A tórusz körmetszeteiről

Átírás

1 A órusz körmeszeeiről Egy korábbi dolgozaunkban melynek címe: A Cassini - görbékről már foglalkozunk a órusz / gyűrűfelüle meszeeivel nevezeesen a forgásengelyével párhuzamos szeleelő síkokkal előálló meszeekkel. Akkor nem menünk ovább de mos elérkeze ennek is az ideje. A szakirodalomban böngészve az láhaó hogy régebben főleg csak az ábrázoló geo - meriai ankönyvek foglalkozak e émakörrel. Manapság a számíógépi grafika és a számíógépes echnológiák széles körű elerjedésével már az inerneen is sok helyen alálhaunk érdekes és szép láni - és olvasnivalóka. Mos főleg ez uóbbiak segísé - gével dolgozzuk fel a címbeli émá persze nem a eljesség igényével. Villarceau-Kreise: Jeder Schni eines Ringorus mi einer Doppelangenialebene zerfäll in zwei kongruene Kreise welche von Y. Villarceau (1848) endeck wurden. Ein Ringorus enhäl mihin neben den arallel und Meridiankreisen noch unendlich viele weiere Kreise. 1. ábra [ 1 ] Az [ 1 ] anyagban 1. ábra az olvashajuk hogy a órusz mindazon meszeei melyek a felülee ké ponban érinő meszősík alkamazásával állnak elő ké egybevágó körre esnek szé melyeke Y. Villarceau fedeze fel illeve publikál először ban. Az is olvashajuk még hogy a órusz a parallel - és a meridián - körökön kívül még végelen sok ovábbi kör is aralmaz.

2 . ábra [ ] A. ábra bal oldali részén az szemlélhejük hogy a órusz egy kiválaszo ponján az előbbieknek megfelelően négy kör halad á: ~ egy paralelkör amelye a órusz engelyére merőlegeses sík mesz ki a felüleből; ~ egy meridiánkör melye egy a órusz engelyé aralmazó sík mesz ki a felüleből; ~ ké Villarceau - kör. A. ábra jobb oldali részén a mondo módon keévágo órusz láhaó a Villarceau - körökkel. Mos ez uóbbiakkal foglalkozunk részleesebben főleg [ ] nyomdokain haladva. Mi i számíással dolgozunk ahogy mosanság egyre öbben. ersze az Ábrázoló Geomeria anárgyban már soka anulhao az érdeklődő Olvasó e émában; pl. a [ 3 ] műben geomeriai úon kimuaják hogy a gyűrűfelüle meszee a felülee ké ponban érinő síkkal ké körből áll amin az az 1. ábra kapcsán is emlíeük. Egy ilyen alapinformáció birokában már lényegesen egyszerűbben alakíhaó a számíás amin az hamarosan láhajuk. Ehhez ekinsük a 3. ábrá is! Ennek alapján a felüle egy ponjának paraméeres egyenlerendszere: 3. ábra

3 3 x c + a cos ϕ cos ψ y c + a cos ϕ sin ψ z a sin ϕ ; ϕ ψ 360 c > a > 0. ( 1 ) Jelölések: ~ a: a gyűrű kereszmeszeének sugara; ~ c: a gyűrű engelyének sugara. Majd a felülei pon algebrai egyenlee az O v r OC c jelölésekkel és iagorász éelével: r c z a ; + ( ) figyelembe véve hogy r x + y ( 3 ) ( ) és ( 3 ) - mal: x. + y c + z a ( 4 ) Mos ekinsük a 4. ábrá is! 4. ábra

4 4 I a felülenek a ψ 0 függőleges síkkal képeze meszeé láhajuk ahol már felveük a z gϑ x ( 5 ) egyenleű a felülee ké ponban érinő meszősíko is amelyre a ϑ arcsin. c ( 6 ) Ezuán a 4. ábra szerin felvesszük az O középponú az eredei Oxz koordináa - rendszerhez ( k. r. - hez ) képes az y engely körül ϑ szöggel elforgao Ox 1 z 1 k. r. -. Ebben az új k. r. - ben a felülei pon koordináái ( x 1 z 1 ). A régi koordinááka az újakkal kifejezve: x x1 cos ϑ + z1 sin ϑ z x1 sin ϑ z1 cos ϑ ; ( 7 ) figyelembe véve még hogy az ieni eseben z z ( 8 ) 1 1 így ( 7 ) és ( 8 ) - cal: x x1 cos ϑ z1 sin ϑ z x sin ϑ + z cos ϑ. ( 9 ) 1 1 Ezekhez hozzávesszük még a könnyen érheő y y ( 10 ) 1 kapcsolao így ( 9 ) és ( 10 ) - zel a ranszformációs egyenleek: x x cos ϑ z sin ϑ 1 1 y1 y ( 11 ) z x sin ϑ + z cos ϑ. 1 1 Mos behelyeesíjük ( 4 ) - be ( 11 ) - e: 1 ϑ 1 ϑ ϑ + 1 ϑ x cos z sin y c x sin z cos a ;( 1 ) majd elvégezzük a négyzere emelés:

5 5 ( 1 ϑ 1 ϑ ) + 1 ( 1 ϑ 1 ϑ ) ( 1 ϑ + 1 ϑ ) ( 13 ) A bal oldal első és uolsó agjának összege: x z y c x z y c x z a cos sin cos sin sin cos ; ( x cos z sin ) ( x sin z cos ) ϑ ϑ + ϑ + ϑ x cos ϑ sin ϑ cos ϑ x z + z sin ϑ x sin ϑ + sin ϑ cos ϑ x z + z cos ϑ ( cos sin ) 0 z ( sin cos ) x ϑ + ϑ + + ϑ + ϑ 1 1 x + z ehá: x cos ϑ z sin ϑ + x sin ϑ + z cos ϑ x + z. ( 14 ) Ezuán ( 13 ) és ( 14 ) szerin: x + y + z + c a c x cos ϑ z sin ϑ + y ; ( 15 ) a meszősík egyenlee az elforgao k. r. - ben: z 1 0 ; ( 16 ) mos ( 15 ) és ( 16 ) - al a kerese síkmesze egyenlee az O x 1 y 1 k. r. - ben: x + y + c a c x cos ϑ + y. ( 17 ) A ( 17 ) egyenlee négyzere emelve: ( x ) ( 1 y1 c a c x1 y1 ) cos ϑ +. ( 18 ) Áalakíással ( 6 ) - al is: a a c a cos ϑ 1 sin ϑ 1 1 c c c ( 19 ) majd ( 18 ) és ( 19 ) - cel: c a ( x1 + y1 + c a ) 4 c x1 + y 1 c 4 x1 c a c y + 1

6 6 ehá: x1 + y1 + c a 4 x1 c a c y + 1. ( 0 ) Mos alakísuk á ( 0 ) bal oldalá! { } B(0) x1 + y1 + c a x1 + c a + y1 ehá: x1 c a x1 c a y1 + y1 x + c a x + c a + x y + c a y + y B(0) x + c a x + c a + x y + c a y + y Mos alakísuk á ( 0 ) jobb oldalá! J (0) 4 x1 ( c a ) c y ( c a ) x1 + 4 c y1 ( 1 ) ehá: J (0) 4 c a x + 4 c y. ( ) 1 1 Mos a B(0) J(0) összefüggés alapján ( 1 ) és ( ) - vel: x + c a x + c a + x y + c a y + y 4 c a x + 4 c y innen rendezéssel: x c a x + c a + x y c + a y + y ( 3 ) A ( 3 ) egyenle bal oldalá kellene mos szorzaá alakíanunk; ez nem egy egyszerű muavány ezér fordío ua köveünk: felírjuk a valahonnan ismer szorza - alako majd az kifejve konsaáljuk hogy az megegyezik ( 3 ) bal oldalával. A mondo szorza - alak [ / ] szerin: S x1 + ( y1 a) c x1 + ( y1 + a) c. ( 4 ) Megin azonos áalakíásoka végzünk; a ( 4 ) szorzao kifejve:

7 7 S x1 + y1 a c x1 + y1 + a c ( x1 c ) ( y1 a) ( x1 c ) ( y1 a) ( x1 c ) ( x1 c ) ( y1 a) ( x1 c ) ( y1 a) ( y1 a) ( y1 a) ( x1 c ) ( x1 c ) ( y1 a) ( y1 a) ( y1 a) ( y1 a) ( x1 c ) ( x1 c ) ( y1 a y1 a y1 a y1 a ) ( y1 a ) ( x1 c ) ( x1 c ) ( y1 a ) ( y1 a ) 4 x1 x1 ( c a ) y1 ( c ) x1 ( c a ) x1 ( c a ) y1 x1 y1 y1 ( c a ) x c x + c + x y c y + a x a c + y a y + a a + x y + y + c a c + a ehá: S x c a x c + a y + x y + y + c a Mos ( 3 ) ( 4 ) és ( 5 ) szerin: ( 5 ) x1 + y1 a c x1 + y1 + a c 0. ( 6 ) Ez a mesze egyesíe egyenlee. Ez kielégül ha x1 + ( y1 a) c 0 ( 7 ) x + y + a c amiből: x1 + y1 a c ( 8 ) x + y + a c. 1 1 A ( 8 ) egyenleek ké kör egyenlee: a Villarceau - köröké. E köröke az 5. ábrán muajuk meg a [ 4 ] - ben láhaóhoz hasonló módon.

8 8 5. ábra Az 5. ábra a c / a méreviszony felvéelével készül. Az 1. ábra bal oldali részén ezen körök ellipszis - veüleei is ábrázolák. 6 5 y f(x)+4*sqr(1-1/1*x*x) f(x)-4*sqr(1-1/1*x*x) f(x)-+4*sqr(1-1/1*x*x) f(x)--4*sqr(1-1/1*x*x) x()6*sin() y()6*cos() x()*cos() y()*sin() O x ábra A mi rajzunk hasonló eredményei a 6. ábrán szemlélejük. Az ellipszisek egyenleei úgy állnak elő hogy ( 8 ) - ban érvényesíjük az

9 9 x y ell ell x1 cos ϑ y1 ( 9 ) összefüggéseke figyelemmel ( 6 ) - ra is. A 6. ábrán felüneük a órusz felülnézei konúrkörei is. Mos gondoljuk meg hogy a órusz mesző síko nem csak a ψ 0 hanem eszőle - ges ψ érék eseén is alkalmazzuk; ekkor eszőlegesen sok végelenül sok ilyen kör - pár áll elő. 7. ábra [ 5 ] A 7. ábrán még egyszer áekinhejük az emlíe körseregeke. A 8. ábrán egy ovábbi szép grafiká csodálhaunk meg.

10 10 8. ábra [ 6 ] Mos ekinsük a 9. ábrá! 9. ábra [ 7 ] Ez az sugallja hogy a Villarceau - kör ellipszis - veülee a paralelkörök sugaraival így magukkal a paralelkörökkel is állandó szöge zár be. Ennek ellenőrzésére a 10. ábrán felünee korábbi ese négy ponjában kiszámoluk a Graph szofverrel is a 9. ábra szerini α érékeke: a zöld ellipszis az x engely egyenese valamin a ürkizkék e 1 e e 3 egyenesek I. síknegyedbeli meszésponjaira. Az eredmények:

11 11 7 y e 3 f(x)+4*sqr(1-1/1*x*x) f(x)-4*sqr(1-1/1*x*x) 6 e f(x)--4*sqr(1-1/1*x*x) x()6*sin() y()6*cos() f(x)-+4*sqr(1-1/1*x*x) x()*cos() y()*sin() f(x)1/*x 5 f(x)x f(x)3/*x 4 3 e 1 1 O x ábra α arcg arcg ; 0 α 1 arcg arcg ; arcg( 3414) +180 arcg ; α α 3 arcg( 16705) +180 arcg ( A ) Ezek a számok sem nem igazolják sem nem cáfolják a 9. ábra sugallaá hiszen numerikus okai is lehenek annak hogy nem egy és ugyanazon számo adnak eredményül. Így azán más uaka kell keresnünk a kérdés iszázására. Ehhez ekinsük a 11. ábrá is! Ennek segíségével haározzuk meg egy ado pon - ban a Villarceau - kör ériőjének veülee és a paralelkör érinőjének veülee álal bezár β szöge. A 9. ábra szerini α szög és az ieni β szög közö az összefüggés: α + β 90. ( 30 ) A 11. ábrán alkalmazo jelölések: ( ~ ) : a Villarceau - kör ponbeli érinője; ~ ~ V ( ) ve V : az előző érinő veülee; ( és ) ve : a ponbeli paralelkör és veülee melyek egymással párhuzamosak. ( ) par par

12 1 11. ábra A mellékábra szerin: β ψ γ. ( 31 ) Majd ismé a főábráról a k Villarceau - kör egyenle - rendszere: x c cos cos ϑ y c sin + a ( 3 ) z c cos sin ϑ. I : egy i bevezee új válozó. Megin a 11. ábra szerin: x g γ ; ( 33 ) b majd ugyaninnen: c b + a y sin ; ( 34 ) ezuán ( 3 / ) és ( 34 ) - gyel:

13 13 c 1 sin cos b + a c sin a c c sin sin sin ehá: cos b c sin. ( 35 ) Mos ( 3 / 1 ) ( 33 ) és ( 35 ) - el: c cos cos ϑ gγ g cos ϑ cos c sin ehá: gγ cos ϑ g ( 36 ) innen pedig: γ arcg cos ϑ g. ( 37 ) Ismé a 11. ábra szerin: y g ψ ; ( 38 ) x mos ( 6 ) ( 3 / 1 ) ( 3 / ) és ( 38 ) - cal: a sin + c sin + a sin sin g c + ϑ ψ c cos cos ϑ cos cos ϑ cos cos ϑ ehá: sin + sinϑ g ψ. cos cos ϑ ( 39 ) Áalakíásokkal: sin + sinϑ g gϑ 1 gψ + g + gϑ 1+ g cos cos ϑ cos ϑ cos cos ϑ ehá:

14 14 1 cos ϑ gψ g + gϑ 1+ g ( 40 ) innen pedig: 1 ψ + ϑ + cos ϑ arcg g g 1 g. ( 41 ) Mos ( 31 ) ( 37 ) és ( 41 ) alkalmazásával: 1 β + ϑ + ϑ cos ϑ arcg g g 1 g arcg cos g. ( 4 ) Ebből leolvashaó hogy rögzíe ϑ eseén a β szög a válozó függvényében válozik azaz nem állandó a veülei ellipszis különböző ponjaiban. A ( 30 ) kapcsola mia ugyanez mondhaó el az α szögről is. A mondo függvények lefuásá a 1. ábra szemlélei. béa alfa f(x)aan( *an(x) *sqr(1+an(x)*an(x)))-aan( *an(x)) f(x)90-(aan( *an(x) *sqr(1+an(x)*an(x)))-aan( *an(x))) alfa béa 0 10 ( fok ) ábra Így a 9. ábra kapcsán ki is mondhajuk hogy az eléggé megévesző. Ugyanis a szerző az kívána demonsrálni a síkban hogy a Villarceau - kör érinője a paralelkör érinő -

15 15 jével állandó szöge zár be a érben. Ez nem vol egy sikeres próbálkozás. Mos érjünk vissza a ( 4 ) képlehez! Esünkben 0 eseén β(0) ϑ 30. A 11. ábra szerin is ekkor a 1 ponban és annak 1ve veüleében is párhuzamosak a megfelelő érinők így a Villarceau - kör érinője és a paralelkör érinője álal bezár β* szög valódi nagyságban lászik ehá példánkban β* β(0) ϑ 30. A szakirodalom szerin [ 8 ] a Villarceau - körnek bármely ponjában megvan ez a ulajdonsága ezér nevezik a Villarceau - köröke a órusz loxodrómáinak. Ez a ulaj - donságá azonban még be kellene lánunk. Először szemléleünk. Ehhez ekinsük a 13. és 14. ábráka is! 13. ábra A 13. ábrán a meszősíkban fekvő egyik Villarceau - kör és veüleé vázoluk három jellemző ponjával együ. E körponok arról nevezeesek hogy bennük viszonylag egyszerűen megállapíhaóak az érinők hajlásszögei. ~ 0 pon: a 14. ábrán iszázzuk hogy az ieni Villarceau - kör érinője és a paralel - kör érinője β* ϑ szöge zárnak be egymással; ugyanis a jobb oldali ábrarész és ( 6 ) szerin: a cos α sin ϑ ; ( 43 ) c ámde az ábra szerin:

16 ábra α + β 90 így ( 43 ) és ( 44 ) - gyel is: sinβ sin 90 α cos α sin ϑ ( 44 ) ( 45 ) innen ( 6 ) - al is: a β ( 0 ) ϑ arcsin. ( 46 ) c ~ 1 pon: a 13. ábra mellékábrája szerin a ké érinő közbezár szöge ψ 1 amelyre ( 6 ) - al is: a sin ϑ gψ 1 g ϑ ψ1 β ( 1 ) ϑ. c cos ϑ cos ϑ ( 47 ) ~ 3 pon: a 13. ábra szerin is amegfelelő érinők az x és x 1 engelyekkel párhuzamo - sak amelyek pedig ϑ szöge zárnak be egymással: β*( ) ϑ. Az aláluk hogy a Villarceau - kör három jellemző ponjában is ugyanaz a helyze: az ado ponbeli Villarceau - kör érinője és a paralelkör érinője ugyanaz a szöge zárják be min ami a meszősík a vízszines síkkal. Minhogy egy kör három ponja már meghaározza és e három ponban az érinési ulajdonságok megegyeznek vél - heő hogy a kör bármely ponjára is ugyanezek igazak. Ez persze nem maemaikai bizonyíás de szemléleésnek már elég meggyőző lehe. Megjegyezzük hogy a mondoak szemponjából lényeges megfigyelés miszerin a 14. ábra alapján:

17 17 1 sin α gα g α. 1 cos α cos ϑ cos ϑ Ismé az ábra szerin: α + β 90. ( 48 ) ( 30 ) Mos a példánk adaaival a 0 ponban nyerheő részeredmények az alábbiak: a ϑ arcsin arcsin 30 ; c 4 β ϑ 30 ; α 90 β ; gα g60 gα 0000 α ; cos ϑ cos 30 β 90 α ( 49 ) Az uolsó ké részeredmény a Graph szerin megegyezik a 1. ábra megfelelő adaaival: β( 0 ) α( 0 ) A kövekező felada - rész adja magá: be kell bizonyíani álalában hogy a Villarceau - kör valóban a órusz loxodrómája. Ehhez ekinsük a 15. ábrá is! 15. ábra Az érinők álal bezár szög koszinusza az érinő egységvekorok skaláris szorzaa: cos β e e ; ( 50 ) V par a paralelkör érinő egységvekorának kifejezése a mellékábra szerin:

18 18 e 1 par sin ψ i + 1 cos ψ j ehá: e par sin ψ i + cos ψ j. ( 51 ) A Villarceau - kör érinő egységvekora: e V xɺ i + yɺ j+ zɺ k xɺ + yɺ + zɺ majd a szerini deriválak ( 3 ) - vel is: d xɺ ( c cos cos ϑ ) c cos ϑ sin d d yɺ ( c sin + a) c cos d d zɺ ( c cos sin ϑ ) c sin ϑ sin ; d ; ( 5 ) ( 53 ) Az érinő - vekor hossza: xɺ + yɺ + zɺ c cos ϑ sin + c cos + c sin ϑ sin ; a gyök alai kifejezés áalakíva: ( c cos sin ) ( c cos ) ( c sin sin ) ϑ + + ϑ c cos ϑ sin + c cos + c sin ϑ sin c cos ϑ sin + sin ϑ sin + cos c sin cos ϑ + sin ϑ + cos c sin + cos c ehá gyökvonás uán: xɺ + yɺ + zɺ c. ( 54 ) Ezuán ( 5 ) ( 53 ) és ( 54 ) - gyel: ev cos ϑ sin i + cos j sin ϑ sin k. ( 55 ) Mos ( 50 ) ( 51 ) és ( 55 ) szerin:

19 19 ev e par ( i j k ) ( i j) cos β cos ϑ sin + cos sin ϑ sin sin ψ + cos ψ cos ϑ sin sin ψ + cos cos ψ sin ψ cos ϑ sin + cos ψ cos ehá: cosβ sin ψ cos ϑ sin + cos ψ cos. ( 56 ) A ovábbiakban felhasználjuk a gψ sin ψ 1+ g ψ 1 cos ψ 1+ g ψ ( 57 ) azonosságoka. Mos ( 39 ) - cel is: sin + sinϑ g ψ cos cosϑ sin + sinϑ sin + sin sinϑ + sin ϑ g ψ cos cos ϑ cos cos ϑ cos cos ϑ + sin + sin sinϑ + sin ϑ cos cos ϑ + ψ 1 g így ezekkel: cos 1 sin ϑ + sin + sin sinϑ + sin ϑ cos cos ϑ cos + sin + sin ϑ 1 cos + sin sinϑ 1 + sin sinϑ + sin ϑ sin cos cos ϑ cos cos ϑ 1+ sinϑ sin 1+ sinϑ sin cos cos ϑ cos ϑ cos sinϑ + sin sin ψ 1+ sinϑ sin cos ϑ cos cos ψ. 1+ sinϑ sin ( 58 ) Majd ( 56 ) és ( 58 ) - cal:

20 0 cosβ sin ψ cos ϑ sin + cos ψ cos sinϑ + sin cos ϑ cos cos ϑ sin + cos 1+ sinϑ sin 1+ sinϑ sin cos ϑ 1+ sinϑ sin ( sinϑ sin + sin + cos ) cos ϑ cos ϑ 1+ sinϑ sin 1+ sinϑ sin ehá: cosβ cos ϑ ( 59 ) innen: β ϑ. ( 60 ) Ez az ami igazolni kelle. Lájuk hogy a Villarceau - kör és a paralelkör ado ponbeli érinőinek közbezár szöge nem függ a válozóól vagyis a ponnak a Villarceau - körön felve helyzeéől így a ( 60 ) összefüggés az egész körre igaz vagyis álalános érvényű. Az sem csorbíja az álalánosságo hogy i csak az egyik körrel foglalkozunk ugyanis egy ado órusz - meszeen megjelenő Villarceu - körpár körei egymás ükörképei ld. pl.: az 5. és 8. ábráka! Megjegyzések: M1. A válozó érelmezési arománya: ϑ ϑ. M. Az ( 57 ) képle alakilag ponosíandó az alábbiak szerin: gψ sin ψ + 1+ g ψ ha ψ az I. vagy a IV. síknegyedben van ; 1 cos ψ + 1+ g ψ gψ sin ψ 1 + g ψ ha ψ az II. vagy a III. síknegyedben van. 1 cos ψ 1 + g ψ ( 61 ) ( 57 / 1 )

21 1 Ez jó lesz észben arani! Érdekes hogy az ismer maemaikai zsebkönyvben [ 9 ] nem szerepelnek a mondo képleek az ( 57 / 1 ) alakban. Helyee ez írják: ~ a régebbi kiadásban: Ezekben a képleekben a négyzegyökjel elé + vagy jele kell ennünk aszerin hogy a szóban forgó szög melyik síknegyedbe esik. ; ~ az újabb kiadásban: g x 1 sin x cos x. 1+ g x 1+ g x Ez akár furcsának is mondhaó. M3. A ( 4 ) képlee a ( 60 ) - ra vezeő módon is levezehejük. Ekkor: cos β e e ; ( 6 ) par V ve i: e V ve xɺ i + yɺ j c cos ϑ sin i + c cos j xɺ + yɺ c ϑ + c ( cos sin ) ( cos ) ; ( 63 ) a nevezőben a gyökjel alai mennyiség: c cos ϑ sin + c cos c cos ϑ sin + c cos ( cos sin cos ) ( cos sin 1 sin ) sin ( cos 1) 1 ( 1 sin sin ) c ϑ + c ϑ + ϑ + ϑ c c amivel ( 63 ) így alakul: cos ϑ sin i + cos j e V ve. ( 64 ) 1 sin ϑ sin Ezuán ( 51 ) ( 6 ) és ( 63 ) - mal: cos ϑ sin i + cos j cosβ e par ev ve ( sin ψ i + cos ψ j) 1 sin ϑ sin cosϑ sin cos ( sin ψ) + ( cos ψ) 1 sin ϑ sin 1 sin ϑ sin cos ϑ sin cos sin ψ + cos ψ 1 sin ϑ sin 1 sin ϑ sin

22 ehá: cos ϑ sin cos cosβ sin ψ + cos ψ. 1 sin ϑ sin 1 sin ϑ sin ( 65 ) Mos ( 58 ) és ( 65 ) - el: sinϑ + sin cos ϑ sin cos ϑ cos cos cosβ + 1+ sinϑ sin 1 sin sin 1 sin ϑ sin + ϑ 1 sin ϑ sin sinϑ + sin sin + cos cos ϑ 1+ sinϑ sin 1 sin ϑ sin cos ϑ sinϑ sin + sin + cos 1 sin sin 1 sin + ϑ ϑ sin 1+sinϑ sin cos ϑ cos ϑ 1+ sinϑ sin 1 sin ϑ sin 1 sin ϑ sin ehá: cos β cos ϑ ϑ. 1 sin sin ( 66 ) Azonos áalakíásokkal ( 66 ) - ból kapjuk: 1 cos β 1 1 sin ϑ sin gβ 1 1 cosβ cos β cos ϑ ( ) 1 sin ϑ sin cos ϑ sin ϑ 1 sin cos ϑ cos ϑ sin ϑ cos sin ϑ cos gϑ cos cos ϑ cos ϑ ehá: gβ gϑ cos. ( 67 ) Mos ( 60 ) és ( 67 ) - el: gβ cos g β ( 68 ) innen: β arcg ( cos g β ). ( 69 )

23 3 A ( 69 ) képle lényegesen egyszerűbb és elegánsabb min ( 4 ). Mos megnézzük hogy a keő egymásba áalakíhaó - e. Felhasználva hogy gx gy g ( x y) ( 70 ) 1 + gx gy ( 4 ) és ( 70 ) - nel kapjuk hogy: 1 gβ g arcg g + gϑ 1+ g arcg ( cos ϑ g) cos ϑ 1 g + gϑ 1+ g ( cos ϑ g) cos ϑ 1 1+ g + gϑ 1+ g ( cos ϑ g) cos ϑ 1 1 cos ϑ g cos ϑ + gϑ 1+ g g + gϑ 1+ g cosϑ cos ϑ 1+ g + sin ϑ g 1+ g 1+ g + sin ϑ g 1+ g sin ϑ g + gϑ 1+ g cos ϑ sin ϑ g + 1+ g g ϑ 1+ g + sin ϑ g 1+ g g ( 1+ g ) 1+ sin ϑ 1 g + g 1 1 sin ϑ + 1+ g 1+ g 1+ g sin ϑ sin cos + cos gϑ gϑ g 1+ sin ϑ 1+ sin ϑ sin 1+ g sin ϑ sin + 1 gϑ cos gϑ cos 1+ sin ϑ sin ehá: gβ gϑ cos egyezésben ( 67 ) - el. A ( 60 ) ( 69 ) kapcsolaoka a 16. ábrán jeleníeük meg. A grafikon kék színű azaz jobb oldali ága eredeileg negaív érékeke aralmazo ezér azok ( 1 ) - szeresé veük. Lájuk az egyszerűbb képlealak már beavakozás igényel. Eől elekinve a 16. ábra képe eljesen megegyezik a 1. ábra alsó görbéje képével.

24 4 90 béa ( fok ) f(x)aan( *cos(x)) f(x)-aan( *cos(x)) ( fok ) ábra Ha a β f ( ) kapcsola ábrázolására a ( 66 ) képlee válaszjuk akkor a 17. ábra szerini kép adódik beavakozás nélkül. béa ( fok ) f(x)acos( /(sqr(1-0.5*sin(x)*sin(x)))) ( fok ) ábra

25 5 M4. Lájuk az is hogy a másfaja levezeésnek öbb hozadéka is van: ~ ellenőrzés ad az eredei eredményre valamin ~ egyszerűbb és szebb képlealakok adódak álala. Így azán nem mondhaó hogy felesleges vol a viszonylag sok befekee munka. M5. Talán meglepőnek űnhe az ( 54 ) képle egyszerűsége. Jelenése: a Villarceau - kör érinő vekor hosszának száméréke megegyezik a Villarceu - kör sugarával. Ha ugyanis egy pon e körön ω 1 nagyságú szögsebességgel kering akkor pálya meni sebességének nagysága vagyis a körpályá érinő vekor hossza : v c ω c a körpálya minden ponjában. Irodalom: [ 1 ] hp://geomerie.eduhi.a/daa/ak/grundkursdg05.pdf [ ] hp://mahworld.wolfram.com/torus.hml hp://mahworld.wolfram.com/villarceaucircles.hml [ 3 ] Srommer Gyula: Geomeria Tankönyvkiadó Budapes ~ 671. o. [ 4 ] hp:// [ 5 ] hp://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~bkloeckn/poss/ HopfVillarceau.hml [ 6 ] hp://psricks.blogspo.hu/013/0/cercles-de-villarceau.hml [ 7 ] hp:// [ 8 ] Hajdu Endre: Ábrázoló Geomeria II. Kézira Sopron o. [ 9 ] I. N. Bronsejn ~ K. A. Szemengyajev: Maemaikai zsebkönyv. kiadás Műszaki Könyvkiadó Budapes kiadás: Műszaki Könyvkiadó Budapes Sződlige 013. július 11. Összeállíoa: Galgóczi Gyula mérnökanár