Kondor Gábor. Szindbád és a részbenrendezett háremhölgyek. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. BSc Szakdolgozat.

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudoányegyete Terészettudoányi Kar Kondor Gábor Szindbád és a részbenrendezett hárehölgye BSc Szadolgozat Téavezet : Csiszár Vill adjuntus Valószín ségeléleti és Statisztia Tanszé Budapest, 203

2 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretné öszönetet ondani téavezet ne, Csiszár Vill ne, hogy feleltette érdel déseet a téa iránt, hogy indig bizaloal fordulhatta hozzá, és hogy áldozatos unájával, észrevételeivel és tanácsaival segítette e dolgozat létrejöttét. Ugyancsa öszönö Móri Taásna rendívül hasznos útutatásait, és hogy érdései egválaszolásában indig észségesen segített. Szeretné egöszönni inden tanárona, hogy az elúlt éveben hozzájárulta szaai fejl désehez, továbbá barátaina és szatársaina, aire indig száíthatta. Végül, de ne utolsó sorban hálával tartozo családona, ai indig ellette állta és táogatta. Budapest, 203. ájus 30. Kondor Gábor 2

3 Tartalojegyzé Bevezetés 4. Lineáris rendezés 6.. Szindbád és a hárehölgye Az optiális stratégia Hogyan válasszu a legjobb ireet Ierpáro esete A c-es ire Titárn -probléa iseretlen részbenrendezésen Ha seit se tudun a részbenrendezésr l A axiális elee száa isert Algorituso ipleentálása MATLAB-ban Változato Alalazáso 60 Függelé 63 3

4 Bevezetés "Kérjün eg valait, hogy vegyen annyi papírcetlit, aennyit csa szeretne, és indegyi cetlire írjon egy-egy ülönböz pozitív száot. A száo nagyságrendje egy is hányadától egy googol-ig (0 00 nagyságrend, vagy aár ég ennél nagyobb száig is terjedhet. Ezeet a cetliet írással lefelé fordítjá, és összeeveri egy asztalon. Egyesével felfordítju a cetliet. A cél az, hogy aor álljun eg, aior ahhoz a szához érün, aelyr l úgy gondoljun, hogy az a legnagyobb a sorozatban. Ne léphetün vissza, hogy egy orábban felfordított cetlit válasszun, és ha ár az összes cetlit felfordítottu, aor terészetesen az utolsót ell választanun." ebben a egfogalazásban jelent eg a googol nev játé Martin Gardner [2] Matheatical Gaes cí rovatában a Scientic Aerican 960-as iadásában. Ezzel népszer sítette és elterjesztette ezt a probléát, elyne azóta száos eltér egfogalazása és változata született. A probléaör pontos eredetér l Ferguson [9] Who solved the secretary proble? cí írása ad egy ree átteintést, és ebben is egtalálható a googol probléa iénti egfogalazása. Ezen dolgozat f célja a Szindbád-, valaint a titárn -probléaént elhíresült egfogalazáso néhány változatána élyebb átteintése, és eellett iteintést adun ás variációra és a téaör néhány alalazási lehet ségére is. Az. fejezetben Garrod [3] PhD disszertációja alapján a lineáris rendezés esetével foglalozun. Megfogalazzu a Szindbád-probléát, ajd egy stratégiával, aelyr l és bb belátju, hogy optiális, egadju a sieres választás asziptotius valószín ségét. A 2. fejezetben az el z leg elített irodalo 2. fejezete alapján egfogalazzu ierpárora a titárn -probléát, ajd egadun egy optiális stratégiát, ely esetén eghatározzu a sier asziptotius valószín ségét. Ezután a fejezet hátralév részében a probléa általánosításaént, a c-es ire esetével foglalozun, elyre szintén találun egy optiális stratégiát. A 3. fejezetben issé eltávolodun az eddigiet l, és iseretlen részbenrendezéseet teintün. Els ént Freij és Wästlund [] cie alapján azt az esetet vizsgálju, aior seit se tudun a részbenrendezett halazról, és egutatju, hogy van 4

5 olyan stratégia, aellyel bárely részbenrendezés esetén legalább valószín séggel e tudun iválasztani egy axiális eleet. Ezután Garrod [3] unásságána 3. fejezetét felhasználva olyan részbenrendezett halazoal foglalozun, elyene axiális eleeine száa isert. Megadun egy olyan algoritust, aely, ha csa a axiális elee száát és a részbenrendezés éretét tudju, legalább valószín séggel sieres. Továbbá belátju, hogy bizonyos részbenrendezett halazo esetén e ég ennél is jobb alsó orlátot tudun adni a sier valószín ségére. A 4. fejezetben az.., a 2.. és a 3.2. Szaaszban egadott algorituso eredényességét teszteljü. Az els t lineáris rendezése, a ásodiat ierpáro által alotott részbenrendezett halazo, utóbbit pedig egadott száú diszjunt láncból álló részbenrendezés esetén futtatju, és a sier átlagos valószín ségét vizsgálju. Az 5. fejezetben Garrod [3] PhD disszertációjána.3. Szaasza alapján egelítjü a titárn -probléa néhány érdees változatát, és az ezehez apcsolódó eredényeet. Végül a 6. fejezetben Kuar, Lattanzi, Vassilvitsii és Vattani [20], valaint Babaio, Iorlica, Kepe és Kleinberg [5] unája nyoán itérün a probléaör alalazási lehet ségeire néhány való élet által ihletett feladat apcsán. 5

6 . fejezet Lineáris rendezés.. Szindbád és a hárehölgye A hazai szairodaloban a Szindbád-probléaént isert egfogalazás a legelterjedtebb. Enne vizsgálatához el ször egfogalazzu az alapprobléát.... Feladat. Szindbádna 00 hölgyb l ell választania egyet oly ódon, hogy egyesével elenne el tte (ai ár elent, ne tér vissza, az els hölgyet elengedi, ajd a többie özül iválasztja az addigi legszebbet. Kérdés, hogy hogyan válasszu eg értéét, hogy axializálju a sier valószín ségét, és hogy eora valószín séggel választja i ilyen ódon valóban a legszebb hölgyet...2. Állítás. Az el z leg egfogalazott feladatban n hárehölgy esetén n + O( választással lesz a sier valószín sége axiális, és a sier asziptotius e valószín sége e. Bizonyítás. Legyen A : a legszebbet választja, B : a. hölgyet választja, B 0 : egyiet se választja. Mivel B 0, B +,..., B n teljes eseényrendszer, így P(A P(A B 0 P(B 0 + n + P(A B P(B 0 + n + P(AB. A hölgye lehetséges sorrendjei: Ω 2 3 n n!. Az olyan lehet sége száa, aior a -adi helyen a legszebbet választottu, ( n AB ( 2! (n! (n!, ivel el ször -féleéppen iválasztju a -adi helyre a legszebbet, ezután a fennaradó (n hölgy özül iválaszto, hogy i legyene az els ( helyen. Közülü a legszebb az els hely valaelyiét ell, hogy elfoglalja, a többi ( 2 6

7 hölgy sorrendje viszont tetsz leges lehet. Végül az utolsó (n hölgy sorrendje szintén tetszés szerinti. Eor P(AB AB n! ( n, így P(A n + P(AB n n + n n Tudju, hogy egfelel választása esetén P(A axiális, ezért -re teljesülne az alábbia: n n n n Az (.-es ifejezést tovább alaítva: n n n + n n n + ( n ( +, íg az (.2-es ifejezésb l a övetez t apju: Ezeb l adódi, hogy ( + n + n ( + n + n +... (.. (.2 n + Itt a jobb oldali egyenl tlenséget tovább alaítva apju, hogy n + n x + dx [ ln x + ] n ln n + e n + n e + e n n, 7

8 íg a bal oldali egyenl tlenségb l a övetez adódi: n n x dx [ ln x ] n ln n e n n e n e e + e n. Az eddigieet összegezve azt apju, hogy e n n e e + e n, vagyis a egfelel -re, aely axializálja P(A-t, teljesül, hogy li n n e, valaint a sier valószín sége is ugyanehhez az értéhez onvergál, ivel n ahol a jobb oldali ifejezés határértée li ln n n li ln n n n li e Tehát li P(A li n n n ln ln n, ( e n n e li n ( n n ( ln e + ln n e n e e. ln e + ln. Vagyis a orábban egfogalazott... Feladatnál aor a legnagyobb a sier valószín sége, ha Szindbád a hölgye özül az els 00 e 36-ot elengedi, és azután azt a hárehölgyet választja, ai az összes addigi özül a legszebb, a sier valószín sége pedig e 36,79%..2. Az optiális stratégia Az el z szaaszban eghatároztu a sier valószín ségét, ha az... Feladatban egfogalazott, "elengedjü az els hölgyet, ajd a többie özül az addigi legszebbet választju" ódon járun el. A övetez eben igazolju, hogy ez a stratégia valóban optiális. Legyen [n] {,..., n}. Az optialitás vizsgálatában segítségünre lesz az alábbi tétel, aelyet bizonyítás nélül özlün [7]. 8

9 .2.. Tétel. Legyen A... A n σ-algebrá egy sorozata, és legyen W,..., W n valószín ségi változó egy sorozata, elyre teljesül, hogy W t inden t esetén A t - érhet. Legyen C (At az (A t t [n] -hez tartozó egállási id osztálya, és legyen v sup E(W τ. τ C (At Deniálju egyás után a γ n, γ n,..., γ valószín ségi változóat az alábbi ódon: γ n W n, γ t ax { W t, E ( γ t+ A t }, t n,...,. Legyen τ in { t : W t γ t }. Eor τ C (At, és E(W τ E(γ v E(W τ inden τ C (At esetén. A tétel övetezénye, hogy az a stratégia, aely az els olyan t-nél áll eg, aelyre W t γ t, vagy evivalensen, W t legalább aora, int a γ t+ várható értée A t iseretében, valóban egállási id, és az optiális értéet érjü el vele. Vezessün be néhány új jelölést. Legyen P {s,..., s n } halaz, ahol az s i elee a hárehölgyeet jelöli. Az s jelöli a legszebbet, és inden i < j esetén s i s j, vagyis egy isebb index elene egfelel hárehölgy szebb, int egy nagyobb index eleel jelölt. Legyen Ω S(P a P eleeine perutációina halaza, és legyen π Ω a P eleeine egy véletlenszer sorrendje, ahol π(i jelöli a sorbarendezés i-edi eleét, vagyis az i-ediént érez hárehölgyet. Legyen (P t t [n] valószín ségi változó egy családja, ahol P t jelöli a t id pontig látott hárehölgye által induált (részbenrendezést. Legyen (F t t [n] σ-algebrá egy sorozata, ahol inden F t -t a P,..., P t valószín ségi változó generálna, vagyis F t σ(p,..., P t σ(p t, ahol a ásodi egyenl ség azért igaz, ert P t egy olyan száozott részbenrendezés, aely eghatározza a P,..., P t értéeet is. Ez szeléletesen látszi az.. ábrán is. Az F t σ-algebrára azon inforációént is teinthetün, ait a t id pillanatban tudun arról, hogy hol vagyun éppen az Ω univerzuban. Mivel P t csa véges so 9

10 .. ábra. A π (s 2, s 5, s, s 3, s 4 sorrend esetén a P t ( t 5 induált részbenrendezése. értéet vehet fel, ezért F t -ne egyszer a strutúrája; eleei a P t lehetséges értéeine sépei Ω-ban, és ezene az sépene az uniói. Ezeet az sépeet hívju F t atojaina. Deniálju valószín ségi változó (Z t t [n] családját a övetez éppen: Z t P ( π(t s F t, vagyis Z t anna a valószín sége, hogy a t-ediént érez hárehölgy az abszolút legjobb, anna iseretében, ait eddig tudun. Eor igaz a övetez állítás Állítás. ( A Z t lehetséges nenulla értée t n. (2 A Z t valószín ségi változó függetlene. Bizonyítás. ( Tudju, hogy Z t P ( π(t s F t, így Z t (ω A F t A ato Ha A F t, és A az F t egy atoja, aor ( n t (n t! P(A n! P ( π(t s, A P(A χ A (ω. n! (n t! t! (n t! n! t!, ivel az els t hárehölgyet ( n t -féleéppen választhatju i, és a sorrendjüet egyértel en egadja az A, íg a további (n t hárehölgy sorrendje tetsz leges. Továbbá P ( π(t s, A ( n t (n t!, ha π(t ax{π(,..., π(t}, n! n (t! 0 egyébént. Az egyenl ség azért áll fenn, ert az összes lehetséges sorrend száa n!, valaint, ha π(t a legjobb az els t ele özött, aor a edvez esete száát úgy apju, hogy 0

11 a t-edi helyre egyértel en iválasztju a legszebb hárehölgyet, ezután a további (n özül iválasztju, hogy elyi (t hölgy erül az els (t helyre. Az sorrendjüet egyértel en eghatározza az A, íg a többi (n t hárehölgy sorrendje tetsz leges. Ha pedig π(t ne a legjobb az els t ele özött, aor a sier valószín sége egyértel en 0, ivel ha a t-ediént érez hölgy ne a legszebb az els t hölgy özött, aor ne lehet abszolút legszebb se. Így P ( π(t s, A P(A n (t! t! t n aib l övetezi, hogy t, ha π(t ax{π(,..., π(t}, n Z t (ω 0 egyébént. (2 Felhasználva az el z eredényt, tudju, hogy Z t értée csa étféle lehet, 0 vagy t. Minden i n esetén legyen A n i az az eseény, iszerint Z i i. n El ször a páronénti függetlenséget bizonyítju. Eor elegend azt belátnun, hogy az A i - függetlene, ugyanis ha A i és A j (i < j független, aor A i és A j, A i és A j, valaint A i és A j is függetlene. Egyszer en adódi, hogy P(A i P(az els i hárehölgy özött az i-edi a legszebb i. Továbbá P(A i A j (j i (i! (j i! j! i j, ivel egy olyan sorrendet, aelynél az els i hárehölgy özül az i-edi, az els j özül pedig a j-edi a legszebb, úgy tudun egonstruálni, hogy a j-edi helyre iválasztju a legszebbet, ajd a fennaradó (j hölgy özül iválasztju az els i helyre erül t, ai özül a legszebbne ell az i-edi helyen lennie, ezután az els (i helyen, illetve az i-edi és j-edi hárehölgy özötti (j i hölgy sorrendje tetsz leges. Így P(A i A j i j P(A ip(a j. Hasonló ódon láthatju be az A,..., A j, ( <... < j n, j 2 eseénye függetlenségét. Eor hasonló gondolatenet alapján, int a páronénti

12 függetlenségnél, P(A... A j j ( i i2 i j i2 ( i i! (! j! ( j ( i! i2 ( i! ( i i! i i! (! j i ( i! j i i! j i j! i P(A... P(A j. Vezessü be a δ n, δ n,..., δ valószín ségi változóat a övetez éppen: δ n Z n, δ t ax { Z t, E ( δ t+ F t }, t n,...,. Eor az.2.. Tétel felhasználásával, ha Z t -ne egfeleltetjü a W t valószín ségi változót, F t -ne az A t σ-algebrát és δ t -ne a γ t valószín ségi változót, aor adódi, hogy a egfogalazott stratégia valóban optiális. El ször vegyü észre, hogy ivel a Z t valószín ségi változó függetlene, ezért Z,..., Z t ne ad seilyen inforációt Z t+,..., Z n értéér l, és így E ( δ t+ F t az Ft összes atoján onstans, és egyenl E(δ t+ -vel. Ezután deniálju a v : [n] R, v(t E(δ t függvényt. Figyeljü eg, hogy az.2.. Tétel öveteztében az a egállási id, aely egáll az els olyan t-nél, aelyre Z t optiális. Deníciója iatt v(t E ( ax{z t, v(t + } v(t +, E ( δ t+ F t v(t + teljesül, így v(t onoton csöen függvény, íg ezzel szeben t n, a Z t lehetséges nenulla értée, t-ne egy szigorúan onoton növev függvénye. Így létezi egy olyan, elyre t < v(t +, ha t, és n t v(t +, ha t >, n tehát az "elengedjü az els hölgyet, ajd a többie özül az addigi legszebbet választju" stratégia valóban optiális. 2

13 2. fejezet Hogyan válasszu a legjobb ireet 2.. Ierpáro esete Több, ülönböz ódon egfogalazott ateatiai probléána is a részbenrendezett halazon történ axiális ele iválasztása áll a özéppontjában. A további fejezeteben a feladatna a "titárn -probléa"-ént isert foráját, illetve enne néhány változatát vizsgálju. Az alapprobléa így szól: 2... Feladat. Egy titárn i állásra n jelentez t interjúvolun eg egyás után. Minden egyes interjú után el ell döntenün, hogy alalazzu-e vagy se az adott jelentez t. Ha alalazzu, aor a folyaat egáll, ha pedig elutasítju, aor a övetez jelentez vel folytatju. A folyaat özben inden id pillanatban iserjü a ár eginterjúvolt jelentez sorrendjét. Mindegyiü összehasonlítható, azonban a épességeiet seilyen ás ódon ne tudju érni. A cél a legjobb jelentez iválasztása, bárely ási választás udarcna in sül. Ebben a szaaszban egypetéj ierpár által alotott részbenrendezett halazt vizsgálun, aelyre úgy is teinthetün, intha a orábban egfogalazott titárn -probléa esetén inden ele pontosan étszer fordulna el. El ször expliciten deniálju az ierpárból álló részbenrendezett halazt, a továbbiaban pedig erre hivatozun. Teintsün egy halazt, aely ét láncból áll. Jelölje a ét láncot U {u,..., u } és V {v,..., v }, ahol u és v a axiális elee. Minden i-re i esetén teljesül, hogy u i és v i ne összehasonlíthatóa. Továbbá egy isebb index ele jobb, int egy nagyobb index ele, vagyis u i v j, ha i > j, és v j u i ha i < j. Az u i és v i eleere az i-edi szinten lév iertestvéreént hivatozun. Enne az (U V, részbenrendezett halazna a Hasse-diagraját 4 esetén a 2.. 3

14 ábra szelélteti. Tegyü fel, hogy az U V halaz eleeit egyás után, egyenént 2.. ábra. Az (U V, részbenrendezés 4 esetén. vesszü gyelebe egy véletlenszer π perutáció szerinti sorrenben, ahol az U V halaz (2! lehetséges perutációja özül indegyi azonos valószín séggel fordul el. Minden t id re t 2 esetén a {π(, π(2,..., π(t} halaz által induált részbenrendezést teintjü. Például tegyü fel, hogy adott a övetez perutáció 5 esetén: π (u 3, v 2, u, v 3, u 5, v, u 4, v 5, v 4, u 2 Eor a π által a t 6 id pontig induált részbenrendezéseet a 2.2. ábra szelélteti ábra. A π (u 3, v 2, u, v 3, u 5, v, u 4, v 5, v 4, u 2 sorrend esetén a P t ( t 6 induált részbenrendezése. A cél, hogy úgy válasszun i egy atuálisan gyelebe vett eleet, hogy axializálju anna a valószín ségét, hogy ez az ele u vagy v, vagyis a ét axiális ele egyie. Tehát egy olyan τ egállási id t eresün, aelyre P ( π(τ {u, v } axiális. A τ optiális egállási id csais π-t l függ. A t id pillanatban a döntés izárólag csa a t id pontig induált részbenrendezéset l és az eleei egjelenési 4

15 sorrendjét l függ. Például, ha a egállási id azt ondja, hogy a fenti 2.2. ábrában vett perutáció haradi eleénél álljun eg, aor ezt a egállási id t használva t 3 id pontban ell egállnun U V bárely olyan perutációja esetén, ahol az els háro ele indexeine sorozata szigorú onoton csöen. Az optiális egállási id egadásához el ször deniálju reurzívan a övetez egállási id et: { τ i in t > τ i : π(t ax{π(, π(2,..., π(t}, és } {π(, π(2,..., π(t } tartalazza π(t iertestvérét azzal a feltétellel, hogy τ 0 iniuát vesszü, üres, aor τ j 0, és hogyha valaely j-re a halaz, aelyne a száát, ahonnan az ierpáro érezhetne. Legyen továbbá { } in : 2 + j 5, és legyen 2, ahol jelöli azon ülönböz szinte τ in { τ i : a π(,..., π(τ i elee által elfoglalt szinte száa legalább }. Eor igaz a övetez tétel Tétel. A τ egállási id optiális. Bizonyítás. Világos, hogy nincs értele egállnun, ha az éppen eggyelt ele ne axiális az eddig az id pontig érez elee özött. Továbbá, ha ég ne láttu az iertestvérét, aor egéri folytatnun, ivel ha az adott ele az els szintr l való, aor aíg egérezi az iertestvére, további, alacsonyabb szint eleeet láthatun, így ég biztosabba lehetün abban, hogy az adott ele tényleg az els szintr l való; ha pedig az adott ele ne az els szintr l való, aor van néi esélyün ezt ideríteni, ha az iertestvére el tt érezi egy agasabb szint ele. Így, ha axializálni aarju a P ( π(τ {u, v } valószín séget, aor szüséges, hogy olyan τ egállási id et vizsgáljun, elye értée egegyezi valaely τ i értéel. A bizonyítás folytatása el tt az.2. Szaaszhoz hasonlóan egadun néhány jelölést. Legyen Ω az U V eleeine perutációina halaza. Legyen továbbá [n] {,..., n}, és legyen (P t t [n] valószín ségi változó egy családja, ahol P t jelöli a t id pontban látott részbenrendezést. Legyen (F t t [n] σ-algebrá egy sorozata, ahol inden F t -t a P,..., P t valószín ségi változó generálna, vagyis j F t σ(p,..., P t σ(p t. 5

16 Deniálju valószín ségi változó (Z t t [n] családját a övetez éppen: Z t P ( π(t {u, v } F t. Továbbá inden t [n] esetén vezessü be az L t a π(t ele szintje valószín ségi változóat, így Z t P ( L t F t alaban is felírható, ivel az L t eset pont anna felel eg, hogy a π(t ele az els szintr l való, vagyis axiális. A bizonyításhoz felhasználju a övetez tételt [7] Tétel. Legyen A A 2... σ-algebrá egy sorozata, és legyen W, W 2,... valószín ségi változó egy sorozata, elyre teljesül, hogy W t inden t esetén A t - érhet. Legyen C (At az (A t t N -hez tartozó egállási id osztálya. Minden t N esetén legyen és tegyü fel, hogy A t {E ( W t+ A t Wt }, A A 2... és A t Ω. (2. t Legyen { τ in t : W t E ( } W t+ A t. Tegyü fel, hogy P(τ < és E(W τ létezi, továbbá azt, hogy li inf W t 0. t Eor {τ >t} E(W τ E(W τ τ C (At. Ezt a tételt ne bizonyítju. Megjegyezzü, hogy ha (2. fennáll, aor a (W t, A t t N folyaatot onotonna hívju. 6

17 Vegyü észre, hogy ha τ i 2, aor { τ i+ in t > 2 : π(t ax{π(, π(2,..., π(t}, és {π(, π(2,..., π(t } tartalazza π(t iertestvérét }, ahol t 2 iatt a iniuot egy üres halazon vesszü, így τ i+ 2. Eor a P(τ < feltétel triviálisan teljesül. Ugyanaor, ivel Z t orlátos valószín ségi változó, E(Z τ biztosan létezi. Továbbá li inf Z t dp li inf dp li inf t t t {τ>t} {τ>t} P(τ > t 0, ahol az utolsó egyenl ségnél felhasználtu, hogy τ véges. A f célun a továbbiaban, hogy belássu, hogy a (Z τi, F τi i N folyaat onoton, így alalazhatju az el z tételt. El ször egjegyezzü, hogy ha τ i 2, aor E ( Z τi+ F τi Zτi, ivel τ i+ ugyancsa egyenl 2-el. Így csa azoat az i-et szüséges egvizsgálnun, elyere τ i < 2. A szaasz hátralév részében tegyü fel, hogy π(τ i egy axiális ele a {π(,..., π(τ i } halazban, aelyne ár láttu az iertestvérét, és vanna olyan elee, aelyeet ég ne láttun. A folytatáshoz szüségün van a sier valószín ségére a τ egállási id esetén. Aior τ -et használju, egállun az els olyan lehet ségnél, aior eglátju egy ár orábban szerepl ele iertestvérét, ai axiális az adott id pillanatban. Jelöljü ezt a valószín séget P (-el. A sier valószín ségét a övetez lea fogalazza eg: Lea. A τ egállási id esetén Bizonyítás. Vegyü észre, hogy P ( P ( L τ L, ivel π(τ csa aor lehet axiális a τ id ben, ha a szintje legfeljebb L. Továbbá l szerinti inducióval belátju, hogy P ( L τ L l 2 3 l 2. (2.2 Ha l 2, aor az egyenl ség teljesül, ivel a 2. szintr l való ásodi iertestvér és a ét iertestvér az. szintr l véletlenszer sorrendben jönne, így aor és csa aor nyerhetün, ha ezen háro ele özül valaely. szintr l valót látju eg el ször. 7

18 Tegyü fel, hogy valaely l > 2 esetén (2.2 teljesül, és lássu be az egyenl séget (l + -re. Legyen τ az a legorábbi id pont, aelyre a τ id pontban érez ele szintje legfeljebb L l +. Elegend ezzel az esettel foglaloznun, ivel azo az elee, aelyene szintje L -nél nagyobb, nincsene hatással a sieres választásra. Ha < L τ < l +, aor ugyanaz a helyzet áll fenn, intha az els választott ele a π(τ lett volna, és az induciós feltevés öveteztében P ( L τ {L l + } { < L τ < l + } 2 3. Egyébént pedig aor és csa aor nyerhetün, ha az. szinten lév ét iertestvér valaelyiét haarabb látju eg, int a ásodi iertestvért az (l + -edi szintr l. Mivel háran véletlenszer sorrendben jönne, így P ( L τ {L l + } { < L τ < l + } c 2 3. Tehát bárelyi esetben a sier valószín sége 2. Így adódi, hogy 3 P ( P(L τ P ( L τ L l P(L l l P ( L τ L l ( + 23 ( l 2 + 3, aivel bizonyítottu a leát. A övetez obinatoriai azonosság hasznos lesz a és bbieben Lea. Minden esetén ( j j j ( Bizonyítás. A bizonyítás során egutatju, hogy indét oldal egegyezi a lasszius titárn -probléa esetén a sier valószín ségével. Eor az elee özött lineáris rendezés van, és a övetez stratégiát használju: "utasítsu el az els eleet, és utána fogadju el az els olyat, aelyi axiális az eddig eggyelte özött". Legyen W az az eseény, hogy a legjobb jelentez t választju. Eor j j. - a bal oldal: Legyen 0 j esetén B j az az eseény, hogy az els eggyelt ele özül a legjobb a (j+-edi szintr l való. Ez azt jelenti, hogy a többi ( eggyelt ele száára (j + j szint arad. Vegyü észre, hogy B 0,..., B teljes eseényrendszer, ivel bárilyen j + esetén a többi ( ele száára legfeljebb ( +2 2 szint aradna, ai pedig 8

19 ne lehetséges. Ha tudju, hogy az els eggyelt ele özül a legjobb szintje (j +, aor csa aor nyerhetün, ha a legjobb j szintr l a axiális eleet láto eg els ént, így P(W B j, ivel az elee véletlenszer sorrendben j jönne. Így felhasználva a teljes valószín ség tételét és azt, hogy P(W B 0 0 P(W j j P(W B j P(B j j ( j adódi, ahol P(B j iszáolásánál az összes eset száa (, ivel az összes lehetséges ele özül tetsz legesen ennyiféleéppen tudo -t iválasztani, a edvez esete száánál pedig el ször -féleéppen iválaszto a (j + -edi szint eleet, utána pedig a nála rosszabb ( j szint özül ell iválasztano ( eleet. ( - a jobb oldal: 0 j esetén legyen D j az az eseény, hogy a (j + - ediént eggyelt ele axiális a láncban. Eor P(W ( j0 P(W D j P(D j (2 (3 j j P(W D j P(D j j, ahol (-nél azt használtu fel, hogy D 0,..., D teljes eseényrendszer, (2-nél azt, hogy ha a axiális ele az els özött van, aor biztosan ne nyerün, azaz P(W D j 0, a (3-as átalaításnál pedig azt, hogy anna a valószín sége, hogy egy (j + -ediént eggyelt ele axiális, azonosan bárely j esetén, továbbá P(W D j, ivel az els j eggyelt ele özül a axiális azonos j valószín séggel fordulhat el bárely pozícióban, így anna a valószín sége, hogy az els özött van, pontosan. Ezzel bizonyítottu a leát. j Továbbá szüségün van a övetez állításra is: Állítás. n + j ( n j ( n. 9

20 Bizonyítás. Legyen n. Eor ( ( ( [( ( ] ( n n n n 2 n 2 n [( ( ] ( ( ( + n 2 n ( ( ( ( n + n 2 n ( n j , ahol felhasználtu az ( ( r ( r + r azonosságot. Jelölje N (i azt az eseényt, hogy a τ i id pontban a π(, π(2,..., π(τ i elee által elfoglalt szinte száa. Megjegyezzü, hogy N (i F τi. A övetez ét lea segítségünre lesz a onotonitás vizsgálatában. j Lea. Minden ω N (i esetén Z τi (ω. Bizonyítás. A ülönböz szinter l való elee azonos valószín séggel jelenhetne eg bárely pocízióban a véletlen sorrendben. Ha ω N (i, aor az utolsó eg- gyelt ele az eddigi egyi legjobb, valaint láttu az iertestvérét, és az utolsó eleel bezárólag szintet gyeltün eg. Az ilyen esete száa ( ( l l0 ( 2 ( + l! ( 2 l0 ( ( + l!, l ivel ( -féleéppen választhato i, hogy az összesen szint özül elyer l látta eleeet, ezután -féleéppen iválaszto a özülü axiális szintr l indét eleet, ajd a többi ( szint özül iválaszto azt az l-et, aelyr l indét eleet látta. Az összes lehetséges sorrend eghatározásához pedig eldöntö, hogy a iválasztott eleeb l a legjobb 2 özül elyi erüljön a τ i -edi helyre, a többi ( + l ele sorrendje pedig tetsz leges lehet. Azona az esetene a száa, ahol ω N (i, és a τ i -edi ele az abszolút legjobb l0 ( ( l ( 2 ( + l! ( 2 l0 ( ( + l!, l ahol hasonlóan száolhatju össze az eseteet, int az összes esetszá eghatározásánál, azzal az eltéréssel, hogy -féleéppen iválaszto az lehetséges szint 20

21 özül a legjobbat, és a fennaradó ( szint özül ell iválasztano a további ( szintet. Így adódi, hogy ha ω N (i, aor Z τi (ω N (i { π(τ i {u, v } } ( N (i 2 ( 2 l0 ( l0 l ( l ( + l! ( + l! (!!! (! Lea. Minden ω N (i esetén E ( ( 2 Z τi+ F τi (ω j 2. j Bizonyítás. A bizonyítás során felhasználju, hogy inden A F τi E ( Z τi+ F τi Z τi+, A A esetén valaint, ivel F τi inden atoján, így véges, és így a E ( Z τi+ F τi valószín ségi változó onstans Fτi E ( Z τi+ F τi (ω Z A τ i+ P(A, ahol az A az F τi -ne azon atoja, aely az ω-t tartalazza. Továbbá felhasználju, hogy deníció szerint egy S eseény feltételes valószín sége az F τi σ-algebrára nézve P (S F τi E ( (S F τi. Legyen E E ( Z τi+ F τi, A ahol az A az F τi -ne azon atoja, aely az ω-t tartalazza. Eor elegend azt egutatni, hogy E ( ( j 2 P(A. j Tudju, hogy ω N (i, vagyis az els τ i eggyelt ele által elfoglalt szinte száa, így L τi +, ahol a fels orlátot aor apju, ha az els τ i 2

22 ele a legrosszabb szintr l való. Eor E Z τi+ P ( L τi+ F τi E ( (L τi+ F τi A A A (L τi+ P ( {L τi+ } A A P ( {L τi+ } {L τi j + } A j j P ( L τi+ {L τi j + } A P ( L τi j + A P(A, ahol felhasználtu, hogy j 0 esetén P ( {L τi+ } {L τi j + } A 0, ert az ne fordulhat el, hogy a τ i -edi és a τ i+ -edi ele szintje is. Mivel anna a valószín sége, hogy a τ i+ id pontban a legjobb szintr l apun egy eleet ne függ a szintene a τ i id ig ialauló intájától, a szorzat els tagja egyenl a sier valószín ségével, aior j ierpár özül szeretnén az egyi legjobb iertestvért iválasztani a τ egállási id szerint, ai pontosan Továbbá P (j 2j +. 3j P ( L τi j + A ( j (, ivel A csa egy bizonyos intát ad eg, ahogyan a választott szintr l rendezzü az eleeet, ezért a edvez esete eghatározásánál -féleéppen iválasztju a (j + -edi szintet, utána a t le alacsonyabb ( j szintr l ell iválasztano ( -et, az összes eset száát pedig az adja eg, ahogyan szint özül -t tetsz legesen iválaszthato. Eze övetezényeéppen adódi, hogy ( ( j 2j + E ( 3j P(A j ( ( j ( j E j 2 3 ( + j 3j ( és a Lea, valaint a Állítás felhasználásával ( ( ( 2 j 3 ( 2 ( + 3 j j ( ( j 2 j j ( P(A, P(A P(A j P(A. 22

23 Így teljes a lea bizonyítása. Legyen A i {E ( } Z τi+ F τi Zτi az az eseény, aely szerint a τ i id ben ínálozó izetés legalább aora, int a τ i+ id ben ínálozó izetés feltételes várható értée Lea. Minden ω N (i esetén ω A i aor és csa aor, ha 2 + j 5. j Bizonyítás. Legyen ω N (i. Eor a Lea és a Lea öveteztében ω A i aor és csa aor, ha ( j 2 E ( Z τi+ F τi (ω Zτi (ω. j Ebb l 3 -val való szorzás után adódi, hogy 2 + j j + j 5. j Most ár be tudju fejezni a bizonyítást. Elegend azt egutatnun, hogy a (Z τi, F τi i N folyaat onoton, vagyis azt, hogy A i A i+ inden i esetén. Eor ugyanis a Tétel értelében a τ egállási id optiális. Legyen ω A i, és a τ i id ben ár eggyelt szinte száa legyen, így ω N (i. Eor a Lea öveteztében fennáll a övetez egyenl tlenség: 2 + j 5. j A τ i+ id pillanatban legalább annyi szintet láttun, int a τ i id pillanatban, és ivel növeedésével az egyenl tlenség bal oldala csa csöenhet, így ω A i+. Ebb l övetezi, hogy A i A i+ teljesül, és ivel τ i 2 esetén E ( Z τi+ F τi Z τi, ezért biztosan van olyan A i eseény, aely beövetezi, tehát i A τ i Ω valóban fennáll, így a tétel bizonyítása teljes. Most, hogy bebizonyítottu, hogy τ optiális egállási id, felerül a érdés, hogy ezt használva ennyi a sier valószín sége. Ezt fogalazza eg a övetez tétel. 23

24 2..0. Tétel. Ha az optiális τ egállási id t használju, aor a sier valószín sége [ ( P(L τ s0 s r ( ] 2( + r 3. 2( + r + j j Bizonyítás. A π S(Ω perutáció esetén legyen { } τ π in t : a π(, π(2,..., π(t elee pontosan szintet foglalna el. Legyen továbbá { M a π(, π(2,..., π(τ π részbenrendezésne } pontosan egy axiális elee van és M 2 { a π(, π(2,..., π(τ π részbenrendezésne pontosan ét axiális elee van }. A bizonyításhoz felhasználju a Állítást, aelyb l n és választással + j ( j 2 (, (2.3 íg n és választással j ( j ( (2.4 adódi. Továbbá szüségün van a övetez obinatoriai azonosságra is Állítás. + j j ( j 2 (. 24

25 Bizonyítás. n s ( n j j s j ( ( ( n n 2 s (n s + (n s s s s ( ( ( ( s s + n 2 n s s s s ( ( ( s s + n s s s ( ( s s s s ( s + s n s ( n s n j ( n j 2 ( s + 2 j s s s j j j ( ( ( ( n n s + 2 s s + s + s + s + n s+ ( ( n + j n +, s + s + 2 j ( s s ( s + s + ahol felhasználtu a Állítást, iszerint n + ( n j ( j n. Eor n és s 2 választással pont a bizonyítandó éplet adódi. A bizonyítást a övetez lea belátásával folytatju: Lea. P(M s0 s r 2( + r 2( + r +. Bizonyítás. Ezen lea bizonyítása során a szinteet olyan sorrendben száozzu, ahogy észleltü et (, 2,...,, ne pedig a részbenrendezésbeli pozícióju alapján. Néhány ele ugyanarról a szintr l érezi, int valaely orábbi ele, úgyhogy egy vagy ét eleet gyelün eg ezen szint indegyiér l. Legyen τ π (j az a legisebb t, aelyre a π(, π(2,..., π(t elee pontosan j szintet foglalna el. Speciálisan τ π τ π (. Legyen továbbá i j esetén B i (j az az eseény, hogy a π(, π(2,..., π ( τ π (j elee özül pontosan egy való az i-ediént eggyelt szintr l, vagyis az, hogy az els pillanatban, aior ár pontosan j szintet észleltün, pontosan egy eleet láttun az i-edi szintr l. Megjegyezzü, hogy P ( B i (i inden i-re, ivel az els pillanatban, aior ár i 25

26 szintet észleltün, i-edi szint eleb l ég biztosan csa egyet láttun. Továbbá vegyü észre, hogy B i (i B i (i+... B i (, ivel bárely ω B i (j +-re teljesül, hogy a τ π (j + id pillanatban az i-edi észlelt szintr l ég csa egy eleet láttun, és ez biztosan teljesül a τ π (j id ben is, tehát B i (j B i (j + inden j-re. Így P ( B i ( P ( B i (i B i (i +... B i ( B i ( P ( B i ( B i (i... B i ( P ( B i (i B i (i +... B i ( P ( B i ( B i ( P ( B i (i B i (i +... B i (... P ( B i (i P ( B i (i + B i (i... P ( B i ( B i (. A P ( B i (j + B i (j valószín séget önnyedén eghatározhatju. Tegyü fel, hogy a τ π (j id pontnál vagyun, j szintr l gyeltün ár eg eleeet, és özülü pontosan egyet az i-ediént észlelt szintr l láttun. Eor 2( j ele van olyan szinteen, aelyeet ég ne észleltün, és a B i (j+-hez azt öveteljü eg, hogy eze özül valaelyiet haarabb lássu, int a ásodi eleet az i-ediént észlelt szintr l. Ez a ((2( j + ele véletlenszer sorrendben jön, így a szietria iatt Így P ( B i (j + B i (j 2( j 2( j +. P ( B i ( P ( B i (i P ( B i (i + B i (i... P ( B i ( B i ( i r ji 2( j 2( j + 2( + r 2( + r +. Legyen j esetén C j i az az eseény, hogy az i-ediént észlelt szint a j-edi legjobb az els eggyelt szint özött. Eor C j i B i( a B i ( egy részhalaza, és P ( C j i B i( P ( B i (, ivel bárely C j i B i( -beli esetne egyértel en egfeleltethet egy C i B i ( -beli (j eset úgy, hogy a eggyelt szint özül a j-edi és -adi legjobba eleeine indexeit felcseréljü. Erre utat egy példát i 4 és 6 esetén a övetez : u 5 v 7 u 5 u 8 u 3 v 0 u 0 u 9 C 4 B 4 (6 u 5 v 7 u 5 u 8 u 9 v 0 u 0 u 3 C 5 4 B 4 (6 26

27 A egfeleltetés ölcsönösen egyértel, így C i B i ( C 2 i B i (... C i B i (. Mivel ilyen partíció van, ezért valóban P ( C j i B i( P ( B i (. Legyen D i az az eseény, aior B i ( és Ci egyszerre fennáll, vagyis, hogy a τ π id pontig pontosan egy eleet láttun az i-ediént észlelt szintr l, és ez az eddig eggyelt legjobb ele. Eor P(D i P ( B i ( C i P ( B i ( i 2( + r 2( + r +. Végül vegyü észre, hogy M a D i eseénye diszjunt uniója, így r P(M P(D + P(D P(D i s0 i r s r 2( + r 2( + r + 2( + r 2( + r +, így bizonyítottu a leát. Minden 2 j + 2 esetén M j legyen M -ne az a részesete, ahol π(, π(2,..., π(τ π egy ásodi legjobb elee a j-edi szintr l való. Eze az alesete egadjá az M egy partícióját, ivel a τ π id ig el forduló szinte özül a ásodi legjobb legalább a 2. és legfeljebb az ( + 2-edi szint. El bbi aor fordulhat el, ha a τ π -ig észlelt szinte valaelyie az abszolút legjobb, utóbbi pedig aor, ha az els τ π eggyelt ele által elfoglalt szinte az összes özül az utolsó szint. Eor P(M j M ( j 2 (j (, ivel a edvez esete és az összes eset száolásánál is, ha tudju, hogy elyi szintr l választun eleeet, aor arra ell gyelnün, hogy a iválasztott elee halazában csa egy axiális ele legyen, és hogy a π(τ π -ne választott elene az iertestvérét ne válasszu, és ivel ez a rész indét esetszáolásnál azonos, ezért egyszer síthetün vele. Az egyetlen ülönbség tehát csa a szinte iválasztásában van, aelyre az összes eset eghatározásánál nincs iötés, íg a edvez esetenél el ször -féleéppen iválasztju a j-edi szintet, ezután a nála jobb (j 27

28 szintr l iválasztju a legjobb eggyelt szintet, a további ( 2 szintet pedig tetsz legesen választhatju a j-nél rosszabb, ( j szintr l. Így P(M j P(M j M P(M ( j 2 (j ( P(M. Hasonlóan, ha inden j + esetén M2-t j úgy deniálju, int az M 2 -ne az a részesete, ahol a π(, π(2,..., π(τ π halaz axiális eleei a j-edi szintr l valóa, aor eze a részesete egadjá az M 2 egy partícióját, és P(M j 2 P(M j 2 M 2 P(M 2 ( j ( ( P(M. Ha M j 2 adott, aor a sier valószín sége a τ egállási id esetén, aely azt ondja, hogy álljun eg a övetez τ i -nél, pontosan 2(j +, vagyis egyenl a 3(j sier valószín ségével a τ egállási id használatával azon a részbenrendezett halazon, aely a j-edi szint feletti (j ierpárból áll. Hasonlóan, ha M j adott, aor a τ egállási id vel a sier valószín sége 2(j +, vagyis egyenl a sier valószín ségével, ha a τ egállási id t használju azon a részbenrendezésen, aely 3(j az eddig észlelt ásodi legjobb, j szint elet l jobb (j ierpárból áll, és ahol az eddig egapott axiális elere úgy teintün, int az els véletlenszer elere, ait eggyeltün a reduált részbenrendezett halazban. A övetez ifejezésben a ásodi szuában a j esetén adódó tag elt ni, ivel M 2 esetén nincs esélyün arra, hogy egy axiális elenél álljun eg. Eor P(L τ +2 j2 +2 j2 + P ( L π(τ M j 2(j + 3(j + j2 2(j + 3(j + P(M j + j ( j 2 (j ( P(M + ( j ahol indét szuát átindexelve adódi, hogy + P(L τ P(M P(M j + j 2j + 3 2j 3 + ( P(M j ( j 2 ( ( P(M, P ( L π(τ M j 2 ( + ( P(M ( j 2 + j + ( j 3 j 2 ( ( j + j ( j 3j 2j + 3j (. P(M j 2 ( j ( 28

29 Ebb l a (2.3-as és a (2.4-es obinatoriai azonosság, valaint a 2... Állítás és a Lea felhasználásával adódi, hogy P(L τ ( 2 P(M 3 + ( 3 ( + ( P(M ( 2 ( j j ( ( 2 P(M ( P(M ( 2( j j ( P(M ( P(M ( ( P(M [ 3 ( ( P(M ( 3 j j j j ], j j ahol P(M helyére behelyettesítve a Leában szerepl forulát, a ívánt ifejezést apju Megjegyzés. A deníciójána öveteztében önnyedén egutathatju, hogy bárely esetén ugyanis, ha 2, aor 2, 2 + j 2 j + ( indig teljesül. Így értéét elegend az 2 -nél isebb vagy egyenl egésze özött eresni. Nézzün egy példát az eddigi eredényere. Legyen 7. Eor 7 4, ivel 4-re , és 3-ra ár a fordított irányú egyenl tlenség teljesül, azaz > 5. 29

30 A sier valószín sége pedig P(L τ 2 [ ,7939. ( ( ( 3 37 ] A övetez tétele iondjá a üszöbszá asziptotius viseledését, és a sier valószín ségéne határértéét, aint. Mivel itt az változi, így az ierpárból álló részbenrendezéshez tartozó egállási id t jelöljü τ ( -el. Továbbá jelölje x 0 a 2x + ln x 5 egyenlet egoldását, így x 0 2, Tétel. A üszöbszára inde N esetén teljesül, hogy továbbá enne öveteztében x 0 < < x 0 + 2, li 0,4709. x 0 Bizonyítás. A deníciója alapján -re teljesül a övetez egyenl tlenség: j > 2 + j x dx 2 ( + ln. Mivel 2x 0 + ln x 0 5, és a 2x + ln x szigorúan onoton növev függvény, ezért < x 0 x 0 <. Másrészr l ( -re ne teljesül a feltétel, így a övetez adódi: 5 < 2 + és ennélfogva j j < 2 ( + ln < 2 ( ln, 2 2 > x 0 < x A határérté pedig a Rend r-elv öveteztében adódi, ivel ahol li 2 x 0 < < x 0 + 2, 0 iatt övetezi, hogy li. x 0 A sier asziptotius valószín ségét a övetez tétel fogalazza eg, aelyet itt ne bizonyítun [3]. 30

31 2..5. Tétel. Aior a τ ( optiális egállási id t használju, aor a sier valószín ségére teljesül, hogy li P(L τ + 4(x 0 2 ( x 0 3x 0 ( ( x0 2 0,7680. x 0 Tehát azt aptu, hogy a titárn -probléa önnyebb az ierpáro esetén, int a lineáris rendezésre egfogalazott, eredeti változat, ahol a sier valószín sége nagy -e esetén is Ez els re eglep ne t nhet, ert azt gondolhatnán, e hogy ivel evesebb összehasonlítás lehetséges, ezért evesebb inforáción is van. Azonban a helyzet az, hogy ha összehasonlítun ét jelentez t, aor itt háro lehetséges ienetel van ett helyett, ai több inforációval szolgál. Továbbá, ha úgy teintün az ierpárora, hogy inden jelentez esetén ét lehet ségün van, aor intuitíven is gondolhatju, hogy ez a változat önnyebb, ait igazoltun is A c-es ire Ebben a szaaszban az el z ben egfogalazott, ierpár által alotott részbenrendezést általánosítju. Teintsün egy halazt, aely c láncból áll. Jelölje a láncoat i c esetén U i {u i,..., u i }, ahol u i a axiális ele. Eor a részbenrendezett halaz el áll úgy, int U... U c, ahol egy rögzített j esetén az u j i-, vagyis az azonos szinten lév elee ne összehasonlíthatóa, és inden i, j, i 2, j 2 esetén Legyen τ (c i in u j i u j 2 i2 aor és csa aor, ha j > j 2. { t > τ (c i : π(t ax { π(, π(2,..., π(t }, és { π(, π(2,..., π(t } tartalazza π(t összes iertestvérét }, azzal a feltétellel, hogy τ (c 0 0, és hogyha a halaz, aelyne a iniuát vesszü, üres, aor a iniu c-el egyenl. A τ (c az a egállási id, aely az els olyan elenél áll eg, aelyi axiális az összes eggyelt ele özött, és aelyne ár az összes iertestvérét láttu. Így a Lea a övetez éppen általánosítható: Lea. A τ (c egállási id vel a sier valószín sége ( P c (. i2 3 ( ci c

32 Bizonyítás. Minden 2 i esetén legyen N i az az eseény, iszerint az ele, aelyet választun, ne az i-edi szintr l való. Eor P c ( P(N 2... N P(N P(N N... P(N 2 N 3... N. Az N i+... N feltételre nézve aor és csa aor lesz a iválasztott ele az i- edi szint valaely elee, hogyha az ezen a szinten lév c ele indegyie orábban érezi, int a nála jobb (i szinten lév c(i ele. Így a rossz esete száa, az összes eset száa pedig ( ci c, ivel az elee véletlenszer sorrendben jönne, és így ci ele özül az els c ennyiféleéppen alaulhat. Ennélfogva P(N i N i+... N, és ebb l ár övetezi a lea iondásánál egfogalazott egyenl ség. Az el z szaaszhoz hasonlóan egadhatun egy optiális egállási id t is. Legyen és legyen τ (c in (c { τ (c i in { : [( j ( j ( ci c ( ] } j, i2 ( ci c : a π(, π(2,..., π ( τ (c i elee által } elfoglalt szinte száa legalább (c Tétel. A τ (c egállási id optiális az -szint c-es irere egfogalazott titárn -probléa esetén. A bizonyítás a onoton esetre vonatozó Tétel felhasználásával történi, és lényegében hasonló a Tétel bizonyításához, így arra ne térün i. Habár a sier valószín ségére lehet zárt épletet adni, ez gyaorlati szepontból eléggé használhatatlan. Enne eghatározása nagyjából ugyanolyan lépéseb l áll, int ahogyan az el z szaaszban eljártun. Mint orábban, legyen ost is L t a π(t ele szintje. Továbbá anna jelölésére, hogy egy ele alaphalazból hányféleéppen választhatun i c egülönböztethet, r,..., r c éret halazt, használju a ultinoiális együttható jelölést: ( r,..., r c, r... r c! r!... r c! ( r... r c!. 32

33 Tétel. A τ (c egállási id vel a sier valószín sége P(L τ (c c + i r +...+r c (c r,r i (c + (c + j2 r +...+r c (c r,r c ( (c + j ( (c j2 (c ( r,...,r c, ( (c c ( j (c ( (c ( r,...,r c, ( (c c ( c r... ( c c rc r +2r cr c ( ( cj i c i ( c r... ( c c rc r +2r cr c ( j 2 ( c c. j r r + 2r cr c ( ( c + c 2 r r + 2r cr c Bizonyítás. Szüségün van azon eseény valószín ségéne eghatározására, iszerint az els pillanatban, aior (c eg a legjobb szintr l. Legyen ez az eseény M i Lea. Legyen i c egész. Eor ( ( c r r P(M i,...,r c,... ( c rc (c c ( c r +2r cr c r +...+r c (c r,r i Bizonyítás. r + + r c r c (c r i (c szintet láttun, pontosan i eleet gyeltün r r + 2r cr c r i (c (c esetén A r,...,r c legyen az az eseény, iszerint aior r +2r 2 + +cr c eleet láttun ár, aor azon szinte száa, aelyer l pontosan j eleet láttun, egyenl r j -vel inden j c esetén. Eor az A r,...,r c valószín ségéne eghatározásánál az összes eset száa ( c r +2r 2 + +cr c, ivel az összesen c ele özül r + 2r cr c -t ell iválasztanun. A edvez esete eghatározásánál el ször az szint özül ( -féleéppen iválaszto azt a (c r,...,r c, (c szintet, aelyr l eggyele eleeet, ezután pedig inden j-re azon r j szint özül, aelyer l j eleet látta, ( c j -féleéppen iválaszto azon eleeet, aiet észlele. Így P(A r,...,r c ( r,...,r c, ( (c c ( c r... ( c c rc r +2r cr c. Legyen B r,...,r c az az eseény, hogy az els pillanatban, aior (c szintet gyeltün eg, aor azon szinte száa, aelyer l pontosan j eleet láttun, r j -vel egyenl inden j c esetén. Eor B r,...,r c 33 csa aor ne-üres eseény, ha

34 r, és ebben az esetben B r,...,r c aor és csa aor övetezi be, ha A r,...,r c is beövetezi, és az utolsó eggyelt ele az egyedüli elee egyie, vagyis egy olyan ele, aelyne szintjér l az egyetlen ele, ait észleltün. Szietria iatt az egyedüli elee azonos valószín séggel fordulhatna el az els r + 2r cr c ele bárelyieént, és ezért P ( B r,...,r c A r,...,r c r r + 2r cr c. Végül C r,...,r c legyen az az eseény, iszerint B r,...,r c fennáll, és pontosan i eleet láttun a legjobb szintr l. A legjobb szint azonos valószín séggel lehet az r r c (c iválasztott szint bárelyie, így P ( C r,...,r c B r,...,r c r i Ahhoz, hogy M i beövetezzen, legalább egy olyan szintne ell lennie, aelyr l pontosan egy eleet láttun (az utoljára eggyelt, és legalább egy olyan szintne ell lennie, aelyr l pontosan i eleet gyeltün eg (a legjobb szint. Ezeel a iötéseel, ha M i beövetezi, aor C r,...,r c is beövetezi valailyen r,..., r c onstansoal, elyere r r c (c, továbbá C r,...,r c - diszjunta, és indegyiü M i -ben van. Ennélfogva P(M i P(C r,...,r c r +...+r c (c r,r i r +...+r c (c r,r i ait bizonyítani aartun. ( r,...,r c, ( (c c ( c r... ( c c rc (c r +2r cr c. r r + 2r cr c Legyen M j i az az eseény, iszerint az els pillanatban, aior ár (c szintet láttun, aor i eleet gyeltün eg az eddigi legjobb szintr l, és ez a szint a j- edi szint. Eor a sier valószín ségét az M j i feltételre nézve bárely i és j esetén a övetez lea adja eg, elyne bizonyítása önnyedén adódi a Lea ódosításával, így arra itt ne térün i Lea. ( i c és j esetén P ( L τ (c Mi. (2 i c és 2 j (c P ( L τ (c M j i + esetén ( 34 ( cj i c i j ( ( c. c 2 r i (c,

35 (3 i c és j esetén (4 i c és 2 j (c P ( L τ (c M c 0. + esetén P ( ( j L τ (c Mc j 2 ( c c Ugyanolyan átalaítás öveteztében, int a Tétel bizonyításánál, adódi, hogy ( j P(M j i (c P(M i ( ( (c j (c ( (c r +...+r c (c r,r i ( r,...,r c, ( (c c Az { M j i } : i c, j (c + adjá, így ( c r... ( c c rc r +2r cr c. r r + 2r cr c r i (c eseénye az eseénytér egy partícióját. P(L τ (c c i (c + j P ( L τ (c M j i P(M j i, aelybe a Lea alapján behelyettesítve teljes a tétel bizonyítása. A övetez eben a (c értére adun eg fels és alsó orlátot. Ehhez segítségünre lesz a övetez lea Lea. Minden c 2 egész és inden pozitív egész és, esetén ( c + [( ( 2 c (c j ( ] j <. j ( Bizonyítás. A fels orlát igazolásához el ször vegyü észre, hogy a produtu értée legfeljebb. Felhasználva a orábban ár bizonyított j i2 ( ( j ( ci c obinatoriai azonosságot, adódi, hogy ( j ( ( j (, 35

36 így egaptu a fels orlátot. Az alsó orláthoz el ször vegyü észre, hogy ivel inden 0 j c esetén ( ci ci c c ci c... ci c + i c, ci j c j ci ji + (i j c j i + (i j c j i. Továbbá felhasználju a övetez állítást: Állítás. Egy rögzített c 2 egészre inden j 2 egész esetén j ( i c i2 j i c. i2 Bizonyítás. Teljes inducióval bizonyítun. j 2 esetén 2 ( i c 2 2 i c. c i2 i2 j 3 esetén 3 ( i c ( 2 ( 3 c c 2 c 3 + c 6 > c 2 3 c 3 i c. c i2 i2 Tegyü fel, hogy j-re igaz: j ( i c i2 j i c, i2 és belátju j + -re: j+ ( i c ( (j + c j ( i c i2 i2 j j ( i c (j + c ( i c i2 i2 ( > > j+ j i c (j + c i c, i2 i2 ahol ( -nál felhasználtu az induciós feltételt, valaint azt, hogy j i2 ( i c <, így beláttu az állítást. 36

37 Ennélfogva ( j i2 ( ci i j ( i c i2 j i c > i2 i c > i2 > 2 x c dx c [ x c+ 2 li c d c + c + 2 c (c. 2 ] d 2 2 c (c 2 c Mivel ez a orlát ne függ j-t l, ezért ieelhet a szuából, ait ezután ugyanúgy alaíthatun, int orábban, és ebb l ár övetezi az alsó orlát Tétel. Minden c 2 és egésze esetén ( 2 c + < 2(2 c+ (c (c c 2 Ebb l övetezi, hogy inden esetén li c (c 2 Bizonyítás. Ha.. ( 2 c + c+ 2 c (c 2(2 c+ (c c 2 c+ 2 c (c teljesülne, aor a Lea öveteztében [( j ( ] j ( ( ( ci > c + ( 2 c (c j i2 c ( c + ( 2 c+ 2 c (c 2 c (c c+ 2 c (c adódna, azonban ilyen értéet ne vehet fel a (c, így igazoltu az alsó orlátot. Ha 2, aor a Lea öveteztében [( j ( ] j j ( i2 így övetezi a fels orlát is. ( ci c 2, 37

38 Megjegyzés. A sier valószín ségére egadhatun egy alsó orlátot. Vegyü észre, hogy a Lea bizonyítása során a Leában a τ (c egállási id esetén eghatározott sier valószín ségére adun egy alsó becslést, így P c ( c + 2 c (c. 38

39 3. fejezet Titárn -probléa iseretlen részbenrendezésen 3.. Ha seit se tudun a részbenrendezésr l A övetez eben a titárn -probléa egy folytonos idej változatát vizsgálju. A feladatot a övetez éppen fogalazhatju eg Feladat. Tegyü fel, hogy egy véges, neüres részbenrendezett halaz eleei a [0, ] intervalluon véletlenszer en jelenne eg, azaz egyástól függetlenül, egyenletes eloszlás szerint. Bárely pillanatban látju az addig az ideig felt n elee által induált részbenrendezést, és a feladatun, hogy a folyaat egvalósulása özben egy axiális eleet válasszun i. Tehát a cél egy olyan stratégia egadása, aellyel bárely P véges, neüres részbenrendezett halaz esetén a sier valószín sége legalább c > 0. Nyilvánvalóan egy ilyen, a folytonos idej változatra egfogalazott stratégia alalazható a diszrét idej változatnál is, ivel tudva, hogy P eleeine száa n, i agun is generálhatun n véletlenszer id t, elyeet egjelenésü szerint sorban hozzárendelhetün az eleehez. El ször bevezetjü az alábbi deníciót, ajd egfogalazzu a stratégiát: Deníció. Tegyü fel, hogy egy véges, neüres P részbenrendezett halaz eleeit ülönböz, valós súlyoal egjelöljü. Legyen z 0 a legisebb súlyú ele P - ben. Aíg z i ne axiális, z i+ legyen a z i -t l nagyobb elee özül a iniális súlyú. Az így eletez lánc végs eleét nevezzü P ohó axiuána. 39

40 3.. ábra. Egy példa a ohó axiura. A részbenrendezés esetén a j eleehez tartozó súlyo értée s j. Eor a ialauló ohó láncot a beariázott z i elee alotjá, és ebben az esetben a ohó axiu a z Stratégia. A [0, ] intervalluról véletlenszer en súlyoat rendelün az eleehez, aint egjelenne. Miután indent visszautasítottun az /e id ig, az els olyan x eleet fogadju el, aely ohó axiua anna a P x részbenrendezésne, aelyet az x érezéséig egjelen elee (x-et is beleértve induálna. A sier valószín ségét ezzel a stratégiával a övetez tétel ondja i Tétel. Ezzel a stratégiával legalább valószín séggel választun i egy axiális eleet bárely részbenrendezett halaz esetén. e Bizonyítás. A bizonyítás egyszer sítése érdeében nevezzün egy x eleet jelöltne, ha az a P x ohó axiua. Ahhoz, hogy iválasszun egy x-et, háro dologna ell teljesülnie: ( az x egy t > id ben érezi, e (2 az x jelölt, (3 az és t id ponto özött nincs jelölt ele. e A továbbiaban úgy teintün P -re, int egy n-ele, rögzített részbenrendezett halazra Lea. Legyene a,..., a n a P egjelenési sorrend szerinti eleei. Legyen A az az eseény, iszerint a jelölt. Eor P(A, és A,..., A n független eseénye. Bizonyítás. Tegyü fel, hogy iserjü P -t, és a végül az eleeihez rendelt súlyoat. Tegyü fel továbbá, hogy iserjü az a +,..., a n eleeet, így azt is, hogy özülü elye jelölte. Ezután teintsü az {a,..., a } által induált részbenredezés ohó axiuát. Anna a valószín sége, hogy ez az utolsóént érez, és így az a -ént cíézett ele, világos, hogy. Ez azt utatja, hogy P(A. 40

41 A függetlenség bizonyításához be ell látnun, hogy P(A i... P(A i P(A i... A i i < < i n, 2. El ször vizsgálju a 2 esetet: P(A i A i2 (i 2 i (i! (i 2 i!, i 2! ivel, ha rögzítettne teintjü az a i2 +,..., a n eleeet, aor az összes eset száa i 2!. A edvez esete száa pedig a szálálóval egyezi eg, ivel az i 2 -edi helyre ell erülnie az {a,, a i2 } által induált részbenredezés ohó axiuána, ezután a fennaradó (i 2 ele özül iválasztju azoat az eleeet, aelye az els i helyet foglaljá el. Az általu induált részbenrendezés ohó axiuána egyértel en az a i -ne ell lennie, a többi ele sorrendje pedig tetsz leges lehet, valaint a további (i 2 i ele sorrendje szintén tetszés szerinti. Tehát ( i2 i P(A i A i2 (i! (i 2 i! i 2! (i 2! (i (i! (i 2 i!! (i 2 i! i 2! P(A i P(A i2. i i 2 Hasonló gondolatenet alapján láthatju be az egyenl séget tetsz leges 2 esetén: ( ij j2 i P(A i... A i j j2 (i j i j! (i! i! ( (i j! j2 (i (i j! (i j i j! j i j! (i! i! j (i j! j i P(A i... P(A i j! i j j Lea. Legyen 0 t. Teintsü a t id el tt érez elee halazát, és tegyü fel, hogy ez a halaz neüres. Eor a t id el tti utolsó jelölt ele érezési ideje véletlenszer a [0, t] intervalluon. Bizonyítás. Tegyü fel, hogy ele érezi a t id el tt. A Leából övetezi, hogy az A,..., A indiátoraina együttes eloszlása ugyanaz, függetlenül az {a,..., a } által induált részbenrendezés strutúrájától. Követezéséppen elegend az állítást csupán a ele feletti lineáris rendezésre belátni. Könnyen látható, 4

42 hogy ezen speciális rendezés esetén az utolsó jelölt ele az egyedüli axiális ele, aelyne érezési ideje véletlenszer a [0, t] intervalluon. Tegyü fel, hogy P rögzített, és hogy a P eleeihez rendelt súlyoat egyástól függetlenül és véletlenszer en választju a [0, ] intervalluból. Eor vezessü be a övetez jelöléseet: µ(x : P( x a P ohó axiua µ t (x : P( x a P ohó axiua x súlya legfeljebb t, 0 t Lea. Tegyü fel, hogy x axiális P -ben. Eor feltéve, hogy x a t id pillanatban érezi, P( x jelölt µ t (x. Bizonyítás. A bizonyítás során µ t (x-b l indulun i. Rendeljün súlyoat P eleeihez, és tegyü fel, hogy x súlya legfeljebb t. Mivel a t-nél nagyobb (és egyúttal az x súlyánál is nagyobb súlyú elee ne befolyásoljá, hogy a ohó lánc végs elee x lesz-e, vagy se, ezért µ t (x egyenl anna a valószín ségével, hogy x ohó axiu egy olyan részbenrendezésben, aelyet úgy apun eg, hogy el ször x ivételével inden eleet egyástól függetlenül t valószín séggel eldobun, és a bennaradóa súlyát véletlenszer en a [0, t] intervalluról választju. Két észrevétellel teljes lesz a bizonyítás. El ször is, ha inden súlyt a [0, t] intervalluból választun, aor aár a [0, ] intervalluból is választhatju et. Másodszor pedig, az, hogy x-en ívül inden eleet egyástól függetlenül t valószín séggel eldobun, pontosan az, ahogyan P x -et is egapju azzal a feltétellel, hogy x érezési ideje t. Így egaptu a P( x jelölt valószín séget Lea. Feltéve, hogy x a t id pillanatban érezi P( x jelölt µ(x. Bizonyítás. A Lea öveteztében elegend azt észrevenni, hogy egy ele súlyána csöentése csais növelheti a valószín ségét, hogy egy ohó lánc végs elee legyen. Így µ t (x µ(x, aib l pedig övetezi a bizonyítandó állítás. Ahhoz, hogy befejezzü a tétel bizonyítását, csa egy egyszer száolás van hátra. Legyen x axiális P -ben, és tegyü fel, hogy x érezési ideje t >. A e célun, hogy t és µ(x függvényében egbecsüljü x elfogadásána valószín ségét. A Lea öveteztében anna a valószín sége, hogy x jelölt, legalább µ(x. Teintsü P x -et. Két eset lehetséges, égpedig, hogy P x {x} üres, ai azt jelenti, hogy x volt az els jelölt ele, vagy pedig neüres, és ebben az esetben az 42

43 utolsó jelölt ele érezési ideje véletlenszer a [0, t] intervalluon. Mindét esetben anna a valószín sége, hogy az /e és t id ponto özött ne volt jelölt ele, legalább /et. Így a teljes valószín sége anna, hogy x-et elfogadtu, legalább ( µ(x dt µ(x et e dt µ(x t e ln ln e e µ(x /e /e Mivel x ax(p µ(x, ezért ezt összegezve P inden axiális eleére, azt apju, hogy anna a valószín sége, hogy özülü valaelyiet fogadju el, legalább /e A axiális elee száa isert Ebben a szaaszban olyan részbenrendezett halazoal foglalozun, elyer l tudju, hogy a axiális eleei száa. Teintsün a P {x,..., x n } halaz esetén egy (P, részbenrendezést. Jelölje ax (P enne axiális eleeit, tehát ax (P {x P : y, elyre x y}. Megjegyezzü, hogy a jelölést az alsó indexben elhagyju, ha az egyértel a ontextusból. Legyen Ω S n [0, ], ahol S n jelöli a perutációcsoportot [n] {,..., n}-en. Továbbá legyen P µ λ, ahol µ az a valószín ségi érté, elyre µ ( {ρ} n! inden ρ S n esetén, valaint λ a Lebesgue-érté. Más szóval véletlenszer en választun egy (ρ, δ Ω párt, ely esetén a ρ-oordináta eghatározza azt a sorrendet, aely szerint P eleei egjelenne, a δ-oordináta segítségével pedig bevezetün egy, a sorrendt l független véletlenszer tényez t, aely eghatározza, hogy hány jelentez t utasítun el a folyaat elején. Jelölje P [n] a P perutációina halazát, és deniáljun egy π : Ω P [n] valószín ségi változót a övetez éppen: π(ρ, δ(i x ρ(i. Így π(t jelöli a részbenrendezés t-ediént észlelt eleét. A orábbi fejezetehez hasonlóan legyen (P t t [n] valószín ségi változó egy családja, ahol P t reprezentálja a t id pontban látott részbenrendezést. Jelöljön p egy valós száot, elyre 0 < p < teljesül. Az optiális választás vizsgálatához a övetez algoritust használju: Algoritus. Legyen adott egy n ele részbenrendezett halaz, elyne axiális elee van, és legyen X(p Bin(n, p. Utasítsu el az els X(p eleet, és fogadju el az els olyan és bbi eleet, ely esetén teljesül, hogy az addig látott elee (beleértve a legutoljára észlelt eleet is által induált részbenrendezésben legfeljebb axiális ele van, és a legutoljára észlelt ele egyie ezene. 43

44 Ezen algoritus alapján egadhatju a övetez eben deniált, τ (p egállási id t. Vezessü be az X(p : Ω {0,..., n} valószín ségi változót: X(p(ρ, δ in { x 0 : x i0 ( } n p i ( p n i δ. i Így P(X(p x ( n p x ( p n x, x és X(p X(p(ρ, δ független ρ-tól. Eor deniálju a τ (p egállási id t a övetez éppen: in { t > X(p : ax(p t, és π(t ax(p t }, ha ez létezi τ (p n egyébént. Végezetül jelölje az S(p {π(t : t X(p} valószín ségi változó azon X(p ele halazát, aelyet a folyaat elején gondolodás nélül elutasítun. Fontos az S(p övetez, egyszer tulajdonsága, aely azt jelenti, hogy úgy is teinthetün az algoritusra, hogy P inden eleét egyástól és a π véletlenszer sorrendt l függetlenül p valószín séggel elutasítju Lea. Az {x S(p} x P eseénye függetlene, és P ( x S(p p inden x P esetén. Bizonyítás. A π és X(p valószín ségi változóat a ívánt eloszlásona egfelel en egadhatju a övetez éppen. Válasszu be a P inden eleét egyástól függetlenül p valószín séggel S(p-be. Legyen π az a sorrend, elyet úgy apun, hogy az S(p eleeine véletlenszer sorrendjét a P \S(p halaz eleeine véletlenszer sorrendje öveti. Eor π a P halaz eleeine egy véletlenszer sorrendjét adja. Ugyanis teintsü az eleene egy π rögzített sorrendjét, és legyen A az az eseény, iszerint π ialaul. Továbbá legyen 0 i n esetén B i az az eseény, hogy i eleet választo S(p-be. Eor B 0, B,..., B n teljes eseényrendszer. Egyszer en adódi, hogy P(B i ( n p i ( p n i. i 44

45 Ugyanaor P(A B i ( n i i! (n i! n!, ugyanis az összes eset száát úgy apju, hogy az összesen n ele özül i-t iválaszto az els i helyre, ajd vesze a lehetséges sorrendeet, aely a iválasztott i ele esetén i!, íg a ne választott (n i ele esetén (n i!. A edvez esete száa pedig, ivel a π sorrend aor és csa aor alaulhat i, ha a iválasztott i ele a π els i elee, és a iválasztott i ele sorrendje π els i eleéne sorrendje, íg a ne választott (n i ele sorrendje π utolsó (n i eleéne sorrendje szerint alaul. Így n P(A P(A B i P(B i i0 n! n i0 n i0 n! ( n p i ( p n i i ( n p i ( p n i i n! n!. A onstrució iatt X(p S(p egy π-t l független, binoiális eloszlású valószín ségi változó. Az {x S(p} x P eseénye csa π-t l és X(p-t l függene, és ugyancsa a onstrució iatt a lea iondásánál egfogalazott állításo fennállna. Ezen lea egönnyíti a sier valószín ségére adandó forula egfogalazását, a övetez azonosság pedig enne egyszer sítésében lesz segítségünre Lea. Minden egészre ( + s ( p s p. s0 Bizonyítás. Tegyü fel, hogy van egy érén, ait ha feldobun, p valószín séggel apun fejet, valaint ( p valószín séggel apun írást, és tegyü fel, hogy az érét végtelen soszor dobju fel. Eor valószín séggel látun legalább fejet, és a -adi fej a ( + s-edi dobás eredénye valaely s 0 esetén. Ebben az esetben tudju, hogy az els ( + s dobás özül ( lett fej, a többi s pedig írás, így összegezve a valószín sségeet, iszerint a -adi fej a ( + s-edi dobás eredénye, ( + s p ( p s s0 adódi, aib l övetezi a lea. Tudju, hogy 0 < p < valós szá esetén a Algoritus a π ( τ (p -edi eleet választja. Eor a sier valószín ségére ad alsó becslést a övetez tétel. 45

46 Tétel. Legyen (P, egy diszjunt láncból álló részbenrendezés. Eor ( P π ( τ (p ax(p > ( p ln, p ha, p( p, ha >. Bizonyítás. El ször egjegyezzü, hogy S(p P esetén a π ( τ (p π(n ax(p eseény valószín sége n pn. Ez 0-hoz tart, ha n, a tételben szerepl orlátoat pedig úgy apju, hogy csa azoat az eseteet vizsgálju, aior X(p < n, és így π ( τ (p / S(p. Jelölje a láncot C,..., C, a hosszuat pedig,...,. Legyen A j,...,j az az eseény, iszerint bárely i esetén C i -ne j i olyan elee van, aely jobb a C i -beli S(p-ben lév legjobb elenél (3.2. ábra, vagyis A j,...,j i { { } } x C i \S(p : y C i S(p, elyre x y ji. Ez j i < i esetén azt jelenti, hogy a fels j i ele nincs benne S(p-ben, de a (j i +- edi ár benne van, valaint j i i esetén azt jelenti, hogy S(p-ben nincsene elee az i-edi láncból. Vegyü észre, hogy ha A j,...,j beövetezi, aor π ( τ (p a láncai tetején lév, ne S(p-beli j j ele özül az els észlelt ele lesz ábra. Egy példa diszjunt láncra az S(p eleeine beariázásával. Ez az A 0,3,..., esetet illusztrálja. A nagy zárt görbe jelöli azon j + + j darab eleet, aelye iválasztásra erülhetne. Az { } A j,...,j : 0 j (,..., 0 j eseénye a teljes eseénytér egy partícióját adjá, így a P π ( τ (p ax(p valószín séget Q (p-vel jelölve az 46