NEM RUGALMAS SZILÁRD TESTEK INSTABILITÁSI VIZSGÁLATÁNAK LEHETSÉGES MODELLEZÉSE

Átírás

1 NEM RUGALMAS SZILÁRD TESTE INSTABILITÁSI VIZSGÁLATÁNA LEHETSÉGES MODELLEZÉSE utatási Jelentés (OTA 6 ). Célitőzés: A utatás az instabilitás lefolyásána nemlineáris vizsgálatát alapul véve a modellezés érdésére oncentrált. Ugyan a vizsgálatot általában a véges elem módszerrel numeriusan végzi enne során azonban gyaran felmerül az a probléma hogy a számított eredménye függene a felvett eleme méreteitıl. A probléma oát abban találtu meg hogy a ontinuumot leíró egyenletrendszere szinguláris tuladonságoat mutatna. Abban az esetben viszont hogyha a ontinuumot nemlineáris dinamiai rendszerne teintve a loalizáció elensége statius bifurációna értelmezzü lehetıség van a bifurációelmélet módszereit felhasználó vizsgálatára. Ez a megözelítés elınyös mert az analitius módszer lehetıvé teszi a szinguláris viseledés oána megtalálását illetve a elenségrıl alotott modell pontosítását. A utatás fontosabb eredményei ét témában elentezte: Portevin-Le Chatelier hatás értelmezése gradiens(-függı) anyagmodelle vizsgálata. A Portevin-Le Chatelier hatás ú értelmezése A Portevin-Le Chatelier (PLC) hatás ú a dinamiai rendszere elméleténe felhasználásával történı értelmezését adtu meg. Ezt az eredményt nemzetözi onferencián (AEPA Nagoya) elıadtu. Nemzetözi folyóiratban publiáltu illetve publiációa folyamatban van. Az alábbiaban összefoglalu a területen végzett vizsgálatain lényegét. F. ábra: Tipius szaítógörbe PLC hatás esetén l

2 Az 9-as éveben publiált dolgozataiban [PORTEVIN & LE CHATELIER 93] a szerzı leírtá hogy bizonyos alumíniumötvözete szaítóvizsgálatánál egyes eseteben öngeresztett rezgés lépett fel egyenletes húzás mellett a szaítódiagramént az. ábrához hasonló nem sima függvény adódott. Azt is megfigyelté hogy az említett oszcillációs elenség aor lépett fel amior a v εɺ alaváltozási sebesség növeedése a feszültség csöenését eredményezte (az A és B ponto özött a. ábrán). A C B. ábra. A σ σ( εɺ ) görbe a PLC hatás esetén A elenség magyarázatával illetve ísérleti vizsgálatával a szairodalom iteredten foglalozi [UBIN & ESTRIN 985] [RIZZI & HÄHNER ]. Egyristály esetén a mirostrutúrára alapozott magyarázatot ad a diszloáció mozgására épülı dynamic strain ageing elmélet [MCCORMIC 988] [FRESSENGEAS ET AL. 5]. PORTEVIN-LE CHATELIER hatást (PLC) dinamius anyagi instabilitásént fogu értelmezni. Az anyagi instabilitás definícióában az anyag valamely S állapotána Lapunov értelemben vett stabilitását fogu teinteni. Azt mondu tehát hogy S állapotban az anyag stabil ha anna tetszılegesen is örnyezetében marad elegendıen icsiny perturbáció mellett. Nyilvánvaló tehát hogy a is perturbáció megengedi a vizsgálat leszőítését a is alaváltozás esetére.. Az alapegyenlete Miént a legtöbb ontinuum mechaniai munában az elsı lépés az alapegyenlete felírása. Ezeet a is alaváltozáso elméleténe megfelelıen íru fel: εɺ lm v lm ()

3 inematiai egyenlet a ɺ v () σ Cauchy-féle mozgásegyenlete valamint a σ σ σ lm ε lm + lm εɺ lm (3) onstitutív egyenlet. Az () () (3) egyenleteben a szoásos elöléseet alalmaztu: ε i - alaváltozási tenzor σ i - feszültségtenzor v i - sebességmezı A onstitutív egyenlet állandói a lm v i lm lm - alaváltozási sebesség - az anyagtól függı állandó i l m - indexe értéü 3. ( + ) alaban is felírható. Így a () épleteben szereplı lm ml és ( L + L ) lm a sebességmezın ét differenciáloperátor definiálható eze a Legyen a vizsgált S állapot a lm ˆ v : lm v x x ˆ Lv : Llm vɺ. x x értéeel adott. Tetszıleges is perturbáció alalmazásával m m lm lm ml. () L onstanso felhasználásával l l (5) σ ε v (6) σ ε v σ ε v + σ + ε + v. (7) Az () () (3) és (5) épletebıl a vɺ ˆ v + Lˆ vɺ (8) operátoregyenlet övetezi. Ha a (7)-ne megfelelıen beíru a perturbációat a ( vɺɺ + vɺɺ ) ˆ ( v + v ) + Lˆ ( vɺ + vɺ ) adódi. Mivel (6) ielégíti az () () (3) egyenleteet vɺ triviálisan fennáll. Így a perturbációra a ˆ ˆ v + L vɺ

4 egyenlet adódi. Vezessü be az vɺ ˆ v + Lˆ vɺ. (9) [ y y y y y y ] [ v v v vɺ vɺ ɺ ] v3 ú változóból alotott vetort. Ezzel e (9) egyenlet alaa yɺ yɺ + 3 y + 3 ( ˆ y + Lˆ y ) + 3 () egy dinamiai rendszert definiál a homogén peremfeltételne megfelelı perturbáló sebességmezın. A () araterisztius egyenlete λy λy y ( ˆ y + Lˆ y ) + 3 () Mivel () egy parciális differenciálegyenlet-rendszer amelyet homogén peremfeltétele mellett ell megoldani az analitius vizsgálat általános esetben nem folytatható le. ét alapvetı egyszerősítési lehetıség adódi. Megtehetı speciális perturbáció alalmazásával () algebrai egyenleteé alaítása illetve orlátozható a vizsgálat egytengelyő esetre.. A stabilitási feltétele alaul Az egytengelyő esetben egy l mérető ontinuumot vizsgálun. Eor a () egyenlet így λy λy y y x L + illetve y -et az elsıbıl a másodi egyenletbe helyettesítve λ y y x A () differenciálegyenlethez tartozó homogén peremfeltétel Enne megfelelıen a saátfüggvénye az y L y λ. () x x ( ) y ( ) y ( l ) y ( l ) y. ( x ) C exp( iα x) y (3) alaban ereshetıe. Ha (3)-at a ()-be behelyettesítü aor a

5 egyenletet apu a λ saátértéere. A peremfeltételebıl adódi ebbıl pedig az L λ + λ α + α () A t A t ( ) cos( ) + B( t) sin( ) ( ) cos( αl ) + B( t) sin( αl ) π α (5) l övetezi. Lapunov indiret módszere szerint az S állapot stabilitása a () egyenlet λ megoldásaina valós részétıl függ. A () és a (5) épletebıl λ ifeezhetı ahol az λ bα a ± b α aα (6) L és b (7) egyszerősítı elöléseet alalmaztu. A dinamiai rendszere elméletébıl adódó stabilitási esete a övetezı: az S állapot - stabil ha minden saátértére Reλ < - instabil ha létezi legalább egy olyan λ u saátérté amelyre Reλ u > - a stabilitás határán van ha létezi legalább egy λ c ritius saátérté amelyre Reλ c továbbá minden más ( c) saátértére Reλ <..3 A stabilitásvesztés típusai A stabilitási határ és enne megfelelıen a stabilitásvesztés ét típusa ülöníthetı el. Az egyi esetben (SB statius bifuráció) a stabilitási határon mind a valós mind a épzetes rész nulla: (SB): Re λ Im λ c c. A mási lehetıség (DB dinamius bifuráció) az amior a ritius saátérté épzetes része nem nulla: (DB): Re λ Im. c λ c

6 Vizsgálu meg hogy a tárgyalt egytengelyő esetben melye az egyes stabilitásvesztési típuso feltételei. A (6) egyenletbıl az SB szüséges feltétele vagyis (7) felhasználásával ami a lasszius loalizációs feltétellel azonos. A DB szüséges feltétele pedig az bα ± b α aα (8) L. Vizsgálu most meg a (8) baloldalán álló gyö alatti α aα b (9) ifeezést. Hogyha a (5) és a (7) épleteet behelyettesítü (9)-be a elsı ritius saátértéhez tartozó esetben azaz adódi. π π L l l π l A () görbét a stabil tartományt illetve a stabilitási határoat a 3. ábrán razoltu meg. L () Statius bifuráció L Nincs rezgés Rezgés fellép Stabil Dinamius bifuráció 3. ábra. Stabilitási térép Itt ól látszi hogy öngeresztett rezgés mellett fellépı instabil viseledés az L < esetben várható. Amior L > lehetséges rezgés de ez csillapodó tranziens ellegő. A ét eset özötti átmenet pedig éppen az L dinamius bifurációs feltétel. Ez megegyezi azoal a feltételeel amelyenél a PLC elenség fellép azaz a ét elenség azonosna teinthetı.

7 . Összefoglalás a további utatás iránya A Portevin-Le Chatlier hatás vizsgálatában megismertü a szairodalom ét eltérı megözelítési módát. Az elsı (maroszopius) tárgyalásmód nagyban hasonlít az általun a fentieben leírt a dinamiai rendszere elméletére alapozott vizsgálathoz. Emellett azonban ismert a dynamic strain ageing névvel elzett a diszloáció mozgására épített magyarázat. Eddigi utatásain arra vezette hogy hasznos volna valamiféle egyesítés illetve a ét elmélet összevetése. utatásainat iegészítettü termodinaniai megfontoláso figyelembevételével felvetıdött a másodi fıtétel és a negatív rate-dependence elenség viszonya illetve az az igény hogy a apcsolatot részletesen i ell vizsgálni. 3. Gradiens anyagmodelle vizsgálata A utatás mási része a gradiens(-függı) anyagmodelle vizsgálata. Az ilyen anyagoat alalmaztun az ere egyszerő biomechaniai modellezéseiben egyfata mechaniai megoolását adva a belgyógyászati illetve szemészeti szaorvosi gyaorlatban alapvetı szemfenéi érvizsgálatána. utatásain fontos eredménye a dinamiai rendszere stabilitási ritériumaina a variációs elvehez apcsolható alalmazási lehetıségeine vizsgálata. Ezen a területen a szilárd ontinuumo feltételes variációs elv felhasználásával történı modellezésére adtun példát az anyag stabilitásána feltételezése mellett (pl. Drucer posztulátum). Az anyagmodellezésben egyszerre szerepeltetü a feltételes Lagrange deriváltat és (a dinamiai rendszere örében használt) Lapunov stabilitás feltételét. Az alalmazott módszer lépései hasonlóa a.-.3 részeben leírtahoz természetesen a ontinuum alapegyenleteit meg ellett változtatni továbbá felhasználu a feltételes Lagrange egyenletne a [BÉDA & BÉDA 7] illetve [BÉDA & BÉDA 8] szerinti értelmezését. Az elért eredménye a épléeny eményedés (plastic hardening) és a (Lapunov) stabilitás összefüggésére vonatozta megmutatá hogy miént ell a onstitutív egyenletet egy stabil és a Drucer posztulátumot telesítı anyag esetén felírni azaz milyen alaban ereshetı a gradiens anyagot modellezı egyenlete. Megegyzzü hogy az ebben a témában elért eredménye publiálása még folyi több ülföldön publiációra benyútott ci áll bírálat alatt.. Irodalom A. PORTEVIN F. LE CHATELIER C. R. (93) Acad. Sci. Paris 76 (93) 57. LP. UBIN Y. ESTRIN (985) The PORTEVIN LE CHATELIER effect in deformation with constant stress rate. Acta Metall

8 RIZZI E. HÄHNER P. () On the PORTEVIN LE CHATELIER effect: theoretical modeling and numerical results. Int. J. Plasticity 65. MCCORMIC P.G. (988) Theory of flow localisation due to dynamic strain ageing. Acta Metall C. FRESSENGEAS A.J. BEAUDOIN M. LEBYODIN L.P. UBIN Y. ESTRIN (5) Dynamic strain aging: A coupled dislocation Solute dynamic model Materials Science and Engineering A 6 3 BÉDA P.B. BÉDA GY. (8) Conditional Lagrange derivative in the constitutive equation of plastic bodies Mechanics and Mechanisms of Finite Plastic Deformation CD Proceedings of PLASTICITY 8. (Eds.: Ahtar S. han & Baba Farroh) NEAT PRESS Fulton 8 BÉDA P.B. BÉDA GY. (7) Conditional Lagrange derivative and its application PAMM Vol 7 (7) No: pp 97-98