Banach-algebrákban. Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.
|
|
- András Orbán
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban Darvas Tamás Babeş-Bolyai Tudományegyetem Matematika-informatika szak, II. év május 10.
2 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra
3 A problémakör... Legyen A egy kommutatív normált gyűrű, és p, q A[[X]]. Legyen R p és R q, a megfelelő sorokhoz tartozó konvergenciasugár, p q pedig jelöli a p és q Cauchy-szorzatát. Tanulmányozzuk azt az esetet, amikor: R p q > min {R p, R q }
4 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra
5 Hadamard tételei Értelmezés: Legyen ρ C[[X]], azaz ρ(x) = n=0 a nx n egy komplex hatványsor. Bevezetjük a következő jelöléseket: a m a m+1 a m+2... a m+p a m+1 a m+2 a m+3... a m+p+1 D m,p = a m+p a m+p+1 a m+p+2... a m+2p l p = lim sup D m,p 1 m m l = lim sup a m 1 m m
6 Hadamard tételei Tétel: [Hadamard tételei] l p l p+1 p N Annak az elégséges és szükséges feltétele, hogy létezik olyan p-ed fokú P polinom, melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré, a következő: l p < l p+1
7 Hadamard tételei Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve a következő A m rendszereket [A 1 m, A 2 m,..., A p m] ismeretlenekkel: a m+p + A 1 ma m+p A p ma m = 0 a A m : m+p+1 + A 1 ma m+p A p ma m+1 = 0... a m+2p 1 + A 1 ma m+2p A p ma m+p 1 = 0 kapjuk, hogy lim m [A 1 m, A 2 m,..., A p m] = [A 1, A 2,..., A p ]. Képezve a P (X) = 1 + A 1 X A p X p polinomot, a P ρ hatványsor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.
8 Alkalmazás Példa: A fenti tétel alkalmazásaként nézzük a következő példát. Legyen θ C[[X]] a következő hatványsor: θ(x) = 1 2X + X 2 + X 3 2X 4 + X 5 + X 6 2X 7 + X Határozzuk meg θ összegét tudva, hogy a keresett összegfüggvény racionális törtfüggvény ( R(X) P (X) alakú, ahol R es P polinomok). Megoldás: Komplex anaĺızisből tudjuk, hogy a θ sor konvergenciasugara egyenlő lesz a P polinom gyökeinek abszolút érténeinek minimumával. Annak függvényében, hogy hány ilyen minimális abszolút értékű gyök létezik, annyiad fokú lesz az Hadamard tételeiben szereplő legkisebb fokú P polinom.
9 Alkalmazás a n = { 1, ha n 3k + 2 vagy 3k alakú 2, ha n 3k + 1 alakú A fentiek alapján: l = 1 R = lim sup n a n 1 n = 1. Egyszerű számításokkal kapjuk:l 1 = lim sup m D m,1 1 m = l 2 = 1. Tehát nem létezik első fokú P polinom úgy, hogy a P θ sor konvergenciasugara nagyobb legyen mint a θ soré. Hasonló számítások után viszont : 0 = l 2 = lim sup m D m,2 1 m < l 3 = 1. Vagyis a keresett P polinom másodfokú.
10 Alkalmazás Keressük meg ezt a polinomot! Képezzük a következő egyenletrendszert: { 1 A 1 m 2 + A 2 m 1 = A 1 m 1 + A 2 m 1 = 0 Belátható, hogy a megoldások A 1 m = A 2 m = 1 m N, vagyis a keresett polinom: P (x) = X + 1 X 2 Szorozzuk össze a P polinomot a θ sorral: P θ(x) = 1 X = R(X). Ezzel megkaptuk θ összegét: θ(x) = 1 x 1 + x + x 2
11 Alkalmazás Megjegyzés: Általánosítás tetszőleges ρ komplex hatványsorra, melynek az összege racionális törtfüggvény : 1 i = 0, meghatározzuk ρ konvergenciasugarát( 1 l = R) 2 megkeressük a Hadamard tételében szereplő P i polinomot 3 összeszorozzuk a P i polinomot a ρ sorral, vagyis ρ = ρ P i 4 ha ρ egy polinom, akkor végeztünk, ha végtelen sor, akkor alkalmazzuk a 2. lépést miközben növeljük az i indexet 5 összegzünk: a keresett racionális törtfüggvény számlálója P 0 P 1... P i ρ lesz, míg nevezője P 0 P 1... P i.
12 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra
13 Normált gyűrűk Értelmezés: Legyen (A, +, ) egy asszociatív gyűrű és N : A R egy pozitív függvény. Azt mondjuk, hogy (A, +,, N) normált gyűrű, ha teljesülnek a következő feltételek: N(0) = 0 és N(x) > 0 x A N( x) = N(x) x A N(x + y) N(x) + N(y) x, y A N(x y) N(x) N(y) x, y A
14 Normált gyűrűk N normát nem-archimédeszinek nevezzük, ha a harmadik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x + y) max {N(x); N(y)} x, y A N norma homogén a szorzásra nézve vagy abszolút érték, ha a negyedik feltétel helyett a következő, ennél erősebb áll fenn: N(x y) = N(x) N(y) x, y A
15 Példák Példa: Normált gyűrűre a legegyszerűbb példa a valós vagy a komplex számok teste felruházva a szokásos abszolút értékkel. Legyen x Q tetszőleges és p N prím. Jelentse p : Q Q a következő függvényt: 1 x p = p ordp(x) ord p (x) Z-t úgy kapjuk, hogy x-et a következő alakba írjuk: x = p ordp(x) u v, ahol sem u sem v nem osztható p-vel, és legyen definíció szerint 0 p = 0 (pl = 1 2 ). Észrevehető, hogy Q p = (Q, +,, p ) egy normált test, melyben p norma nem- Archimédeszi. A fentihez hasonlóan megszerkeszthető Z p = (Z, +,, p ) kommutatív normált gyűrű is. Fontos megjegyzés, hogy p homogén a szorzásra nézve: x y p = x p y p x, y Q.
16 Normált Gyűrűk Tétel: Ha (A, +,, N)-ben N abszolút értek, akkor (A, +, ) integritástartomány. Bizonyítás: Feltételezzük, hogy nem igaz a tétel álĺıtása. Legyenek x, y A zérusosztók ú.h. x, y 0 és x y = 0. Ekkor N(x)N(y) = = N(x y) = N(0) = 0, tehát N(x) = 0 vagy N(y) = 0, ami ellentmondás.
17 Normált Gyűrűk Megjegyzés: Mivel A zerusosztómentes { következik, } hogy a megszerkeszthető f rac(a) = b a A, b A hányadostest és A frac(a). Legyen M : frac(a) R a következő függvény: ( a ) M b = N(a) N(b) Észrevehető, hogy M jólértelmezett függvény, amely abszolút érték f rac(a) fölött. Természetesen A topológiai teljessége nem elegendő a f rac(a) test teljességéhez a származtatott normával. Jelölje tehát a továbbiakban F rac(a) a f rac(a) test topológiailag teljes burkolóját, amely szintén test.
18 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra
19 Hadamard tételei normált gyűrűkre Célkitűzés: Az előbbiekben ismertetett Hadamard eredmény kiterjesztése tetszőleges normált gyűrűre, melyben a norma abszolút érték. Jelölje ρ A[[X]] a továbbiakban a következő hatványsort: ρ(x) = c 0 + c 1 X + c 2 X c n X n +... Legyen 0 < l ρ < + a ρ hatványsor Cauchy-féle állandója, azaz l ρ = lim sup k c k 1 k. Ugyanakkor legyen r ρ = 1 l ρ a ρ konvergenciasugara.
20 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Legyen A ρ [X] és F rac(a) ρ [X] a következő két halmaz: { } A ρ [X] = θ A[X] l θ ρ < l ρ { } F rac(a) ρ [X] = θ F rac(a)[x] l θ ρ < l ρ A ρ [X] (F rac(a) ρ [X]) azon A[X]-beli (F rac(a)[x]-beli) polinomokat tartalmazza, melyeket összeszorozva ρ-val a kapott sor konvergenciaköre nagyobb mint a ρ soré.(pl. ha ρ(x) = 1 + X + X , akkor 1 X A ρ [X]). Belátható, hogy A ρ [X] F rac(a) ρ [X]. Tétel: A ρ [X] ideálja A[X]-nek (A ρ [X] A[X]). F rac(a) ρ [X] ideálja F rac(a)[x]-nek (F rac(a) ρ [X] F rac(a)[x]).
21 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Azt mondjuk, hogy P A[X] a ρ hatványsor egy minimálpolinomja, ha teljesíti az alábbi két feltételt: P 0 és l P ρ < l ρ Q A[X] ú.h. deg(q) < deg(p ) és l Q ρ < l ρ. Tétel: Legyenek P, Q A ρ [X] minimálpolinomok, ekkor a, b A ú.h. ap bq = 0.
22 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Jelölje P ρ azt a F rac(a) ρ [X]-beli minimális fokú polinomot, melynek szabad tagja 1. A következő tétel megmutatja, hogy ez a polinom egyértelmű. Tétel: Q A ρ [X] F F rac(a)[x] ú.h.q(x) = F (X)P ρ (X) A[X] Bizonyítás: Mivel F rac(a)[x] főideálgyűrű következik, hogy E F rac(a)[x] ú.h. F rac(a) ρ [X] = (E). Legyen P ρ = E e 0. Mivel A ρ [X] F rac(a) ρ [X] következik a tétel álĺıtása.
23 Hadamard tételei normált gyűrűkre Megjegyzés: A fenti álĺıtás következménye, hogy a A ρ [X] elemei egyértelműen meghatározottak P ρ által. A következőkben módszert adunk P ρ meghatározására (ha létezik ilyen polinom).
24 Hadamard tételei normált gyűrűkre Értelmezés: Hozzárendeljük a ρ A[[X]] sorhoz a következő állandókat: c m c m+1 c m+2... c m+p c m+1 c m+2 c m+3... c m+p+1 D m,p = c m+p c m+p+1 c m+p+2... c m+2p l p = lim sup m l = lim sup m D m,p 1 m c m 1 m
25 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Legyen (A n ) n k a következő determináns-sorozat : c n+i n 1,1 c n+i n 1,2 c n+i n 1,2... c n+i n 1,p c n+i n 2,1 c n+i n 2,2 c n+i n 1,2... c n+i n 2,p A n = c n+i n p,1 c n+i n p,2 c n+i n p,2... c n+i n p,p ahol i n i,j N es in i,j k i, j {1, 2,..., p} (k tetszőleges pozitív szám). Azt álĺıtjuk, hogy: lim sup n A n 1 n l p Következmény: l p l p+1 p N
26 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: Tételezzük fel, hogy létezik olyan P (X) = C 0 + C 1 X C p X p F rac(a)[x] polinom (C 0 0), melyre a P ρ hatványsor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Ekkor álĺıthatjuk, hogy: l p < l p+1 Tétel: Ha l p < l p+1 és l p 1 = l p, akkor létezik olyan P (Z) = 1 + C 1 Z C p Z p F rac(a)[x] polinom, melyre a P ρ sor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ soré. Megjegyzés: Könnyen igazolható, hogy: l p < l p+1 Q F rac(a) ρ [X] ú.h. deg Q = p Ez közvetlen következménye annak, hogy P ρ oszt minden F rac(a) ρ [X]-beli polinomot.
27 Hadamard tételei normált gyűrűkre Tétel: [Hadamard tételei normált gyűrűkre ] l p l p+1 p N Ha l p 1 = l p és l p < l p+1, akkor képezve az alábbi A m egyenletrendszer-sorozatot [C 1 m, C 2 m,..., C p m] ismeretlenekkel: c m+p + C mc 1 m+p Cmc p m = 0 c A m : m+p+1 + Cmc 1 m+p Cmc p m+1 = 0... c m+2p 1 + Cmc 1 m+2p Cmc p m+p 1 = 0 lim m [C 1 m, C 2 m,..., C p m] = [C 1, C 2,..., C p ] F rac(a) p. Ha [C 1, C 2,..., C p ] frac(a) p Z A[X] ú.h. deg Z = p és Z a ρ sor minimálpolinomja
28 Példák Megjegyzés: Az l p 1 = l p és l p < l p+1 feltételek szükségesek, de ellentétben a komplex esettel, nem elégségesek a minimálpolinom létezéséhez, mint ahogy ezt az alábbi példa is igazolja. Példa: Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, az abszolút értékkel ellátva, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet határozza meg: z n = [e n ] Könnyen észrevehető, hogy l = e. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be az alábbi egyenlőtlenségeket: 1 < [e n+1 ] e[e n ] < e Következik, hogy [e n+1 ] e[e n ] < e n N.
29 Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értéket: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = [e m [ ] e m+1 ] [ e [e m ] e m+1 ] [ e m+2] e [ e m+1] 2 [ e m+2] max { [ e m+2] e [ e m+1], [ e m+1] e [e m ] } Írhatjuk, hogy: l 1 = lim sup m 2e Következik, hogy deg(p ρ ) = 1. [e m+2] D m,1 1 m lim sup (2e [e m+2] ) 1 m = e < e 2 = l 2 m
30 Példák Keressük meg P ρ polinomot: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 A megoldás Cm 1 = z m+1 z m = [em+1 ] [e m ]. Könnyen észrevehető, hogy lim m Cm 1 = e, tehát: P ρ (X) = 1 ex Nyilvánvaló, hogy P ρ F rac(a)[x]\frac(a)[x] = R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy A ρ [X] a null-polinomon kívül nem tartalmaz semmit.
31 Példák Példa: Ez a példa megmutatja, hogy Q A ρ [X] minimálpolinom esetén nem mindig lesz deg(p ρ ) = deg(q). Legyen a gyűrű, amely fölött dolgozunk Z, ellátva az abszolút értékkel, és legyen ρ Z[[X]] az a hatványsor, melynek együtthatóit az alábbi képlet szerint határozzuk meg: [ n ] z n = 2 Észrevehető, hogy l = 2. Megkeressük a P ρ polinomot, de előbb lássuk be, hogy [ 2 n+1 ] 2[ 2 n ] < 2 n N.
32 Példák Vizsgáljuk meg D m,1 értékét: D m,1 = z m z m+1 z m+1 z m+2 = = [ 2 ] [ m ] m+1 2 [ 2 ] m 2 [ 2 ] [ m+1 ] m+2 2 [ 2 ] m [ m+2 ] 2 2 Tehát írhatjuk: l 1 = lim sup m vagyis deg(p ρ ) = 1. D m,1 1 m lim sup (2 2 [e m+2] ) 1 2 m = 2 < 2 = l 2 m
33 Példák Keressük meg P ρ -t: A m : { z m+1 + C 1 mz m = 0 h 2 m+1 i A megoldás Cm 1 = [ 2 m ] lim m Cm 1 = 2, tehát:. Könnyen észrevehető, hogy P ρ (X) = 1 2X Feltételezzük, hogy létezik Q A ρ [X] minimálpolinom. Láttuk, hogy P ρ R[X]\Q[X]. Mivel P ρ oszt minden A ρ [X]-beli polinomot következik, hogy deg(q) > deg(p ρ ). Legyen Q alakja a következő: Q(X) = 1 2X 2 = (1 2X)(1 + 2X) tehát Q lehet a ρ egy minimálpolinomja, és deg(q) = 2.
34 Hatványsorok normált gyűrűkben és Banach-algebrákban 1 A problémakör... 2 Hadamard tételei 3 Normált gyűrűk 4 Hadamard tételei normált gyűrűkre 5 Hadamard tételei Banach-algebrákra
35 Banach-algebrák Jelentésen a továbbiakban (A, +,, ) egy kommutatív normált K fölötti Banach-algebrát (K = C vagy K = R). Azt mondjuk, hogy a egy A-beli hatványsor, ha a : K A: a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n +... x K Legyen p és q két A-beli hatványsor, melyeknek együtthatói (p m ) m N és (q m ) m N. Így azonosítható p és q a következő A -beli oszlopvektorokkal: p [p 0, p 1, p 2, p 3,...] t q [q 0, q 1, q 2, q 3,...] t
36 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen D : A M (A) a következő függvény: p p 1 p D(p) = p 2 p 1 p p 3 p 2 p 1 p Könnyen igazolható, hogy D algebramorfizmus A és M (A) között. A fent bemutatott D operátor segítségével értelmezünk egy műveletet az A halmazon: p q = D(p) q = D(q) p Könnyen ellenőrizhető, hogy (A, +,, K) kommutatív algebra voltából (A, +,, K) is kommutatív algebra.
37 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen l : A R a következő valós funkcionál : l(q) = lim sup q m 1 m m Megjegyzés: A továbbiakban a D(p) és l(p) jelölések helyett, D p és l p lesz használatos.
38 Banach-algebrák Tétel: p, q A esetén: l p+q max {l p, l q } Tétel: p, q A esetén: l p q max {l p, l q }
39 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen p A úgy, hogy + > l p > 0. Bevezetjük a következő három halmazt: U p = {q A l p q < l p } V p = {q A l q < l p, l p q < l p } W 1 = {q A l q < 1} Tehát U p azon q hatványsorok halmaza, melyekre a p q sor konvergenciaköre nagyobb mint a p soré (l p q < l p ). Hasonlóan, V p azon q hatványsorokat tartalmazza, melyeknek megvan az előbb elmondott tulajdonságuk és konvergenciasugaruk nagyobb mint a p soré (l q < l p ), végül W 1 pedig azokat, amelyeknek konvergenciasugaruk szig. nagyobb mint 1.
40 Banach-algebrák Tétel: U p résztere A -nek. Tétel: V p résztere U p -nek. V p és W 1 részalgebrái A -nek.
41 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen ρ A ú.h. + > l ρ > 0. Jelentse T ρ : A A a következő függvényt: T ρ (q) = [ q 0, q 1 l ρ, q 2 l 2 ρ, q 3 l 3 ρ, q ] t 4 lρ 4,... Egyértelmű, hogy T ρ algebraautomorfizmus, tehát U ρ T ρ (U ρ ), illetve V ρ T ρ (V ρ ). Legyen U ρ = T ρ (U ρ ), V ρ = T ρ (V ρ ) és ρ = T ρ (ρ) = [ ρ0 l 0 ρ, ρ 1 l 1 ρ, ρ 2 l 2 ρ, ρ 3 l 3 ρ, ρ 4 l 4 ρ,...] t A. Tétel: U ρ D 1 ρ (W 1 ) és V ρ W 1 D 1 ρ (W 1 )
42 Banach-algebrák Megjegyzés: Az előző paragrafus utolsó tétele szerint V ρ algebrailag megegyezik W 1 D 1 ρ (W 1 )-el, tehát elegendő egy normát bevezetni az utóbbi halmazon, amelyet bijektíven átvihetünk az előbbire.
43 Banach-algebrák Értelmezés: Legyen W1 : W 1 R + a következő függvény: { } q W1 = inf q n (1 + ε) n ε R + n=1 Tétel: (W 1, +,, W1 ) kommutatív normált algebra. Tétel: (V p, +,, W1 ) kommutatív normált algebra.
44 Hadamard tétele Banach-algebrákra? Sejtés[Hadamard tétele Banach-algebrákra?]: D ρ Toeplitz-operátor folytonos a V ρ halmazon W1 M ρ R ú.h. D ρ (q) W1 M ρ q W1 q V ρ
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenGy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenAlgoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
Részletesebben5. Az Algebrai Számelmélet Elemei
5. Az Algebrai Számelmélet Elemei 5.0. Bevezetés. Az algebrai számelmélet legegyszerűbb kérdései az ún. algebrai számtestek egészei gyűrűjének aritmetikai tulajdonságainak vizsgálata. Ezek legegyszerűbb
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.
TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebben1. Polinomfüggvények. Állítás Ha f, g C[x] és b C, akkor ( f + g) (b) = f (b) + g (b) és ( f g) (b) = f (b)g (b).
1. Polinomfüggvények Behelyettesés polinomba. Definíció Legyen b komplex szám. Az f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n polinom b helyen felvett helyettesítési értéke f (b) = a 0 + a 1 b + a 2 b
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
RészletesebbenPolinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenA parciális törtekre bontás?
Miért működik A parciális törtekre bontás? Borbély Gábor 212 június 7 Tartalomjegyzék 1 Lineáris algebra formalizmus 2 2 A feladat kitűzése 3 3 A LER felépítése 5 4 A bizonyítás 6 1 Lineáris algebra formalizmus
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
Részletesebben1. A Horner-elrendezés
1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAnalízis. 1. fejezet Normált-, Banach- és Hilbert-terek. 1. Definíció. (K n,, ) vektortér, ha X, Y, Z K n és a, b K esetén
1. fejezet Analízis 1.1. Normált-, Banach- és Hilbert-terek. Zártés teljes ortonormált rendszer. Fourier-sor. Riesz-Fischer tétel Hilbert-térben. Szeparábilis Hilbert terek izomorfiája. 1.1.1. Normált-,
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenAlgebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c. tárgyhoz. 1. Integritástartományok, oszthatóság
Algebrai alapismeretek az Algebrai síkgörbék c tárgyhoz 1 Integritástartományok, oszthatóság 11 Definíció A nullaosztómentes, egységelemes kommutatív gyűrűket integritástartománynak nevezzük 11 példa Integritástartományra
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebben1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Részletesebben1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.
1. Interpoláció Az interpoláció alapproblémája. Feladat Olyan polinomot keresünk, amely előre megadott helyeken előre megadott értékeket vesz fel. A helyek: páronként különböző a 1, a,...,a n számok. Az
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
Részletesebben4. Fuzzy relációk. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
4. Fuzzy relációk Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Klasszikus relációk Halmazok Descartes-szorzata Relációk 2 Fuzzy relációk Fuzzy relációk véges alaphalmazok
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenZárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.
Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenItt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:
1. Halmazok, relációk, függvények 1.A. Halmazok A halmaz bizonyos jól meghatározott dolgok (tárgyak, fogalmak), a halmaz elemeinek az összessége. Azt, hogy az a elem hozzátartozik az A halmazhoz így jelöljük:
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenDISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
Részletesebben2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
RészletesebbenKongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Részletesebben1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenHalmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
RészletesebbenFraktálok. Hausdorff távolság. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék március 14.
Fraktálok Hausdorff távolság Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. március 14. TARTALOMJEGYZÉK 1 of 36 Halmazok távolsága ELSŐ MEGKÖZELÍTÉS Legyen (S, ρ) egy metrikus tér, A, B S, valamint
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben1. Komplex szám rendje
1. Komplex szám rendje A rend fogalma A 1-nek két darab egész kitevőjű hatványa van: 1 és 1. Az i-nek 4 van: i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1. Innentől kezdve ismétlődik: i 5 = i, i 6 = i 2 = 1, stb. Négyesével
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenA lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.
2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,
Részletesebben