III. Vektorok III. Vektorok összege, különbsége és vektor szorzása számmal

Átírás

1 Vektorok Vektorok összege, külöbsége és vektor szorzása számmal 8 a) egyelô vektorok: f c b) elletett vektorok: a + d 0, b + e 0, g + h egye AB a BC b CD c DA d AC e BD f a + c 0, b + d 0, a + b + c + d 0, a + f + d 0, c + d + e 0 8 a) g f + a b) h -f - a c) k -g + i 85 a) AC AB + BC b) AB + CB AB + DA DB c) AC + BD AB + BC + BC + CD AB + BC + BC - AB BC d) CB + DC + AC AC + CB + DC AB + DC AB e) AC - BD AB 86 a) c - a AC d b) a + b - c CF EA a - e c) a + d - c - b c - c - b -b G d) a + b - d - e a - d + b - e -e + b - e -e + a H 87 egye az AB szakasz felezôpotja H, az S súlypot H potra voatkozó tükörképe Sl pot Felhaszáljuk, hogy S harmadolja HC-t & HS SC és SS l SC a) SA + SB+ SC SSl+ SC 0 b) SA - SB BA c) SB- SC CB d) SA + SB- SC SSl- SC -SC a) OA + OB OOl, ahol Ol pot az O pot AB egyeesre voatkozó tükörképe b) OA - OC CA 89 Az ábrá vázolt a és b egy lehetséges megoldás, mert qau qbu qa + bu 90 Az ábrá vázolt a és b egy lehetséges megoldás, mert qau qbu qa - bu 9 a) a + b + c v b) a + b + c -v 9/I 9/II

2 0 Vektorok összege, külöbsége és vektor szorzása számmal 96 9 eset: qau qbu, a és b vektor em párhuzamos A paralelogrammamódszer szerit a + b és a - b vektor egy qau qbu oldalú rombusz átlói & a + b 9 a - b eset: qau qbu és a m b & a b vagy a -b Ha a b, akkor a + b a és a - b 0 & a + b 9 a - b 0 Ha a -b, akkor a + b 0 és a - b -b & a + b 0 9 a - b 9 eset: a + b! 0, a - b! 0 és a + b 9 a - b & A paralelogrammamódszer szerit a + b és a - b vektor egy qau qbu oldalú rombusz átlói eset: a + b 0 & a -b & qau qbu eset: a - b 0 & a b & qau qbu 9 eset: a! 0, b! 0 és a 9 b A paralelogrammamódszer szerit a + b és a - b egy téglalap átlói & qa + bu qa - bu eset: a 0 a + b b és a - b -b & qa + bu qa - bu eset: b 0 & a + b a és a - b a & qa + bu qa - bu 95 eset: a + b és a - b vektorok em párhuzamosak és qa + bu qa - bu Ekkor a paralelogrammamódszer szerit a + b és a - b egy téglalap átlói & a 9 b eset: (a + b) i (a - b) és qa + bu qa - bu & vagy a + b a - b & b 0 & a 9 b vagy a + b -(a-b) & a 0 & a 9 b 96 qau qbu, a és b em párhuzamosak & a + b és a - b vektorok az a és b által kifeszített rombusz átlóvektorai, amelyek felezik a rombusz szögeit & (a + b) i f a, illetve (a - b) i f al A megoldás k $ (a + b) vektor, ahol k ullától külöbözô valós szám Végtele sok megoldás va 97 AB DC, azaz OB - OA OC - OD & OB + OD OA + OC 98 a -a & a + a 0 & a 0 A ullvektor egyelô az elletettjével 99 a) Bármely égy potra AB + BC + CD AC + CD AD b) AC + BD AB + BC + BA + AD AB + BA +BC + AD AD& AC + BD AD + AD c) AD + AC BC + AC BC + AB + BC AB + BC + BC 00 d OD OA + AD OA + BC a + c - b 0 a) OC OB + BC OB + B OB + `O - OBj & OC b + (p - b) p - b b) AC AO + OC - a + p - b 0 a + b + c `BC + CA + ABj $0 0 és 0 x c + a + b (c + a + b) + a 0 + a a Geometriai jeletése: a háromszög középvoala párhuzamos a em felezett oldallal, és fele olya hosszú 0 Az ábra jelölései szerit U és, Q és R, S és T szomszédos csúcsok B CQ CR AS BU AT egyelôségeket felhaszálva: U B - BU CQ -AT és QR CR- CQ AS-CQ és ST AT - AS & U + QR + + ST 0 & A QR, ST, U szakaszokkal párhuzamosa szerkeszthetô QR, ST, U oldalú háromszög 0 A vektorösszeadás kommutatív & A égy vektor összege mide esetbe ullvektor & A égy vektor égyszöget alkot

3 Vektorok összege, külöbsége és vektor szorzása számmal 0/I 0/II eset: AD + DC + CB + BA 0 (I) eset: AD + BA + CB + DC 0 (IV) eset: AD + DC + BA + CB 0 (II) 5 eset: AD + CB + BA + DC 0 (V) eset: AD + BA + DC + CB 0 () 6 eset: AD + CB + DC + BA 0 (VI) 05 a - b 9 b b és a - b egy derékszögû háromszög befogói a az átfogó, és a $ b, ezért (a b) A feltételek eleget tevô vektorok egy szabályos háromszög oldalvektorai, ezért a szomszédosak egymással 0 -ot zárak be 07 q OA q q OB q q OC q és Ol az O pot AB egyeesre voatkozó tükörképe OA + OB + OC OOl + OC OC + C O Mivel OOl 9 AB, ezért C 9 AB & pot rajta va az ABC háromszög m c magasságvoalá Hasolóa belátható, hogy az m a és az m b magasságvoalak is potja & OA + OB + OC OM, ahol M a háromszög magasságpotja 08 egye AB a AD b és AE c a) AF a + c DG, AC a + b EG, AH b + c BG, BE c - a CH, BD b- a FH, DE c- b CF b) AG a + b + c, EC a + b - c, DF a - b + c, BH -a + b + c 09 AH z AC y AF x FH z - x CH z - y FC y - x a) AB ACl+ Cl B y + HF y - z + x, AD ACl+ Cl D y + FH y + z - x, AE AHl+ Hl E z + CF z - y + x 07 09

4 Vektorok összege, külöbsége és vektor szorzása számmal b) AG AC + CG y + z - y + x x + y + z, CE CA + AE -y + z - y + x x - y + z, DF DH + HF z - y + x + x - z x - y - z, BH BF + FH z - y + x + z - x -x - y + z 0 A 09 ábra jelöléseit haszáljuk Az x, y, z vektorok által kifeszített tetraéder a kockába írt AFHC szabályos tetraéderek az A középpotú m aráyú hasolósággal kapott képe & élei 60 -os szöget zárak be & (x y) (y z) (x z) 60 egye AB a AC b és AD c BC b - a BD c - a CD c - b CD a AD b FD c AE c - a FC CE c - b FA DE -a - b + c FB egye AB a AD b és AE c a) a + b + c AG, kockacsúcsba mutat b) a + b - c EC, em mutat kockacsúcsba c) a + c AF, kockacsúcsba mutat d) b - b 0 AA, kockacsúcsba mutat e) a - b DB, em mutat kockacsúcsba f) a + b + c - a b + c AH, kockacsúcsba mutat éldául egy kocka egy csúcsból iduló három élvektora eseté két élvektor összege egy lapátló vektor, amely merôleges a vele közös csúcsból iduló harmadik élvektorra 5 OA a OG - a OB b & OH - b OC c OE - c OD OC + CD OC + BA c + a - b OF b - a - c 6 AB BC, OB oldal közös és AOB COB 90 & AOB, BOC & OA OC & AOC egyelô szárú derékszögû háromszög Hasolóa igazolható, hogy AOB és BOC is egyelô szárú derékszögû háromszög Az OA, OB, OC egyelô hosszúságú, párokét merôleges vektorok olya kockát határozak meg, amelyek az adott tetraéder élei a lapátlói, az O pottal átellees csúcsa pedig D & OA + OB + OC OQ + OC OD 7 a,5a a a egyiráyú az a vektorral (-a) (-,5a) elletétes iráyú az a vektorral A szerkesztedô vektorok hossza -szerese,,5-szerese, -szorosa,,5-szerese, illetve fele az a vektor hosszáak b 8 b 0,5b b J N b egyiráyú a b vektorral - b 5 O (-b) elletétes iráyú a 5 6

5 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások b vektorral A szerkesztedô vektorok hossza -szoro- sa, -szerese, fele, harmada, -e, -szerese, illetve 5 egyede a b vektor hosszáak 9 0 A feladatok megoldását az olvasóra bízzuk AB + BC + CD AC + CD AD és m`de + EAj m $ DA & AD m $ DA & m - egye az a vektor hossza a és a b vektor hossza b A qbu $ a vektor hossza b $ a, iráya egyezik a vektor iráyával Az qau $ b vektor hossza a $ b, iráya egyezik b vektor iráyával Az a és a b vektor em párhuzamosak & qbu $ a vektor sem párhuzamos qau $ b vektorral A két em párhuzamos, egyelô hosszúságú vektor összegét egy a $ b oldalú rombusz átlója határozza meg Ez az átló párhuzamos az a és b vektorok szögéek szögfelezôjével Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások OF OA + AF OA + AB OA + `OB - OAj OA + OB, azaz a b a+ b f + OA+ OB OH OA+ AH OA+ AB OA+ `OB - OAj, azaz h a + b OA + OB OG OA + AG OA + AB OA + `OB - OAj, azaz g a + b m m 5 A : B m : O OA + A OA + $ AB OA + $ `OB - OAj m+ m+ $ OA + m$ OB $ a+ m$ b, azaz p m+ m+ 6 O a-b és OQ - a+ b és OF ao + OQk& f a - b 7 f c a + b fa b + c fb a + c a b c CF c f c- c + - AFa fa- a b c a + - a c b BFb fb- b + - CFc+ AFa+ BFb0 7 Tehát a CF c, az AF a és a BF b súlyvoalakból a kívát módo háromszög szerkeszthetô 8 OA a OB b OC c AB felezôpotja F& OF f a + b BC felezôpotja G & OG g b + c CA felezôpotja H & OH h c + a f + g + h a+ b+ c

6 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások i+ i + 9 egye OAi ai és a felezéspot F i, amelyre OFi f i ( # i # ) f i a a ( # i # -) és f a + a a+ a a a a a & f + f + + f a + a a + a + + a 0 egye OAi ai és a harmadolópot H i, amelyre OH i h i ( # i # ) h i a i+ a i + ( # i # -) és h a a + a & + a a + a a - + a h + h + + h a a + a + a + + a Felhaszáljuk: a súlypot a súlyvoal csúcstól távolabbi harmadolópotja OF f a + b a b + f c $ c és OS s + + a + b + c egye O a helyvektorok közös kezdôpotja SA + SB+ SC OA - OS + OB - OS + a+ b+ c + OC - OS a - s + b - s + c - s a + b + c -s a + b + c - $ 0 egye O a helyvektorok közös kezdôpotja AX + BY + CZ OX - OA + OY - OB + + OZ - OC OX + OY + OZ - ` OA + OB + OC j $ OQ - $ OS SQ egye H! AB és HA : HB : G! BC és BG : GC : F! CA és CF : FA : egyeek az A, B, C, F, G, H potokba mutató helyvektorok a, b, c, f, g, h h a + b g b + c c+ a f egye az ABC S súlypotjába mutató vektor s, az FGH T súlypotjába mutató vektor t t h + g + f a+ b+ b+ c+ c+ a a+ b+ c s 9 5 egyeek a hatszög csúcsai a felezôpotokkal azoos körüljárási iráyba X Y Z Q R és legye XY felezôpotja A OA `OX + OYj OC `OZ + Oj OE aoq + ORk OB ` OY + OZ j OD ao + OQk OF `OR + OXj egye az ACE súlypotja S, a BDF súlypotja T OT `OB + OD + OFj a OY + OZ + O + OQ + OR + OX k 6 6 ` OA + OC + OE j OS & T/ S 6 egye O a helyvektorok közös kezdôpotja OA a OB b OC c A 07 feladatba láttuk, hogy OM a+b+c a b c A feladatba láttuk, hogy OS + + OM &

7 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások 5 & OS és OM egyállású vektorok & SMesOegy egyeese vaak OS OM & MS : SO : 7 egye a körülírt kör középpotja a helyvektorok közös kezdôpotja OA a OB b OC c A 07 feladatba a b c láttuk, hogy OM a + b + c & OF + + qau qbu miatt OA + OB $ OX, ahol az X az AB szakasz felezôpotja OX a+ b & XF OF - OX a + b + c a + b c - Hasolóa belátható, hogy YF és ZF A körülírt kör a b középpotja O, ezért qau qbu qcu & q XF u qyfq qzf q 7 8 R, ahol R a körülírt kör sugara Megjegyzés: Ez a kör az ABC Feuerbach köre 8 egye a körülírt kör középpotja a helyvektorok közös kezdôpotja OA a OB b a b OC c OX + a b c A 07 feladatba láttuk, hogy OM a + b + c & OF + + a+ b+ c a+ b egye Xl az X pot F-re voatkozó tükörképe OX l $ OF - OX $ - a b OM + OC a b c c + + c egye Xll az MC szakasz felezôpotja OXll a b + + c OXl & Xl/ Xll& Az X pot F-re voatkozó tükörképe az MC szakasz felezôpotja 9 egye a körülírt kör középpotja a helyvektorok közös kezdôpotja OA a OB b a b OC c OX + MC OC - OM c- ( a+ b+ c) 9 - ( a+ b) & MC - OX & M-et m - aráyú, OMek az O-hoz közelebbi harmadolópotjára voatkozó közép- potos hasolóság viszi át az X oldalfelezô potba 0 egye O a körülírt kör középpotja, M a magasságpot és F az OM szakasz felezéspotja A 7 feladatba láttuk, hogy FX FY FZ R : A 8 feladatba láttuk, hogy X, Y és Z potok F-re voatkozó tükörképe felezi az MC, az MA és az MB szakaszokat A fetiekbôl következik, hogy az 0 X, Y, Z oldalfelezéspotok és az Xl, Yl, Zl szakaszfelezéspotok rajta vaak az F középpotú, FX R : sugarú körö XXl átmérôje eek a körek A magasságok talppotjai vagy egybeesek az oldalfelezô potokkal, vagy XlTX 90 miatt a Thalész-tételt alkalmazva a magasságtalppotok is a feti kör potjai

8 6 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások egye O a helyvektorok közös kezdôpotja OA a OB b OC c OA a a b c OB b OC c OS + + a b c OS + + a a és OFa + b b OFb + a c c OFc + + a b b c c OS J a+ b+ c a+ b+ c N $ + O $ (OS + OS ) & Sfelezi az SS szakaszt a b c d OS al b c d és OS l l + l + l + l al b c d OS OO + O S OO + + l + l l l l l l + l ( OOl+ al) + ( OOl+ bl) + ( OOl+ cl) + ( OOl+ dl) a+ b+ c+ d OS & Sl / S egye O a helyvektorok közös kezdôpotja AB felezôpotja E BC-é F CD-é G a b DA-é H OA a OB b OC c OD d OE + b c OF + OG c+ d a+ b c+ d OH d+ a + a b c d EG felezéspotja M, OM OS HF felezéspotja M d+ a b+ c +, OM a+ b+ c+ d OS OM OM OS & EG és HF felezéspotja azoos a égyszög súlypotjával egyeek a égyszög csúcsaiba mutató helyvektorok redre a, b, c és d egye az AC a c átló felezéspotja F, a BD átlóé F OF + b d OF + F F szakasz felezéspotja F a+ c b+ d OF+ OF + a b c d 5 OF OS& & F / S 5 egyeek az A, B, C és D potokba mutató helyvektorok redre a, b, c és d, az M-be mutató helyvektor m A feladatba láttuk, hogy az ABCD égyszög súlypotjába mutató vektor: OS A feladata b c d

9 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások 7 ba láttuk, hogy a középvoalak metszéspotja a súlypot XAMD paralelogramma, ezért MX MD + MA és OX - m d - m + a - m & OX a + d - m YBMC paralelogramma, ezért MY MC + MB és OY - m c - m + b - m & OY c + b - m Az XY szakasz fele- OX + OY zéspotja a paralelogramma középpotja: O a + b + c + d - m Az M sza- OM + O m + a+ b+ c+ d - m a b c d kasz felezéspotja F: OF OS 6 egyeek a A, B, F, Al, Bl, Fl potokba mutató helyvektorok redre a, b, f, al, bl, fl 6 a a OX + l b b OZ + l OF + OFl OY a+ b al+ bl + a a b b + l + + l OX + OZ & Y pot az XZ szakasz felezôpotja & X, Y és Z egy egyeese vaak a b 7 egye az AC átló felezôpotja F, a BD átló felezôpotja F AF + és b c AF a+ + b c a b a c & FF AF- AF a C felezi a l szakaszt: c p + p l & pl c- p 9 A 8 feladatba láttuk, hogy p a - p p b - p b - a + p p c - p c - b + a - p p d - p d - c + b - a + p b - a c - d, mivel ABCD paralelogramma & d - c + b - a (d - c + b - a) (d - c + c - d) 0 & & p p a b 50 f + b c f + c d f + d a f + A 8 feladatba láttuk, hogy: p f - p a + b - p és p f - p b + c - p és p f - p c + d - p és p f - p d + a - p & p - p b + c - p - a - b + p c - a és p - p c + d - p - d - a + p c - a, tehát & paralelogramma 9 50

10 8 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások 5 egyeek a tükörképpotokba mutató vektorok redre p, p, p 6 A 8 feladatba láttuk, hogy p a - p p b - p b - a + p p c - p c - b + a - p p a - p a - c + b - a + p -c + b + p p 5 b - p b + c - b - p c - p p 6 c - p 5 c - c + p p Tehát p 6 p 5 egyeek az A, B, C, D, E és F potokba mutató helyvektorok ABCDEés,,,, F A D E + B C F + B C A D b B- A a C- D k F- E B A C D b a egyeek a csúcsokba és az átlófelezô potokba mutató helyvektorok ABCDE,,,, A C és F E felezi AC-t, ezért E + B D és F felezi BD-t, ezért F + EF F - E B+ D - A+ C B- A D- C AB CD AB CD & AB és CD egyállású vektorok & EF párhuzamos az alapokkal 5 egyeek az A, B, C, D, illetve A, B, C, D potokba mutató helyvektorok A, B, C, D, illetve A, B, C, D F A A a + B B és Fb + C C és Fc + és D+ D C C B B C B C B Fd FbFc Fc- Fb Fa Fd Fd- Fa D D A A D A D A Mivel A B C D, illetve A B C D paralelogramma, ezért C- B D-A és C- B D- A& FbFc FaFd& F a F b F c F d paralelogramma 55 Az ABC, a BCD, a CDA és az ABD háromszögekek közös a körülírt köre A 07 feladatba láttuk, hogy ha a körülírt kör középpotja a helyvektorok közös kezdôpotja, akkor a csúcsokba mutató helyvektorok összege a körülírt kör középpotjából a magasságpotba mutató vektor Az ABC M magasságpotjába mutató vektor: OM a + b + c A BCD M magasságpotjába mutató vektor: OM b + c + d Az ABD M magasságpotjába mutató vektor: OM a + b + d Az ACD M magasságpotjába mutató vektor: OM a + c + d Az M M M M égyszög oldalvektorai: MM OM- OMb + c + d - a - b - c d - a AD M M OM- OMa + c + d - b - c - d a - b BA M M OM - - OM a + b + d - a - c - d b - c CB 5 MM OM- OM a + b + d - a - b - c d - c CD A magasságvoalakból alkotott égyszög oldalvektorai egyelôk a húrégyszög oldalvektoraival, ezért a két égyszög oldalai párokét párhuzamosak és egyelôk, tehát a két égyszög egybevágó

11 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások 9 56 egye a húrégyszög körülírt köréek középpotja a helyvektorok közös kezdôpotja A feladatba láttuk, hogy OS (a + b + c + d) egye O-ak S-re voatkozó tükörképe M OM $ OS (a + b + c + d) a d egye E az AD szakasz felezéspotja OE + EM OM - OE a + b + c + d - a - d b + c és BC c-b Mivel qbu qcu r, így (b + c) és (c - b) vektorok merôlegesek egymásra & EM BC & M rajta va az E felezéspotból BC-re állított merôlegese A többi esetre is hasolóa lehet beláti 57 egye AB a AD b és AE c ABCD lap középpotjába mutató vektor: a + b ABFE lap középpotjába mutató vektor: a + c ADHE lap középpotjába muta- tó vektor: b + c BCGF lap középpotjába mutató vektor: b+ c a+ c + a DCGH lap középpotjába mutató vektor: + b EFGH lap középpotjába mutató vektor: a + b + c 58 B x+ y+ z F x- y+ z C- x+ y+ z G - x- y+ z A x+ y- z E x-y- z D - x+ y- z H - x- y- z 59 Tekitsük a Q testátlót X + Y + Z Q X + Y + Z Másrészrôl S az XYZ súlypotjába mutató vektor, ami bee va az [XYZ] síkba & A testátló -hez közelebbi harmadolópotja bee va az [XYZ] síkba Hasolóa megmutatható, hogy a Q-hoz közelebbi harmadolópot bee va az [ABC] síkba a b c 60 DS SS D OSD + + az ABC súlypotjáak helyvektora a+ b+ c OS OD d D+ $ + OS a b c d Hasolóa látható be a többi súlyvoalra is

12 50 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások 6 egyeek a csúcsokba mutató helyvektorok redre a, b, c és d A 60 feladatba láttuk, hogy OS a b c d a b c d a b c d SA OA - OS a Hasolóa: SB SC SD b-a-c- d c-a-b- d d-a-b- c a-b-c- d+ b-a-c- d+ c-a-b- d+ d-a-b- c SA + SB+ SC + SD 0 6 egyeek az A, B, C, D csúcsokba mutató helyvektorok 6 a b c d redre a, b, c és d OS az ABCD tetraéder súlypotjáak helyvektora OSD + + b c d a b c OSA + + a c d OSB + + a b d OSC + + a lapsúlypotokba mutató helyvektorok egye Q az S A S B S C S D tetraéder súlypotja OSA+ OSB+ OSC+ OSD a+ b+ c+ d OQ a b c d OS & Q / S 6 Nézzük a 6 ábrát! egyeek a csúcsokba mutató helyvektorok redre a, b, c és d a b c d A súlypotba mutató helyvektor: OS a b AB felezéspotja E: OE +, CD a+ b c+ d c d felezéspotja F: OF + OE + OF +, EF felezéspotja : O a+ b+ c+ d OS & / S & A súlypot felezi EF szakaszt 6 Nézzük a 6 ábrát! Felhaszáljuk, hogy S felezi EF-et és HG-t (lásd 6 feladat) & EGFH égyszög EF és GH átlójáak közös felezéspotja S + EGFH síkbeli égyszög és paralelogramma 65 A A A + A A és B + & AB B A A A - - Hasolóa: CD A 5 A - A A 5 és EF - & & AB + CD + EF aa- A+ A5- A+ A-A k AB + AC + AD + AE + AF AB + `AB + BCj + + `AB + BC + CDj + ` AB + BC + CD + DE j + + `AB + BC + CD + DE + EFj AB + BC + CD AD az AB + DE 0 és BC + EF 0 összefüggéseket felhaszálva 67 QO QA+ AO QO QA+ AO QO QA+ AO QO QA + A O & $ QO QA + QA + + QA + A O +

13 Vektormûveletek alkalmazásával bizoyítható állítások 5 69 eset eset eset 5 eset 6 eset 7 eset + AO + + AO 7 Mivel az A A A sokszög szabályos, O a sokszög súlypotja is egybe & AO + AO + + AO 0 Ezt a 7 egyeletbe felhaszálva: QO $ aqa + QA + + QA k 68 AA+ BB+ CC+ DD A- A + B- B + C- C + D- D ( C- A) + ( D- B) + + ( A- C) + ( B- D) AC+ BD+ CA+ DB 69 eset: m 0 A 0 0 $ B eset: 0<m < A < B eset: m Nics olya pot, amelyre A B lee eset: <m A > B 5 eset: -<m <0 A < B 6 eset: m - A B 7 eset: m < - A > B 70 A + B + C 0 & A- + B- + C- 0 & A+ B+ C 6& A B C & + + A potba mutató helyvektor a feti összefüggéssel szerkeszthetô AB+ AB+ + AB B- A+ B- A+ + B- A ( Bi - A) + ( Bi - A) + + ( B A ) A B A B A B i - i + i + + i Felhaszáltuk, hogy a vektorösszeadás kommutatív mûvelet 7 OA + OB OF, ahol F felezi AB-t OC + OD OG, ahol G felezi CD-t OF 9 AB, OG 9 CD és AB 9 CD miatt OGMF téglalap OA + OB + OC + OD OF + OG OM

14 5 Vektorok felbotása összetevôkre Vektorok felbotása összetevôkre 7 A súlyvoalvektor az oldalvektorok feléek összege 7 75 A feladatok megoldását az olvasóra bízzuk 76 A kért felbotást a 76 ábra mutatja A szögfelezô 76 A b bc ac tételbôl tudjuk, hogy & A B B a a+ b a + b A párhuzamos szelôk tétele miatt x b B x a A b c a c ac ab x b b $ $ c a + b és x b b xb $ eb xb $ a+ b b ab b a b $ $ b Hasolóa belátható, hogy x a + b b a + a $ a b a + b a b C xb+ xa $ b+ $ a a + b a + b 77 a) Az egyértelmû elôállíthatóság miatt a és b + 5 & b b) a + b - 0 és a - b 0 & a & b c) a b + és b - (a - ) & a & b 0 9 d) a - b - 0 és a + b & a- & b AD + ADl0 & D középpotos tükörképe A-ra Dl AC+ AB AC + AB AC + AB DA l AD DB l DA l + AB + AB 79 m - b+ a AB b-a A, B és C egy egyeese vaak, ezért BC és AB (! 0) egyállású vektorok & Va olya m! R, hogy BC m$ AB m $ ( b-a) c b+ BC b+ m $ ( b- a) ( m+ )b-m a b m+ és a- m választással c a $ a + b $ b és a + b 8 c a $ a + b $ b és a + b & a - b & & c ( - b) $ a + b $ b AB b- a BC c- b ( - b) $ a+ b$ b- b ( b-) $ b-( b- ) $ a ( b-) $ ( b- a) ( b-) $ AB 7 Ha a és b em egyállású vektorok, akkor AB! 0 Ha b, akkor c b $ b b & C rajta va az AB egyeese Ha b!, akkor BC! 0 & AB és BC a, összefüggés miatt egymásba fûzött egyállású vektorok, így A, B és C egy egyeese vaak

15 Vektorok felbotása összetevôkre Az M metszéspot akkor létezik, ha A B em párhuzamos B A -vel, azaz m! A 80 feladatba láttuk, hogy A, M, B egy egyeese lévô potokba mutató vektorokra: v a $ ma + ( - a) $ b Hasolóa az A, M, B potokba mutató vektorokra: v b $ a + + ( - b) $ b & a $ ma + ( - a) $ b v b $ a + ( - b) $ b Az elôállítás egyértelmûsége b b m ( - ) miatt: a $ m b és - a ( - b) $ & a & - ( - b ) $ & b m m m - m ( - ) J m ( - ) N m ( - ) m ( - ) v $ a+ - $ b $ a+ $ b m - m - O m - m - 8 egye AB b AE m b AD d AF d A 8 feladat eredméyét felhaszálva AC $ b+ $ d AF AC $ b + m ( - ) m ( - ) m ( - ) m - m - ( m - ) m ( - ) d b + $ d AF ( m - ) + b d AF m + b b d d AF m - m + m - ( - m ) m ( b+ d) mb+ d m - $ AF+ $ AF AF, ( m - ) ( m - ) ( m - ) - k $ AF+ m $ AF ahol m m m k és m k+ m ( m - ) - m ( - + m - miatt a 8 m ) - m m - feladat alapjá ez éppe azt jeleti, hogy F, F és F egy egyeese vaak 8 egye E e F me C c B c és EB + FC M A 8 feladatba m ( - ) m ( - ) láttuk, hogy M $ e+ $ c AB F FA B DC E és ED C m - m - m $ e- m $ e+ m $ c- $ c miatt A m$ e+ $ c és D e+ c M m - m m$ e+ $ c m 8 $ ( e+ c) - $ D - m - m - m - m - $ A m - m - - m - és a 8 feladat felhaszálásával ez azt jeleti, hogy M rajta va az AD egyeese & AD, BE és CF egy potba metszik egymást

16 5 Vektorok elforgatásával megoldható feladatok A D 85 Az osztópotba mutató helyvektorokra voatkozó összefüggés miatt V + B C Z + A+ mb D+ mc X Y az XY egyees potja, ezért a 80 feladat m+ m+ állítása szerit va olya k! R, hogy k$ X+ ( -k) $ Y a VZ egyees potja, ezért va olya m! R, hogy m$ V+ ( -m) $ Z A kettôt összevetve k$ X+ ( - k) $ Y m$ V+ A+ mb D+ mc + ( -m) $ Z, azaz k ( k) m A + $ + - $ $ D ( m) $ B + C + - m+ m+ A( k- m( + m)) + B( km-( - m)( + m)) + C( m( -k) -( - m)( + m)) + + D( ( -k) - m( + m )) 0 & k m( + m ) km ( - m)( + m ) m ( - k) m ( - m)( + m ) ( - k) m( + m )& & m & k m - m m+ k $ ( + m )& k & A pot felezi az XY szakaszt és m : aráyba m + - k osztja a VZ szakaszt Vektorok elforgatásával megoldható feladatok 86 egye CA a és CB b a+ b CF, mert CF súlyvoal egye a os elforgatottja al, b os elforgatottja bl CC al CC bl & CC CC + CC al+ bl ( a+ b) l ( CF) l& CC CFés a 90 -os elforgatás miatt egymásra merôlegesek 87 OA a OB b OC c OD d AC c- a BD d-b a) Tekitsük az O középpotú +90 -os elforgatást a képe b, c képe d, (c - a) képe (d - b), AC képe BD & BD AC és BD AC b) EF AC és EH BD A feladat a) része miatt EF 9 EH és EF EH Ez az EFGH égyszög bármely két szomszédos oldalára megmutatható, ezért EFGH égyzet 86 87

17 Vektorok elforgatásával megoldható feladatok a) A megoldást lásd a 86 feladat megoldásáál 88 b) Az a) potba láttuk, hogy E 9 AA, ahol AA az egyik súlyvoal & A-ból E-re bocsátott merôleges az AA egyees Hasolóa B-bôl FG-re bocsátott merôleges a BB egyees, C-bôl JH-ra bocsátott merôleges a CC egyees A háromszög súlyvoalai a súlypotba metszik egymást, ezért a feltételekek eleget tevô merôlegesek is a súlypotba metszik egymást c) egye AC c és AB b & & BC c-b Tekitsük a +90 -os elforgatást b képe bl és c képe cl, ezért EA bl és A cl AR cl- bl ( c- b) l ` l BCj& AR a BC +90 -os elforgatottja, ezért AR 9 BC és AR BC Hasolóa megmutatható, hogy B 9 AC és B AC, valamit CQ 9 AB és CQ AB d) A korábbi jelöléseket haszálva (a helyvektorok közös kezdôpotja A): Z c+ cl X b-bl b c c c b c A + & AZ Z- A + l - - c b l- b b b c és AX X- A - l - - -c-bl Vegyük az AZ +90 -os elforgatottját J cl- b Nl cll- bl -c-bl ( AZ ) l O AX & Xa Z pot A körüli +90 -os elforgatottja & Az A oldalfelezéspot az XYZ XZ oldala fölé befelé rajzolt égyzet középpotja Hasolóa megmutatható, hogy B az XY oldal fölé, C az YZ oldal fölé rajzolt égyzet középpotja e) A korábbi jelöléseket haszálva: AB + BG + G b + ( b - c) l- bl b+ bl-cl- bl b-cl R cl-bl X b-bl + R b- cl+ cl- bl b- bl X & X a R szakasz felezôpotja Hasolóa megmutatható, hogy Y a Q szakasz, Z pedig a QR szakasz felezôpotja f) Az e) potba láttuk, hogy X felezi a R szakaszt, ezért QX a QR Q-ból iduló súlyvoala Hasolóa belátható, hogy Z és RY is súlyvoalak, tehát a QR súlypotjába metszik egymást g) A korábbi jelöléseket haszálva: S b + c b b X - l ABC b c b c Y + + l- l c c Z + l b b b c b c c c b c b c S - l+ + + l- l+ + l + + XYZ 6 6 E - b l G b+ bl-cl J c+ cl S - b l+ b + b l- c l+ c + c l b c + EGJ F b-b l H c+ bl-cl cl S b - b l+ c + b l- c l+ c l b c + A fetiek FH alapjá S ABC / S XYZ / S EGJ / S FH h) ABHJ égyszögbe a C pot olya, hogy AJC és BHC egyelô szárú derékszögû háromszögek A 87 feladatba beláttuk, hogy ilye égyszög esetébe az átlók merôlegesek és egyelôk: AH BJ és AH 9 BJ Hasolóa megmutatható a másik két szakaszpár egyelôsége és merôlegessége is

18 56 Vektorok elforgatásával megoldható feladatok A 87 ábra jelöléseivel: egyeek az A, B, C és D potokba mutató helyvektorok A, B, C és D AC C -A és BD D - B, AC 9 BD és AC BD miatt AC a BD (- 90) -os elforgatottja: AC ( BD ) l& A B & C- A Dl-B l E + B C F + H A+ D EF F -E B C A B C A - A D A B D B EH H - E Tekitsük az EH (- 90) -os elforgatottját ceh m l J Nl D- BO Dl B C A - l - EF & F a H pot E körüli (- 90) -os elforgatottja Hasolóa H az F pot G körüli (- 90) -os elforgatottja, ezért HEFG O égyzet 90 egye A a helyvektorok közös kezdôpotja Jelöljük a (- 90) -os elforgatás sorá keletkezett képeket l-vel AB b AC c AD d AE + l c b c b b b AF b l - l b c c b + + l- l d c d c c d d c AG c l- l + + l- l AH d- dl ( ) GE AE - AG b+ bl- c+ d+ dl- cl b-c- d+ bl+ cl-dl d d ( b c c b) b c d b c d FH AH - AF - l- + + l- l l- l- l- - + GE l J b c d b c d b c d b c d l+ l- l N l c m l- l- l+ ll+ ll- ll O Felhaszálva, hogy bll- cll- c és dll- d: GE l bl c d b c d b, c m - l - l FH & A HEFG égyszög átlói 9 merôlegesek és egyelôk A 89 feladatot alkalmazva a égyszög oldalfelezéspotjai égyzetet alkotak 9 megoldás: egye A a helyvektorok közös kezdôpotja Jelöljük a (- 90) -os elforgatás sorá keletkezett képeket l-vel egye AB a, AD b ABCD paralelogramma, ezért DC a, BC b a a AE + l b b AF a + + l a a AG b + - l AH b- bl a a HG AG - AH b + - l -

19 Vektorok elforgatásával megoldható feladatok 57 b b a b a b - - l + - l+ l HE AE - AH a+ al b- bl a- b+ al+ bl - GF b b a a a b a b AF - AG a + + l -b - - l - + l+ l Tehát HE GF, ezért HE GF és J a b a b a b a b HE GF () ( HG) l + - l + lnl l + l - ll + ll O Felhaszálva all- a és bll - b: al b a b ( HG) l + l + - HE & HG HE és HG 9 GE () () és () összefüggésekbôl következik, hogy HEFG égyzet megoldás: egye M a paralelogramma átlóiak metszéspotja a a AE + l a b MA - + a b a a a b ME MA + AE l l- MH a b b b a b MA + AH l - + l Vegyük az ME vektor (- 90 )-os elforgatottját J al- b Nl all- bl -a- bl a+ bl ( ME) l - MH O Hasolóa belátható, hogy ( MH) l MG és ( MG) l MF MEF MFG MGH és MHE egyelô szárú derékszögû háromszögek, a derékszög M-be va & EFGH égyzet 9 a) Jelöljük az ábra szerit a vektorokat, és l-vel a (- 90) -os elforgatottjukat (felhaszálva, hogy a égyzet félátlói merôlegesek és egyelôk) XY xl -y BZ - xl+ x- zl Tekitsük a C-bôl kiidulva az egymáshoz fûzött, majd oda visszaérkezô vektorokat - z + zl - x + xl - y + yl 0 & x + y + z xl + yl + zl (x + y + z)l & x + y + z 0 & & y -x - z XY xl + x+ z ( XY) l ( xl+ x+ z) l xll+ xl+ zl- x+ xl+ zl- BZ BZ az XY os elforgatottja, ezért BZ XY és BZ 9 XY b) Az a) potba látottakhoz hasolóa belátható, hogy AY 9 ZX és CX 9 ZY & AZ CX és BZ az XYZ magasságvoalai, ezért egy potba metszik egymást 9 9 A 9 ábra jelöléseit haszáljuk egyeek az A, B, C, A, B, C, A, B, C potokba mutató helyvektorok redre A, B,, C Jelölje a os elforgatás képét l C C C + A A A + B B B + C A A- C A C A C a b B C CB B- C - + B C a b + - l+ l al b ( CA) l + l CB & C A C B és C A 9 C B & A B C egyelô szárú és derékszögû 9 A 9 feladat megoldásmeete teljes egészébe megismételhetô, csak a os elforgatás képe helyett az 9

20 58 Vektorok elforgatásával megoldható feladatok 96 a iráyított szögû elforgatás képét jelöljük l-vel l & C A C B és A C B a & ( C A) CB & C A B ~ CAB 95 egye OA a OAl al OAll all Az all az a vektor + 0 -os elforgatottja, így OAAl-be az AAlral helyettesíthetô A vektorok külöbségére tault 97 ábrázolásból következik, hogy all al-a 96 egyeek az A, B, C, B, C, B, C potokba mutató helyvektorok redre A, B,, C Jelölje a +60 os elforgatás képét l C + B B B + AB C C B A B B B A B A A b b + C C AC C A A C A C- A bl + bl bl + bl + & ( AB ) l AC A fetiekbôl következik, hogy AC AB és B AC 60 & AB C szabályos 97 egyeek az A, B, C, A, B, C, A, B, C potokba mutató helyvektorok redre A, B, C C, C Jelölje a +60 -os elforgatás képét l C + A A A + B B B + B A B A b b 98 AB B- A C A C A AC C- A bl+ bl bl b ( AB) l + l AC A fetiekbôl következik, hogy A C A B és B A C 60 & A B C szabályos egye FD d, EC c és jelölje a os elforgatás képét l EF c-dl EA cl+ d-dl ( EF) l cl-dll A 95 feladat eredméyét felhaszálva & dll dl- d ( EF) l cl-( dl- d) cl- dl+ d & EA EA EF és FEA 60 & FEA szabályos 99 CD r és OC r és OD r, ezért CDO szabályos & COD 60 Hasolóa megmutatható, hogy EOF 60 és AOB 60 egye OC c, OE e és OA a és jelölje a os elforgatás képét l c a X + l e c Y + l a e Z + l YZ Z - Y

21 Vektorok elforgatásával megoldható feladatok 59 a e e c + l- - l c a e c YX X - Y + l- - l al e e c ( YZ) l + ll - l - ll A95 feladat al e e c c e eredméyét felhaszálva ell el - e és cll cl - c, így ( YZ) l + l - - l + - l al e c c - - l + YX & YX YZ és ZYX 60, ezért XYZ szabályos 00 egye OC c, OE e és OA a és jelölje a + 60 os elforgatás képét l Szabályos háromszögekrôl lévé szó c a OD cl, OF el és OB al Y + l e c Z + l a e X + l a e e c ZX X - Z + l- - l ZY Y - Z c a e c + l- - l al e e c ( ZX) l + ll - l - ll A 95 feladat eredméyét felhaszálva ell el - e és cll cl - c, így ( ZX ) l al e e c c e a e c c + l - - l + - l l - - l + ZY & ZX ZY és XZY 60, ezért XYZ szabályos 0 egyeek a szabályos háromszögek középpotjai X, Y és Z egye YC c, XB b és ZA a Jelölje a os elforgatás képét l, a + 0 -os elforgatás képét ll Felhaszálva, hogy BXA CYB AZC +0 : YB cll, XA bll ZC all XY b-cll XZ bll -a ( XY) l bl- ( cll) l bl-( - c) bl+ c X-bôl kiidulva vegyük sorra az egymásba fûzött vektorokat b - cll + c - all + a - bll 0 & a + b + c all + bll + cll & a + b + c 0&-a b + c & XZ bll - a bll + b + c A 95 feladat eredméyét felhaszálva bll bl - b, így XZ bl - b + b + c bl + c ( XY) l & XZ XY és YXZ 60, ezért XYZ szabályos 0 egye BC c, DE e és FA a és jelölje a + 60 os elforgatás képét l, a +0 -os elforgatás képét ll Felhaszálva, hogy CBA EDC AFE +0 BA cll, DC ell és FE all BD c-ell BF cll -a ( BD) l cl- ( ell) l cl-( - e) cl+ e B-bôl kiidulva vegyük sorra az egymásba fûzött vektorokat c - ell + e - all + a - cll 0 & a + c + + e all + cll + ell & a + c + e 0 & - a c + e & BF cll - a cll + c + e A 95 feladat eredméyét felhaszálva cll cl - c, így BF cl- c+ c+ e cl+ e ( BD) l& BF BD és DBF 60, ezért BDF szabályos

22 60 Mûveletek koordiátákkal megadott vektorokkal 0 0 egyeek a szabályos háromszögek középpotjai X, Y és Z egye YC c, XB b és ZA a, és jelölje a os elforgatás képét l, a +0 -os elforgatás képét ll Felhaszálva, hogy BXA CYB AZC +0 YB cll, XA bll és ZC all XY b-cll XZ bll -a ( XY) l bl- ( cll) l bl-( - c) bl+ c X-bôl kiidulva vegyük sorra az egymásba fûzött vektorokat b - cll + c - all + a - bll 0 & a + b + c all + bll + cll & a + b + + c 0 & - a b + c & XZ bll - a bll + b + ca95 feladat eredméyét felhaszálva bll bl - b, így XZ bl - b + b + c bl + c ( XY) l & XZ XY és YXZ 60, ezért XYZ szabályos Mûveletek koordiátákkal megadott vektorokkal 0 egye a kezdôpot az origó Alkalmazzuk a OvO v + v képletet, ahol v és v a v vektor koordiátái Ekkor OaO + 6 ObO OcO 7 OdO 0 OeO 5 OfO OgO 0 OhO - 5 +, 5 Ha a vektorok kezdôpotja az (5 5) koordiátájú pot, a vektorok abszolútértéke em változik Ekkor például 5 az a vektor kezdôpotja az (5 5), végpotja a (9 ) koordiátájú pot OaO ( 9-5) + ( - 5) a i + 6j b -5i + j c -8i - j d -j e i - j f i -,j g - i - 8 j h i + j 05 a 5i + j + k Alkalmazzuk a OvO v + v + v képletet, ahol v,v, v, a v vektor koordiátái Ekkor OaO 5 ObO 9 OcO 09 OdO A feladat megoldását az olvasóra bízzuk 07 Az m (a b) (b a) helyvektorok egymás tükörképei az y x egyeletû (az origó átmeô és az elsô és a harmadik sikegyedet felezô) egyeesre 08 a) ( -) és így tovább b) (- ) és így tovább c) (- -) ( -) (- 5) (-5 0) (0 ) (-p -q) d) ( ) ( -) (-5 ) (0 5) (- 0) (q p) e) (- -) (- ) (5 -) (0-5) ( 0) (-q -p) 09 C (5 6), C (-5 6), C (-5-6), C (5-6) itagorasz tételét alkalmazva m 8-6 8, m 7 A megoldás: C `6 7j, C `-6 7j, C `-6-7j, C `6-7j J 0 a) AC a, így A a N J N J N J N O a O a O a O 0, B 0, C - 0, D 0 - O O O O J b) A a a N J a an J a an J, O B -, O C - -, O D a a N - O

23 Mûveletek koordiátákkal megadott vektorokkal 6 J a a an J a a an J a a an J a a an J a a an -, O, O -, O - -, O - - O,,, J a a an J a a an J a a an -, O - -, O O a) A szabályos hatszög tulajdoságai miatt ABO háromszög szabályos itagorasz tételébôl: m -, m A csúcspotok: A( 0), B( ), C(- ), D(- 0), E(- - ), F( - ), illetve A(a 0), B(a a ), C(- a a ), D(-a 0), E(- a - a ), F(a - a ) b) (0 ), ( ), ( - ), (0 -), (- - ), (- ), illetve (0 a), (- a a), (- a - a), (0 - a), (a - a), (a a) ábra a) al(- -), all( -) e) el(-b a), ell(b -a) f) f l(- cos a si a), f ll(cos a - si a) J 5 N 5 (- 7) (5 0) (0-7) -b(8 -), a - b( ) 5 a, O J 8 N J 7 N N J 5 N b -, O a+ b O 6 J- O 7 - O 6 AB(- 7), BC(- 8 - ), CA(0-6) O ABO + 9 5, O BCO 89, OCAO 0, AB + BC + CA (- 7) + (- 8 - ) + (0-6) (0 0) 0 O ABO + O BCO + OCAO 6, 9 7 AB(- 8 ), BC(- - ), CA( 7), DA(5 6) 8 Fl(- - 0), A F + Fl, A(- - 6) egye 0 az origó Ekkor OA O + A, OA(- 7-0), A(- 7-0) - A C( 6), OC O + C, OC( ), C( ) B(6 - ), OB O + B, OB( - 8), B( - 8), - B D, ebbôl D( 0) & 9 AB( 5), DC( 5) AB DC ABCD paralelogramma AD(5 - ) &O ABO O ADO, AB $ AD 0 & ABCD égyzet & 8

24 6 ét vektor skaláris szorzata J N J N OaO 7 a O ObO 0 b 0 - O OcO O 0 0 O J N J N c - O 7 OdO 58 d 0 O O O Az A, B, C, D, potokhoz vezesseek az a, b, c, d, k helyvektorok Ekkor A a - k(- - ), C( ) c C + k Ie c(5 ), C(5 ) B a A 90 -os elforgatottjáak -szerese, tehát B( - ) b k + B & b ( 7), B( 7) D(- ), d(0 ), D(0 ) si $ cos a - - b 0 $ 0 lg 5 0 $ 5 50 si 6 $ cos c ( 5 + ) -( 5 -), mert ( 5 + ) $ ( 5 - ) c [( 5 + ) + ( 5 - ) ( 5 - ) + ( 5 - ) ] $ 9 76 AB( 5), BC( 6) Mivel AB $ BC, ezért a pot egy egyeesre illeszkedik OaO + + ObO 9 J N 5 0 a) OaO, a O, O J N 0 c) a - O O J N b) a O, O ét vektor skaláris szorzata 5 Az oldalhossz égyzetéek a -szerese 6,5 AB $ AC c$ boco $ObO cos a és b + c - bc$ cos a a Ocb $ObO cos a b c a Botsuk fel a-t a b-vel párhuzamos és rá merôleges összetevôkre A b-vel párhuzamos összetevô -kb 9 8 cos (a b) cos a (a - 5b)(a + b) 0 és (a + b)(-a + b) 0 & 5 J a N J a N & 6a - 7ab cos a - 5b 0 és - a - ab cos a + b 0 & 6-7 cos a b O b O és J a N J a N J a N cos a + 0 & b O b O b O cos a 5 5 &

25 ét vektor skaláris szorzata 6 9 a $ b $ 5 $ cos 0 5, 0 a) a $ b + 8 OaO ObO $ 0 $ cos (a b) & & cos (a b) 0,96 & (a b) s 6,6 b) a $ b -7, (a, b) s 05, c) a $ b 8, (a, b) s 67, d) a $ b, (a, b) s 88,9 a) a $ b b) a $ b c) a $ b 7 d) a $ b 6-58 a) a $ b , OaO , Obb 5 5, 5 cos(, ab) - - 0, 9, (a, b) 06,9 b) 0,8 c),7 5 $ 59 a $ b -6 $ + y 0 & y 8 AC( 0-5), AB( 675 ), AB -k $ AC( 6-0k 7+ 5k), AC $ ( AB - k $ AC) 0 ( 6-0k)- 5 ( 7+ 5k) 0, -0k-7-5k 0 & k 5 5 CA( 9 ), CB( - 6), CA $ CB 0 & CA CB 6 AB( 0 ), AB( 5 6) 90 -os elforgatottja AD (- 6 6), illetve ( ), AD 6-5 OD OA + AD, OD ( - 8 9), OD OA + AD, OD ( - ) BC AD, BC AD, OC OB + BC, OC ( ), OC ( ) C ( ), D (- 8 9), illetve C( ), D ( ) - 7 a $ b z 0 & z - 8 a b c p + (p + ) + p (p + ) p + (p + ) ( + p ) & qau qbu qcu a $ b -p (p + ) - p(p + ) + (p + ) 0 & a 9 b a $ c -p(p + ) + p(p + ) - p (p + ) 0 & a 9 c 9 a) AB( 5), q ABu, AC( 5 ), q ACu 6, AB $ AC & 0 $ 6 $ cosa a 7, 7 Hasolóa kiszámítható a b 57,5, c 7,8 b) BA( - - ), BC( - ), BA $ BC 0& c 90 q ABu q BCu 5 & a b 5 c) 0,9, 8,, 9,9 d) 8,9, 7,, 0 qcau 7, q BAu 8, qcbu 9, CA $ CB, CA $ BA 8 CA $ BA 8 cos a 0, 708 & a, 9 cos c CA $ BA 7 $ 8 & - 7 $ 9-0, 0556 c 9,, b, 9 egye x(a b c), a $ x 5a - b + c 0, b $ x -a + b + c 0 - b+ c-5a 9 J 9 N b+ c a & c- a, b a x a a - a, O illetve x(7a 9a -a), ahol a! R egye e(a b), f(c d), qeu a + b qfu c + d e $ f ac + db e $ f qeu $ qfu $ cos (e, f ) # qeu $ qfu, behelyettesítve: ac + bd # a + b $ c + d

26 6 ét vektor vektoriális szorzata ABM ~ CDM egyelô szárú derékszögû háromszögek J 9 7 N J N J F O FC O 90 -os elforgatottjai FM N -, O J N FM - O Ha 0 az origó, OM OF + FM, illetve OM OF + FM Ie M (5 ), M ( 5) MC OC-OM MC ( ), - MC M A( - - 6) OA OM+ M A, OA( - ), A ( -), OB ( - ), B ( -) Hasolóa M -bôl A (- 8), B (7 ) J 8 6 N 0 qau 0, a, 0 0 O qa0 u Ha a 0 iráyszöge a, akkor cos a, si a 5 5 egye qeu, iráyszöge: (a ±60 ) si { si ( a! 60 ) si a$ cos 60! cos a $ si 60 J N!!! + O, cos { e b ke, ahol k! R \ Y0^ O 6 a+ b J 6 N J 8 N 5 v aa + bb, &, a+ b a b a a, O b b, O v a+ b v- a+ b 7 v a+ b egye e(cos a si a) a szögfelezôre illeszkedô egységvektor (a, e) (b, e) { a$ e b$ e a $ e qau$ qeu $ cos {, b $ e qbu$ qeu $ cos { Ezekbôl, ahol qau 5, qbu a $ b $ a $ e cos a + si a, b $ e 5 cos a + si a, cos a+ si a 5 cos a+ si a si a 7 & e u v & v( 7) A k $ v is kielégíti a 5 cos a feladat feltételeit, ahol k! R \ Y0^ ét vektor vektoriális szorzata 50 9 A vektoriális szorzat defiíciója szerit qa # bu qau $ qbusi q(a, b)su Ez a pozitív valós szám aak a paralelogrammáak a területe, amelyek oldalai qau és qbu hosszúságúak és a hajlásszögük a (a, b)s 50 Alkalmazzuk a vektoriális szorzat defiícióját és tekitsük az 50 ábra jobbredszerét Ekkor az ábráról leolvashatjuk a feladat állításaiak helyességét! 5 a a i + a j + a k és b b i + b j + b k A szorzás elvégzésekor az a, a, a, b, b, b vektoriális szorzás két (bizoyítható) tulajdoságát haszáljuk fel

27 ét vektor vektoriális szorzata 65 a) A vektoriális szorzatot úgy szorozhatjuk meg egy számmal, hogy egyik téyezôjét szorozzuk! m(a # b) (md) # b a # (mb) (Ebbôl következik, hogy ( -) (a # b b # a) b) A vektoriális szorzás disztributív tulajdoságú, azaz például (a + b) # (c + d) a # c + b # c ++a # d + b # d Ekkor a # b (a i + a j+a k)(b i + b j+b k) (a b - a b )i + (a b - - a b )j + (a b - a b )k, mert i # i j # j k # k 0, továbbá j # i - k, k # j -i, i # k -j 5 a) a # b (i + j + k)(i + j - k) (i # i) + (j # i) + (k # i) + (i # j) + 6(j # j) + + (k # j) - (i # k) - (j # k) - (k # k) -7i + j - k qa # bu b) -j qa # bu c) 9i - j - k qa # bu 5 a) tabcd AB# BC AB $ BC $ si {, ahol { az AB és a BC vektorok által bezárt szög AB, BC, mert BC( - ) AC( ), ( AC) A { szög kiszámítható a kosziusztétellel + - $ cos {, ie cos { és si {, t ABCD $ $ 8 egység b) 5 a) t AB# AC AB $ AC si {, ahol { az A csúcsál fekvô szög AB AC 5 BC Ekkor cos {, a kosziusztétel alkalma- 0 7 zásával, si{ t b) 5 55 a # b qau $ qbu $ si (a, b) b # a qau $ qbu $ si (b, a) és si (a, b) -si (b, a) a # a qau $ qbu $ si 0 0