Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10."

Átírás

1 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.

2 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

3 A problémakör... Legyen A egy kommutatív normált gyűrű, és p, q A[[X]]. Legyen R p és R q, a megfelelő sorokhoz tartozó konvergenciasugár, p q pedig jelöli a p és q Cauchy-szorzatát. Tanulmányozzuk azt az esetet, amikor: R p q > min {R p, R q }

4 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

5 Hadamard tételei Értelmezés: Legyen ρ C[[X]], azaz ρ(x) = n=0 a nx n egy komplex hatványsor. Bevezetjük a következő jelöléseket: a m a m+1 a m+2... a m+p a m+1 a m+2 a m+3... a m+p+1 D m,p = a m+p a m+p+1 a m+p+2... a m+2p l p = lim sup D m,p 1 m m l = lim sup a m 1 m m

6 Hadamard tételei Tétel: [Hadamard tételei] l p l p+1 p N Annak az elégséges és szükséges feltétele, hogy létezik olyan p-ed fokú P polinom, melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré, a következő: l p < l p+1

7 Hadamard tételei Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve a következő A m rendszereket [A 1 m, A 2 m,..., A p m] ismeretlenekkel: a m+p + A 1 ma m+p A p ma m = 0 a A m : m+p+1 + A 1 ma m+p A p ma m+1 = 0... a m+2p 1 + A 1 ma m+2p A p ma m+p 1 = 0 kapjuk, hogy lim m [A 1 m, A 2 m,..., A p m] = [A 1, A 2,..., A p ]. Képezve a P (X) = 1 + A 1 X A p X p polinomot, a P ρ hatványsor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.

8 Alkalmazás Példa: A fenti tétel alkalmazásaként nézzük a következő példát. Legyen θ C[[X]] a következő hatványsor: θ(x) = 1 2X + X 2 + X 3 2X 4 + X 5 + X 6 2X 7 + X Határozzuk meg θ összegét tudva, hogy a keresett összegfüggvény racionális törtfüggvény ( R(X) P (X) alakú, ahol R es P polinomok). Megoldás: Komplex anaĺızisből tudjuk, hogy a θ sor konvergenciasugara egyenlő lesz a P polinom gyökeinek abszolút érténeinek minimumával. Annak függvényében, hogy hány ilyen minimális abszolút értékű gyök létezik, annyiad fokú lesz az Hadamard tételeiben szereplő legkisebb fokú P polinom.

9 Alkalmazás a n = { 1, ha n 3k + 2 vagy 3k alakú 2, ha n 3k + 1 alakú A fentiek alapján: l = 1 R = lim sup n a n 1 n = 1. Egyszerű számításokkal kapjuk:l 1 = lim sup m D m,1 1 m = l 2 = 1. Tehát nem létezik első fokú P polinom úgy, hogy a P θ sor konvergenciasugara nagyobb legyen mint a θ soré. Hasonló számítások után viszont : 0 = l 2 = lim sup m D m,2 1 m < l 3 = 1. Vagyis a keresett P polinom másodfokú.

10 Alkalmazás Keressük meg ezt a polinomot! Képezzük a következő egyenletrendszert: { 1 A 1 m 2 + A 2 m 1 = A 1 m 1 + A 2 m 1 = 0 Belátható, hogy a megoldások A 1 m = A 2 m = 1 m N, vagyis a keresett polinom: P (x) = X + 1 X 2 Szorozzuk össze a P polinomot a θ sorral: P θ(x) = 1 X = R(X). Ezzel megkaptuk θ összegét: θ(x) = 1 x 1 + x + x 2

11 Alkalmazás Megjegyzés: Általánosítás tetszőleges ρ komplex hatványsorra, melynek az összege racionális törtfüggvény : 1 i = 0, meghatározzuk ρ konvergenciasugarát( 1 l = R) 2 megkeressük a Hadamard tételében szereplő P i polinomot 3 összeszorozzuk a P i polinomot a ρ sorral, vagyis ρ = ρ P i 4 ha ρ egy polinom, akkor végeztünk, ha végtelen sor, akkor alkalmazzuk a 2. lépést miközben növeljük az i indexet 5 összegzünk: a keresett racionális törtfüggvény számlálója P 0 P 1... P i ρ lesz, míg nevezője P 0 P 1... P i.

12 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

13 Normált gyűrűk Értelmezés: Legyen (A, +, ) egy asszociatív gyűrű és N : A R egy pozitív függvény. Azt mondjuk, hogy (A, +,, N) normált gyűrű, ha teljesülnek a következő feltételek: N(0) = 0 és N(x) > 0 x A N( x) = N(x) x A N(x + y) N(x) + N(y) x, y A N(x y) N(x) N(y) x, y A

14 Normált gyűrűk N normát nem-archimédeszinek nevezzük, ha a harmadik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x + y) max {N(x); N(y)} x, y A N norma homogén a szorzásra nézve vagy abszolút érték, ha a negyedik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x y) = N(x) N(y) x, y A

15 Példák Példa: Normált gyűrűre a legegyszerűbb példa a valós vagy a komplex számok teste felruházva a szokásos abszolút értékkel. Legyen x Q tetszőleges és p N prím. Jelentse p : Q Q a következő függvényt: 1 x p = p ordp(x) ord p (x) Z-t úgy kapjuk, hogy x-et a következő alakba írjuk: x = p ordp(x) u v, ahol sem u sem v nem osztható p-vel, és legyen definíció szerint 0 p = 0 (pl = 1 2 ). Észrevehető, hogy Q p = (Q, +,, p ) egy normált test, melyben p norma nem- Archimédeszi. A fentihez hasonlóan megszerkeszthető Z p = (Z, +,, p ) kommutatív normált gyűrű is. Fontos megjegyzés, hogy p homogén a szorzásra nézve: x y p = x p y p x, y Q.

16 Normált Gyűrűk Tétel: Ha (A, +,, N)-ben N abszolút értek, akkor (A, +, ) integritástartomány. Bizonyítás: Feltételezzük, hogy nem igaz a tétel álĺıtása. Legyenek x, y A zérusosztók ú.h. x, y 0 és x y = 0. Ekkor N(x)N(y) = = N(x y) = N(0) = 0, tehát N(x) = 0 vagy N(y) = 0, ami ellentmondás.

17 Normált Gyűrűk Megjegyzés: Mivel A zerusosztómentes { következik, } hogy a megszerkeszthető f rac(a) = b a A, b A hányadostest és A frac(a). Legyen M : frac(a) R a következő függvény: ( a ) M b = N(a) N(b) Észrevehető, hogy M jólértelmezett függvény, amely abszolút érték f rac(a) fölött. Természetesen A topológiai teljessége nem elegendő a f rac(a) test teljességéhez a származtatott normával. Jelölje tehát a továbbiakban F rac(a) a f rac(a) test topológiailag teljes burkolóját, amely szintén test.

18 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

19 Hadamard tételei normált gyűrűkre Célkitűzés: Az előbbiekben ismertetett Hadamard eredmény kiterjesztése tetszőleges normált gyűrűre, melyben a norma abszolút érték. Jelölje ρ A[[X]] a továbbiakban a következő hatványsort: ρ(x) = c 0 + c 1 X + c 2 X c n X n +... Legyen 0 < l ρ < + a ρ hatványsor Cauchy-féle állandója, azaz l ρ = lim sup k c k 1 k. Ugyanakkor legyen r ρ = 1 l ρ a ρ konvergenciasugara.

20 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Legyen A ρ [X] és F rac(a) ρ [X] a következő két halmaz: { } A ρ [X] = θ A[X] l θ ρ < l ρ { } F rac(a) ρ [X] = θ F rac(a)[x] l θ ρ < l ρ A ρ [X] (F rac(a) ρ [X]) azon A[X]-beli (F rac(a)[x]-beli) polinomokat tartalmazza, melyeket összeszorozva ρ-val a kapott sor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.(pl. ha ρ(x) = 1 + X + X , akkor 1 X A ρ [X]). Belátható, hogy A ρ [X] F rac(a) ρ [X]. Tétel: A ρ [X] ideálja A[X]-nek (A ρ [X] A[X]). F rac(a) ρ [X] ideálja F rac(a)[x]-nek (F rac(a) ρ [X] F rac(a)[x]).

21 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Azt mondjuk, hogy P A[X] a ρ hatványsor egy minimálpolinomja, ha teljesíti az alábbi két feltételt: P 0 és l P ρ < l ρ Q A[X] ú.h. deg(q) < deg(p ) és l Q ρ < l ρ. Tétel: Legyenek P, Q A ρ [X] minimálpolinomok, ekkor a, b A ú.h. ap bq = 0.

22 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Jelölje P ρ azt a F rac(a) ρ [X]-beli minimális fokú polinomot, melynek szabad tagja 1. A következő tétel megmutatja, hogy ez a polinom egyértelmű. Tétel: Q A ρ [X] F F rac(a)[x] ú.h.q(x) = F (X)P ρ (X) A[X] Bizonyítás: Mivel F rac(a)[x] főideálgyűrű következik, hogy E F rac(a)[x] ú.h. F rac(a) ρ [X] = (E). Legyen P ρ = E e 0. Mivel A ρ [X] F rac(a) ρ [X] következik a tétel álĺıtása.

23 Hadamard tételei normált gyűrűkre Megjegyzés: A fenti álĺıtás következménye, hogy a A ρ [X] elemei egyértelműen meghatározottak P ρ által. A következőkben módszert adunk P ρ meghatározására (ha létezik ilyen polinom).

24 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Hozzárendeljük a ρ A[[X]] sorhoz a következő állandókat: c m c m+1 c m+2... c m+p c m+1 c m+2 c m+3... c m+p+1 D m,p = c m+p c m+p+1 c m+p+2... c m+2p l p = lim sup m l = lim sup m D m,p 1 m c m 1 m

25 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Legyen (A n ) n k a következő determináns-sorozat : c n+i n 1,1 c n+i n 1,2 c n+i n 1,2... c n+i n 1,p c n+i n 2,1 c n+i n 2,2 c n+i n 1,2... c n+i n 2,p A n = c n+i n p,1 c n+i n p,2 c n+i n p,2... c n+i n p,p ahol i n i,j N es in i,j k i, j {1, 2,..., p} (k tetszőleges pozitív szám). Azt álĺıtjuk, hogy: lim sup n A n 1 n l p Következmény: l p l p+1 p N

26 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Tételezzük fel, hogy létezik olyan P (X) = C 0 + C 1 X C p X p F rac(a)[x] polinom (C 0 0), melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Ekkor álĺıthatjuk, hogy: l p < l p+1 Tétel: Ha l p < l p+1 és l p 1 = l p, akkor létezik olyan P (Z) = 1 + C 1 Z C p Z p F rac(a)[x] polinom, melyre a P ρ sor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Megjegyzés: Könnyen igazolható, hogy: l p < l p+1 Q F rac(a) ρ [X] ú.h. deg Q = p Ez közvetlen következménye annak, hogy P ρ oszt minden F rac(a) ρ [X]-beli polinomot.

27 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: [Hadamard tételei normált gyűrűkre ] l p l p+1 p N Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve az alábbi A m egyenletrendszer-sorozatot [C 1 m, C 2 m,..., C p m] ismeretlenekkel: c m+p + C mc 1 m+p Cmc p m = 0 c A m : m+p+1 + Cmc 1 m+p Cmc p m+1 = 0... c m+2p 1 + Cmc 1 m+2p Cmc p m+p 1 = 0 lim m [C 1 m, C 2 m,..., C p m] = [C 1, C 2,..., C p ] F rac(a) p. Ha [C 1, C 2,..., C p ] frac(a) p Z A[X] ú.h. deg Z = p és Z a ρ sor minimálpolinomja

28 Példák Megjegyzés: Az l p 1 = l p és l p < l p+1 feltételek szükségesek, de ellentétben a komplex esettel, nem elégségesek a minimálpolinom létezéséhez, mint ahogy ezt az alábbi példa is igazolja. Példa: Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, az abszolút értékkel ellátva, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet határozza meg: z n = [e n ] Könnyen észrevehető, hogy l = e. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be az alábbi egyenlőtlenségeket: 1 < [e n+1 ] e[e n ] < e Következik, hogy [e n+1 ] e[e n ] < e n N.

29 Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értéket: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = [e m [ ] e m+1 ] [ e [e m ] e m+1 ] [ e m+2] e [ e m+1] 2 [ e m+2] max { [ e m+2] e [ e m+1], [ e m+1] e [e m ] } Írhatjuk, hogy: l 1 = lim sup m 2e Következik, hogy deg(p ρ ) = 1. [e m+2] D m,1 1 m lim sup (2e [e m+2] ) 1 m = e < e 2 = l 2 m

30 Példák Keressük meg P ρ polinomot: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 A megoldás Cm 1 = z m+1 z m = [em+1 ] [e m ]. Könnyen észrevehető, hogy lim m Cm 1 = e, tehát: P ρ (X) = 1 ex Nyilvánvaló, hogy P ρ F rac(a)[x]\frac(a)[x] = R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy A ρ [X] a null-polinomon kívül nem tartalmaz semmit.

31 Példák Példa: Ez a példa megmutatja, hogy Q A ρ [X] minimálpolinom esetén nem mindig lesz deg(p ρ ) = deg(q). Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, ellátva az abszolút értékkel, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet szerint határozzuk meg: [ n ] z n = 2 Észrevehető, hogy l = 2. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be, hogy [ 2 n+1 ] 2[ 2 n ] < 2 n N.

32 Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értékét: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = = [ 2 ] [ m ] m+1 2 [ 2 ] m 2 [ 2 ] [ m+1 ] m+2 2 [ 2 ] m [ m+2 ] 2 2 Tehát írhatjuk: l 1 = lim sup m vagyis deg(p ρ ) = 1. D m,1 1 m lim sup (2 2 [e m+2] ) 1 2 m = 2 < 2 = l 2 m

33 Példák Keressük meg P ρ -t: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 h 2 m+1 i A megoldás Cm 1 = [ 2 m ] lim m Cm 1 = 2, tehát:. Könnyen észrevehető, hogy P ρ (X) = 1 2X Feltételezzük, hogy létezik Q A ρ [X] minimálpolinom. Láttuk, hogy P ρ R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy deg(q) > deg(p ρ ). Legyen Q alakja a következő: Q(X) = 1 2X 2 = (1 2X)(1 + 2X) tehát Q lehet a ρ egy minimálpolinomja, és deg(q) = 2.

34 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra

35 Banach-algebrák Jelentésen a továbbiakban (A, +,, ) egy kommutatív normált K fölötti Banach-algebrát (K = C vagy K = R). Azt mondjuk, hogy a egy A-beli hatványsor, ha a : K A: a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +... x K Legyen p és q két A-beli hatványsor, melyeknek együtthatói (p m ) m N és (q m ) m N. Így azonosítható p és q a következő A -beli oszlopvektorokkal: p [p 0, p 1, p 2, p 3,...] t q [q 0, q 1, q 2, q 3,...] t

36 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen D : A M (A) a következő függvény: p p 1 p D(p) = p 2 p 1 p p 3 p 2 p 1 p Könnyen igazolható, hogy D algebramorfizmus A és M (A) között. A fent bemutatott D operátor segítségével értelmezünk egy műveletet az A halmazon: p q = D(p) q = D(q) p Könnyen ellenőrizhető, hogy (A, +,, K) kommutatív algebra voltából (A, +,, K) is kommutatív algebra.

37 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen l : A R a következő valós funkcionál : l(q) = lim sup q m 1 m m Megjegyzés: A továbbiakban a D(p) és l(p) jelölések helyett, D p és l p lesz használatos.

38 Banach-algebrák Tétel: p, q A esetén: l p+q max {l p, l q } Tétel: p, q A esetén: l p q max {l p, l q }

39 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen p A úgy, hogy + > l p > 0. Bevezetjük a következő három halmazt: U p = {q A l p q < l p } V p = {q A l q < l p, l p q < l p } W 1 = {q A l q < 1} Tehát U p azon q hatványsorok halmaza, melyekre a p q sor konvergenciaköre nagyobb mint a p soré (l p q < l p ). Hasonlóan, V p azon q hatványsorokat tartalmazza, melyeknek megvan az előbb elmondott tulajdonságuk és konvergenciasugaruk nagyobb mint a p soré (l q < l p ), végül W 1 pedig azokat, amelyeknek konvergenciasugaruk szig. nagyobb mint 1.

40 Banach-algebrák Tétel: U p résztere A -nek. Tétel: V p résztere U p -nek. V p és W 1 részalgebrái A -nek.

41 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen ρ A ú.h. + > l ρ > 0. Jelentse T ρ : A A a következő függvényt: T ρ (q) = [ q 0, q 1 l ρ, q 2 l 2 ρ, q 3 l 3 ρ, q ] t 4 lρ 4,... Egyértelmű, hogy T ρ algebraautomorfizmus, tehát U ρ T ρ (U ρ ), illetve V ρ T ρ (V ρ ). Legyen U ρ = T ρ (U ρ ), V ρ = T ρ (V ρ ) és ρ = T ρ (ρ) = [ ρ0 l 0 ρ, ρ 1 l 1 ρ, ρ 2 l 2 ρ, ρ 3 l 3 ρ, ρ 4 l 4 ρ,...] t A. Tétel: U ρ D 1 ρ (W 1 ) és V ρ W 1 D 1 ρ (W 1 )

42 Banach-algebrák Megjegyzés: Az előző paragrafus utolsó tétele szerint V ρ algebrailag megegyezik W 1 D 1 ρ (W 1 )-el, tehát elegendő egy normát bevezetni az utóbbi halmazon, amelyet bijektíven átvihetünk az előbbire.

43 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen W1 : W 1 R + a következő függvény: { } q W1 = inf q n (1 + ε) n ε R + n=1 Tétel: (W 1, +,, W1 ) kommutatív normált algebra. Tétel: (V p, +,, W1 ) kommutatív normált algebra.

44 Hadamard tétele Banach-algebrákra? Sejtés[Hadamard tétele Banach-algebrákra?]: D ρ Toeplitz-operátor folytonos a V ρ halmazon W1 M ρ R ú.h. D ρ (q) W1 M ρ q W1 q V ρ

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Gy ur uk aprilis 11.

Gy ur uk aprilis 11. Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27 Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei

5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

1. Polinomok számelmélete

1. Polinomok számelmélete 1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet   takach november 30. 1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).

1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b). 1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

A parciális törtekre bontás?

A parciális törtekre bontás? Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.

Részletesebben

MATEK-INFO UBB verseny április 6.

MATEK-INFO UBB verseny április 6. BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén

Analízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén 1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2

Bevezetés az algebrába 2 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság

Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet! 1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +

Részletesebben

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők. 1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI

4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI 4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

y + a y + b y = r(x),

y + a y + b y = r(x), Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan

Részletesebben

1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik 1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc

Részletesebben

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk: 1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes 1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.

Fraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14. Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek

Diszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek 1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben