Házi ladatok mgoldása 0. nov.. HF. Elmzz az ( ) = üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, zérushly, y-tnglymtszt, monotonitás, lokális szélsőértékk vizsgálata, konvitás, inliós pont, összoglaló táblázat, valósághű graikon, értékkészlt). Néhány pontban a üggvény érték: -4 - - -0.5 0.5 4 () -0.4-0.75 0 6-6 0 0.75 0.4 Vgyük észr, hogy a üggvény páratlan, zért graikonja szimmtrikus az origóra! Az ilyn mgigylésk nagyban könnyítik és llnőrizhtővé, biztonságosabbá thtik a mgoldást! Nyrs graikont készítünk: -4-4 (Nagyon hasznos, ha a szakadási pont közlébn kiértékljük a üggvényt, mrt itt az általában szabálytalanul vislkdik.) Értlmzési tartomány: Az osztás miatt 0, más ltétl nincs, zért D = R \ {0}. Folytonosság, határérték a szakadási hlykn és az értlmzési tartomány határain: A üggvény olytonos az értlmzési tartomány mindn pontjában. A 0-ban a üggvény nincs értlmzv, z gy szakadási pont, kiszámítjuk itt a bal- és jobboldali határértékt: lim = lim ( ) = +, ui. és, ha 0, 0 0 lim = lim ( ) =, 0 0 ui. + és, ha 0.
Az értlmzési tartomány végin, határértékét: lim = 0, lim 0, = ui. 0 és 0 + -bn és + -bn is ki kll számítanunk a üggvény, ha és akkor is, ha +. Zérushly, y-tnglymtszt: A zérushlyk az 0 = gynlt mgoldásai, azaz és. Az y-tnglymtszt az (0) lnn, azonban a üggvény nincs értlmzv a 0-ban, zért nincs y-tnglymtszt s. Monotonitás, lokális szélsőértékk krsés: Ehhz driváljuk a üggvényt. Ezt mgkönnyítndő, lőször is a törtkt átírjuk hatványalakba: ( ) =. Ezt a tanult módon driváljuk: 4 4 ( ) = ( ) = +. Mgkrssük nnk zérushlyit, azaz mgoldjuk a 4 0 4 = + gynltt. Mindkét oldalt -nl bszorozva kapjuk, hogy =, vagyis = ± ±.7. Ezkn a hlykn és még stlg a 0 szakadási pontban válthat lőjlt a drivált, thát a ]-, - [, ]-, 0[, ]0, [ és ], + [ intrvallumokon a drivált lőjl biztosan ugyanaz. Bhlyttsítéssl mgállapítjuk az lőjlkt: --t hlyttsítv a drivált -0.0, zért a ]-, - [ intrvallumon a drivált ngatív, itt a üggvény szigorúan monoton csökkn. A - hlyn a drivált, zért a ]-, 0[ intrvallumon a drivált végig pozitív, a üggvény szigorúan monoton nő. A üggvény páratlan, zért az lőbbikből már kövtkzik, hogy a ]0, [ intrvallumon szigorúan monoton nő, a ], + [ intrvallumon pdig szigorúan monoton csökkn. Mgállapítható mindbből az is, hogy = -ban a üggvénynk lokális minimuma van, a minimum érték közlítőlg -0.849. A páratlanság miatt adódik, hogy = -ban a üggvénynk lokális maimuma van, a maimum érték közlítőlg 0.849. Ezk csak lokális szélsőértékk, hiszn a 0-ban a üggvény baloldali határérték +, jobboldali határérték pdig. Konvitás, inliós pont: 5 Kiszámítjuk a második driváltat: ( ) =. Hol lsz z 0? Az gynlt: 5 0 5 =. Szorozzunk b -nl, kapjuk, hogy 0 =, amiből = ± 6 ±.45. Itt lht a üggvénynk inliós pontja. Ezn a hlyn és még stlg a 0 szakadási pontban válthat lőjlt a második drivált, thát a ]-, - 6[, ]- 6, 0[, ]0, 6[ és ] 6, + [ intrvallumokon a második drivált lőjl biztosan ugyanaz. Ismét bhlyttsítéssl állapítjuk mg az lőjlkt, --ban a második drivált érték -0.05, zért a üggvény második driváltja a ]-, - 6[ intrvallumon végig ngatív, itt thát a üggvény konkáv. A második drivált a --bn 0, zért a ]- 6, 0[ intrvallumon a második drivált pozitív, a üggvény itt konv. A 6 hlyn a üggvény konkávból konvb vált (a üggvény második driváltja ngatívból pozitívba vált), zért itt a üggvénynk inliós pontja van. A üggvény páratlansága miatt a ]0, 6[ intrvallumon a üggvény konkáv, a ] 6, + [ intrvallumon pdig konv, a 6 hlyn a üggvénynk inliós pontja van.
Összoglaló táblázat (csak ngatív -kr, a páratlanság miatt az ábrázoláshoz z lég): - ]-, - 6[ - 6 ]- 6, - [ - ]-, 0[ -0 () - - - 0 + - 0 + + + ( () 0 csökkn konkáv csökkn inliós pont csökkn konv minimum konv nő konv + Finomított graikon: -4-4 Értékkészlt: A üggvény mindn valós számértékt lvsz, R = R.
HF. Számítsa ki a kövtkző üggvényk driváltját: a) 4 b) sin( ) a) Azonnal átírjuk a gyökös kijzést hatvánnyá:. Alkalmazzuk a hányados driválására 4 4 4 4 4 tanult szabályt: 4 = 4 =. (A képlt gyszrűsítését a zh-ban ( ) nm kll mgcsinálni, az éltbn viszont tanácsos.) b) Különbségt kll driválni, zt tagonként thtjük mg. Előbb zért a sin( ) üggvényt driváljuk. A gyöktől most is mgszabadulunk: sin( ). Összttt üggvényről van szó, a külső üggvény sin(u), a blső üggvény u ( ) =. A tanult szabály szrint sin( ) = cos( u) u ( ). Itt u ( ) =, visszahlyttsítv kapjuk, hogy: sin( ) = cos( ). A második tag driváltja, így a végrdmény: ( ) sin( ) = cos( ). 4
SZ. Elmzz az ( ) = ln( ) + üggvényt (értlmzési tartomány, olytonosság, zérushly közlítő érték, határérték az értlmzési tartomány véginél és a szakadási pontokban, monotonitás, lokális szélsőértékk vizsgálata, konvitás, inliós pont, összoglaló táblázat, valósághű graikon, értékkészlt). Néhány pontban a üggvény érték: - - 0 0.0 4 () Nincs értlmzv Nincs értlmzv Nincs értlmzv -4.6 0.5.69 9.4 Nyrs graikont készítünk: 4 (Nagyon hasznos, ha a szakadási pont közlébn kiértékljük a üggvényt, mrt itt az általában szabálytalanul vislkdik.) Értlmzési tartomány: A logaritmus miatt > 0, más ltétl nincs, zért D = ] 0, + [. Folytonosság, határérték a szakadási hlykn és az értlmzési tartomány határain: A üggvény olytonos az értlmzési tartomány mindn pontjában. A 0-ban van az értlmzési tartomány baloldali határa. Kiszámítjuk itt a jobboldali határértékt: lim ln( ) + =, ui. ln() és 0. 0+ Az értlmzési tartomány másik végén, határértékét: lim ln( ) + = +, ui. ln( ) + és +. + + -bn is ki kll számítanunk a üggvény
Zérushly, y-tnglymtszt: A zérushly az ln( ) + = 0 gynlt mgoldása, bből azonban az ormulával nm jzhtő ki, azt azonban tudjuk, hogy a 0 és az között van lgalább gy zérushly, ui. 0-ban a üggvény jobboldali határérték, -bn pdig a üggvény érték 0.5, azaz pozitív. A(z gyik) zérushly közlítőlg 0.75, az intrvallumlzős ljárással. Az y-tnglymtszt az (0) lnn, azonban a üggvény nincs értlmzv a 0-ban, zért nincs y-tnglymtszt s. Monotonitás, lokális szélsőértékk krsés: Ehhz driváljuk a üggvényt: ( ) = +. Ez pozitív, ha > 0, így a üggvény szigorúan monoton növő. Ebből az is kövtkzik, hogy csak gy zérushly lht a üggvénynk (ha kttő lnn, nm lhtn szigorúan monoton növő). Konvitás, inliós pont: Kiszámítjuk a második driváltat: ( ) = +. Hol lsz z 0? Az gynlt: + = 0. Szorozzunk b -tl, kapjuk, hogy + = 0, nnk a mgoldásai és. Az értlmzési tartománynak zk közül az lm. Itt inliós pontja van a üggvénynk, ui. -nél kisbb -kr a második drivált ngatív, -nél nagyobbakra pdig pozitív (hlyttsítsük b pl. 0.5- öt ill. -t). Eszrint 0 és között a üggvény konkáv, az ], + [ intrvallumon pdig konv. Összoglaló táblázat: 0 ]0, ] ], + [ + + + + () () - 0 + () nő konkáv inliós pont nő konv + Finomított graikon: Értékkészlt: A üggvény és + között mindn értékt lvsz, R = R.
SZ. Számítsa ki a kövtkző üggvényk driváltját: a) (log ) ln b) a) Összttt üggvényről van szó, a külső üggvény h ( u) = u, a blső üggvény u( ) = log. Így a drivált ((log ) ) u u = ( ). Itt tudni kll, hogy ( log ) =. ln log ln (Ez úgy jön ki, hogy a logaritmus azonosságai szrint log = =, és ln driváltja log ln.) Mindzt bhlyttsítv ( ) (log ) = log. ln Másik mgoldás: A négyztt szorzatként is loghatjuk, kkor ((log ) ) = ( log log ) = log + log = log. ln ln ln b) A különbségt tagonként driváljuk, az lső tagra a hányados driválási szabályát ln ln ln ln ln alkalmazzuk: = = (gyszrűsítni nm ltétln ( ) ontos, csak így sztétikusabb és könnybb vl tovább számolni.) A második tag driváltja ln ln ln, így a tljs üggvény driváltja =.