Lineáris egyenletrendszerek. GAUSS ELIMINÁCIÓ (kiküszöbölés)

Átírás

1 LINEÁRIS ALGEBRA Bércesné Novák Ágnes Honlap: Követelményrendszer: Gauss elimináció Vektoralgebra:

2 Lineáris egyenletrendszerek GAUSS ELIMINÁCIÓ (kiküszöbölés)

3 Definíció: A lineáris egyenletrendszer (nevének megfelelően) lineáris egyenletekből áll. Lineáris az egyenlet, ha a benne szereplő ismeretlenek legfeljebb első hatványon szerepelnek. A lineáris egyenletrendszer általános alakja n m: Példa: a +a + a a n n =b a +a + a a n n =b a +a + a a n n =b a m +a m + a m a mn n = b m = = = =

4 Hol fordulnak elő egyenletrendszerek? - Mindenhol, pl.: - Csillagászat: Gauss és a Ceres kisbolygó (asterodia) - Közgazdaságtani számítások - Biológiai számítások - Fizikai számítások - Kémiai számítások

5 CSILLAGÁSZAT Lineáris egyenletrendszerek és a Ceres aszteroida éjjel, 4 megfigyelés Febr.., ELTŰNT! Napárnyék éjjel, 4 megfigyelés (idő, szög, szög) Guiseppi Piazzi Felfedezte a Ceres-t 8, Jan. Szeptemberben publikálta

6 Carl Friedrich Gauss (777-8) Elimináció Ceres! 8 jan.. Komple számok bizonyította be először az ALGEBRA ALAPTÉTELÉT. Ha p() n-edfokú polinom, n >, melynek együtthatói komple számok, akkor a polinomnak a komple számok körében multiplicitással számolva n gyöke van. Példa:

7 Carl Friedrich Gauss (4), Megoldotta a 7 egyenletből és ismeretlenből álló rendszert GAUSS eliminációval Sir Isaac Newton Az ilyesfajta számítások a legnehezebbek az astronómiában Gauss vázlata a Ceres pályájáról. Ceres képe a Hubble távcsővel

8 KÖZÉPISKOLA Lineáris, kétismeretlenes egyenletrendszerek közös pont Egy megoldás: X=, y=- Az egyenletek konzisztensek Nincs közös pont,az egyenesek párhuzamosak Nincs megoldás Inkonzisztens, ellentmondó egyenletek Minden pont közös Végtelen sok megoldás Összefüggő (és konzisztens) egyenletek

9 A fenti tapasztalat általában is igaz: Minden lineáris egyenletrendszernek () vagy pontosan egy megoldása van, () vagy végtelen sok megoldása van () vagy nincs megoldása

10 Síkok helyzete a térben Bizonyítható,hogy az egyenesekhez hasonlóan a síkok egyenlete is a térben lineáris. ismeretlenes lineáris egyenletrendszer sík helyzetét írja le. Írja az ábrák alá a megfelelő állítás számát! Minden lineáris egyenletrendszernek () vagy pontosan egy megoldása van, () vagy végtelen sok megoldása van () vagy nincs megoldása

11 Példa: LÉPCSŐS ALAK ÉS MEGOLDÁSA y y z z z 9 () () () y z () y ( ) y z () 9, y, z

12 De ha nem lépcsős?! Akkor azzá tehető, hiszen: - Szabad egyenleteket felcserélni - Nem nulla számmal szorozni - Egyik egyenlet számszorosát a másikhoz hozzáadni Fentieket elemi sorműveleteknek nevezzük. GAUSS ELIMINÁCIÓ: Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra hozzuk

13 GAUSS ELIMINÁCIÓ: Sorműveletek segítségével az egyenletrendszert lépcsős alakra hozzuk a +a + a a n n =b a +a + a a n n =b a +a + a a n n =b a m +a m + a m a mn n = b m α + α + α + α n n = α + α + α n n = α + α n n = α mn n = m GAUSS ELIMINÁCIÓ: Az i. lépésben az a ii segítségével nullázzuk az ALATTA levő a ji (i<j) együtthatókat.

14 Példa: y y y z z () () () Gauss:. lépés MO:: Gauss:. lépés () () () y y y y y y (4) () z z z () ( ) () () z z z () y z y z z (4) () (6) Gauss:. lépés (6) y y (6) z z z, y, z Ezt meg már láttuk, hogy visszahelyettesítéssel hogyan lehet megoldani. A MEGOLDÁS ( db): 9

15 () () () Példa: MO: () (4) 4 4 () () ) ( () () () ) ( () 4 () () ) ( (4)? = -? inkonzisztens rendszer!

16 Példa: MO: () () () () () () () () (4) () () (), Végtelen sok megoldás:,,, t R t t t

17 KÖZGAZDASÁGTANI ALKALMAZÁS Vaszilij Leontief NOBEL DÍJ 97 közgazdaságtan USA gazdasági rendszere- adat egyenlet ismeretlen (redukálta 4-4-re): MARK II számítógép, lyukkártyás, 6 óra alatt oldotta meg Maga program is több hónapi munka volt! Példa (végtelen sok megoldásra): Egy év alatt azt figyelték meg, hogy. egységnyi szolgáltatáshoz (. egységnyi saját terméket,. egységnyi energiát, és. egységnyi nyersanyagot használnak fel.. egységnyi energia előállításához.4 egységnyi szolgáltatás,. egységnyi energia és. egységnyi nyersanyag szükséges.. egységnyi nyersanyag előállítása pedig. egységnyi szolgáltatást,, 6 egységnyi energiát, és. egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel. Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő forrással rendelkezzék?

18 Példa (végtelen sok megoldás): Egy év alatt azt figyelték meg, hogy. egységnyi szolgáltatáshoz. egységnyi saját terméket,. egységnyi energiát, és. egységnyi nyersanyagot használnak fel.. egységnyi energia előállításához.4 egységnyi szolgáltatás,. egységnyi energia és. egységnyi nyersanyag szükséges.. egységnyi nyersanyag előállítása pedig. egységnyi szolgáltatást,, 6 egységnyi energiát, és. egységnyi (egyéb) nyersanyagot igényel. Mennyit kell termelni az egyes szektorokban, hogy egyensúly legyen, ti. minden szektor elegendő forrással rendelkezzék? Tételezzük fel, hogy a model ZÁRT: nincsen egyéb forrás és rendszerből nem távozik el termék..p.4 p.p.p.p.6 p.p. p. p p p p p p.8t p.9t t

19 Ismeretlenek elhagyása, mátrios alak = 4 + 4y + z = 7 + 6y + z = + y + z / 8/ 4 / / 8/ 4 / (.) (.) (.), 7 (.)

20 Ismeretlenek elhagyása, mátrios alak Adott az alábbi mátrios alak: Írja fel az egyenleteket a mátrios alakból! MO.: y = y + 7z + 6y + z = =

21 Példa (házi feladat): Adott az alábbi egyenletrendszer, írja fel a mátrios alakot, és keresse meg a megoldást Gauss eliminációval! -y+z= +y+z=- -+y-z=