AUTOMATIKA. Dr. Tóth János

Átírás

1 UTOMTIK

2 UTOMTIK Dr. Tóh János TERC Kf. udapes, 3

3 Dr. Tóh János, 3 3

4 Kézira lezárva:. november 9. ISN Kiadja a TERC Kereskedelmi és Szolgálaó Kf. Szakkönyvkiadó Üzleága, az 795-ben alapío Magyar Könyvkiadók és Könyverjeszők Egyesülésének a agja kiadásér felel: a kf. igazgaója Felelős szerkesző: Lévai-Kanyó Judi Műszaki szerkesző: TERC Kf. Terjedelem:8,5 szerzői ív

5 TRTLOMJEGYZÉK. Z UTOMTIZÁLÁS JELENTŐSÉGE IRÁNYÍTÁSTECHNIKI LPFOGLMK JELEK FELOSZTÁS Z IRÁNYÍTÁSTECHNIK FELOSZTÁS vezérlés szabályozás vezérlés és a szabályozás összehasonlíása VEZÉRLÉS ÉS SZÁLYOZÁS CSOPORTOSÍTÁS..... IRÁNYÍTÁSI RENDSZER ÁRÁZOLÁS RENDSZERELEMEK KPCSOLÁSI MÓDJI Soros kapcsolás Párhuzamos kapcsolás Visszacsaolás HTÁSVÁZLTOK ÁTLKÍTÁS VEZÉRLÉSTECHNIKI FÜGGVÉNYEK ÉS LKLMZÁSUK HLMZELMÉLETI LPFOGLMK OOLE LOGIKI LGER LOGIKI LGER SZÁLYI, ZONOSSÁGI EGY ÉS KÉTVÁLTOZÓS VÁLTOZÓS LOGIKI FÜGGVÉNYEK LOGIKI FÜGGVÉNYEK RELIZÁLÁS KPUKKL, KONTKTUSOKKL, IGZSÁGTÁLÁZTTL ÉS KV TÁLÁZTTL FUNKCIONÁLISN TELJES RENDSZEREK Kapcsolások megvalósíása NND és NOR kapukkal DISZJUNKTÍV ÉS KONJUNKTÍV LK KPCSOLT , 3 és válozós minrem és maxerm KV áblák GRFIKUS MINIMLIZÁLÁS SORÁN ELVÉGZENDŐ FELDTOK Primimplikánsok keresése szükséges primimplikánsok kiválaszásának lépései LOGIKI FÜGGVÉNYEK KÉTSZINTŰ RELIZÁLÁS KOMINÁCIÓS HÁLÓZTOK TERVEZÉSÉNEK LÉPÉSEI PROGRMOZHTÓ LOGIKI VEZÉRLŐ (PLC) programozhaó vezérlők főbb jellemzői: szofverjellemzők bemuaása példákon kereszül SZÁLYOZÁSTECHNIKI ÁTVITELI TGOK JELLEMZÉSE MTEMTIKI LPOK Fourier ranszformáció Laplace ranszformáció Művelei szabályok Z IDŐTRTOMÁNYN Tipikus vizsgálójelek Z ÁTVITELI TGOK CSOPORTOSÍTÁS ÉS JELLEMZŐIK rányos, időkésés nélküli ag (P) Egyárolós arányos ag (PT) Kéárolós arányos ag (PT) Időkésés nélküli ag Inegráló ag (I)

6 .3.5. Inegráló, elsőrendű időkéslelee ag (IT) Inegráló, másodrendű időkéslelee ag (IT) Differenciáló, időkésés nélküli ag (D) Differenciáló, elsőrendű időkésleleéses (DT) ag Differenciáló, másodrendű időkésleleéses (DT) ag Holidős, H ag rányos, elsőrendű időkéslelee holidős (PTH) ag Inegráló, holidős (IH) ag KÜLÖNÖZŐ ÁTVITELI FÜGGVÉNYEK MEGVLÓSÍTÁS MTLL ÁTVITELI TGOK LEÍRÁS ÁLLPOTEGYENLETEKKEL ÉS ÁLLPOTVÁLTOZÓKKL STILITÁSVIZSGÁLT ROUTH HURWITZ STILITÁSI KRITÉRIUM NYQUIST STILITÁSI KRITÉRIUM STILITÁSVIZSGÁLT ODE DIGRMOKKL FELÉPÍTÉSŐL DÓDÓ, FELTÉTELES STILITÁS SZÁLYOZÁSI MINŐSÉG MEGÍTÉLÉSE ÉS MINŐSÉG IZTOSÍTÁS SZÁLYOZÓK KOMPENZÁLÁS, OPTIMÁLIS EÁLLÍTÁS P SZÁLYOZÓ PI SZÁLYOZÓ PD SZÁLYOZÓ PID SZÁLYOZÓ KTÍV LENGÉSCSILLPÍTÁSI FELDT MTL PROGRMML Megoldás P ípusú szabályzóval Megoldás PD ípusú szabályzóval Megoldás PI ípusú szabályzóval Megoldás PID ípusú szabályzóval Különböző ípusú szabályozók kimenő jelre gyakorol haásai ERŐSÍTÉS ÉS FÁZISELTOLÁS MEGHTÁROZÁS MTL SEGÍTSÉGÉVEL KOMPENZÁCIÓ EÁLLÍTÁS ZIEGLER NICHOLS SZERINT Frekvencia válasz módszer Ámenei függvény módszer KOMPENZÁCIÓ KIVÁLSZTÁS ODE DIGRMOK SEGÍTSÉGÉVEL... 9 FELHSZNÁLT SZKIRODLOM

7 LKLMZOTT JELÖLÉSEK JEGYZÉKE () egységugrásfüggvény ávieli ényező állapomárix p arányos ávieli ényező konrollmárix C konsans C kimenőjel márix C n ampliúdó CC felfelé számláló címzése PLC-nél de nevező D ávieli márix DC lefelé számláló címzése PLC-nél f súrlódási ényező F Fourier-ranszformáció F - inverz Fourier-ranszformáció I, I,, In PLC bemeneeinek fizikai címe I absz abszolú inegrál I lin lineáris inegrálkriérium I idő idővel súlyozo inegrálkriérium I négy négyzees inegrálkriérium j frekvenciaaromány jele k konsans k, k,, k n időállandók K rugóállandó K d differenciáló erősíési ényező K i inegráló erősíési ényező K kri kriikus körerősíés K p arányos erősíési ényező L Laplace-ranszformáció L - inverz Laplace-ranszformáció n m i minerm n M i maxerm nu számláló p, p, p 3,, p n gyökök [Q, [Q,, [Qn PLC kimeneeinek fizikai címe s operáoraromány jele s, s,, s n gyökök u beavakozójel u() bemenőjel U CC, U T ápfeszülség U IH bemenei szin U IL bemenei szin U OH kimenei szin U OL kimenei szin T, T, árolós időállandó T a, T b időállandók differenciálási idő T D 7

8 T f felfuási idő T h, T H holidő T I inegrálási idő T n időállandó T s periódusidő [Q, [Q,..., [Q n kimeneek fizikai címei v() ámenei függvény v () sebességugrás válaszfüggvénye v / () gyorsulásugrás válaszfüggvénye w() súlyfüggvény x állapoválozó x a alapjel x b beavakozójel x b (), X b bemenőjel x e ellenőrző jel x é érzékel jel x k, x k (), X k kimenőjel x m módosíójellemző x r rendelkezőjel x s szabályozo jellemző X, X,, X n jelek x z zavarójellemző y() kimenőjel Y, Y,, Y n agok jelformáló haása Y (s), Y (s),, Y n (s) agok ávieli függvénye (),, m Dirac-impulzus függvény csillapíási ényező időállandó fázisszög körfrekvencia 8

9 TÁLÁZTOK JEGYZÉKE 3. ábláza: oole-algebra alapéelei ábláza: három logikai alapművele bemuaása: ábláza: három logikai alapművele igazságáblázaa ábláza: logikai algebra szabályai, azonosságai ábláza: Egyválozós logikai függvények ábláza: Kéválozós logikai függvények ábláza: Többválozós NND kapu logikai kapcsolaa ábláza: Többválozós NOR kapu logikai kapcsolaa ábláza: megerveze hészegmenses kijelző igazságáblája.... ábláza: Néhány egyszerű függvény és Laplace-ranszformálja ábláza: agoka ípusuk és a árolóik száma szerin oszályozhajuk ábláza: proporcionális ag súly- és ámenei függvénye ábláza: PT ag súly- és ámenei függvénye ábláza: PT ag ámenei függvénye ábláza: z I ag súly- és ámenei függvénye ábláza: z IT ag súly- és ámenei függvénye ábláza: DT ag súly- és ámenei függvénye, ábláza: H ag súly- és ámenei függvénye ábláza: z e std ag első-, másod- és harmadfokú PDE-közelíései ábláza: PTH ag és ámenei függvénye ábláza: Inegrálkriérium számíása ábláza: K p, K i, K d paraméerek kimenere gyakorol haásai ábláza: Ziegler- és Nichols-féle frekvenciaválasz-módszer szerini beállíás ábláza: Ziegler- és Nichols-féle ámeneifüggvény-módszer szerini beállíás.. 8 9

10 ÁRÁK JEGYZÉKE. ábra: z irányíási folyama elvi vázlaa ábra: Tag ábrázolása ábra: jelek feloszása ábra: z irányíás feloszása ábra vezérlés működési vázlaa ábra: szabályozás működési vázlaa....7 ábra: haásvázla jelképei ábra: Tagok soros kapcsolása ábra: Tagok párhuzamos kapcsolása ábra: Tagok visszacsaolása ábra: Haásvázla-áalakíás ábra: Példa haásvázla egyszerűsíésére ábra: Logikai függvények grafikus ábrázolása ábra: Vezérléseknél használaos jelölések ábra: lapfüggvények léradiagramos megvalósíása ábra: TTL áramkörök logikai szinjei ábra: Minerm és maxerm áblák ábra: Kees implikánsok ábra: Négyes implikánsok ábra: Nyolcas implikánsok ábra: Logikai függvény megvalósíása kébemeneű kapukkal ábra: Logikai függvény megvalósíása kébemeneű kapukkal ábra: Hészegmenses kijelző ábra: szegmensek egyszerűsíe logikai függvényei ábra: függvények megvalósíása léradiagramos szimbólumokkal ábra: megvalósío NEM-ÉS-VGY hálóza működési állapoai ábra: megvalósío NEM-ÉS-VGY hálóza működési állapoai ábra: PLC (PLV) funkcionális felépíése ábra: Schneider Zelio Logic család ábra: z ÉS, VGY, NEGÁLÁS logikai kapcsola LD programnyelven ábra: z ÉS, VGY, NEGÁLÁS logikai kapcsola FD programnyelven ábra: LD programnyelven felfelé és lefelé számláló ábra: Fel- és lefelé számláló megvalósíása FD programnyelven ábra: ekapcsolásra való késleleés (TON) ábra: TON idődiagramja ábra: Kikapcsolásra való késleleés (TOFF) ábra: TOFF idődiagramja ábra: Impulzusidőzíő (TP) ábra: TP idődiagramja ábra: TON és TOFF időzíő megvalósíása FD programnyelven ábra: nalóg bemene kezelése FD blokkok segíségével ábra: z ávieli ag vizsgálaának leheőségei ábra: Lineáris ávieli ag ábra: ag időarományban ábra: z ávieli ag vizsgálaára szolgáló jelek ábra: z ideális P ag ábra: P ag Nyquis-féle ábrázolásban... 68

11 .7 ábra: P ag ode-féle ábrázolásban ábra: PT ag ábra: PT ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: PT ag ode-féle ábrázolásban ábra: z PT ag ábra: PT ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: PT ag ode-féle ábrázolásban ábra: z I ag ábra: z I ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: z I ag ode-féle ábrázolásban ábra: z IT ag ábra: z IT ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: z IT ag ode-féle ábrázolásban ábra: z IT ag ábra: z IT ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: z IT ag ode-féle ábrázolásban ábra: D ag ábra: D ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: D ag ode féle ábrázolásban ábra: DT ag ábra: DT ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: DT ag ode-féle ábrázolásban ábra: DT ag ábra: DT ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: DT ag ode-féle ábrázolásban ábra: H ag ábra: H ag Nyquis-féle ábrázolásban ábra: H ag ode-féle ábrázolásban ábra: PHT ag ábra: PHT ag Nyquis-ábrázolásban ábra: PHT ag ode-féle ábrázolásban ábra: PHT ag ábra: z IH ag Nyquis-ábrázolásban ábra: PHT ag ode-féle ábrázolásban ábra: ké PT ag ode-diagramja ábra: PT ode-diagramja ábra: z IT ode-diagramja ábra: z IT ode-diagramja ábra: DT ode diagramja ábra: DT ode-diagramja ábra: felada állapoegyenlee álal kapo eredmény ábra: felada: ámenei függvény görbéje ábra: Nyquis-diagram. al: ípusú szabályozás, jobb: ípusú szabályozás ábra: Nyquis-kriérium szemléleése ábra: Felnyio szabályzási kör haásvázlaa ábra: Sabil szabályozás Nyquis- és ode-diagramjai ábra: Sabiliásvizsgála ode-diagramokkal ábra: Srukurálisan insabil rendszer ábra: Minőségi jellemzők zár kör ámenei függvényében... 8

12 5.8 ábra: fázisaralék, az ampliúdóaralék, a vágási körfrekvencia szemléleése Nyquis- és ode-diagramon ábra: Visszacsaolás megvalósíása soros kompenzálással ábra: z erősíési és az arányossági ényező haásai ábra PI közelíő fáziskésleleő ag ábra: PI kompenzálása PT eredőjű rendszerben ábra: PD közelíő fázissieeő ag ábra: PD kompenzálása IT eredőjű rendszer fázisaralék-növelésére ábra: PID közelíő kombinál ag maximális szelekiviás eseén ábra: PID ag kompenzálásénak haása IT eredőjű rendszerben ábra: PI, PD, PID szabályozók ugrásjel haására ado ideális ámenei függvényei 8 6. ábra: Visszacsaol rendszer ábra: Lengéscsillapío ömeg sémája ábra: D függvény egységugrásfüggvényre ado válasza ábra: P szabályozó egységugrásfüggvényre ado válasza ábra: PD szabályozó egységugrásfüggvényre ado válasza ábra: PI szabályozó egységugrásfüggvényre ado válasza ábra: PID szabályozó egységugrásfüggvényre ado válasza ábra: PID szabályozó egységugrásfüggvényre ado válasza ábra: z erősíés fáziselolásának meghaározása ode-diagram segíségével ábra: Ámenei függvény közelíésének leheőségei ábra: z inegrálórész ode-diagramja ábra: z inegráló- és az arányos rész ode-diagramja ábra: kompenzál rész ode-diagramja ábra: z új vágási frekvencia és fáziselolás ode-diagramja... 3

13 . Z UTOMTIZÁLÁS JELENTŐSÉGE ársadalom célja a jólé megeremése a agjai számára, s ez anyagi javak ermelésével érheő el. Egy ársadalma akkor ekinünk echnikailag fejleebbnek egy másiknál, ha öbb és jobb ermék előállíására képes. régi korokban az anyagi javak ermeléséhez szükséges munká kizárólag vagy majdnem kizárólag emberi, ill. állai erővel végezék el. Később a gépek áveék az ember szerepé a nehéz fizikai munkában, ill. leheővé eék egy sor olyan felada elvégzésé, amely kizárólag emberi erővel leheelen le volna. gépeke azonban irányíani kell, ez pedig az ember feladaa. echnikai haladás egyre bonyolulabb gépeke erem, amelyek irányíása egyre nehezebb felada. Nehezebb azér, mer a gépek gyorsabb működése gyorsabb beavakozás is kíván, és a feladaok összeeségüknél fogva sok szempon egyidejű mérlegelésé eszik szükségessé. z ember az irányíóevékenysége is igyekszik egyre nagyobb mérékben a gépekre bízni, azaz auomaizálni őke. z auomaizálás az a evékenység, amelynek eredményeképpen az ember irányíószerepé gépek, berendezések veszik á. z auomaizálás még nem nagy múlú, de jelenős eredményei alapján megalapozo a feléelezés, hogy széles körű elerjedése hasonló eredményekkel fog járni, min jár a gépek alkalmazása a ermelésben, azaz az ipari forradalom során. Ennek érelmében nevezik az auomaizálás második ipari forradalomnak. mikor a gépek, berendezések egyre bonyolulabbakká válak, az emberi érzékszervek egyre kevésbé felelek meg, az emberi érzékszervek kiválására észlelőberendezéseke, illeve -műszereke kelle alkalmazni. műszerezés nagymérékben segíee, ső egyes eseekben helyeesíee az ember megfigyelő-, érzékelő-, mérő-, ellenőrző evékenységé. kézi irányíás a műszerezésnek köszönheően ponosabbá, megbízhaóbbá, haékonyabbá vál. fejlődésnek ezen a fokán megeremődek annak a feléelei is, hogy az irányíás legfonosabb mozzanaá, az íélealkoás (dönés) és a vele kapcsolaos rendelkezés (beavakozás) is gépi berendezésekre lehee bízni; az ember az irányíás műveleének gépesíése, azaz az auomaizálás révén felszabadul a gépek, berendezések sokszor megerőleő, egyhangú, ismélődő és sok eseben az ember eljesíőképességé is meghaladó közvelen, direk működeése alól. Kezdeben az auomaizálás is részleges vol, csak egyes munkafolyamaokra erjed ki, napjainkban viszon egyre gyakrabban vagyunk anúi a bonyolul, összee folyamaokra, ső akár eljes üzemekre, gyárakra 3

14 kierjedő komplex auomaizálásnak. Minhogy a komplex auomaizálás számos bonyolul folyama fizikai paraméereinek érzékelésé, rendkívül sok és összee íélealkoó evékenység gépesíésé eszi szükségessé, igen nagy szerepe kapak és kapnak ma is az íélealkoó fázisok elvégzésében a folyamairányíó számíógépek. z auomaizálás műszaki előfeléele a gépesíés. Természees, hogy a műszaki feléelek meglée melle a gazdasági indokok, feléelek meglée is elengedheelen, hiszen az auomaikus gépek, berendezések nem lehenek öncélú alkoások, hanem végső soron a ermelés mennyiségének fokozói, és ami legalább ilyen fonos, minőségének javíói. do munkafolyama részleges vagy eljes körű auomaizálása ehá csak akkor lehe indokol, ha a befekee szellemi és anyagi érék az auomaizál ermelés folyamán megérül. z auomaizálás előfeléelei: megfelelő gépesíés, magas színvonalú echnológia, bizonságos üzemmene, megfelelő műszerezeség, nagy ermékmennyiség előállíása (gyármányok soroza-, ill. ömeggyárása), a echnológiai folyamaok egyes paraméereinek, azok összefüggéseinek kellő ismeree, megbízhaó auomaikaelemek, jól felkészül szakemberek. z irányíásechnika (auomaika) a műszaki udományok egyik ága, s a gyárási folyamaok, a gépi műveleek önműködő (auomaikus) irányíásával foglalkozik. z irányíásechnika főbb erüleei a kövekezők: z irányíáselméle az önműködő irányíás örvényszerűségei, feléelei vizsgálja. z irányíószervek (elemek) echnikája az irányíás gyakorlai megvalósíásához szükséges berendezések kidolgozásával, felhasználásával foglalkozik. z alkalmazo auomaika a különféle iparági (pl. gépipari, vegyipari, kohászai), közlekedési, mezőgazdasági sb. folyamaok önműködő irányíásával kapcsolaos.

15 . IRÁNYÍTÁSTECHNIKI LPFOGLMK műszaki-echnológiai folyamaokra jellemző, hogy ezeke a megfelelő pillanaban kell megindíani, majd leállíani, s kimeneelüke ervszerűen kell befolyásolni. E folyamaokkal kapcsolaos evékenysége irányíásnak nevezzük. z irányíás ehá olyan művele, amely valamely folyamao elindí, fennar, megváloza vagy megállí. z irányíás során egy nagy energiaaralmú folyamao álalában kis energiájú haásokkal befolyásolunk. z irányíási folyamaok műveleei a kövekezők: érzékelés: információszerzés az irányíandó folyamaról, íélealkoás: az éresülés alapján dönés a rendelkezés szükségességéről, rendelkezés: uasíás a beavakozásra, jelformálás: a beavakozás módjának meghaározása (jelmódosíás, jelerősíés), beavakozás: az irányíandó folyama befolyásolása. míg az irányíás alacsony energiaszinen valósul meg, addig a beavakozáshoz már rendszerin nagyobb energiák szükségesek. z irányío folyama ényleges megvalósulásáról az érzékelőszervek (szenzorok) révén lehe éresülés (információ) szerezni. Maga az íélealkoás jelenhei annak eldönésé, hogy ké jellemző egyenlő-e, illeve, ha nem, akkor melyik a nagyobb közülük. Gyakran ehá az íélealkoás (előjelhelyes) összegzés vagy bizonyos logikai műveleek elvégzésé jeleni. z íélealkoás eredménye a rendelkező haás, amely a szükséges jeláalakíások uán elju a beavakozószervhez; ez a szerv hajja végre a rendelkezés. z irányíás célja: Egy folyama egy vagy öbb jellemzőjé (ezek az irányío jellemzők) ado éréken arani (a zavaró jellemzők ellenére), vagy ado örvényszerűség szerin válozani azoka. Ha a eljes irányíási folyama kezelőszemélyze beavakozása nélkül megy végbe, akkor önműködő irányíásról, ha az irányíás valamely műveleé kezelőszemélyze végzi, akkor kézi irányíásról beszélünk. 5

16 emenő energia emenő anyag Termelési folyama Kimenő energia Kimenő anyag eavakozás Jelformáló Módosíó Rendelkezés Információ Érzékelő Íélealkoó Információ. ábra: z irányíási folyama elvi vázlaa haásláncon haások (jelek) erjednek ovább, mégpedig a nyilakkal jelze irányban. haások haladása nincs anyag-, ill. energiaáramláshoz köve. E haások hordozói, azaz a jelhordozók különféle mérheő fizikai, kémiai paraméerek (pl. levegőnyomás, villamos áram, ill. feszülség sb.) lehenek. jel legfőbb sajáossága az információaralom, a jel energiaszinje csupán másodlagos jelenőségű. jel a jelhordozó minden olyan éréke vagy érékválozása, amely alkalmas a hozzárendel információ megszerzésére, ovábbíására vagy árolására. z irányío folyama állapoá jellemző, ill. befolyásoló paraméereke (pl. hőmérsékle, nyomás, koncenráció sb.) jellemzőknek nevezzük. z irányíási rendszer az irányío és az irányíóberendezés együese képezi. Előbbi az irányíás árgya (az irányíásól egyébkén függelenül meglévő műszaki léesímény, berendezés, gép, echnológiai egység), uóbbi azon szervek összessége, amelyek révén az irányíás megvalósul. szerv önállóan végzi el az irányíás valamely részműveleé, az irányíási rendszer gyakran egymással összeépíe szerkezei elemek alkoják. z elem irányíásechnikai szemponból ovább már nem bonhaó szerkezei egység. z egyes szervek közö a jeleke a jelvivő vezeékek viszik á. Válasszunk ki eszés szerin egy szerve (eleme) az irányíás haásláncából. szerve működeő jele (bemenőjel) ekinsük az oknak, s a szerv működése kövekezében lérejö jel (kimenőjel) lesz az okoza, azaz a kimenőjel a bemenőjel függvénye. z egyes szervek ado bemenőjelből más és más kimenőjele képezhenek aszerin, hogy milyen jelformáló, jelávivő ulajdonsággal rendelkeznek. szervek jelformáló ulajdonságai képviselő fogalma agnak (. ábra) nevezzük, amely megadja, hogy milyen differenciálegyenleel, függvénnyel jellemezheő örvényszerűség szerin örénik a jelformálás, a jeláviel. ag ehá függelen a szerkezei kivielől. ovábbiakban a visszahaásmenes agoka éelezünk fel, azaz a jel a agon a bemenőjel felől a kimenőjel felé muaó irányban halad. z irányío berendezés jelávivő sajáosságai jellemző ago irányío szakasznak nevezzük. 6

17 X b emenő jel TG. ábra: Tag ábrázolása X k Kimenő jel z irányíás során különböző haások haladnak ovább az irányíási lánc egyes elemein, amíg a rendelkezés, illeve a beavakozás haásra a ermelési folyamao a kíván mérékben befolyásoljuk. ELEM: z irányíásechnikai szemponból ovább már nem bonhaó szerkezei rész (pl. hidraulikus vagy pneumaikus szelep, kapcsoló, érinkező, ranziszor sb.). z elem egy vagy öbb alkarészből állha. SZERV: szerkezei elemek egy bizonyos célból összeállío, ado funkciójú, szervezeen működő egysége (pl. erősíő, érzékelő, LCD-kijelző sb.). szerv egy vagy öbb elemből állha. IRÁNYÍTÁSI RENDSZER: szervek irányíási, szabályozási célból lérehozo rendszere. JEL: olyan fizikai mennyiség, állapohaározó (vagy ezek megválozásai), amelynek információaralma van. JELLEMZŐ: a folyama olyan jele, amely irányíás nélkül is jelen lenne, és azzal közvelen kapcsolaban áll. TG: az elem, szerv vagy berendezés (működés szemponjából bármely önálló rész) dinamikus sajáosságainak kifejezésére lérehozo elvonakozaás, abszrakció... jelek feloszása jel valamely fizikai állapohaározó (jelhordozó) minden olyan éréke vagy érékválozása, amely alkalmas az egyérelműen hozzárendel információ megszerzésére, ovábbíására vagy árolására. jel a konkré fizikai folyamaól elvonakozao abszrak fogalom, amely nem az energeikai, hanem az informaikai ulajdonság hordozója. Jelhordozó lehe minden mérheő fizikai (kémiai) állapohaározó (mennyiség). jeleke feloszhajuk az ábrán láhaó szemponok szerin..3 ábra: Jelek feloszása Forrás: [3] 7

18 a. z érékkészle szerin: FOLYTONOS a jel, ha meghaározo arományban eszés szerini éréke felvehe és érékkészlee folyonos (.3 ábra a, b, d, e). folyonos jelmodellek leírásához haékony maemaikai apparáus áll rendelkezésre, kissé hárány jelen azonban, hogy ez nem illeszkedik közvelenül a digiális jelfeldolgozás széles körben elerjed eszközeihez. SZKSZOS (nemfolyonos) a jel, ha csak meghaározo, diszkré érékeke vehe fel, ké szomszédos diszkré éréke közöi érékkészlee hiányzik (.3 ábra c, f, g, h). izonyos, a gyakorla szemponjából nem úl szigorú feléelek (a minavéeli örvények) eljesülése eseén a diszkré jelekkel örénő rendszerleírás a folyonos eseel egyenérékű leírás ad. kiünee ér- és időponok egyenlees elhelyezkedése eseén a diszkré jelmodellek leírására is legalább olyan haékony maemaikai eszközök állnak rendelkezésre, min folyonos eseben. Kedvező, hogy e módszerek jól illeszkednek a digiális jelfeldolgozás eszközeihez. b. z időbeli lefolyás szerin: FOLYMTOS a jel, ha ado időarományban megszakíás nélkül fennáll (.3 ábra a, b, c, g). SZGGTOTT (nemfolyamaos) a jel, ha csak meghaározo időközönkén és időaramban szolgála információ, időközönkén megszakad (.3 ábra d, e, f, h). c. z információ megjelenési formája szerin: NLÓG a jel, ha az információ a jelhordozó éréke vagy érékválozása közvelenül képviseli (.3 ábra a és c modulálalan analóg; b, d, e, f modulál analóg jel időfüggvényé). DIGITÁLIS a jel, ha az információ a jelhordozó számjegye kifejező, diszkré, jelképi érékeiben (kódjaiban) van jelen (.3 ábra a és g binárisan kódol, h soros kód segíségével előállío digiális jel időfüggvényé). d. z érék meghaározosága szerin: DETERMINISZTIKUS a jel, ha éréke meghaározo időfüggvénnyel egyérelműen megadhaó (.3 ábra valamennyi jele). Deerminiszikus jelmodell használunk, ha a jele lérehozó kölcsönhaások kimeneele a megfigyelő számára egyérelműen meghaározonak űnik. SZTOCHSZTIKUS a jel, ha vélelen lefolyású, és csak valószínűség számíási módszerekkel írhaó le. Szochaszikus jelmodell használunk, ha a jele lérehozó kölcsönhaások kimeneele a megfigyelő számára vélelennek űnik elsősorban abból adódóan, hogy a kölcsönhaások lérejöének oká azok nagy száma és bonyolulsága mia nem ismeri, vagy a jelenség fizikai ermészeéből adódóan nem ismerhei. 8

19 .. z irányíásechnika feloszása z irányíás közvelen célja: egy folyamaba alkalmas helyen úgy beavakozni, hogy a beavakozás kövekezében egy ado paraméer állandó éréken maradjon, vagy meghaározo módon válozzon a zavaró haások ellenére. beavakozás pillananyi eredménye vagy visszaha a ovábbi beavakozásra, vagy nem befolyásolja az. Eszerin az irányíásnak ké fő csoporjá, a VEZÉRLÉST és a SZÁLYOZÁST különbözejük meg. IRÁNYÍTÁS VEZÉRLÉS SZÁLYOZÁS Kézi vezérlés Önműködő vezérlés Kézi szabályozás Önműködő szabályozás. ábra: z irányíás feloszása... vezérlés vezérlés művelee során az x r rendelkezőjel végighalad a vezérlőberendezés alkoó szerkezei egységein, az ún. szerveken..5 ábrán láhaó működési vázla uolsó szerve a beavakozószerv, amelynek feladaa a vezérel berendezés (szakasz) anyag- és energiafolyamaának célirányos befolyásolása..5 ábra: vezérlés működési vázlaa Forrás: [] Vezérlésnél az irányíó személynek (vagy önműködő berendezésnek) az irányío folyamaban énylegesen lejászódó válozásokról nincs folyamaos információvaja, így azoka figyelembe venni sem udja. beavakozás eredménye ehá nem ha vissza a vezérlőberendezésre, a rendszerre haó zavaró haásoka nem képes kiküszöbölni. vezérlés haáslánca nyio.... szabályozás szabályozás művelee során (.6 ábra) az x r rendelkezőjel egy előzeesen megado x a alapjelnek és az x s szabályozo jellemző pillananyi érékéől függő x e ellenőrző 9

20 jelnek a különbsége. z x r rendelkezőjel (más néven hibajel) rendszerin egy jelformáló és erősíőszerven végigfuva az x b beavakozójellel működésre készei a beavakozószerve. beavakozószerv kimenőjele, az x m módosío jellemző olyan haás vál ki a szabályozo berendezésben, amely az x s szabályozo jellemzőnek az előír érékől való elérésé igyekszik megszüneni. megkíván, előír haás kiválásával, elérésével a szabályozás művelee befejeződö..6 ábra: szabályozás működési vázlaa Forrás: [] szabályozo berendezésre ermészeesen hanak az x z zavarójellemzők. Igen gyakran éppen azér alkalmaznak szabályozóberendezéseke, hogy segíségükkel a nemkívánaos zavaró haásoka kiküszöböljék. szabályozás művelee ehá úgy befolyásolja a műszaki folyamao, hogy az x s szabályozo jellemző megválozása visszaha a haáslánc elejére; ha elérés muakozik az x a alapjel és az x e ellenőrző jel közö, lérejön egy ún. szabályozási elérés, egy x r rendelkezőjel (hibajel), amely az előzőekben leír módon feji ki haásá. Szabályozásnál a szabályozo jellemző éréké egy ellenőrző szerv (érzékelő) figyeli, és elérés eseén (azaz abban az eseben, ha a folyama lefolyása elér az előíról) megválozaja a rendelkezőjele, és mindaddig korrigál, amíg a folyama ismé az előírás szerin zajlik. szabályozás haáslánca zár. szabályozási művele a negaív visszacsaolás elve alapján valósul meg...3. vezérlés és a szabályozás összehasonlíása a. Haáslánc: z kell megvizsgálnunk, hogy az irányíani kíván jellemző válozása visszaha-e az irányíási folyamara, zár- vagy nyio e az irányíás haáslánca. Vezérlésnél az irányío jellemző nem esik egybe a folyamaosan érzékel és az irányíóberendezéshez ovábbío jellemzővel. Így a vezérel jellemző alakulása nem befolyásolja a folyama meneé, nincs visszahaás, azaz a vezérlés haáslánca nyio. Szabályozásnál az irányío jellemző ellenőrizzük folyamaosan, s ennek időbeli alakulása, az elérni kíván alapérékől való különbsége szabja meg a folyamaba való beavakozás. szabályozás álalában negaív visszacsaolás alapján valósul meg, haáslánca zár.

21 b. Zavarójellemző: rra kell válasz adni, hogy a kialakío irányíási rendszer mely zavarójellemzők haásá képes kompenzálni Vezérlés eseén csupán az előre számíásba ve és folyamaosan érzékel zavaró jellemző (pl. a hűendő folyadék beáplálásának ingadozása) haásá udjuk kompenzálni. Szabályozás kialakíásával ado haárokon belül számos, előre számíásba nem ve zavaró haás is ellensúlyozhaó. c. z irányíási elérés: z összehasonlíás alapja az, hogy az irányío jellemző elérni kíván éréké (pl. 5 Cos ermékhőmérsékle) a ényleges érék (pillananyi ermékhőmérsékle) helyesen beállío irányíási műveleeke feléelezve hogyan közelíi meg. Vezérlés alkalmazva amennyiben csak számíásba ve zavarójellemző ha még ámeneileg sincs vezérlési elérés. Szabályozáskor kismérékű, ideiglenes szabályozási elérés a visszacsaolás kövekezében nem kerülheő el. d. z irányíási rendszer ismeree: E szempon az célozza, hogy milyen mélységben kell ismerni az irányíandó folyama és az irányíószervek viselkedésé. vezérlés kialakíásához felélenül szükséges az irányíási rendszer működésének leírására alkalmas, ponos maemaikai összefüggések ismeree, ovábbá valamennyi szerv viselkedésé megszabo korláok közö kell arani. Szabályozás megvalósíásánál legöbbször nem szükséges a szabályozási rendszer mélyrehaó maemaikai elemzése, s az egyes szervek működése sem oly mérékben korláozo, min a vezérlés eseén. e. Sabiliás: sabiliás az irányíási rendszer működési sajáossága. Vizsgálaakor az kell eldönenünk, hogy az irányío paraméer bizonyos idő elelével állandósul, vagy lengéseke végez e. vezérlés a nyíl haásláncból adódóan mindig sabil. szabályozás labilissá válha. z összehasonlíásból kiderül, hogy a szabályozásnak a vezérléshez képes számos előnye van. zonban a vezérlés kell a szabályozással szemben előnyben részesíeni, ha az előír érék ámeneileg sem lépheő úl, vagy az irányíandó berendezésre (folyamara) csak az ellenőrzö zavarás ha. Gyakran előfordul, hogy egyazon irányío rendszeren mind szabályozási, mind vezérlési műveleek végzésére van leheőség (pl. az önműködő folyamaszabályozási rendszer kialakíásánál az indíási és a leállási műveleek végzéséhez vezérlési rendszer is kiépíenek).

22 .3. vezérlés és a szabályozás csoporosíása a. rendelkezés lérejöe szerin: kézi (akaralagos), önműködő vezérlés és szabályozás különbözeünk meg. z irányíás során szükséges e udaos emberi közreműködés, vagy nem. z irányíás kézi, ha a kezelőszemély végzi például: a ermék hőmérsékleének ellenőrzésé (leolvassa a hőmérő pillananyi állásá), az íélealkoás (a pillananyi éréke összehasonlíja pl. 5 C-kal vagy az elérendő érékkel), a rendelkezés (a szelepe zárni kell), a beavakozás (zár a szelepen). Ha az előbbi műveleek bármelyike nem önműködően örénik, már kézi irányíásról beszélünk. b. z elvégze evékenység szerin ismerees: érékaró szabályozás, köveő- (arány-, helyze-) szabályozás, időerv-szabályozás, program- (időerv-, lefuó) vezérlés, köveővezérlés, ismereés. z ÉRTÉKTRTÓ SZÁLYOZÁSNÁL a szabályozo jellemző állandó éréken arása. KÖVETŐSZÁLYOZÁSNÁL egy időben előre nem ismer módon válozó alapjel köveése a cél. köveőszabályozás egyik formája az RÁNYSZÁLYOZÁS, ilyenkor ké vagy öbb jellemző arányá kell állandó éréken arani. (Kazánok, kemencék üzelésszabályozásánál a erhelésől függően nemcsak a üzelőanyag-beáplálás kell módosíani, hanem vele együ a légfelesleg álal megszabo arány szerin az égeéshez szükséges levegőáramo is. Elegyedési folyamaoknál, keverékek készíésénél, homogenizálásnál, kémiai reakcióknál akkor nyerheő előír minőségű ermék, ha bizonyos ömegarányoka állandósíanak a beáplálási áramokban.) köveőszabályozás másik fajája a HELYZETSZÁLYOZÁS. Ezen eseben a szabályozo jellemző mechanikai elmozdulás (pl. auóbuszok, repülőgépek szervokormányának kialakíásánál alkalmazzák). z IDŐTERV-szabályozás eseén az alapjel egy időben előre megado függvény (program) szerin válozik, melye a szabályozo jellemzőnek kövenie kell (pl. egyes száríási műveleeknél a hőmérsékle és a légnedvesség kívánaos alakulásá programszabályozással valósíják meg a megfelelő ermékminőség bizosíása és a fajlagos hőenergia-igény csökkenése érdekében). programvezérlés egyik formája az időervvezérlés, a másik a lefuó vezérlés. z időervvezérlésnél egy időől függő program haározza meg a beavakozás. Lefuó vezérlésnél bizonyos feléelek eljesülése indíja el a folyama kövekező szakaszá (pl. önműködő felvonók vezérlése).

23 c. működési mód szerin megkülönbözeünk: folyonos, nemfolyonos (állásos, digiális) irányíás. FOLYTONOS szabályozás eseén a haáslánc bármely helyén a jelek folyonosan (szakadás nélkül) váloznak, NEMFOLYTONOS szabályozásnál egyes szervek működésük során csak meghaározo, diszkré állapoo vesznek fel (pl. egy relé meghúz vagy elenged, egy mágnesszelep nyio vagy zár állapoban van). nemfolyonos szabályozások kaegóriájába sorolhaók a minavéeles (digiális) szabályozások is. d. segédenergia szerin megkülönözeünk: segédenergia nélküli (az irányío rendszerből ve energiával működő), pneumaikus (a jelhordozó a sűríe levegő nyomása), hidraulikus (a jelhordozó a működeő folyadék nyomása), villamos (a jelhordozó villamos áram vagy feszülség), kombinál (elekropneumaikus, elekrohidraulikus) irányíási rendszereke. Egy ermelési folyama eljesen önműködő megvalósíása már komplex auomaizálási feladao jelen. z összee irányíási eljárások az analóg működésű irányíóberendezések melle rendszerin digiális folyamairányíó számíógépe is igényelnek. későbbiek során főkén az önműködő, érékaró, folyonos szabályozással kapcsolaos problémáka árgyaljuk... z irányíási rendszer ábrázolása haáslánc az irányíási rendszer (az irányíási rendszer az irányío és az irányíó berendezés együesen alkoja) azon szerkezei egységeinek sorozaa (láncolaa), amelyeken kereszül az irányíási haás érvényesül. z irányíási rendszer szerkezei vázlaal, működési vázlaal és haásvázlaal ábrázolhaó.. ábra a haáslánc szerkezei részeinek, a. ábra a szerkezei egységekől elvonakozao agjainak jelképes ábrázolási módja. szerkezei vázla az irányíási rendszer olyan vázlaos vagy jelképes ábrázolási módja, amely főkén a rendszer irányíási szemponból lényeges részei ünei fel. működési vázla a haáslánc szerkezei részeinek jelképi ábrázolásá aralmazza. szerkezei egységeke églalapok, míg a jelek újá haásvonalak jelképezik. Gyakran alkalmazo ábrázolási mód, ilyen működési vázla az. ábra is. haásvázla a haáslánc elvi, elvonakozao ábrázolásmódja, amelyben a agoka és jeleke egyszerű geomeriai alakzaok jelképezik (. és.7 ábra). z irányíásechnikai agoka ábrázoló jelképekbe eseenkén beír vagy berajzol függvény a ag saikus vagy dinamikus viselkedésé jellemzi. haásvázlanak ké fajájá, a ömbvázlao és a jelfolyamábrá különbözejük meg, amelyek jelképei a agok alapkapcsolásai eseén a.7 ábra aralmazza. (z Y a ag dinamikai ulajdonságai jellemző függvény jelöli.) 3

24 haásvázla részei: a ag, az irányío szakasz, a haásirány és a jelek. z irányíásechnikai TG (röviden: a ag) elvonakozaás, abszrakció úján nyer fogalom, amely az irányíási rendszer (haáslánc) valamely eszés szerin kiválaszo részének jelformáló ulajdonságá fejezi ki. ago a jelformáló haásá egyérelműen kifejező, leíró maemaikai alakkal (differenciálegyenleel, függvénnyel) vagy grafikusan (jelleggörbével) adhajuk meg. IRÁNYÍTOTT SZKSZNK nevezzük az a ago, amely az irányío berendezés (folyama) jelávieli ulajdonságai írja le. z irányío szakasz irányíása során annak egyes (fizikai) mennyiségei módosíják, ennek révén érik el a kíván célnak megfelelően más jellemző fizikai mennyiségek megválozaásá. z irányío szakasz bemenőjelei a módosío jellemzők; míg a kimeneen az irányío jellemzők jelennek meg. gyakorlaban használaos irányíóberendezések eseében minden eseben számíani kell ún. zavaró jellemzőkre is, amelyek gyakran váralanul, akaraunkól függelenül zavarják az irányíás eljes folyamaá. jel a agon csak egy irányban, a HTÁSIRÁNYN haladha, visszafelé nem fejhe ki haás. EMENŐJEL a ago működésre készeő függelen, külső jel. ag működése során, annak eredményekén lérejövő jel a kimenőjel. KIMENŐJEL ehá egyrész a bemenőjelől, másrész a ag módosíó, jelformáló haásáól függ. MEGNEVEZÉS ÉS MTEMTIKI ÖSSZEFÜGGÉS Tömbvázla HTÁSVÁZLT Jelfolyamábra Jel elágazás X X X 3 X X X 3 X X X 3 Jel összegzés X X X X 3 X X X -X 3 X X X - X 3 Tag, bemenő- és kimenőjelek X Y X X Y X X Y X Tagok álal módosío jelek összegzése X 3 Y X Y X X X Y Y X 3 X X Y -Y X 3

25 Tagok párhuzamos kapcsolása X Y Y ) ( X X Y X X Y Y X Y Tagok soros kapcsolása X 3 Y X Y Y X X Y X Y X 3 X X Y Y X 3 Visszacsaolás Y X Y Y X X ± Y Y X X Y ±Y X.7 ábra: haásvázla jelképei haásláncban haladó jeleke folyonos egyenes vonalak, a haásirány pedig nyilak jelölik. jelek összegképzésének, illeve különbségképzésének jelképe egy sík negyedekre oszo kör. negaív előjellel belépő jel körcikké besöéíik, és öbbnyire a negaív előjele is felüneik. Figyelem! jelek álalában valamilyen fizikai jellemzővel, dimenzióval rendelkeznek! Összekapcsolni csak az azonos mérékegységűeke szabad! Figyelembe veendő ovábbá, hogy a agok idealizálak, ehá pl. bemeneük nem erhel, és kimeneük eszőlegesen erhelheő, valamin nem rendelkeznek visszahaással. (Ha mégis, úgy agcsopor eredőjekén kell ez figyelembe venni.).5. rendszerelemek kapcsolási módjai Műszaki rendszerek, objekumok vizsgálaánál, jellemzésénél meg kell haároznunk a vizsgál rendszer haárai, fel kell bonani a rendszer elemeire (részrendszerekre), s szükséges megismernünk az elemek kapcsolódásá, egymásra haásá. z elemek közöi ok-okozai kapcsolaok szemléleesen ábrázolhaók a haásvázla segíségével. ovábbiakban a rendszerelemek, a eljes rendszer jelávielének elemzésénél a jelávieli ag, agcsopor fogalma használjuk. jelávieli agok közö alapveően a kövekező kapcsolaok adhaók meg: soros kapcsolás, párhuzamos kapcsolás, visszacsaolás..5.. Soros kapcsolás X (s) Y (s) X (s) Y (s) X 3 (s) X n (s) Y n (s) X n+ (s).8 ábra: Tagok soros kapcsolása Tekinsük a.8 ábrán láhaó n számú, egymással sorba kapcsol jelávieli ago. Legyen ismer az egyes agok Y i (s) ávieli függvénye. Ismerees, hogy minden ag 5

26 kimenőjelének Laplace-ranszformálja az ávieli függvény definíciója szerin a bemenőjel Laplace-ranszformáljának és a ag ávieli függvényének ismereében a kövekezőképpen fejezheő ki: X i s Yi s X i s az i-edik agra, (.) illeve X n s Yn s X n s az uolsó agra. (.) Minden ag bemenőjele azonos az az megelőző ag kimenőjelével. Tehá az egyenlee a haásláncban a leguolsó agra célszerű felírni, s a bemenőjel Laplace-ranszformáljába mindig a megelőző ag ávieli függvénye és bemenőjele ranszformáljának szorzaá behelyeesíve eljuunk a agcsopor bemenőjeléig: X s Y s Y s Y s Y sx s n n n..., (.3) amelyből kifejezheő a sorba kapcsol agok eredő ávieli függvénye: X n s Y s Yn s Yn s... Y s Y s. (.) X s Tehá a agok sorba kapcsolása eseén az egyes ávieli függvények szorzaa adja az eredő függvény..5.. Párhuzamos kapcsolás Y (s) Y (s)x (s) X (s) Y (s) Y (s)x (s) X (s)... Y n (s) Y n (s)x (s).9 ábra: Tagok párhuzamos kapcsolása Kapcsoljunk össze n darab jelávieli ago a.9 ábra szerin. haásvázlaban ponal jelöl elágazási hely uán valamennyi elágazásban azonos információ (X (s)) halad ovább és ju az egyes elemek bemeneeire. z előbbiekhez hasonló gondolamene, illeve a.6 ábra alapján az eredő ávieli függvény: Y X s Y s X s Y sx s... Yn sx s s X s X s Y s Y s Y. s n (.5) Tehá párhuzamosan kapcsol agok eseén az eredő az egyes ávieli függvények összegekén adódik. 6

27 .5.3. Visszacsaolás X (s) X (s)±x (s)y (s) ± Y (s) X (s) X (s)y (s) Y (s). ábra: Tagok visszacsaolása visszacsaolás az jellemzi, hogy az előremenő ágban lévő ag kimenőjele a visszacsaoló ágban lévő agon kereszül visszaju bemeneére, s előjelhelyesen összegeződik a bemenőjellel. Ké esee különbözeünk meg: a poziív és a negaív visszacsaolás (. ábra). z előző kapcsolásoknál már alkalmazo összefüggések, illeve a. ábra alapján: s Y s X s X s Y s X ; s Y s Y s Y s X s X. z eredő ávieli függvény ehá poziív visszacsaolás eseén: Y s s s s s Y s X Y, (.6) X Y illeve negaív visszacsaolásnál: Y s z s Y s Y Y Y s s Y s. (.7) szorzao hurokávieli függvénynek nevezik..6. Haásvázlaok áalakíása z összee rendszerek vizsgálaához szükség van a haásvázla ismereére. rendszervizsgála eseenkén egyszerűsíheő a haásvázlaok egyenérékű áalakíásával, s így egyszerűbben haározhaók meg az eredő ávieli függvények, egyéb rendszerjellemzők.. ábra a legfonosabb áalakíási szabályoka foglalja össze. haásvázlaokban a jelek Laplace-ranszformáljai és az ávieli függvények szerepelnek, de azonos áalakíási szabályok vonakoznak a Fourier-ranszformálakra és a frekvenciafüggvényekre is. 7

28 Egyenérékű haásvázlaok. X (s) eredei Y (s) Y (s) Y 3 (s) X (s) X (s) áalakío Y (s)y (s)y 3 (s) X (s). X (s) Y (s) X (s) X (s) Y (s)+y (s)+y 3 (s) X (s) Y (s) Y 3 (s) 3. X (s) ± Y (s) Y (s) X (s) X (s) Y ( s) Y ( s) Y ( s) X (s). X (s) X (s) X (s) X (s) X (s) X 3 (s) X 3 (s) X (s) 5. X (s) X (s) X (s) X (s) 6. X (s) X (s) Y(s) X 3 (s) X (s) X (s) Y(s) Y(s) X 3 (s) 7. X (s) Y(s) X 3 (s) X (s) Y(s) X 3 (s) X (s) /Y(s) X (s) 8. X (s) Y(s) X (s) X 3 (s) X (s) Y(s) Y(s) X (s) X 3 (s). ábra: Haásvázla-áalakíás 8

29 z áalakíások szemléleésére a. ábrán egyenérékű haásvázlaok láhaók, amelyek az a) haásvázlaon lévő eredei váloza egyenérékű áalakíásával, a. ábra áalakíási szabályainak alkalmazásával készülek.. ábra b) haásvázlaa az.,. és 3. sorszámú, a c) haásvázla pedig a 6. sorszámú áalakíási szabály figyelembevéelével kerül felvázolásra az eredei a) kapcsolás módosíva. a) Y 3 X b X k Y Y X k Y Y b) Y 3 X b X k Y Y Y Y c) Y 3 X b X k Y Y Y Y d) X b Y ( Y Y3 ) Y Y X k. ábra: Példa haásvázla egyszerűsíésére 9

30 3. VEZÉRLÉSTECHNIKI FÜGGVÉNYEK ÉS LKLMZÁSUK z auomaika, auomaizálás egyik nagy részerülee a vezérlésechnika, ahol főleg digiális jelek irányíásá kell megvalósíani. digiális jelek logikai kapcsolaai és azok egyszerűsíésé, realizálásá ismerjük meg a kövekező fejezeben. 3.. Halmazelmélei alapfogalmak Halmazon valamilyen közös ulajdonsággal rendelkező dolgok összességé érjük. halmazhoz arozó dolgok összességé a halmaz elemeinek nevezik. z ado ulajdonságokkal nem rendelkező dolgok összessége alkoja a komplemens vagy kiegészíő halmaz. halmazok lehenek végesek vagy végelenek a halmaz alkoó elemek számáól függően. Ké speciális halmaz is definiálnak: az üres halmaz, amelynek egyelen eleme sincs, és a eljes vagy univerzális halmaz, amelye valamely halmaz és ennek komplemense alko. közös rész jelölésére az halmazelméleben a vagy jele, illeve a oole-algebrában a logikai szorzás és ennek jelé használják. = =. z egyesíe halmaz jelölésére az U vagy V szimbólumo, illeve a oole-algebrában a logikai összeadás és ennek jelé használják: U = V = + halmazok és a rajuk érelmeze műveleek jól szemléleheők (a J. Venn és Weich maemaikusról elneveze) diagramokkal is. eljes halmaz egy négyzeel, míg a részhalmazoka egy zár alakzaal célszerűen egy körrel (Venn-diagramban) vagy egy églalappal (Weich-diagramban) jelölik. 3

31 Venn-diagram Részhalmazok meszee Részhalmazok egyesíése C C C D D D Mesze DC Egyesíés D C 3. ábra: Logikai függvények grafikus ábrázolása z ábra a meszésnek (ÉS művele) az a válozaá szemlélei, amelyik mindegyik válozó valamelyik érékének közös erülee. Ez meszi ki a legkisebb elemi erülee, ezér nevezik ez minerm-nek. másik ábrán az összes válozó valamely érékeihez arozó együes erüle láhaó. z egyesíe erüle a legnagyobb részerüle, amelye maxerm-nek neveznek. Mind a ké kiünee erüleből n en darab van, ahol n a válozók száma. 3.. oole-logikai algebra zoka az áramköröke, amelyek ki- és bemenőjelei csak ké állapoo vehenek fel, kéállapoú vagy bináris áramköröknek nevezzük. z egész rendszer azon az elven alapszik, hogy a logikai megállapíások lehenek igazak vagy hamisak. Egy villamos kapcsoló lehe zár vagy nyio. Egy izzó világí vagy nem. gondola leírásához nem szükséges a szavak használaa, elég, ha a szimbólumoka használjuk ( = igaz, = hamis). 3. ábláza: a OOLE-algebra alapéelei lapéel Duáléel. éel X =, ha X X =, ha X. éel * = + = 3. éel * = + =. éel * = + = 5. éel = = * a közönséges algebrában a szorzás jeleni, i azonban jelenése: logikai ÉS. + operáor nem összegzés, hanem a logikai VGY kapcsolao fejezi ki. Más megfogalmazásban a + a maximumképzés (max) jele, a * a minimumképzésé (min). 3

32 3. ábláza: három logikai alapművele bemuaása Logikai alapművele Összeadás Szorzás Tagadás Logikai kapcsola neve VGY (OR) ÉS (VGY) NEM (NOT) Művele jele lgebrai alak + F = N * F = * * * N fölül F = 3.3 ábláza: három logikai alapművele igazságáblázaa F=+ F=* F= F F F z igazságábláza olyan ábláza, amely a függelen válozók valamennyi leheséges variációjához rögzíi a függő válozó(k)nak az egyes érékvariációjához rendel érékei. 3. ábra: Vezérléseknél használaos jelölések 3

33 3.3 ábra: lapfüggvények léradiagramos megvalósíása 3.3. logikai algebra szabályai, azonosságai 3. ábláza: logikai algebra szabályai, azonosságai. + = *= Művele -val. += *= Művele -gyel 3. += *=. ( ) () = Negáció 5. * Ponál és negál válozók 6. * * Kommuaiviás 7. ( ) C ( C) ( * )* C *( * C) sszociaiviás 8. ( * C) ( )*( C) *( C) * * C Diszribuiviás 9. * *( ) *. ( )*( C) ( * C) * * C * ( C). * * ( ) bszorpció. C * * C * * C C De Morgan 3.. Egy- és kéválozós logikai függvények z F alsó indexe a függvénykapcsola sorszáma, a felső index a függelen válozó számá muaja. 3.5 ábláza: Egyválozós logikai függvények függelen válozó Függvénykapcsolaok Soha F = F Ismélő F = F Negáció F = F Mindig F = F 3 33

34 3.6 ábláza: Kéválozós logikai függvények függelen válozó függelen válozó Függvénykapcsolaok Soha F = F ÉS F= * F Inhibiáció F * F Ismélő F = F 3 Inhibiáció F = * F Ismélő F = F 5 nivalencia F * * F 6 VGY F = + F 7 VGY-NEM Ekvivalencia NEGÁCIÓ Implikáció NEGÁCIÓ Implikáció ÉS-NEM F F * * F F F F F * F 8 F 9 F F F F 3 F Mindig F = F Logikai függvények realizálása kapukkal, konakusokkal, igazságáblázaal és KV áblázaal NEGÁCIÓ MSZ US Konakusok F 3

35 MSZ US Konakusok ÉS (ND) * & F 3 VGY (OR) + + F 3 EKVIVLENCI F 3 NEM-ÉS (NND) * & F 3 35

36 NEM-VGY (NOR) MSZ US Konakusok F 3 NTIVLENCI * = F Funkcionálisan eljes rendszerek zoka a kapucsoporoka, amelyekkel eszőleges logikai függvény megvalósíhaó, funkcionálisan eljes rendszereknek nevezzük Nem-És-Vagy (NÉV) NND/NND NOR/NOR Kapcsolások megvalósíása NND és NOR kapukkal keőnél öbb bemeneű CMOS NND illeve ND kapuknál a nem használ bemeneeke logikai -be kell köni, ui. CMOS IC-kben bemene beköelenül nem hagyhaó. (TTL IC-knél pedig a beköelen bemeneek logikai -e jelenenek.) z igazságáblán köveheő, hogy egy -be köö bővíe bemene a kimenei éréke nem válozaja. (Egy szorzao -gyel szorozva az eredmény nem válozik.) TTL rendszerű inegrál áramköri család poziív logikai szinel működik. legfonosabb feszülségadaok a kövekezők: Névleges Minimum Maximum Tápfeszülség (Ucc) +5 V +,5 V +7 V emenei szin (U ih ) +3,3 V + V +5,5 V emenei szin (U il ) +, V -,5 V +,8 V Kimenei szin (U OH ) +3,3 V +, V +5,5 V Kimenei szin (U OL ) +, V,8 V +, V 36

37 emene Kimene U T =5V,,8, 3.. ábra: TTL áramkörök logikai szinjei 3.7 ábláza: Többválozós NND kapu logikai kapcsolaa C C C Keőnél öbb bemeneű NOR, illeve OR kapuknál a nem használ bemeneeke logikai -ba kell köni, szabadon nem hagyhaó. z igazságáblán köveheő, hogy egy -ba köö bővíe bemene a kimenei éréke nem válozaja. (Egy összeghez -á hozzáadva az eredmény nem válozik.) 3.8 ábláza: Többválozós NOR kapu logikai kapcsolaa C C C INVERTER MEGVLÓSÍTÁS NND KPUKKL: & F & F INVERTER MEGVLÓSÍTÁS NOR KPUKKL: F F 37

38 ÉS KPCSOLT MEGVLÓSÍTÁS NOR KPUKKL: F VGY KPCSOLT MEGVLÓSÍTÁS NND KPUKKL & & & F oole-algebra azonosságainak felhasználásával egyszerűsísük a kövekező függvény: DC DC DC DC DC DC DC ( DC DC) ( DC DC) C( D D) DC( ) C() DC() C DC z összevonás feléele, hogy a ké erm csak egyelen válozóban különbözhe egymásól. kérdéses válozó az egyik emben ponál, a másik ermben negál állapoban kell, hogy szerepeljen. MINTERM: válozók olyan ÉS kapcsolaa, amelyben minden válozó ponál vagy negál alakban egyszer és csakis egyszer szerepel, ahol n a függelen válozók száma, i a erm sorszáma: n m i MXTERM: válozók olyan VGY kapcsolaa, amelyben minden válozó ponál vagy negál alakban egyszer és csakis egyszer szerepel, ahol n a függelen válozók száma, i a erm sorszáma: n M i M n n i m n i m n n i M n i Ha a minermek VGY (diszjunkció) kapcsolaba kerülnek, akkor diszjunkív kanonikus alakról beszélünk (pl. C + DEF + FD). Ha a maxermek ÉS (konjukció) kapcsolaba kerülnek, akkor pedig konjunkív kanonikus alakról beszélünk (pl. (++C) * (+D+E+F) * (F+D)). 38

39 39 DISZJUNKTÍV szabályos (kanonikus) alak: minermek VGY kapcsolaa KONJUNKTÍV szabályos (kanonikus) alak: maxermek ÉS kapcsolaa 3.7. diszjunkív és a konjunkív alak kapcsolaa lgebrai úon a legegyszerűbb függvény megkeresése is igen sok évedési leheősége rej magában, és ha még nem is évedünk, akkor sem bizos, hogy a legegyszerűbb eredményre juunk. Ezér a grafikus minimalizálás (egyszerűsíés) lehe a jobb megoldás. válozó eseén a Veich (95) és a Karnaugh (953) KV áblázao célszerű alkalmazni az egyszerűsíés céljából. Veich diagramban annyi darab négyszög van, ahány minerm ( n db). Ké válozó eseén db, 3 válozó eseén 8 db, négy válozó eseén 6 db négyszög alálhaó. kövekező ábrákon láhaók a KV áblák a válozók függvénye és helyi éréke szerin. gyakorlaban a KV ábláza használaa eseén a minermek felírásá is mellőzik, és az igazságáblázaból közvelenül jelzés írnak azokba a négyzeekbe, ahol a függvényérék. Sorszámos alakban ),,, ( m m m m m m m m C D F DC DC DC DC DC DC DC DC C D F ),,, ( ) (7,9,,,,3,,5 ),,, ( C D F ) )( )( )( ( ) )( )( )( ( ),,, ( C D C D C D C D C D C D C D C D C D F ),,, ( M M M M M M M M C D F (7,9,,,,3,,5) ),,, ( C D F Sorszámos alakban m m m m m m m m F felhasználásával m m m m m m m m F n i n i n M m M M M M M M M M F M M M M M M M M F X X X X X X felhasználásával M M M M M M M M F M M M M M M M M F

40 3.7.., 3 és válozós minrem és maxerm KV áblák ábra: Minerm és maxerm áblák 3.8. Grafikus minimalizálás során elvégzendő feladaok logikai függvények minimalizálási eljárása a primimplikánsok megkereséséből, majd pedig a szükséges primimplikánsok kiválaszásából áll Primimplikánsok keresése Ábrázoljuk a függvény KV áblán. i számú szimmerikusan elhelyezkedő szomszédos, -gyel jelöl cellá egy ömbbé vonunk össze. Mindig a leheő legnagyobb ömbö célszerű kialakíani. Valamennyi -gyel jelöl cellának legalább egy ömbben szerepelnie kell. Ugyanazon cella öbb ömbnek is eleme lehe. áblák négy válozóig széleiken egybefüggőnek ekinheők. zon ömbök lesznek a minimalizál függvény szükséges primimplikánsai, amelyek a függvény valamennyi -gyel jelöl cellájának egyszeri lefedéséhez elengedheelenül szükségesek.

41 3.8.. szükséges primimplikánsok kiválaszásának lépései Jelöljük meg egy-egy ponal azon minermeke, amelyeken csak egy hurok megy kereszül. Ezen ömbök lesznek a nélkülözheelen implikánsok. Vonalkázzuk be a nélkülözheelen primimplikánsok álal lefede minermeke. Marad-e olyan -egyel jelöl minerm, amelye a nélkülözheelen primimplikánsok nem fedek le? fennmaradó -ek lefedésére válasszuk a legkevesebb és legnagyobb ömbö. C D C D C CD D 3.6 ábra: Kees implikánsok C C D C D ábra: Négyes implikánsok C C D 5 ábra: Nyolcas implikánsok

42 Példa: F ( D, C,, ) (7,9,,,,3,,5) D C*D *D *D C **C F=C*D+*D+*D+**C minimál diszjunkív alak F ( D, C,, ) (7,9,,,,3,,5) D C C C+D +D +D ++C F=(C+D)*(+D)*(+D)*(++C) minimál konjukív alak

43 Logikai függvények készinű realizálása 3.9 ábra: Logikai függvény megvalósíása kébemeneű kapukkal- 3. ábra: Logikai függvény megvalósíása ké bemeneű kapukkal- C C F ),, ( C & & C C & & & C & C ND-OR NND-NND OR-NND NOR-OR ) )( ( ),, ( C C F C C C & C & & C & & & C OR-ND NOR-NOR ND-NOR NND-ND

44 3.. Kombinációs hálózaok ervezésének lépései felada ponos megfogalmazása, a függelen és függő válozók megállapíása. függő és függelen válozók kapcsolaának áblázaos rögzíése vagy a logikai függvénykapcsolaok leírása. minimalizál logikai függvények algebrai alakjának meghaározása. (Pólólagos egyszerűsíés.) realizálás hardvereszközeinek kiválaszása, realizálás. Megervezendő hészegmenses beűk kijelzésére alkalmas vezérlés kombinációs hálózaa. kijelző a kövekező egyszerűsíe vázla muaja: 3. ábra: Hészegmenses kijelző 3.9 ábláza: megerveze hészegmenses kijelző igazságáblája mi D C eű fa fb fc fd fe ff fg d r 3 o 5 6 h 7 J 8 9 n o S X X X X X X X 3 X X X X X X X X X X X X X X 5 X X X X X X X

45 fa D D fb D C DC fc D C C C fd C D D fe D C DC ff D C C C fg D C C 3. ábra: szegmensek egyszerűsíe logikai függvényei 5

46 3.3 ábra: függvények megvalósíása léradiagramos szimbólumokkal 6

47 3. ábra: megvalósío NEM-ÉS-VGY hálóza működési állapoai- 7

48 3.5 ábra: megvalósío NEM-ÉS-VGY hálóza működési állapoai- 8

49 3.. Programozhaó Logikai Vezérlő (PLC) programozhaó logikai vezérlő (PLV) az ipari berendezések, echnológiai berendezések univerzális irányíóeszköze. lapveő funkciói szabvány rögzíi IEC 63-3, amelyben ö programnyelv alálhaó. Szöveges rendszerű nyelvek: Insrucion lis (IL, WL) uasíáslisa írása, Srucured Tex (ST) srukurál szöveg, magasszinű nyelv. Grafikus rendszerű nyelvek: Ladder Diagram (LD, KOP) léradiagram szimbólumokkal, Funcion lock Diagram (FD, FUP) funkcióblokkos programozás, Sequence Funcion Char (SFC) gráf jellegű, sorrendi folyamaábra. PLC gyárók különböző programozási leheőséggel láják el eszközeike. Ez az jeleni, hogy nem minden gyáró minden eszközé lehe mind az ö programnyelvvel programozni. Egy programnyelv az mindig a léradiagramos programnyelv, hiszen az áramuas logiká mindenki könnyen megéri és könnyen el udja sajáíani. Logikai műveleek Markerek Időzíők Számlálók Sb.. bemene. kimene x. bemene emenei egység Feldolgozó egység Kimenei egység y. kimene Programozó egység 3.6 ábra: PLC (PLV) funkcionális felépíése vezérlő az alapfeladaai a bekapcsolásól a kikapcsolásig T p periódusidővel ciklikusan hajja végre.. emeneek állapoának beolvasása.. Vezérlési algorimus végrehajása az akuális adaokkal. 3. Megszakíások és a kommunikáció kezelése.. µp önesz és öndiagnoszika. 5. z eredmény írása kimeneekre. 9

50 3... programozhaó vezérlők főbb jellemzői Hardverjellemzők: Kompak kialakíás: fix számú bemene, kimene. Moduláris kialakíás: válozahaó számú be-, kimene, ami bővíheő. digiális be- és kimeneek száma. z analóg be- és kimeneek száma (ha van). program memórianagysága. Program-végrehajási idő. szofverjellemzők, azaz a vezérlővel megvalósíhaó alapfeladaok: Logikai műveleek (ÉS, VGY, Negálás sb.). Számlálási feladaok (egyszerű, gyors). Időzíések kezelése (TON, TOFF, TP). programnyelv (LD, FD sb.). Programozás ámogaó környeze szofverjellemzők bemuaása példákon kereszül z alapfeladaoka a Zelio Sof programkörnyezeben muajuk be, ahol a Zelo Logic családo (SR és SR3) lehe programozni. 3.7 ábra: Schneider Zelio Logic család Zelio Logic eszközöke legalább ké PLC programnyelven lehe programozni. kisebb udásúaka léradiagramos (LD), a nagyobb udásúaka a léradiagramos programnyelven kívül funkcióblokk-diagramban is lehe programozni. kijelzővel rendelkező eszközök közvelenül a PLC-n alálhaó gombok segíségével is programozhaók. Igaz, ez a faja programozási megoldás nem úl prakikus, de némi gyakorlás uán könnyen megvalósíhaó. 3.8 ábrán a Zelio Sof v.5 léradiagramos (LD) programozói felülee láhaó Simulaion Mode-ban. 3.9 ábrán a Zelio Sof v.5 Funkcióblokk-diagram (FD) felüle láhaó Simulaion Mode-ban. 5

51 3.8 ábra: z ÉS, VGY, NEGÁLÁS logikai kapcsola LD programnyelven 3.9 ábra: z ÉS, VGY, NEGÁLÁS logikai kapcsola FD programnyelven 3.8 és 3.9 ábrán a logikai ÉS, VGY, NEGÁLÁS műveleeknél az I, I, a fizikai bemeneeke jeleni. [Q, [Q, [Q3 jelölés a fizikai kimeneeke muaja. 5

52 3. ábra: LD programnyelven felfelé és lefelé számláló 3. ábrán az I bemene a felfelé (Upcouning) számlálás, az I bemene a lefelé számlálás (Downcouning) valósíja meg. [Q kimene akkor akív, ha a C-es számláló elére a beállío 5 éréke. 3. ábra: felfelé és lefelé számláló megvalósíása FD programnyelven 3. ábrán az I bemene a felfelé (Upcouning) számlálás, az I bemene a lefelé számlálás (Downcouning), az I3 bemen a számláló nullázásá (Rese), az I bemene a számláló érékének erőleésé (Prese forcing) valósíja meg. NUM bemenei modulban lehe a számláló éréké megadni. Q kimene akkor válik akívvá, ha a számláló elére a NUM-ban megado éréke, vagy ha az I bemene akív. DISPLY funkcióval ki lehe a PLC kijelzőjére írani a számláló akuális éréké. gyorsszámláló annyiban ér el a 3. ábrán láhaóól, hogy képes akár khz-es számlálási sebességre. számláló csak akkor működik, ha az engedélyező üzemmódo akiváljuk. Sajnos ennek a funkcióblokknak a működésé szimulációs üzemmódban nem lehe kipróbálni! 3. ábra: ekapcsolásra való késleleés (TON) 5

53 3.3 ábra: TON idődiagramja TON időzíés folyamaa úgy valósul meg, hogy ha az I bemenee akiváljuk, akkor elindul a bekapcsolásra való késleleés időzíője. 3.3 ábra TTx idődiagramjából is jól lászik, hogy az időzíés csak abban az eseben fog megvalósulni, ha az I bemene az időzíés eljes ideje ala akív. Ha a beállío időalapon (3 s) belül a bemene inakívvá válik, akkor a TON időzíés nem fog megvalósulni. 3. ábra: Kikapcsolásra való késleleés (TOFF) 3.5 ábra: TOFF idődiagramja TOFF időzíés folyamaa úgy valósul meg, hogy az I bemenee először akiválni kell. Ekkor a kimene is akívvá válik. 3.5 ábra TTx idődiagramjából is jól lászik, hogy az időzíés akkor fog elindulni, ha a bemene akív állapoból inakív állapoba ávál. Ekkor elindul az TOFF időzíő, és a beállío időalap (3 s) leele uán a kimenee kikapcsolja. 3.6 ábra: Impulzusidőzíő (TP) 3.7 ábra: TP idődiagramja 53

54 TP időzíő a TON és TOFF időzíő keveréke. z időzíés folyamaa úgy indul el, ha az I bemenee először akiváluk. Ekkor a kimene is akívvá válik, és elindul a TP időzíőben beállío időalap (3 s). 3.7 ábra TTx idődiagramjából is jól lászik, hogy az időzíés már felfuó élre elindul és nem foglalkozik azzal, hogy az akiválás uán a bemene milyen állapoban van. TP időzíő a beállío időalap leele uán kikapcsolja a kimenee. Zelio Logic PLC-ben a korábban bemuao időzíőkön kívül megalálhaó még öbbfaja időzíőípus is. Ezek árgyalására nem érünk ki, mivel más PLC programokban ezeke a ípusoka nem lehe megalálni. Ennek egyik oka, hogy ennek az eszköznek igen kevés a programozhaó memóriája, így egy bonyolulabb időzíési folyamao nem udunk benne leprogramozni. Másik oka, hogy így könnyen és egyszerűen lehe akár programozói környeze nélkül kijelzőn kereszül is programozni ezeke az eszközöke. 3.8 ábra: TON és TOFF időzíő megvalósíása FD programnyelven z FD nyelven nincs külön TON és TOFF időzíő. 3.8 ábrán láhaó időzíő ípus a TON és TOFF időzíő kombinációja. Ebben a funkcióblokkban akiválhajuk, hogy melyik időzíő kívánjuk használni. rra is leheőség van, hogy ugyanahhoz a bemenehez a TON és TOFF időzíő is akiváljuk különböző időzíési érékekkel. Egy dologra viszon oda kell figyelni, ha mindké időzíőfajá akiváluk, akkor az I bemen haására az időzíő csak akkor fog helyesen működni, ha bearjuk a TON időzíés feléelei. zaz az I bemenenek végig akívnak kell lennie a bekapcsolásra való késleleés idején. Ha ez nem eljesül, azaz az I bemene hamarabb kikapcsolódik, min ahogy a kimene akivizálódna, akkor a TOFF időzíés sem fog megvalósulni. z auomaizálási gyakorlaban nemcsak diszkré (digiális) érékek vezérlésé, szabályozásá kell megvalósíani, hanem folyamaos (analóg) jelek feldolgozására is szükség van. Zelio Logic egyes ípusai képesek az analóg jeleke feldolgozni és azokkal művelee végezni. z analóg jelek szabványosío feszülségarománya V. V a %-os () analógjeléréke, a V pedig a %-os (55) analógjeléréke jeleni. 3.9 ábrán 3 analóg bemenee (I, IC, ID) és egy digiális bemenee (I) használunk fel. kimene a maemaikai művele elvégzése uán összehasonlíja az I+IC eredményé az ID eredményével. z összehasonlíó funkcióblokk pedig az engedélyezőjel eseén a kimenee akiválja a feléelnek (>,, =,, <) megfelelően. 3.9 ábra: nalóg bemene kezelése FD blokkok segíségével 5

55 . SZÁLYOZÁSTECHNIKI ÁTVITELI TGOK JELLEMZÉSE szabályozó ervezésénél és hangolásánál elsősorban a echnológiai jellemzők időbeli viselkedéséből kell kiindulni. mérőrendszerben a végrehajó és az érzékelő álalában adoak, ezér a szabályozó és a ávadó lehe szabadon válaszani. szabályozás legfőbb célja a echnológiai rendszer legjobb eredményé bizosíó szabályozási paraméerek meghaározása és ezek behangolása a szabályozóeszközön. Tehá a szabályozás feladaa az, hogy a zavarásoka a szabályozási evékenységgel hogyan lehe kiegyenlíeni. z egyes szakaszok mennyiségi és minőségi viszonyainak megismerése uán lehe megervezni és megszervezni a legmegfelelőbb beavakozás. hhoz, hogy ez minél jobb eredmény hozzon, a szabályozási körben lévő agok ávieli/ámenei ulajdonságai kell megismerni. IDŐTRTOMÁNY Tipikus vizsgálójelek Differenciál egyenleek Súlyfüggvény: y() x k ()=y(), ha x b () =() KONVOLÚCIÓ L[f()] L - [f()] OPERÁTORTRTOMÁNY Ávieli függvény Y(s) s=+j F[f()] F - [f()] Y(s)=L[y()] y()=l - [Y(s)] s=j FREKVENCITRTOMÁNY Frekvenciafüggvény Y(j)=F[y()]. ábra: z ávieli ag vizsgálaának leheőségei 55

56 ranszformációk formális leírása: L a Laplace-operáor: L[f()]=F (s) áérés operáorarományba (s=+j, komplex!); L - [F(s)]=f() visszaérés az időarományba. F a Fourier-operáor: F[f()]=F (j) áérés a frekvenciaarományba; F - [F(j)]=f() az inverz művele. L F (operáor frekvenciaarománybeli konverzió): F(s) s=j =F (j) formális válozócsere s=jmivel mos SISO (egyválozós lineáris szabályozások) jelávivő ag rendszerjellemző függvényei:. differenciálegyenle vagy az állapoegyenle.. súlyfüggvény: az u()=δ() Dirac-delára ado y()=w() válasz, zérus kezdei feléelek melle. 3. z ámenei függvény: az u()=() egységugrásra ado y()=v() válasz, zérus kezdei feléelek melle.. z ávieli függvény: a w() súlyfüggvény L{w()}=W(s) Laplaceranszformálja, vagy az y() kimenőjel és az u() bemenőjel Laplaceranszformáljainak W(s)=y(s)/u(s) hányadosa, zérus kezdei feléelek eseén. 5. frekvenciafüggvény: a w() súlyfüggvény F{w()}=W(jω) Fourierranszformálja, vagy az u() bemenőjel és az y() kimenőjel Fourierranszformáljainak W(jω)=y(jω)/u(jω) hányadosa, zérus kezdei feléelek eseén. u(). LDE, LÁE x() y() y(): a LDE, vagy a LÁE megoldása. Súlyfüggvény w() δ() w() y( ) w( ) u( ) d () 3. Ámenei függvény v() v() du( ) y( ) u() v( ) v( ) d d u(s). Ávieli függvény W(s) y(s) y( s) W ( s) u( s) 5. Frekvencia függvény W(jω) u(jω) y(jω) y( j) W ( j) u( j ) 56

57 .. Maemaikai alapok x() Ávieli ag y(). ábra: Lineáris ávieli ag Egy bemeneű és egy kimeneű lineáris rendszer működésé n-edrendű differenciálegyenle írja le: n n d y d y dy( ) an a... a a y n n n d d d (.) m m d x d x dx( ) bm bm... b b x. m m d d d szabályozásechnikában az állandó együhaók helye az időállandóka használjuk! n n d y Tn T n d m n d x T n m d I T n n n d y d T n m m... T m d x d m dy( ) y d dx( )... x d b y( ) T az ávieli ényező és a x( ) a b n n m m n ; m időállandók [s]. a b. (.) z időállandók idő dimenziójúak. rendszer ávieli ényezője, amely megadja a kimenőjel és a bemenőjel viszonyá, állandósul állapoban a jelek hányadosának megfelelő dimenziójú. z ávieli ényező előbbi érelmezése ermészeesen csak akkor érvényes, ha a és b zérusól különböző számok (ovábbá i = k = ). differenciálegyenlenek elvileg végelen sok megoldása van, közülük az kell kiválaszani, amely elege esz az y() függvényre vonakozó peremfeléeleknek. peremfeléelek kezdei feléelekkén adoak: y, dy d, d y d. (.3) z egyenle inhomogén differenciálegyenle, amely inhomogén abban az eseben, ha a gerjeszésfüggvény, x() =. differenciálegyenle álalános megoldásá a homogén egyenle álalános megoldásának és az inhomogén egyenle egy parikuláris megoldásának összegekén kapjuk: (.) y y h y i homogén differenciálegyenle álalános megoldása: 57

58 y h k e k e... k e s s sn n, (.5) k, k,, k n állandók, s, s,, s n pedig a karakeriszikus egyenle gyökei. Ha a karakeriszikus egyenlenek öbbszörös gyökei is vannak, akkor az egyes agokban az exponenciális függvények haványaival vannak szorozva. Pl. ha s készeres gyök, a megoldás az alábbi alakú lesz: y s s3 sn k k e k e... k e h 3 n. (.6) z inhomogén egyenle parikuláris megoldása legyen f(u), mivel a gerjeszőjelől függ. Ezzel az álalános megoldás: y y f u k e s s sn ke... kne f u. (.7) h jobb oldalon álló ényezők közül csak f(u) függ a bemenőjelől.... Fourier-ranszformáció ármely y() jel felírhaó harmonikus jelek összegekén. Periodikus jelek eseén az ősszeg megszámlálhaóan végelen sok agból áll, amelyek diszkré frekvenciákkal rendelkeznek. Ez eseben Fourier-sorról beszélünk. Komplex formája: képleben jn y c n e. (.8) n a körfrekvencia, T s az y() jel periódusideje. T s c n komplex együhaó a kövekező összefüggésből kapjuk: Ts jn c n y e d (.9) Ts Ts c n ampliúdók az y() periodikus jel ampliudóspekrumá jelenik. Nemperiodikus jelek eseén az y() függvény spekruma végelen sok összeevőből áll, amelynek frekvenciái folyonos eloszlásúak. Ekkor egy körfrekvencia körüli d sávra számío ampliúdósűrűséggel számolhaunk. Ennek szeresé jelöljük y(j)-val: y y yj j y e j d ; (.) j e d. (.) z egyenleek alkoják a Fourier-ranszformációs pár. Összefüggés írnak le az y() időfüggvény és az y(j) ampliúdósűrűség-spekrum közö. z inegrál csak akkor léezik, ha az y() függvény abszolú inegrálhaó, vagyis, ha 58

59 y d = véges. (.) Ez nagyban korláozza a szóba jöheő függvények számá. Nagyon gyakran az y() függvény csak időkre különbözik nulláól, ekkor elég az inegrálás és + közö végezni. Fourier-ranszformáció nagy előnye, hogy a differenciálegyenleek egyszerű algebrai egyenleekké redukálódnak a frekvenciaarományban. Így az időarományban a differenciálás és inegrálás algebrai műveleek helyeesíik. z abszolú inegrálhaóság kriériuma az is jeleni, hogy y() négyzees inegrálja is léezik. Így a jeleknek véges energiájuk van. Ez a frekvenciaarományban a PRSEVLvagy RYLEIGH-éellel fejezheő ki: y d yjy j d. (.3)... Laplace-ranszformáció Fourier-ranszformáció használaá az abszolú inegrálhaóság feléele feléel erősen korláozza. Emia sok, a gyakorla számára fonos függvénynek, így az ugrásfüggvénynek sincs Fourier-ranszformálja. E korláozás jelenősen csökkenheő, ha a ranszformálandó függvény e -ényezővel szorozzuk meg és azuán képezzük a Fourier-ranszformáljá. Ez eseben feléel eseén még az e exponenciális függvény is abszolú inegrálhaóvá válik a = és =+ arományban. z e ényezővel szorzo egyoldalas függvény Fourier-ranszformáljá az eredei függvény Laplace-ranszformáljának nevezzük: L j s y y e e d y e d Y s, (.) ahol az s=+j operáor poziív valós részű komplex szám,. Ha képezzük az sj ámenee, az Y(s) Laplace-ranszformál az Y(j) Fourierranszformálba megy á, ha a Fourier-ranszformál léezik. z inverz Laplaceranszformál az inverz Fourier-ranszformáció képleéből s=j helyeesíéssel kaphaó: y j Y j s e s ds. (.5) formula komplex inegrál, ahol az inegrálási ua úgy kell kiválaszani, hogy y(s) regulariási arományban haladjon, és a szinguláris helyek balra essenek őle. Ez az álalános érvényű RIEMNN MELLIN-féle inverziós formulá a gyakorlai számíásokban szűkebb érvényű, de könnyebben kezelheő módszerekkel (pl. kifejési éel) lehe helyeesíeni. 59

60 . ábláza: Néhány egyszerű függvény és Laplace-ranszformálja y Y s a e s s a a e s a sin s s cos s..3. Művelei szabályok a) Differenciálás dy L sy d d s y, (.6) L s Y s sy. (.7) d d y dy Álalánosíva, az n-edik derivál Laplace-ranszformálja a kövekező alakban írhaó fel: n d y L d s n3 n d y d s s n n d y d y n Y s... s n d y n s n dy d d n. (.8) Ha az összes kezdei érék zérus, akkor az idő szerini differenciálás s megfelelő haványával való szorzássá egyszerűsödik: n d y n L s Y s d. (.9) zokban az eseekben, amikor egy egyoldalas függvény a = ponban a arománybeli y= érékéről y=y -ra ugrik, a (.8) egyenleben y() ké különböző felfogásban érelmezheő. 6

61 ) szigorú maemaikai szemlélemódban az y függvény a szakadás helyén nem differenciálhaó, így a (.8) a arománybeli differenciálhányadosainak Laplaceranszformáljá adja érelemszerűen e aromány haárán elhelyezkedő y() kezdei érékkel. (Ezek a differenciálhányadosok eseén a szakadási hely ún. jobb oldali differenciálhányadosaihoz aranak, így a (.8)-ban előforduló y(); sb. érékek is egyérelműek.) ) maemaikailag nem eléggé precíz, de prakikus eseben legalábbis a (.7) egyenlere jól használhaó felfogás az y függvény ugrásá a = ponban egy ideig aró véges meredekségű szakasz elmélei haáreseének ekini. Ekkor a (.7) egyenleben szereplő kezdei érék y()=. véges meredekségű szakaszon léezik differenciálhányados, amelynek pl. az időfüggvénye, ha a meredekség állandó, akkor szélességű állandó ampliúdójú négyszögimpulzus. Ennek erülee a meredeken emelkedő szakasz y végéréke (y /). Ha a meredekség nő, akkor csökken, az impulzuserüle azonban válozalan marad. végelen meredekségre való áéréskor az impulzus y erüleű Dirac-impulzussá válik. Ekkor a (.7) egyenle y()= helyeesíéssel nemcsak a aromány differenciálhányadosának, hanem formálisan az ugrás differenciálhányadosának minősíheő Dirac-impulzusnak is megadja a Laplace-ranszformáljá. ) felfogás maemaikai pongyolasága ellenére is helyes eredmény ad, ameddig olyan jelek képzésére használják, amelyek egy inegráoron (vagy a későbbiekben árgyal árolós agon) haladnak kereszül. z inegrálás ugyanis megszünei a problémá okozó Dirac-függvény. b) Inegrálás L y d Y s. (.) s c) Elolási éel L st y T e Y s. (.) z egyoldalas y() függvény kezdőponjának T-vel való késleleése a ranszformál függvényben exp(-st)-vel való szorzással veheő figyelembe. d) Csillapíási éel e y Y s a L a. (.) arománybeli exponenciális elolásnak felel meg. a e csillapíás az s arományban a-val örénő e) Kezdei és végérékéelek Nagyon gyakran használhaó éelek a és az s operáoros arománybeli haárérékek közöi összefüggés írják le: lim y lim sy s, (.3) s lim y s lim sy. (.) s Ez uóbbi kifejezés akkor alkalmazhaó, ha Y(s) pólusai a bal oldali félsíkra esnek (ehá a pl. e ; sin() sb. függvények eseén helyelen eredmény ad). 6

62 f) Konvolúció- (Falung-) éel Ké függvény konvolúcióján az alábbi kifejezés érjük: y y y d y. (.5) függvény Laplace-ranszformálja a kövekezőképpen számíhaó: Ha Ly Y s, és Ly Y s, akkor y y Y s Y s. (.6) L zaz a konvolúció az operáoros arományban szorzásnak felel meg. g) Racionális örfüggvény inverz ranszformálja Lineáris, koncenrál paraméerű rendszerek analízisekor és szinézisekor előforduló jelek Laplace-ranszformálja a legöbbször racionális örfüggvény: Y s G H s s a as as b b s b s... ams... b s n n m. (.7) z egyenle jobb oldala részleörekre bonhaó, és agonkén ranszformálhaó az időarományba. Ez a kifejési éel, amely akkor egyszerű, ha a nevező s i gyökei y(s) pólusai egyszeresek. Ekkor a részörekre bono alak: ki Y s, k s s i ' G s i i. (.8) H si H (s i ) a H(s) polinom s szerini deriváljának éréke az s=s i helyen. z időfüggvény: n G si si y e. (.9) H s i i Többszörös gyökhöz a részleörekre bonáskor a gyök mulipliciásával azonos számú részleör arozik. Pl. ha az i-edik gyök készeres, a megfelelő részleör: ki ki. (.3) s s s s i i z ehhez arozó időfüggvény áblázaból kikeresheő: si k k e y i i. (.3) részleörekre bonás a MTL programmal a residue uasíással végezhejük el. Megfelelő paraméerezéssel az uasíás a racionális örfüggvények részleörjeinek együhaói és pólusai adja, vagy ezekből rekonsruálja az eredő ör számlálójá és nevezőjé. lineáris, állandó együhaós differenciálegyenle frekvenciaarománybeli megoldásakor az időfüggvények helye áérünk azok Laplace-ranszformáljára, ezálal a differenciálegyenle algebrai egyenleé válik. Kifejezzük a kerese ismerelen jele, és az eredmény visszaranszformáljuk az időarományba. 6

63 .. z időarományban x b x k ( ) xb ( ) y( ) d.3 ábra: ag időarományban x k Mindennapos apaszalás alapján álalánosan kijelenheő, hogy x k () függ: a ag ulajdonságaiól, amely az y() súlyfüggvénnyel fejezheő ki, és az x() bemenőjelől. ag ulajdonságai például az ún. TIPIKUS VIZSGÁLÓJELEK-re ado válasszal lehe leírni.... Tipikus vizsgálójelek () () () ) Egységimpulzus (Dirac-dela) Egységugrás (ekapcs. fgv.) Egységsebességugrás Egységgyorsulásugrás. ábra: z ávieli ag vizsgálaára szolgáló jelek Minden jelre igaz, hogy f()=, ha <! Z EGYSÉGIMPULZUS-FÜGGVÉNY (DIRC-DELT): ( ) és ( ) ( ) d erülee egységnyi. (.3) Válaszfüggvénye a súlyfüggvény (w()). Z (T) EGYSÉGUGRÁSFÜGGVÉNY (EKPCSOLÁS): ( ) ( ) Válaszfüggvénye a ámenei függvény (v(), h()). SEESSÉGUGRÁS-FÜGGVÉNY: ( ) ( ) (.33) (.3) válaszfüggvénynek nincs külön elnevezése (v ()). 63

64 GYORSULÁSUGRÁS-FÜGGVÉNY: ( ) ( ) válaszfüggvénynek nincs külön elnevezése (v / ()). (.35) ipikus vizsgálójel közöi kapcsolaok az alábbi összefüggésekkel jellemezheők: d d d ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ). (.36) d d d Lineáris rendszerek kimeneén a ipikus jelek haására fellépő válaszidőfüggvények közö is a bemenőjelek közöi összefüggésekhez hasonló kapcsolaok adhaók meg: dv ( ) / dv ( ) ( ) ( ) dv v ; v( ) ; w( ). (.37) d d d súlyfüggvény (w()) az ámenei függvény (v()) derivál görbéje..3. z ávieli agok csoporosíása és jellemzőik folyonos-folyamaos rendszerek jellemzésére, közelíésére szolgáló lineáris jelávieli agoka rendszerezzük a kövekező részben. agoka csoporosíhajuk ulajdonságaik alapján. Ez a feloszás némileg ükrözi a differenciálegyenleekkel való leírásmód formai jegyei is.. ábláza: agoka ípusuk és árolóik száma szerin oszályozhajuk Típus\árolók száma 3 Végelen rányos P PT PT PTn H Differenciáló D DT DT DTn Inegráló I IT IT ITn Holidős H felsorol alapagok meghaározó jellegzeességei a kövekezőkben foglalhaók össze: P az I és a D jelleg az állandósul állapoban jellemző a jelávieli agra, ehá a kimenőjel arányos: o arányos agnál a bemenőjellel, o inegrálóagnál a bemenőjel idő szerini inegráljával, o differenciálóagnál a bemenőjel differenciálhányadosával. z időkésleleés a rendszerben végbemenő válozások, folyamaok lejászódásának időszükséglee haározza meg. késés méréké az energiaárolók nagysága és száma haározza meg. T egy, a T ké energiaároló feléelez, ami mind arányos, mind inegráló viselkedéssel ársulha. 6

65 holidő az áramló közegek véges haladási sebessége szabja meg. Ez főleg akkor számoevő, ha a jelenség lejászódásának, az információszerzésnek vagy a beavakozásnak helye egymásól ávol esik. holidős jelleg párosulha arányos, vagy inegráló viselkedéssel. z (.) egyenle holidő jelenlée eseén a kövekezőképp módosul: n n d xk Tn T n d m n d xb P n d n n n k n... T dxk ( ) x d m T d x T m d x d H T m m b m d H k dx... b ( T d H ) x b T, H (.38) ahol: p az arányossági ávieli ényező P x x k b ( ), T H a holidő, T n, m az időállandók. ( ) z (.38) egyenleből a kövekezőképpen lehe leszármazani a különböző dinamikájú jelávieli agoka: P TG-o leíró egyenle nem aralmaz differenciálhányadosoka, csak nulladrendű agoka: xk P xb (), xk P xb. (.39) z I TG a kimenőjelre nézve a legalacsonyabb rendű, és egyedüli agkén az elsőrendű differenciálhányados szerepel a bemenőjel nulladrendű agja melle: T I xb ( ), ez inegrálva xk xb d C T I dxk ( ) T d adódik. (.) D TG ideális, a valóságban nem kivielezheő jeláviellel jellemezheő. Differenciálegyenleében a bemenőjelre nézve legalacsonyabb rendű az elsőrendű differenciálhányados, és a kimenőjel nulladrendű agja van megesesíve. ( gyakorlaban a D ag közelíése nagy arányossági ávieli ényezővel rendelkező P aggal örénhe.) dxb ( ) xk ( ) (.) d z idealizál arányos, inegráló és differenciáló jelleg (illeve annak közelíése) a kimenőjel és a bemenőjel közö a gyakorlaban időelolódással is érvényesülhe. Ez azér leheséges, mer az energiaároló időkésleleése vagy holidő fellépése mia késhe az állandósul helyze kialakulása. Így a kövekező jelávieli agok is lehenek: egyárolós, kéárolós, öbbárolós: arányos (PTi), inegráló (ITi); holidős: arányos (PH-), inegráló (IH-), differenciáló (DH-); árolós és holidős: arányos (PTiH-), inegráló (ITiH-), differenciáló (DTiH-). 65

66 agok különböző kombinációik jellegzeességei az (.38) egyenleből a P, az I és a D jellege külön kiemelve más alakban írjuk fel a differenciálegyenlee: n n n d xk n d xk dxk ( ) Tn T... T x n n n k d d d (.) dxb ( ) xb ( ) d xb ( ), d ahol: az ávieli ényező. Ha az (.) egyenle jobb oldalán csak egy ag szerepel, az jelenése módosul. Első ag eseén INTEGRÁLÁSI ÁTVITELI TÉNYEZŐ; második ag eseén RÁNYOSSÁGI ÁTVITELI TÉNYEZŐ; harmadik ag eseén DIFFERENCIÁLÁSI ÁTVITELI TÉNYEZŐ. z (.) differenciálegyenle Laplace-ranszformálásával nyer algebrai egyenle: n n n n Tn s X k ( s) Tn s X k ( s)... T sx X b ( s) X b ( s) sx b ( s). s k ( s) X k ( s) (.3) Ebből az ávieli függvény: X k ( s) n X ( s) T s b n n T s s n s... T s n n. (.) Tehá az ávieli függvény számlálója állandósul állapo eseén: az /s ag jelenlée inegráló viselkedésre ual, az s ag jelenlée differenciáló jeláviel jellemez, az s hiánya arányos jeláviel haároz meg. z ávieli függvény nevezőjében levő agok a ranziensek lefuásá jellemzik. zaz, hogy az állandósul állapo beállásá hány és milyen mérékű időkésés okozó energiaároló befolyásolja. I az s legnagyobb kievőjének fokszáma megegyezik az energiaárolók számával mindhárom alapag eseén. holidős ag egyenérékű egy végelen számú árolóval rendelkező arányos aggal. Jellemzője, hogy a haás a kimeneén csak egy T H holidő múlva, késéssel jelenik meg. Ez differenciálegyenleében az elolásoperáor megjelenése, ávieli függvényében pedig az e -st H szorzóényező jelzi..3.. rányos, időkésés nélküli ag (P) Differenciálegyenlee: x x (, (.5) k ) P b amely egy ideális arányosságo fejezi ki a kimenee és bemenee közö. valóságban ugyanis még egy jó vezeőképességű, rövid vezeékszakasz is a frekvenciaaromány érékéől függően ekinheő P arányos agnak. szabályozásechnikában, ahol a folyamaok válozásának gyakorisága messze elmarad a rádiófrekvenciás jelek frekvenciájáól, P agnak ekinheő a poencioméer, az ellenállásoszó, a 66

67 frekvenciameneében kiegyenlíe erősíő sb., ehá minden olyan ag, amelynek a frekvenciaarományban nincs észlelheő haása a haó jel legnagyobb frekvenciájú összeevőjére sem..3 ábláza: proporcionális ag súly- és ámenei függvénye Súlyfüggvénye Ámenei függvénye w( ) P ( ) v( ) P ( ) d p ( ) x b ()=() w()= p () x b () P x k () x b ()=() p v()= p ().5 ábra: z ideális P ag Ávieli függvénye: L[ y ] L[ ( )] (.6) P p sem pólussal, sem zérussal nem rendelkezik. Frekvenciafüggvénye: F y Y j. [ ] ( ) p, azaz lg Y ( j ) lg p (.7) P jelávieli ag frekvenciafüggvényé Nyquis-diagramon (helygörbe) (.6 ábra) ábrázolva a valós engelyen levő egyelen pon, ode-diagramon (.7 ábra) megjeleníve a körfrekvencia-engellyel párhuzamosan fuó egyenes. Nyquis-diagram, amely az Y(j) komplex függvény valós és képzees részé muaja meg körfrekvenciával paraméerezve. kimenőjel a bemenőjele mind ampliúdóban, mind fázisban köveni képes, a körfrekvenciáól függelenül. 67

68 Nyquis Diagram.8.6 Imaginary xis.. -. Sysem: sys Peak gain (d): 6. Frequency (rad/sec): e Real xis.5 ábra: P ag Nyquis-féle ábrázolásban p = 7.5 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 6.7 ábra: P ag ode-féle ábrázolásban p =.3.. Egyárolós arányos ag (PT) z auomaikában használaos irányíószerveknek (érzékelők, ávadók, végrehajók, beavakozók) elsősorban mechanikai elemeik véges működési sebessége, az egyensúlyi helyze beállásának időszükséglee kövekezében bizonyos időkésleleésük van. jelovábbíás a jel energiahordozó sajáossága. z egyes jelávieli agok energiaároló jellege kövekezében a jelovábbíás szükségszerűen energiaáalakulással jár együ. z energiaárolós jelávieli agok kimenőjele azonnal nem kövehei a bemenőjel alakulásá. Differenciálegyenlee: dxk ( ) T xk xb ( ). (.8) d 68

69 PT ag (.8) differenciálegyenleének Laplace-ranszformálása uán az ávieli függvénye: p Y ( s) T s. (.9) z egyenle pólusa a nevezőből képze +T s= egyenle megoldásakén a p =-/T gyök.. ábláza: PT ag súly- és ámenei függvénye Súlyfüggvénye Ámenei függvénye T w( ) P e T T v( ) ( ) p e x b ()=() p /T w() T x b () PT x k () x b ()=() p v() T.8 ábra: PT ag -. Nyquis Diagram Sysem: sys Peak gain (d): Frequency (rad/sec): e-9 -. Imaginary xis Real xis.9 ábra: PT ag Nyquis-féle ábrázolásban p =, T = 69

70 ode-diagramok meghaározásához az Y(j) függvény először bonsuk valós és képzees részre: jt Y j) p p T T ReY ( j) j ImY ( j). T j T ( p (.5) z ampliúdó-jelleggörbe: lg Y ( j) p T lg Re Y ( j) Im Y ( j) lg p. (.5) fázisjelleggörbe: ImY ( j) ( ) arg arcg T. (.5) ReY ( j) z aszimpoák meghaározásához vegyük figyelembe: Y j ( ), ha <</T, (.53) p p Y ( j), azaz lg Y ( j) lg p lgt, T ha >>/T. Ekkor fordío arányosság van a körfrekvencia és az ampliúdó-jelleggörbe közö. Ennek logarimikus megfelelője a d/dekád: Y ( j ) p p j (.5), ekkor Y ( j ) p j p. p Ez a legnagyobb elérés (-3 d) az aszimpoikus menehez képes: ImY ( j) ( ) arg 5. (.55) Y j Re ( ) Láhaó, hogy a fázisszögnek egyébkén -ól -9 -ig kell váloznia, ugyanis az Y(j) függvény nevezőjében lévő vekor fázisszöge is ennyi válozik. Magniude (d) Sysem: sys Peak gain (d): frequency (rad/sec): e-9 ode Diagram - Phase (deg) Frequency (rad/sec). ábra: PT ag ode-féle ábrázolásban p =, T = 7

71 .3.3. Kéárolós arányos ag (PT) Min neve is muaja, ké (energia)árolóval rendelkező arányos ag. Tulajdonságai ekinve jellegzeessége a lengésekre való képessége, amely kizárólag a benne szereplő időállandók arányáól függ. Ilyen ag például a mechanikai és a villamos időállandójával is jellemze villamos moor, a ké aluláeresző jellegű örésponal rendelkező villamos hálóza (erősíő) sb. Másodrendű, arányos viselkedés muanak a külön-külön PT jeláviel muaó, egymással soros, illeve visszacsaolásos kapcsolaban lévő agok összekapcsolásával nyer agcsoporok. Ké, egymással összemérheő nagyságú energiaároló jelenlée befolyásolja az eredő rendszerdinamiká. Differenciálegyenlee: T T a b d xk ( ) dxk ( ) ( T T ) x x ( ) a b k p b. (.56) d d z (.56) egyenle időállandóinak összevonásával (T =T a T b, T =T a T b ) a kövekező differenciálegyenlee kapjuk: T d xk ( ) d dxk ( ) x d x ( ). (.57) T k p b PT ag T és T időállandókkal jelze differenciálegyenleének Laplaceranszformálásával az ávieli függvény az alábbi: Y ( s) T p s Ts. (.58) nevező normálalakra hozva: T s T s T s T s. (.59) T egyenérékű időállandó és a csillapíási ényező bevezeésével T T TaTb T T a T b,. (.6) T T z ávieli függvény: Y ( s) T s p T s, (.6) 7

72 .5 ábláza: PT ag ámenei függvénye Csillapíási Ámenei függvénye ényező > Ta v( ) p Tb T a e Ta T b Tb T T < v( ) p e cos sin v( ) e = p a b e ahol: a csillapíási kievő, T (.6) T a lengési körfrekvencia. x b ()=().6.5 Impulse Response. mpliude Time (sec) x b () PT x k () x b ()=().. Sep Response mpliude ábra: z PT ag 5 5 Time (sec) z (.59) egyenleben szereplő paraméerek bevezeése indokol, mer ha a csillapíási ényező éréke -nél nagyobb (aperiódikus), illeve kisebb (lengő), akkor különböző időbeli viselkedésekre ual. z ámenei függvény Laplace-ranszformálása uán a nevezőből képze egyenlenek három megoldása leheséges. p = és p,3 a csillapíási ényező érékéől függenek. periodikus ese > eseén érelmezheő. p és p 3 gyökök egymásól különböző, valós negaív mennyiségek. Lengő ese < eseén érelmezheő. p és p 3 gyökök egymással megegyező valós koordináájú, képzees koordináák csak előjelben különböző konjugál komplex gyökpárok. periodikus haár ese = eseén. Ilyenkor a gyökök p =p 3. 7

73 z ámenei és súlyfüggvények alakulásából kiűnik, hogy minél kisebb a csillapíási ényező éréke, annál nagyobb a PT jelávieli ag lengési hajlama (= eseében csillapíalan lengések jönnek lére, ami visszacsaolásos elemkapcsolanál, pl. szabályozási rendszereknél könnyen előfordulha). Nyquis Diagram Imaginary xis Real xis. ábra: PT ag Nyquis-féle ábrázolásban p =, T=, Görbék fenről lefelé =,5; ;,8;,5 Magniude (d) Sysem: sys Peak gain (d):.35 frequency (rad/sec):.556 ode Diagram Sysem: sys Peak gain (d):. frequency (rad/sec):.676 Phase (deg) Sysem: sys Phase Margin (deg): 6 Delay Margin (sec):.7 frequency (rad/sec):.78 Closed Loop Sable? Yes Sysem: sys Phase Margin (deg): 9 Delay Margin (sec):.57 frequency (rad/sec): Closed Loop Sable? Yes -8 - Frequency (rad/sec).3 ábra: PT ag ode-féle ábrázolásban p =, T=, Görbék alulról felfelé =,5; ;,8;,5 Keőnél öbb árolóval rendelkező arányos agok ulajdonságai az eddigiek alapján kövekezeheők, és hasonló módon árgyalhaók. Többárolós jelávieli agok mindenkori eredő Nyquis-diagramja egyárolós és lengő PT agok helygörbéinek szorzaakén, az eredő ode-diagramja pedig ugyanezen alapagok logarimikus frekvencia-jelleggörbéinek (ode-diagramjainak) összegekén állíhaó elő. Megállapíhaó, hogy egy n ároló aralmazó ag: differenciálegyenleének bal oldalán megjelennek a megfelelő árolóhoz arozó időállandók és a max. n -edrendű kimenőjel-deriválak, az ávieli függvényében ugyanez az s válozó haványkievőjében muakozik meg, ermészeesen ezzel a gyökök növekvő számá vonva maga uán. 73

74 logarimikus ampliúdó-jelleggörbe (ode) ω-nál az ω engellyel párhuzamosan, vagy egybeesően (lg p éréken) haladva indul, és minden energiaároló (időállandó) a jelleggörbe (a görbé közelíő aszimpóa) meredekségé d/dekáddal módosíja. z egyes időállandók reciprokakén meghaározhaó körfrekvencia-érékek egyben kijelölik az aszimpóák meszésponjai is. fázisjelleggörbe ω-nál -ból indul, s a körfrekvencia növekedésével annyiszor -9 -os fáziskéséshez ar, ahány energiaárolója van a jelávieli agnak. Nyquis-diagramo az jellemzi, hogy ω eseén a valós engelyen fekvő, p arányossági ávieli ényezőnek megfelelő érékről indulva a körfrekvencia növekedésével annyi síknegyeden halad kereszül, ahány energiaárolóval rendelkezik a jelávieli ag, és ω -nél fu be az origóba. Nyquis-diagramban a helygörbe a árolók számával azonos számú síknegyede ölel á. ag ulajdonságai a lengő agéval azonosak, ez pedig a legkisebb csillapíási ényezőjű (j engelyhez legközelebbi) ún. DOMINÁNS PÓLUSPÁR fogja meghaározni. Ez az s síkon a legszemléleesebb (gyökhelygörbe-módszer), és jó módszer kínál pl. a rendszerparaméerekől függően a viselkedés anulmányozására..3.. Időkésés nélküli ag. Inegrálóag (I) z inegráló jellegű jelávieli agok közös jellemzője, hogy az állandósul állapoban kimenőjelük válozási sebessége arányos bemenőjelükkel. zaz, ha az x b és az x k állandósul állapoból kiindulva az x b ugrásszerűen megválozik x b érékkel, akkor a kimenőjel válozási sebessége (az időfüggvény meredeksége) azonnal vagy bizonyos idő (holidő, időkésleleés) elelével arányos lesz a bemenőjel x b megválozásával egy újabb állandósul helyze beállásakor. z inegrálóag kimenee konsans bemenőjel haására állandó válozási sebességű, egyre növekvő jele ad, azaz inegrál. Ilyen ag pl. a moor, ha kimenőjelekén a szögelfordulásá ekinjük, a villamos fogyaszásmérő, a művelei erősíővel kialakío inegrálókapcsolás sb. Differenciálegyenlee: dxk ( ) TI p xb ( ). (.63) d I T I az ismélődési idő, ugyanis a kimene -ról indulva ennyi idő ala éri el a bemenőjel éréké, ha p =. zaz egységnyi bemenőjel haására a kimene válozási sebessége p /T I amiről a (.6) egyenle árendezésével meggyőződheünk..6 ábláza: z I ag súly- és ámenei függvénye Súlyfüggvénye Ámenei függvénye dv( ) w( ) P p p ( ) v( ) d T ( ) d ( ) T T I I I 7

75 Ávieli függvénye: X k ( s) sti X k ( s) p X b ( s), Y ( s) p X b ( s) sti. (.6) z inegrálás műveleé operáorarományban egy pólus origóban való megjelenése muaja! Frekvenciafüggvénye: X k ( j) Y ( j) p jp X j j T T ; (.65) b ( ) Y ( j) p, ( ) konsans. T I I I x b ()=() w() /T I x b () I x k () x b ()=() v() /T I. ábra: z I ag Nyquis Diagram Imaginary xis Real xis.5 ábra: I ag Nyquis-féle ábrázolásban p =, T I = 75

76 ode Diagram Magniude (d) - Phase (deg) Sysem: sys Phase Margin (deg): 9 Delay Margin (sec):.57 frequency (rad/sec): Closed Loop Sable? Yes -9 - Frequency (rad/sec).6 ábra: z I ag ode-féle ábrázolásban p =, T I =.3.5. Inegráló, elsőrendű időkéslelee ag (IT) z elsőrendű időkésleleéses, inegráló jeláviel rengeeg gyakorlai ese jeleníhe meg. Tudni illik a isza inegráló, I ag viselkedése rikán fordul elő a gyakorlaban. rendszerekben az információ ovábbíásának a agok véges működési sebessége és beállási ideje mia időkésleleése van. jel megválozaása csak véges időaram ala lehe sikeres. Tehá egy időkésés és holidőmenes inegráló viselkedésű rendszerelem a gyakorlaban kiegészül árolós aggal. Differenciálegyenlee: T d xk ( ) dxk ( ) T x ( ) b. (.66) d d.7 ábláza: z IT ag súly- és ámenei függvénye Súlyfüggvénye Ámenei függvénye w ( ) e T I T v ( ) T e T I T Ávieli függvénye: Y ( s) st s s T sti T s T st I st, (.67) ahol: T I =T T=T / T. Frekvenciafüggvénye: X k ( j) Y ( j). (.68) X j j T T b ( ) I 76

77 z IT jelávieli ag Nyquis-diagramja ω-nál a negaív képzees engellyel T párhuzamosan, aól -ávolságban -ből indul, s ω -nél a komplex számsík kezdőponjába fu be. p TI x b ()=() p w() x b () IT x k () x b ()=() p v().7 ábra: z IT ag T I Nyquis Diagram - - Imaginary xis Real xis.8 ábra: z IT ag Nyquis-féle ábrázolásban T I =, T = 77

78 ode Diagram Magniude (d) 5-5 Phase (deg) Sysem: sys Phase Margin (deg): 5.8 Delay Margin (sec):.5 frequency (rad/sec):.786 Closed Loop Sable? Yes Frequency (rad/sec).9 ábra: z IT ag ode-féle ábrázolásban T I =, T = fázisjelleggörbe alakulásá -8 -ig (ω -nél) erjedő fáziskésés jellemzi. 6. ábrából lászik, hogy az eredő ampliúdó-jelleggörbe a kisebb körfrekvenciákból a d/dekád meredekséggel indul, és a nagyobb körfrekvenciákól d/dekád meredekségű. z p arányossági ávieli ényező egységnyi éréknek megválaszva a jelleggörbe ω=/t I -nél meszi a körfrekvencia-engely Inegráló, másodrendű időkéslelee ag (IT) Differenciálegyenlee: T 3 d xk ( ) d xk ( ) dxk ( ) T T x ( ) 3 I b. (.69) d d d 3 3 Ávieli függvénye: Y s) 3 3 T s T s T s st T ( 3 T s s, (.7) ahol: T I T, T T T 3 3 T és. 3 T T 3 Frekvenciafüggvénye: Y ( j). (.7) jt T ( j) T j 78

79 x b ()=().. Impulse Response mpliude x b () IT x k () Time (sec) x b ()=() 3 5 Sep Response mpliude 5 5. ábra: z IT ag Time (sec) 5 Nyquis Diagram -5 - Imaginary xis Real xis. ábra: z IT ag Nyquis-féle ábrázolásban T=, balról jobbra =,5; ;,5 79

80 5 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec). ábra: z IT ag ode-féle ábrázolásban Görbék fenről lefelé =,5 (kék); (zöld);,5 (piros) z energiaárolókkal rendelkező, egyszeresen inegráló jelávieli agok (IT, IT, ITn) sorbakapcsol isza I és ado számú arányos energiaárolóval rendelkező agok (PT, PT, PTn) összegekén érelmezheők. frekvenciafüggvény az összeevők frekvenciafüggvényeinek szorzaakén állíhaó elő. z inegrálóagok Nyquis-diagramja az jeleníi meg, hogy ω-nál a negaív képzees engely érékéől (azaz a harmadik síknegyedből) indul és ω -nél a számsík kezdőponjába fu be. körfrekvencia növekedésével annyi síknegyeden halad kereszül, ahány energiaárolója van a jelávieli agnak. ode-diagram ω-nál - d/dekád meredekséggel kezdődően indul, és minden időállandó a jelleggörbe meredekségé d/dekáddal módosíja. fázisjelleggörbe ω-nál 9 -os fáziskéséssel indul, s ω -eseén annyiszor ovábbi 9 -os fáziskéséshez ar, ahány energiaárolóval rendelkezik a jelávieli ag Differenciáló, időkésés nélküli ag (D) differenciálóagoknak állandósul állapoban a kimenőjelük arányos a bemenőjelük válozási sebességével. echnológiák sokszor igénylik a gyors, haékony beavakozás a kismérékű válozására is azonnal reagáló irányíóberendezéseke. ag kimeneén a bemenőjel deriválja jelenik meg, és így egy idealizál ag. gyakorlaban ennek ponos megvalósíása leheelen, de közelíeni lehe, pl. az üresen járó ranszformáor, ha a fluxusa és kapocsfeszülsége a ké megfigyel jellemző. Differenciálegyenlee a (.) egyenle alapján, ahol a =T D a differenciálási idő: xb ( ) xk ) TD d (. (.7) Ávieli függvénye: Y ( s) T s. (.73) D Frekvenciafüggvénye: Y ( j) T j. (.7) D 8

81 D ag csak képzees összeevőkkel rendelkezik, az I ag inverz frekvenciafüggvényének ekinheő. x b ()=() w() x b () D x k () x b ()=() v() p.3 ábra: D ag Nyquis Diagram 8 6 Imaginary xis Real xis. ábra: D ag Nyquis-féle ábrázolásban T D = D ag frekvenciaarománybeli viselkedése alapján megállapíhaó, hogy nem valósíhaó meg a gyakorlaban. Nyquis-diagram ω-nál az origóból indul, és ω növekedésével a poziív képzees engelyen végigfuva a +j -hoz ar. zaz az áviele ugyanis végelen felé ar nagy frekvenciákon, ami végelen eljesíményeke akarna, ez pedig kivielezheelen. 8

82 ode Diagram Magniude (d) - - Phase (deg) -6 9 Sysem: sys 9Phase Margin (deg): -9 Delay Margin (sec): 7. 9frequency (rad/sec):. Closed Loop Sable? Yes 9 9 Sysem: sys Phase Margin (deg): -9 Delay Margin (sec):.7 frequency (rad/sec): Closed Loop Sable? Yes Frequency (rad/sec).5 ábra: D ag ode-féle ábrázolásban T D = (sys), T D = (sys) logarimikus ampliúdó-jelleggörbe egy olyan egyenes, amelynek meredeksége csak előjelében ér el az I ag ampliúdó-jelleggörbéjéől. D és az I jelávieli agok ampliúdójelleggörbéi a vízszines engelyre vonakozao ükörképei. z ampliúdó-jelleggörbe a körfrekvencia- ( d) engely ω=/t D éréknél meszi Differenciáló, elsőrendű időkésleleéses (DT) ag gyakorlaban a differenciáló haás a árolós haással együ jelenkezik. fázissieeő jelleg énylegesen nagy ávieli ényezőjű arányos, energiaárolóval rendelkező agokkal bizosíhaó. Ez a ag egy isza differenciáló haású ag és egy PT ag soros kapcsolásával könnyen megvalósíhaó, ugyanis mos nem merülhe fel a végelen áviel problémája, hiszen a PT jellege ez kizárja. Differenciálegyenlee: dx ( ) dxb ( T k xk T ) ( ) D. d d (.75).8 ábláza: DT ag súly- és ámenei függvénye, Súlyfüggvénye Ámenei függvénye Ávieli függvénye: TD s TDs Y ( s). (.76) T s s T s e T T w ( ) D TD TD T v( ) ( ) e T T T Frekvenciafüggvénye: TD j Y ( j). (.77) T j 8

83 x b ()=() -T D /T w() T x b () DT x k () x b ()=() T D /T v() T.6 ábra: DT ag Nyquis Diagram Imaginary xis Real xis.7 ábra: DT ag Nyquis-féle ábrázolásban p =, T =, T D = DT ag Nyquis-diagramja ω-nál az origóból indul, és ω -nél a poziív valós engelyen fekvő T D /T érékű ponba fu be. Minden közbenső, poziív ω-ra a valós és képzees összeevők poziív érékűek. 83

84 ode Diagram Magniude (d) Sysem: sys Phase Margin (deg): Delay Margin (sec): 5.9 frequency (rad/sec):. Closed Loop Sable? Yes Phase (deg) Frequency (rad/sec).8 ábra: DT ag ode-féle ábrázolásban p =, T =, T D = (sys), T D = (sys) DT ag ode-diagramja a D és a PT agok logarimikus frekvencia-jelleggörbéinek összegzésével nyerheő. jelleggörbe ω-nál + d/dekád meredekséggel indul, ω=/t -nél meszi a vízszines engely, majd az ω=/t sarok-körfrekvenciá meghaladva vízszinesen fu a engellyel. fázisjelleggörbe +9 -ól indulva ω eseén -hoz ar. Míg az arányos és az inegrálóagok a nagyobb frekvenciájú jeleke nagyobb csillapíással (kisebb ampliúdóval) viszik á (aluláeresző szűrő), addig a differenciálóagok a kisebb frekvenciájú jeleke csillapíva, a nagyobb frekvenciájú jeleke engedik á nagyobb ampliúdóval (felüláeresző szűrő). z arányos és az inegráló agok fáziskésés, a differenciálóagok fázissieés jelenenek. D agok Nyquis-diagramja ω-nál az origóból indul, s az energiaárolók számával azonos számú síknegyeden megy kereszül a körfrekvencia növekedésével. ode-diagram ω-nál + d/dekád meredekségű, és minden időállandó a meredekségé d/dekáddal válozaja meg. fázisjelleggörbe ω-nál +9 -os fázissieéssel indul, az ω növekedésével minden energiaároló -9 -os fázisválozás jelen Differenciáló, másodrendű időkésleleéses (DT) ag Differenciálegyenlee: T d xk ( ) dxk ( ) dxb ( ) T xk T D. (.78) d d d Ávieli függvénye: T Y ( s) T s Ds Ts. (.79) 8

85 Frekvenciafüggvénye: TD j Y ( j) T ( j) T j. (.8) x b ()=().8 Impulse Response.6 mpliude Time (sec) x b () DT x k () x b ()=().6.5 Sep Response. mpliude ábra: DT ag Time (sec) Nyquis Diagram Imaginary xis Real xis.3 ábra: DT ag Nyquis-féle ábrázolásban T D =, T=, görbék fenről lefelé =,5; ;,5 z ω=-nál és ω -nél is nulla. jelleggörbe komplex számsík kezdőponjából indul ki és ugyanoda fu be. Kis frekvenciákon Y(jω) megközelíőleg kis poziív, képzees szám. görbe kezdei szakasza esik az egyárolós differenciálóag jelleggörbéjéhez, mer a nevező négyzees agja elhanyagolhaóan kevés. Igen nagy frekvenciákon Y(jω) megközelíőleg kis negaív képzees szám. z Y(jω) képe komplex számsíkon kör. 85

86 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec).3 ábra: DT ag ode-féle ábrázolásban Görbék fenről lefelé =,5; ;,5 differenciáló jellegű agok ampliúdó-fázis jelleggörbéje mindig a kezdőponból indul ki. árolók számával megegyező számú síknegyeden halad kereszül. ode-kezdei asszimpóájának meredeksége d/dekád. Minden időállandó d/dekád meredekségválozás hoz lére. fázis-körfrekvencia kezdei éréke 9. Minden energiaároló ez a kezdei éréke 9 -kal válozaja meg..3.. Holidős, H ag gyakorlaban gyakran előforduló, néha kellemelen haásoka előidéző agípus. Például szállíószalagoknál, vízvezeékeknél, műholdas adakapcsolaoknál fordul elő. bemenei haás időkéséssel jelenik meg a kimeneen. isza holidős ag végelen számú árolóval rendelkező arányos aggal egyenérékű. holidő nagyságá a folyama lejászódási helye és az érzékelési hely vagy az érzékelési és a beavakozási hely közöi ávolság adja meg. Differenciálegyenlee: x ) ( T ) x ( T ) (.8) k ( p H b H.9 ábláza: H ag súly- és ámenei függvénye Súlyfüggvénye Ámenei függvénye w T v T ( p H ) ( ) ) ( ) ( p H Ávieli függvénye: Y s e st ( ) H p. (.8) Frekvenciafüggvénye: jth Y ( j) e p (costh j sinth p ). (.83) 86

87 x b ()=() w() p T H x b () H x k () x b ()=() p v() T H.3 ábra: H ag Nyquis Diagram.8.6. Imaginary xis k T H T H k T H T H Real xis.33 ábra: H ag Nyquis-féle ábrázolásban p =, T H = H ag Nyquis-diagramja az origó körüli sugarú, egymás fedő körökből áll, amelyeken az Y(jω) vekor végponja az ω növelésekor ωt H szöggel fordul el. frekvenciafüggvény Nyquis-diagramon ábrázolva ω=k/t H körfrekvenciákhoz (k=,,,..., n) a poziív valós engelyen fekvő P pon arozik, ehá a kör egyszeri körüljárásával a körfrekvencia-válozás /T H. 87

88 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec).3 ábra: H ag ode-féle ábrázolásban p =, T H = H ag ode-diagramja a frekvenciaengellyel párhuzamos egyenes. Egyenlee, a fázisjelleggörbe ω-nál (36, x körbefuo) fáziskéséssel indulva a körfrekvencia növelésével ω -nél - -hez ar. fázisszög a frekvenciával lineárisan válozik. z ω=/th körfrekvencián a fázisszög éréke - rad=-57,3 z (.8) egyenlee célszerű racionális örfüggvénnyel közelíeni. PDE-közelíés, amely a holidős ag ávieli függvényé olyan nem minimumfázisú racionális örfüggvényekkel közelíi, amelyek TYLOR-sorában az első agok megegyeznek a holidős ag exponenciális ávieli függvénye TYLOR-sorfejésének első agjaival. z n fokú PDE-közelíés olyan racionális örfüggvény, amelynek n számú zérusa csak előjelben különbözik n számú pólusáól: st ( s s)...( s s ) Y ( s) e H n YPDE ( s). (.8) s s s s ( )...( n ) függvény abszolú éréke bármilyen s=jω-nál egységnyi, így a valódi holidős ávieli függvényhez hasonlóan csak a fázisszöge válozik. z ilyen ípusú agoka minden áeresző szűrőknek nevezzük. PDE-közelíés nem minimumfázisú. z s i pólusok, illeve a számláló és nevező együhaóinak meghaározása oly módon örénhe, hogy Y H (s) TYLOR-sorának első N+M+ agja megegyezzék Y PDE (s) TYLOR-sorának első N+M+ agjával. I M a racionális örfüggvény számlálójának, N pedig nevezőjének a fokszáma (M N ): M k dk x x i k Y ( s) e bi x. (.85) N i j c jx j 88

89 . ábláza: z e std ag első-, másod- és harmadfokú PDE közelíései Holidős ag sth Y ( s) e Elsőfokú PDE közelíés Másodfokú PDE közelíés Harmadfokú PDE közelíés Y ( s) 6sT Y ( s) 6sT 6sT Y ( s) 6sT H H H H st st H H ( st ( st ( st ( st H H H H ) ) ) ) ( st ( st Minél magasabb fokú a örfüggvény, annál öbb agban egyezik meg a ké függvény TYLOR felbonása. közelíések a kezdei időponokhoz kevésbé illeszkednek, az állandósul állapoo jól közelíik. Minél magasabb fokú a közelíés, annál jobb az ámenei függvények illeszkedése. H H ) ) 3 3 MTL SZINTKTIK [m,n]=pade(th,n) %Th: Holidő, n a közelíés fokszáma (hányadfokú polinommal közelíse) vagy s = f('s'); P = exp(-*s);.3.. rányos, elsőrendű időkéslelee holidős (PTH) ag soros kapcsolás eredményekén lérejö "összee" agok nem ekinheők újaknak, hiszen ávieli függvényeik eleve szorzóényezőkén jelennek meg. Differenciálegyenlee: dxk ( ) T xk ( ) pxb ( TH ). (.86) d. ábláza: PTH ag és ámenei függvénye Ámenei függvénye TH T v ( ) p( TH ) e Ávieli függvénye: st e H Y ( s) p. (.87) st Frekvenciafüggvénye: p jt Y ( j) e H. (.88) j T 89

90 x b ()=() p /T w() T H T x b () PHT x k () x b ()=() p T v() T H.35 ábra: PHT ag Nyquis Diagram Imaginary xis Real xis.36 PHT ag Nyquis-ábrázolásban p =, T H =, T = PHT ag frekvenciafüggvényének Nyquis-ábrázolása a PT aghoz hasonlóan ω nál az P érékről indul, és ω -nél az origóba fu be, azonban a közbenső frekvenciaarományban a komplex számsíkon csökkenő spirálban haladva kerül egyre közelebb az origóhoz a körfrekvencia növelésével. 9

91 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec).37 ábra: PHT ag ode-féle ábrázolásban p =, T H =, T = frekvenciafüggvény ode-féle megjeleníése, a logarimikus ampliúdó-jelleggörbe a PT agéval azonosan fu..3.. Inegráló, holidős (IH) ag Differenciálegyenlee: dxk ( ) T xb ( TH ). (.89) d Ávieli függvénye: st Y ( s) e H. (.9) st Frekvenciafüggvénye: jt Y ( j) e H. (.9) j T 9

92 x b ()=() w() /T I T H x b () x k () IH x b ()=() v() T H /T I.38 ábra: PHT ag.5 Nyquis Diagram Imaginary xis Real xis.39 ábra: IH ag Nyquis-ábrázolásban T H =, T I = z IH Nyquis-diagram az IT-aghoz hasonlóan indul ω -nál, és ω -nél az origóba fu be. közbenső frekvenciaarományban azonban a komplex számsík valamennyi síknegyedén á csökkenő spirálban haladva a frekvencia növelésével egyre közelebb kerül az origóhoz. 9

93 ode Diagram Phase (deg) Magniude (d) Frequency (rad/sec). ábra: PHT ag ode-féle ábrázolásban T H =, T I = z IH ag ode-diagram logarimikus ampliúdó jelleggörbéje az I agéval azonosan alakul... Különböző ávieli függvények megvalósíása Malabbal. Példa: PT agokra MTL SZINTKTIK Y=5/(*s+); % egyik PT ag ávieli függvénye nu=[5]; de=[ ]; Y=3/(.5*s+); % a másik PT ag ávieli függvénye nu=[3]; de=[.5 ]; sys=f(nu,de) % nu=5; de=[ ] sys=f(nu,de) % nu=3; de=[.5 ] bode(sys) % ode-diagramo rajzol az első PT-ről hold on % az új diagram rárajzolódik az előzőre bode(sys) % ode-diagramo rajzol a második PT-ről ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec). ábra: ké PT ag ode-diagramja 93

94 . Példa: PT agok összeszorzása z előzőekben megismer ké PT ag sorba köésével (összeszorzásával) előállíhaó a PT ag ávieli függvénye, amelynek számlálója mos num, nevezője dem lesz. MTL SZINTKTIK [num,dem]=series(nu,de,nu,de); sys3=f(num,dem); sys3=series(sys,sys); bode(sys3) % ké ávieli függvények összeszorzása % áérés operáorarományba % így is meg lehe adni ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Sysem: sys3 Phase Margin (deg): 36.9 Delay Margin (sec):.79 frequency (rad/sec): 3.6 Closed Loop Sable? Yes Frequency (rad/sec). ábra: PT ode-diagramja ode-diagramokon a, -, - d/dekád meredekségű érinőknél a kövekezőke kell megfigyelni: az ampliúdódiagramon az érinők meszésponja és /T érék egymás ala; fázisdiagramon fáziselolás; elolás fele és /T érék egymás ala; az ampliúdó-öréspon és fáziselolás félérékének egybeesése; PT-nél ké öréspon és álagos időállandó reciprokának egybeesése. INTEGRÁLÓTGOK MPLITUDÓ-FÁZIS FÜGGVÉNYEINEK MEGISMERÉSE. 3. Példa: Időállandó nélküli inegrálóag, IT MTL SZINTKTIK nu=[3]; % az ávieli függvény számlálója de=[ ]; % az inegrálóag nevezője; inegrálóagnál a nevezőben van a konsans helyén sys= f(nu,de) % sys a ag ávieli függvénye bode(sys) % ode-diagramo rajzol az I agról 9

95 ode Diagram 5 Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec).3 ábra: IT ode-diagramja.3 ábrán megfigyelheő, hogy az ampliúdógörbe d/dekád meredekséggel indul, nincs vízszines szakasz, az ampliúdógörbe a engely a nu éréknél meszi, a fáziselolás végig 9 (állandó érék).. Példa: Egy időállandóval jellemezheő inegrálóag, IT MTL SZINTKTIK de=[3 ] % az új nevező; ((Ts+)s)-ből sys=f(nu,de); bode(sys) 6 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) -35 Sysem: sys Phase Margin (deg): 8.9 Delay Margin (sec):.339 frequency (rad/sec):.973 Closed Loop Sable? Yes Frequency (rad/sec). ábra: z IT ode-diagramja. ábrán megfigyelheő, hogy az ampliúdógörbe érinője d/dekád meredekséggel indul, majd /T (i,33) fölö d/dekád meredekségű, a fáziselolás-görbe 9 -ról 8 -ra olódik, 35 /T ala van. 95

96 DIFFERENCIÁLÓTGOK MPLITÚDÓ-FÁZIS FÜGGVÉNYEINEK MEGISMERÉSE 5. Példa: Időállandó nélküli differenciálóag DT MTL SZINTKTIK nu=[3 ]; % a számlálóban van az s helyén de=[]; sys=f(nu,de) % az ávieli ag ávieli függvénye bode(sys); % ode-diagramo rajzol a D agról 3 ode Diagram 5 Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec).5 ábra: DT ode-diagramja.5 ábrán megfigyelheő, hogy az ampliúdógörbe + d/dekád meredekséggel indul, nincs vízszines szakasz, az ampliúdógörbe a engely az /nu éréknél meszi, (/3), a fáziselolás végig Példa: Egy időállandós differenciálóag DT MTL SZINTKTIK de=[3 ]; % T aggal bővülő nevező (Ts+) sys=f(nu,de) % az ávieli függvény bode(sys); 96

97 ode Diagram Magniude (d) Phase (deg) Frequency (rad/sec).6 ábra: DT ode-diagramja.6 ábrán megfigyelheő: az ampliúdó ógörbe érinője + d/dekád meredekséggel indul, majd /T (i,33) fölö d/dekád meredekségű, a fáziselolás-görbe +9 -ról -ra olódik, +5 /T ala van..5. Ávieli agok leírása állapoegyenleekkel és állapoválozókkal z ávieli agok leírására szolgáló, és igen jól alkalmazhaó ávieli függvények hiányossága az, hogy a rendszer kezdei állapoá, valamin a nemlineáris ávieli körülményeke a függvény nem udja figyelembe venni. Ebből az kövekezik, hogy a függvények csak korláozo feléelek közö ismerheők meg. agok és rendszerek leírásának egy másik leheséges módja az ÁLLPOTMÓDSZER alkalmazása, amely mind a lineáris, mind a nemlineáris rendszerekre alkalmazhaó, és a kezdei állapoo is figyelembe udja venni. z állapomódszer alkalmazásánál azoka az ÁLLPOTVÁLTOZÓKT kell kiválaszani, amelyek leginkább alkalmasak a rendszer jellemezésére, és amelyeke egy differenciálegyenle-rendszerbe összefoglaljuk (állapoegyenleekbe). z egyenlerendszerből kiindulva az időbeli válaszok és más leírófüggvények kiszámíhaók. MTL szofver segíségével a számíások elvégezheők. z állapoegyenle álalános alakja: x x u. (.9) y Cx Du dx ( ) z első egyenle bal oldalán x az állapoválozók differenciálhányadosának d vekora láhaó. jobb oldalon () az együhaók márixa és az (x) állapoválozók szorzaa, ovábbá a () együhaók vekorával szorzo (u) beavakozójelek alálhaók. z állapoegyenle első sora az állapoválozóknak a bemenőjelre ado válozásá írja le. 97

98 (kimenei egyenlenek is nevezheő) második sorban az y az (időben válozó) kimenőjelek oszlopvekora, míg Cx a bemenőjelvekor és az állapoválozók szorzaa. Du ovábbi állandók és a bemene szorzaá aralmazza. márixok szokásos elnevezése: : állapomárix, : konrollmárix, C: kimenő(jel) márix, D: ávieli márix. z állapoválózok, illeve az állapoegyenleek kialakulásá egy igen egyszerű példa segíségével muajuk be. fizikai rendszer egy hengerben rugóra függesze, a falhoz simulva mozgó dugayú. Egy erre haó erő a dugayú elmozdíja, ami majd a rugó haása mia néhány lengés uán új helyzee vesz fel. z állapoegyenle segíségével a dugayú mozgásá és új helyzeé lehe maemaikailag megadni. példában szereplő jelölések és érékeik: M a es ömege [kg]: kg, K a rugóállandó [N/m]: N/m, f súrlódási ényező [kg/s]: kg/s, y() az elmozdulás (időfüggvény), a ömeg helyzee [m], u() a beavakozó erő (időfüggvény) [N]. mozgás leíró differenciálegyenle: d y dy M f Ky u( ) (.93) d d (gyorsulás; sebesség; helyze; erő). rendszer leírására ké állapoválozó (x és x ) válaszhaó ki. z egyik a helyze (y), a második a ömeg sebessége (dy/d). Így: dy( ) x ( ) y( ) ; x( ) (.9) d d y (ennek megfelelően a differenciálegyenle első agja a gyorsulás, azaz M ). d Ezeke figyelembe véve a behelyeesíe differenciálegyenle: dx M fx Kx u( ). (.95) d rugóval csillapío ömeg mozgásá a kövekező ké elsőrendű differenciálegyenleel lehe leírni: dx dx f K x ; u x x d d M M. (.96) M ké differenciálegyenle a rendszer állapoá írja le a ké állapoválozó válozási sebességének függvényében. ké egyenle márixformába árendezve: 98

99 d d x f x M K M x x u( ). (.97) M példa adaaival: d x d x (.98) x x u( ). z (.38) differenciálegyenle második sora (ha D= érékű): x y. (.99) x felada ámenei függvény kirajzolaása. MTL SZINTKTIK =[ ; - -]; =[;]; C=[ ]; D=[]; x=[;.]; =[:.:]; u=.*; [v,x]=lsim(,,c,d,u,,x); % az márix elemei % a márix elemei % a C márix elemei % a D márix % kezdei feléelek, i x =; x =, a kezdő helyze m, sebesség:. m/s % időaromány, időoszásának megadása % a bemenőjel =.* % a számolás végző uasíás x mpliude Time (sec).7 ábra: felada állapoegyenlee álal kapo eredmény z idő függvényében a (v) elmozdulás jelenik meg. z x márix első oszlopa az elmozdulás (x), a második oszlopa a mozgás sebessége (x). z x(:,) uasíással az első oszlop kerül kirajzolaásra..7 ábrán megfigyelheő: a görbe -ból indul, az x vonakozásában a kezdei feléel x =, a görbe a válaszo időszakasz érékeihez arozó helyzeeke ábrázolja, a lengések meredeksége az x (sebesség) érékeiől függ, az állandósul érék nem, de az ábrán a beavakozó erő kis éréke mia besimul a engelybe. 99

100 Végezzen ovábbi vizsgálaoka; válozasson a kezdei feléeleken, illeve az u éréké megadó összefüggésen belül, és figyelje meg a görbe módosulásai! rendszer ávieli függvényé az állapoegyenle együhaómárixainak ismereében ki lehe számíani a MTL egyelen uasíásával. z előző példa adaaival: MTL SZINTKTIK [num,den]= ssf(,,c,d) Eredmény: num =.. den =.e+ *... hol: num: az ávieli függvény számlálója den: az ávieli függvény nevezője % az ávieli függvény számlálójá és nevezőjé számíó uasíás z ávieli függvény ismereében az ámenei függvény görbéje is kirajzolhaó. MTL SZINTKTIK sys=f(num,den) sep(sys);grid % az ávieli függvény kialakíása % az ámenei függvény görbéje Eredmény: Transfer funcion: 3.553e-5 s s^ + s + x - Sep Response Sysem: sys Peak ampliude:.85 Overshoo (%): 85.3 ime (sec):.3 mpliude Sysem: sys Rise Time (sec):.7 Sysem: sys Seling Time (sec):.76 Sysem: sys Final Value: Time (sec).8 ábra: felada: ámenei függvény görbéje

101 5. STILITÁSVIZSGÁLT szabályozásoknál alapköveelmény a sabiliás. szabályozási rendszernek ki kell küszöbölnie a zavarásoka, vagy a kíván mérékűre kell csökkenenie azoka. szabályozónak a zavarás álal kialakul állapoból vissza kell állíani az eredeivel megegyező vagy eől csak kismérékben elérő új, állandósul állapoo. zár szabályozási kör önmagában is insabil lehe. sabiliás nem a külső haásokkal függ össze, hanem a kör belső felépíéséből eredő lényeges ulajdonságával, és elsősorban a felnyio kör erősíési ényezőjéől és a kör alkoó elemek időállandóiól függ. Természeesen az insabil szabályozás használhaalan, ezér a legfőbb cél, hogy a sabiliás megléé megállapísuk, vagy feléelei megeremsük. sabiliási kriériumok (feléelek) alkalmasak annak megíélésére, hogy egy ado szabályozás sabilis-e vagy sem; ha igen, a szabályozási kör egyes paraméereinek (ávieli ényezők, időállandók) valamely irányba örénő válozaása növeli vagy csökkeni-e a sabiliás; ha nem, milyen irányban kell befolyásolnunk a szabályozási kör paraméerei; avagy milyen dinamikus ulajdonságokkal bíró járulékos ago kell a szabályozási körbe ikani, vagy milyen belső visszacsaolásoka kell alkalmazni a célból, hogy a szabályozási kör sabillá váljon. Lökésszerű bemenőjel-válozások haására a visszacsaol szabályozási rendszerekben álalában lengések kelekeznek. Ezek a lengések aperiodikusak, csillapodó ampliúdójú periodikusak, kedvezőlen eseben a lengések ampliúdója egészen a berendezések ada leheőségek haáráig (pl. maximális dugayúlöke, mooreljesímény sb.) nőhe. sabiliás fizikai fogalma szerin egy rendszer akkor sabil, ha egyensúlyi állapoából kimozdíva (meglökve), majd magára hagyva idővel visszaér eredei egyensúlyi állapoába. z egyes rendszerek sabiliásának eldönésére öbb, egymással egyenérékű vizsgálai eljárás dolgozak ki, amelyek közül néhányról a kövekezőkben lesz szó. zár szabályozási kör sabiliási viszonyai ké lényeges paraméer, a hurokerősíési ényező és a rendszer késleleése befolyásolja. rendszer lengésének valószínűsége annál nagyobb, minél nagyobb a hurokerősíési ényező, minél nagyobb a rendszer késleleése (energiaárolók vannak a rendszerben).

102 E ké rendszerjellemző növekedésé a kövekező ényezők okozhaják: a szakasz rendűségének, időállandóinak, holidejének növekedése, a P szabályozó P arányossági ávieli ényezőjének növelése, az I szabályozó T I inegrálási idejének a csökkenése, a D szabályozó T D differenciálási idejének növelése. különböző rendszerek sabiliásának eldönésére öbb, egymással egyenérékű vizsgálai eljárás léezik, közülük néhánya ekinsünk meg a kövekezőkben. Ezek a vizsgálai módszerek a szabályozási kör ávieli vagy frekvenciafüggvénye alapján adnak felvilágosíás a rendszer sabiliásáról. 5.. Rouh Hurwiz sabiliási kriérium sabiliás eldönésé a Rouh Hurwiz-kriérium a karakeriszikus egyenle együhaóinak vizsgálaára vezei vissza, ugyanis a karakeriszikus egyenle gyökei negaív valós részűek, nagyon lényeges kövekezménye, hogy (5.)-ben valamennyi gyökényező poziív agokból áll. K k m s s s s s s js j i i r, (5.) ahol: k a valós s i gyökök száma; m a öbbszörös s r gyök mulipliciása. Ennek megfelelően, a felbonandó örfüggvényekre a haározalan együhaók jelölései használva a kövekező alakú részörek adódnak: k m C C i k j Ck m s Ck m W s. (5.) j s s s s s i i j r Ezálal a gyökényezők szorzaából pl. n-edfokú eseben adódó, s szerin rendeze alakban felírhaó polinom kizárólag poziív együhaójú agoka aralmazha: n n K s ans an s... as a. (5.3) Ez viszon a sabiliásnak csak szükséges, de nem elégséges feléele, mivel harmadvagy magasabb rendű eseben a poziív együhaók nem okvelenül jelenik az, hogy csak negaív gyökök vannak. valós és komplex konjugál gyökpár eseén adódhanak olyan viszonyok a valós, ill. a komplex gyökpár részei közö, amelyekre poziív valós részű gyök előfordulásakor is minden együhaó poziív érékű. sabiliás szükséges és elégséges feléelének algebrai megfogalmazása Rouh Hurwiz-kriérium néven ismer, amely szerin a zár szabályozási kör sabil, ha karakeriszikus egyenleének mindegyik együhaója poziív és ezzel egyidejűleg az együhaókból képze, n n méreű Hurwiz féle deermináns és a főáló szerini valamennyi aldeerminánsa nagyobb zérusnál:

103 a n a n n ; (5.) a a a n3 n n a a a an an 3 a n ; ; n. (5.5) an an sabiliás haáreseé a i = egyenlerendszer megoldásai adják. i deerminánsokban szereplő a i (i=,,, n) együhaók a szabályozási körben szereplő ávieli agok paraméerei (körerősíés, időállandók) aralmazzák. z időállandók megválozaására rikábban van leheőség, öbbnyire a K körerősíés a könnyebben válozahaó paraméer. Ezér a sabiliás haáreseé jelenő egyenlerendszerből megoldáskén a kriikus körerősíés (K kri ) állapíják meg. K kri körüli arományban az egyszerű lineáris szabályozási kör működése a kövekezőképpen alakul, ha K = K kri a rendszer állandósul lengéseke végez, K > K kri a szabályozás labilis, K < K kri a kör sabilis működésű. Rouh Hurwiz-kriérium a sabiliás haáreseében számszerű eredményre veze: K 3 Ts K W s. (5.6) 3 K Ts K 3 Ts z (5.6) egyenle szerin a zár kör ávieli függvényének a nevezőjéből képze karakeriszikus egyenle: K T s 6T s Ts 8 K Ts, (5.7) így a Hurwiz-féle deermináns feléeléből 6T 8 K K 7T T 8 K 3 3 T T 6T 8 K, (5.8) mivel K -8, a megoldás: K kri = 6. kapo számszerű eredmény ellenére nehezen dönheő el, hogy milyen mérékben kell megválozani egy labilis kör paraméerei a sabiliás érdekében, vagy az ado paraméeréréken sabilis kör milyen közel áll a sabiliáshoz. 3

104 5.. Nyquis-sabiliási kriérium Nyquis-kriérium a zár szabályozási kör sabiliásá a felnyio kör Y(j) frekvenciafüggvényére megrajzolhaó helygörbe meneéből íéli meg. bban az eseben amikor a Nyquis-diagram ki van egészíve a negaív körfrekvenciákra vonakozó helygörbével, akkor így zár görbé kapunk, ami eljes ampliúdó-fázis jelleggörbének nevezünk. 5. ábra: Nyquis-diagram. al: ípusú szabályozás, jobb: ípusú szabályozás Forrás: [] zár görbe menén az növekedésének az iránya folyonos. Ezek végelen sugarú körívvel zárhaók az óramuaó járásával megegyező irányban, azaz a zár görbe menén az növekedésének irányában végighaladva az origó jobbról kerüljük meg. rendszer akkor sabil, ha a felnyio kör eljes Nyquis-diagramja a (, j) ponon nem megy á és az nem fogja körül, azaz a növekvő körfrekvenciák irányában haladva a eljes helygörbe menén a komplex sík (, j) ponon mindig bal kéz felé esik. 5. ábra: Nyquis-kriérium szemléleése Forrás: [] z +Y(j)= eseben a felnyio kör Nyquis-diagramja a (, j) ponon halad á, akkor a zár rendszer a sabiliás haárán van. Ennek fizikai aralma, hogy a zár rendszernek csillapíalan szinuszos megoldása van, amelyre Y(j k )= eljesül. Ha egy ilyen zár rendszer bemeneein haó jelek spekrumában megalálhaó az k körfrekvenciájú összeevő is, akkor az állandósul, a öbbi lecsillapodik a ranziens folyama ala. felnyio kör jelávieléből megállapíhaó, hogy az k komponens a felnyio hurkon csillapíalanul halad á Y(jk) = a(k) =. (5.9)

105 MÁSKÉPP, az +Y (j)= (5.) feléel akkor eljesül, ha a zár rendszerben bizonyos ω körfrekvenciánál csillapíalan lengések kelekeznek. Ekkor a szabályozo jellemző soha nem ér el állandósul éréke, a rendszer a STILITÁS HTÁRÁN VN. sabiliásvizsgála ehá az jeleni, hogy megnézzük, van-e olyan ω körfrekvencia, amelyre az Y (j )=- feléel eljesül. felnyio kör (.37 ábra) Nyquis-diagramján e feléel eljesülése úgy állapíhaó meg, hogy az ampliúdó-fázis jelleggörbe miközben a körfrekvencia ω arományban válozik a valós engely a ponban meszi egy bizonyos ω körfrekvenciánál. Ekkor az ampliúdóviszony:, a fáziskésés: 8. X z + X m X sz X b - Y S X v Y R 5.3 ábra: Felnyio szabályzási kör haásvázlaa rendszer fel van bonva a különbségképző elő, ehá a nyio rendszer úgy ekinheő, min az egymással sorba kapcsol szakasz (Y S ) és a szabályozó (Y R ). felnyio kör bemenőjelének (x z -x b ) megválozása kimenőjel (végrehajó jel) válozás eredményez, de ez nincs haással a ovábbi beavakozásra a kör felnyiása mia. kör zavarójel legyen zérus (x z =). Ha szinuszosan válozajuk ω frekvenciánál az x m módosío jellemző, a szakasz bemenőjele (x m =x b ) a negaív különbségképző mia 8 -os késéssel, szinuszosan kövei a módosío jellemző. felnyio kör végrehajó jele: Y (j )=Y s (j )Y R (j ) = (5.) ugyancsak 8 -os késéssel, a bemenőjellel azonos ampliúdójú, s a módosío jellemző fázisával egyező lengésekkel kövei a kör bemenőjelének szinuszos válozásá. Ha felnyiás helyé összekönénk, azaz záródna a szabályozási kör, az ω körfrekvenciájú szinuszos lengés még akkor is fennmarad. Ha a kezdei beavakozás már nem ha a rendszerre a sabiliás haárán lévő rendszer labilissá válásá jeleni. RENDSZER STIL, ha 8 -os fáziskésés eseén az ampliúdóviszony kisebb -nél, vagy ha az ampliúdóviszony = eseén a fáziskésés nagyobb 8 -nál. RENDSZER LILIS, ha -8 -os fáziskésés eseén az ampliúdóviszony nagyobb - nél, vagy ha az ampliúdóviszony = eseén a fáziskésés kisebb 8 -nál. rendszerek sabiliási foká a fázisaralék és az erősíési aralék jellemzi. ípusú (arányos, párhuzamos D agoka nem aralmazó) szabályozási kör eseén a hurok, vagy ároló aralmaz (P, PT, PT), a görbék a legnagyobb hurokerősíés melle sem foghaják körül a (-,j) pono ezér ezek sabil viselkedésűek. Három (PT3) vagy öbb ároló (PTn) eseén már lehe labilis a ípusú hurok. z ípusú (inegráló) szabályozások eljes Nyquis-diagramjai sem alkonak zár görbéke. Ekkor a görbé végelen sugarú, az óramuaó járásával egyező irányíású körívvel szokás lezárni. (PI) vagy (PIT) árolóval rendelkező inegrálóhurok srukurálisan sabil. Ké vagy öbb árolóval már lehe labilis a hurok a hurokerősíés növekedése vagy a csillapíási ényező csökkenése kövekezében. 5

106 5.3. Sabiliásvizsgála ode-diagramokkal Nyquis-diagramok és a ode-diagramok közö egyérelmű a kapcsola, ezér a szabályozási rendszer sabiliása a felnyio kör ode-diagramja segíségével is meghaározhaó. Nyquis-diagramoka korábban főleg poziív körfrekvenciáknál érelmezük, így öbbnyire nyio görbék adódak. (, j) pon körülfogása azonban csak zár görbékből íélheő meg, ezér a sabiliás eldönéséhez a felnyio hurok Nyquis-diagramjá formálisan ki szokák egészíeni a negaív körfrekvenciával megszerkesze görbével is. ( poziív körfrekvenciákra érvényes görbé a valós engelyre ükrözik.) sabiliás eldönő (, j) pono a komplex számsíkon az egységsugarú kör (a( c )=) és a valós engely negaív félegyenese (( )=) jelöli ki. z a feléel, hogy szabályozásoknál nem vehei körül a (, j) pono a gyakorlai eseeknél akkor eljesül, ha a felnyio kör helygörbéje (az növekedésének az irányá ekinve) előbb meszi az egységsugarú kör, min a valós engely, azaz c <. Haáreseben a helygörbe ámegy a (, j) ponon az c = = k egyenlőségnek felel meg (kriikus ese). z c > eseben a helygörbe körülöleli a kriikus pono, és a zár kör labilis működésű lesz. z egységsugarú körnek ode-diagramon a()== d engely felel meg, a valós engely negaív félegyenese pedig a diagram fázis-körfrekvencia részén a ()=- érékhez húzo egyenes (5. ábra jobb oldal). 5. ábra: Sabil szabályozás Nyquis- és ode-diagramjai gyakorlaban előforduló egyszerű eseekre a sabiliási kriérium alkalmazhaó. zár szabályozási rendszer sabil, ha a felnyio kör logarimikus ampliúdó frekvencia diagramja előbb (kisebb körfrekvencián) meszi a d engely, min a fázis frekvencia diagramja a =- egyenes. Másképpen: sabiliás haárá az ampliúdóviszony: a(ω)=, azaz lga(ω)= és a fáziskésés: = 8 feléelek jelenik. z egységsugarú körnek a logarimikus ampliudó diagramon a d engely felel meg, az egységsugarú kör és a Nyquis-diagram meszésponjának pedig a d engely és a logarimikus ampliúdódiagram meszésponja. Ha e meszésponhoz a fáziskésés-körfrekvencia jelleggörbén 8 arozik, a * (ω), a rendszer a STILITÁS HTÁRÁN van. mennyiben a meszésponhoz arozó fáziskésés 8 -nál kisebb, a * 3(ω) (a fázisaralék negaív) LILIS, ha pedig 8 foknál nagyobb, a * (ω) (a fázisaralék poziív) STIL működésű a rendszer. z 5.5 ábrán ábrázol háromárolós, arányos jellegű körben, ha az időállandók nem váloznak, a körerősíés megválozaása a logarimikus ampliúdó-frekvencia diagram függőleges irányú elolódásában muakozna meg. Ezzel a kriikus körerősíés lehe egyszerűen meghaározni. 6

107 5.5 ábra: Sabiliásvizsgála ode-diagramokkal Forrás:[] 5.. Felépíésből adódó, feléeles sabiliás lineáris szabályozási rendszer sabiliási viszonyai a rendszer szerkezeéől és a paraméereiől (körerősíés, időállandók) függnek. z a rendszer, amely eszőleges paraméerérékeken sabil működésű, szerkezeileg (srukurálisan) STIL rendszernek nevezzük. Ekkor a felnyio kör Nyquis-diagramja semmi esere sem vehei körül a (, j) pono. Ennek az a feléele, hogy a felnyio kör karakeriszikus egyenlee legfeljebb másodfokú lehe, pl. kéárolós arányos vagy egyárolós inegráló jelleggörbék eseében a zár kör bármilyen paraméeréréken sabil működésű lesz. Szerkezeileg LILIS viszon pl. a készeresen inegráló egyárolós rendszer, amelynek karakeriszikus egyenleében a =, ehá a sabiliás szükséges feléele (a i >) sem eljesül. z ilyen rendszer bármilyen paraméeréréken insabil működésű lesz, és sabillá csak a srukúra megválozaásával eheő. X a (s) + - s K ( Ts) X s (s) 3 K ( s) s ( Ts) K Ts s K 5.6 ábra: Srukurálisan insabil rendszer Lehenek feléelesen sabil rendszerek is, amelyekre öbb kriikus körerősíés is megállapíhaó és csak az azok közöi arományban lesznek sabil viselkedésűek. z ilyen rendszerekben K érékének a arományon kívüli növelése és csökkenése is a sabiliás elveszéséhez veze. Y j K j j T j T j T j T j T j, (5.) T T T3 T T

108 5.5. szabályozási minőség megíélése és a minőség bizosíása szabályozóknál a sabiliáson kívül minőségi köveelményeke is ámaszanak, amelyek a szabályozás állandósul állapobeli és dinamikus viselkedésé meghaározó feléelek. z állandósul állapoban érelmeze saikus ponosságo a ípusszám (i) és a körerősíés (K) növelésével javíhajuk, viszon ronjuk a sabiliási viszonyoka. gyakorlai megvalósíás olyan kiegyezés, amely elege esz a ranziens viselkedésre vonakozó előírásoknak, amike minőségi jellemzőkkel adnak meg. Minden szabályozással szemben három alapveő köveelmény ámaszunk: sabilan működjön és leheőleg sabiliási aralékkal rendelkezzen, állandósul állapoban a szabályozási elérés a köveelményekben megadonál kisebb legyen, az ámenei állapoban a szabályozás minőségi jellemzői a megköveelnél ne legyenek rosszabbak. három köveelménynek egyidejűleg kell eljesülnie ahhoz, hogy a szabályozás megfelelő módon működjön. minőségi jellemzőke a zár kör ámenei függvénye, valamin a felnyio kör frekvenciafüggvényei alapján is érelmezik. zár rendszer ámenei függvényére vonakozó előírások az 5.7 ábrán láhaó érékekkel adhaók meg. 5.7 ábra: Minőségi jellemzők zár kör ámenei függvényében Forrás: [] Téelezzük fel, hogy a = időponban ado egységugrás alakú jel az ábra szerini válozó kimenőjele gerjeszi. z ábra alapján a szabályozás minőségének megíélésére szolgáló három jellemző a kövekezőképpen érelmezhejük: TÚLLENDÜLÉS () van, mer a kimenőjel az x s állandósul éréke az ámenei (ranziens) folyama ala úllépi. úllépés a echnológia nem minden eseben engedhei meg. Negaív bemeneű ugrásjel eseén a úllendülés alálendülés muaha. úllendülés a szabályozo jellemző maximális éréke és az állandósul érék közöi elérés százalékban kifejezve: xs max xs xs c xs [%], (5.3) x x s s ahol: c a csúcsidő. echnológiai folyamaokól, berendezésekől függően a úllendülés megengede éréke rikán haladja meg a 5 3 %-o. 8

109 SZÁLYOZÁSI IDŐ (T SZ ) az ámenei folyama időarama. Ez a gerjeszőjel bekapcsolásáól addig ar, amíg a kimenőjel a dinamikus ponosságon belüli érékre csökken, álalában a kimenőjel 5 %-a. szabályozási idő az ámenei folyama idejé haárolja be. Ezen idő elele uán a szabályozo jellemző elérése az állandósul érékől nem haladhaja meg az ún. dinamikus ponosságo (x sd ), azaz x x x ha >T sz, (5.) s s sd ahol: x sd az állandósul érék 5 %-a. rendszer jellemző legnagyobb időállandó ismereében 3T idő elelével ~5 %, T elelével pedig ~ %. kimenőjel LENGÉSEINEK SZÁM (v). lengésszám a csillapodó lengések fél periódusideje alapján íélheő meg a szabályozási időn belül. három jellemző figyelembe véve a szabályozás annál jobb, ha: nincs vagy csak elenyésző a úllendülés, a szabályozási idő rövid, van is úllendülés, a (fél)lengések száma csekély. Tehá a szabályozás annál jobb minőségű, minél kisebb, T sz, v és x sd. hurokerősíés és a fázisaralék a szabályozási idő és a úllendülés erőeljesen befolyásolja. szabályozási kör ponossága javíhaó a ípusszám ( vagy ) és a körerősíés növelésével. körerősíés viszon csökkeni a sabiliás és ronja a ranziens folyama minőségé. szabályozási folyama eredményességének számszerű mérése az inegrálkriériumok segíségével valósíhaó meg. z inegrálkriériumok az alapjellel meghaározo érék és a szakasz kimenőjele közöi különbségek időben összegze (inegrál) érékei. felnyio kör frekvenciafüggvényei alapján a kövekező minőségi jellemzők érelmezheők. FÁZISTRTLÉK ( ): a felnyio kör frekvencia-jelleggörbéi milyen mérékben közelíik meg a kriikus pono: = ( c ) +, ( c ). (5.5) > érékekre a zár rendszer sabil, hiszen ebben az eseben a helygörbe előbb lép be az egységsugarú körbe és azuán meszi az imaginárius engely c, ami korábban, 5.3. részben árgyalunk. Opimális a = ábra: fázisaralék, az ampliúdóaralék, a vágási körfrekvencia szemléleése Nyquis- és ode-diagramon 9

110 MPLITUDÓTRTLÉK (a ): a frekvencia-jelleggörbe az origóól milyen ávol meszi a negaív valós engely. =-, fázisorzíáshoz arozó a( ) erősíésre a = a( )=,,5<, a * = -a * ( )=6 8 d megengede. VÁGÁSI KÖRFREKVENCI ( c ): a logarimikus ampliudó-frekvencia diagram és a d engely meszésponjához arozó körfrekvencia a( c )=, ami a felnyio rendszer frekvenciaávivő képességé jellemzi. Minél nagyobb az c, annál nagyobb harmonikus jelek ávielére képes a rendszer, annál alakhűbb a jeláviel, kisebb a szabályozási idő. sz T. (5.6) Gyakorlai apaszalaok is igazolják, hogy a szabályozásnak elegendő sabiliási araléka van, ha c a logarimikus ampliúdó-frekvencia jelleggörbe - d/dekád meredekségű szakaszra esik. minőségi jellemzők a ranziens folyamaok egyes ulajdonságaira vonakoznak (csillapodás, lengéshajlam), és alakulásuk a kör paraméereinek a válozásával öbbnyire ellenmondásos. MINŐSÉGI INTEGRÁLKRITÉRIUMOK az egész ranziens folyamao jellemzik, egyszerűbben fejezik ki a rendszerparaméerekkel a kapcsolao. z inegrálkriérium az irányío folyamaok minőségének megíélésére szolgáló olyan kriérium, amelynél a minősége egy idő szerini végelen inegrál jellemzi. z inegrandus a szabályozo jellemző pillanaéréke és az állandósul éréke közöi különbség valamilyen függvénye, eseleg az idő valamilyen haványával szorozva. bban az eseben, ha az inegrandusban maga az irányío jellemző x s () pillananyi és x s ( ) állandósul éréke közöi különbség szerepel, akkor LINEÁRIS INTEGRÁLKRITÉRIUM számíására kerül sor. bban az eseben, ha annak abszolú éréke számíására kerül sor, akkor SZOLÚT INTEGRÁLKRITÉRIUM. Ha pedig négyzee számíására kerül sor, akkor NÉGYZETES INTEGRÁLKRITÉRIUM. Lineáris inegrálkriérium: I [ x ( ) x ( )] d. (5.7) bszolú inegrálkriérium: Négyzees inegrálkriérium: lin s s I absz [ xs ( ) xs ( )] d. (5.8) I négyz Idővel súlyozo inegrálkriérium: I x( ) x( )] idő [ x ( ) x ( )] d. (5.9) s s [ d. (5.) x s ( ) x s () az állandósul érék és az időponokhoz arozó kimenőjel különbsége. Ez a különbség a vizsgála időszakában az időben válozó érék, és éréke időben csökkenő. Túllendülések eseében éréke negaív is lehe. Lineáris inegrálkriérium alkalmazásakor a poziív-negaív érékek egymás kiegészíheik. z így számol inegrálkriérium sokkal kisebb elérés jelez, min az abszolú vagy a négyzees. Uóbbiaknál az előjelek az összegzés nem befolyásolják, így használauk szigorúbb előírás jelen. z inegrálkriériumok a szabályozási körök modellezésénél és működő ipari rendszerek vizsgálaára egyarán alkalmasak. z a cél, hogy érékük a leheő legkisebb legyen, mer így a szabályozás ponossága az ado viszonyok közö a legnagyobb.

111 5. ábláza: Inegrálkriérium számíása Állandósul érék 3, 3, 3, 3, 3, Idő (s) 6 8 Kimenőjelérék 6, 9,,,5 x s ( ) x s () 3, 7,,,,7 I lin = Σ[x s ( ) x s ()] = (3, + 7, +, +, +,7) = 6,. I absz = Σ [ x s ( ) x s ()] =(3, + 7, +, +, +,7) = 6,. (Mivel nincs negaív érékű ada a ké inegrálkriérium azonos érékű.) I négyz = Σ[x s ( ) x s ()] = (3, +7, +, +, +,7 ) = 3,6. I idő = Σ[x s ( ) x s ()] = (3, + 7, +, +, 6 +,7 8) =,8. néhány adaal készül bemuaásból is láhaó, hogy a legszigorúbb inegrálkriérium a négyzees, mer a különbségek négyzee mindig poziív, és összegzésre ezek kerülnek. Kis érékű inegrálkriérium-érék arra mua, hogy a szabályozás gyors, nincs úllendülés, és nincs állandósul szabályozási elérés, ehá a kiválaszo, ill. beillesze kompenzáor jó eredménnyel avakozik be.

112 6. SZÁLYOZÓK KOMPENZÁLÁS, OPTIMÁLIS EÁLLÍTÁS szabályozók paraméereinek opimális beállíása az jeleni, hogy a szabályozás a vele szemben ámaszo köveelményeke a leheő legjobban elégíse ki. z első ermészees köveelmény a sabiliás. második ermészees igény, hogy a megválozo bemenőjelek haására a kimenőjel az új sabil helyzee leheőleg az előír módon, kis úllendüléssel, gyorsan, kis lengésszámmal vegye fel. felsorol dinamikai jellemzők öbbségének minősége javul, ha a körerősíés nő, ekkor azonban az insabiliás irányába olódik el a rendszer. Valamilyen kompromisszumra, opimumra van szükség. Ez rendszerin a rendszer alkoó agok paraméerérékeinek ideális érékre állíásával lehe elérni. Kompenzálással az eredő ávieli függvény alakja javíhaó. cél keős: nagy hurokerősíés elérése, ezzel együ ne csökkenjen a sabiliási aralék, inkább javuljon a ranziens lefuás is. kompenzálás új pólusok és zérusok beikaásával módosíja az eredő ávieli függvény. Ez a valóságban a szabályozóhurokba beikao új kompenzálóagokkal érhejük el. szabályozás minőségi jellemzői elsősorban a különbségképző és a végrehajó szerv közé beikao kompenzálószervvel lehe javíani. Magukban a szabályozókban rikán fordul elő ároló vagy holidő, az eseleges kisebb időkésések pedig elhanyagolhaók. szabályozók fajái kompenzálási leheőségeik alapján: P csak arányos kompenzáció örénik, I csak inegráló kompenzáció örénik, PI arányos+inegráló kompenzáció örénik, PD arányos+differenciáló kompenzáció örénik, PID arányos+inegráló+differenciáló kompenzáció örénik. kompenzáció egyik leheősége a SOROS KOMPENZÁLÁS, a másik leheőség a VISSZCSTOLÁSSL lérehozo kompenzálás. visszacsaolással végze kompenzálás haása lényegében semmiben nem ér el a soros kompenzálásól. blokkalgebra szabályainak alkalmazásával egyenérékű soros formává alakíhaó. X b - Y Y Y v Y X k X b Y Y k X k Y v Y Y v Y Y v Y 6. ábra: Visszacsaolás megvalósíása soros kompenzálással k

113 kompenzálószerve főleg a különbségképző uán ikaják a szabályozási körbe, így bemenőjele a rendelkezőjel, x r. kompenzálószerv ez a jele az igényeknek megfelelően erősíi, inegrálja, deriválja, azaz olyan jelformáló haás valósí meg, ami ellensúlyozza a kör egyéb paraméereinek a minőségi jellemzőke ronó haásá. kimenőjele a végrehajó jel, x c : dxr xc pxr i xr d d. (6.) d z p, i, d ávieli ényezők érékeinek a beállíásával a jelformáló srukúra is válozahaó. kompenzálószerv ávieli függvénye a (6.) képle alapján: X c s i Y c s p d s p TDs. (6.) X r s s TI s soros kompenzálószerv önmagában párhuzamos arányos (P), inegráló- (I) és differenciáló- (D) agok eredőjekén ekinheő: p d TI és TD. (6.3) i p 6.. P szabályozó P KOMPENZÁCIÓ válozahaó erősíési ényezőjű erősíővel valósíhaó meg, (6.)- ben T I =, T D = válaszással, ami az inegráló és a differenciáló haás kiikaásá jeleni. Ekkor Y c s P, ahol X P %, (6.) X P P azaz a P kompenzáció méréké gyakran az (X P ) arányossági arománnyal adják meg, ami arra ual, hogy a bemenőjel (x r ) válozási arománya hány százaléká képezi a kimenőjel (x c ) jelarományának. P kompenzáció célja a körerősíés beállíása, a saikus ponosság álal előír éréknek megfelelően. Ez a faja kompenzáció csak a legegyszerűbb szabályozás elvégzésére alkalmas. z K P ( P ) erősíési ényező megválaszásával a kíván körerősíés állíhaó be. 3

114 6. ábra: z erősíési és az arányossági ényező haásai Ha az erősíési ényező K P =, akkor az arányossági aromány éppen a kimenőjelarománnyal megegyező jel, ehá %. K P = eseében fele, vagyis 5 % és így ovább. z arányossági aromány ehá az erősíési ényező reciprok érékének százszorosával megegyező % érék. P szabályozó egyszerűbb eseekben önmagában is alkalmazzák, azonban a műszerkereskedelemben kaphaó szabályozók álalában leheővé eszik a PID szabályozás megvalósíásá is. Ha az I és D haás nem akivizáljuk, úgy ezek az eszközök is (csak) P szabályozókén viselkednek. 6.. PI szabályozó z ideális PI szabályozó ávielfüggvénye: Y PI s p. (6.5) TI s X p TI s z inegrálási idő T I jelzéssel emlíjük és érelmezése T I =/K I. K I az inegrálóag ávieli ényezője, amelynek dimenziójában a nevezőben mindig van idő! T I inegrálási idő a PI szabályozó fonos jellemzője. z az idő jeleni, amely ala a szabályozó kimenőjele éppen az arányos erősíésnek (K p ) megfelelő érékkel válozik meg. Szokás uánállási időnek is nevezni. korszerű szabályozókon (műszereken) a P és I ulajdonság kiválaszhaó, és a számszerű érékek beállíhaók. PI szabályozás egyesíi magában a P és az I szabályozás nyújoa előnyöke. kezdei ugrás segíségével (ez adja P rész) gyorsan felveszi a fellépő bemeneválozás (rendelkezőjel-válozás) kompenzálásá, majd az inegráló haás (ez az I rész adja) a zavarásokból eredő elérés eljesen meg is szünei. PI kompenzáció ökéleesíi a saikus ponosságo (növeli a kör ípusszámá), de ronja a sabiliási viszonyoka (nő a lengési hajlam). kereskedelemi forgalomban kaphaó szabályozókon az arányossági aromány...3x P %. Ennek megfelelően az erősíés (ávieli ényező),5k P z inegrálási idő pedig, mint I arományban állíhaó be. T I = beállíás az inegráló haás kiikaásá jeleni!

115 PI KOMPENZÁLÁS lényege: új pólus beikaása, amely az eredő ávieli függvény már o lecsökkeni d alá, ahol a fázisolás megközelíi a 8 -o. z új pólus azonban növeli (vagy legalábbis nem csökkeni) a hurokerősíés éréké kisfrekvenciás arományban. Ez a ode-ampliúdódiagramban úgy jelenik meg, hogy az eredő kompenzál görbe meszésponja a d-es engellyel még a - d-es szakaszon megörénik. Természeesen mivel a nagyfrekvenciás áviel csökken, a szabályozó lassúbb működésű lesz. z kompenzálás elői és uáni állapo a 6. ábrán láhaó. 6.3 ábra PI közelíő fáziskésleleő ag Forrás: [] 6. ábra: PI kompenzálása PT eredőjű rendszerben Forrás: [] 6.3. PD szabályozó (6.) képleben T I = figyelembevéelével az ideális PD szabályozó ávieli függvénye: Y PD s p TDs TDs. (6.6) X p PD kompenzáció célja olyan kezdei, erőlee (sieeő) haás léesíése, amely gyorsíja az elérés megszűnésé. Ezen haás annál jelenősebb, minél nagyobb a T D differenciálási (elébevágási) idő. Megfelelően válaszo T D érékkel javul a szabályozás 5

116 minősége mind a gyors működés, mind pedig a sabiliási viszonyok ekineében. PD szabályozás önmagában (I haás nélkül) villamos rendszereknél használaos. szabályozókészülékeken a differenciálási idő... min arományban állíhaó. D haás T D = érék beállíással kiikahaó. PD KOMPENZÁLÁS egy beikao zérussal egy pólus haásá udja semlegesíeni, ezzel ismé elérve, hogy a d-es meszéspon megfelelő meredekségű szakaszra kerüljön. Mivel a nagyfrekvenciás áviel is javul, a szabályozó gyorsabb működésű is lehe. Csak rikán van erre leheőség. kompenzálás elői és uáni állapo láhaó 6.6 ábrán. 6.5 ábra: PD közelíő fázissieeő ag Forrás: [] 6.6 ábra: PD kompenzálása IT eredőjű rendszer fázisaralék növelésére Forrás: [] 6.. PID szabályozó z ideális PID szabályozó ávieli függvénye: Y PID s p TDs TDs. (6.7) TI s X p TI s 6

117 PID szabályozó egyesíi magában az összes szabályozóípus előnyé. z arányos, inegráló és differenciáló haása révén övözi a korábban árgyal kompenzációfaják előnyei, a saikus ponosság, a sabiliás és a gyors működés erén. z X P arányossági aromány, a T I inegrálási idő és a T D differenciálási idő beállíásával elérheő a legmegfelelőbb szabályozási minőség. bejövő jelválozás haására kezdeben a differenciáló haás érvényesül, amelye később (ideális eseben azonnal) a P haásból eredő érékről induló inegráló haás vál fel. z uóbbi haás eredményekén a zavarásokból eredő szabályozási elérések eljesen kiküszöbölődnek. z ideális viselkedés a valóságos eszközökön bizonyos mérékben orzul. műszakilag előállíhaó és a kereskedelmi forgalomban kaphaó szabályozók ké lényeges oknál fogva öbbé-kevésbé elérnek az ideálisól. z egyik ok a zérusól különböző (néha elhanyagolhaó) időeheelenség, a másik ok a véges és szigorúan megszabo jelaromány. Ezekhez járulnak még az olcsóbb kivielezésből eredő ronó haások. PID KOMPENZÁLÁS ulajdonképpen a ké előző forma ulajdonságai egyesíi, és mivel mindig elvégezheő és jó ulajdonságoka is bizosí, a leggyakrabban használ megoldás. z ávieli függvény csak a kriikus részen módosíja. 6.7 ábra: PID közelíő kombinál ag maximális szelekiviás eseén Forrás: [] 6.8 ábra: PID ag kompenzálásának haása IT eredőjű rendszerben Forrás: [] 7