Viszontbiztosítások, kockázati folyamatok, cs d

diplomamunka Viszontbiztosítások, kockázati folyamatok, cs d Jeszenszky Gyula Témavezet : Gerényi Attila vezet aktuárius és egyetemi óraadó Barabás Béla egyetemi docens BME Matematika Intézet Sztochasztika Tanszék BME 23

Tartalomjegyzék Bevezetés 2 1. A biztosítási matematikában használt f bb fogalmak 3 2. A viszontbiztosítás fogalma, fajtái 7 2.1. A viszontbiztosítás matematikai modellezése 8 2.2. Arányos viszontbiztosítás... 9 2.3. Nem arányos viszontbiztosítás 12 2.4. Összehasonlítás............................ 14 3. A kockázati folyamatok, a cs d 15 3.1. Kockázati modellek... 15 3.2. Klasszikus rizikófolyamat.......... 17 3.3. Felújítási modellek kockázati folyamatokra. 29 3.4. Klasszikus rizikófolyamat viszontbiztosítással 36 3.4.1. cs d valószín sége kis károk esetén. 36 3.4.2. A cs d valószín sége nagy károk esetén........... 38 Összegzés 4 Irodalomjegyzék 42 1

Bevezetés Az els biztosító társaságok megalakulása óta különösen fontos annak megbecslése, hogy a társaság milyen eséllyel megy cs dbe a megkötött szerz dések hatására. Ez nyilván nem csak a biztosító számára lényeges, hanem a biztosítottaknak is. Ekkor ugyanis nemcsak a biztosító lesz zetésképtelen cs d esetén, hanem az ügyfelek is károsulnak. Azonban a szerz dés feltételeit a biztosító szabja meg, ezért az felel ssége, ha cs dbe megy a társaság. A cs d elkerülésének egy elterjedt módja a viszontbiztosítás megkötése. Ekkor egy másik biztosító átvállalja a kockázat egy részét, cserébe a biztosítási díj egy részéért. Az els fejezetben a biztosításban használt fontosabb alapfogalmakat deniáljuk. Majd e második fejezetben a különböz viszontbiztosítási fajtákról, ezek el nyeir l és hátrányairól lesz szó. A harmadik fejezetben azt fogjuk vizsgálni, hogy különböz modellek esetén hogyan becsülhet annak a valószín sége, hogy a biztosító cs dbe megy. Majd a fejezet végén arra keressük a választ, hogy a viszontbiztosítás hogyan befolyásolja a cs d valószín ségét. 2

1. fejezet A biztosítási matematikában használt f bb fogalmak A biztosításban használt fogalmakat nagyrészt a [1] könyv alapján vezetjük be, ugyanis itt tömören és érthet en össze vannak foglalva azok. Biztosítás: Jogügylet, melyben a biztosító díjzetés ellenében igérvényt ad, hogy valamilyen "káros esemény" esetén zet a kedvezményezettnek. Biztosító: Aki az igérvényt adja. Biztosított: Általában akinek a biztosító zet. (Nem mindig azonos a kedvezményezett és biztosított.) Szerz dés: A biztosító és a szerz d (leend biztosított) között alakulhat ki, ezáltal a szerz d nek biztosítása lesz. Biztosítás tartama: Amennyi id re a biztosított biztosítása szól (szólhat határozott és határozatlan id re is). Biztosítási id szak: A biztosítás tartamát a biztosító feloszthatja rögzített id tartamokra, amiknek a végén a biztosító változtathat a díjon vagy a szerz dést felbonthatja (esetleg). Biztosítási díj: A biztosított zeti a biztosítónak, cserébe bizonyos jöv beli események esetén pénzt vár a biztosítótól. Biztosítási esemény: A "káros esemény", ami esetén a biztosító zet. Szerz dés hatálya: Amikor a biztosítási esemény bekövetkezhet. 3

Káresemény: Ha a biztosító társaság meggy z dött a biztosítási esemény bekövetkezésér l, akkor ez az esemény a káresemény. Szolgáltatás: Amit a biztosító zet a káresemény esetén (ez a biztosítónak kár). Biztosítási összeg: Amit a biztosító zet a biztosítottnak. Ez alapján számolják ki a káresemény esetén a szolgáltatás nagyságát. A biztosításkötés okai: 1. A szerz d úgy gondolja: bizonyos események esetén öner b l nem tudja fedezni az esemény következtében bekövetkez károkat. Védelmet, biztonságot akar, egy hirtelen nagy kiadásokkal járó eseménnyel szemben, cserébe sok kicsi kiadást vállal (díj). Tehát a szerz d bizonyos áron "biztonságot" vásárol. 2. A biztosító szempontjából: ami a biztosítottnak nagy kiadás, az biztosítónak nem az, erre épül a biztosítás fogalma. A rizikót átvállalja a biztosítottól, cserébe összességében nyer az üzleten. A biztosító biztosítástípusait, fajtáit csoportokba sorolja, ezek b vül sorrendben: módozat, biztosítási ágazat, biztosítási ág. Egy módozathoz tartozó biztosítások azonosfeltételszöveg ek. Az ágazatiés ágibesorolások biztosításonkéntváltozhatnak. Az alapvet biztosítástípusok: (a) Életbiztosítás: A biztosítási esemény általában a biztosított személy életbenlétéhez, halálához kapcsolódik. (b) Baleset-biztosítás: A biztosító a biztosított személy baleseti sérüléséb l adódó halála, rokkanása stb. esetén zet. (c) Betegség-biztosítás: Betegség esetén zet a biztosító. (d) Vagyonbiztosítás: Vagyontárgyak biztosítását jelenti. (e) Felel sség-biztosítás: A biztosított által másnak okozott kár esetén nyújt fedezetet. 4

(f) Viszontbiztosítás: A biztosított maga is biztosító (a biztosítási esemény az általa kötött biztosításhoz kapcsolódik). (a), (b), (c) fajtájú biztosítások összefoglaló néven: személybiztosítás. (b), (c), (d), (e): nemélet-biztosítás. (b), (c), (d), (e), (f): általános-biztosítás. biztosító társaságoknak vannak költségeik, ezért: A bruttó biztosítási díj felírható a nettó biztosítási díj, a biztosítási költségeket fedez díj és a biztosító protjának összegeként. Portfolió azaz veszélyközösség: Az egy csoportba tartozó biztosítások öszszessége. Egy csoport lehet az egy biztosítási módozat alá tartozó, vagy például az egy cégen belüli biztosítások összessége. Biztosítási tartalék: A díjzetés, káresemény, kárbejelentés nem egyszerre fordul el, ezért szükség van biztosítási tartalékok képzésére. Tehát a biztosítási tartalék az a pénzösszeg, amit a tartalékolás id pontja el tt megkötött biztosításokra félre kell rakni (mivel kés bbi zetések nem feltétlen fedezik a kés bbi szolgáltatásokat). Fontosabb típusai : (a) Meg nem szolgált díjak tartaléka: Gyakran a bezetett díj által fedezett id szakátnyúlikatartalékolásutániid re,ekkoráltalábanadíjat-akezdeti költségek levonása után- arányosan megosztják a tartalékolás el tti és utáni id szakok között. (b) Matematikai tartalék: Életbiztosításra, betegség-biztosításra, járadékokra képzett tartalék. (c) Függ kártartalék: A tartalékolás id pontja el tt bekövetkezett, de még nem teljesen kizetett károkra képzett tartalék. (Lehet már ismert és még nem bejelentett.) (d) Káringadozási tartalék: A biztosító eredményeib l a következ évre tartalékolt összeg. Ennek a tartalékolásnak a célja a különböz évek káringadozásának kivédése. 5

A biztosító m ködését értékel mér számok: (a) Kárhányad: A kárzetések és a bezetett díjak hányadosa. (b) Kárarány: A kizetések és a biztosítási összegek összegének hányadosa. (c) Kárgyakoriság: A kárszám és a szerz désszám hányadosa. 6

2. fejezet A viszontbiztosítás fogalma, fajtái A viszontbiztosítás körvonalazása a [2], [3], [4] irodalmak alapján történt. A viszontbiztosítás megjelenése körülbelül egyid s a biztosítás megjelenésével. Az els viszontbiztosító társaság Kölnben jelent meg a nagy t zvész után. A viszontbiztosítás, mint már említettük a biztosítók biztosítása. A viszontbiztosítás megkötésének oka természetesen ugyanaz, mint a normál biztosítás esetében: a biztosító társaság úgy véli, hogy biztosítási állománya túlságosan nagy kockázatot tartalmaz, ezért egyrészt a tönkremenést l való félelmében, másrészr l újabb haszon reményében az állomány egy részére biztosítást köt. Ekkor az els biztosító (direkt biztosító) a hozzá beérkezett biztosítási díj egy részét átengedi egy másik biztosítónak (viszontbiztosító), ennek fejében a viszontbiztosító a direkt biztosító által kizetett szolgáltatások egy részét megtéríti. Az Európai Uniógyakorlatábanáltalábanpro,csakerreacélraszakosodottviszontbiztosítók végzik a viszontbiztosítást. Természetesen egy biztosító m ködhet egyszerre direkt biztosítóként és viszontbiztosítóként is. Leggyakrabban ez úgy fordul el, hogy egy nagyobb biztosító viszontbiztosítja néhány kisebb biztosító kockázatát. Az is el fordulhat, hogy a viszontbiztosító továbbadja az általa átvállalt kockázat egy részét. Egyrészt aviszontbiztosításvédelemakizetend kárösszegnemvártnövekedése ellen. 7

Ennek különböz okai lehetnek: 1. A károk gyakorisága megn. 2. Az átlagkárok nagysága a vártnál jobban emelkedik. 3. Túl nagy a károk ingadozása (szórása). 4. Egy vagy több igen nagy kár következik be. 5. Egy eseményb l sok kumulálódó kár következik be. Másrészt egy biztosító társaság csak akkor m ködhet, ha bizonyos "zet képességi" feltételeknek eleget tesz (tehát a kockázatvállalás mértékét jogszabályok szabják meg). Ezek a jogszabályok azt hivatottak megakadályozni, hogy a társaság tönkremenjen: annak a valószín sége, hogy a társaság zetésképtelenné válik, alatta kell hogy legyen egy bizonyos értéknek. Ha még sincs alatta, akkor is van a direkt biztosítónak még egy lehet sége, egy viszontbiztosítás megkötésének segítségével leszoríthatja a cs d valószín ségét. Harmadrészt a viszontbiztosító segíthet egy új termék fejlesztésében. Egy, a biztosító számára eddig ismeretlen termék bevezetésénél a nagy tapasztalatokkal bíró viszontbiztosító segítséget nyújthat (feltételek megfogalmazásához, a díjak megállapításához). 2.1. A viszontbiztosítás matematikai modellezése A viszontbiztosítás fajtáinak rövid áttekintése a [2], [3], [5] könyvek alapján készült. Legyen X a kárigény által meghatározott valószín ségi változó és legyen X eloszlásfüggvénye F (x). Az eloszlásfüggvény alapján szokták meghatározni a biztosítási díjat. Mint már említettük a biztosítási díj két részb l áll: a kockázat várható értékéb l(tiszta díj) és a költségek fedezésére szolgáló díj. Legyen a tiszta díj P. 8

Így tehát P = E(X) = xdf (x), feltéve,hogy X nemnegatív.abiztosítóátad P 1 díjataviszontbiztosítónak(aviszontbiztosítástisztadíja),cserébeakárösszegb l(legyen x) x T x összegetátvállal (így a biztosítónak marad T x, ezt nevezik önrésznek), ahol a T egy mérhet transzformáció. Legyen T X eloszlásfüggvénye F (x), X-é F 1 (x). Így tehát és xdf (x) = xdf 1 (x) = T xdf (x) = P (x T x)df (x) = P 1. P 1 = nyilván azt jelenti, hogy nincs viszontbiztosítás, P = esetén pedig a biztosító nem vállal kockázatot (ezt pl. valamely jogszabály indokolhatja). 2.2. Arányos viszontbiztosítás A viszontbiztosítás leg sibb és talán legegyszer bb formája az arányos viszontbiztosítás. Amilyen arányban részesül a viszontbiztosító a díjakból, olyan arányban vállal részt a kockázatból. 2.1. Deníció. (Kvóta-viszontbiztosítás) Legyen < q < 1. A T X = qx transzformációval deniált viszontbiztosítást nevezzük q kvótájú kvótaviszontbiztosításnak. Ekkor nyilván És így P 1 = = (1 q) (x T x)df (x) = xdf (x) = (1 q)p. P = qp. (1 q)xdf (x) = 9

A kvóta-viszontbiztosítás el nye a viszontbiztosító szempontjából (direkt biztosítónak hátrány), hogy a"jó kockázatokból" is részesedik. Ami a direkt biztosító szempontjából még hátrány, hogy olyan kockázatokat is viszontbiztosításba ad, amit egyébként nem lenne muszáj. Azonban egy fontos el ny, hogy a regisztrációs költségekrendkívülalacsonyak.akvótaviszontbiztosítástritkánhasználjáknagyobb társaságok, mert nem tudnak szelektálni a kockázatok között, ha használják is, kombinálják más biztosításfajtákkal. Általában kis cégek használják leggyakrabban. Nagyobb társaságok reciprok-viszontbiztosítás esetén (két biztosító kockázatot cserél) használják, vagy olyan üzletágaknál, ahol nehéz meghatározni egy egységes kockázatot. A kvóta viszontbiztosításnál fellép bizonyos hátrányoknak a kiküszöbölésére jó (direktbiztosító szempontjából, a viszontbiztosítónak ez hátrány) a surplus viszontbiztosítás. Itt a q nem egységes. A biztosító a kockázatokat felosztja sávokra, és aszerint, hogy melyik biztosítás melyik sávban van, lesz valamekkora a q kvóta nagysága. Így nem kell olyan kockázatokat viszontbiztosításba adnia, amit pénzügyikapacitásaelbír.nyilvánvanegyfels határ,aminélabiztosítónemakar többetmegtartaniésvanegyalsóhatáris,amitabiztosítófeltétlenmegtart.haa viszontbiztosító legfeljebb a direkt biztosító kockázatának a c-szeresét vállalja át, így qc 1 q, akkor a sajátmegtartás alsó korlátja q 1/(1 + c). A fels korlátja pedig q S, ahol R R a maximális saját megtartás, S pedig a maximális kárigény. Így a biztosító legfeljebb olyan kockázatot vállalhat, melyre S (1 + c)r. Az adminisztrációs költségek nyilván megnövekszenek a kvóta viszontbiztosításhoz képest. Vizsgáljuk meg, ha a viszontbiztosított állomány szórásnégyzete rögzített, melyik viszontbiztosítási forma lesz a legel nyösebb a direkt biztosítónak (mikor lesz a szórás minimális). 1

2.2. Tétel. Legyen X a közvetlen aláíró teljes kára (teljes kockázat) és legyen X = qx, X 1 = (1 q)x. (2.1) Tegyük fel, hogy adott egy D 2 1 = D 2 (X 1 ) rögzített érték, amelyre < D 2 1 < D 2 (X). Akkor az összes megengedett viszontbiztosítások közül a (2.1) formulával deniált kvóta viszontbiztosítás lesz optimális abban az értelemben, hogy a közvetlen aláírónál maradó állomány szórásnégyzete minimális. Bizonyítás: Legyen T 1 X = T X qx, így D 2 1 = (1 q) 2 D 2 (X) = D 2 (X 1 ) = D 2 (X T X) = = = [x qx T 1 x E(X qx T 1 X)] 2 df (x) = [(x E(X))(1 q) (T 1 x E(T 1 X))] 2 df (x) = = (1 q) 2 D 2 (X) 2(1 q) + [T 1 x E(T 1 X)] 2 df (x). Az egyenl ség elejét és végét összevetve kapjuk Másrészt = [x E(X)][T 1 x E(T 1 X)]dF (x)+ [x E(X)][T 1 x E(T 1 X)]dF (x) = 1 2(1 q) D 2 (X ) = D 2 (T X) = = [T 1 x E(T 1 X)] 2 df (x). [qx + T 1 x E(qX + T 1 X)] 2 df (x) = [q(x E(X)) + (T 1 x E(T 1 X))] 2 df (x) = = q 2 D 2 (X) + 2q + [T 1 x E(T 1 X)] 2 df (x). Így (2.2) egyenlet segítségével kapjuk D 2 (X ) = q 2 D 2 (X) + 1 1 q [x E(X)][T 1 x E(T 1 X)]dF (x)+ 11 [T 1 x E(T 1 X)] 2 df (x). (2.2)

Tehát D 2 (X ) q 2 D 2 (X) és T 1 X -ra D 2 (X ) felveszi a minimumát, így T X = qx. 2.3. Nem arányos viszontbiztosítás Nem mindig el nyös az arányos viszontbiztosítás, mert ekkor a kis, "jó" kockázatok egy részét is tovább kell adnia a direkt biztosítónak. Ennek egyfajta orvoslását láthatjuk ebben az alfejezetben. 2.3. Deníció. (Kártöbblet-viszontbiztosítás más néven XL-viszontbiztisítás) Legyen adott egy M konstans. Ekkor legyen X, ha X M T X = M, ha X > M Ekkor a tiszta díjak (kockázat várhatóértéke) és P (M) = P 1 (M) = M xdf (x) + M xdf (x) M M df (x) M M Nagy M-re P 1 (M) a kár eloszlásfüggvényének a farkától függ, ennek a kezelése df (x). gyakran nehéz. Másrészt a viszontbiztosító két f gondja: tiszta díjakra jó becslést kapni statisztikai adatokból és megtalálni az optimális M paramétert. Ugyanakkor az XL-viszontbiztosítás el nye, hogy kisebbek a regisztrációs költségek (nem kell egyedileg osztályozni a kockázatokat). Az XL-szerz dések veszélyesek viszontbiztosító szempontjából, a direkt biztosító bátran vállalja a kockázatot a védelem tudatában (mivel a viszontbiztosító nagyobb kárváltozékonyságnak van kitéve, ezért ebben az esetben a díj is általában magasabb). Egy védekezés lehet a kombinált XL-kvóta-viszontbiztosítás X, ha X M T X = (X M 1 ) + q(m 1 M) + M, ha M 1 X. M + q(x M), ha M < X < M 1 12

Az XL-viszontbiztosítás hátránya a direkt biztosító szemszögéb l, hogy nem nyújt védelmet a kárgyakoriság növekedés ellen. Ezt a CatXL-viszontbiztosítással részben ki lehet védeni: T transzformációt a X i -ra kell alkalmazni X helyett (az összegzés az egy káreseményb l bekövetkez károkra vonatkozik, tehát csak az egyes káreseményeken belüli kárgyakoriság növekedés ellen véd). Ehhez nagyon hasonló a Stop-loss-viszontbiztosítás, ekkor a direkt biztosító viszontbiztosított üzletága egy id szakára es kárainak összegére alkalmazzuk a T transzformációt.eztalkalmazzákáltalábananagyszórássaldolgozóüzletágaknál. A Stop-loss-viszontbiztosítás teljesen véd a kárgyakoriság növekedése ellen. Vizsgáljuk meg, hogy ha a viszontbiztosítási díj rögzített, melyik viszontbiztosítási forma lesz a legel nyösebb a direkt biztosítónak, azaz mikor lesz a szórás minimális. 2.4. Tétel. Rögzített viszontbiztosítási díj esetén, az összes megengedett viszontbiztosítások közül az XL-viszontbiztosítás lesz optimális. (Természetesen itt is tiszta díjakról beszélünk.) Bizonyítás: A tétel feltétele szerint P 1 rögzített, így P = P P 1 is. D 2 (T X) = = M M [T x E(T X)] 2 df (x) = Válasszuk most a következ transzformációt (T x M) 2 df (x) [M P ] 2 (T x M) 2 df (x) [M P ] 2 (x M) 2 df (x) [M P ] 2. X, ha X M T X = M, ha X > M. Ezzel a T transzformációval a fenti egyenl tlenségek egyenl séggel teljesülnek. Így D 2 (T X) D 2 (T X), ezzel a tételt beláttuk. 13

2.4. Összehasonlítás Mivel különböz el nyei és hátrányai vannak a különböz viszontbiztosításoknak, ezért a gyakorlatban tipikusan egy kockázatra nem csak egyfajta viszontbiztosítást köt a direkt biztosító. Így a különböz viszontbiztosítások enyhítik egymás hátrányait. Tekintsünk egy táblázatot a fontosabb viszontbiztosítások összehasonlítására, el nyeire és hátrányaira: szempont Quota Surplus XL CatXL Stoploss típus arányos arányos nem-arányos nem-arányos nem-arányos adminisz- egyszer nehézkes egyszer megfogalmazási egyszer -tráció kérdések szelektálás nincs lehet nincs nincs nincs a vb. részt igen igen nem nem nem vesz-e minden kárban? díjkal- egyszer egyszer nehéz szubjektív nehéz -kuláció díj arányos arányos viszonylag viszonylag viszonylag olcsó olcsó drága védelem igen igen igen kevéssé kevéssé nagy egyedi van van károk ellen védelem nagy kevéssé kevéssé nincs nincs van kárgyakoriság van van ellen védelem kár kevéssé kevéssé nincs van van kumuláció van van ellen védelem a rossz nincs nincs nincs nincs van kárhányad ellen 14

3. fejezet A kockázati folyamatok, a cs d 3.1. Kockázati modellek Ebben a fejezetben a viszontbiztosítás nélküli klasszikus kockázati folyamatokról és a felújítási folyamatokról szóló rész a [6], [7] könyvek alapján készültek, a jelölések és a szerkezet a [7] könyvet követik. A viszontbiztosítás szempontjából nyilván nagyon fontos, hogy a biztosító meg tudja becsülni, mekkora a valószín sége, hogy cs dbe megy a társaság. Így jobban el tudja dönteni, hogy köt-e viszontbiztosítást (és ha köt, milyet köt). Ehhez a összkár mennyiségét kell vizsgálni, mivel a biztosító cs dbemenésének szempontjából nem az egyedi károk a dönt ek. Jelölje Z 1, Z 2,... a biztosítóhoz egymás után befutó kárigényeket és jelölje Z j eloszlását Q j, eloszlásfüggvényét F j (z). Általában azt szokás feltenni, hogy független azonos eloszlásúak. 1. Egyedi kockázati modellek: Ekkor feltesszük, hogy minden egyedt l csak egy kárigény származik és hogy a portfólióban n egyed van. Ekkor a teljes veszteség S = n Z i. i=1 S eloszlása Q j -k konvolúciója, jelölje ezt Q S = Q, ezt általában nehéz ( n) kiszámolni. Ha q j = P (Z j > ) < 1, akkor Z j eloszlását felírhatjuk két 15

eloszlás keverékeként Q j = (1 q j )δ + q j R j, ahol δ a pontrakoncentrálteloszlástjelöli, R j pedig Z j feltételeseloszlása a Z j > feltétellel. 2. Kollektív kockázati modellek: Ekkor nem csak egy káresemény tartozhat minden egyedhez. Legyen az egy egyedhez tartozó káresemények száma az N valószín ségi változó által meghatározott. Így a vizsgált mennyiség S = N Z i, i=1 ahol Z i -k független azonos eloszlásúak, véges várhatóértékkel. Ekkor és másrészt E(S) = E(N)E(Z) D 2 (S) = E(N)D 2 (Z) + D 2 (N)E(Z) 2, Q s = P (N = k)q ( k), k= ahol Q ( ) = δ. Általában azt szokás feltenni, hogy N Poisson eloszlású. Legyen a paramétere λ és legyen N független Z i -kt l. Ekkor Q s = λ k k! e λ Q ( k). k= Sokszor az id függvényében vizsgáljuk az összkárt, tehát a folyamat t-t l függ, így Ekkor a rizikófolyamat N t S t = Z i. i=1 U t = u + P t S t, ahol u a kezdeti t ke értéke (állandó), P t a díjbevétel értéke [, t] intervallumon, S t a kárfolyam. 16

Klasszikus rizikófolyamatról beszélünk, ha P t = ct (c állandó), N t λ paraméter homogén Poisson-folyamat (N = ), Z i független azonos eloszlásúak. Tehát S t értéke ugrásokkal változik N t -t l függ id pontokban. Ekkor az N t N s növekmények Poisson-eloszlásúak λ(t s) paraméterrel és a folyamat független növekmény. Ezt a folyamatot összetett Poissonfolyamatnak nevezzük. Ha inhomogén Poisson-folyamatról van szó, akkor a N t N s eloszlása λ t λ s paraméter Poisson-eloszlású lesz. Az egyes ugrások közt eltelt id ζ 1, ζ 2,... exponenciális eloszlásúak λ paraméterrel és az n. ugrás id pontja τ n. Így τ n = ζ i i=1 eloszlása Gamma-eloszlás. Ekkor igaz a következ tétel: 3.1. Tétel. Ha S t folyamat sztochasztikusan folytonos, független növekmény, az ugyanolyan hosszúságú id intervallumhoz tartozó növekmények azonos eloszlásúak, a folyamat trajektóriái tiszta ugró függvények és S =, akkor a folyamat összetett Poisson-folyamat. 3.2. Klasszikus rizikófolyamat Mikor beszélünk cs dr l ennek a modellnek a szemszögéb l? Nyilván akkor, ha a folyamat értéke negatívvá válik. Legyen ψ(u) = P (létezik olyan t, melyre U t < ), φ(u) = P (U t minden t < esetén). Tehát ψ(u) megadja annak a valószín ségét, hogy valamikor a jöv ben u kezd t ke mellett valamikor bekövetkezik a cs d és φ(u) annak a valószín sége, hogy sohasem lesz cs d. Mivel klasszikus rizikófolyamatról van szó, legyen n U t = u + ct S t, 17

ahol c, u állandók, S t összetett Poison-folyamat (λ paraméterrel). Legyen a Z i -k közös várhatóértéke µ. Könnyen látható, hogy a tönkremenés valószín sége nagy mértékben függ c és λµ viszonyától. Ugyanis a nagy számok törvénye szerint lim t (ct S t )/t = c λµ. Ezért c < λµ esetén φ(u) =. c = λµ esetén a fenti határérték, ezért a Chung-Fuchs tétel szerint a uktuációja igen nagy, tetsz legesen nagy pozitív, ill. negatív értéken is túln 1 valószín séggel, tehát ekkor is φ(u) =. Ezért nekünk csak a c > λµ esetet kell vizsgálnunk. 3.2. Tétel. Klasszikus rizikófolyam esetén φ(u) kielégíti a következ integrálegyenletet (F (z) Z i -k közös eloszlásfüggvénye). Bizonyítás: φ(u) = φ() + λ c u φ(u z)(1 F (z))dz. 1. El ször belátjuk, hogy φ(u) deriválható. Ez egy összetett Poisson-folyamat, ezért - ha az els káresemény id pontját, nagyságát rögzítjük - onnan vizsgálva a folyamatot, ugyanolyan paraméter összetett Poisson folyamatot kapunk, mint kezdetben, és ez független lesz ζ és Z 1 értékét l. Így a teljes valószín ség tétele szerint: φ(u) = E(φ(u + cζ Z 1 )) = u+cs λe λs φ(u + cs z)df (z)ds. Az x = u + cs változócserével egy olyan alakot kapunk, ahol u csak az integrálási határokban és az exponenciális mennyiség kitev jében szerepel, ezért φ monotonitása biztosítja a jobb oldal folytonosságát, így φ folytonos. Tehát az integrálfüggvénye (φ) deriválható. 2. φ-t daraboljuk szét négy diszjunkt esetre (a (, t]-ban, ahol t kicsi): (a) nincs káresemény (, t]-ban, (b) pontosan egy káresemény van, de ez nem okoz cs döt, (c) pontosan egy káresemény van és ez cs döt okoz, (d) legalább két káresemény következik be. 18

Tehát Így becsülve a tagokat kapjuk (o(t)/t, így a másodrend és magasabb rend tagok o(t)-vel közelíthet ek): φ(u) = (1 λt + o(t))φ(u + ct)+ + (λt + o(t)) u+ct = φ(u) + ctφ (u) λtφ(u) + λt φ(u + ct z)df (z) + (λt + o(t)) + o(t) = u φ(u z)df (z) + o(t). Felhasználva, hogy kis t esetén e λt 1, t esetén adódik: u φ (u) = λ c φ(u) λ c λ(u z)df (z). Mindkét oldalt integrálva (, t)-n és parciálisan integrálva a jobb oldalt kapjuk: t u φ(t) φ() = λ φ(u z)d(1 F (z))du + λ φ(u)du = c c = λ t [ u ] (φ()(1 F (u)) φ(u)) + φ (u z)(1 F (z))dz du+ c = λ [ φ() c = λ [ φ() c t t φ(u) = φ() + λ c (1 F (u))du + (1 F (u))du + u + λ c t t t φ(u)du = (1 F (z)) t z t ] φ (u z)dudz = (1 F (z))(φ(t z) φ())dz ]. φ(u z)(1 F (z))dz. (3.1) Ezzel beláttuk a tételt. Következmény: c > λµ esetén lim u φ(u) = 1, így (3.1) egyenlet alapján 1 = φ() +. Azaz λµ c ψ() = λµ c. Tehát u = esetén megkaptuk a cs d valószín ségét. Általános F esetén zárt explicit alakban nem lehet felírni a megoldást, azonban a kapott integrálegyenlet alkalmas arra, hogy megvizsgáljuk u esetén, 19

milyen sebességgel konvergál -hoz a tönkremenés valószín sége. Ehhez el bb néhány fogalmat be kell vezetnünk. Felújítási folyamathoz jutunk, ha vesszük független azonos eloszlású nem negatív érték valószín ségi váltózók sorozatát (ζ i, i = 1, 2... eloszlásfüggvényük G(z)). Ezeket, mint eddig is, egy folyamat egymás utáni ugrásai között eltelt id tartamnak tekintjük. Tehát a τ n = n i=1 ζ i id pontokban van ugrás. N t = min{n : τ n t} és N =. Legyen K(t) = E(N t ) + 1, t. Ekkor K(t) kielégíti az következ egyenletet (az utolsó ζ i szerint szétbontva): K(u) = 1 + Ez látható abból, hogy N t = u K(u t)dg(t). n=1 χ {τ n t}, ezért: K(t) = 1 + G ( n) (t), n=1 ami eleget tesz a fenti egyenletnek. Ennek az általánosítása a felújítási egyenlet. Tegyük fel, hogy f(t) rögzített függvény, ekkor Ekkor igaz a következ tétel: k(u) = f(u) u k(u z)dg(z). 3.3. Tétel. Legyen E(ζ i ) = µ véges. Ha ζ i nem rácsos eloszlású, f korlátos,monoton függvény, mely integrálható a [, ) halmazon, akkor lim u k(t) = 1 µ f(t)dt. (Megjegyzés: ζ rácsos eloszlású, ha létezik olyan δ >, hogy ζ pozitív valószín séggel csak kδ, (k egész) alakú értékeket vehet fel, a legnagyobb ilyen tulajdonságú δ a rácsállandó.) Térjünk vissza a (3.1) egyenlethez. Kicsit alakítsuk át ezt az egyenletet. lim u φ(u) = 1, így az aszimptotikus viselkedést érdemesebb a ψ(u) = 1 φ(u) függvényen keresztül vizsgálni, ekkor mivel ψ() = λ (1 F (z)), ezért c ψ(u) = λ c u (1 F (z))dz + λ c 2 u ψ(u z)(1 F (z))dz. (3.2)

3.4. Deníció. Legyen h(r) = e rz df (z) 1 (3.3) Itt F (z) nem negatív valószín ségi változók közös eloszlásfüggvénye, tehát r esetén h(r) véges, h() =. Másrészt h(r) szigorúan konvex, így h(r)/r = c/λ egyenletnek maximum egy pozitív gyöke lehet. 3.5. Tétel. (Cramer-Lundberg-approximáció) Tegyük fel, hogy h(r) = cr/λ egyenletnek létezik pozitív megoldása (R). Tegyük fel, hogy h(r) véges R valamely pozitív sugarú környezetében. Ekkor lim u eru ψ(u) = c λµ (3.4) λh (R) c. Bizonyítás: A (3.2) egyenletet még nem tiszta felújítási egyenlet, ugyanis itt λ c (1 F (z))dz nem feltétlenül 1 (tehát nem s r ségfüggvény). Mivel c λ = h(r) r, ezért (3.3) egyenletb l kapjuk parciális integrálással (r = R), hogy Re Rz F (z)dz + [e Rz F (z)] Így F () = és lim z F (z) = 1 miatt λ c 1 = Rc λ. e Rz (1 F (z))dz = 1. (3.5) Tehát (3.2) egyenletet megszorozva e -val felújítási egyenletet kapunk: Ru u e Ru ψ(u) = λ c eru (1 F (z))dz + λ c e R(u z) ψ(u z)e Rz (1 F (z))dz. u Ahol az egymás utáni felújítási pontok között eltelt id eloszlását az λ c erz (1 F (z)) s r ségfüggvény abszolút folytonos eloszlás adja meg. Így alkalmazhatjuk a (3.3) tételt: lim u eru ψ(u) = K 1, K 2 21

K 1 = λ c K 2 = λ c e Ru (1 F (z))dzdu, K 1 -et parciálisan integrálva adódik, hogy ] K 1 = λ [ e Ru (1 F (z))dz + λ c R u c = λ (1 F (z))dz + λ cr c = 1 ( 1 λµ ), R c u ze Rz (1 F (z))dz. 1 R eru (1 F (u))du = 1 R erz (1 F (z))dz = felhasználvaa(3.5)egyenletet.tehát K 1 pozitívésvéges.ugyanakkor,mivel h(r) véges R pozitív környezetében, ezért ott deriválható is, és h (R) = ze Rz df (z). Mivel ze Rz (1 F (z)) függvény nem azonosan, ezért K 2. Feltevésünk szerint létezik olyan pozitív ɛ, melyre h(r + ɛ) <, így e (R+ɛ/2)z (1 F (z)) exponenciális sebességgel tart nullához (mivel (3.5) egyenlet alapján e Rz (1 F (z)) ), ezért K 2 véges lesz Felhasználva, hogy [( z ze Rz (1 F (z))dz <. ) ] 1 R R e Rz = ze Rz, ezt parciálisan integrálva kapjuk: 2 K 2 = λ [ ( z c R 1 ) e Rz df (z) + 1R ] = R 2 2 = λ [ h (R) c R c ]. λr (Felhasználva, hogy lim u ue Ru (1 F (u)) =.) Tehát amib l következik az állítás. lim u eru ψ(u) = 22 λµ (1 ) c (h (R) c ), λ λ c

Tehát e adja meg a pontos konvergencia sebességet a Ru ψ(u) öszszefüggésben. R-et szokás más néven Lundberg-kitev nek, vagy illeszkedési együtthatónak nevezni. Általában nem határozható meg pontosan R Lundbergkitev értéke, mivel általában nem ismerjük a Z i valószín ségi változók eloszlásfüggvényét és N t Poisson folyamat paraméterét. [7] könyv 36. oldalán találunk R értékére becsléseket. A cs d súlyossága Nem csak a cs dbemenés valószín sége lehet érdekes. A biztosítónak az is nyilván fontos, mekkora a cs d nagysága. Tehát azt kell vizsgálni, hogy amikor a rizikófolyamat el ször negatívvá válik, mekkora lesz az értéke. A feltételek ugyanazok, mint eddig, így a cs d csak valamelyik káresemény(összetett Poissonfolyamat valamelyik ugrásának) id pontjában következhet be. Legyen a cs d id pontja T u, tehát T u = inf{t : U t < } (az üres halmaz inmuma legyen ). Tehát most arra vagyunk kíváncsiak, hogy mekkora annak a valószín sége, hogy a cs d id pontjában a hiány értéke nem nagyobb, mint y. Így: A [1] könyv szerint ψ(u, y) = P (T u <, U Tu > y). ψ(, y) = y λ (1 F (x))dx. c Ennek az eredménynek az alapján Gerber és Goovaerts [11] igazolták, hogy ψ(u, y) kielégíti a következ integrálegyenletet: ψ(u, y) = λ c u ψ(u z, y)(1 F (z))dz + λ c u+y (1 F (z))dz. (3.6) u (Ennek speciális esete a (3.2), y = esetén megkapjuk.) Egy a (3.5) tételhez hasonló állítás ekkor is teljesül. 3.6. Tétel. Legyen, mint eddig is c > λµ, és legyen R a h(r) = cr/λ egyenletnek egyetlen pozitív megoldása. Tegyük fel, hogy h(r) véges R valamely pozitív sugarú környezetében. Ekkor e Ru adja meg ψ(u, y) konvergencia sebességét. És lim u eru ψ(u, y) = λ c e Ru u+y (1 F (z))dzdu 23 u λ cr [h (R) c ]. (3.7) λ

Bizonyítás:(3.6) egyenlet nem tiszta felújítási egyenlet. Mivel a(3.2) egyenlett l csak "konstans" tagban különbözik, ezért ugyanazt a módszert alkalmazhatjuk, mint a (3.5) tétel esetén. Így kapjuk: λ e Ru u+y (1 F (z))dzdu lim u eru c u ψ(u, y) = λ cr [h (R) c ]. (3.8) λ Martingálok alkalmazása A martingálelmélet eszközeinek segítségével vizsgálva a folyamatot érdekes eredményeket kapunk. El ször vezessük be a martingálelmélet alapfogalmait. 3.7. Deníció. (Filtráció) Legyen (Ω, F, P) valószín ségi mez és {F n : n } a rész σ-algebrák növekv sorozata F F 1... F k... F és F := σ( k F k ) F. (Például Y n, n sztochasztikus folyamat esetén F k = σ(y, Y 1,..., Y k ).) 3.8. Deníció. (Adaptált folyamat) Az (F n ) n ltrációhoz adaptált folyamat, ha Y n F n -mérhet. 3.9. Deníció. (Martingál) Legyen (Ω, F, P) és (F n ) n ltráció adott. Az M t sztochasztikus folyamatot martingálnak (szubmartingálnak, szupermartingálnak) nevezzük, ha: 1. M t adaptált, valós érték, 2. E( M t ) <, minden n esetén, 3. martingálra: E(M t F s ) = M s, s t, szubmartingálra: E(M t F s ) M s, s t, szupermartingálra: E(M t F s ) M s, s t. 24

3.1. Deníció. (Megállási id ) (Ω, F, P) és (F n ) n ltráció adott. A ν : Ω {, 1, 2,..., } valószín ségi változó megállási id, ha bármely t esetén {ν t} F t. Tehát ν bekövetkezése a múlt ismeretében eldönthet. Ekkor: 3.11. Tétel. (Doob-tétel) M t (t ) martingál, ν megállási id, P (ν < ) = 1. Ha az alábbi feltételek bármelyike teljesül, akkor E(M ν ) = E(M ). 1. Létezik N <, amire P (ν N) = 1. 2. Létezik K <, amire P ( M t K) = 1, minden t-re. 3. E(ν) < és létezik K <, amire P ( M t M t 1 K) = 1, minden t-re. 3.12. Tétel. (Doob-tétel, martingál konvergencia) Ha az M t (t ) martingálra teljesül, hogy sup t E M t <, akkor a martingál 1 valószín séggel konvergens. Visszatérveamikonkrétfolyamatunkra, U t nemfeltétlenülmartingál,deegyszer transzformációval azzá tehet. Erre két példát is mutatunk. 1. Ebben az esetben belátjuk, hogy U t folyamat szubmartingál, amit úgy tehetünk martingállá, hogy eltoljuk (azaz a várhatóértéket -vá tesszük). Ehhez pár feltevést kell tennünk. Legyen az adaptált folyamatunk véges várhatóérték, és független növekmény. Klasszikus rizikófolyamat esetén S t ilyen, így U t is. 3.13. Tétel. U t (t ) folyamat c > λµ feltétel esetén szubmartingál, az U t (c λµ)t folyamat pedig martingál. Bizonyítás:Generálják F t σ-algebrátaz U s s tintervallumonfelvett értékei. E(U t F s ) = E(U t U s + U s F s ) = U s + E(U t U s ) = U s + (c λµ)(t s). (Felhasználva, hogy U t U s független az F t algebrától, mivel a folyamat független növekmény ). Ezzel beláttuk mindkét állítást. 25

Legyen T u az u kezd t ke esetén a cs d bekövetkezésének a valószín sége. A folyamat által generált σ-algebrára nézve ez megállási id lesz. Legyen ũ > u.vizsgáljukmeg,miavalószín ségeannak,hogyafolyamatel bbéri el az ũ-t, mint a értéket. Ezért legyen a megállási id nk most T u : akkor állunk meg, amikor a folyamat eléri az ũ-t vagy a értéket. 3.14. Tétel. Ha c λµ, akkor P (U Tu = ũ) ũ u. Ha c = λµ és Z i valószín ségi változók korlátosak (Z i K), akkor P (U Tu = ũ) K + u K + ũ. Bizonyítás: Felfelé a folyamat nem ugorhatja át az ũ értéket, mivel a folyamat ugrásokkal csökken, viszont folytonosan n (a díjak által). Ekkor U t szubmartingál a T u id pontig. Legyen V t = U t, ha t < T u U Tu, ha t T u. Nyilván V t U Tu 1 valószín séggel. Másrészt V t ũ, így a Fatou-lemma miatt E(U Tu ) lim t E(V t ) E(U ) = u. Ezen kívül E(U Tu ) ũp (U Tu = ũ). Ezzel a tétel els felét beláttuk. Ha Z i K és c = λµ, akkor a V t korlátos martingál lesz a T u id pontig. Cs d esetén is a kár nagysága maximum K. Így Másrészt nyilván E(U Tu ) = E(U ) = u. u = E(U Tu ) ũp (U Tu = ũ) K(1 P (U Tu = ũ)). Ebb l átrendezve adódik az állítás. 26

2. Ebben az esetben is független növekmény folyamatokból csinálunk martingált, csak most az exponenciális martingálok segítségével. Tekintsük az e folyamat értékeit. Ekkor nyilván az egyes id pontokban felvett értékek hányadosa rst független lesz a korábbi értékt l. Ha e várható értéke véges, akkor a feltételes várhatóérték könnyen számolható. rst Válasszunk r-et úgy, hogy E(e r Z 1 ) <. Vizsgáljuk az e folyamatot. Tehát ekkor r(u+ct St) E(e r(u+ct St) ) = e r(u+ct) E(e rst ). Számoljukkitehát S t momentumgenerálófüggvényétaz r helyen(jelölje X momentum-generáló függvényét a t helyen G X (t)). Ekkor G St = E Nt (E(e rst N t )) = E Nt (G Z1 (r) Nt ) = G Nt (lng Z1 (r)). Másrészt Így G Nt (r) = E(e rnt ) = n e rn λt (λt)n e n! G St (r) = e λt(g Z 1 (r) 1) = e λt(h(r)), tehát E(e r(u+ct St) ) = e r(u+ct) e λt(h(r)) Legyen g(r) = λh(r) rc, és legyen M t = e r(u+ct St) e tg(r). Ekkor M t folyamat martingál lesz: E(M t F s ) = M s E(M t /M s F s ) = = e λt(er 1). = M s E(e r(c(t s) (St Ss)) )e (t s)g(r) = M s, felhasználva a függetlenséget, g(r) denícióját és hogy E(e r(st Ss) ) = G St S s (r) = e λ(t s)(g Z 1 (r) 1) = e λ(t s)(h(r)). 27

Legyen T u minteddigis,acs dbemenésid pontja.sajnosezáltalábannem korlátos megállási id, így nem alkalmazható rá a Doob-tétel. Azonban, ha veszünkegy ρértéket,ésazel z helyetta min(t u, ρ)megállásiid tvesszük, akkor ez már korlátos megállási id lesz. Így Másrészt nyilván e ru = E(M ) = E(M min(tu,ρ)). e ru = E(M min(tu,ρ) T u ρ)p (T u ρ)+ + E(M min(tu,ρ) T u > ρ)p (T u > ρ) E(M Tu T u ρ)p (T u ρ). (3.9) Ezazegyenl tlenségazonbanmégtartalmazza M Tu feltételesvárhatóértékét a T u ρ feltétel mellett. Ezt becsülhetjük azzal, hogy M t deníciójában szerepl hányados számlálója 1-nél nagyobb, mivel a T u id pontjában a folyamat értéke negatív. Így P (T u ρ) e ru E(e Tug(r) T u ρ) e ru sup t ρ e tg(r). ρ-t nyilván szeretnénk kiküszöbölni. ρ esetén ha g(r), a szuprémum értéke 1, egyébként. Így annál jobb becslést kapunk, minél nagyobb r értéket választunk a g(r) feltétel mellett. Klasszikus rizikófolyamat esetén megkapjuk a Lundberg-kitev t, ugyanis R = sup{r g(r) } nyilván egybeesik h(r)/r = c/λ pozitív gyökével. Tehát ekkor ψ(u) e Ru. (A Cramer-Lundberg-approximációs tétel alapján ez a legjobb kitev.) r = R esetén g(r) =, ekkor M t = e martingál. A (3.9) egyenl tlenségnél egyszer en elhagytuk a második R(u ct St) tagot. Azonban {T u > ρ} esemény esetén M t 1, és U t a nagy számok er s törvénye szerint (ha c > λµ) E(M min(tu,ρ) T u > ρ)p (T u > ρ), ha u. 28

Ekkor tehát kapunk egy egyenl séget a cs d valószín ségére. ψ(u) = e Ru E(e RU Tu T u < ). 3.3. Felújítási modellek kockázati folyamatokra Nézzük a kockázati folyamatoknak kicsit általánosabb csoportját. Mint már említettük, a felújítási folyamat a homogén Poisson-folyamat általánosítása. Tehát ekkor N t, mint a klasszikus esetben is, tiszta ugró függvény, az ugrások nagysága 1. Azonban most az ugrások között eltelt id kr l (ζ 1, ζ 2,...) csak anynyi információnk van, hogy független azonos eloszlású valószín ségi változók. Jelölje közös eloszlásfüggvényüket K(t), várhatóértéküket 1/λ. Probléma, hogy a felújítási folyamat esetén a növekmények nem feltétlenül függetlenek (ugyanis ha azok lennének, a (3.1) tétel szerint összetett Poisson-folyamatról lenne szó), így a problémát kicsit másképpen kell kezelni, mint a klasszikus esetben. Az U t szerkezete azonban ugyanolyan marad, mint eddig. Tehát elég a folyamat értékeit i=1 ζ i id pontokban vizsgálni. Hasonlóan, mint korábban is a τ k = k N t U t = u + ct S t és S t = i= Legyenek az ugrások esetén bekövetkez károk nagysága Y k = Z k cζ k. Ezek független azonos eloszlásúak, E(Y k ) = µ várhatóértékkel. Ezen kívül c λ legyen X n = n Y k. k=1 Ekkor ψ(u) = P (max X n > u). n 1 Ez a folyamat már független növekmény lesz diszkrét paraméterrel. Alkalmazva a nagy számok er s törvényét, kapjuk 1 n X n µ c λ. 29 Z i.

Tehát ha c < λµ, akkor X n, azaz ψ(u) = 1 bármely u kezd t ke esetén. A klasszikus esethez hasonlóan c = λµ esetben is, ha Y k minden k-ra, a Chung-Fuchs-tétel szerint ψ(u) = 1. Tehát csak a c > λµ esetet kell vizsgálnunk. Tegyük ezt a exponenciális martingálelmélet segítségével. Folyamatunk most már független növekmény, így már csak a várhatóértéket kell beállítani állandó értékre (valamilyen alkalmas szorzó segítségével). 3.15. Tétel. Legyen g(r) Y 1 momentum-generáló függvénye, azaz g(r) = E(e ry 1 ). Ha P (Y 1 ) < 1 és c > λµ, akkor pontosan egy olyan pozitív R létezik, melyre g(r) = 1. Bizonyítás: g(r)folytonosfüggvénye r-nek(mivel e rx r szerintmonotonn minden X esetén), másrészt g() = 1, g () = E(Y 1 ) = µ c λ <. A g függvény szigorúan konvex(szigorúan konvex függvények keveréke). Másrészt a tétel feltétele szerint létezik olyan pozitív x, amire P (Y 1 x ) < 1. Így E(e ry 1 ) e rx (1 P (Y 1 x )), ha r. Ekkor a g(r) = 1 egyenletnek pontosan egy megoldása lesz (g(r) = 1). Atovábbiakbanfeltesszük,hogyennekatételnekafeltételeiteljesülnek.Ekkor igaz lesz a következ tétel (hasonlóan, mint a klasszikus rizikófolyamatoknál). 3.16. Tétel. ψ(u) e Ru. Bizonyítás: Legyen r > olyan, hogy g(r) véges. Ekkor martingál lesz, mivel (l k) P n M n = e r(u i=1 Y k). g(r) n E(M k F l ) = M l E(M k /M l F l ) = M l E(e r(x k X l ) )g(r) (k l) = M l 3

Legyen K u = min{n : X n > u}. Ez megállási id, azonban még nem korlátos. Tegyük azzá, tekintsük K u helyett min{k u, k}-t, ahol k véges konstans. Ekkor alkalmazhatjuk a Doob-tételt: Másrészt E(M min(ku,k)) = E(M ) = e ru. E(M min(ku,k)) = E(M min(ku,k) K u k)p (K u k)+e(m min(ku,k) K u k)p (K u k), azaz e ru E(M Ku K u k)p (K u k). A K u pillanatban u X Ku <, ezért az M n martingált deniáló tört számlálója 1-nél nagyobb. Így k esetén P (K u < ) e ru sup g(r) n. n Ez tetsz leges olyan r-re igaz, melyre g(r) <. Legyen r = R, így következik a tételünk ψ(u) = P (K u < ) < e Ru. Ahhoz, hogy egy a (3.5) tételhez hasonló tételt belássunk, be kell vezetnünk pár praktikus jelölést, fogalmat. Bontsuk szét ψ(u)-t aszerint, hogy mekkora a Y 1 valószín ségi változó értéke. Legyen Y k valószín ségi változók közös eloszlásfüggvénye G(u) ( ζ és Z 1 eloszlásfüggvényének konvolúciója). ψ(u) = (1 G(u)) + mivelha Y 1 értéke u-nálnagyobb,annakavalószín sége (1 G(u))(azels ugrás u ψ(u s)dg(s), (3.1) alkalmával rögtön bekövetkezik a cs d); másrészt ha Y 1 nem nagyobb, mint u, akkor u Y 1 kezd t kemellettvizsgáljukacs dbekövetkezténekavalószín ségét. 31

A(3.1) egyenlet sajnos nem felújítási egyenlet, mert az integrál alsó határa. Tehát kell találnunk egy olyan valószín ségi változót, mely szerint a fenti egyenlet nem negatív. Tekintsük X n folyamat értékét abban a pillanatban, amikor el ször pozitívvá válik (ez a K pillanat). Ekkor κ 1 = X K és A(y) = P (κ 1 y, K < ). Tehát A(y) "majdnem" κ 1 eloszlásfüggvénye (K nem feltétlen véges). Nyilván A( ) = lim y A(y) = ψ(). Miután a folyamat elérte K id pontot, ugyanúgy viselkedik, mint el tte a id ponttól kezdve. Ahhozhogy eztbelássuk,deniálnunk kellegy fontos fogalmat. 3.17. Deníció. (Létraindex) Az m index létraindex, ha X m > X j, j =, 1,..., (m 1) esetén. Tehátalétraindexekamaximum-növekedésiindexek.Jelöljea (k+1). létraindexet ν k. Ekkor rekurzív összefüggés adható a létraindexekre: ν =, ν n = inf{m > ν (n 1) : X m > X j, j (m 1)}. Mivel K az X n els pozitívvá válásának az id pontja, ezért ν 1 = K. Legyen A k = {pontosan k létraindex létezik}, B k = {legalább k létraindex létezik}. Ekkor nyilván A k = B k B k+1, és P (A 1 ) = φ(), mivel az els létraindex a. Vizsgáljuk a folyamatot a második létraindex ν 1 = K helyén felvett lehetséges folyam értékek (κ 1 ) szerint. Tekintsük a ξ j = Y ν1 +j megfeleltetést, B 2 esemény szerint. Jelölje Q a B 2 esemény szerinti feltételes valószín séget, ekkor igaz a következ tétel: 32

3.18. Tétel. A ξ k, k 1 sorozat Q szerint független az X ν1 valószín ségi változótól. Másrészt ξ k, k 1 sorozat Q-szerinti együttes eloszlása megegyezik az Y k, k 1 sorozat P-szerinti együttes eloszlásával. Bizonyítás: Legyen f tetsz leges k-változós, g tetsz leges 1-változós korlátos függvény. Így (felhasználva, hogy Y j+1,...y j+k P-szerint független X j, {ν 1 = j} mennyiségekt l) E(f(ξ 1, ξ 2,..., ξ k )g(x ν1 ) B 2 ) = = 1 E(f(Y j+1,...y j+k )g(x ν1 =j)χ {ν1 =j}) = P (B 2 ) j=1 = 1 P (B 2 ) E(f(Y 1,...Y k )) E(g(X ν1 =j)χ {ν1 =j}) = j=1 =E(f(Y 1,...Y k ))E(g(X ν1 ) B 2 ) A g = 1 függvényt választva kapjuk E(f(ξ 1, ξ 2,..., ξ k ) B 2 ) = E(f(Y 1,...Y k )), és E(f(ξ 1, ξ 2,..., ξ k )g(x ν1 ) B 2 ) = E(f(ξ 1, ξ 2,..., ξ k ) B 2 )E(g(X ν1 ) B 2 ). Ezzel az állítást beláttuk. Visszatérve a tétel el tt felvetett gondolatra, ψ(u) = P (K u < ) valószín séget szeretnénk felbontani κ 1 lehetséges értékei és B 2 = {K < } szerint. ψ(u) = P (K u < ) = [P (K u <, K = )]+ + [P (K u <, κ 1 > u, K < )] + [P (K u <, < κ 1 < u, K < )]. Ittazels tagnyilván,amásodik A( ) A(u),aharmadikpedig(felhasználva az el bb bebizonyított tételt) u ψ(u y)da(y). Így [ u ψ(u) = [] + [A( ) A(u)] + ] ψ(u y)da(y) (3.11) 33

Megjegyzés: u esetén ψ( ) = A( )ψ( ). Azaz mivel A( ) = ψ(), így ψ( )(1 ψ()) =. Tehát ha ψ( ) >, akkor ψ() = 1 és ψ() < 1 esetén ψ( ) = 1. A (3.11) egyenlet már alkalmas arra, hogy felújítási egyenletté alakítsuk, itt ugyanis szemben a (3.1) egyenlettel, az integrál alsó határa. Tehát már csak normalizálnunk kell. Így ψ(u) = e ρu [A( ) A(u)] + e ρy da(y) = 1 már felújítási egyenlet lesz, ekkor igaz egy a(3.4) egyenlethez hasonló összefüggés: u e ρ(u y) ψ(u y)e ρy da(y) (3.12) 3.19. Tétel. Tegyük fel, hogy k(r) = e ry da(y) = 1 véges ρ egy pozitív környezetében. Ha A(y) nem rácsos eloszlású, akkor létezik a határérték, és lim u eρu ψ(u) = lim u eρu ψ(u) 1(1 A( )) ρ ye ρy da(y). Bizonyítás: A bizonyítás hasonló a (3.5) tétel bizonyításához. Ahhoz hogy a (3.12) felújítási egyenletre alkalmazni tudjuk a (3.3) tételt, be kell még látnunk, hogy a ye ρy da(y) várhatóérték véges. Ez azonban azonnal adódik abból, hogy k(r) = e ry da(y) = 1 véges és pozitív ρ egy pozitív környezetében (hasonlóan, mint a (3.5) tételnél). Másrészt parciális integrálással kapjuk, hogy e ρu [A( ) A(u)] = 1 ρ [eρu (A( ) A(u))] + 1 ρ = 1 (1 A( )). ρ Ez szintén véges és pozitív. Így alkalmazva a (3.3) tételt kapjuk lim u eρu ψ(u) = 34 1(1 A( )) ρ ye ρy da(y). e ρu da(u) =

Ami pont a tételünk állítása. Ahhoz, hogy teljes legyen az összhang a(3.5),(3.16) és a(3.19) tételek között, még be kellene látnunk, hogy ρ = R, ami igaz is! 3.2. Tétel. ρ = R. Bizonyítás: Tekintsünk Y k, k 1 valószín ségi változók helyett olyan Ȳk y (k 1) független azonos eloszlású valószín ségi változókat, amelyekre P (Ȳk y) = y (Ezt R deníciója miatt tehetjük meg.) Legyen X n = n Ȳ k. k=1 e Rs dg(s). Így E(Ȳk) = g (R) >. Ezért X n 1 valószín séggel, amib l következik, hogy Ezt felhasználva kapjuk e Ry da(y) = = E(e RY 1 χ {Y1 >}) + = P (Ȳ1 > ) + P (sup n X n > ) = 1. E(e RXn χ {Xn>,Xk,k=1,...,(n 1)}) = n=2 P ( X n >, X k, k = 1,..., (n 1)) = n=2 = P ( X n > ) = 1. Így ρ deníciója miatt következik az állítás. Tehát a (3.16) tételben kapott közelítésben szerepl kitev pontos (e Ru ψ(u) határértéke pozitív és véges). Összegezve, itt is exponenciálisan -hoz tartó fels becslést kaptunk a cs d valószín ségére, valamint itt is kaptunk egy hasonló összefüggést a cs dbemenés asszimptotikus viselkedésével kapcsolatban. 35

Ha még jobban általánosítjuk a kockázati folyamatot, úgynevezett Coxfolyamattá(a Poisson-folyamatnak olyan általánosítása, ahol a homogén Poissonfolyamat helyett inhomogén Poisson folyamat szerepel, amelynél a növekmények intenzitás-mértékének megváltozása is sztochasztikus folyamat), abben az esetben is kimondható néhány állítás, azonban ezek messze nem olyan szépek, mint a klasszikus rizikófolyamat esetén. 3.4. Klasszikus rizikófolyamat viszontbiztosítással 3.4.1. A cs d valószín sége kis károk esetén Ezazalfejezet[8]és[9]cikkekalapjánkészült.Azels résznélkiskárok,amásodik résznél nagy károk esetén vizsgáljuk, hogy viszontbiztosítás esetén, hogyan változik a cs dbemenés valószín sége. Ennek becslését a klasszikus rizikófolyamat modelljének segítségével tesszük. Legyen az eddigiekhez hasonlóan az a direkt biztosító összkárának értéke N t S t = Y i, i=1 ahol N t Poisson-folyamat λ paraméterrel és Y i, i = 1, 2,... független azonos eloszlású pozitív valószín ségi változók. Legyen Y i valószín ségi változók közös eloszlásfüggvénye G(y), momentum-generáló függvénye pedig M Y (r) = E(e ). És legyen a valószín ségi mez nk ry (Ω, F, P). Tegyük fel, a hogy viszontbiztosító egy (A(u), b(u)) stratégiát követ, ahol (A(u), b(u)) A = [, ) [, 1]. Ekkor háromféle dolgot tehet a biztosító 1. nincs viszontbiztosítás: A = [, ) {1}, 2. nincs befektetés: A = {} [, 1], 3. befektetés és viszontbiztosítás is van: A = [, ) [, 1], ahol A(u) a befektetés nagysága a rizikó vagyonába (u a biztosító kezd t kéje). b(u) arányos viszontbiztosítás esetén a direkt biztosító része a kockázatból, tehát 36

a direkt biztosító b(u)y összeget, a viszontbiztosító pedig (1 b(u))y összeget zet a kárból. Cserébe a direkt biztosító átadja a viszontbiztosítónak a bezetett díj egy részét. Ez a c(b(u)) folytonos függvény által van meghatározva. Nyilván c(b)monotoncsökken és c(1) =.Legyen cadíj,amitadirektbiztosítókap.és legyen X t a direkt biztosító t kéjének id beli alakulása. Ekkor a cs d id pontja τ A,b = inf{t : X t < }, a cs d valószín sége (konkrét (A, b) esetén) pedig ψ A,b (u) = P (τ A,b < ). Az ellen rz függvény pedig ψ(u) = inf A ψa,b (u). Minteddigis,a c > λe(y ) feltevésmellettérdemesvizsgálniaproblémát,ugyanis ekkor ψ(u) < 1. Ekkor ψ(u) valószín ségre felírható a következ egyenlet (ψ(u) kielégíti a Hamilton-Jacobi-Bellman egyenletet): 1 inf (A,b) A 2 σ2 A 2 ψ (u) + (c c(b) + µa)ψ (u) + λ(e(ψ(u by )) ψ(u)) =, (3.13) ahol σ, λ > paraméterek, és ψ(u) = 1, ha u <. A (3.13) egyenlet megoldása általában nehéz, vizsgáljuk az u esetet. Tegyük fel, hogy 1 G(y) exponenciálisan lecseng. Másrészt, mivel most kis károkeseténvizsgáljukafolyamatot,feltehetjük,hogy M Y (R) < és M Y. Viszontbiztosítás nélkül, klasszikus rizikófolyamatokra (R) < ψ,1 (u) Ce, ahogy már korábban beláttuk. Ru R nyilván a Lundberg-exponens. 3.21. Deníció. (Lundberg-exponens) Legyen r = R(A, b) és λ(m Y (br) 1) (c c(b) + µa)r + 1 2 σ2 A 2 r 2 =. (3.14) Ahol az R(A, b) a Lundberg-exponens a konstans (A, b) stratégia esetén. Asszimptotikusan optimális stratégia esetén R = sup (A,b) A R(A, b). A (3.14) egyenlet bal oldala pozitív lesz r = R esetén, ezért az optimális paraméterek (A, b ) minimalizálják a (3.14) egyenletet r = R esetén. Ekkor egy a viszontbiztosítás nélküli esethez hasonló tétel igaz lesz: 37

3.22. Tétel. Létezik < c + 1 konstans, hogy ψ(u) c + e Ru. Másrészt belátható a 3.23. Tétel. Létezik < c 1 konstans, hogy ψ(u) c e Ru. Ezen kívül még belátható a következ tétel is: 3.24. Tétel. Létezik ζ (, 1] konstans, hogy lim u ψ(u)e Ru = ζ. A stratégiák konvergenciájára igaz lesz: 3.25. Tétel. Tegyük fel, hogy csak egy b létezik, ekkor lim u b(u) = b. Ha beruházás is lehetséges, akkor lim u A(u) = A. 3.4.2. A cs d valószín sége nagy károk esetén Most nagy károk esetén vizsgáljuk a folyamatot, ezért tegyük fel, hogy M Y (r) = minden r > esetén. Ebben az esetben is igaz, hogy ψ(u) kielégíti a (3.13) egyenletet. Ha a Lundberg-exponens denícióját megnézzük, kiderül, hogy csak b = esetén létezik. Így R(A, ) = 2(µA (c() c)) σ 2 A 2, ahol A > µ 1 (c() c) (mivel csak így lesz R(A, ) > ). Így R(A, )-nak létezik pontosan egy maximuma, deriválással kapjuk A = 2(c() c)/µ. Így R = R(A, ) = µ 2 /(2σ 2 (c() c)). Ekkor A = µ/(σ R). 2 A minimalizálja a (3.14) egyenlet bal oldalát az r = R helyen. Igaz lesz következ tétel. 3.26. Tétel. ψ(u) ψ()e Ru. u > esetén egyenl ség lép fel. Másrészt igaz lesz: 3.27. Tétel. Létezik ζ [, ψ()), hogy lim u ψ(u)eru = ζ. 38

S t a követket tétel is teljesülni fog: 3.28. Tétel. lim u ψ(u)e (R+ɛ)u =. És a stratégiák konvergenciájára igaz lesz a következ tétel: 3.29. Tétel. b(u) konvergál a -hoz. Az A(u) pedig A -hoz. Tehát viszontbiztosítás esetén is a viszontbiztosítás nélküli esethez nagyon hasonló állítások mondhatóak ki. Megjegyzés: A (3.4) alfejezetben szerepl tételek bizonyítása, bizonyításvázlata, bizonyítások fellelhet sége a [8] és [9] cikkekben található. 39

Összegzés Mint látjuk a kvóta-viszontbiztosítás és az XL-viszontbiztosítás is optimális, csak más-más szempontból. A kvóta-viszontbiztosítás az állomány szórásnégyzetének rögzítése mellett lesz optimális, azaz minimális a direkt biztosító kockázatának szórásnégyzete (a direkt biztosító szempontjából optimális), az XLviszontbiztosítás pedig rögzített várható érték (tiszta biztosítási díj) mellett lesz optimális a direkt biztosító számára. Különböz el nyei és hátrányai vannak a különböz viszontbiztosításoknak, ezért a gyakorlatban tipikusan egy kockázatra nem csak egyfajta viszontbiztosítást köt a direkt biztosító. Így a különböz viszontbiztosítások enyhítik egymás hátrányait. (Például ha biztosító köt egy kombinált kvóta-xlviszontbiztosítást, akkor esetleg érdemes mellé egy CatXL viszontbiztosítást is kötnie, hogy katasztrófa esetén se következzen be cs d). Biztosítónként változik, hogy hogyan kombinálják a különböz viszontbiztosítás fajtákat. Röviden összegezzük, miket is kaptunk a klasszikus rizikófolyamatok modelljében a cs d valószín ségér l? Csak akkor nem 1 a cs d valószín sége, ha az egységnyi id alatt zetett díj nagyobb, mint az egységnyi id alatt bekövetkez kárösszeg várhatóértéke. Kaptunk egy általában nehezen megoldható integrálegyenletet a cs d valószín ségére (ami kezd t ke esetén könnyen kiszámolható eredményt ad). Majd a cs d valószín ségét végtelenhez tartó kezd t ke esetén vizsgálva arra az eredményre jutottunk, hogy a valószín ség exponenciálisan tart -hoz, ahol az exponens egy egyenlet gyökeként megkapható. A cs d nagyságát vizsgálva hasonló állítást mondhattunk ki arra, hogy mekkora a cs d valószín sége, feltéve, hogy a cs d nem halad meg egy x érték. Majd a mar- 4