Debreceni Egyetem. Komplex függvénytan. Jegyzet. Készítette: Szokol Patrícia Dr. Molnár Lajos előadása alapján

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Debreceni Egyetem. Komplex függvénytan. Jegyzet. Készítette: Szokol Patrícia Dr. Molnár Lajos előadása alapján"

Átírás

1 Debreceni Egyetem Komplex függvénytan Jegyzet Készítette: Szokol Patrícia Dr. Molnár Lajos előadása alapján

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3.. Komplex számok, számsorozatok 3.2. Lineáris törtfüggvények 7 2. Síkbeli tartományok 0 3. Komplex függvények differenciálhatósága 2 4. Hatványsorok 6 5. Exponenciális és trigonometrikus függvények Pályamenti integrál Holomorf függvények Cauchy-elmélete Liouville-tétel Cauchy integráltétel és integrálfomulák homológ változata Holomorf függvények zérushelyei Maximum-tétel Laurent-sor Holomorf függvények izolált szinguláris helyei 52. Cauchy-féle reziduum-tétel és alkalmazásai 58.. Trigonometrikus integrálok 6.2. Racionális törtfüggvények improprius integrálja Argumentum elv és Rouché-tétel 70 2

3 . Bevezetés.. Komplex számok, számsorozatok. A matematika fejlődése során a komplex számok bevezetését elsősorban az motiválta, hogy bizonyos racionális együtthatós polinomoknak, például az x 2 + polinomnak nincs gyöke a valós számok teste felett. Azóta viszont ismeret az algebra alaptétele, mely szerint minden legalább elsőfokú, valós vagy komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke... Definíció. Tekintsük az {(x, y) : x, y R} halmazt majd értelmezzük ezen a halmazon az összeadás és a szorzás műveletet a következő módon. Bármely két (x, y), (u, v) R R esetén legyen () (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) (x, y)(u, v) = (xu yv, xv + yu) Ezekkel a műveletekkel R 2 testet alkot, melyet a komplex számok testének nevezünk és C-vel jelölünk. Könnyen látható, hogy az x (x, 0) (x R) transzformáció révén R részteste a komplex számok testének. A C elemei között kitüntetett szerepe van az i := (0, ) elemnek. Az () alapján könnyen ellenőrizhető, hogy i 2 = (0, ) 2 = (, 0), valamint, hogy az := (, 0) a komplex számok multiplikatív egységeleme, azaz bármely (x, y) C esetén (, 0)(x, y) = (x, y)(, 0) = (x, y)..2. Definíció. Másik jelölés használatával jutunk a komplex számok úgynevezett binom alakjához. (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, ) = x + yi. A fenti jelölésekkel a z komplex szám valós részén Re(z) := x, képzetes részén pedig a Im(z) := y számot értjük. A derékszögű koordinátarendszer vízszintes tengelyén a komplex szám valós részét, a függőleges tengelyen pedig a képzetes részt jelölve a komplex számokat vektorként ábrázolhatjuk..3. Definíció. A z = x + iy komplex szám konjugáltján a z := x iy komplex számot értjük, abszolútértékén pedig a számot. z = x 2 + y 2 = zz /2 3

4 .4. Megjegyzés. () A definícióból látszik, hogy egy z komplex szám z konjugáltjának megfelelő vektort megkapjuk, ha a z-hez tartozó vektort az x-tengelyre tükrözzük. (2) Egy z komplex szám abszolútértéke a neki megfelelő vektor hossza. (3) Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely z, w C esetén zw = z w. Minden komplex szám felírható a hosszának és irányának szorzataként az alábbi módon..5. Definíció. Legyen a z C-nek megfelelő vektor x-tengellyel bezárt szöge θ, ahol θ [0, 2π[. Ezt a θ szöget z argumentumának nevezzük és z trigonometrikus alakján a (2) z = z (cos θ + i sin θ) kifejezést értjük. A későbbiekben látni fogjuk, hogy teljesül a következő összefüggés e iz = cos z + i sin z melyet felhasználva (2)-ből kapjuk, hogy z = z e iθ. (z C), Könnyen megmutatható, hogy két komplex számot összeszorozva a komplex számok hossza összeszorzódik, az argumentum pedig az argumentumok összegével lesz egyenlő modulo 2π. Legyen z, w C, továbbá legyen θ, ill. φ rendre z, ill. w argumentuma. Ekkor zw = z w e iθ e iφ = zw e i(θ+φ), ami valóban mutatja, hogy arg(zw) = arg(z) + arg(w).6. Tétel. Legyen z, z 2,..., z n C. Ekkor z + z 2 z + z 2 (mod 2π). z + z z n z + z z n (z,..., z n C), azaz a valós esethez hasonlóan igaz a háromszög-egyenlőtlenség, valamint a sokszögegyenlőtlenség..7. Megjegyzés. A fenti tételben pontosan akkor kapunk egyenlőséget, ha a z, z 2,..., z n komplex számoknak megfelelő vektorok azonos irányúak és azonos irányításúak..8. Tétel. Legyen z, w C. Ekkor z w z w. Az alábbiakban metrikus szemszögből vizsgáljuk C-t, (mely metrikus szempontból megegyezik R 2 -vel) és emlékeztetünk a legfontosabb metrikus fogalmakra. 4

5 .9. Definíció. Legyen z, w C. Ezek távolságát a d(z, w) = z w képlettel definiáljuk. A fenti d nyilvánvalóan metrika, ugyanis d(z, w) pontosan a z és w, mint R 2 -beli vektorok euklideszi távolságával egyenlő..0. Definíció. Legyen z C és r > 0. A z középpontú, r sugarú nyílt, illetve zárt körlapot a következőképpen definiáljuk: D r (z) := {w C : z w < r} illetve D r (z) := {w C : z w r}. További metrikus fogalmak:.. Definíció. Egy z C pont az A C halmaznak belső pontja, ha r > 0, hogy D r (z) A; torlódási pontja, ha r > 0 esetén {D r (z)\{z}} A ; érintkezési pontja, ha r > 0 esetén D r (z) A határpontja, ha r > 0 esetén D r (z) A és D r (z) A c ; (itt A c az A halmaz komplemeterét jelöli.) A C egy részhalmazát nyíltnak nevezzük, ha a részhalmaz minden pontja belső pont és zártnak mondjuk, ha komplementere nyílt..2. Megjegyzés. Az előző definíciók alapján könnyen végiggondolhatók az alábbi egyszerű állítások: Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha minden torlódási pontját tartalmazza. Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha megegyezik érintkezési pontjai halmazával..3. Definíció. A (z n ) : N C komplex számsorozatot konvergensnek nevezzük, ha z C, úgy, hogy ɛ > 0 esetén n 0 N, hogy n n 0 esetén z n z < ɛ. A z komplex számot a komplex számsorozat határértékének nevezzük..4. Tétel. Legyenek (z n ), (w n ) : N C konvergens sorozatok, melyekre z n z és w n w és λ C. Ekkor (z n + w n ), (λz n ), (z n ), (z n w n ) illetve, ha w w n 0 (n N), akkor (z n /w n ) sorozatok is konvergensek és határértékeik rendre z + w, λz, z, zw illetve z/w. A Bolzano-Weierstrass tétel valamint a Cauchy-kritérium is fennállnak ugyanúgy, mint valós esetben..5. Tétel (Bolzano-Weierstrass). Minden korlátos komplex számsorozatnak van konvergens részsorozata..6. Tétel. A (z n ) : N C komplex számsorozat pontosan akkor konvergens, ha ɛ > 0 esetén n 0 N, hogy n, m n 0 esetén z n z m < ɛ. 5

6 Ismeretes, hogy R n -ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Láttuk, hogy C metrikus szempontból megegyezik R 2 -vel. Mivel C nem korlátos, így nem is kompakt, azonban már egy pont hozzávételével kompakttá tehető a következő módon. A komplex számsíkra helyezve az R 3 -beli egységsugarú gömböt úgy, hogy az érintkezési pont (déli pólus) az origóban legyen, a (0,0,2) pontból (Északi-pólusból) kiinduló félegyenesek segítségével a komplex sík pontjainak egyértelműen megfeleltethetőek a gömb pontjai. A komplex sík egy pontjának a gömb azon, Északi pólustól különböző pontját feleltetjük meg, melyben a megfelelő félegyenes metszi a gömböt. Könnyen végiggondolható, hogy ha a komplex sík egy z elemére z, akkor a z pont gömbön felvett képe az Északi-pólushoz tart. Az Északi-pólust a sík végtelen pontjának megfeleltetve, kölcsönösen egyértelmű megfeletetés adható a végtelennel kibővített számsík és a teljes számgömb között. Nyilvánvaló, hogy ez a leképezés mindkét irányban folytonos. A fenti beazonosításban szereplő gömböt Riemann-féle vagy komplex számgömbnek nevezzük, a leképezés pedig a sztereografikus vetítés..7. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (z n ) komplex számsorozat tart a végtelenbe, ha K > 0 valós számhoz n 0 N, hogy n 0 n esetén z n > K..8. Megjegyzés. Ez azt jelenti, hogy a (z n ) komplex számsorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha z n +, mint valós számsorozat. Következésképpen a már említett Bolzano-Weierstrass tétel a következő formában is igaz. Kibővített számsíkon minden sorozatnak van konvergens részsorozata. A továbbiakban a komplex függvények tulajdonságai kerülnek összefoglalásra..9. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz, f : D C és z 0 D. Ekkor f folytonos z 0 -ban, ha ɛ > 0 esetén δ > 0, hogy z z 0 < δ, z D esetén f(z) f(z 0 ) < ɛ. Könnyen látható, hogy egy komplex függvény akkor folytonos, ha mint 2-változós valós függvény folytonos..20. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz és z 0 torlódási pontja D-nek. Az f : D C függvénynek z 0 -ban létezik határértéke és az w 0 C, ha ɛ > 0 esetén δ > 0, hogy 0 < z z 0 < δ, z D esetén f(z) w 0 < ɛ. A folytonosság átviteli elvvel, illetve a határérték sorozatokkal történő megfogalmazása komplex függvényekkel kapcsolatban hasonlóan érvényben marad, mint a valós függvények esetében. Valamint igaz az összegfüggvény, szorzatfüggvény folytonosságára vonatkozó tétel is..2. Tétel. Legyen D C nyílt halmaz és az f, g : D C függvények folytonosak z 0 D-ben. Ekkor f +g, f g, fg, illetve, ha g(z 0 ) 0, akkor f/g is folytonosak z 0 -ban. Hasonlóan,.22. Tétel. Legyen D C nyílt halmaz és z 0 torlódási pontja D-nek és tegyük fel, hogy az f, g : D C függvényeknek létezik a határértékük z 0 -ban és lim z z0 f(z) = u és 6

7 lim z z0 g(z) = v, ahol u, v C. Ekkor az f + g, f g, fg, illetve, ha g(z 0 ) 0, v 0, akkor az f g függvényeknek is létezik a határértékük a z 0 pontban, és lim (f(z) + g(z)) = u + v; z z 0 lim (f(z)g(z)) = uv; z z 0 lim (f(z) g(z)) = u v; z z0 ( ) f(z) lim = u z z0 g(z) v. Összetett függvények esetén a következő állítások teljesülnek:.23. Tétel. Legyen D, D 2 C és f : D C, valamint g : D 2 C, ahol f(d ) D 2. Ha f folytonos z 0 D -ben, g pedig folytonos f(z 0 )-ban, akkor a g f összetett függvény is folytonos z 0 -ban..24. Tétel. Legyen D C és f : D C, valamint g : f(d ) C. Továbbá legyen z 0 a D -nek, w 0 pedig f(d )-nek torlódási pontja úgy, hogy z z 0 esetén f(z) w 0. Ha léteznek a következő határértékek lim f(z) = w 0 ; z z 0 akkor létezik a lim z z0 (g f)(z) = A. lim g(w) = A, w w 0 A fenti tételek alapján látható, hogy a komplex függvények folytonosságára illetve határértékeire vonatkozóan hasonló szabályok érvényesek, mint a valós függvényekkel kapcsolatban..2. Lineáris törtfüggvények. Ebben a részben a komplex lineáris törtfüggvények geometriai szerkezete kerül leírásra. A valós esettől komplikáltabb a szerkezet. Már az az + b alakú lineáris függvényt tekintve is könnyen észrevehető a különbség. Valós esetben ugyanis egy ilyen lineáris transzformáció egy nyújtás és egy eltolás kompozíciójaként áll elő, a komplex esetben azonban már megjelenik a forgatás is..25. Definíció. A w = f(z) = az + b (z C) cz + d alakú függvényeket, ahol a, b, c, d C, melyekre teljesül, hogy a b c d 0, lineáris törtfüggvényeknek nevezzük. Ezen törtfüggvények vizsgálatához tegyük fel először, hogy c 0. Ekkor a lineáris törtfüggvény a z = d/c helyen nincs értelmezve. Viszont ekkor észrevehetjük, hogy z d/c esetén f(z). Abban az esetben pedig, amikor z, akkor f(z) a/c. A definícióban szereplő törtfüggvényt úgy értelmezve, hogy a z = d/c pontnak a pontot feleltetjük meg, a z = pontnak pedig az a/c pontot, a lineáris törtfüggvény a kibővített komplex számsíkot (illetve a Riemann-féle számgömböt) egyértelműen képezi le önmagára. 7

8 A következő lépésben tegyük fel, hogy c = 0. Ekkor a feltételek miatt d 0, így f(z) = a d z + b d alakú lineáris függvény adódik. Ekkor z esetén f(z). Így azt kapjuk, hogy z = pontnak a pontot megfeleltetve, a lineáris törtfüggvény a kibővített komplex számsíkot (illetve a Riemann-féle számgömböt) egyértelműen képezi le önmagára. Az f függvény inverze is könnyen kiszámolható, mely szintén lineáris törtfüggvény f (w) = dw b cw + a. A továbbiakban a lineáris törtfüggvények szerkezetét vizsgáljuk meg. Megnézzük, hogy milyen transzformációk kompozíciójaként állíthatóak elő ezek a törtfüggvények. Az elsőként vizsgált, c = 0 esetben f(z) = a d z + b d = a z + b alakú lineáris függvény, ahol a 0. Kisebb átalakítás után adódik, hogy f(z) = a (z + b a ) = a a a (z + b a ), ahol z (z + b a ) egy eltolást, a a valós számmal való szorzás egy nyújtást vagy zsugorítást, végül a a a egy abszolútértékű komplex számmal való szorzás egy forgatást jelent. A c 0 esetben pedig alakban írható, ahol f(z) = az + b cz + d = a bc ad c + c 2 = a z + d c c + bc ad c 2 z + d c z z + a c egy eltolás, a bc ad c 2 számmal való szorzás egy nyújtás vagy zsugorítás és egy forgatás kompozíciója és z z + d c egy eltolás és a reciprok vétel kompozíciója. A reciprok vételt tovább vizsgálva, z z = z z 2 = adódik, ami egy egységkörre vonatkozó tükrözés z z z 2 és egy tükrözés kompozíciója. Összefoglalva a fentieket: z z z z 2,, 8

9 .26. Tétel. Minden komplex lineáris törtfüggvény előállítható a következő egyszerű transzformációk kompozíciójaként: eltolás nyújtás forgatás (origó körül, rögzített szöggel) valós tengelyre való tükrözés egységkörre való inverzió..27. Megjegyzés. Az eltolás, a nyújtás, a forgatás, a valós tengelyre való tükrözés, valamint az egységkörre való inverzió is kört körbe vagy egyenesbe, egyenest pedig egyenesbe vagy körbe képeznek. (Valójában ezek közül csak az egységkörre való inverzió az a transzformáció, ami a kört átviszi egyenesbe, az egyenest pedig körbe.) Valamint két egyenest tekintve, az általuk bezárt szög megegyezik a fenti leképezések során kapott egyenesek által bezárt szöggel, azaz ezen leképezések szögtartóak. A forgási irányt pedig csak a valós tengelyre való tükrözés és az egységkörre való inverzió fordítja meg, de ezek a lineáris törtfüggvény szerkezetében mindig egyszerre fordulnak elő. Ezeket összefoglalva:.28. Tétel. Lineáris törtfüggvény szögtartó (konformis) és a forgási irányt is megtartja. Továbbá kört körbe vagy egyenesbe és egyenest egyenesbe vagy körbe képez..29. Definíció. Legyen z, z 2, z 3, z 4 C. Ezen komplex számok kettős viszonya alatt a következő mennyiséget értjük: (z, z 2, z 3, z 4 ) = z 3 z z 3 z 2 z4 z z 4 z Tétel. A lineáris törtfüggvény megtartja a kettősviszonyt. A következő alakú lineáris törtfüggvények segítségével a felső félsík egységkörlapra való leképezése is elérhető w = k z α z α, ahol k és α olyan komplex számok, melyekre k = és az α képzetes része pozitív. Valamint az alábbi alakú lineáris törtfüggvényeket alkalmazva az egységkörlap is leképezhető önmagára w = k z α αz, ahol k és α tetszőleges komplex számok, melyekre k = és α <. 9

10 2. Síkbeli tartományok 2.. Definíció. Az X metrikus teret összefüggőnek nevezzük, ha nem létezik U, V X nemüres, nyílt részhalmaz, hogy U V = és U V = X Tétel. Legyen X metrikus tér. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: () X nem összefüggő; (2) A X nyílt-zárt halmaz, melyre A, A X; (3) f : X R folytonos függvény: f(x) = {0, }. Bizonyítás. () (2) Ha X nem összefüggő, akkor felbontható két nemüres, diszjunkt nyílt részhalmaz uniójára, azaz U, V X nemüres, nyílt részhalmazok, melyekre U V = és U V = X. Tekintve az U nemüres, nyílt halmazt, ennek komplementuma a U c = V, mely szintén nemüres, nyílt. Ebből következően U zárt is és U X. (2) () Ha U olyan nyílt-zárt halmaz, amire U, U X, akkor mivel U zárt, akkor komplementuma nyílt és mivel U nem az egész tér, akkor U c. Így elő tudtuk állítani az X metrikus teret két nemüres, diszjunkt, nyílt halmaz uniójaként. () (3) X = U V, ahol U, V nyílt, U, V. Ekkor legyen { 0 ha x U f(x) = ha x V. Könnyen látható, hogy f(x) = {0, }. Valamint f folytonos is, ugyanis R egy N nyílt részhalmaza esetén az N halmaz f általi inverz képe U, V, illetve X valamelyike lesz, melyek mindegyike nyílt. (3) () Létezik f : X R folytonos, melyre f(x) = {0, }. Ekkor legyen U = f (( /2, /2)) V = f ((/2, 3/2)). A folytonosság miatt U és V nyílt, diszjunkt, melyekre U V = X. Így X nem összefüggő Definíció. Az X metrikus tér részhalmaza összefüggő, ha mint altér (metrikus tér) összefüggő Állítás. Legyen X metrikus tér és A X részhalmaza. Az A altér nyílt részhalmazai az A U alakú halmazok, ahol U X nyílt. Hasonló igaz zárt halmazokra is. Bizonyítás. Legyen A részhalmaza X-nek és U X nyílt halmaz. Az U-nak minden pontja belső pont. Tekintsünk az A U halmazból egy pontot. Ez U-nak belső pontja, így ha vesszük ezen belső pont A-ba eső környezetét, akkor látható, hogy az említett pont az A U halmaznak belső pontja lesz. Minden metszetbeli ponthoz tudunk olyan környezetet adni, ami benne van A-ban. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy A U nyílt A-ban. 0

11 Megfordítva, meg kell mutatni, hogy A minden nyílt halmaza A U alakú. Legyen N A nyílt A-ban. Vegyünk N minden pontja körül olyan nyílt környezetet, amely benne van N-ben. Így N egy lefedését kapjuk, azaz N = x N{D r (x) A r > 0, D r (x) A N}, így ( ) N = x N {D r (x) r > 0, D r (x) A N} A, ahol ( x N {D r(x) r > 0, D r (x) A N} ) nyilvánvalóan nyílt részhalmaza X-nek Tétel. Összefüggő metrikus tér folytonos képe is összefüggő Definíció. Legyen X metrikus tér. Az A X részhalmaz maximálisan összefüggő, ha nem létezik B X összefüggő részhalmaz, hogy A B és A B Definíció. Metrikus tér maximális összefüggő részhalmazait a tér komponenseinek nevezzük Állítás (Komponensek létezése). Legyen X egy metrikus tér és x X. Ekkor azon összefüggő részhalmazok uniója, melyek x-et tartalmazzák X egy komponensét adják. Az, hogy ez maximális, az nyilvánvaló. Az összefüggőség pedig a következő állításból következik Állítás. Metrikus térben tekintsük összefüggő halmazok egy tetszőleges rendszerét. Ha ezek metszete nemüres, akkor uniója összefüggő. Bizonyítás. Ez az állítás a 2.2 tétel (3)-as részéből következik. Ha ezen Y unió nem lenne összefüggő, akkor lenne olyan f : Y {0, } folytonos függvény, hogy f(y ) = {0, }. Legyen x tetszőleges közös eleme a halmazrendszer tagjainak, y Y pedig olyan elem, melyre f(x) f(y). Nyilván y eleme az uniót alkotó halmazok valamelyikének, ez viszont x-et is kell tartalmazza. Tehát ezen az összefüggő halmazon az f folytonos függvény a 0-t és az -t is felveszi, ami nyilvánvaló ellentmondás Állítás. Legyen X metrikus tér és C illetve C 2 két tetszőleges komponense X-nek. Ekkor C C 2 =. Így a komponensek a metrikus tér egy osztályozását adják. 2.. Definíció. Az X metrikus teret ívszerűen összefüggőnek nevezzük, ha x X, y X esetén a, b R, a b és : [a, b] X folytonos függvény, melyre (a) = x és (b) = y Állítás. Minden ívszerűen összefüggő metrikus tér összefüggő, de a megfordítás nem igaz. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy X ívszerűen összefüggő, de nem összefüggő. Ekkor f : X R folytonos függvény, melyre f(x) = {0, }. Ami azt jelenti, hogy x, y X,

12 melyre f(x) = 0 és f(y) =. Másrészt, mivel X ívszerűen összefüggő, a, b R, hogy a b és : [a, b] X folytonos függvény, melyre (a) = x illetve (b) = y. Ekkor f is folytonos lesz az [a, b] intervallumon és (f )([a, b]) = {0, }, ami ellentmondás, hiszen az [a, b] intervallum összefüggő. Vegyük a síkon a H = {(x, sin /x) x > 0} halmazt. Ez ívszerűen összefüggő, így összefüggő. A H lezártat tekintve, az összefüggőség megmarad, azonban ívszerűen nem összefüggő a H halmaz Állítás. Legyen X metrikus tér és A X összefüggő részhalmaz. Ekkor tetszőleges A B A esetén B is összefüggő. Ez az állítás megint a 2.2 tétel (3)-as része alapján igazolható Állítás. Ha D C nyílt, akkor D komponensei nyílt halmazok (nyílt részhalmazai a síknak). Bizonyítás. Legyen C a D egy komponense. A D nyíltsága miatt, a C egy x pontjához r > 0 : D r (x) D. Ez a D r (x) nyílt körlap azonban összefüggő, hiszen ívszerűen összefüggő. C maximális összefüggősége miatt ekkor D r (x) C, azaz C tetszőleges pontja körül van olyan nyílt körlap, ami benne van C-ben. Így C nyílt Definíció. Ha T C nemüres, összefüggő, nyílt halmaz, akkor T -t tartománynak nevezzük Tétel. Ha T tartomány, akkor T bármely két pontja T -beli töröttvonallal (véges sok szakasz uniójával) összeköthető és így T ívszerűen összefüggő. Bizonyítás. Legyen z T. Jelölje E z a T azon pontjait, amelyek összeköthetőek a z ponttal töröttvonal segítségével, N z pedig azon pontokat, amelyek nem. Ekkor E z N z = T és E z N z =. Azt állítjuk, hogy mindkét halmaz nyílt. E z, mivel z E z. Legyen w E z, ekkor r > 0 : D r (w) T és minden D r (w)-beli u elemre u E z. Ami azt jelenti, hogy E z nyílt. Ugyanez a gondolat működik N z -re. Összefoglalva a fentieket: T = E z N z ; E z N z = ; E z ; melyekből T összefüggősége miatt következik, hogy N z =, E z = T. 3. Komplex függvények differenciálhatósága 3.. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz, f : D C és z 0 D. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható a z 0 pontban, ha létezik a f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 2

13 határérték. Továbbá ezt a komplex számot az f függvény z 0 pontbeli differenciálhányadosának nevezzük és f (z 0 )-lal jelöljük. Ha f differenciálható a D minden pontjában, akkor f-et holomorfnak nevezzük D-n. Adott D esetén az összes ilyen f függvény halmazát H(D)-vel jelöljük Állítás. Legyen D C nyílt halmaz és f, g : D C olyan függvények, melyek differenciálhatóak a z 0 D pontban. Ekkor f + g is differenciálható z 0 -ban és (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ); bármely c C esetén (cf) is differenciálható a z 0 pontban és (cf) (z 0 ) = cf (z 0 ); (fg) is differenciálható a z 0 pontban és (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ); ha g(z 0 ) 0, akkor f g is differenciálható z 0-ban és ( ) f (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ). g [g(z 0 )] 2 Továbbá, ha D C nyílt, f(d) D és a h : D C függvény differenciálható f(z 0 )- ban, akkor h f is differenciálható a z 0 pontban és (h f) (z 0 ) = h (f(z 0 ))f (z 0 ). Ezen differenciálási szabályok bizonyításai teljesen analóg módon történnek, mint valós függvények esetén Állítás. Legyen D C nyílt halmaz, f : D C és z 0 D. Ha f differenciálható z 0 -ban, akkor f folytonos a z 0 pontban Megjegyzés. A fentiek szerint, tetszőleges D C nyílt halmaz esetén H(D) függvényalgebra. A következőkben a komplex differenciálhatóságra szeretnénk kritériumot adni a valós differenciálhatóság segítségével. Látni fogjuk, hogy a valós differenciálhatóság nem elegendő feltétel. Emellett szükség lesz az úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletek teljesülésére is. Rögzítsünk néhány jelölést. Legyen D C nyílt halmaz és tekintsük az f : D C komplex függvényt. A z = x + iy (x, y R) jelöléssel ahol u, v : D R 2 R. f(z) = u(x, y) + iv(x, y), 3

14 3.5. Tétel. A fenti jelölésekkel az f függvény (komplex értelemben) differenciálható a z 0 = x 0 + iy 0 D (x 0, y 0 R) pontban akkor és csak akkor, ha az u, v kétváltozós valós függvények differenciálhatóak az (x 0, y 0 ) pontban (valós értelemben) és teljesülnek az alábbi úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletek: Továbbá ebben az esetben u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ); u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Bizonyítás. Az f függvény pontosan akkor differenciálható (komplex értelemben) a z 0 = x 0 + iy 0 pontban, ha a, b R, hogy f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = a + ib. A jobboldalt kivonva és közös nevezőre hozva ez ekvivalens a következővel: f(z) f(z 0 ) (a + ib)(z z 0 ) lim = 0, z z 0 z z 0 ami pedig részletesen kiírva, azt jelenti, hogy ha z z 0 és z = x + iy (x, y R), akkor u(x, y) u(x 0, y 0 ) + i(v(x, y) v(x 0, y 0 )) z z 0 a(x x 0) b(y y 0 ) + ib(x x 0 ) + ia(y y 0 ) 0. z z 0 A képzetes és a valós részt különvéve z z 0 esetén u(x, y) u(x 0, y 0 ) (a(x x 0 ) b(y y 0 )) z z i[v(x, y) v(x 0, y 0 ) (b(x x 0 ) + a(y y 0 ))] z z 0 0 A következőkben felhasználjuk, hogy egy komplex számsorozat pontosan akkor tart 0- hoz, ha abszolút értéke tart 0-hoz, az abszolút érték pedig pontosan akkor tart 0-hoz, ha az abszolút érték négyzete tart a 0-hoz. Ez jelen esetben azt jelenti, hogy és [u(x, y) u(x 0, y 0 ) (a(x x 0 ) b(y y 0 ))] 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 0 [v(x, y) v(x 0, y 0 ) (b(x x 0 ) + a(y y 0 ))] 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 0. Ez ekvivalens azzal, hogy u és v differenciálható (x 0, y 0 )-ban és u (x 0, y 0 ) = (a, b); v (x 0, y 0 ) = (b, a), 4

15 azaz u és v differenciálható az (x 0, y 0 ) pontban és teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek. Továbbá, ha f differenciálható a z 0 pontban, akkor f (z 0 ) = a + ib = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Nézzünk néhány példát ezzel kapcsolatban: () Tekintsük a z Re(z) (z C) leképezést. Ekkor egy (x, y) komplex szám esetén (x, y) (x, 0), ami valós értelemben minden pontban differenciálható. A Cauchy-Riemann egyenletek azonban a következők: u x = ; u y = 0; v x = 0 v y = 0, azaz a Cauchy-Riemann egyenletek sehol sem állnak fent, így a tétel szerint ez a függvény komplex értelemben sehol sem differenciálható. (2) A z z 2 (z C), azaz az (x, y) (x 2 + y 2, 0) (x, y R) leképezés valós értelemben minden pontban diferrenciálható. Nézzük a Cauchy-Riemann egyenleteket: u x = 2x; v x = 0 u y = 2y; v y = 0. Csak a (0, 0) pontban áll fenn a Cauchy-Riemann egyenlet, ami azt jelenti, hogy a függvény komplex értelemben pontosan a (0, 0) pontban differenciálható. (3) Végül tekintsük a z z (z C), azaz az (x, y) (x, y) (x, y R) leképezést, ami valós értelemben szintén minden pontban differenciálható. Azonban u x = = v y, miatt kapjuk, hogy komplex értelemben egyetlen pontban sem differenciálható. Ebben az esetben a problémát a tükrözés jelenti, ami a forgási irányt megfordítja. A differenciálható esetben sosem fordulhat meg a forgási irány. Valóban, ha D C nyílt, f : D C pedig differenciálható z 0 D-ben, továbbá f (z 0 ) 0, akkor f lineárisan approximálható, azaz f(z) f(z 0 ) = f (z)(z z 0 ) + ω(z)(z z 0 ) (z C) valamely ω : D C függvénnyel, melyre ω(z) 0, ha z z 0. Ekkor f(z) f (z 0 )(z z 0 ) + f(z 0 ) z 0 egy kicsi környezetében, így f(z) jól közelíthető nyújtás, forgatás és eltolás segítségével, melyek mindegyike szögtartó és a forgási irányt megtartja. Következésképpen, ha egy komplex függvény a forgási irányt nem tartja meg, akkor nem lesz differenciálható komplex értelemben. 5

16 4. Hatványsorok 4.. Definíció. A c n komplex számsort konvergensnek nevezzük, ha az s n = n k=0 c k részletösszegek sorozatának létezik a határértéke, azaz c C : s n c, ha n Definíció. A c n számsort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a c n valós számsor konvergens Megjegyzés. Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium). Legyen c n komplex tagú sor. () Ha lim n c n <, akkor a c n sor abszolút konvergens; (2) ha lim n c n >, akkor a c n sor divergens Tétel (D Alembert-féle hányadoskritérium). Legyen c n olyan komplex tagú sor, melyre n 0 N, hogy n 0 < n esetén c n 0. () Ha lim c n+ c n <, akkor a c n sor abszolút konvergens; (2) ha lim >, akkor a c n sor divergens. c n+ c n 4.6. Megjegyzés. A Cauchy-féle gyökkritérium "jobb" abban az értelemben, hogy ha egy sor konvergenciáját el lehet dönteni a D Alembert-féle hányadoskritériummal, azt el lehet dönteni a gyökkritériummal is. Ha ugyanis a n > 0 (n N), akkor ( ) ( ) an+ lim lim n a n lim n an+ a n lim. a n A következő sorozat egy olyan példa, ahol a Cauchy-féle gyökkritérium segítségével eldönthető a konvergencia, de a D Alembert-féle hányadoskritériummal nem. Legyen { 3 n, ha n páros a n = 5 n, ha n páratlan. Ekkor lim n a n = 3 amiből <, viszont 5 (n+) 3 n = 5 lim ( an+ a n ( ) n 5 ; 3 ) = 0; lim 3 (n+) 5 n = 3 ( an+ a n ) =. a n ( ) n 3, Definíció. Legyen z 0 C és c n C adottak n = 0,, 2... esetén. Ekkor a c n(z z 0 ) n (z C) sort z 0 körüli hatványsornak nevezzük. Ezen hatványsor konvergenciasugara R = lim n c n, ha 0 < lim n c n < 0, ha lim n c n =, ha lim n c n = 0. 6

17 4.8. Tétel (Cauchy-Hadamard tétel). Legyen a c n(z z 0 ) n hatványsor konvergenciasugara R. Ekkor () ha z z 0 < R, akkor a c n(z z 0 ) n sor abszolút konvergens; (2) ha z z 0 > R, akkor a c n(z z 0 ) n divergens. Bizonyítás. A Cauchy-féle gyökkritérium alapján, ha lim z z 0 n c n <, akkor a hatványsor abszolút konvergens z-ben és ha lim z z 0 n c n >, akkor divergens z-ben. A lim n c n értéke alapján három esetet különböztetünk meg. Legyen először 0 < lim n c n <. Ekkor z z 0 < lim n c n esetén a hatványsor konvergens a z pontban, z z 0 > lim n c n esetén a hatványsor divergens a z pontban. A lim n c n = 0 esetben a hatványsor minden z pontban abszolút konvergens. Végül, ha lim n c n =, akkor a hatványsor csak a z = z 0 pontban konvergens Megjegyzés. Az R konvergenciasugár egyértelműen meghatározott azáltal, hogy a z 0 körüli, R sugarú körlap belsejében abszolút konvergens a hatványsor, azon kívül pedig divergens. Függvénysorként tekintve a hatványsort, a konvergenciasugárnak megfelelő nyílt körlap belsejében az pontonként konvergens lesz, azonban sokkal hasznosabb lenne, ha az egyenletes konvergencia is teljesülne. A konvergenciasugárnak megfelelő teljes nyílt körlapon ez nem teljesül, azonban igaz a következő tétel Tétel. A fenti jelölésekkel, ha R < R, akkor a c n(z z 0 ), mint függvénysor egyenletesen konvergens a z z 0 R zárt körlapon. Bizonyítás. Legyen R < R, ekkor R < lim n, mely szerint létezik olyan q, hogy c n lim n c n R < q <. A lim definíciója miatt, ebből következik, hogy n 0 N, melyre azaz n 0 N, hogy n 0 n sup n 0 n n cn R < q, n cn R < q. Végül ezt n-edik hatványra emelve kapjuk, hogy (R ) n c n < q n, 7

18 melyet felhasználva az adódik, hogy c n (z z 0 ) n = c n z z 0 n c n (R ) n < q n (z D R (z 0 )). Így a függvénysor n 0 < n indexű tagjai az R sugarú zárt körlapon a z-től függetlenül abszolút értékben becsülhető a qn konvergens numerikus sor megfelelő tagjaival. Így a Weierstrass majoráns kritérium miatt a hatványsor egyenletesen konvergens a D R (z 0 ) zárt körlapon. 4.. Tétel. Legyen c n C, n N {0} és z 0 C, továbbá legyen a c n(z z 0 ) n hatványsor konvergenciasugara R. Ekkor az f(z) = c n (z z 0 ) n ( z z 0 < R) módon értelmezett függvény differenciálható és deriváltja f (z) = nc n (z z 0 ) n n= ( z z 0 < R). Ebből következik, hogy az f függvény végtelen sokszor differenciálható és a c n együtthatókat egyértelműen meghatározza az összegfüggvény a következő módon: Bizonyítás. w helyen, c n = f (n) (z 0 ) n! (n N {0}). Legyen R < R és z, w D R (z 0 ). Írjuk ki tagonként az f függvényt a z és f(z) = c 0 + c (z z 0 ) + c 2 (z z 0 ) 2 + c 3 (z z 0 ) ; f(w) = c 0 + c (w z 0 ) + c 2 (w z 0 ) 2 + c 3 (w z 0 ) A formális, tagonkénti differenciálással g(w) = c + 2c 2 (w z 0 ) + 3c 3 (w z 0 ) adódna. A g(w) pontosan akkor konvergens, ha w z 0 esetén a nc n (w z 0 ) n konvergens. Ez utóbbi hatványsor konvergenciasugara, felhasználva a lim n n= n n, lim n n c n = lim n n n c n = lim n c n összefüggéseket, szintén R lesz. Azonban ez a hatványsor pontosan ott konvergens, ahol a g konvergens, ami azt jelenti a 4.9 megjegyzés miatt, hogy g konvergenciasugara szintén R. A továbbiakban azt állítjuk, hogy f(z) f(w) z w g(w) 0, ha z w. 8

19 A baloldalt részletesebben kiírva c ((z z 0 ) (w z 0 )) + c 2 ((z z 0 ) 2 (w w 0 ) 2 ) + c 3 ((z z 0 ) 3 (w w 0 ) 3 ) +... z w (c + 2c 2 (w z 0 ) + 3(w z 0 ) ). Látható, hogy a következő alakú tagokat kell vizsgálni, c n [(z z 0 ) n (w z 0 ) n ] c n n(w z 0 ) n = z w [ ] (z z0 ) n (w z 0 ) n = c n n(w z 0 ) n (n N). z w Általánosabb formában tekintve és a c n szorzót elhagyva a fenti kifejezés következőképpen írható a n b n a b nbn, ahol a, b C. Ezt részletesen kiírva (3) a n b n a b nbn = = a n + a n 2 b ab n 2 + b n b n b n... b n b n = (a n b n ) + (a n 2 b b n ) (ab n 2 b n ) Az utóbbi összeg minden tagja felírható szorzat alakban, a n b n = (a b)(a n 2 + a n 3 b + a n 4 b ab n 3 + b n 2 ) a n 2 b b n = (a b)(ba n 3 + ba n 4 b bab n 4 + bb n 3 ) melynek segítségével az (3) továbbírható. ab n 2 b n = (a b)b n 2, (a b)(a n 2 + 2a n 3 b (n )b n 2 ) alakban. Abszolútértékben ez a kifejezés becsülhető: (a b)(a n 2 + 2a n 3 b (n )b n 2 ) (a b) ( a n a n 3 b (n ) b n 2 ) a b ( (n ))(R ) n 2 ahol felhasználtuk, hogy a = z z 0 és b = w z 0 és így a, b < R. Így azt kaptuk, hogy ( (4) f(z) f(w) ) g(w) n(n ) z w z w c n (R ) n 2. 2 n=2 9

20 Mivel egy konvergens sort megszorozva egy konstanssal a sor konvergens marad, ezért az alábbi két sor egyszerre konvergens (z z 0 ) n(n ) c n (z z 0 ) n 2 n(n ) ; c n (z z 0 ) n. 2 2 n=2 Felhasználva, hogy a jobboldali hatványsor konvergenciasugara lim n n(n ) 2 n=2 c n = lim n n(n ) 2 n cn = lim n c n miatt szintén R, valamint, hogy a fenti két hatványsor egyszerre konvergens, az adódik, hogy a baloldali hatványsor konvergenciasugara szintén R. A (4) esetén (z z 0 ) helyére az R- nél kisebb R van írva, így ( z w c n n=2 ) n(n ) (R ) n 2 0, 2 ha z w. Ebből következik, hogy z w esetén a (4) baloldala is tart 0-hoz, azaz f (w) = g(w). Továbbá írjuk ki ekkor f első néhány magasabbrendű deriváltját: f (z) = c + 2c 2 (z z 0 ) + 3c 3 (z z 0 ) 2 + 4c 4 (z z 0 ) f (z) = 2c c 3 (z z 0 ) + 4 3c 4 (z z 0 ) f (z) = 3 2c c 4 (z z 0 ) +... f (4) (z) = c Ekkor az együtthatókra igaz az alábbi összefüggés: f (n) (z 0 ) = n!c n. 5. Exponenciális és trigonometrikus függvények 5.. Definíció. exp(z) = cos(z) = z n n! ; sin(z) = ( ) n (2n + )! z2n+ ; ( ) n (2n)! z2n (z C). Ha numerikus sorként tekintem az exp függvényt definiáló kifejezést és nem hatványsorként, akkor a D Alembert-féle hányadoskritérium alapján: c n+ c n = z n + 0, ha n, 20

21 azaz ez a sor minden z C esetén abszolút konvergens, a konvergenciasugara. Ugyanilyen módon belátható, hogy a másik két függvénysor is a teljes komplex számsíkon értelmezett, komplex értelemben végtelen sokszor differenciálható függvények lesznek Definíció. A teljes C számsíkon értelmezett, differenciálható függvényeket egész függvényeknek nevezzük. A 4.0 illetve a 4. tételek miatt kapjuk, hogy tetszőlegesen nagy, véges sugarú, zárt körlapon a konvergencia egyenletes lesz, illetve a derivált meghatározható tagonkénti differenciálással Tétel. Az exp, sin és cos függvények differenciálhatóak és exp (z) = exp(z); sin (z) = cos(z); cos (z) = sin(z) (z C) Tétel (Euler-féle összefüggések). Az exp, sin és cos függvényekre teljesülnek az alábbi, úgynevezett Euler-féle összefüggések. exp(iz) = cos(z) + i sin(z); exp( iz) = cos(z) i sin(z) (z C). A tétel könnyen igazolható a hatványsorokba történő behelyettesítéssel. A továbbiakban vezessük be az exp(z) = e z jelölést Következmény. Az Euler-féle összefüggések alapján igazak a következők: cos(z) = eiz + e iz ; sin(z) = eiz e iz 2 2i (z C) Definíció. A c n és a d n komplex számsorok Cauchy-szorzata alatt a ( n ) c k d n k módon definiált sort értjük. k= Tétel. Két abszolút konvergens sor Cauchy-szorzata is abszolút konvergens és a Cauchy-szorzat összege a tényező sorok összegének a szorzata. Egy abszolút konvergens és egy feltételesen konvergens sor Cauchy-szorzata is konvergens, de nem abszolút konvergens és összege a tényezők összegének a szorzata. Az 5.7 tételből valamint abból, hogy az exp, sin és cos függvényeket definiáló sorok abszolút konvergensek következnek az alábbi állítások Tétel. Bizonyítás. e z e w = e z+w ; sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w); cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) k=0 (z, w C). Az első állításhoz írjuk fel a Cauchy-szorzat n-edik tagját: n z k k! w n k (n k)!. 2

22 Ezt összegezve 0-tól végtelenig megkapjuk az e z és az e w abszolút konvergens sorok Cauchy-szorzatát, mely szintén abszolút konvergens lesz és ( n ) e z e w z k = k! w n k. (n k)! k=0 A jobboldal ekkor tovább alakítható, ( n ) z k k! w n k = (n k)! ahol felhasználtuk, hogy n k=0 k=0 ( n! n k=0 n! zk k! w n k (n k)! = (z + w)n. ) n! zk k! w n k = e z+w (n k)! Ennek segítségével már a másik két állítás is igazolható felhasználva az 5.5-ben szereplő összefüggéseket is Megjegyzés. Az előző tétel speciális eseteként megjegyezzük, hogy ( sin z + π ) = cos(z), 2 felhasználva, hogy sin ( π 2 ) = és cos ( π 2 ) = 0; valamint igaz a következő összefüggés is: ahol z C. = cos(z z) = cos 2 (z) + sin 2 (z), 5.0. Megjegyzés. Legyen z = x + iy, ahol x, y R. Ekkor e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), ahol e x = e z az e z hossza, y = arg e z (mod 2π). Speciálisan, e i π 2 = i; e i π 2 = i; e 2πi = ; valamint amiből kapjuk, hogy e iπ =, e iπ + = 0. A komplex exponenciális függvényt tovább vizsgálva, már találunk különbségeket a valós esethez képest. () Ilyen különbség például, hogy az exponenciális függvény periodikus az imaginárius tengely irányába, ugyanis e z+2πi = e z e 2πi = e z (z C). Megmutatható, hogy az exponenciális függvény csak 2πi egész számú többszörösei szerint periodikus. Tegyük fel, hogy x 0, y 0 R úgy, hogy z 0 = x 0 + iy 0 -ra fennáll e z+z 0 = e z (z C). 22

23 Ekkor e z 0 =, azaz = e z 0 = e x 0 (cos y 0 + i sin y 0 ), amiből adódik, hogy x 0 = 0 és y 0 = 2kπ (k Z), így z 0 valóban 2kπi- vel lesz egyenlő. (2) Az exp függvény seholsem 0. Ha w C esetén e w = 0 lenne, akkor e z+w = e z e w (z C) miatt az exp függvény azonosan 0 lenne. Ez ellentmondás, hiszen exp(0) =. Sőt, exp értékkészlete: C\{0}. Legyen ugyanis w C. Azt állítjuk, hogy z C, hogy w = e z. A w = e z = e Re(z) (cos Im(z) + i sin Im(z)), összefüggés miatt, felhasználva a valós exp, sin és cos függvények tulajdonságait, z hosszát és argumentumát elő lehet állítani. (3) Az exp függvény a komplex számsík x-tengellyel párhuzamos 2π szélességű, "felül zárt", "alul nyílt" sávját bijektív módon képezi le a C\{0}-ra. Az injektivitás a következő miatt áll fent. Ha e z = e w (z, w C), akkor e z w =, amely azt jelenti, hogy z w = 2kπi. Azonban a megadott sávon belül ez nem fordulhat elő, így z w = 0. (4) Ebben a sávban az x-tengellyel párhuzamos egyenes képe "origóból induló" (ahol az origó nincs benne) sugár. (Ugyanis a szög fix, csak a hossz változik.) (5) A "mindkét oldalán nyílt" sáv képe: valamely sugártól és origótól megfosztott sík. (6) Az y-tengellyel párhuzamos egyenes képe: origó körüli kör végtelen sokszor befutva. A komplex számsíkon a π és π által meghatározott "alul nyílt" és "felül nyílt" sávot tekintve az exp függvény bijekció lesz, melynek értékkészlete ama halmaz, melyet a komplex számsíkból a negatív félegyenest elhagyva kapunk. Ezen függvény inverzét nevezzük a logaritmus főágának, mely differenciálható és deriváltja z. z 5.. Megjegyzés. Nincs olyan függvény C\{0}-n, aminek deriváltja a z z (z C\{0}) függvény. A továbbiakban a sin és cos függvények tulajdonságaival foglalkozunk. Ezen függvények zérushelyei ugyanazok lesznek, mint a valós esetben. Nézzük meg ezt a sin esetében. Egyrészt azt akarjuk, hogy sin(z) = 0 fennálljon valamely z C-re. Másrészt az 5.5 következmény alapján, sin(z) = eiz e iz, 2i amiből adódik, hogy e iz = e iz és így e 2iz =. Ekkor felhasználva az (5.0) megjegyzést következik, hogy 2iz = 2kπi (k Z), 23

24 azaz z = kπ (k Z). A cos függvényre hasonlóan megmutatható, hogy cos(z) = 0 z = (2k + ) π 2 (k Z). Szintén az exp függvény segítségével belátható, hogy a valós esethez hasonlóan fennállnak az alábbiak: cos(z) = cos(w) z = ±w + 2kπ (k Z) sin(z) = sin(w) z = w + 2kπ vagy z = (π w) + 2kπ (k Z). A sin és cos függvényeknél is van azonban egy nagy különbség a komplex és a valós eset között. Nevezetesen, míg valós esetben ezek a függvények korlátosak, addig a komplex sin és cos függvények minden komplex értéket felvesznek. Legyen w C tetszőleges. Belátjuk, hogy létezik olyan z C, melyre cos z = w. A 5.5 következményt felhasználva az utóbbi egyenlőség az alábbival ekvivalens w = eiz + e iz, 2 ahol e iz C\{0}. Az e iz = u jelöléssel ez azt adja, hogy melyet átalakítva a w = u + u 2 (u 0), 0 = u 2 2uw + egyenlet adódik. Ez pedig az algebra alaptétele miatt garantáltan megoldható a komplex számok teste felett, ami azt jelenti, hogy z C : cos(z) = w. Felhasználva a sin 2 (z) + cos 2 (z) = azonosságot, sin 2 (z) = w 2 adódik, melyet az Euler-féle cos(z) + i sin(z) = e iz összefüggésbe írva, a megfelelő megszorításokkal z = i log(w + w 2 ), ahol a log jelöli a logaritmus főágát. Hasonlóan a egyenletből sin(z) = w z = π 2 + i log(w w 2 ). 24

25 6. Pályamenti integrál 6.. Definíció. A : [a, b] C (a, b R, a < b) folytonos függvényt görbének nevezzük. A értékkészletét -gal jelöljük. A görbét zártnak nevezzük, ha (a) = (b) Definíció. A : [a, b] C görbe megfordításán a ˇ : [ b, a] C görbét értjük, melyre ˇ(t) = ( t) (t [ b, a]) Definíció. Legyen : [a, b] C és δ : [b, c] C két görbe, melyekre (b) = δ(b). Ekkor a és δ görbék egyesítésén a { (t),ha t [a, b] ( δ)(t) = δ(t),ha t [b, c]. módon definiált görbét értjük Definíció. A : [a, b] C szakaszonként sima (szakaszonként folytonosan differenciálható) görbét pályának nevezzük. A zárt pálya olyan pálya, amely mint görbe zárt Megjegyzés. A görbéknél leírtakhoz hasonlóan értelmezhető a pályák megfordítása, valamint a pályák egyesítése Definíció. Legyen : [a, b] C pálya, f : C folytonos függvény. Ekkor az f függvény pályamenti integrálján a b f(z)dz = f((t)) (t)dt komplex számot értjük. a 6.7. Megjegyzés. () A jobboldal létezik, hiszen a szakaszonként folytonos. Azon intervallumokon kiszámolva az integrál értéket, ahol a folytonos, majd ezeket az értékeket összeadva adódik a jobboldal által meghatározott komplex érték. (2) Az [a, b] felbontásától független a jobboldali integrál értéke Példák. () Legyen (t) = z 0 + re it, ahol t [0, 2π], r > 0 és z 0 C. Ekkor a z 0 körüli, r-sugarú körpálya. Az f : C folytonos függvény pályamenti integrálja: 2π 2π f(z)dz = f(z 0 + re it )re it idt = ir f(z 0 + re it ) e it dt. 0 0 (2) Legyen (t) = a + t(b a), ahol t [0, ] és a, b C. Ekkor az a és b pontokat összekötő szakaszpálya (lineáris pálya), melyre: f(z)dz = f(a + t(b a))(b a)dt = (b a) f(a + t(b a))dt tetszőleges f C( ) esetén

26 6.9. Megjegyzés. () Legyen : [a, b] C pálya, f : C folytonos függvény és ϕ : [α, β] [a, b] olyan szürjektív, szigorúan monoton növekedő függvény, mely folytonosan differenciálható. Továbbá legyen = ϕ. Ekkor f(z)dz = f(z)dz. Valóban, átalakítva az f(z)dz integrált, β f(z)dz = f(( ϕ)(t)) (ϕ(t))ϕ (t)dt = α β b = f((ϕ(t))) (ϕ(t))ϕ (t)dt = f((s)) (s)ds = α a f(z)dz. (2) Legyen : [a, b] C pálya, melynek megfordítása ˇ és f : C folytonos függvény. Ekkor f(z)dz = f(z)dz, ˇ ugyanis a f(z)dz = f(ˇ(s))ˇ (s)ds = = a b ˇ b f(( s)) ( s)( )ds = b a f((t)) (t)dt. (3) Tekintsük a : [a, b] C és δ : [b, c] C pályákat, melyekre (b) = δ(b). Ekkor f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. δ (4) A pályamenti integrál lineáris. Legyen : [a, b] C pálya és f, g : C folytonos függvények. Ekkor (f + g)(z)dz = f(z)dz + g(z)dz; valamint (λf)(z)dz = λ f(z)dz (λ C). (5) A pályamenti integrált lehet becsülni a következőképpen. Legyen : [a, b] C pálya és f : C folytonos függvény. Ekkor f(z)dz f l(), ahol továbbá l() = sup { n f = sup z f(z), } (t i+ ) (t i ) : n N, a t t 2... t n b. i= δ 26

27 Megjegyezzük, hogy pálya esetén l() = b a (t) dt Következmény. Ha : [a, b] C görbe, f n, f : C (n N) folytonos függvények és f n f egyenletesen ( -on), akkor f n (z)dz f(z)dz, azaz a pályamenti integrál és a határátmenet felcserélhető. Valóban, az integrálbecslést alkalmazva ) f n (z)dz f(z)dz = (f n f)(z)dz (sup f n (z) f(z) l() (n N), z ahol sup z f n (z) f(z) a feltétel miatt tart 0-hoz midőn n. 6.. Példák. () Legyen (t) = e it, ahol t [0, 2π] és f(z) = (z C\0). Ekkor z a pályamenti integrál: 2π 0 e it eit idt = 2πi. (2) Tekintsük az f(z) = Re(z) és g(z) = z 2 (z C) függvényeket és integráljuk őket a következő pályák mentén. [ (t) = e (t it 0, π ]), 2 δ(t) = + t(i ) (t [0, ]). Ekkor kiszámolva a pályamenti integrálokat, f(z)dz = iπ 4 2 ; f(z)dz = i 2. illetve, g(z)dz = ( + i); 3 δ δ g(z)dz = ( + i). 3 A z 2 holomorf függvény esetén a megegyező kezdő-, illetve végpontú pályák mentén vett pályamenti integrál megegyezett, míg a komplex értelemben nem differenciálható z Re(z) függvény esetén ezen pályamenti integrálok különböztek Tétel. Legyen : [α, β] C zárt pálya, f : C folytonos függvény. Definiáljuk a g(z) = ξ z dξ (z / ) függvényt. Ekkor g holomorf függvény a C\ halmazon, sőt előáll a g(z) = c n (z z 0 ) n hatványsor összegeként a z 0 C\ körüli azon legnagyobb sugarú nyílt körlapon, ami nem metsz bele a -ba. Továbbá itt c n = dξ n = 0,, 2,... (ξ z 0 ) n+ 27

28 Bizonyítás. Világos, hogy g jól definiált komplex függvény C\ -on. Továbbá elegendő megmutatni, hogy hatványsorba fejthető, ugyanis a 4. tétel szerint a hatványsorok végtelen sokszor differenciálhatóak. Felhasználva, hogy kompakt halmaz folytonos képe is kompakt halmaz, kompakt részhalmaza C-nek, amiből z 0 / esetén d(z 0, ) = ρ > 0. Legyen ξ és z D ρ (z 0 ), ahol ρ < ρ adott, tetszőleges pozitív szám. Tekintsük a (5) ξ z = (ξ z 0 ) (z z 0 ) = [ (ξ z 0 ) z z 0 ξ z 0 ] kifejezést. Felhasználva, hogy ξ z 0 ρ és z z 0 < ρ < ρ kapjuk, hogy z z 0 ξ z 0 < ρ ρ <, ami egy ξ-től független becslés. Így (5) egyenlő a ( z z0 ξ z 0 ξ z 0 kifejezéssel. Továbbá, ( ρ egy konvergens numerikus sor, ami a Weierstrass tétel miatt azt jelenti, hogy ( ) n z z0 ρ ) n ) n ξ z 0 ξ-ben egyenletesen konvergens. Az f kompakt halmazon folytonos függvény, így f korlátos a -on, amiből következik, hogy ξ z = (ξ z 0 ) (z z 0) n n+ is egyenletesen konvergens. Ekkor a 6.0 következmény miatt tagonként lehet integrálni, azaz g(z) = ξ z dξ = ( ) dξ (z z (ξ z 0 ) n+ 0 ) n ( z z 0 < ρ ), ahol ρ < ρ tetszőleges Megjegyzés. A hatványsorba fejtés az egész ρ sugarú körlapon igaz Tétel. Legyen : [a, b] C zárt pálya. Ekkor az Ind (z) = 2πi ξ z dξ (z / ) módon definiált függvény a C\ -on folytonos, egész értékű, ebből adódóan konstans a C\ komponensein és zérus a C\ nem korlátos komponensén. 28

29 Bizonyítás. Az előző 6.2 tétel miatt Ind holomorf, így a pálya komplementerén folytonos. Az egész értékűséghez definiáljuk a g(t) = t a (s) (s) z ds t [a, b] (z C\ ) függvényt. Ekkor a g : [a, b] C függvény miatt szakaszonként sima, folytonos függvény lesz. Továbbá a h(t) =e g(t) ((t) z) t [a, b] módon definiált függvény szintén folytonos, szakaszonként sima függvény. Felhasználva, hogy integrálható függvény felső határfüggvénye folytonos, valamint folytonos függvény felső határfüggvénye differenciálható, kapjuk, hogy h (t) = e g(t) ( (t) (t) z ) ((t) z) + e g(t) (t) = 0 véges sok t [a, b] ponttól eltekintve. Ebből következik, hogy h konstans, így speciálisan h(a) = h(b), melyet részletesen kiírva (a) z = e 2πi Ind(z) ((b) z) adódik. Innen zártsága miatt majd az 5.0 megjegyzésből e 2πi Ind(z) =, így valóban, 2πi Ind (z) = 2nπi n Z, Ind (z) = n n Z. c nyílt részhalmaza C-nek, melynek egy felbontását adják a komponensei. A komponensek összefüggő halmazok és összefüggő halmaz képe szintén összefüggő, melyekből következik, hogy Ind konstans a komponenseken. Továbbá, kompakt részhalmaza C-nek, így komplemeterének pontosan egy darab nem korlátos komponense van. Legyen M > 0, z C úgy, hogy d(z, ) > M és vizsgáljuk a függvényt. Ekkor ξ ξ z (ξ ) ξ z < M (ξ ), amiből a 6.9 megjegyzés (5) része miatt ξ z dξ M l(), ahol l() adott konstans. Így kapjuk, hogy Ind (z) tart 0-hoz, ahogy z, azaz Ind zérus a c nem korlátos komponensén. 29

30 6.5. Definíció. A fenti tétel jelöléseivel az Ind (z) mennyiséget a zárt pálya z-re vonatkozó körüljárási számának, illetve a z pont pályára vonatkozó indexének nevezzük Példa. Legyen : [0, 2π] C a z 0 C középpontú, r > 0 sugarú körpálya, azaz (t) = z 0 + re it t [0, 2π]. Ekkor Ind (z 0 ) = 2π re it i =. 2πi 0 re it 7. Holomorf függvények Cauchy-elmélete 7.. Állítás. Ha D C nyílt, F H(D), ahol F folytonos, továbbá : [a, b] D zárt pálya, akkor F (z)dz = 0. Bizonyítás. Valóban, a Newton-Leibniz formulát szakaszonként alkalmazva F (z)dz = b a F ((t)) (t)dt = b a (F ) (t)dt = [F ((t))] b a = Következmény. Ha : [a, b] C zárt pálya, akkor z n dz = 0 n = 0,, 2,..., továbbá ez az egyenlőség teljesül n = 2, 3,... esetén is, ha 0 / Tétel (Goursat-lemma). Legyen D C nyílt, H egy olyan háromszög-pálya, ami belsejével együtt benne van D-ben és f H(D). Ekkor f(z)dz = 0. H Bizonyítás. Tekintsük a H = H 0 háromszög-pályának azt a felbontását, amit úgy kapunk, hogy a háromszög-pálya minden oldalát megfelezzük és a felezőpontokat összekötjük egymással. Így 4 kisebb háromszög-pályát kapunk, legyenek ezek H, H 2, H 3 és H 4. Végigjárva a keletkezett kis háromszög-pályákat pozitív irányban, a felező pontokat összekötő szakaszokon mindkét irányban áthaladunk, így ezeken a szakaszokon az integrál 0. Ez azt jelenti, hogy, ha a H 0 eredeti háromszög-pályát is pozitív irányban járjuk végig, akkor I = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz, H 0 H H 2 H 3 H 4 30

31 amiből következik, hogy valamelyik H i feletti integrál abszolútértéke legalább I /4. Legyen i =, azaz f(z)dz I H 4. Az előző eljárást megismételve H -re, majd az eme lépésben kiválasztott H 2 -re és így tovább, háromszögeknek olyan (H n ) sorozata adódik (a háromszögeket belsejükkel együtt értve), melyek egymásba skatulyázottak és az átmérőjük tart a 0-hoz. Valamint f(z)dz I (n N). H n 4 n Felhasználva, hogy az eredeti H háromszög belsejével együtt D-ben van, ez a sorozat egy pontra húzódik össze. Legyen ez z 0. Az f függvény differenciálható z 0 -ban, így lineárisan approximálva f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + ω(z)(z z 0 ) (z D), ahol ω : D C úgy, hogy ω(z) 0, ha z z 0. Legyen n N. Ekkor f(z)dz = f(z 0 )dz + f (z 0 )(z z 0 )dz + ω(z)(z z 0 )dz, H n H n H n H n ahol f(z 0 ) konstans, f (z 0 )(z z 0 )-nak pedig létezik primitív függvénye, így f(z 0 )dz = 0, f (z 0 )(z z 0 )dz = 0. H n H n Továbbá, f(z)dz = ω(z)(z z 0 )dz H n H sup ω(z) diam(h n ) l(h) sup ω(z) l(h)2 n z H n 2 n z H n 4. n Másrészt, így adódik, hogy f(z)dz I H n 4, n I sup z H n ω(z) l(h) 2, ahol sup z Hn ω(z) 0, ha n. Ez valóban azt jelenti, hogy I = Következmény (Cauchy-tétel lokális változata). Legyen D C nyílt körlap, f H(D) és : [a, b] D zárt pálya. Ekkor f(z)dz = 0. Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy f-nek van primitív függvénye. Legyen z, z 0, w D és f-nek a z 0 pontot a z ponttal összekötő szakaszpálya mentén vett pályamenti integrált jelöljük a következő módon F (z) = z z 0 dξ. 3

32 Ekkor a Goursat-lemma miatt z amelyből azt kapjuk, hogy Ezt felhasználva, F (z) F (w) z w z 0 dξ + f(w) = w z dξ + F (z) F (w) = z w z w z0 w dξ = 0, dξ. dξ f(w)(z w) z w = z ( f(w))dξ w z w adódik, amiről azt kell belátni, hogy z w esetén tart 0-hoz. Valóban, ha [z, w] jelöli a z-t és w-t összekötő szakaszt, akkor kapjuk, hogy z ( f(w))dξ ( supξ [z,w] f(w) ) z w w = sup f(w), z w z w ξ [z,w] amely z w esetén f folytonossága miatt tart 0-hoz. Ebből következik, hogy F differenciálható és F (w) = f(w), ha w D. Ez azt jelenti, hogy f-nek van primitív függvénye, így a 7. állítás miatt következik, hogy f(z)dz = Definíció. Legyen D C nyílt halmaz, ϕ 0, ϕ : [a, b] D zárt görbék. Azt mondjuk, hogy ϕ 0 és ϕ homotóp görbék D-ben, ha létezik olyan φ : [a, b] [0, ] D folytonos függvény, melyre (a) ϕ 0 (t) = φ(t, 0) (t [a, b]); (b) ϕ (t) = φ(t, ) (t [a, b]); (c) t φ(t, p) (t [a, b]) zárt görbe minden p [0, ] esetén. Ha ϕ 0 és ϕ zárt pályák, akkor azt mondjuk, hogy homotópok D-ben, ha mint görbék homotópok Megjegyzés. A D-ben zárt pályák homotópiája ekvivalenciareláció Tétel (A Cauchy-integráltétel homotóp változata). Legyen D C nyílt halmaz, f : D C holomorf függvény. Legyen 0, : [a, b] D a D-ben homotóp, zárt pályák. Ekkor f(z)dz = 0 f(z)dz. Bizonyítás. Feltehető, hogy [a, b] = [0, ]. A homotópia definíciójából következik, hogy φ : [0, ] 2 D folytonos függvény, melyre 0 (t) = φ(t, 0) (t [0, ]) (t) = φ(t, ) (t [0, ]) 32

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

M szaki matematika 2

M szaki matematika 2 Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet M szaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda Utoljára módosítva: 09. április 8. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem,

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük: . Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. ***************

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS II. *************** JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS II. Folytonosság, differenciálhatóság *************** Pécs, 1996 Lektorok: DR. SZÉKELYHIDI LÁSZLÓ egyetemi tanár, a mat. tud. doktora DR. SZILI LÁSZLÓ

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

Műszaki matematika 2

Műszaki matematika 2 Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Műszaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda 09. március. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem, Természettudományi

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

4. A komplex függvénytan elemei

4. A komplex függvénytan elemei 92 yőri István, Hartung Ferenc: MA4f és MA66a előadásjegyzet, 2006/2007 4. A komplex függvénytan elemei 4.. Komplex függvények határértéke, folytonossága, differenciálhatósága, Cauchy Riemann-egyenletek

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás) Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Fourier transzformáció

Fourier transzformáció a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

DiMat II Végtelen halmazok

DiMat II Végtelen halmazok DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben