REZONANCIÁRA HANGOLVA

Átírás

1 REZONANCIÁRA HANGOLVA r. Bagány Mihály, r Kodácsy János, Nagy Péer 3, r. Pinér Isván 4 Jelen anulmányunkban egy igen onos izikai jelensége a rezonanciá járjuk körül. Az elsı három részben sajá munkáink során elmerül konkré apaszalaainka ismerejük, az uolsó részben pedig minegy kiekinés adunk egyéb érdekes vonakozásokra, alkalmazásokra.. Öngerjeszı rezonancia A rezonancia jelenségé mind a longiudinális, mind a ranszverzális hullámok eseében meg lehe muani egy lényegében azonos elvő mérési elrendezéssel. A mérési elrendezés ı elemei a gerjeszı, a rezonanciára képes rúd, a rezgésérzékelı és egy erısíı a poziív visszacsaolás megvalósíásához. Például megelelı hosszúságú émrúd eseében különösen szemlélees a rezonancia ellépe, ha a rezonanciarekvencia a hangrekvenciás arományba esik, mer ekkor hallhaó hang kelekezik. Ha emelle a émrúd lágy mágneses anyagból készül, mind a gerjeszés, mind a rúd rezgésállapoának érzékelése megoldhaó elekromágneses elven. A rögzíe helyzeő gerjeszı elekromágnes légrésében a bemenei villamos jel válozásaiól üggı mágneses ér jön lére, ami a émrúd vonzásá, aszíásá eredményezi épp e jelválozás üemében. Emia longiudinális hullám indul meg a émben, ami akkor lesz a legnagyobb ampliúdójú, ha a gerjeszés épp rezonancia rekvenciájú. Ám a beáplál energia egy része elveszik, az póolni kell. Erre szolgál az érzékelı ekercs: a rúd végén jelenkezı kis ampliúdójú longiudinális rezgés eszülségválozássá alakíja, ami egy hangrekvenciás eljesíményerısíı elerısí, majd ezzel az erısíe, visszacsaol jellel ápláljuk a gerjeszı ekercse. Ha ismerjük a rezonancia-rekvenciá (ez a émrúd hosszának, anyagának és alakjának ismereében kiszámíhaó), akkor annak megelelı középrekvenciájú keskeny sávú eljesíményerısíı szükséges a kísérle során a rezonancia jelensége hamar bekövekezik. Amennyiben az erısíı kimenei eszülségének ampliúdója egy érék ölé nem növelheı ugyan, de szinuszos marad, a bevi így adódó legnagyobb gerjeszési energiának megelelı ampliúdójú longiudinális rezgés jön lére, ami a hangrekvenciás aromány mia hallhaó (a kísérle közben az apaszaljuk, hogy a émrúd a gerjeszés haására megszólal). A meglepıen érdekes jelenség az, amikor nem udjuk elıre a rúd rezonancia rekvenciájának éréké. Ám ekkor is megmuahaó a jelenség szélessávú hangrekvenciás erısíı alkalmazva, sı, ekkor külön gerjeszı jelorrás sem szükséges! A kísérlei elrendezés ebben az eseben szélessávú, hangrekvenciás eljesíményerısíıbıl, a gerjeszı vasmagos ekercsbıl, a rezonanciára képes, mágnesezheı rúdból, a rúd másik végénél elhelyeze érzékelı ekercsbıl áll: ennek jelé poziívan visszacsaoljuk a eljesíményerısíı bemenére. A kísérle során az apaszalhajuk, hogy a émrúd hamarosan magáól megszólal. Mi ennek az oka? A émrúd a környezeébıl óhaalanul ávesz kis ampliúdójú rezgéseke, ami az érzékelı ekercsben eszülséggé alakul, az erısíı pedig elerısíi. Ez a kis jel, ha oszcilloszkópon megnézzük, sokéle rekvenciájú és ampliúdójú összeevı együesének, zajnak muakozik. Ám ezek közö o van a rezonancia rekvenciának megelelı komponens is. A szélessávú erısíı a öbbivel együ ez is elerısíve adja a ıiskolai docens, KF Kalmár Sándor Inormaikai Inéze Maemaika és Fizika Tanszék ıiskolai anár, KF Gépgyárásecnológia Tanszék 3 ıiskolai adjunkus, KF Kalmár Sándor Inormaikai Inéze Maemaika és Fizika Tanszék 4 ıiskolai docens, KF Kalmár Sándor Inormaikai Inéze Auomaizálási és Alkalmazo Inormaikai Tanszék

2 gerjeszı ekercsre vagyis igenis kap a émrúd rezonanciarekvenciás üéseke is. A rezonanciarekvenciás gerjeszésre a émrúd nagyobb ampliúdójú mozgással válaszol, ez nagyobb ampliúdójú jele jelen az érzékelı ekercs kimeneén a rezonanciarekvencián - ám a öbbi komponens elerısödése meszsze kisebb mérékő. A poziív visszacsaolás mia így a visszacsaol körben a rezonanciarekvenciájú jel válik ki és erısödik el oly mérékben, hogy a rúd rezgései álal okozo longiudinális levegısőrősödés és rikulás már elég nagy ampliúdójú lesz ahhoz is, hogy meghalljuk a émrúd lászólag magáól megszólal. A eni leír vizsgálaok elızménye épp évvel ezelıi. Egy kuaás-ejleszési megbízás alapján anulmányoza munkacsoporunk a jelensége ranszverzális hullámok eseén [], [3].. PETRA A PETRA egy komplex számíógépes rendszer, amelye eszıleges es, berendezés eljes rezgésanalízisére ejleszeünk ki a néhány Hz-ıl néhány khz-ig erjedı rekvenciaarományban öbb anszék együmőködésében (Gépgyárásechnológia Tanszék, Maemaika és Fizika Tanszék, Inormaika Tanszék). A PETRA rendszer elsı válozaa 99 avaszára készül el, majd az erre épülı PROTECTOR elügyelei rendszer 99 végére és 993 ebruárjában a Zürichben SOFTCIM 93 kiállíáson kerül bemuaásra. A mőszer rezonáoros, kompak rezgésérzékelı ejbıl, opikai szállal csaol oodiódás mérıáalakíóból és mérıerısíıbıl, A/-konvererbıl, mérésvezérlı és kiérékelı kereprogramból áll. A elmerül sokréő mérésechnikai, elekronikai és számíásechnikai probléma közül e helyen csak az a rendszerelmélei problémá árgyaljuk röviden, amely abból ered, hogy a kompak érzékelı ej nem közvelenül a mérendı elüle rezgésé méri hiszen ekkor külsı, üggelen inerciaponra lenne szükség -, hanem egy csaol rezgésen kereszül. A rendszer mőködési elvé az. ábrán szemlélhejük: a oodiódáról érkezı opikai inenziásában modulálja az érzékelı ej dobozához nem mereven csaol relekor elüle, majd a jel a spekrálisan illesze ooranziszorra juva kerül eldolgozásra. Ezen mérési elv elınye, hogy kompak (zár) mérıejjel valósíhaó meg, így nagyokú zavarvédeséggel rendelkezik, probléma viszon, hogy a kimér rezonáor relekor rezgésspekrumból vissza kell állíani a külsı, mérendı elüle rezgésspekrumá.. ábra Teszıleges deerminiszikus rendszer bemeneére ado x( ) jel egyérelmően meghaározza az y ( ) kimenei jele, maemaikailag megogalmazva a rendszer az x( ) üggvény az y ( ) üggvénybe ranszormálja: L x( ) = y ( ). Elsı eladaunk az L operáor konkré alakjának megalálása. Írjuk el a Newon-éle mozgásegyenlee a rezonáor relekorra: d y d x dy d d d m = m c y alakú, ahol a baloldalon levı erı agok rendre a eheelenségi erı, a közegellenállási erı és a direkciós (csaolási) erı; m a rezonáor ömege, c a közegellenállási együhaó, pedig a direkciós állandó.

3 Némi áalakíás uán: ahol bevezeük az: d y dy F d x x + ξω + ω y ( ) = =, d d d m ω = m c ξ = m ω jelöléseke. Így a kerese L operáor inverze: d d L = + ξω + ω. d d L láhaóan lineáris, ezér ermészeesen L is lineáris operáor, így második lépésben megkereshejük a rendszer H ( ω ) ávieli üggvényé. Ehhez a Fourier-sorejéseke írjuk be az inverz operáoregyenlebe: ω ω L Y d X d Mivel j j ( ω) e ω = ( ω) ω e ω. L idıoperáor, így csak az exponenciális agra ha a baloldal inegrandusában: Ez visszaírva a eni spekrál-egyenlebe: így a kerese ávieli üggvény: Az ampliudóspekrumok: H kapcsolaa némi ügyeskedés uán: L e = ω + j Y ( ξωω+ ω ) jω β ω = X ω ω = ( β ) + j ( ξβ) β ( β ) + j ( ξβ), ahol β = ω. ω c( ω ) = Re X ( ω ) + Im X ( ω) C ( ω ) = Re Y ( ω ) + Im Y ( ω ) c ( β ) + ( ξβ) ω = C ω β Ezzel a képleel a közvelenül mér C ( ω ) rezonáor relekor ampliudóspekrumából elıállíhajuk a mérendı külsı elüle c( ω ) ampliudóspekrumá.,.

4 3. igiális rezonáor A rezonancia jelensége nemcsak a olyonos idejő rendszerekben léphe el, hanem jellemzı bizonyos diszkré idejő rendszerekre is. A ovábbiakban a dierenciaegyenlebıl kiindulva elemezzük a digiális rezonáor mőködésé. Zár alakban elír és mináról-minára kiszámío eredmény adunk a digiális rezonáor kimenı sorozaára szinusz bemenı soroza eseén. Ezuán a sandard normál eloszlás közelíı álvélelen bemenı soroza eseén számíjuk ki a kimenı sorozao. Az eredményeke mindegyik eseben a rekvenciaarománybeli képpel is szemlélejük. A digiális rezonáor viselkedése során a digiális rekvencia (körrekvencia) ogalmá használjuk. Az = ω = π összeüggések alapján azonban áérheünk a szokásos rekvencia- illeve körrekvencia-ogalomra (i és minavéeli rekvencia Hz-ben, ω rendre a digiális rekvencia és körrekvencia száméréke, a T = a minavéeli idıköz másodpercben, a izikai rekvencia Hz-ben). Például, ha olyan rezonáor szerenénk, amelynek rezonancia rekvenciája ado minavéeli rekvencia eseén, akkor ω = π lesz a megelelı digiális körrekvencia érék. A bemenı sorozaoka ekinve az x G ( n) = sin π n G rekvenciájú szinusz jelhez arozó gerjeszı soroza maemaikai alakja, míg a zaj jellegő gerjeszés minasorozaának elıállíásához [5] ad algorimus. 3.. A digiális rezonáor dierencia-egyenleének megoldása Tekinsük a kövekezı dierenciaegyenleel megado diszkré idejő rendszer: = + cos ϕ ( ) ( ) < a < ϕ < π (3.) y ( ) = y ( ) = x ( n) = sin ( α n) y n x n a y n a y n n Célunk a nem nulla kezdei eléelekkel rendelkezı, eni diszkré idejő rendszer eseén az, hogy a kimenı soroza ámenei szakaszá is ponosan kiszámísuk. Az ilyen eladaok zár alakban ado megoldásához az egyoldalas z-ranszormáció célszerő alkalmazni [6]. A (3.) egyenle mindké oldalának egyoldalas z-ranszormáljá véve árendezés uán adódik: z X z + jϕ jϕ e z e z a a Y ( z) = a a cos( ϕ) y ( ) a y ( ) z a y ( ) z + jϕ jϕ e z e z a a A zár alakú megoldáshoz a (3.) egyenle egyoldalas inverz z-ranszormáljá kell kiszámíani. Vegyük észre, hogy az egyenle jobb oldalának elsı agja a zérus kezdei eléelekrıl induló rendszer valamely bemenı sorozara ado válaszának egyoldalas z-ranszormálja, míg a második agban jelennek meg a nem-zérus kezdei eléel érékek! (3.) A második ag eseén az inverz egyoldalas z-ranszormál elírásához bevezeve a p = a cos ϕ y a y, q = a y (3.3)

5 jelöléseke, a kövekezı eredmény kapjuk a (3.) egyenle kezdei eléeleivel és a= éréke melle: sin ( n + ) ϕ y ( n) = + sin ϕ (3.4) n sin ( n + ) ϕ ( n + ) sin ( n ϕ) + sin ( ϕ) sin ( 3ϕ) 3sin ϕ Tekinsük mos a (3.) egyenle jobb oldalának elsı agjából képezheı ( z) Közvelenül láhaó, hogy ennek alakja: H = (3.5) a cos ϕ z + a z ( z) A diszkré idejő rendszerhez rendel rekvencia-karakeriszika (3.5) alapján: = (3.6) j ω ω a cos ϕ e + a e jω j H e ahol ω a digiális körrekvencia ( π < ω π ). Y z H = ávieli üggvény! X z Megjegyzés: a (3.6) egyenleben szereplı ávieli üggvény inverz z-ranszormáljá kiszámíva az is n a sin[ ( n + ) ϕ] h n =. sin ϕ láhaó, hogy a rendszer impulzusválasz-üggvénye épp 3.. A kimenı soroza meghaározása ierációval A kimenı soroza minái meghaározhaók közvelenül az (3.) egyenle szerini ierációval is ekkor a kövekezı miná rendre az elızıkbıl számíjuk ki. Ellenırzésképp az elızı ponban meghaározo zár alakú megoldás hasonlíhajuk össze az ierációval kapo megoldással. A MahCA programmal [7] elvégze számíások eredményé a. ábra muaja. Gerjeszés szinuszjellel a mina éréke y_ier i+ y_szam i i idõ (másodperc) a kimenõ soroza ierációval a kimenõ soroza analiikus alakban. ábra: A számíógépi vizsgálara alkalmasabb ierációs módszerrel még hároméle elemzés végezünk el a digiális rezonáoron. Az elsı a T = másodperc ala elıálló minasorozara erjed ki, ami 8 mina elıállíásá jeleni. A izikai rezonancia-rekvencia = Hz, a gerjeszı jel izikai rekvenciája G = 8 Hz vol. Mivel ebben az eseben az idıarománybeli ábrázolásnál szemléleesebb a rekvenciaarománybeli kép, a kapo kimenı minasoroza ampliúdó-spekrumának becslésére a Hahn-ablako és 8 ponos FT- alkalmazva elismerheı, hogy a kimenı jelben mind a gerjeszés rekvenciájának, mind a rezonancia-rekvenciának megelelı összeevı jelen van.

6 A rezonancia-rekvenciás gerjeszés esee is köveheı hasonló gondolameneel. Az ierációs módszerrel közvelenül számolhaó a digiális rezonáor kimenı sorozaa vélelen minákkal örénı gerjeszés eseén. A számíógépi szimuláció céljára a MahCA program normál eloszlás közelíı ál-vélelenszám generáorá használuk. Az eredményeke az 3. ábra oglalja össze. Láhaó, hogy a gerjeszı sorozara számol ampliúdó-spekrum a eljes vizsgál rekvenciasávban aralmaz összeevıke, és a digiális rezonáor ebbıl a zajból emel ki a rezonancia rekvenciájának megelelıen jelmináka. Meghallgava a minákból készül hangállományoka, különösen élményszerő ez. Hasonlóan ahhoz, amikor a. részben leír mérési elrendezésben a émrúd lászólag magáól megszólal. 5 Ampliúdóspekrum (zaj gerjeszés) ampliúdó (db) log( Y k ) log( Z k ) kimenõ jel gerjeszés k rekvencia (Hz) 3. ábra 4. Kiekinés 4.. Gyakorlai alkalmazások A rezonancia alkalmazásának egyik leghéköznapibb példája a rádió hangolása. A rádiókészülékhez érkezı elekromágneses hullámok haására az anennában (vasmagos ekercs) eszülség indukálódik. Az adók álal kisugárzo szinusz rezgések, azaz a vivıhullámok elérik anennánka, mi azonban egyszerre csak egy adó szerenénk venni, ezér az anenna ekercsével egy válozahaó kapaciású kondenzáor (orgókondenzáor) kapcsolak párhuzamosan. A ekercs és a kondenzáor rezgıkör alko, amely rendelkezik rezonancia rekvenciával. Ez a ekercs indukiviása és a kondenzáor kapaciása haározza meg. Ha a rezgıkör különbözı rekvenciájú rezgések érik, akkor a rezonancia rekvenciájával megegyezı rekvenciával szemben igen nagy, a öbbivel szemben igen kis ellenállás anúsí. Így a rezgıkör a rezonancia rekvenciájával nem egyezı rekvenciájú rezgéseke magán áengedi (kis ellenállás), míg az azzal megegyezı rekvenicá visszaarja (nagy ellenállás). Végül, az á nem engede, azaz a rezonancia rekvenciával megegyezı rezgések a rezgıkörrıl ovább vezeheık, a öbbiek elvesznek. Jelen eseben a rezgıkörnek nem csak egy rezonancia rekvenciája van, hiszen a ix indukiviású ekerccsel egy válozahaó kapaciású kondenzáor kapcsolak párhuzamosan. A ké alkarész éréké úgy válaszoák meg, hogy azzal a eljes középhullámú sáv (53-5 KHz) végig hangolhaó legyen. Ahogy ehá csavargajuk a rádió "keresıjé", új és új rezonancia rekvenciáka képezünk, azaz mindig más adóra hangoljuk a készüléke. A rezonancia másik igen onos alkalmazási erülee az elekronspin-rezonancia (ESR), illeve a magmágneses-rezonancia (NMR), melyekkel héköznapjaink során például az orvos-diagnoszikában alálkozhaunk. Az elekronspin-rezonancia (ESR) spekroszkópiai módszer, alapja, hogy a mágneses érben az elekron energianívói elhasadnak (Zeeman-eekus). A mérendı anyago válozahaó erısségő, saikus mágneses és válakozó, nagyrekvenciás (mikrohullám arományban) elekromágneses érbe helyezzük. A mágneses érerısség alkalmas válaszásával elérheı, hogy az elekronoka alapállapoból GHz rekvenciájú elekromágneses sugárzással magasabb energiaállapoba gerjesszük és vizsgáljuk, hogy milyen rekvenciájú ere (annak is a mágneses komponensé) mennyire nyel el a mina. Gyakorlai okokból állandó rekvenciájú elekromágneses ere és válozó erısségő mágneses ere szokás használni. A mérés során a rezonancia eléelének eljesülésekor ámeneek alakulnak ki a elhasad nívók közö, ez a

7 spekrumban csúcskén jelenkezik. A elhasadás méréke, a jel inenziása, szélessége alakja érzékeny a kémiai környezere, illeve ennek rendkívül inom válozásaira. A magmágneses-rezonancia (NMR) elve azonos az elıbbivel, csak az elekronok helye az aommagok nívói vizsgáljuk. 4.. Szochaszikus rezonancia A szochaszikus rezonancia egy jól ismer és jelenleg inenzíven kuao jelenség, melyben a vélelenszerő zaj segíi a rendszernek egy gyenge jelre ado válaszá. Ponosabban ogalmazva: ha egy ado olyama valamilyen paraméeré kívánjuk becsülni a megigyel véges rajekória alapján, akkor alkalmasan válaszo zaj hozzáadásával a becslés jobb lesz, sı eseleg olyan jelenségekrıl is inormáció nyerheünk, amelyeke egyébkén nem is udnánk mérni. Lássunk néhány önkényesen kiragado érdekes alkalmazási példá. A Részecske- és Magizikai Kuaóinéze kuaócsoporja a szaglás mechanizmusának néhány dinamikai problémájá vizsgála [8]. A szagokra vonakozó inormáció a szaglógumóban ér- és idıbeli minázaok ormájában egyarán jelen van. Elekroiziológiai mérések alapján jól ismer, hogy a szaglórendszer periodikus és kaoikus viselkedés mua. A szaglógumó alapveı sejjei kéirányú serkenı-gáló kapcsolaai lokálisan oszcilláoroka hoznak lére, amelyeke az oldalirányú szinapszisok kapcsolnak össze. A szaglógumó így csaol oszcilláorok rendszeréhez hasonlí. Modelljeikkel ezeknek a csaol oszcilláoroknak a mőködésé udják vizsgálni. Újabb számíásaik szerin a szochaszikus rezonancia mechanizmusa, amely alkalmas gyenge periodikus jelek elerısíésére, elléphe a szaglógumó sejjeiben. A mirális és a szemcsesej modelljein végze kísérleek segíségével megállapíoák, hogy a rendszerek kimeneé akcióspoenciálok sorozanak idealizálva meghaározhaó egy olyan opimális zajszin, amely melle a sejmodell a periodikus vezérlés rekvenciájához leginkább hasonlíó üzeléssorozao produkál. Egy érdekes példá ad a szochaszikus rezonancia alkalmazására a bosoni egyeem kuaócsoporjának alálmánya, amely megoldás jelenhe az idısek egyensúlyproblémáira [9]. A sabil egyensúlyi helyze alapveıen egy idegi visszacsaolási olyama eredménye: a alpból érkezı ingerek alapján az agy a esarás apró kiigazíásaira ad parancso. Az élekor elırehaladával azonban a alpból érkezı érzékszervi ingerek megrikulnak A kísérleek során egészséges, idıs embereke állíoak egy alapzara, melyen sok száz kis lyuk vol, mindegyikbıl mőanyag rudacskák állak ki éppen csak annyira, hogy a kísérlei alanyok alpá érinsék. Ezeke a rudacskáka egy számíógép vélelenszerő rekvenciákon rezgee ingerküszöb alai ampliúdóval, így a részvevık udaosan nem érzékelheék a vibráció. A kísérlei alanyoknak ennek ellenére auomaikusan beáll az egyensúlyuk, és kevésbé imbolyogak, éppen csak annyira, min bármelyik iaal. Az alálák, hogy a vibrációkól a iaalabbaknak is javul az egyensúlyuk. A szochaszikus rezonancia alapján ez a kísérlee úgy érelmezhejük, hogy a zaj a alp idegei eei érzékenyebbé, így azok könnyebben érzékelik a válozásoka, mikor a es kimozdul egyensúlyi állapoából és így válozik a alpon a súlyeloszlás. Különösen onos, hogy a neuronok vélelenszerő impulzusoka kapjanak, a rendszeresen érkezı jelekhez ugyanis hamar hozzászoknak. A késıbbiek során egy zselés alpbeée is ervezek, melyben apró beépíe szerkezeek keleek hasonló vibráló haás. Ezekkel a beéekkel megisméel kísérleek még jobb eredményeke adak. Úgy őnik, hogy számos más erüleen is el lehe használni a alálmány, például sporelszerelések gyárásánál.

8 IROALOM [.] Budó Ágoson: Mechanika, Tankönyvkiadó, Budapes, 965, 9. [.] Nagy P.: Második ípusú alálkozás a Márában, Fıiskolai Maemaika-, Fizika- és Inormaikaokaók XXIV. Országos Konerenciája, KE CsVM PFK, Kaposvár, [3.] dr. Bagány M., dr. Kodácsy J., Nagy P., Pinér I.: Köési erıssége vizsgáló módszer minıséganúsíási célokra. Tanulmány a MIKROMATIKA Robo- és Auomaika k. részére, 99 [4.] Nagy P.: Az opikai szálas kompak rezgés-analizáor rendszerelmélei leírása, GAMF Közlemények XI., , Kecskemé [5.] Pinér I.: igiális jeleldolgozás. Jegyze. KF GAMF Kar, 3. [6.] Simonyi E.: igiális szőrık. Mőszaki Könyvkiadó, 984. [7.] MahCA User's Guide. Mahso Inc.. [8.] hp:// [9.] Aila Priplaa, James Niemi, Marin Salen, Jason Harry, Lewis A. Lipsiz, and J.J. Collins, Noise-Enhanced Human Balance Conrol, Physical Review Leers, Vol. 89(3), ecember.