1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén kommutatív: X Y = Y X, asszociatív: (X Y ) Z = X (Y Z), -nak van semleges eleme: 0 X = X 0 = X, X 1 : X X 1 = 0, asszociatív: a (b X) = (ab) X, skalárösszegre disztributivitás: (a + b) X = a X b X, vektorösszegre disztributivitás: a (X Y ) = a X a Y, -nak van semleges eleme: 1 X = X. 2. Definíció. (X, ρ) metrikus tér, ha X halmaz, ρ : X X R és x, y, z X ρ(x, y) 0 és ρ(x, y) = 0 x = y ρ(x, y) = ρ(y, x) ρ(x, y) + ρ(y, z) ρ(x, z) (háromszög-egyenlőtlenség) 1
3. Definíció. (X,. ) normált tér, ha X vektortér K felett,. : X R és x, y X x 0 és x = 0 x = 0 λx = λ x x + y x + y 4. Definíció. (X,.,. ) euklideszi tér, ha X vektortér K felett,.,. : X X K és x, y, z X, λ K x, x 0 és x, x = 0 x = 0 x, y = y, x (konjugált szimmetria) λx, y = λ x, y (linearitás az első változóban) x + y, z = x, z + y, z (linearitás az első változóban) Megjegyzés: A normált tér is metrikus tér ρ(x, y) := x y indukált metrikával. Az euklideszi tér is normált tér x := x, x indukált normával. 5. Definíció. A fenti tereket teljes térnek nevezzük, ha bennük minden Cauchy-sorozat konvergens, azaz: a : N X, ε > 0 : N N : n, m > N : ρ(a n, a m ) < ε Megjegyzés: α X : ε > 0 : N N : n > N : ρ(a n, A) < ε Teljes normált tér: Banach-tér. Teljes euklideszi tér: Hilbert-tér. Példák: Diszkrét metrika: ρ(x, y) = { 1 (x = y) 0 (x y) p-normák: { X = R n, x p := p n x i p max{ x 1,..., x n } (p [1, + )) (p = + ) Ekkor (R n,. p ) Banach-tér, mert minden véges dimenziós normált tér teljes. 2
1.1.2. Zárt- és teljes ortonormált rendszer 6. Definíció. f 1,..., f n,... X véges vagy végtelen ortonormált rendszer (ONR), ha i, j N, f i, f j X : f i, f j = δ ij 7. Definíció. (X,. ) normált tér esetén Z X zárt rendszer, ha L[Z] = X, ahol L[Z] = { z Z 0 α z z Z0 Z, Z 0 < +, α z K } (lineáris burok), illetve A X : A := A A, A := {x X : ε > 0 a A, a x : a k ε (x)} 8. Definíció. (X,.,. ) euklideszi tér, Y = {y 1,...} X ONR teljes, ha a X, y n Y : â = (â(n)) = ( a, y n ) 0 a = 0 9. Definíció. X szeparábilis, ha Y X, Y legfeljebb megszámláható, hogy: Y = X 1. Tétel. (X,. ) szeparábilis létezik legfeljebb megszámlálható zárt rendszer (X,.,. ) szeparábilis létezik legfeljebb megszámlálható zárt ONR 2. Tétel. (X,.,. ) euklideszi tér, Y X ONR esetén Y zárt Y teljes Hilbert-térben: Y teljes Y zárt 1.1.3. Fourier-sor 10. Definíció. Fourier-sorok: (X,.,. ) euklideszi tér, Y = {y n n N} X ONR esetén: n-edik Fourier-együttható: ˆx(n) := x, y n n-edik részletösszeg: S n (x) := n k=0 ˆx(k)y k Fourier-sor: k=0 ˆx(k)y k 3. Tétel. Bessel-egyenlőtlenség: ( ˆx l 2 ) ˆx(k) 2 x 2 k=0 3
4. Tétel. (y n ) ONR { } n min x c k y k : c k R = x ˆx k y k 5. Tétel. k=1 z = α k y k α k = ẑ(k) x=1 1.1.4. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben, szeparábilis Hilbert terek izomorfiája 6. Tétel. Riesz-Fischer: (X,.,. ) Hilbert-tér, (y n ) X megszámlálható, zárt ONR esetén (tehát X szeparábilis) (y n ) Schauder-bázis (azaz minden térbeli elem egyértelműen előállítható a bázis elemeinek véges vagy végtelen lineáris kombinációjával) x X : x = i=0 ˆx(n)y n, ekkor ˆx l 2 és x = ˆx l2 (Parseval) α l 2 :!x α X : ˆx α = α Ezért x ˆx izomorf (homomorf, szürjektív és injektív) izometria (az argumentum és a függvényérték megfelelő normái azonosak), tehát minden szeparábilis Hilbert-tér izometrikusan izomorf l 2 -vel. x=1 φ : X l 2 bijektív, lineáris : x = φ(x) l2 7. Tétel. Neumann-féle paralelogramma-szabály: (X,. ).,. : x = x, x x, y X : x + y 2 + x y 2 = 2( x 2 + y 2 ) 8. Tétel. Cauchy-Bunyakovszki-egyenlőtlenség: x, y x y???gram-schmidt ortogonalizáció kell? 1.2. A legjobb approximáció feladata Banach- és Hilbert-térben. Riesz felbontási tétele. Projekciók 1.2.1. A legjobb approximáció feladata Banach- és Hilberttérben 11. Definíció. (X, ρ) metrikus tér, = A, B X, ekkor ρ(a, B) := inf{ρ(x, y) x A, y B} 4
Speciálisan: A = {c} : ρ(c, B) := ρ(a, B) Approximáció kérdése: létezik-e a A, b B : ρ(a, b) = ρ(a, B) 9. Tétel. (X,. ) normált tér, L X végesdimenziós altér, ekkor c X l L : c l = ρ(c, L) Kérdés: egyértelműségről mit lehet mondani? Pl.: (R 2,. 2 ), L = {ax alakú egyenesek}, ekkor egyértelmű (R 2,. ), L = {(x, 0) x R}, x 0 = (0, 1), ekkor x 0 -hoz végtelen L- beli legközelebbi pont van 12. Definíció. (X,. ) szigorúan normált, ha x, y X : Például: x + y = x + y λ 0 : x = λy y = λx (R n,. p )(1 < p < ) (l p,. lp )(1 < p < ), ahol (x n ) lp N R : x lp < + } = ( i=0 x i p ) 1/p l p = {x : (L p (I),. p )(1 < p < ), ahol f p = ( I f p) 1/p, R : f p < + } L p = {f : I minden Hilbert-tér (C[a, b],. ) NEM 10. Tétel. (X,. ) szigorúan normált tér, ekkor: L X altér : x X : {l L : x l = ρ(x, L)} 1 11. Tétel. (X,.,. ) euklideszi tér, L X teljes altér (altér, és minden Cauchy-sorozat egyben konvergens is és a limesz L-beli) x X!l L : ρ(x, L) = x l 13. Definíció. (X,.,. ) euklideszi tér, L X altér, ekkor: L := {x X : l L : x, l, = 0} 5
1.2.2. Riesz felbontási tétele 12. Tétel. Riesz-felbontás: Legyen L X egy teljes altér az (X,, ) euklideszi térben. Ekkor x X elemhez egyértelműen léteznek olyan L-beli x 1 és L -beli x 2 elemek, amelyekre: x = x 1 + x 2. 1.2.3. Projekciók 14. Definíció. Valamely (X,, ) euklideszi térben teljes L X altér esetén a P L : X L leképezést (operátort), amelyre az előbbi tétel jelöléseivel P L (x) = x 1 (x X), azaz x = x 1 + x 2 : x 1 L, x 2 L az L altérre való vetítésnek (projekciónak) nevezzük. Nyilvánvaló hogy P L lineáris: x, y X, µ, λ K : P L (µx + λy) = µp L (x) + λp L (y), valamint, hogy P L korlátos lineáris operátor, azaz: x X : P L (x) x. Speciálisan x L esetén az x = x + 0 egyenlőségből adódóan P L (x) = x következik, ami egyúttal azt is jelenti, hogy egyrészt ran(p L ) = L valamint, hogy a leképezés idempotens, azaz: P P = P. 13. Tétel. (X,.,. ) Hilbert-tér {e k k = 0... n} ONR bázis az L altérben, ekkor n P L (x) = x k, e k e k k=0 Az előző esetben P Ln = S n, P L = S, L n = L({l 0,..., l n }) és L = L({l 0,..., l n }) X = K n,. =., A 1,..., A m X, L = L({A 1,..., A n }) { m b X γ i K : b m } γ i A i = min b α i A i : α i K { m b γ i A i = max 1 k n b k A K n m, γ K m Ekkor γ approximatív megoldás } m α i A ik : α i K b Aγ = min α K m b Aα = min max α i k { b k } m α i A ik : α i K 6
Legkisebb négyzetek feladata: n min α i b i k=1 m 2 α i A ik 15. Definíció. Legfeljebb n-edfokú polinomok: P n = {P : P polinom [a, b] felett értelmezve, deg(p ) n}. Legfeljebb n-edfokú trigonometrikus polinomok: n T n = {α 0 + (α k cos(kx) + β k sin(kx)) α k, β k R(i = 1... n)}. k=1 14. Tétel. A = L n vagy A = S n esetén c > 0 : A c ln(n + 1) Következmény. 15. Tétel. A Banach-Steinhaus tétel alkalmazásával adódik a Lizonszkij- Harsiladze-tétel: tetszőleges T n : C 2π T n (n N) projekciósorozat esetén létezik olyan f C 2π függvény, amelyre a (T n f) sorozat nem konvergál egyenletesen, sőt sup n T n f = +. 16. Definíció. Legyenek adottak az α nk K(n, k N) valós vagy komplex számok. Azt mondjuk, hogy az (x n )(n N) számsorozat szummábilis, ha n N esetén a y n := α nk x k k=0 sorösszeg létezik, y n K és az (y n )(n N) sorozat konvergens. Ha ez tetszőleges (x n )(n N) esetén igaz és még lim(x n ) = lim(y n ), akkor az α nk -k egy ún. permanens, vagy Toeplitz-típusú szummációt határoznak meg. 1.3. Korlátos, lineáris operátorok. Operátorok normája. Operátorok gyűrűje. B(X,Y) Banach-tér. Operátor sorozatok egyenletes- és pontonkénti konvergenciája. Banach-Steinhaus tétel és következménye. 1.3.1. Korlátos, lineáris operátorok 17. Definíció. X 1, X 2 lineáris tér K felett, A : X 1 X 2 lineáris operátor, ha x, y X 1, λ K : A(x + λy) = Ax + λay 7
L(X 1, X 2 ) := {A : X 1 X 2 lineáris} pl: f f, f 1 0 f 18. Definíció. (X i,. i )(i = 1, 2), A L(X 1, X 2 ) korlátos lineáris operátor, ha M > 0 : Ax 2 M x 1 ( x X 1 ) L(X 1, X 2 ) := {A L(X 1, X 2 ) korlátos lineáris} 1.3.2. Operátorok normája 16. Tétel. A L(X 1, X 2 ) A C z X 1 : A C{z} L(X 1, X 2 ) lineáris tér A L(X 1, X 2 ), A A := inf{m 0 : Ax 2 M x 1 } norma (operátornorma) inf helyett írható min A = sup { Ax 2 : x 1 1} = sup { Ax 2 : x 1 = 1} (X 2,. 2 ) teljes esetén (L(X 1, X 2 ),. ) Banach-tér X 1 végesdimenziós esetén L(X 1, X 2 ) = L(X 1, X 2 ) 1.3.3. Operátorok gyűrűje 19. Definíció. (X,, ) gyűrű, ha műveletre Abel-csoport: kommutatív csoport (asszociatív, van semleges elem, minden elemnek van inverze), műveletre félcsoport (asszociatív, van semleges elem) disztributív -ra nézve: (a b) c = a c b c, a (b c) = a b a c 20. Definíció. (X,, ) gyűrű esetén Y X részgyűrű, ha (Y,, ) gyűrű. 21. Definíció. (X,, ) gyűrű esetén I X részgyűrű ideál, ha I (I 1 ) I, X I I (balideál), 8
I X I (jobbideál). 22. Definíció. (X i,. i )(i = 1, 2) normált terek, A : X 1 X 2 operátor kompakt, ha Y X 1 korlátos: A[Y ] halmaz kompakt (azaz minden nyílt lefedéséből kiválasztható egy véges nyílt lefedése). Jelölés: K(X 1, X 2 ). L(X) := L(X, X) gyűrűt alkot az összeadásra és a kompozícióra nézve, ahol K(X) ideál. 1.3.4. L(X, Y ) Banach-tér Lásd: korábban. 1.3.5. Operátor sorozatok egyenletes- és pontonkénti konvergenciája 23. Definíció. A n L(X 1, X 2 ) pontonként konvergens M X 1 -en, ha x M : (A n x) konvergens 24. Definíció. A n L(X 1, X 2 ) erősen konvergens, ha x X 1 : (A n x) konvergens???ez helyes? 1.3.6. Banach-Steinhaus tétel és következménye 17. Tétel. Banach-Steinhaus I.: X 1 Banach-tér, A n L(X 1, X 2 ) erősen kovergens sup n A n < + 18. Tétel. Banach-Steinhaus II.: X 1, X 2 Banach-terek, A n L(X 1, X 2 ), ekkor A n erősen konvergens Z X 1 zárt rendszer: (A n z) konvergens z Z sup n A n < + Következmények (X i,. i ) = (C 2π,. )[(C[a, b],. )] és A n = S n [L n ] esetén A n c log n f X 1 : (A n f) nem konvergens (X 1,. 1 ) = (C 2π,. ), (X 2,. 2 ) = (R,. ), A n f = S n F (a) f C 2π : (S n f(a)) divergens (X 1,. 1 ) = (C[a, b],. ), (X 2,. 2 ) = (R,. ), A n = Q n Q n f = n k=0 A nkf(x nk ) Q n f = n k=0 A nk Pólya-szegő: ρ : [a, b] [0, + ) f C[a, b] : lim Q n f = b a fρ 9
zárt rendszeren kovergens sup n n k=0 A nk < + Q kvadratikus szummációk: α nk K, x : N K, T x := ( k=0 α nkx k ) T szummáció permanens, ha x N K : x D T, T x konvergens, és lim(t x) = lim(x) Toeplitz: T permanens k : lim n α nk = 0 lim n k=0 α nk = 0 sup n k=0 α nk < +???permanens def. 19. Tétel. Fejér szummációs tétele: f C 2π : lim n σ nf f = 0, ahol σ n f = S 0f +... + S n f n + 1 ( n N 0 ) 1.4. Hahn-Banach tétel és következményei. Duális tér. Riesz reprezentációs tétele. Adjungált operátor. Önadjungált operátorok Hilberttérben. 1.4.1. Duális tér 25. Definíció. X = K n, (X,. ) normált tér, X := L(X, K) az X duális tere, ekkor A X egy funkcionál (korlátos, lináris). 1.4.2. Hahn-Banach tétel és következményei 20. Tétel. Hahn-Banach: Következmények: (X,. ) normált tér, Y X altér, f Y : F X : f F (azazf Y = f, f = F ) 10
0 x X : f X : f(x) = x, f = 1 Y X altér, a X : ρ(a, Y ) > 0 f X : f Y 0, f(a) = 1, f = 1 ρ(a,y ) S X S zárt rendszer ( f X : f 0 f S 0) (X,.,. ) euklideszi tér, a X, f a (x) := x, a f a = a 1.4.3. Riesz reprezentációs tétele 21. Tétel. Riesz-féle reprezentációs tétel: (X,.,. ) Hilbert-tér, ekkor ( X = X ) 1.4.4. Adjungált operátor f X :!a X : f = f a 26. Definíció. A L(X 1, X 2 ), f X2, A f(x) := f(ax)(x X 1 ) A f X1, A korlátos lineáris. Ekkor A L(X2, X 1 ) adjungált operátor. ( A = A ) Ha (X i,. i ) = (X,.,. ) Hilbert-tér, akkor x, a X : Ax, a = x, A a 27. Definíció. Ha A = A, akkor önadjungált 1.4.5. Önadjungált operátorok Hilbert-térben 22. Tétel. (X,.,. ) Hilbert-tér K felett, A L(X, X) esetén: A önadjungált x, y X : Ax, y = x, Ay A önadjungált A = sup { Ax, x : x X, x 1} Megjegyzés. L(K m, K n ) izomorf K n m -mel. 11