7. Térelméleti S-mátrix, funkcionálintegrálok, Feynman-gráfok

Átírás

1 7. Térelméleti S-mátrix, funkcionálintegrálok, Feynman-gráfok Lukács Árpád június 4.. Szórásjelenségek leírása. In és out-állapotok A részecskezikában leggyakrabban vizsgált kísérlettípus: a végtelenb l bejönnek részecskék adott impulzussal, összeütköznek, majd a reakciótermékek kirepülnek, és kell távolságban detektáljuk ket. Az alapfeltételezésünk az lesz, hogy a kölcsönhatások csak az ütközés véges ideje alatt jelent sek, az in- és out-állapotokban elhanyagolhatók. Ez rövid hatótávolságú kölcsönhatások esetén hihet is; általánosságban az adiabatikus bekapcsolással vesszük gyelembe. Az in- és out állapotok jelölése: Ψ + α in, t, illetve Ψ α out, t. Perturbatív tárgyalás: H = H 0 +H, és az in- és out-állapotokról feltételezzük, hogy a kölcsönható Hamilton-operátor sajátvektorai: H p, σ, m ; p 2, σ 2, m 2 ;... = p i0 p, σ, m ; p 2, σ 2, m 2 ; i További feltételezés egyesek szerint tétel:-, hogy ezek teljes ortonormált rendszert alkotnak. Vezessük be a szabad többrészecskeállapotokat is α multiindex, jelöli a részecsketípusokat, impulzusokat, spinállapotokat,... H 0 Φ α = E 0α Φ α HΨ ± α = E α Ψ ± α 3 Mivel a kölcsönhatás csak az ütközés során jelent s, ezek az állapotok a kölcsönhatás el tt illetve után aszimptotikusan egyenl ek a szabadrészecske-állapotokkal: Bevezetve a következ operátort: e iht ψ ± α e ih 0t Ψ ± α t ± 4 Ωt := e iht e ih 0t 5 az el z összefüggések az alábbi alakba írhatók: Ψ ± α = Ω Φ α, 6

2 és így unitér trafó!: Ψ ± α, Ψ ± β = Φ α, Φ β = δβ α. 7 Bevezethetjük a szórásmátrixot, mint az in- és out-állapotok közötti transzformáció mátrixát: S βα = Ψ β, Ψ + α, 8 ami ekkor Ω-val kifejezhet : S = Ω+ Ω, 9 ahonnan rögtön leolvasható, hogy a szórásmátrix unitér: SβγS βα = δ γα. 0 β Az S-mátrix Poincaré-invarianciája: mivel a szabadrészecske-bázisban van felírva, a megfelel generátorokkal írható fel: 2. Klaszter-elv U 0 Λ, asu Λ, a = S Térszer en szeparált kísérletek nem befolyásolhatják egymást. A következ kben ennek az S-mátrixra vonatkozó következményeit vizsgáljuk: Az S-mátrix el állítása az összefügg S-mátrix segítségével: S αβ = ±S C α,β S C α 2,β 2, 2 Ahol az összegzés az α és β-ban szerepl részecskék összes lehetséges részekre bontására megy. Egy részecske nem tud szórásban részt venni: S qq = δq q. Ezek segítségével már felírható a teljes S-mátrix az összefügg S-mátrixszal. A klaszter-elv pontos megfogalmazása ezek után: ha az S-mátrixot egy Fourier-transzformációval térben lokalizált részecskékkel írjuk fel, és α és β tartalmaz térszer en szeparált részecskéket, akkor S C βα = 0. 3 Az Uτ, τ 0 = e ih 0τ e ihτ τ 0 e ih 0τ formulát lederiváljuk τ szerint: kapunk egy dierenciálegyenletet Uτ, τ 0 -ra. A megoldás hatványsor alakjában: id rendezett exponenciális. Az eredmény S = U+, -re: S=T exp i H tdt =+ n i n n! infty dt... dt n T H t... H t n, 4 infty 2

3 ahol H t a kölcsönhatási Hamilton kölcsönhatási képbeli alakja: H t = e ih 0t H e ih 0t. 5 A szórásmátrix Poincaré-invarianciájához szükséges a kölcsönhatási energia mikrokauzalitását: [H x, H x ] = 0, 6 ha x és x térszer en szeparáltak. 3. Hatáskeresztmetszet számítása az S-mátrixból dσ dp α β dβ = dω dβ dω A nehézség az átmeneti valószín ség meghatározásánál van: ide naivan a megfelel S-mátrixelem abszolútértéke írandó, azonban ekkor fellépne egy δ 2, amit nem tudunk értelmezni. Ezért el ször véges térfogati integrálokra térünk át, majd az S-mátrixból leválasztjuk az egyenesen továbbhaladó részecskékhez tartozó részt, valamint az energia és impulzusmegmaradást biztosító Dirac-deltát: S βα = I 2πiδ 3 p β p α δ T E β E α M βα, 7 így 2π 3 Nα dp α β = S βα 2 dβ, 8 V illetve az el z t ebbe beírva, a véges térfogati delták egyike helyett beírva a megfelel, a deltát el állító integrál 0-beli értékét: 2π dp α β = 2π 2 3 Nα T V 2π M βα 2 δ V p β p α δ T E β E α dβ, 9 Ebbe már visszaírható a négyesdelta. Alkalmazások: bomlási valószín ség dγα β = 2π M αβ 2 δ 4 p β p α dβ 20 Itt az adódó nehézség: bomló részecske esetén nehéz az in-állapotot értelmezni. Hatáskeresztmetszet kétrészecske-szórásnál: Itt dγ, a uxus: Φ V α = uα, ezekkel a V hatáskeresztmetszet: dσα β = dp α β Φ α megmutatható, hogy a relatív sebesség p p 2 u α = 2 m 2 m 2 2, E E 2 illetve tömegközépponti koordinátarendszerben u α = p p 2. E E 2 3 = 2π4 u α M βα 2 δ 4 p β p α 2

4 4. A Wick-tétel és a Feynman-diagrammok A Wick-tétel arra vonatkozik, hogy az S-mátrix S = T exp i H tdt képletét hogyan alakíthatjuk át normálrendezett tagok összegére. Ehhez el ször is: f S i = 0 a f T exp i H tdt a i 0, azaz a kezdeti és a végállapotokat felírjuk a kelt -eltüntet operátorok segítségével. Ha itt az exponenciálist sorbafejtjük, majd az egyes sorfejtési tagokban az id rendezett szorzatokat kommutálással normálrendezettekké alakítjuk, akkor a normálszorzatok járuléka 0 lesz, és csak a kommutátorokból adódó tagok maradnak. A Wick-tétel bozonokra: bevezetünk egy generátorfunkcionált, jx a tetsz leges forrásmez. Erre: T exp i d 4 xj α xϕ α x = : exp exp i d 4 x 2 H tdt : d 4 yj α xj β y 0 T ϕ α xϕ β y 0 22 Ennek a sorfejtésével kapjuk, hogy hogyan kell tetsz leges T-szorzatot átírni normálszorzattá. Az eredmény: propagátorokból álló integrálok: Feynman-gráfjárulékok. A formula fermionokra is hasonló itt ηx Grassmann-változó: T exp i 5. Gráfszabályok d 4 x ηxψx+ ψxηx = : exp i d 4 x ηxψx+ ψxηx : exp d 4 x d 4 y ηy 0 T ψx 2 ψy 0 ηy 23 A Wick-tétellel a T-szorzatokat normálszorzattá tudjuk alakítani. A nemnulla normálszorzatokat le tudjuk rajzolni: ugyanannyi kelt operátor lehet benne, mint eltüntet, különben a járulék 0. Ezek a rajzok: a Feynman-diagrammok. A gráfszabályok a koordinátatérben: kimen részecskeláb: kimen antirészecske: [ap, σ, n, Ψ l x] = [ap, σ, n c, Ψ l x] = 4 2π 3/2 eip x u l p, σ, n 2π 3/2 eip x v l p, σ, n

5 bejöv részecske: [Ψ l x, a p, σ, n] = 2π 3/2 e ipx u l p, σ, n bejöv antirészecske: [Ψ l x, a p, σ, n] = Kölcsönhatási vertex járuléka a csatolási állandó: g i. Bels részecskevonal járuléka a propagátor: 2π 3/2 e ipx v l p, σ, n c 0 T ψ l xψ my 0 = i lm x y Így egy N-vertexes gráfhoz egy g N in N! járulék, és egy F szorzó járul, ahol F a fermionhurkok száma. A gráfszabályokat felírhatjuk az impulzustérben is: kimen részecskeláb: kimen antirészecske: bejöv részecske: bejöv antirészecske: 2π 3/2 u l p, σ, n 2π 3/2 v lp, σ, n c 2π 3/2 u lp, σ, n 2π 3/2 v l p, σ, n c Kölcsönhatási vertex járuléka a csatolási állandó: i2π 4 g i δ be p ki p Bels részecskevonal járuléka a propagátor: i Γ mn q 2π 4 q 2 +m 2 iε és az egész gráfhoz most egy /N! szorzó járul ami a szimmetriák miatt a legtöbbször kiesik. 5

6 6. Funkcionálintegrálok Heisenberg-képben dolgozunk. A kanonikus koordináta sajátállapotaira ekkor teljesül: Q a t q; t = q a q; t, illetve az impulzusra: P a t p; t = p a p; t, ahonnan a kapcsolat a Schrödinger-képbeli koordináta- illetve impulzussajátállapotokkal: q; t = e iht q és p; t = e iht p Ekkor azt kapjuk, hogy q ; t+dt q; t = a dp a 2π exp ezt felintegrálva véges id tartamra: q ; t q; t = dq a τdp a τ exp i τ,a t t ihq, pdt+i a q a q a p a q a τp a τ Hqτ, pτ dτ a Ez a funkcionálintegrál Hamilton-függvénnyel felírt alakja. Az alábbi Gauss-integrálokra a Feynman-szabályok levezetésénél lesz szükségünk: I r,...,r 2n = dx r x r... x rn exp K rs x r x s 2 alakú integrálokra az r I r,...,r 2n = I 0 K r αr β képletet, ahol az összeg az r indexek összes lehetséges párosítására megy, és az r α r β pedig a párosításban szerepl indexeket jelöli. Itt det K I 0 = 2π /2 A pályaintegrálokban az impulzusintegrálás lényegében a nyeregpontmódszer segítségével elvégezhet, ezzel az új alak:... Dqdet A /2 exp i Lq, qdτ, 26 ahol H = 2 nm d 3 xd 3 ya x,n,y,m P n xp m y+ r,s d 3 x n B x,n P n x+cq, és a determinánst a sajátértékek szorzataként értelmezzük végtelen mátrixok esetén így megy. 6

7 7. A Feynman-szabályok levezetése a funkcionálintegrálformalizmusban Operátorok mátrixelemeit a funkcionálintegrál formalizmusban úgy kapjuk meg, hogy a fenti képletben a Hamilton-függvény helyére a H + i εt i O i pt, qt 27 módosított függvényt írjuk, ahol a ε-ok tetsz leges függvények. Ekkor illetve δ q ; t q; t i k δε i t... δε in t n = q, t T Ot... Ot n q; t. 28 A szórásmátrix elemeinek a meghatározásához kell még a vákuum hullámfüggvénye: 0, out q, q, 0, in. Ezekre a hullámfüggvényekre Schrödinger-reprezentációban, azt felhasználva, hogy a vákuumhullámfüggvényt az eltüntet operátor a 0-ba viszi, kapunk dierenciálegyenletet az eltüntet operátort a téroperátorral kifejezve. A kapott egyenlet skalármez esetén: δ d 3 x δφx +Epφx φx, 0, in = 0 29 és hasonlóan az out-vákuum esetén. Ennek a megoldása: { langleφx, 0, in = N exp } d 3 x d 3 yex, yφxφy, 30 2 ahol ahol Ennek felhasználásával Ex, y = 0, in T O t... O n t n 0, out = N 2 2π 3/2 Ep = p 2 +m 2. exp i d 3 pe ipx y Ep, DφDπO... O n { dτ φπ H +iε d x } d 3 yex, ye ε τ φx, τφy, τ 3 7

8 8. A Feynman-diagrammok bevezetése funkcionálintegrálformalizmusban A Lagrange-függvényt felbontjuk egy kvadratikus perturbálatlan és egy perturbáló részre: ekkor az I[φ] = L = L 0 +L, integrált pontos alakját ld. feljebb is sorbafejthetjük: expii = expii 0 Lφ, φ iɛ N=0 i N N! IN, 33 a kiszámolandó I -et a Gauss-integrálok segítségével kaphatjuk. Az I -hatványokból a 28- adik formula segítségével kapjuk a mátrixelemet. Az itteni járulékok: éppen a Feynmandiagrammok járulékai. A propagátor: az L 0 -ban szerepl kvadratikus alak inverze. 9. Feynman-integrál fermionokra A Feynman-integrálás fermionokra hasonlóan vihet végbe, ekkor azonban az impulzus- és koordinátasajátértékeket Grassmann-számoknak kell tekintenünk. Ezekre az integrálás az ú.n. Berezin-integrál segítségével történik: ha fξ,..., ξ N = C 0 + i C i ξ i + +C N ξ... ξ N, akkor dξ i f := C N, 34 ahol i ξ i = ξ N... ξ. i A Feynman-integrálban is a térmennyiségek szerinti integrálokat fermionok esetén Berezinintegráloknak kell tekinteni. A fenti levezetés szinte szó nélkül megismételhet, azonban most a Gauss-integráloknál nem a determináns gyöke, hanem a reciproka jelenik meg. 8