Operátorfélcsoportok és alkalmazásaik. Szakdolgozat. Szemenyei Flóra Orsolya. Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány
|
|
- Magda Kiss
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Operátorfélcsoportok és alkalmazásaik Szakdolgozat Szemenyei Flóra Orsolya Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Csomós Petra Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 217
2 Köszönetnyilvánítás Ezúton is szeretném megköszönni témavezet mnek, Csomós Petrának a segítségét, aki felhívta a gyelmem a témára, és aki egész id alatt gyelemmel kísérte a munkámat, segített a szakirodalom kiválasztásában, valamint hasznos tanácsokkal látott el a LA- TEX használatában. Továbbá szeretném megköszönni családom támogatását, biztatását, amivel hozzájárultak szakdolgozatom elkészítéséhez.
3 Tartalomjegyzék Bevezetés 4 Motiváció 5 1. Mátrixok esete 7 2. Korlátos operátorok esete 7 3. Nemkorlátos operátorok esete 1 4. Félcsoportok generátora, rezolvense Generátorok jellemzése 2 6. Félcsoportok approximációja Térbeli diszkretizációs módszerek 3 8. Id beli diszkretizációs módszerek Alkalmazás 39 Összefoglalás 43 Irodalomjegyzék 44 Függelék 45 3
4 Bevezetés Szakdolgozatomban az absztrakt kezdetiérték-problémával foglalkozunk, ehhez az operátorfélcsoportokat tanulmányozzuk. A motivációban megmutatjuk, hogy a h vezetési parciális dierenciálegyenlet hogyan írható át absztrakt kezdetiérték-problémává, vagyis absztrakt Cauchy-problémává az operátorfélcsoportok segítségével. Továbbá megnézzük a kezdetiérték-problémát valós számok esetére, majd az els fejezetben a mátrixok, a második fejezetben a korlátos lineáris operátorok esetére. A harmadik fejezetben a nemkorlátos operátokkal foglalkozunk, deniáljuk az er s folytonosság fogalmát, ezekre példákat is nézünk. A negyedik fejezetben deniáljuk a félcsoportok generátorát, rezolvensét és vizsgáljuk ezek tulajdonságait. Az ötödik fejezetben a generátorokat jellemezzük, megadunk rá karakterizációkat, és megnézzük, hogy az absztrakt Cauchyproblémával milyen összefüggésben vannak. Az elméleti háttér után a hatodik, hetedik és nyolcadik fejezetben numerikus szempontból vizsgáljuk meg a félcsoportokat: a térbeli és id beli diszkretizációjukkal foglalkozunk. A kilencedik fejezetben megnézünk egy konkrét számítógépes alkalmazást, saját programot írva a MATLAB segítségével. 4
5 Motiváció Szakdolgozatomban az operátorfélcsoportokról lesz szó. Kezdetben áttekintjük az operátorfélcsoportok elméleti hátterét, majd megnézzük, hogy numerikusan mire lehet használni ket, milyen numerikus analízisbeli hasonló állítások fogalmazhatók meg az operátorfélcsoportokról. Motivációként tekintsük az alábbi kezdetiérték-problémát az X Banach-téren. Ennek megoldásához, megoldhatóságához deniáljuk majd az operátorfélcsoportokat, és nézzük meg a tulajdonságaikat. d u(t) = Au(t), t, dt u() = u. Nézzünk meg négy esetet aszerint, hogy X és u mit jelöl. Els esetben nézzük meg, mi a megoldás, ha X a valós számok halmaza: Ekkor A, u R, u : R R, és a megoldás u(t) = e ta u. Számokra ismert, hogy fennállnak az alábbi egyenl ségek: e (t+s)a = e ta e sa, t, s, e A = 1, Ae ta = e ta A, t. Második esetként nézzük meg (1)-et a valós mátrixokra. Legyen X = R d d. Ekkor A R d d, d N, u R d. Ekkor a megoldás szintén u(t) = e ta u alakban áll el, ahol e ta = Ebben az esetben is teljesül,hogy ahol I R d d egységmátrix. e (t+s)a = e ta e sa, t, s, e A = I, Ae ta = e ta A, t, (ta) k. k! Az els belátásához felhasználjuk az e ta denícióját, és azt, hogy a sora abszolút konvergens, mivel ha m > n, m, n N, akkor minden t esetén teljesül, hogy m t k A k n t k A k m k! k! = t k A k m k! t k A k. k! k= k= k=n+1 k=n+1 A kifejezés pedig tart -hoz, ha n, m. Mivel t k A k k! t k A k teljesül, igaz az alábbi összefüggés: e ta e t A, k! k= k= minden t esetén. 5 k= (1)
6 Vagyis Cauchy-sorozatot alkot a sor, és abszolút konvergens R n -ben. Ezek alapján teljesül az alábbi: e ta e sa (ta) k (sa) k n t n k A n k s k A k = = = k! k! (n k)! k! k= k= n= k= (t + s) n A n = = e (t+s)a t, s. n! n= Jelölje L(X) az X-en értelmezett korlátos lineáris operátorok terét, ellátva a. szuprémumnormával. Harmadik esetként azt vizsgáljuk, mi a megoldás, ha A egy Banach-téren értelmezett korlátos lineáris leképezés, azaz A L(X) olyan lineáris operátor, melyre M > : Af M f f X. Legyen X Banach-tér, A L(X), u : R X, u X. Mivel A M, így minden ugyanúgy teljesül, mint a mátrixoknál. Negyedik esetként nézzük meg, hogy mi igaz, ha A nemkorlátos operátor. Ekkor (1) megoldására legyen u(t) = T (t)u valamely T (t) operátor esetén. Azt reméljük, hogy T () = Id és T (t + s) = T (t)t (s) is teljesül az els három esethez hasonlóan. A kés bbiekben kiderül, hogy ezek az egyenl ségek fennállnak. Az (1) feladat azért motivált minket, mert a parciális dierenciálegyenleteket átírhatjuk ilyen alakká, és ennek segítségével közelíteni tudjuk a megoldásukat. Nézzük például a h vezetési egyenletet egy dimenzióban, a (, 1) intervallumon, a homogén Dirichlet-peremfeltétellel. Keressük w C 1,2 (R +, [, 1]) függvényt, melyre teljesülnek az alábbiak: t w(t, x) = xx w(t, x), t >, x (, 1) w(, x) = w (x), x (, 1) w(t, ) = w(t, 1) =, t >. Az egyenletet átírhatjuk d u(t) = Au(t), t > alakba, ahol dt (2) (Af)(x) := f (x) = d2 dx 2 f(x), f D(A), D(A) = {f L 2 (, 1) : f C 1 [, 1], f, f L 2 (, 1), f (x) f () = x f (y)dy, x [, 1], f() = f(1) = } Vagyis átírtuk a feladatot (1) alakúra. A következ fejezetekben az utóbbi három esetet vizsgáljuk meg részletesebben. 6
7 1. Mátrixok esete A következ fejezetek Sikolya E. [6] egyetemi jegyzetének és K. Engel, R. Nagel [4] könyvének felhasználásával készültek. A fejezetben megnézzük részletesebben a motivációban már szerepelt mátrixok esetét. Legyen T (t) R d d t. Tekintsük az alábbi függvényegyenletet: T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = I. (FE) Keressük az (FE) összes megoldását. Tekintsük ismét az e ta operátort, ahol A egy n n -es mátrix. Bármely mátrixra a denícióbeli sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, vagyis konvergens a sor, ahogy az el z részben már beláttuk Állítás. Ha A egy n n -es mátrix, akkor a t e ta, t leképezés folytonos és teljesül, hogy e (t+s)a = e ta e sa minden t, s esetén, és e A = Id. Bizonyítás: Az egyenl ségeket már beláttuk, csak a folytonosság maradt. Megmutatjuk, hogy t -ra e (t+h)a e ta, ha h. Az el bbi egyenl ség miatt e (t+h)a e ta = e ta (e ha Id). Ezért elég belátni, hogy lim h e ha = Id: e ha Id = h k A k k! h k A k = e h A 1. k! k=1 Ez a kifejezés pedig tart -ba, ha h. k=1 Az el bbiek miatt deniálhatunk bizonyos mátrixcsaládokat Deníció. Az (e ta ) t mátrixcsaládot az A R n n -es mátrix által generált egyparaméteres félcsoportnak nevezzük. 2. Korlátos operátorok esete Megnézzük az el z részbeli tulajdonságokat mátrixok helyett a folytonos lineáris operátorokra. Legyen X Banach-tér, jelölje továbbá L(X) az X-en értelmezett folytonos (korlátos) lineáris operátorok terét, ellátva a megfelel operátornormával. Továbbra is keressük 7
8 az alábbi egyenleteket kielégít T függvényeket, de most T : R + L(X): T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = Id. (FE) Ahol Id az identitásoperátor X-en. A mátrixokhoz hasonlóan deniálhatjuk az operátorok bizonyos családjait Deníció. A korlátos lineáris operátorokból álló (T (t)) t családot az X Banachtéren vett operátorfélcsoportnak nevezzük, ha a T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = Id egyenl ségek fennállnak. A mátrixok mintájára deniálhatjuk az e ta t k A k := kifejezést, ahol A L(X), k! k= hiszen itt is igaz, hogy t k A k k! t k A k, és e ta e t A, minden t k! k= k= esetén, ahol A < +. És szintén fennáll, hogy a t e ta leképezés folytonos, és teljesülnek ezek az egyenl ségek: e (t+s)a = e ta e sa, t, s, e A = Id. Ezek a mátrixok esetéhez hasonlóan bizonyíthatók Állítás. Ha T (t) := e ta, A L(X), akkor a T : R + L(X) dierenciálható, és a kezdetiérték-problémát kielégíti,azaz d T (t) = AT (t), t, dt T () = Id. Bizonyítás: A t pontbeli dierenciálhatósághoz elég, hogy minden h > esetén az (FE) miatt T (t + h) T (t) h = T (h) Id T (t). h Így elég belátni, hogy -ban dierenciálható, és hogy A = d T (), így (3) is teljesül. A dt T (t) = e ta deníciója szerint (3) 8
9 Így az állítás teljesül. T (h) Id A h h k 1 A k = k! k=2 = e h A 1 h A, h. Vezessünk be egy folytonosságot deniáló fogalmat az operátorfélcsoportokra Deníció. A (T (t)) t operátorfélcsoportot egyenletesen folytonosnak nevezzük, ha t T (t) L(X), t > folytonos az L(X)-beli operátornormát véve. Belátható, hogy ha (T (t)) t félcsoport egyenletesen folytonos az X Banach-téren, akkor T (t) = e ta alakú valamilyen A L(X) operátorra. Megmutatjuk, hogy létezik nem egyenletesen folytonos félcsoport is. Deniáljuk az alábbi operátorfélcsoportokat Deníció. Legyen f : R C folytonos függvény, t, (T l (t)f)(s) := f(s + t), s R és (T r (t)f)(s) := f(s t), s R. Ekkor a (T l (t)) t, (T r (t)) t operátorokat bal- ill. jobbeltolás-félcsoportnak nevezzük. Belátjuk, hogy ezek valóban félcsoportok, ugyanis kielégítik (FE)-t: (T l (t)t l (s)f)(r) = (T l (t)f)(r + s) = f(r + s + t) = f(r + (t + s)) = (T l (t + s)f)(r), (T l ()f)(r) = f(r + ) = f(r), t, s, r R. Vagyis T l (t)t l (s) = T l (t + s) és T l () = Id. Hasonlóan a jobbeltolásra: (T r (t)t r (s)f)(r) = (T r (t)f)(r s) = f(r s t) = f(r (t + s)) = (T r (t + s)f)(r), (T r ()f)(r) = f(r ) = f(r), t, s, r R. Vagyis T r (t)t r (s) = T r (t + s) és T r () = Id. Megmutatjuk, hogy a (T l (t)) t eltolás-félcsoport nem egyenletesen folytonos. T l (t + h)f T l (t)f = sup f(t + s + h) f(t + s) s R = sup f(s + h) f(s) s R Ez pedig h mellett csak abban az esetben tart -hoz, ha f korlátos és egyenletesen folytonos. Tehát, ha f nemkorlátos vagy nem egyenletesen folytonos, akkor (T l (t)) t nem egyenletesen folytonos operátorfélcsoport. 9
10 3. Nemkorlátos operátorok esete Mivel az egyenletes folytonosság sok esetben nem teljesül, mint például az el bbi baleltolás-félcsoportnál, vezessünk be egy másik folytonosságot, ami több félcsoportra teljesül Deníció. Legyen X Banach-tér. Az X-en értelmezett korlátos lineáris operátorokból álló (T (t)) t operátorcsaládot er sen folytonos operátorfélcsoportnak nevezzük, ha teljesül, hogy T (t + s) = T (t)t (s), t, s, T () = Id, és a ξ f : t ξ f (t) := T (t)f leképezés folytonos R + -on minden f X esetén. Az alábbi lemma szerint egy függvényre az er s folytonosság helyett elég egy s r részhalmazon belátni a folytonosságot, ha a függvény egyenletesen korlátos Lemma. Legyen X Banach-tér, F : Y L(X) függvény, ahol Y R kompakt halmaz. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. (i) F er sen folytonos, azaz minden f X esetén az Y t F (t)f X leképezés folytonos; (ii) F egyenletesen korlátos Y -on, és a Y t F (t)f X leképezés folytonos minden f D esetén, ahol D X s r halmaz. Nézzük meg az er sen folytonos operátorfélcsoportok tulajdonságait. Igazolható, hogy az er s folytonosság ekvivalens a következ kkel: (i) (T (t)) t er sen folytonos. (ii) lim t T (t)f = f minden f X esetén. (iii) Létezik δ, M 1, és D X s r részhalmaz, hogy T (t) M minden t [, δ] és lim t T (t)f = f minden f D-re. Ezek segítségével gyakran igazolhatjuk egy félcsoport er s folytonosságát. Belátható, hogy ha (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport az X Banachtéren, akkor minden [a, b] R + esetén a {T (t) : t [a, b]} L(X) halmaz egyenletesen korlátos az L(X)-beli operátornormára Állítás. Legyen (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport. Ekkor létezik ω R és M 1, hogy T (t) Me ωt. 1
11 Bizonyítás: Legyen M := sup T (s). Legyen t. Írjuk fel t-t t = n + s alakban, s [,1] ahol n N, s [, 1). Ekkor a félcsoport tulajdonság miatt: T (t) = T (n + s) T (s) T (n) T (s) T (1) n Me n ln T (1) Me n ln M Me tω. Vagyis ω-t ln M-nek választottuk, és n-et felülr l becsültük t-vel Deníció. Legyen (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport. Az ω = ω (T ) := inf{ω R : M ω 1, hogy T (t) M ω e ωt, t } < számot a (T (t)) t növekedési korlátjának nevezzük. És ha ω nullának válaszható, az operátorfélcsoportot korlátosnak hívjuk. Ha teljesül, hogy T (t) Me ωt, t, akkor T -t (M, ω)-típusúnak nevezzük. A félcsoport kontraktív, ha ω =, M = 1 választható. Nézzünk egy-két példát az er sen folytonos félcsoportokra: Ha A R n n vagy A L(X) és T (t) = e ta, akkor T (1, A ) típusú, ugyanis e ta e t A. Az alábbiakban legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. Ekkor a következ k is er sen folytonos félcsoportok. Hasonló félcsoport: Legyen Y Banach-tér, V : Y X izomorzmus. Az S(t) := V 1 T (t)v, t a (T (t)) t -hez hasonló, er sen folytonos félcsoport Y -on. S() = V 1 T ()V = V 1 IdV = Id S(t + s) = V 1 (T (t + s))v = V 1 T (t)t (s)v = = V 1 T (t)v V 1 T (s)v = S(t)S(s) és ha t T (t)f folytonos minden f X-re, akkor t V 1 T (t)v f is az. Átskálázott félcsoport: Legyen µ C, α >. Ekkor az átskálázott félcsoport: S(t) := e µt T (αt), t. S() = e T () = Id S(t + s) = e µ(t+s) T (α(t + s)) = e µt T (αt)e µs T (αs) = S(t)S(s) és ha t T (t)f folytonos minden f X-re, akkor t e µt T (αt)f is az. 11
12 Szorzatfélcsoport: Legyen (S(t)) t is egy félcsoport, mely (T (t)) t -vel kommutál: T (t)s(t) = S(t)T (t), t. Ekkor a szorzatfélcsoport: U(t) := T (t)s(t), t. U() = T ()S() = IdId = Id U(t + s) = T (t + s)s(t + s) = T (t)t (s)s(t)s(s) = = T (t)s(t)t (s)s(s) = U(t)U(s) és ha t T (t)f, t S(t)f is folytonos minden f X-re, akkor t T (t)s(t)f is az. 4. Félcsoportok generátora, rezolvense Vizsgáljuk meg az er sen folytonos operátorfélcsoportok dierenciálhatóságát, ugyanis a mátrixoknál is fontos volt, várhatóan itt is az lesz. A mátrixoknál teljesült, hogy d dt eta = Ae ta t ; ( d eta) dt t= = A. Azt reméljük, hogy a félcsoportok esetén is teljesülni fog ez a tulajdonság. Tekintsük ehhez el ször a következ lemmát Lemma. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport, f X. Ekkor a ξ f : t ξ f (t) := T (t)f leképezésre ekvivalens: (i) ξ f dierenciálható R + -on; (ii) ξ f jobbról dierenciálható t=-ban. Bizonyítás: (i) = (ii) triviális. (ii) = (i): Legyen adott t>. Ekkor a félcsoport-tulajdonságok és a korlátosság miatt lim 1 h h (T (t + h)f T (t)f) = T (t) lim h vagyis jobbról dierenciálható R + -on. Nézzük a balról dierenciálhatóságot: Rögzítsük t < -t és t h < -t. Ekkor 1 (T (h)f f) = T (t) d ξ h dt f(), 1 (T (t + h)f T (t)f) T (t) d ξ h dt f() = = T (t + h)( 1 (f T ( h)f) d ξ h dt f()) + (T (t + h) d ξ dt f() T (t) d ξ dt f()). Ha h-val tartunk balról a -ba, akkor a baloldali tag -hoz tart, mivel T (t + h) korlátos. A jobboldali tag pedig az er s folytonosság miatt tart -hoz. Tehát ξ balról is dierenciálható. És d ξ dt f(t) = T (t) d ξ dt f(), t. 12
13 Ezzel az állítást beláttuk. A lemma alapján deniálhatjuk az operátor nullában vett deriváltját, ami egyértelm en meghatározza a félcsoportot, ahogy kés bb látni fogjuk Deníció. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. A (T (t)) t generátora az A : D(A) X X operátor, melyre Af := d dt ξ f() = lim h T (h)f f h f D(A), ahol D(A) = {f X : ξ f dierenciálható}. Néha (A,D(A))-val jelöljük az A operátort és értelmezési tartományát. Az alábbiakban megvizsgáljuk a most bevezetett generátor tulajdonságait Lemma. Legyen (A,D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos félcsoport generátora. Ekkor a következ k teljesülnek. (a) A : D(A) X X lineáris operátor. (b) Ha f D(A), akkor T (t)f D(A) és (c) Minden t, f X esetén d T (t)f = T (t)af = AT (t)f, t. dt (d) Minden t esetén T (s)fds D(A). T (t)f f = A = T (s)fds, ha f X, T (s)afds, ha f D(A). Bizonyítás: (a): Az A operátor lineáris operátorok összegének határértéke, így lineáris. (b): Legyen f D(A), t. A folytonosságból és a félcsoport tulajdonságból kapjuk, hogy = lim h T (h)t (t)f T (t)f h T (t)af = T (t) lim h T (h)f f h = = lim h T (h + t)f T (t)f h = AT (t)f. 13
14 (c) és (d): Legyen f X, t. Ekkor az alábbiak fennállnak. A 1 ( T (s)fds = lim T (h) T (s)fds h h 1 t = lim T (s + h)fds lim h h 1 = lim h h 1 = lim h h +h h +h Vagyis f X-re az állítást beláttuk. Ha f D(A), akkor az t 1 T (s)fds lim h h 1 T (s)fds lim h h 1 t h h ) T (s)fds h = T (s)fds = T (s)fds = T (s)fds = T (t)f f, s T (s) T (h)f f h leképezések [, t 1 ] intervallumon egyenletesen tartanak s T (s)af-hez, ha h, mivel a T(s) operátorok egyenletesen korlátosak [, t]-n. Így f D(A) esetén lim (T (h) Id) h h 1 Vagyis igazak az állítások. T (s)fds = lim = h T (s) 1 (T (h) Id)fds = h T (s)afds. Vezessük be az operátor zártságának fogalmát, ami a következ tétel szerint az er sen folytonos félcsoportok generátorára is igaz Deníció. Legyen A : D(A) X X lineáris operátor. Az A operátort zártnak nevezzük, ha a következ ekvivalens feltételek teljesülnek rá: (i) Ha egy (f n ) n N D(A) sorozatra lim f n = f X és lim Af n = y X léteznek, n n akkor f D(A) és Af = y; (ii) a G(A) := {(f, Af) : f D(A)} X X gráf zárt halmaz; (iii) az X := (D(A), A ) Banach-tér, ahol az úgynevezett gráfnorma. f A := f + Af, f D(A) 4.5. Tétel. Egy er sen folytonos félcsoport generátora zárt és s r n deniált lineáris operátor, amely egyértelm en meghatározza a félcsoportot. Bizonyítás: Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. Az (A, D(A)) generátor lineáris, elég a zártságot igazolnunk. Legyen (f n ) n N D(A) sorozat, melyre f n f, Af n y. A 4.3. Lemma miatt 14
15 T (t)f n f n = T (s)af n ds teljesül minden t > -ra. Legyen u n (s) := T (s)af n és u(s) = T (s)y. Ekkor u n u egyenletesen [, t]-n, vagyis T lokálisan korlátos, és így T (t)f f = T (s)yds. Ebb l következik, hogy u(t) = T (t)f dierenciálható -ban, és u () = y. Vagyis f D(A) és Af = y. Tehát A zárt operátor. A s r n deniáltság igazolásához legyen f X tetsz leges és legyen f(t) := 1 t T (s)fds. A 4.3. Lemma (c) pontja miatt f(t) D(A). Ekkor s T (s)f leképezés folytonos és f(t) T ()f = f, ha t. Így D(A) s r X-ben. Végül belátjuk az egyértelm séget: Legyen T 1 is egy félcsoport, melynek generátora szintén A. Legyen f D(A) és t > rögzített. Legyen f : [, t] X, f(s) := T (t s)t 1 (s)f. Ekkor f dierenciálható és d f(s) = ( d T (t s))t ds ds 1(s)f + T (t s) d (T ds 1(s)f) = = AT (t s)t 1 (s)f + T (t s)at 1 (s)f. Felhasználva a 4.3. Lemma szerint, hogy a félcsoport és a generátora kommutálnak D(A)-n, kapjuk, hogy a jobboldal, így f konstans. Ebb l következik, hogy T 1 (t)f = f(t) = f() = T (t)f, vagyis a T 1 (t) és a T (t) operátorok azonosak D(A) s r alteren, így egyenl ek mindenhol. A következ tétel az operátor zártságának egy jellemzését adja meg, melyet általában könnyebben tudunk igazolni, mint magát a zártságot Tétel. Legyen A : D(A) X X zárt operátor. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) korlátos operátor; (ii) D(A) zárt X-ben. Bizonyítás: Csak az egyik irányt bizonyítjuk, a másik bonyolult. (i)= (ii): Legyen (f n ) D(A), f n f sorozat. Az (f n ) Cauchy-sorozat D(A)-ban, 15
16 és a korlátosság miatt Af n Af m A f n f m, n, m Kaptuk, hogy (Af n ) is Cauchy-sorozat, így konvergens is. Legyen y = lim Af n. Mivel A zárt, így f D(A) és y = Af. Vagyis n D(A) zárt. A tételt alkalmazhatjuk a félcsoportok generátoraira is, mivel azok zárt operátorok. Tekintsük ehhez az alábbi következményt Következmény. Ha (A, D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos operátorfélcsoport generátora, akkor az alábbi állítások ekvivalensek: (i) A korlátos; (ii) D(A) = X; (iii) D(A) zárt X-ben; (iv) a (T (t)) t félcsoport egyenletesen folytonos. Továbbá, ha a feltételek teljesülnek, akkor T (t) = e ta t k A k =, t. k! k= Bizonyítás: Az (i) (ii) (iii) az el z két tételb l adódik. Az (i) (iv) és az el állítás pedig abból, hogy az egyenletesen folytonos félcsoport T (t) = e ta alakú, ahol A L(X) operátor. A D(A) halmaz azokat az f elemeket tartalmazza, melyekre T (t)f dierenciálható. Ez alapján vezessünk be a többször dierenciálhatóságra is egy jelölést, melynek segítségével felírhatjuk az operátorfélcsoportokra vonatkozó Taylor-formulát. Legyen D(A ) = X és A = Id. Legyen minden n N esetén D(A n ) : = {f D(A n 1 ) : A n 1 f D(A)}, ahol A n f = AA n 1 f, f D(A n ). Vagyis D(A n ) azokból az f X vektorokból áll, melyre a t T (t)f leképezés n-szer folytonosan dierenciálható, és dn dt n T (t)f = T (t)a n f Deníció. Legyen A : D(A) X X lineáris operátor. A D D(A) altér az A lényeges része, ha s r D(A)-ban a A normára nézve. Igazolható, hogy D(A n ) az A lényeges része minden n N-re. A következ állításban az operátorfélcsoportokra vonatkozó Taylor-formulát adjuk meg, ami segítségével felírhatjuk az operátort összegalakban. 16
17 4.9. Állítás. (Taylor-formula). Legyen (T (t)) t operátorfélcsoport, melynek generátora A. Ekkor minden n N, t esetén T (t)f = = n j= n j= (ta) j f j! (ta) j f j! + A n! + 1 n! (t s) n T (s)a n fds, f D(A n ) (t s) n T (s)a n+1 fds, f D(A n+1 ). Bizonyítás: Ha f D(A n+1 ), a t T (t)f leképezés n+1-szer dierenciálható. Ekkor a második tag egy Taylor-formulabeli maradéktag. Az els egyenletet lássuk be indukcióval. Az n = eset adódik a 4.3. Lemma (d) pontjából. Tegyük fel, hogy n N esetén igaz az állítás. Tudjuk, hogy T (s)a n f = A n f + A Így s T (r)a n fdr. T (t)f = = = n j= n j= n+1 j= (ta) j f j! (ta) j f j! (ta) j f j! + A n! + A n! + A (n + 1)! (t s) n T (s)a n fds = (t s) n (A n f + A s (t r) n+1 T (r)a n+1 fdr. T (r)a n fdr)ds = A második egyenl ség pedig ugyanígy kapható, ha f D(A n+2 ). A következ kben az operátorok rezolvensével fogunk foglalkozni, melynek fontos szerepe lesz a numerikus közelítésekben, mivel a rezolvensoperátor korlátos operátor. Ez pedig sok numerikus eljárás feltétele. Vezessünk be a rezolvenshez néhány fogalmat. A továbbiakban legtöbbször a λ Id operátort λ-val jelöljük Deníció. Legyen (A, D(A)) zárt operátor. Ekkor A rezolvenshalmaza ρ(a) := {λ C : λ A bijektív}. És A spektruma σ(a) := C \ ρ(a) = {λ C : λ A nem bijektív}. Az A rezolvense a λ ρ(a) pontban R(λ, A) := (λ A) 1. 17
18 Ha (A, D(A)) zárt operátor, akkor ρ(a) nyílt halmaz C-ben, σ(a) pedig zárt. A következ állításnak nagy jelent sége van a numerikus eljárásokban, miszerint a zárt operátor rezolvense korlátos. Így a rezolvensoperátor numerikus közelítésekre alkalmas Állítás. Legyen (A, D(A)) zárt operátor. Ekkor R(λ, A) korlátos operátor minden λ ρ(a) esetén. Bizonyítás: A feltételek miatt λ A is zárt, és zárt operátor inverze is zárt. Mivel λ ρ(a) esetén λ A szürjektív, így R(λ, A) az egész X-en van értelmezve, tehát korlátos is a 4.6. Tétel szerint. A következ egyenl séget a harmadik fejezetben látott átskálázásból kapjuk Állítás. Legyen (A, D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos félcsoport generátora. Legyen λ C, t> tetsz leges. Ekkor e λt T (t)f f = (A λ) = Bizonyítás: Legyen e λs T (s)fds, ha f X, e λs T (s)(a λ)fds, ha f D(A). S(t) := e λt T (t), t átskálázott félcsoport. Ennek generátora B = A λ, D(B) = D(A). Alkalmazzuk S-re a 4.3. Lemma (d) pontját. A következ állításban a rezolvens egy jellemzését adjuk meg Állítás. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banach-téren. Továbbá legyenek ω R, M 1, hogy T (t) Me ωt, t. Ekkor a félcsoport (A,D(A)) generátorára teljesülnek az alábbiak: (a) Ha λ C, melyre R(λ)f := λ ρ(a) és R(λ) = R(λ, A). (b) Ha Re λ > ω, akkor λ ρ(a). (c) Minden Re λ > ω esetén e λs T (s)fds létezik minden f X esetén, akkor R(λ, A) 18 M Re λ ω.
19 4.14. Következmény. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport az X Banachtéren. Továbbá legyenek ω R, M 1, hogy T (t) Me ωt, t. Legyen n N és λ C, melyre Re λ > ω. Ekkor a félcsoport generátorának rezolvensére teljesül, hogy R(λ, A) n f = ( 1)n 1 (n 1)! dn 1 R(λ, A)f = dλn 1 1 = s n 1 e λs T (s)fds (n 1)! minden f X esetén. És R(λ, A) n M (Re λ ω) n. Átskálázott félcsoport Nézzük meg az átskálázott félcsoportok rezolvensét. Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport, melynek generátora A. Legyen µ C, α >, S(t) := e µt T (αt), t. Ekkor S generátora: Ekkor σ(b) = ασ(a) + µ és = 1 α Eltolásfélcsoport B = αa + µid, D(B) = D(A). R(λ, B) = 1 α R( λ µ α, A), λ ρ(b), mivel R(λ, B) = (λ B) 1 = (λ αa µ) 1 = ( λ µ ) 1 α A 1 ( λ µ ) = α R α, A ( ( λ µ )) 1 α α A = Vizsgáljuk meg a korábban megismert eltolásfélcsoport generátorát. (T l (t)f)(s) := f(s + t), s, t R Állítás. Legyen C ub (R) az R-en korlátos, egyenletesen folytonos függvények tere. A (T l (t)) t baleltolás-félcsoport generátora az X = C ub (R) Banach-téren az melyre Af := f, 19
20 Az állítás adódik abból, hogy Diúzió-félcsoport Legyen X = L p (R n ) és legyen D(A) = {f C ub (R) : f dierenciálható, f C ub (R)}. Af = f := lim t f(s + t) f(s) t n d 2 ds 2 k=1 k = f (s). f(s 1,..., s n ), f S(R n ), ahol S(R n ) a végtelen sokszor dierenciálható, gyorsan lecseng függvények tere. Ekkor igazolható, hogy A generátora a (T (t)) t h vezetési vagy Gauss-félcsoportnak, ahol T () = Id; s r 2 1 (T (t)f)(s) = e 4t f(r)dr, t >, s R n, f X. (4πt) n/2 R n 5. Generátorok jellemzése Felmerül a kérdés, hogyan lehet eldönteni egy operátorról, hogy generátor-e. Így a következ fejezetben azzal fogunk foglalkozni, hogy hogyan tudjuk karakterizálni az er sen folytonos operátorfélcsoportok generátorait. Tekintsük el ször az alábbi lemmát, aminek segítségével bebizonyítható a fejezet f tétele, és annak következménye Lemma. Legyen (A, D(A)) zárt, s r n deniált operátor az X Banach-téren. Tegyük fel, hogy létezik ω R, M >, hogy [ω, ) ρ(a) és λr(λ, A) M minden λ ω. Ekkor λ esetén (a) λr(λ, A)f f f X, (b) λar(λ, A)f = λr(λ, A)Af Af f D(A). Bizonyítás: Legyen w D(A). Ekkor teljesül, hogy λr(λ, A)w = R(λ, A)(λ A)w + R(λ, A)Aw = w + R(λ, A)Aw. A feltételb l adódik, hogy R(λ, A)Aw M λ Aw. Ez pedig tart -hoz, ha λ. Így λr(λ, A)w kifejezés tart w-hez, ha λ. Mivel D(A) s r, és A korlátos, így a konvergencia teljesül minden w X esetén. A (b) állítás pedig adódik az (a) állításból w = Av helyettesítéssel. A HilleYosida tétel a kontrakció-félcsoportok generátorának karakterizációját adja meg. Ennek következményeként az (1, ω) típusú félcsoportok generátorára is tudunk adni egy karakterizációt. 2
21 5.2. Tétel. (HilleYosida). Legyen (A, D(A)) lineáris operátor az X Banach-téren. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) egy er sen folytonos kontrakció-félcsoportot generál; (ii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ > esetén λ ρ(a) és λr(λ, A) 1; (iii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ C, Re λ > esetén λ ρ(a) és R(λ, A) 1 Re λ. Bizonyítás: A 4.5. Tétel szerint a generátor zárt és s r n deniált. Továbbá, ha az A által generált T félcsoport kontrakció-félcsoport (azaz T (t) 1 = Me ωt, ahol M = 1, ω = ), akkor a Állítás szerint R(λ, A) 1 Re λ. Így elég belátni, hogy (ii) = (i). A bizonyításban használjuk a Yosida-approximációt: A n := nar(n, A) = n( n n+a) = n( n 1) = n A n A n2 R(n, A) nid, n N. Az operátorok korlátosak és kommutálnak. Az általuk generált félcsoportok egyenletesen folytonosak: T n (t) := e tan, t. Az 5.1. Lemma (b) pontjába λ = n-et helyettesítve kapjuk, hogy A n A pontonként D(A)-n. Így igazolható, hogy (a) Létezik a T (t)f = lim n T n (t)f minden f X esetén. (b) (T (t)) t er sen folytonos kontrakció-félcsoport. (c) (T (t)) t generátora (A, D(A)). (a) Minden (T n (t)) t kontrakció-félcsoport, ugyanis T n (t) = e t(n2 R(n,A) nid) e nt e n2 R(n,A) t e nt e nt = 1, t. Vagyis a (T n (t)) t operátorsorozat egyenletesen korlátos, így a BanachSteinhaus-tétel miatt elég a konvergenciát D(A)-n igazolni. Tekintsük az alábbiakat. Innen kapjuk, hogy T n (t)f T m (t)f = T m (t t)t n (t)f T m (t )T n ()f = = = T n (t)f T m (t)f A n f A m f d (T ds m(t s)t n (s)f)ds = T m (t s)t n (s)(a n f A m f)ds. 21 T m (t s)t n (s)ds t A n f A m f.
22 Az 5.1.Lemma (b) pontja miatt (A n f) n N Cauchy-sorozat minden f D(A) esetén, így (T n (t)f) n N egyenletesen konvergens a [, t 1 ] intervallumokon. (b) A kontrakció-félcsoportságot már beláttuk, elég az er s folytonosságot belátni. Minden f D(A) esetén a ξ : t T (t)f, t t 1 egyenletes limesze folytonos függvényeknek, így folytonos. Így (T (t)) t er sen folytonos az er s folytonosság tulajdonságai alapján. (c) Legyen (T (t)) t generátora (B, D(B)), és f D(A). A ξ n : t T n (t)f pályák a [, t 1 ] intervallumokon egyenletesen tartanak ξ-hez, és a deriváltfüggvények egyenletesen tartanak d ξ dt n : t T n (t)a n f η : t T (t)af függvényhez. Így ξ dierenciálható, és d ξ() = η(). Tehát D(A) D(B) és Af = Bf, dt f D(A). Legyen λ >, λ ρ(a). Ekkor λ A : D(A) X bijekció. És (B, D(B)) kontrakciófélcsoport generátora, így λ ρ(b) és λ B : D(B) X is bijekció. Mivel λ A megegyezik λ B-vel D(A)-n, így D(A) = D(B) és A = B. Átskálázással megnézzük, mi van akkor, hogy ha A nem egy kontrakció-félcsoport generátora. Ha valamely ω R esetén fennáll, hogy T (t) e ωt, t, vagyis akkor az T (t) Me ωt, M = 1, t, S(t) := e ωt T (t), t átskálázott félcsoport már kontrakció-félcsoport. Így tekinthetjük a HilleYosida-tétel egy következményét Következmény. Legyen ω R. Egy (A, D(A)) lineáris operátorra az X Banachtéren ekvivalensek az alábbiak. (i) (A, D(A)) egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre T (t) e ωt, t ; 22
23 (ii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ > ω esetén λ ρ(a) és (λ ω)r(λ, A) 1; (iii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ C, Re λ > ω esetén λ ρ(a) és R(λ, A) 1 Re λ ω. A következ tétel tetsz leges er sen folytonos félcsoport generátorának karakterizációját adja meg, vagyis most tetsz leges M 1, (M, ω)-típusú félcsoport generátorára nézzük meg az el bbi karakterizációt Tétel. (Feller, Miyadera, Phillips). Legyen (A, D(A)) lineáris operátor az X Banachtéren, ω R, M 1. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre T (t) Me ωt, t ; (ii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ > ω esetén λ ρ(a) és [(λ ω)r(λ, A)] n M, n N; (iii) (A, D(A)) zárt, s r n deniált, minden λ C, Reλ > ω esetén λ ρ(a) és R(λ, A) n M (Reλ ω) n, n N. Tekintsük újra az eredeti (1) feladatunkat általánosabban. Szeretnénk megnézni, hogy ennek megoldhatósága milyen kapcsolatban áll a félcsoportok generátorával Deníció. Legyen X Banach-tér, (A, D(A)) lineáris operátor X-en, u X. Ekkor az alábbiakat absztrakt Cauchy-problémának (ACP) hívjuk. d u(t) = Au(t), t ; dt u() = u X (ACP) Azt mondjuk, hogy u: R + X klasszikus megoldás, ha u megoldása az (ACP)-nek és folytonosan dierenciálható t szerint R + -on és u(t) D(A), t Állítás. Legyen (A, D(A)) a (T (t)) t er sen folytonos félcsoport generátora. Ekkor minden u D(A) esetén az u : t u(t) := T (t)u leképezés az (ACP) egyetlen klasszikus megoldása. Bizonyítás: A 4.3. Lemma szerint u D(A) esetén T (t)u D(A) és 23
24 d T (t)u dt = AT (t)u, tehát u klasszikus megoldás. És egyértelm is: legyen t >, s (, t). Ekkor Így d (T (t s)u(s)) = T (t s) d u(s) T (t s)au(s) =. ds ds u(t) = T (t)u. Tehát a megoldás egyértelm. Tekintsük az (ACP) feladatok egy csoportját, melyek megoldhatósága egy újabb karakterizációt ad a generátorokra. Jelölje u( ; u ) az u kezdeti feltételhez tartozó megoldást Deníció. Az (ACP) feladatot korrekt kit zés nek nevezzük, ha (a) D(A) s r ; (b) minden u D(A) esetén létezik egyetlen u( ; u ) klasszikus megoldása az (ACP)- nek; (c) minden (f n ) D(A), lim f n = esetén lim u(t; f n ) =, ahol a konvergencia n n [, t 1 ]-en egyenletes. A fejezetet egy nagyon fontos tétellel zárjuk, mely kapcsolatot teremt a korrekt kit zés (ACP)-ben szerepl operátor és az (ACP)-feladat megoldhatósága között Tétel. Legyen A : D(A) X X zárt operátor. Ekkor ekvivalensek: (i) (A, D(A)) egy er sen folytonos félcsoport generátora; (ii) Az (A, D(A)) operátorhoz tartozó (ACP) korrekt kit zés. Tehát az, hogy megoldjuk az (ACP)-t, ekvivalens azzal, hogy megadjuk a félcsoportot. Ezt pedig közelítéssel tehetjük meg. A következ fejezetekben ezzel fogun foglalkozni. 6. Félcsoportok approximációja Szeretnénk numerikusan közelíteni térben és id ben is a félcsoportokat, ehhez el ször a fejezetben megvizsgáljuk, hogy a rezolvens, generátor és a félcsoport konvergenciája hogy függ össze. Továbbá azzal fogunk foglalkozni, hogy ha A n generátorok sorozata konvergál A generátorhoz, akkor vajon a generált félcsoportok sorozata konvergál-e a határérték által generált félcsoporthoz. Deniáljuk, hogy mit is értünk a generátorok konvergenciája alatt. Azt mondjuk, hogy az A n generátorsorozat er sen konvergál az A generátorhoz, ha 24
25 lim A mf Af =, f D(A) D(A k ), k N. m A fejezetben megvizsgáljuk,hogy ekkor a generált félcsoportok milyen módon konvergálnak az A által generált félcsoporthoz. El ször vezessünk be egy fogalmat, melynek technikai szerepe lesz a kés bbi bizonyítások során Deníció. Legyen Λ C, R(λ) L(X), λ Λ operátorcsalád. Azt mondjuk, hogy az operátorcsalád pszeudorezolvens, ha R(λ) R(µ) = (µ λ)r(λ)r(µ), λ, µ Λ A következ állítások egy kés bbi tétel bizonyításában szerepelni fognak Állítás. Legyenek az A n, n N operátorok kontrakció-félcsoportok generátorai X-en, és legyen λ > esetén létezik minden f X elemre. Ekkor pszeudorezolvenst deniál, ahol Re λ >. lim R(λ, A n )f n R(λ)f := lim n R(λ, A n )f, f X 6.3. Állítás. Legyen {R(λ) : λ Λ} pszeudorezolvens X-en, és legyen (λ n ) n N Λ nemkorlátos sorozat. Ha lim λ nr(λ n )f = f, minden f X-re, n akkor {R(λ) : λ Λ} egy zárt, s r n deniált operátor rezolvensoperátoraiból áll. A technikai lépések után vizsgáljuk meg a félcsoportok, rezolvensek konvergenciáját és a köztük lev kapcsolatot. El ször nézzük meg azt az esetet, ha el re tudjuk, hogy a generátorok limesze is generátor. Ekkor az alábbi tétel érvényes Tétel. (Els TrotterKato-approximációs tétel). Legyenek (T (t)) t és (T n (t)) t, n N, er sen folytonos félcsoportok, generátoraik A és A n, n N. Tegyük fel, hogy létezik M 1, ω R, hogy T (t), T n (t) Me ωt, t, n N. Továbbá legyen D az A lényeges része. Tekintsük a következ állításokat. (a) D D(A n ) minden n N esetén, és A n f Af, f D; (b) Minden f D estén létezik f n D(A n ), n N sorozat, hogy 25
26 f n f, és A n f n Af. (c) R(λ, A n )f R(λ, A)f, n, minden f X és λ > ω esetén. (d) T n (t)f T (t)f, n minden f X esetén, és kompakt intervallumokon t-ben egyenletesen. Ekkor (a) = (b) (c) (d) teljesül. Vagyis a félcsoportok és a hozzájuk tartozó rezolvensek konvergenciája ekvivalens ebben az esetben. A tételben feltettük A-ról, hogy generátor, viszont általában nem tudni, hogy az-e. Azt reméljük, hogy az A n sorozat által generált T n operátorfélcsoportok határértékének lesz A a generátora. Ezt vizsgáljuk meg a második TrotterKato-tételben Tétel. (Második TrotterKato-approximációs tétel). Legyenek (T n (t)) t, n N, er sen folytonos félcsoportok X-en, generátoraik A n, n N. Tegyük fel, hogy létezik M 1, ω R, hogy T n (t) Me ωt, t, n N. Legyen λ > ω és tekintsük a következ állításokat. (a) Létezik egy (A, D(A)) s r n deniált operátor, hogy A n f n Af minden f D esetén, ahol D az A lényeges része. Valamint (λ A)D s r X-ben. (b) Az R(λ, A n ), n N operátorok pontonként tartanak egy R L(X) operátorhoz, melyre ran R s r X-ben. (c) A (T n (t)) t, n N félcsoportok pontonként konvergálnak egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoporthoz, melynek generátora B, és R = R(λ, B). Ekkor (a) = (b) (c) És ha (a) teljesül, akkor B = A, ahol A a legsz kebb kiterjesztése A-nak, melyre D(A) zárt. Bizonyítás: Feltehet átskálázással, hogy T n (t) M, t, n N. (a) = (b): Elég a konvergenciát (R(λ, A n )y) n N sorozatokra bizonyítani, ahol y = (λ A)f, f D, mert (λ A)D s r X-ben. R(λ, A n )y = R(λ, A n )[(λ A n )f (λ A n )f + (λ A)f] = = f + R(λ, A n )(A n f Af) f = Ry, ha n. (b) = (c) A 6.2. Állítás miatt az 26
27 R(λ)f := lim n R(λ, A n )f, f X operátorok léteznek, és pszeudorezolvensek. És a HilleYosida-tétel miatt λr(λ, A n ) M, λ >, így λr(λ) M, λ >. És R(λ) k := lim n R(λ, A n ) k minden k N számra, így λ k R(λ) k M, λ >, k N. A feltétel alapján ran R(λ) = ran R(λ ) = ran R, így ran R(λ) s r X-ben. Így a 6.3.Állítás miatt létezik egy (B, D(B)) zárt, s r n deniált operátor, amelyre R(λ) = R(λ, B), λ >, és λ k R(λ, B) k M, λ >, k N teljesül, így B egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál X-en. Így alkalmazható az els TrotterKato (c) = (d) pontja. Vagyis (T n (t)) t pontonként tart (T (t)) t - hoz. A (c) = (b) irány adódik az els TrotterKato-tételb l. A tételnek nagy jelent sége van a numerikus alkalmazásokban. Segítségével fontos tételeket bizonyíthatunk, például a Cherno-tételt, mely segítségével megadunk egy explicit formulát az approximált félcsoportra. Ehhez el ször tekintsük a következ lemmát Lemma. Legyen S L(X), melyre S m M teljesül, valamilyen M 1 és minden m N esetén. Ekkor e n(s Id) f S m f nm Sf f, f X, n N Tétel. (Cherno-tétel). Legyen F : R + L(X) olyan függvény, melyre F () = Id, és amelyhez létezik M 1, hogy F (t) k M minden t, k N esetén. És tegyük fel, hogy az Af := lim h F (h)f f h limesz létezik minden f D X esetén, ahol D és (λ A)D s r alterek X-ben valamely λ > esetén. Ekkor A egy (T (t)) t melyre 27 er sen folytonos félcsoportot generál,
28 és a limesz [, t 1 ]-en egyenletes a t-ben. T (t)f = lim n [F (t/n)] n f, f X, Bizonyítás: Deniáljuk az alábbi operátort minden s > számra. A s := F (s) Id s L(X). Ekkor A s f Af minden f D esetén, ha s. Valamint az (e tas ) t félcsoportokra teljesül, hogy e tas e t/s e tf (s)/s e t/s k= t k F (s) k s k k! M, t. (4) Így ha áttérünk s helyett diszkrét n N paraméterre, akkor teljesülnek a második TrotterKato-tétel feltételei. Így A egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre teljesül, hogy T (t)f e tas f, f X, ha s [, t 1 ]-en egyenletesen. Így T (t)f e ta t/n f, f X, ha n (5) [, t 1 ]-en egyenletesen. Továbbá a 6.6. Lemma szerint e ta t/n f F (t/n) n f = e n(f (t/n) Id) f F (t/n) n f nm F (t/n)f f = tm n A t/n f, n, (6) ha f D, (, t 1 ]-en egyenletesen. Mivel D s r és a (6) becslés és a feltétel szerint e ta t/n F (t/n) n 2M, így a 3.2. Lemma szerint a (6) konvergencia minden f X esetén teljesül. Így ha (5), (6)-ra határátmenetet veszünk, akkor teljesül, hogy T (t)f F (t/n) n f T (t)f e ta t/n f + e ta t/nf F (t/n) n f, n, ha f X, [, t 1 ]-en egyenletesen. Vagyis T (t)f = lim n [F (t/n)] n f, f X. A Cherno-tételt alkalmazhatjuk nemkorlátos esetekre is átskálázással, az alábbi következmény ezt mutatja meg Következmény. Legyen F : R + L(X) 28
29 olyan függvény, melyre F () = Id, és amelyhez létezik M 1, és ω R hogy És tegyük fel, hogy az [F (t)] k Me kωt, t, k N. Af := lim h F (h)f f h limesz létezik minden f D X esetén, ahol D és (λ A)D s r alterek X-ben valamely λ > ω esetén. Ekkor A egy (T (t)) t er sen folytonos félcsoportot generál, melyre és a limesz [, t 1 ]-en egyenletes. És T (t)f = lim n [F (t/n)] n f, f X, T (t) Me ωt, t. Bizonyítás: Skálázzuk át F (t)-t az alábbi módon. Erre teljesül, hogy F 2 (t) := e ωt F (t). F 2 (t) k = (e ωt F (t)) k e ωt k F (t) k e ωtk Me kωt = M, t, k N. Ennek pedig a -beli deriváltja A ω, így az állítás következik a Cherno-tételb l. A következményt alkalmazva megkapjuk a PostWidder-inverziós formulát, melynek segítségével a félcsoportot kifejezhetjük a rezolvenssel. Valamint látni fogjuk, hogy a formula numerikus szemszögb l éppen az implicit Euler-formulát adja meg Következmény. (PostWidder-inverziós formula). Legyen (T (t)) t er sen folytonos félcsoport X-en, melynek generátora (A, D(A)). Ekkor T (t)f = lim n ( n t R( n t, A)) n f = lim n ( Id t n A) n f, f X és a limesz [, t 1 ]-en egyenletes t-ben. 29
30 7. Térbeli diszkretizációs módszerek A továbbiakban a (T (t)) t jelölés helyett T -vel jelöljük a félcsoportokat. Eddig absztrakt módon vizsgáltuk a félcsoportokat, most szeretnénk az elméleti hátteret numerikus módszerekben felhasználni. Szeretnénk közelíteni az (ACP) feladat megoldását numerikusan, a gyakorlatban számítógépes program segítségével. Feltesszük, hogy A egy er sen folytonos T félcsoport generátora X-en, továbbá, hogy az A m generátorsorozat konvergál A-hoz valamilyen módon, és az A m -ek T m er sen folytonos félcsoport generátorai. Vizsgáljuk meg, hogy ekkor T m sorozat konvergál-e T -hez. De- niáljuk ehhez a félcsoportok konvergenciájának egy fogalmát Deníció. A T m félcsoportsorozat er sen konvergál a T félcsoporthoz, ha teljesül, hogy lim T m(t)f T (t)f = f X esetén, (7) m és ha a konvergencia egyenletesen minden [, t 1 ] intervallumon. A továbbiakban a T m (t)f T (t)f jelölést használjuk. Deniáljuk az alábbi feltételeket a J m, P m operátorokra, melyek segítségével másik térbe térhetünk át, majd vissza az eredetibe Feltétel. Legyenek X m, X Banach-terek, P m : X X m, J m : X m X korlátos lineáris operátorok a következ tulajdonságokkal: Létezik K >, hogy P m, J m K minden m N esetén, P m J m = Id m, ahol Id m az identitásoperátor X m téren, J m P m f f, ha m, minden f X esetén. Azaz J m P m er sen konvergál az identitásoperátorhoz. A gyakorlatban X = C[a, b], X m = R m, és a P m, J m operátorokra azért van szükség, mert az operátor, amit alkalmazni szeretnénk, nem alkalmazható folytonos függvényekre, ezért el bb egy P m projekciót alkalmazunk, hogy diszkrét pontokat kapjunk, majd ezekre alkalmazzuk a numerikus megoldást kiszámító operátort, és az így kapott pontokat a J m operátorral valamilyen interpolációs eljárással újra folytonossá tesszük. Nézzünk egy példát a térbeli approximációra, melyben szeretnénk közelíteni folytonos függvényeket az el bbi feltételek alapján, rácspontok segítségével Példa. (Végesdierencia-módszer). Legyen X := {f C([, 1]) : f(1) = } és X n := C n, 3
31 mindkett a megfelel maximumnormával. Legyen minden f X esetén vagyis a rácspontbeli értékek, és legyen (P m f) k := f( k ), k =,..., m 1, m J m (η,..., η m 1 ) := ahol x [, 1] és k {,..., m 1} esetén Ekkor P m J m = Id C m feltételek. m 1 k= η k B m,k, ( m x k 1 ) [ k 1 ha x m m, k ), m ( B m,k (x) = k + 1 ) [ k m m x ha x m, k + 1 ), m különben. és m esetén J m P m f f. Vagyis teljesülnek a 7.2.-beli Tekintsünk újabb feltételeket, melyek segítségével deniálhatjuk a félcsoportok p-ed rend konvergenciáját Feltétel. Legyenek az A m, A operátorok T m, T er sen folytonos félcsoportok generátorai az X m, X Banach-tereken, és tegyük fel, hogy létezik M, ω R, melyre teljesül, hogy T (t), T m (t) Me ωt minden m N, t esetén. (8) Továbbá tegyük fel, hogy létezik Y D(A) s r altér, melyre minden f Y -hoz létezik w m D(A m ) sorozat, hogy w m P m f Xm és A m w m P m Af Xm, ha m. (9) Ekkor a 7.2. Feltétel mellett a második konvergencia ekvivalens azzal, hogy J m A m w m Af, ha m minden f Y esetén Állítás. Tegyük fel, hogy a 7.2., 7.4. Feltételek fennállnak, P m Y D(A m ) minden m-re, és Y -ra teljesül, hogy T (t) Y Me ωt. Ekkor ha létezik C > és p N, melyekre minden f Y esetén 31
32 A m P m f P m Af Xm C f Y m p, akkor minden t > esetén létezik C >, hogy T m (t)p m f P m T (t)f Xm C f Y m p. S t, a [, t ] intervallumokon egyenletes a konvergencia. Ekkor azt mondjuk, hogy a konvergencia p-ed rend. Bizonyítás: El ször az X m = X, J m = P m = Id m esetet nézzük. Ekkor minden f Y esetén Af = A m f + (A A m )f. Alkalmazzuk a konstans variációs formulát az s T m (t s)t (s)f folytonosan dierenciálható függvényre, ahol s [, t], t tetsz leges, rögzített szám. T (t)f = T m (t)f + Ekkor tetsz leges rögzített t-re teljesül, hogy T (t)f T m (t)f T m (t s)(a A m )T (s)fds Me ω(t s) (A A m )T (s)f ds Me ω(t s) Me ωs C m p f Y ds M 2 e ωt t C m p f Y. Ekkor C = CM 2 e ωt t választható, vagyis az állítás teljesül. Az általános esethez az s T m (t s)p m T (s)f, s [, t] függvényre alkalmazzuk a konstans variációs formulát. P m T (t)f = T m (t)p m f + Innent l a fentiek alkalmazhatók. P m T (t)f T m (t)p m f T m (t s)(p m A A m P m )T (s)fds. Me ω(t s) (P m A A m P m )T (s)f ds Me ω(t s) Me ωs C m p f Y ds M 2 e ωt t C m p f Y. Ekkor C = CM 2 e ωt t választható megint, vagyis az állítás teljesül. Ezek után nézzük tovább a végesdierencia-módszert, milyen rend konvergencia teljesül rá Példa. (Végesdierencia-módszer, folytatás) Legyenek J m, P m operátorok olyanok, mint a 7.3. Példában, és legyen A generátor, melyre Af := f, és D(A) := {f C 1 ([, 1]) : f(1) = f (1) = }. 32
33 Legyen η = (η,..., η m 1 ) X m esetén (A m η) k := m(η k+1 η k ) ha k :=,..., m 2, és (A m η) m 1 := mη m 1. (1) Ekkor, ha η = P m f, igaz, hogy ( ( k + 1 ) (A m P m f) k := m f m Ekkor teljesül, hogy ahol J m A m P m f Af = m 1 k= m 1 ( f ( k f m)) ) k+1 f m 1 m ( k m ) = f (ξ k )B m,k f k= m 1 f f ( k )B m m,k + k= k= k :=,..., m 1 esetén. B m,k f max k=,...,m 1 f ( k ) f (ξ m k ) m 1 f f ( k )B m m,k + ω ( f, m) 1, ha m, ω ( f, 1 m) :=sup{ f (x 1 ) f (x 2 ) : x 1 x 2 1 m }. Vagyis f C 1 ([, 1]) esetén A m A, így teljesül a konvergencia. Ha f C 2 ([, 1]), akkor még az is fennáll, hogy (A m P m f P m Af) k = f(k+1) f( k ) m m 1 f ( k ) = f (ξ m k ) 1, 2m m mivel felírható rá a Taylor-sor az alábbi módon. És így teljesül, hogy f( k + 1 ) = f( k ) + f ( k ) 1 + f (ξ) 1 1, ahol ξ [ k, k + 1 ]. m m m m m m 2 m m m A m P m f P m Af f 2m. Vagyis fennáll els rend konvergencia, ha f C 2 ([, 1]). Az alábbi tételben megvizsgáljuk, hogy a generátorok konvergenciája hogy függ össze a határértékbeli generátor által generált félcsoporttal Tétel. Legyen T egy (M, ω)-típusú félcsoport (azaz T (t) Me ωt, t ), melynek generátora A az X Banach-téren. Tegyük fel, hogy az A m L(X) operátorsorozatra teljesülnek az alábbiak. (1) Az A m operátorok kommutálnak a T félcsoporttal, vagyis 33
34 A m T (t) = T (t)a m minden m N, t esetén; (2) Az A m által generált félcsoportok egyenletesen korlátosak, vagyis létezik M 1, ω R, hogy e tam Me ωt ; (3) Az A m operátor approximálja A-t, vagyis létezik D D(A) halmaz, hogy lim m A mf = Af minden f D esetén. Ekkor T (t)f = lim m etam f minden f X esetén. Továbbá, a konvergencia egyenletes a [, t ] intervallumokon. Bizonyítás: Legyen f D, és tekintsük az s e (t s)am T (s)f, s [, t] függvényt, mely folytonosan dierenciálható. Ekkor teljesül, hogy e tam f T (t)f = e (t s)am (A m A)T (s)fds = e (t s)am T (s)(a m A)fds tm 2 e ωt (A m A)f, ha m. vagyis teljesül a konvergencia minden f D-re. Mivel D s r és az operátorok korlátosak, mégpedig azonos korláttal, így minden f X esetén is igaz a konvergencia a BanachSteinhaus-tétel szerint. Vagyis azt kaptuk, hogy a generátorok határértéke által generált félcsoport éppen a generátorsorozat által generált félcsoportok határértéke. Így a tétellel megkaptuk a félcsoportok térbeli approximációját. A következ approximációs formula következik a tételb l Következmény. Legyen T egy (M, )-típusú félcsoport, és legyen Ekkor B τ := 1 (T (τ) Id). τ T (t)f = lim τ e tbτ f. Bizonyítás: Mivel T egy (M, )-típusú félcsoport, így teljesül, hogy e tbτ = e t τ (Id T (τ)) = e t t τ e τ T (τ) = e t t τ e τ T (τ) = = e t T (τ) n t n τ t e T (τ) n t n n! τ n τ = n! τ n n= = e t τ n= T (τn) n! t n n= τ n Me 34 t t τ e τ = M,
35 ami teljesíti a 7.7. Tétel (2)-es pontját. Az (1), (3) feltétel pedig adódik a denícióból, ahonnan következik az állítás. 8. Id beli diszkretizációs módszerek A következ fejezetek Bátkai A. és munkatársai [2] jegyzetének és K. Ito, F. Kappel [5] könyvének felhasználásával készültek. Az el z fejezetben megnéztük a félcsoportok térbeli approximációját, és kaptuk, hogy T (t)f = lim f. Ekkor az m etam e tam mátrixa egy m m-es mátrix, ami nagyon nagy, ha m nagy, így ez a gyakorlatban kiszámíthatatlan. Ezért szeretnénk ezt is közelíteni, vagyis a félcsoportot id ben diszkretizálni. Válasszunk egy τ lépésközt. Szeretnénk az u(nτ) értéket közelíteni u n -nel úgy, hogy u n u(nτ) teljesüljön, ha τ. Ehhez tekintsük a következ deníciót Deníció. Legyen T félcsoport, melynek generátora A. És tekintsük az (ACP)- t az X Banach-téren. Legyen F : [, ) L(X) er sen folytonos függvény, melyre F () = Id. a) Legyen D D(A) s r altér X-en, melyre F (τ)t (t)f T (t + τ)f lim τ τ minden f D esetén lokálisan egyenletesen t-ben. Ekkor azt mondjuk, hogy F az = (ACP)-hez tartozó konzisztens id diszkretizáció a D altéren. b) Egy konzisztens id diszkretizációt stabilnak nevezünk, ha létezik t 1 >, M 1, hogy minden τ, n N esetén, ha τn t 1. F (τ) n M c) Egy konzisztens id diszkretizációt konvergensnek nevezünk, ha minden t 1, τ k, n k esetén, melyekre n k τ k [, t 1 ] és n k τ k t, teljesül, hogy minden f X esetén. T (t)f = lim k F (τ k ) n k f Ekkor τ-t az id diszkretizáció lépésközének nevezzük Példa. Természetesen F (τ) = T (τ) a legjobb approximáció, hiszen minden fenti tulajdonságot teljesít, de mivel T -t nem ismerjük általában, éppen ezt szeretnénk kiszámítani közelítéssel, így a gyakorlatban nem használható. 35
36 Azt mondjuk, hogy az id diszkretizációs formulánk lokálisan jó approximáció, ha a lokális hiba, F (τ)f T (τ)f kicsi. Mivel a gyakorlatban nem ismerjük T -t, ezért tekintsünk egy másik konzisztenciafeltételt, F -beli deriváltjára Állítás. Legyen Y D(A) Banach-tér, mely s r X-ben és legyen folytonosan beágyazott altér a D(A) Banach-téren. Tegyük fel, hogy Y invariáns T -re és a megszorítása T -nek Y -ra er sen folytonos félcsoport. Ekkor ha F id diszkretizáció, pontosan akkor konzisztens az (ACP)-re Y -on, ha minden f Y esetén. Af = lim τ F (τ)f f τ =: F ()f (11) A következ id diszkretizáció-példa nagyon fontos, az implicit Euler-formulát adja meg. Megmutatjuk az állítás segítségével, hogy konzisztens Példa. Legyen ω >, melyre minden λ ω esetén λ ρ(a). Ekkor legyen τ (, 1 ω ] esetén F (τ) = 1 τ R( 1 τ, A) = (Id τa) 1 és F () = Id. Mint az alkalmazásnál látni fogjuk, ez a képlet az implicit Euler-módszernek felel meg. Nézzük meg, hogy a konzisztencia valóban teljesül rá. Tekintsük az alábbiakat. R(λ, A) = (λ A) 1 R(λ, A)(λ A) = Id λr(λ, A) Id = AR(λ, A) Így λ = 1-t helyettesítve kapjuk, hogy 1R( 1, A) Id = AR( 1, A). Így minden f τ τ τ τ D(A) esetén F (τ)f f τ = 1 τ R(1 τ, A)Af = 1 τ( 1 A)Af = 1 Af. (12) Id τa τ Ez pedig tart Af-hez, ha τ tart jobbról -hoz. Vagyis F ()f = Af. Így a 8.3. Állítás szerint F konzisztens. Nézzünk egy másik példát a konzisztens id diszkretizációra Példa. (CrankNicolson-formula). Deniáljuk a CrankNicolson-formulát a következ képpen. Legyen F (τ) = (Id + τ A)(Id τ 2 2 A) 1 minden τ (, 1 ] és F () = Id. ω Megmutatható, hogy a formula másodrendben konzisztens. 36
37 Szeretnénk a térbeli p-ed rend konvergenciához hasonlóan id ben is deniálni a magasabb rend konzisztenciát, konvergenciát, mely segítségével megadhatjuk, hogy egy operátorfélcsoportot alkalmazó numerikus módszer mennyire ad jó közelítést Deníció. Legyen A a T félcsoport generátora az X Banach-téren és legyen F id diszkretizáció. Tegyük fel, hogy létezik egy s r, folytonosan beágyazott Y X altér, mely T -re invariáns, és legyen p >. a) Ekkor azt mondjuk, hogy F az Y -on p-ed rendben konzisztens, ha létezik C >, hogy minden f Y esetén F (τ)f T (τ)f Cτ p+1 f Y. (13) b) Azt mondjuk, hogy F Y -on p-ed rendben konvergens, ha minden t 1 > -ra létezik K >, hogy minden f Y esetén F (τ) n f T (nτ)f Kt 1 τ p f Y. (14) minden n N, τ esetén, ha nτ [, t 1 ]. Vagyis a konzisztencia, a numerikus analízishez hasonlóan a lokális hibát adja meg, a konvergencia pedig a globálisat. Nézzük meg az id diszkretizációkra, hogy a konzisztencia és a konvergencia hogy függ össze Állítás. Tegyük fel, hogy létezik egy s r és folytonosan beágyazott Y D(A) altér, mely a T félcsoportra invariáns, és melyre T (t) Y Me ωt. Ha létezik p >, melyre F stabil, p-ed rendben konzisztens id diszkretizáció Y -on, akkor F p-ed rendben konvergens is Y -on. Bizonyítás: Az alábbiakban felhasználjuk a következ teleszkóp-összeget. n 1 a n b n = a n 1 j (a b)b j (15) j= Legyen ω, és legyen t 1 > rögzített. Ha f Y, n N és τ, melyekre 37
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenOperátorkiterjesztések Hilbert-téren
Tarcsay Zsigmond Operátorkiterjesztések Hilbert-téren Szakdolgozat Témavezet : Sebestyén Zoltán egyetemi tanár Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2008 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenItô-formula. A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája. Medvegyev Péter Matematika tanszék
Itô-formula A sztochasztikus folyamatok egyik legfontosabb formulája Medvegyev Péter Matematika tanszék 2008 Medvegyev (Corvinus Egyetem) Itô-formula 2008 1 / 39 Az Itô-formula Theorem Ha F kétszer folytonosan
RészletesebbenÖnadjungált és lényegében önadjungált operátorok
Molnár András Önadjungált és lényegében önadjungált operátorok Szakdolgozat Témavezet : Tarcsay Zsigmond adjunktus Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar 2016 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés
Részletesebben10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenMátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenKonvex optimalizálás feladatok
(1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Részletesebben1. Számsorozatok és számsorok
1. Számsorozatok és számsorok 1.1. Számsorozatok A számsorozatok egyszer függvények, amelyek hasznos épít kövei lesznek a kés bbi fogalmaknak. 1.1 Deníció. Az a : IN IR típusú függvényeket (valós) számsorozatoknak
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenChomsky-féle hierarchia
http://www.cs.ubbcluj.ro/~kasa/formalis.html Chomsky-féle hierarchia G = (N, T, P, S) nyelvtan: 0-s típusú (általános vagy mondatszerkezet ), ha semmilyen megkötést nem teszünk a helyettesítési szabályaira.
RészletesebbenTartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenParabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett
Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett Kovács Balázs és Christian Lubich University of Tübingen SFB 1173 BME Alkalmazott Analízis Szeminárium 2016. november 10., Budapest Kovács B. (Tübingen)
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenWigner tétele kvantummechanikai szimmetriákról
Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet és MTA-DE "Lendület" Funkcionálanalízis Kutatócsoport, Debreceni Egyetem 2014. Október 30. Elméleti Fizika Szeminárium A tétel története Wigner tétele Tétel Legyen
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenMátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22
Mátrixfüggvények Wettl Ferenc 2016. április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények 2016. április 28. 1 / 22 Tartalom 1 Diagonalizálható mátrixok függvényei 2 Mátrixfüggvény a Jordan-alakból 3 Mátrixfüggvény
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben