y =, ebbôl BC = 3 $ c. Alkalmazzuk a szögfelezôtételt a BCE háromszögre: = 3 sin{ = 2
|
|
- Gábor Tamás
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Néhány nehezebb trigonometriai feladat Nem lehetséges AB, BE y, ED AE, BE y, AD CD $, CBEs ABEs { Alkalmazzuk a szögfelezôtételt az ABC háromszögre: AB y, ebbôl BC 3 $ Alkalmazzuk a szögfelezôtételt a BCE háromszögre: BC 3 $ 3 $ 3 $ 3$ $ {, ebbôl y $, t t t $ ABC ABE+ BCE, azaz 3 3 $ $ $ { $ $ 3 $ $ { +, ebbôl elôbb-utóbb levezethetjük, hogy os {, tehát { 0 Ez nem lehetséges 348 Legyen AB BC CA a Tegyük fel például, hogy PB a leghosszabb a PA, PB, PC közül Alkalmazzuk Bretshneider tételét az ABCP négyszögre! PB $ AC AB $ PC + BC $ PA - $ AB $ BC $ PC $ PA $ os({ + 60 ), ahol ABCs 60 és APCs { Az egyenletbôl kaphatjuk, hogy PB PC + PA - $ PC $ PA $ os({ + 60 ) Alkalmazzunk erre egy felsô beslést! PB PC + PA - $ PC $ PA $ os({ + 60 ) # PC + PA + $ PA $ PC (PC + PA) Ebbôl PB < PA + PC Egyenlôség nem lehet, mert akkor os({ + 60 ) lenne, de ekkor { 0 lenne Ez pedig akkor és sak akkor lenne, ha P rajta lenne a körülírt körön Keressünk további megoldásokat a feladatra, mert vannak! 349 EDBs 30 EDBs, BEDs 60 - Alkalmazzuk a szinusztételt a BED háromszögre, majd a BCD háromszögre! () ; () és BD ( 60 - ) BD 80 BE BC 40 tudjuk, hogy 80 $ 40 $ os 40 és BE BC Ezekbôl kaphatjuk, hogy ( 60 - ) $ os40 Ebbôl kaphatjuk, hogy (0 + ) $ os 40 $ 0 $ os + os 0 $ $ (os 60 $ os 0-60 $ 0 ) $ Ezt addig alakítsuk, amíg os 3 $, azaz tg nem lesz az átlók hajlásszöge Legyen az átlók hajlásszöge és E az átlók metszéspontja ABEs - 5 ; BCEs 90 - ; CDEs - 30 ; DAEs 05 - Alkalmazzuk a AE ( - 5 ) szinusztételt az AEB, BEC, CED, illetve a DEA háromszögre! ; BE 5 BE ( 90 - ) CE ( - 30 ) DE ( 05 - ) ; ; Szorozzuk össze az CE 90 DE 30 AE 75 ( -5 ) ( 90 -) ( -30 ) egyenletek megfelelô oldalait! Kapjuk, hogy $ $ ( -5 ) $ ( 90 -) $ ( -30 ) $ ( 05 - ) $ 5 $ 75, _ $ ( -5 ) $ ( 05 -) i$ _ $ ( -30 ) $ ( 90 - ) i $ 5 $ 75, _ os( $ -0 ) -os90 i$_ os( $ -0 ) - os60 i, os ( $ -0 ) - $ os( $ -0 ) - 0 Oldjuk meg a kapott egyenletet!
2 48 Néhány nehezebb trigonometriai feladat Alkalmazzuk a koszinusztételt kétszer az f átlóra felírva! f a + d - osa; f + d - $ $ d$ os y, ebbôl a + d - osa + d - $ $ d$ os y, a + d - osa + d - $ $ d$ os( 80 -a), a + d - osa + d + $ $ d$ osa, tehát a + d - -d osa $ ( a$ d+ $ d) a - osa a 343 a) Mint tudjuk,, mert < 90, másrészt osa a + d -b - ( b+ + a- d)( b+ + d- a) Így - os a Ezekbôl kaphatjuk, $ ( a$ d+ ) $ ( a$ d+ ) a ( b+ + d- a)( a+ b+ -d) a hogy $ b) Használjuk fel, hogy os a$ d+ + osa a a, ha < 90 Az a) feladathoz hasonlóan kaphatjuk, hogy os ( a+ d+ b- )( a+ d+ -b) $ ) Vegyük figyelembe, hogy a+ b+ + d $ s; a$ d+ b+ + d- a $ ( s- a) ; a+ + d- b $ ( s- b) ; a+ b+ d- $ ( s- ) ; a+ b+ - d $ ( s- d) Ha ezeket alkalmazzuk az a) és a b) megfelelô tételeire, akkor kap- a ( s-a)( s-d) a ( s-b)( s-d) juk, hogy ; os Osszuk el egymással a kapott a$ d+ a$ d+ a ( s a)( s d) egyenletek megfelelô oldalait! Kapjuk, hogy tg - - ( s-b)( s-) 3433 Legyen AB a, BC b; CD és DA d, BADs a, BCDs az ABCD a$ d$ a $ húrnégyszögben t ABD ; tbcd Így t t ABD+ t BCD a a $ ( a $ d + b $ ) $ a Használjuk fel, hogy a $ $ os! Korábban láttuk, hogy a ( s-a)( s-d) a ( s-b)( s-) és os, ezeket felhasználva kapjuk, a$ d+ a$ d+ hogy t ( s-a)( s-b)( s-)( s- d) 3434 Legyen AB a, BC b; CD és DA d, AC e, BD f, BADs a, BCDs az ABCD húrnégyszögben () f a + d - osa, () f b + - $ $ os Vegyük figyelembe, hogy osa-os Ezután szorozzuk az () egyenletet -vel, majd a () egyenletet szorozzuk a$ d-vel, majd adjuk össze a kapott két új egyenletet! Némely egyenletrendezés után innen kaphatjuk, hogy: f Hasonlóan kaphatjuk ( a$ + d)( a$ b+ $ d) a$ d+ a másik átló hosszát
3 Néhány nehezebb trigonometriai feladat Legyen AB a, BC b; CD és DA d, AC e, BD f, BADs a, BCDs az ABCD húrnégyszögben Ekkor f $ R$ a Miért? Az elôzô feladatban kaptuk, hogy f ( a$ + d)( a$ b+ $ d) a a Másrészt a $ $ os Használjuk még fel a ko- a$ d+ rábban levezetett a ( s-a)( s-d) a$ d+ és os a ( s-b)( s-) a$ d+ képleteket Ezenkívül tudjuk, hogy t ( s-a)( s-b)( s-)( s- d) Ezeket felhasználva kaphatjuk, hogy t ( a$ b+ $ d)( a$ + d)( a$ d+ ) 4 $ t 3436 Legyen Y 0, ekkor szorozzuk meg az egyenlôséget ennek a kétszeresével $ $ Sn $ $ + $ $ + f + $ $ n Használjuk fel, hogy $ a$ b os( a-b) - os( a+ b ) os( b-a) - os( a+ b ) Így $ $ Sn J 3 N J 3 5 N J JJ N N JJ N NN K os - os + os - os + f + K O K O osk n- $ O K - osk n+ $ O K K O O KK O O L P L P L LL P P LL P PP JJ N N JJ N N os - osk n+ $ O os - osk n + $ O KK O O, ebbôl KK O O Sn LL P P Már ez is lehet végeredmény, de tovább is fejleszthetjük Majd alkalmazzuk a koszinuszok különbségére ismert követ- LL P P $ J a + b N J a - b N kezô képletet: osa- osb- $ K $ O K O Kapjuk, hogy J L P L P ( n+ ) $ N J nn $ K O K O Sn L P L P Másrészt gondoljuk meg, hogy ha 0, akkor S n Igazoljuk elôször a (*) összefüggést: (*) 4 $ os( k) $ -os_( k- ) $ i+ $ os( k) - os_ ( k+ ) $ i, mégpedig úgy, hogy az összefüggés jobb oldalából indulunk ki és kétszer alkalmazzuk rá a koszinuszok különbségére vonatkozó azonosságot Ezután alkalmazzuk a (*) azonosságot k -tôl k n-ig, majd ezeket adjuk össze 4 $ $ ( os + os+ os3+ f + os n) - + os + os n- os_ ( n+ ) $ i Ezt alakítsuk tovább! - $ + os n- os_ ( n + ) $ i - $ + os n- os( n+ ) - $ + os n- os n$ os + n$ - $ + os n$ $ + n$ $ $ os (Legyen elôször Y 0)
4 484 Néhány gyakorlatibb trigonometriai feladat n$ os Ebbôl kaphatjuk, hogy os + os+ os3+ f + os n - + os n+ J n + N $ os n+ n$ os $ - + K O - + L P Ha van kedvünk, akkor mutassuk meg, hogy más alakú végeredmény is lehet, például: n$ os_ ( n + ) $ i os + os+ os3+ f + os n Legyen most 0, ekkor gondoljuk meg, hogy a vizsgált összeg értéke 0 Néhány gyakorlatibb trigonometriai feladat 3438 a) London az 5 33l északi szélességen (és 0 földrajzi hosszúságon) fekszik b) London és ellenlábasának távolsága éppen a Föld átmérôje: 756 km ) r 4994,94 km London távolsága a Föld forgástengelyétôl 5 33l, ahol R 6378 km a Föld sugara R r km $ r $ r d) v 46, 45 London sebessége a Föld tengelye körüli forgásban v, ahol h T T 4 h 3439 a) r R 9-szer távolabb van a Nap a Földtôl, mint a Hold a Földtôl, Arisztarkhosz sze- r R rint os {, ahol { 87 b) 390-szer távolabb van a Nap a Földtôl, mint a Hold a R r Földtôl a modernebb mérés szerint Itt { 89 5l0ll r 3440 a) 3,094 $ 0 3 km parszek tg {, ahol r a Nap és a Föld távolsága, { ll b) 9,467 $ 0 km fényév ) 3,7 fényév parszek d),7 parszek 8,83 fényév
5 Néhány gyakorlatibb trigonometriai feladat m 344 a), a sónak eredô sebessége b) a 4,8 irányba evezzünk, enyhén szembe a folyó folyásirányával ) 53,6 s az átkelési idônk s 344 a) { 80 + k $ 360, k! Z szögeknél lesz a keresztfej a legtávolabb a forgásentrumtól, és,75 m a legtávolabbi távolság b) { 0 + k $ 360 szögeknél van a keresztfej a legközelebb a forgásentrumtól és,5 m a legközelebbi távolság ) r$ os{ + l -r $ { 05, $ os{ +, 5-0, 065 $ { (méter) a keresztfej távolsága a forgásentrumtól { szög függvényében 3443 a) 4,305 m liter az olajtartály térfogata b) 04 liter olaj van a tartályban, a$ r $ r r $ a 59 liter a hiány a 30,56, t szelet t ikk - t háromszög - 0,9745 m 360 V olaj t szelet $ l, m 3 04 liter 3444 a) e 4,8 m a két társa közös érintôszakaszainak a hossza b) i,07 m a nagyobbik társán a tapadási felület hossza ) i 3,4 m a kisebbik társán a tapadási felület hossza d) l 45, m a meghajtószíj hossza 3445 a) a 06,6 a keresett szög nagysága, r 5m b) A 7,48 m a dongaboltozat keresztmetszete A T ikk a$ R $ r a$ r $ r - t ikk -, ahol R b + r ) V 53,86 m 3 a dongaboltozat térfogata d) m 8,5 tonna a boltozat tömege Híres dongaboltozatos templomok például a Santa Maria de Narano templom Ovideo mellett, a St Sernin templom Toulouseban és a La Madeleine templom (Vézelay) Egy korábbi feladatunkban említettük a lébényi Árpád-kori Szent Jakab templomot, ennek szintén dongaboltozata van, de ez nem az eredeti, mert a Bés ellen vonuló törökök 59-ben felgyújtották a templomot és beomlott az eredeti boltozat, 683-ban másodszor is felgyújtották a törökök egy újabb Bés elleni támadásnál AT BT m a rúd és a teodolit vízszintes távolsága tg a, tgb, l BT - AT 3447 a),86 km-re vagyunk a lébényi templomtól a hôlégballonnal b) y 5,04 km a hôlégballon és a Fehér-tó távolsága ) z 5,73 km-re van egymástól a tó és a templom
6 486 Néhány gyakorlatibb trigonometriai feladat k 3448 a) t (másodper), ahol k! Z, t l + (másodper), ahol l! Z, 0 50 idôpontokban lesz a feszültség értéke a maimális feszültség felével egyenlô U ma Uma $ ( $ r $ f $ t) b) tl 600 s, tl 0 s, tl s, tl idôpontokban lesz a feszültség abszolútértéke egyenlô a maimális feszültség felével, az elsô s-ban 50 ) 66,67%-ban lesz nagyobb a feszültség abszolútértéke a maimális feszültség felénél $ Dt Dt tl-tl és $ 00 66,67%, ahol T s Érdemes lerajzolnunk a szinuszfüggvény T 50 grafikonját k 3449 a) t (másodper), ahol k! Z, t 3 l + (másodper), ahol l! Z, idôpontokban lesz a feszültség értéke az effektív feszültséggel egyenlô Ueff Uma$ ( $ r $ f$ t), Ueff Ueff $ $ ( $ r $ f $ t) b) tl 400 s, tl s, tl 3 80 s, t l 7 4 s idôpontokban lesz a feszültség abszolútértéke az effektív feszültséggel egyenlô az 400 elsô s alatt ,6 m Alkalmazzuk a koszinusztételt! 345 a) 00 m az Aranyszarvas és a megfigyelô távolsága b) 680 m a spanyol gálya és a megfigyelô távolsága ) 350 méter az Aranyszarvas és a gálya távolsága Alkalmazzuk a koszinusztételt! d) 9l-es szögben látja Sir Franis Drake a spanyol hajó és a megfigyelô távolságát Alkalmazzuk a szinusztételt! 345 y 6,4 m magas a torony Elôször számítsuk ki a b szöget a koszinusztétel segítségével a b + s - $ b $ s $ os b Kapjuk, hogy b 3,78 Majd b-ból kapjuk -et b y +,5 m a) 067 m távolságra van az elsô mérésnél a hajó a torony aljától tg a 80 b) y 340 m távolságra van a második mérésnél a hajó a torony aljától tg b y
7 Néhány gyakorlatibb trigonometriai feladat ) z 83 m utat tett meg a két mérés között a hajó a 068,6 m és b 34,4 m, ezeket egyegy megfelelô Pitagorasz-tétellel kaphatjuk Majd alkalmazzuk a koszinusztételt a z távolságra m km felírva, az a, b és z oldalú háromszögben! d) 89, 30 a hajó sebessége s h 3454 a) 4 per 40 másodper idô alatt érne a repülôgép az egyik repülôtértôl a másikig m km b) a repülôgép eredô sebessége a feladatbeli szél esetén Írjuk fel a koszinusztételt a megfelelô sebességek alkotta háromszögre! v v + ve - $ v $ ve$ os35, ahol s h m v 5 a repülôgép sebességének nagysága szélsendben, v 0 m s a szél sebességének s a nagysága, v e a repülôgép sebességének nagysága a megadott szél esetén ) 48,5 per a repülési idô a megadott szél esetén d) { 6,5 szöggel kell oldalra kormányozni a repülôgépet v kissé észak-nyugat felé Alkalmazzuk a szinusztételt! 35 v { 3455 a) a 47 0l szöget zár be az észlelési irány a Föld felszínével b) b 40 4l szöget zár be a szétesési irány a Föld felszínével ) 4,78 km utat tett meg a két mérés között a m tûzgömb Alkalmazzuk a koszinusztételt! $ 30 $ 3 $ os 8 4l d) v 4 a s tûzgömb átlagos sebessége AB ACBs 3456 a) BACs 57 3l b) AB 45,9 m Alkalmazzuk a szinusztételt! BC BACs AH ) AH 8, m az antenna magassága ABHs AB AB 3457 a) a 37 9l és d 30 30l b) AB 647,7 m és BD 76,7 m és BC a BD ) AD 96,9 m 3456 BC d AD AB + BD - $ AB $ BD $ os(b - b ) 3458 a) a 7 4l és d 6 37l b) AB AB BD 7,6 m és BD 666,5 m, BC a BC d
8 488 Néhány gyakorlatibb trigonometriai feladat )AD767,4 m AD AB +BD - $AB $BD $ os (b + b ) BC a CD a a) BC 050,6 m, b) CD 345,3 m, ) CE 06, m, AB a3 BC a5 CE a 7 EF a 0 FG a 4 d) EF 689,3 m, e) FG 60,6 m, CD a8 CE a EF a5 r { r } a $ { 3460 a) { + } 99 39l b) { 5 48l és, ezekbôl a a b b a b $ } S innen,066 $ { ( 99 39l - {) Majd alkalmazzuk a megfelelô összegzési b tételt az egyenlet jobb oldalára Ezután osszuk os {-vel az egyenlet mindkét oldalát Kapjuk, r r hogy tg { 0,4835 ) r 38,7 m d) r 835,57 m, e) r 40,0 m, a a b 346 b 346 Hasonlóan oldhatjuk meg, mint az elôzô feladatot a) PACs+ PBCs{ + } 79 58l b) PACs { 36 44l ) PC r 783 m d) PA r 593,7 m e) PB r 6039,7 m
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenFeladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.
RészletesebbenTrigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Trigonometria Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben 1. Az ABC hegyesszög háromszögben BC = 14 cm, AC = 1 cm, a BCA szög nagysága
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
Részletesebben(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.
Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a
Részletesebben13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
RészletesebbenKoordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:
005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen
RészletesebbenA 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 0/04 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi erseny második forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 57 olyan háromjegyű szám, amelynek számjegyei
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebben2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam
01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Trigonometria 1 /6
Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató
OktatásiHivatal A 014/01. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató 1. feladat: Adja meg az összes olyan (x,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
Részletesebben= 0. 1 pont. Összesen: 12 pont
1. Egy számtani sorozat páros sorszámú, illetve páratlan sorszámú tagjai is számtani sorozatot alkotnak. Páratlan sorszámú tag összesen 11 darab van, páros sorszámú pedig 10. A feladat feltétele szerint:
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenA 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA)
Oktatási Hivatal A 016/017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Egy húrtrapéz pontosan
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
Részletesebben1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD
1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,
RészletesebbenA 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =
RészletesebbenElemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged
Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatásért Közalapítvány támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2010/2011-es tanév 1. forduló haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Határozzuk
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenMegoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség)
Megoldások, megoldás ötletek (Jensen-egyenlőtlenség) Mivel az f : 0; ; x sin x folytonos az értelmezési tartományán, ezért elég azt belátni, hogy szigorúan gyengén konkáv ezen az intervallumon Legyen 0
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
RészletesebbenHúrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele
Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele Markó Zoltán 11C Húrnégyszögek Definíció: Húrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amely köré kör írható Vagyis az olyan konvex négyszögek, amelyeknek oldalai egyben
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Részletesebben1. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-3..-/-0-000 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR EMELT SZINT 05 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenVEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]
Bodó Beáta 1 VEKTOROK 1. B Legyen a( ; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(0; 10; 0)] (b) c + b 7a [(18; 15; 29)] (c) 2d c + b [ (5; ; ) = 6, 56] (d) 4a + 8b 7c [ ( 49; 44; 5) =
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor
Okta tási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 0/0 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA). forduló - megoldások. Az valós számra teljesül a 3 sin sin cos sin egyenlőség. Milyen értékeket
Részletesebben. Számítsuk ki a megadott szög melletti befogó hosszát.
Szögek átváltása fokról radiánra és fordítva 2456. Hány fokosak a következő, radiánban (ívmértékben) megadott szögek? π π π π 2π 5π 3π 4π 7π a) π ; ; ; ; ; b) ; ; ; ;. 2 3 4 8 3 6 4 3 6 2457. Hány fokosak
RészletesebbenKoordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Koordinátageometria M veletek vektorokkal grakusan 1. Az ABCD négyzet oldalvektorai közül a = AB és b = BC. Adja meg az AC és BD vektorokat a
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.
Trigonometria III. TÉTEL: (Szinusz - tétel) Bármely háromszögben az oldalak és a velük szemközti szögek szinuszainak aránya egyenlő. Jelöléssel: a: b: c = sin α : sin β : sin γ. Megjegyzés: A szinusz -
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenHáromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek
2013. 11.19. Háromszögek ismétlés Háromszög egyenlőtlenség(tétel a háromszög oldalairól.) Háromszög szögei (Belső, külső szögek fogalma és összegük) Háromszögek csoportosítása szögeik szerint (hegyes-,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenI. rész. x 100. Melyik a legkisebb egész szám,
Dobos Sándor, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Dobos Sándor; dátum: 005. november 1. feladat A 70-nek 80%-a mely számnak a 70%-a? I. rész. feladat Egy szabályos
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
Részletesebben(a b)(c d)(e f) = (a b)[(c d) (e f)] = = (a b)[e(cdf) f(cde)] = (abe)(cdf) (abf)(cde)
2. házi feladat 1.feladat a b)c d)e f) = a b)[c d) e f)] = = a b)[ecdf) fcde)] = abe)cdf) abf)cde) 2.feladat a) Legyen a két adott pontunk helyzete A = 0, 0), B = 1, 0), továbbá legyen a távolságok aránya
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
RészletesebbenEgy másik érdekes feladat. A feladat
Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
Részletesebben2. Síkmértani szerkesztések
2. Síkmértani szerkesztések Euklidész görög matematikus (i. e. 325 körül) szerint azokat az eljárásokat tekintjük szerkesztésnek, amelyek egy egyenes vonalzóval és egy körz vel véges számú lépésben elvégezhet
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
Részletesebben4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig
Oktatási Hivatal Az forduló feladatainak megoldása (Szakközépiskola) Melyek azok az m Z számok, amelyekre az ( m ) x mx = 0 egyenletnek legfeljebb egy, az m x + 3mx 4 = 0 egyenletnek legalább egy valós
RészletesebbenPRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2
FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Síkgeometria 1/6
Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenSzinusz- és koszinusztétel
Szinusz- és koszinusztétel. Htározzuk meg z oldlk rányát, h α 0, β 60. α + β + γ 80 γ 80 α β 80 0 60 90 A szinusztételt felhsználv z oldlk rány: zz : : : sin β : sin 0 : sin 60 : sin 90 : : : : : :. Htározzuk
RészletesebbenFeladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
Részletesebben4) Az ABCD négyzet oldalvektorai körül a=ab és b=bc. Adja meg az AC és BD vektorokat a és b vektorral kifejezve!
(9/1) Vektorok, Koordináta Geometria 1) Szerkessze meg az a + b és az a b vektort, ha a és b egy szabályos háromszögnek a mellékelt ábra szerinti oldalvektorai! 2) Az ABC háromszög két oldalának vektora
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 3. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 016. május. EMELT SZINT 1) Egy városi piacon a piros almát 5 kg-os csomagolásban árulják. A csomagokon olvasható felirat szerint egy-egy csomag tömege 5 kg ±10 dkg. (Az almák nagy
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenHASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm
HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
Részletesebben12. Trigonometria I.
Trigonometria I I Elméleti összefoglaló Szögmérés A szög mérésének két gyakran használt módja van: fokban, illetve radiánban (ívmértékben) mérünk A teljesszög 0, ennek a 0-ad része az A szög nagyságát
RészletesebbenFeladatok a májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András
Feladatok a 2010. májusi emelt szintű matematika érettségi példáihoz Hraskó András 1. Halmazok, halmazműveletek, halmazok számossága, halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata. HA.1.1. Adott a síkon
RészletesebbenEgy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban
Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.
RészletesebbenElemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2016. január 11. 1.1. Feladat. (V:266,.L. 1/2000) z háromszögben m(â) = 30 és m( ) = 45. z és oldalakon vegyük fel az és pontokat úgy, hogy 3 = és 2 =. Számítsd ki az
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
Részletesebben2004_02/10 Egy derékszögű trapéz alapjainak hossza a, illetve 2a. A rövidebb szára szintén a, a hosszabb b hosszúságú.
Geometria háromszögek, négyszögek 2004_01/10 Az ABC háromszög C csúcsánál derékszög van. A derékszöget a CT és CD szakaszok három egyenlő részre osztják. A CT szakasz a háromszög egyik magassága is egyben.
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenTRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI
TRIGONOMETRIA ISMÉTLÉS DERÉKSZÖGŰ HÁROMSZÖG ÉS A HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI http://zanza.tv/matematika/geometria/thalesz-tetele http://zanza.tv/matematika/geometria/pitagorasz-tetel http://zanza.tv/matematika/geometria/nevezetes-tetelek-derekszogu-haromszogben
RészletesebbenA) 0 B) 2 C) 8 D) 20 E) 32
1. X és Y egyjegyű nemnegatív számok. Az X378Y ötjegyű szám osztható 72-vel. Mennyi X és Y szorzata? A) 0 B) 2 C) 8 D) 20 E) 32 2. Hány valós gyöke van a következő egyenletnek? (x 2 1) (x + 1) (x 2 1)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2013. október 15. KÖZÉPSZINT I.
1) Az A halmaz elemei a MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. október 15. KÖZÉPSZINT I. 5 -nél nagyobb, de -nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az halmazt! A\
RészletesebbenIV x. 2,18 km magasan van a hôlégballon.
8 Hegyesszögû tigonometiai alapfeladatok 8 9 8,8 km magasan van a hôlégballon Egyészt = tg és = tg 0, másészt a Pitagoasz-tételt alkalmazva kapjuk, hogy a b a + b = Ezen egyenletendszebôl meghatáozhatjuk
RészletesebbenNem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével
Nem mindig az a bonyolult, ami annak látszik azaz geometria feladatok megoldása egy ritkán használt eszköz segítségével Rátz László Vándorgyűlés 2018 Győr Fonyó Lajos Keszthelyi Vajda János Gimnázium A
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenA Fermat-Torricelli pont
Vígh Viktor SZTE Bolyai Intézet 2014. november 26. Huhn András Díj 2014 Így kezdődött... Valamikor 1996 tavaszán, a Kalmár László Matematikaverseny megyei fordulóján, a hetedik osztályosok versenyén. [Korhű
RészletesebbenMATEMATIKA KISÉRETTSÉGI JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ május 15. I. rész. 1. feladat Pont Megjegyzés 5110 = pont A keresett nyerőszám: 73.
MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ 01. május 15. I. rész 1. feladat Pont Megjegyzés 5110 = 5773 A keresett nyerőszám: 73.. feladat Pont Megjegyzés 0 0.000 50.000 1.170.000 3 3.470.000 150.86,565
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA szeptember 7.
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók a szürke
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
Részletesebben