MSc Fza geodéza és gavmeta / 4. BMEEOAFML0 GEOID MEGHATÁOZÁSÁNAK KOMBINÁLT MÓDSZEEI. Az utóbb évtzedebe új lehetőségeel gazdagodott a geodéza eszöztáa. A Föld mesteséges holdja és a áju voatozó geodéza megfgyelése (észlelése) több geodéza feladat megoldásához ytotta új utaat. Így, a geod meghatáozása s lehetségessé vált a mesteséges holdaa végzett méése geodéza felhaszálásával. Ee több megoldása s alault az eltelt vszoylag övd dő alatt. A szatelltageodéza geometa alalmazása A szatellta-geodéza eedméyee geometa alalmazásaét a geod meghatáozásáa azt az eljáást tethetjü, amely esetbe a geodot a földfelszí poto (megfelelő állomáso) tetszőleges szatellta-geodéza módszeel meghatáozott x E( a, e ) y ( ϕ, λ, h) () z ellpszod földajz oodátából úgy hatáozzu meg, hogy a potoa a h ellpszod felett magasságából pl. sztezéssel meghatáozott tegeszt felett H magasságát levoju, azaz N h H. () Így ge egyszeűe megapju a ( ϕ, λ, h) ellpszod földajz oodátáal adott ellpszod felület omálso a geoda az ellpszod felett magasságát (. ába).. ába. Geodmeghatáozás a szatelltageodéza méése felhaszálásával
Az ly módo yet geod-ellpszod távolság alapfelülete megegyez az állomásoodátá számításáa alapfelületével, am a oodáta-meghatáozás módja szet általába öéyes vagy smuló elhelyezésű, ee megfelelőe az így meghatáozott geodmagasságo az -ed helyzetű, 0 özéppotú hely ellpszoda voatozó elatív étée. Dama szatelltageodéza módszee alalmazása A Föld özelébe mozgó égteste pályáját a Föld ehézség eőtee szabja meg, ezét az égteste pályáját megfgyelve öveteztet lehet a föld ehézség eőté szeezetée. Az égteste mozgását a dama Newto-féle F ma alaptövéye segítségével lehet leí. Legegyszeűbb esetbe az M tömegű, potszeűe tethető özpot vozó égtest öül (cetáls eőtébe) mozgó egységy ( g) tömegpot mozgásáa (ú. éttest-poblémáa) alalmazzu ezt az alapösszefüggést, azzal a feltétellel, hogy a mozgás csa Newto-féle tömegvozásból számazó eőtébe töté. Ez esetbe a mozgó tömegpota ható F tömegvozás eő hatása fellépő gyosulást az helyveto dőszet másod deváltjaét fejezhetjü, így a M (3) t mozgásegyelete jutu. Ee megoldásaét apju az smet eedméyt, hogy az egységy tömegpot pályája úpszelet, a Föld temészetes és mesteséges holdja esetébe ellpszs, amelye tébel helyzetét, méetét és alaját a Keple-féle pályaeleme: a felszálló csomópot Ω etaszcezója, a pegeum ω szöge, az pályahajlás, a pályaellpszs a s, es paamétee, és az égtest pllaaty helyzetét magadó ν özépaomála jellemz. A (3) másodedű dffeecálegyelete a étsze tegálása soá adódó tegálás álladó, lletve ezeből levezetett álladó meységeből övetez, hogy cetáls eőtébe a tömegpot tébe és dőbe álladó méetű, alaú és helyzetű ellpszs pályá mozog, más szóval a hat Keple-féle pályaelem özül öt az dőbe álladó és csa az égtest pllaaty helyzetét magadó ν özépaomála változ. Tudju azoba, hogy a Föld valóságos ehézség eőtee az homogé sűűségeloszlás matt em cetáls eőté. Eltééset a cetáls eőtétől a potecál gömbfüggvéy soáa zoáls és tesszeáls tagja íjá le. Ezt fgyelembe véve a Föld valóságos ehézség eőteébe a (3) mozgásegyelet az M gad V ( J,,, ) + Cm Sm (4) fomába módosul. Ee megoldása soá má olya Keple-féle pályaelemeet apu, amelye mdegye az dő függvéyeét változ. A Föld valóságos ehézség eőteébe mozgó tömegpot pályája tehát boyolult tégöbe, melye elem szaasza dőbe változó méetű, alaú és helyzetű Keple-féle ellpszs pályá elem daabjaa tethető.
Tetszőleges Keple-féle p pályaelem p dp / dt dőbel változása tehát a föld ehézség eőté em cetáls voltából övetez. A p dőbel változása az eőtée a cetálstól való eltééset jellemző gömbfüggvéy együtthatóa hozható a dp p p ( J, Cm, Sm) (5) dt alaú függvéyapcsolatba. Ee fgyelembe vételével a mesteséges hold pllaaty pályaelemet adott dőpota (pl. valamely észlelés dőpotjáa) úgy apju meg, ha valamely oább dőpota megadott p 0 pályaelemehez hozzáadju az eltelt dőe eső megváltozásuat (am vszot a ehézség eőté szeezetée függvéye). Az így apott pllaaty pályaelemeből számíthatju az észlelés pllaatáa a mesteséges hold s geocetus helyvetoát.. ába. Geodmeghatáozás szatellta-geodéza dama módszeével. Valamely dőpotba a mesteséges holda végzett észlelése eedméyeét apott s észlelés veto em más, mt a mesteséges hold s, és az észlelés hely geocetus helyvetoáa ülöbségvetoa (. ába). Ee megfelelőe az s észlelés veto az előejelzés dőpotjáa voatozó p 0 pályaeleme, a föld ehézség eőté potecálfüggvéyée J, Cm, Sm együttható, az észlelés t dőpotja és az X, Y, Z ) állomáshelyzet ( s s Ω, ω,, a, e ; J, C, S ; t, ) (6) s ( 0 0 0 s0 s0 m m függvéyeét fejezhető. Több mesteséges holda edszeese végzett agyszámú megfgyelés mdegyée felíható egy-egy (6) alaú egyelet, amely így özvetítő egyeletét szolgálhat a jobb oldalá szeeplő meységee az észlelése alapjá végzedő meghatáozásához. A agyszámú észlelés alapjá felállítható javítás egyeletee a legsebb égyzete módszee szet megoldásával az egyelete számáál mde esete evesebb számú smeetle meység meghatáozható. A szatellta-geodéza dama módszeée legáltaláosabb alalmazásao az smeetlee mdháom csopotjáa eeshetü megoldást. Gyaa azoba szétválasztju őet és egy-egy csopota felvett étéeel csa a femaadó 3
smeetleeet hatáozzu meg, majd cseélve és foozatos özeledéssel fomítju a teljes megoldást. Így végül megapju a Keple-féle pályaelemeet, a ehézség eőteet leíó véges számú J, Cm, Sm együtthatót, az álláspot ( X, Y, Z ) geocetus helyvetoát. Ilye módszeel ülöböző fog és m edg tejedő gömbfüggvéy együttható számétée valamt a poto geocetus helyvetoa s meghatáozható az egész Földet beboító állomásoból álló hálózata. Az lye étésoozatoat gyaa földmodelle (az agol yelvbe Eath Model vagy Stadad Eath) evez. A meghatáozott gömbfüggvéy együttható smeetébe számszeűe felíhatóvá vál a föld ehézség eőté potecálfüggvéye gömbfüggvéy soáa véges számú tagja. A Dama szatelltageodéza módszee alalmazásával yet fet méés adato smeetébe ét lehetőségü s va a geod meghatáozásáa.. Az egy lehetőség szet az álláspot geocetus helyvetoáa smeetébe a () mtájáa: X E( a, e ) Y ( ϕ, λ, h), (7) Z előállítható az ellpszod felett h magasság, amelyet a ()-be helyettesítve a apju az N étéét. Ez vszot most em elatív, haem geocetus elhelyezésű ellpszoda számított abszolút N été.. A más lehetőséget az N meghatáozásáa a potecálfüggvéy gömbfüggvéy soába szeeplő J, C m S m együttható dama módszeel előállított étée * adjá. Eze, valamt a omál ehézség eőté gömbfüggvéy soába szeeplő J együttható ülöbségét épezve, véges tagszámg felíható a T W U potecálzava gömbfüggvéy soa a M T δ J (cosϑ) + ( Cm cosmλ + Sm s mλ) m(cosϑ) (8) m alaba, ahol δj δj δj 3 4 J J J 3 4 J J. (9) A potecálzava ly módo számszeűe smet (8) gömbfüggvéy soából számított étéet a Bus-féle összefüggésbe beíva és γ " -vel osztva, apju a ϕ, λ ellpszod oodátájú potbel N T p' / γ " geod-ellpszod távolságot. A számítást megfelelőe választott ϕ, λ földajz oodátájú potoba elvégezve, * * 4 4
megszeeszthetjü és ajzolhatju a geod zovoalas ábáját a geocetus elhelyezésű alapfelülethez vszoyítva. Az alapfelület méetét és alaját a omál ehézség eőté felvételével hatáozzu meg özvetve. Ezzel a módszeel jó áttető épet yehetü az egész Földe voatozó geodól. Kombált megoldáso A gyaolatba a geodmeghatáozás ülöböző módszeet általába em ülö-ülö, haem együttese alalmazzu aa édeébe, hogy a ülöböző utao szezett méés eedméyeet és fomácóat özös számítás eljáásba bevova, egyetle végeedméye jussu, és így potosabb megoldást apju. Csllagászat-gavmeta sztezés A csllagászat sztezés szet a szomszédos és + poto özött a geodellpszod távolság ΔN, + megváltozását (ülöbségét) a függővoal-elhajlás megfelelő ϑ vetületée a ét pot özött voaltegálja adja. Ee számszeű meghatáozásao umeus tegálást végzü a véges s, + szaasza. Eo a függővoal-elhajlás ϑ ϑ(s) függvéyét helyettesítjü a szaasza voatozóa ~ valamlye pedcóval előállított ϑ, + álladó étéel. Leggyaabba az egyszeű, leás pedcó alalmazásával a végpoto függővoal-elhajlás ~ étéée számta özepeét állítju elő a ϑ, + átlagétéet. Ezt a szaasz s, + hosszával szoozva apju a ét pot özött voaltegála gyaolat özelítő étéét: ΔN, + ( ϑ + ϑ + ) s, +. (0) Az így yet eedméy a potos étéel ao egyez meg, ha a függővoalelhajlásoa az ívhossz szet ϑ ϑ(s) eloszlásfüggvéye a ét pot özött valóba leás. Ee azoba csa ao va eméy, ha a csllagászat-geodéza potoat ge agy sűűségbe hatáozzu meg (ülööse eőse tagolt dombozat eseté). A földajz helymeghatáozáso má említett magas dő- és öltséggéye matt lye potsűűség általába em bztosítható, ezét más megoldásoat eesü. Az egy lye megoldásét smetü meg a függővoal-elhajláso sűítésée a módszeet. Más megoldás a csllagászat sztezése a egészítése gavmeta méés eedméyeel. Ez esetbe az utóbba yújtaa olya egészítő fomácót, amből a függővoal-elhajlása a ét pot özött valód eloszlása és a feltételezett leás eloszlás özött ülöbsége öveteztet lehet. A 3. ábá látható szomszédos és csllagászat-geodéza poto özött a elatív függővoal-elhajlás ϑ étéét lehet gavmeta adato alapjá meghatáoz- 5
. Az ott megsmet elve megfelelőe ϑ előállítható a g ϑ gavmeta függővoal-elhajlás továbbá a elatív és a gavmeta függővoal-elhajlás ϑ g ϑ ülöbségée ϑ gϑ + ( ϑσ' Δϑ) () ősszegeét, ahol Δϑ ϑ aϑ ϑ ( g ϑ + ϑσ' ). A () összefüggést a csllagászat sztezés alapösszefüggésébe beíva, az tegált ét észe botju: ΔN, ϑ ds gϑ ds + ( ϑ + Δϑ)ds. () 3. ába. A gvmeta sztezés alapelve Az így apott első tegál a gavmeta függővoal-elhajláso voaltegálja szaaszo, am a Δ N ) ( N ) eedméye vezet. a ( g, g N Ez számszeűe a Stoes-féle tegáléplete a és a pota az Σ sugaú teülete végzett számításával yehető. A () másod tegáljába szeeplő elatív és gavmeta függővoalelhajlás ülöbségől tudju, hogy az ívhossz függvéyébe leása változóa tethető. Ezét ee voaltegálját tudju számíta. Eedméyül a ét végpotbel elatív és gavmeta függővoal-elhajláso átlagétéével számított csllagászat sztezése ülöbségét yejü. Összevova az így yet háom tagot, apju a és a pot geod-ellpszod távolság ülöbségée a Δ N, ( N N), g, g gϑ s, (3) ( ϑ + ϑ ) s + ΔN + ( ϑ + ) eedméyt, ahol az utolsó ét tagot a GK jelű gavmeta javításba szoás összefoglal. Ez jelet a elatív függővoal-elhajláso átlagétéével végzett csllagászat sztezés eedméyée (a (3) jobb oldal első tagjáa) a javítását a függővoal-elhajlás valóságos em leás eloszlása matt. GK 6
Felhívju a fgyelmet, hogy az így apott geod-ellpszod távolság ülöbsége aa az ellpszoda voatoza, amelyet a elatív függővoal-elhajláso számításao alapfelületét bevezettü. A GK gavmeta javítás g Δ N, első tagját Stoes tegállal számíthatju az Σ sugaú öyezete olátozódva, a másod tagjába szeeplő gavmeta függővoal-elhajlás étéeet a Veg Meesz-féle éplettel számíthatju az tegálást szté az Σ sugaú öyezete olátozva. Ezeből a Mologyeszj-féle elépzelés szet a lehetséges összevoásoal: GK S ( ψ ), Δgdσ 4πγ~, (4) ahol a 4. ába jelölésee megfelelőe: s cos, cos, S ( ψ ν ν ), + ψ, ψ, ψ, ψ. (5), A (4)-be összevota szeepel a Stoes és a Veg Meesz-féle függvéye a szű öyezete voatozó özelítő alaja, ( ν, és ν, a és a potból a Δ g méés eedméy helyée meő áya a ívvel bezát szöge.) 4. ába. A GK gavmeta javítás számítása A gavmetalag étéelt tatomáy Σ sugaát a csllagászat-geodéza poto s, távolságáa 3 -szoosába szoás felve. A gavmeta javítás abszolút étéée agysága (a dombozat tagoltságától függőe) eléhet, sőt meghaladhatja a csllagászat sztezésből apott geodellpszod távolság météét, így az eedméyt léyegese befolyásolhatja. A módszet előyöse alalmaztu a magyaoszág geodép meghatáozásához s. 7
Szatelltageodéza és a föld gavmeta módszee együttes alalmazása. Itt most ét alapesetet tetü át: ülö tágyalju a teljes Földe voatozó globáls geodép meghatáozásáa lehetőségét, és ülö a geod potoét meghatáozásáa módszeét. Ha globáls geodép előállítása a célu, ao célszeűe a potecálfüggvéy gömbfüggvéy-soával yet megoldást alalmazzu. A mesteséges holda geodéza megfgyelése soá yet s észlelés veto a (6) szet a mesteséges hold előe jelzett smuló pályaelemee, az dőe, az állomásoodátáa és a föld ehézség eőté szeezetét fejező gömbfüggvéy-együtthatóa a függvéyeét íható fel. Ha az előe jelzett smuló pályaelemeet, az dőt, és az állomásoodátáat ellő potossággal smejü, ao smeetleét csa a gömbfüggvéy együttható maada. Mde észlelt áy, vagy távolság étéel egy-egy (6) alaú egyelet íható fel az smeetle együttható meghatáozásáa. Mde mét és a geoda átszámított ehézség étéel pedg egy-egy M Δg' ( ) δ J (cosϑ) ( Cm cosmλ + Sm s mλ) m(cosϑ) (6) m alaú egyelet íható fel, jobb oldaluo ugyacsa a gömbfüggvéy-so smeetle együtthatóval. (Megjegyezzü, hogy ez utóbbaba a J zóáls együttható a * δ J J J alaba szeepele). A étféle méésből együttese ge agy számú egyelet íható fel, amelyee a legsebb égyzete módszee szet megoldásával a gömbfüggvéy-együttható meglehetőse agy száma hatáozható meg: Ω ω Δg f f f Ω ω ( M, J, C Δg ( M, J, C m m ( M, J, C, S, S m m m, S ) ) ) m M, J, C m, S m. (7) Az együttható számszeű smeetébe felíható a T potecálzava gömbfüggvéysoáa véges számú tagja (a többt zéus étéűe tetjü), és ezzel abus-féle összefüggésből számítható a geod-ellpszod távolság. A módsze előyöse egyesít magába a mesteséges holda észlelésével yet globáls hatásoat, vagys a ehézség eőté és a geod hosszú hullámhosszú változásat, ugyaao pedg a földfelszí ehézség mééseből főét a hely övd hullámhosszú hatásoat. Ez ma a globáls geodép előállításáa a legjobb és a legmegbízhatóbb módsze. A más lehetőség az asztogeodéza és a föld gavmeta módszee együttes alalmazása teé a geod-ellpszod távolságo potoét előállítása. Ebbe az esetbe az N geod-ellpszod távolságot háom észbe hatáozzu meg a ombált eljáással, azaz: N N +. (8) + N N3 8
Feltételezzü, hogy edelezésüe áll a potecálfüggvéy gömbfüggvéyegyütthatóa jól meghatáozott M, J, Cm, Sm étésoozata és e mellett földfelszí ehézség méése eedméye. A geod-ellpszod távolság N első összetevőjét úgy számítju, hogy az smet együtthatóal felíju a T potecálzava gömbfüggvéy soát és ezzel a Bus-féle összefüggésből számítju az ee megfelelő geod-ellpszod távolságot: N T γ ' " M γ + m a δj a ( C m (cosϑ) cos mλ + S m s mλ) m (cosϑ) Az N összetevőt a Stoes-féle tegáléplettel számítju a maadé ehézség aomálából valamely szűebb Δ g Δg σ tatomáya (ahol észletes gavtácós felméés áll edelezésüe). A Δ gsz ehézség edelleességet a (6) összefüggés felhaszálásával számítju az smet gömbfüggvéy-együttható segítségével. Így: N 4πγ 4πγ σ + { Δg Δg } σ M Δg m sz a S( ψ ) dσ a ( ) δj (cosϑ) ( )( C cos mλ + S s mλ) (cosϑ) S( ψ ) dσ m m m (9) sz. (0) Végül az N 3 hamad összetevőt az N -höz hasoló módo, de a σ öyezete ívül σ σ távol öyezete tejesztett tegálással számíthatju (ahol má gyéebb gavtácós felméés va): N3 ( Δg Δgt ) S( Ψ ) dσ 0. () 4πγ σ σ Ez utóbb N 3 összetevőt gyaa el s hayagoljá a távol Δgt adato háya matt. Így végül a teljes geod-ellpszod távolság az N, N, N3 összetevő összegeét számítható. 9