deformálódik. A tartó középvonalának elmozdulás koordinátája z irányában w 0. Megoldás: A Bernoulli-féle hipotézis szerint a tartó keresztmetszete az alakváltozás után is merőleges marad a meggörbült középvonalra, a középvonal nem nyúlik meg. Ilymódon az xz koordinátájú P pont x irányú elmozdulása u = w 0z (.-a) amiből az x irányú fajlagos nyúlás és a keletkező normál feszültség A teljes potenciális energia Π p = 1 Z V ε = u = w 0 z (.-b) σ = Eε = Ew o z Z σε dv L pw o dx w L F z L + w ol M Y L (.-c) (.-d) 45

46 Rugalmasságtani összefoglaló 46 z p F z L x L M Y L w 0 P P 0 w 0 P x P 0.5. ábra. Hajlított-nyírt tartó, terhelése és a Bernoulli-féle hipotézis ahol w 0L = w 0 (L), w 0L = w 0 (L). A (.-b), (.-c) egyenletek behelyettesítésével, a keresztmetszetbeli integrálás elvégzésével Z Π p = 1 L Z I ye(w 0 ) dx L pw 0 dx w 0L F z L + w 0L M Y L (.-e) A Π p első variációját képezve, kapjuk azt, hogy Z δ Π p = L Z I yew 0 δ w 0 dx L pδ w 0 dx δ w 0L F z L + δ w 0L M Y L (.-f) A szorzatintegrálási szabály kétszeri alkalmazásával, a tagok rendezésével stacionér helyzetben δ Π p = [I yew 0 L + ML Y ] δ w 0L [(IyEw 0 ) L + FL z] δ w ol+ + R [I yew 0 ) p]δ w 0 dx = 0 (.-g) L hisz az x = 0 nál lévő befalazás miatt δ w 0 (0) = 0, δ w 0 (0) = 0. A variációk függetlenségéből adódóan egyrészt a dinamikai peremfeltételeket kapjuk meg: M Y L = IyEw 0L M y = I yew 0 (.-h) F z L = (IyEw 0 ) L F z = T z = (I yew 0 ) (.-i) 46

47 Rugalmasságtani összefoglaló 47 ahol T z a nyíróerő, másrészt az (I yew o ) = p (.-j) egyensúlyi egyenlethez jutunk. A (.-h) és (.-i) alatt egyúttal az M y hajlítónyomatékra és T z nyíróerőre is kapunk összefüggéseket. Prizmatikus tartónál I y = áll. Az alábbiakban építsük fel a közelítő megoldást FL z = M L Y = 0 esetén. A közelítőfüggvény w 0 = NX c nx n mivel w 0 (0) = w 0(0) = 0 kell legyen. (.-k) n= Továbbá a lehajlás másodrendű deriváltja w 0 = c NX NX n(n 1) c nx n 6 = g n (x) c n = [g... g N ] 4. n= n= c N A w 0 és w 0 -nek (.-e)-be helyettesítésével a potenciális energia Π p = 1 Z ct 3 g I ye [g... g N ] dx L g N {z } Q a c paraméterek függvényeként áll elő, vagyis c c T Z 3 x p dx L x n {z } b 7 5 = g T c (.-l) Π p = 1 ct Q c c T b (.-m) ahonnan a minimumfeltételből a algebrai egyenletrendszert nyerjük a c állandók Π p c = 0 = Q c b (.-n).3. feladat: Vizsgáljuk a.6. ábrán vázolt prizmatikus tartót. Megoldás: közelíteni: A Példa.-j szerint elegendő a lehajlást negyedfokú hatványfüggvénnyel(polinommal) w 0 = c 0 + c 1 x + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 (.3-a) Az x = 0 helyen lévő kinematikai peremfeltételből c 0 = c 1 = 0 következik, míg az x = L helyen állnia kell a w 0 (L) = 0 = c L + c 3 L 3 + c 4 L 4 összefüggésnek, amiből vagyis c = (c 3 L + c 4 L ) w 0 = c 3 (x 3 Lx ) + c 4 (x 4 L x ) (.3-b) 47

48 Potenciális energia minimum elv 48 z p L x.6. ábra. Statikailag határozatlan tartó továbbá A teljes potenciális energia w 0 = c 3 (6x L) + c 4 (1x L ) (.3-c) Π p = 1 Z [c 3 c 4 ] L» 6x L 1x L I ye [6x L,1x L ] dx Z [c 3 c 4 ] = 1» 4L 3 [c 8L 4 3 c 4 ]I ye 8L L5 L» x 3 Lx x 4 L x p dx =» c3 c 4 [c 3 c 4 ] p 4 L L5 3 5 (.3-d) amiből a δ Π p = 0 értelmében előálló egyenletrendszer» 4L 3 8L 4 I ye 8L L5» c3 c 4 = pl 4» L (.3-e) A megoldásként kapott állandók értékeinek ismeretében az elmozdulás és a hajlítónyomaték x függvényeként már könnyen felírható: c 3 = 5 pl 48 I, c 4 = p ye 4I, w o(x) = p 48I ye (3L x 5Lx 3 + x 4 ), M y(x) = p 1 8 L 5 «x Lx + 8 (.3-f).3. Potenciális energia minimum elv alkalmazása több testből álló rendszer esetén Tekintsük a.7. ábrán vázolt 1 és jelű testekből álló szerkezetet. Az egyes elemekhez tartozó mennyiségeket felső indexbe tett sorszám jelöli. Mindkét elemre egyidejűleg az e felső indexszel hivatkozunk. A V e térfogatú e elemet az A e felület határolja. A V e térfogaton a ρ e k e sűrűségű megoszló 48

49 Potenciális energia minimum elv 49 terhelés, az A e p felületen a p sűrűségű felületi terhelés működik, míg az A e u felületen ismert az u 0 elmozdulás. Az A e felület megmaradó A e c részén az elem a szomszédos elemmel érintkezik, csatlakozik. Mindkét testre érvényesek a rugalmasságtan egyenletei, azaz A e = 1 (ue + u e ) r V e (.13) T e = D e A e r V e (.133) T e + ρk e = 0 r V e (.134) mint mezőegyenlet, továbbá érvényesek a peremfeltételek [1]: u e = u 0 r A e u T e u e = p e r A e p (.135) A u p A c ρk A p x z y 1.7. ábra. Kételemű rendszer A testek csatlakozó A e c közös felületén, az eddig nem ismert illesztési feltételek állnak fenn. Ezek két csoportba oszthatók. Egyik az elmozdulásokra vonatkozik. Feltételezésünk értelmében a közös felületi pontok együtt mozognak, nem válnak el egymástól, azaz a testek között kétoldalú érintkezési feltételek állnak fenn. A másik a feszültségekre vonatkozik. A felületen lévő feszültségek egyensúlyban vannak. Ily módon a KIF (kinematikai illesztési) és a DIF (dinamikai illesztési) feltételek az alábbiak: u 1 = u r A c T 1 n 1 = T n (.136) r A c 49

50 Potenciális energia minimum elv 50 Itt n 1 és n a testekből kifelé mutató normálvektorok. Vizsgáljuk meg, hogy ebben az esetben hogyan használható a potenciális energia minimuma elv, illetve a megfelelő variációs elv. Tételezzük fel, hogy az u e elmozdulásmező kinematikailag lehetséges, illetve teljesíti a kinematikai illesztési feltételt. Ez utóbbiból következik, hogy δu 1 = δu r A c (.137) A vizsgált rendszer teljes potenciális energiája a két testre külön-külön felírható potenciális energiák összegeként áll elő: 1 Π p = A D A dv u ρk dv u p da (.138) e=1 V e V e A két testre vonatkozó variációs elv felépítéséhez induljunk ki a teljes potenciális energiák variációjából: δπ p = δπ e p = e=1 A e p {δualakv. e δw k e } = 0 e=1 { 1 e=1 V e δa e T e dv } {{ } δu e alakv. V e δu e ρk dv A e p } δu e p da } {{ } δwk e (.139) Az első integrál az egy testre vonatkozó vizsgálatnál bemutatottak szerint átalakítható δu (T ) e dv = (δu T ) e dv (δu } {{ }.. T e dv = V e V e V e δa+δψ = δu e T e n e da δa e.. T e dv A e V e innen δa e T e dv = V e A e δu e T e n e da V e δu e (T ) e dv 50

51 Hivatkozások a. fejezethez 51 ahol A e = A e u }{{} δu=0 + A e c A kapott formulákat visszaírva és a tagokat átrendezve: e=1 V e δu e [T + ρk] e dv A e p δu e (T n p) e da δu 1 (T 1 n 1 + T n ) da = 0 (.140) A 1 c variációs egyenlethez jutunk. Nyilvánvalóan, ha a KIF nem állna fenn, akkor a (.140) utolsó integrálja két részre esne, ami a belső felület feszültségmentességét fejezné ki. Ez pedig a megfigyelésekkel ellentétes eredményt szolgáltatna. A levezetett variációs egyenlet, vagyis a variációs elv biztosítja az egyensúlyi egyenlet, a dinamikai perem-, és illesztési feltétel teljesülését. Tehát ezzel a teljes potenciális energia minimum elv a több testből álló rendszerekre is alkalmazható a kinematika perem- és illesztési feltételeket a priori kielégítő elmozdulásmező felvétele esetén. A több testből álló rendszerekre vonatkozóan számos variációs elvet fejlesztettek ki. Sok esetben az elmozdulásmezőn kívül a feszültségi tenzormező is szerepel a variálandó mezők között. Az illesztési feltételek a priori kielégítési mértékétől függően további mezőket, multiplikátorokat kell felvenni. Az [5, 8] könyvek e témakörben további információval szolgálnak..4. Hivatkozások a. fejezethez 1. Béda Gy. - Kozák I.: Rugalmas testek mechanikája, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, Galántai A. - Jenei A.: Numerikus módszerek, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, Rontó M. - Raisz Pné: Differenciálegyenletek műszakiaknak, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, Lurje A.I. Teorija uprugosti, Nauka, Moszkva, (orosz nyelven) Páczelt I. - Scharle P.: A végeselem-módszer a kontinuummechanikában, Műszaki Könyvkiadó, Budapest,

52 Hivatkozások a. fejezethez 5 6. Kozák I.: Szilárdságtan V. Jegyzet, NME Gépészmérnöki Kar, Tankönyvkiadó, Budapest, Mechanika mérnököknek, Szilárdságtan, Szerkesztette M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Páczelt I.: Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc,

53 A végeselem-módszer elemmodelljének felépítése A végeselem-módszer elemmodelljének felépítése Az előző fejezetben kiemelt figyelmet fordítottunk a teljes potenciális energiára, a hozzá kapcsolódó variációs elvre és a reá épülő közelítő számításra. Láttuk, hogy az elv nem csak egy testből álló mechanikai rendszerre alkalmazható, hanem több testből felépülő (konkrét elemzést két testre tettük meg) rendszerre is. Láttuk, hogy a módszer használatához a kinematikai perem és illesztési feltételeket kielégítő elmozdulásmező közelítését kell biztosítani, ami nem jelent túlzott nehézséget. A módszert először Ritz alkalmazta a múlt század elején. Olyan közelítő mezőket használt, amelyek az egész értelmezési tartományon gyakorlatilag zérustól eltérő értékekkel rendelkeztek. A kapott algebrai egyenletrendszer együttható mátrixa, ha az alkalmazott koordinátafüggvények nem ortogonálisak az alakváltozási energia számításánál, akkor egy teljesen telített (zérus elemek nincsenek) mátrixot kapunk. A közelítő függvények mástípusú felvétele, amint ezt a későbbiekben látni fogjuk szalagszerkezetű együttható mátrixot fog eredményezni. Ez akkor érhető el, amikor a közelítő függvények zérustól csak az egész tartomány kicsiny alrészén különböznek. Ezt az ún. lokális approximáció elv alkalmazásával érhetjük el, ami voltaképp a végeselem-módszert fogja jelenteni. A továbbiakban előjáróban egyváltozós feladatot fogunk vizsgálni (húzott rúd) bemutatva a lokális közelítés elvét, a végeselemes tárgyalás alapvető fogalmait Alapfogalmak A végeselem-módszer lényegét az alábbi egydimenziós, húzott rúd példáján kívánjuk bemutatni. Az x = 0 helyen megfogott, p sűrűségű megoszló terhelés hatására a 3.1.a ábra szerinti u = u(x) tengelyirányú elmozdulásmező alakul ki. Ezt a mezőt oly módon fogjuk közelíteni, hogy a közelítő függvénytől megköveteljük az x i (i = 1,...,6) koordinátájú pontokbeli u i = u(x i ) függvényértékeken történő keresztülhaladást. Vagyis a közelítő u = u függvény kielégíti az u i = u i feltételt. A közelítő kinematikailag lehetséges u elmozdulásfüggvény egy lehetséges esetét a szaggatott vonallal rajzolt, szakaszonként lineárisan változó függvény jelenti. Egy másik változatot az 1--3, illetve pontok által kijelölt négyzetes parabolák ill. az 5-6 közötti egyenes által leírt függvény jelentené. Miután adott pontokon keresztül halad a 53

54 u 3 u 6 VEM alapjai Alapfogalmak 54 közelítő függvény, úgy a közelítést a numerikus matematikából ismert Lagrange-féle polinommal történő közelítésnek nevezhetjük. A gondolat általánosításával a 6. ponton átmenő Lagrange féle polinom révén lehetne a legjobban megközelíteni az eredeti u függvényt. p x a.) u u 4 u 5 b.) u x u 3 = u 3 u = u 3 c.) u 3 4 = u 4 u 3 = u ábra. Az u(x) elmozdulásmező közelítése végeselemmel Térjünk vissza a szakaszonkénti lineáris közelítésre. Az 1-, -3 stb. pontok (csomópontok) közötti tengelyszakasz jelöli ki az első, második, stb. elemet. Gondolatban szedjük szét a rudat csomópontjaival kijelölt elemekre, hozzá csatlakoztatva a hozzátartozó elmozdulás-függvényeket is. Ekkor a 54

55 Alapfogalmak 55 1 N 1 (x) x a.) N (x) 1 x b.) N 3 (x) 1 x c.) N 4 (x) 1 x d.) N 5 (x) 1 x e.) N 6 (x) 1 x f.) u u 5 g.) u 3 u 4 u 6 u N (x)u N 6 (x)u 6 x N 3 (x)u ábra. Koordinátafüggvények, közelített elmozdulásmező 55

56 Alapfogalmak 56. és 3. elem vonatkozásában a 3.1.c ábrán megrajzolt u e -t nyerjük. Itt és a továbbiakban a felső e index az e jelű elemhez való tartozásra utal! A. jelű elem csomópontjainak elmozdulása u = u, u 3 = u 3, ahol az alsó index a csomópontra utal. A 3. jelű elemnél u 3 3 = u 3, u 3 4 = u 4. Az elemen belüli lineáris, szaggatottan rajzolt, közelítő függvényt az elem csomópontjaiban lévő elmozdulásokon keresztül tudjuk kifejezni. Láthatóan, egymástól függetlenül, elemenként fel tudjuk építeni a csomóponti elmozdulásokon keresztül a közelítőfüggvényt. A különálló elemeket összeillesztve (pl.. és 3. elemnél u 3 = u 3 = u 3 3 ), megkapjuk az eredeti u függvény közelítését az egész tartományra vonatkozólag. Ezideig feltételeztük, hogy u ismert és így a csomóponti értékek is, vagyis a fenti közelítés hibája a csomópontokban zérus. Természetesen a konkrét mechanikai feladat megoldásának kezdetekor az u elmozdulásfüggvény (elmozdulásmező) nem ismert, és így a csomóponti értékek se. Megfordítva, ha a csomóponti elmozdulások közelítő értékét tudnánk, a felvett approximáció révén bárhol az u közelített elmozdulásmezőt is ismernénk, sőt ennek felhasználásával az A, T alakváltozási és feszültségmezőket is, vagyis a teljes potenciális energia Π p (u ) kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőhöz tartozó értéke is ismert volna. Minthogy u a csomóponti elmozdulásokon keresztül nyer kifejezést, a Π p minimum elv értelmében ezek a csomóponti elmozdulások, paraméterek meghatározhatók lesznek. Lényegében a Ritz módszer jelenik meg azzal a különbséggel, hogy a közelítés sorában a c i (i = 1,...,3N) állandók helyett (lásd (.19) ) a konkrét helyen fellépő elmozdulások szerepelnek s a ϕ i koordinátafüggvények sajátságos tulajdonságokkal rendelkeznek. Melyek ezek? Az alábbi gondolati kísérlet erre fog feleletet adni. A csomópontokba helyezzünk el függőleges megvezetésű csapokat, majd a csapokhoz erősítve feszítsünk ki egy gumiszálat az x tengely mentén, (3.. ábra). A csapokat rögzítsük le egy-egy csavar segítségével. A rögzítés feloldásával emeljük meg az első csapot egységnyi magasságra. A gumi a 3..a ábra szerinti alakot veszi fel. Engedjük le az 1-es csapot eredeti helyzetébe s emeljük meg a -es csapot. A gumi a 3..b ábra szerinti alakot fogja felvenni. Tovább folytatva a kísérletet, azaz a csapok felemelését és leengedését a 3..c-f ábrán rajzolt függvényekhez fogunk jutni. Látjuk, hogy ezek a függvények ténylegesen zérustól eltérő értékkel csak kis tartományban, lokálisan (egy vagy két elem értelmezési tartományán) jelennek meg. Innen származik a lokális approximáció elnevezés. Ha ezeket a függvényeket rendre megszorozzuk a csomópontbeli elmozdulással, akkor a 3..g 56

57 Alapfogalmak 57 ábra szerinti közelített u mezőt kapjuk meg. Vagyis a 3..a-f ábrán megrajzolt függvények a Ritz-féle módszer koordinátafüggvényeinek felelnek meg. Az elmondottak értelmében a közelített elmozdulásmező u (x) = 6 N i (x) u i = [N (x) N 3 (x) N 6 (x)] i= u u 3. u 6 = N(x) q (3.1) ahol q a csomóponti elmozdulások vektora, N(x) az approximációs mátrix. Az egész rendszerre vonatkozó teljes potenciális energiát, az elemenként vett potenciális energiák összegeként szeretnénk előállítani. Ehhez képezzük az i, j csomópontokat tartalmazó elemen belüli elmozdulásmezőt u e (x) = [ xj x L e, ] [ x x i u e i L e u e j ] (3.) ami a ξ = x x i változó bevezetésével, azaz új lokális helykoordináta felvételével u e (ξ) = [ 1 ξ L, ξ L] e [ u e i u e j ] = = [ N e i (ξ) N e j (ξ) ] [ u e i u e j alakban is felírható. Itt L e = x j x i. A húzott rúdban kialakuló fajlagos nyúlás ] = N e (ξ)q e = q et N et (ξ) (3.3) ε e = due dx = εe (ξ) = due (ξ) = 1 dξ L [ 1, 1] qe = B e q e (3.4) illetve a normál feszültség a Hooke törvény alapján σ e = Eε e = σ e (ξ) = E ε e (ξ) = E B e q e (3.5) Az elem teljes potenciális energiája az A e keresztmetszetű, prizmatikus (állandó keresztmetszetű) rúd esetén, az alakváltozási energiából 57

58 Alapfogalmak 58 U e = 1 L σ εa dξ = 1 qet B et A e E B e dξ q e = L e = 1 [ ] qet Ae E 1 1 L e q e qet K e q e, (3.6) a külső erők munkájából p(ξ) i e L e j ξ N e i (ξ) N e j (ξ) 1 1 ξ ξ u e (ξ) u e i u e j ξ ε e (ξ) ξ 3.3. ábra. Egydimenziós végeleselem, lokális koordinátafüggvények N e i (ξ), N e j (ξ) áll össze, azaz W e k = L e up dξ = q et N et (ξ)p dξ q et f e (3.7) L e Π e p = 1 qet K e q e q et f e (3.8) ahol K e az elem merevségi mátrixa, f e a külső terhelés csomóponti redukált terhelési vektora, q e az elem csomóponti elmozdulási vektora. 58

59 Alapfogalmak 59 Állandó intenzítású hosszmenti p megoszló terhelésnél f e = [ fi f j ] e = L e N et (ξ)p dξ = L e ξ=0 [ Ni (ξ) N j (ξ) ] e p dξ = ple [ 1 1 ] (3.9) vagyis a lineáris elmozdulásmező miatt a rúdelemen ébredő pl e nagyságú erő a két csomópontra fele-fele arányban van szétosztva, azaz redukálva. A kapott merevségi mátrixot almátrixokra felbontva ([ ] e [ ] e [ ] e ) Π e p = [q T i q T j ] e Kii K ij qi fi (3.10) K ji K jj Jelen esetben, (3.6) és (3.7) alapján q j q e i = u e i, (i j), K e ii = f j ( ) AE e stb.) L Bevezetve az összes csomóponti elmozdulások vektorát a rúd teljes potenciális energiája q T = [q T 1 q T...q T 6 ] (3.11) Π p = qt 6 4 K 1 11 K 1 1 K 1 1 K 1 + K K 3 K 3 K 33 + K3 33 K K 4 45 K K5 55 K 5 56 K 5 65 K q q T f1 1 f 1 + f f + f 3 3 f 3 + f 4 4 f5 4 + f 5 5 f (3.1) Mivel az 1-es pontban a rúd elmozdulása zérus, úgy q 1 = 0. A δ Π p = 0 variációs egyenlet értelmében δ Π p = 5 δ q T i i= Π p q i = 0, (3.13) azaz a megoldandó algebrai egyenletrendszer K K 3 K 3 K 33 K 34 K 43 K 44 K 45 K 54 K 55 K 56 K 65 K 66 q q 3 q 4 q 5 q 6 = f f 3 f 4 f 5 f 6 (3.14) 59

60 Egyváltozós feladatok 60 ahol K = K 1 + K, K 3 = K 3, f = f 1 + f stb. A (3.14) tömören Kq = f (3.15) alakban írható fel, ahol K a rendszer merevségi mátrixa, f a csomóponti redukált terhelés vektora. A fentiekben egydimenziós feladat kapcsán mutattuk be a lokális approximációt felhasználó végeselem-módszer alapjait, kitérve néhány alapvető fogalomra, és azok értelmezésére. Láttuk, hogy a közelítő megoldás speciális tulajdonságú koordinátafüggvényeket (N i (x)) felhasználó Ritzmódszernek tekinthető. Eltérően a hagyományos felépítéstől, a választott koordinátafüggvények zérustól csak néhány végeselem felett különböznek. Ez azt is jelenti, hogy a végső egyenlet együttható mátrixa (a jelen példában merevségi mátrixa) szalagstruktúrával rendelkezik, ami nagyméretű egyenletrendszerek megoldásánál nagyon előnyösnek ígérkezik. 3.. Egyváltozós feladatok Sok esetben a 3 dimenziós térben elhelyezkedő testet, a mechanikai viselkedés szempontjából, kinematikai és feszültségi hipotézisek felhasználásával egy, ill. kétváltozós feladatokká lehet áttranszformálni, vagyis redukálni. Ezzel a feladatok megoldhatósági körülményei egyszerűsödnek. A felvett hipotézisek alkalmazását a gyakorlat ugyanakkor visszaigazolja. Igen lényeges osztályát jelenti az ilyen típusú szerkezeteknek, a rúdként tárgyalható modellek. Vizsgálatainkat síkbeli szerkezetekkel korlátozzuk Síkbeli rúdszerkezetek Rúdnak nevezzük azokat a testeket, amelyeknél a test egy kitüntetett térgörbére merőleges geometriai méretei lényegesen kisebbek a térgörbe irányában mérthez képest. Ha a térgörbe egyenes, akkor egyenes rudakról beszélünk. A test merőleges metszetei a rúd keresztmetszetét jelölik ki. Feltételezésünk szerint a keresztmetszet súlypontja a térgörbén helyezkedik el, amit tömören középvonalnak nevezünk. Vizsgálatainkat egyenes középvonalú és állandó keresztmetszetű (prizmatikus) húzott-nyomott, hajlított-nyírt rudakra korlátozzuk. A nyírási energia elhanyagolásával az. ún. Bernoulli hipotézisű rudakhoz jutunk [1, ]. 60

61 Egyváltozós feladatok 61 A rúdszerkezetek modelljeivel számos gyakorlati probléma szilárdságtani elemzése kényelmesen és nagy megbízhatósággal megoldható. A gépészetben az erőátviteli hajtóművek tengelyeinek méretezése, a gépállványok első durva méreteinek meghatározása, csarnokszerkezetek tervezése stb. feladatorientáltan elkészített végeselemes programok révén a mindennapos tervezői analízis eszköze. A bemutatott elmélet az elmélyültebb munkát, a mechanikai szemléletmód erősítését szolgálja. Bernoulli féle hipotézis, variációs egyenletek A vizsgált x z síkban fekvő rúdszerkezet egy tetszőleges e jelű elemét a végein elhelyezkedő i és j csomópontokkal jellemezzük. A rúdhoz kötött helyi koordinátarendszert az i,j csomópontokon átmenő ξ tengely és a rúdkeresztmetszetben elhelyezkedő η, ζ főtengelyek alkotják. A rúd tengelye az x tengellyel β szöget zár be, hossza L e. A rúd elmozdulásánál feltételezzük, hogy a rúd keresztmetszete merőleges marad a meggörbült középvonalra, azaz érvényes a Bernoulli-féle hipotézis. Ekkor, szilárdságtani ismereteink alapján mondhatjuk, hogy a rúdban alakváltozási energiát csak rúdirányú feszültségek adnak. A keresztmetszet mentén húzás-nyomásból állandó, hajlításból lineárisan megoszló lefutású feszültség keletkezik. Ehhez tartozóan a rúdirányú elmozdulás a keresztmetszet egy tetszőleges P pontjában (lásd a 3.4. ábrát) a következőképp írható fel: u P = u P (ξ,η,ζ) = u (ξ) w (ξ) ζ, (3.16) ahol ( ) = d dξ ( ), u (ξ), w (ξ) a ξ ill. ζ irányú elmozdulás. Az (3.16) összefüggés felhasználásával a tengelyirányú fajlagos nyúlás ε ξ (ξ, ζ) = ε (ξ, ζ) = u (ξ) w (ξ) ζ, (3.17) míg az egyszerű Hooke-féle anyagegyenlet alapján a normál feszültség σ (ξ, ζ) = E ε (ξ, ζ), (3.18) ahol E a Young modulus. Jelölje a rúdon ható megoszló terhelést, hosszirányban p ξ, keresztirányban p ζ, melyeknek mértékegysége [N/mm]. A rúd végein F ξ0, F ξl rúderő, F ζ0, F ζl nyíróerő és M η0, M ηl hajlítónyomaték hat. 61

62 Egyváltozós feladatok 6 P w z p ζ ζ w i p ξ β e P j ξ u ϕ y x 3.4. ábra. Síkbeli rúd elmozdulása, terhelése A fenti terheléseket figyelembevéve, továbbá tekintettel arra, hogy alakváltozási energia csak a σ (ξ) feszültségből származik, a rúd teljes potenciális energiája két integrálon keresztül és a rúdvégeken ható koncentrált erők és nyomatékok terhelési munkájából áll össze. Π p = 1 L A ε ξ E ε ξ da dξ L (u p ξ + w p ζ ) dξ (u (L) F ξl u (0) F ξ0 + w (L) F ζl w (0) F ζ0 ) ( w (L) M ηl + w (0) M η0 ) (3.19) A minimum feltételt kijelölő δ Π p = 0 stacionaritási feltételből a δ u és δ w mezők függetlensége miatt az u rúdirányú elmozdulás vonatkozásában részletezett módon, az alábbi mezőegyenletek és peremfeltételek vezethetők le: δ u Π p = 0 = δu E (u w ζ) da dξ δu p ξ dξ L A (δu (L) F ξl δu (0) F ξ0 ) = L L δu AE u dξ L L δu p ξ dξ (δu (L) F ξl δu (0) F ξ0 ) = = [ ( AEu F ξ i ) δu ] [ L (AEu 0 δu ) ] + pξ dξ (3.0) 6

63 Egyváltozós feladatok 63 amiből és A E u + p ξ = 0, (3.1) (N F ξ i ) δ u L 0 = 0, N = AE u (3.) A részletek mellőzésével a keresztirányú w elmozdulás vonatkozásában, az egyensúlyt kifejező alapegyenlet (lásd Példa.) I η E w IV p ζ = 0, (3.3) és a dinamikai peremfeltételt adó variációs egyenletek (F ζ F ζ i ) δ w L 0 = 0, (M η M η i ) δ w L 0 = 0, (3.4) azaz F ζ = I η E w, és M η = I η E w (3.5) Látható, hogy megoszló terhelés hiányában a (3.1) és (3.3) mezőegyenletek lineáris u, ill. harmadfokú w polinommal elégíthetők ki. Amennyiben a rúd hossza mentén megoszló terhelések lineárisan változnak, akkor a mezőegyenletek partikuláris megoldását harmadfokú ill. ötödfokú polinom szolgáltatja. Ebben az esetben a végeselem közelítő mezői egyúttal pontos megoldások, vagyis jelen esetben a teljes potenciális energia minimuma elv egzakt megoldást szolgáltat a rúdszerkezet vonatkozásában. Nagy előnye a módszernek, hogy kis elmozdulások és alakváltozások feltételezése mellett, a statikailag többszörösen határozatlan szerkezetek minden nehézség nélkül vizsgálhatók. Figyelmet a kinematikai perem- és illesztési feltételek kielégítésére kell csak összpontosítani. A fenti (3.1)-(3.5) alatti variációs egyenletekből, peremfeltételekből következik, hogy az elemek közötti mezők folytonossági feltételek u mezőnél C 0 osztályú azaz a függvény folytonos, a w mezőnél C 1 osztályú folytonosságot azaz a derivált folytonosságát is megköveteljük. A síkban elhelyezkedő különböző irányítottságú elemek miatt a ξ ζ helyi koordinátarendszerben értelmezett, csomópontonként megjelenő u, w, ϕ η = w elmozdulási paraméterek transzformációjára lesz majd szükség. Elmozdulásmező közelítése A fenti levezetésből következik, hogy az elemen belüli elmozdulásmező u, w. Ezeket polinomok segítségével közelítjük. A polinomok tagjainak egy részénél az együtthatókat csomópontonként felvett két elmozdulási 63

64 Egyváltozós feladatok 64 és egy szögelfordulási értékkel tudjuk kifejezni, ill. az inhomogén differenciálegyenletek partikuláris megoldásaihoz tartozó tagokat pótlólagos állandóként, paraméterként fogjuk a továbbiakban szerepeltetni. Definiálva az elem helyi koordinátarendszerben értelmezett q e általánosított csomóponti vektorát, az ă e pótlólagos állandók vektorát, a felsorolt műveletek végrehajtása után az alábbi approximációhoz jutunk. Vagyis az elemen belüli elmozdulásvektor u e (ξ ) = [ u w ] e = N e (ξ) q e + N e (ξ) ă e, (3.6) ahol a csomóponti elmozdulásvektorhoz tartozó approximációs mátrix ahol N e i (ξ) = N e (ξ) = [ N i (ξ) N j (ξ) ] e, (3.7) [ 1 ξ ξ + ξ 3 L ( ξ ξ + ξ 3) ] e, N e j (ξ) = [ ξ ξ ξ 3 L ( ξ ξ 3) ] e, ξ = ξ L e. A pótlólagos állandókkal megszorzott approximációs mátrix [ L N e ( ξ (ξ) = ξ ) L 3 ( ξ3 ξ ) L 4 ( ξ4 ξ 3 + ξ ) L 5 ( ξ5 3 ξ 3 + ξ ) N e u (ξ) 0 } {{ } (1,) = 0 N e w (ξ) } {{ } (1,) (3.8) ] e q e,t = [ q T i q T j ] e, ă e,t = [ ă T u ă T w] e, q e,t i = [ u,w, w ] e i. 64

65 Egyváltozós feladatok 65 Merevségi mátrix, redukált terhelési vektorok Az (3.19) diszkretizálása után véges dimenziójú feladatot kapunk, azaz a diszkretizált teljes potenciális energia Π p = Π p ( q e, ă e ) = 1 ahol e f q(p) = Itt L e [ N e,t pξ (ξ) p ζ K e qq = e,t [ q ă e,t ] [ K e qq ( L e K e aa = L e ] K e aq e dξ, f a(p) = L e [ B e,t AE 0 (ξ) 0 I η E [ B e,t AE 0 (ξ) 0 I η E K e qa K e aa ] [ q e ă e [ N e,t pξ (ξ) p ζ ] e B e (ξ) dξ, ] e B e (ξ) dξ. ] [ ] f e q(p) f e ) a(p) (3.9) ] dξ (3.30) [ B e 1 1 L 0 0 L 0 0 (ξ) = 0 1 ξ 6 L 4 6 ξ L ξ L 6 ξ L ] e (3.31) [ B e ξ L 3ξ (ξ) = L 0 0 } {{ } ( ξ ξl ) + L 0ξ 3 18ξL + 4L 3 (,4) e B u (ξ) 0 } {{ } (1,) = 0 B w (ξ) } {{ } (1,) (3.3) A potenciális energiában szereplő, a helyi koordinátarendszerben értelmezett vegyes indexű merevségi mátrix, jelen esetben K e aq = K e,t qa = 0. A teljes potenciális energia variációja ] e δπ p = δ e Π e p = e δ q et Πe p q e + e δă et Πe p ă e = 0 (3.33) 65

66 Egyváltozós feladatok 66 Az ă e paraméterekhez tartozó K e aa merevségi mátrix és annak inverze zárt alakban felírható és mivel az ă e paraméter csak az e-dik elemen belül működik, a Π e p / ă e = K aa ă e f a(p) e = 0 minimum feltételből ă e kiszámolható. A számítások elvégzése után a pótlólagos állandók vektora a két mező vonatkozásában ă e,t u = [ p ξ i AE [ ă e,t pζ i w = 4I η E A szimmetrikus K e qq merevségi mátrix az alábbi K e qq = 6 4 ] 1 e 6AEL (p ξ i p ξ j ), (3.34) ] 1 e 10I η EL (p ζ j p ζ i ). (3.35) AE/L 0 0 AE/L I ηe/l 3 6I ηe/l 0 1I ηe/l 3 6I ηe/l 0 6I ηe/l 4I ηe/l 0 6I ηe/l I ηe/l AE/L 0 0 AE/L I ηe/l 3 6I ηe/l 0 1I ηe/l 3 6I ηe/l 0 6I ηe/l I ηe/l 0 6I ηe/l 4I ηe/l 3e 7 5 (3.36) A redukált csomóponti terhelési vektor a (3.30) alatti integrál kiszámítása után a következő összefüggések révén számolható, (az áttekinthetőség érdekében a mátrix elemeket vesszővel választjuk el): f e,t q(p) = [ L [ p ξ i L [ p ζ i 1 L [ p ζ i (p ξ j p ξ i ) ], L [ p ζ i (p ζ j p ζ i ) ], L [ p ξ i (p ζ j p ζ i ) ], L [ p ζ i (p ζ j p ζ i ) ], (p ξ j p ξ i ) ], (p ζ j p ζ i ) ]] e (3.37) A helyi koordinátarendszerben felírt diszkretizált potenciális energiát az elemek közötti elmozdulásmező folytonosságának biztosítása érdekében az x,z globális koordinátarendszerben értelmezett U,W elmozdulásokkal és a síkra merőleges ϕ η szögelforduláson keresztül lehet kifejezni. A helyi, rúdhoz kötött koordinátarendszerben lévő csomóponti általánosított elmozdulást a globálbeli értékeken keresztül az alábbi összefüggés révén fejezhetjük ki: q e i = u w ϕ η = w e i = cos β sin β 0 sin β cos β e U W ϕ Y e i T e 0 q e i, (3.38) 66

67 Egyváltozós feladatok 67 vagyis az elem csomóponti általánosított elmozdulásvektora [ q e qi = q j ] e [ T0 0 = 0 T 0 ] e [ qi q j ] e T e q e, (3.39) ahol T e az elem transzformációs mátrixa. Ezek után az elem teljes potenciális energiája Π p = Π p ( q e, ă e ) = 1 qe,t K e qq q e q e,t f e q(p) +... = Π p (q e, ă e ) = = 1 qe,t ( T e,t K e qqt e q e T e,t f e q(p) )+... = 1 qe,t K e qqq e q e,t f e q(p) +..., ahol a globális rendszerbeli merevségi mátrix, (3.40) K e qq = T e,t K e qqt e (3.41) f e q(p) = Te,T f e q(p) (3.4) a globális rendszerbeli redukált csomóponti általánosított terhelési vektor. Ezek ismeretében az elemek csatolása az ismert szabályok (lásd 3.4 fejezet) alapján már könnyen elvégezhető. Hőhatás figyelembevétele A rúdban a hőmérséklet változás-megoszlást a T = T (ξ,ζ) függvényen keresztül adjuk meg, α-a fajlagos hőtágulási együttható. Feltételezzük, hogy a rúdban a hőmérséklet változás az alábbi összefüggés alapján a hely lineáris függvénye T = T (ξ,ζ) = T i + (T j T i ) ξ/l + ζ ( T i + ( T j T i ) ξ/l ) (3.43) ahol T i az i-edik keresztmetszet súlypontjának hőmérsékletét, T i pedig a hőmérséklet i-edik keresztmetszetbeli ζ menti lineáris változását jellemzi. Hőhatás esetén a keletkező normálfeszültség σ (ξ, ζ) = E {ε ξ (ξ, ζ) α T (ξ,ζ)}. (3.44) A képlet szerint látható, ha pl. egy rúd meg van akadályozva a megnyúlásában (két vége merev lapokra támaszkodik), akkor egyenletesen melegítve a rudat T (ξ,ζ) = T áll, alakváltozás nem lép fel, de a keresztmetszet menti állandó nyomó feszültség jön létre σ (ξ, ζ) = EαT áll. Ha a rúd 67

68 Egyváltozós feladatok 68 egyik végét mozgásában nem akadályozzuk, akkor a hőmérséklet emelkedésből származó fajlagos nyúlás ε ξ (ξ, ζ) = αt áll L/L azonos lesz az αt áll értékkel, vagyis a rúdban nem lép fel hőfeszültség. Általánosan mondható, ha a test homogén, izotróp, és a testben a hőmérséklet lineárisan változik, továbbá a test szabadon tud terjeszkedni, akkor a testben a hőhatásból nem származnak feszültségek, annak ellenére, hogy a testben elmozdulások felléptek. A hőhatásból adódóan a teljes potenciális energia módosul. Szimmetrikusan felírva Π p = 1 ( ε ξ αt ) E ( ε ξ αt ) da dξ (u p ξ + w p ζ ) dξ... L A (3.45) majd a diszkretizálást elvégezve a redukált hőterhelési vektor: [ e,t f q(t ) = AEα I (T i + T j ), ηeα L ( T i T j ), I η Eα T i, ] AEα I e (T i + T j ), ηeα L ( T (3.46) j T i ), I η Eα T j ill. a hőmérséklethez tartozó pótlólagos állandók vektora [ ă e,t (T ) = α T ] j T e i, 0, 0, 0. (3.47) L L 3.1. feladat: A vázolt prizmatikus rudat lineárisan megoszló terhelés terheli. Egy végeselemet felvéve, a kapott merevségi mátrix és redukált csomóponti terhelés birtokában határozzuk meg a rúd elmozdulási és feszültségi állapotát. Megoldás: p p 1 1 L ξ 3.5. ábra. Rúd terhelése A (3.33) variációs egyenletből, egyelőre a kinematikai peremfeltételt nem kielégítve a 68

69 Egyváltozós feladatok 69 Π e p q e = Πp q = 0 következik, amiből a (3.40) figyelembevételével a K qq q = f q(p) egyenlet vezethető le. Ez a (3.36), (3.37)-ra tekintettel a megfelelő sorok és oszlopok kiválasztásával AE L» »» ` u1 L p1 + 1 = 6 (p p 1 ) u L ` p (p p 1 ) alakot nyeri, amiből a kinematikai peremfeltételt kielégítve (u 1 = 0) a rúdvég elmozdulására u = L p1 AE + 1 «3 (p p 1 ) értéket kapjuk. A pótlólagos állandók vektorát (3.34) szerint számolhatjuk: ă = 1» p 1 AE ( p + p 1 ) 1 3L A kapott csomóponti elmozdulás birtokában a rúd elmozdulásmezője (3.6), (3.7) szerint (3.1-a) u = ξ L u + N(ξ)ă. (3.1-b) A feszültség a Hooke-törvény értelmében A ξ = 0 és a ξ = L helyen σ(0) = E L u + E ˆ L σ = E du dξ = E u L + E B(ξ)ă L ă = L A p 1 + p «p 1 (3.1-c) (3.1-d) σ(l) = E L u + E ˆL L ă = 0 (3.1-e) ami egybeesik a pontos megoldással, hisz a rudat terhelő eredő erő F = a ξ = L rúdvég p 1 + p p 1 L, másrészt 3.. feladat: Húzott rúdelem vizsgálata izoparametrikus tárgyalásmódban A 3.6 ábrán vázolt egydimenziós (húzott rúd) elem L hosszúságú, x,y rendszerben csomópontjainak x koordinátája x 1, x. Megoldás: Most a rúdhoz kötötten egy másik fajta ξ koordinátarendszert veszünk fel olymódon, hogy a ξ = 0 a rúd közepét, -1 a bal, +1 a jobb végét jelölje ki, vagyis ξ változó most a 1 ξ 1 intervallumban változik. Ekkor a rúd tetszőleges pontjának x helykoordinátája a 3.6. ábra alapján x = x 1 + x + x 1 + x ξ = 1 (1 ξ)x (1 + ξ)x = N 1 (ξ)x 1 + N (ξ)x (3.-a) alakban írható fel, ahol az N 1 (ξ), N (ξ) lineáris függvények szintén a 3.6. ábrán találhatók meg. Természetesen (3.-a) felhasználásával ξ = x x «1 + x x x 1 (3.-b) 69

70 Egyváltozós feladatok 70 y 1 u 1 L x 1 x 0 1 x x 1 u ξ x a.) b.) c.) x x 1+x x 1 d.) N 1 (ξ) 1 ξ e.) N (ξ) 1 ξ f.) 3.6. ábra. Egyváltozós izoparametrikus elem is képezhető mivel a rúd (vonal) elem hossza L = x x 1 0. Ilymódon az x és ξ között kölcsönös, egyértelmű függvénykapcsolat írható fel, röviden az x-et a ξ rendszerbe, vagy fordítva ξ-t az x rendszerbe képezzük le. A ξ-t naturális, vagy természetes koordinátának is szokásos nevezni. Vizsgálva az N i (ξ) függvényt látjuk, hogy áll továbbá n N i (ξ j ) = 1 ha i=j, i = 1,, j = 1, (3.-c) 0 ha i j X N i (ξ) = 1. i=1 (3.-d) A fentieket általánosítva, az x = x(ξ) leképzést oly módon is fel lehet építeni, hogy további belső pontokat veszünk fel a (3.-c, 3.-d) feltételek betartása mellett (lásd 3.7. ábra) N 3 (ξ) = 1 ξ 9 = N 1 = f 1 1 N 3 = ξ (1 ξ) N = f 1 N 3 = ξ (1 + ξ) ; (3.-e) Egy belső 3-as jelű csomópont felvételével N 3 (ξ) = 1 ξ parabolának felel meg, míg az N 1 -t a belső csomóponton való áthaladás miatt az f 1 lineáris függvény és az N 3 lineáris kombinációjából határozhatjuk meg, nevezetesen az f 1 -ből N 3 -nak a felét le kell vonni. Hasonlóan járunk el N esetén is (3.7. ábra). Az ilyen típusú függvényeket Lagrange-féle polinomoknak szokás nevezni. A rúdelem u elmozdulásmezejének közelítésére használjuk fel az x = x(ξ) leképzésnél használatos N i (x) függvényeket, amelyeket a továbbiakban próbafüggvényeknek, alakfüggvényeknek fogunk nevezni [4,5]. 70

71 Egyváltozós feladatok N 3 (ξ) ξ N 1 (ξ) 1 1 f ξ N (ξ) 1 f ξ 3.7. ábra. Háromcsomópontú elem alakfüggvényei Ilymódon u = u(ξ) = X i N i (ξ)u i (3.-f) ahol u i - a rúdelem i csomópontjában lévő elmozdulás értéke. Nyilvánvaló, hogy u(ξ j ) = u j = X N i (ξ j )u i i azonosság értelemben állnia kell a (3.-c) alatti összefüggésnek. Komplettnek (teljesnek) nevezzük az alakfüggvényeket, ha (egydimenziós feladatról lévén szó) a csomóponti elmozdulás tetszőleges lineáris polinomon u i = u(x i ) = c 1 + c x i (3.-g) keresztüli képzése maga után vonja a mező ugyanazon tetszőleges lineáris polinomon keresztüli u(x) = c 1 + c x (3.-h) alakú leírását. Vagyis X X N i (ξ)(c 1 + c x i ) = c 1 N i (ξ) + c N i (ξ)x i (3.-i) u(ξ) = X i i i amiből a (3.-h)-vel való összehasonlítás eredményeképpen X N i (ξ) = 1, i x = X i N i (ξ)x i következik. Ez azt jelenti, hogy ha a végeselemes felosztást egyre jobban sűrítjük, akkor az egzakt megoldás és annak deriváltja közelítőleg állandó az elemen belül, vagyis az alakfüggvényeknek állandó és lineáris tagot tartalmaznia kell. Következéskép az elemnek tartalmaznia kell a merevtestszerű mozgás leírását és az állandó értékű alakváltozási állapotot. 71

72 Kompatibilis elmozdulási elemmodell 7 Ezek után - lineáris elemet vizsgálva - építsük fel az elem merevségi mátrixát. A rúdelem alakváltozási energiája U = 1 Z σε dv = 1 Z L AE(ε) dx (3.-j) 0 továbbá a fajlagos nyúlás Mivel ε = du dx = du dξ dξ dx = d dξ» 1 (1 ξ)u dξ (1 + ξ)u dx = u u 1 dξ dx. dx dξ = d» 1 dξ (1 ξ)x (1 + ξ)x = x x 1 = L (3.-k) (3.-l) úgy ε = u u 1 L» = 1 L» 1 u1 B q L u (3.-m) Ily módon U = 1 qt K q = 1 Z 1 qt 1» 1 L 1 L AE» 1 L 1 L L dξ q amiből a rúdelem merevségi mátrixa K = AE L» Kompatibilis elmozdulási elemmodell Az elmozdulásmező közelítésének felépítése, csomóponti elmozdulás vektor A fentiekben a rúdelemeknél tett megfontolások alapján általánosítani óhajtjuk ismereteinket. Végeselem-módszer alkalmazásakor első lépésben a tartományt véges kiterjedésű részekre ún. elemekre bontjuk. Egy test véges számú felülettel határolt részét végeselemnek nevezzük. Az elem határfelületén vagy belsejében kiválasztott végesszámú pontok sokaságát csomópontnak fogjuk hívni. Látni fogjuk, hogy ezen pontok kitűntetett jelentőségűek, hisz a pontokban fellépő elmozdulás, vagy ezek deriváltja fog szerepelni ismeretlenként a teljes potenciális energia minimum variációs elvhez kapcsolódó algebrai egyenletrendszerben. A végeselem definíciójából adódóan a szomszédos elemek azonos dimenziójú részekkel 7

73 Kompatibilis elmozdulási elemmodell 73 csatlakoznak egymáshoz: lap lappal, él éllel, csomópont csomóponttal. A csomópontokbeli elmozdulással kapcsolatos ismeretlen paramétereket magukban foglaló vektort csomóponti általánosított elmozdulásvektornak fogjuk nevezni. Az elemeket sorszámozzuk. Elemenként külön külön közelítjük az elmozdulást úgy, hogy az a teljes testre kinematikailag lehetséges elmozdulássá legyen illeszthető. Ez azt jelenti, hogy kinematikailag lehetséges elmozdulás közelítésből indulunk ki, azaz teljesül az elemek határán az illesztési vagy kinematikai peremfeltétel, továbbá a deriváltak szakaszonként (elemenként) folytonosak. A közelítő függvényeket többnyire az elemhez illeszkedő lokális koordinátarendszerben szokás megadni. Illesztés céljából az elemek határán jelöljünk ki pontokat ún. csomópontokat. Ezeket is sorszámozzuk. Az egymáshoz kapcsolódó elemek egybeeső csomópontjainak elmozdulásait fogjuk azonossá tenni. A csomópontok számát és a közelítés típusát úgy kell megválasztani, hogy a csomóponti elmozdulások azonossága biztosítsa a teljes érintkezési tartományon a folytonosságot. Az így felépített elemet kompatibilis elmozdulási elemnek fogjuk nevezni []. Legyen az e jelű i,j,k csomópontokkal rendelkező elem csomóponti elmozdulásainak vektora a következő: q et = [ q et i q et j q et k...], q et i = [u i v i w i ] e (3.48) Az elmozdulásmező közelítését az alábbi összefüggés írja le u e = u e (x) = N e (x)q e = N e q e (3.49) ahol az N e mátrixot az elem approximációs mátrixának nevezzük. Nyilvánvaló, hogy N e a csomópontok szerint felbontható, partícionálható: N e = [ N i N j N k... ] e (3.50) ahol N i az i-dik csomóponthoz tartozó approximációs mátrix. Az elmozdulásmező közelítéséből kiindulva származtathatók az elem további szilárdsági jellemzői Alakváltozás-, feszültségi vektor, terhelési vektorok Az alakváltozási tenzor szimmetriáját felhasználva a tenzor elemeiből térbeli feladatoknál (3D-s feladat) 6 méretű, síkbeli feladatoknál 3 méretű vektor állítható elő. Síkbeli esetet tekintve 73

74 Kompatibilis elmozdulási elemmodell 74 A(x,y) ε e = ε x ε y γ xy e = u x v y u y + v x e = = u e (x) = N e (x) q e = B e (x) q e (3.51) ahol a B e mátrix is felbontható a csomópontok szerint: B e = [ B e i B e j B e k... ] (3.5) Feszültségmező leírására hasonlóan értelmezhető a 3 méretű feszültségvektor: T σ et = [ σ x σ y τ xy ] e (3.53) illetve a (.14) alatti Hooke-törvény alapján ez felírható a csomóponti elmozdulásvektorral is: σ e = D (ε e ε e 0) + σ e 0 = D (B e q e ε e 0) + σ e 0 (3.54) ahol D az anyagjellemzők mátrixa., továbbá ε e 0-a hőhatásból származó kezdeti alakváltozások vektora, σ0 e kezdeti feszültségek vektora. A későbbiek miatt érdemes a terhelési vektorokat is oszlopvektorba rendezni. A peremen és a térfogaton megoszló terhelések oszlopvektorai a következők: p p e = [ px p y ] e [, ρk ρk e ρkx = ρk y ] e (3.55) Az elem potenciális energiája A végeselem-módszer másik fontos lépése egy hibaelv megválasztása, amely lehetővé teszi az állandók meghatározását. Hibaelvként a potenciális energia minimuma elvhez tartozó variációs elvet választjuk. A továbbiakban előállítjuk az elem potenciális energiáját a közelítő mezők felhasználásával. Az előző fejezetben bevezetett vektorokkal az e jelű elemre a (.16) figyelembevételével felírható potenciális energia: Π e p = 1 ( ε et ε et ) 0 D e (ε e ε e 0 )dv V e u et p e da u et ρkdv + ε et σ0 e dv (3.56) A e p V e V e 74

75 Elemek illesztése 75 A csomóponti elmozdulásokat bevezetve a végesdimenzióban felírt potenciális energia: Π e p = 1 qet K e q e q et f e (3.57) Ebben a kifejezésben előforduló K e elemi merevségi mátrix és f e elemi terhelési vektor az alábbi szerkezetű: K e = B et D e B e dv = V e B et i = B et j V e. D e [ B e i B e i... ] dv = K e ii K e ij... K e ji K e jj (3.58) fp e = f e = f e p+f e ρk + f e ε 0 + f e σ 0 N et p e da, f e ρk = N et ρk e dv, A e p V e fε e 0 = B et D e ε e 0dV, fσ e 0 = N et σ0dv e (3.59) V e V e Nyilvánvaló, hogy a merevségi mátrix szimmetrikus, továbbá a merevségi és terhelési mátrix csomópontok szerint felbontható, partícionálható. Az elem merevségi mátrixa az elem alakváltozási energiájával kapcsolatos. Ezért ha a q e az elem merevtestszerű mozgását írja le, akkor az alakváltozási energia zérus, egyébként pedig pozitív: amiből az következik, hogy a mátrix elfajuló. q et K e q e 0 (3.60) 3.4. Elemek illesztése, a rendszer merevségi mátrixa, redukált terhelési vektora, kinematikai peremfeltétel figyelembevétele A potenciális energia minimum elv alkalmazhatóságánál az elemek közötti elmozdulásmező folytonosságát az approximációnak biztosítani kell. Tételezzük fel, hogy ez fennáll, és ily módon az elemek csatolásánál, az elemek 75

76 Elemek illesztése 76 illesztésénél a közös csomópontba eső elmozdulások azonosságát elegendő már csak megkövetelni. Legyen példaként az i jelű csomópontokba befutó elemek jele rendre e, e + 1 illetve s. Ekkor az elmondottak szerint az illesztésnél q e i = q e+1 i = q s i = q i (3.61) vagyis azt is mondhatjuk, hogy a megkülönböztető felső index elhagyható. A vizsgált rendszer teljes potenciális energiája az elemek energiáinak összegéből (N e.az elemek száma) illetve a W K koncentrált csomóponti erők munkájából áll elő: N e ( ) 1 Π p = qet Kq e q et f e W k = 1 qt Kq q T f (3.6) e=1 Ez a kifejezés értelmezi a szerkezet q csomóponti elmozdulás vektorát, terhelési vektorát, valamint a szerkezet K merevségi mátrixát. A terhelés munkáját képezve, a szerkezet csomóponti terhelési és elmozdulási vektora az illesztési feltétel alapján N e e=1 q et f e + W K =... + q et i fi e + qe+1 i T =... + q T i fi e + fi e+1 + fi s + fi K f i } {{ } f i f e+1 T i + q s T i f s i + + qt i f K i = alakban képezhető, azaz a rugalmas rendszer csomóponti redukált terhelési vektorának i-dik csomópontra vonatkozó része f i = e i f e i + f K i (3.63) Látható, hogy az összegzést mindazon elemekre el kell végezni, amelyek az i jelű csomópontot tartalmazzák és hozzá kell adni a csomópontban ható koncentrált terhelés fi K vektorát. Itt q T = [ q T 1 q T... q T ] ncs (3.64) f T = [ f T 1 f T... f T ncs ] (3.65) 76

77 Elemek illesztése 77 ncs pedig a szerkezet csomópontjainak száma. A szerkezet merevségi mátrixa az alakváltozási energiával kapcsolatos: ahol N e e=1 q et K e q e = q e Kq e K = [K ij ] i, j = 1,..., ncs K ij = K e ij (3.66) e i, j A bizonyítást [] itt mellőzve, az összegzés alapján ij indexű blokk mindazon elemeknél szerepel, amelyek tartalmazzák egyidejűleg az i és a j jelű csomópontot. A csomóponti elmozdulások számítása a potenciális energia variációjának eltűnése alapján történik. Ennek megfelelően azaz δπ p = δq T Π p q = 0 (3.67) δq T (K q f) = 0 (3.68) ahol δq a kinematikai peremfeltételt kielégítő csomóponti elmozdulásvektor variációja. Legyen q j = q ju adott csomóponti elmozdulás, mely azt jelenti, hogy δq j = 0 Ekkor a (3.68) egyenletben a j-edik blokksor 0-val szorzódik. (Valójában a variációs elv értelmében ez az egyenlet nem létezik). Az adott elmozdulás hatása a K ij q ju taggal a jobboldalon kinematikai teherként jelenik meg. Hasonló eredményre vezet a kinematikai előírás rugalmas megtámasztással való biztosítása. Ekkor megfelelően nagy rugóállandót kell alkalmazni []. Az egyenletek számát megtartva az alábbi struktúra is szolgáltatja a megoldást: K T... E..... K 1,ncs q 1. q j. q ncs = f 1 K 1j q ju. q ju. f ncs K ncs,j q ju (3.69) 77

78 Elemek illesztése 78 A K rangját megkapjuk, ha képezzük az összes ismeretlen és a merevtestszerű mozgás szabadságfokának a különbségét. A csomóponti paraméterek megkötése révén, figyelembevéve a kinematikai előírásokat, megszűnik a merevtestszerű mozgás lehetősége. A megoldandó egyenletrendszert ekkor is Kq = f (3.70) alakban írjuk fel, azzal a megjegyzéssel, hogy az együttható mátrix és terhelési vektor már tartalmazza a kinematikai előírásokat is. Az egyenletrendszer jellemzői közül a nagy méretek miatt fontos az együttható mátrix zérustól különböző elemeinek elhelyezkedése. Az egyenletrendszer, a (3.66) alatti összegzés szabály miatt szalagszerkezetű, amelyet az alábbi ábra szemléltet: K = j i 3.8. ábra. K szalagszerkezete Ez azt jelenti, hogy a zérustól különböző blokkok egy adott sávba esnek, amelyet az elemen lévő sorszámkülönbség maximális értéke határoz meg. Nagysága alapvetően a sorszámozástól függ feladat: Példaként tekintsük a következő végeselem felosztást (lásd ábra) és konstruáljuk meg a hozzá tartozó sematikus merevségi mátrixot ábra. Megoldás: Itt látható, hogy a sávszélesség: főátló +5 elem. Ennél van kedvezőbb számozás is (3.11. ábra), mely egyúttal optimális számozást jelent (lásd

79 Elemek illesztése ábra. Téglalap felosztása 3 elemre K = Ú Þ Ð Þ ÑѺ ábra. K mátrix szerkezete ábra. Optimális sorszámozás K = Ú Þ Ð Þ ÑѺ 3.1. ábra. K optimális szerkezetre 79

80 Elemek illesztése 80 Az egyenletrendszer megoldásának két nagy csoportja terjedt el a kereskedelmi végeselemes szoftverekben [3]: Direkt eljárások: Gauss elimináció valamilyen alkalmazása, ez a technika kb. 100 ezer ismeretlenig megbízható, illetve elfogadható sebességű. Iterációs megoldások: mátrixok szorzásával jutunk egyre közelebb a megoldáshoz. Ez utóbbi eljárás előnye, hogy elegendő csak a zérustól különböző mátrix elemeket tárolni, így valójában érzéketlen a csomóponti sorszám kiosztására. Azonban a direkt megoldóknál az ún. feltöltődés miatt a sávon belül a zérus mátrix elemeket is szükséges tárolni. A ábra a legelterjedtebb tárolási struktúrákat szemlélteti. A frontális technikánál egyidőben nem készül el a teljes szerkezeti mátrix, csupán egy-egy blokkját találjuk meg a memóriában ábra. Mátrix tárolási formák lehetnek: félsáv blokkolva, aktív oszlop blokkolva, frontális technika (tárol elemi szinten) A direkt megoldó eljárások előnybe részesülnek az olyan feladatok esetén, amikor a mátrix együtthatóinak nagyságrendje igen nagy különbséget mutat. Az ún. locking, azaz rossz mátrix kondicionáltság tipikusan ezt a helyzetet eredményezi. De ilyen feladatok lehetnek, pl. az érintkezési feladatok, héjfeladatok és az összenyomhatatlan tulajdonsággal rendelkező gumit tartalmazó problémák is feladat: Vizsgáljuk az x,z síkban fekvő rácsos szerkezetet. A szerkezetre a -es pontban F 0 nagyságú koncentrált erő hat. Az 1 -es pontban csuklós megfogás, a 3 -as pontban vízszintes elmozdulást megengedő görgős támasz van. A rudak anyaga, keresztmetszete azonos. A rudakhoz kötött helyi koordinátarendszer ξ tengelye a kisebb sorszámú csomóponttól a nagyobbik felé mutat. Megoldás: Az egyes rudak alakváltozási energiái a rúdhoz kötött helyi koordinátarendszerben az alábbiak (Az egyes mennyiségek melletti felső indexek az elemhez való tartozásra utalnak, nem hatványozást jelölnek!) U 1 alakv. = 1 [u 1 u ] 1» » u1 u 1 AE L 1 (3.4-a) 80

81 Elemek illesztése 81 U alakv. = 1 [u u 3 ]» » u u 3 AE L (3.4-b) U 3 alakv. = 1 [u 1 u 3 ] 3» » u1 u 3 3 AE L 3 (3.4-c) ξ 1 u 1 F 0 α 1 z x 1 3 β 3 ξ 3 u 3 ξ u ábra. Rácsos szerkezet a rudakhoz kötött ξ e (e = 1,,3) koordinátarendszer u e rúdirányú elmozdulás Itt L e az e-dik rúd hosszát jelöli. A globálrendszerbeli elmozdulásokkal kifejezve a helyi rendszerbeli elmozdulásokat nyerjük, hogy» 1» q 1 u1 0 = = u 0»» q u cos β = = u 3 0 sin β 0» 3» q 3 u1 1 = = u cos β sin β U 1 W 1 U W U 1 W 1 U 3 W = T 1 q 1 (3.4-d) U W U 3 W = T q (3.4-e) = T 3 q 3 (3.4-f) Ezek után a rudak alakváltozási energiája a globálrendszerbeli csomóponti elmozdulásokon keresztül 3 Ualakv. 1 = 1 q1t AE q1 4 5 L 1 = 1» K 1 q1t 11 K 1 1 K 1 1 K 1 q 1 (3.4-g) 1 1 U alakv. = 1 qt 6 4 c.c c.s c.c c.s c.s s.s c.s s.s c.c c.s c.c c.s c.s s.s c.s s.s 3 7 AE q 5 L = 1 qt» K K 3 K 3 K 33 q q (3.4-h) 81

82 Elemek illesztése 8 ahol c = cos β, s = sin β U 3 alakv. = 1 q3t AE q3 5 L 3 = 1 q3t» K 3 11 K 3 13 K 3 31 K 3 33 q 3 (3.4-i) melyben K e ij (,) méretű. A teljes rendszer alakváltozási energiáját a rudanként előállított alakváltozási energiák összegeként kapjuk meg, vagyis 3X U alakv = Ualakv. e (3.4-j) e=1 Definiálva a rendszer csomóponti elmozdulásvektorát q T = (1,6) " q 1T, q T, q 3T (1,) (1,) (1,) # = [U 1 W 1 U W U 3 W 3 ] (3.4-k) a (3.4-j) alatti energia (3.4-g)-(3.4-i) figyelembevételével tömören az alábbi formában állítható elő U alakv. = 1 4 q1 q q 3 3T 4 K K3 11 K 1 1 K K 1 1 K 1 + K K 3 K 3 31 K 3 K 33 + K q1 q q qt K q (3.4-l) ami megfelel a 3.4 pontban ismertetett (3.66) alatti merevségi mátrix előállítási összefüggés adta szabálynak. A vizsgált szerkezetre a -es csomópontban ható F 0 erő okozta külső terhelés munkája W K = F 0 cos α U + F 0 sin α W q T f K (3.4-m) ahol f K,T = [0, 0, F 0 cos α, F 0 sin α, 0, 0] A szerkezet teljes potenciális energiája Π p = U alakv W K (3.4-n) míg a stacionér helyzetet kijelölő teljes potenciális energia első variációja azaz δ Π p = δ U δ W K = 0, δ Π p = δ q T K q f K = 0 (3.4-o) (3.4-p) ahol δ q T - a csomóponti elmozdulások megengedett variációja. Jelen esetünkben a kinematikai peremfeltétel U 1 = W 1 = W 3 = 0 (3.4-q) amiből az követekezik, hogy δ q T = [0, 0, δ U, δ W, δ U 3, 0] (3.4-r) ezt figyelembevéve, a (3.4-p) alatti egyenletrendszert oly módon kapjuk meg, hogy a csatolt rendszerre vonatkozó egyenlet (zárójeles kifejezés) 1.,., 6. sorát töröljük, s mivel (3.4-q) is fennáll, a K q szorzásnál elegendő a K mátrix 3., 4. és 5. oszlopát megtartani. 8

83 Elemek illesztése 83 Tehát δu δw δu 3 0 3T K U W U F 0 cos α F 0 sin α = 0 (3.4-s) 7C 5A vagyis a végső megoldandó egyenletrendszer 3 3 K 4 U W U 3 5 = 4 F 0 cos α F 0 sin α 0 5 (3.4-t) ahol (3.4-s),(3.4-l),(3.4-g),(3.4-h),(3.4-i) figyelembevételével K = AE 6 4 U W U 3 c.c L c.s L c.c L c.s 1 L L 1 + s.s c.s L L c.c c.s c.c L L L + 1 L U W U 3 (3.4-u) Konkrét méreteket választva: α = 60, L = 000mm, nyerjük, hogy c = cos 60 = 0.5, s = sin 60 = 3/ és így L 1 = mm, L 3 = 1000 mm, továbbá 3 1 K = AE (3.4-v) Mivel AE mértékegysége ˆmm N/mm = [N], a hosszúságé [mm], úgy a K elemeinek mértékegysége [N/mm]. Legyen α = 0, F 0 = 1000 N. A (3.4-t) alatt három ismeretlent tartalmazó algebrai egyenletrendszer megoldása (3.4-v) felhasználásával 4 U W U = F AE [mm] (3.4-w) Ezek után az egyes rudakban fellépő rúderő a rúdhoz kötött koordináta-rendszerben mért fajlagos nyúlás (rúd megnyúlása/rúd kezdeti hossza) ε e = u e /L e felhasználásával N e = Aσ e = AEε e, azaz (3.4-d),(3.4-f)-re is tekintettel (a felső indexek nem hatványozást jelölnek!) (u3 u ) L N 1 = AE W L 1 = 3F 0, N = AE N = AE L [cos β (U 3 U ) + sin β W ] = F 0 N 3 = AE L 3 U 3 = F 0 9 >= >; (3.4-x) Mivel a csomóponti elmozdulások az AE -vel fordítottan, a rúderők pedig egyenesen arányosak, végezetül a rúderők függetlenek az AE értékétől, ami természetesen egy statikailag határozott szerkezetnél fenn kell, hogy álljon. A statikában tanult csomóponti módszerrel könnyen meg tudjuk határozni a rudakban fellépő belső erőket, amelyek természetesen azonosak lesznek a példában bemutatott elmozdulásmódszeren alapuló eljárással kapottakkal. (Elmozdulásmódszernek nevezzük azt a módszert, amikor a peremérték feladathoz rendelt algebrai egyenlet-rendszerben ismeretlenként az elmozdulások szerepelnek, s a további mechanikai mennyiségek ezek kiszámítása után, azok felhasználásával számolhatók csak.) Ennek elvégzését azonban már az olvasóra 83

84 Elemek illesztése feladat: Vizsgáljuk a ábrán vázolt hajlított-nyírt tartót, amely a reá ható lineárisan megoszló p ς = p ς (ξ) terhelés hatására a síkban fog deformálódni. Megoldás: A rúdvégek elmozdulását jelölje w 1 és w, míg a keresztmetszet szögelfordulását w 1 = dw dξ 1, w = dw dξ A rúd legyen prizmatikus. Hajlítási merevsége I ηe = áll. A (3.3) alapegyenlet értelmében. I ηew IV = p ζ (3.5-a) míg a megoszló terhelés ζ p1 p w 1 w L ξ w 1 L w L ábra. Lineárisan megoszló terhelésű rúd alakban írható fel. Az (3.5-a) egyenlet megoldása p = p 1 + p p 1 ξ L (3.5-b) w = c 0 + c 1 ξ + c ξ + c 3 ξ 3 + c 4 ξ 4 + c 5 ξ 5 (3.5-c) ahol a c 4 és c 5 állandók a p-től függő partikuláris megoldáshoz tartoznak, azaz vagyis I ηe(4c c 5 ξ) = p 1 + p p 1 ξ L c 4 = p 1 4I ηe, c 5 = p p 1 10I ηel. (3.5-d) A (3.5-c) alatti polinom első négy tagja az (3.5-a) egyenlet homogén megoldása. A c 0,...,c 3 állandókat oly módon kívánjuk meghatározni, hogy azok helyett a rúdvégeken szereplő elmozdulások és szögelfordulások szerepeljenek. Az elmozdulásmező deriváltja w = c 1 + c ξ + 3c 3 ξ + 4c 4 ξ 3 + 5c 5 ξ 4. A kinematikai paramétereket egy vektorba gyűjtve, írhatjuk, hogy q = 6 4 w 1 w 1 w w = L L L L 3L c 0 c 1 c c L 4 L 5 4L 3 5L » c4 c 5 (3.5-e) (3.5-f) 84

85 Elemek illesztése 85 ami tömörebben q = G c + Ğ c. alakban is felírható. Mivel det G 0, úgy G 1 létezik G 1 = 1 L L L L L 3L L L L 3 (3.5-g) 7 5 (3.5-h) és így azaz az elmozdulásmező c = G 1 q G 1 Ğ c (3.5-i) w = ˆ1 ξ ξ ξ 3 c + ˆξ 4 ξ 5 c Ψ T (ξ)c + Ψ T (ξ) c w = Ψ T (ξ)g 1 q h i + Ψ T (ξ) Ψ T (ξ)g 1 Ğ c n T ( ξ) q + n T ( ξ) c A műveleteket elvégezve, kapjuk, hogy n T ( ξ) = ˆ1 3 ξ + ξ 3, L ` ξ ξ + ξ 3, 3 ξ ξ 3, L ` ξ3 ξ (3.5-k) (3.5-j) n T ( ξ) = ˆL 4 ` ξ4 ξ 3 + ξ, L 5 ` ξ5 3 ξ 3 + ξ, ξ = ξ L. (3.5-l) Az n(ξ)-ben szereplő függvények az ún. Hermite-féle polinomoknak felelnek meg. Ezen polinomok a függvény értéken túl a derivált folytonosságát is biztosítják a rúdvégeken, ami hajlított tartóknál elengedhetetlen. Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a rúdvégeken n T ( ξ = 0) = n T ( ξ = 1) = 0, d n T = d nt = 0 Ld ξ 0 Ld ξ L aminek nyilván fenn kell állnia, hisz a w (3.5-j) alatti kifejezésében az első tag `n T ( ξ) q hordozza a rúdvégek elmozdulásának és szögelfordulásának hatását, ezt nem ronthatja el az n T ( ξ) c tag. Az itt bemutatott lépéssorozat a rúd elmozdulásmódszeren alapuló végeselem elmozdulásmező felépítésének felel 3.6. feladat: Vizsgáljuk a ábrán vázolt síkbeli rudat különböző megtámasztások és terhelés esetén. Legyen T ζ = T = const. Megoldás: A megoldást minimalizálásával érjük el, vagyis a Π p = 1 qt K qq q f q (3.6-a) δq T K qq q f q = 0 (3.6-b) variációs egyenletből származó egyenletrendszer megoldásából. Mivel (3.6-b)-ben δ q T az általánosított csomóponti elmozdulás kinematikailag megengedett variációja, így a megtámasztástól függően, más és más egyenleteket kell megtartanunk a (3.6-b)-ben szereplő zárójeles kifejezésben. 85

86 Elemek illesztése 86 ζ F j p ξ p M i i j Mj ξ ábra. Síkbeli rúd Az alább vázolt egyenletekben a jobboldalon szereplő terhelési koordináták a koncentrált erőkből és nyomatékokból, a p megoszló terhelésből és a T keresztirányú hőmérsékletből származnak. A ábra négy esetet tüntet fel. a.) eset: (u i = w i = ϕ ηi = 0), vagyis 6 4 AE 0 0 L 1IE 6IE 0 L 3 L 6IE 4IE 0 L L u j w j ϕ ηj = F j + pl M j + pl + IEα T (3.6-c) A megoldás: u j = 0, w j = F j L 3 3IE M j L IE + pl4 8IE α T L ϕ ηj = F j L IE + M j L IE pl3 6IE + α T L b.) eset: A (3.6-c) egyenletrendszer második sorát törülve (mivel w j = 0) nyerjük, hogy u j = 0 ϕ ηj = M j 4IE L + pl3 48IE + α T L. 4 c.) eset: A (3.6-c) egyenletrendszerben ϕ ηj = 0, így u j = 0 w j = F j 1IE L3 + pl4 4IE d.) eset: A (3.36), (3.37)-ből a kötöttségek figyelembevételével megszerkesztett (3.6-b) alatti egyenletrendszer az alábbi, mivel (u i = w i = 0, w j = 0) azaz 3 4IE IE 3 ϕ ηi 3 0 L L M i pl IEα T 4 AE L 6 u j 7 IE 4IE 4 5 = L L M j + pl + IEα T 1 ϕ ηj u j = 0 ϕ ηi = ϕ ji = L 6IE M i M j pl 3IEα T 4 L «M i + M j + pl + 3IEα T 6IE 4 86

87 Elemek illesztése 87 p F j M j a.) p M j b.) p F j c.) M i p M j d.) ábra. Különböző megtámasztások esete Végezetül az a.) esetben az F j helyett adott wj 0 elmozdulást működtessünk. Ekkor a (3.6-c) egyenletrendszerben a. feleslegessé válik, de az együtthatómátrixnak wj 0 értékével megszorzott. oszlopa át kell kerüljön a jobboldalra. Az együtthatómátrix méretét megtartva, a 3.3. fejezetben ismertetett (3.69) alakú tárgyalásban is felírható az egyenletrendszer: 3 AE u 3 j w j 5 = 4 4IE 0 0 ϕ L ηj ϕ ηj = 3 w 0 j L. 3 0 wj 0 5 wj 0 6IE L 87

88 Kétváltozós feladatok Kétváltozós rugalmasságtani feladatok vizsgálata izoparametrikus elemekkel A mechanikai, fizikai problémák igen nagy osztálya két változótól függően írható le. Így ezen feladatokhoz tartozó végeselemek felépítése nagy fontossággal bír. Előjáróban összefoglaljuk azokat a feladattípusokat, amelyek a mindennapos mérnöki gyakorlatban a mechanikai modellek felépítésében nagy szerepet töltenek be Feladattípusok Síkalakváltozás (SA) Amennyiben a vizsgált test geometriája és terhelése következtében létezik egy olyan irány, amely mentén a test pontjai nem mozdulnak el, valamint ezen kitüntetett irányhoz tartozó helykoordinátától, a reá merőleges síkban fellépő elmozdulásvektor koordinátái függetlenek, síkalakváltozásról szokás beszélni. Ez az eset áll fenn például egy hosszú test esetén, mikor is a test pontjai csak a tengelyre merőleges metszetben mozdulnak el. y z x ábra. Síkalakváltozás (SA) z kitüntetett iránnyal Legyen a kitüntetett e z irányban mért helykoordináta a z. Ekkor a szóbanforgó állapot csak akkor tud kialakulni, ha a térfogaton megoszló ρk terhelésnek és az A p felületen megoszló p terhelésnek nincs z irányú összetevője. 88

89 Kétváltozós feladatok 89 Így azután az elmozdulásmező és a terhelési függvények u = u(x,y) = ue x + ve y ρk = ρk(x,y) = ρ(k x e x + k y e y ) p = p(x,y) = p x e x + p y e y (3.71) alakban írhatók. Az A alakváltozási tenzor a geometriai egyenlet értelmében, a fentiekből adódóan A = A(x,y) = míg a T feszültségi tenzor 1 ε x 1 γ xy 0 γ yx ε y T = T (x,y) = ε = σ x τ xy 0 τ yx σ y σ z ε x ε y γ xy (3.7) ahol izotróp esetben σ z = ν (σ x + σ y ) Az ε z 0 miatt az alakváltozási energia számításánál csak a T tenzor síkbeli részével kell dolgozni, tehát [ ] σz τ T = xy τ yx σ y (3.73) Így végül is, síkalakváltozás esetén, homogén izotróp anyagot feltételve, az anyagtörvény, a kezdeti alakváltozással és feszültséggel nem számolva T σ = = σ x σ y τ xy = E (1 + ν)(1 ν) 1 ν ν 0 ν 1 ν 0 1 ν 0 0 ε x ε y γ xy Dε (3.74) Síkfeszültségi állapot (SF) A síkfeszültségi állapotot az jellemzi, hogy most a kitüntetett z irányra merőleges síkokon nem keletkezik σ z = τ xz = τ yz = 0 feszültség. Ehhez 89

90 Kétváltozós feladatok 90 az szükséges, hogy a ρk és p terhelési függvényeknek ne legyen z irányú összetevője. A vékony tárcsa középfelületére vonatkoztatva, ahol is z = 0, a terhelésnek, melyet az oldalperemen írunk elő, négyzetes függvényként kell változnia. z b y x ábra. Síkfeszültségi állapotban (b vastagságú tárcsa) Fentiek alapján a feszültségi tenzornak csak a síkbeli része lehet zérustól különböző σ x τ xy 0 T = τ yx σ y 0 = T (x,y) (3.75) Ismét homogén, izotróp anyagot tételezünk fel, így a z irányú fajlagos nyúlás ε z = ν 1 ν (ε x + ε y ) míg az A alakváltozási tenzor A = 1 ε x 1 γ xy 0 γ yx ε y ε z = A(x,y) ε = ε x ε y γ xy (3.76) Tekintettel megint az alakváltozási energia kiszámítási módjára elegendő csak a tenzorok síkbeli részét megtartani. Homogén, izotróp anyagnál áll: T σ = σ x σ y τ xy = E 1 ν 1 ν 0 ν ν 0 0 ε x ε y γ xy = Dε (3.77) 90

91 Kétváltozós feladatok 91 Általános síkfeszültségi állapot (ÁSF) A SF állapot szigorú kiindulási feltételeinek enyhítése céljából ez esetben feltételezzük, hogy a σ z mindenhol zérus, a σ x, σ y, τ xy a z-nek páros függvénye. A τ xy és a τ zy nyíró feszültségek pedig a z-nek páratlan függvényei oly módon, hogy a tárcsa alsó és felső síkjainak terheletlenségéből adódó feltételt is kielégítik, azaz a tárcsa alsó és felsőlapjain zérus értékűek. Fenti feszültségi koordinátákra vonatkozó feltételek teljesüléséhez a terhelési függvények a térfogaton egyrészt másrészt a paláston ρk(x,y,z) = ρk(x,y, z) 0 (3.78) p = p x e x + p y e y + p z e z p x (x,y,z) = p x (x,y, z), p y (x,y,z) = p y (x,y, z) p z (x,y,z) = p z (x,y, z) (3.79) alakkal kell, hogy rendelkezzenek. Az előírt terhelési feltételek mellett az egyes mechanikai mennyiségeket a b vastagság mentén integrálva átlagértékeket kapunk. Így értelmezhető az átlagos feszültségi és alakváltozási tenzor T = 1 T dz, (T A) (3.80) b (b) valamint az átlagos elmozdulás és terhelési vektor u = 1 u dz (3.81) b p = 1 b (b) p dz = p x e x + p y e y (3.8) (b) Így az integrálás elvégzésével az ÁSF állapotot is kétváltozósként lehet kezelni. A későbbiekben az átlagolásra utaló felülvonást elhagyjuk. Tengelyszimmetrikus alakváltozás (TSz) Számos esetben találkozunk a mérnöki gyakorlatban forgástestekkel (tengelyek, tartályok stb.). Ezek egy része a geometriai tengelyszimmetria 91

92 Kétváltozós feladatok 9 mellett, a megfogás és terhelés vonatkozásában is forgásszimmetriával, tengelyszimmetriával rendelkezik. Ez esetben a 3.0. ábrán látható z tengelyű forgástest terhelése és megfogása független a kerületi irányban mért ϕ koordinátától. Így az alkalmasan választott henger-koordináta-rendszerben a test tetszőleges pontjának elmozdulás vektora u = u(r,z)e R + w(r,z)e z (3.83) alakú, azaz a vizsgálatokat egy tetszőleges meridiánmetszet mentén az R z síkban kétdimenziós feladatként lehet elvégezni. z e z e ϕ w v u e R x ϕ y R 3.0. ábra. Egy forgásszimmetrikus test geometriája és egy tetszőleges meridiánmetszet mentén jelentkező elmozdulás koordináták Az alakváltozási és feszültségi vektorok u ε R R ε = ε ϕ ε z = u R w z γ Rz u z + w R, σ = σ R σ ϕ σ z τ Rz (3.84) között homogén izotróp anyagra az anyagállandók mátrixa 1 ν ν ν 0 E D = ν 1 ν ν 0 (1 + ν)(1 ν) ν ν 1 ν 0 (3.85) 1 ν

93 Kétváltozós feladatok 93 teremt kapcsolatot. σ = Dε (3.86) Síkbeli elemek A valóságos mérnöki, szilárdságtani feladatok mindig a térbeli, háromdimenziós Euklideszi térhez köthetők. Mégis, számos esetben a vizsgált test geometriai alakja, az anyagjellemzők és a testre működő külső erőrendszer tulajdonságai lehetővé teszik, hogy matematikailag a problémát kétváltozósként lehessen kezelni. A szilárdságtan tipikus kétváltozós feladattípusairól már szóltunk a fentekben. Láttuk ezeket a feladatokat kétváltozósként lehet kezelni, vagyis az alkalmazott végeselemek alakjukat, közelítő függvényeiket tekintve azonosnak vehetők. A gyakorlati feladatok megoldásában különösen jól használhatók a lineáris és kvadratikus, három illetve négyszög geometriájú izoparametrikus elemek. Ez utóbbi, általános definíció szerint azt jelenti, hogy az elem geometriai pontjait és az elemen belüli elmozdulás mezőt ugyanolyan, természetes koordináta-rendszerben adott interpolációs függvényekkel közelítjük []. A következőkben az elemen értelmezett mennyiségek esetén nem jelöljük külön az elemre utaló e felső indexet. Négycsomópontú elem A 3.19a. ábra egy konvex egyenesoldalú, négycsomópontú elemet mutat az xy globális koordináta-rendszerben, amelyet egy két egység élű négyzettartományra kívánunk leképezni. Ennek érdekében az x (ξ,η) és y (ξ,η) leképező függvényeket bilineáris alakban írjuk fel: x(ξ,η) = a 1 + a ξ + a 3 η + a 4 ξη = [1 ξ η ξη] a = ϕ T (ξ,η)a y(ξ,η) = b 1 + b ξ + b 3 η + b 4 ξη = [1 ξ η ξη] b = ϕ T (ξ,η)b (3.87) A (3.87)-ben szereplő a i és b i állandókat a csomópontok, azaz a sarokpontok x(ξ i,η i ) = x i, y(ξ i, η i ) = y i 93

94 Kétváltozós feladatok 94 koordinátái alapján lehet meghatározni. A 3.1b. ábrából kiolvashatóan a négy pont ξ,η koordinátájának behelyettesítésével x 1 x x 3 x 4 = a 1 a a 3 a 4 (3.88) y 4 4 η ξ a.) 4 x 1 1 b.) > c.) ábra. Négyszög alakú végeselem a.) leképzés két egység élű négyzettartományra; b.) és c.) nem konvex elemek, amelyek nem biztosítják az egyértelmű leképzést (det J 0) ugyanez tömörebben Hasonlóképpen y-ra áll x = G a, y = G b a = G 1 x b = G 1 y Az állandókat visszaírva (3.87)-be a leképezés x(ξ,η) = ϕ T (ξ,η)g 1 x = 4 N i (ξ,η)x i (x y) (3.89) i=1 94

95 Kétváltozós feladatok 95 alakban áll elő, ahol az N i (ξ,η) ún. alakfüggvények felépítése a következő: N 1 = 1 4 (1 ξ)(1 η) N 3 = 1 N = 1 4 (1 + ξ)(1 η) 4 (1 + ξ)(1 + η) N 4 = 1 4 (1 ξ)(1 + η) (3.90) Könnyen ellenőrizhető, hogy a (3.90) függvények összege: 4 N i (ξ,η) = 1 (3.91) i=1 A leképezést alkalmazva az elem j-dik csomópontjára x(ξ j,η j ) = 4 N i (ξ j,η j )x i i=1 amiből következik, hogy N i (ξ j,η j ) = { 1, ha i = j 0, ha i j (3.9) A szabályos (alap) elem -hez tartozó N i (ξ,η) függvényeket alakfüggvényeknek fogjuk nevezni. A fenti tulajdonságok általánosan jellemzik a végeselemek approximációs függvényeit. A valóságos elemre áttranszformált alakfüggvények az elemszintű bázis függvények elnevezéssel fognak rendelkezni. Az izoparametrikus elemek definíciójára tekintettel a (3.90) függvények birtokában egyértelmű, hogy az elemek mentén az x irányú u és az y irányú v elmozduláskoordinátákat az u = 4 N i (ξ,η)u i és v = i=1 4 N i (ξ,η)v i (3.93) formulákkal közelítjük, ahol u i, v i konkréten az i-edik csomópontbeli x és y irányú elmozduláskoordinátákat jelenti. Végül e ponton belül néhány megjegyzés: i=1 Fordítsuk most a figyelmet a közelítő függvények elemenbelüli simaságára. A végeselem ténylegesen az x, y rendszerben létezik, vagyis (3.93) értelmében a mezők simaságához az N i (ξ(x,y), η(x,y)) függvénynek is 95

96 Kétváltozós feladatok 96 simának kell lennie. A (3.90)-ból nyilvánvalóan látszik, hogy az N i (ξ,η) függvények simák (folytonos deriváltakkal rendelkeznek a ξ,η rendszerben). Azonban, ha az elem valamelyik csomópontjánál az oldalak közötti szög 180 o, vagy annál nagyobb (a belső szög tompa), akkor az x, y és ξ,η koordinátarendszerek közötti leképezés már nem lesz egyértelmű, amelyet a J Jacobi mátrix determinánsának nem pozitív volta is jelez. Az x, y és a ξ,η koordináta-rendszerek közötti egyértelmű leképzéshez szükséges, hogy ] det J = det [ x ξ x η y ξ y η > 0, azaz a J Jacobi-mátrix determinánsának pozitívnak kell lennie. Egyszerűen bizonyítható az elem teljessége u = 4 N i (ξ,η)u i = 4 N i (c 0 + c 1 x i + c y i ) = ( i=1 ) ( i=1 ) ( ) = N i c 0 + N i x i ) c 1 + N i y i c = c 0 + c 1 x + c y i i i (u v) ami fizikailag azt jelenti, hogy a közös oldallal rendelkező szomszédos elemek határai mentén-és így a teljes végeselemekkel behálózott kétdimenziós tartományon az elmozdulásmező folytonos. Az eddig ismertetett gondolatok valamennyi izoparametrikus elemtípusra érvényesek, azaz az elemháló sűrítésével a konvergencia kritériumok (a közelítő mezőhöz és az egzakt mezőhöz tartozó potenciális energiák különbségre a zérushoz tart) automatikusan teljesülnek. Ez is magyarázata az izoparametrikus elemek széleskörű alkalmazásának. Nyolccsomópontú elem A 3.. ábra egy nyolccsomópontú, görbeperemű izoparametrikus elemet mutatat, melynek nyolc alakfüggvényét [] alapján az alábbiak sorolják fel: N 1 = 1 4 (1 ξ)(1 η)( ξ η 1) N 3 = 1 4 (1 + ξ)(1 + η)(ξ + η 1) N 5 = 1 (1 ξ )(1 η) N 7 = 1 (1 ξ )(1 + η) N = 1 4 (1 + ξ)(1 η)(ξ η 1) N 4 = 1 4 (1 ξ)(1 + η)( ξ + η 1) N 6 = 1 (1 η )(1 + ξ) N 8 = 1 (1 η )(1 ξ) (3.94) Természetesen a (3.94) alakfüggvények is teljesítik a (3.91) alatti követelményt, továbbá itt is érvényes, hogy egy adott alakfüggvénynek az adott csomópontbeli helyettesítési értéke egy, míg minden más csomópontbeli helyettesítési érték zérus (lásd (3.9)). 96

97 Kétváltozós feladatok 97 y η a.) ξ x 1 b.) 1 d.) η η f 1 = 1 (1 ξ)(1 η) 4 ξ f 8 = 1 (1 η )(1 ξ) ξ c.) e.) 1 η η ξ ξ f 5 = 1 (1 ξ )(1 η) N 1 (ξ,η) = f 1 f5 f8 3.. ábra. Nyolccsomúpontú izoparametrikus elem 97

98 Kétváltozós feladatok 98 A háromcsomópontú és a hatcsomópontú elemek A tartományok geometriai közelítésénél, az elemháló felvételénél gyakran nehézséget okoznak az előző pontban tárgyalt elemek. A végeselemes kutatások új fajta elemeket is felszínre hoztak. Ezek közül a 3.3. ábra a háromcsomópontú és a görbeperemű, hatcsomópontú elemeket mutatja: y 3 η 3 a.) ξ 1 y 1 6 x 3 η 3 b.) ξ 4 x ábra. a.) háromcsomópontú, b.) hatcsomópontú görbeperemű izoparametrikus elem Az előbbiek alakfüggvényei: míg a hatcsomópontú elemé: N 1 = 1 ξ η N = ξ N 3 = η (3.95) N 1 = 1 ξ η 1 N 4 1 N 6 N = ξ 1 N 4 1 N 5 N 3 = η 1 N 5 1 N 6 N 4 = 4ξ(1 ξ η) N 5 = 4ξη N 6 = 4η(1 ξ η) (3.96) 98

99 Kétváltozós feladatok Az elem mechanikai jellemzői Az alakváltozási vektor előállítása A korábbi fejezetekben már láttuk, hogy az elem potenciális energiájában lévő alakváltozási energiát is számolni kell, vagyis ehhez az x, y globális koordináta-rendszerbeli mezők deriváltjait is közelíteni kell. A két koordináta-rendszer közötti leképezést az előzőekkel összhangban n cs n cs x = N i (ξ,η)x i y = N i (ξ,η)y i (3.97) i=1 formulák adják, ahol n cs az adott elemmodell csomópontjainak száma (Előző példáinkban 4 vagy 8 illetve 3, 6 ). Kétváltozós feladatok esetén az elmozdulás koordináták közelítésére az i=1 n cs n cs u = N i (ξ,η)u i v = N i (ξ,n)v i (3.98) i=1 összefüggések szolgálnak. A (3.98) -ban szereplő összegzést a mátrixalgebrai skaláris szorzással is kifejezhetjük. Ezzel a szokás szerinti tömör felírás [ ] [ ] u N1 0 u = = N 0 v 0 N 1 0 N... N ncs 0 q e N(ξ,η)q 0 N ncs (3.99) ahol q et = [u 1,v 1,...u i,v i,...u ncs,v ncs ] az elem n cs méretű elmozdulásvektora. Ezek után, a globálrendszerbeli alakváltozási vektor ε = ε x ε y γ xy = u x v y u y + v x = i i=1 i ( i Ni N i x u i N i y v i y u i + N i x v i ) (3.100) amiből látszik, hogy a ehhez szükséges az alakfüggvények globál koordináta-rendszerbeli N i x, N i y parciális deriváltjainak [ Ni ] [ Ni ξ x ξ x N i = + N ] [ i η ξ ] [ η Ni ] η x x x ξ N i ξ y ξ y + N i η = ξ η N i (3.101) η y y y η 99

100 Kétváltozós feladatok 100 meghatározása. A (3.101) -et is célszerű tömörebben felírni [ J 1 11 J1 1 ( G N i ) = J 1 ( L N i ) = J1 1 J 1 ] ( L N i ) (3.10) ahol J 1 a Jacobi mátrix inverze, ( G ) a globálrendszerbeli deriváltak vektora, ( L ) a lokálrendszerbeli deriváltak vektora. A ξ,η rendszerbeli parciális deriváltakra analóg módon írható, hogy vagyis [ Ni ξ N i η ] = [ x ξ x η ( L N i ) = J ( G N i ) = N i η x i i η y i y ξ y η ] [ Ni x N i y [ J11 J 1 J 1 J ] ] (3.103) ( G N i ) (3.104) így azután a (3.103) alatt definiált Jacobi mátrix (3.97) felhasználásával P P N i N i [ i i J = ξ x i ξ y i (,) P... N i P ξ N i =... ] x 1 y 1... N i i η... x i y i (3.105) módon számítható. Látjuk tehát, hogy a két koordinátarendszerben értelmezett deriváltak között a Jacobi mátrix, vagy annak inverze teremt kapcsolatot. Ezek után (3.10) figyelembevételével az x és yszerinti parciális deriváltakat ξ és η szerinti parciális deriváltakból az alábbi módon lehet előállítani: N i x N i y = J 11 1 Ni ξ + J 1 1 N i η = J 1 1 Ni ξ + J 1 N i η x ncs y ncs (3.106) Ez azt jelenti, hogy így előállítható a következő formula által definiált B elmozdulás-alakváltozás transzformációs mátrix, amelyet szorozva a q e elem csomóponti elmozdulásvektorral, közvetlenül számítható az ε = N 1 x 0 N 1 0 N 1 y y... 0 N 1 x elem alakváltozási vektora. N i x 0 N i N i y y... N i x u 1 v 1. u i v i. = B(ξ,η)q e (3.107) 100

101 Kétváltozós feladatok 101 Az elemi merevségi mátrix és a redukált terhelési vektor számítása Az előző pontokban ismertetett kétdimenziós feladattípusok sajátosságait figyelembe véve az elem teljes potenciális energia kifejezése mátrixos formában a (3.99) elmozdulás mező közelítéssel és az ε alakváltozási vektorra vonatkozó (3.100) formula felhasználásával Π e p = 1 qet B T DB b da q e q et (fε e + fp e + fqk e ) (3.108) (A e ) ahol K e = A e B T DB b da az elemi merevségi mátrix, f e ε = Ae B T Dε 0 bda a kezdeti alakváltozásból, f e p = Γ e N T pb dγ a felületi terhelésből, és f e ρk = A e N T ρkb da a térfogati terhelésből számítandó redukált csomóponti terhelési vektor. A (3.108) felírásakor kihasználtuk, hogy ÁSF esetén az elemi térfogat, b vastagságú tárcsa esetén dv = b da (3.109) Ugyanez SA esetén b = 1 egységnyi szeletre vonatkozik, míg TSz állapotváltozáskor (3.108)-ba helyettesítésével kapjuk, hogy b = π R dv = πrda. (3.110) Numerikus integrálás Az (3.108)-es kifejezésben szereplő felületi integrálok a ξ,η változók függvényei, így az integrálást ξ és η szerint -1 és +1 intervallumra vonatkozóan kell elvégezni. Mivel az elemi felület da = dx dy = det J dξ dη formában írható, ezért az elemi merevségi mátrix K e = B T DBb det Jdξdη (3.111) 101

102 Kétváltozós feladatok 10 illetőleg a térfogati terhelés redukált csomóponti vektor (és hasonlóan a kezdeti alakváltozásból adódó csomóponti vektor, ahol N T -t B T -re cseréljük) 1 1 fρk e = N T ρk b det J dξ dη, f e ε = B T D ε 0 b det J dξ dη (3.11) szerint állítható elő. A peremen ható terhelésből származó fp e = N T pb dγ (3.113) Γ e redukált csomóponti erő kiszámítását egy négyszögletes elem példáján keresztül mutatjuk be. Az x irányú p x intenzitású terhelés működjön az elem 3. oldalán, vagyis η = 1. Ezen oldalon értelmezett elemi ívhossz vagyis Mivel η = 1 = áll., ezért továbbá fp e = dγ = Γ e N T p b dγ = dγ = (dx) + (dy). (3.114) dx = x ξ dξ, ( ) x + ξ 1 1 dy = y ξ dξ ( ) y dξ = det J Γ dξ, (3.115) ξ N T (ξ,η = 1) [ px 0 ] b det J Γ dξ. (3.116) Gyakran a peremen ható terhelés nem a globális rendszerben van megadva, hanem az a peremre merőleges és érintőleges összetevőivel ismert. Ebben az esetben a terhelési vektor p = p n n + p t t (3.117) 10

103 Kétváltozós feladatok 103 η 3 p x 4 y 1 x ξ 3.4. ábra. Az elem 3. oldalán p x terhelés működik ahol n a perem külső normálisa, t érintő egységvektora. Ismételten legyen a terhelt perem az η = 1. Matematikából ismert, hogy a peremet leíró síkgörbe r = xe x + ye y helyvektorának ívkoordináta szerinti deriváltja az érintő egységvektort szolgáltatja: t = r Γ = r ξ ξ Γ (3.118) Ily módon a leképezési összefüggés felhasználásával r ξ = i N i (ξ,η = 1) ξ (x i e x + y i e y ) míg a (3.115)alapján ξ Γ = 1 det J Γ = 1 Ezek után a normális egységvektor n = e z t = ξ Γ i N i (ξ,η = 1) ξ r ξ. (x i e y y i e x ) (3.119) vagyis a (3.117) alatti megoszló terhelésből a globális rendszerbeli terhelési koordináták p x = p e x, p y = p e y. (3.10) összefüggések alapján számolhatók. 103

104 Kétváltozós feladatok 104 A kapott értékek (3.116))-be helyettesítésével a redukált csomóponti terhelési vektor kiszámítható. Sok esetben a globális p x,p y vagy a lokális p n,p t terhelési koordináták a szóban forgó perem csomópontjaiban felvett értékeken és az elem ezen peremére lokalizált (példánkban N i (ξ,η = 1)) alakfüggvényeken keresztül írhatók fel. Kérdés ezek után a (3.111), (3.11), (3.113) típusú integrálok előállítása, melynek széles körben alkalmazott módszere a Gauss-féle numerikus integrálási technika. Egy dimenziónál egy F (x) függvény a,b intervallumbeli integrálját b a F (x) dx = S 1 F (x 1 ) +...S NG F (x NG ) + R NG (3.11) kifejezés szolgáltatja, ahol S i súlyfaktor, x i később ismertetett koordináta, R NG maradék tag, NG a felvett pontok száma. Kimutatható [6], hogy ezzel a közelítéssel NG 1-ed fokú polinom még pontosan integrálható. Az a,b intervallumból, amint azt már az elemeknél láttuk, a 1 ξ 1 intervallumba térünk át a leképezésnél használatos x = j N j (ξ) x j dx = j N j ξ x jdξ (3.1) összefüggéssel, míg a súlyfaktorra S i = det J(ξ i ) W i fog fennállni, ahol W i ún. Gauss-féle súlyfaktor, míg ξ i a Legendre polinomok belső zérus helyeit kijelölő ún. Gauss-féle koordináta, továbbá J = x ξ = ncs N j (ξ) ξ x j Ily módon az b a F (x) dx = b a F (x)dx integrál numerikus integrálással 1 1 NG F (ξ) det J(ξ) dξ = W i det J(ξ i ) F (ξ i ) (3.13) értéket nyeri. Megjegyezzük, hogy lineáris leképzés esetén x = a + b Kétdimenziós esetben i=1 + b a ξ, det J = b a. (3.14) F (ξ,η) det J(ξ,η) dξ dη (3.15) j 104

105 Kétváltozós feladatok 105 n t η ξ r e y y x e x 3.5. ábra. Görbeperemű elemen a t, n irányokban ismert a terhelés integrált először ξ szerint közelítjük i W i 1 1 det J(ξ i,η) F (ξ i,η) dη majd az η szerinti integrált közelítjük a (3.13) analógiája alapján, vagyis F (ξ,η) det J(ξ,η)dξ dη = NG i=1 NG W i W j det J(ξ i,η j ) F (ξ i,η j ) (3.16) j=1 Ennek értelmében a (3.111) formula integranduszában szereplő mátrix- 105

106 Kétváltozós feladatok 106 szorzatot F e (x,y)-el jelölve a K e = B T (x,y)d(x,y)b(x,y)b(x,y)da A e 1 1 A e F e (x,y)da = = F(x(ξ, η),y(ξ, η) det J(ξ,η)dξdη = 1 1 NG NG = W i W j det J(ξ i, η j )F(ξ i, η j ) (3.17) i=1 j=1 míg például a (3.116) szerinti perem menti integrál fp e = N T pbdγ = Γe 1 = N T (ξ, η = 1) p(ξ) b(ξ,η = 1) det J Γ (ξ, η = 1) dξ 1 NG = W i det J Γ (ξ i, η = 1) f e (ξ i, η j ) j=1 (3.18) formában számolható, ahol f e (ξ) = N T (ξ i, η = 1) p(ξ i )b(ξ i, η = 1) Megismételve a fenti képletekben N G a ξ illetve η irányban felvett Gauss integrációs pontok számát, W i, W j pedig az integrációs súlyfaktorokat jelenti, amelyeket számszerűen a 3.1. táblázat is bemutat. 1 1 F (ξ)dξ = NG i=1 W i F (ξ i ) 106

107 Kétváltozós feladatok táblázat. Négyszögelemnél jelentkező numerikus integrálás Gauss pontjainak koordinátái és súlyfaktorai ± ξ i W i NG = NG = NG = NG = NG = NG = NG = NG = NG = NG=

108 Kétváltozós feladatok feladat: Határozzuk meg a 3.6. ábrán vázolt elemek Jacobi mátrixát Megoldás: η y ξ 1 y ξ 4 3 y x η x 4 1 x a.) b.) c.) A leképezés szerint a.) elemnél 3.6. ábra. Vizsgált elemek x = 1 4 (1 ξ) (1 η) ( 4) (1 + ξ) (1 η) (+4) + 1 (1 + ξ) (1 + η) (+4) + 4 b.) elemnél (1 ξ) (1 + η) ( 4) = 1 4 (1 ξ) (1 + ξ) 8 = 4ξ 4» 4 0 y = 3η, vagyis J =, det J = x = 1 4 (1 + ξ) (1 η) (+8) + 1 (1 + ξ) (1 + η) (+8) = 4 (1 + ξ) 4 y = 1 4 (1 + ξ) (1 + η) (+6) + 1 (1 ξ) (1 + η) (+6) = 3 (1 + η) 4» 4 0 vagyisj =, det J = c.) elemnél x = 1 4 {(1 ξ) (1 η) (+) + (1 + ξ) (1 η) (+)} = 1 η y = 1 4 {(1 + ξ) (1 η) (+) + (1 + ξ) (1 + η) (+1)} = 1 4 [3 (1 + ξ) η (1 + ξ)] J =» 0 1 (3 η) (1 + ξ) 4, J = 1 (3 η). 108

109 Kétváltozós feladatok feladat: Határozzuk meg a 8 csomópontú izoparametrikus elem 3.oldalán ható lineárisan változó nyomó terhelésből származó csomóponti redukált terhelés értékét. (3.7) Megoldás: A csomópontokhoz tartozó η = 1 peremen értelmezett alakfüggvények a (3.94) felhasználásával: N 4 (ξ,η = 1) = 1 (1 ξ)ξ, N 3(ξ,η = 1) = 1 (1 + ξ)ξ, N 7(ξ,η = 1) = (1 ξ )» u v A szóbanforgó peremen az elmozdulásmező e η=1» 1 = (1 ξ)ξ 0 1 (1 + ξ)ξ 0 (1 ξ ) (1 ξ)ξ 0 1 (1 + ξ)ξ 0 (1 ξ ) míg a terhelési vektor p = (dx és dξ azonosak).» px p y =» 0 1 (1 ξ)p 4 1 (1 + ξ)p 3 e 6 4 u 4 v 4 u 3 v 3 u 7 v 7, továbbá det J Γ = 1 3e p 3 p 4 y 7 η ξ x ábra. Lineárisan változó terhelés A (3.116) képlet analógiája alapján Z 1 fp e = (1 ξ)ξ 0 1 (1 + ξ)ξ 0 (1 ξ ) (1 ξ)ξ 0 1 (1 + ξ)ξ 0 (1 ξ ) 3» (1 ξ)p 4 1 (1 + ξ)p 3 b dξ Elvégezve az integrálást fp e,t = b ˆ 0 p4 0 p 3 0 (p 4 + p 3 ) 109

110 Lemezelemek felépítése Lemezelemek felépítése A szerkezeti elemek modellezésénél gyakran figyelembe vesszük, hogy a test egyik mérete lényegesen kisebb a másik két méretéhez képest. Ha a testet terhelő erőrendszer olyan, hogy a test elmozdulásának jelentős részét a legkisebb méret irányába okozza, akkor ezt a testet lemeznek szokás nevezni. Ismeretes, hogy a lemezen ki lehet jelölni egy középfelületet s ennek elmozdulásán keresztül - különböző hipotéziseket felhasználva - lehet tisztázni az alakváltozási illetve a feszültségállapotot. Az alkalmazott hipotézisek révén az eredeti háromváltozós feladatot kétváltozós feladatra lehet visszavezetni, ami a feladat megoldhatóságát egyszerűsíti. Ugyanakkor a lemez vagy tágabb értelemben vett héj megtámasztásánál, csatlakozásánál, erőbevezetési helyeinél, megerősítéseknél (pl. bordáknál) a ténylegesen kialakuló feszültségállapot térbeli, ami már az alkalmazott hipotézisekkel nem írható le. Vagyis egy valóságos szerkezet mechanikai vizsgálatánál ún. kevert modelleket kell alkalmazni. A zavarástól távoli helyeken a viszonyokat jól leíró lemez (héj) modellek felvétele mellett a zavarásnál jelentkező térbeli állapotot leíró ún. kontinuum modell, illetve a két modellt összekapcsoló ún. átmeneti modell használatával lehet a viszonyokat tisztázni. Természetesen az is előfordulhat, hogy a lemez (héj) modell pontosítására is szükség van. Az utóbbi évek kutatásai az elmondottak szerinti modellek kimunkálására irányulnak [4] Geometriai és feszültségi hipotézis Reissner-Mindlin féle lemezmodellnél Tételezzük fel, hogy a b vastagságú lemez középfelülete az xy síkban fekszik. A középfelületet jelölje A, míg peremét Γ. Az elmozdulásmező felírásánál azzal a feltételezéssel élünk, hogy az elmozdulásmező koordinátái u = u(x,y,z) = ϕ y (x,y)z, v = v(x,y,z) = ϕ x (x,y)z w = w(x,y,z) = w 0 (x,y) } (3.19) ahol w 0, ϕ x, ϕ y a lemez középfelületén lévő pontok z irányú elmozdulása és a pont környezetének x és y tengelykörüli szögelfordulása. A későbbiekben w 0 -nál az alsó indexet elhanyagoljuk. Kis elmozdulásokat feltételezve a fajlagos nyúlások ε x = u x = zϕ y = z ϕ y x,ε y = v y = z ϕ x y,ε z = w z = 0 (3.130) 110

111 Lemezelemek felépítése 111 z P P P 0 ϕx ϕ y x y 3.8. ábra. Reissner-Mindlin-féle lemezelmélet ϕ x, ϕ y szögelfordulási mezőinek értelmezése és a szögtorzulások γ xy = u y + v ( x = z ϕy y ϕ ) x, γ xz = w x x + u z = w x + ϕ y γ yz = w y + v z = w y ϕ x (3.131) A fentiek alapján a lemez középfelületére merőleges egyenes szakasz a terhelés után is egyenes marad, hossza nem változik. A szóbanforgó szakasz az y tengely körül ϕ y (x,y) az x tengely körül ϕ x (x,y) értékkel fordul el. Érdemes a z-től függő, és a z-től független jellemzőket külön mátrixba rendezni: ε = ε x ε y γ xy = z ϕ y x ϕ x y ϕ y y ϕx x } {{ } κ = zκ (3.13) 111

112 Lemezelemek felépítése 11 ahol κ a görbületek oszlopvektora: κ = 0 0 x 0 y 0 x y } 0 {{ } ε w ϕ x ϕ y } {{ } u (3.133) A z-től független szögtorzulások pedig a következő kételemű vektorba rendezhetők: [ ] [ ] γxz x 0 1 w γ = = γ ϕ x = γ u (3.134) yz y 1 0 } {{ } ϕ y γ Látható, hogy az elmozdulási hipotézishez tartozó szögtorzulás két tagból áll. Az első tag a normális középfelülettel együtt történő mozgása miatt, a második pedig az ahhoz képest jelentkező szögelfordulás miatt van. A klasszikus lemezelmélet másik hipotézise a feszültségállapottal kapcsolatos, nevezetesen, tapasztalatok alapján nem követünk el nagy hibát, ha a σ z feszültséget elhanyagoljuk a σ x és σ y mellett, vagyis homogén, izotróp anyagnál a Hooke-féle anyagegyenlet felhasználásával σ x = illetve a csúsztató feszültségek E 1 ν (ε x + νε y ), σ y = E 1 ν (νε x + ε y ) (3.135) τ xy = Gγ xy, τ xz = Gγ xz, τ yz = Gγ yz (3.136) ahol G = E/(1 + ν). Nyilvánvaló az ε z = σ z = 0 feltételek egyidejűsége ellentmond a Hooke-féle anyagegyenletnek. Mátrixos alakban pedig: σ = σ x σ y τ xy = E 1 ν 1 ν 0 ν ν 0 0 ε x ε y γ xy A z-től független nyírófeszültségeket mátrixosan írva: τ = [ τxz τ yz = Dε = z Dκ (3.137) ] = kgγ (3.138) 11

113 Lemezelemek felépítése 113 y y y z Þ Ð Ø τxz Þ Øτxz 3.9. ábra. Nyírási tényező származtatása A nyírófeszültségekben szereplő k az ún. nyírási tényező, mely abból a feltételezésből határozható meg, hogy a közelítő konstans nyírófeszültséghez és az egzakt nyírófeszültséghez tartozó alakváltozási energia megegyezik. Értéke: 5/ Felületi feszültségek és feszültségpárok (élerők és élnyomatékok) Értelmezve a vastagság mentén megoszló feszültségek eredőit, nyomatékait, írhatjuk, hogy Q x = τ xz dz, Q y = τ yz dz. (3.139) (b) (b) Továbbá M x = σ x zdz, M y = σ y zdz, M xy = τ xy zdz (3.140) (b) (b) (b) amiből a (3.131), (3.136)alattiak figyelembevételével a felületi feszültségek (élerők) ( Q x = k G b ϕ y + w ) (, Q y = k G b ϕ x + w ) (3.141) x y míg a felületi feszültségpárok (élnyomatékok) M x = Eb 3 ( ϕy 1(1 ν ) x ν ϕ ) x, M y = y Eb 3 ( 1(1 ν ν ϕ y ) x ϕ ) x y 113

114 Lemezelemek felépítése 114 amelyekhez az M xy = Gb [ Mx M M = xy M yx M y ( ϕy y ϕ ) x x ], Q = [ Qx Q y ] (3.14) (3.143) tenzor, illetve vektor is rendelhető. A tetszőleges n normálisú és t érintőirányú síkon keletkező σ n normál irányú és τ tn, τ zn csúsztató feszültség (t = e z n) : σ n = n T n = σ x n x + σ y n y + τ xy n x n y τ tn = t T n = (σ y σ x )n x n y + τ xy (n x n y) τ zn = e z T n = τ zx n x + τ zy n y (3.144) n = n x e x + n y e y, t = n y e x + n x e y (3.145) ahol n x = cos α, n y = sin α a felület normálisának koordinátája (lásd ábra). Az élnyomatékok értelmezése alapján M n = σ n zdz = M x n x + M y n y + M xy n x n y = n M n (3.146) (b) míg M tn = M nt = τ tn zdz = (M y M x )n x n y + M xy (n x n y) = t M n továbbá (b) Q n = b (3.147) τ zn dz = Q x n x + Q y n y Q n (3.148) 114

115 Lemezelemek felépítése 115 z ϕ tn M n y α t τ tn s Q n n σ n M nt ϕ n x ábra. M n, M nt nyomatékok, Q n nyíróerő és a ϕ n, ϕ nt szögelfordulások értelmezése Reissner-Mindlin-féle lemez teljes potenciális energiája A vázolt hipotézisek és vektorok felhasználásával a teljes potenciális energia π p = 1 ε T σ dz da + 1 γ T τ dz da W k (3.149) A b ahol a külső erők munkája W k = wp da + Mnϕ 0 tn ds A Γ p A Γ p b Mntϕ 0 n ds Γ p Q 0 nw 0 ds (3.150) mely kifejezésben p a középfelületre redukált megoszló z irányú terhelés intenzitása, M 0 n, M 0 nt, Q 0 n a Γ e p peremen megadott értékek. A perem ϕ n és ϕ tn szögelfordulása a ϕ = ϕ x e x + ϕ y e y vektor bevezetésével ϕ n = ϕ n, ϕ tn = ϕ t (3.151) alakban állítható elő. A lemez megtámasztásától függően az alábbi peremfeltételeket szokás megkülönböztetni (lásd ábrát ): 115

116 Lemezelemek felépítése 116 Befogás esetén: w = 0, ϕ t = ϕ n = 0 szabad perem esetén: M n = M tn = Q n = 0 egyszerű alátámasztás esetén: w = 0, M n = M tn = 0 vagy pedig: w = ϕ n = 0, M n = 0 y x ábra. Megtámasztási módok Kirchhoff-féle hipotézis, technikai lemezelmélet Amennyiben γ xz = γ yz = 0, akkor (3.131) alapján azaz ϕ x = w y, u = w x z, ϕ y = w x v = w y z (3.15) összefüggéseket kapjuk, ami a Kirchhoff -féle hipotézisnek felel meg. Ezen hipotézisre alapozott technikai lemezelmélet vékony lemezek esetén a gyakorlat számára jó eredményt szolgáltat. Ebben az esetben az alakváltozási tenzor zérustól különböző elemei ε x = w 0 x z, ε y = w 0 y z, γ xy = w 0 x y z. (3.153) A feszültségállapotra vonatkozó hipotézisek azonosak a Reissner- Mindlin lemezelméletnél bemutatottakkal. Így (3.137)szerint σ w 0 x x σ = σ y = z Dκ z D 1 v 0 w 0 y, E D = 1 v τ v 1 0 xy 1 v w x y (3.154) 116

117 Térbeli elemek 117 Mivel a (3.149) alatti Π p -ben a második integrál eltűnik (nincsen nyírási energia), a w mezőnek a (3.154) szerint másodrendű deriváltjai szerepelnek a potenciális energiában, a variációs elv értelmében a w mező C 1 osztályú folytonosságát kell biztosítani. A vékony lemezekre számos végeselem került kidolgozásra [5] Izoparametrikus elem Visszakanyarodva a Reissner-Mindlin elméletre alapozott eszmefuttatásra, a lemez elmozdulási állapotának közelítésére izoparametrikus elemet fogunk választani. Formálisan az elem lehajlási és szögelfordulási mezőit kell a megszokott módon alakfüggvények és csomóponti paraméterek szorzataként approximálni a C 0 osztályú folytonosság biztosításához. Itt, ilymódon a végeselem-módszernél használatos elemenbelüli elmozdulásmező három mezőt jelent: w, ϕ x, ϕ y : u et = [w ϕ x ϕ y ] e = q et N et (3.155) ahol q et = [ q T 1 q T ] e n e cs, q et i = [ ] e w i ϕ xi ϕ yi Az elem merevségi mátrixát és tehervektorát az elemre felírt potenciális energiából származtatjuk. Megjegyezzük, hogy a hajlított rúdelemhez hasonlóan a csomópontokban koncentrált erőn kívül nyomaték is működhet. A gyakorlatban az ún. Lagrange-típusú approximációt felhasználó 4,8, illetve 9 csomópontú izoparametrikus négyszög alakú elem a legelterjedtebb Térbeli elemek A gépészet számos szerkezete olyan kialakítású, hogy a korábban ismertetett redukálások már nem alkalmazhatók, hanem a testet mind geometriájában, mind terhelésében csak háromdimenziós (3D-s) feladatként lehet lekezelni. Nagyon jól tudjuk gépelembeli tanulmányainkból is, hogy a geometria lényegesen befolyásolja a kialakuló feszültségállapotot. Pl. a tengelyek különböző átmérőjű szakaszainak találkozásánál kialakított lekerekítések a feszültég koncentrációját jelentősen befolyásolják. Tehát célul kell kitűzni olyan végeselemek megalkotását, amelyek a geometriát minél jobban megközelítik, s kellő pontossággal a potenciális energia numerikusan kiszámíthatóvá teszik. A végeselem- módszer fejlődését és mindennapos felhasználását tekintve megállapíthatjuk, hogy a térbeli elemek közül a legelterjedtebbek az izoparametrikus elemek, amelyek sokféle geometriai alakot ölthetnek. Ezek 117

118 Átmeneti elemek 118 közül a leggyakrabban alkalmazottak az egyenes illetve görbült élekkel rendelkező hatlapú (hexahedron) tégla -, négyoldalú (tetraéder) gúla -, vagy ötoldalú (pentaéder) ék alakú elemek. [, 4, 5]. Ha az élek csak egyenes vonalúak, továbbá csomópontok csak a csúcspontokban vannak, akkor az elemen belül az approximáció lineáris (kvázilineáris), ha az élek mindegyik görbülhet is, akkor, pedig legalább kvadratikus. Természetesen az egyenes- és görbült él, azaz lineáris- és kvadratikus közelítés (approximáció) vegyesen is előfordulhat egy-egy elemen belül. A görbült elem élein, a végpontokon kívül, a felező pontokban is van csomópont. Megjegyezzük, hogy magasabb approximáció alkalmazása esetén, az éleken akár kettő vagy három közbenső csomópont is előfordulhat, valamint további csomópontok lehetnek az oldallapokon és az elem belsejében is [4]. Az elem csomópontjai három x,y,z irányú elmozdulási szabadságfokkal rendelkeznek, ezzel összhangban a csomóponti terhelések is csak koordináta irányú erők lehetnek Átmeneti elemek Gyakran a szilárdságtani modell ismeretlenjeinek a száma oly módon csökkenthető, hogy egy számítási modellen belül térbeli elemeket és lemez (héj) elemeket használunk. Láttuk, hogy a lemezeknél tett hipotézisek a csomópontokban szögelfordulási ismeretlent is jelentenek, míg a térbeli elemeknél csak elmozdulási (eltolódási) paraméterek szerepelnek. A kompatibilitás, azaz az elmozdulásmező testbeli folytonossága megköveteli a kétfajta elem olyan illesztést, amit csak ún. átmeneti elemmel lehet megoldani. Az elemek csatlakozó felület minden pontjában az elmozdulás-mezőnek folytonosnak kell lennie. Ezeken az elemen lesznek olyan csomópontok, amelyek a térbeli elemmel, és vannak olyan pontok, amelyek a lemezzel csatlakoznak. Az elem approximációs függvényeinek felépítése speciális megfontolásokat igényel. Forgástestek vonatkozásában a []-ben találunk erre példákat Hivatkozások a 3. fejezethez 1. Mechanika mérnököknek, Szilárdságtan, Szerkesztette M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, Páczelt I.: Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc,

119 Hivatkozások a 3. fejezethez Galántai A., Jenei A.: Numerikus módszerek, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc, Szabó, B. Babuska,I.: Finite Element Analysis, John Wiley & Sons Inc., New York, Bathe, K.J.: Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., New Jersey,

120 Hibaanalízis Hibaanalízis A továbbiakban a végeselemes közelítés hibáját elemezzük. A korábbi fejezetekben bemutatott végeselemes elmozdulási módszert a teljes potenciális energia funkcionálra alapoztuk. A megoldás közelítéséből származó hibáját is energia értelemben határozzuk meg. Mint ismeretes a rugalmas feladatok esetén, adott elmozdulási mező alapján az alakváltozási- és feszültségi mező egyértelműen meghatározható: u elmozdulás ε = u alakváltozás, σ = D ε feszültség. Az alakváltozási energia és ezen keresztül az elmozdulás normája az előbbi mennyiségekkel az alábbi módon fejezhető ki u E = U alakv. = 1 V ε T σ dv 1 = 1 V ( u) T D ( u) dv (4.1) Legyen a továbbiakban u = u ex az egzakt megoldás, u V EM a közelítő véges elemes megoldás, akkor az utóbbi hibája, a kettő különbsége e = u V EM u ex. (4.) Az e hiba pontszerű értelmezése a gyakorlatban ritkán határozható meg, de a (4.1) energia norma alapján értelmezve e E = 1 V ( e) D ( e) dv 1 1. (4.3) már léteznek matematikai megalapozottságú becslések. Energia értelemben konvergens a megoldás, ha a hiba normája az ismeretlenek számának növelésével tart a nullához: lim e E = 0, (4.4) N ahol N az ismeretlenek száma, térbeli izoparametrikus elemeknél (3 ncs). Pontonkénti konvergenciáról beszélünk, ha minden pontban teljesül az alábbi határérték lim e = 0. (4.5) N 10

121 Hibaanalízis 11 Az ismeretlenek számának növelése alapvetően kétféle módon is megvalósítható. Az egyik esetben az elemháló sűrítésével csökkentjük az elemek jellemző h méretét, változatlan lineáris vagy kvadratikus közelítő mező alkalmazása mellett. A másik esetben változatlan felosztás, azaz változatlan elemméret mellett, a közelítő polinomok p rendjét növeljük. A két eljárás ötvözete egyaránt magába foglalja a h méret csökkentését p polinom rendjének növelését. Az alkalmazott módszereket tekintve beszélhetünk h-verziójú-, p-verziójú- és hp-verziójú végelemes eljárásokról. A p-verziónál alkalmazott függvénytér felépíthető Lagrange-féle és Legendre-féle polinomokkal is. Az utóbbi alkalmazása azért előnyösebb, mert az approximációs tér hierarchikusan egymásba ágyazott [1]. Ekkor a magasabb rendű p polinom alapján előállított mátrix leválaszthatóan tartalmazza az alacsonyabb rendű közelítések mátrixait is, a lineárissal bezárólag. A Legendre-féle polinomok és deriváltjaik ortogonális tulajdonsággal rendelkeznek, ezért a megoldandó egyenletrendszer kondíciója is kedvezőbb mint a Lagrange-féle közelítés esetén. A peremérték feladatokat az irodalomban három csoportba szokás sorolni: A.) típusról beszélünk, ha megoldás elegendően sima, vagyis a vizsgált tartomány szingularitásokat nem tartalmaz, azaz analitikus jellegű. B.) típus esetén szingularitásokat tartalmaz a feladat, de ez a szinguláris hely az elem csomópontjába esik C.) típusnál a szingularitások tetszőlegesen helyezkednek el, azaz nem esnek csomópontokba. A 4.1. ábra példákat mutat be a szinguláris helyekre. Ezek lehetnek, pl. éles saroknál, koncentrált erő támadási helyén, kompozit anyagok peremein. A szinguláris pontok a gyakorlatban a tönkremenetel kiindulási helyeiként igen veszélyesek lehetnek. A szinguláris pont környezetében az elmozdulási mező lefutását a szingularitás jellege határozza meg. A szingularitás lehet erős és gyenge [1]: u = Φ i (ϕ) r λ i r < r 0 (4.6) i=1 ahol r 0 az elhalási hossz, ha 11

122 Hibaanalízis ábra. Példák a szinguláris pontokra r P ϕ x 4.. ábra. Szinguláris pont környéke min λ i { < 1 szigorú > 1 nem szigorú. A szigorú szingularitás esetén a feszültség tart a végtelenbe, ha nem szigorú, akkor véges értékű lesz. Az éles sarok geometriája, azaz nyílásszöge döntő befolyással van a szingularitás jellegére. Ha nyílásszög kisebb, mint 10 o, akkor a csúcspont veszélyes feszültséggyűjtő hely lehet. A különböző típusú feladatokra vonatkozóan az irodalomban a következő a 4.1. táblázatban összefoglat hibabecslő formulák találhatók a h-, p-, hp-verziójú közelítésekre. A 4.1. táblázatban szereplő N az ismeretlenek számát, p a közelítő polinom fokszámát, λ a szingularitás mértékét jelenti, k konstans érték. A 4.1 táblázatból jól látható, hogy a p-verziós közelítés gyorsabb konvergenciával rendelkezik, mint a hagyományos h-verziós. A hp-verziós eljárás exponenciálisan gyors konvergenciájú még B-típusú feladatok, azaz 1

123 Hibaanalízis táblázat. Hibabecslő összefüggések A B C p e E = k N p e E k N 1 min(p, λ) e E k N 1 min(p, λ) h hp e ˆexp ` γ N δ k δ > 1 e k N λ e ˆexp ` γ N δ k δ > 1 3 e k N 1 λ szingularitások csomóponti elhelyezkedése esetén is. Ekkor a felosztást a szingularitás közelében geometria sor szerint szükséges sűríteni. A konvergencia sebességeket hasonlítja össze a 4.3. ábra. Az ábra jól mutatja a p- és hp-verzió előnyét, mert ugyanolyan hibahatár eléréséhez lényegesen kisebb az ismeretlenek száma a hagyományos h-verziós számításhoz képest []. Vizsgáljuk a B típusú feladat konvergenciáját kifejező összefüggést e E k N β (4.7) A matematikai egyenlőtlenségben ismeretlen a hiba normája e E = u E u V EM E (4.8) a k arányossági tényező, és a szingularítás mértékét is tartalmazó β paraméter. Tehát három ismeretlenünk van. A pontos megoldáshoz tartozó alakváltozási energiát azzal a megfontolással lehet megbecsülni, hogy felhasználjuk azt a feszültséget is, amit az elemeken belül az elmozdulásmező közelítésénél használt N i (x) alakfüggvényeken keresztül fejezünk ki - ami egy simább megoldás leírását adja -, mint azt az elmozdulásmező deriválásával számoltuk volna ki. Vagyis a végeselemes megoldás σ V EM = D u V EM = D N q (4.9) szokásos feszültsége mellett, a pontos közelítését σ σ = N σ (4.10) alakban írjuk fel, ahol a σ csomóponti értékek feszültségi vektorát a hibanégyzet minimum elvből származó N T ( σ σ V EM ) dv = 0 (4.11) V 13

124 lg e p h Ý ÒÐ Ø òö Ø µ Ð Ö Þ Ø Øص min(0,λ) λ Hibaanalízis 14 hp lg N 4.3. ábra. A h-, p és hp-verziós számítások konvergenciája egyenletből tudjuk meghatározni: σ = N T N dv 1 V V N T σ V EM dv (4.1) σ ismeretében a hiba becslésére az alábbi integrált használhatjuk e E 1 ( σ σ V EM ) T D 1 ( σ σ V EM ) dv (4.13) V Ezek után kétfajta elemfelosztással N 1, N számú csomóponti elmozdulási koordinátákkal számítást végezve, írhatjuk, hogy a hiba normák ahonnan e 1 E k N β 1, e E k N β (4.14) k = e 1 E N β 1 (4.15) értékét csak azután tudjuk kiszámolni, ha először a β-ra feloldjuk az egyenletrendszert ( ) ( ) e β = lg E N1 / lg (4.16) e 1 E N A 4.3. ábra szerint a h típusú számítás egyenese már megrajzolható és ezzel becsülhető az az ismeretlen N szám, aminél a hiba egy megkívánt érték alá vihető. 14

125 Hibaanalízis 15 A gyakorlatban a számítást akkor fogadjuk el, egyrészt, ha a globális hiba a teljes alakváltozási energia valamilyen mértékű hányadánál kisebb, azaz e E η u E (4.17) ahol η a felhasználó által beállított érték, általában -5 %, másrészt az elemek kielégítik az optimális felosztási kritériumot, ami lokális tulajdonságot hordoz, azaz e E, i = e E, kívánt (4.18) ahol e E, i az i-dik elem aktuális hibája, míg e E, kívánt az elvárt hiba mértéke. Definiálva a globális és a lokális hibamértékeket ξ G = ezekből az elem sűrítési paramétere vezethető le e E η u E, ξi = e E, i e E, kívánt (4.19) ξ i = ξ G ξi (4.0) A teljes rendszerbeli hibák az elemeken kapott hibákból állnak elő, nevezetesen a hibák négyzeteinek (ez felel meg a belső alakváltozási energiának) összege adja meg a teljes hibát A megkívánt hiba n el e E = e E, i (4.1) i=1 aminek figyelembevételével a sűrítési paraméter e E, kívánt = e E nel (4.) ξ i = e E, i η u E nel (4.3) Ha ξ i 1, akkor az i-dik elemnél további sűrítés szükséges. A részleteket mellőzve [], az elem új mérete h új i = h i ξ /(p+d) i ξ p G (4.4) ahol, d a feladat dimenziója, 1 változósnál d = 1, D-s feladatnál d = stb. A modern számítógépi programok élnek az elemsűrítés lehetőségével. Még számos más technikával találkozunk a sűrítés végrehajtására. Néhánnyal a [] - ben találkozunk. 15

126 Hivatkozások az 4. fejezethez Hivatkozások az 4. fejezethez 1. Szabó, B. Babuska,I.: Finite Element Analysis, John Wiley & Sons Inc., New York, Páczelt I.: Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc,

127 Modellezési kérdések Modellezési kérdések A szerkezetek számításánál számos olyan probléma kerül előtérbe, ami azzal van kapcsolatban, hogy hogyan lehet a modellt úgy felépíteni, hogy bizonyos megfogásokból származó peremfeltételek, az elemek közötti túlfedésből származó hatások, a teljes szerkezetnél megjelenő szerkezeti részek ismétlődésből származó ún. periodicitások, a ferde hatásvonalú megtámasztások stb. kényelmes kézbetartása mellett, az elem szintjén legyenek figyelembe véve a számítási időt is csökkentve. Általában a számítógépes tervezés során a teljes szerkezetet nem lehet minden részletre kiterjedően a képernyőn megjeleníteni, ill. gyakran kész szerkezeti elemek, részegységek kerülnek beépítésre, amit a modellezésnél nyilvánvaló követelményként fel kell tudni használni. Az említettek újabb megfontolást igényelnek a végeselemes számítás megszervezésére, a modellünk felépítésére [1] Alszerkezettechnika Tételezzük fel, hogy a több szerkezeti egységből álló szerkezet egyes részeinek végeselemes felosztásához kapcsolódóan már előállítottuk a merevségi mátrixot és a csomóponti redukált terhelési vektort. Az egyes részeket a tervező által megálmodott felületek mentén össze kell illeszteni [1], hogy megkapjuk a teljes vizsgálandó szerkezet mechanikaim, végeselemes modelljét. A címben szereplő probléma lényegének megértése céljából a szerkezet csak két részből lesz felépítve. Tehát az 5.1. ábrán lévő egyszerű felépítésű szerkezetet két alszerkezetre (i = 1,) bontjuk fel. A mechanikai probléma végeselem-módszerrel történő megoldásánál megkövetelt pontosság elérésére megfelelő számú és fokszámú elemeket használunk fel. A szerkezeti részegységek, alszerkezetek az A i c felületük mentén csatlakoznak egymáshoz. Az itt található csomóponti elmozdulások vektora q i c, míg a megmaradóké, röviden a belső pontoké q i b. Az alszerkezet összes csomópontjának elmozdulásvektora q i. A teljes potenciális energia minimuma elv szerint fennáll, hogy Π i p q i = K i q i f i r i = [ Kbb K bc K cb K cc ] i [ qb q c ] i [ fb f c ] i [ 0 r ] i = 0, (5.1) ahol K i az i-edik alszerkezet merevségi mátrixa, f i csomóponti redukált terhelési vektor, r i a csatlakozásnál fellépő belső erőből (hatás-ellenhatás 17

128 Alszerkezettechnika 18 A 1 c A c 1 törvénye szerint keletkező) csomóponti vektor. = = 5.1. ábra. Két alszerkezetre felbontott szerkezet A kapott mátrixegyenlet első blokksora Π i p q i b = K i bb qi b + Ki bc qi c f i b = 0, (5.) a belső csomópontok egyensúlyát fejezi ki, amiből q i b = ( K i bb) 1 f i b ( K i bb) 1 K i bc q i c. (5.3) Itt feltételeztük, hogy a csatlakozó pontok száma elegendő ahhoz, hogy a vizsgált alszerkezet merevtestszerű elmozdulása le legyen kötve, azaz a belső pontokra vonatkozó K i bb merevségi mátrix inverze létezzen. A kapott belső elmozdulások vektorát behelyettesítve a csatlakozó csomópontokra vonatkozó egyensúlyi egyenletbe nyerjük, hogy Π i p q i c = K i cb qi b + Ki cc q i c f i c r i = 0 (5.4) { K i cc K i cb ( K i bb ) 1 K i bc } q i c = f i c K i cb ( K i bb ) 1 f i b + r i, (5.5) ami tömörebben K i red qi c = f i red + ri i = 1, (5.6) alakban írható fel. Itt K i red, f red i az i-edik alszerkezet csatlakozó csomópontokra redukált merevségi mátrixa és redukált csomóponti terhelési vektora. A hatás-ellenhatás értelmében r 1 = r, továbbá a csatlakozási csomópontokban az elmozdulások azonosak, azaz q 1 c = q c = q c (5.7) 18

129 Adott elmozdulások figyelembevétele 19 A csatlakozó pontok egyensúlyát kifejező egyenletek összegzésével a következő végső egyenlethez jutunk a csatlakozó csomóponttokbeli elmozdulás meghatározására: ( ) K i red q c = fred i (5.8) i i vagyis megkaptuk az ún. főszerkezet egyensúlyi egyenletét. Az egyenlet megoldásából nyert, a csatlakozási felületen lévő csomópontokra vonatkozó q c = q 1 c = q c elmozdulási vektor ismeretében (5.3) alapján az i-dik alszerkezet belső csomópontjainak elmozdulásvektorta ismert lesz. Ezekután a teljes q i vektor ismeretében az i-dik alszerkezet elmozdulás és feszültségállapota számolhatóvá válik, aminek elemzése révén eldönthető annak jósága, avagy további szerkezeti módosítással kell a tervezési feladatot pontosítani. A módszer előnyei: egyszerűbb az adatelőkészítés, a tipizált alkatrészek, szerkezeti egységek merevségi mátrixait, terhelési vektorait előre ki lehet számolni, azokat el lehet raktározni és újbóli számításnál a teljes rendszerbe könnyen be lehet illeszteni. Az alrészek számításánál a többprocesszorú, párhuzamos számítás technikáját is fel lehet használni jelentős időt megtakarítva. Az algebrai egyenletrendszerek megoldási idejét jelentősen befolyásoló sávszélesség minimalizálása egyszerűbb alszerkezeti szinten, mint a teljes rendszer vonatkozásában. A számítási eredmények birtokában azon részeken, ahol nem kell változtatást végrehajtani, az elraktározott K i red, f red i mennyiségek újból felhasználhatók, az újraszámítást csak azon részeken kell végrehajtani, ahol a geometriában, anyagban, esetleg a terhelésben álltak be változások. Ezzel gyorsítani lehet a végső tervek elérését. Az alszerkezetekkel kezelt rendszereknél az I/O műveletek száma csökken. Gyakran a számítógépi memória korlátja miatt is előnyös használata, mivel nem kell egyszerre a teljes egyenletrendszert tárolni. A gyakorlatban, nagybonyolultságú szerkezeteknél többszintű alszerkezeti struktúra felépítése is javasolt. 5.. Adott elmozdulások figyelembevétele Az elmozdulásmódszernél, a teljes potenciális energia minimuma elv használatakor a kinematikailag lehetséges elmozdulásmezőnek a kinematikai peremfeltételt ki kell elégítenie. Feltételezéseink értelmében az A u felületre kifutó végeselemek csomópontjainak elmozdulásával a teljes felületen meg- 19

130 Adott elmozdulások figyelembevétele 130 adott elmozdulás függvényt leírjuk. Így az elem szintjén nagyon egyszerű az adott elmozdulás figyelembevétele. Legyen a teljes potenciális energia Π e p = Π e p (q e ) = 1 [ q e,t s q e,t u ] ( [ K e ss K e us K e su K e uu ] [ q e s q e u ] [ f e s f e u ] ) (5.9) ahol q e u a q e csomóponti elmozdulásvektor azon része, amelynél az elmozdulások adottak, míg a q e s -el jelöljük, a szabad, ismeretlen elmozdulásokat magában foglaló vektort. A kijelölt műveletek elvégzésével, a minimalizálás szempontjából állandó tagokat elhanyagolva, a minimalizálandó energia Π p = e Π e p (q e s) = e 1 qe,t s ( K e ss q e s (f e s K e suq e u) ), (5.10) vagyis az adott elmozdulás egy kinematikai terhelést jelent, ami arányos az adott elmozdulással K e suq e u. Gyakran a kinematikai hatásokat külön terhelésként kezelik, rugalmas szerkezetről lévén szó a szuperpozíció elvének felhasználásával jutunk a teljes a kölcsönhatásból származó erőhatásokat is figyelembe vevő terhelés figyelembevételéhez. Ebben az esetben az egyenletrendszert megoldó eljárásnak ún. több jobboldalas számításra is alkalmasnak kell lennie. Az alapterhelések megoldásainak lineáris kombinációjával juthatunk el a kívánt terhelések összegzett hatásának az elemzésére. Ezzel a technikával gépidő takarítható meg. Ugyanis, a szerkezet méretétől függően az alapterhelésekhez tartozó elmozdulások kiszámítása igényel valójában jelentős időt. Azok lineáris kombinációja már gyorsan elvégezhető, a tervezési folyamattól függően, azok bármikor az elraktározott futási eredmények birtokában megismételhetők, újjakkal tetszés szerint kiegészíthetők feladat: Vizsgáljuk a 5.. ábrán feltüntetet befalazott tartó végén megadott w 0 értékű elmozdulás hatását. Az elem lehajlásával és szögelfordulásával kapcsolatos merevségi mátrixa (3.36) alapján, tekintettel a befalazásra Megoldás: K = IE L» 6 3 L L 3 L Mivel w j = w 0, úgy a Kq = r egyensúlyi egyenlet értelmében IE L» 6 3 L L 3 L»» w0 r = ϕ η j 0 Az (5.9), (5.10) alatt bevezetett mátrixokkal és vektorokkal. (5.1-a). (5.1-b) K ssq s = K suq u (5.1-c) 130

131 Szakadás figyelembevétele 131 a K ss mátrix az eredeti K mátrix w 0 -hoz tartozó sorának és oszlopának törlésével, míg a K sua K mátrix első oszlopából nyerhető, vagyis a megoldandó egyenlet amiből a rúd végső keresztmetszetének szögelfordulása K ss q s = K su q u, (5.1-d) ϕ η j = 3 L w 0 (5.1-e) Kérdésként merül fel, ezt a w 0 elmozdulást mekkora erő kifejtésével biztosíthatjuk? A (5.1-b) alatti mátrixegyenlet első sorából a kérdéses erő r = IE L 6 L 9 «L w 0 = 3IE L 3 w 0. (5.1-f) ζ w 0 i j L ξ 5.. ábra. Adott w 0 elmozdulás hatásának vizsgálata A második sorból az elmozdulásokból származó végkeresztmetszeti hajlítónyomatékot kapjuk meg, ami nyilvánvalóan 5.3. Adott elmozdulásmezőben fennálló szakadás, kezdeti hézag figyelembevétele A gépészmérnöki gyakorlatban számos esetben az alkatrészek közötti kötést túlfedéssel valósítják meg. Ebben az esetben, a kapcsolatra olyan modell is felépíthető, amikor a testek között kétoldalú kapcsolatot tételezünk fel, ami azt jelenti, hogy az alakváltozás után a két test párbaállított pontjai azonos helyet fognak elfoglalni. Ez a modellezésben egy egyszerűsítés, mert az elemek közötti normális érintkezési feszültség előjelére és a súrlódási feltételekre nem vagyunk tekintettel. A geometriai illesztési feltétel kielégítésével a számítás után lehetőség van a feszültségi feltételek ellenőrzésére. Amennyiben az érintkezési tartományon nincs semmiféle adhézió, akkor a normál feszültség csak nyomó lehet. Száraz súrlódásnál a Coulomb-féle egyenlőtlenségi feltételnek is fenn kell fennállnia. 131

132 Szakadás figyelembevétele 13 Nézzük az egyszerűsített modellünket. Tételezzük fel, hogy az A és az F párbaállított csomópontok általánosított csomóponti elmozdulása között a q F = q A + h F A (5.11) kapcsolat áll fenn, ahol h F A a szakadásból (kezdeti hézagból) származó vektor. Az F pontot főcsomópontnak, az A pontot alcsomópontnak nevezzük. Az összefüggés értelmében alakváltozás után a két pont a tér egy közös P pontjába kerül (5.3. ábra). Itt is feltételezzük, hogy a csatlakozó A c tartományon a hézagfüggvényt, az elmozdulásmezőt a csomóponti értékek egyértelműen leírják. n z A q A P x h FA F q F 5.3. ábra. Kétoldali kapcsolat x és z irányban Az A csomópontot magába foglaló e jelű elem teljes potenciális energiája az A csomóponthoz q e A és az elem megmaradó pontjaihoz tartozó qe m csomóponti elmozdulás vektorokon keresztül írható fel: Π e p = Π e p (q e A, q e m) = 1 [ q e,t A illetve az (5.11) behelyettesítésével Π e p = 1 [ q T F h T F A, q e,t ] m (K e ] qe,t m (K e [ q e A q e m [ qf h F A q e m ] [ f e A f e m ] [ f e A f e m ] ), (5.1) ] ). (5.13) A merevségi mátrixot az elmozdulásvektor szerint felbontva [ ]e K e KAA K = Am. (5.14) K ma K mm 13

133 Szakadás figyelembevétele 133 Ennek felhasználásával nyerjük, hogy Π e p = Π e p (q F, q e m) [ q T F, q e,t ] [ K AA m K ma ] e h F A, (5.15) vagyis az A pontbeli ismeretlenek F pontba való áthelyezésével az e-edik elem merevségi mátrixa nem módosul, a csomóponti terhelésé azonban igen: f e mód = [ f e A f e m ] + [ KAA K ma ] e h F A (5.16) Gyakorlatban, számos esetben az al- és főcsomópontok között nem az összes koordináták között van alárendeltség, továbbá az elemnek nem csak egy alcsomópontja van, hanem több. Formálisan, a kapott eredmények ekkor is érvényben maradnak, a módosított redukált csomóponti terhelési vektornál a merevségimátrix megfelelő oszlopait kell megszorozni a h F A vektorral. A kapott eredmények birtokában el lehet dönteni, hogy a kétoldalú kapcsolatú érintkezési feltételek valóban fennállnak-e avagy nem. Ha a testek közötti adhéziótól eltekintünk, akkor az érintkezési felületen keletkező feszültségnek normális összetevője csak nyomó feszültség lehet. Ha a kapott feszültségkép ettől lényegesen eltér, akkor a feladatot az egyoldalú kapcsolatú érintkezési feltételek mellett kell megoldani. Ezzel a kérdés komplexummal a [1]-ben találunk bőséges kifejtést Hengeres testek esetén a radiális irányú alárendeléssel lehet a túlfedés hatását figyelembe venni, míg a tengelyirányban az alárendelés hiánya a súrlódásmentességet, alárendelés (elmozdulások azonossága) pedig a végtelen értékű súrlódási tényező felvételét jelenti. A valóságban a súrlódási tényező véges értéke miatt, a két feltételezéssel kapott eredmény között van az igazság. 5.. feladat: Vizsgáljuk az 5.4. ábrán vázolt két azonos merevségű rúdból álló szerkezetet. Az összeszerelés után a -3 pontok (csukló) a tér közös pontjába kerülnek. A kérdés: hova, s mekkora a rúdvégek szögelfordulása? Megoldás: Legyen a -es csomópont az A alcsomópont, míg 3-as az F pont. Ilymódon (3.36)-ra is tekintettel az 1-es rúd potenciális energiája míg a -es testé Π 1 p = 1 q1t K 1 q 1 = 1 [w Π p = 1 qt K q = 1 [w 3 ϕ ] IE L ϕ 3 ] IE L» 6 3» L L w 3 ϕ L» 6 L 3» L w3 3 ϕ L 3 (5.-a) (5.-b) 133

134 Ferdehatásvonalú támasz figyelembevétele 134 z 1 i L j 3 i h L 4 j x 5.4. ábra. Kezdeti hézag két test között A -3 pontok közötti kinematikai illesztési feltétel w + h = w 3. (5.-c) A (5.-c) egyenletből kifejezett w -t az (5.-a)-ba behelyettesítve az 1-es test potenciális energiája Π 1 p = 1 [w 3 ϕ ] IE L» 6 3» L L w3 3 [w ϕ 3 L ϕ ] IE L» 6 L 3 L h + áll. A rendszer teljes potenciális energiája Π p = Π 1 p + Π p. Ennek minimumát keresve egyenletrendszerhez jutunk, aminek megoldása 9 Π p 6 = w 3 L w L ϕ 3 L ϕ 3 6 L h = 0 >= Π p 3 = ϕ L w3 + ϕ 3 L h = 0 Π p = 3 ϕ 3 L w 3 + ϕ 3 = 0 >; (5.-d) (5.-e) továbbá (5.-c) alapján w 3 = h, ϕ = ϕ 3 = 3 4L h, w = h (5.-f) (5.-g) ami a rudak azonos merevsége és azonos hossza miatt teljesen nyilvánvaló. A K e q e = s e összefüggés alapján könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a rúdvégeken hajlító nyomaték nem 5.4. Ferdehatásvonalú támasz figyelembevétele A szerkezetek egy részénél a megtámasztási korlátok nem párhuzamosak a választott koordinátarendszer tengelyeivel. Ilyen megtámasztások, korlátok a ferde hatásvonalú görgős támaszok, különféle csuszkák. Látni fogjuk ezeket az eseteket kényelmes a ferde megtámasztáshoz kötött helyi koordinátarendszerben tárgyalni. A vizsgálatainkat síkbeli esetre korlátozzuk. 134

135 Ferdehatásvonalú támasz figyelembevétele 135 Az 5.5. ábra alapján a síkbeli ferde hatásvonalú görgős támasz lokális rendszerében értelmezett és az x, z síkban értelmezett i csomópontbeli elmozdulások között az alábbi összefüggések állnak fenn: q Gi = [ U W ] [ ] [ cos β sin β ug = sin β cos β u n ] (5.17) Mivel a görgő elmozdulásának irányára merőlegesen az u n = 0, úgy az előbbi egyenlet q Gi = [ U W ] = [ cos β sin β ] [u g ] = T Gi q Gi (5.18) alakot ölti. Az elem összes csomópontjához tartozó görgős támaszok elmozdulásait egybegyűjtve, a görgős megtámasztású pontok q G globális elmozdulásvektora a lokális q G elmozdulásvektorral kifejezhető q G = T G q G. (5.19) Az elem csomóponti elmozdulási vektorának két részre bontásával [ ] q e,t = q e,t G q e m (5.0) ami után az elem teljes potenciális energiája Π e p = Π e p (q e G, q e m) = 1 [ q e,t G ] qe,t m [ K e ( GG K e Gm K e mg Ke mm ] [ q e G q e m ] [ f e G f e m ] ) z u n W u g n β t U x 5.5. ábra. Síkbeli ferde hatásvonalú görgős támasz 135

136 Ferdehatásvonalú támasz figyelembevétele 136 Az (5.19) transzformációs összefüggés felhasználásával Π e p = Π e p ( q e G, qe m) = [ ] [ = 1 q e,t T T G qe,t m ( G K e GG T G T T ] [ ] [ G Ke Gm q e G T T K e mg T G K e mm q e G f e ] G m fm e ), (5.1) vagyis a görgős megtámasztáshoz kötött helyi koordináta-rendszerbeli elmozdulásra áttérve, az elem merevségi mátrixának és redukált terhelési vektorának az áttranszformálására van szükség. Látjuk, hogy egy görgőnél a helyi rendszerben az ismeretlenek száma eggyel csökkent, mivel csak az u g szerepel feladat: Az 5.6. ábrán vázolt L hosszúságú befalazott tartó -es keresztmetszete α szöggel kijelölt csuszka irányában tud elmozdulni. Határozzuk meg a csuszka irányába mutató külső F 0 erő hatását. Megoldás: z 1 F 0 ẽ x e x α ũ x 5.6. ábra. Csuklós megtámasztású tartó Az (5.17) alatti transzformáció felhasználásával q = 4 u w ϕ 3 5 = 4 cos α 0 sin α » ũ ϕ T G q G (5.3-a) Ily módon az (3.36) alatti potenciális energia AE Π p = L 6 qt G TT 1IE 6IE G 4 0 L 3 L 6IE 4IE 0 L L T G q G ũf 0 (5.3-b) A kijelölt műveletek elvégzése után a Π p/ q G = 0 egyenletrendszer az alábbi " AE L cos α + 1IE L 3 sin α 6IE L sin α 4IE sin α L 6IE L #»» ũ F0 = ϕ 0. Alesetek: 1. eset: α = 0 ũ = F 0 AE l, ϕ = 0,. eset: α = 90 ũ = F 0L 3 3IE, ϕ = F 0L IE. 136

137 Periódikus szerkezet Periódikus szerkezet A gépészet, építészet szerkezetei gyakran rendelkeznek szimmetria tulajdonságokkal, vagy ismétlődő részekkel, azonos terhelés és peremfeltételek mellett. A szimmetria és az ismétlődésből származó periodicitás figyelembevétele a számítási igények lényeges csökkenéséhez vezet, mivel a teljes szerkezet viselkedését egy kisebb rész vizsgálatával is tisztázni lehet. Ehhez az adatelőkészítés kevesebb munkája is pozitívan járul hozzá. A szerkezet geometriájából, anyagából, terheléséből és megfogásából származó szimmetria miatt, a szimmetria felületein, vonalain, bizonyos kinematikai mennyiségek zérus értékkel rendelkeznek. Példaként szolgáljon egy olyan téglalap alakú lemez, amely mind a négy oldalán befalazott. A terhelés egyenletes nyomás a lemez teljes felületén. Az egyes oldalak mentén megfelezve a lemezt, a negyedrészének vizsgálatával célhoz érünk, ha a középvonalak mentén a vonalirányú szögelfordulást zérusra állítjuk be, azaz ez lesz a kinematikai peremfeltétel. Egy másik gyakori példa a forgó alkatrészek, szerkezeti elemekhengerkoordináta-rendszerbeli vizsgálata. Ekkor ebben a rendszerben a szerkezet periodicitással rendelkezhet. Pl. egy szivattyú járókereke. A lapátok közötti rész ismétlődik. Egy felvett R sugáron a lapátokat F és A pontban metsszük el. Ehhez a pontokhoz rendre a ϕ F és ϕ A hengerkoordinátarendszerbeli szögek tartoznak. E szögekkel kijelölt helyi koordinátarendszerben a radiális és tangenciális elmozdulások páronként azonosak, azaz ū F = ū A és v F = v A. Emiatt a periodicitási peremet (felületet) tartalmazó végeselemeknél azon csomópontokban, amelyek ezeken a peremeken helyezkednek el, az x, y rendszerből át kell transzformálni a mennyiségeket a helyi koordinátarendszerekbe, továbbá az F, A pontpár ismeretlenjeit egybe kell ejteni, majd ennek figyelembevételével kell az elemek illesztését elvégezni a végső egyenletrendszer előállítása céljából. Jelen esetben az A és F pontok sorszámainak nagyobb távolsága miatt a végső egyenletrendszerben a sávszélesség megnő, de az ismeretlenszám lényeges csökkenése e negatívumot kompenzálja Hivatkozások az 5. fejezethez 1. Szabó, B. Babuska, I.: Finite Element Analysis, John Wiley & Sons Inc., New York, Páczelt I.: Végeselem-módszer a mérnöki gyakorlatban, I. kötet, Miskolci Egyetemi Kiadó, Miskolc,

138 Rezgéstani feladatok vizsgálata Rezgéstani feladatok vizsgálata 6.1. Alapfogalmak Mit is értünk rezgésen? A mechanikai rendszernek az egyensúlyi helyzet környezetében ide-oda történő váltakozó mozgását rezgésnek nevezzük. A rendszer állapotát a t időtől függő paraméterek írják le. Az elméletnek arra kell feleletet adnia, hogy hogyan fog viselkedni a rendszer az idő előrehaladásával, ha a rendszer egy kezdeti helyzetből elindult, s reá ismert külső hatások működnek. Legyen a paraméterek egyike u. Ez mechanikai rendszernél lehet pl. az elmozdulás egyik koordinátája, a feszültségi tenzor egyik tagja stb. Vizsgálatunk folyamán a paraméter változását a t (0, ) időintervallumban vizsgáljuk. Amennyiben a rendszert jellemző paraméterek mindegyike, vagy döntő többsége időben váltakozik, lengedezik, ezt a rendszert rezgéstani rendszernek nevezzük. Ezekben az esetekben a magára hagyott rendszer - a kezdeti felhalmozott energia révén további külső hatások nélkül - képes rezgéseket végezni. A mechanikai rendszereket az őket leíró egyenletek segítségével is osztályozhatjuk. Szimbólikusan írhatjuk, hogy a rendszer állapotát jellemző paraméterek u(t)vektora az L a perem és illesztési feltételeket is magábafoglaló rendszer operátoron keresztül áll kapcsolatban a rendszert terhelő f(t) külső hatással, vagyis Lu = f (6.1) Stacionérnak nevezzük a rendszert, ha annak tulajdonságai nem változnak a vizsgált időintervallumban. Autonom a rendszer, ha (6.1)-ben a gerjesztés explicite az időt nem tartalmazza. Rezgések ebben az esetben csak akkor lépnek fel, ha a rendszer kezdeti megzavarásával a rendszer belső energiaforrással tud rendelkezni. A rezgéstani folyamatokat az alábbi módon szokásos osztályozni: - Szabad rezgés: Azt a rezgést, amely oly módon zajlik le, hogy külső hatás nem éri a rendszert, szabad rezgésnek nevezik. Az autonom rendszereket ez jellemzi. - Gerjesztett rezgés: Külső hatás következtében előálló rezgést gerjesztett rezgésnek szokás nevezni. A nem autonom rendszereket ez jellemzi. - Parametrikus rezgés: A rezgést parametrikusnak szokás nevezni, ha a rezgést a rendszer paramétereinek változása okozza. Ilyen rezgés csak nemstacionér rendszereknél állhat elő. 138

139 Alapfogalmak Öngerjesztő rezgés: A rezgés által keltett energia felszabadulása által okozott rezgést öngerjesztett rezgésnek nevezik. A periódikus rezgésekhez tartozó alapfogalmakat egyváltozós eseten keresztül mutatjuk be. Legyen u(t) elmozdulás, aminek időszerinti deriváltja a sebesség illetve második deriváltja a gyorsulás. A rezgés periódikus, ha a kitérés bármely értéke ismétlődik T idő eltelte után, vagyis áll u(t + T ) = u(t) [mm], ahol T [s] a rezgés periódus ideje. Ennek reciproka a mozgás frekvenciája f = 1/T [ s 1]. Szokás az α = πf = π [rad/s] (6.) T körfrekvenciát is értelmezni. A rezgés frekvenciáját [Hz] Hertz-ben szokás megadni. Harmónikus rezgésnél a kitérés u(t) = A cos(αt + ψ), (6.3) ahol A,α,ψ állandó értékű paraméterek. A a rezgés amplitudója, ψ a fázisszög. A fellépő sebesség míg a gyorsulás v(t) = du dt = α sin(αt + ψ) [mm/s] (6.4) a(t) = d u dt = α A cos(αt + ψ) [ mm/s ], (6.5) vagyis a sebesség és a gyorsulás amplitudója megváltozik, az időbeli változást ugyanazon körfrekvencia jellemzi. Általános esetben T periódusidejű rezgést az alábbi alakú Fourier-féle sorával is megadhatjuk u(t) = 1 a 0 + a k cos kωt + b k sin kωt, (6.6) k=1 amelynél a rezgés körfrekvenciája ω = πt. Az a 0,a 1,...,b 1,b,... tényezőket a Fourier-féle együtthatóknak nevezzük. Az a 0 / a rezgés közepes értékét adja, a k = 1 az alap vagy első harmónikust, míg k > 1 a felső harmonikusokat, azaz az alap harmonikus egész k=1 139

140 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 140 számú számszorosait jellemzi. Itt k a harmónikus sorszáma. Mindegyik harmónikust A k = a k + b k, tgψ k = b k a k (6.7) amplitudó és kezdeti fázis jellemez. Az amplitudók haromónikusok szerint rendezett összessége az amplitudó spektrumot, míg a kezdeti fázisok összessége a fázis spektrumot adja. Két harmónikust tartalmazó esetben kialakuló rezgést nem csak az amplitudók és körfrekvenciák aránya, hanem a fázisok aránya is befolyásolja. A rezgés amplitudóját a Fourier-féle együtthatókból lehet meghatározni. Nevezetesen a k = T T u(t) cos kωt dt (k = 0,1,,...) (6.8) 0 b k = T T u(t) sin kωt dt (k = 1,,...). 0 A kialakult összegzett rezgés jól látható módon függ az alkotók körfrekvenciájától, a rezgések amplitúdójától, a fázisszögtől, vagyis a k ill. az a 0,a 1,...,b 1,b,..., a 0,a 1,...,b 1,b,... mennyiségektől.. A ábrák ezekre mutatnak be néhány esetet. 6.. Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása Vizsgáljunk egyetlen test alkotta rendszert, amelyet az approximálás céljából n el számú végeselemre bontunk fel. Az e jelű elem A e p felületén adott a p felületi megoszló terhelés, A e u felületén adott az ū elmozdulás, míg az A e c csatlakozási felületen eleve biztosítottak a kinematikai illesztési feltételek. Az anyag belső súrlódásának hatását a sebességgel arányos ρc M u megoszló terheléssel szokás figyelembe venni, ahol c M a csillapítási tényező. D Alambert-elv felhasználásával a test elemi részének egyensúlyát az alábbi egyenlet fejezi ki: T e + ρ e (k e c e M ue ü e ) = 0 r V e (6.9) ahol T e a feszültségi tenzor, ρ e a test sűrűsége, ρ e k e a térfogaton megoszló ismert terhelés intenzitása, u e az elem elmozdulás-vektora, u e a sebessége, ü e a gyorsulása, a Hamilton-féle differenciáloperátor. 140

141 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása ábra. Rezgések különböző harmonikus összetevőkből adódóan 6.. ábra. Rezgések különböző harmonikus összetevőkből adódóan 141

142 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása ábra. Rezgések különböző harmonikus összetevőkből adódóan 6.4. ábra. Rezgések különböző harmonikus összetevőkből adódóan 14

143 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 143 A kinematikai peremfeltétel (KPF) u e = ū r A e u (6.10) míg a dinamikai peremfeltétel (DPF) T e n e = p r A e p. (6.11) illetve a dinamikai illesztési feltétel az e és j jelű elem között T e n e + T j n j = 0 r A ej c (6.1) Ezek bármely időpillanatban érvényesek. Ezen túlmenően teljesülnek az ún. kezdeti feltételek: u e (t = 0) = 0 u e r V e u e (t = 0) = 0 v e r V e A Bubnov-Galjorkin-elv alapján, a (6.9), (6.11) és a (6.1) felhasználásával az elmozdulásmezőktől megkövetelve a kinematikai perem- és illesztési feltétel kielégítését írhatjuk, hogy n el e=1 V e n el δu (T + ρk ρc M u ρü) dv n el e=1 A ej c e e=1 A p δu (T n p)da δu (T e n e + T j n j) da = 0 (6.13) ahol (δ u = δ u 1 = δ u r A c ). Az alábbi szorzat deriválási szabály (δu T ) = (δu ) T + δu (T ) (6.14) és az B dv = B n dv (6.15) V A 143

144 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 144 Gauss-Osztrogradszkij integrálátalakítási tétel figyelembevételével, egyszerű lépések megtétele után nyerjük, hogy n el e=1 A e + δu T n da V e V e (δu )..T dv δu (ρk ρc M u) dv A ej c V e δu ρü dv A e p δu (T n p) da+ δu (T e n e +T j n j) da = 0 (6.16) Tekintettel a DPF-re, az aláhúzott integrál integranduszának δa..t - vel való helyettesítésére, továbbá figyelembevéve, hogy az elem határoló felülete három részből tevődik össze A e = A e u + A e p + A e c, a (6.16) variációs egyenlet helyett n el e=1 A e p δu p da + V e nel δu ρk dv írható. A külső terhelés virtuális munkájával n el δw k = { e=1 V e δu ρc M udv n el δa..t dv + δu ρüdv = 0 (6.17) e=1 V e V e e=1 A e p δu pda + a negatív belső csillapító erő virtuális munkájával n el δc = e=1 a belső alakváltozási energia variációjával n el δu alakv. = V e δu ρkdv } (6.18) V e δu ρc M u dv (6.19) e=1 V e δa T dv (6.0) 144

145 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 145 végezetül az előbbi egyenlet δu alakv. δw k + δc + e alakban írható fel. A ρ sűrűség állandósága mellett áll a V e ρ δu ü dv = 0 (6.1) δu ρ ü = δu ρ d u dt = d dt (δu ρ u) d (δu) ρ u (6.) dt azonosság. Ezt felhasználva, a d du dt (δu) = δ dt = δ u variálási szabályra is tekintettel, a (6.1) térfogati integrálja helyett δu ρüdv = d dt δu ρ udv δ u ρ udv V V V = d dt δu ρ udv δ 1 ρ u dv, (6.3) V V δu ρ udv δe, írható, ahol = d dt V E = 1 V ρ u dv (6.4) a test kinetikus energiája. Ezek után a (6.1) más alakúra rendezhető δu alakv. δw k + δc δe + d dt δu ρ u dv = 0, (6.5) Amennyiben a kapott kifejezést tetszőleges t 1 és t időhatárok között integráljuk, az alábbi kifejezéshez jutunk t t 1 (δu alakv. δw k + δc δe)dt V t 1 δu ρ udv = 0 Megkövetelve azt, hogy az u elmozdulásmező elégítse ki a t 1 és t pontbeli tényleges értékeket, azt nyerjük, hogy δu = 0 a tetszőlegesen választott időintervallum határoknál, vagyis t t 1 (δu alakv. δw k + δc δe)dt = 0 (6.6) 145

146 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 146 A kapott variációs egyenlet a kiterjesztett Hamilton-féle variációs elvhez tartozó egyenletnek felel meg. Amennyiben a külső erőrendszer konzervatív, felírható a teljes potenciális energia Π p = U alakv. W k és így (6.6) helyett a jól ismert Hamilton-féle variációs elvhez jutunk. t δ t 1 (E Π p C)dt = 0 (6.7) Megjegyezzük, hogy a W k a külső erők potenciálja feladat: Vizsgáljuk a 6.5. ábrán vázolt rúd longitudinális (hosszirányú) rezgését Hamilton-féle variációs elv alapján. Megoldás: z A 1 E 1 A E q x F 0 1 u x L 1 L 6.5. ábra. Példa a longitudinális rezgés vizsgálatára A rúd x koordinátája keresztmetszetének x irányú elmozdulását jelölje u.az illető keresztmetszet x irányú sebessége v = du dt = u. Az 0 x L 1 szakaszon a rúd keresztmetszete A 1, Young-féle modulusa E 1, sűrűsége ρ 1. Az L 1 < x `L 1 + L szakaszon az előbbiek rendre ugyanezen mennyiségek A, E, ρ. A felhalmozódott kinetikus energia E = 1 Z ρ( u) dv = 1 X Z ρ( u) Adx, (6.1-a) e L e az alakváltozási energia a rúd hossztengely irányú fajlagos nyúlásra és feszültségére vonatkozó ε x = u x, σx = Eεx összefüggésekre is tekintettel U alakv. = 1 Z σ xε xdv = 1 X Z ε xe A ε x dx, (6.1-b) e V L e továbbá a külső terhelés virtuális elmozdulásokon végzett munkája δw k = F δu + X Z δu q xdx (6.1-c) e L e 146

147 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 147 míg a belső súrlódásból származó negatív csillapító erő virtuális munkája A (6.6) -ból Z δc = V δu ρ c M udv = X Z δuρ c M u A dx (6.1-d) e L e Z t 4 X t e 1 8 < Z 1 δ : L e Z Aρ( u) dx 9 3 = AE(u ) dx ; + F δu + X Z δuq xdx5dt L e e L e Z t 0 X Z δuc M A u dxadt = 0 t e 1 L e 3 Z t 6X Z X Z X Z 4 Aρ uδ u dx δu AEu 7 dx + F δu δu(ρ c M A u q x)dx5dt = 0 (6.1-e) t e 1 L e e L e e L e következik. Itt a ( ) x = ( ) ( ), = ( ) jelöléseket alkalmaztuk. t Az aláhúzott integrál átalakításából továbbá Z L e Z δu AEu dx = AEu δ u L e 0 Z Z d δ uaρ udx = dt L e L e Z δ u(aρ u)dx L e δu(aeu ) dx (6.1-f) L e δu Aρ üdx (6.1-g) kifejezéseket nyerjük. Ily módon (6.1-e)-ből az u 1 = u, x = L 1 kinematikai illesztési feltételre is tekintettel Z t t 1 8 < X Z : e L e i δ u ˆ(AEu ) ρ c M A u + q x dx h(aeu ) 1 L 1 (AEu ) L 1 δ u 1 {z } DIF 9 Z = i h(aeu ) 1 L 1 +L F δ u X {z } e DP F δ uaρü dx dt = 0 (6.1-h) ; L e variációs egyenlethez jutunk, amiből a tetszőleges t 1, t időintegrálhatások miatt rúdelemenként (AEu ) + ρc M u Aρ ü = q x (6.1-i) mozgásegyenlet, továbbá a rúdelemek közötti dinamikai illesztési feltétel (DIF) és a.rúd végén lévő dinamikai peremfeltétel (DPF) nyerhető. Itt () e L az e dik elem x = L helyen vett értékére 147

148 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 148 z p F z L x L M Y L w 0 P P 0 w 0 P x P ábra. Hajlított tartó rezgése 6.. feladat: Vizsgáljuk meg a 6.6. ábrán vázolt Bernoulli-féle hipotézisű változó keresztmetszetű rúd x,z síkbeli hajlítórezgését. Megoldás: A rúd potenciális energiája Z Π p = 1 L Z I ye(w 0 ) dx L pw 0 dx w 0L F Z L + w 0L M Y L (6.-a) míg a kinetikus energia E = 1 Z A ρ u 0dx (6.-b) L Rt A δ (E Π p)dt = 0 Hamilton-féle variációs elvből az t 1 Z L Z δẇ 0 Aρẇ 0 dx = d dt L Z δw 0 Aρẇ 0 dx L δw 0 Aρẅ 0 dx integrálátalakítást, továbbá a Példa. (.-g) δπ p értékét is figyelembevéve mozgásegyenlet, az M Y L (I yew 0 ) + Aρẅ 0 p = 0 (6.-c) = IyE w 0, L F Z L = (IyEw 0 ) L (6.-d) dinamikai peremfeltételek vezethetők le. Hogyan változik a mozgásegyenlet, ha a rúd mentén x irányú erő is működik. Legyen ismert a rúderő értéke N = N(x). A rúd potenciális energiájában a rúderő munkája is megjelenik. Z Π p Π p L q «N 1 + w 0 1 dx (6.-e) 148

149 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 149 mivel a terhelt rúd középvonalának elemi hossza q ds = 1 + w 0 dx és a rúderő (ds dx) elemi megnyúláson végez munkát. Véve az (e) alatti integrál variációját, nyerjük, hogy Z N p 1 + w w 0δw 0dx = ˆδw Z 0 (Nw 0) L 0 δw 0 (Nw 0) dx 0 L és így a mozgásegyenlet míg a nyíróerő is L (I yew 0 ) (Nw 0) + ρaẅ 0 p = 0 (6.-f) F z = (I yew 0 ) Nw 0 (6.-g) 6.3. feladat: Vizsgáljuk az előző Példa 6. alatt levezetett hajlító rezgéséhez tartozó (I yew 0 ) + Aρ ẅ 0 p = 0 (6.3-a) parciális differenciálegyenlet megoldását különböző peremfeltételek, azaz megtámasztások esetén. Megoldás: Bevezetve az m = Aρ jelölést, továbbá feltételezve, hogy a tartó prizmatikus, és nincs gerjesztve, azaz p = 0, az (6.3-a) helyett áll A megoldást a változók szétválasztásán keresztül a I ye w iv 0 + m ẅ 0 = 0 (6.3-b) alakban keressük. Behelyettesítés után w 0 = W (x) I (t) Ï I = IyE W iv m W (6.3-c) (6.3-d) amiből következik, hogy mind az időtől, mind az x helykoordinátától függő tagok bármilyen időben és helyen csak akkor lehetnek azonosak, ha azok valamilyen állandóval rendelkeznek. Jelöljük ezt az állandót α -el. Így két egyenlethez jutunk: Ï + α I = 0, (6.3-e) W iv m α I ye W = 0 (6.3-f) Az első egyenlet azt mutatja, hogy a tartó időben α körfrekvenciával rezeg. A második egyenlet a rezgés alakját adja meg. Mivel az (6.3-f) negyedrendű differenciálegyenletnek felel meg, a megoldást a s m α k = 4 (6.3-g) I ye mennyiség bevezetésével W = e nx alakban kereshetjük. Behelyettesítés után az ún. karakterisztikus egyenlet 149

150 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 150 (n 4 k 4 ) e nx = 0 amiből n 4 = k 4 e i π s s = 1,,3,4; i = 1, e ix = cos x + i sin x, azaz n s = ik, k, ik, k vagyis a megoldás W = C 1 e kx + C e kx + C 3 e ikx + C 4 e ikx ami az alábbi alakba is átírható W = C 1 sin kx + C cos kx + C 3 shkx + C 4 chkx (6.3-h) A Krülov A. N. által javasolt megoldást választva (6.3-h) helyett írható, ahol W = C 1 S + C T + C 3 U + C 4 V S = 1 (ch kx + cos kx), T = 1 (sh kx + sin kx) (6.3-i) U = 1 (ch kx cos kx), V = 1 (sh kx sin kx) (6.3-j) A fenti függvények jellemző tulajdonsága, hogy x = 0 S = 1, T = U = V = 0 továbbá deriváltjaik között áll S = T k, T = U k, U = V Ebből következik, hogy a megoldás deriváltjai k, V = S k (6.3-k) W = k ( C 1 V + C S + C 3 T + C 4 U ) W = k ( C 1 U + C V + C 3 S + C 4 T ) W = k 3 ( C 1 T + C U + C 3 V + C 4 S ) (6.3-l) A teljes megoldás a sajátrezgések sorbafejtésén keresztül képezhető X w 0 = W n (x) I (t) n=1 (6.3-m) A sajátrezgés körfrekvenciáinak meghatározására a peremfeltételeket kell áttekinteni. a) Szabadvég: Mind a hajlítónyomaték, mind a nyíróerő zérus, vagyis a Példa 6. (6.-d) szerint W = W = 0. (6.3-n) b) Görgős alátámasztás: Lehajlás és a hajlítónyomaték zérus, azaz W = W = 0. (6.3-o) 150

151 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 151 c) Befalazás: Lehajlás, szögelfordulás zérus W = W = 0. (6.3-p) d) Rugalmas alátámasztás c r rugóállandójú rúgón keresztül, Hajlítónyomaték zérus, nyíróerő arányos a lehajlással W = 0, c r W = ± I ye W (6.3-q) Konkrét példaként álljon a két végén görgős megtámasztás esete. Ekkor W = W = 0. Felhasználva (6.3-i) és (6.3-l) alatti összefüggéseket, az x = 0 helyre vonatkozó feltételből C 1 = C 3 = 0 adódik. Az x = L helyen felírt feltételekből C T (kl) + C 4 V (kl) = 0, C V (kl) + C 4 T (kl) = 0 (6.3-r) A kapott homogén algebrai egyenlet triviálistól eltérő megoldása akkor áll fenn, ha determinánsa eltűnik. Jelen esetben kifejtve azt, egy transzcendes egyenletet kapunk, amiből a sajátkörferkvenciák már meghatározhatók. Kismértékű átalakítások után, nyerjük, hogy sin kl sh kl = 0 (n = 1,,3,...). A (6.3-g) felhasználá- Mivel sh kl 0, így sin kl = 0, azaz kl = nπ = k nl sával (6.3-s) r α n = n π IyE L m (6.3-t) A sajátrezgés alakja abból a megfontolásból számolható, hogy egyrészt, (6.3-r) szerinti első egyenletből C = V (kl) T (kl) C 4 másrészt (6.3-i) szerint Mivel végezetül C n = C állandó jelölésével W n = C ( T (k nx) T (knl) V (k L n ) V (knx) ) T (k nl) V (k L n ) = 1 W n = C n sin k nx (6.3-u) ami valóban kielégíti a 6.4. feladat: Vizsgáljunk egy baloldalon mereven befalazott, vízszintesen elhelyezkedő, jobb végén húzó-nyomó igénybevétel felvételére alkalmas függőlegesen elhelyezett c r rugóállandójú rúgóval kialakított rugalmas rendszert. A sajátrezgés vizsgálatát a Példa 6.3 szerinti lépések értelemszerű alkalmazásával végezzük el. Megoldás: A lehajlást w 0 = W (x) I (t) (6.4-a) W = C 1 S + C T + C 3 U + C 4 V (6.4-b) 151

152 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása 15 alakban keressük. A Krülov-féle függvények tulajdonságainak felhasználásával a peremfeltételek könnyen felírhatók. A baloldali peremfeltételből adódóan W (0) = W (0) = 0. Ezt a (b) alatti megoldásban C 1 = C = 0felvételével tudjuk kielégíteni. A jobboldali végen a hajlítónyomaték zérus, míg a rugós alátámasztás a lehajlással arányos nyíróerőt szolgáltat,vagyis Ily módon W (L) = 0, c r W (L) = I ye W (L). C 3 S (kl) + C 4 T (kl) = 0, c r [C 3 U (kl) + C 4 V (kl)] = I ye k 3 [C 3 V (kl) + C 4 S (kl)] (6.4-c) Átrendezések után c r L 3 I E y = k 3 L 3 S (kl) V (kl) T (kl) T (kl) U (kl) S (kl) V (kl) = k3 L 3 ch kl cos kl + 1 ch kl sin kl sh kl cos kl (6.4-d) Amennyiben c r = 0, a legkisebb gyök értéke k 1 L = 1,875, vagyis megkaptuk a balvégén befalazott tartó legkisebb körfrekvenciájával kapcsolatos értéket. Ha c r L 3 I E y cr L3 I E y = 0, akkor k 1 L 3, ha = 65, akkor k 1 L 3,5. A rugóállandó növelésével k 1 Ltart 3,93 értékhez, vagyis a balvégén befalazott, jobbvégén görgősen alátámasztott tartó esetéhez. Általánosan írhatjuk, hogy a különböző megtámasztású prizmatikus tartóknál a sajátrezgés körfrekvenciája s α n = s n Iy E ml 4 összefüggéssel számolható. Sorba véve a különféle tartó eseteit, a részletek mellőzésével kapjuk, hogy - Balvégén befalazott tartónál míg a rezgéskép - Kétvégén befalazott tartónál míg a rezgéskép s 1 = 3,53, s =,0 s 3 = 61,70, s 4 = 11,0, s 5 = 00,0 W n = C 3 ( U (k nx) V (knl) S (k L n ) V (k nx) ). s 1 =,0 s = 61,7 s 3 = 61,70 s 4 = 00,0 s 5 = 98, W n = C 3 ( U (k nx) T (knl) U (k L n ) V (knx) ) - Balvégén befalazott, jobbvégén görgősen alátámasztott tartónál s 1 = 15,4 s = 50,0 s 3 = 104,0 s 4 = 178,0 s 5 = 7,0 míg a rezgéskép W n = C 3 ( U (k nx) S (knl) T (k L n ) V (knx) ) 15

153 Bubnov-Galjorkin féle variácós elv alkalmazása Szabadvégű tartónál s 1 =,0 s = 61,7 s 3 = 11,0 s 4 = 00,0 s 5 = 98, míg a rezgéskép W n = C 1 ( S (k nx) T (knl) U (k L n ) T (knx) 6.5. feladat: Vizsgáljuk az előbbi tartó sajátfrekvenciáit abban az esetben, amikor a tartó N hosszirányú időben állandó erővel terhelt. A példa mechatronikai szempontból azért érdekes, mert a hajlított rúd sajátrezgései N rúderővel vezérelhető azaz elhangolható. Példa 6.-ben kapott eredmények alapján a mozgásegyenlet (I yew 0 ) (Nw 0) + ρaẅ 0 p = 0 Megoldás: Ismét prizmatikus tartót és nyomó rúderőt feltételezve, (a továbbakban N > 0), a sajátrezgést meghatározó differenciálegyenlet I ye w iv 0 + N w 0 + ρaẅ 0 = 0 (6.5-a) Ismételten bevezetve az m = Aρ jelölést, élve a változók szétválasztásával w 0 = W (x) I (t) (6.5-b) két differenciálegyenletet nyerünk. Az egyik Ï + α I = 0, (6.5-c) míg a másik ahol A megoldás ahol W iv + β W k 4 W = 0 k 4 = m α I ye, β = N I ye. W = C 1 sin s 1 x + C cos s 1 x + C 3 sh s x + C 4 ch s x v u t β s 1 = + v u 4 + t β k4, s = + s β 4 s β 4 (6.5-d) (6.5-e) (6.5-f) 4 + k4 (6.5-g) Kétvégén görgősen alátámasztott tartót vizsgálva, a peremfeltételek egybeesnek az előző pédabelivel. A lehajlás és nyomaték zérus értékéből az x = 0 helyen következik, hogy C = C 4 = 0. A jobboldali végen lévő peremfeltételből 0 = C 1 sin s 1 L + C 3 sh s L 0 = C 1 s 1 sin s 1 L + C 3 s sh s L feltételeket nyerjük.. A homogén egyenlet determinánsának eltűnéséből 0 = (s 1 + s ) sin s 1 L sh s L 153

154 Végeselemes modellezés 154 amiből a 0 = sin s 1 L egyenlet gyökei s 1 L = n π, n = 1,,3,... (6.5-h) Végezetül (6.5-g) felhasználásával v u t β L + s β k4 = n π amiből az (6.5-e)-re is tekintettel a rendszer sajátkörfrekvenciái α n = n π L r s IyE m 1 N L n π, n = 1,,3,... (6.5-i) I y E Az eredmény jól mutatja, hogy a nyomóerő növelésével a sajátkörfrekvenciák csökkennek, míg húzóerőnél nőnek. Másrészt az is látszik, ha N az N kr = n π L I ye Euler-féle kritikus erőhöz közeledik, a gyök alatti mennyiség zérushoz tart és a tartó elveszíti 6.3. Végeselemes modellezés A vizsgált testeket gondolatban alrészekre, elemekre felbontva, fel tudjuk építeni a közelítendő mezőket olymódon, hogy az elemen belüli elmozdulások a C 0 osztályú folytonosságot biztosító alakfüggvényekkel és paraméterekkel legyenek leírhatók. Az elemen belüli elmozdulásmezőt a dinamikai feladatoknál is a szokásos alakban közelítjük. A statikai feladatoktól eltérően itt az alakfüggvények csak a hely, míg az elmozdulási paraméterek időben nem állandóak, hanem az időnek egyelőre ismeretlen függvénye. Így az elemenbelüli elmozdulás u e u e (x,t) = N e (x)q e (t) (6.8) míg a sebesség és a gyorsulás az alábbiak szerint számolható u e u e (x,t) = N e (x) q e (t), ü e ü e (x,t) = N e (x) q e (t) (6.9) A korábbiakban bevezetett jelölésekkel az alakváltozási vektor A e ε e (x,t) = u e (x,t) = B e (x)q e (t), (6.30) a feszültségi vektor rugalmas anyag és viszkózus belső csillapítás feltételezésével (a kezdeti feszültséget elhanyagoljuk) T e σ e (x,t) = D e (ε + c K ε ε 0 ) e (6.31) 154

155 Végeselemes modellezés 155 ahol c K belső csillapítási tényező, ε 0 kezdeti alakváltozási vektor, D e anyagállandók mátrixa. Az elmozdulásmező variációja δu e = N(x)δq e (t) (6.3) A (6.) alatti variációs elvből kiindulva, a behelyettesítések után n el δq et {M e q e + C e q e + K e q e f e } = 0 (6.33) e=1 variációs egyenlethez jutunk, ahol az M e tömegmátrix, C e csillapítási mátrix és a K e merevségi mátrix M e = N T ρndv, C e = c M M e + c K K e, (6.34) V e K e = V e B T DB dv, (6.35) továbbá a redukált terhelési vektor összetevői fε e 0 = B T Dε 0 dv, fρ e k = N T ρk dv, fp e = V e V e azaz A e p N T p da (6.36) f e = f e ε 0 + f e ρk + f e p. (6.37) A tömeg-és a merevségi mátrixszal arányos C e csillapítási mátrixot Rayleigh-féle csillapítási mátrixnak is szokás nevezni. Az (6.33) levezetésénél feltételeztük, hogy a rugalmas rendszer mozgását az inerciarendszerben írtuk le. Mozgó rendszerbeli leírások használatakor a relatív mozgásoknál használatos fogalmakkal kell operálni. Ezek ismertetésétől terjedelmi okok miatt itt eltekintünk. Az elemek illesztésére vonatkozó szabály figyelembevételével a (6.33) variációs egyenletből, az egész rendszerre értelmezett elmozdulási paraméterek q vektorával, az alábbi variációs egyenlet állítható elő δq T {M q + C q + K q f} = 0 (6.38) Az M e,... mátrixok felépítése hasonló, mint a már korábban megismert K e merevségi mátrixé. Vagyis, ha pl. az elem i,j... jelű csomópontokkal, összességében n e cs számú csomóponttal rendelkezik, és csomóponti 155

156 Kinematikai peremfeltétel figyelembevétele 156 elmozdulásvektora q et i = [u,v,w] három elmozduláskoordinátát tartalmaz, akkor e M ii M ij... M e = M ji M jj... (3 n e cs,3 n e (3,3) cs). és a teljes rendszerre vonatkozó tömegmátrix a 3.4. fejezetbeli meghatározások révén:. M =... M ij...,. ahol M ij = { M e ij, M e 0 ha e / i,j ij = 0 ha e i,j e i,j összefüggéssel számolható. Ugyanez áll fenn a többi mátrixra is Kinematikai peremfeltétel figyelembevétele (6.39) A 6.3. fejezetben a végeselem-módszer felhasználásával levezettük a mozgásegyenletet. Az elemek illesztésével az egész testre felírható az elmozdulásmező, ahol q (t) a rugalmas rendszerre vonatkozó elmozdulási (csomóponti) paramétereket tartalmazza. Ezt célszerűségi szempontok miatt két részre bontjuk fel, egyik része ismert q u, a kinematikai perem-feltételből adódóan, míg a másik része ismertetlen, azaz szabad q s. Tehát formálisan a testben az elmozdulásmezőt a következő módon approximáljuk: u u(x,t) = N(x)q(t) = N s (x)q s (t) + N u (x)q u (t), (6.40) vagyis az elmozdulási paraméterek vektora A (6.38) alatti variációs egyenlet az alábbi q T = [ q T s q T u ]. (6.41) δq T {M q + C q + K q f} = 0 (6.4) Bontsuk fel a mátrixokat, a terhelési vektort a q vektornak megfelelően [ ] [ ] [ ] Mss M M = su Css C, C = su Kss K, K = su M us M uu C us C uu K us K uu 156

157 Rezgések osztályozása 157 ahol Ekkor a szabad elmozdulásokra vonatkozóan a variációs egyenlet δq T s {M ss q s + C ss q s + K ss q s f mod } = 0 (6.43) f mod = f s M su q u C su q u K su q u (6.44) Mivel δq s tetszőleges, a (6.43) csak úgy áll fenn, ha a hullámos zárójelben szereplő vektor zérus, vagyis a szabad paraméterekre vonatkozó differenciálegyenlet, a mozgásegyenlet M ss q s + C ss q s + K ss q s f mod = 0 (6.45) A felírásból jól látjuk, hogy az A u felületen a megadott mozgások miatt a csomóponti terhelési vektor jelentős mértékben megváltozik. Nem csak az elmozdulásnak, hanem azok időszerinti deriváltjainak is van hatásuk. Ezek figyelembevétele, pl. földrengéseknél az épületek méretezésénél, járművek dinamikai viselkedésének megtervezésénél (a kerekről az út egyenlőtlenségeiből adódó mozgások, mint gerjesztés szerepe) nem elhanyagolható. A továbbiakban az egyszerűbb jelölés érdekében az alsó indexeket elhanyagoljuk és egyszerűbb felírásban az alábbi egyenletet fogjuk vizsgálni M q + C q + K q = f (6.46) Ez azt jelenti, hogy a q vektor csak az ismeretleneket jelöli, az f-ben viszont a kinematikai peremfeltétel hatása már benne van! 6.5. Rezgések osztályozása A (6.46) alatti differenciálegyenlet számos alesetet foglal magában A feladatok egyik osztálya az autonom rendszerrel kapcsolatos, vagyis amikor a rendszerre gerjesztés nem hat. Ekkor f = 0 (6.47) Amennyiben C = 0, a rendszert szabad, csillapítás nélkülinek nevezzük, azaz M q + K q = 0 (6.48) ellenkező esetben szabad csillapításos rendszerről beszélünk M q + C q + K q = 0 (6.49) Amennyiben a gerjesztés is hat, a rendszert gerjesztett rendszernek nevezzük. Többféle gerjesztést különböztetünk meg. 157

158 Csillapítások Determenisztikus. Az időben lejátszódó folyamatot egyértelmű függvénykapcsolat írja le. (a) Egyik nagy osztálya a harmónikusan változó terhelések esete. Pl. f = f A sin ωt (6.50) vagy Fouier-féle sorbafejtésen keresztül megadható terhelés f = i f s Ai sin ω i t + i f c Ai cos ω i t (6.51) (b) Másik esetben a terhelések tetszőlegesen változnak időben f = f (t) (6.5) Ilyen terhelésekkel találkozunk alakítógépek (pl. kovácsolási, lemez alakítási technológiáknál) üzemeltetésénél, vagy lassú lefutású kinematikai terheléseknél.. Sztohasztikus terhelések többek között gépjárműveknél, forgácsoló szerszámgépeknél, veszélyes zónában lévő épületek, létesítmények földrengéseinél fordulnak elő. A rendszer válaszadása is nyílván sztohasztikus jelleggel rendelkezik. Ezek vizsgálatával kurzusunk keretében nem fogunk foglakozni Csillapítások A szerkezetek dinamikai viselkedését nagymértékben befolyásolják a különféle csillapítások, amelyek az anyag belső szerkezetéből, a szerkezet kialakításából (konstrukciós csillapítás), és a környezet ráhatásából adódnak. A rugalmas rendszerben felhalmozott energiának szétszóródását, felemésztését, háromfajta hatás befolyásolja. Az első csoportba a külső környezet és a vizsgált rendszer között fellépő súrlódás, másodikba az anyag belső súrlódása, míg a harmadikba a konstrukciós kialakításnál jelentkező súrlódás hatása sorolható fel. A külső súrlódásnál fel szokás tételezni, hogy a csillapító erő a sebességgel arányos (pl. a test folyadékban, gázban mozog, vagy speciális hidraulikus csillapítók vannak beépítve a rendszerbe). A Coulomb-féle száraz súrlódásnál a csillapító erő arányos az érintkezési nyomással és a súrlódási tényezővel. Csavarkötéseknél ilyen típusú súrlódással találkozunk. 158

159 Csillapítások 159 A ciklikus alakváltozásnak kitett anyag esetén a belső súrlódás következtében az energia egy része hő formájában felszabadul. A belső súrlódást az anyag inhomogenitása okozza. A belső súrlódásnak jelentős szerepe van, hisz a rezgések csillapítását okozzák Csillapítóerők Egyszabadságfokú rendszert vizsgálva a csillapítóerők egyrészt F csill = F csill ( q) = c 1 q (6.53) alakban számoljuk. Illetve nagy sebességeknél négyzetes összefüggést használnak F csill = c q sign q (6.54) A konstrukciós csillapítást a száraz súrlódással szokás modellezni F csill = c 0 sign q (c 0 súrlódó erő). (6.55) A fentieket egyetlen nemlineáris összefüggésbe is belefoglalhatjuk: F csill = c n q n sign q, (6.56) ahol n, c n állandók. A fentieket n = 1,,0 -nál kapjuk vissza Hiszterézis Sok esetben a tömegpontra ható erő szétosztása visszatérítő és csillapítóerőre feltételes. Általában a belső erő alakban írható fel. Harmónikus mozgásnál a kitérés F = F (q, q) (6.57) q = A cos ω t (6.58) A rezgés folyamán az F = F (q, q) hiszterézis hurokkal jellemezhető. A hurok területe arányos azzal a munkával amit egy ciklus alatt a belső súrlódás okozta erők végeznek. Kísérletekből lehet a hiszterézis hurok formáját meghatározni. Mivel a hurok szélessége nem nagy, a kísérlet végrehajtása különleges figyelmet érdemel. A rezgés egy periódus alatti energiavesztesége a szétszóródott energia. Amennyiben F (q, q) = kq + F csill ( q) (6.59) 159

160 Csillapítások 160 alakban írható fel, az energiaveszteség (hiszterézis hurok területe) U = T F (q, q) dq = 0 F csill ( q) qdt (6.60) ahol T = πω periódus idő. A (6.56), (6.58) alapján az energiaveszteség U = ahol K n = T 0 π 0 T c n q n+1 dt = c n A n+1 ω n+1 sin s n+1 ds mivel s = ω, ds = ω dt. Az alábbi számsor a K n néhány értékét tartalmazza 0 sin ω t n+1 dt = c n A n+1 ω n K n n 0 0,5 1,0 1,5,0,5 3 K n 4,00 3,50 π,874,666,498,356. (6.61) A kapott eredményből következik, hogy viszkózus csillapításnál (n = 1) Coulomb-féle súrlódásnál (n = 0) U = c 1 πa ω (6.6) U = c 0 4A (6.63) vagyis viszkózus csillapításnál a csillapítóerő nem csak a rezgés amplitudójától, hanem a rezgés frekvenciájától is függ. Ugyanakkor kísérletekkel megállapították, hogy az anyag belső súrlódás okozta a hiszterézis hurok területe független a rezgés frekvenciájától. Célunk az energiaveszteséget U = m A (6.64) alakban képezni. Értelmezzük, az ún. veszteségtényezőt ahol U = 1 ka alakváltozási energia. η = U πu = U πka (6.65) 160

161 Csillapítások 161 A veszteségtényezőt határozzuk meg a (6.6), (.64) esetben és tegyük egyenlővé azokat: η = cω k = m πk (6.66) ahonnan m = kη = cω π (6.67) Az egyszabadságfokú csillapított gerjesztett rendszernél a komplex z elmozduláson keresztül az m z + cż + kz = F 0 e i ω t (6.68) mozgásegyenlet partikuláris megoldása (i = 1) z part = z = Be i ω t. (6.69) Így az egyenlet második és harmadik tagja helyett (6.67) -ra is tekintettel cż + kz = (icω + k)be i ω t = k(1 + iη)be i ω t = k(1 + iη)z part írható. Ezzel az eredeti mozgásegyenlet helyett m z + k(1 + iη)z = F 0 e i ω t (6.70) írható, amely az anyag belső csillapításának hatását már hordozza. Térjünk vissza a (6.68)-as egyenlethez. Vizsgáljuk a gerjesztés nélküli esetet m z + cż + kz = 0. (6.71) A megoldást z = He λt alakban keresve a β = c m, α = k m (6.7) jelölésekkel a következő karakterisztikus egyenlethez jutunk λ + βλ + α = 0. (6.73) Bevezetve a ξ = β/α Lehr-féle csillapítási tényezőt a (6.1) megoldása λ 1, = αξ ± iα 1 ξ = β ± iν (6.74) ahol ξ < 1 esetben a megoldás csökkenő amplitudójú periódikus mozgást jelöl ki ν körfrekvenciával, azaz λ 1 mellett z = He βt e iνt. (6.75) 161

162 Csillapítások 16 Ezek után nem nehéz belátni, hogy ha a logaritmikus dekrementum alatt a következő mennyiséget értjük, akkor ln d = ln A i A i+1 = βt (6.76) A T rezgésidőt és az amplitudókat mérésekből megkapva a β értéke kiszámítható. Ha a rezgés csillapítása nem nagy mértékű, akkor írható, hogy ln d = ln A i A i = ln = ln A i+1 A i A i ( 1 1 A i A i ) A i A i. (6.77) A rezgést végző rendszer rúgójában felhalmozódó alakváltozási energia a t i időpillanatban U i = ka i, míg annak egy periódus alatti megváltozása U i U i+1 = k(a i A i+1 ) = k (A i+a i+1 ) (A i A ( i+1 ) ) = k (A i (A i A i+1 )) (A i A i+1 ) = k A i A (6.78) i A i A i A szétszóródó energiahányados (a hiszterézis hurok területe és a kezdeti alakváltozási energia hányadosa), a (6.78) ban a másodrendű tag elhanyagolásával ψ = πη = U U = A i A i, η = ln d/π (6.79) amiből látható, hogy ψ értéke kétszerese a logaritmikus dekrementumnak, továbbá az η veszteségtényező a logaritmikus dekrementum π-ed része Az anyag belső csillapításának figyelembevétele Az anyag belső csillapításának mértéke, amint azt a kísérletek igazolják, független a gerjesztés frekvenciájától. A viszkózus csillapításnál a csillapítás a sebességgel arányos. Amint az egyszabadságfokú rezgőrendszernél láttuk, a frekvenciafüggéstől az egyenletek felírása folyamán meg lehet szabadulni, vagyis a f = f A sin ω t (6.80) gerjesztés esetén az M q + C q + Kq = f A sin ω t (6.81) 16

163 Csillapítások 163 egyenletnek állandósult partikuláris megoldására tekintettel vagyis a csillapító erő q = q A sin(ω t ϕ) (6.8) q = ω q, (6.83) ω C q Az ω gerjesztési frekvenciától úgy tudunk megszabadulni, hogy a (6.81)- ben a hiszterézis csillapítást 1 ω C A q (6.84) alakban szerepeltetjük, mivel így a kapott egyenlet M q + 1 ω C A q + Kq = f A sin ω t (6.85) a kísérleti tapasztalattal nem ellentétes. Véve ugyanezen egyenletnek a cosinus törvény szerinti gerjesztéssel felírt alakját, majd bevezetve a komplex vektort, az előzőekből M q + 1 ω C A q + Kq = f A cos ω t (6.86) z = p + iq (6.87) M z + 1 ω C Aż + Kz = f A e iωt = f(t) (6.88) írható fel. Állandósult mozgást tanulmányozva, azaz vagyis a mozgásegyenlet z = be iωt, (6.89) z = i ωz, (6.90) M z + [K + ic A ] z = f(t) (6.91) Lineáris szerkezeteknél a C A mátrixot a K merevségi mátrixszal arányosan szokás felvenni. Az arányossági tényező η acélok esetén η = 0,05. Így a mozgásegyenlet M z + (1 + i η)kz = f(t) = f A (cos ωt + i sin ωt) (6.9) A jobboldalon álló terheléstől függően a kapott megoldásnak a valós vagy képzetes része képezi a tényleges megoldást. 163

164 Csillapítás nélküli rezgések Végesszabadságfokú rendszerek csillapítás nélküli szabad rezgése A legáltalánosabb alakban felírt (6.46) alatti mozgásegyenletben a gerjesztés és a csillapítást elhagyva a megoldandó homogén differenciálegyenletet M q + Kq = 0. (6.93) Legyen az ismeretelenek száma: n. A csillapításnélküli rendszerek vizsgálata, tulajdonságának ismerete, amint később is látni fogjuk nagy jelentőséggel bír, mind a csillapított szabad, illetve a gerjesztett rendszerek esetén. A sajátfrekvenciák és rezgésképek ismerete kellő támpontot ad a mérnöknek gerjesztések fellépésekor a szerkezet dinamikai viselkedését illetően Sajátrezgések, rezgésképek A lineáris, homogén differenciálegyenletrendszer megoldását alakban keressük. Ekkor a behelyettesítés után q = q sin αt (6.94) ( α M + K) q = 0 (6.95) homogén algebrai egyenletrendszerhez jutunk, aminek triviálistól eltérő megoldása az együttható mátrix determinánsának eltűnésekor áll fenn, azaz det( α M + K) = p(α ) = 0. (6.96) A determinánst kifejtve p(α ) karakterisztikus polinomhoz jutunk, λ - nek n a legnagyobb hatványa, azaz a kapott polinom n -ed fokú. Bizonyítható, hogy a polinom gyökei pozitívak. A (6.96) karakterisztikus egyenlet i -edik gyökét jelölje α i, a hozzá tartozó sajátvektort ϕ i, vagyis a sajátérték problémánál a (α 1, ϕ 1 ), (α, ϕ ),...,(α n, ϕ n ) (6.97) sajátértékpárok meghatározása jelenik meg. Itt és a továbbiakban a ϕ i vektornál jelentkező felső i index nem hatványozást jelöl, míg az α i -nél a négyzetreemelésre utal! Sajátérték problémánál a megoldást q = ϕ sin αt (6.98) 164

165 Csillapítás nélküli rezgések 165 alakban keressük. Sajátvektor a kitérés amplitúdó vektorának felel meg. A (6.93) egyenlet megoldását (6.98) alakban keresve (K α i M)ϕ i = 0 D(α i )ϕ i = 0 (6.99) homogén algebrai egyenletrendszerhez jutunk, aminek triviálistól különböző megoldása a α i determináns eltűnéséből adódik. Az ebből nyert α i ismeretében a ϕ i vektor végtelen sokféle lehet. Általában úgy szokás a ϕ i -t meghatározni, hogy a ϕ it Mϕ i = 1 legyen, azaz ϕ i legyen normált a tömegmátrixra. A ϕ i -nek egy elemét lerögzítve (például az elsőt) a (6.99) egyenletet inhomogén egyenletté lehet átalakítani: [ D11 d T n d ˆD(α i ) ] [ϕ i ] = 0 [ ] [ ˆD(α i ) ˆϕ i ] = [ d ] (6.100) Az első oszlopot a ϕ i (1) = 1 elemével megszorozva átvisszük a jobboldalra, s az (n 1) ismeretlent tartalmazó egyenletrendszert ˆϕ i -re megoldjuk. Így előálló ˆϕ i -vel jobbról és balról megszorozzuk M -t, majd képezzük a normált sajátvektort ϕ i (normált) = ˆϕ i ˆϕ it M ˆϕ i. (6.101) A későbbiekben ϕ i (normált) jelölést nem használva ϕ i alatt a tömegmátrixra normált sajátvektort fogjuk érteni. A p(α ) = 0 karakterisztikus egyenlet gyökeit sorba szokás rendezni 0 α 1 α... α n (6.10) Ortogonalitási tétel: A sajátvektorok egymásra merőlegesek, amit az ún. ortogonalitási tétel fejez ki. A tétel kimondja, hogy az egymástól eltérő sajátfrekvenciákhoz tartozó sajátvektorok a tömegmátrixon belül egymásra merőlegesek. Bizonyítás: Induljunk ki az i-dik sajátértékre vonatkozó egyenletből. Ugyanezt α j (K α i M)ϕ i = 0 -nél is felírva (K α jm)ϕ j = 0 165

166 Csillapítás nélküli rezgések 166 majd az egyenleteket ϕ jt és ϕ it -vel külön, külön megszorozva ϕ jt Kϕ i = α i ϕjt Mϕ i, ϕ it Kϕ j = αϕ it Mϕ j, a K = K T, M = M T szimmetria tulajdonságokat figyelembevéve, a két egyenlet különbségéből 0 = (α i α j)ϕ jt Mϕ i származik, amiből α i α j esetén ϕ jt Mϕ i = 0 adódik, azaz ϕ jt Mϕ i = { 0 ha i j 1 ha i = j. (6.103) továbbá ϕ jt Kϕ i = { 0 ha i j αi ha i = j. (6.104) A következő kifejezést Rayleigh-féle hányadosnak szokás nevezni Fő koordináták R ( ϕ i) = α i = ϕit Kϕ i ϕ it Mϕ i (6.105) Az egyes sajátértékekhez tartozó egyenleteket egymásután sorban felírhatjuk Kϕ 1 = Mϕ 1 α 1, Kϕ = Mϕ α,. Kϕ n = Mϕ n α n. Ezeket egy mátrixegyenletbe is bele tudjuk foglalni, nevezetesen K [ ϕ 1, ϕ,...,ϕ n] [ ] = M ϕ 1 α1, ϕ α,...,ϕn αn = M [ ϕ 1, ϕ,...,ϕ n] α 1 α, α n 166

167 Csillapítás nélküli rezgések 167 ami a sajátvektorokat és a sajátértékeket tartalmazó Φ = [ ϕ 1, ϕ,...,ϕ n] és S =< α 1, α,...,α n > (6.106) diagonális mátrix bevezetésével KΦ = MΦS (6.107) alakba is átírható. Az egyenletet Φ T -vel megszorozva, az ortogonalitási tételre is tekintettel nyerjük, hogy Φ T KΦ = Φ T MΦS = ES = S (6.108) vagyis az áttranszformált merevségi mátrix K = Φ T KΦ (6.109) továbbá M = Φ T MΦ = E. (6.110) A (6.108)-ből az i-dik egyenletre kapjuk, hogy K ii α i M ii = 0 K ii = α i. (6.111) Képezzük az eredeti elmozdulást a sajátrezgések sorbafejtésével q = ϕ i w i =Φ w (6.11) ahol w T = [w 1,...,w i,...,w n ] - vektor elemeit az elmozdulás fő koordinátáinak nevezzük, míg a vektort a fő koordináták vektorának. A főkoordináták vektorát felhasználva a (6.11) alatti sorbafejtéssel az eredeti mozgásegyenletet átalakítható M q + Kq = 0 MΦẅ + KΦw = 0, Φ T MΦẅ + Φ T KΦw = 0 ami tekintettel a (6.108) alattiakra ẅ + S w = 0 (6.113) differenciálegyenletre vezet, amely n darab egymástól független egyenletnek felel meg az S diagonális mátrix miatt. Vagyis sikerült, a sajátrezgések és sajátvektorok birtokában a rendszer szabad rezgésének tanulmányozását visszavezetni n db egyszabadságfokú rendszer elemzésére. Az eredeti kapcsolt differenciálegyenletrendszer széteső rendszerré alakult át. 167

168 Csillapítás nélküli rezgések 168 A (6.113) i -dik egyenletének megoldása w i = A i cos α i t + B i sin α i t, i = 1,...,n (6.114) amiben szereplő A i,b i állandókat a kezdeti feltételekből tudjuk meghatározni. A vizsgálat kezdetén az időt zérusnak tekintjük. A kezdeti feltételek a kitérésre és a sebességre vonatkoznak. Így t = 0 -nál w i (t = 0) = w 0i, ẇ i (t = 0) = ẇ 0i (6.115) A (6.114) alatti megoldást a (6.115)-be helyettesítve a kérdéses állandók A i = w 0i, B i = ẇ0i α i. (6.116) Mivel a fő koordináták kezdő értékei nem ismertek, először azokat a q 0 és q 0 vektorokból kell kiszámolni. Ez nagyon egyszerűen mehet végbe, hisz q = Φw, Mq = MΦw, a (6.110)-re tekintettel és ily módon Φ T Mq = Φ T MΦw = w, w 0 = Φ T Mq 0, ẇ 0 = Φ T M q 0, (6.117) vagyis Φ 1 inverzmátrixot két mátrix szorzataként tudjuk előállítani Φ 1 = Φ T M (6.118) A w 0 és ẇ 0 vektor i -edik tagjait véve a (6.116) alapján az integrálási állandók ismertek lesznek s ezek birtokában pedig a (6.114) alatti megoldás. A q = Φw transzformáció révén az eredeti koordinátákra vonatkozó megoldást is megkapjuk. 168

169 Sajátrezgések meghatározása Sajátrezgések meghatározásának hatékony eljárásai [3, 4] A feladat a differenciálegyenlethez tartozó M q + Kq = 0 (6.119) (K α M)q = 0 (6.10) általánosított sajátérték probléma megadása. (Klasszikus sajátértékprobléma alatt az (A α E)q = 0 problémát értjük.) Mátrixalgebrai ismereteinkből következik, hogy a (6.10) alatti homogén algebrai egyenletrendszernek triviálistól eltérő megoldása csak akkor áll fenn, ha az együttható mátrix determinánsa zérus, azaz p(α ) = det(k α M) = det D(α ) = 0 (6.11) A kapott p(α ) = 0 polinom tényleges felírása, nagyméretű rendszereknél lehetetlen. Sokkal gyorsabb és járhatóbb út, bár csak kisméretű feladatoknál szokásos, hogy polinom gyökhelyeit keressük meg, iterációval, α konkrét értékeinek a felvételével feladat: Határozzuk meg egy balvégén befalazott prizmatikus tartó sajátfrekvenciáit Ritz-féle közelítés felhasználásával. A megoldandó sajátérték feladat az alábbi (K α M)q = 0 (6.6-a) Megoldás: A lehajlást W (x) = nx ϕ i (x) q i i=1 (6.6-b) alakban keressük. Konkrétan a kinematikai peremfeltételeket kielégítő mező 3X x i W (x) = qi = [ϕ 1 ϕ ϕ 3 ] 4 q 3 1 q 5 = ϕ T q (6.6-c) L i=1 q 3 A tömegmátrix aminek ij eleme Z L Z L m W dx M = ϕ m ϕ T dx 0 Z L Z L x i+j+ ml M ij = ϕ i m ϕ j dx = m dx = L i + j

170 Sajátrezgések meghatározása 170 Hasonlóan a merevségi mátrix aminek ij-dik eleme LR K ij = 0 = IyE L 3 Z L Z L I ye W dx K = ϕ I ye ϕ T dx 0 LR ϕ i IyE ϕ j T dx = 1 L 4 0 i j (i+1 ) (j+1) i+j 1 h I ye 0 (i + 1) i (j + 1) j ` x L A sorbafejtésből csak két tagot véve a sajátértékfeladat egyenlete i i+j dx I ye L 3» » q1 q α m L» » q1 q = 0 amiből Bevezetve az η = α m L 4 I ye α 1 = jelölést, a karakterisztikus egyenlet η 14 η = 0 1,48 Iy E m L 4, α 11 Iy E = m L 4 A pontos megoldásnál jelentkező szorzótényezők rendre 1,36; 485,5; azaz csak az első körfrekvenciát sikerült jó megközelíteni. Háromtagú sorfejtéssel a szorzótényezők: 1,37; és 494,5; amivel javul a sajátkörfrekvenciák Rayleigh- féle hányadosra alapozott iteráció Kiindulva a R (q) = qit Kq i q it Mq i (6.1) hányadosból, a (K α M)q = 0 elmozdulásvektort a fő koordináták rendszerébe áttranszformálva ((K α M)q = 0), a hányados R (w) = i i w i α i w i = α 1 ( ) ( ) w1 + α α 1 w αn α 1 w n w1 + w +... = α1q 1. Mivel α 1 α α n úgy a számláló nagyobb mint a nevező, vagyis Q 1 > 1, azaz R(α ) > α 1. Amennyiben w = w 3 = = w n, úgy R(α ) = α 1,vagyis α 1 R (w). (6.13) 170

171 Sajátrezgések meghatározása 171 Másrészt R (w) = i i w i α i w i = α n ( ) ( ) wn + αn 1 α n w n α1 α n w 1 w 1 + w +... = α nq n ahonnan Q n < 1 következik, ami végezetül α 1 R (w) α n (6.14) egyenlőtlenséget jelöli ki. Ilymódon a Rayleigh-féle hányados a legkisebb és a legnagyobb sajátkörfrekvenciák négyzetei közötti értéket veszi fel. Ha a q vektor ortonormált a j = 1,,...,r 1 sajátvektorra, azaz q T Mϕ j = n w i ϕ it Mϕ j = 0, j = 1,...,r 1, (6.15) i=1 akkor w i = 0, i = 1,...,r 1. (6.16) Ebben az esetben a hányados értéke α r R (w) α n intervallumban fog változni. A fenti feltételt kielégítő q vektort az ún. Gramm-Smidt-féle ortoganizálással tudjuk előállítani. A tetszőlegesen felvett y vektorból számított vektor kielégíti a (6.15) feltételt Vektoriteráció r 1 ( q = y ϕ jt My ) ϕ i (6.17) j=1 Alakítsuk át az eredeti (K α M)q = 0 sajátérték feladatunkat klasszikus sajátérték feladatra M illetve K inverzének felhasználásával α q + M 1 Kq = 0, vagy K 1 Mq + 1 α q = 0 Aq = α q, Ãq = 1 α q = λ q (6.18) 171

172 Sajátrezgések meghatározása 17 Megjegyezzük, a kapott A és à már nem szimmetrikus. Szimmetrikus mátrixokat az alábbi úton kaphatunk. Bontsuk fel a tömegmátrixot alsó és felső háromszögű mátrixok szorzatára Ekkor az transzformációval a eredeti sajátérték feladat x = U M q, M = U T MU M. q = U 1 M x Kq = α U T MU M q Kx = α x (6.19) alakra írható át, ahol az áttranszformált merevségi mátrix A K = U T M KU 1 M. (6.130) (Érdemes megjegyezni, hogy diagonál felépítésű tömegmátrixnál U M = U T M = M 1/, U 1 M ) = U T M = M 1/. A másik lehetőség a K merevségi mátrix alsó és felső háromszögű mátrixszorzatra történő felbontásának felhasználása Ekkor transzformációval x = L T Kq, sajátérték problémához jutunk, ahol Ezek után vizsgáljuk meg az K = L K L T K. q = L T K x Mx = 1 x = λx (6.131) α à M = L 1 K ML T K (6.13) (à λe)q = 0 (6.133) 17

173 Sajátrezgések meghatározása 173 egyenlet determinánsát. Felírva azt, majd kifejtve, írhatjuk, hogy p(λ) = λ n λ n 1 (Ã11 + à Ãnn) + λ n ( )... det à = 0 Jelölje λ 1 > λ > > λ n a karakterisztikus egyenlet gyökeit. A gyökök segítségével p(λ) = (λ λ 1 ) (λ λ )...(λ λ n ) = n = λ n λ n 1 (λ 1 + λ λ n ) ( 1) n λ ts = 0 (6.134) alakban is felírható. A karakterisztikus egyenlet két alakjának összehasonlításából n λ i = i=1 n p=1 à pp s=1 következik. Mivel λ 1 = 1 α 1 a legnagyobb, úgy közelítőleg áll λ 1 = 1 α 1 n à pp (6.135) p=1 Ezzel az ún. Dunkeley-féle formulához jutunk, amivel a valóságos első körfrekvenciánál kisebb értéket tudunk meghatározni. Vagyis alulról közelítünk. α 1 (közelített) α 1 (6.136) Két típusú vektor iterációt fogunk megkülönböztetni. Az egyik esetben, alulról felfelé haladva tudjuk kiszámolni a sajátértékeket és a rezgésképet, míg a második típusnál a legnagyobbtól kezdődően lefelé haladva. Ezek miatt alsó és felső iterációról fogunk a továbbiakban beszélni Alsó (inverz) iteráció Az alábbiakban az első sajátkörfrekvencia meghatározása szolgáló iterációt fogalmazzuk meg Induljunk ki egy q 1 vektorból. Oldjuk meg a Kq = Mq 1 173

174 Sajátrezgések meghatározása 174 egyenletet. A q 1 elmozdulást sajátvektorok sorbafejtésével felírva q 1 = n c i ϕ i, αi Mϕ i = Kϕ i, M n c i iϕ i = K n 1 c i iϕ i α i=1 i=1 i=1 i eredményre jutunk, vagyis q = n 1 c i ϕ i. α i=1 i Az iteráció folytatásával Kq 3 = Mq, Kq 4 = Mq 3,... ( n q k+1 = c i ϕ i 1 (αi = 1 ( ) α )k (α1 c 1 ϕ 1 + c ϕ k 1 )k α +...). i=1 A lépéseket megismételve az egymást követő q 1 vektorok elemeinek tagonkénti hányadosa, ill. a Rayleigh-féle hányados míg maga a vektor lim R(q k+1) = (q k+1) s=1,...,n = α1 (6.137) k (q k ) s=1,...,n lim q k+1 ϕ 1 (6.138) k az első saját vektort szolgáltatja. Konkrét megvalósításnál speciális iterációt szokás alkalmazni Felső iteráció Az előzőekre is tekintettel a számítást oly módon is fel lehet építeni, hogy az iterációval a legnagyobb, majd azt követően a csökkenő sajátfrekvenciákat lehessen megközelíteni. Valóban, induljunk ki egy q 1 vektorból. Oldjuk meg az Mq = Kq 1 (6.139) egyenletet. A q 1 elmozdulást sajátvektorok sorbafejtésével felírva α i Mϕ i = Kϕ i, n n M c i ϕ i αi = K c i ϕ i i=1 i=1 174

175 Sajátrezgések meghatározása 175 eredményre jutunk, vagyis q = n c i ϕ i αi. i=1 Az iteráció folytatásával Mq 3 = Kq, Mq 4 = Kq 3,.... q k+1 = ( n ( α c i ϕ i (αi ) k = (αn) k c n ϕ n + c n 1 ϕ n 1 ) k n 1 αn +...). i=1 A lépéseket megismételve lim R(q k+1) = αn, k lim q k+1 ϕ n (6.140) k Ezt az iterációt felső iterációnak szokás nevezni, mivel a felső frekvenciák meghatározására alkalmas feladat: Iterációval határozzuk meg a (K α M) q = 0 sajátértékprobléma legnagyobb ill a legkisebb sajátkörfrekvenciáját és sajátvektorát ha K = , M = (6.7-a) Megoldás: Az eredeti problémát M inverzének felhasználsával M 1 Kq = α q azaz Aq = α q (6.7-b) alakba írhatjuk át. Ekkor A = (6.7-c) Induló vektorként q T 0 = ˆ vektort választva q 1 = Aq 0, q = Aq 1,,q i+1 = Aq i, (6.7-d) számsorozaton keresztűl az egyes iterációs lépésekben q i+1 (m)/q i (m), m = 1,,3 vektorkoordináták hányadosa is kiszámolható. Jól látjuk, hogy a 18. iterációs lépésben a hányadosok gyakorlatilag már azonosak. Ekkor Σ m (q i+1 (m) q i (m)) /q i (m) 0,01. (6.7-e) A megközelített α 3 = 5,9998 < 6 egzakt érték. Az A = K 1 M bevezetésével Aq = 1 α q sajátértékprobléma nyerhető. Hasonlóan elvégezve az iterációt nyerjük, hogy A 8. iterációs lépésben az (6.7-e) által meghatározott hiba 1% alatt van. A 14. lépésben már az egzakt értéket nyerjük 1 α re. 175

176 Sajátrezgések meghatározása táblázat. Számítási eredmények q 0 q 1 q q 3 q 4... q q , 0, 1,0 0,4-0,4 3,6,4-5,6 15, 0,8-40,0 7,0 163, -5, ,176-1,187 1,198 5,6856-5,6861 5,6865 q i+1 (m) q i (m) - 3, , 8,6667 7,149 4,7468 7,8460 6,300 5,1111 6,0041 6,0000 5,9959 6,000 6,0000 5, táblázat. Számítási eredmények q 0 q 1 q q 3 q 4 q 5 q 6... q q , 0, 1,0 0,1333 0,1667 0,3333 0,0806 0,0944 0,1306 0,0447 0,0491 0,057 0,036 0,048 0,067 0,01 0,015 0,019 0,0016 0,0016 0,0016 0,9763 0,9766 0,9768 0,441 0,441 0,441 q i+1 (m) q i (m) 0,667 0,8333 0,3333 0,604 0,5667 0,3917 0,5546 0,5196 0,4379 0,581 0,5063 0,473 0,5144 0, ,5019 0,5001 0,4980 0,5001 0,5000 0,4999 0,5 0,5 0, Alsó (inverz) iteráció eltolással A merevségi mátrix bizonyos esetekben nem invertálható (pl. ha a test nincs merevtestszerű mozgásában korlátozva). Ebben az esetben az inverz iteráció által megkövetelt Kq k+1 = Mq k (6.141) egyenletet a det K = 0 érték miatt nem lehet megoldani. Vizsgáljuk a Kϕ = α Mϕ (6.14) sajátértékfeladatot. Az eredeti sajátértéket állítsuk elő λ E általunk választott, eltolási paraméter értékének a felhasználásával az alábbi módon Ekkor a behelyettesítés és rendezés után α = µ λ E, (6.143) (K + λ EM)ϕ = µ Mϕ (6.144) 176

177 Sajátrezgések meghatározása 177 azaz ahol az eltolt rendszer merevségi mátrixa K E ϕ = µ Mϕ, (6.145) K E = K + λ EM. (6.146) Mivel az M-ről a pozitív definitséget feltételezzük, K E már invertálható lesz. Az eljárás akkor is működik, ha det M = 0, de ahol K jj = 0, ott M jj > 0 kell legyen. A két mátrix kombinálásával a K E mátrix sorai egymástól lineárisan függetlenek lesznek, azért det K E 0. A (6.145) egyenlet sajátértéke µ. A sajátérték meghatározása után az eredeti rendszer sajátértékét (6.143) alapján tudjuk kiszámolni. A (6.145) alatti egyenletről látható, hogy a sajátvektorok azonosak az eredeti probléma (6.14) alatti sajátvektorával. Az alsó iterációt K E q k+1 = Mq k (6.147) egyenletre kell felépíteni. Az iterációval a ϕ i és µ i határozható meg, (i = 1,,...) a q 1 vektor megválasztásától függően. A fentiekből adódóan eltolódás értékének megválasztásával az alsó iteráció az eredeti rendszer belső sajátfrekvenciáinak kiszámítására ad módot. Kérdésként merül fel, hányadik sajátértéket tudjuk így meghatározni. Erre a lényeges kérdésre Sturm-féle sorozat ad feleletet. A tétel értelmében a mátrix K E = K + λ EM K E = LDL T (6.148) felbontásából (L alsó háromszög) a D diagonális mátrixban elhelyezkedő negatív D ij értékek száma jelzi, hogy a λ E eltolás alatt hány sajátértéke van a vizsgált rendszernek. Mivel az iterációval a sajátértéket közelítőleg határozzuk meg, a kérdés eldöntésénél a sajátértéket 0,99λ (k+1) j λ j 1,01λ (k+1) j sugárban értelmezzük, és ezekhez képest nézzük a D ii negatív értéket feladat: Vizsgáljuk a Példa 6.7 alattiakat a Rayleigh-féle közelítő módszer felhasználásával. Megoldás: A (6.1) révén a szóbanforgó hányados R (q) = qit Kq i Alakváltozási energia amplitudóra vonatkoztatva q it Mq i R = Kinetikai energia amplitudóra vonatkoztatva (6.8-a) 177

178 Sajátrezgések meghatározása 178 értelmezését adhatjuk. Ez hajlított tartónál R = R L 0 Iy E (W ) dx R L 0 m W dx (6.8-b) alakot ölti. Konkrét esetként határozzuk meg egy befalazott tartó első sajátkörfrekvenciáját. Próbafüggvényként a tartó önsúlyából származó lehajlási függvényt fogjuk felhasználni. Legyen a terhelés hosszegységre eső intenzitása q A lehajlás W (x) = q L4 x 4 «4 I ye L 4 4 x3 L x L (6.8-c) A behelyettesítés után elvégezve az integrálásokat kapjuk, hogy R = α 1, vagyis α 1 = 3,53 r IyE L m q ami 0.4 %-al múlja felül a pontos értéket: α 1 = 3,516 IyE L m Két végén befalazott tartónál a lehajlást W (x) = w 0 1 cos π «L x (6.8-d) (6.8-e) alakban keresve, a Rayleigh-hányados R = α 1 = R L 0 Iy E (W ) dx R L 0 m W dx = I ye w 0 8 π4 L 3 3 m 4 w 0 L amiből ami csak 1,3 %-al nagyobb, mint a pontos α 1 = 4 r π IyE L 3 m =,7 r IyE L m (6.8-f) 6.9. feladat: Vizsgáljunk egy, két végén befalazott prizmatikus tartót végeselem-módszer felhasználásával. A 3L hosszúságú tartót L hosszúságú elemekre osztjuk fel. Megoldás: A (6.47)-ben ismertetett hajlításra vonatkozó tömegmátrix, a 3. fejezetben leírt merevségi mátrix felhasználásával, pótlólagos állandók nélkül, a sajátértékekre a következő eredményt kapjuk: - az 1. sajátkörfrekvenciánál: r α n = sn IyE 9L m (6.9-a) s 1 =,46 exakt: s 1 =,373 (6.9-b) - a. sajátkörfrekvenciánál: s = 6,904 exakt: s = 61,669 (6.9-c) 178

179 Sajátrezgések meghatározása a 3. sajátkörfrekvenciánál: s 3 = 146,30 exakt: s 3 = 10,91 (6.9-d) Itt is látható, hogy a közelítőleg kapott értékek, mindig nagyobbak, mint a pontos megoldás. Az is látható, hogy jó közelítéssel csak az első két körfrekvenciát kaptuk meg. A magasabb értékek több elem felvételével, vagy pótlólagos állandók használatával érhetők Sajátérték probléma megoldása Jacobi-féle módszerrel A Kq = α Mq (6.149) általánosított sajátérték problémából (6.130) és (6.13) szerint Aq = α q, vagy Ãq = λq (6.150) sajátértékproblémák állíthatók elő. Itt A és à szimmetrikusak. Az Aϕ i = α i ϕ i (6.151) sajátértékproblémát megoldva i = 1,...,n esetre, tömören azaz A [ ϕ 1,ϕ,...,ϕ n] = [ ϕ 1,ϕ,...,ϕ n] < α 1,α,...,α n > AΦ = ΦS (6.15) egyenlet írható fel. A sajátvektorok ortonormált tulajdonságaiból következően Φ T Φ = E, (6.153) továbbá Φ T AΦ = S. (6.154) Tehát, ha az A mátrixot oly módon tudjuk átalakítani, hogy csak a főátlójában legyenek elemek, akkor ezek a számok a sajátvektorok négyzeteinek fognak megfelelni, míg az átalakításnál (A mátrix jobbról, balról történő szorzásánál használt mátrixok szorzata a Φ T és Φ mátrixokat fogják kijelölni. Vagyis olyan szorzásokat kell választani, amivel az A mátrix átalakításával előálló mátrix főátlón kívüli elemei zérusok legyenek. A jobbról és balról történő szorzás után az új mátrix A () = P (1)T AP (1) P (1)T A (1) P (1) 179

180 Sajátrezgések meghatározása 180 míg általánosan a k-dik szorzás elvégzésével A (k+1) = P (k)t A (k) P (k) (6.155) A P (k) permutáló mátrixot úgy kell megválasztani, pl. a p,q elemek vonatkozásában, hogy P (k) = 1 c p s 1 q s c 1 p q (6.156) mátrixban szereplő c = cos θ, s = sin θ szögek az A (k+1) mátrix A (k+1) pq elemének zérus értéket adjanak. A P (k)t A (k) P (k) szorzás változást okoz a p és q sorokban (oszlopokban) illetve a főátló elemeit A (k+1) pp A (k+1) ip A (k+1) iq = A (k) ip c A(k) iq s i p,q (6.157) = A (k) ip s + A(k) iq c = A (k) pp c A (k) pp c s + A (k) qq s (6.158) A (k+1) qq = A (k) pp s + A (k) pq c s + A (k) qq c (6.159) értékűre változtatja meg. A cél érdekében megköveteljük, hogy A (k+1) pq legyen zérus: A (k+1) pq = Ez utóbbi feltételből ( ) A (k) pp A (k) qq c s + A (k) pq (c s ) = 0. tg ( θ) = A (k) qq A (k) pq A (k) pp. (6.160) A (6.158) és (6.159) vizsgálatából következik, hogy A (k+1) pp + A (k+1) qq = A (k) pp + A (k) qq 180

181 Sajátrezgések meghatározása 181 vagyis a főátló elemeinek összege állandó, hisz a P (k) -vel történő szorzás a többi főátlóbeli elemet nem változtatta meg S (k+1) D = n i=1 A (k+1) ii = n i=1 A (k) ii =S (k) D. (6.161) Az átalakítások révén (6.154) alapján a főátlóban a sajátértékek négyzetei fognak szerepelni. Mivel a transzformáció a főátló összegét nem változtatja meg, úgy n n S D = A ii = αi (6.16) i=1 A (6.157)-ból az átalakítás következő tulajdonságát nyerhetjük. Az egyenletek négyzetre emelésével és összeadásával ( ) ( ) ( ) ( ) + = + i p,q A (k+1) ip A (k+1) iq A (k) ip i=1 A (k) iq Ez azt jelenti, hogy a p és q oszlopokban elhelyezkedő elemek négyzet összegei (a pq elemet kivéve) nem változnak meg. Ebből következik, hogy a főátlón kívüli elemek négyzet összege az iteráció során S (k+1) N = n n ( i=1 j=1 A (k+1) ij ) ( (k) = S N A (k) pq ) (6.163) Az iteráció folyamán az S N monoton csökken, mivel minden lépésben egy A pq elemet zérussá teszünk. S D diagonál összeg meg állandó. Mivel a mátrixban végesszámú elem van az iteráció véges számú lépésben zajlik le. Az iterációt a kerekítési hibák miatt A (k+1) ii ( A (k) ii S (k+1) N korláttal szokás leállítani. A (6.155) alatti szorzás alapján ) 1/ i = 1,...,n (6.164) A (k+1) = P (k)t P (k 1)T... P (1)T AP (1)...P (k 1) P (k) azaz a (6.154)-el való összevetésből következik, hogy a sajátvektorokat tartalmazó mátrix Φ (k) = P (1) P ()...P (k 1) P (k) (6.165) másrészt a főátló elemei a sajátkörfrekvencia négyzeteit szolgáltatják. A (k+1) ii = α s. (6.166) 181

182 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 18 A szorzások sorozata nem rendezi növekvő sorba a sajátfrekvenciákat, azokról külön kell gondoskodni. Természetesen külön kell gondoskodni a Φ (k) -ban szereplő vektorok α i -hez való rendeléséről is Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek A gépek, berendezések működésük során időben változó terheléssel terheltek. Ezek egy része külső erőhatásból (pl. futódarú terhet emel) származhat, technológiai folyamatból (pl. esztergálásnál keletkező forgácsoló erő), a környezetről átadódó mozgásokból (pl. gépek talajjal érintkező részei, a más gépekről a talajra átadódó erőhatások miatt mozognak) vagy akár a működés közbeni belső geometriai kapcsolatok, hőmérsékleti mezők változásaiból. Az általános egyenlet levezetésénél láttuk, hogy összességében a mozgásegyenletek a szabad paraméterekhez hozzárendelten jelennek meg, a kinematikai előírások járulékos erőt szolgáltatnak Harmonikusan gerjesztett rendszerek Tömören, csak a szabad paraméterek vonatkozásában felírható mozgásegyenlet M q + Kq = f(t) (6.167) Vizsgálatainkat a harmonikus gerjesztés esetével kezdjük. A forgó gépalkatrészek miatt a terhelések változása igen sok esetben időben harmonikus függvények szerint változnak. Ebben az esetben: f = f A sin(ω t + ψ) (6.168) terhelést feltételezve, ahol f A a terhelés amplitudója, a megoldás A deriválások elvégzése után algebrai egyenlethez jutunk, amiből a dinamikai merevségi mátrix bevezetésével q = q A sin(ω t + ψ). (6.169) (K ω M)q A = f A (6.170) Z(ω ) = K ω M (6.171) ω α i (i = 1,...,n) (6.17) 18

183 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 183 feltételezés mellett és így det Z(ω ) 0 (6.173) q A = (Z(ω)) 1 f A H(ω)f A, (6.174) ahol H(ω) dinamikai hatásmátrix. A feladat láthatóan algebrai egyenletrendszer megoldására vezethető vissza. Próbáljuk meg a dinamikai merevségi mátrix inverzét a sajátérték probléma ismeretében felírni. A fő koordináták révén áll a q = Φw (6.175) transzformáció, ahol Φ a sajátrezgésekhez tartozó sajátvektorok alkotta mátrix. A (6.175)-re tekintettel az amplitudók vonatkozásában q A = Φw A (6.176) összefüggés van érvényben. Az eredeti feladatot átírva a főkoordináták rendszerébe, majd a kapott egyenletet F T -vel balról megszorozva, nyerjük, hogy ( ) Φ T KΦ ω Φ T MΦ w A = Φ T f A. (6.177) A sajátvektorok tömeg- és merevségi mátrixra vonatkozó ortogonalítási tulajdonságát felhasználva a (6.177) helyett írható, hogy A kapott diagonál mátrixot Λ-val jelölve (S ω E)w A = Φ T f A. (6.178) Λ = α 1 ω,α ω,...,α n ω (6.179) annak inverze Λ 1 1 = α1, 1 ω α,..., 1 ω αn ω (6.180) vagyis w A = Λ 1 Φ T f A (6.181) amiből (6.176) alapján a kitérés amplitudó vektora q A = ΦΛ 1 Φ T f A (6.18) 183

184 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 184 A kapott eredmény (6.174)-el való összevetéséből a dinamikai merevségi mátrix inverze, a dinamikai hatásmátrix H(ω) = (Z(ω)) 1 = ΦΛ 1 Φ T = = [ ϕ 1,ϕ,...,ϕ n] 1 α 1 ω, 1 α ω,..., 1 α n ω Ennek (6.18)-ba történő visszahelyettesítése után ϕ 1T ϕ T ϕ nt = n i=1 ϕ i ϕ it α i ω (6.183) q A = n i=1 ϕ i ϕ it f A αi ω n ϕ i g i. (6.184) i=1 A kapott eredmény jól mutatja, ha ω = α i (i = 1,...,n) rezonancia fog fellépni, ami idővel végtelen nagy kitéréshez, a szerkezet tönkremeneteléhez vezet. Amennyiben ϕ it f A = 0, (a terhelés a ϕ i sajátrezgéskép zéruspontjában hat, így az összegzésből kiesik), ami a rezonancia elkerüléséhez vezet (a külső terhelés munkája zérus). Persze azt is látni kell, a terhelés térbeli elhelyezkedésének (koncentrált erő) egy kismértékű eltolódása már ϕ it f A 0 zérustól különbözővé teszi, és így ismételten α i = ω esetén igen nagymértékű elmozdulások fognak fellépni. A fentiek azt mutatják, hogy a szerkezet működésénél a gerjesztés frekvenciájának nem szabad a rendszer valamelyik sajátfrekvenciájával egybeesnie. Amennyiben a gerjesztés frekvenciája ω < α 1, akkor nem tud létrejönni rezonancia. Azonban a gyakorlatban általában ez nem áll fenn, hanem ω > α 1. Ilyen esetben pl. egy forgó alkatrész indításánál célszerű az alacsony rezonanciafrekvenciákon gyorsan áthaladni, nem hagyva időt a nagyméretű elmozdulások kialakulására feladat: A többszabadságfokú rendszerek konkrét vizsgálatával kapcsolatosan vizsgáljunk néhány feladatot a rezgésvédelem témakörében. Általánosan két esetet lehet megkülönböztetni. Az egyik esetben feladat a vizsgált objektum, (amely rezgésformát is tartalmaz, pl. egy forgó kiegyensúlyozatlan alkatrészből) elszigetelése a környezettől, olymódon, hogy a környezetre átadódó erők lehető legkisebbek legyenek. A másik eset, ennek a fordítottja, amikor is a vizsgált objektumot kell elszigetelni a környezettől olymódon, hogy a talajról rezgésszigetelő, tompító elemeken keresztül a lehető legkisebb amplitudójú rezgések adódjanak át. Megoldás: Vizsgáljuk az első esetet. A 6.7. ábrán feltüntetett m 1 tömegű szerkezeten objektumon belül F = F 0 sin ω t = rω m sin ω t nagyságú gerjesztő erő keletkezik. A vizsgált objektum a talajjal k 1 merevségű rugón keresztül csatlakozik. Cél a talajra átadódó erő minimalizálása. E célból az eredeti rendszerre pótlólagosan k rugón keresztül m tömegű testet csatlakoztatunk. 184

185 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 185 A kapott kétszabadságfokú rezgőrendszer mozgásegyenletei E = 1 m q + 1 m 1 q 1 (6.10-a) U alakv. = 1 k 1q k (q q 1 ) (6.10-b) W k = F q 1 (6.10-c) energiákból és a külső terhelés munkájából adódóan, a (6.1) variációs egyenlet értelmében a diszkretizálás után m 1 q 1 + (k 1 + k )q 1 k q = F 0 sin ω t m q k q 1 + k q = 0 (6.10-d) m k m r ω r m ω m 1 k ábra. Dinamikus rezgéscsökkentés A kapott differenciál-egyenletrendszert mátrixosan felírva» m1 m»»»» q1 k1 + k + k q1 F0 = q k k q 0 sin ω t azaz M q + Kq = f A sin ω t (6.10-e) vagyis A partikuláris megoldás ahonnan az amplitudók vektora q = q A sin ω t ( ω M + K)q A = f A (6.10-f) (6.10-g) q A = (K ω M) 1 f A = (Z `ω ) 1 f A = H(ω )f A. (6.10-h) A megoldás a Crammer szabály alkalmazásával könnyen felírható: q 1A =» F0 k 0 k ω m det Z, q A =» k1 + k ω m 1 F 0 k 0 det Z 185

186 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 186 vagyis ahol q 1A = F 0(k ω m ) det Z, q A = F 0k det Z, det Z = (k 1 + k ω m 1 ) (k ω m ) k. A kapott eredményből az alábbiak következnek. Ha ω = k m vagyis a gerjesztés frekvenciájával megegyezik a pótlólagos (m, k ) alkotta egyszabadságfokú alrendszer sajátfrekvenciája, akkor az 1 -es test nem fog mozogni. Nagyon érdekes dolgot tapasztalunk. Az a tömeg (m 1 ), amelyre külső gerjesztés (erő) hat nem mozdul el, a pótlólagos rendszer q = F 0 /k = q statikus amplitudójú harmonikus mozgást végez ellentétes fázisban a gerjesztő erővel. A pótlólagos rendszer konkrét kivitelezésénél (a szilárdságtani méretek meghatározásánál) erre nyílván valóan tekintettel kell Nem harmonikusan gerjesztett rendszerek vizsgálata a sajátvektorok ismeretében Induljunk ki a csillapítatlan rendszer mozgásegyenletéből M q + Kq = f, (6.185) A q elmozdulást írjuk le a sajátrezgéskép szerinti sorbafejtés segítségével q = Φw (6.186) Ekkor a (6.185) szokásos átalakítását elvégezve MΦẅ + KΦw = f, (6.187) Φ T MΦẅ + Φ T KΦw = Φ T f f (6.188) azaz ẅ + S w = f, (6.189) ami valójában ẅ i + αi w i = f i i = 1,...,n (6.190) n darab egymástól független differenciálegyenletet jelent. 186

187 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 187 Ilymódon az egyszabadságfokú rendszerre vonatkozó megoldást használhatjuk fel főkoordináta leírására - külön-külön: w i = w 0i cos α i t + ẇ0i α i sin α i t + 1 α i t 0 f i (τ) sin α i (t τ)dτ i = 1,...,n (6.191) A kezdeti w 0 és ẇ 0 főkoordináta vektor értékeket az eredeti rendszer mozgásának leírására szolgáló q vektorra vonatkozó feltételből kell meghatározni. Jelölésként bevezetve a sin St = sin α 1 t, sin α t,..., sin α i t,..., sin α n t (6.19) diagonál mátrixot (sin cos), a kezdeti feltételek fő koordinátákra vonatkozó vektorait, (6.191) tömörebben t w = cos St w 0 + S 1 sin St ẇ 0 + w(0) = w 0, ẇ(0) = ẇ 0 (6.193) 0 S 1 sin S(t τ) f(τ)dτ (6.194) alakban írható fel, majd ennek ismeretében az eredeti elmozdulási paraméterek (6.186) alapján. Ez könnyen megy, hiszen ilymódon q = Φw, Mq = MΦw, ΦMq = Φ T MΦw = w, (6.195) w 0 = Φ T Mq 0, ẇ 0 = Φ T M q 0, azaz Φ 1 = Φ T M. (6.196) Gyakorlati feladatokat vizsgálva, olyan megfigyelések voltak megtehetők, amelyek arra tényre hívták fel a figyelmet, hogy az eredeti (6.186) alatti n tagú sorbafejtés helyett elegendő a terhelés időbeli lefutásától függően a sorbafejtés néhány első tagját venni csak mivel a sorbafejtés magasabb sorszámú tagjainak a hatása egyre kisebb. Ezt figyelembevéve az alkalmazott transzformáció q = Φ w, 0 < k < n (6.197) (n,1) (n,k)(k,1) 187

188 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek 188 A mozgásegyenletet ismételten át tudjuk transzformálni az új w korlátozott számú főkoordináták rendszerébe. Ekkor a Φ T M Φ w + Φ T K Φ w = Φ T f = f (6.198) egyenletből a w + S w = f (6.199) differenciálegyenlethez jutunk, ami k számú, egymástól független egyenletnek felel meg. Az általános megoldás az i-dik koordinátája w i = w 0i cos α i t + w 0i α i ami tömörebben sin α i t + 1 α i t t w = cos St w 0 + S 1 sin St w 0 + alakú, ahol 0 0 f i (τ) sinα i (t τ)dτ i = 1,...,k (6.00) S 1 sin S(t τ) f(τ)dτ (6.01) S = α 1,...,α k (6.0) cos St = cos α i t,..., cos α k t (cos sin) (6.03) w 0 = Φ T Mq 0, w 0 = Φ T Mq 0. (6.04) Lényeges előnye a (6.197) megoldásnak az, hogy a Φ mátrix (n,k) mérete miatt, csak k számú sajátértékproblémát kell előzetesen megoldani, és nem n számút. Bonyolult f(t) terhelésnél a w megoldásban szereplő időintegrálást általában numerikusan szokás elvégezni. Természetesen a numerikus időintegrálásnál t -nek különböző diszkrét értéket kell adni, ami általában a lezajló jelenség felhasználót érdeklő időintervallumtól függ Csillapított gerjesztett rendszerek vizsgálata A megvizsgálandó rendszer mozgásegyenlete ahol a csillapítások hatását hordozó C mátrix M q + C q + Kq = f, (6.05) 188

189 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek a tömeg és a merevségi mátrixszal arányos. azoktól független. C = c M M + c K K Nyilvánvalóan ebbe a csoportba tartoznak azok a rendszerek, ahová különböző csillapító elemeket építenek be, amelyeknek mérete és így kihatása semmiképpen nem lehet arányos az eredeti rendszer tömegével és merevségével Arányos csillapítás A címben jelzett fogalom a csillapítási mátrix C = c M M + c K K (6.06) felépítésre utal. Áttérve a q = Φw (6.07) transzformációval a w főkoordináták rendszerébe, az eredeti mozgásegyenlet a Φ T -vel balról történő beszorzás után, a tömegmátrix és a merevségi mátrix ortogonalítási tulajdonságának felhasználásával ( Φ T CΦ = c M E + c K S ) (6.08) ẅ + (c M E + c K S )ẇ + S w = Φ T f = f. (6.09) alakba írható át, vagyis egy széteső differenciálegyenlet-rendszerhez jutottunk, amelynek j-dik egyenlete ẅ j + (c M + c K α j)ẇ j + α jw j = f j j = 1,...,n, (6.10) amelyben a c M + c K α j = ξα j (6.11) összefüggés a ξ a Lehr-féle csillapítás definicióját szolgáltatja. A főkoordináták rendszerébe áttranszformált differenciálegyenlet megoldását közvetlen fel tudjuk írni: ( w j (t) = e β jt w oj cos ν j t + β ) jw 0j + w 0j sin ν j t ν j 189

190 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek ν j t f j (τ) e β j(t τ) sin ν j (t τ) dτ (6.1) 0 ahol w 0j = w j (0), w 0j = w j (0) a kezdeti elmozdulás és sebesség, és ν j = α j β j, β j = α j ξ. Bevezetve a kezdeti feltételek vektorait w 0,ẇ 0 a β T = β 1,...,β j,...,β n, ν T = ν 1,...,ν j,...,ν n (6.13) cos νt = cos ν 1 t,..., cos ν n t (cos sin) (6.14) exp( β(t τ)) = e β 1(t τ),...,e β j(t τ),...,e βn(t τ) (6.15) diagonálmátrixokat, a (6.1) alattiak tömörebb formában is felírhatók: w(t) = exp( βt) [ (cos νt + βν 1 sin νt)w 0 + ν 1 sin νt ẇ 0 ] + t + ν 1 A kezdeti értékek a q 0 és q 0 -án keresztül 0 exp ( β(t τ)) sin ν(t τ) f(τ)dτ. (6.16) w 0 = Φ T Mq 0, ẇ 0 = Φ T M q 0 (6.17) a szokásos összefüggések alapján számolhatók. A megoldásban szereplő integrált különböző időpontokhoz tartozóan numerikus integrálással szokás meghatározni. Megjegyzés 1.: Hasonlóan mint a csillapításnélküli esetben, a leképzésnél a transzformációt elegendő véges k méretre korlátozni. Így a (6.07) helyett q = Φ w (6.18) (n,1) (n,k)(k,1) fog szerepelni. Ekkor a (6.18) j = 1,...,k számú. Formailag a megoldás megegyezik az előbb ismertetettel, azzal a különbséggel, hogy a mérték n-ről k-ra csökkentek, továbbá a (6.17) -ban Φ helyett Φ szerepel. 190

191 Csillapítás nélküli gerjesztett rezgő rendszerek feladat: Az arányos csillapítási tényezőket c M és c K értékeket két sajátfrekvenciához tartozó (6.10) alatti ζ s érték megadásával szokásos meghatározni: c M + c K α s = ξ sα s. (6.11-a) Megoldás: A két ismeretlent tartalmazó egyenletrendszerből c K = (ζ α ξ 1 α 1 )/(α α 1) (6.11-b) c M = α 1 α (ξ 1 α ξ α 1 )/(α α 1). (6.11-c) A 6.8. ábrán kritikus csillapítási tényező ξ változását szemlélhetjük az α függvényeként. A merevséggel arányos csillapításnál ξ = c Kα, c M = 0, (6.11-d) míg a tömeggel arányos csillapításnál A kettő együttes hatása szolgáltatja a ξ = c M α, c K = 0. (6.11-e) ξ = c M + c K α α (6.11-f) függvényt. Az eredmények jól mutatják, hogy a kritikus csillapítási tényező ξ = ξ(α) frekvenciafüggő. Általában az α 1 és α értékeket a szerkezet üzemeltetési frekvencia tartománya jelöli ki. ξ ξ ξ ξ 1 ξ K = ck α Ì ÖÚ Þ ÔÖ ØÙÑ ξ M = cm α α 1 α α 6.8. ábra. Lehr -féle csillapítási tényező változása Legyen α 1 =, α = 3, továbbá követeljük meg, hogy ezen frekvenciáknál a kritikus csillapítás % és 10 %-os legyen, azaz ξ 1 = 0,0, ξ = 0,10. Az (a) egyenlet a megadott értékeknél felírva, nyerjük, hogy c M c K 4 = 0,08 c M + c K 9 = 0,60 amiből c M = 0,336, c K = 0,104, 191

192 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása 19 azaz a Rayleigh-féle csillapítási mátrix C = 0,336M A mozgásegyenlet közvetlen integrálása A lineáris rezgőrendszerek mozgásegyenleteinek megoldását, mint egy lehetséges út, jól szolgálja a mozgásegyenlet közvetlen integrálása. Az eljárások többségére általában jellemző, hogy az eljárás elején egy együtthatómátrix invertálása után a megoldást mátrix-vektor szorzásokkal lépésrőllépésre állítjuk elő. A módszerek alkalmazásának lényeges kérdése, az időlépés nagyságának megválasztása. A korábbiakban már láttuk, hogy a mozgásegyenlet egy másodrendű differenciálegyenlet rendszer: M q + C q + Kq = f (t). (6.19) A szóbanforgó megoldási eljárásoknak két nagy pillére van. Egyik a differenciálegyenletet diszkrét időpillanati kielégítése, a másik, az időlépések közötti gyorsulás megváltozásának feltétele. Így a megoldás fontosabb tulajdonságai: időlépésenként elégítjük ki az egyenletet (azaz időben is diszkrét pontokat nézünk) a felvett feltételből következő időlépésen belüli vizsgálat. Ahhoz, hogy q és q -t kiszámíthassuk, feltételezéseket kell tenni. Alapvetően ezek a hipotézisek, feltételezések szabják meg a megoldási módszert. Így beszélünk pl. Differencia- és Newmark-módszerről. Az eljárások nagy számítási igényeik miatt előnyösen számítógéppel hajthatók végre. Ezzel kapcsolatban további kérdések merülnek fel: mennyi a megoldás időszükséglete? milyen a kapott megoldás pontossága? milyen az eljárás stabilitása? Az elmondottakból következően az időlépéstől, azaz a t -től lényegesen függ a megoldás. Általánosságban az mondható el, hogy t -től függetlenül 19

193 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása 193 lehet, hogy korlátos a q amplitúdó, vagyis stabil az eljárás, de ettől még lehet, sőt van is hibája a megoldásnak. Konkrét számításoknál a megoldáshoz a vizsgált időintervallumot 0 t T egyenközűen felosztjuk n számú időszakaszra t = T n, ahol a T a vizsgált időtartomány. A megoldást lépésről-lépésre állítjuk elő az egyes időpontokban: 0 t t 3 t 4 t... T (6.0) a megoldáshoz felhasználjuk az előző lépésben, vagy lépésekben már meghatározott mennyiségeket Differencia módszer Az egyik legismertebb numerikus integrálási eljárás a differencia módszer, amelyet szokás középponti differencia módszernek is nevezni. Az eljárás másodrendűen pontos és feltételesen stabil ábra. Az elmozdulás-idő függvényének a közelítése Sebesség, gyorsulás közelítése Az eljárás alapgondolata, hogy elmozdulás-idő függvényt két időlépés tartományán parabola ívvel közelítjük (6.9. ábra). Mivel parabola szelője és a parabola felező pontjához tartozó érintő párhuzamos, ebből a geometriai megfontolásból felírhatjuk a felező pontban az időszerinti első deriváltat, azaz a sebességet: t t+ t q t t q q = (6.1) t 193

194 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása 194 A gyorsulást hasonló megfontolás szerint állíthatjuk elő. Az intervallumok felező pontjaiban lévő sebességek (6.1) -hoz hasonlóan írhatók fel, ezek egy időlépésre eső különbsége szolgáltatja a gyorsulás képletét: t q = 1 [ t+ t q t q t q t t ] q t t t = 1 t [ t+ t q t q + t t q ] A t időpillanatra vonatkoztatjuk a mozgásegyenletet: (6.) M t q + C t q + K t q = t f, (6.3) majd a (6.1), (6.) képleteket értelemszerűen alkalmazzuk a több szabadságfokú rendszer sebesség t q és gyorsulás t q vektoraira. A (6.3)-ba történő behelyettesítés és átrendezés után az alábbi lineáris algebrai egyenletrendszert kapjuk meg az ismeretlen t+ t q elmozdulásra ( 1 t M + 1 ) t C t+ t q = t f ( K ) t M t q ( 1 t M 1 t C ) t t q (6.4) Ebből formálisan kifejezhető az ismeretlen elmozdulás a t + t időpillanatban a korábban meghatározott elmozdulás vektorok függvényeként t+ t q = f (..., t q, t t q ) (6.5) mely alapján az eljárást explicit-módszernek nevezzük. Az eljárás indítása A számítás elindításához a t = 0 illetve a t = t helyen a q elmozdulás vektor ismerete szükséges 0 q, t q =? (6.6) melyek a kezdeti feltételekből, ill. azok felhasználásával határozhatók meg. A kezdeti feltételből adódóan ismert az elmozdulás és a sebesség a megfigyelés kezdetén t = 0 : q(t = 0) = 0 q, q(t = 0) = 0 q (6.7) Felírva a t = 0 időpillanatra vonatkozóan a mozgásegyenletet, abból a gyorsulás kiszámolható M 0 q + C 0 q + K 0 q = 0 f 0 q = M 1 (0 f C 0 q K 0 q ) (6.8) 194

195 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása 195 A (6.1) és a (6.) nek a t = 0 időpontra vonatkozó felírásából bennük a t q és a t q szerepelnek ismeretlenként. 0 q = t q t q t t q = t 0 q + t q 0 q = 1 t ( t q 0 q + t q ) Az elsőből kifejezett t q-t betéve a másodikba végső soron a t q ismeretlen elmozdulás vektor a t = t időpontban meghatározható 0 q t = t q 0 q + t q = t 0 q + t q 0 q + t q t q = 0 q t 0 q + t 0 q (6.9) Egy speciális helyzet áll elő, ha C = 0 továbbá M diagonális, akkor ezáltal a feladat könnyen kezelhetővé válik. ( ) 1 t M ( t+ t q = t f K t M Mivel a tömegmátrix diagonális ) ) 1 q ( t t M } ( ) 1 t t q t M t+ t q = t f (6.30) M = m 11 m... m nn, m ii > 0 (6.31) az ismeretlen elmozdulás vektor i-dik koordinátája könnyen kifejezhető t+ t q i = t fi t m ii (6.3) Az eljárás nagy előnye, hogy a K merevségi mátrixot nem kell invertálni, sőt összeszerkeszteni sem szükséges, mert a szorzás az elem szintjén is végrehajtható: K t q = e K e t q e (6.33) Az eljárás feltételesen stabil, ez azt jelenti, hogy az időlépés kisebb kell legyen mint a csillapítatlan rezgőrendszer legnagyobb sajátrezgéshez tartozó periódus idő π-ed része t < T n π ahol T n a legnagyobb sajátrezgés periódus ideje (6.34) T n = π α n, [α n ] = rad s. (6.35) 195

196 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása 196 A t-re nagyobb értéket megválasztva a kitérések egyre növekednek, a megoldás nem adja vissza a fizikai valóságot. Az időlépés megválasztásának fontosságára látunk számítást a Példa 6.1-ben Newmark-féle módszer Az eljárás alapváltozata az intervallumonkénti súlyozott gyorsulás feltételezésére épül. Nem részletezve a levezetést a sebességre és az elmozdulásra az alábbi két összefüggést kapjuk: t+ t q = t q + (1 γ) ( t) t q + γ t t+ t q, γ 1 (6.36) ) 1 t+ t q = t q+ t q+( t β ( t) t q+β ( t) t+ t q, β 1 4 (6.37) A számítás a választott súlyozó β, γ tényezőktől függően feltételesen stabil avagy feltételnélkülien stabil. Maga a módszer implicit Az eljárások stabilitása Az integráló eljárások stabilitása azért vetődik fel, mert az időlépésenkénti előrehaladás során, elképzelhető, hogy egyre távolabb kerülve a pontos megoldástól, a számítógép számábrázolását is figyelembe véve, a számok túlcsordulhatnak. Az explicit eljárások formálisan felírhatók a következő alakban is t+ t q q q = A t q q q + L t+ t f (6.38) ahol A az integrálás módjától függ. Ha a terhelés hatásától eltekintünk, akkor az integrálás a megoldás vektor ismételt transzformációjaként interpretálható t+ tˆq = A tˆq (6.39) A transzformáció a megoldási vektort akkor nagyítja, ha van olyan sajátértéke, amelyik nagyobb, mint 1, és akkor kicsinyíti a megoldást, ha minden sajátérték kisebb mint 1. A numerikus integráló eljárás tehát stabil, ha ρ (A) 1 (6.40) 196

197 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása 197 azaz az együttható mátrix sajátértékei kisebbek vagy határhelyzetben egyenlő, mint 1. A Newmark módszer stabilitása a választott γ és β tényezőktől függ. A stabilitás kérdése a ábra alapján áttekinthető. Ennek értelmében a γ = 1 és β = 1 4 trapéz formula feltétel nélkül stabil és energia konzervatív, azaz megőrzi a bevitt energiát. γ < 1 -nél a számítás instabil. A feltételesen stabil altartományban áll: (γ + 0.5) 4β 4 α n t illetve a határgörbén β = 1 ( γ γ ). 4 Vizsgálatok folytathatók az amplitudó és a rezgésperiódikus idejének pontatlansága tárgyában is. A következő táblázat összegzi az eredményeket, ahol α n jelöli a vizsgált rendszer legnagyobb sajátkörfrekvenciájának az értékét, T a harmónikus rezgésidő exakt értékét, T az eltérés értékét ábra. Newmark-módszer stabilitási diagram Láthatóan a centrális differencia módszer feltételesen stabil, rövidebb periódus időt szolgáltatva, míg a tarpéz féle módszer feltételnélküli számítást tesz lehetővé, hosszabb periódus időt adva. A tiszta explicit módszer habár feltétel nélkül stabil, de az eredmények jelentős amplitudó hibával lesznek terhelve. **** A bemutatott módszerek akkor is alkalmazhatók, ha a merevségi mátrix változik. Ilyen esetekkel találkozunk alakítástechnikai kérdéseknél a gépgyártástechnológiában. A választandó igen kicsiny időlépések miatt a 197

198 A mozgásegyenlet közvetlen integrálása táblázat. Megoldási módszerek összefoglalása Algoritmus γ β Időlépés Amplitudó Periodicitási hossz hiba hiba T T határa α n t Tiszta explicit explicit α n t 4 0 Centrális diff. m α n t 4 Lineáris gyorsulás 0.5 1/ Trapéz-m. (átlag gyorsulás) α n t 4 α n t 1 számítások tekintélyes időt követelnek, továbbá az eredmények értékeléshez számos időpontbeli állapotok (elmozdulás, feszültség) feltérképezése és ezek grafikai megjelenítése szükséges feladat: Adott egy háromszabadságfokú csillapítatlan rezgőrendszer K merevségi mátrixa és M tömegmátrixa: K = , M = (6.1-a) Ismert továbbá a rezgőrendszer három sajátkörfrekvenciája α 1 =, α = és α 3 = 6. A legkisebb és legnagyobb sajátértéket a Példa 6.7-ben alsó és felső iterációval is meghatároztuk. A gerjesztett rezgéseket leíró mozgásegyenlet M q + K q = f A sin ωt ahol fa T = [0 10 0], ω = 5 (6.1-b) megoldását a középponti differenciamódszer és a Newmark módszer segítségével állítjuk elő. Megoldás: Négy ( t = T 3 /π, T 3 /10, T 3 /0, T 3 /50) különböző időlépésnél hasonlítjuk össze a második szabadságfokhoz tartozó elmozdulás kitérésre kapott eredményeket. 198

199 Tömegmátrixok előállítása ábra. A dt = t időlépés a megoldás pontosságra gyakorolt hatása Amint az a ábrán is látható a középponti differencia módszer a t = T 3 /π időlépésnél időben növekvő, azaz instabil megoldást eredményez. Ugyanakkor a Newmark-féle megoldás habár pontatlan, de stabil. Az időlépés csökkentésével a két megoldás egymásra Tömegmátrixok előállítása Az elemek tömegmátrixa az M e = V N T ρ N dv (6.41) összefüggés alapján számolható. Ezt a mátrixot ún. konzisztens tömegmátrixnak nevezi az irodalom. Láthatóan integrálást kell végrahajtani. A merevségi mátrixhoz hasonlóan ebben az esetben is numerikus integrálást hajtunk végre. Általában a Gauss- féle integrálást alkalmazzák. Ennek értelmében izoparametrikus elemet feltételezve NG NG NG M e = N T (ξ i,η j,ζ k ) ρ ( ξ i, η, j ζ k) N (ξi,η j,ζ k ) det J (ξ i,η j,ζ k ) W i W j W k i=1 j=1 k=1 (6.4) ahol (ξ i,η j,ζ k ) a helyi koordinátarendszer Gauss pontbeli értékei, W i súlyfaktorok. 199