A MATEMATIKA TANÍTÁSA MÓDSZERTANI FOLYÓIRAT Néhány feldt diofntikus egyenletek köréôl (Dr. Urán János) Néhány összegzési feldt (Dr. Molnár István) Mi fér ele tnnyg projektív geometriáól? (Molnár Zoltán) A prlelogrmmtétel (Dr. Drvsi Gyul) XX. ÉVFOLYAM 014 M ZAIK www.mozik.info.hu
A MATEMATIKA TANÍTÁSA A MATEMATIKA TANÍTÁSA módszertni folyóirt Szerkesztõség: Fõszerkesztõ: Dr. Kosztolányi József Szerkesztõség címe: 673 Szeged, Dereceni u. 3/B Tel.: (6) 470-101, FAX: (6) 554-666 Kidó: MOZAIK Kidó Kft. Felelõs kidó: Török Zoltán Tördelõszerkesztõ: Kovács Attil Borítóterv: Deák Ferenc Megrendelhetõ: MOZAIK Kidó 6701 Szeged, Pf. 301. Éves elõfizetési díj: 1800 Ft Megjelenik évente 4 lklomml. A lp megvásárolhtó MOZAIK Könyvesoltn: Budpest VIII., Üllõi út 70. A Mtemtik Tnításán megjelenõ vlmennyi cikket szerzõi jog védi. Másolásuk ármilyen formán kizárólg kidó elõzetes íráseli engedélyével történhet. ISSN 116-6650 Készült z Innovrint Kft.-en, Szegeden Felelõs vezetõ: Drágán György TARTALOM Dr. Urán János (1939 01) Dr. Kosztolányi József egyetemi docens, Szeged Oláh György (1940 01) Trics Péter újságíró, Komárom 01. decemer Néhány feldt diofntikus egyenletek köréõl Dr. Urán János tnár, Berzsenyi Dániel Gimnázium, Budpest Néhány összegzési feldt Dr. Molnár István djunktus, Békéscs Mi fér ele tnnyg projektív geometriáól? Molnár Zoltán tnár, Budpest A prlelogrmmtétel Dr. Drvsi Gyul fõiskoli docens, Nyíregyház Beszámoló 41. Országos Klmár László Mtemtikverseny döntõjérõl Dr. Kiss Sándor fõiskoli docens, Nyíregyház Dr. Urán János tnár, Budpest Kiss Sándor: Anlitikus geometrii módszerek komprtív vizsgált címû könyvének rövid ismertetése Csete Ljos tnár, Gyõr Feldtrovt tnároknk Közlési feltételek: A közlésre szánt kézirtokt e-milen kttil@mozik.info.hu címre küldjék meg. A kézirtok lehetõleg ne hldják meg 6-8 oldlt (oldlnként 30 sorn 66 leütés). A rjzokt, árákt, táláztokt és fényképeket külön fájlokn is kérjük mellékelni. (A szövegrészen pedig zárójelen utljnk rá.) Kérjük, hogy szövegeli idézések név- és évszámjelöléssel történjenek, míg tnulmányok végén felsorolt irodlmk lfetikus sorrenden készüljenek. Kérjük szerzõtársinkt, hogy kézirtok eküldésével egyidejûleg szíveskedjenek közölni pontos címüket, munkhelyüket és eosztásukt. MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA Dr. Urán János (1939 01) Nem hiszünk hlálnk, ármilyen ngy hitetõ is. Nem hiszünk neki, mert nem krunk hinni; sem mgunkénk, sem másokénk. H megérint, h megvcogtt, h átfúj is rjtunk elõszele: félelmünk és képzeletünk mindenestül z életé. (Csoóri Sándor) 01. június 11-én, életének 73. évéen gyógyíthttln etegség következtéen elhunyt kollégánk, dr. Urán János, lpunk fõszerkesztõje, Berzsenyi Dániel Gimnázium tnár. A gyerekkorról, mtemtik és tnári pály iránti elkötelezettségének kilkulásáról z Élet és Tudomány 00. július 5-i számán így vllott Horányi Gáornk: Igzáól tnárság csládi indítttás. Anyi és pi ágon dédszüleim és ngyszüleim között töen voltk pedgógusok, flusi tnítók. Édesnyám mtemtiktnár, édespám ugyn jogász, de nevelõnyám is tnár volt. Fluhelyen nõttem fel, nehéz körülmények között, közvetlen második világháorú után édesnyám meghlt. A középiskolán éreztem rá tnulás ízére és mtemtikár. Szerencsémre, elsõs gimnzist koromn ngyon jó tnárt kptm, Láng Hugónk hívták (...). Õ izttott, hogy dolgozzk Középiskoli Mtemtiki Lpokn, induljk z Arny Dániel Mtemtikversenyen. Jól szerepeltem versenyeken, Kö- ML-n megjelent nevem, s ez nekem, tizenöt éves gyereknek ngyon komoly sikerélményt jelentett. (...) Mgától értetõdõen dódott, hogy negyedikes koromn z ELTE mtemtik-fizik tnári szkár jelentkezzem. Szívesen jelentkeztem voln mtemtik mgyrr is, de kkor ilyen válsztási lehetõség nem volt. A fizik szkot késõ filozófiár váltott, és 1963-n kitûnõ eredménnyel végzett z ELTE mtemtik-filozófi szkán. Hrmdéves korától kezdve vezetett demonstrátorként gykorltokt, elõ lgeráól és számelméletõl, mjd elemi mtemtikáól. A végzéstõl 1976-ig z Anlízis I. tnszék tnársegédje, mjd djunktus volt. 1969-en kitüntetéses summ cum lude doktorált mtemtiki logikáól. 1976 és 1990 között z Országos Pedgógii Intézet mtemtiki osztályánk munktárs, mjd osztályvezetõje volt. Az intézet átlkulás után még egy évig, 1991-ig dolgozott z Országos Közokttási Intézeten. Hivtli évei ltt is tnított, 3 évig Fzeks Mihály Fõvárosi Gykorló Gimnáziumn, és 1981-tõl hláláig Ber- MOZAIK KIADÓ 3
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 01. decemer zsenyi Dániel Gimnáziumn, fõleg speciális mtemtik tgoztos osztályokn. Tnítványi közül sokn értek el kimgsló eredményt korosztályos hzi és nemzetközi mtemtikversenyeken. A már említett 00-es interjún így foglmzt meg tnári rs poetic -ját: Rendkívül fontosnk trtom, hogy z órán minden diák jól érezze mgát, tehát ne szorongó félelemmel vegyen részt fogllkozásokon, mert félelem leénít. Szeretném, h minden tnítványom úgy gondoln vissz mtemtikóráimr, hogy ott vlmi jó történt, tehetségesek ugynúgy, mint kevésé sikeresek. (...) Ngyon vigyázok rr, hogy soh ne szégyenítsek meg senkit. Aki nem készült, zt természetesen megszidom, de soh nem szégyenítem meg. A tnítványimt prtnerként próálom kezelni. Aktívn kivette részét mtemtiki közéletõl és mtemtik népszerûsítéséõl is. 1974-tõl TIT mtemtiki válsztmányánk titkár, Kis Mtemtikusok Bráti Köre versenyeinek, mjd Klmár László Országos Mtemtiki Versenynek z egyik fõ szervezõje és feldtsorink összeállítój volt. Tö éven keresztül z MTV Aki mer, z nyer, mjd Körmönfontoló nevû mtemtiki vetélkedõinek zsûrielnökeként népszerûsítette mtemtikát. Évtizedeken keresztül tgj volt Felvételi Feldtokt Összeállító Bizottságnk, vlmint z OKTV II. ktegóri izottságánk. Dolgozott z Arny Dániel Országos Mtemtik Verseny izottságán is, és elnöke volt Tnárképzõ Fõiskolák Péter Rózs Mtemtik Versenye izottságánk. Ngyon fontos szerepe volt z 199-en indult Nemzetközi Mgyr Mtemtik Verseny létrehozásán és szervezéséen, 15 évig volt mgyrországi régió vezetõje. Hláláig tgj volt Bolyi János Mtemtiki Társult Okttási Bizottságánk. A Társult áltl évente megszervezett Rátz László Vándorgyûlésen tö lklomml trtott emlékezetes, kiváló elõdást. A mtemtik tnítását és népszerûsítését szolgált igen jelentõs pulikációs és szerkesztõi tevékenységével is, tntervek, tn- 4 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA könyvek, feldtgyûjtemények, népszerûsítõ és tehetséggondozó kidványok, módszertni cikkek és tnulmányok szerzõjeként és társszerzõjeként. Htás mgyrországi mtemtik tnításár és mtemtiki tehetséggondozásr felecsülhetetlen. Tevékenységének elismeréseként számos rngos díjn részesült: Bolyi János Mtemtiki Társult Beke Mnó Emlékdíj; Apáczi Csere János-díj (1994); Rátz Tnár Úr Életmûdíj (001); Németh László-díj (010); fõváros Bárczy István-díj (011). A nekrológ írój itt, ezen ponton, z életút rövid ismertetése után személyese hngot fog megütni. Ennek ok, hogy Urán Tnár urt egyik mesterének tekinti, kitõl ngyon sok emeri, tnári és szkmi finomságot tnult. Személyesen 1987-en ismerkedtünk meg, mikor szegedi Rdnóti Miklós Gimnázium kezdõ, lelkes, ám tpsztltln tnárként Mike János és Vincze István kollégámml nekiláttunk htosztályos speciális mtemtik tgozt megszervezésének, eindításánk. Segítséget kértünk és kptunk országosn ismert és elismert szktekintélyektõl, Pós Ljostól és Urán Jánostól. És õk nemcsk tnácsokkl segítettek ennünket, hnem z elsõ lépéseknél jelen is voltk. A felkészítõ táorokn, z elsõ felvételi feldtsorok összeállításán és értékeléséen ott voltk mellettünk. János is jött, hétvégéjét szánt rá, hogy velünk együtt jvíts tgoztr pályázó tnulók dolgoztit. És közös munk közen tnított. Szinte észrevétlenül, szeretettel, szelíden, lázttl. Aztán lektorunk volt z elsõ tehetséggondozásr szánt feldtgyûjteményünk összeállításánál. Véleménye mértéket, rálátást, szemléletet dott. Szûk egy évtizeddel késõ közösen kezdtünk tnkönyvsoroztot írni középiskolák számár. Bámultosn, és mindenki számár megnyugttó módon tudt feloldni szerzõi cspt tgji közötti szkmi vitákt. Szerencsém volt, mert tö erzsenyis óráját is láthttm. Igzi mtemtiki mûhelymunk folyt ezeken z órákon, és minden egyes lklomml látszott tnulókon, hogy jól érzik mgukt, élvezik közös mtemtizálást. Tö egykori gimnáziumi tnítványávl eszélgettem késõ, és egyöntetûen nyiltkoztk Jánosról, ngyon szerették és tisztelték, ngyon sokt tnultk tõle. Sokszor tlálkoztunk különözõ szkmi rendezvényeken, hol feleségével, Gizivel (Forró Gizell, 49 évig hûséges és szkmi munkáján is segítõ társ) hrmóniát, ékességet és szeretet sugároztk. Igz volt ez zokn z eseteken is, mikor különözõ szkmi és pedgógii vélemények feszültek egymásnk. János mindig õszintén, pontosn, korrekt módon és jó értelemen vett lázttl érvelt. Áltlán is jellemzõ volt rá ez jó értelemen vett lázt, lázt tnítványok, kollégák, szkm, mtemtik iránt. Ngyon nehéz lesz megszoknunk zt, hogy János földi, fiziki vlóján már nincs köztünk. Velünk mrd viszont mûve, szellemisége, tnítás. Sokszor fogjuk még feltenni mgunknk kérdést: Vjon János mit mondn erre, hogyn vélekedne errõl?. Ígérjük, hogy szellemi hgytékát megõrizzük és törekszünk rr, hogy jól sáfárkodjunk vele. Dr. Kosztolányi József MOZAIK KIADÓ 5
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 01. decemer Oláh György (1940 01) H etvenkét éves korán, 01. június 30- án vártlnul elhunyt Felvidéken és z egész Kárpát-medencéen ngyon népszerû és szeretett Oláh György, komáromi középiskoli mtemtiktnár. Hlálánk helyszíne és módj stílusos, h lehet így foglmzni: fonyódi mtemtiktáorn dt vissz lelkét Teremtõjének, tnártársi mellett, szereteten, ékességen, zon szkmi-lelki társk társságán, kikkel évtizedeken keresztül együtt dolgozott tehetséggondozás és mtemtikokttás területén. 6 MOZAIK KIADÓ Oláh György 1940. május 10-én született Komáromszentpéteren (Felvidék). 1957-en érettségizett komáromi mgyr gimnáziumn, mjd 1961-en pozsonyi Pedgógii Fõiskolán mtemtiktnári oklevelet szerzett. Pedgógusi pályfutását Ekecsen kezdte, mjd 1964- tõl 1970-ig komáromi mgyr gimnázium tnár volt. 1970 és 1978 között Nyitri Pedgógii Fõiskol djunktusként dolgozott. 1978- n Komáromi Ipri Középiskol tnár lett, hol 000-ig nyugdíj vonulásáig tnított. Ezt követõen meghívták õt komáromi Mriánum Egyházi Gimnázium, hol három évig mûködött tnárként. Az elmúlt évtizedeken felecsülhetetlen értékû munkát végzett mgyr mtemtiki tehetségek felkuttásán, gondozásán. Szkköri tevékenysége is rendkívül jelentõs volt, tnítványi szép eredményeket értek el hzi és nemzetközi mtemtikversenyeken. Tö, mint ötven tnulmányt írt, számos tnkönyvvel, példtárrl, tnári segédkönyvvel, fordítássl és recenzióvl járult hozzá mtemtiki ismeretek õvítéséhez és népszerûsítéséhez. Töször pulikált A Mtemtik Tnítás-n, és jónéhányszor tûzött ki feldtot lp feldtrovtá is. Nemzetközi mgyr rendezvények és mtemtikversenyek kezdeményezõje, lpítój volt. Ezek közül tlán legjelentõse Ngy Károly Mtemtiki Diáktlálkozó, melynek húsz éven át volt fõszervezõje. 1991-en szegedi Rátz László Vándorgyûlésen egy kötetlen ráti eszélgetés során Bencze Mihály rssói mtemtiktnárrl együtt kitlálták Nemzetközi Mgyr Mtemtikversenyt, melyet elsõ lklomml õ szervezett meg Komáromn, és éveken keresztül õ volt felvidéki cspt vezetõje. Õ szerkesztette z 1999-en, udpesti TYPOTEX Kidó gondozásán megjelent Htáron túli mtemtikversenyek címû kötetet. Tö éven keresztül tnítványivl hvont utzott Budpestre, hol ekpcsolt õket Középiskoli Mtemtiki és Fiziki Lpok (KöML) feldtmegoldó versenyée, és rend-
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA szeresen elvitte õket Kossuth Klu is. Tö lklomml trtott elõdást Mgyrországon, természetesen tehetséggondozássl kpcsoltn. Megecsült szkemerré vált mgyrországi szkm keretein elül is. A mtemtik tnítását mindig gondosn összekötötte mgyrságtudt erõsítésével. Azt vllott: Nem létezhetünk z nyországól érkezõ egyetemes mgyr gondolkodás és kultúr tiszt forrási nélkül. Így is élt. Egyszemélyes intézmény mondták ról ráti Kárpátmedencéen. Htékonyn ápolt szülõflujáól, Komáromszentpéterrõl szármzó felvidéki mgyr költõ, tnár, Kossányi József hgyományit, életmûvét. Komoly szkmi munkát végzett Csemdokn, Szlovákii Mgyr Pedgógusok Szövetségéen, komáromi Múzeumrátok Köréen, komáromi Öregdiákok Bráti Köréen, Széchenyi István Polgári Társulásn. Jelentõse kitüntetései Beke Mnódíj elsõ és második fokozt, Komárom város Polgármesteri Díj, Felvidéki Mgyr Pedgógus-díj. Emlékezetes mrd ngy mondás: A mgyr könyv úgy kell, mint kenyér. Mindig könyv, könyvek ûvöletéen élt, soh ki nem hgyott egy könyvhetet sem Budpesten. Sját könyvtár is rendkívül gzdg, mi egyértelmûen felvidéki mgyrság legjelentõse könyvgyûjteményei közé trtozik. Lnkdtln hévvel, szenvedéllyel, hittel és krttl szervezte különözõ mtemtiki tlálkozókt, hol Kárpát-medence mtemtiktnári és zok diákji vettek részt. Sokt járt Erdélye, honnn komoly szellemi táplálékot hozott hz Felvidékre. Rendszeresen járt Budpestre, Pnorám Világklu rendezvényeire, hol szerették, s hol számos rátot szerzett. Mindig komolyn vette Póly György szvit, és eszerint is élt: H egy tnárnk nincs személyes tpsztlt z lkotó munk vlmilyen formájávl, kkor josn várhtó, hogy õ mg ösztönözze, vezesse, vgy kár felismerje hllgtói lkotó tevékenységét. Arr kérdésre, hogy szerinte milyen jó tnár, zt mondt z egyik vele készített interjún: Mindenekelõtt z, ki diákját munktársánk tekinti, és munktársként lehetõséget d tnítványink z egyre õvülõ, egyre mgs szintû tudás megszerzésére. Ezen felül pedig z érdeklõdést könyvtár irányá tereli. Árdt retorikájáól diákszeretet. Hogy mi volt ennek z ok? Errõl így nyiltkozott jelen megemlékezõ sorok szerzõjének vele készített utolsó interjún, két héttel hlál elõtt: A szentpéteri iskoli évek ltt kitûnõ osztályközösséget lkottunk. Olyn pedgógusok tnítottk és szerettették meg velem mtemtikát, kiknek z életmûvét úgy éreztem tová kell vinnem. Nem volt nehéz, hiszen Imre átyám itt tnított komáromi gimnáziumn, láttm, miként készül z órákr. Mgávl rgdott. Az tudt, hogy felvidéki mgyr diákoknk tölettudást kell dni, nnk érdekéen is, hogy idegen nyelvû fõiskolákon is megállják helyüket, meghtározó tényezõ volt. Ezekkel tnítványimml sokkl emeri, közvetlene kpcsoltot lkítottm ki. Nemcsk mtemtikáról, szkmáról eszélgettünk, hnem z élet ngy dolgiról is. A fogllkozások ngy htást gykoroltk rájuk és rám egyránt. Sokt jártm velük Erdélye és történelmi Mgyrország tö vidékére, ott is mtemtikáztunk, eszélgettünk. Egy tnárnk elsõsorn ezért érdemes élnie. Csodáltos érzékkel muttott rá z egyetemes mgyr kulturális értékekre. Vonzódott mgyr kultúrához, támogtt, népszerûsítette zt. Tette ezt mély mgyrságtudtávl, hzszeretetével, szülõföld, Felvidék és Komárom iránti hûségével. Trics Péter, újságíró, tnítvány, rát MOZAIK KIADÓ 7
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 01. decemer z itt következõ oldlkon olyn példákt muttunk e, melyek egy része 9., 10. osztályn tárgylhtó, de 11. osztályn már mindegyik feldolgozhtó. Rendes tnórán kiegészítõ nygként, esetleg szkkörön érdemes ezekkel fogllkozni. A témkör gykrn elõfordul versenyeken, KöMl pontversenyein is. A feldtok tösége önmgán is érdekes, emuttott megoldások során jó lklom nyílik zonos átlkítások gykorlásár, különözõ lgeri ötletek megismertetésére. Néhány feldtról z elején még nem látszik, csk megoldás közen derül ki, hogy z egész számok köréen kell megoldnunk egy egyenletet. Lássuk feldtokt és vázltos megoldásokt. 1. Egy egész hosszúságú négyzetet feldroltunk 15 dr 1 1-es négyzetre és egy ngyo négyzetre. Mekkor volt z eredeti négyzet oldl? Megoldás: Jelölje x z eredeti négyzet oldlánk hosszát, y drolás után kpott nem 1 1-es négyzet oldlánk hosszát (x > y > 1), x, y egészek. A feltétel szerint x = y + 15, zz x - y = 15, (x - y)(x + y) = 15. Mivel x, y pozitív egészek, 0 < x - y < x + y is egészek, 15-öt tehát fel kell ontni két pozitív egész szám szorztár: 15 = 1 15 = 3 5 (más nincs). Így szó jöhetõ megoldások: (1) x - y = 1, és () x - y = 3, x + y = 15, x + y = 5. 8 MOZAIK KIADÓ Dr. Urán Jánosr emlékezve újr közöljük lp 010. szeptemeri számán megjelent cikkét. Dr. Urán János Néhány feldt diofntikus egyenletek köréõl A Az (1) es egyenletrendszerõl x = 8, y = 7, tehát z eredeti négyzet oldl 8 egység, 15 dr 1 1-es négyzet levágás után megmrdt négyzet oldl 7 egység. A ()-es egyenletrendszerõl x = 4, y = 1, mi nem jó megoldás, mivel megmrdó négyzet oldl is 1 egység.. Oldjuk meg z egész számok hlmzán következõ egyenleteket: ) x + xy - 3y = 0; ) 6x - xy - 1y = 14. Megoldás: ) Alkítsuk szorzttá z egyenlet l oldlán álló kifejezést: (x + y) - (y) = (x - y)(x + 3y) = 0. A 0-t kell két zonos pritású tényezõ szorztár ontni, hiszen (x - y) + (x + 3y) = = x + y = (x + y) páros szám, tehát két tényezõ zonos pritású. Mivel 0 ármely szorzttá ontásán leglá z egyik tényezõ páros, ezért mindkét tényezõ csk páros lehet. Így 10 és (-) (-10) felontások jöhetnek szó. Ezekõl következõ négy megoldást kpjuk: (4; ), (-4; -), (8; -), (-8; ). ) Itt is szorzt lkn írjuk fel l oldlon álló kifejezést: 6x - xy - 1y = (x - 3y)(3x + 4y) = 14. A lehetséges szorztfelontásokt végigpróálv zt tláljuk, hogy (1) x - 3y = 7, és () x - 3y = -7, 3x + 4y = ; 3x + 4y = - d megoldást, méghozzá (; -1) és (-; 1) lesz kpott két számpár.
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA 3. Oldjuk meg z egész számok hlmzán következõ egyenletet: xy + 3y = 4. Megoldás: Itt is szorzttá érdemes lkítni l oldlon álló kifejezést. y(x + 3y) = 4. H y pártln, kkor x + 3y is pártln. Ilyen megoldás nincs, mert két pártln szám szorzt nem lehet páros. Az y tehát 4-nek egy páros osztój lehet:, 4, 6, 8, 1, 4, -, -4, -6, -8, -1, -4 vlmelyike. Sorr nézve z egyes eseteket, 8 megoldáspárt kpunk x-re és y-r. 4. Oldjuk meg pozitív egész számok hlmzán : ) x(y + 1) = 43y; ) x - xy + x - 3y = 11. Megoldás: ) Mivel (y; y + 1) = 1, (y + 1) osztój 43 = = 3 5 -nek, tehát (y + 1 ), (y + 1) = 3, vgy (y + 1) = 3 4, zz y + 1 = 3, y 1 = vgy y + 1 = 9, y = 8, és így x 1 = 54, x = 4. ) Fejezzük ki y-t z egyenletõl: x + x 11 y =, x + 3 hiszen x + 3 > 0. Eõl x + x 3 8 8 y = = x 1. x + 3 x + 3 y csk kkor lehet egész, h x + 3 osztój 8-nk, zz x + 3 lehet 1,, 4 és 8, mivel x > 0, x + 3 4. H x + 3 = 4, zz x = 1, kkor y < 0, ez nem jó megoldás. Így x + 3 = 8 lehet csk, zz x = 5, és y = 3 z egyetlen megoldáspár pozitív egész számok köréen. 5. Oldjuk meg z egész számok hlmzán következõ egyenleteket: ) x(x + 1) = 4y(y + 1); ) x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y. Megoldás: ) Azonos átlkításokt és szorzttá lkítást célszerû végezni: 4x + 4x + 1 = 4(4y + 4y + 1) - 3, honnn ezt kpjuk: ((y + 1)) - (x + 1) = 3. A 3 csk következõképpen írhtó fel két négyzetszám különségeként: - 1 = 3. Tehát y + 1 = 1 és x + 1 = 1. Ezekõl lehetséges megoldás párok: (0; 0), (-1; 0), (0; -1), (-1; -1). ) Szorozzuk össze l oldli kifejezésen z elsõ és utolsó, vlmint két középsõ tényezõt (x + 8x)(x + 8x + 7) = y. Legyen x + 8x = z, így z egyenlet következõ lkot ölti: z(z + 7) = y. Alkítsuk át kpott egyenletet így: 4z + 8z + 49-4y = 49, zz (z + 7) - (y) = 49. A l oldlt szorzttá lkítv: (z + 7 + y)(z + 7 - y) = 49. Mindkét tényezõ pártln, így 49 ármely két tényezõs szorzt elõállítás szó jöhet. A következõ megoldásokt kpjuk (y; z)- re: (1; 9), (-1; 9), (0; 0), (0; -7), (1; -16), (-1; -16). Végül (x; y)-r következõ tíz megoldás dódik: (1; 1), (1; -1) (-9; 1), (-9; -1), (0; 0), (-1; 0), (-8; 0), ( - 7; 0), (-4; 1), (-4; -1). 6. Oldjuk meg pozitív egész számok köréen következõ egyenletrendszert: x + yz = 19, x + y + z = 14. Megoldás: Az egyenletrendszerõl y, z-re következõ egyenletet kpjuk: yz - z - y = 5, zz (y - 1)(z - 1) = 6. Az x, y, z > 0 egészek, így e feltétel mitt y - 1, z - 1 0. Következésképpen 6-nk következõ MOZAIK KIADÓ 9
A MATEMATIKA TANÍTÁSA szorzt lkji jöhetnek szó: 1 6, 3, 3, 6 1. Ezeknek megfelelõen (x; y; z)-re következõ számhármsokt kpjuk: (5; ; 7), (5; 7; ), (7; 3; 4), (7; 4; 3). 7. Hány megoldás vn z egész számok köréen következõ egyenletnek? x - y = 100 Megoldás: Az egyenlet l oldlát lkítsuk szorzttá: x - y = (x - y)(x + y) = 100. Mivel x - y és x + y összege páros, két szám zonos pritású, tehát mindkettõ páros. Így kkor kpunk megoldást, h x - y = k, x + y = 100 - k, vgy x - y = - k, x + y = - 100 - k, 0 < k < 100. Tehát összesen 99 = 198 megoldás lesz z egész számok hlmzán. 8. Oldjuk meg pozitív egész számok hlmzán: 3 x - y = 1. Megoldás: Rendezzük át z egyenletet és l oldlon kpott kifejezést lkítsuk szorzttá: 3 x - 1 = y. (3 x - 1 + 3 x - + + 3 + 1) = y. H x = y = 1, kkor teljesül z egyenlõség, tehát ez jó megoldás. H y - 1 > 0, kkor 3 x - 1 + 3 x - + + 3 + 1 = y-1, jo oldl páros, tehát x > 0 páros, x = z, hol z > 0, egész szám. A 3 z - 1 = y egyenlet l oldlán álló kifejezést szorzttá lkítjuk: (3-1)(3 z - + 3 z - 4 + + 3 + 1) = y. Ez kkor teljesül, h y 3, z x =, y = 3 jó megoldás. A két oldlt 8-cl osztv ezt kpjuk: 3 z - + 3 z - 4 + + 3 + 1 = y - 3. 01. decemer H y > 3, kkor z páros, z = u, tehát x = 4u. Az eredeti egyenlet ekkor 3 4u - 1 = y lkú. A l oldlt szorzttá lkítv (3 4-1)(81 u - 1 + + 1) = y. Mivel 3 4-1 = 80 oszthtó 5-tel, de y nem oszthtó 5-tel, ez nem teljesülhet. Tehát tö megoldás nincs. 9. Két szomszédos pozitív egész szám köének különsége n (n > 0, egész). Igzoljuk, hogy n két négyzetszám összege. (Például: 8 3-7 3 = = 51-343 = 169 = 13, 13 = + 3.) Megoldás: A feltevés szerint (k + 1) 3 - k 3 = 3k + 3k + 1 = = 3k(k + 1) + 1 = n, (1) hol k > 0 egész szám. Mivel 3k(k + 1) páros, n pártln, így n is pártln szám. (1)-õl zonos átlkítássl ezt kpjuk: 4(3k + 3k + 1) = 3(4k + 4k + 1) + 1 = = 3(k + 1) + 1 = (n), tehát 3(k + 1) = (n) - 1 = (n + 1)(n - 1). Mivel n + 1 és n - 1 reltív prímek, és szorztuk egy négyzetszám háromszoros, ezért vgy n + 1, vgy n - 1 is négyzetszám. H n + 1 = (l - 1) = 4l - 4l + 1, kkor n = l - l páros szám, mi nem lehet. Tehát n - 1 = (l - 1) = 4l - 4l + 1, miõl ez következik: n = l - l + 1 = l + (l - 1), hol l > 0 egész, és ezt kellett igzolni. 10. Vizsgáljuk egyszerre következõ két egyenlet megoldásit z egész számok hlmzán: x - y = 1,- x - y = -1. Igzoljuk, hogy h (; ) megoldás z egyik egyenletnek, kkor ( + ; + ) megoldás másik egyenletnek és fordítv. Mutssuk meg ennek lpján, hogy mindkét egyenletnek végtelen sok megoldás vn. 10 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA Megoldás: Tegyük fel, hogy z (; ) egész számpárr vlmelyik egyenlet teljesül, zz - = ±1. Ekkor ( + ) - ( + ) = - + = 1 is teljesül. Tehát vlón megoldási másik egyenletnek. Az = 1, = 0 számpár kielégíti z x - y = 1 egyenletet, eõl már végtelen sok megoldást kphtunk. Ezek közül néhány: x: 1, 1, 3, 7, 17, 41, 99,... y: 0, 1,, 5, 1, 9, 70,... x - y : 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1,... 11. Mutssuk meg, hogy z x - y = -1 egyenletnek végtelen sok olyn megoldás vn z egész számok hlmzán, hol x és y is pártln szám. Megoldás: Akár z elõzõ 10. feldt lpján mondhtjuk, hogy z állítás nyilván igz. Közvetlenül így láthtó e: (1; 1) megoldás z egyenletnek, és h (; ) megoldás, kkor (3 + 4; + 3) is megoldás, mert h - = -1, kkor (3 + 4) - ( + 3) = - = -1 is teljesül. 1. Igzoljuk, hogy végtelen sok olyn derékszögû háromszög vn, melynek oldlhoszszit egész számokkl lehet megdni, és két efogó hossz két szomszédos egész szám. Megoldás: Ismert, hogy 3, 4, 5 egységoldlú derékszögû háromszög ilyen tuljdonságú (3 + 4 = 5 ). Azt kell igzolni, hogy z x + (x + 1) = y egyenletnek pozitív egész számok köréen végtelen sok megoldás vn. Azonos átlkításokt végzünk: x + x + 1 = y,- 4x + 4x + = y,- (x + 1) - y = -1.y Azt kell igzolni, hogy z = x + 1 jelöléssel z - y = -1 egyenletnek végtelen sok olyn megoldás vn, hol z pozitív pártln egész szám. Nyilván y is pártln egész, ezt pedig z elõzõ 11. feldt megoldásáól tudjuk. Néhány péld megoldásokr: z: 7, 41, 39, y: 5, 9, 169, x: 3, 0, 119,. 13. A következõ két egyenlõség nyilván igz: 1 + = 3, 1 + + 3 + + 13 + 14 = 105 = = 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 0. Adjunk meg végtelen sok olyn n-et, melyre teljesül, hogy z elsõ n pozitív egész szám öszszege egyenlõ következõ néhány egész szám összegével. Megoldás: Legyenek k > n > 0 egészek, és oldjuk meg z 1 + + + n = n + 1 + n + + + k egyenletet. Az ismert összegképletek szerint z egyenlet így írhtó: nn ( + 1) kk ( + 1) nn ( + 1) =, zonos átlkításokkl k + k n + n=, 8n + 8n= 4k + 4 k, (n+ 1) = (k + 1) 1, (k + 1) (n+ 1) = 1. Legyen x = k + 1, y = n + 1, ekkor x - y = -1. A 11. feldt megoldásáól tudjuk, hogy z egyenletnek végtelen sok olyn megoldás vn, hol x és y is pártln pozitív egész szám. Néhány megoldás: k + 1: 7, 41, 39, n + 1: 5, 9, 169, k: 3, 0, 119, n:, 14, 084,. 14. Igzoljuk, hogy z x - xy - y = ±1 egyenleteknek végtelen sok megoldás vn nemnegtív egész számok hlmzán. (Mutssuk meg, hogy (0; 1) megoldás, és h (; ) megoldás, kkor ( + ; ) is megoldás.) MOZAIK KIADÓ 11
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 01. decemer Megoldás: A (0; 1) számpár nyilván megoldás: 0-0 - 1 = = -1. Tegyük fel, hogy (; ) megoldás, zz - - = 1. Helyettesítsük z egyenlete z ( + ; ) számpárt: ( + ) - ( + ) - = - + + = 1, tehát ez is megoldás. Írjuk fel z elsõ tíz megoldáspárt: x: 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, y: 1, 0, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, x - xy - y : -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1,. H kpott x értékekre evezetjük z f 0 = 0, f 1 = 1, f n + = f n + f n + 1 jelölést, kkor világos, hogy ezek Fioncci sorozt elemei. Az y értékek egy ütemmel késõ szintén Fioncci sorozt elemei. Az egyenlet végtelen sok megoldását dják tehát következõ számok: (f n + 1 ; f n ), n = 0, 1,,. (Az is igzolhtó kissé hosszdlmsn, hogy nemnegtív egészek köréen nincs más megoldás.) 15. Írjuk fel Pscl háromszög 14. és 15. sorát, és figyeljük meg, hogy 15 14 =. 5 6 Mutssuk meg, hogy végtelen sok olyn x, y > 0 egész szám vn, melyre teljesül, hogy x x 1 =. y 1 y Megoldás: Írjuk fel Pscl háromszög 14. soránk elsõ 8 elemét: 1, 14, 91, 364, 1001, 00, 3003, 343, mjd 15 sor elejét: 1, 15, 105, 455, 1365, 3003, 5005,. A definíció lpján lkítsuk át z x x 1 = egyenletet: y 1 y x! ( x 1)! =, ( y 1)!( x y+ 1)! y!( x 1 y)! xy = ( x y + 1)( x y). (1) Tegyük fel, hogy x, y > 0 egészek, és megoldási z egyenletnek. Ekkor x = d, y = d lk írhtó, hol (; ) = 1. Ezeket (1)-e helyettesítve, és d-vel egyszerûsítve ezt kpjuk: d = (d - d + 1)( - ). Mivel (; - ) = 1 és (d - d + 1; d) = 1, csk következõ lehetõség mrdt: - = d és = d - d + 1. Az elsõ egyenletõl = + d, ezt második egyenlete helyettesítve és rendezve: ( + d) = ( + d)d - d + 1, + d - d = 1, d - d - = -1. () Az elõzõ, 14. feldt megoldás lpján tudjuk, hogy kpott () egyenletnek végtelen sok megoldás vn, ezek így írhtók: d = f k, = f k - 1, k = 1,, 3,. Ekkor = d + = f k + 1, tehát x = f k f k + 1, y = f k f k - 1. Igzolhtó z f k - f k + 1 f k - 1 = -1 zonosság felhsználásávl, hogy ezek vlón megoldások. (Továi meggondolássl z is igzolhtó, hogy nemnegtív egészek köréen más megoldás nincs.) A tlált megoldások közül z elsõ néhány: d: 1, 03, 008, 01, 0055, : 1, 0, 005, 013, 0034, :, 05, 013, 034, 0089, x:, 15, 104, 714, 4895, y: 1, 06, 040, 73, 1870,. Irodlom [1] A. V. Szpivk (008): Aritmetik. A Kvnt kiskönyvtár, 109. kötet [] Dr. Sárközi András: Számelmélet. Mûszki Kidó 1 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA Dr. Molnár István Néhány összegzési feldt Én zt mondom, hogy nem z feldt mtemtikánk, hogy emgoltsson z emerrel izonyos dolgokt, hnem hogy gondolkodásr próáljon nevelni. Dr. Urán János A következõken néhány összegzési feldton keresztül érdekes összefüggéseket muttunk e pozitív egész számok köréen. I. Egy érdekes szályszerûség figyelhetõ meg pozitív egész számok esetén, nevezetesen: 1+ = 3 4+ 5+ 6 = 7+ 8 9+ 10+ 11+ 1= 13+ 14+ 15 16 + 17 + 18 + 19 + 0 = 1 + + 3 + 4 Tegyük fel kérdést áltlánosn: 1. Igz-e, hogy ármely pozitív egész n esetén létezik n + 1 dr egymást követõ pozitív egész szám úgy, hogy z elsõ n + 1 dr szám összege egyenlõ z utolsó n dr szám összegével? Megoldás Legyen n + 1 dr egymást követõ pozitív egész szám: x; x + 1; x + ;...; x + n; x + n + 1;...; x + n - 1; x + n, hol x ŒZ +. Teljesülnie kell z lái összefüggésnek: x + (x + 1) + (x + ) +... + (x + n) = = (x + n + 1) +... + (x + n - 1) + (x + n) Átrendezve: x + n = (x + n) - x + (x + n - 1) - (x + 1) + +... + (x + n + 1) - (x + n - 1) x + n = n + (n - ) +... + x + n = (n + n - 1 +... + + 1) = nn ( + 1) = = n + n Innen x = n. Tehát keresett n + 1 szám, ármely n ŒZ + esetén: n ; n + 1; n + ;...; n + n, zz áltlánosn n + (n + 1) + (n + ) +... + (n + n) = = (n + n + 1) + (n + n + ) +... + (n + n). Megjegyzés Mivel z n-edik sor utolsó eleme n + n és következõ természetes szám z n + n + 1 = = (n + 1), épp z (n + 1)-edik sor elsõ eleme, így z összes pozitív egész szám enne lesz táláztn. II. A következõken vizsgáljunk meg egy áltlános feldtot!. Létezik-e végtelen sok olyn pozitív egész n, melyre teljesül, hogy z elsõ n dr pozitív egész szám összege egyenlõ következõ néhány egymás utáni egész szám összegével? Megoldás Legyenek n, k pozitív egész számok úgy, hogy 0 < n < k. Teljesülnie kell z lái összefüggésnek: 1 + + 3 +... + n = (n + 1) + (n + ) +... + k n k n i = i i i= 1 i= 1 i= 1 Az ismert összegképletek lpján kpjuk, hogy nn ( + 1) kk ( + 1) nn ( + 1) =. Átrendezve: kk ( + 1) nn ( + 1) = 0 4k + 4k 8n 8n= 0 (k + 1) 1 (n+ 1) + = 0 (k + 1) (n+ 1) = 1 Legyen x = k + 1 és y = n + 1. Így z x - y = -1 diofntikus egyenlethez jutunk. MOZAIK KIADÓ 13
A MATEMATIKA TANÍTÁSA Figyeleme véve, hogy x és y is pártln szám, elegendõ elátnunk, hogy z x - y = -1 egyenletnek végtelen sok megoldás vn pozitív pártln egész számok hlmzán. Némi próálkozás után ez könnyen izonyíthtó, hiszen egyfelõl, h u és v pártln számok, kkor 3u + 4v és u + 3v szintén pártln számok lesznek, másrészt pedig, h (u; v) megoldás z x - y = -1 egyenletnek, kkor (3u + 4v; u + 3v) szintén megoldás lesz, mivel (3u + 4v) - (u + 3v) = 9u + 4uv + 16v - - 8u - 4uv - 18v = u - v = -1. A (7; 5) megoldás z egyenletnek (ugyn z (1; 1) szintén megoldás, de een z eseten n = k = 0, mi nem jó kezdeti feltételek mitt), így z elõieken leírtk lpján végtelen sok megoldást szármztthtunk. Néhány megoldás: x 7 41 39 1393... y 5 9 169 985... k 3 0 119 696... n 14 84 49... zz 1+ = 3 1 + + 3 +... + 14 = 15 + 16 +... + 0 1 + + 3 +... + 84 = 85 + 86 +... + 119 1 + + 3 +... + 49 = 493 + 494 +... + 696 Megjegyzés A. feldt tö, diofntikus egyenletekhez kpcsolódó feldttl együtt megtlálhtó [1]- en is. III. Feltehetõ kérdés, hogy mi történik kkor, h z elsõ feldtn pozitív egész számok helyén zok négyzetei állnk? 3. Létezik-e n + 1 dr (n pozitív egész) egymást követõ pozitív egész szám úgy, hogy z elsõ n + 1 dr szám négyzeteinek összege egyenlõ z utolsó n dr szám négyzeteinek összegével? Megoldás Legyen n + 1 dr egymást követõ pozitív egész szám: x; x + 1; x + ;...; x + n; x + n + 1;...; x + n - 1; x + n, hol x ŒZ +. 01. decemer Teljesülnie kell z lái összefüggésnek: x + (x + 1) + (x + ) +... + (x + n) = = (x + n + 1) +... + (x + n - 1) + (x + n). Átrendezve, mjd lklmzv z A - B = = (A + B)(A - B) zonosságot kpjuk, hogy (x + n) = (x + n) - x + (x + n - 1) - - (x + 1) +... + (x + n + 1) - (x + n - 1). (x + n) = (x + n) n + + (x + n) (n - ) +... + (x + n). (x + n) = (x + n)(n + n - 1 +... + + 1) = nn ( + 1) = (x + n) = ( x + n)( n + n). Mivel x + n > 0, ezért végigoszthtunk vele, így x + n = n + n, honnn x = n + n. Tehát keresett n + 1 szám, ármely n ŒZ + esetén: n + n; n + n + 1; n + n + ;...; n + 3n, zz áltlánosn (n + n) + (n + n + 1) +... + (n + n) = = (n + n + 1) + (n + n + ) +... + + (n + 3n) Megjegyzés Írjuk fel z elsõ néhány n érték esetén kpott eredményt: 3 + 4 = 5 10 + 11 + 1 = 13 + 14 1 + + 3 + 4 = 5 + 6 + 7 36 + 37 + 38 + 39 + 40 = 41 + 4 + 43 + 44 Megfigyelhetõ, hogy felírt sorok elsõ eleme egy háromszögszám négyzete. (A háromszögszámok olyn számok, melyek elõállnk z elsõ néhány egymást követõ pozitív egész szám összegeként, zz z 1 + +... + n lkú számok. Nevüket onnn kpták, hogy szályos háromszög lk rendezhetõk. Az elsõ húsz háromszögszám: 1; 3; 6; 10; 15; 1; 8; 36; 45; 55; 66; 78; 91; 105; 10; 136; 153; 171; 190; 10. Ez megfigyelés minden sor esetén igznk izonyul, mivel z n-edik sor elsõ eleme (n + n) és n + n átírhtó n + n = n(n + 1) = ( n n+ 1) = lkr, tehát háromszögszám lesz (és pedig n-edik háromszögszám). 14 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA IV. A továikn háromszögszámokt tnulmányozv következõ megfigyelést tehetjük: 1+ 3+ 6 = 10 15 + 1 + 8 + 36 = 45 + 55 66 + 78 + 91 + 105 + 10 = 136 + 153 + 171 t1 + t + t3 = t4 t5 + t6 + t7 + t8 = t9 + t10 t11 + t1 + t13 + t14 + t15 = t16 + t17 + t18 hol t n -nel jelöljük z n-edik háromszögszámot. A fentiek kpcsán dódik következõ kérdés: 4. Igz-e, hogy ármely pozitív egész n esetén létezik n dr egymás utáni háromszögszám úgy, hogy z elsõ n + 1 dr háromszögszám összege egyenlõ z utolsó n - 1 dr háromszögszám összegével? Megoldás Legyen n dr egymás utáni háromszögszám: t x ; t x + 1 ; t x + ;...; t x + n ; t x + n + 1 ;...; t x + n - ; t x + n - 1, hol x ŒZ +. Teljesülnie kell z lái összefüggésnek: t x + t x + 1 + t x + +... + t x + n = = t x + n + 1 + t x + n + + t x + n - 1 Átrendezve: t x + t x + n = (t x + n + 1 - t x + 1 ) + (t x + n + - t x + ) +... + (t x + n - 1 - t x + n - 1 ) n 1 x + x+ n = x+ n+ k x+ k k = 1 t t ( t t ) Mivel ( x+ n+ k)( x + n+ k + 1) t x + n + k - t x + k = - ( x+ k)( x + k + 1) 1 - = (x + n + k + + nx + kx + nk + x + n + k - x - kx - - k 1 - x - k) = (n + nx + nk + n) = n = (x + k + n + 1), így x( x + 1) ( x + n)( x + n+ 1) + = n 1 n 1 n n = (x + k + n+ 1) = (x + k + n+ 1) k= 1 k= 1 [ ] 1 ( ) x + x + x + nx + n + x+ n = n ( n 1) n = xn ( 1) ( n 1)( n 1). + + + A mûveletek elvégzése, átrendezés és z összevonások után kpjuk, hogy x + nx - xn + x - n 3 + n + n = 0 x + nx + nx + n - xn - n 3 + x + n = 0 x(x + n) + n(x + n) - n (x + n) + (x + n) = 0 (x + n)(x + n - n + 1) = 0 Mivel x + n > 0, ezért végigoszthtunk vele, így x + n - n + 1 = 0, honnn x = n - n - 1. Tehát keresett háromszögszámok: t n - n - 1; t n - n; t n - n + 1;...; t n + n - 3; t n + n -, zz áltlánosn t n - n - 1 + t n - n + t n - n + 1 +... + t n - 1 = = t n + t n + 1 +... + t n + n - Megjegyzés Mivel z n-edik sorn álló utolsó háromszögszám indexe n + n - és következõ index z n + n - + 1 = n + n - 1 = (n + 1) - (n + 1) - 1, mi épp z (n + 1)-edik sorn álló elsõ háromszögszám indexe, így z összes háromszögszám megtlálhtó fenti táláztn. Remélhetõleg z ismertetett feldtokkl sikerült z érdeklõdést felkeltenünk, vlmint ösztönzõleg htnunk hsonló összefüggések keresésére és emuttásár. Végezetül néhány továi feldt, melyek tnulmányozását Tisztelt Olvsór ízzuk: Létezik-e n + 1 dr (n pozitív egész) egymást követõ pozitív egész szám úgy, hogy elsõ n + 1 dr szám köeinek öszszege egyenlõ z utolsó n dr szám köeinek összegével? Létezik-e n dr (n pozitív egész) egymást követõ pozitív egész szám úgy, hogy elsõ n + 1 dr szám (négyzeteinek, köeinek) összege egyenlõ z utolsó n - 1 dr szám (négyzeteinek, köeinek) öszszegével? Vnnk-e olyn n-ek, melyekre teljesül, hogy z elsõ n dr háromszögszám öszszege egyenlõ következõ néhány egymás utáni háromszögszám összegével? Felhsznált irodlom [1] Dr. Urán János: Néhány feldt diofntikus egyenletek köréõl. A Mtemtik Tnítás, 010/4. sz., 15 19. MOZAIK KIADÓ 15
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 01. decemer Molnár Zoltán 1 Mi fér ele tnnyg projektív geometriáól? Kivont. Hogyn lehet heti három órás kilencedikes mtemtik tnnygn elhelyezni Desrgues-tételkört? Erre dnék részleges válszt, kitérve természetesen z áltlánosítások, ill. késõi tizedikes lklmzhtóság lehetõségére is. B 1. Bevezetés ár csk szujektív enyomásokr lpozom, de egészen iztosr veszem, hogy geometri szerepe középiskoli mtemtik tntárgy keretein elül egészen megváltozott, legláis diákok szeméen. Egyfelõl számítógépes nimáció elterjedése mindennpi életen, másfelõl z nimációk minõségének intenzív fejlõdése nyilvánvlón kiht rr, hogy milyen élményt várnk középiskolások vizuális mûveltségterület tntárgyitól, illetve ezen elül geometri témkörétõl. Egyetlen illusztráló péld: míg 90-es évek elejéig szkközépiskolákn z árázoló geometriát, illetve z ezzel rokon szkrjzot külön tntárgyként tnították, ddig ez terület mostnr integrálódott más részterületekkel együtt, mint például számítógépes tervezés, CAD-CAM progrmok hsznált komplexe mûszki kommunikációs tntárgykn. Mindez értékelhetõ geometri háttére szorulásként, mennyien geometrián z elemi síkgeometriát értjük. Értékelhetõ zonn úgy is, hogy geometri kiszdult mtemtikórákról vizuális kom- 1 Köszönetemet fejezem ki Wettl Ferencnek, BME Alger Tnszéke docensének, kivel perspektivitás témköréen számomr ngyon tnulságos eszélgetést folytthttm. munikáció áltlános színtereire, mg után hgyv foglmi köré szervezõdött évezredes xiomtikus-verális védõövet. A szerkeszthetõség és diszkusszió korlátozó, ill. verális tevékenysége után most hngsúly látttáson vn. Ennek hngsúlyeltolódásnk kísérletképpen megfelelve perspektívát és térszemléletet próáltm evonni kilencedikes geometri tnnyg. A feldtokt úgy szerkesztettem össze, hogy szokásos szerkesztéseket gykorló, lpfoglmkt átismétlõ feldtok urkológöréje egy új témkört jelenítsen meg, éspedig Desrgues-tételt és hozzá kpcsolódó tétel- és példkört. Mindezt úgy, hogy lehetõleg ne õvüljön lényegesen tnnyg, csk néhány plusz órát és néhány szokásostól eltérõ feldtot szúrtm e második féléves geometri témköre. A udpesti Sztehlo Gáor Evngélikus Gimnázium rjz és mûvészet tgoztos kilencedikesei sját kezük munkájár rácsodálkozv ismerték meg perspektivikus és xonometrikus árázolás elemeit, természetesen csk z idõ rövidségét tekintete vevõ niv szinten. A evezetõ végén megemlíteném, hogy cím egy kis indoklásr szorul. A hossz verzió iztos ez lenne: Mi fér ele minimális heti három órá projektív geometriáól?. Emelt órszámn ugynis sok izglms témkört lehet érinteni, mi kár diák, kár tnár számár élvezetessé teszi mtemtikórát, új módszerek, megoldási módok felmuttásávl hsznossá teszi z dott témkörre fordított idõt. Most inká zt muttnám e, hogy lcsony órszámn hogyn lehet úgy strukturálni kilencedikes geometri témkört, hogy mégis eleférjen egy kicsi másól is. Az lái feldtsor 16 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA elsõsorn mtemtik tnároknk szól, nem foglmztm úgy át, hogy z tnkönyvrészletként is megállj helyét. Tnítását elõ kell készíteni zzl, hogy feldtok és mgyráztok szóhsználtát z dott diákcsoport igényeinek és efogdóképességének megfelelõen lkítjuk át.. Perspektivitás A kiindulópontunk z, hogy geometriát térelemek illeszkedésének témkörével kezdjük, olyn lpvetõ feldtok áttekintésével, melyeken síkok, sík és egyenes, egyenesek kölcsönös elhelyezkedéseit ismerhetjük meg. Ezt követõen, z lpszerkesztéseket átismételve máris rátérhetünk néhány, már z áltlános iskoláól jól ismert síkeli trnszformáció végrehjtásár. Az láik zonnl közel visznek minket projektív geometri foglmihoz. 1. feldt. Adott pontól kicsinyítsünk felére egy dott háromszöget! (Vö.: [Kosztolányi 003, 133. o., 1. péld].) Megjegyzés. Természetesen feldt mtemtiki szigorúság egy dott fokát megkövetelve csk középpontos hsonlóság lpos ismeretével oldhtó meg. Ám, h ez z áltlános iskolán nem volt olyn kdály, mi szerkesztés kivitelezését emutthttlnná tette voln, kkor ez most sem okozht prolémát. képei rendre z A B C háromszög oldli lesznek. Rögtön rámutthtunk rr, hogy háromszög és képe egymáshoz kicsinyítés középpontjár vontkozón perspektív, áltlán pedig: 1. definíció. Az ABC háromszög és neki megfeleltetett A B C háromszög pontr perspektív, h vn olyn pont, melyen megfelelõ csúcspárok áltl meghtározott egyenesek mind áthldnk. (Vö.: [Hjós 1991, 45. o.].) Az elõzõ feldthoz hsonlón korán tnult szerkesztési eljárások felelevenítésére szolgálht következõ is.. feldt. Adott egyenesre tükrözzünk egy háromszöget, melynek oldli nem párhuzmosk tükörtengellyel! Hol metszik egymást megfelelõ oldlk egyenesei? (Vö.: [Kosztolányi 003, 133. o., 1. péld].) Megjegyzés. Szokásos tengelyes tükrözést úgy megvlósítni, hogy kijelölünk tengelyen két tetszõleges pontot, mjd elõ z egyike, mjd másik eszúrjuk körzõt és rendre körívezünk tükrözni kívánt pontokig kinyitott körzõvel. Itt is érdemes kitérni rr, hogy zt gondos érveléssel kéne elátni, hogy ez szerkesztés vlón tükörképet dj. C Megoldás. Felezzük meg z OA, OB, OC szkszokt (1. ár). Ekkor például z OAB háromszög kicsinyített képe z OA B háromszög lesz, így z ABC háromszög oldlink kicsinyített A B O C C t M B B A B A A 1. ár C. ár MOZAIK KIADÓ 17
A MATEMATIKA TANÍTÁSA 01. decemer Megoldás. A szerkesztési ponttlnság dcár szimmetri mitt mindenki számár világos, hogy z egyenesek tengelyen metszik egymást. Vlón, például h z AB oldl egyenese z M pontn metszi tengelyt (. ár), kkor z A, B, M pontok közös egyenesének képe ( tükrözés egyenestrtás mitt) z A, B, M pontok egyenes lesz, melyek metszéspontj z M tengelypont.. definíció. Az ABC háromszög és neki megfeleltetett A B C háromszög egyenesre perspektív, h megfelelõ oldlegyenesek metszéspontji egy egyenesre esnek. (Vö.: [Hjós 1991, 45. o.].) Tudjuk, hogy z elsõ és második feldt perspektivitás jellegzetes, de tipikus esetei: z elsõ lkzt egyenesre is perspektív, de perspektív egyenese z ideális egyenes, második lkzt pontr is perspektív, de z pont egy ideális pont. Ezeket lényeges, de kivételes vontkozásokt egyelõre elhllgthtjuk diákjink elõtt. A teljesség kedvéért zonn itt leírjuk megfelelõ definíciókt. 3. definíció. Az S sík egymássl párhuzmos egyenesei egy-egy ekvivlenciosztályt htároznk meg. Ezeket z osztályokt ideális pontoknk, z ideális pontok hlmzát (I) ideális egyenesnek nevezzük. A P = S» I hlmz z ideális elemekkel kiõvített sík, zz projektív sík. Az I ŒI ideális pont rjt vn z e Õ S egyenesen, h e ŒI, zz I z e-vel párhuzmos síkeli egyenesek hlmz. Az ideális pontok rjt vnnk z ideális egyenesen. (Vö.: [Hjós 441. o., 44.1.].) Megjegyzés. Az ideális pontok definíciój után pontr és egyenesre perspektivitás foglmát érdemes értelemszerûen kiterjeszteni z ideális elemekre is. Ez eseten kicsinyítéses péld elrendezése nem csk pontr, de egyenesre vontkozó perspektivitást, tükrözéses péld pedig pontr perspektvitást is mutt. Az elsõ eseten perspektivitás tengelye z ideális egyenes, Lásd [Hjós 1991, 453. o. B megj.]. másodikn perspektivitás középpontj tengelyre merõleges egyenesek áltl meghtározott ideális pont. A ölcsész érdeklõdésû diákok elõtt világért se mulsszuk el megjegyezni, hogy projektív sík szóhsználtán érvényessé válik Bolyi-prfrázis: párhuzmosok z ideális pontn tlálkoznk. 3. Desrgues tétele 3. feldt. Rjzoljunk két háromszöget, melyek pontr perspektívek és hol megfelelõ oldlk egyenesei metszik egymást! Egyenesre is perspektívek-e ezek? (Vö.: [Hjós 1991, 45. o., Tétel )].) Megoldás. Természetesen válsz szerkesztés lpján csk sejtésként foglmzhtó meg. A gynút, miszerint igen: egyenesre is perspektív z elrendezés, Desrgues tétele 3 igzolj, melynek egy esetét és egy irányát e fogjuk izonyítni. Megjegyzés. A Desrgues-tétel szokásos térgeometrii izonyítás ngy erõvel muttj zt geometrii hgyományt, mely z Eukleidész elõtti mtemtikáig vezethetõ vissz és mely n megfigyelésen érhetõ legjon tetten, hogy z ógörögök izonyításr hsznált szv egyszerre megmuttást, elátást is jelent. Az ár mintegy megelevenedik és létrehozz szemlélõen szujektív izonyosság élményét, mindenféle verális érvelés nélkül, felõl, hogy tétel igz. Az érvelõ mtemtik elõtti korról olvshtunk Szó Árpád számos munkáján 4, de ugynerre jelenségre utl Reuen Hersh is, mikor rámutt rr, hogy Eukleidész Elemeien minden egyes tételnél szerepel egy ár, mely elátást segíti elõ, s mely egyáltlán nem csk mellékes illusztráció. 5 4. feldt. (Desrgues-tétel) Bizonyítsuk e térgeometrii eszközökkel, hogy h két háromszög pontr perspektív és megfelelõ oldlk egyenesei metszik egymást, kkor két háromszög 3 Lásd [Hjós 1991, 45. o.]. 4 Lásd különösképpen pl.: [Szó 1997, 19. o.]. 5 Lásd [Hersh 1997, p. 186]. 18 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA egyenesre is perspektív! (Vö.: [Hjós 1991, 45. o., Tétel )].) Megoldás. A Desrgues-tétel ezen változtát térgeometri illeszkedési témkörének következõ gondoltmenetével igzolhtjuk. 6 A síkeli ABCA B C sokszög (3-4. ár) tekinthetõ egy háromoldlú csonkgúlánk, melynek lpsíkj z A B C háromszög síkj, metszés síkj pedig z A, B, C pontok áltl kifeszített sík. Az ABC è oldlegyenesei mind metszõ síkn, z A B C è minden oldlegyenese z lp síkján vn. Tehát h ezek z egyenesek metszik egymást, kkor metszéspontok csk két sík metszésvonlán lehetnek, zz egy egyenese esnek. Megjegyzés. Láthtó volt, hogy izonyítás tisztán térgeometrii illeszkedési feldt, és hsonlóképpen ár kissé összetette módon tétel megfordításánk igzolás is tisztán ilyen feldt. Következésképp Desrgues-tétel tekinthetõ z elsõ geometrii témkör átismétlésének, lklmzásánk. A A O C B B P P 1 P 3 A A O C B C 3. ár B P P 1 P 3 C 4. ár 6 Lásd [Hjós 1991, 453. o., B megj.]. 4. Áltlánosítások A Desrgues-tétel kimondás és izonyítás, h krjuk, tekinthetõ z elemi illeszkedési témkör gykorlásánk, ezért plusz órát nem emészt föl, ismétlõ óránk minõsíthetõ. A Desrgues-tétel áltlánosításánk témköre már zért egy-két plusz ór eikttását igényli. A tétel két irány terjeszthetõ ki. Egyfelõl gondolkodhtunk zon, hogy tükrözéses feldtn szereplõ elrendezés lpján milyen új tételt mondhtunk ki. Ez z út feltételezi, hogy eszéltünk diákoknk z ideális lkztokról. 5. feldt. Igzoljuk, hogy h két háromszög megfelelõ csúcsi párhuzmos egyeneseket htároznk meg és megfelelõ oldlegyeneseik metszik egymást, kkor két háromszög egyenesre perspektív! Megoldás. A megoldás Desrgues-tétel izonyításánk megismétlése háromoldlú csonk hsár. Megjegyzés. Tlán nehézkesnek tûnik z állítás megfoglmzás, de gondoljunk ele: z ideális térelemek lpos megtnítás, projektív sík xiómrendszerének és dulitási tételének ismertetése együtt már iztosn nem fér ele feszített tempójú, heti három órás rohnás. A másik áltlánosítási lehetõség sokszögek esete. Két n-szög pontr, ill. egyenesre vontkozó perspektivitásán zt értjük, hogy megfelelõ csúcsik közös pont érkezõ egyeneseken vnnk, ill. megfelelõ oldlegyeneseik közös egyenesen metszik egymást. 6. feldt. Rjzoljunk pontr perspektív négyszögpárokt! Egyenesre perspektívek-e ezek? Megoldás. Már z elsõ próálkozásokól kiderül, hogy négyszögekre Desrgues-kijelentés áltlán nem fog teljesülni. Elég sok szimmetriát muttó elrendezésre zonn igen, például négyzet vgy szimmetrikus trpéz ngyított képeinél. Megjegyzés. Felvetõdik kérdés, hogy mi feltétele nnk, hogy h dott z elsõ lkzt, k- MOZAIK KIADÓ 19
A MATEMATIKA TANÍTÁSA kor pontr perspektivitás áltli képével együtt mikor lesznek õk egyenesre is perspektívek. Sjnos [Vigssy 197] szkköri kidványn szerzõ félreérthetõen foglmz, mikor zt írj: Sõt, [Desrgues-]tétel nem csk háromszögekre érvényes, hnem négyszögekre is és tetszõleges oldlszámú sokszögekre is. 7 A tétel sokszögekre áltlán nem igz. Megjegyzés. A lehetséges áltlánosítások felkuttását kezdeten síkgeometrii, ill. térgeometrii konstrukciós feldtként is felfoghtjuk. Mindkettõ érdekes megállpításokr vezet. Egyfelõl érdeklõdhetünk, hogy Desrgues-tétel térgeometrii izonyítás milyen áltlános elrendezésekre mûködik még. Például milyen körre, ellipszisre, sokszögre? Persze ehhez rá kell muttnunk rr, hogy z ellipszis merõleges ffinitássl szármztthtó körõl és hogy z ellipszis tekinthetõ egy ferde síkn lévõ kör képének. Ezek projekt jellegû feldtok inká házi feldtként dhtók föl. Másfelõl felvethetjük következõ síkeli konstrukciós feldtot is. 7. feldt. Legyen dv egy tetszõleges négyszög és perspektivitás középpontj. Rjzoljunk pontr perspektív négyszöget hozzá, mellyel egyenesre perspektív párt lkotnk! Megjegyzés. Segítségként érdemes mondnunk, hogy elõször rjzoljunk két perspektív háromszöget, mjd vegyünk fel egy új sugáron egy új pontot és keressük meg képét, mely lklms lesz. Ezután könnyen megtlálhtó keresett pont. A nehézség konstrukció helyességének elátásán vn. Megoldás. Vegyünk fel z 5. ár szerint egy O pontr perspektív ABC és A B C háromszöget, melyek perspektivitásánk tengelye z e egyenes, mit megfelelõ oldlegyenesek P 1, P, P 3 metszéspontji htároznk meg. Vegyük föl tetszõlegesen z O-ól induló s sugrt és legyen rjt D pont tetszõleges. Tekintsük D és C pontok egyenesét, hol ez z egyenes metszi perspektivitás tengelyét, legyen z P 4 pont. 01. decemer Legyen D pont z pont, melyen P 4 és C egyenese metszi z s sugrt. Állítjuk, hogy ekkor z ABDC négyszög egyenesre perspektív z A B D C négyszöghöz. Vlón, elég BD, B D egyeneseinek metszéspontját vizsgálni, másik metszéspont hsonlón viselkedik. A CBD és C B D háromszögek pontr perspektívek, így egyenesre is. A CB és C B egyeneseinek metszéspontj z e-n vn (P 1 ), konstrukció mitt CD és C D egyeneseinek metszéspontj is z e-n vn (P 4 ). A CBD és C B D háromszögek perspektivitási tengelye tehát egyeesik z e-vel, mely így négyszögek számár is perspektivitás tengelye lesz. A O C B D A B P 1 P 4 P P 3 C D 5. ár Megjegyzés. Az érvelés szinte gráfelméleti és vlón, z áltlánosítás síkeli teljes gráfokról szól. 8 4. definíció. Teljes n csúcspontú sokszög ltt értünk síkon n különözõ pontot z õket öszszekötõ egyenes szksszl együtt. nn ( 1) (Vö.: [Dowling 1917, p. 13, Sect. 13].) Ekkor egy lehetséges sokszöges áltlánosítást foglmz meg z lái feldt. 8. feldt. Legyen dv z S és S egymásnk megfeleltetett teljes n-szög, vlmint z O pont és sokszögeken z, élpár. H mind z n - dr T, T háromszögpár rendre z S, S sokszögeken, melynek oldl rendre z, él z O-r perspektív, kkor két sokszög is pontr perspektív. (Vö.: [Dowling 1917, p. 4, Ex. 6].) s e 7 Lásd [Vigssy 197, 59. o.]. 8 Lásd [Dowling 1917] tnkönyvet. 0 MOZAIK KIADÓ
01. decemer A MATEMATIKA TANÍTÁSA Megjegyzés. A feldt megoldás közvetlenül dódik z lái feldtól. 9. feldt. Igzoljuk, hogy két teljes négyszög egyenesre perspektív, h ennük két háromszög egyzon egyenesre perspektív. (Vö.: [Dowling 1917, p. 3, Sect. 0, Thm. II].) Megjegyzés. Ennek feldtnk megoldás 7-es konstrukciós feldttl rokon. A részletes megoldást lásd itt: [Dowling 1917, p. 3 4]. 5. Alklmzások A témkör számos lklmzásr lelhet síkgeometri témköréen. Csk ízelítõként néhány, elsõsorn illeszkedéssel kpcsoltos péld. 10. feldt. Tekintsük z ABC nem egyenlõ szárú háromszöget. A mgsságok tlppontji legyenek T, T, T c. Legyen P z oldl és T T c egyenese, Q oldl és T T c egyenese és R c oldl és T T egyenese áltl lkotott metszéspont. Igz-e, hogy P, Q és R egy egyenese esik? Útmuttás. A háromszög és tlpponti háromszöge egymáshoz pontr perspektív. 11. feldt. Tekintsük egy háromszög elsõ szögfelezõinek eírt körrel lkotott metszéspontjit. Eõl ht pontól lkossunk leglá három olyn háromszöget, melyek z dott háromszöggel pontr perspektívek! Útmuttás. Az oldlhoz közelei metszéspontok, csúcsokhoz közelei metszéspontok ill. például két csúcshoz közelei és egy oldlhoz közelei metszéspont hárms. 1. feldt. Legyenek egy háromszög hozzáírt köreinek középpontji: K 1, K, K 3, eírt körének középpontj K. Egyenesre, ill. pontr perspektívek-e K 1 K K, K 3 K K háromszögek? H igen, mi perspektivitás centrum és tengelye? Útmuttás. A K 1 K 3 szksz egyenese áthld egy csúcson, K K szintén ugynezen. Két-két megfeleltetett oldl metszéspontj kijelöli tengelyt. 13. feldt. Legyen z ABC nem egyenlõ szárú háromszög. Legyen F z oldl, F oldl felezéspontj, O körülírt körének középpontj, M mgsságpontj. Igzoljuk, hogy z ABM háromszög és z F F O háromszög z ideális egyenesre perspektív! Melyik perspektivitás középpontj? Útmuttás. Párosítsuk úgy két háromszög oldlit, hogy zok egymássl párhuzmosk legyenek. Ekkor perspektivitás tengelye z ideális egyenes lesz. 14. feldt. Az elõzõ feldtnál melyik középpontr perspektív két egyenesre is perspektív háromszög? Igzoljuk eõl, hogy O, M és z ABC háromszög súlypontj egy egyenese esnek (Euler-egyenes). Útmuttás. Két-két megfelelõ csúcs egyenese áthld súlyponton. A hrmdik csúcspár egyenese is ezen kell, hogy áthldjon pontr vontkozó perspektivitás folytán. Hivtkozások [1] [Hjós 1991] Hjós György (1991): Bevezetés geometriá. Tnkönyvkidó [] [Szó 1997] Szó Árpád, A görög mtemtik. In: Csíky Gáor (szerk.) (1997): Mgyr Tudománytörténeti Szemle Könyvtár [3] [Hersh 1997] Reuen Hersh (1997): Wht Is Mthemtics, Relly? Oxford University Press [4] [Vigssy 197] Vigssy Ljos (197): Geometrii trnszformációk. Középiskoli szkköri füzetek, Tnkönyvkidó [5] [Dowling 1917] L. Wylnd Dowling (1917): Projective Geometry. McGrw-Hill, New York [6] [Kosztolányi 003] Kosztolányi J. t l. (003): Sokszínû Mtemtik 10. Mozik Kidó, Szeged MOZAIK KIADÓ 1