ALKALMAZHATÓ-E A BIOT SAVART-TÖRVÉNY NEM ZÁRÓDÓ»ÁRAMKÖRÖKRE«II. RÉSZ Gnädig Péter ELTE Fizikai Intézet

Átírás

1 lections, Bloomington, p. 62.) címû tanulmányho ít 0-es lábjegyet a legvilágosabb. Sok mai seô is kifejei at a vágyát, hogy a klassikus hatát h 0, amelyet itt a h felfedeôje említ, ésleteiben visgálják és nagyobb pontossággal fogalmaák meg. Például Van Hove: A klassikus elméletnek úgy kell elôállnia, mint a kvantumelmélet asimptotikus hatáesete, amiko a h tat a nulláho. A jól ismet megfontolások is csak et fejeik ki fomálisan. Ugyanakko el kell ismeni, hogy e a pontos matematikai átmenet egyáltalán nem jól ismet eljáás, és hogy eel kapcsolatban vannak olyan kédések, amelyek megédemelnék a köelebbi visgálatot. Eeket aonban itt most nem kedjük el. (Memoies, Ac. Roy. De Belgique, Classe des Sciences, 26 (6) 95. P 67.) [a idéett és fanciául] G. W. Mackey könyve, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (Benjamin, New Yok, 963) 2 6 fejeetének utolsó paagafusát is idéhetjük. Emléksünk íja ô, hogy ha a kvantummechanika a H (= Hilbet-té) automofimus egy paamétees csopotjaia vonatkoik, akko a klassikus mechanika egy másik tágy automofimusának egy paamétees csopotjáa soítkoik, amelyet lényegében a M -en definiálunk (= a lehetséges konfiguációk abstakt késlete lényegében a M kiegésítô halmaa). A klassikus és a kvantumleíás össehasonlítása után ee a követketetése jut. Nagyon édekes lenne a pecíen megfogalmaott elmélet bionyítása een gondolat mentén. Remélem, megbocsát nekem; a kédéseknek et a újbóli felbukkanását hasonlónak találom ahho, ahogy Planck 30 évvel eelôtt meglepô módon levelében felvetette. Planck levelei is meg fognak jelenni a Fiikai Semlében. A ön kédése, vagy inkább javaslata amelyet augustus 2-i levele tatalmaott nagyon avaba hoott. Soha nem voltam Ameikában, bá tudom, hogy milyen édekes volt néhány baátom ottani tatókodása például D. Ma, Nagy és Németh Judit (akik egy-egy évet töltöttek ende a stanfodi, pincetoni és conelli egyetemen). De én neheen vállalkoom ilyen utaása saját kedeményeésként. A feleségem meglátogatta Semee kisassonyt kaácsony köül és nagyon öült, hogy ôt jobb egésségi állapotban találta. Sok kösönettel, ôsinte tistelettel Gyögyi Géa [angol nyelvû, kéíással] A FIZIKA TANÍTÁSA ALKALMAZHATÓ-E A BIOT SAVART-TÖRVÉNY NEM ZÁRÓDÓ»ÁRAMKÖRÖKRE«II. RÉSZ Gnädig Péte ELTE Fiikai Intéet Cikkünk I. ésében megmutattuk, hogy a Biot Savattövény nemcsak át áamköben folyó egyenáamoka, hanem idôben (lassan) váltoó és töltésfelhalmoódással jáó (nem divegenciamentes) áameloslásoka is alkalmaható. E utóbbi esetekben a idôben váltoó töltéssûûség váltoó elektomos eôteet ho léte, amit Mawell megfontolásai seint a valódi áamoka emléketetô, úgyneveett eltolási áamok megjelenése kísé. Eek a eltolási áamok aonban a Biot Savat-tövényben nem jelennek meg, a mágneses té kisámításánál figyelmen kívül hagyhatók. (Ha mégis beíjuk a eltolási áamokat a Biot Savat-integálba, nem kapunk hibás eedményt, met a eltolási áamok jáuléka tetsôleges esetben nulla.) A eltolási áamok seepe a mágneses indukció övénylését leíó Mawell-egyenletben jelentkeik: tetsôleges át göbée sámított mágneses köfesültség (övényeôsség) a göbée illeskedô, tetsôleges felületen átfolyó áam eôsségével aányos (annak μ 0 -soosa), és itt a átfolyó áam a valódi áamok mellett a eltolási áamot is tatalmaa. Néhány példa A továbbiakban néhány példán keestül bemutatjuk, hogyan mûködnek a általános elvek bionyos konkét esetekben. Két esetben olyan példát válastottunk, amelyek a áamelendeés simmetiája miatt (bionyos köelítésben) ténylegesen végigsámolhatóak, és így a Biot Savat-tövénybôl kapható eedmények össehasonlíthatóak a Ampèe-féle gejestési tövénybôl 3 ismet képletekkel. A hamadik példa egy sabály- 3 Andé-Maie Ampèe ( ) 826-ban ismete fel a áamveetôt köülvevô mágneses té és a áameôsség köötti kapcsolatot. 62 FIZIKAI SZEMLE 205 / 5

2 talan alakú csokimikulás töltésének elvestése köben kialakuló mágneses meôt visgálja; ennek eedménye pedig éppen aét meglepô, met itt a áameloslás semmilyen simmetiával nem endelkeik. A utolsó példában egy mogó ponttöltés mágneses teét veetjük le a Biot Savat-tövény segítségével.. példa Egy páhuamosan, függôlegesen elhelyeett lemepából álló kondenáto fel van töltve. A lemeek alsó séle alatt kis iánytû áll a 4. ábán látható helyetben. Eután a lemeek tetejée helyeett kis pálcával a kondenátot kisütjük. Háom fiikus, Aladá, Boldisá és Csaba aon vitatkoik, vajon hogyan viselkedik kisütés köben a iánytû? + a kédéses feladatot is tatalmaó könyvben a Boldisá-féle, logikusnak tûnô, de téves évelést fogadta el.) Mi töténik akko valójában? Csabának van igaa: a iánytû egyáltalán nem fog kiténi a kondenáto kisülése köben! (E a állítás temésetesen nem absolút pontosan iga, hanem csak kis lemetávolságok esetén, amiko a séleffektusokat elhanyagolhatjuk.) Tekintsünk egy keskeny, lapos, feltöltött síkkondenátot, amelyet a tetején egy (nem túl jól veetô) lemeel övide áunk (5. ába). A övideáás een módja nem különböik lényegesen a feladatban eedetileg seeplô pálcáétól, elônye visont, hogy megôi a síkkondenáto eltolási simmetiáját. A kondenáto tetejét össekötô vísintes leme sok páhuamos pálcáa bontható, és a egyes pálcákho tatoó áamok és mágneses teek supepoíciója kiadja a lemenek megfelelô elendeését. b i 0 It () i (,) t É 4. ába. D a Aladá seint a veetô pálcában folyó áam által keltett mágneses meô a iánytû ésaki pólusát a 4. ába síkjáa meôlegesen, befelé téíti ki. E aonban hibás évelés! mondja Boldisá, hisen nemcsak a pálcában folyó áam mágneses tee hat a iánytûe a kisülés köben, hanem a kondenáto belsejében fellépô Mawell-féle eltolási áam is. E a elkent, a pálcában folyó valódi áammal aonos nagyságú, de aal ellentétes iányú áam mindenhol köelebb van a iánytûhö, mint a pálca, eét mágneses hatása eôsebben évényesül. Eseint a iánytû ésaki pólusa a kisülés alatt a ába síkjából kifelé mutató iányban téül el. Csaba seint a eltolási áamokat nem, de a lemeekben folyó valódi áamokat figyelembe kell vennünk a mágneses meô kisámításánál, és eek (a pálcában folyó áammal együtt) nulla mágneses teet eedményenek a kondenáto alsó séle alatt. Vajon melyiküknek van igaa? Megoldás: A cikkben leítak alapján beláthatjuk, hogy Aladá téved, de Boldisá évelése is hibás! A eltolási áam legalábbis a Biot Savat-tövény által sugallt módon, a kicsiny áamelemek jáulékainak össegét képeve nem állít elô semmilyen mágneses teet, hatása tehát figyelmen kívül hagyható. (Sajnos a jelen cikk seôje is elkövette et a hibát: 4 4 Gnädig P., Honyek Gy., Vigh Máté: 333 fufangos feladat fiikából. Typote Kiadó, Budapest, 204, 35. feladat. d y 5. ába. Jelöljük a felsô lemeben folyó össes áam eôsségét I(t )-vel, ennek nagyságát a kondenáto pillanatnyi fesültsége és a leme ellenállása hatáoa meg. Feltessük, hogy a kisülési folyamat idôállandója nem nagyon kicsi, emiatt alkalmaható a kváistacionáius köelítés. A vékony lemeekben folyó áamokat célseû a úgyneveett vonalmenti áamsûûséggel (egységnyi vonalsakason átfolyó áam eôsségével) jellemeni. (A ampe/méte dimeniójú vonalmenti áamsûûséget a továbbiakban i-vel fogjuk jelölni és ha e nem oko féleétést egyseûen áamsûûségként emlegetjük.) Mivel a elendeés a sélek követlen köelét lesámítva iányú eltolása invaiáns, a fiikai mennyiségek (a áamsûûségek, töltéssûûségek, elektomos és mágneses téeôsségek) nem függenek a koodinátától. A felsô (övideáó) lemeen például Feltehetjük, hogy a kondenáto lemeei jó vee- tôk, eét külön-külön ekvipotenciálisak, és emiatt kööttük homogén (de idôben váltoó), y iányú elektomos téeôsség alakul ki. Emiatt a lemeek i (fent) = i 0 = 0, b,0. A FIZIKA TANÍTÁSA 63

3 felületi töltéssûûsége (ami a elektomos téeôsséggel aányos) sem függhet a helytôl, így a lemeekben folyó vonalmenti áamsûûség divegenciája ( koodináta seinti váltoási üteme) mindenhol ugyanakkoa. A hatáfeltételeket is figyelembe véve megadhatjuk a bal és jobb oldali lemeben folyó áamok eloslását: i (jobb) (, t) = i (bal) (, t) = 0, 0, ab. A függôleges lemeekben folyó áamok nagysága a leme alja felé haladva fokoatosan nulláa csökken (ee utalnak a egye övidebb nyilak és a lemeek aljáa ajolt fekete pontok, nullvektook), és a csökkenés üteme (a felületi töltések egyenletes tébeli eloslása miatt) a koodináta seint egyenletes. Sámítsuk most ki a mágneses indukciót a Biot Savat-tövény alapján a 0 = ( 0,, 0 ) vektoal megadott helyen. Egyetlen (mondjuk a bal oldali) lemeben folyó áamok jáuléka a 5. ábán látható koodináta-endseben: B (bal leme) ( 0, t) = μ 0 0 = μ 0 ab d d b a d E a integál ( << a, b miatt) a 0 és 0 tatományból sedi össe sinte a teljes jáulékát, a távolabbi ések jáuléka (a integandus lecsengése miatt) elhanyagolható. Emiatt a integálások hatáait aká a végtelenbe is kitolhatjuk, e a köelítés tulajdonképpen a séleffektusok elhanyagolásával egyenétékû. A mágneses indukció y komponense (mivel a integandus 0 páatlan függvénye) eltûnik, B tehát a lemeel páhuamos, vísintes iányú vekto. Egyetlen nullától különböô össetevôje a 0 d i(bal) ( 0 ) 0 3 =, ( 0 ), 0 ( 0 ) 2 y 2 0 ( 0 ) 2 3/2. ξ = 0 és η = 0 új váltoók beveetésével így sámolható: (bal leme) B = = μ 0 = 2 0 ab μ 0 ab 0. dξ A integál elôjele elôjelétôl függ: a bal oldali leme jobb oldalán (amiko > 0) a mágneses indukció a tengellyel ellentétes iányú, a leme bal oldalán pedig tengely iányú. dη = (ξ 2 η 2 ) 3/2 Hasonló módon sámolható a jobb oldali lemeben folyó áamok jáuléka: (jobb leme) B = ± 2 μ 0 ab 0. A teljes mágneses té a két jáulék supepoíciója les. E a lemeeken kívül nulla, a lemeek köött pedig B (köépen) (, t) = μ 0 = B (ma) (t) ab a. A felsô (a kondenáto kisülését megvalósító) lemeben folyó áam jáulékával eddig nem foglalkotunk. A kondenáto felsô sélének követlen könyeetét lesámítva a nem is sámottevô, ott visont éppen ± B (ma) /2. Másést visont a kondenáto felsô sélénél a függôleges lemeekben folyó áamok hatása csak fele a koábban sámított étéknek. (E a séleffektus legegyseûbben úgy látható be, hogy gondolatban kiegésítjük a félvégtelen lemet egy ugyanolyan áameloslású másikkal.) A háom leme áamának eedô mágneses tee tehát a felsô, vísintes leme felett nulla, követlenül alatta pedig B (ma) nagyságú les. Ugyancsak eltûnik a mágneses té a kondenátoon kívül és a kondenáto alatt is, ahogy et a 6. ába semlélteti. (A ábán a sükítés eôssége a mágneses indukció nagyságával aányos.) A kisütés soán kialakuló mágneses meô a iánytû helyén mindvégig nulla les, tehát egyáltalán nem téíti ki a iánytût. B =0 = a =0 B =0 B =0 6. ába ( ma) B () t B,t = _ (ma) ( ) a B ( t) B =0 Temésetesen sokkal egyseûbben is meghatáohatjuk a kisülô síkkondenáto mágneses teét. Elôsö belátjuk, hogy a kondenátoon kívül nincs sámottevô mágneses indukció. Ha ugyanis csak a egyik (mondjuk a jobb oldali) lemeben folyna (függôlegesen lefelé) áam, akko e a áam a leme köelében a lemeel páhuamos, vísintes iányú mágneses indukciót hona léte. A indukcióvonalak egyike például a 7. ábán látható G göbe mentén áódna. A mágneses indukció a göbe két egyenes 64 FIZIKAI SZEMLE 205 / 5

4 sakasán (a köelítôleg évényes eltolási invaiancia miatt) ugyanakkoa nagyságú, de a leme két oldalán ellentétes iányú. Fontos megjegyenünk, hogy a indukció nagysága (a leme sélének követlen könyeetét lesámítva) nem függ a lemetôl mét távolságtól, hisen a göbée illestett vísintes felületen átfolyó áam sem függ ettôl a adattól. E E G 2 It () i( ) 7. ába Vegyük most figyelembe a másik (bal oldali) lemeben függôlegesen felfelé folyó áamokat is. Eek (ugyanabban a magasságban) éppen ugyanakkoa nagyságú, de ellentétes iányú mágneses teet honak léte, mint a jobb oldali leme áamai. A két mágneses meô supepoíciója a lemeeken kívüli téésben jó köelítéssel kioltja egymást (hisen a egyes lemeek mágneses tee nem függ a lemetôl mét távolságtól), a lemeek köött pedig a két téeôsség össeadódik. A kondenáto belsejében tehát a lemeekkel páhuamos, vísintes iányú mágneses meô alakul ki. A B indukcióvekto nagyságát a kondenáto aljától távolsága lévô G göbée alkalmaott integális Mawell-egyenletbôl (a eltolási áammal kiegésített Ampèe-féle gejestési tövénybôl) olvashatjuk le. A mágneses övényeôsség (köfesültség): B Δ = B (, t) b. G A G göbée többféle módon is illesthetünk felületet. Ha a vísintes síkban fekvô F felületet válastjuk, aon a teljes I(t ) áam /a hányada halad keestül, a eltolási áam pedig nem metsi a felületet. A gejestési tövény (a jobbkésabály elôjelét is figyelembe véve) most így alkalmaható: B (, t) b = μ 0 a, B (, t) = μ 0 ab össhangban a Biot Savat-tövény alapján sámított étékkel. Ha visont a F 2 felületet (egy éppen hogy csak kinyitott usonnás acskóa emléketetô, a leme b teületû ését köülvevô alakatot) illestjük a G göbée, aon egyáltalán nem folynak át valódi G, F F 2 vagyis áamok, visont a eltolási áam ad (a koodinátával aányos nagyságú felületen) jáulékot. Ha csak aa vagyunk kíváncsiak, hogy mekkoa a mágneses indukció követlenül a kondenáto alatt, édemes a lemeek feleôsíkjában, a 7. ábán látható G 2 göbén átmenô függôleges síkfelülete alkalmani a gejestési tövényt. A göbe alsó, vísintes sakasa követlenül a kondenáto aljánál, a felsô sakasa pedig a kondenátotól elegendôen messe áódik (bá e utóbbi távolságot a ábán nem méetaányosan ábáoltuk). A össes (valódi + eltolási) áam een a felületen keestül nulla, tehát a mágneses köfesültség és a vele aányos B (=0) is nulla. Még egyseûbben beláthatjuk et a eedményt, ha a G 2 göbée egy olyan felületet illestünk, amelyik (jobból vagy balól) teljesen elkeüli a kondenátolemeeket. Egy ilyen felületen sem valódi áam, sem eltolási áam nem halad keestül, a hatágöbéje mentén tehát a mágneses köfesültség nulla. A B() indukciómeô csak a göbe alsó sakasán különböhetne nullától, de mágneses köfesültség hiányában még itt is eltûnik, éus étékû. 2. példa Egy hossú, egyenes veetôt valahol megsakítunk, és a sakadási helye két köeli kölapból álló síkkondenátot illestünk (8. ába). Milyen mágneses meô alakul ki a veeték köül és a kondenáto belsejében, ha a egyenes veetôben valamekkoa (idôben nem túl gyosan váltoó) áam folyik? It () It () d 8. ába Megoldás: Feltételeük, hogy d << R és a lemeek jó elektomos veetése miatt a kondenáto belsejében minden pillanatban homogén, a lemeek síkjáa meôleges iányú, E 0 (t) nagyságú elektomos té alakul ki, és eel össhangban a lemeek felületi töltéssûûsége η = ±ε 0 E 0 (t) =±η 0 (t) nem függ a helytôl. (A lemeekben áam folyik, ehhe a lemeek egyes pontjai köötti fesültsége van sükség, tehát a lemeek köti elektomos té és eel együtt a felületi töltéssûûség sigoúan véve nem lehet homogén. E a inhomogenitás aonban a fémlemeek jó elektomos veetése miatt nagyon kicsi, emiatt figyelmen kívül hagyható.) A lemeekben folyó áam sûûsége nyilván csak a simmetiatengelytôl mét távolság és a idô függvénye, iánya pedig adiális: R A FIZIKA TANÍTÁSA 65

5 i = i(, t). A (tében) egyenletes töltésfelhalmoódás ténye lehetôvé tesi, hogy kisámíthassuk a vonalmenti áamsûûséget. Egy sugaú köön kicsiny Δt idô alatt Q = Δ t 2 π i(, t) töltés halad át, egy kicsit nagyobb (+Δ ) sugaú köön pedig Q 2 = Δ t 2 π ( Δ ) i( Δ, t) töltés távoik. Eek seint a 2 πδ teületû kögyûûn lévô töltés mennyiségének megváltoása: Δ Q = Q Q 2 = 2 πδt Δ ( i), ami a η(t ) felületi töltéssûûség megváltoásával is kifejehetô: Δ Q =2π Δ Δη(t). A kétféle kifejeés össevetésébôl vagyis Δ ( i) Δ = Δη(t) Δ t i(, t) = C η(t) = állandó, C 2 adódik. A koodinátától nem, de t -tôl függô C és C 2 kifejeéseket a koongba befolyó áam eôssége, illetve a koong sélén nullává váló vonalmenti áamsûûség ögíti: A mágneses indukciót a két koong adiális áamel- oslása, valamint a két egyenes veetô áama hoa léte a Biot Savat-tövénynek megfelelôen. A adiális áamok csak a lemeek köött honak léte teet, amely a simmetiatengely köüli koncentikus eôvonalakkal semléltethetô, nagysága i(, t) =± 2 π B (lemeek) ϕ = μ 0 i(, t) = μ 0 2 π. R 2 (Et követlen integálással is meg lehet kapni, de elegendô hoá annak megfontolása, hogy egy adott helyen lévô mágneses teet a követlen köelében folyó áamok hatáoák meg, ahogy at a. példában láttuk.) A egyenes veetô sakasok jáuléka lényegében ugyanakkoa, mint a folytonos, végtelen hossú veetô mágneses tee: B (két veeték) ϕ (, t) = μ 0 2 π, R 2. a teljes mágneses indukció pedig B (teljes) (, t) = μ 0 ϕ 2 π R 2 a lemeeken kívül, a lemeek köött. Et a eedményt is könnyen megkaphattuk volna a gejestési tövény integális alakjából. A veetéket koncentikusan köülvevô kö alakú göbée a mágneses köfesültség 2πB ϕ (, t ), a köülölelt áam pedig a kondenátoon kívül I (t), a lemeek köött pedig (a sétkent eltolási áam miatt) csak I (t) 2 /R 2. Édekes a a eset is, amiko a kölapok köött gyengén veetô köeg található, és a áameloslás stacionáius. A eltolási áamok ilyenko nem jelennek meg, seepüket a velük aonos nagyságú valódi áamok vesik át. A mágneses meô ugyanolyan les, mint a idôben váltoó töltésû kondenátonál, és et a meôt most is kisámíthatjuk a Biot Savattövény segítségével. A lemeek köötti mágneses indukciót most elvben valamennyi áam együttes hatása hoa léte, de lemeeke meôleges (valódi, veetési) áamok ebben a esetben is nulla jáulékot adnak. A lemeek köötti mágneses teet a két egyenes veetô és a kölapokban folyó adiális áamok hatáoák meg. 3. példa Sigetelô sála függestett, alufóliával bevont csokimikulást (9. ába) elektomosan feltöltöttünk. A mikulás a levegô csekély veetôképessége miatt 9. ába lassan elvesíti töltését. Milyen mágneses teet kapnánk a mikulás köül (és annak belsejében) a Biot Savat-tövény felhasnálásával, ha a kisülés köben kialakuló áamok eloslását konkétan fel tudnánk íni és a integálást el tudnánk végeni? (Feltehetjük, hogy a levegô veetôképessége független a helytôl.) 5 5 E a pobléma seepel a 333 fufangos feladat fiikából címû feladatgyûjteményben.? 66 FIZIKAI SZEMLE 205 / 5

6 Megoldás: A feltöltött csokimikulás köül elektostatikus meô alakul ki, amely megagadja a levegôben található töltéshodoókat, és így elektomos áam indul meg a végtelen felé (valójában a mikulástól távoli, földelt veetôk felé). A mikulást köülvevô mágneses teet aonban nemcsak a levegôben folyó áamok keltik! A elektostatikus té a mikulás idôben fokoatosan csökkenô töltése miatt idôben váltoik, ami a integális Mawell-egyenletben eltolási áam fomájában sintén megjelenik. (Ugyanakko mint láttuk a eltolási áam a Biot Savattövényben nem ad jáulékot.) A csokimikulás köül kialakuló mágneses meô indukcióvonalai átak, met a mágneses meô foásmentes. Válassunk ki egy tetsôleges indukcióvonalhukot és egy ee a huoka illeskedô sákfelületet (e a 0. ábán látható süke felület). Ha a át huoka (a B -vonal iányítottságával megegyeô köüljáási iányban) kisámítjuk a B() Δ mágneses köfesültséget (más néven övényeôsséget), akko csak nemnegatív étéket kaphatunk eedményül, hisen a indukció iánya és a huok éintôje által beát sög a huok mentén nulla. Pontosan éus övényeôsséget akko és csak akko kapunk, ha a huok mentén a mágneses indukció étéke aonosan nulla. E =0 j( ) 0. ába B( ) A Ampèe-féle gejestési tövény ételmében a át huok övényeôssége aányos a huoka illeskedô sákfelületen áthaladó eedô áameôsséggel (ami a töltések által keltett elektomos áam és a váltoó elektomos té miatt keletkeô eltolási áam össege). Egy fufangos gondolattal et a eedô áameôsséget könnyen meghatáohatjuk! A süke felület helyett válassunk olyan sákfelületet, amely benyúlik a csokimikulás belsejébe, a mikuláson kívül pedig a át huoka illeskedô áamvonalak hatáolják. Mivel a mikulás belsejében a elektomos téeôsség és a áamsûûség is éus, a sákfelület mikuláson kívüli ését pedig nem döfi át sem a töltéshodoók veetési áama, sem pedig elektomos téeôsség (hisen a diffeenciális Ohm-tövény seint a elektomos téeôsség aányos és aonos iányú a áamsûûséggel), így a mágneses meô övényeôssége (mágneses köfesültsége) a sák sáját alkotó huoka éus. E at jelenti, hogy a huok mentén a mágneses indukció végig nulla. A mikulás köül tehát nem alakulnak ki indukcióvonalak, és ugyane iga a mikulás belsejée is; a mágneses indukció étéke a egés tében aonosan nulla. Ha ugyanet a mágneses teet a Biot Savattövény alapján akajuk kisámítani, mivel abban a eltolási áamokat nem kell figyelembe vegyük, a valódi (veetési) áamok jáuléka önmagában is nulla les. Et követlen sámolással általános esetben, tetsôleges alakú mikulása nyilván nehé lenne igaolni. 4. példa Milyen mágneses teet ho léte egy q töltésû, v sebességgel mogó ésecske (például egy poton vagy egy elekton) a vektoal megadott helyen? Feltehetjük, hogy a ésecske éppen a oigóban tatókodik, és hogy a mogása nemelativistikus (v << c). I= q Dt q v Dl= vdt B( ). ába Megoldás: A ésecske elmodulása valamely kicsiny Δt idô alatt Δ l = v Δt, és een a kis sakason I = q /Δt áameôsséget képvisel. Így a keesett mágneses meô a Biot Savat-tövény seint B() = μ 0 I Δ l 3 = μ 0 q v 3. Et a eedményt a álló ponttöltés mellett elhaladó megfigyelô mogó koodinátaendseébôl (a Loent-tansfomáció képleteinek felhasnálásával) is megkaphatjuk, vagy egy alkalmasan válastott át göbée (például a. ábán látható köe) vonatkoó övényeôsségbôl is kisámíthatjuk. Eek mindegyike sokkal bonyolultabb eljáás, mint a Biot Savat-tövény alkalmaása, amely soán a eltolási áamok hatásával nem kellett töôdnünk. A fenti képlet csak köelítôleg iga; ha a ésecske sebessége össeméhetô a fénysebességgel, a fomula elativistikus koekcióit is figyelembe kell vennünk. Édekes visont, hogy ha egy át veetékben folyó egyenáamot sok ponttöltés mogásával íjuk le, a egyes töltések mogásából adódó, de csak köelítôleg helyes mágneses teek össege a ésecskék sámának növelésével a folytonos áameloslás egaktnak tekinthetô Biot Savat-képletének eedményéhe tat. A FIZIKA TANÍTÁSA 67

7 Össefoglalás A Biot Savat-tövény (amely a elektostatikai Coulomb-tövény + supepoíció elv mágneses megfelelôje) tetsôleges helyen megadja ismet tébeli eloslású áamok által keltett mágneses indukciót. A tövény eedeti fomájában egyenáamoka és át áamkööke, tehát magnetostatikai poblémáka évényes. A Biot Savat-tövény kitejesthetô idôben lassan váltoó és nem feltétlenül át áameloslásoka is. A mágneses indukció pillanatnyi étékét ilyen esetekben is ugyanolyan alakú integálból lehet kisámítani, mint a magnetostatikában. A tövény alkalmaásánál csak a valódi (a töltéshodoók mogásával kapcsolatos) áamokat kell figyelembe vennünk, a úgyneveett eltolási áamok nem seepelnek a integálban. A Biot Savat-tövény segítségével a valódi áamokból kisámítható a A ( ) vektopotenciál, majd abból otációképéssel kapható meg a B ( ) mágneses indukció meô. E utóbbi nyilván foásmentes (divb ( ) 0), övényeôssége (otációja) pedig egy olyan vektomeô, amely a valódi áamok mellett még egy másik tagot, a eltolási áamot, pontosabban annak j (Coulomb) eltolási Coulomb-ését is tatalmaa: j valódi j valódi A() B() j (Coulomb) eltolási. = ε 0 E (Coulomb) (Biot Savat tövény) (otációképés) (otációképés) A Biot Savat-tövényben tehát ejtve benne van a eltolási áam övénymentes (Coulomb) ése, jóllehet a a tövényt megfogalmaó integálban epliciten nem jelenik meg. A eltolási áam Faaday-féle (divegenciamentes) össetevôje a lassan váltoó teeknél elhanyagolhatóan kicsi a valódi áamok és a eltolási áam Coulomb-féle (otációmentes) komponense mellett. Ha a mágneses indukciót nem a Biot Savat-tövénybôl, hanem a Ampèe-féle gejestési tövénybôl akajuk meghatáoni, abban a mágneses indukció tényleges teljes övényeôsségével, tehát a valódi és a eltolási áamok össegével kell sámolnunk. A elmondottak temésetesen csak a lassú váltoásoknak megfelelô köelítés pontosságával évényesek. A pontos képletek annyiban tének el a itt tágyaltaktól, hogy egy adott helyen és t idôpillanatban kialakuló elektomos és mágneses téeôsségekhe jáulékot adó pontbeli áamokat és a töltéseket nem ugyanabban a t idôpontban, hanem egy koábbi t = t c (úgyneveett etadált) idôpontban kell nénünk. A t t idôkülönbség éppen a a idôtatam, amely alatt valamilyen (fénysebességgel tejedô) infomáció eljuthat -bôl -be. Kváistacionáius köelítésben et a idôkülönbséget elhanyagoljuk és a eôteeket a áam- és töltéseloslások pillanatnyi étékeibôl sámoljuk, továbbá nem vessük sámításba a eltolási áam Faaday-össetevôjét. A antennák elméleti leíásában a kváistacionáius köelítés évényességi köe a úgyneveett statikus ónának (másnéven köelónának) felel meg, vagyis aoknak a tébeli távolságoknak, amelyek a adott fekvenciájú elektomágneses sugáás hullámhossánál sokkal köelebb vannak a hullámfoásokho. Kösönetnyilvánítás A cikkben leít poblémakö visgálatát a Köépiskolai Matematikai és Fiikai Lapok fiikus sekestôbiottságának tagjaival folytatott esmecsee, elsôsoban Radnai Gyula és Vigh Máté édekes, inspiáló feladatainak átgondolása indította el. Kösönettel tatoom Haskó Pétenek nagyon hasnos ésevételeiét és tanácsaiét, Tichy Géának, aki felhívta figyelmemet a Loent-féle métékválastás elônyeie, valamint Vankó Pétenek és Honyek Gyulának a kéiat átnééséét. A sekestôbiottság fiika tanításáét felelôs tagjai kéik mindaokat, akik a fiika vonóbbá tétele, a tanítás eedményességének fokoása édekében új módseekkel, elképelésekkel póbálkonak, hogy eeket ossák meg a Semle hasábjain a olvasókkal! 68 FIZIKAI SZEMLE 205 / 5