A NEM VÁRT RITMUS. Néda Zoltán 1, Káptalan Erna 2. Plenáris előadás.

Átírás

1 A EM VÁRT RITMUS éda Zoltán, Káptalan Erna 2 Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Elméleti és Számítógépes Fizia Tanszé, zneda@phys.ubblu.ro 2 Báthory István Elméleti Líeum, Fizia Katedra, aptalane@yahoo.om A SZIKROIZÁCIÓ, MIT KOLLEKTÍV JELESÉG Számtalan természeti és társadalmi elenség során meggyőződhetün arról, hogy nagyszámú egyed özös (olletív) viseledése minőségileg ú és érdees elenségeet eredményez. Ezen elensége általában nem nyilvánvaló övetezményei a rendszert alotó egyede tuladonságaina. A rendszer egészét ellemző nemtriviális viseledést olletív elenségne nevezzü, utalva arra, hogy a fursa viseledés a rendszert alotó egyede özti ölsönhatásból, illetve az egyede nagy számából adódi. A fentie alapán önnyű megseteni, hogy a olletív viseledése egy nagyon tág elenségsoportot épviselne, és a fizia lasszius modellei és módszerei hasznosna bizonyulna ezen elensége leírására is. Egymással ölsönható ingaórá vagy oszilláló áramörö szinronizáióa talán a legismertebb olletív viseledés. A övetezőben oszillátorna fogun nevezni minden olyan rendszert, amelyne periodius dinamiáa van. em sa fiziai, hanem biológiai rendszere is lehetne oszillátoro. Az oszillátoro szinronizáióa a legtöbb fiziusna azt elenti, hogy a rendszert alotó egyede fázisai azonosa és időben azonosa is maradna. Ezen dinamius állapot azonban a szinronizáióna sa az egyi lehetséges formáa. Bizonyos eseteben, például, ha az oszillátoro özti fázisülönbség marad időben állandó, a rendszert ogosanszintén szinronizáltna teinthetü. A feladat lehet ennél soal bonyolultabb, ugyanis nagyon so oszillátor esetén nins egy ól értelmezett fázis, hiszen oszillátorna lehet teinteni bármely omplex periodius (ilius) folyamatot. Másfelől a fentebb értelmezett töéletesen szinronizált állapotoon ívül létezhetne részlegesen (pariálisan) szinronizált állapoto is, ahol az oszillátoro fázisai nagyrészt vagy sa megözelítően azonosa. Egy oszillátor-soaság szinronizáióána a ellemzésére egy q rendparamétert vezetün be, ami általában egy 0 és özötti szám. A rendparaméter a szinronizáió foát ellemzi, q = a töéletesen szinronizált állapotna felel meg, q = 0 bármely fata szinronizáió hiányát ellemzi és a 0 < q < esetben részleges szinronizáió van. A rendparaméter megválasztása nem mindig egyértelmű és nagymértében függ az oszillátor-soaság tuladonságaitól. Ebben a dolgozatban azon eseteet tárgyalu, amior a soaságot alotó oszillátoro rendszerében nins egy armester ai egy özös ritmust ditálna. Ilyen eseteben spontán szinronizáióról beszélün. A spontán szinronizáió nagyon gyaori elenség. Számos természeti és szoiális rendszerben megfigyelhető: mehaniailag apsolt ingá és metronómo, apsolt eletronius rezgőörö, tűzlegye periodius felvillanásai dél-elet Ázsiában, tüsö iripelése, béá breegése, együtt élő nő menstruáiós ilusaina egybeesése, vastaps, émiai reaióban levő oszilláió és egymástól távoli viharmagoban a villámlási ativitás esetén, stb []. Töéletesen azonos, egymással globálisan ölsönható (mindeni mindenivel) oszillátoro spontán szinronizáióa triviális, ha az oszillátoro özti ölsönhatás

2 fázisülönbség-söentő ellegű. Azonnal belátható azonban, hogy a fent leírt rendszer a valóságban nem létezi, ugyanis töéletesen egyforma egyede nem létezne. Jogos tehát a érdés, hogy ülönböző freveniáú oszillátoro szinronizálódhatna-e? Ha igen, aor mi enne a feltétele, és mi lesz a özös frevenia, amit minden egyed felvesz? A spontán szinronizáióna egy erősen nemtriviális és érdees megelenési lehetősége az is, amior ülönböző saátfreveniáú oszillátoro szinronizálódna anélül, hogy egy diret fázisülönbség-söentő ölsönhatás lenne az egyede özött. Ezen rendszereben a szinronizáió egy optimiziáóna a melléterméeént eleni meg és ezen rendszere leszne mad ülönösen érdeese számunra. FÁZIS- ÉS PULZUSCSATOLT OSZCILLÁTOROK SPOTÁ SZIKROIZÁCIÓJA. Kísérletileg megállapított tény, hogy nagyon so ingaóra vagy metronóm szinronizálódhat, anna ellenére, hogy saátfreveniáu ülönböző. Enne a feltétele azonban az, hogy a öztü levő ölsönhatás elég erős legyen. Egy so oszillátort tartalmazó rendszerre létezi egy ritius ölsönhatás-erősség, ami alatt a rendszer nem szinronizálódi, azonban ha az egyede özti ölsönhatás erőssége meghalada ezt a ritius értéet, aor megeleni a szinronizáió. Minél eltérőbbe az oszillátoro, annál nagyobb a ritius apsolás értée. Ezt az érdees fázisátalaulás-szerű elenséget íra le a Kuramoto modell [2]. A Kuramoto modell fázisapsolt rotátoro soaságát teinti. Teintsün darab globálisan satolt rotátort. A rotátoro ω örfreveniával rendelezne és állapotuat a φ fázisu ellemzi. Kuramoto és ishiava, Winfree [3] ötletét övetve a rendszer időbeli evolúióát egy apsolt elsőrendű differeniálegyenlet-rendszerrel özelítette meg. Modellüben az i-edi oszillátor mozgásegyenlete: dφ K = ω + sin( φ φ ), () dt = ahol K az oszillátoro özti satolás erősségét ellemző állandó. Az () differeniálegyenlet obboldalána az első taga egy szabad (a többi oszillátorral nem apsolt) oszillátor fázisána a saátfrevenia szerinti onstans sebességű változását íra le, a másodi tag pedig a rendszerben levő többi oszillátorral való ölsönhatást modellezi. Az () szerint minden oszillátor ölsönhat minden más oszillátorral egy fázisülönbség söentő ölsönhatással: ha φ > φ, a -adi oszillátor fázisa gyorsabban nő, ha meg φ < φ, aor lassabban. Kuramoto és ishiava nagy érdeme, hogy ráötte arra, hogy ha a az egyede özti ölsönhatást harmonius formában választá meg, a apsolt differeniálegyenlet-rendszer szétválasztható egymástól független egyenleteé, és a szinronizáltság foát ellemző q rendparaméter átlagos értéére analitius eredménye apható. Rendparaméterne a: q = e i φ = 0 és özti mennyiséget teinthetü. A (2)-es épletben a szögletes záróel idő szerinti átlagolást elent. yilvánvalóan, ha a fáziso véletlenszerűen mutatna minden lehetséges irányba, a rendszer nem szinronizált és q = 0, ha azonban a rendszer töéletesen szinronizált, a fázisörön minden fazor egy irányba mutat, és ezáltal q =. A Kuramoto t (2)

3 modell egzat megoldása a termodinamiai határesetre vonatozi ( ), és azt az érdees eredményt ada, hogy egy adott oszillátorsoaság esetén létezi egy ritius K satoláserősség. Ha K K, a rendszer nem szinronizálódi és a stabil megoldás: q = 0 ; ha K > K a rendszerben részleges szinronizáió eleni meg, és a stabil megoldás: 0 < q <. A K ritius satoláserősség az oszillátoro saátfreveniáina a szórásától függ: minél ülönbözőbbe ezen saátfreveniá (minél nagyobb a szórás értée) annál nagyobb lesz K értée. A rendszerben egy érdees fázisátalaulás-szerű elenség tapasztalható, ezen fázisátalaulás so szempontból hasonló a ferromágneses rendszereben levő ferro-paramágneses fázisátalauláshoz. A Kuramoto modell magyarázatot ad tehát arra, hogy egy valós oszillátor- soaságban, ahol az oszillátoro saátfreveniái ülönbözőe, miért és mior elenhet meg bizonyos foú szinronizáió. agyon so természetbeli oszillátor esetén a fázis nem ól értelmezett mennyiség, és így az oszillátoro ölsönhatását nem a fáziso ülönbsége vezérli. Teintsü például az ázsiai tűzlegye esetét: egy tűzlégy fázisa nem értelmezhető, és a tűzlegye egymásról sa a felvillanás (pulzus-ibosátás) pillanatában szerezne informáiót. Feltehetően tehát az egyede özti ölsönhatás is sa a felvillanás időpontában hat. A természetbeli oszillátorona nagy többsége tüzelő ellegű (pl. a neurono), és a ölsönhatásu ezen tüzelése által valósul meg. Ezen pulzussatolt oszillátor-rendszerre is létezi egy egyszerű modell, amely elegánsan magyarázza a ülönböző saátfreveniáú oszillátoro szinronizálásána a lehetőségét [4]. A modell lényege az, hogy egy oszillátor tüzelése a többi oszillátor fázisát egy δ értéel megnöveli. Ezáltal egyetlen egy tüzelés lavinaszerű folyamatot eredményezhet, amelyben nagyon so más oszillátor tüzelni fog. A rendszerben bizonyos foú szinronizáió léphet fel, amelyben az oszillátoro együtt tüzelne. A szinronizáió foára egy ól értelmezett rendparaméter a legnagyobb tüzelési lavina relatív mérete (a legnagyobb lavinában tüzelő oszillátoro száma elosztva a rendszerben levő oszillátoro számával). A ölsönhatás erősségét a δ paraméter ellemzi. A fent leírt pulzussatolt rendszer úgy viseledi, mint a Kuramoto modell. Létezi egy δ rítius satolás, amely alatt a rendszer nem szinronizálódi, és amely felett részleges szinronizáió alaul i. A ritius satolás értée az oszillátoro φ i periódusaina a szórásától függ. Minél ülönbözőbb freveniáúa az oszillátoro, annál nagyobb δ értée. TÖBBMÓDUSÚ PULZUSCSATOLT OSZCILLÁTOROK MEGLEPŐ SZIKROIZÁCIÓJA Teintsün most olyan tüzelő ellegű oszillátoroat, amelye több módusban is műödhetne [5,6]. Vizsgálu először azt az egyszerű esetet, mior ezen móduso a pulzusibosátás periódusában ülönbözne egymástól. Legyene ugyanaor az oszillátoro valószerűbbe azáltal, hogy az oszilláió periódusa is ingadozhat (flutuálhat). Egy egyszerű absztrat modell ezen oszillátorora a övetező lehet. Egy oszillátor periódusa három egymást övető, ilusból áll: A B C A... A periódus első ilusát (részét) elölü A-val, és legyen ez a dinamiána a véletlenszerű (sztohasztius) része, melyből a periódusingadozás származi. Ezen A rész teinthető úgy is, mind egy sztohasztius reaióidő. Jelölü az A ilus időhosszát τ A -val, ami egy sztohasztius (véletlenszerű) változó lesz. A dinamia B ilusa legyen a periódus leghosszabb időtartama: τ B és legyen ez az az időhossz, amit az oszillátor periódusént övetni szeretne. Az oszillátor módusai abból származna, hogy τ B hossza ülönböző lehet. A legegyszerűbb

4 eset az, amior a B ilus hossza sa étféle lehet: τ BI vagy τ BII. Az egyszerűség edvéért tételezzü fel, hogy τ BII = 2 τ BI, vagyis létezi egy lassúbb módus, ( B = BII ), és egy gyorsabb módus, ( B = BI ). Amior az oszillátor dinamiáa a B részéhez ér, az oszillátor dönthet, hogy melyi módust választa. A periódus utolsó, C, ilusában történi a tüzelés. A tüzelés hossza legyen τ, erőssége meg /, ahol a rendszerben levő oszillátoro száma. Az i-edi oszillátor pulzusibosátása tehát f i = /, ha az oszillátor a C ilusban van, és f i f = 0, ha az oszillátor az A vagy B ilusban van. A rendszerben levő összes pulzuserősség = f i i=. A fentebb értelmezett absztrat oszillátoro nagyon általánosa, és a természetben so olyan rendszer található, amine a dinamiáa hasonló. Egy azonnali példa erre az emberi tapsolás [7]. Az eddig értelmezett többmódusú sztohasztius és tüzelő oszillátoro dinamiáa egyszerű, de még nem értelmeztü a öztü levő apsolást. Tételezzü fel, hogy ezen többmódusú oszillátor-soaság éla az, hogy az f pillanatnyi összpulzus erősségét a rendszerben egy megszabott f * érté örül tartsa. A rendszer tehát egyszerűen arra töreszi, hogy a tüzeléseet úgy optimizála, hogy: f f *. Az egyede egyetlen szabadsági foa az, hogy a móduso özött szabadon választhatna. Egy egyed, miután befeezte az A ilust, választhat, hogy a B I vagy a BII módust öveti (. ábra). Ha ebben az időpillanatban f < f *, az oszillátor a rövidebb periódusú, B I módust öveti, növelve ezáltal az egységnyi idő alatti pulzuso számát és ezáltal f értéét. Ha azonban f > f *, az oszillátor a hosszabb periódusú, B II módust választa, söentve az egységnyi idő alatti pulzuso számát és ezáltal f értéét. A fenti dinamiána tehát egy optimizáiós éla van: a rendszerben levő összpulzus erősségét f * örnyezetében tartani.. ábra: Kétmódusú tüzelő oszillátoro dinamiáa Ami azonban ebben a rendszerben történi, az soal több, mint egy egyszerű optimizáió! Ha f * értée nagyon nagy, minden oszillátor a B I módust választa, az oszillátoro összevissza villogna és szinronizáió nem eleni meg. Ha f * értée nagyon isi, minden oszillátor a B II módust választa, az oszillátoro megint össze-vissza villogna és szinronizáió úból nem eleni meg. A meglepetés az, hogy egy aránylag tág f * intervallumon az oszillátoro elezdene a ét módus özött váltogatni és ilyenor az oszillátoro tüzelései részlegesen szinronizálódna,a nna ellenére, hogy semmilyen fázisülönbség söentő ölsönhatás nins az egyede özött és hogy az oszillátoro saátperiódusai ülönbözőe és időben flutuálhatna. A rendszer szinrónizáiós foát egy q = p / p rendparaméterrel ellemezzü, ahol p egy olyan mennyiség, ami a rendszer f(t) eléne a periodiitását ellemzi, a p pedig egyetlen egy

5 egyed eléne a periodiitását ellemzi a hosszú periódusú B II módusban. A rendszer periodiitása alatt itt azt értü, hogy mennyire ól özelíthető az f(t) függvény egy tetszőleges periodius függvénnyel [6]. Számítógép-szimuláiós eredménye a q rendparaméter átlagos értéére a 2a és 2b ábrán látható. A 2a ábrán az átlagos rendparamétert ábrázolu az f * függvényében ülönböző számú oszillátorból álló rendszerere. A 2b ábrán rögzített f * esetén q értéét ábrázolu a rendszerben levő oszillátoro számána a függvényében. A 2a ábrán látható, hogy létezi egy olyan f * intervallum, amelyen az oszillátor-rendszer egy erősen periodius összelet ad, vagyis az oszillátoro pulzusai szinronizálódna. A szinronizáió megelenése és eltűnése hirtelen történi és a Kuramoto rendszerben megismert fázisátalaulásra emléeztet. Érdemes felfigyelni arra tényre, hogy ezen szinronizált állapotban q >, ami azt seteti, hogy a rendszer soal inább periodius mint egy egyed ülön! A 2b ábrán az is ól látható, hogy az oszillátoro számána a növelésével a rendszer periodiitása monotonon növeszi. A meglepetést oozó szinronizáió mellett ez egy úabb érdees eredmény, ami azt sugalla, hogy a periódusuban ingadozó oszillátorona egy ilyenszerű apsolásával pontos és ó periodiitású oszillátor észíthető. KÖVETKEZTETÉSEK A szinronizáió nagyon általános olletív elenség, amely so természeti és társadalmi rendszerben megeleni. Itt izelítőént bemutattun néhány érdees és meglepő eredményt valószerű oszillátor-soaságo esetére. Azon elenségere és modellere fóuszáltun, ahol so oszillátor ölsönhatása során nemtriviális szinronizáió alault i. A tárgyalt modelle hasznosa lehetne biológiai és társadalmi elensége megértéséhez és ezene modellezésére. 2. ábra: (a) Fázisátalaulás-szerű szinronizáió a étmodusú oszillátor soaságban. (b) A szinronizáió mértééne a változása a rendszerben levő oszillátoro számána a függvényében. IRODALOMJEGYZÉK. S. Strogatz; Syn. The Emerging Siene of spontaneous order (Hyperion, 2003) 2. Y. Kuramoto and I. ishiava; J. Stat. Phys. vol. 49, 569 (987) 3. A.T. Winfree, J. Theor. Biol. vol. 6, 5 (967) 4. R. Mirollo and S. Strogatz; SIAM, J. Appl. Math. vol. 50, 645 (990) 5. A. iitin, Z. éda and T. Vise; Phys. Rev. Lett. vol. 88, 590 (2002) 6. R. Sumi, Z. éda, A. Tunyzagi and Cs. Szász, Phys. Rev. E vol. 79, (2009) 7. Z. éda, E. Ravasz, Y. Brehet, T. Vise and A.L. Barabási, ature vol. 403, 849 (2000)