Vasmagos tekercs önindukciós együtthatója

Átírás

1 Vasmagos tekecs önindukciós együtthatója engeteg fizika tankönyvben és képetgyűjteményben [] szeepe aapvető összefüggésként, hogy egy hosszú, egyenes tekecs önindukciós együtthatóját a következő képet adja meg: N A L =. () Itt N a menetek száma, a tekecs hossza, A a keesztmetszetének teüete, pedig a tekecset kitötő anyag eatív mágneses pemeabiitása. Légmagos esetben ennek étéke köüi, míg a gyakoatban hasznát ágyvasmagok esetén és közötti szám. Fontos kihangsúyozni, hogy egy anyag pemeabiitása csak akko tekinthető áandónak, ha a mágneses téeősség (H) függvényében a mágneses indukció (B) ineáisan vátozik. A továbbiakban ágymágneses anyagokka fogakozom, meyekben eegendően kis téeősség esetén tejesü ez a fetéte, tehát a nemineáis hatások (teítés, hiszteézis) jogosan ehanyagohatóak. Az () összefüggés igazoása égmagos esetben ( = ) igen egyszeű, szinte minden fizika tankönyvben megtaáható. A tekecsen kívüi szót té ehanyagoása után az Ampèe-fée gejesztési tövénybő azonna adódik a tekecs besejében kiaakuó homogén mágneses té nagysága, abbó pedig az önindukciós együttható. Ezután következik a képet átaánosítása, miszeint a vasmag beheyezéséve B étéke megnő a vákuumbeihez képest, így az eddigi összefüggés a heyettesítésse évényes []. Az utosó épés akko vona jogos, ha az egész teet homogén módon tötené ki a eatív pemeabiitású anyag. Esőe ogikus éveésnek tűnhet, hogy csak a tekecs beseje számít, hiszen a küső szót té hatása úgyis ehanyagoható; jobban megvizsgáva ez a gondoatmenet tejesen hibás. Mive a evegő és a vasmag hatáán az indukció (B) nomáis komponense foytonosan visekedik, a téeősségnek (H) itt ugást ke szenvednie. A vasmagbó kiépve a téeősség nomáis összetevője -szeesée növekszik, így a gejesztési tövény feíásako a küső mágneses té jeentős szeephez is juthat.. ába: Egyszeű LC-áamkö az L induktivitás méésée Az () összefüggés évényességét kíséetieg is megvizsgátam az. ábán átható egyszeű eendezés segítségéve. Az LC-köben foyó áam eősségét métem a feszütséggeneáto fekvenciájának függvényében, és megkeestem a egeősebb áamhoz tatozó ezonanciafekvenciát. Ismet, hogy ennek étéke soos LC-kö esetén: f =. () π LC A kondenzáto kapacitásának (C = 4. F) ismeetében tehát a ezonancia-fekvencia mééséve kiszámítható a tekecs L önindukciós együtthatója.

2 Esőként egy égmagos tekecset kötöttem az. ábán átható LC-köbe, ekko a ezonanciafekvencia és az önindukciós együttható ende: f = 4 Hz ± Hz; L = = (.98 ±.8) mh. (3) Az N = 6 menetszámú tekecsbe tökéetesen ieszkedő, négyzet keesztmetszetű vasmag hosszúsága = (39 ± ) mm, széessége pedig d = (3 ±.5) mm; az () képet akamazásako jó közeítésse ezek tekinthetőek a tekecs megfeeő méeteinek is: N d L = = (. ±.) mh. (4) A (3) mét és a (4) számot éték közötti etéés főként annak tuajdonítható, hogy a tekecs a szoos csévéés eenée is jeentősen széesebb a vasmagná. Ettő függetenü egyétemű azonban, hogy az () összefüggés égmagos esetben megfeeő becsést ad a hosszú, egyenes tekecs önindukciós együtthatójáa tejes összhangban az eméeti megfontoásokka. A tekecset tökéetesen kitötő vasmag beheyezése után újabb mééseket végeztem, ekko a ezonancia-fekvencia és az önindukciós együttható étéke: f = 595 Hz ± 5 Hz; L = = (7. ±.3) mh. (5) Az akamazott vasmag pemeabiitását zát vasmagos tekecs önindukciós együtthatójának mééséve hatáoztam meg [], eatív étéke = 67 ± 7. A má ismet méetekke együtt beheyettesítve az () képetbe: N d L = = (3 ± 3) mh. (6) Az () összefüggés aapján számot önindukciós együttható két nagyságendde nagyobb az (5) kíséeti étékné; úgy tűnik, a szokásos képet nagy pemeabiitású vasmag hasznáata esetén tejesen hibás eedménye vezet. Édemes megvizsgáni, hogyan vátozik az önindukciós együttható, ha két azonos vasmagos tekecset kapcsounk be soosan az LC-köbe. Lényeges a tekecsek egymáshoz képesti heyzete is, hiszen az egyikben vátozó fuxus feszütséget indukáhat a másikban. Ennek ekeüése végett eőszö gondosan etávoítottam őket egymástó, ekko: f = 4 Hz ± 5 Hz; L = = (34.±.8) mh. (7) A tekecsek közti mágneses kapcsoat hiányában az induktivitások egyszeűen összeadódnak, így éthető, hogy az önindukciós együttható kétszeesée növekszik az (5) étékhez képest. Egészen más heyzet á eő, ha a két tekecset a bennük evő vasmagokka együtt szoosan összeiesztjük vigyázva a bennük foyó áamok azonos iányításáa. Ekko pontosan úgy visekednek, mint egy nagyobb tekecs, meynek menetszáma és hosszúsága is kétszeese az eedetiének. Az () összefüggés aapján egy iyen tekecs esetében is az (5) éték kétszeesét keene kapnunk, eheyett egészen más eedmény adódik: f = 85 Hz ± 5 Hz; L = = (74 ± 3) mh. (8) A (7) és (8) eedmények jeentős etéése azt bizonyítja, hogy az () összefüggés áta jó eít égmagos esette eentétben nagy pemeabiitású vasmag akamazásako fontossá váhat a tekecsek közti induktív kapcsoat. A vasmag az egyik tekecs fuxusát szinte tejes egészében

3 átvezeti a másikba; ennek köszönhető, hogy az önindukciós együttható (8) étéke köübeü négyszeese az (5) induktivitásnak. Emítettem má, hogy a tekecsen kívüi szót mágneses té ehanyagoása vasmagos esetben nem fetétenü tehető meg. Ha a vasmag eég nagy pemeabiitássa endekezik, eőfoduhat, hogy éppen ez a küső té váik meghatáozóvá, és a besőt ehet figyemen kívü hagyni. Az eőbbi méési eedmények aapján jogosnak tűnik a fetevés, hogy a mágneses té ényegében csak a tekecs végein ép ki a vasmagbó, így a fuxus a tekecs tejes hosszában áandónak tekinthető. Ekko a. ábán vázot eektosztatikus anaógia aapján evezethető egy közeítő képet a vasmagos tekecs önindukciós együtthatójáa. a) b). ába: a) Vasmagos tekecs küső mágneses teének vázata b) Két eentétesen tötött fémap eektosztatikus tee a szaggatott vonaakka hatáot teüeten kívü Tekintsük a a. ábán átható, N menetes tekecset, meynek hosszúsága, keesztmetszete pedig egy sugaú kö. A beső té ehanyagoása miatt a gejesztési tövény feíásako csak a küső té jáuéka számít, így a mágneses téeősség (H) integája a tekecs végeit összekötő összes eővona mentén N I, aho I a tekecsben foyó áam eőssége. Ha az eektosztatikus minta aapján bevezetünk egy mágneses potenciát, akko a tekecs végeit akotó mindkét köapnak egy jó meghatáozott potenciája esz a másik aphoz és a végteen távoi ponthoz képest is. Pontosan ugyanez a heyzet a b. ábán átható eektosztatikus eendezés esetén is, itt eentétes tötésű, sugaú fémapok taáhatóak egymástó távoságban. Megmutatható, hogy egy Q tötést hodozó, sugaú fémkoong eektomos potenciája [3]: Q U =. (9) 8ε Ugyanakko a Gauss-téte étemében a koongbó kiépő tejes eektomos fuxus: Q Ψ =. () ε A (9) és () egyenetekbő viszont Q kiküszöböéséve egy igen egyszeű összefüggés adódik a fuxus és a potenciá között: U = Ψ 8. () Az eentétes tötésű fémap megjeenése (b. ába) temészetesen újabb nehézségeket okoz, a koongok között méhető U feszütség kisebb esz, mint a () éték kétszeese. Ugyanakko a fémapok közeítése esetén nagyjábó ezze a feszütségge aányosan csökken a b. ába szaggatott vonaai áta hatáot teüető kiépő Ψ ' fuxus. Ha a fémapokat nagyon messzie távoítjuk egymástó, akko Ψ' Ψ és U U, ezét a () képet csak így módosuhat: Ψ' U. () 4 Nyivánvaóan nem áíthatunk pontos egyenőséget, közeítésnek azonban a () összefüggés heytáó és endkívü hasznosnak bizonyu, amiko az anaógia aapján a a. ába tekecsée

4 akamazzuk; ekko Ψ ' heyée éppen a mágneses téeősség (H) tekecsbe beépő fuxusa keü. Ennek -szoosa az indukció (B) beépő fuxusa, mey viszont a hatáfetéteek miatt az indukció tekecsen beüi Φ fuxusáva egyenő. A köapok közti mágneses potenciáküönbség pedig a gejesztési tövény étemében N I-ve egyezik meg, ezét: Φ NI. (3) 4 Ebbő pedig az önindukciós együttható étéke endkívü egyszeűen adódik: L 4 N. (4) Figyeeme métó, hogy (4) aapján az önindukciós együttható függeten a vasmag eatív pemeabiitásátó fetéve, hogy az eég nagy a beső té ehanyagoásához. Pontosabban ez azt jeenti, hogy a tekecsen beüi té jáuéka a gejesztési tövény feíásako egyen jóva kisebb, mint a (3) jobb odaán átható éték, tehát: Φ << π 4 Φ. (5) Az köüi számfaktook (4, π) iyen esetben nyugodtan ehagyhatóak, ezét a keesett fetéte a eatív pemeabiitása vonatkozóan: >>. (6) Az átaam mét vasmagos tekecsek pemeabiitása a (6) fetétet kieégíti, így éthető, hogy az () összefüggés miét vezet tejesen ossz eedménye. Annak evezetéseko ugyanis éppen a tekecsen kívüi té jáuékát hanyagojuk e, ez pedig csak akko jogos, ha a (6) fetéteben fodított a eáció iánya. Póbájunk ezét () heyett inkább a (4) képette számoni; ekko a négyzet keesztmetszetű tekecsnek vaamiyen effektív sugaat ke tuajdonítani, hiszen a (4) összefüggés eedetieg hengees tekecse vonatkozik. Váaszthatjuk pédáu a négyzette megegyező teüetű kö sugaát, meynek nagysága = d / π = (7.3 ±.5) mm, az N = 6 menetszámú tekecs önindukciós együtthatója pedig ekko: L 4 N = (3..9) mh. (7) ± Az így kapott eedmény az akamazott becsések duvaságához méten igen jó egyezést mutat az (5) kíséeti étékke; úgy tűnik, a (4) összefüggés akamas a hosszú vasmagos tekecs önindukciós együtthatójának közeítő számításáa. Visszaadja a két tekecs összeiesztéseko tapasztatakat is, met a menetszám és a hosszúság kétszeezéséve (4) szeint négyszeesée növekszik a tekecs induktivitása tejes összhangban a kíséetekke. 3. ába: A vasmagban maadó fuxus méésée szogáó eendezés az n = menetes kis tekecs x távosága taáható az hosszúságú nagy tekecs végétő

5 A (4) összefüggéshez vezető gondoatmenetben aapfetevés, hogy a vasmag a tekecs egyik észe áta ketett fuxust szinte tejes egészében átvezeti a másik észbe, így a mágneses té az egész tekecsben ugyanakkoának tekinthető. Ennek eenőzéseként a 3. ábán átható módon métem a tekecsbő kiógó vasmagban bennmaadó fuxust a tekecs végétő vaó x távoság függvényében. Lakkozott dótbó egyszeű hukoássa készítettem egy n = menetes kis tekecset; az ebben indukáódó U feszütség aányos a Φ fuxus heyi étékéve: U ( x) = π f n Φ( x). (8) A feszütséggeneáto fekvenciáját a méések soán gondosan az áandó f = Hz étéken tatottam, az ampeméőve pedig az átfoyó áam vátozatanságát eenőiztem. A kis tekecs mozgatása a vátnak megfeeően nem befoyásoja az áam eősségét, ezét a küönböző heyeken mét fuxusok közvetenü összehasoníthatóak (d.. tábázat). x [mm] U(x) [mv] Φ(x) [ -6 Vs] 47 ±.75 ±.3 34 ±.54 ± ±.4 ± ±.3 ±.3 65 ±.9 ± ±. ±.. tábázat: A vasmagban maadó fuxus a tekecs végétő mét x távoság függvényében A méési eedmények szeint a fuxus a tekecsbő kiógó vasmag végéig kezdeti étékének töedékée csökken, hosszabb tekecsek esetében tehát nem ehet fetenni a beső mágneses té áandóságát. Femeü a kédés, hogy mennyie hosszú tekecs esetén váik fontossá a fuxus kiszóódása, hiszen az átaam vizsgát tekecsek eíásáa a fuxus áandóságábó evezetett (4) összefüggés egészen jó működik. Ennek megváaszoásához az önindukciós együttható pontosításáa van szükség annak tudatában, hogy a beső mágneses té mégsem áandó. 4. ába: Vasmagos tekecs küső teének eáisabb vázata x a tekecs közepétő mét eőjees távoságot jeöi Tekintsük a 4. ábán átható sugaú, hosszúságú, N menetes hengees tekecset. Középen a fuxus nyiván nagyobb esz, mint a tekecs végeiné, ezét az önindukciós együttható a (4) étékhez képest megnövekszik. Vegyünk egy kicsiny dx szakaszt, aho a vasmagbó dφ fuxus ép ki; számfaktooktó etekintve ez egy x dx nagyságendű feüeten oszik e (4. ába), így a mágneses téeősség (H) integájának nagyságendje a tekecs másik feéig haadó, x-sze összeméhető hosszúságú eővona mentén: Hds ~ dφ x = x dx dφ. (9) dx

6 A (9) aányosság egyenőséggé aakításához még egy köüi számfakto bevezetésée van szükség, meynek konkét étéke a mágneses té pontos geometiájátó függ. Szabáyos fékö aakú eővonaakat fetéteezve pédáu: π / λ = dϕ = n(cot( )). () π sin( ϕ) π x / x Látható, hogy a számfakto étéke aká függhet is az x távoságtó, de annyia gyengén, hogy ettő nyugodtan etekinthetünk. A () képet akamazásáva x = esetén λ =.95, míg az x = étéket beheyettesítve λ =.7; a továbbiakban számojunk a λ = áandóva. Íjuk fe a gejesztési tövényt a 4. ábán átható ABCDA zát göbée, ekko (9) aapján: dx dφ dφ NI = ( x) ( x + dx). () dx dx Itt fehasznátuk, hogy a beső mágneses té jáuéka a küső teéhez képest ehanyagoható. A () összefüggés egyszeű átendezés után egy másodendű diffeenciáegyenete vezet: d Φ = dx NI. () Jó közeítésse fetehetjük, hogy a fuxus étéke a tekecs végeiné továbba is a (3) képetbő következő éték: Φ ( / ) = Φ( / ) = 4 NI. (3) A () diffeenciáegyenetnek a (3) fetéteeket kieégítő megodása: NI ( x ) 4 x 4 Φ = NI + NI. (4) A fuxusnak a tekecs hosszáa vett átagábó pedig az önindukciós együttható közeítő étéke: L N (4 + ). (5) 6 A (4) induktivitáshoz tehát egy másik tag adódik hozzá, mey az átaam vizsgát tekecsek esetében még nem igazán jeentős; így éthető, hogy miét akamazható ájuk a (4) képet. Ugyanakko viszont az attó vaó etéést magyaázhatja a (5) összefüggésben megjeenő új tag, hiszen az (5) kíséeti éték vaamennyive nagyobb a (4) áta jósotná. Igazán hosszú tekecseket vizsgáva pedig éppen a (5) képet eső tagja váik jeentékteenné a másodikhoz képest, ekko az önindukciós együttható gyakoatiag egyenesen aányos a tekecs hosszáva. Hátavan még annak vizsgáata, hogy a () gejesztési tövény feíásako miyen fetéteek tejesüése esetén hanyagoható e a beső mágneses té szeepe; jáuékának még a (4) fuxus egnagyobb étéke meett is sokka kisebbnek ke ennie () ba odaáná: dx dx NI << NI. (6) π 4 Nagy pemeabiitású vasmag hasznáata esetén még igen hosszú tekecse is évényes a (5) összefüggés, ezét ehet itt a (4) fuxus eső tagját figyemen kívü hagyni. A (6) fetétebő az köüi számfaktook (4, π) ehagyása és átendezés után: >>. (7)

7 Vegyük észe, hogy ez jeentősen küönbözik a fuxus áandóságábó adódó (6) fetétető, anná kisebb hosszúságig engedi a beső té ehanyagoását. Ha a (7) fetéteben fodított a eáció iánya, akko a () gejesztési tövénybő éppen a küső té jáuéka hagyható e, így az () összefüggés ép éetbe. Mindezeket összefogava az sugaú, hosszúságú, N menetes hengees tekecs önindukciós együtthatója átaánosan: L N (4 + ), ha << << ; (8a) 6 π L = N, ha <<. (8b) A képetekben szeepő a tekecs besejét kitötő anyag eatív pemeabiitása, mey evegő ( = ) vagy eősen feomágneses tuajdonságú vasmag ( >> ) is ehet; utóbbi esetben fontos, hogy a mágneses anyag pontosan a tekecs beső észének hatááig tejedjen. A (8) összefüggések évényességi köe tehát eég eősen behatáot, azon beü viszont eméetieg és kíséetieg is igazot módon hasznáhatóak az önindukciós együttható becsésée. Végü köszönetemet fejezem ki D. Vankó Pétenek (BME Kíséeti Fizika Tanszék), aki a kíséeti eszközök biztosítása meett hasznos tanácsaiva is hozzájáut eme cikk étejöttéhez. Iodaom [] Négyjegyű függvénytábázatok, összefüggések és adatok; Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 4 [] Vannay Lászó, Füöp Feenc, Máthé József, Nagy Tamás, Vankó Péte: A fizika Oszágos Középiskoai Tanumányi Veseny hamadik foduója a hamadik kategóia észée 4; Fizikai Szeme 54, pp (4) [3] Jack A. Soues: Pecise cacuation of the eectostatic foce between chaged sphees incuding induction effects; Ameican Jouna of Physics 58, pp (99)