A NAGY FERMAT-SEJTÉS

Átírás

1 SZIJJÁRTÓ SÁNDOR DIOPHANTIKUS EGYENLETEK MEGOLDHATÓSÁG- VIZSGÁLATÁNAK ANALITIKUS MÓDSZERE ÉS A NAGY FERMAT-SEJTÉS KLASSZIKUS BIZONYÍTÁSA

2 Szijjártó Sándor Minden jog fenntartva. Bárilyen ásolás sokszorosítás illetve adatfeldolgozó rendszerben való tárolás kivonatosan is a szerző előzetes írásbeli hozzájárulásához kötött. Kiadja: Szijjártó Sándor Borító: Ifj. Boros Gyula Nyota és kötötte: Tisza Nyoda Terelő és Szolgáltató Kft. Felelős vezető: Láng Beatrix ügyvezető igazgató Az ISBN száú kiadvány negyedik szerző által átdolgozott és bővített változata

3 SZIJJÁRTÓ SÁNDOR Az alkotás szenvedélyes lángolás ait a tudásszoj becsvágy és közérdek szít de a közöny irigység és tudatlanság havaszt el! A szerző DIOPHANTIKUS EGYENLETEK MEGOLDHATÓSÁG VIZSGÁLATÁNAK ANALITIKUS MÓDSZERE ÉS A NAGY FERMAT SEJTÉS KLASSZIKUS BIZONYÍTÁSA /T A N U L M Á N Y/ Budapest

4 A szerző észrevételeket véleényeket javaslatokat eghívásokat s akár könyvrendeléseket a következő círe vár: e-ail: szijjartosandor@gail.co 4

5 TARTALOM ELŐSZÓ. 6 BEVEZETÉS 0 I. RÉSZ. MEGOLDHATÓSÁG-VIZSGÁLAT ELMÉLETE 4. A MEGOLDHATÓSÁG-VIZSGÁLAT ALAPJA EGYENLETEK ELEMZÉSE ÉS FELBONTÁSA... 8 II. RÉSZ. EGYENLETEK MEGOLDHATÓSÁG-VIZSGÁLATA. VIZSGÁLAT SZIMPLA FELBONTÁS ESETÉN.... VIZSGÁLAT KOMBINATÍV FELBONTÁS ESETÉN 7 III. RÉSZ. ÖSSZEFOGLALÁS.. IV. RÉSZ. A NEGATÍV BIZONYÍTÁS ELEMZÉSE.. 5 V. RÉSZ. PÉLDÁK MEGOLDÁSA. 40 n n. SZ. PÉLDA: x y z n n n n. SZ. PÉLDA: x y z w SZ. PÉLDA: x zyzy SZ. PÉLDA: x z zy z y SZ. PÉLDA: x y SZ. PÉLDA: x z z y wz wzy z qzy qwz qwy q SZ. PÉLDA: z zw y x SZ. PÉLDA: y y zyx zx q qp SZ. PÉLDA: 4x 4z 9y 6y i k 0. SZ. PÉLDA: x yz i k. SZ. PÉLDA: x yz i k. SZ. PÉLDA: x yz f( ) f( ) i k. SZ. PÉLDA: xyzf() f() SZ. PÉLDA: (x y)(x y)(x ) (z w)(z w )(x )= SZ. PÉLDA: pw (x y z ) xyz SZ. PÉLDA: A HÉRÓNI HÁROMSZÖGEK MEGHATÁROZÁSA

6 ELŐSZÓ A tisztelt olvasó figyelébe ajánlott könyv a ateatika egyik kieelkedő területével foglalkozik: kutatja az algebrai egyenletek egészszáú egoldását. Az egyenletek nagy eléleti jelentőséggel bírnak és előfordulnak a fizikában. A többváltozós agasabb fokú egyenletek egoldhatóság-vizsgálata száos probléával jár. Megoldásukkal próbálkoztak ár az ókor ateatikusai így Pythagoras és Diophantos de későbbi évszázadok olyan korifeusai is int Pierre de Ferat David Hilbert Leonhard Euler Joseph Louis Lagrange Carl Friedrich Gauss Augustin-Louis Cauchy Ernst Eduard Kuer és ások. A neves ateatikusoknak a fokozott erőfeszítések ellenére se sikerült általánosítható eredényeket elérni. Az elített egyenleteket diophantikus egyenleteknek is nevezik a III. században élt és a egoldásukat kutató görög ateatikus Diophantos tiszteletére. Diophantos unkái szolgáltatták azt a kiinduló bázist aelyre Ferat Euler és sok ás ateatikus alapozta száeléleti kutatásait. Valószínű hogy D. Hilbert is próbálkozott a diophantikus egyenletek általános egoldhatóság-vizsgálatával és feltételezhette hogy a kutatások eredénye essze eghaladja ajd a diophantikus egyenletek probléakörét. Hasonlóan ahogyan történt a Feratsejtés bizonyítási kísérletei kapcsán aikor Kuer egalkotta az ideális száok eléletét. Valószínű a feladat jelentőségén túl Hilbertet kutatásai sarkalták arra hogy a diophantikus egyenletek probléáját besorolja olyan huszonháro probléa közé elyek egoldása jelentősen befolyásolhatja a tudoány fejlődését és aelyeket a XIX. század a XX. századra hagyatékozta. A diophantikus egyenletek között a Ferat-sejtés különös szerephez jutott. Azon túl hogy gyakorlati jelentőségét essze eghaladó ozgósító szerepet töltött be kutatásukban fékezte is egoldásukat jelentős tudoányos kapacitások lekötésével. 6

7 Ferat obilizáló ugyanakkor provokatív kihívása a probléa érthetősége egoldásának nehézsége illetve presztízse inden ateatikus érdeklődését becsvágyát hiúságát egragadja lebilincseli és többé ne engedi el az eredény produkálásáig vagy a kudarc belátásáig. Vele is ez történt. De it is írt 67-ben Pierre de Ferat a Bachet de Méziriac által 6-ben Diophantos űveiről kiadott könyv argójára? Igazán csodálatos bizonyítást találta arra hogy az n n n x y z egyenletnek n esetén nincs pozitív egész egoldása de a argó túl kicsi ahhoz hogy leírja. Ez a XVII. században argóra vetett néhány szó a ateatika történetének jelentős eseénye volt. Nezedékek sokaságát tudósokat aatőröket és dilettánsokat tartott alkotói rabságban bírta küzdeles erőpróbára. 49 év erőfeszítései is kevésnek bizonyultak az Igazán csodálatos bizonyítás reprodukálásához. Majd a sikertelen próbálkozások visszájára fordították Ferat jóindulatú inspiráló provokációját. Mert egyszerűbb a egoldást kétségbe vonni int produkálni vagy reprodukálni. A szkeptikusok beérték azzal a vélekedéssel hogy Ferat tévedett és bizonyítás híján ez ne opponálható. De a egszállottak ne adják fel a kutatást! Folytatják aíg az állítás ne nyer bizonyítást vagy cáfolatot. Ferat hagyatékával főiskolai diploa birtokában kijevi hadérnöki tanulányai kezdetén feketehajú huszonöt éves abiciózus fiataleberként iserkedte eg 965-ben. Szenvedélyesen egszerette a nagy Ferat-sejtést és kitartotta ellette két évtizednyi kudarcsorozat után is. Haladáso útját rontott kéziratos lapok ezrei szegélyezték pályá nehézségei egannyiszor keresztezték. De ne adta fel! Mondogatta ha van feladat van egoldása is esetleg neleges. Azt kell egtalálni! Minden kudarc után újra kezdte! Rabolta az időt önagatól a családtól bárhonnan bárikor! 7

8 986-ban rá osolygott a szerencse fény derült az átláthatatlan labirintus végén. A nagy sejtés rejtélye egoldódott! Átélhette a siker öröét. Ez kárpótolt a vesződségekért. Végre! Megtalálta a sejtés direkt egzakt bizonyítását! Minden cáfolat ellenére létezik a nagy Feratsejtésnek klasszikus direkt egzakt bizonyítása olyan ailyet produkálhatott Pierre de Ferat is! Ezzel Ferat állítása a csodálatos bizonyításról hihetőbbé vált! A siker nyilvános ünneplésére ne kerülhetett sor! A felhalozott iseretanyag arra predesztinált hogy eredényeet ne publikálja hane kaatoztassa a Ferat-sejtést is agába foglaló attól nagyságrendekkel fontosabb feladat kutatásával. Nevezetesen tegyek kísérletet Hilbert 0. ateatikai probléájának pozitív egoldására ely általános eljárás kidolgozását kitűzi ki a diophantikus egyenletek egoldására a létező negatív bizonyítás ellenére! A Ferat-sejtés bizonyításához huszonegy év kellett a0. probléa pozitív egoldásához ég ettől is több. Többször szándékozta feladni a kutatást. A agányos unka a hívatásos ateatikusok lekezelő elzárkózó előítélete és a 0. probléára létező a tudósvilág által elfogadott negatív bizonyítás lelki teherként telepedett rá és kétségeket ébresztett benne. Szerencsére ne így tette! Rendre született egy-egy részeredény aely enge igazolt és éltette a reényt hogy az elérni kívánt cél racionális és jó irányba haladok. Ez átsegített a élypontokon erőt adott a folytatáshoz. Kitartáso ne volt hiábavaló! Az eredények enge igazoltak! 8

9 A negatív bizonyítás ellenére létezik Hilbert 0. probléájának pozitív egoldása. Az általános ódszer ne a polinook fokára és együtthatóira vagy a egoldási halaz tulajdonságaira hane a száelélet alaptételére a száok koutatív tranzitív relatívprí és oszthatósági tulajdonságaira építkezik! Leírhatatlan elégedettséggel tölt el a polinoiális diophantikus egyenletek általános egoldhatóság-vizsgálati ódszerének létezése az annak rejtélyét és haróniáját transzponáló eredények szeléletessége! A hivatásoal járó fokozott igénybevétel és a 4 évig tartó kierítő kutatóunka egészségeet kikezdte haja kifehéredett erő egcsappant. Koro és átélt betegségei akadályoznak a feltárt általános ódszer koplex szárendszerben történő alkalazásához ég szükséges kutatások folytatásában. Ezért az elvégzett unka eredényeit a feltárt általános ódszert e könyv kiadásával közre ado hogy főűveet ég életeben elisertesse lássa alkalazását hasznosságát! Az általános ódszer koplex rendszerben történő alkalazásához szükséges iseretek eghaladják a kor tudoányos szintjét. Ezért feltárásuk az utókornak jelent kihívást és lehetőséget az alkotás szenvedélyes élényének átélésére Mert az alkotás szenvedélyes lángolás ait a tudásszoj becsvágy és közérdek szít de a közöny irigység és tudatlanság havaszt el! 9

10 BEVEZETÉS A agasabb fokú többváltozós algebrai egyenletek egészszáú egoldása a száelélet kieelkedő feladata. Megoldásukkal próbálkoztak ár az ókor neves ateatikusai és a későbbi évszázadok jeles tudósai. A ateatikusoknak a fokozott erőfeszítések ellenére se sikerült áttörést elérni és általános ódszert kidolgozni. Hilbert a ateatikusokat a diophantikus egyenletek kutatására inspirálta feltételezve hogy létezik a egoldásukra általános eljárás. Mi hátráltatta az általános ódszer feltárását? Tudoányosan: a diophantikus egyenletek eghatározó tulajdonságainak feltáratlansága és kettős iplicit jellege a változók iplicit paritása és a polinook irreducíbilitása. Vagyis annak a ténynek a feliserése hogy az egészszáú egoldások keresése következtében az egyenleteket a racionális egészszáok rendszere tulajdonképpen a száelélet alaptétele deterinálja. Ezért az általános ódszer létezési dileájának bizonyítási alapját csak a száelélet alaptétele képezheti! Mindeellett az egyenletek általános egoldása a polinook irreducíbilitása iatt csak a terészetes száokat tartalazó koplex rendszerben történhet a polinook lineáris felbontása ellett. Azonban ez a körülény egkérdőjelezi a negatív bizonyítást! Az elfogadott alapon történt bizonyítás így ne állhat eg! Hogy a negatív bizonyítás döntéshozó legyen bizonyítani kell az általános ódszer kialakításához szükséges releváns inforáció hiányát az egyenletekből. De ez a kísérlet az ellentétes állítás bizonyításához vezet! 0

11 Mentálisan: a negatív bizonyítás aely a pozitív egoldásra irányuló kutatások feladását sugallja! A továbbiakban az egyenlettípusonkénti ódszerek kutatása került előtérbe. Ezért a 0. probléa pozitív bizonyítása ne egy célirányos kutatás eredénye hane a Ferat-sejtés klasszikus bizonyításának szerencsés következénye. A sejtés klasszikus bizonyításából levont következtetések egkérdőjelezték a negatív bizonyítást! A 0. probléa szárendszereket és az algebrát átívelő probléa-halaz aelynek egoldása bonyolult eljárásokat vonz. Ezért az általános ódszer dileájának feloldása feltételezi az egyenletek tulajdonságainak valaint a diophantikus analízis és a koplex száelélet kapcsolódó összefüggéseinek feltárását és egvilágítását. A 0. probléa pozitív egoldásában a Ferat-sejtés klasszikus bizonyítása útutató csillaggá vált! Mi a sejtés rejtélye? A sejtés rejtélyét nagyobb rejtély a diophantikus egyenletek általános egoldhatóságának rejtélye fedi. A sejtést 986-ban történt bizonyítása óta ne övezi rejtély. Bizonyítása elvégezhető a terészetes száok rendszerében az általános ódszer részesete alapján. Paradoxnak tűnhet de az általános ódszer feltárásához a sejtés bizonyítása vezetett. A sejtés egoldó képleteinek kettőssége ( n esetén különbözőek a páros illetve páratlan onoára rendezett egyenletek egoldó képletei. sz. példa) ráutat az egyenletek összetett inonolit jellegére a egoldási etodikájuk kettősségére általánosan.

12 A Ferat-sejtés különösen alkalas e tény egvilágítására. A paraéteres egyenlet rendezhető tetszőleges paritású onoára és lévén n kitevőnél határozott indkét változatban egoldható. Az inonolit egyenlet és a páratlan onoára rendezett részegyenlet vizsgálata a terészetes száok rendszerében n esetén kivitelezhetetlen a páros onoára rendezetté kivitelezhető. Ennek a ténynek a ellőzése kudarchoz vezet. A sejtés korábbi bizonyítási kísérleteinek kudarcát az elkövetett hibákon túl az egyenletek és a koplex szárendszerek tulajdonságainak elégtelen iseretszintje a sejtés általános kutatás rovására forszírozott vizsgálata és a szubjektív egközelítés okozták. Általános vizsgálat nélkül ne tárhatók fel az egyenletek eghatározó tulajdonságai a szárendszerek és az algebra diophantikus analízishez kapcsolódó törvényszerűségei ai téves következtetésekhez vezet. A klasszikus bizonyítás lehetőségét különösen oszthatóság-vizsgálat útján eleve Ferat által a kopetens többség elvetette. A egalapozatlan előítélet pedig a kutatásokat a klasszikus ederből átterelte az iseretlen elvek árterére. Bár az ideális száok elélete úttörőnek bizonyult a sejtés bizonyítását ne adta az explicit paritás ellőzése az oszthatóság-vizsgálat elvetése a diophantikus analízis relatíve alacsony iseretszintje iatt. A sejtés bizonyíthatóságát oszthatóság-vizsgálat útján parciális tulajdonságának hasznosítása biztosítja! Az iplicit részegyenletek parciális tulajdonságai alatt azon tulajdonságaik összességét kell érteni elyek biztosítják vizsgálatuk kivitelezhetőségét a terészetes szárendszerben.

13 Kutatásai ne csak egkérdőjelezték D. Hilbert 0. probléájának negatív bizonyítását pozitív bizonyítást is adtak az általános ódszer létezési dileájára. A pozitív bizonyítás akkor is egáll ha inden poliniiális diophantikus egyenlet a ég ne oldható eg az általános ódszer segítségével. Ugyanis ez a tény ne az általános ódszer létezését kérdőjelezi eg ivel a ódszer a száelélet alaptételén áll. Kérdéses annak az iseretszintnek a birtoklása ai az általános ódszer alkalazásához szükséges a koplex szárendszerben. Így az általános ódszer alkalazhatóságának probléája ne diophantikus hane koplex-száeléleti. Ezt táasztja alá a ódszer univerzális alkalazhatósága. Például a ódszer alkalazása racionális törtfüggvények esetében (45. példa). Az alkalazásnak csak a polinook irreducíbilitása szab határt. Az elért eredények elősegítették a héroni diophantikus egyenlet kétezer éve aktuális egoldását a hároszögeket generáló általános explicit képletek levezetését (6. példa). A korábbi sikertelenséget az egyenlet túlhatározott jellege okozta. Isertek általánosnak ondott valójában parciális képletek aelyek a hároszögek egy részét generálják ivel kizárólag geoetriai egfontolásokból erednek és ne veszik figyelebe a diophantikus egyenletek tulajdonságait.

14 I. RÉSZ A MEGOLDHATÓSÁG-VIZSGÁLAT ELMÉLETE. A MEGOLDHATÓSÁG-VIZSGÁLAT ALAPJA A vizsgálat kivitelezésében a fő probléát az egyenletek tulajdonságainak rejtettsége valaint kettős iplicit jellege a változók iplicit paritása és a polinook irreducíbilitása okozza. Vagyis annak a ténynek a feliserése hogy az egészszáú egoldások keresése következtében az egyenleteket a racionális egészszáok rendszere ezen belül a száelélet alaptétele deterinálja. Ugyanakkor általános vizsgálatuk csak koplex rendszerben lehetséges. Az egyenletek együtthatói és gyökei közötti összefüggés áttekinthetetlen. Ábel bebizonyítása szerint ár az általános ötöd vagy agasabb fokú egy iseretlenes egyenletek esetében is. Ezért kizárt a 0. probléa egoldása korlátlan fokú és iseretlenszáú polinook együtthatói alapján. Így a polinookból közvetlenül eredő sorozatok ne tartalaznak releváns inforációt a egoldáshoz. A egoldási sorozatok irrekurzív jellege pedig következénye ne oka az általános algoritus hiányának! Ugyanis az algoritusok az egyenletekből szárazó egoldó képletekre építkeznek ne közvetlenül a polinookra vagy a egoldási sorozatokra. Így az általános algoritust ne a egoldási sorozat a következény jellege hane a egoldási képlethalaz az algoritus és egoldási halaz inforációforrásának végtelen tartala és jellege zárja ki. A belőle szárazó inforáció ellentond az általános algoritus követelényeinek. A egoldási halaz reálfolyaatok következénye így eleei eghatározhatók ásként akár általános ódszer alapján! Ezért a halaz irrekurziv jellege az algorituseléletből fakad csak azon belül értelezhető! 4

15 A rekurzíven felsorolható irrekurziv halaz létezésének és diophantikus jellegének inverz közvetett bizonyítása csak hitelesíti az általános algoritus hiányát a ódszer parciális jellegét alkalatlanságát a 0. probléa egoldására! Az általános ódszer invariáns a polinookra nézve ivel azok terészetes száokat generálnak vagy az egyenleteknek nincs egfelelő egoldása. Így a terészetes száokra vonatkozó inforáció kinyerése a koplex egoldó képletekből ne diophantikus hane koplex száeléleti probléa. Ennek nehézségei ne az általános ódszert kérdőjelezik eg hane a nélkülözhetetlen tudás birtoklását! A 0. probléa negatív bizonyítása ne áll eg. Algoritikus alapja parciális az általános ódszerre nézve irreleváns! Hogy döntéshozó legyen bizonyítani kell az inforáció hiányát az egyenletekből az általános ódszer kidolgozásához. De ez az ellentétes állítás bizonyításához vezet! Az általános ódszer dileájának feloldása csak akkor lehet eredényes ha feltárjuk az egyenletek tulajdonságait és egvilágítjuk a diophantikus analízis és a koplex száelélet kapcsolódó összefüggéseit aelyek ezt egalapozzák. Ezért bizonyítani kell hogy a diophantikus egyenletek az egészszáú egoldások keresése következtében rendelkeznek az általános ódszer kidolgozásához szükséges tulajdonsággal. Ez a tulajdonság a onoára vagy nullára rendezett egyenletek oldalainak racionális egészszáú egyenlősége függetlenül a száok egjelenítési forájától. Vagyis az azonos racionális egész száokat generáló onoák és polinook száértékeinek tényezőkre történő iplicit felbonthatóságának egyértelűsége a száelélet alaptételének egfelelően. 5

16 Az általános ódszer a száelélet alaptételére a száok koutatív tranzitív relatívprí és oszthatósági tulajdonságaira az egyenletek határozatlan határozott túlhatározott jellegét hordozó egoldó képletekre építkezik! Az állítás a definíció pontosítását igényli: "A diophantikus egyenletek: egész-együtthatójú algebrai egyenletek vagy egyenletrendszerek aelyekben az iseretlenek száa eghaladja az egyenletek száát és aelyek egész egoldásait kutatják. "A diophantikus egyenletek: a száelélet alaptétele által deterinált határozatlan határozott túlhatározott egészegyütthatójú algebrai egyenletek vagy. A diophantikus egyenlet összetett (inonolit). A változók paritása alapján felbontható részegyenletekre. A részegyenletek a terészetes száok tranzitív tulajdonságai alapján tovább bonthatók egyással és az egyenlőség szintjét adó onoával egyenlő két koponens egyenletre. A koponens egyenletek az algebra tételei szerint potenciálisan valós és koplex lineáris tényezők szorzatára bonthatók. A felbontások révén a részegyenletek explicitté válnak. Létezik szipla és kobinatív felbontás. Szipla felbontás esetén: a részegyenlet bal oldalát nulla racionális egész szá vagy változó onoa jobb oldalát a onoával egyenlő tényezőkre bontott polino képezi. Kobinatív felbontás esetén: a részegyenlet két oldalát egyással és az egyenlőség szintjét adó onoával egyenlő tényezőkre bontott polinook képezik. 6

17 Vagyis a terészetes száok tranzitív tulajdonságai alapján a részegyenlet két explicit részre osztásával és az azok egyenlőségszintjét adó onoa bevezetésével két szipla felbontású koponens egyenlethez jutunk. A két felbontási ód elégséges koplex iseret birtokában biztosítja az egyenletek iplicit jellegének feloldását a határozatlan határozott túlhatározott egyenletek kialakítását. A határozatlan egyenlet a változók választott értékeivel határozottá tehető. A határozott egyenlet egoldása evidens. A túlhatározott egyenletnek van egoldása ha a határozott száú lineáris tényező alapján száított értékek a aradványszorzóban a onoának egfelelő hatványt adják. Az iplicit részegyenletek általános vizsgálata koplex jellegű. A részegyenletek általános vizsgálata egyszerűbb int az inonolit egyenleteké elyek részegyenleteket és száeléleti probléákat integrálnak és történhet oszthatóság-vizsgálattal is. Szipla felbontás esetén a részegyenlet egoldásai egkaphatók a lineáris tényezőkből és a helyettesítési értékeikből eredő egoldó képletekből vagy bizonyítható hiányuk. Kobinatív felbontás esetén a egoldásokat a koponens egyenletek összetartozó ne triviális egoldásai adják. A koponens egyenletek egoldása azonos a szipla felbontású részegyenletekével. A koponens egyenletek összetartozó egoldásai a onoa értékének elei tényezőkre bontásával és e tényezők alapján a ásik koponens egyenlet egoldásával kaphatók eg. A onoa értéke az egyik koponens egyenlet egoldásával vagy változóinak választott értékekkel történő helyettesítésével produkálhatók. A onoa nulla értékénél a koponens egyenletek egoldásait a nullával egyenlő tényezőik a részegyenletek egoldásait a partikuláris koponens egyenletek összetartozó egoldásai adják. 7

18 . EGYENLETEK ELEMZÉSE ÉS FELBONTÁSA Az általános diophantikus egyenlet inonolit és hoogén ezért részegyenleteket és száeléleti probléákat integrál. Ezek a probléák akadályozzák inhoogenizálásukat közvetlen egoldásukat. Az inonolit egyenletek a változók explicit paritásának biztosításával részegyenletekre bonthatók és inhoogenizálhatók a terészetes szárendszerben. A probléát az iplicit és túlhatározott egyenletek egoldása jelenti. Az inonolit egyenlet felbonthatók részegyenletekre és indkettő koponens egyenletekre! Az inonolit egyenlet felbontása részegyenletekre. A felbontás a változók paritásának explikálásával paraéterek bevezetésével történik: x αx x 0y αy y 0z αz z 0 ahol α príszá xy z paraéter x 0 y 0 z 0 aradék. α esetén a változók a kettes szá többszörösei 0 vagy aradékkal. A felbontás eredényeként kapjuk: F i (x ) 0 F(x ) 0. α értékek esetén a változók paritása iplicit az inonolit egyenlet felbonthatatlan. α esetén a változók paritása explicit az egyenlet felbontható a részegyenletek egyértelűek. 8

19 Az egyenletek felbontása koponens egyenletekre és a koponens függvények felbontása tényezőkre. Az egyenletek felbontása koponens egyenletekre a terészetes száok tranzitív tulajdonságai alapján a felbontási lehetőségek elezésével és az egyenlőség szintjét eghatározó onoa bevezetésével történik: F(xy ) f ( ) f (x ) 0 f r f F(xy i ) f( ) f(x ) 0 f r f ahol f f onoa bino polino r az egyenlőség szintjét adó onoa. Az egyenletek felbontása koponens függvényekre: - iplicit ha f és f rendelkezik közös változóval - szipla ha f vagy f onoa - kobinatív ha f és f bino polino - partikuláris ha a onoa nullaértékű. A koponens függvények felbontása tényezőkre. A koponens függvények felbontása lineáris tényezők szorzatára az algebra tételeinek egfelelően történik. A felbontás: - iplicit ha tartalaz irreducíbilis tényezőt - explicit ha ne tartalaz irreducíbilis tényezőt - valós ha a koponens függvények valósak - koplex ha egyik vagy indkettő koplex. Az inonolit egyenlet felbontása részegyenletekre a változók paritásának explikálásáva történik. Az egyenletek felbontása koponens egyenletekre a felbontási lehetőségek elezésével és az egyenlőség szintjét adó onoa bevezetésével. 9

20 A felbontás racionális ha biztosítja az explicit részegyenletet és annak vizsgálatát. A koponens függvények felbontása tényezőkre az algebra és a száeléletek tételei alapján lehetséges. Az inonolit egyenlet és a részegyenlet általános esetben hoogén. Az első inhoogén jellege ne biztosítható ivel a változók paritása iplicit. A részegyenlet inhoogén jellege biztosítható az egyenlet onoa együtthatójával történő osztása és egyszerűsítése útján a tényezők relatívprí helyettesítési értékei ellett. A páros változó onoára rendezett részegyenlet egyszerűsíthető ivel a onoa paraéteres alakja is onoa! A páratlan változó onoára rendezett részegyenlet ne egyszerűsíthető ivel a onoa paraéteres alakja bino ai irreducíbilis hányadost ad! A vizsgálat korlátozható az inhoogén részegyenletekre ivel a hoogén és partikuláris-hoogén egoldások egkaphatók az inhoogén egoldásokból vagy a tényezők hoogén értékei alapján. ahol A részegyenlet inhoogenizálásával kapjuk: f r f f i k s r A (r ) (r ) (r ) (r ) f j +i+ +s i k s +i+ +s 0 j i k s j i k s r0 rr (r ) rj f/ A r r r (r ) r f/ A r A (r) (r ) (r ) (r) a hoogén részegyenlet választott onoája az inhoogén részegyenlet onoája i s a onoa páros eleei +i+ +s +i+ +s kitevőinek összege A f és f osztója f/ A és +i+ +s f/ A egyással és a onoával egyenlő hatványok. 0

21 A részegyenlet kobinatív felbontásával és inhoogenizálásával két szipla felbontású koponens egyenlethez jutunk: r r (r ) r f (x )/ A (a) i k s +i+ s p r r (r ) r f ( ) / A (b) i k s +i+ s p ahol f / A f / A a onoával egyenlő hatványok. +i+ s +i+ s A részegyenlet szipla iplicit felbontása f Const. N ellett explikálható. f 0 esetén az egyenlet partikuláris! Az inonolit egyenlet rendezhető rejtett paritású onoára és nullára ivel változóinak paritása iplicit és változó aihez a egoldás ódszere ne igazodik hane generálja a változók paritását a tényezők választott helyettesítési értékei által. A változók iplicit paritása és a polinook irreducíbilitása iatt az egyenletek általános vizsgálata a terészetes száok rendszerében kivitelezhetetlen. A részegyenlet rendezhető explicit paritású onoára és nullára ivel változóinak paritása explicit és állandó az inonolit egyenlet elezése és felbontása révén aihez a egoldás ódszere igazodik. Ezért a részegyenlet vizsgálata kivitelezhető oszthatóság-vizsgálat útján is. A polinook irreducíbilis jellege iatt az iplicit egyenlet általános vizsgálata a terészetes száok rendszerében kivitelezhetetlen.

22 II.RÉSZ EGYENLETEK MEGOLDHATÓSÁG-VIZSGÁLATA. VIZSGÁLAT SZIMPLA FELBONTÁSSAL A részegyenlet inhoogenizálásával kaptuk: ahol f A(r ) (r ) (r ) (r ) f i k s j f / Ar r (r ) r f / A +i+ +s i k s +i+ +s j r r r (r ) r az inhoogén részegyenlet i k s 0 j választott onoája i s a onoa páros eleei kitevőinek összege i s i s A f és f osztója f/ A és i s f/ A a onoával egyenlő hatványok. Szipla felbontás esetén az egyik függvény onoa: f (x ) A (x ) (y ) (z ) (w ) f ( ) i k s j x y (z ) w f ( )/ A i k s +i+ +s j ahol x y (z ) w onoa. i k s j A száok törzstényezőkre bontása a terészetes szárendszerben egyértelű koplex rendszerben szükségszerűen többértelű. Másként a diophantikus egyenletek irreducíbilis polinojai felbonthatatlanok volnának a koplex rendszerben is. Az egészszáú egoldások keresése iatt a diophantikus egyenletekben az irreducíbilis polinook is terészetes száokat generálnak vagy a részegyenletnek nincs egfelelő egoldása. Így az általános ódszer szükségszerűen invariáns az egyenletekre és a szárendszerekre nézve.

23 Fentiek alapján a diophantikus egyenleteket koplex rendszerben is a száelélet alaptétele deterinálja! Mivel koplex rendszerben a polinook potenciálisan felbonthatók gyakorlati lehetőség nyílik az egyenletek vizsgálatára általános ódszer alapján. Egészszáú egoldások keresése okán a száelélet alaptétele értelében az egyenlet két oldalán azonos príszáok szorzata áll függetlenül azok egjelenítési ódjától. Ezért a onoa és a polino azonos terészetes száot generál vagy az egyenletnek nincs egfelelő egoldása. Szipla felbontás esetén a polinoiális diophantikus egyenletek a száelélet alaptételére és a terészetes száok tranzitív tulajdonságaira építkezve felírhatók az alábbiak szerint: x y (z ) w f ( )/ A VV V i k s +i+s j i k s +i+ +s ahol xy( z) w onoa f polino f / A a onoának egfelelő hatvány i s a onoa páros +i+ +s eleei kitevőinek összege A felbontás osztója j f tényezőinek a száa p a onoa változóinak a száa (V V j) d tényezők helyettesítési értékei. x f y z V Vj Egyváltozós onoa esetén: x f (y z )/ V Vj ahol i f(y z) x f y z V V V x VVV ahol i.

24 Az inhoogén koplex egyenletek inhoogének a terészetes száok vonatkozásában is. Azonban az ellentétes állítás ne igaz. De a diophantikus egyenletek esetében ez irreleváns ivel hoogén és inhoogén jellegük invariáns a szárendszerekre nézve a terészetes szárendszer egyoldalú függősége iatt a koplex rendszertől. Szipla felbontás esetén a részegyenlet: - határozatlan i k esetén - határozott i k illetve változó r onoa esetén - túlhatározott i k esetén - iplicit s illetve iplicit felbontás esetén - partikuláris a onoa nulla értéke esetén ahol: i f eltérő lineáris valós tényezőinek a száa k f változóinak a száa s az irreducíbilis tényező foka. A határozatlan és határozott egyenletek vizsgálata elvégezhető a terészetes száok rendszerében. A túlhatározott egyenleteknek van egoldása ha a változók határozott száú lineáris tényező alapján száított értékei az összevont aradványszorzóban a onoának egfelelő hatványt adják. Az iplicit egyenletek általános vizsgálata koplex. Kivételt a páros onoára rendezett iplicit részegyenlet jelent ha rendelkezik egoldást nyújtó parciális tulajdonsággal illetve explicit kobinatív felbontással. Például parciális tulajdonsággal bír a negyedik hányados ai hasznosítható oszthatóság-vizsgálathoz (. példa): n /n n /(n)(n)/(n)(n )/n. 4

25 Az összefüggések alapján elégséges koplex iseret birtokában a egoldó képletek és a egoldások egkaphatók vagy bizonyítható a egoldások hiánya. A páratlan változó onoára rendezett részegyenletnek egy a páros onoára rendezettnek száos egoldási változata lehet a onoa és a polino jellegétől függően. Az iplicit részegyenletek általános vizsgálata az irreducíbilis szorzók iatt koplex jellegű. Ezért a polinook lineáris felbontásán túl feladatot jelent annak egállapítása hogy a koplex egoldó képletek ikor generálnak a onoának egfelelő száot ha a valós egoldó képletek csak ilyeneket adhatnak vagy az részegyenletnek nincs egfelelő egoldása. Az egyenletek ne indig rendelkeznek a feltételeknek egfelelő egoldással ivel ne indig léteznek az egyenleteket kielégítő terészetes száok. Az iplicit egyenlet egoldhatósága parciális tulajdonságaitól és a kettes szától függ aelyek biztosítják: - a páros onoák aradék nélküli explicit osztását - a páratlan onoák egységnyi aradékos explicit osztását - az explicit paritást - az inonolit egyenlet felbontását részegyenletekre - az oszthatóság-vizsgálat explicit jellegét - a részegyenlet inhoogenitását a terészetes szárendszerben - a vizsgálat kiterjesztését valaennyi terészetes szára. 5

26 Oszthatóság-vizsgálat parciális tulajdonság birtokában: - az egyenlet jobb oldalán vagy tényezőjében tört keletkezik: egoldás nincs ivel a tört ellentond az alaptételnek. Megoldhatóság-vizsgálat parciális tulajdonság hiányában: - a kobinatív felbontás lehet explicit - a koponens egyenlet rendelkezhet parciális tulajdonsággal - a vizsgálat koplex jellegű. 6

27 . VIZSGÁLAT KOMBINATÍV FELBONTÁSSAL A kobinatív felbontás ódszere a száelélet alaptételére a terészetes száok tranzitív koutatív relatívprí és oszthatósági tulajdonságaira valaint a szipla felbontás ódszerére épül. Így a két eljárás együtt kopleenter általános ódszert képez a diophantikus egyenletek egoldhatóság-vizsgálatára. A részegyenlet felbontásával és inhoogenizálásával kapjuk: ahol f A (r ) (r ) (r ) (r ) f i k s j f/ Ar r (r ) r f/ A +i+ +s i k s +i+ +s j r r r (r ) r az inhoogén részegyenlet választott i k s 0 j onoája is a onoa páros eleei kitevőinek i s összege i s A f és f osztója f/ A i s f/ A a onoával egyenlő hatványok. Kobinatív felbontással két koponens egyenletet kapunk aelyben f f bino polino a onoa r elsőfokú változó vagy a feladathoz választott: f/ Arr(r ) r i s i k s j i s i k s j f / A r r (r ) r. Egészszáú egoldások keresése iatt az irreducíbilis polino is terészetes száokat generál vagy a részegyenletnek nincs egfelelő egoldása. Ezért a részegyenletet függetlenül koplex jellegétől a száelélet alaptétele deterinálja. 7

28 Koplex rendszerben a koponens függvények potenciálisan lineáris tényezőkre bonthatók. A nevezett két körülény és a terészetes száok tranzitív tulajdonsága lehetőséget teret a koponens egyenletek és a részegyenlet vizsgálatára általános ódszer alapján. Kobinatív felbontás esetén a polinoiális diophantikus egyenletek a száelélet alaptételére és a terészetes száok tranzitív tulajdonságaira építkezve felírhatók az alábbiak szerint: f/ A rr(r ) r VVVV i s i k s j j f / A r r (r ) r U U U U i s i k s j j' i k s ahol r r (r ) rj onoa f f bino polino +i+ +s +i+ +s f/ A f/ A a onoának egfelelő hatványok i s a onoa páros eleei kitevőinek összege +i+ +s A az f f osztója p a onoa változóinak a száa (V V ju U j' ) d f f tényezőinek az értéke. A részegyenlet koponens egyenletei:. f / A r r (r ) r V V V i s i k s j j +i+s i k s p j'. f / A r r (r ) r U U U ahol j ftényezőinek a száa j' f tényezőinek a száa. 8

29 Kobinatív felbontás esetén a részegyenlet: - határozott ha i k érték ellett az egyik egyenlete határozott - határozatlan ha egyik határozatlan a ásik ne határozott - túlhatározott nincs ha egyik egyenlete túlhatározott határozottá határozatlanná iplicitté válik a ásik jellegétől függően - iplicit ha felbontása egyenletekre iplicit ha indkét egyenlete iplicit túlhatározott vagy kobinációjuk - partikuláris ha a onoa értéke nulla. A részegyenlet iplicit a függvények lineáris felbontása esetén is ha a koponens egyenletek túlhatározottak ivel azok indegyike egszabja a onoa értékét! A koponens egyenletek vizsgálata egegyezik a részegyenletek vizsgálatával szipla felbontás esetén. A határozatlan és határozott koponens egyenletek vizsgálata elvégezhető a terészetes száok rendszerében. A túlhatározott koponens egyenletnek van egoldása ha a változók i k lineáris tényező alapján száított értékei a aradványszorzóban a onoának egfelelő száot adják. Az iplicit koponens egyenletek általános vizsgálata koplex. A részegyenletnek van egoldása ha a koponens egyenleteknek van összetartozó ne triviális egoldása is! A kobinatív felbontással iplicit részegyenlet szipla koplex felbontással explikálható f * ( ) Const ellett vagy parciális tulajdonságai alapján (4. példa). f( ) 0 esetén az egyenlet partikuláris a száelélet alaptételének egfelelően ivel a nulla ne állítható elő száok szorzataként. 9

30 A száelélet alaptételére és a szipla felbontás ódszerére építkezve a koponens egyenletek egoldásai egkaphatók vagy bizonyítható hiányuk. A részegyenlet egoldásait a száelélet alaptételére és a száok tranzitív tulajdonságaira építkezve a koponens egyenletek összetartozó ne triviális egoldásai adják a részegyenlet tényezőinek relatívprí értékei ellett vagy bizonyítható a egoldás hiánya. A koponens egyenletek összetartozó ne triviális egoldásai a onoa száértékének elei tényezőkre történő felbontásával és e tényezők alapján a ásik koponens egyenlet egoldásával kaphatók eg. A onoa értékei az egyik koponens egyenlet egoldásával vagy változóinak választott értékekkel történő helyettesítésével produkálhatók. A partikuláris koponens egyenletek egoldásait a nullával egyenlő tényezőik a partikuláris részegyenlet egoldásait pedig a partikuláris koponens egyenletek összetartozó egoldásai adják. Az iplicit részegyenlet vizsgálatára a terészetes száok rendszerében páros onoára rendezés ellett van esély ha az egyik koponens egyenlet rendelkezik parciális tulajdonsággal. Kobinatív felbontás esetén az egyenletek valaennyi egoldása a partikuláris egoldások kivételével egkapható elsőfokú változó onoánál ivel a agasabb fokú onoa is terészetes száot generál vagy az egyenleteknek nincs egfelelő egoldásuk. Ezért a vizsgálat összetett onoánál csak akkor racionális ha a feladat így definiált. 0

31 III. RÉSZ. ÖSSZEFOGLALÁS A egoldhatóság-vizsgálat általános ódszerének feltárásában a fő probléát a diophantikus egyenletek tulajdonságainak elégtelen iseretszintje és kettős iplicit jellege a változók iplicit paritása és a polinook irreducíbilitása okozza. Vagyis annak a ténynek a feliserése hogy egészszáú egoldások keresése következtében az egyenleteket a racionális egészszáok rendszere ezen belül a száelélet alaptétele deterinálja ne a polinook foka és együtthatóinak értéke vagy a egoldási sorozatok tulajdonsága. Továbbá hogy a Hilbert által követelt általános ódszer és a negatív bizonyítás tárgyát képező általános algoritus különböző fogalakat takar. Ugyanis utóbbi ne létezik. A konkrét algoritusok pedig alá vannak rendelve az általános ódszernek a belőle eredő egoldó képleteknek aelyek generálják a egoldási sorozatokat szükség esetén algoritusok által. Így az általános ódszer dileájának feloldása lehetetlen az egyenletek tulajdonságainak feltárása valaint a diophantikus analízis és koplex száelélet összefüggéseinek egvilágítása nélkül aelyek ehhez az alapot adják. A diophantikus egyenletek tulajdonságainak feltárása és kettős iplicit jellegének egvilágítása utat tört azok egoldhatatlanságának feliseréséhez a polinook foka és együtthatói illetve a egoldássorozatok tulajdonságai alapján ivel belőlük ne szárazik releváns inforáció a egoldási halaz így az általános ódszer kialakításához. Továbbá hogy a diophantikus egyenletek fokszá szerinti osztályozása fentiek iatt ne reprezentatív egoldhatóságukra nézve!

32 Mivel nincs bizonyított képletekben kifejezett összefüggés a polinook és a egoldási sorozatok között belőlük ne ered inforáció az általános algoritus és az általános ódszer dileáinak közvetlen feloldásához! Ezért a következényre a egoldási sorozatok jellegére építkező algoritikus közvetett bizonyítás parciális csak az általános algoritusra nézve releváns! Tehát a polinook és az egyenletek eddig tanulányozott tulajdonságai ne zárják ki az általános ódszer létezését! A kizáráshoz bizonyítani kell a szükséges inforáció hiányát az egyenletekből! Az inforáció hiánya a polinookból evidens az elondottak alapján. Azonban az egyenletek szükségszerűen tartalazzák. Az általános ódszert az egyenletek két oldalát alkotó onoák és polinook terészetes száértékeinek törzstényezőkre történő iplicit egyértelű felbonthatósága deterinálja. Az általános ódszer a egoldási képlethalaz száelélet alaptétele által deterinált levezetésében ölt testet! Az általános ódszer invariáns a polinookra nézve ivel ind terészetes száot generál vagy a részegyenletnek nincs egfelelő egoldása. Azonban e száok kinyerése a koplex egoldó képletekből túlnő a diophantikus analízis keretein és a koplex száelélet területére vezet. Az egyenletek oldalait képező onoák és polinook racionális egész értékeinek törzstényezőkre történő egyértelű iplicit felbonthatóságára azaz a száelélet alaptételére a száok koutatív tranzitív relatívprí és oszthatósági tulajdonságaira épülő kopleenter általános ódszer egfelel Hilbert feltételeinek!

33 Az iplicit egyenletek egoldásához az általános ódszer koplex eljárásokat igényel. Ezért a polinook lineáris felbontásán túl feladatot jelent az iplicit egyenletek azon tulajdonságainak feltárása elyek eghatározzák hogy a koplex egoldó képletek a onoának egfelelő terészetes száokat generálnak ha a valósak csak ilyeneket adhatnak vagy az egyenletnek nincs egfelelő egoldása. A diophantikus egyenletek az algebra isert és perspektivikus lehetőségeinek birtokában explikálhatók és csak határozatlan határozott vagy túlhatározott jelleggel bírnak. A határozatlan egyenlet a változók választott értékeivel határozottá tehető. A határozott egyenlet egoldása evidens. A túlhatározott egyenletnek van egoldása ha a változók i k tényező alapján száított értékei a aradványszorzóban a onoának egfelelő hatványt eredényezik. A onoák és polinook sokfélesége a száelélet alaptételének alárendelt egoldó képletek sokféleségét generálja. A egoldó képletek végtelen halaza az algoritusok és egoldási sorozatok inforációforrása kizárja az általános algoritust de invariáns az általános ódszerre saját forrására nézve! Az általános ódszert egyenletek vizsgálata szelélteti (V. rész). A vizsgálat rávilágít az általános ódszer lényegére a kényszerű koplex vizsgálatra iplicit egyenletek esetében a határozott egyenletek egoldhatóságára véges eljárások keretében a terészetes száok rendszerében.

34 Az a tény hogy tetszőleges iplicit egyenlet az általános ódszer alapján a ég ne oldható eg ne a ódszer általánosságát kérdőjelezi eg. Kérdéses az ehhez szükséges koplex iseret birtoklása! Az általános ódszer létezése optiizust fakaszt. A rá alapozható erőfeszítések kétséget kizáróan feltárják a koplex száelélet diophantikus analízishez kapcsolódó akacs rejteleit is biztosítva tetszőleges polinoiális egyenlet egoldhatóságát! 4

35 IV. RÉSZ. A NEGATÍV BIZONYÍTÁS ELEMZÉSE A 0. probléa egfogalazása: Adott egy tetszőleges racionális egészegyütthatós diophantikus egyenlet. Kidolgozandó egy általános eljárás aely véges folyaatban biztosítja annak eldöntését hogy az egyenletnek van vagy nincs racionális egész egoldása. Hilbert általános ódszert követelt és feltételezte hogy az létezik! A ódszer kizárása ne vetődött fel ivel az algorituselélet később keletkezett. Így Hilbert olyan eljárást követelt aely során az eber egységes logikai és száítási űveletsort követ bárely polinoiális diophantikus egyenlet egoldásához. Az algorituselélet felől közelítve a probléát így fogalazzák: létezik-e olyan algoritus aely az adott egészegyütthatós F(xy ) polino alapján véges folyaatban képes egállapítani hogy az F(xy ) 0 egyenletnek van vagy nincs egész egoldása?. A ne adekvát kérdésre adott közvetett negatív válasz helyes! Bár az algoritus követelényei iatt a közvetlen válasz is negatív az általános algoritus inforációforrása végtelen a 0. probléa egoldása e tényekből ég ne következik! Az elélet szerint: az algoritus létezik ha a sorozat rekurzív a sorozat rekurzív ha létezik algoritus. A eghatározások kölcsönösek külső inforációforrás egoldási képlethalaz vagy egoldási sorozatok nélkül irrelevánsak. 5

36 A negatív bizonyítás a rekurzíven felsorolható irrekurzív sorozatok létezésére építkezik és ellőzi az alternatívát! Azonban a egoldási sorozatok a következény tulajdonságai a 0. probléára nézve irreleváns utatók! Hiszen a 0. probléa a egoldási sorozatok forrását annak előállítási ódját agát az általános ódszert követeli ne a sorozatok algoritikus tulajdonságait aelyek csak az algorituselélet keretein belül érvényesek! A negatív bizonyítás ne vizsgálja az általános ódszer kidolgozásának lehetőségét a egoldási sorozatok forrásának és tulajdonságainak feltárása céljából! Először: Ábel bizonyította hogy az egyváltozós ötöd-és agasabb fokú egyenletekre ne létezik általános eljárás aely az egyenletek gyökeit az együtthatókkal fejezné ki. Nyilván ert összefüggésük áttekinthetetlen. E bizonyítás ég eggyőzőbb korlátlan fokú és iseretlenszáú egyenletekre vonatkoztatva. Másodszor: az algorituseléletben bizonyított a rekurzíven felsorolható irrekurzív sorozatok létezése. Azonban ehhez a sorozatot létre kell hozni. Így a egoldási sorozat reálfolyaatokból ered és eleei eghatározhatók. Tehát a egoldási sorozat eleei ne általában eghatározhatatlanok hane a halaz irrekurzív az algorituselélet alapján. Így a halaz irrekurziv jellege ne oka hane következénye az algoritus hiányának! Tehát az általános algoritus hiányának valódi oka az hogy a végtelen egoldási képlethalazból eredő végtelen inforáció ellentond az algoritus követelényeinek. Hangsúlyozni kell hogy a rekurzíven felsorolható irrekurzív sorozatok létezése hitelesíti az általános algoritus hiányát de ne zárja ki a halaz eleeinek eghatározását ásként akár általános ódszer alapján! 6

37 A bizonyítás tanulságos ert a polinookra és az algoritusokra építkezik az egyenletek helyett és a 0. probléa kapcsán ellentétes következtetéshez vezet! Óvatlan egközelítés esetén úgy tűnhet hogy a negatív bizonyítással a 0. probléa végérvényesen lezárható. Azonban a bizonyítás egtévesztő! Az általános ódszer hiánya ne következik az általános algoritus hiányából de rávilágít a parciális igazság egtévesztő általánosítására! Hisz az irrekurzív sorozat csak az algorituseléletben értelezhető. A sorozat attól irrekurzív hogy eleeinek feliseréséhez nincs algoritus. Azonban ez ne zárja ki a halaz eleeinek eghatározhatóságát általánosan. Az egyenletek és a egoldó képletek tulajdonsága áttekinthetetlen a polinook foka együtthatói a egoldási sorozatok tulajdonságai alapján. Ezért belőlük ne szárazhat inforáció az általános ódszer kialakításához. Azonban az általános algoritus hiányát bizonyítja az általános ódszer a belőle eredő végtelen egoldási képlethalaz! Tehát az általános ódszer és az általános algoritus különböző fogalak. Előbbi általános eljárást ad a egoldó képletek egyenletekből történő összeállításához. A egoldó képletek pedig tetszőleges sorrendben generálják a egoldás eleeit vagy adják hiányuk bizonyíthatóságát. Utóbbi viszont ne létezik. A egoldó képletekre épülő konkrét algoritusok pedig szükség esetén algoritikus úton adják a sorozatok eleeit növekvő sorrendben vagy bizonyítják hiányukat. Így az általános ódszernek alárendelt végtelen egoldási képlethalaz az algoritusok és egoldási sorozatok inforációforrása közvetlenül és közvetve kizárja az általános algoritust. 7

38 Összegezve ki kell eelni hogy a negatív bizonyítás visszavezethető a bizonyítási alap hibás egválasztására a kiinduló illetve záró fogalak téves értelezésére. A bizonyítás valójában az algoritikus ódszer alkalatlanságát bizonyítja a 0. probléa egoldására. Az eredények objektív elezése az algoritusok és egoldási halazok inforációforrásainak kutatása eredényezhette volna az általános ódszer feltárását. A negatív bizonyítás ellőzi az egyenletek alárendeltségét az alaptételnek a egoldási sorozatok és az algoritusok alárendeltségét a egoldó képleteknek. A 0. probléa egoldása hiteles alapokat és az elégséges feltételek teljesítését igényli! Ezeket a követelényeket a negatív bizonyítás ne teljesíti! Hogy a pozitív bizonyítás döntéshozó legyen az egyenleteknek rendelkezniük kell az általános ódszer kidolgozásához alkalas tulajdonsággal. A egoldási halaz alá van rendelve a egoldó képletek halazának így az alaptételének is. Ez adja az általános ódszer invariáns jellegét a diophantikus egyenletekre nézve Hilbert feltételeinek egfelelően! A tanulány bizonyítja hogy az egyenletek rendelkeznek az általános ódszer kialakításához szükséges tulajdonsággal. Ez a tulajdonság egészszáú egoldások keresése következtében az egyenlet oldalait képező onoák és polinook terészetes száértékeinek egyértelű iplicit felbonthatósága törzstényezőkre függetlenül a száok egjelenítési forájától. Így az általános ódszer a száelélet alaptételére a száok koutatív tranzitív relatívprí és oszthatósági tulajdonságaira építkezik. 8

39 Az általános ódszer az egyenletek határozatlan határozott túlhatározott iplicit jellegét hordozó végtelen egoldási képlethalaz száelélet alaptétele által deterinált levezetésében ölt testet! A diophantikus egyenletek a belőlük szárazó egoldó képletek szükségszerűen tartalazzák a egoldhatóságukra vonatkozó inforációt. Általános esetben ez az inforáció potenciálisan kinyerhető a koplex szárendszerekben. Ezért ne az általános ódszer a kérdéses az a száelélet alaptételéből következik hane annak az iseretnek a birtoklása ai az inforáció kinyeréséhez szükséges a koplex egoldó képletekből hasonlóan kinyeréséhez a határozott egyenletek valós egoldó képleteiből. Az iplicit egyenletek egoldása kényszeríti a koplex száelélet diophantikus analízishez kapcsolódó részeinek átfogó kutatását! 9

40 . SZ. PÉLDA: Az V. RÉSZ PÉLDÁK MEGOLDÁSA n n x y z 0() egyenlet vizsgálata Az egyenlet elezése és felbontása Kiinduló adatok: x y z pozitív egészek. Az egyenlet inonolit hoogén n kitevő ellett túlhatározott n esetén pedig a Ferat-sejtést adja. Az egyenlet négy részegyenletre bontható: n n a. (x ) (y ) (z ) 0 n n b. (x ) (y ) (z ) 0 n n c. (x ) (y ) (z ) 0 n n d. (x ) (y ) (z ) 0. Az a részegyenlet vizsgálata Írjuk fel a paraéteres részegyenletet: n n x z y (). A részegyenlet hoogén n kitevő esetén túlhatározott iplicit. Inhoogenizálás után kapjuk: x n n z y z y V V (). -p- 40

41 Írjuk fel a egoldási változatokat: ahol (z y ) p zy V zy V.. (V p V ) d. V V elei tényezők vagy szorzatuk szorzó együtthatója p a tört osztója. p a. n (k )q p (q terészetes szá) esetén a. változat alapján a részegyenletnek nincs egoldása V tört. Az. változat pedig végtelen próbálkozást igényel. A vizsgálat a részegyenlet parciális tulajdonságának hasznosításával explikálható! Az iplicit egyenletek parciális tulajdonságát azon tulajdonságaik összessége képezi elyek biztosítják vizsgálatuk kivitelezhetőségét a terészetes száok rendszerében. Jelen esetben ez a. szá és a törtegyütthatós bino azon tulajdonságát jelenti ely explikálja a részegyenlet oszthatóság-vizsgálattal végzett vizsgálatát. x A parciális tulajdonság hasznosításával kapjuk: z y (z ) / (y ) / n n n n n n n (z/) (y/) n np n (z y ) / V V x V V (V V ) d. (4) 4

42 n p ahol (z y ) / elei tényezők vagy szorzatuk n p n a. szorzó osztója a tört osztója. Írjuk fel a egoldás két változatát: n (zy ) V (zy ) V.. np p V V (5). A diophantikus egyenleteket a száelélet alaptétele két n-ed fokú változó különbségének felbontását Newton binoiális tétel határozza eg! Így n kitevők esetén a részegyenlet egoldhatóságának kettős feltétele van. Vizsgáljuk eg a kettős feltétel teljesíthetőségét. Az első állítás bizonyítást nyert az eléleti részben. A ásodik állítás bizonyítása. Írjuk fel alakítsuk át a két n-ed fokú hatvány különbségét és bontsuk fel a newtoni binoot: n n n n z y z (zr) 0 n- n n n n n n n n n n n n z z z r z r z r r ahol yz r. Az r kieelésével és r z y behelyettesítésével kapjuk: n n n n n n n z y (z y) z z y z y zy y. 4

43 n n A (z/) (y /) kifejezés esetében a felbontás explicit oszthatóság-vizsgálatot eredényez: n n n p (z /) (y /) (z y ) /. n n Mivel a (z/) (y /) kifejezés felbontása egfelel a binoiális tételnek az egyenlet felbontása tényezőkre pedig ellentond a száelélet alaptételének a részegyenletnek n kitevők esetén ne létezik a feltételeknek egfelelő egoldása: kizárt a kettős feltétel teljesítése. A V szorzó tört indkét egoldási változatban! Az (5) egoldó képletek alapján n (k )q esetén a részegyenletnek nincs inhoogén egoldása V indkét egoldási változatban tört. Kivételt az n illetve az eset jelent. Ezért elegendő vizsgálni a részegyenletet az k n értékeknél valaennyi értékénél. A részegyenlet vizsgálata n esetén A részegyenlet határozott: i k. Az első egoldási változat alapján kapjuk: x V V y (V V )/ z (V V )/ ahol V.. ( V ) V páratlan (VV ) d x x VV y V V z V V Visszahelyettesítéssel ellenőrizzük a egoldást: (V V ) (V V ) (V V ) 4

44 (V ) V V ( V ) (V ) V V ( V ) (VV ). A ásodik egoldási változat alapján kapjuk: x VV y ( V V )/ z ( V V )/ x =x =VV y y V V z z V V ahol V (V ) V páratlan (VV ) d. Visszahelyettesítéssel ellenőrizzük a egoldást: (V V ) ( V V ) ( V V ) ( V ) V V (V ) ( V ) V V (V ) (VV ). A két változat adja a részegyenlet inhoogén egoldásait. Az n kitevők esetén a két egoldási változat azonos és a Ferat-sejtés egoldásait adja ahol V V (V V ) d ellentétes paritású relatívprí száok. A hoogén egoldások az inhoogénekből vagy (V V ) d értékek ellett képezhetők. Az inhoogén hoogén és partikuláris hoogén egoldásokból további partikuláris hoogén egoldások képezhetők. n kitevők esetén a páratlan onoára rendezett részegyenlet is egoldható ivel i k A paraéteres részegyenletből kapjuk: 44