Néhány földsttiki képletről Bevezetés Tljmechniki tnulmányink során tlálkozhttunk először szóbn forgó képlet - szörnyeteg - gel melynek levezetésével vlhogyn dósk mrdtk tnkönyvek A Coulomb - féle földnyomás - elmélet képleteiről vn szó melynek egyik szem - csés tljok ktív földnyomásár vontkozó példány z lábbi lkot kpt ábr; forrás: [ ] γ E z hol ( β Φ) δ + Φ Φ ε ( β + δ ) + ( β ε) ábr Dolgoztunk tárgy tehát ( ) lpképletnek és környékének tnulmányozás melynek során elmondjuk mindzt mi ennek kpcsán z eszünkbe jut Ez pedig sok mindent jelent nnk megfelelően hogy évtizedek teltek el z első kérdések felvető - dése ót ifejtés ( ) Az első furcs mozznt mi feltűnt ( ) képlettel kpcsoltbn hogy [ ] - ben így írnk ról: Az nlitikus eljárás sík támflhátlp és sík térszín esetén következő eredményre vezet Ezután közlik ( ) - t ugynebben formábn esetleg egy kis sjtóhibávl [ ] - ben Az nlitikus eljárás mibenlétéről zonbn egy szó sem esik Persze előtte már szó volt Coulomb eredeti feldtáról és nnk mi eszközökkel vló megoldásáról Most nézzük meg ezt feldtot előkészítés gynánt Ehhez tekintsük ábrát is [ ]! Ezen zt szemléltetik hogy függőleges támflr htó ktív földnyomás E erővektor hogyn htározhtó meg Coulomb szerint: három erő egyensúly lpján A három erővektor: ~ E : merőleges flr mert itt nem tételeztek fel súrlódást fl és föld között; ~ G: z α hjlású szkdólpon lecsúszni kró földék súly; ~ Q: csúszólpon fellépő rekcióerő melyre fennáll hogy Q N + T hol N csúszólpr merőleges T pedig csúszólp menti összetevője Q - nk
ábr Coulomb sját súrlódási elmélete szerint fennáll hogy z egyensúly htárán: T N tg Φ ( ) A három mondott erő egyensúlyát kifejező folytonos nyílértelemmel záródó vektor háromszögből: E G tg ( α Φ ) ; ( ) most felírjuk földprizm súlyánk ngyságát: G γ Vék γ TABC γ G h ctg α T ctg ctg ABC h h α h α ( 3 ) mjd ( ) és ( 3 ) szerint: γ γ h tg ( α Φ) E h ctgα tg ( α Φ ) tgα γ h tg( α Φ) E ( α) tgα ( 4 ) feltételezve hogy föld belső súrlódási szöge állndó z ktív földnyomás ngyságánk ( 4 ) szerinti kifejezése egy egyváltozós függvény Egy péld dti: γ 6 kn / m 3 Φ 45 h 5 m ( A ) Ezekkel ( 4 ) függvény:
3 ( α ) tg 45 E ( α) 00 kn tgα ( 4 / ) Ennek grfikonj 3 ábrán láthtó 45 y f(x)00*tn(x-45)/tn(x) r(t)675/cos(t) f(x)34346 40 35 30 5 0 5 0 y mx 34346 ( k N ) 5 x -5 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95-5 x mx 675-0 3 ábr A szélsőérték mximum helye és ngyság z ábráról leolvshtó Most végezzük el szélsőérték - számítást! A szélsőérték szükséges feltétele: de α 0 dα ( 5 ) Ezután ( 4 ) és ( 5 ) szerint: de ( α) d γ h tg ( α Φ) γ h d tg ( α Φ) 0 ; dα dα tgα dα tgα ( 6 ) innen tört differenciálási szbály szerint: tgα tg ( α Φ) d tg ( α Φ) cos ( α Φ) cos α 0 dα tgα tg α
4 Ez teljesül h számláló zérus hiszen nevező nem lehet végtelen Ekkor: tgα tg ( α Φ) 0 cos α Φ cos α ( α Φ) cos( α Φ) cos α tgα cos α Φ tg α Φ α α α Φ cos α cos cos α cos α α Φ cos α Φ ; most egy ismert trigonometrii zonossággl: α ( α Φ ) ; nem megengedett Φ 0 esetet kizárv megint egy ismert zonossággl: α 80 α α Φ innen: α ( α Φ) ; α 80 α α Φ 80 α α Φ 4 α 80 + Φ Φ α 45 + tehát szélsőérték / mximum helye: Φ α mx 45 + A mximum értéke ( 4 ) és ( 7 ) - tel: Φ Φ tg 45 + Φ tg 45 γ h γ h E ( α) ; Φ Φ tg 45 + tg 45 + ( 7 ) ( 8 ) zonos átlkításokkl:
5 Φ Φ Φ ctg 45 + tg 90 45 + tg 45 Φ tg 45 + ( 9 ) így ( 8 ) és ( 9 ) szerint: γ h Φ E ( α) tg 45 ( 0 ) ( 7 ) és ( 0 ) - be behelyettesítve z előző péld dtit: Φ 45 α mx 45 + 45 + 675 ; 45 E mx 00 tg 45 ( kn) 00 tg 5 ( kn) 343457505( kn ) ( E ) egyezésben 3 ábr eredményeivel A fenti számításokt zért végeztük el hogy megmutssuk: szélsőérték - keresés hogyn végezhető el elméletileg és gykorltilg Coulomb - féle lpfeldt esetében Nyilván rr ment ki z egész hogy megmutssuk: h szélsőérték - számítássl nem boldogulunk nlitiki úton ttól még eredményesek lehetünk numerikus úton pl Grph szoftver szélsőérték - kereső szolgálttásit felhsználv A 3 ábr kpcsán pedig utomtikusn válszt kptunk rr kérdésre is hogy szélsőérték milyen jellegű: ez lokális mximum Ott trtunk hogy elvileg tudjuk hogyn kellene eljárnunk z előző lpfeldtnál bonyolultbb esetben is mely ( ) képletre vezethetne Most lássuk ezt [ 3 ] munk lpján Megtrtjuk [ 3 ] - beli jelöléseket könnyebbség kedvéért Most tekintsük 4 ábrát [ 3 ]! Itt zt látjuk hogy β hjlású csúszólp fölötti földék sú - ly W melyet csúszólpon ébredő F erő vlmint ferde síkú támfl - hátlpon éb - redő P A vektorú ktív földnyomás - erő egyensúlyoz Az egyensúlyt kifejező vektor - háromszöget itt is megrjzolták A cél: P A f ( β ) függvény felírás mjd nnk szélsőérték - vizsgált Miután tisztáztuk mgunkbn z ábr geometrii ( szög - ) összefüggéseit vektorháromszögből szinusztétellel kpjuk hogy P A ( β φ' ) W 90 + θ + δ + φ' β innen:
6 4 ábr PA ( β φ' ) W 90 ( ) ( + θ + δ + φ' β) Most írjuk fel W W( β ) kpcsoltot! Mint korábbn is: W m g ρ V g γ V γ T ABC W γ T ABC ( ) A 4 ábr szerint: TABC AB m AB H H cos( β θ) AB TABC cos ( α θ) cos θ cos θ cos 90 ( β α) H cos ( β θ) mab cos ( α θ) cos θ cos 90 ( β α) ( 3 )
7 Most ( ) és ( 3 ) - ml: γ H cos α θ cos W ( β ) cos θ ( β θ) ( β α) ( 4 ) Mjd ( ) és ( 4 ) - gyel: γ H cos( α θ) cos( β θ) ( β φ' ) PA ( β ) cos θ β α 90 + θ + δ + φ' β ; kis átlkítássl: γ H cos( α θ) cos( β θ) ( β φ' ) PA ( β ) cos θ ( β α) 90 ( β θ δ φ' ) P A θ cos β ( θ + δ + φ' ) ( β α) γ H cos α θ cos β θ β φ' β cos Ez z függvény melynek szélsőértékét keressük dp A ( β ) 0 dβ ( 5 ) ( 6 ) feltételi egyenlet szerint Grfikusn ezt z 5 ábr szemlélteti z lábbi dtokkl: 3 γ 6 kn/m ; H 5 m ; ( A ) φ ' 45 δ 30 ; α 0 ; θ 0 Az meglepő fejlemény dódott hogy [ 3 ] - bn sem végezték el szélsőérték - számítást részletesen Ehelyett közöltek egy szélsőérték ngyságár vontkozó végképletet: P A γ H hol cos ( φ' θ) ( δ + φ' ) ( φ' α) cos θ cos( δ + θ) + cos( δ + θ) cos( θ α) ( 7 )
8 65 y f(x)0308534*cos(x-0)*(x-45)/(cos(x-85)*(x-0)) r(t)6470068074/cos(t) f(x)599655 60 55 50 45 40 35 30 5 y mx 599655 ( kn ) 0 5 0 5 x -5-0 -5 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05 0 5 0 5-5 x mx 6470068074º 5 ábr Most kiszámoljuk P Amx értékét z ( A ) dtokt ( 7 ) képletbe helyettesítve: P A 3 6 kn/m 5 m ( ) cos ( 45 0 ) ( 30 + 45 ) ( 45 0 ) cos 0 cos( 30 + 0 ) + cos ( 30 + 0 ) cos ( 0 0 ) m 5996550883 kn egyezésben z 5 ábráb írt eredménnyel Ezek szerint [ 3 ] - ból vett képlet működik ( nem hibás ) Szóvl most ngyjából ugynott trtunk miről ( ) képlet kpcsán beszéltünk: vn egy képletünk működik is de nem tudjuk hogyn állt elő Persze lehet mondni hogy essünk neki ztán ( 5 ) és ( 6 ) képlet lpján eredményre jutunk Sjnos z rossz hír hogy ezt többször is megkíséreltük de nem sikerült: egy bonyolult trigo - nometrikus függvényeket trtlmzó egyenlet megoldás szolgálttná β mx értékét melyet ( 5 ) - be visszhelyettesítve kpnánk mximális ktív földnyomás ngysá - gát Minthogy ( 6 ) - ból dódó bonyolult egyenletet vlószínűleg csk numeriku - sn tudnánk megoldni így semmivel sem jutottunk előrébb mint hová már z 5 ábr kpcsán is eljutottunk: egy dott számszerű eset teljes numerikus megoldásáig Persze felvethető hogy miért erőltetjük z nlitikus megoldást; válsz egyszerű: tudni szeretnénk hogy mások hogyn állították elő ( ) illetve ( 7 ) képleteket
9 A második furcsság e történetnek hogy úgy tűnik igzából senki sem küzdött zzl hogy z előbb elmondottk szerint Coulomb - féle lpfeldt hsonltosságár oldj meg z áltlánosbb esetre ld: 4 ábr! szóbn forgó feldtot De kkor hogyn állították elő ( ) és/vgy ( 7 ) képleteket? A válsz kissé meglepő le - het: geometrii megoldás nyomán zt megformulázv Ez lehet egy értelmes m - gyrázt nnk is hogy gynútln Olvsó miért kereste hiáb! hiányzó nli - tikus levezetést Azért mert tlán nem is volt: ~ mifelénk gykoribb könyvekben megelégedtek végképlet levezetés nélküli köz - lésével mjd szerkesztéses megoldási módok ismertetésével; ~ zok könyvek melyekben szerkesztés lpján összerkták hiányolt képlete - ket mifelénk nem sűrűn fordultk elő főként több évtizeddel ezelőtt Most tehát végig kell vennünk félig - meddig szerkesztéses megoldást hogy ztán ennek lpján előálljon keresett végképlet Ezt [ 4 ] munk lpján végezzük Itt olvshtó hogy egyebek mellett Coulomb Rebhnn Poncelet Müller - Breslu munkái lpján dolgoztk Itt is megtrtjuk z eredeti jelöléseket hogy ne keveredjünk el z átírások között Most tekintsük 6 ábrát! A földék egyensúlyát kifejező vektorháromszögből szinusztétellel: E ( λ ϕ) ( λ ϕ) G 80 ( λ ϕ + ψ) ( λ ϕ + ψ) 6 ábr [ 4 ] innen: E G ( λ ϕ) ( λ ϕ + ψ) ( 8 )
0 A szélsőérték szükséges feltételét felírv: de( λ ) 0 dλ ( 9 ) Most ( 8 ) és ( 9 ) szerint eljárv: de( λ) dg( λ) ( λ ϕ) cos( λ ϕ) ( λ ϕ + ψ) ( λ ϕ) cos( λ ϕ + ψ) + G 0 ; dλ dλ λ ϕ + ψ λ ϕ + ψ ( 0 ) Figyelembe véve hogy cos( λ ϕ) ( λ ϕ + ψ) ( λ ϕ) cos ( λ ϕ + ψ ) ( λ ϕ + ψ) ( λ ϕ ) ψ ( ) ( 0 ) és ( ) szerint kpjuk hogy dg( λ) G ψ ( λ ϕ) ( λ ϕ + ψ) ( ) dλ A további számításokhoz tekintsük 7 ábrát is! 7 ábr [ 4 ] Ennek segítségével bemuttjuk Rebhnn tételét A 7 ábr szerint z ACFF C test - drb súly: p h k γ + p k h k γ + h k γ ' F γ ' ( 3 / ) h
hol: F h k p γ ' γ + h ( 3 / ) H k infinitezimálisn kicy kkor k l dλ ( 4 ) ezzel differenciális ACFF C prizm súly: dg γ ' l l dλ γ ' l dλ ( 5 ) ezzel: dg γ ' l dλ Minthogy λ növekedésével prizm súly csökken így dg dg 0 0 dλ < dλ > így ( 6 ) és ( 7 ) - tel: dg γ ' l dλ ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) Most ( ) és ( 8 ) - cl: G ψ γ ' l ( λ ϕ) ( λ ϕ + ψ ) ( 9 ) A 7 ábrán z A ponton át húzott AS segédegyenes mit [ ] szerint irányító egyenesnek is hívnk z AD rézsűvonlll ψ szöget zár be hol ψ z E vektornk függőlegessel bezárt szöge A C ponton át z irányító egyenessel húzott párhuzmos egyenes rézsű vonlát D pontbn metszi Most z ACD háromszögből szinusz - tétellel: AD n 80 ( λ ϕ + ψ) AC l ψ innen:
n 80 ( λ ϕ + ψ ) ψ l ( 30 ) Mjd z ACJ háromszögből: f ( λ ϕ ) ( 3 ) l Ezután ( 9 ) ( 30 ) ( 3 ) - gyel: f n G ψ ' l γ l l ψ innen: G γ ' f n ( 3 ) A ( 3 ) egyenlet szerint z ABC földprizm G súly megegyezik z ACD prizm súlyávl Rebhnn tétele (87) Most térjünk át minket különösen érdeklő sík hátfl és térszín esetére ld: 8 ábr! m m Ebben speciális esetben 8 ábr jelöléseivel: 8 ábr [ 4 ]
3 G γ ' TABC γ ' h d ( 33 ) Most ( 3 ) és ( 33 ) - ml: γ ' h d γ ' f n h d f n ( 34 ) Eszerint z AC sík csúszólp helyzete független γ - től így p - től is A 8 ábrán z N pont térszín - sík vonlánk és rézsű vonlánk metszéspontj Az irányító egyenessel párhuzmost húztunk térszín B és C pontjából mi rézsű vonlából kimetszette D és J pontokt A Rebhnn - tétel szerint: T T ; ( * ) ABC ACD mivel DO AC ezért TACD AC m TACO ( ** ) így ( * ) és ( ** ) szerint: T T ( 35 ) ABC De mivel TABC ACO h BC (! ) és TACO h CO (!! ) ezért ( 35 ) (! ) és (!! ) szerint: BC CO d ( 36 ) Most bevezetjük z lábbi jelöléseket: AJ AN b AD n x CN c ( j ) Mjd 8 ábr lpján felírjuk z lábbi ránypárokt:
4 b c x d b x c x d ( 37 ) ( 37 ) - ből: b b x x x b x x b x b x b b x x x b innen: x b ( 38 ) Azt kptuk hogy z n x szksz hossz z és b szkszok hosszánk mértni közepe Most térjünk vissz z irányító egyeneshez 9 ábr! Ennek ω szögére: ω ( ϑ + ϕ) ψ ( ϑ ψ ) + ϕ δ ' + ϕ 9 ábr [ 4 ] ω δ ' + ϕ ( 39 )
5 hol felhsználtuk szintén 8 ábráról leolvshtó δ ' ϑ ψ ( 40 ) összefüggést is Most rátérünk E legngyobb értékének meghtározásár Most ( 3 ) és ( j / 3 ) - ml: G γ ' f n γ ' f x G γ ' f x ; ( 4 ) mjd ( 8 ) és ( 4 ) - gyel: ( λ ϕ) E γ ' f x λ ϕ + ψ Ezután 7 és 9 ábrák jelöléseivel szinusztétellel: e ( λ ϕ) x λ ϕ + ψ ( 4 ) ( 43 / ) innen: e x ( λ ϕ) ( λ ϕ + ψ) ; ( 43 ) most ( 4 ) és ( 43 ) - ml: E γ ' f e ( 44 ) A ( 44 ) összefüggés szerint z ktív fölnyomás legngyobb értéke 9 ábr CD háromszögének területével rányos Folyttv számítást felírjuk z lábbi ránypárt 9 ábr lpján: e b x ; ( 45 ) e' b most ( 38 ) és ( 45 ) - tel:
6 e b b b b e' b b + + b b b e e ' + b ( 46 ) A továbbhldást megkönnyíti szögek áttekintése 0 ábr Most felírunk néhány rányt BAJ és BAN háromszögekben szinusztételt lklmzv ügyelve ( j ) szerinti jelölésekre: 0 ábr
7 e' s 80 ϑ + ϕ ψ ( ϑ + ϕ) ψ ; ( 47 ) s ω ψ ; ( 48 ) b s ( ϑ + α) ( ϕ α) ( 49 ) Most szinusz szögfüggvénnyel: f e ψ ( 50 ) Most képezzük z / b hánydost! ( 48 ) és ( 49 ) - cel is: ω s ψ ω ( ϕ α) b b ( ϑ + α) ψ ( ϑ + α) s ϕ α b ω ψ ( ϕ α) ( ϑ + α) ( 5 ) Mjd ( 46 ) ( 47 ) ( 5 ) - gyel: ( ϑ + ϕ) e s ψ ω ϕ α + ψ ( ϑ + α) ( 5 ) Ezután ( 44 ) és ( 50 ) - nel: E γ ' e ψ ( 53 ) Most ( 5 ) és ( 53 ) - ml:
8 E ( ϑ + ϕ) γ ' s ψ ψ ω ( ϕ α) + ψ ( ϑ + α) ( ϑ + ϕ) γ ψ ω ( ϕ α) + ψ ( ϑ + α ) ' s ( ϑ + ϕ) E γ ψ ω ( ϕ α) + ψ ( ϑ + α ) ' s Szokás ( 54 ) - et még így is írni: E γ ' s ( ϑ + ϕ) ψ ω ( ϕ α) + ψ ( ϑ + α ) ( 54 ) ( 55 ) Itt : z ktív földnyomás szorzój Az E vektor vízszintes E w és függőleges E l összetevőjének ngyság 9 ábr : Ew E ψ ( 56 ) El E cos ψ Látjuk hogy e számítás során nem kellett külön meghtározni mximális ktív földnyomáshoz trtozó csúszólp λ mx hjlását Most ezt végezzük el Egyfelől ( 38 ) és ( 46 ) - tl: e e' e' e' x b b + b + + b
9 e e' x b + ; ( 57 ) most ( 47 ) és ( 48 ) - cl is: e' ( ϑ + ϕ) e' s ψ ϑ + ϕ ω ω s ψ e' ( ϑ + ϕ) ω ( 58 ) Mjd ( 5 ) ( 57 ) és ( 58 ) - cl: e ( ϑ + ϕ) x ω ψ ϑ + α + ω ϕ α Másfelől ( 43 / ) - gyel: e ( λ ϕ) x λ ϕ + ψ ( 59 ) ( 43 / ) így ( 43 / ) és ( 59 ) - ből: ( λ ϕ) ( ϑ + ϕ) ( λ ϕ + ψ) ω ψ ϑ + α + ω ϕ α ( 60 ) A ( 60 ) egyenlet bl oldl trtlmzz keresett λ változót melynek keresett λ mx értékét éppen ( 60 ) egyenletből htározhtjuk meg Ugynis ( 60 ) jobb oldl csk ismert vgy nnk tekintett állndókt trtlmz így ( ϑ + ϕ) k ω ψ ( ϑ + α ( 6 ) ) + ω ϕ α
0 jelöléssel ( 60 ) egyenlet így lkul: ( λ ϕ + ψ ) λ ϕ k ( 6 ) Ismert zonosság lklmzásávl ( 6 ) - ből kpjuk hogy: ( λ ϕ) cos ψ + cos( λ ϕ) ψ ; λ ϕ k ( λ ϕ) ψ cos ψ + ; tg k rendezve: ψ k cos ψ cos ψ tg λ ϕ k k tg k cos ψ k ψ ( λ ϕ) ψ tg ( λ ϕ k ) k cos ψ Tovább lkítv: k ψ λ ϕ rctg k cos ψ innen: k ψ rctg k cos ψ λ mx ϕ + ( 63 ) Végül ( 40 ) - ből dódó ψ ϑ δ ' ( 40 / ) kpcsolttl és ( 63 ) - ml is: ( ϑ δ' ) k λ mx ϕ + rctg k cos ϑ δ' ( 64 )
Átírjuk k képletét is; ( 39 ) ( 40 / ) és ( 64 ) - gyel: ( ϑ + ϕ) k ( ϕ + δ' ) ( ϑ δ' ) ( ϑ + α) + ϕ + δ' ϕ α Hsonlóképpen átírjuk E képletét is; ( 39 ) ( 40 / ) és ( 55 ) - tel: E γ s ' ( ϑ + ϕ) ( ϑ δ' ) ( ϕ + δ' ) ( ϕ α) + ( ') ϑ δ ϑ + α ( 6 / ) ( 55 / ) Egy további képlet - változtot kpunk h érvényesítjük 9 ábrából dódó L s ϑ ( 65 ) összefüggést Így ( 55 / ) és ( 65 ) - tel: E γ L ' ( ϑ + ϕ) ( ϕ + δ' ) ( ϕ α) + ( ') ' ϑ ϑ δ ϑ δ ϑ + α ( 55 / ) Most nézzük meg egy számpéldábn hogyn működnek képleteink! Az dtok korábbi jelöléseknek megfelelően: 3 γ γ ' 6 kn/m ; H L 5 m ; φ' ϕ 45 ; δ δ' 30 ; α α 0 ; θ 90 ϑ 0 ϑ 80 ( A3 ) Most ( A3 ) és ( 6 / ) szerint:
k ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + ( 45 + 30 ) ( 45 0 ) 80 45 03594955 ; 45 30 80 30 80 0 ( p ) mjd ( 64 ) és ( p ) - gyel: 03594955 ( 80 30 ) λ mx 45 + rctg 64 70068074 ( p ) 0 3594955 cos( 80 30 ) E A ( p ) eredmény megegyezik z 5 ábráról leolvshtó megfelelő eredménnyel Most ( A3 ) és ( 55 / ) - vel: m ( 80 + 45 3 ) 6 kn/m ( 5 m) 80 ( 80 30 ) ( 45 + 30 ) ( 45 0 ) + ( 80 30 ) ( 80 + 0 ) 5996550883 kn ( p3 ) egyezésben z 5 ábráról leolvshtó megfelelő eredménnyel Most megvizsgáljuk hogy ( ) és z ( 55 / ) képletek megegyeznek - e Ennek érdekében átírjuk z egymásnk megfelelő betűjelöléseket; itt lklmzzuk [ 4 ] - re utló F és [ ] - re utló indexeket A megfeleltetések: ϑ F 80 β ; ϕ F Φ ; δ ' F δ ; α F ε ; sf z γ ' F γ Mjd ( 55 / ) és ( m ) - mel: E γ z ( 80 β + Φ ) ( 80 β δ ) ( Φ + δ ) ( Φ ε ) + ( 80 β δ ) ( 80 β + ε ) Átzárójelezve: ( m )
3 E γ z ( ( )) 80 β Φ ( 80 β + δ ) ( Φ + δ ) ( Φ ε ) + ( 80 ( β + δ )) ( 80 ( β ε )) érvényesítve x 80 x zonosságot z előző képletet így írhtjuk át: E γ z ( β Φ ) ( β + δ ) ( Φ + δ ) ( Φ ε ) + ( β + δ ) ( β ε ) Tovább lkítv főleg nevezőben: γ E z ( β Φ ) ( Φ + δ ) ( Φ ε ) ( β + δ ) + ( β ε ) Végül közös négyzetre - emeléssel és egy összedási sorrend - változttássl: γ E z ( β Φ ) ( 66 ) ( ) ( ) δ + Φ Φ ε ( β + δ ) + ( β ε ) A ( ) és ( 66 ) képletek megegyeznek h utóbbinál elhgyjuk indexeket
4 Most ott trtunk hogy levezettük z ktív földnyomás legngyobb értékét vlmint z ehhez trtozó csúszólp helyzetét megdó szög meghtározási képletét is Azonbn mindezt közvetve Rebhnn - tétel lpján de nem közvetlen szélsőérték - számítássl Ennek során zt tpsztltuk hogy E képletének felírásához nincs szük - ség λ mx képletének felírásár Ezzel szemben: h ( 5 ) és ( 6 ) - nk megfelelően járnánk el kkor kénytelenek lennék β mx képletének felírásár mjd nnk ( 5 ) - be vló visszhelyettesítésére hogyn ezt [ 6 ] - bn is elmondják H belegondolunk z így elvégzendő sziszifuszi munkát csökkenti le igen jelentős mértékben szintén szélsőérték - keresésen lpuló Rebhnn szerinti másfjt úton járó megoldás Erre lehet mondni hogy ez szép! Megjegyzések: M Az itt megbeszélthez képest részfeldtoknk számító esetek részletes vizsgáltát tláltuk [ 5 ] - ben Sjnos rr kérdésre hogy hogyn állt elő pl ( ) képlet ez sem tudott válszolni Jól érzékelhető hogy z egyre összetettebb feldtoknál egyre nehezebben kphtó meg z dott szélsőérték - feldt ( 6 ) - hoz hsonló módon előállíthtó megoldás M Vlószínűleg már mgától is észrevette z Olvsó hogy ( ) típusú képletből nem tudjuk meg hogy milyen szögértékhez trtozik mximális ktív földnyomás M3 Az itt hiányolt részletes levezetésben vló előrehldást legtovább még [ 6 ] bírt Sjnos minden részletre kiterjedő közvetlen úton hldó számítás már ide sem fért be M4 A ( 3 / / ) képlet szerint γ ' γ h p 0 Itt p: térszíni egyenletesen megoszló terhelés intenzitás M5 orábbn úgy vélekedtünk hogy minthogy ( 6 ) - ból dódó bonyolult egyenletet vlószínűleg csk numerikusn tudnánk megoldni így semmivel sem jutottunk előrébb mint hová már z 5 ábr kpcsán is eljutottunk: egy dott számszerű eset teljes numerikus megoldásáig Most mégis teszünk egy kísérletet közvetlen megoldás érdekében Ehhez előrebocsátjuk hogy [ ] - ben ezt olvstuk: " A földnyomás nlitikus megoldás lpján kimutthtó hogy ismert δ irányszög esetén szkdólp hjlásánk meghtározás másodfokú egyenlet megoldását kívánj meg Ez zt is jelentheti hogy két megoldást is kpunk melyek közül ki kell válsztni hsználhtót Ehhez persze el kell jutnunk odáig Nézzük mire ju - tunk! Most bizonyos kényelmi okokból kifolyólg [ ] jelöléseivel dolgozunk tovább Az ábr vektorháromszögéből szinusztétellel:
5 E G ( α Φ) ( α Φ + ψ) ( 67 ) A továbbikhoz tekintsük ábrát is! ábr Az α hjlású csúszólphoz trtozó földék G súly: G γ TABC γ l ml ; ( 68 ) most szinusztétellel: AB ( α ε) l 80 ( β ε) ( α ε) ( β ε) innen: AB l ( α ε) ( β ε) ( 69 ) Ismét ábrából: ml AB β α ( 70 )
6 így ( 68 ) ( 69 ) ( 70 ) - nel: γ l α ε G ( α ) β ε Most képezzük de ( α ) 0 dα ( β α) ( 7 ) ( 7 ) feltételnek megfelelő z α mx meghtározásár szolgáló egyenletet! ( 67 ) és ( 7 ) - vel kpjuk hogy de ( α) dg ( α) ( α Φ) + dα dα α Φ + ψ ( α Φ) ( α Φ + ψ) ( α Φ) ( α Φ + ψ) ( α Φ + ψ) cos cos + G α 0 ; ( 73 ) figyelembe véve hogy cos ( α Φ) ( α Φ + ψ) ( α Φ) cos( α Φ + ψ ) ( α Φ + ψ) ( α Φ ) ψ ( 74 ) ( 73 ) és ( 74 ) - gyel írhtjuk hogy: dg ( α) G ( α) ψ ( α Φ) ( α Φ + ψ) ( 75 ) dα Most figyelembe vesszük hogy ( 8 ) - nk megfelelően: dg ( α) γ l dα ( 76 ) így ( 75 ) és ( 76 ) - tl: γ l α Φ α Φ + ψ G ( α ) ψ ( 77 ) Mjd G(α) ( 7 ) és ( 77 ) szerinti kifejezéseit egyenlővé téve: ( β ε) γ l α ε β α γ l α Φ α Φ + ψ ψ miből:
7 ( α Φ) ( α Φ + ψ) ψ ( α ε) ( β α) ( β ε) ( 78) Ebben feldtbn α szög változó többi állndó illetve prméter Ennek megfelelően ( 78 ) egyenlet bl oldl egy függvénye α - nk jobb oldl viszont z dtok rögzített értéke mellett állndó Azonos átlkításokt végzünk; először x y cos ( x y) cos( x + y) zonossággl dolgozunk Részletezve: ( α Φ + ψ) ( α Φ ) { cos cos } α Φ + ψ α Φ α Φ + ψ + α Φ { cos ψ cos } α Φ + ψ { cos ψ cos α ( Φ ψ) } ( 79 ) mjd pedig ( α ε) ( β α ) { cos cos } α ε β α α ε + β α { cos [ α ε β] cos ( β ε )} { cos α ( β + ε) cos ( β ε) } ; ( 80 ) ezután ( 78 ) ( 79 ) ( 80 ) - nl: cos ψ cos α ( Φ ψ) ψ ( 8 ) cos α ( β + ε) cos( β ε) ( β ε) Rendezve: ( β ε) cos ψ ( β ε) cos α ( Φ ψ ) ψ cos α ( β + ε) ψ cos ( β ε) ; ( β ε) ψ + ψ ( β ε ) ψ α ( β + ε ) + ( β ε) α ( Φ ψ) ( β ε + ψ ) ψ α ( β + ε ) + ( β ε) α ( Φ ψ) cos cos cos cos ; cos cos ; innen:
( β ε + ψ) ψ 8 ( β ε) cos α ( β + ε ) + cos α ( Φ ψ) ; ψ ( 8 ) most felhsználv hogy cos x y cos x cos y + x y ( 8 ) - ből kpjuk hogy ( β ε + ψ ) cos ( α ) cos ( β + ε ) + ( α ) ( β + ε ) + ψ ( β ε) + cos( α) cos ( Φ ψ ) + ( α) ( Φ ψ ) ψ + ( α ) ( β ε) cos( α) cos( β + ε ) + cos ( Φ ψ ) + ψ ( β ε) β + ε + ( Φ ψ) ψ ( β ε) ( β + ε ) + ( Φ ψ) ( α ) + ψ ( β ε) ( β ε + ψ) + cos( β + ε ) + cos( Φ ψ) cos( α ) ψ ψ Bevezetjük z lábbi rövidítő jelöléseket: ( β ε) A ( β + ε ) + ( Φ ψ) ψ ( β ε) B cos( β + ε ) + cos( Φ ψ) ψ ( β ε + ψ) C ψ ( 83 ) ( 84 ) Most ( 83 ) és ( 84 ) - gyel: A α + B cos α C ( 85 ) Bevezetve még z
9 x α ( 86 ) új változót is ( 85 ) és ( 86 ) - tl: A x + B cos x C ( 87 ) A ( 87 ) egyenlet egy ismert lkú trigonometrikus egyenlet melyre többféle megoldási mód is rendelkezésünkre áll [ 7 ] Mi itt másodfokú egyenletre vezető megoldási módot lklmzzuk összhngbn korábbn említett hivtkozássl Ennek érdekében áttérünk fél szög szögfüggvényeire z lábbik szerint: x x x x x x cos cos cos x x x x x + cos + x cos x tg x ; x + tg ( 88 ) hsonlón: x x x x x cos cos cos x cos x cos x x x cos + + x x cos x tg cos x x + tg ( 89 )
30 Most ( 87 ) ( 88 ) és ( 89 ) - cel: x x tg tg A + B C ; x x + tg + tg ( 90 ) rendezve: x x tg tg A + B C ; x x + tg + tg x x x A tg + B tg C + tg x x x A tg + B B tg C + C tg x x ( C + B) tg A tg + ( C B) 0 x x ( C + B) tg A tg + ( C B) 0 ( 9 ) Most ( 86 ) és ( 9 ) - gyel: C + B tg α A tgα + C B 0 ( 9 ) Ezt tgα - r másodfokú egyenletet megoldóképlettel megoldv: ( tg ) ( C B) A ± 4 A 4 C + B C B α + ( C + B) A ± A C + B C B A ± A C B A ± A + B C ( C + B) ( C + B)
3 A ± A + B C tg α C + B ( 93 ) A két előjel közül zt válsztjuk mellyel megoldás kielégíti természetesen dódó α > Φ > 0 mx ( 94 ) feltételt Látjuk vlóbn egy másodfokú egyenlet megoldásként dódik keresett csúszólp hjlás ( 87 ) egyenlet ezen megoldási módjánál Most lássunk egy idevágó számpéldát! Az dtok mint előbb is : β 80 ϑ F 80 80 00 ; ε α F 0 ; δ δ ' F 30 ; Φ ϕ F 45 ; ψ 80 ( β + δ ) 80 ( 00 + 30 ) 50 ( A4 ) iszámítjuk ( 93 ) - bn szereplő mennyiségeket; ( 84 ) és (A4) - gyel: ( β ε) A ( β + ε ) + ( Φ ψ ) ψ ( ) 00 0 ( 00 + 0 ) + ( 45 50 ) 50 80 0 + 40 693776 50 693776 A ( ) Folyttv: ( β ε) B cos( β + ε ) + cos( Φ ψ ) ψ ( ) 00 0 cos( 00 + 0 ) + cos( 45 50 ) 50 80 cos0 + cos 40 0 484807753 50
3 B 0 484807753 ( ) Végül: ( β ε + ψ) ( 00 0 + 50 ) 30 C ψ 50 50 C ( ) Most ( 93 ) és ( ) ( ) ( ) segítségével: 693776 ± 693776 + 0 484807753 tg α + 0 484807753 innen: ( tgα ) 5584 α 64 70068074 ; ( ) ( tgα ) 064009630 α 9343637 Mjd ( 94 ) és ( A4) - gyel: α > 45 mx így ( ) és ( ) lpján α mx 64 70068074 ( ) ( + ) dódik Ez megegyezik z 5 ábrán is feltüntetett eredménnyel Most ott trtunk hogy közvetlenül is meg tudjuk htározni legngyobb ktív földnyomás csúszólp - hjlásánk értékét ( 93 ) és ( 94 ) képletek szerint A következő siker z lehetne hogy h ( 93 ) - ból le tudnánk vezetni ( ) lp - képletet Bízzunk benne hogy egyszer mjd ez is sikerül! Előtte zonbn biztos mi biztos! lezárjuk fenti gondoltmenetet Most z ábr szerinti AB z - vel vlmint ( 69 ) és ( 7 ) képletekkel: G β ε ( β α) ( α ε) γ l α ε β α γ β ε α ε β α α z β ε α ε β ε γ z
33 γ G ( α ) z ( β ε) ( β α) ( α ε) Mjd ( 67 ) és ( 95 ) - tel: γ ( β α) ( α Φ) E ( α ) z ( β ε) α ε α Φ + ψ ( 95 ) ( 96 ) E mx Most z α α mx - ot véve ( 96 ) - bn: γ ( β αmx ) ( αmx Φ) Emx E ( α mx ) z ( β ε) α ε α Φ + ψ vgy z ábrából is dódó h z β mx értékkel is ( 97 ) így lkul: γ ( β ε) ( β αmx ) ( αmx Φ) Emx E ( α mx ) h β α ε α Φ + ψ mx mx ( 97 ) ( 98 ) ( 99 ) Itt α mx ( 93 ) és ( 94 ) szerinti érték Egy számszerű eredmény ( + ) és ( 99 ) lpján: ( mx 64 70068074 ) 3 E α 00 kn 00 44700680 mx m 00 0 00 64 70068074 64 70068074 45 6 kn/m 5 m 00 64 70068074 0 64 70068074 45 + 50 80 35 99396 9 70068074 5996550883 kn 74 69 70068074 E mx 5996550883 kn ( ++ ) egyezésben korábbikkl
34 Összefogllás Ebben dolgoztunkbn megkíséreltük levezetni zokt földsttiki fölnyomás - elméleti képleteket melyek részletes számításivl eddig még nem tlálkoztunk Itt persze felvethető hogy nem kerestük eléggé kitrtón illetve nem áldoztunk beszerzésre pénzt stb Ez kár igz is lehet zonbn szögezzük le: eléggé furcs z szkirodlom hol z elmélet kifejtése során szinte mindig ugynz történik tár - gylás egy dott pontján: ugrás egy irodlmi hivtkozásr! Most ezt próbáltuk orvo - solni mgunk egyszerű módján Tekintsük át hogy mire jutottunk! ) Megmutttuk hogy különösebb szkirodlmi kutkodás nélkül is megoldhtjuk földsttiki számpéldánkt z ktív földnyomás ngyságát megdó függvény felírás mjd z ingyenes Grph szoftver szolgálttásink lklmzás útján Az így kpott eredmények dták későbbi képletek ellenőrzéséhez szükséges mennyiségeket ) Bemutttuk ( ) képlet részletes levezetését [ 4 ] - ben tlált számítások lpján Itt Rebhnn - tételt felhsználó megoldás - változtot ismertettük mjd ugyninnen szármzó részeredményekből levezettük mximális ktív földnyomás - hoz trtozó szkdólp hjlását megdó képletet is 3) özvetlenül tehát nem Rebhnn - tétel szerinti szélsőérték - számítássl fel - írtuk mgyr szkirodlombn szintén nem tlált zon trigonometrikus egyenletet melynek másodfokú egyenletre vezető megoldásávl dolgozv előállítottuk mxi - mális ktív földnyomáshoz trtozó szkdólp hjlását megdó képletet is 4) Minden képlet működését ellenőriztük z ) - ben kpott eredményekkel vló összehsonlítássl: mindegyik képlet pontosn működött 5) Adósk mrdtunk ( ) képletnek 3) - beli eredmény lpján történő leveze - tésével Aki végigrágt mgát ezen nem igzán egyszerű nygon z vlószínűleg felteszi kérdést: mi szükség vn brutális trigonometrii képlet - szörnyetegekkel vló küz - delemre h tényleges feldtot számszerűen közvetlen szélsőérték - kereső úton is meg tudjuk oldni komolybb energi - ráfordítás nélkül Erre z válszunk hogy hiányokt pótolni kell Ugynis Coulomb ~ Poncelet ~ Rebhnn ~ Müller - Breslu ~ féle megoldások idején de még jóvl később sem voltk elektronikus szá - mítógépek mellyel konkrét feldt számszerű megoldás percek ltt elvégezhető Viszont sokt dolgoztk ngy elődeink közvetlenül lklmzhtó megoldó - képletek felírásávl; ezt méltányoljuk ezért munkájuk eredményeit feldolgozv terjesztjük Nem hllgthtjuk el hogy külföldi szkirodlom tnulmányozás fontos és hiány - pótló lehet Mnpság erre z interneten megtlálhtó ingyenesen felhsználhtó nygok pl e - könyvek jó lehetőséget dnk Azonbn z is tény hogy némely lpmű még mindig csk vásárlás útján érhető el Az pedig végképp kiborító lehet h sok pénzért beszerzett tnkönyv / szkkönyv sem trtlmzz keresett részleteket Reméljük segítettünk nem csk mgunkon
35 Irodlom: [ ] Szerk Plotás László: Mérnöki ézikönyv I kötet 83 o Műszki önyvkidó Budpest 98 [ ] ézdi Árpád: Tljmechnik 4 kidás I rész 45 o Tnkönyvkidó Budpest 97 [ 3 ] http://skemmnis/strem/get/946/8985/4388//retining_structures_smvpdf [ 4 ] Szerk Mx Foerster: Tschenbuch für Buingenieure 4 Auflge I Teil 40-409 o Verlg von Julius Springer Berlin 9 [ 5 ] August Ritter: Lehrbuch der höheren Mechnik Theil: Lehrbuch der Ingenieur - Mechnik 3 Auflge 6 Abschnitt Bumgertner s Buchhndlung Leipzig 899 [ 6 ] http://wwwgttbmehu/gtt/oktts/feltoltesek/bmeeogt- L43/elodsjegyzetvpdf [ 7 ] Obádovics J Gyul: Mtemtik 5 kidás Scolr idó Budpest 998 49 o Sződliget 03 ugusztus 5 Összeállított: Glgóczi Gyul mérnöktnár